גרסה מ־17:32, 15 ביולי 2011

שיעור ראשון

קבוצה $\mathbb{F}$ עם זוג פעולות בינאריות $(\mathbb{F},\cdot,+)$ נקראת שדה אם מתקיימות התכונות הבאות:

סגירות- $\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b\in\mathbb{F},a\cdot b\in\mathbb{F}$ . (שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)
קומוטטיביות/חילופיות- $\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b=b+a,a\cdot b = b\cdot a$
אסוציאטיביות- $\forall a,b,c\in\mathbb{F}:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)$
קיום איברים נייטרליים- קיימים איברים שנסמנם 1,0 המקיימים $\forall a\in\mathbb{F}:1\cdot a = a \cdot 1 = a, a+0=0+a=a$ . בנוסף מתקיים ש $0\neq 1$
קיום איבר נגדי לחיבור- לכל איבר a קיים איבר שנסמנו $(-a)$ כך שמתקיים $a+(-a)=0$ . לצורך קיצור הכתיבה נסמן $a+(-a)=a-a$ (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי
קיום איבר הופכי לכפל- לכל איבר a קיים איבר שנסמנו $a^{-1}$ כך שמתקיים $a\cdot a^{-1} = 1$ . שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה $ab^{-1}=\frac{a}{b}$

@@ שורה 6: / שורה 6: @@
 # '''קומוטטיביות/חילופיות-''' <math>\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b=b+a,a\cdot b = b\cdot a</math>
 #'''אסוציאטיביות-''' <math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)</math>
+#'''קיום איברים נייטרליים-''' קיימים איברים שנסמנם 1,0 המקיימים <math>\forall a\in\mathbb{F}:1\cdot a = a \cdot 1 = a, a+0=0+a=a</math>. בנוסף מתקיים ש<math>0\neq 1</math>
+#'''קיום איבר נגדי לחיבור-''' לכל איבר a קיים איבר שנסמנו <math>(-a)</math> כך שמתקיים <math>a+(-a)=0</math>. לצורך קיצור הכתיבה נסמן <math>a+(-a)=a-a</math> (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי
+#'''קיום איבר הופכי לכפל-''' לכל איבר a קיים איבר שנסמנו <math>a^{-1}</math> כך שמתקיים <math>a\cdot a^{-1} = 1</math>. שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה <math>ab^{-1}=\frac{a}{b}</math>