הבדלים בין גרסאות בדף "תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג"

גרסה מ־15:20, 4 במאי 2013

הערות:

לכל שתי פונקציות פיזיקליות $f,g$ של הזמן נסמן $f_g:=f\circ g^{-1}$ . למשל, $\vec v_\vec r(\vec r(t))=\vec v(t)$ , כלומר $\vec v_\vec r$ היא פונקציה של המהירות לפי המיקום.
לפעמים נסמן $f$ במקום $f(t)$ .
לכל וקטור $\vec u$ נסמן כ־ $u=|\vec u|$ את גודלו וכ־ $\hat u=\sgn(\vec u)$ את כיוונו.
נזכיר שלכל פונקציה $f$ מגדירים $f[A]:=\mbox{Im}(f|_A)=\{f(x):\ x\in A\}$ .

הקדמה

יחידות

זמן – שנייה: $\mathrm s$
מרחק – מטר: $\mathrm m$
מסה – קילוגרם: $\mathrm{kg}$
כוח – ניוטון: $\mathrm{N=\frac{kg\cdot m}{s^2}}$
אנרגיה – ג׳אול: $\mathrm{J=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m}$
תדירות – הרץ: $\mathrm{Hz=s^{-1}}$

קבועים

גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א: $g\approx9.8\mathrm\frac ms$
קבוע הגרביטציה האוניברסלי: $G\approx6.67\cdot10^{-11}\mathrm\frac{m^3}{kg\cdot s^2}$

תזכורות ונוסחאות

מכפלה וקטורית: $\vec u\times\vec v:=\begin{pmatrix}u_yv_z-u_zv_y\\u_zv_x-u_xv_z\\u_xv_y-u_yv_x\end{pmatrix}\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}$
גרדיאנט: $\nabla f:=\frac{\partial f}{\partial x}\hat\mathbf x+\frac{\partial f}{\partial y}\hat\mathbf y+\frac{\partial f}{\partial z}\hat\mathbf z$
דיברגנץ: $\nabla\cdot\vec F:=\frac{\mathrm dF_x}{\mathrm dx}+\frac{\mathrm dF_y}{\mathrm dy}+\frac{\mathrm dF_z}{\mathrm dz}$
רוטור/קרל: $\nabla\times\vec F=\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\hat\mathbf x+\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\hat\mathbf y+\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\hat\mathbf z$
לפלסיאן: $\nabla^2f:=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$

קואורדינטות

עבור $x,y,z\in(-\infty,\infty)\ \and\ r,\rho\in[0,\infty)\ \and\ \theta\in(-\pi,\pi]\ \and\ \varphi\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ קואורדינטות כפונקציות של הזמן מתקיים:

מ־↓ ל־←	קרטזיות	גליליות	כדוריות
קרטזיות		$\begin{array}{l} \rho=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\z=z\end{array}$	$\begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\\varphi=\arccos(z/r)\end{array}$
גליליות	$\begin{array}{l} x=\rho\cos(\theta)\\y=\rho\sin(\theta)\\z=z\end{array}$		$\begin{array}{l} r=\sqrt{\rho^2+z^2}\\\theta=\theta\\\varphi=\arctan(\rho/z)\end{array}$
כדוריות	$\begin{array}{l} x=r\sin(\varphi)\cos(\theta)\\y=r\sin(\varphi)\sin(\theta)\\z=r\cos(\varphi)\end{array}$	$\begin{array}{l} \rho=r\sin(\varphi)\\\theta=\theta\\z=r\cos(\varphi)\end{array}$

כאשר $\mbox{Im}(\arctan)=\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ ו־ $\mbox{atan2}(y,x):=\begin{cases}\arctan(y/x)&x>0\\\arctan(y/x)+\sgn(y)\pi&x<0\\\sgn(y)\frac\pi2&x=0\ \and y\ne0\\\text{undefined}&x=y=0\end{cases}$ .

כמו כן, $\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz=\rho\mathrm d\rho\mathrm d\theta\mathrm dz=r^2\sin(\varphi)\mathrm dr\mathrm d\varphi\mathrm d\theta$ .

