הבדלים בין גרסאות בדף "תרגול 10 תשעז"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏יחסי שקילות)
 
(18 גרסאות ביניים של 5 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
−
'''הערה:'''
+
חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול|דף מערכי התרגול]].
−
עבור <math>A</math> קבוצה ויחס סדר חלקי <math>\leq</math> עליה. נסמן <math>(A,\leq )</math> t את הקבוצה עם היחס
+
  
 +
==יחסי שקילות==
 +
הגדרה: תהא <math>A</math> קבוצה ו-<math>R</math> יחס עליה. <math>R</math> יקרא '''יחס שקילות''' (יח"ש) אם הוא
 +
#רפלקסיבי
 +
#סימטרי
 +
#טרנזיטיבי
  
−
'''הגדרות.''' יהיו A קבוצה, B קבוצה המוכלת בה וR יחס סדר חלקי:
+
'''סימון מקובל:'''  
−
*חסם מלעיל של B הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(y,x)\in R </math>
+
אם <math>R</math> יחס שקילות מסמנים גם <math>x \sim y</math> עבור <math>(x,y)\in R</math>.
−
*חסם מלרע של B הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(x,y)\in R </math>
+
−
*החסם העליון (סופרמום) של B הינו המינימום של קבוצת חסמי המלעיל (אם קיים). מסומן <math>sup(B)</math>
+
−
*החסם התחתון (אינפימום) של B הינו המקסימום של קבוצת חסמי המלרע (אם קיים). מסומן <math>inf(B)</math>
+
  
−
=== דוגמאות ===
+
וכן נסמן <math>(A,\sim)</math> את הקבוצה עם יחס השקילות.
  
−
'''דוגמא'''
+
====תרגיל====
−
עבור <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> אוסף קבוצות. החסם העליון שלה הוא (ביחס להכלה) הוא
+
−
<math>\cup _{i\in I} A_i </math>
+
  
−
'''דוגמא.'''
+
על <math>\mathbb{R}</math> נגדיר ארבעה יחסים <math>Q,R,S,T</math> באופן הבא: לכל <math>x,y\in \mathbb{R}</math>:
  
−
נביט בקבוצה <math>A=\{1,2,3,4,5\}</math> ונגדיר עליה יחס סדר חלקי:
+
<math>xQy\iff x-y=17</math>
  
−
<math>R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(2,4),(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)\}</math>
+
<math>xRy\iff x-y\in \mathbb{N}\cup \{0\}</math>
  
−
(הזוגיים 'גדולים' מכל אי הזוגיים ומהזוגיים הקטנים מהם)
+
<math>xSy\iff x-y\in 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}</math>.
  
−
נביט בתת הקבוצה המכילה את המספרים האי זוגיים בלבד <math>B=\{1,3,5\}</math>. קבוצת חסמי המלעיל של B הינה <math>\{2,4\}</math>. המינימום של קבוצה זו הוא 2 ולכן הוא החסם העליון של B. אין חסם מלרע ל-B ולכן בוודאי אין לה חסם תחתון.
+
<math>xTy\iff x-y\in \mathbb{Z}</math>.
  
−
'''הגדרה.''' יהי R יחס סדר חלקי על A. אם לכל שני איברים a,b בA מתקיים <math>[(a,b)\in R]\or[(b,a)\in R]</math> אזי R נקרא '''יחס סדר מלא'''.
+
בדקו עבור כל אחד מהם האם הוא יחס שקילות.
  
−
למשל: היחס 'קטן שווה' על השלמים/הממשיים הוא יחס סדר מלא.
+
=====פתרון=====
−
שימו לב כי זו דוגמא ליחס סדר בלי איברים מינימליים או מקסימליים.
+
  
−
===יחסי שקילות===
+
<math>Q</math> לא כיון שלא רפלקסיבי, שהרי לכל <math>x\in \mathbb{R}</math> (ובפרט קיים לפחות אחד) <math>x-x=0\neq 17</math>.
−
הגדרה: תהא A קבוצה ו-R יחס עליה. R יקרה יחס שקילות אם הוא
+
−
#רפלקסיבי
+
−
#סימטרי
+
−
#טרנזיטיבי
+
  
−
'''סימון מקובל:'''
+
<math>R</math> אמנם רפלקסיבי, אך לא סימטרי.
  
−
אם R יחס שקילות מסמנים גם <math>x \sim y</math> עבור <math>(x,y)\in R</math>
+
<math>S</math> לא טרנזיטיבי: <math>2S6\land 6S3</math> אבל לא נכון ש-<math>2S3</math>.
  
−
דוגמא נוספת:
+
<math>T</math> כן יחס שקילות:
  
−
נגדיר יחס שקילות R על <math>\mathbb{Z}</math> ע"י  <math>3|(x-y) \Leftrightarrow xRy</math>
+
רפלקסיביות: יהי <math>x\in \mathbb{R}</math>, אז <math>x-x=0\in \mathbb{Z}</math>.
  
−
טענה: R אכן יחס שקילות
+
סימטריות: <math>xTy\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z} :x-y=a \Rightarrow y-x=-a\in \mathbb{Z} \Rightarrow yTx</math>.
  
−
הוכחה:
+
טרנזיטיביות: <math>xTy\land yTz\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z}: x-y=a \land \exists b\in \mathbb{Z}: y-z=b\\ \Rightarrow x-z=x-y+y-z=a+b\in \mathbb{Z}</math>.
  
−
1. רפלקסיביות - נניח <math>\forall x\in \mathbb{Z}:3|0=x-x</math> לכן <math>xRx</math>
+
===מחלקות שקילות וחלוקה===
  
−
2. סימטריות - נניח <math>(x,y)\in R</math> אזי <math>3|(x-y)</math> ולכן גם <math>3|(y-x)=-(x-y)</math>
+
הגדרה: תהא <math>A</math> קבוצה. '''חלוקה''' של <math>A</math> היא אוסף של תת קבוצות זרות של <math>A</math> המכסות את <math>A</math>. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות <math>\{A_i\}_{i\in I}</math>
 +
כך שמתקיים:
 +
* <math>\forall i\in I: A_i \neq \varnothing </math>.
 +
* <math>\bigcup _{i\in I} A_i =A </math> כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה.
 +
* הקבוצות <math>A_i</math> הן '''זרות בזוגות'''. כלומר החיתוך בין כל שתי תת קבוצות הוא ריק (<math>\forall i\ne j\in I : A_i\cap A_j = \varnothing</math>).
  
−
3. טרנזיטיביות - נניח <math>[(x,y)\in R] \and [(y,z)\in R]</math> אזי <math>3|(x-y)\and 3|(y-z) </math> 
+
הגדרה:
−
ולכן גם <math>3|(z-x)=(z-y)+(y-x)</math>
+
  
−
הגדרה: תהא A קבוצה. '''חלוקה''' של A היא חלוקה של A לקבוצות זרות. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות <math>\{A_i\}_{i\in I}</math>
+
יהא <math>R</math> יחס שקילות על <math>A</math> אזי
−
כך ש:
+
−
* <math>\forall i\in I: A_i \neq \emptyset </math>
+
−
* <math>\cup _{i\in I} A_i =A </math> כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה 
+
−
* הקבוצות <math>A_i</math> הן '''זרות''' זו לו = החיתוך בין כל שתי תתי קבוצות הוא ריק (<math>\forall i\not= j\in I : A_i\cap A_j = \phi </math>)
+
  
−
הגדרה:
+
# לכל <math>x\in A</math> מוגדרת '''מחלקת השקילות של <math>x</math>''' להיות  <math>\bar{x}=[x]_R:=\{y\in A | (x,y)\in R\}</math>.
 +
# ''' קבוצת המנה ''' מוגדרת <math>A/R := \{ [x]_R | x\in A\} </math>.
  
−
יהא R יחס שקילות על A  אזי
 
  
−
# לכל <math>x\in A</math> מוגדרת '''מחלקת השקילות של x ''' להיות  <math>\bar{x}=[x]_R:=\{y\in A | (x,y)\in R\} </math>
+
'''משפט''': יהא <math>R</math> יחס שקילות על <math>A</math> אזי
−
# ''' קבוצת המנה ''' מוגדרת <math>A/R := \{ [x]_R | x\in A\} </math>
+
# לכל <math>x,y\in A</math> מתקיים <math>[x]=[y]</math> או <math>[x]\cap [y] =\varnothing </math> (כלומר מחלקות השקילות זרות).
 +
# <math>A=\bigcup_{[x]\in A/R}[x]</math> (כלומר איחוד מחלקות השקילות הוא כל <math>A</math>).
 +
הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של <math>A</math>.
  
  
−
למשל, בדוגמא הראשונה <math>A_1,A_2,A_3</math> הן מחלקות השקילות. קבוצת המנה היא <math>A/R=\{A_1,A_2,A_3\}</math>
+
מסקנה:
 +
תהא <math>A</math> קבוצה אזי יש התאמה {<math>R</math> יחס שקילות על <math>A</math>}
 +
<math>\leftrightarrow</math> {חלוקות של <math>A</math>}.
  
−
בדוגמא השניה מחלקת השקילות של 0 היא <math>[0]_R=\{ 0 \pm 3 \pm 6 \dots \}</math> וקבוצת המנה היא
+
חידוד: מהותו העיקרית של יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים (כמו שיוויון) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת.
−
<math>\mathbb{Z}/R= \{[0]_R,[1]_R,[2]_R\}</math> (כלומר כל השאריות האפשריות בחלוקה ב-3).
+
  
 +
====תרגיל====
 +
ראינו לעיל יחס <math>T\subseteq \mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> והראינו שהוא יחס שקילות. הוכיחו:
  
−
משפט: יהא R יחס שקילות על A אזי
+
א. <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}\Rightarrow [x]_T\subseteq \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math>.
−
# לכל <math>x,y\in A</math> מתקיים <math>[x]=[y]</math> או <math>[x]\cap [y] =\phi </math> (כלומר מחלקות השקילות זרות)
+
−
# <math>A=\bigcup_{[x]\in A/R}[x]</math> כלומר (איחוד מחלקות השקילות תתן את כל A)
+
−
הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של A
+
  
 +
ב. אם <math>x,y\in [0,1)</math> שונים אז <math>[x]_T\neq [y]_T</math>.
  
−
מסקנה:
+
ג. <math>\forall x\in \mathbb{R} \exists y\in [0,1): [x]_T=[y]_T</math>.
−
תהא A קבוצה אזי יש התאמה {<math>R</math> יחס שקילות על A }  
+
−
<math>\leftrightarrow</math> {חלוקות של A}
+
  
−
חידוד: מהותו העיקרית של יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים (כמו שיוויון) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת.
+
=====פתרון=====
 +
א.נוכיח בשלילה: יהי <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math> ונניח בשלילה שקיים <math>q\in \mathbb{Q}\cap [x]_T</math>. נקבל שקיים <math>a\in \mathbb{Z}</math> כך ש <math>x-q=a</math> ולכן <math>x=a+q\in \mathbb{Q}</math> בסתירה (סגירות הרציונאליים).
 +
 
 +
ב. בהינתן כל <math>x>y</math> ולכן <math>x-y>0</math> ומאידך, כיון ששניהם בין 0 ל-1 נקבל <math>x-y<1</math>, ולכן ההפרש בהכרח לא שלם, ולכן הם לא שקולים.
 +
 
 +
ג. כל מספר כשמחסרים ממנו את הערך השלם התחתון שלו מקבלים משהו בין 0 ל-1, והם שקולים כי ההפרש הוא הערך השלם התחתון, שהוא, מהגדרתו, מספר שלם.
 +
 
 +
====תרגיל====
 +
 
 +
על <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> נגדיר יחס <math>\sim</math> לפי זה שלכל <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math>:
 +
 
 +
<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2</math>.
 +
 
 +
קל לראות שזהו יחס שקילות. מהי, מבחינה גיאומטרית מחלקת השקילות של <math>(0,1)</math>? ומהי, מבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה?
 +
 
 +
=====פתרון=====
 +
 
 +
מעגל עם רדיוס 1 מסביב לראשית. קבוצת המנה - אוסף המעגלים מסביב לראשית.

גרסה אחרונה מ־14:35, 16 ביולי 2019

חזרה לדף מערכי התרגול.

יחסי שקילות

הגדרה: תהא A קבוצה ו-R יחס עליה. R יקרא יחס שקילות (יח"ש) אם הוא

  1. רפלקסיבי
  2. סימטרי
  3. טרנזיטיבי

סימון מקובל: אם R יחס שקילות מסמנים גם x \sim y עבור (x,y)\in R.

וכן נסמן (A,\sim) את הקבוצה עם יחס השקילות.

תרגיל

על \mathbb{R} נגדיר ארבעה יחסים Q,R,S,T באופן הבא: לכל x,y\in \mathbb{R}:

xQy\iff x-y=17

xRy\iff x-y\in \mathbb{N}\cup \{0\}

xSy\iff x-y\in 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}.

xTy\iff x-y\in \mathbb{Z}.

בדקו עבור כל אחד מהם האם הוא יחס שקילות.

פתרון

Q לא כיון שלא רפלקסיבי, שהרי לכל x\in \mathbb{R} (ובפרט קיים לפחות אחד) x-x=0\neq 17.

R אמנם רפלקסיבי, אך לא סימטרי.

S לא טרנזיטיבי: 2S6\land 6S3 אבל לא נכון ש-2S3.

T כן יחס שקילות:

רפלקסיביות: יהי x\in \mathbb{R}, אז x-x=0\in \mathbb{Z}.

סימטריות: xTy\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z} :x-y=a \Rightarrow y-x=-a\in \mathbb{Z} \Rightarrow yTx.

טרנזיטיביות: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): xTy\land yTz\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z}: x-y=a \land \exists b\in \mathbb{Z}: y-z=b\\ \Rightarrow x-z=x-y+y-z=a+b\in \mathbb{Z} .

מחלקות שקילות וחלוקה

הגדרה: תהא A קבוצה. חלוקה של A היא אוסף של תת קבוצות זרות של A המכסות את A. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות \{A_i\}_{i\in I} כך שמתקיים:

  • \forall i\in I: A_i \neq \varnothing .
  • \bigcup _{i\in I} A_i =A כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה.
  • הקבוצות A_i הן זרות בזוגות. כלומר החיתוך בין כל שתי תת קבוצות הוא ריק (\forall i\ne j\in I : A_i\cap A_j = \varnothing).

הגדרה:

יהא R יחס שקילות על A אזי

  1. לכל x\in A מוגדרת מחלקת השקילות של x להיות \bar{x}=[x]_R:=\{y\in A | (x,y)\in R\}.
  2. קבוצת המנה מוגדרת A/R := \{ [x]_R | x\in A\} .


משפט: יהא R יחס שקילות על A אזי

  1. לכל x,y\in A מתקיים [x]=[y] או [x]\cap [y] =\varnothing (כלומר מחלקות השקילות זרות).
  2. A=\bigcup_{[x]\in A/R}[x] (כלומר איחוד מחלקות השקילות הוא כל A).

הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של A.


מסקנה: תהא A קבוצה אזי יש התאמה {R יחס שקילות על A} \leftrightarrow {חלוקות של A}.

חידוד: מהותו העיקרית של יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים (כמו שיוויון) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת.

תרגיל

ראינו לעיל יחס T\subseteq \mathbb{R}\times \mathbb{R} והראינו שהוא יחס שקילות. הוכיחו:

א. x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}\Rightarrow [x]_T\subseteq \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}.

ב. אם x,y\in [0,1) שונים אז [x]_T\neq [y]_T.

ג. \forall x\in \mathbb{R} \exists y\in [0,1): [x]_T=[y]_T.

פתרון

א.נוכיח בשלילה: יהי x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q} ונניח בשלילה שקיים q\in \mathbb{Q}\cap [x]_T. נקבל שקיים a\in \mathbb{Z} כך ש x-q=a ולכן x=a+q\in \mathbb{Q} בסתירה (סגירות הרציונאליים).

ב. בהינתן כל x>y ולכן x-y>0 ומאידך, כיון ששניהם בין 0 ל-1 נקבל x-y<1, ולכן ההפרש בהכרח לא שלם, ולכן הם לא שקולים.

ג. כל מספר כשמחסרים ממנו את הערך השלם התחתון שלו מקבלים משהו בין 0 ל-1, והם שקולים כי ההפרש הוא הערך השלם התחתון, שהוא, מהגדרתו, מספר שלם.

תרגיל

על \mathbb{R}\times \mathbb{R} נגדיר יחס \sim לפי זה שלכל (x_1,y_1),(x_2,y_2):

(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2.

קל לראות שזהו יחס שקילות. מהי, מבחינה גיאומטרית מחלקת השקילות של (0,1)? ומהי, מבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה?

פתרון

מעגל עם רדיוס 1 מסביב לראשית. קבוצת המנה - אוסף המעגלים מסביב לראשית.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=תרגול_10_תשעז&oldid=81807