תרגול 10 תשעז

הגדרות. יהיו A קבוצה, B קבוצה המוכלת בה וR יחס סדר חלקי:

• חסם מלעיל של B הוא איבר $x\in A$ כך שמתקיים $\forall y\in B:(y,x)\in R$
• חסם מלרע של B הוא איבר $x\in A$ כך שמתקיים $\forall y\in B:(x,y)\in R$
• החסם העליון (סופרמום) של B הינו המינימום של קבוצת חסמי המלעיל (אם קיים). מסומן $sup(B)$
• החסם התחתון (אינפימום) של B הינו המקסימום של קבוצת חסמי המלרע (אם קיים). מסומן $inf(B)$

דוגמאות

דוגמא. נביט בקבוצת הטבעיים, ובתת קבוצה סופית שלה B. נביט ביחס "מחלק את". הסופרמום של B הוא המכפלה המשותפת המינימלית (lcm), והאינפימום הוא המחלק המשותף המקסימלי(gcd).

למשל $sup\{12,33,10\}=lcm(12,33,10)=3\cdot 4 \cdot 11 \cdot 5, inf\{12,33,10\}=gcd(12,33,10)=1$

דוגמא עבור $\{A_i\}_{i\in I}$ אוסף קבוצות. החסם העליון שלה הוא (ביחס להכלה) הוא $\cup _{i\in I} A_i$

דוגמא.

נביט בקבוצה $A=\{1,2,3,4,5\}$ ונגדיר עליה יחס סדר חלקי:

$R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(2,4),(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)\}$

(הזוגיים 'גדולים' מכל אי הזוגיים ומהזוגיים הקטנים מהם)

נביט בתת הקבוצה המכילה את המספרים האי זוגיים בלבד $B=\{1,3,5\}$. קבוצת חסמי המלעיל של B הינה $\{2,4\}$. המינימום של קבוצה זו הוא 2 ולכן הוא החסם העליון של B. אין חסם מלרע ל-B ולכן בוודאי אין לה חסם תחתון.

הגדרה. יהי R יחס סדר חלקי על A. אם לכל שני איברים a,b בA מתקיים $[(a,b)\in R]\or[(b,a)\in R]$ אזי R נקרא יחס סדר מלא.

למשל: היחס 'קטן שווה' על השלמים/הממשיים הוא יחס סדר מלא. שימו לב כי זו דוגמא ליחס סדר בלי איברים מינימליים או מקסימליים.

יחסי שקילות

הגדרה: תהא A קבוצה ו-R יחס עליה. R יקרה יחס שקילות אם הוא

1. רפלקסיבי
2. סימטרי
3. טרנזיטיבי

סימון מקובל:

אם R יחס שקילות מסמנים גם $x \sim y$ עבור $(x,y)\in R$

דוגמא: תהא $A=\{1,2,3,4,5,6\}$. נגדיר תת הקבוצות $A_1=\{1,3\},A_2=\{2,4,5\},A_3=\{6\}$

נגדיר יחס R על A כך $\exist 1\leq i \leq 3 : x,y\in A_i \Leftrightarrow xRy$

טענה R יחס שקילות

הוכחה:

1. רפלקסיביות - נניח $x\in A$ לכן x שייך ל $A_i$ עבור i מסוים (שכן האיחוד שלהן שווה לA) ולכן $(x,x)\in R$.

2. סימטריות - נניח $(x,y)\in R$ אזי $x,y\in A_i$ עבור i מסוים, מכיוון שאין משמעות לסדר שייכות לקבוצה, נובע שגם $(y,x)\in R$.

3. טרנזיטיביות - נניח $[(x,y)\in R] \and [(y,z)\in R]$ אזי קיימים i,j כך ש $x,y\in Aֹ_i$ וגם $y,z\in A_j$. לכן $y\in A_i\cap A_j$. מכיוון שהחיתוך בין תתי הקבוצות הוא ריק מוכרח להיות ש$A_i=A_j$ ולכן $x,y,z\in A_i$ ולכן $(x,z)\in R$ כפי שרצינו.

הגדרה: תהא A קבוצה. חלוקה של A היא חלוקה של A לקבוצות זרות. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות $\{A_i\}_{i\in I}$ כך ש:

• $\forall i\in I: A_i \neq \emptyset$
• $\cup _{i\in I} A_i =A$ כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה
• הקבוצות $A_i$ הן זרות זו לו = החיתוך בין כל שתי תתי קבוצות הוא ריק ($\forall i\not= j\in I : A_i\cap A_j = \phi$)

כפי שראינו בדוגמה הקודמת חלוקה של A מגדירה יחס שקילות (אמנם זה "רק" דוגמא אבל ניתן להוכיח את המקרה הכללי באותו אופן).

דוגמא נוספת:

נגדיר יחס שקילות R על $\mathbb{Z}$ ע"י $3|(x-y) \Leftrightarrow xRy$

טענה: R אכן יחס שקילות

הוכחה:

1. רפלקסיביות - נניח $\forall x\in \mathbb{Z}:3|0=x-x$ לכן $xRx$

2. סימטריות - נניח $(x,y)\in R$ אזי $3|(x-y)$ ולכן גם $3|(y-x)=-(x-y)$

3. טרנזיטיביות - נניח $[(x,y)\in R] \and [(y,z)\in R]$ אזי $3|(x-y)\and 3|(y-z)$ ולכן גם $3|(z-x)=(z-y)+(y-x)$

הגדרה:

יהא R יחס שקילות על A אזי

1. לכל $x\in A$ מוגדרת מחלקת השקילות של x להיות $\bar{x}=[x]_R:=\{y\in A | (x,y)\in R\}$
2. קבוצת המנה מוגדרת $A/R := \{ [x]_R | x\in A\}$

למשל, בדוגמא הראשונה $A_1,A_2,A_3$ הן מחלקות השקילות. קבוצת המנה היא $A/R=\{A_1,A_2,A_3\}$

בדוגמא השניה מחלקת השקילות של 0 היא $[0]_R=\{ 0 \pm 3 \pm 6 \dots \}$ וקבוצת המנה היא $\mathbb{Z}/R= \{[0]_R,[1]_R,[2]_R\}$ (כלומר כל השאריות האפשריות בחלוקה ב-3).

משפט: יהא R יחס שקילות על A אזי

1. לכל $x,y\in A$ מתקיים $[x]=[y]$ או $[x]\cap [y] =\phi$ (כלומר מחלקות השקילות זרות)
2. $A=\bigcup_{[x]\in A/R}[x]$ כלומר (איחוד מחלקות השקילות תתן את כל A)

הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של A

מסקנה: תהא A קבוצה אזי יש התאמה {$R$ יחס שקילות על A } $\leftrightarrow$ {חלוקות של A}

חידוד: מהותו העיקרית של יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים (כמו שיוויון) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת.