הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/2"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏תרגיל 3.4 ג-ז)
(←‏ג)
שורה 8: שורה 8:
 
====ג====
 
====ג====
 
אם L אינה קבוצה ריקה, אזי כמות הפתרונות בH שווה לכמות הפתרונות בL
 
אם L אינה קבוצה ריקה, אזי כמות הפתרונות בH שווה לכמות הפתרונות בL
 +
 +
=====פתרון=====
 +
נוכיח את הטענה על ידי יצירת פונקציה חח"ע ועל בין H לבין L. יהיה <math>x\in L</math> כלשהו (הקיים לפי הנתון). נביט בהעתקה <math>f:L\rightarrow H</math> המוגדרת ע"י <math>f(y)=y-x</math>. יש להוכיח כי זו אכן פונקציה מוגדרת היטב (כלומר, y-x הוא פתרון של המערכת ההומוגנית) ואז יש להראות כי זה פונקציה חח"ע ועל.
 +
 +
דבר ראשון, נבדוק האם y-x הינו פתרון של המערכת ההומוגנית. <math>A(y-x)=Ay-Ax=b-b=0</math> כפי שרצינו.
 +
 +
דבר שני, נניח כי <math>y_1\neq y_2</math> לכן ברור ש<math>y_1-x\neq y_2-x</math> (במילים, לכל שני פתרונות שונים מL מתאימים שני פתרונות שונים בH).
 +
 +
דבר שלישי, נראה כי לכל פתרון y בH, יש פתרון בL הנשלח אליו. פתרון זה הינו כמובן y+x שכן <math>A(y+x)=Ay+Ax=0+b=b</math>.
 +
 +
 +
לכן סה"כ הראנו כי לכל פתרון בL מתאים פתרון יחיד בH ולכן הקבוצות הנ"ל הן באותו גודל.
 +
 +
====ד====

גרסה מ־10:16, 19 ביולי 2011

שיעור שני

אלגברת מטריצות

ניתן לבצע את הכפל AB אם"ם מספר העמודות של A זהה למספר השורות של B. אמנם פעולת הכפל נראית משונה, אך נראה בהמשך כי היא משמעותית למדי.

תרגיל 3.4 ג-ז

נתונה מערכת של m משוואות בn נעלמים: Ax=b (זה זמן טוב לראות דוגמא ראשונה של המשמעות של כפל מטריצות). נסמן ב H=\{v\in\mathbb{F}^n:Av=0\} את קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית המתאימה, ובL=\{v\in\mathbb{F}^n:Av=b\} את קבוצת הפתרונות של המערכת הלא-הומוגנית. הוכח את הטענות הבאות:

ג

אם L אינה קבוצה ריקה, אזי כמות הפתרונות בH שווה לכמות הפתרונות בL

פתרון

נוכיח את הטענה על ידי יצירת פונקציה חח"ע ועל בין H לבין L. יהיה x\in L כלשהו (הקיים לפי הנתון). נביט בהעתקה f:L\rightarrow H המוגדרת ע"י f(y)=y-x. יש להוכיח כי זו אכן פונקציה מוגדרת היטב (כלומר, y-x הוא פתרון של המערכת ההומוגנית) ואז יש להראות כי זה פונקציה חח"ע ועל.

דבר ראשון, נבדוק האם y-x הינו פתרון של המערכת ההומוגנית. A(y-x)=Ay-Ax=b-b=0 כפי שרצינו.

דבר שני, נניח כי y_1\neq y_2 לכן ברור שy_1-x\neq y_2-x (במילים, לכל שני פתרונות שונים מL מתאימים שני פתרונות שונים בH).

דבר שלישי, נראה כי לכל פתרון y בH, יש פתרון בL הנשלח אליו. פתרון זה הינו כמובן y+x שכן A(y+x)=Ay+Ax=0+b=b.


לכן סה"כ הראנו כי לכל פתרון בL מתאים פתרון יחיד בH ולכן הקבוצות הנ"ל הן באותו גודל.

ד

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-112_לינארית_1_תיכוניסטים_קיץ_תשעא/מערך_תרגול/2&oldid=11303