הבדלים בין גרסאות בדף "תרגול 8 תשעז"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "=יחסים= הגדרה: '''המכפלה הקרטזית''' של שתי קבוצות A וB הינה אוסף כל ה'''זוגות הסדורים''' - <math>A\time...")
 
שורה 6: שורה 6:
 
דוגמא: <math>A=\{1,2,3\}</math> ו<math>B=\{a,b\}</math> אזי מתקיים <math>A\times B =\{(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b)\}</math>
 
דוגמא: <math>A=\{1,2,3\}</math> ו<math>B=\{a,b\}</math> אזי מתקיים <math>A\times B =\{(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b)\}</math>
  
−
 
−
ניתן להגדיר זוגות סדורים באמצעות הגדרת הקבוצות בלבד, כפי שנראה בתרגיל הבא:
 
  
 
===תרגיל===
 
===תרגיל===
−
הוכח/הפרך:
+
הוכח שלכל קבוצות A,B,C,D מתקיים <math>(A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D)</math>
−
 
+
−
1. <math>[(a=c)\and(b=d)]\iff \{\{a\},b\}=\{\{c\},d\}</math>
+
−
 
+
−
2. <math>[(a=c)\and(b=d)]\iff \{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}</math>
+
  
 
====פתרון====
 
====פתרון====
−
 
+
<math>(x,y)\in (A\times B)\cap (C\times D) \iff (x,y)\in A\times B \land (x,y)\in C\times D \iff (x\in A \and y\in B) \and (x\in C\and y\in D) \iff (x\in A\and x\in C) \and (y\in B\and y\in D) \iff (x,y)\in (A\cap C)\times (B\cap D)</math>
−
1. הפרכה ע"י הדוגמא הנגדית <math>a=2,b=\{3\},c=3,d=\{2\}</math>
+
−
 
+
−
 
+
−
2.
+
−
 
+
−
הוכחה: הכיוון משמאל לימין הוא ברור. מימין לשמאל, נניח והקבוצות שוות אזי <math>\{a\}=\{c\}</math> או ש <math>\{a\}=\{c,d\}</math>.
+
−
 
+
−
במקרה הראשון, נובע a=c ובמקרה השני נובע a=c=d, כך או כך a=c. כעת, <math>\{a,b\}=\{c,b\}=\{c\}</math> או <math>\{c,b\}=\{c,d\}</math> ונובע משניהם ש b=d.
+
−
 
+
−
 
+
−
לכן, ניתן להגדיר זוג סדור על ידי קבוצות בלבד (באופן דומה לכך שכל המתמטיקה פחות או יותר נבנת על קבוצות בלבד).
+
−
 
+
−
 
+
−
===תרגיל===
+
−
הוכח שלכל קבוצות A,B,C מתקיים <math>A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C)</math>
+
−
 
+
−
====פתרון====
+
−
<math>(x,y)\in A\times(B\cap C) \iff (x\in A) \and [(y\in B)\and (y\in C)] \iff [(x\in A)\and(y\in B)] \and [(x\in A)\and(y\in C)] \iff (x,y)\in[(A\times B)\cap(A\times C)]</math>
+
  
 
==יחסים כתת קבוצה של הזוגות הסדורים==
 
==יחסים כתת קבוצה של הזוגות הסדורים==
שורה 46: שורה 22:
 
הערה: יחס לא חייב לייצג חוקיות מסוימת למשל גם הקבוצה <math>S=\{(1,2),(1,6),(2,0),(2,2)\}</math> היא יחס. גם <math>\emptyset</math> היא יחס. וגם <math>A\times B</math> הוא יחס.
 
הערה: יחס לא חייב לייצג חוקיות מסוימת למשל גם הקבוצה <math>S=\{(1,2),(1,6),(2,0),(2,2)\}</math> היא יחס. גם <math>\emptyset</math> היא יחס. וגם <math>A\times B</math> הוא יחס.
  
−
סימון: אם זוג מסוים, (a,b), נמצא בקבוצת היחס R נהוג לסמן aRb. (אם יש משמעות ליחס כמו לעיל ניתן גם לסמן פשוט <math>a\leq b</math>.
+
סימון: אם זוג מסוים, (a,b), נמצא בקבוצת היחס R נהוג לסמן aRb, או <math>(a,b)\in R</math>. (אם יש משמעות ליחס כמו לעיל ניתן גם לסמן פשוט <math>a\leq b</math>.
  
  
שורה 53: שורה 29:
 
הגדרה: בהינתן יחס <math>R\subseteq A\times B</math> '''היחס ההפוך''' <math>R^{-1}\subseteq B\times A</math> הוא היחס המוגדר ע"י היפוך הזוגות הסדורים:
 
הגדרה: בהינתן יחס <math>R\subseteq A\times B</math> '''היחס ההפוך''' <math>R^{-1}\subseteq B\times A</math> הוא היחס המוגדר ע"י היפוך הזוגות הסדורים:
 
<math>R^{-1}=\{(b,a):aRb\}</math>
 
<math>R^{-1}=\{(b,a):aRb\}</math>
 +
 +
הגדרה: תהי קבוצה A. '''יחס הזהות''' הוא <math>R\subseteq A\times A</math> כך ש: <math>I_A=R=\{(a,a):a\in A\}</math>.
 +
 +
הגדרה: יהיו A,B,C קבוצות, ו<math>R\subseteq A\times B, S\subseteq B\times C</math> '''היחס ההרכבה/הכפל''' הוא היחס: <math>S\circ R=\{(a,c)\in A\times C | \exists b\in B : (a,b)\in R \land (b,c)\in S\}</math>
 +
 +
===תרגיל===
 +
יהיו <math>A=\{1,2\}, B=\{3,4,5\}</math>. נגדיר את היחס: <math>R=\{(1,3),(2,4)\}</math>. בדוק האם:
 +
 +
א. <math>R^{-1}\circ R=I_A</math>
 +
 +
ב. <math>R\circ R^{-1}=I_B</math>

גרסה מ־11:50, 1 בינואר 2017

יחסים

הגדרה: המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות A וB הינה אוסף כל הזוגות הסדורים - A\times B = \{(a,b)|a\in A \and b\in B\}. ההבדל בין זוג סדור לבין קבוצה המכילה זוג איברים היא שהאיברים יכולים להיות שווים בזוג סדור, והסדר שלהם מהותי. כלומר שני האיברים הבאים שונים (1,2),(2,1) והאיבר הבא הינו זוג חוקי (1,1).

ניתן להכליל את ההגדרה לעיל לn-יה סדורה - כלומר n איברים מסודרים.

דוגמא: A=\{1,2,3\} וB=\{a,b\} אזי מתקיים A\times B =\{(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b)\}


תרגיל

הוכח שלכל קבוצות A,B,C,D מתקיים (A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D)

פתרון

(x,y)\in (A\times B)\cap (C\times D) \iff (x,y)\in A\times B \land (x,y)\in C\times D \iff (x\in A \and y\in B) \and (x\in C\and y\in D) \iff (x\in A\and x\in C) \and (y\in B\and y\in D) \iff (x,y)\in (A\cap C)\times (B\cap D)

יחסים כתת קבוצה של הזוגות הסדורים

הגדרה: יהיו A,B קבוצות, R\subseteq A\times B אזי R יקרא יחס (בין A ל -B). הרעיון שעומד בבסיסו של יחס הוא האפשרות "להשוות" בין איברי A ל B דוגמא: A=\{1,2,3\},B=\{0,2,6\} ונביט בתת הקבוצה R\subseteq A\times B הבאה: R=\{(1,2),(1,6),(2,2),(2,6),(3,6)\}. מה מיוחד בזוגות אלה?

זוגות אלה הינן כל זוגות האיברים (a,b) כך ש a\leq b. (כלומר הגדרנו את היחס המייצג "קטן שווה")

הערה: יחס לא חייב לייצג חוקיות מסוימת למשל גם הקבוצה S=\{(1,2),(1,6),(2,0),(2,2)\} היא יחס. גם \emptyset היא יחס. וגם A\times B הוא יחס.

סימון: אם זוג מסוים, (a,b), נמצא בקבוצת היחס R נהוג לסמן aRb, או (a,b)\in R. (אם יש משמעות ליחס כמו לעיל ניתן גם לסמן פשוט a\leq b.


דוגמא: נביט בקבוצת האנשים A. נגדיר את יחס "בן של" על ידי קבוצת הזוגות הסדורים R\subseteq A\times A כך ש (x,y)\in R אם"ם x הוא בן של y. שימו לב שיש משמעות לכיוון היחס, שכן יש הבדל בין העובדה שאני הבן של מישהו לבין העובדה שהוא הבן שלי.

הגדרה: בהינתן יחס R\subseteq A\times B היחס ההפוך R^{-1}\subseteq B\times A הוא היחס המוגדר ע"י היפוך הזוגות הסדורים: R^{-1}=\{(b,a):aRb\}

הגדרה: תהי קבוצה A. יחס הזהות הוא R\subseteq A\times A כך ש: I_A=R=\{(a,a):a\in A\}.

הגדרה: יהיו A,B,C קבוצות, וR\subseteq A\times B, S\subseteq B\times C היחס ההרכבה/הכפל הוא היחס: S\circ R=\{(a,c)\in A\times C | \exists b\in B : (a,b)\in R \land (b,c)\in S\}

תרגיל

יהיו A=\{1,2\}, B=\{3,4,5\}. נגדיר את היחס: R=\{(1,3),(2,4)\}. בדוק האם:

א. R^{-1}\circ R=I_A

ב. R\circ R^{-1}=I_B

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=תרגול_8_תשעז&oldid=69513