גרסה אחרונה מ־19:20, 15 ביולי 2021

תוכן עניינים

1 מרחבים וקטורים
- 1.1 דוגמאות
- 1.2 תתי מרחבים

מרחבים וקטורים

דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ $V=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\}$

עם חיבור $(x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})$

וכפל בסקלאר $\alpha\in\mathbb{R} , \alpha(x,y,z)=(\alpha z,\alpha y,\alpha z)$ הוא מרחב וקטורי.

ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.

הגדרה: מרחב וקטורי הוא רביעיה $(V,\mathbb{F},+,\cdot)$ , כאשר

$V$ היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של חיבור (+). כלומר $+:V\times V \to V$
$\mathbb{F}$ הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של $V$ וכפל בסקלאר.
כפל בסקלאר ( $\cdot$ ) היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי $\mathbb{F}$ . פורמאלית $\cdot : \mathbb{F}\times V \to V$

אקסיומות מרחב וקטורי:

אקסיומות של החיבור ב $V$ : לכל מתקיים
1. מוגדרות: $v+w\in V$ .
2. קיבוץ: $v+(u+w)=(v+u)+w$ .
3. חילוף: $v+u=u+v$ .
4. איבר נטרלי: $\exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v$ .
5. איבר נגדי: $\forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0$ .
אקסיומות של כפל וחיבור של שדה: בהגדרת שדה
אקסיומות כפל בסקלאר: לכל מתקיים
1. מוגדרות $\alpha v\in V$
2. קיבוץ: $\alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v$
3. כפל ביחידה (של השדה): $1_{\mathbb{F}}\cdot v=v$
4. פילוג:
  1. $\alpha(v+u)=\alpha v+\alpha u$
  2. $(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v$

טרמינולוגיה: אומרים ש $V$ מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}$ .

איברי $V$ נקראים וקטורים. איברי $\mathbb{F}$ נקראים סקלארים.

תכונות בסיסיות:

.1 $(-1_{F})v=(-v)$

.2 $0_{F}v=0_{V}$

דוגמאות

$V=\mathbb{F}^{n}:=\{(a_{1,}\dots,a_{n})|\, a_{i}\in\mathbb{F}\}$ מעל $\mathbb{F}$ עם חיבור $(a_{1,}\dots,a_{n})+(b_{1,}\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n})$ וכפל בסקלאר $\alpha(a_{1,}\dots,a_{n})=(\alpha a_{1,}\dots,\alpha a_{n})$
מרחב המטריצות $\mathbb{F}^{m\times n}$ מעל שדה $\mathbb{F}$ עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר.
מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית $\mathbb{F}_{n}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\,\forall i \, a_{i}\in\mathbb{F}\}$ מעל שדה $\mathbb{F}$ עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים.
מרחב הפולינומים $\mathbb{F}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\, a_{i}\in\mathbb{F},n\in\mathbb{N}\}$ עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים.
$V=\mathbb{R}$ הוא מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}=\mathbb{Q}$ עם חיבור וכפל "רגילים".
$V=\mathbb{C}^{3}$ הוא מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ .
$V=\mathbb{R}^{3}$ הוא אינו מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ (עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי $i\in \mathbb{F},(1,1,1)\in \mathbb{R}^3$ והכפל בניהם צריך להיות שייך ל $V$ אבל $i\cdot (1,1,1)=(i,i,i)\not\in \mathbb{R}^3$
$V=\mathbb{R}^{2}$ הוא אינו מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ עם חיבור סטנדרטי וכפל בסקלאר $\alpha \cdot (x,y)=(\alpha \cdot x,y)$ כי למשל $(1+1)\cdot 2\cdot(0,1)= (0,1)\neq (0,2)=1\cdot(0,1)+1\cdot(0,1)$ .
$V=\mathbb{R}^{2}$ הוא אינו מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ עם חיבור סטנדרטי וכפל בסקלאר $\alpha \cdot (x,y)=(\alpha^2 \cdot x,\alpha^2\cdot y)$

תתי מרחבים

הגדרה יהיה $V$ מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}$ . תת קבוצה $W\subseteq V$ יקרא תת מרחב אם הוא מרחב וקטורי בפני עצמו ביחס לפעולות V. סימון $W\leq V$

קריטריון מקוצר: כדי לבדוק אם $W\subseteq V$ הוא תת מרחב מספיק לבדוק:

איבר נטרלי: $0$ של $V$ נמצא ב- $W$ ;
סגירות לחיבור: לכל $w,u\in W$ מתקיים $u+w\in W$ ;
סגירות לכפל בסקלאר: לכל $w\in W,\alpha\in\mathbb{F}$ מתקיים $\alpha w\in W$ .

את שאר האקסיומות $W$ יורש מ $V$ כתת קבוצה.

הערה: ניתן לרכז את הבדיקות הנ"ל מספיק לבדוק

$W\not=\emptyset$
שלכל $w,u\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}$ מתקיים $\alpha u+w\in W$ .

אבחנה: $\{0\},V\subseteq V$ תמיד תתי מרחבים ונקראים תתי המרחבים הטריוואלים.

דוגמאות ודוגמאות נגדיות

1. עבור המישור האוקלידי $V=\mathbb{R}^{2}$ מעל $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ :

א. $W=\{(x,0)\,|\, x\in \mathbb{R} \}$ (ציר ה $x$ ) הוא תת מרחב (קל לראות).

ב. $W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq 0\}$ (הרביע החיובי) אינו תת מרחב כי $-1(1,1)=(-1,-1)\not\notin W$

ג. עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq0\:\text{ or }x,y\leq0\}

(הרביע החיובי והשלילי) אינו תת מרחב כי $\underset{\in W}{(2,4)}+\underset{\in W}{(-3,-3)}=(-1,1)\notin W$

ד. $W=\{(x,y)|\, y=3x\}$ קו ישר העובר בראשית הוא כן תת מרחב (לפי הסעיף הבא).

2. תהא $A\in \mathbb{F}^{m\times n}$ מטריצה ונסתכל על אוסף הפתרונות למערכת ההומוגנית $Ax=0$ . פורמאלית $W=\{v\in \mathbb{F}^n \, :\, Av=0\} \subseteq \mathbb{F}^n$ . הוכחתם בהרצאה כי $W\leq \mathbb{F}^n$ הוא תת מרחב

3. מרחב המטריצות $V=\mathbb{F}^{n\times n}$ מעל $\mathbb{F}$ :

א. המטריצות מסוג $W=\{\left(\begin{array}{cccc} a & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & & 0\\ \vdots & & \ddots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right)|a\in\mathbb{F}\}$ הן תת מרחב.

נוכיח :

ברור כי $W$ אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל $W$
לכל $A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}$ רוצים להראות ש $\alpha A_1 +A_2 \in W$ כלומר להראות שהמטריצה $\alpha A_1 +A_2$ כולה אפסים פרט (אולי) למקום $1,1$ וזה אכן כך בגלל שזאת הצורה של $A_1,A_2$

ב. המטריצות הסימטריות $W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A\}$ והמטריצות האנטי-סימטריות $W=\{A\in V\,|\, A^{t}=-A\}$ שתיהן תתי מרחב.

הוכחה (עבור הסימטריות)

ברור כי $W$ אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל $W$
לכל $A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}$ רוצים להראות ש $\alpha A_1 +A_2 \in W$ כלומר להראות שהמטריצה $\alpha A_1 +A_2$ סימטרית. נתון כי $A_1^t=A_1,A_2^t=A_2$ . כעת מחוקי שיחלוף

נקבל כי $(\alpha A_1 +A_2)^t=\alpha A_1^t +A_2^t=\alpha A_1 +A_2$ .

ג.המטריצות הסימטריות איחוד עם המטריצות האנטי סימטריות $W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A \text{ or } A^{t}=-A\}$ אינו תת מרחב כי המטריצות $A_1 = \left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & & 0\cdots & 0\\ 1 & 0 & & 0 & 0\\ \vdots & & \ddots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array} \right) A_2= \left(\begin{array}{ccccc} 0 & -1 & & 0\cdots & 0\\ 1 & 0 & & 0 & 0\\ \vdots & & \ddots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array} \right)$ שייכות ל $W$ אבל החיבור שלהם לא.

ד. המטריצות משולשיות/אלכסוניות/סקלאריות הן תת מרחב.

ה. המטריצות $W=\{A\in V\,|\, tr(A)=0\}$ הן תת מרחב

הוכחה

ברור כי $W$ אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל $W$
לכל $A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}$ רוצים להראות ש $\alpha A_1 +A_2 \in W$ כלומר להראות שעקבה של המטריצה $\alpha A_1 +A_2$ שווה 0. נתון כי $tr(A_1)=tr(A_2)=0$ . כעת מחוקי עקבה

נקבל כי $tr(\alpha A_1 +A_2)=\alpha tr(A_1) +tr(A_2)=\alpha 0 +0 = 0$ .

4. $V=\mathbb{R}_{2}[x]$ מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל $\mathbb{R}$ .

א. $W=\mathbb{R}_{1}[x]=\{a+bx|\, a,b\in\mathbb{R}\}$ הינו תת מרחב כי באופן כללי $\mathbb{R}_{n}[x]$ הוא מרחב וקטורי (והפעולות מוגדרות באופן זהה לכל המרחבים).

ב. $W=\{a+bx|\,0\not=b\in\mathbb{R}\}$ הפולינומים מדרגה 1 בדיוק אינו תת מרחב. כי פולינום האפס שהוא האיבר הנטרלי ב $V$ לא נמצא ב $W$ .

חיתוך תתי מרחבים

משפט: יהי $V$ מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}$ . יהיו $W_1,W_2\leq V$ תתי מרחבים. אזי חיתוך תתי המרחבים $W_1\cap W_2:=\{v\in V:\, v\in W_1\land v\in W_2\}$ הינו תת מרחב.

הערה: זהו התת מרחב הכי "גדול" שמוכל ב $W_1,W_2$ . כלומר, כל תת מרחב $U$ המקיים כי $U\subseteq W_1,W_2$ יקיים כי $U\subseteq W_1\cap W_2$ .

דוגמא 1

1. יהי $V = \mathbb{R}^4$ . נגדיר שני תת מרחבים $W_1=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in V :\, x_1+x_2+x_3+x_4 =0\}$

$W_2=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in V :\, x_1+x_2+x_3+2x_4 =0 \land -x_1+x_2+x_3+x_4 =0 \}$

נמצא את $W_1\cap W_2$

נשים לב שנוכל לאפיין את תתי המרחבים בצורה הבאה:

$W_1=\{v\in V :\, A_1v =0\}$

$W_2=\{v\in V :\, A_2v =0 \}$

כאשר $A_1 = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1\end{pmatrix}, A_2 = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &2 \\ -1 &1 &1 &1 \end{pmatrix}$

כמו שראינו אלו תת מרחבים. כעת $W_1\cap W_2= \{ v \; | \; \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2\end{pmatrix} v =0 \}$

ולכן צריך בסה"כ למצוא פתרון למערכת הומוגנית. נעשה זאת עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1 \\ 1 &1 &1 &2 \\ -1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \to \\ \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1 \\ 0 &0 &0 &1 \\ 0 &2 &2 &2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1 \\ 0 &1 &1 &1\\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &0 \\ 0 &1 &1 &0\\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &1 &0\\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}

התשובה הסופית

$W_1\cap W_2 = \{\left( \begin{array}{c} 0 \\ -t\\ t\\ 0 \end{array}\right) : \, t\in \mathbb{R} \}$

דוגמא 2

יהי $V = \mathbb{R}^3$ . נגדיר שני תת מרחבים

$W_1=\{\alpha_1\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} +\alpha_2\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix} :\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R} \}$

$W_2=\{\alpha_1\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1 \end{pmatrix} +\alpha_2\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} :\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R} \}$

נמצא את החיתוך בניהם

צריך למצוא סקלארים $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3, \alpha_4\in \mathbb{R}$ המקיימים

$\alpha_1\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\-1\end{pmatrix} +\alpha_2\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} = \alpha_3\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} +\alpha_4\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}$

שימו לב שאם מצאנו ארבעה סקלארים שמקימים את המשוואה לעיל אז אנחנו יודעים שהוקטור הזה בחיתוך. עוד שימו לב שאם יודעים שהשיוויון מתקיים מספיק לדעת את $\alpha_1,\alpha_2$ או את $\alpha_3,\alpha_4$ כדי לחשב את הוקטור עצמו (כי שני אגפי השיוויון שווים).

בעצם, זה שוב לפתור מערכת משוואות כאשר הנעלמים הם $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3, \alpha_4$ . הנה המערכת (אחרי שנעביר אגף):

$\begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\ 1 &1 &-1 &1\\ -1 &1 &-1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \alpha_3\\ \alpha_4 \end{pmatrix} = 0$

נדרג ונמשיך

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\ 1 &1 &-1 &1\\ -1 &1 &-1 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\ 0 &2 & 0 & 2\\ 0 &0 &-2 & -2 \end{pmatrix} \to \\ \begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\ 0 &1 & 0 & 1\\ 0 &0 &-1 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &-1 &0 &0\\ 0 &1 & 0 & 1\\ 0 &0 &-1 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1\\ 0 &1 & 0 & 1\\ 0 &0 &-1 & -1 \end{pmatrix}

קיבלנו כי התנאי היחידי המתקיים בין $\alpha_3,\alpha_4$ הוא $\alpha_3= -\alpha_4$ . ובמקרה שהתנאי מתקיים יש פתרון למערכת המשוואות.

לכן התשובה הסופית

$W_1\cap W_2 = \{\alpha\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} -\alpha\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix} :\, \alpha \in \mathbb{R} \}$

דוגמא 3

$V=\mathbb{C}^{n\times n}$ מעל $\mathbb{C}$ . יהיו $W_1$ תת מרחב של המטריצות הסימטריות ו $W_2$ תת המרחב של המטריצות האנטי סימטריות אזי: $W_1\cap W_2=\{A:A^{t}=A\land A^{t}=-A\}=\{0\}$

הוכחה: ישירות- אם $A$ גם סימטרית וגם אנטי סימטרית אזי מתקיים $-A=A^t=A$ . נעביר אגף ונקבל $2A=0$ . נחלק ב 2 ונקבל כי $A=0$

דוגמא 4

$V=\mathbb{R}^{n\times n}$ מעל $\mathbb{R}$ . חיתוך של המטריצות המשולשיות התחתונות והמטריצות המשולשיות העליונות.

סכום תתי מרחבים

יהי $V$ מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}$ . יהיו $W_1,W_2\leq V$ תתי מרחבים. נרצה למצוא את התת מרחב $W$ הכי "קטן" שמכיל את $W_1,W_2$ . "קטן" הכוונה כי כל תת מרחב $U$ המקיים $W_1,W_2\subseteq U$ בהכרח יקיים גם $W\subseteq U$ .

יש שיחשבו שהתת מרחב הכי קטן שמכיל את $W_1,W_2$ הוא האיחוד את $W_1,\cup W_2$ . אבל התשובה שגויה כיוון שהאיחוד לא בהכרח תת מרחב כפי שנוכיח בתרגיל הבא.

תרגיל: (בהרצאה בד"כ) יהי $V$ מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}$ . יהיו $W_1,W_2\leq V$ תתי מרחבים. אזי

$W_1,\cup W_2\leq V$ אמ"מ ( $W_1\subseteq W_2 \lor W_2\subseteq W_1$ ) כלומר אחד מתת המרחב מוכל בשני.

הוכחה: כיוון ראשון ( $\Leftarrow$ ): פשוט, אם אחד מוכל בשני אזי האיחוד שווה ל $W_i$ (כאשר $i$ שווה ל-1 או 2, תלוי במקרה) שהוא תת מרחב.

כיוון שני ( $\Rightarrow$ ): נניח בשלילה כי ( $W_1\not\subseteq W_2 \land W_2\not\subseteq W_1$ ) אזי קיימים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): w_1\in W_1\setminus W_2 \

וגם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): w_2\in W_2\setminus W_1 \ . שני הוקטורים $w_1,w_2$ נמצאים באיחוד ולכן גם הסכום שלהם $w_1+w_2$ נמצא באיחוד כי נתון שהוא תת מרחב. כעת מהגדרת האיחוד $w_1+w_2$ נמצא ב $W_i$ (כאשר $i$ שווה ל-1 או 2, תלוי במקרה). בה"כ נניח $w_1+w_2\in W_1$ . כיוון ש $w_1\in W_1$ אזי חיסור שני הוקטורים $(w_1+w_2)-w_1 \in W_1$ נמצא גם כן ב $W_1$ אבל החיסור שווה ל $w_2$ . סתירה לכך ש $w_2 \not\in W_1$

סכום תתי מרחבים וסכום ישר

הגדרה: $V$ מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}$ . יהיו $W_1,W_2\leq V$ תתי מרחבים. אזי סכום תתי המרחבים $W_1 + W_2:=\{w_1+w_2:\, w_1\in W_1, w_2\in W_2\}$ הינו תת מרחב.

תכונה: לכל תת מרחב $U$ עבורו $W_1,W_2\subseteq U$ מתקיים כי $W_1+ W_2 \subseteq U$ .

הגדרה: הסכום $W_1+W_2$ יקרא סכום ישר אם $W_1\cap W_2 = \{0\}$ . סימון $W_1 \oplus W_2$ .

דוגמאות:

1. ב $V=\mathbb{R}^3$ נגדיר שני תת מרחב $W_1=\{\alpha\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} :\, \alpha \in \mathbb{R} \}$

$W_2=\{\alpha\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} :\, \alpha \in \mathbb{R} \}$

אזי

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): W_1+W_2=\{w_1+w_2:\, w_1\in W_1, w_2\in W_2\} = \\ \{\alpha_1\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + \alpha_2\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} :\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R} \} = \{\begin{pmatrix}\alpha_1\\ \alpha_1+\alpha_2\\ \alpha_2 \end{pmatrix} :\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R}\}

2. באופן כללי $V$ מרחבים וקטורי, $v_1, v_2, \dots v_m, v_{m+1}, \dots v_{m+k}$ וקטורים.

אם

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): W_1 =\{\sum_{i=1}^m \alpha_i v_i \, : \, \forall i \; \alpha_i \in \mathbb{F} \}\\ W_2 =\{\sum_{i=1}^k \alpha_i v_{m+i} \, : \, \forall i \; \alpha_i \in \mathbb{F} \}

אז

$W_1+W_2 = \{\sum_{i=1}^{m+k} \alpha_i v_i \, : \, \forall i \; \alpha_i \in \mathbb{F} \}$

3. עבור עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): W_1= \{(a_1,a_2,\dots a_n)\in \mathbb{F}^n : a_1= a_2 = \dots =a_n\} \\ W_2= \{(a_1,a_2,\dots a_n)\in \mathbb{F}^n : a_1+ a_2 + \dots +a_n = 0 \}

מתקיים כי $W_1 \oplus W_2 = \mathbb{F}^n$

הוכחה:

קודם נראה שזהו סכום ואח"כ נראה שהוא ישר.

