88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/2

שיעור שני

אלגברת מטריצות

ניתן לבצע את הכפל AB אם"ם מספר העמודות של A זהה למספר השורות של B. אמנם פעולת הכפל נראית משונה, אך נראה בהמשך כי היא משמעותית למדי.

תרגיל 3.4 ג-ז

נתונה מערכת של m משוואות בn נעלמים: Ax=b (זה זמן טוב לראות דוגמא ראשונה של המשמעות של כפל מטריצות). נסמן ב $H=\{v\in\mathbb{F}^n:Av=0\}$ את קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית המתאימה, וב$L=\{v\in\mathbb{F}^n:Av=b\}$ את קבוצת הפתרונות של המערכת הלא-הומוגנית. הוכח את הטענות הבאות:

ג

אם L אינה קבוצה ריקה, אזי כמות הפתרונות בH שווה לכמות הפתרונות בL

פתרון

נוכיח את הטענה על ידי יצירת פונקציה חח"ע ועל בין H לבין L. יהיה $x\in L$ כלשהו (הקיים לפי הנתון). נביט בהעתקה $f:L\rightarrow H$ המוגדרת ע"י $f(y)=y-x$. יש להוכיח כי זו אכן פונקציה מוגדרת היטב (כלומר, y-x הוא פתרון של המערכת ההומוגנית) ואז יש להראות כי זה פונקציה חח"ע ועל.

דבר ראשון, נבדוק האם y-x הינו פתרון של המערכת ההומוגנית. $A(y-x)=Ay-Ax=b-b=0$ כפי שרצינו.

דבר שני, נניח כי $y_1\neq y_2$ לכן ברור ש$y_1-x\neq y_2-x$ (במילים, לכל שני פתרונות שונים מL מתאימים שני פתרונות שונים בH).

דבר שלישי, נראה כי לכל פתרון y בH, יש פתרון בL הנשלח אליו. פתרון זה הינו כמובן y+x שכן $A(y+x)=Ay+Ax=0+b=b$.

לכן סה"כ הראנו כי לכל פתרון בL מתאים פתרון יחיד בH ולכן הקבוצות הנ"ל הן באותו גודל.