קינמטיקה

$\vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v$ .
התדירות הזוויתית: $\omega:=\dot\theta$ .
התנע: $\vec p:=m\vec v$ .
תנועה במהירות קבועה: $\vec v(t)\equiv\text{const.}$ . אזי $\vec r=\vec v(0)t+\vec r(0)$ .
תנועה בתאוצה קבועה: $\vec a(t)\equiv\text{const.}$ . אזי $\vec v=\vec a(0)t+\vec v(0)$ ו־ $\vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v(0)t+\vec r(0)$ .
תנועה בגודל מהירות קבוע: $|\vec v|\equiv\text{const.}$ . זה קורה אם״ם $\vec a\perp\vec v$ .
תנועה כללית במעגל: אם תנועת הגוף במעגל המונח על המישור $xy$ שרדיוסו $R$ אזי $\vec r=R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}$ , $\vec v=\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}$ , ו־ $\vec a=\vec a_R+\vec a_T$ כאשר $\vec a_R=-\omega^2 R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}=-\omega^2\vec r$ נקראת התאוצה הרדיאלית והיא אחראית לשינוי בכיוון המהירות ו־ $\vec a_T=\dot\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}=\frac\dot\omega\omega\vec v$ נקראת התאוצה הטנגנטית/משיקית והיא אחראית לשינוי בגודל המהירות. אם נסמן $\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z$ נקבל $\vec v=\vec\omega\times\vec r$ ו־ $\vec a_R=\vec\omega\times\vec v\ \and\ \vec a_T=\dot\vec\omega\times\vec r$ .

תנועה קצובה במעגל: תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־ $\omega(t)\equiv\text{const.}$ . לכן $\theta=\omega t+\theta(0)$ ו־ $\vec a_T=\vec0\ \and\ a_R=\frac{v^2}R$ . התאוצה נקראת צנטריפטלית.

התדירות מוגדרת כ־ $f:=\frac\omega{2\pi}$ .
זמן המחזור מוגדר כ־ $T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega$ .

מכניקה ניוטונית

חוקי התנועה של ניוטון

גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכיוון קבועים: $\vec v\equiv\text{const.}$ .
הכוח שפועל על גוף נתון הוא $\vec F=\dot\vec p$ .
אם גוף 1 מפעיל כוח $\vec F_{21}$ על גוף 2 אז גוף 2 יפעיל כוח $\vec F_{12}=-\vec F_{21}$ על גוף 1.

אנרגיה

האנרגיה הקינטית של גוף היא $E_k:=\frac{m v^2}2$ .
העבודה שמבצע כוח $\vec F$ בין הזמנים $t_1$ עד $t_2$ היא $W:=\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=\int_{t_1}^{t_2}\vec F(t)\cdot\vec v(t)\mathrm dt$ .
$W=\Delta E_k=E_k(t_2)-E_k(t_1)$ .
כוח משמר: כוח המוגדר בתחום פשוט־קשר ומקיים את התנאים השקולים הבאים לכל :
1. האינטגרל $\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r$ אינו תלוי במסלול אלא רק בנקודות ההתחלה והסיום $\vec r(t_1),\vec r(t_2)$ .
2. לכל מסלול סגור מתקיים $\oint_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=0$ .
3. קיימת פונקציה $U$ בתחום כך ש־ $\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=U(t_1)-U(t_2)$ לכל מסלול שעובר דרך נקודות ההתחלה והסיום.
4. קיימת פונקציה $U_\vec r$ בתחום כך ש־ $\vec F_\vec r(\vec r)=-\nabla U_\vec r(\vec r)$ .
5. מתקיים $\forall\vec r:\ \nabla\times\vec F_\vec r(\vec r)=\vec 0$ .
אנרגיה פוטנציאלית/פוטנציאל של גוף עליו פועל כוח משמר $\vec F$ היא $U(t):=-\int_{\vec r_0}^{\vec r(t)}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r$ כאשר $\vec r_0$ היא נקודת הייחוס.
אם על גוף פועל כוח משמר אז $U(t_1)-U(t_2)=\Delta E_k=E_k(t_2)-E_k(t_1)$ .
אנרגיה כללית של גוף עליו פועל כוח משמר היא $E:=E_k+U$ .
חוק שימור האנרגיה: אם על גוף פועל כוח משמר אז $E\equiv\text{const.}$ , כלומר האנרגיה הכללית קבועה.
פוטנציאל אפקטיבי: האנרגיה הכללית של גוף הנע במישור $xy$ היא $E=\frac{m\left(\dot\rho^2+\rho^2\omega^2\right)}2+U$ . גודל התנע הזוויתי הוא $L=m\rho^2\omega$ ולכן $E=\frac{m\dot\rho^2}2+U_\text{eff}$ כאשר $U_\text{eff}:=\frac{L^2}{2m\rho^2}+U$ הוא הפוטנציאל האפקטיבי. הוא מאפשר להתייחס לבעיה של תנועת הגוף בכיוון הרדיאלי בלבד כבעיה חד־ממדית אשר הפוטנציאל בה הוא הפוטנציאל האפקטיבי.