סכום:

יהא $v=(a_1,a_2,\dots a_n)\in \mathbb{F}^n$ . נגדיר $b=\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n}$ את ממוצע הקורדינאטות.

ברור כי $w_1=(b,b,\dots ,b)\in W_1$ . גם ברור כי $v=w_1 + (v-w_1)$ .

נראה כי $v-w_1 = (a_1-b,\dots ,a_n-b)\in W_2$ וסיימנו (כי נגדיר $w_2=v-w_1$ )

אכן כדי שוקטור יהיה ב $W_2$ סכום הקורטינאטות שלו צריך להיות שווה 0. נחשב $(a_1-b)+(a_2-b)+\dots +(a_n-b)= \sum_{i=1}^n a_i -n\cdot b=\sum_{i=1}^n a_i-\sum_{i=1}^n a_i=0$ . כנדרש.

סכום ישר:

יהא $(a_1,\dots ,a_n)=v\in W_1\cap W_2$ צ"ל שזהו וקטור האפס. בגלל ש $v\in W_1$ ניתן להציג אותו כ $v=(a,a,\dots ,a)$ , כיוון ש $v\in W_2$ צריך להתקיים $a+a+\dots +a =na=0$ ולכן $a=0$ ולכן $v=0$

תרגיל

במרחב $V=\mathbb{R}_{2}[x]$ , הוכיחו כי $W_{1}=\left\{ p(x)\,|\,p(2)=0\right\}$ ו $W_{2}=\left\{ p(x)\,|\,p(x)=x\cdot p'(x)\right\}$ הם תתי מרחבים. חשבו את החיתוך והסכום שלהם. הראו שהסכום ישר.

תרגיל =

במרחב $V=\mathbb{R}^{4}$ , מצאו את החיתוך והסכום של $W_{1}=\left\{ \left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{array}\right)\mid\begin{array}{c}a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}\\-a_{1}+2a_{3}=0\end{array}\right\}$ ו $W_{2}=\left\{ \left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{array}\right)\mid\begin{array}{c}a_{1}-3a_{2}-5a_{3}=a_{4}\\4a_{2}+8a_{3}-2a_{4}=2a_{1}\end{array}\right\}$

הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4"

גרסה אחרונה מ־19:20, 15 ביולי 2021

תוכן עניינים

מרחבים וקטורים

דוגמאות

תתי מרחבים

דוגמאות ודוגמאות נגדיות

חיתוך תתי מרחבים

דוגמא 1

דוגמא 2

דוגמא 3

דוגמא 4

סכום תתי מרחבים

סכום תתי מרחבים וסכום ישר

תרגיל

תרגיל =

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים

@@ שורה 44: / שורה 44: @@
 ==דוגמאות ==
-.
+#<math>V=\mathbb{F}^{n}:=\{(a_{1,}\dots,a_{n})|\, a_{i}\in\mathbb{F}\}</math> מעל <math>\mathbb{F}</math> עם חיבור <math>(a_{1,}\dots,a_{n})+(b_{1,}\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n})</math> וכפל בסקלאר <math>\alpha(a_{1,}\dots,a_{n})=(\alpha a_{1,}\dots,\alpha a_{n})</math>
-<math>V=\mathbb{F}^{n}:=\{(a_{1,}\dots,a_{n})|\, a_{i}\in\mathbb{F}\}</math> מעל <math>\mathbb{F}</math>
+#מרחב המטריצות <math>\mathbb{F}^{m\times n}</math>  מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר.
+#מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית <math>\mathbb{F}_{n}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\,\forall i \, a_{i}\in\mathbb{F}\}</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים.
-עם חיבור <math>(a_{1,}\dots,a_{n})+(b_{1,}\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n})</math>
+#מרחב הפולינומים <math>\mathbb{F}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\, a_{i}\in\mathbb{F},n\in\mathbb{N}\}</math>  עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים.
+#<math>V=\mathbb{R}</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{Q}</math> עם חיבור וכפל "רגילים".
-וכפל בסקלאר <math>\alpha(a_{1,}\dots,a_{n})=(\alpha a_{1,}\dots,\alpha a_{n})</math>
+#<math>V=\mathbb{C}^{3}</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math>.
+#<math>V=\mathbb{R}^{3}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math> (עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי <math>i\in \mathbb{F},(1,1,1)\in \mathbb{R}^3</math> והכפל בניהם צריך להיות שייך ל <math>V</math> אבל <math>i\cdot (1,1,1)=(i,i,i)\not\in \mathbb{R}^3</math>
-.
+#<math>V=\mathbb{R}^{2}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> עם חיבור סטנדרטי וכפל בסקלאר  <math>\alpha \cdot (x,y)=(\alpha \cdot x,y)</math> כי למשל <math>(1+1)\cdot 2\cdot(0,1)= (0,1)\neq (0,2)=1\cdot(0,1)+1\cdot(0,1)</math>.
-מרחב המטריצות <math>\mathbb{F}^{m\times n}</math>  מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר.
+#<math>V=\mathbb{R}^{2}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> עם חיבור סטנדרטי וכפל בסקלאר  <math>\alpha \cdot (x,y)=(\alpha^2 \cdot x,\alpha^2\cdot y)</math>
-.
-מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית
-<math>\mathbb{F}_{n}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\,\forall i \, a_{i}\in\mathbb{F}\}</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>
-עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים.
-.
-מרחב הפולינומים <math>\mathbb{F}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\, a_{i}\in\mathbb{F},n\in\mathbb{N}\}</math>  עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים.
-.
-<math>V=\mathbb{R}</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{Q}</math> עם חיבור וכפל "רגילים".
-. <math>V=\mathbb{C}^{3}</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math>.
-הערה: <math>V=\mathbb{R}^{3}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math> (עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי <math>i\in \mathbb{F},(1,1,1)\in \mathbb{R}^3</math> והכפל בניהם צריך להיות שייך ל <math>V</math> אבל <math>i\cdot (1,1,1)=(i,i,i)\not\in \mathbb{R}^3</math>
 ==תתי מרחבים ==
@@ שורה 75: / שורה 59: @@
 יקרא '''תת מרחב''' אם הוא מרחב וקטורי בפני עצמו ביחס לפעולות '''V'''. סימון <math>W\leq V</math>
-הערה: כדי לבדוק אם <math>W\subseteq V</math>  הוא תת מרחב מספיק לבדוק
+''קריטריון מקוצר'': כדי לבדוק אם <math>W\subseteq V</math>  הוא תת מרחב מספיק לבדוק:
+#איבר נטרלי: <math>0</math>  של <math>V</math> נמצא ב-<math>W</math>;
-#לכל <math>w,u\in W</math>  מתקיים
+#סגירות לחיבור: לכל <math>w,u\in W</math>  מתקיים <math>u+w\in W</math>;
-#מוגדרות: <math>u+w\in W</math> .
+#סגירות לכפל בסקלאר: לכל <math>w\in W,\alpha\in\mathbb{F}</math>  מתקיים <math>\alpha w\in W</math>.
-#איבר נטרלי: 0  של <math>V</math> נמצא ב-<math>W</math>
