לכן, בכל שדה ממאפיין שונה מ-2 (כלומר סכום שתי אחדות אינו אפס) קל לראות שאיברי האלכסון '''חייבים''' להיות אפס. לעומת זאת, בכל שדה ממאפיין שתים קל לראות שהמטריצה <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}</math> הינה אנטי סימטרית שכן אם <math>1+1=0</math> נובע ש<math>1=-1</math> ולכן מתקיים ש <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}</math>. כמו כן, ברור שאיברי האלכסון של המטריצה הנ"ל שונים מאפס.
==מטריצות ריבועיות==
הגדרה: העקבה (trace) של מטריצה ריבועית הינה סכום איברי האלכסון של המטריצה.
תכונות:
*<math>trace(A+B)=trace(A)+trace(B)</math>
*<math>trace(AB)=trace(BA)</math>
הגדרה: מטריצת היחידה I הינה המטריצה שעל האלכסון שלה יש אחדות, ואפס בכל מקום אחר. לכל מטריצה ריבועית A מתקיים AI=IA=A.
===תרגיל 5.10 וחצי===
הוכח שלא קיימות מטריצות ריבועיות ממשיות כך ש AB-BA=I. האם הדבר נכון לכל שדה?
====פתרון====
נפעיל עקבה על שני האגפים, ונקבל מצד אחד <math>trace(AB-BA)=trace(AB)-trace(BA)=0</math> ומצד שני <math>trace(I)=1+1+...+1</math>. מעל הממשיים סכום אחדות לעולם אינו מתאפס ולכן השיוויון הנ"ל לא ייתכן.
מעל שדה עם מאפיין סופי השיוויון אפשרי, לדוגמא מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> עבור המטריצות <math>A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}</math> מתקיים ש <math>AB-BA = A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}=I</math> (מכיוון ש<math>1=-1</math>).