מערכות גופים

תהא מערכת ובה הגופים $1,2,\dots,n$ . נסמן את הכוח השקול של הכוחות החיצוניים למערכת הפועלים על גוף $i$ כ־ $\vec F_{ie}$ .

המסה הכוללת של המערכת מוגדרת כ־ $M:=\sum_{i=1}^n m_i$ .
מרכז המסה של המערכת מוגדר כ־ $\vec R:=\frac{\sum_{i=1}^n m_i\vec r_i}M$ .
התנע הכולל של המערכת מוגדר כ־ $\vec p:=\sum_{i=1}^n\vec p_i$ . אם המסות קבועות אז הוא שווה ל־ $M\dot\vec R$ .
לפי החוק השלישי של ניוטון $\dot\vec p=\sum_{i=1}^n\vec F_{ie}$ .
חוק שימור התנע: אם שקול הכוחות החיצוניים הוא $\vec 0$ אז $\dot\vec p=\vec 0$ , כלומר התנע הכולל קבוע.

אם התנע קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון).

חוק שימור האנרגיה: אם שקול הכוחות של המערכת הוא כוח משמר אז $\sum_{i=1}^n\Big(E_{ki}+U_i\Big)\equiv\text{const.}$ .

תנע זוויתי

התנע הזוויתי של גוף מוגדר כ־ $\vec L:=\vec r\times\vec p$ .
הטורק/מומנט הפיתול של גוף מוגדר כ־ $\vec\tau:=\vec r\times\vec F=\dot\vec L$ .
חוק שימור התנע הזוויתי: אם שקול הכוחות פועל במקביל ל־ $\vec r$ אז $\vec L\equiv\text{const.}$ .

מכניקה אנליטית

פונקציונלים

פונקציונל: פונקציה $S$ ממרחב פונקציות מסוים $\mathcal B$ לקבוצת סקלרים. בקורס זה נעסוק רק בפונקציונלים מהצורה $S(q)=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q,t\right)\mathrm dt$ כאשר $\mathcal L$ היא הלגראנז׳יאן של הבעיה.
מינימיזציה: נרצה למצוא את הפונקציה $\vec q$ שעבורה $\vec q(t_1)=\vec a\ \and\ \vec q(t_2)=\vec b$ ו־ $S(\vec q)$ מקבל ערך קיצון מקומי, כאשר $\vec q$ דיפרנציאבילית ו־ $\mathcal L$ גזירה חלקית ברציפות. אזי תנאי הכרחי שעליה לקיים הוא שלכל $i$ מתקיימת משוואת אוילר–לגראנז׳: $\frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}=0$ .
תהי $\vec p=\vec p(\vec q)$ התמרת קואורדינטות מ־ $\vec q$ ל־ $\vec p$ . אם $\vec q_0$ מקיימת את משוואת אוילר–לגראנז׳ $\frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}=0$ אזי גם $\vec p_0:=\vec p(\vec q_0)$ מקיימת $\frac{\partial\mathcal L}{\partial p_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot p_i}=0$ .

דוגמאות חשובות

מתנד (אוסצילטור) הרמוני: מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו. המערכת הנ״ל היא דוגמה למערכת כזו.
- קפיץ: נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה במצב רפוי ובנקודה בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני כוח אלסטי כאשר הוא קבוע האלסטיות של הקפיץ ו־ השינוי באורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.
  - אם נניח שלקצה ההשני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־ $x$ וש־ $x(0)=0$ היא נקודת שיווי המשקל (בה הקפיץ רפוי) אזי משוואת הכוחות בציר ה־ $x$ על הגוף תהא $F_x=-kx=m\ddot x$ ולכן $x(t)=A\sin(\omega t+\phi)$ כש־ $m$ מסת הגוף, $\omega=\sqrt\frac km$ , $A$ היא משרעת התנודה. את המשרעת ואת $\phi$ ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה.
    נגדיר את נקודת הייחוס של הקפיץ כנקודת שיווי המשקל. האנרגיה הפוטנציאלית היא $U=-\int_0^x-kx'\mathrm dx'=\frac{kx^2}2$ .
מתיחות: בהנתן חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע מופעל על הקצה השני כוח מתיחות $\vec T=-T\hat\mathbf n$ כאשר $\hat\mathbf n$ וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־ $T$ גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע.
כוח נורמלי: משטח מפעיל כוח נורמלי $\vec N$ על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח.
החוק הרביעי של ניוטון: בהנתן שני גופים 1,2 מפעיל גוף 2 על גוף 1 כוח כבידה משמר .
אם נבחר את האינסוף להיות נקודת הייחוס אז הפוטנציאל הגרביטציוני הוא .
- בקרבתו מפעיל כדה״א כוח הכבידה $-mg\hat\mathbf z$ כאשר $m$ מסת הגוף ו־ $\hat\mathbf z$ וקטור יחידה בכיוון מעלה.
  אם נגדיר את נקודת הייחוס בראשית הצירים אז $U=-\int_0^z-mg\hat\mathbf z\mathrm d\vec r=mgz$ .
כוח מרכזי: כוח שפועל תמיד לכיוון נקודה קבועה במרחב.

התנגשות פלסטית: הגופים $1,2,\dots,n$ נמצמדים זה לזה לאחר התנגשות. המהירות המשותפת לאחר ההתנגשות היא $\frac{\sum_{i=1}^n m_i\vec v_i}M$ אם שקול הכוחות החיצוניים הוא $\vec 0$ .
התנגשות אלסטית: הגופים $1,2$ נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שעל הגופים לא פועלים כוחות חיצוניים ושגודל מהירותם לפני ההתנגשות הוא $v_i$ ואחריה $u_i$ . אזי משימור התנע מקבלים $m_1v_1+m_2v_2=m_1u_1+m_2u_2$ וביחד עם שימור האנרגיה מקבלים $v_1+u_1=v_2+u_2$ . משתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.

@@ שורה 21: / שורה 21: @@
 * '''מכפלה וקטורית:''' <math>\vec u\times\vec v:=\begin{pmatrix}u_yv_z-u_zv_y\\u_zv_x-u_xv_z\\u_xv_y-u_yv_x\end{pmatrix}\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}</math>
 * '''גרדיאנט:''' <math>\nabla f:=\frac{\partial f}{\partial x}\hat\mathbf x+\frac{\partial f}{\partial y}\hat\mathbf y+\frac{\partial f}{\partial z}\hat\mathbf z</math>
-* '''דיברגנץ:''' <math>\nabla\cdot\vec F:=\frac{\mathrm d\vec F_x}{\mathrm dx}+\frac{\mathrm d\vec F_y}{\mathrm dy}+\frac{\mathrm d\vec F_z}{\mathrm dz}</math>
+* '''דיברגנץ:''' <math>\nabla\cdot\vec F:=\frac{\mathrm dF_x}{\mathrm dx}+\frac{\mathrm dF_y}{\mathrm dy}+\frac{\mathrm dF_z}{\mathrm dz}</math>
-* '''רוטור/קרל:''' <math>\nabla\times\vec F=\left(\frac{\partial\vec F_z}{\partial y}-\frac{\partial\vec F_y}{\partial z}\right)\hat\mathbf x+\left(\frac{\partial\vec F_x}{\partial z}-\frac{\partial\vec F_z}{\partial x}\right)\hat\mathbf y+\left(\frac{\partial\vec F_y}{\partial x}-\frac{\partial\vec F_x}{\partial y}\right)\hat\mathbf z</math>
+* '''רוטור/קרל:''' <math>\nabla\times\vec F=\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\hat\mathbf x+\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\hat\mathbf y+\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\hat\mathbf z</math>
 * '''לפלסיאן:''' <math>\nabla^2f:=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>

הבדלים בין גרסאות בדף "תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג"

גרסה מ־15:20, 4 במאי 2013

תוכן עניינים

הקדמה

יחידות

קבועים

תזכורות ונוסחאות

קואורדינטות

קינמטיקה

מכניקה ניוטונית

חוקי התנועה של ניוטון

אנרגיה

מערכות גופים

תנע זוויתי

מכניקה אנליטית

פונקציונלים

דוגמאות חשובות

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים