תרגול 8 תשעז

יחסים

הגדרה: המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות A וB הינה אוסף כל הזוגות הסדורים - $A\times B = \{(a,b)|a\in A \and b\in B\}$. ההבדל בין זוג סדור לבין קבוצה המכילה זוג איברים היא שהאיברים יכולים להיות שווים בזוג סדור, והסדר שלהם מהותי. כלומר שני האיברים הבאים שונים $(1,2),(2,1)$ והאיבר הבא הינו זוג חוקי $(1,1)$.

ניתן להכליל את ההגדרה לעיל לn-יה סדורה - כלומר n איברים מסודרים.

דוגמא: $A=\{1,2,3\}$ ו$B=\{a,b\}$ אזי מתקיים $A\times B =\{(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b)\}$

ניתן להגדיר זוגות סדורים באמצעות הגדרת הקבוצות בלבד, כפי שנראה בתרגיל הבא:

תרגיל

הוכח/הפרך:

1. $[(a=c)\and(b=d)]\iff \{\{a\},b\}=\{\{c\},d\}$

2. $[(a=c)\and(b=d)]\iff \{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}$

פתרון

1. הפרכה ע"י הדוגמא הנגדית $a=2,b=\{3\},c=3,d=\{2\}$

2.

הוכחה: הכיוון משמאל לימין הוא ברור. מימין לשמאל, נניח והקבוצות שוות אזי $\{a\}=\{c\}$ או ש $\{a\}=\{c,d\}$.

במקרה הראשון, נובע a=c ובמקרה השני נובע a=c=d, כך או כך a=c. כעת, $\{a,b\}=\{c,b\}=\{c\}$ או $\{c,b\}=\{c,d\}$ ונובע משניהם ש b=d.

לכן, ניתן להגדיר זוג סדור על ידי קבוצות בלבד (באופן דומה לכך שכל המתמטיקה פחות או יותר נבנת על קבוצות בלבד).

תרגיל

הוכח שלכל קבוצות A,B,C מתקיים $A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C)$

פתרון

$(x,y)\in A\times(B\cap C) \iff (x\in A) \and [(y\in B)\and (y\in C)] \iff [(x\in A)\and(y\in B)] \and [(x\in A)\and(y\in C)] \iff (x,y)\in[(A\times B)\cap(A\times C)]$

יחסים כתת קבוצה של הזוגות הסדורים

הגדרה: יהיו A,B קבוצות, $R\subseteq A\times B$ אזי R יקרא יחס (בין A ל -B). הרעיון שעומד בבסיסו של יחס הוא האפשרות "להשוות" בין איברי A ל B דוגמא: $A=\{1,2,3\},B=\{0,2,6\}$ ונביט בתת הקבוצה $R\subseteq A\times B$ הבאה: $R=\{(1,2),(1,6),(2,2),(2,6),(3,6)\}$. מה מיוחד בזוגות אלה?

זוגות אלה הינן כל זוגות האיברים (a,b) כך ש $a\leq b$. (כלומר הגדרנו את היחס המייצג "קטן שווה")

הערה: יחס לא חייב לייצג חוקיות מסוימת למשל גם הקבוצה $S=\{(1,2),(1,6),(2,0),(2,2)\}$ היא יחס. גם $\emptyset$ היא יחס. וגם $A\times B$ הוא יחס.

סימון: אם זוג מסוים, (a,b), נמצא בקבוצת היחס R נהוג לסמן aRb. (אם יש משמעות ליחס כמו לעיל ניתן גם לסמן פשוט $a\leq b$.

דוגמא: נביט בקבוצת האנשים A. נגדיר את יחס "בן של" על ידי קבוצת הזוגות הסדורים $R\subseteq A\times A$ כך ש $(x,y)\in R$ אם"ם x הוא בן של y. שימו לב שיש משמעות לכיוון היחס, שכן יש הבדל בין העובדה שאני הבן של מישהו לבין העובדה שהוא הבן שלי.

הגדרה: בהינתן יחס $R\subseteq A\times B$ היחס ההפוך $R^{-1}\subseteq B\times A$ הוא היחס המוגדר ע"י היפוך הזוגות הסדורים: $R^{-1}=\{(b,a):aRb\}$