הבדלים בין גרסאות בדף "תרגול 13 תשעז"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "==איזומורפיזמים בין קס"חים== '''תרגיל''' האם <math>(\mathbb{R} ,\leq ) \cong (\mathbb{R} ^+,\leq )</math>? '''פתרון''' כן....")
 
(←‏הכנה למבחן)
שורה 38: שורה 38:
 
א. לא נכון. למשל ניקח שתי פונקציות קבועות שונות.
 
א. לא נכון. למשל ניקח שתי פונקציות קבועות שונות.
  
−
ב. לא. נניח בשלילה שיש <math>f</math> כזו. אז היא מתאימה לכל פונקציה קבועה <math>f(x)=a</math>, ולכן לכל <math>x_1\in \mathbb {R}</math> צריך להתקיים <math>f(x_1)\leq a\forall a\in \mathbb {R}</math>, וזה לא יכול להיות.
+
ב. לא. נניח בשלילה שיש <math>f</math> כזו. אז היא מתאימה לכל פונקציה קבועה <math>f(x)=a</math>, ולכן לכל <math>x_1\in \mathbb {R}</math> צריך להתקיים <math>f(x_1)\leq a,\forall a\in \mathbb {R}</math>, וזה לא יכול להיות.
  
 
ג. נכון, למשל <math>e^x</math>. כי תהי <math>f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb{R}</math> פונקציה ויהי <math>x_1\in \mathbb {R}</math> אזי מתקיים <math>f(x_1)\leq e^{f(x_1)}</math>.
 
ג. נכון, למשל <math>e^x</math>. כי תהי <math>f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb{R}</math> פונקציה ויהי <math>x_1\in \mathbb {R}</math> אזי מתקיים <math>f(x_1)\leq e^{f(x_1)}</math>.
  
 
ד. לא הפונקציות <math>\sin (x),\cos (x)</math> שונות ומאימות אחת לשניה. כלומר זה יחס שאיננו אנטי סימטרי.
 
ד. לא הפונקציות <math>\sin (x),\cos (x)</math> שונות ומאימות אחת לשניה. כלומר זה יחס שאיננו אנטי סימטרי.

גרסה מ־09:09, 27 ביוני 2017

איזומורפיזמים בין קס"חים

תרגיל

האם (\mathbb{R} ,\leq ) \cong (\mathbb{R} ^+,\leq )?

פתרון

כן. נוכל להגדיר f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^+ ע"י f(x)=e^x, והיא כמובן חח"ע ועל ושומרת סדר.

תרגיל

תהיינה A,B,C קס"ח כך ש A\cong B\land B\cong C. הוכח או הפרך: A\cong C.

פתרון

הוכחה: יש פונקציות חח"ע, על ושומרות סדר f:A\rightarrow B,g:B\rightarrow C, ההרכבה שלהן g\circ f היא חח"ע ועל (משפט) והיא גם שומרת סדר.

עוצמות

בעבר ראינו את התרגיל הבא: תהא B\subseteq A קבוצה ותת קבוצה. נגדיר יחס \sim \subseteq P(A)\times P(A) ע"י C\sim D\iff C\cap B=D\cap B. ראינו שזהו יחס שקילות ונדרשנו למצוא את |P(A)/\sim |. וראינו: |P(A)/\sim |=|P(B)|=2^{|B|}. נשים לב שמה שעשינו אז היה בעצם להראו שיש פונקציה חח"ע ועל בין הקבוצות, והיא f:P(B) \rightarrow P(A)/\sim המוגדרת ע"י f(C)=[C]. היא חח"ע כי לכל שתי קבוצות שונות מ-B יש מחלקות שקילות שונות כי הן אינן שקולות (החיתוך שלהן עם B זה הן עצמן, והן שונות). היא על, כי כפי שראינו לכל [C]\in P(A)/\sim מתקיים ש- C\cap B\sim C\land C\cap B\in B, ולכן C\cap B היא המקור. לכן יש להן אותה עוצמה.

הכנה למבחן

תרגיל

תהיינה f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} פונקציות. נאמר שf מתאימה לg אם לכל x_1\in \mathbb{R} קיים x_2\in \mathbb{R} כך ש f(x_1)\leq g(x_2). הוכח או הפרך:

א. אם f מתאימה לg אז גם g מתאימה לf.

ב. קיימת פונקציה f המתאימה לכל פונקציה g.

ג. קיימת פונקציה f שכל פונקציה g מתאימה לה.

ד. האם זהו יחס סדר חלקי?

פתרון

א. לא נכון. למשל ניקח שתי פונקציות קבועות שונות.

ב. לא. נניח בשלילה שיש f כזו. אז היא מתאימה לכל פונקציה קבועה f(x)=a, ולכן לכל x_1\in \mathbb {R} צריך להתקיים f(x_1)\leq a,\forall a\in \mathbb {R}, וזה לא יכול להיות.

ג. נכון, למשל e^x. כי תהי f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb{R} פונקציה ויהי x_1\in \mathbb {R} אזי מתקיים f(x_1)\leq e^{f(x_1)}.

ד. לא הפונקציות \sin (x),\cos (x) שונות ומאימות אחת לשניה. כלומר זה יחס שאיננו אנטי סימטרי.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=תרגול_13_תשעז&oldid=71987