תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג

להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן:

• $\vec r, \vec v, \vec a, m$ הן המיקום, המהירות, התאוצה והמסה כפונקציה של הזמן $t$ בהתאמה.
• לכל פונקציה $f$ של הזמן נסמן $f_0=f(0)$ ערך הפונקציה בזמן ההתחלה.
• לכל וקטור $\vec u$ נסמן כ־$u=|\vec u|$ את גודלו וכ־$\hat u=\sgn(\vec u)$ את כיוונו.

הקדמה

יחידות

• זמן – שנייה: $\mathrm s$
• מרחק – מטר: $\mathrm m$
• מסה – קילוגרם: $\mathrm{kg}$
• כוח – ניוטון: $\mathrm{N=\frac{kg\cdot m}{s^2}}$
• אנרגיה – ג׳אול: $\mathrm{J=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m}$
• תדירות – הרץ: $\mathrm{Hz=s^{-1}}$

קבועים

• גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א: $g\approx9.8\mathrm\frac ms$

תזכורות ונוסחאות

• מכפלה וקטורית: $\vec u\times\vec v:=\begin{pmatrix}u_yv_z-u_zv_y\\u_zv_x-u_xv_z\\u_xv_y-u_yv_x\end{pmatrix}\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}$
• גרדיאנט: $\nabla f:=\frac{\partial f}{\partial x}\hat\mathbf x+\frac{\partial f}{\partial y}\hat\mathbf y+\frac{\partial f}{\partial z}\hat\mathbf z$
• דיברגנץ: $\nabla\cdot F:=\frac{\mathrm dF_x}{\mathrm dx}+\frac{\mathrm dF_y}{\mathrm dy}+\frac{\mathrm dF_z}{\mathrm dz}$
• רוטור/קרל: $\nabla\times F=\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\hat\mathbf x+\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\hat\mathbf y+\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\hat\mathbf z$
• לפלסיאן: $\nabla^2f:=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$

קואורדינטות

עבור $x,y,z\in(-\infty,\infty)\ \and\ r,\rho\in[0,\infty)\ \and\ \theta\in(-\pi,\pi]\ \and\ \varphi\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ קואורדינטות כפונקציות של הזמן מתקיים:

מ־↓ ל־←	קרטזיות	גליליות	כדוריות
קרטזיות		$\begin{array}{l} \rho=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\z=z\end{array}$	$\begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\\varphi=\arccos(z/r)\end{array}$
גליליות	$\begin{array}{l} x=\rho\cos(\theta)\\y=\rho\sin(\theta)\\z=z\end{array}$		$\begin{array}{l} r=\sqrt{\rho^2+z^2}\\\theta=\theta\\\varphi=\arctan(\rho/z)\end{array}$
כדוריות	$\begin{array}{l} x=r\sin(\varphi)\cos(\theta)\\y=r\sin(\varphi)\sin(\theta)\\z=r\cos(\varphi)\end{array}$	$\begin{array}{l} \rho=r\sin(\varphi)\\\theta=\theta\\z=r\cos(\varphi)\end{array}$

כאשר $\mbox{Im}(\arctan)=\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ ו־$\mbox{atan2}(y,x):=\begin{cases}\arctan(y/x)&x>0\\\arctan(y/x)+\sgn(y)\pi&x<0\\\sgn(y)\frac\pi2&x=0\ \and y\ne0\\\text{undefined}&x=y=0\end{cases}$.

כמו כן, $\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz=\rho\mathrm d\rho\mathrm d\theta\mathrm dz=r^2\sin(\varphi)\mathrm dr\mathrm d\varphi\mathrm d\theta$.

קינמטיקה

• $\vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v$.
• התדירות הזוויתית: $\omega:=\dot\theta$.
• התנע: $\vec p=m\vec v$.
• תנועה במהירות קבועה: $\vec v(t)\equiv\vec v_0$. אזי $\vec r=\vec v_0t+\vec r_0$.
• תנועה בתאוצה קבועה: $\vec a(t)\equiv\vec a_0$. אזי $\vec v=\vec a_0t+\vec v_0$ ו־$\vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v_0t+\vec r_0$.
• תנועה בגודל מהירות קבוע: $|\vec v|\equiv\text{const.}$. זה קורה אם״ם $\vec a\perp\vec v$.
• תנועה כללית במעגל: אם תנועת הגוף במעגל המונח על המישור $xy$ שרדיוסו $R$ אזי $\vec r=R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}$, $\vec v=\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}$, ו־$\vec a=\vec a_R+\vec a_T$ כאשר $\vec a_R=-\omega^2 R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}=-\omega^2\vec r$ נקראת התאוצה הרדיאלית והיא אחראית לשינוי בכיוון המהירות ו־$\vec a_T=\dot\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}=\frac\dot\omega\omega\vec v$ נקראת התאוצה הטנגנטית/משיקית והיא אחראית לשינוי בגודל המהירות. אם נסמן $\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z$ נקבל $\vec v=\vec\omega\times\vec r$ ו־$\vec a_R=\vec\omega\times\vec v\ \and\ \vec a_T=\dot\vec\omega\times\vec r$.

• תנועה קצובה במעגל: תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־$\omega(t)\equiv\text{const.}$. לכן $\theta=\omega t+\theta_0$ ו־$\vec a_T=\vec0\ \and\ a_R=\frac{v^2}R$. התאוצה נקראת צנטריפטלית.

• התדירות מוגדרת כ־$f:=\frac\omega{2\pi}$.
• זמן המחזור מוגדר כ־$T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega$.

מכניקה

חוקי התנועה של ניוטון

1. גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכיוון קבועים: $\vec v\equiv\text{const.}$.
2. גוף שמסתו $m$ ופועל עליו כוח $\vec F=\dot\vec p$.
3. אם גוף 1 מפעיל כוח $\vec F_{21}$ על גוף 2 אז גוף 2 יפעיל כוח $\vec F_{12}=-\vec F_{21}$ על גוף 1.

כוחות נפוצים

• כוח אלסטי: נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה $\vec r_\text{loose}$ במצב רפוי ובנקודה $\vec r$ בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני כוח $\vec F=-k\Delta x\sgn(\vec r-\vec r_\text{loose})$ כאשר $k>0$ הוא קבוע האלסטיות של הקפיץ ו־$\Delta x$ השינוי באורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.

• מתנד (אוסצילטור) הרמוני: מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו. המערכת הנ״ל היא דוגמה למערכת כזו.
• דוגמה: אם נניח שלקצה ההשני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־$x$ וש־$x_0=0$ היא הנקודה בה הקפיץ רפוי אזי משוואת הכוחות בציר ה־$x$ על הגוף תהא $F_x=-kx=m\ddot x$ ולכן $x(t)=A\sin(\omega t+\phi)$ כש־$m$ מסת הגוף, $\omega=\sqrt\frac km$, $A$ היא משרעת התנודה. את המשרעת ואת $\phi$ ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה.

• כוח מתיחות: בהנתן חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע מופעל על הקצה השני כוח $\vec T=-T\hat\mathbf n$ כאשר $\hat\mathbf n$ וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־$T$ גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע.
• כוח נורמלי: משטח מפעיל כוח $\vec N$ על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח.
• כוח הכובד: בקרבת כדה״א מופעל כוח הגרביטציה $-mg\hat\mathbf z$ כאשר $m$ מסת הגוף ו־$\hat\mathbf z$ וקטור יחידה בכיוון מעלה.

חוקי השימור

תהא מערכת ובה הגופים $1,2,\dots,n$. נסמן את הכוח השקול של הכוחות החיצוניים למערכת הפועלים על גוף $i$ כ־$\vec F_{ie}$. מסת הגוף $i$ מסומנת $m_i$, מיקומו $\vec r_i$ והתנע שלו – $\vec p_i$.

• המסה הכוללת של המערכת מוגדרת כ־$M:=\sum_{i=1}^n m_i$.
• מרכז המסה של המערכת מוגדר כ־$\vec R:=\frac{\sum_{i=1}^n m_i\vec r_i}M$.
• התנע הכולל של המערכת מוגדר כ־$\vec p:=\sum_{i=1}^n\vec p_i$. אם המסות קבועות אז הוא שווה ל־$M\dot\vec R$.
• לפי החוק השלישי של ניוטון $\dot\vec p=\sum_{i=1}^n\dot\vec p_i=\sum_{i=1}^n\vec F_{ie}$.
• חוק שימור התנע: אם שקול הכוחות החיצוניים הוא $\vec 0$ אז $\dot\vec p=0$, כלומר התנע הכולל קבוע.

• אם התנע קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון).