הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏מרחבים וקטורים)
(←‏דוגמא 5)
 
(54 גרסאות ביניים של 7 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 13: שורה 13:
 
* <math>V</math> היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של '''חיבור''' (+). כלומר <math>+:V\times V \to V</math>
 
* <math>V</math> היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של '''חיבור''' (+). כלומר <math>+:V\times V \to V</math>
 
* <math>\mathbb{F}</math> הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של <math>V</math> וכפל בסקלאר.  
 
* <math>\mathbb{F}</math> הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של <math>V</math> וכפל בסקלאר.  
−
* '''כפל בסקלאר''' (<math>\cdot</math>) היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי <math>\mathbb{F}</math>.
+
* '''כפל בסקלאר''' (<math>\cdot</math>) היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי <math>\mathbb{F}</math>. פורמאלית <math>\cdot : \mathbb{F}\times V \to V</math>
−
פורמאלית <math>\cdot : \mathbb{F}\times V \to V</math>.
+
  
 
אקסיומות מרחב וקטורי:
 
אקסיומות מרחב וקטורי:
שורה 43: שורה 42:
  
 
.2 <math>0_{F}v=0_{V}</math>
 
.2 <math>0_{F}v=0_{V}</math>
 +
 +
==דוגמאות ==
 +
#<math>V=\mathbb{F}^{n}:=\{(a_{1,}\dots,a_{n})|\, a_{i}\in\mathbb{F}\}</math> מעל <math>\mathbb{F}</math> עם חיבור <math>(a_{1,}\dots,a_{n})+(b_{1,}\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n})</math> וכפל בסקלאר <math>\alpha(a_{1,}\dots,a_{n})=(\alpha a_{1,}\dots,\alpha a_{n})</math>
 +
#מרחב המטריצות <math>\mathbb{F}^{m\times n}</math>  מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר.
 +
#מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית <math>\mathbb{F}_{n}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\,\forall i \, a_{i}\in\mathbb{F}\}</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים.
 +
#מרחב הפולינומים <math>\mathbb{F}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\, a_{i}\in\mathbb{F},n\in\mathbb{N}\}</math>  עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים.
 +
#<math>V=\mathbb{R}</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{Q}</math> עם חיבור וכפל "רגילים".
 +
#<math>V=\mathbb{C}^{3}</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math>.
 +
#<math>V=\mathbb{R}^{3}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math> (עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי <math>i\in \mathbb{F},(1,1,1)\in \mathbb{R}^3</math> והכפל בניהם צריך להיות שייך ל <math>V</math> אבל <math>i\cdot (1,1,1)=(i,i,i)\not\in \mathbb{R}^3</math>
 +
#<math>V=\mathbb{R}^{2}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> עם חיבור סטנדרטי וכפל בסקלאר  <math>\alpha \cdot (x,y)=(\alpha \cdot x,y)</math> כי למשל <math>(1+1)\cdot 2\cdot(0,1)= (0,1)\neq (0,2)=1\cdot(0,1)+1\cdot(0,1)</math>.
 +
#<math>V=\mathbb{R}^{2}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> עם חיבור סטנדרטי וכפל בסקלאר  <math>\alpha \cdot (x,y)=(\alpha^2 \cdot x,\alpha^2\cdot y)</math>
 +
 +
==תתי מרחבים ==
 +
 +
הגדרה יהיה <math>V</math>  מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>. תת קבוצה <math>W\subseteq V</math>
 +
יקרא '''תת מרחב''' אם הוא מרחב וקטורי בפני עצמו ביחס לפעולות '''V'''. סימון <math>W\leq V</math>
 +
 +
''קריטריון מקוצר'': כדי לבדוק אם <math>W\subseteq V</math>  הוא תת מרחב מספיק לבדוק:
 +
#איבר נטרלי: <math>0</math>  של <math>V</math> נמצא ב-<math>W</math>;
 +
#סגירות לחיבור: לכל <math>w,u\in W</math>  מתקיים <math>u+w\in W</math>;
 +
#סגירות לכפל בסקלאר: לכל <math>w\in W,\alpha\in\mathbb{F}</math>  מתקיים <math>\alpha w\in W</math>.
 +
 +
את שאר האקסיומות <math>W</math>  יורש מ <math>V</math>  כתת קבוצה.
 +
 +
הערה: ניתן לרכז את הבדיקות הנ"ל מספיק לבדוק
 +
#<math>W\not=\emptyset</math>
 +
#שלכל <math>w,u\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math>  מתקיים <math>\alpha u+w\in W</math>.
 +
 +
אבחנה:  <math>\{0\},V\subseteq V</math> תמיד תתי מרחבים ונקראים תתי המרחבים הטריוואלים.
 +
 +
===דוגמאות ודוגמאות נגדיות ===
 +
 +
1. עבור המישור האוקלידי <math>V=\mathbb{R}^{2}</math>  מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> :
 +
 +
א. <math> W=\{(x,0)\,|\, x\in \mathbb{R} \}</math> (ציר ה<math>x</math>) הוא תת מרחב (קל לראות).
 +
 +
ב. <math> W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq 0\}</math> (הרביע החיובי) אינו תת מרחב כי
 +
<math>-1(1,1)=(-1,-1)\not\notin W</math>
 +
 +
ג. <math>W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq0\:\text{ or }x,y\leq0\}</math>
 +
(הרביע החיובי והשלילי) אינו תת מרחב כי <math>\underset{\in W}{(2,4)}+\underset{\in W}{(-3,-3)}=(-1,1)\notin W</math>
 +
 +
ד. <math>W=\{(x,y)|\, y=3x\}</math>  קו ישר העובר בראשית הוא כן תת מרחב (לפי הסעיף הבא).
 +
 +
2. תהא <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצה ונסתכל על אוסף הפתרונות למערכת ההומוגנית <math>Ax=0</math>.
 +
פורמאלית <math>W=\{v\in \mathbb{F}^n \, :\, Av=0\} \subseteq \mathbb{F}^n </math>.
 +
הוכחתם בהרצאה כי <math>W\leq \mathbb{F}^n</math> הוא תת מרחב
 +
 +
 +
3. מרחב המטריצות  <math>V=\mathbb{F}^{n\times n}</math>  מעל <math>\mathbb{F}</math>:
 +
 +
א. המטריצות מסוג
 +
<math>W=\{\left(\begin{array}{cccc}
 +
a & 0 & \cdots & 0\\
 +
0 & 0 &  & 0\\
 +
\vdots &  & \ddots & 0\\
 +
0 & 0 & \cdots & 0
 +
\end{array}\right)|a\in\mathbb{F}\}</math> הן תת מרחב.
 +
 +
נוכיח :
 +
# ברור כי <math>W</math> אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל <math>W</math>
 +
# לכל <math>A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> רוצים להראות ש <math>\alpha A_1 +A_2 \in W</math> כלומר להראות שהמטריצה <math>\alpha A_1 +A_2</math> כולה אפסים פרט (אולי) למקום <math>1,1</math> וזה אכן כך בגלל שזאת הצורה של <math>A_1,A_2</math>
 +
 +
ב. המטריצות הסימטריות <math>W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A\}</math>
 +
והמטריצות האנטי-סימטריות <math>W=\{A\in V\,|\, A^{t}=-A\}</math> שתיהן תתי מרחב.
 +
 +
הוכחה (עבור הסימטריות)
 +
# ברור כי <math>W</math> אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל <math>W</math>
 +
# לכל <math>A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> רוצים להראות ש <math>\alpha A_1 +A_2 \in W</math> כלומר להראות שהמטריצה <math>\alpha A_1 +A_2</math> סימטרית. נתון כי <math>A_1^t=A_1,A_2^t=A_2</math>. כעת מחוקי שיחלוף
 +
נקבל כי <math>(\alpha A_1 +A_2)^t=\alpha A_1^t +A_2^t=\alpha A_1 +A_2</math>.
 +
 +
ג.המטריצות הסימטריות איחוד עם המטריצות האנטי סימטריות
 +
<math>W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A \text{ or } A^{t}=-A\}</math> '''אינו''' תת מרחב כי
 +
המטריצות
 +
<math>
 +
A_1 = \left(\begin{array}{ccccc}
 +
0 & 1 & & 0\cdots & 0\\
 +
1 & 0 &  & 0 & 0\\
 +
\vdots &  & \ddots & 0 & 0\\
 +
0 & 0 & \cdots & 0 & 0
 +
\end{array} \right)
 +
A_2=
 +
\left(\begin{array}{ccccc}
 +
0 & -1 & & 0\cdots & 0\\
 +
1 & 0 &  & 0 & 0\\
 +
\vdots &  & \ddots & 0 & 0\\
 +
0 & 0 & \cdots & 0 & 0
 +
\end{array} \right)
 +
</math>
 +
שייכות ל <math>W</math> אבל החיבור שלהם לא.
 +
 +
ד. המטריצות משולשיות/אלכסוניות/סקלאריות הן תת מרחב.
 +
 +
ה. המטריצות <math>W=\{A\in V\,|\, tr(A)=0\}</math> הן תת מרחב
 +
 +
הוכחה
 +
# ברור כי <math>W</math> אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל <math>W</math>
 +
# לכל <math>A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> רוצים להראות ש <math>\alpha A_1 +A_2 \in W</math> כלומר להראות שעקבה של המטריצה <math>\alpha A_1 +A_2</math> שווה 0. נתון כי <math>tr(A_1)=tr(A_2)=0</math>. כעת מחוקי עקבה
 +
נקבל כי <math>tr(\alpha A_1 +A_2)=\alpha tr(A_1) +tr(A_2)=\alpha 0 +0 = 0</math>.
 +
 +
 +
4. <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math>  מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל <math>\mathbb{R}</math> .
 +
 +
א. <math>W=\mathbb{R}_{1}[x]=\{a+bx|\, a,b\in\mathbb{R}\}</math>  הינו תת מרחב כי באופן כללי <math>\mathbb{R}_{n}[x]</math>  הוא מרחב וקטורי (והפעולות מוגדרות באופן זהה לכל המרחבים).
 +
 +
ב. <math>W=\{a+bx|\,0\not=b\in\mathbb{R}\}</math> הפולינומים מדרגה 1 בדיוק אינו תת מרחב. כי פולינום האפס שהוא האיבר הנטרלי ב <math>V</math> לא נמצא ב<math>W</math> .
 +
 +
=== חיתוך תתי מרחבים ===
 +
 +
משפט: יהי <math>V</math>  מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> . יהיו <math>W_1,W_2\leq V</math>  תתי מרחבים.
 +
אזי חיתוך תתי המרחבים <math>W_1\cap W_2:=\{v\in V:\, v\in W_1\land v\in W_2\}</math>  הינו תת מרחב.
 +
 +
הערה: זהו התת מרחב הכי "גדול" שמוכל ב <math>W_1,W_2</math>. כלומר, כל תת מרחב <math>U</math> המקיים כי <math>U\subseteq W_1,W_2</math> יקיים כי <math>U\subseteq W_1\cap W_2</math> .
 +
 +
====דוגמא 1====
 +
1. יהי <math>V = \mathbb{R}^4 </math>. נגדיר שני תת מרחבים
 +
<math>W_1=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in V :\, x_1+x_2+x_3+x_4 =0\} </math>
 +
 +
<math>W_2=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in V :\, x_1+x_2+x_3+2x_4 =0 \land  -x_1+x_2+x_3+x_4 =0 \}</math>
 +
 +
נמצא את <math>W_1\cap W_2</math>
 +
 +
נשים לב שנוכל לאפיין את תתי המרחבים בצורה הבאה:
 +
 +
<math>W_1=\{v\in V :\, A_1v =0\} </math>
 +
 +
<math>W_2=\{v\in V :\, A_2v =0 \}</math>
 +
 +
כאשר
 +
<math>A_1 = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1\end{pmatrix},
 +
A_2 = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &2 \\ -1 &1 &1 &1 \end{pmatrix}
 +
</math>
 +
 +
כמו שראינו אלו תת מרחבים. כעת
 +
<math>W_1\cap W_2= \{ v \; | \; \begin{pmatrix} A_1  \\ A_2\end{pmatrix} v =0 \}</math>
 +
 +
ולכן צריך בסה"כ למצוא פתרון למערכת הומוגנית. נעשה זאת
 +
<math>
 +
\begin{pmatrix}
 +
1 &1 &1 &1 \\
 +
1 &1 &1 &2 \\
 +
-1 &1 &1 &1
 +
\end{pmatrix}
 +
\to \\
 +
\begin{pmatrix}
 +
1 &1 &1 &1 \\
 +
0 &0 &0 &1 \\
 +
0 &2 &2 &2
 +
\end{pmatrix}
 +
\to
 +
\begin{pmatrix}
 +
1 &1 &1 &1 \\
 +
0 &1 &1 &1\\
 +
0 &0 &0 &1 
 +
\end{pmatrix}
 +
\to
 +
\begin{pmatrix}
 +
1 &1 &1 &0 \\
 +
0 &1 &1 &0\\
 +
0 &0 &0 &1 
 +
\end{pmatrix}
 +
\to
 +
\begin{pmatrix}
 +
1 &0 &0 &0 \\
 +
0 &1 &1 &0\\
 +
0 &0 &0 &1 
 +
\end{pmatrix}
 +
</math>
 +
 +
התשובה הסופית
 +
 +
<math>W_1\cap W_2 =
 +
\{\left( \begin{array}{c}
 +
0 \\
 +
-t\\
 +
t\\
 +
0
 +
\end{array}\right)
 +
: \, t\in \mathbb{R} \}
 +
</math>
 +
 +
====דוגמא 2====
 +
יהי <math>V = \mathbb{R}^3 </math>. נגדיר שני תת מרחבים
 +
 +
<math>W_1=\{\alpha_1\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}
 +
+\alpha_2\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}
 +
:\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R} \} </math>
 +
 +
<math>W_2=\{\alpha_1\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}
 +
+\alpha_2\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}
 +
:\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R} \} </math>
 +
 +
נמצא את החיתוך בניהם
 +
 +
צריך למצוא סקלארים <math>\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3, \alpha_4\in \mathbb{R}</math> המקיימים
 +
 +
<math>\alpha_1\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\-1\end{pmatrix}
 +
+\alpha_2\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} =
 +
\alpha_3\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}
 +
+\alpha_4\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}
 +
</math>
 +
 +
שימו לב שאם מצאנו ארבעה סקלארים שמקימים את המשוואה לעיל אז אנחנו יודעים שהוקטור הזה בחיתוך. עוד שימו לב שאם יודעים שהשיוויון מתקיים מספיק לדעת את <math>\alpha_1,\alpha_2</math> או את <math>\alpha_3,\alpha_4</math> כדי לחשב את הוקטור עצמו (כי שני אגפי השיוויון שווים).
 +
 +
בעצם, זה שוב לפתור מערכת משוואות כאשר הנעלמים הם <math>\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3, \alpha_4</math>. הנה המערכת (אחרי שנעביר אגף):
 +
 +
<math>
 +
\begin{pmatrix}
 +
1 &-1  &-1 & -1\\
 +
1 &1  &-1 &1\\
 +
-1 &1  &-1 & -1
 +
\end{pmatrix}
 +
\cdot
 +
\begin{pmatrix}
 +
\alpha_1\\
 +
\alpha_2\\
 +
\alpha_3\\
 +
\alpha_4
 +
\end{pmatrix}
 +
= 0
 +
</math>
 +
 +
נדרג ונמשיך
 +
 +
<math>
 +
\begin{pmatrix}
 +
1 &-1  &-1 & -1\\
 +
1 &1  &-1 &1\\
 +
-1 &1  &-1 & -1
 +
\end{pmatrix}
 +
\to
 +
\begin{pmatrix}
 +
1 &-1  &-1 & -1\\
 +
0 &2  & 0 & 2\\
 +
0 &0  &-2 & -2
 +
\end{pmatrix}
 +
\to \\
 +
\begin{pmatrix}
 +
1 &-1  &-1 & -1\\
 +
0 &1  & 0 & 1\\
 +
0 &0  &-1 & -1
 +
\end{pmatrix}
 +
\to
 +
\begin{pmatrix}
 +
1 &-1  &0 &0\\
 +
0 &1  & 0 & 1\\
 +
0 &0  &-1 & -1
 +
\end{pmatrix}
 +
\to
 +
\begin{pmatrix}
 +
1 &0  &0 &1\\
 +
0 &1  & 0 & 1\\
 +
0 &0  &-1 & -1
 +
\end{pmatrix}
 +
 +
 +
</math>
 +
קיבלנו כי התנאי היחידי המתקיים בין <math>\alpha_3,\alpha_4</math> הוא <math>\alpha_3= -\alpha_4</math>. ובמקרה שהתנאי מתקיים יש פתרון למערכת המשוואות.
 +
 +
לכן התשובה הסופית
 +
 +
<math>W_1\cap W_2 =
 +
\{\alpha\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}
 +
-\alpha\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}
 +
:\, \alpha \in \mathbb{R} \}
 +
</math>
 +
 +
====דוגמא 3====
 +
<math>V=\mathbb{C}^{n\times n}</math>  מעל <math>\mathbb{C}</math> . יהיו <math>W_1</math> תת מרחב של המטריצות הסימטריות ו <math>W_2</math>  תת המרחב של המטריצות האנטי סימטריות אזי:
 +
<math>W_1\cap W_2=\{A:A^{t}=A\land A^{t}=-A\}=\{0\}</math>
 +
 +
הוכחה:
 +
ישירות- אם <math>A</math> גם סימטרית וגם אנטי סימטרית אזי מתקיים <math>-A=A^t=A</math>. נעביר אגף ונקבל <math>2A=0</math>. נחלק ב 2 ונקבל כי <math>A=0</math>
 +
 +
====דוגמא 4====
 +
<math>V=\mathbb{R}^{n\times n}</math>  מעל <math>\mathbb{R}</math> . חיתוך של המטריצות המשולשיות התחתונות והמטריצות המשולשיות העליונות.
 +
=== סכום תתי מרחבים===
 +
 +
יהי <math>V</math>  מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> . יהיו <math>W_1,W_2\leq V</math>  תתי מרחבים.
 +
נרצה למצוא את התת מרחב <math>W</math> הכי "קטן" שמכיל את <math>W_1,W_2</math>. "קטן" הכוונה כי כל תת מרחב <math>U</math> המקיים <math> W_1,W_2\subseteq U</math> בהכרח יקיים גם <math>W\subseteq U</math>.
 +
 +
יש שיחשבו שהתת מרחב הכי קטן שמכיל את <math>W_1,W_2</math> הוא האיחוד את <math>W_1,\cup W_2</math>.
 +
אבל התשובה שגויה כיוון שהאיחוד לא בהכרח תת מרחב כפי שנוכיח בתרגיל הבא.
 +
 +
'''תרגיל: (בהרצאה בד"כ)'''
 +
יהי <math>V</math>  מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> . יהיו <math>W_1,W_2\leq V</math>  תתי מרחבים. אזי
 +
 +
<math>W_1,\cup W_2\leq V</math> אמ"מ (<math>W_1\subseteq W_2 \lor W_2\subseteq W_1</math>) כלומר אחד מתת המרחב מוכל בשני.
 +
 +
'''הוכחה:'''
 +
כיוון ראשון (<math>\Leftarrow</math>): פשוט, אם אחד מוכל בשני אזי האיחוד שווה ל <math>W_i</math> (כאשר <math>i</math> שווה ל-1 או 2, תלוי במקרה) שהוא תת מרחב.
 +
 +
כיוון שני (<math>\Rightarrow</math>): נניח בשלילה כי (<math>W_1\not\subseteq W_2 \land W_2\not\subseteq W_1</math>) אזי קיימים <math>w_1\in W_1\setminus W_2 \</math>
 +
וגם <math>w_2\in W_2\setminus W_1 \</math>. שני הוקטורים <math>w_1,w_2</math> נמצאים באיחוד ולכן גם הסכום שלהם <math>w_1+w_2</math> נמצא באיחוד כי נתון שהוא תת מרחב. כעת מהגדרת האיחוד <math>w_1+w_2</math> נמצא ב <math>W_i</math> (כאשר <math>i</math> שווה ל-1 או 2, תלוי במקרה). בה"כ נניח <math>w_1+w_2\in W_1</math>. כיוון ש <math>w_1\in W_1</math> אזי חיסור שני הוקטורים <math>(w_1+w_2)-w_1 \in W_1</math> נמצא גם כן ב <math>W_1</math> אבל החיסור שווה ל <math>w_2</math>. סתירה לכך ש <math>w_2 \not\in W_1</math>
 +
 +
 +
====סכום תתי מרחבים וסכום ישר ====
 +
'''הגדרה:'''  <math>V</math>  מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> . יהיו <math>W_1,W_2\leq V</math>  תתי מרחבים.
 +
אזי '''סכום תתי המרחבים''' <math>W_1 +  W_2:=\{w_1+w_2:\, w_1\in W_1, w_2\in W_2\}</math>  הינו תת מרחב.
 +
 +
תכונה: לכל תת מרחב <math>U</math> עבורו <math> W_1,W_2\subseteq U</math> מתקיים כי <math> W_1+ W_2 \subseteq U</math>.
 +
 +
'''הגדרה:''' הסכום <math>W_1+W_2</math> יקרא '''סכום ישר''' אם <math>W_1\cap W_2 = \{0\}</math>.
 +
סימון <math>W_1 \oplus W_2</math>.
 +
 +
'''דוגמאות:'''
 +
 +
1. ב <math>V=\mathbb{R}^3</math> נגדיר שני תת מרחב
 +
<math>W_1=\{\alpha\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}
 +
:\, \alpha \in \mathbb{R} \} </math>
 +
 +
<math>W_2=\{\alpha\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}
 +
:\, \alpha \in \mathbb{R} \} </math>
 +
 +
אזי
 +
 +
<math>W_1+W_2=\{w_1+w_2:\, w_1\in W_1, w_2\in W_2\} = \\
 +
\{\alpha_1\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}
 +
+ \alpha_2\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}
 +
:\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R} \} =
 +
\{\begin{pmatrix}\alpha_1\\ \alpha_1+\alpha_2\\ \alpha_2 \end{pmatrix}
 +
:\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R}\}
 +
</math>
 +
 +
2. באופן כללי <math>V</math> מרחבים וקטורי, <math>v_1, v_2, \dots v_m, v_{m+1}, \dots v_{m+k}</math>  וקטורים.
 +
 +
אם
 +
 +
<math>
 +
W_1 =\{\sum_{i=1}^m \alpha_i v_i \, : \, \forall i \; \alpha_i \in \mathbb{F} \}\\
 +
W_2 =\{\sum_{i=1}^k \alpha_i v_{m+i} \, : \, \forall i \; \alpha_i \in \mathbb{F} \}
 +
</math>
 +
 +
אז
 +
 +
<math>W_1+W_2 = \{\sum_{i=1}^{m+k} \alpha_i v_i \, : \, \forall i \; \alpha_i \in \mathbb{F} \} </math>
 +
 +
3. עבור
 +
<math>
 +
W_1= \{(a_1,a_2,\dots a_n)\in \mathbb{F}^n : a_1= a_2 = \dots =a_n\} \\
 +
W_2= \{(a_1,a_2,\dots a_n)\in \mathbb{F}^n : a_1+ a_2 + \dots +a_n = 0 \}
 +
</math>
 +
 +
מתקיים כי
 +
<math>W_1 \oplus W_2 = \mathbb{F}^n</math>
 +
 +
הוכחה:
 +
 +
קודם נראה שזהו סכום ואח"כ נראה שהוא ישר.
 +
 +
'''סכום:'''
 +
 +
יהא <math>v=(a_1,a_2,\dots a_n)\in \mathbb{F}^n</math>.
 +
נגדיר <math>b=\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n}</math> את ממוצע הקורדינאטות.
 +
 +
ברור כי <math>w_1=(b,b,\dots ,b)\in W_1</math>. גם ברור כי <math>v=w_1 + (v-w_1)</math>.
 +
 +
נראה כי <math>v-w_1 = (a_1-b,\dots ,a_n-b)\in W_2</math> וסיימנו (כי נגדיר <math>w_2=v-w_1</math>)
 +
 +
אכן כדי שוקטור יהיה ב <math>W_2</math> סכום הקורטינאטות שלו צריך להיות שווה 0.
 +
נחשב <math>(a_1-b)+(a_2-b)+\dots +(a_n-b)= \sum_{i=1}^n a_i -n\cdot b=\sum_{i=1}^n a_i-\sum_{i=1}^n a_i=0</math>. כנדרש.
 +
 +
'''סכום ישר:'''
 +
 +
יהא <math>(a_1,\dots ,a_n)=v\in W_1\cap W_2</math> צ"ל שזהו וקטור האפס. בגלל ש <math>v\in W_1</math> ניתן להציג אותו כ <math>v=(a,a,\dots ,a)</math>, כיוון ש <math>v\in W_2</math> צריך להתקיים <math>a+a+\dots +a =na=0</math> ולכן <math>a=0</math> ולכן <math>v=0</math>
 +
 +
==== תרגיל ====
 +
במרחב <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math>, הוכיחו כי <math>W_{1}=\left\{ p(x)\,|\,p(2)=0\right\}</math>  ו <math>W_{2}=\left\{ p(x)\,|\,p(x)=x\cdot p'(x)\right\}</math>  הם תתי מרחבים. חשבו את החיתוך והסכום שלהם. הראו שהסכום ישר.
 +
 +
=== תרגיל ====
 +
במרחב <math>V=\mathbb{R}^{4}</math>, מצאו את החיתוך והסכום של
 +
<math>W_{1}=\left\{ \left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{array}\right)\mid\begin{array}{c}a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}\\-a_{1}+2a_{3}=0\end{array}\right\}</math> 
 +
ו
 +
<math>W_{2}=\left\{ \left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{array}\right)\mid\begin{array}{c}a_{1}-3a_{2}-5a_{3}=a_{4}\\4a_{2}+8a_{3}-2a_{4}=2a_{1}\end{array}\right\}</math>

גרסה אחרונה מ־19:20, 15 ביולי 2021

מרחבים וקטורים

דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּV=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\}

עם חיבור (x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})

וכפל בסקלאר \alpha\in\mathbb{R} , \alpha(x,y,z)=(\alpha z,\alpha y,\alpha z) הוא מרחב וקטורי.

ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.

הגדרה: מרחב וקטורי הוא רביעיה (V,\mathbb{F},+,\cdot), כאשר

  • V היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של חיבור (+). כלומר +:V\times V \to V
  • \mathbb{F} הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של V וכפל בסקלאר.
  • כפל בסקלאר (\cdot) היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי \mathbb{F}. פורמאלית \cdot : \mathbb{F}\times V \to V

אקסיומות מרחב וקטורי:

  1. אקסיומות של החיבור ב V: לכל v,w,u\in V מתקיים
    1. מוגדרות: v+w\in V .
    2. קיבוץ: v+(u+w)=(v+u)+w .
    3. חילוף: v+u=u+v .
    4. איבר נטרלי: \exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v .
    5. איבר נגדי: \forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0 .
  2. אקסיומות של כפל וחיבור של שדה: בהגדרת שדה
  3. אקסיומות כפל בסקלאר: לכל v,u\in V,\alpha,\beta\in\mathbb{F} מתקיים
    1. מוגדרות \alpha v\in V
    2. קיבוץ: \alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v
    3. כפל ביחידה (של השדה): 1_{\mathbb{F}}\cdot v=v
    4. פילוג:
      1. \alpha(v+u)=\alpha v+\alpha u
      2. (\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v

טרמינולוגיה: אומרים ש V מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}.

איברי V נקראים וקטורים. איברי \mathbb{F} נקראים סקלארים.


תכונות בסיסיות:

.1 (-1_{F})v=(-v)

.2 0_{F}v=0_{V}

דוגמאות

  1. V=\mathbb{F}^{n}:=\{(a_{1,}\dots,a_{n})|\, a_{i}\in\mathbb{F}\} מעל \mathbb{F} עם חיבור (a_{1,}\dots,a_{n})+(b_{1,}\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n}) וכפל בסקלאר \alpha(a_{1,}\dots,a_{n})=(\alpha a_{1,}\dots,\alpha a_{n})
  2. מרחב המטריצות \mathbb{F}^{m\times n} מעל שדה \mathbb{F} עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר.
  3. מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית \mathbb{F}_{n}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\,\forall i \, a_{i}\in\mathbb{F}\} מעל שדה \mathbb{F} עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים.
  4. מרחב הפולינומים \mathbb{F}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\, a_{i}\in\mathbb{F},n\in\mathbb{N}\} עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים.
  5. V=\mathbb{R} הוא מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{Q} עם חיבור וכפל "רגילים".
  6. V=\mathbb{C}^{3} הוא מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{R}.
  7. V=\mathbb{R}^{3} הוא אינו מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{C} (עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי i\in \mathbb{F},(1,1,1)\in \mathbb{R}^3 והכפל בניהם צריך להיות שייך ל V אבל i\cdot (1,1,1)=(i,i,i)\not\in \mathbb{R}^3
  8. V=\mathbb{R}^{2} הוא אינו מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{R} עם חיבור סטנדרטי וכפל בסקלאר \alpha \cdot (x,y)=(\alpha \cdot x,y) כי למשל (1+1)\cdot 2\cdot(0,1)= (0,1)\neq (0,2)=1\cdot(0,1)+1\cdot(0,1).
  9. V=\mathbb{R}^{2} הוא אינו מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{R} עם חיבור סטנדרטי וכפל בסקלאר \alpha \cdot (x,y)=(\alpha^2 \cdot x,\alpha^2\cdot y)

תתי מרחבים

הגדרה יהיה V מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}. תת קבוצה W\subseteq V יקרא תת מרחב אם הוא מרחב וקטורי בפני עצמו ביחס לפעולות V. סימון W\leq V

קריטריון מקוצר: כדי לבדוק אם W\subseteq V הוא תת מרחב מספיק לבדוק:

  1. איבר נטרלי: 0 של V נמצא ב-W;
  2. סגירות לחיבור: לכל w,u\in W מתקיים u+w\in W;
  3. סגירות לכפל בסקלאר: לכל w\in W,\alpha\in\mathbb{F} מתקיים \alpha w\in W.

את שאר האקסיומות W יורש מ V כתת קבוצה.

הערה: ניתן לרכז את הבדיקות הנ"ל מספיק לבדוק

  1. W\not=\emptyset
  2. שלכל w,u\in W,\,\alpha\in\mathbb{F} מתקיים \alpha u+w\in W.

אבחנה: \{0\},V\subseteq V תמיד תתי מרחבים ונקראים תתי המרחבים הטריוואלים.

דוגמאות ודוגמאות נגדיות

1. עבור המישור האוקלידי V=\mathbb{R}^{2} מעל \mathbb{F}=\mathbb{R} :

א. W=\{(x,0)\,|\, x\in \mathbb{R} \} (ציר הx) הוא תת מרחב (קל לראות).

ב. W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq 0\} (הרביע החיובי) אינו תת מרחב כי -1(1,1)=(-1,-1)\not\notin W

ג. עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq0\:\text{ or }x,y\leq0\}

(הרביע החיובי והשלילי) אינו תת מרחב כי \underset{\in W}{(2,4)}+\underset{\in W}{(-3,-3)}=(-1,1)\notin W

ד. W=\{(x,y)|\, y=3x\} קו ישר העובר בראשית הוא כן תת מרחב (לפי הסעיף הבא).

2. תהא A\in \mathbb{F}^{m\times n} מטריצה ונסתכל על אוסף הפתרונות למערכת ההומוגנית Ax=0. פורמאלית W=\{v\in \mathbb{F}^n \, :\, Av=0\} \subseteq \mathbb{F}^n . הוכחתם בהרצאה כי W\leq \mathbb{F}^n הוא תת מרחב


3. מרחב המטריצות V=\mathbb{F}^{n\times n} מעל \mathbb{F}:

א. המטריצות מסוג W=\{\left(\begin{array}{cccc} a & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & & 0\\ \vdots & & \ddots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right)|a\in\mathbb{F}\} הן תת מרחב.

נוכיח :

  1. ברור כי W אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל W
  2. לכל A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F} רוצים להראות ש \alpha A_1 +A_2 \in W כלומר להראות שהמטריצה \alpha A_1 +A_2 כולה אפסים פרט (אולי) למקום 1,1 וזה אכן כך בגלל שזאת הצורה של A_1,A_2

ב. המטריצות הסימטריות W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A\} והמטריצות האנטי-סימטריות W=\{A\in V\,|\, A^{t}=-A\} שתיהן תתי מרחב.

הוכחה (עבור הסימטריות)

  1. ברור כי W אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל W
  2. לכל A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F} רוצים להראות ש \alpha A_1 +A_2 \in W כלומר להראות שהמטריצה \alpha A_1 +A_2 סימטרית. נתון כי A_1^t=A_1,A_2^t=A_2. כעת מחוקי שיחלוף

נקבל כי (\alpha A_1 +A_2)^t=\alpha A_1^t +A_2^t=\alpha A_1 +A_2.

ג.המטריצות הסימטריות איחוד עם המטריצות האנטי סימטריות W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A \text{ or } A^{t}=-A\} אינו תת מרחב כי המטריצות A_1 = \left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & & 0\cdots & 0\\ 1 & 0 & & 0 & 0\\ \vdots & & \ddots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array} \right) A_2= \left(\begin{array}{ccccc} 0 & -1 & & 0\cdots & 0\\ 1 & 0 & & 0 & 0\\ \vdots & & \ddots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array} \right) שייכות ל W אבל החיבור שלהם לא.

ד. המטריצות משולשיות/אלכסוניות/סקלאריות הן תת מרחב.

ה. המטריצות W=\{A\in V\,|\, tr(A)=0\} הן תת מרחב

הוכחה

  1. ברור כי W אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל W
  2. לכל A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F} רוצים להראות ש \alpha A_1 +A_2 \in W כלומר להראות שעקבה של המטריצה \alpha A_1 +A_2 שווה 0. נתון כי tr(A_1)=tr(A_2)=0. כעת מחוקי עקבה

נקבל כי tr(\alpha A_1 +A_2)=\alpha tr(A_1) +tr(A_2)=\alpha 0 +0 = 0.


4. V=\mathbb{R}_{2}[x] מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל \mathbb{R} .

א. W=\mathbb{R}_{1}[x]=\{a+bx|\, a,b\in\mathbb{R}\} הינו תת מרחב כי באופן כללי \mathbb{R}_{n}[x] הוא מרחב וקטורי (והפעולות מוגדרות באופן זהה לכל המרחבים).

ב. W=\{a+bx|\,0\not=b\in\mathbb{R}\} הפולינומים מדרגה 1 בדיוק אינו תת מרחב. כי פולינום האפס שהוא האיבר הנטרלי ב V לא נמצא בW .

חיתוך תתי מרחבים

משפט: יהי V מרחב וקטורי מעל \mathbb{F} . יהיו W_1,W_2\leq V תתי מרחבים. אזי חיתוך תתי המרחבים W_1\cap W_2:=\{v\in V:\, v\in W_1\land v\in W_2\} הינו תת מרחב.

הערה: זהו התת מרחב הכי "גדול" שמוכל ב W_1,W_2. כלומר, כל תת מרחב U המקיים כי U\subseteq W_1,W_2 יקיים כי U\subseteq W_1\cap W_2 .

דוגמא 1

1. יהי V = \mathbb{R}^4 . נגדיר שני תת מרחבים W_1=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in V :\, x_1+x_2+x_3+x_4 =0\}

W_2=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in V :\, x_1+x_2+x_3+2x_4 =0 \land -x_1+x_2+x_3+x_4 =0 \}

נמצא את W_1\cap W_2

נשים לב שנוכל לאפיין את תתי המרחבים בצורה הבאה:

W_1=\{v\in V :\, A_1v =0\}

W_2=\{v\in V :\, A_2v =0 \}

כאשר A_1 = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1\end{pmatrix}, A_2 = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &2 \\ -1 &1 &1 &1 \end{pmatrix}

כמו שראינו אלו תת מרחבים. כעת W_1\cap W_2= \{ v \; | \; \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2\end{pmatrix} v =0 \}

ולכן צריך בסה"כ למצוא פתרון למערכת הומוגנית. נעשה זאת עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1 \\ 1 &1 &1 &2 \\ -1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \to \\ \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1 \\ 0 &0 &0 &1 \\ 0 &2 &2 &2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1 \\ 0 &1 &1 &1\\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &0 \\ 0 &1 &1 &0\\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &1 &0\\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}


התשובה הסופית

W_1\cap W_2 = \{\left( \begin{array}{c} 0 \\ -t\\ t\\ 0 \end{array}\right) : \, t\in \mathbb{R} \}

דוגמא 2

יהי V = \mathbb{R}^3 . נגדיר שני תת מרחבים

W_1=\{\alpha_1\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} +\alpha_2\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix} :\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R} \}

W_2=\{\alpha_1\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1 \end{pmatrix} +\alpha_2\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} :\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R} \}

נמצא את החיתוך בניהם

צריך למצוא סקלארים \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3, \alpha_4\in \mathbb{R} המקיימים

\alpha_1\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\-1\end{pmatrix} +\alpha_2\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} = \alpha_3\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} +\alpha_4\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}

שימו לב שאם מצאנו ארבעה סקלארים שמקימים את המשוואה לעיל אז אנחנו יודעים שהוקטור הזה בחיתוך. עוד שימו לב שאם יודעים שהשיוויון מתקיים מספיק לדעת את \alpha_1,\alpha_2 או את \alpha_3,\alpha_4 כדי לחשב את הוקטור עצמו (כי שני אגפי השיוויון שווים).

בעצם, זה שוב לפתור מערכת משוואות כאשר הנעלמים הם \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3, \alpha_4. הנה המערכת (אחרי שנעביר אגף):

\begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\ 1 &1 &-1 &1\\ -1 &1 &-1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \alpha_3\\ \alpha_4 \end{pmatrix} = 0

נדרג ונמשיך

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\ 1 &1 &-1 &1\\ -1 &1 &-1 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\ 0 &2 & 0 & 2\\ 0 &0 &-2 & -2 \end{pmatrix} \to \\ \begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\ 0 &1 & 0 & 1\\ 0 &0 &-1 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &-1 &0 &0\\ 0 &1 & 0 & 1\\ 0 &0 &-1 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1\\ 0 &1 & 0 & 1\\ 0 &0 &-1 & -1 \end{pmatrix}

קיבלנו כי התנאי היחידי המתקיים בין \alpha_3,\alpha_4 הוא \alpha_3= -\alpha_4. ובמקרה שהתנאי מתקיים יש פתרון למערכת המשוואות.

לכן התשובה הסופית

W_1\cap W_2 = \{\alpha\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} -\alpha\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix} :\, \alpha \in \mathbb{R} \}

דוגמא 3

V=\mathbb{C}^{n\times n} מעל \mathbb{C} . יהיו W_1 תת מרחב של המטריצות הסימטריות ו W_2 תת המרחב של המטריצות האנטי סימטריות אזי: W_1\cap W_2=\{A:A^{t}=A\land A^{t}=-A\}=\{0\}

הוכחה: ישירות- אם A גם סימטרית וגם אנטי סימטרית אזי מתקיים -A=A^t=A. נעביר אגף ונקבל 2A=0. נחלק ב 2 ונקבל כי A=0

דוגמא 4

V=\mathbb{R}^{n\times n} מעל \mathbb{R} . חיתוך של המטריצות המשולשיות התחתונות והמטריצות המשולשיות העליונות.

סכום תתי מרחבים

יהי V מרחב וקטורי מעל \mathbb{F} . יהיו W_1,W_2\leq V תתי מרחבים. נרצה למצוא את התת מרחב W הכי "קטן" שמכיל את W_1,W_2. "קטן" הכוונה כי כל תת מרחב U המקיים W_1,W_2\subseteq U בהכרח יקיים גם W\subseteq U.

יש שיחשבו שהתת מרחב הכי קטן שמכיל את W_1,W_2 הוא האיחוד את W_1,\cup W_2. אבל התשובה שגויה כיוון שהאיחוד לא בהכרח תת מרחב כפי שנוכיח בתרגיל הבא.

תרגיל: (בהרצאה בד"כ) יהי V מרחב וקטורי מעל \mathbb{F} . יהיו W_1,W_2\leq V תתי מרחבים. אזי

W_1,\cup W_2\leq V אמ"מ (W_1\subseteq W_2 \lor W_2\subseteq W_1) כלומר אחד מתת המרחב מוכל בשני.

הוכחה: כיוון ראשון (\Leftarrow): פשוט, אם אחד מוכל בשני אזי האיחוד שווה ל W_i (כאשר i שווה ל-1 או 2, תלוי במקרה) שהוא תת מרחב.

כיוון שני (\Rightarrow): נניח בשלילה כי (W_1\not\subseteq W_2 \land W_2\not\subseteq W_1) אזי קיימים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): w_1\in W_1\setminus W_2 \

וגם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): w_2\in W_2\setminus W_1 \ . שני הוקטורים w_1,w_2 נמצאים באיחוד ולכן גם הסכום שלהם w_1+w_2 נמצא באיחוד כי נתון שהוא תת מרחב. כעת מהגדרת האיחוד w_1+w_2 נמצא ב W_i (כאשר i שווה ל-1 או 2, תלוי במקרה). בה"כ נניח w_1+w_2\in W_1. כיוון ש w_1\in W_1 אזי חיסור שני הוקטורים (w_1+w_2)-w_1 \in W_1 נמצא גם כן ב W_1 אבל החיסור שווה ל w_2. סתירה לכך ש w_2 \not\in W_1


סכום תתי מרחבים וסכום ישר

הגדרה: V מרחב וקטורי מעל \mathbb{F} . יהיו W_1,W_2\leq V תתי מרחבים. אזי סכום תתי המרחבים W_1 + W_2:=\{w_1+w_2:\, w_1\in W_1, w_2\in W_2\} הינו תת מרחב.

תכונה: לכל תת מרחב U עבורו W_1,W_2\subseteq U מתקיים כי W_1+ W_2 \subseteq U.

הגדרה: הסכום W_1+W_2 יקרא סכום ישר אם W_1\cap W_2 = \{0\}. סימון W_1 \oplus W_2.

דוגמאות:

1. ב V=\mathbb{R}^3 נגדיר שני תת מרחב W_1=\{\alpha\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} :\, \alpha \in \mathbb{R} \}

W_2=\{\alpha\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} :\, \alpha \in \mathbb{R} \}

אזי

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): W_1+W_2=\{w_1+w_2:\, w_1\in W_1, w_2\in W_2\} = \\ \{\alpha_1\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + \alpha_2\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}  :\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R} \} = \{\begin{pmatrix}\alpha_1\\ \alpha_1+\alpha_2\\ \alpha_2 \end{pmatrix}  :\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R}\}


2. באופן כללי V מרחבים וקטורי, v_1, v_2, \dots v_m, v_{m+1}, \dots v_{m+k} וקטורים.

אם

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): W_1 =\{\sum_{i=1}^m \alpha_i v_i \, : \, \forall i \; \alpha_i \in \mathbb{F} \}\\ W_2 =\{\sum_{i=1}^k \alpha_i v_{m+i} \, : \, \forall i \; \alpha_i \in \mathbb{F} \}


אז

W_1+W_2 = \{\sum_{i=1}^{m+k} \alpha_i v_i \, : \, \forall i \; \alpha_i \in \mathbb{F} \}

3. עבור עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): W_1= \{(a_1,a_2,\dots a_n)\in \mathbb{F}^n : a_1= a_2 = \dots =a_n\} \\ W_2= \{(a_1,a_2,\dots a_n)\in \mathbb{F}^n : a_1+ a_2 + \dots +a_n = 0 \}


מתקיים כי W_1 \oplus W_2 = \mathbb{F}^n

הוכחה:

קודם נראה שזהו סכום ואח"כ נראה שהוא ישר.

סכום:

יהא v=(a_1,a_2,\dots a_n)\in \mathbb{F}^n. נגדיר b=\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n} את ממוצע הקורדינאטות.

ברור כי w_1=(b,b,\dots ,b)\in W_1. גם ברור כי v=w_1 + (v-w_1).

נראה כי v-w_1 = (a_1-b,\dots ,a_n-b)\in W_2 וסיימנו (כי נגדיר w_2=v-w_1)

אכן כדי שוקטור יהיה ב W_2 סכום הקורטינאטות שלו צריך להיות שווה 0. נחשב (a_1-b)+(a_2-b)+\dots +(a_n-b)= \sum_{i=1}^n a_i -n\cdot b=\sum_{i=1}^n a_i-\sum_{i=1}^n a_i=0. כנדרש.

סכום ישר:

יהא (a_1,\dots ,a_n)=v\in W_1\cap W_2 צ"ל שזהו וקטור האפס. בגלל ש v\in W_1 ניתן להציג אותו כ v=(a,a,\dots ,a), כיוון ש v\in W_2 צריך להתקיים a+a+\dots +a =na=0 ולכן a=0 ולכן v=0

תרגיל

במרחב V=\mathbb{R}_{2}[x], הוכיחו כי W_{1}=\left\{ p(x)\,|\,p(2)=0\right\} ו W_{2}=\left\{ p(x)\,|\,p(x)=x\cdot p'(x)\right\} הם תתי מרחבים. חשבו את החיתוך והסכום שלהם. הראו שהסכום ישר.

תרגיל =

במרחב V=\mathbb{R}^{4}, מצאו את החיתוך והסכום של W_{1}=\left\{ \left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{array}\right)\mid\begin{array}{c}a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}\\-a_{1}+2a_{3}=0\end{array}\right\} ו W_{2}=\left\{ \left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{array}\right)\mid\begin{array}{c}a_{1}-3a_{2}-5a_{3}=a_{4}\\4a_{2}+8a_{3}-2a_{4}=2a_{1}\end{array}\right\}

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-112_לינארית_1_תיכוניסטים_קיץ_תשעא/מערך_תרגול/4&oldid=87879