-#אקסיומות כפל בסקלאר: לכל <math>w\in W,\alpha\in\mathbb{F}</math>  מתקיים
-##מוגדרות <math>\alpha w\in W</math>
 את שאר האקסיומות <math>W</math>  יורש מ <math>V</math>  כתת קבוצה.
@@ שורה 93: / שורה 74: @@
 ===דוגמאות ודוגמאות נגדיות ===
-. המישור האוקלידי <math>V=\mathbb{R}^{2}</math>  מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math>
+. עבור המישור האוקלידי <math>V=\mathbb{R}^{2}</math>  מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> :
+א. <math> W=\{(x,0)\,|\, x\in \mathbb{R} \}</math> (ציר ה<math>x</math>) הוא תת מרחב (קל לראות).
-א. <math> W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq 0\}</math> (הרביע החיובי) אינו תת מרחב כי
+ב. <math> W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq 0\}</math> (הרביע החיובי) אינו תת מרחב כי
 <math>-1(1,1)=(-1,-1)\not\notin W</math>
-ב. <math>W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq0\:\text{ or }x,y\leq0\}</math>
+ג. <math>W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq0\:\text{ or }x,y\leq0\}</math>
 (הרביע החיובי והשלילי) אינו תת מרחב כי <math>\underset{\in W}{(2,4)}+\underset{\in W}{(-3,-3)}=(-1,1)\notin W</math>
-ג. <math>W=\{(x,y)|\, y=3x\}</math>  קו ישר העובר בראשית הוא כן תת מרחב. נוכיח את זה בסעיף הבא:
+ד. <math>W=\{(x,y)|\, y=3x\}</math>  קו ישר העובר בראשית הוא כן תת מרחב (לפי הסעיף הבא).
 . תהא <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצה ונסתכל על אוסף הפתרונות למערכת ההומוגנית <math>Ax=0</math>.
 פורמאלית <math>W=\{v\in \mathbb{F}^n \, :\, Av=0\} \subseteq \mathbb{F}^n </math>.
+הוכחתם בהרצאה כי <math>W\leq \mathbb{F}^n</math> הוא תת מרחב
-טענה <math>W\leq \mathbb{F}^n</math> תת מרחב
-הוכחה: נשתמש בקריטריון המקוצר
+. מרחב המטריצות  <math>V=\mathbb{F}^{n\times n}</math>  מעל <math>\mathbb{F}</math>:
-# ברור ש <math>W</math> לא ריקה כי <math>0\in W</math>
-# לכל <math>v_1,v_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> רוצים להראות כי <math>\alpha v_1 +v_2 \in W</math>. לפי הגדרה צריך להראות כי <math>A(\alpha v_1 +v_2)=0</math>. ואכן, <math>A(\alpha v_1 +v_2)=\alpha Av_1+Av_2=\alpha 0+0 =0+0=0</math>.
-. מרחב המטריצות  <math>V=\mathbb{F}^{n\times n}</math>  מעל <math>\mathbb{F}</math>
 א. המטריצות מסוג
 <math>W=\{\left(\begin{array}{cccc}
@@ שורה 173: / שורה 152: @@
 משפט: יהי <math>V</math>  מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> . יהיו <math>W_1,W_2\leq V</math>  תתי מרחבים.
-אזי חיתוך תתי המרחבים <math>W_1\cap W_1:=\{v\in V:\, v\in W_1\land v\in W_2\}</math>  הינו תת מרחב.
+אזי חיתוך תתי המרחבים <math>W_1\cap W_2:=\{v\in V:\, v\in W_1\land v\in W_2\}</math>  הינו תת מרחב.
-הערה: זהו התת מרחב הכי "גדול" שמוכל ב <math>W_1,W_2</math>. פורמאלית, כל תת מרחב <math>U</math> המקיים כי <math>U\subseteq W_1,W_2</math> יקיים כי <math>U\subseteq W_1\cap W_2</math>
+הערה: זהו התת מרחב הכי "גדול" שמוכל ב <math>W_1,W_2</math>. כלומר, כל תת מרחב <math>U</math> המקיים כי <math>U\subseteq W_1,W_2</math> יקיים כי <math>U\subseteq W_1\cap W_2</math> .
 ====דוגמא 1====
-. יהי <math>V = \mathbb{R}^4 </math>. נגדיר שתי תת מרחבים
+. יהי <math>V = \mathbb{R}^4 </math>. נגדיר שני תת מרחבים
 <math>W_1=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in V :\, x_1+x_2+x_3+x_4 =0\} </math>
@@ שורה 197: / שורה 176: @@
 כמו שראינו אלו תת מרחבים. כעת
-<math>W_1\cap W_2= \begin{pmatrix} A_1 &A_2\end{pmatrix} v =0</math>
+<math>W_1\cap W_2= \{ v \; | \; \begin{pmatrix} A_1  \\ A_2\end{pmatrix} v =0 \}</math>
-ולכן צריך בסה"כ למצוא פתרון למערכת לא הומוגנית. נעשה זאת
+ולכן צריך בסה"כ למצוא פתרון למערכת הומוגנית. נעשה זאת
 <math>
 \begin{pmatrix}
@@ שורה 245: / שורה 224: @@
 ====דוגמא 2====
-יהי <math>V = \mathbb{R}^3 </math>. נגדיר שתי תת מרחבים
+יהי <math>V = \mathbb{R}^3 </math>. נגדיר שני תת מרחבים
 <math>W_1=\{\alpha_1\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}
-+ +\alpha_2\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}
+ +\alpha_2\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}
 :\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R} \} </math>
@@ שורה 265: / שורה 244: @@
 </math>
-שימו לב שאם מצאנו ארבעה סקלארים שמקימים את המשוואה לעיל אז אנחנו יודעים שהוקטור הזה במשוואה. עוד שימו לב שאם יודעים שהשיוויון מתקיים מספיק לדעת את <math>\alpha_1,\alpha_2</math> או את <math>\alpha_3,\alpha_4</math> כדי לחשב את הוקטור עצמו (כי שני אגפי השיוויון שווים).
+שימו לב שאם מצאנו ארבעה סקלארים שמקימים את המשוואה לעיל אז אנחנו יודעים שהוקטור הזה בחיתוך. עוד שימו לב שאם יודעים שהשיוויון מתקיים מספיק לדעת את <math>\alpha_1,\alpha_2</math> או את <math>\alpha_3,\alpha_4</math> כדי לחשב את הוקטור עצמו (כי שני אגפי השיוויון שווים).
 בעצם, זה שוב לפתור מערכת משוואות כאשר הנעלמים הם <math>\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3, \alpha_4</math>. הנה המערכת (אחרי שנעביר אגף):
@@ שורה 337: / שורה 316: @@
 ישירות- אם <math>A</math> גם סימטרית וגם אנטי סימטרית אזי מתקיים <math>-A=A^t=A</math>. נעביר אגף ונקבל <math>2A=0</math>. נחלק ב 2 ונקבל כי <math>A=0</math>
+====דוגמא 4====
+<math>V=\mathbb{R}^{n\times n}</math>  מעל <math>\mathbb{R}</math> . חיתוך של המטריצות המשולשיות התחתונות והמטריצות המשולשיות העליונות.
 === סכום תתי מרחבים===
 יהי <math>V</math>  מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> . יהיו <math>W_1,W_2\leq V</math>  תתי מרחבים.
-נרצה למצוא את התת מרחב הכי "קטן" שמכיל את <math>W_1,W_2</math>. נסמן תת מרחב זה ב <math>W</math> אז פורמאלית, נרצה כי כל תת מרחב <math>U</math> המקיים <math> W_1,W_2\subseteq U</math> בהכרח יקיים גם <math>W\subseteq U</math>.
+נרצה למצוא את התת מרחב <math>W</math> הכי "קטן" שמכיל את <math>W_1,W_2</math>. "קטן" הכוונה כי כל תת מרחב <math>U</math> המקיים <math> W_1,W_2\subseteq U</math> בהכרח יקיים גם <math>W\subseteq U</math>.
 יש שיחשבו שהתת מרחב הכי קטן שמכיל את <math>W_1,W_2</math> הוא האיחוד את <math>W_1,\cup W_2</math>.
 אבל התשובה שגויה כיוון שהאיחוד לא בהכרח תת מרחב כפי שנוכיח בתרגיל הבא.
-תרגיל:
+'''תרגיל: (בהרצאה בד"כ)'''
 יהי <math>V</math>  מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> . יהיו <math>W_1,W_2\leq V</math>  תתי מרחבים. אזי
 <math>W_1,\cup W_2\leq V</math> אמ"מ (<math>W_1\subseteq W_2 \lor W_2\subseteq W_1</math>) כלומר אחד מתת המרחב מוכל בשני.
-הוכחה:
+'''הוכחה:'''
 כיוון ראשון (<math>\Leftarrow</math>): פשוט, אם אחד מוכל בשני אזי האיחוד שווה ל <math>W_i</math> (כאשר <math>i</math> שווה ל-1 או 2, תלוי במקרה) שהוא תת מרחב.
@@ שורה 358: / שורה 339: @@
 ====סכום תתי מרחבים וסכום ישר ====
-הגדרה:  <math>V</math>  מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> . יהיו <math>W_1,W_2\leq V</math>  תתי מרחבים.
+'''הגדרה:'''  <math>V</math>  מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> . יהיו <math>W_1,W_2\leq V</math>  תתי מרחבים.
-אזי סכום תתי המרחבים <math>W_1 +  W_1:=\{w_1+w_2:\, w_1\in W_1, w_2\in W_2\}</math>  הינו תת מרחב.
+אזי '''סכום תתי המרחבים''' <math>W_1 +  W_2:=\{w_1+w_2:\, w_1\in W_1, w_2\in W_2\}</math>  הינו תת מרחב.
+תכונה: לכל תת מרחב <math>U</math> עבורו <math> W_1,W_2\subseteq U</math> מתקיים כי <math> W_1+ W_2 \subseteq U</math>.
+'''הגדרה:''' הסכום <math>W_1+W_2</math> יקרא '''סכום ישר''' אם <math>W_1\cap W_2 = \{0\}</math>.
+סימון <math>W_1 \oplus W_2</math>.
+'''דוגמאות:'''
+. ב <math>V=\mathbb{R}^3</math> נגדיר שני תת מרחב
+<math>W_1=\{\alpha\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}
+:\, \alpha \in \mathbb{R} \} </math>
+<math>W_2=\{\alpha\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}
+:\, \alpha \in \mathbb{R} \} </math>
+אזי
+<math>W_1+W_2=\{w_1+w_2:\, w_1\in W_1, w_2\in W_2\} = \\
+\{\alpha_1\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}
++ \alpha_2\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}
+:\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R} \} =
+\{\begin{pmatrix}\alpha_1\\ \alpha_1+\alpha_2\\ \alpha_2 \end{pmatrix}
+:\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R}\}
+</math>
+. באופן כללי <math>V</math> מרחבים וקטורי, <math>v_1, v_2, \dots v_m, v_{m+1}, \dots v_{m+k}</math>  וקטורים.
+אם
+<math>
+W_1 =\{\sum_{i=1}^m \alpha_i v_i \, : \, \forall i \; \alpha_i \in \mathbb{F} \}\\
+W_2 =\{\sum_{i=1}^k \alpha_i v_{m+i} \, : \, \forall i \; \alpha_i \in \mathbb{F} \}
+</math>
+אז
+<math>W_1+W_2 = \{\sum_{i=1}^{m+k} \alpha_i v_i \, : \, \forall i \; \alpha_i \in \mathbb{F} \} </math>
+. עבור
+<math>
+W_1= \{(a_1,a_2,\dots a_n)\in \mathbb{F}^n : a_1= a_2 = \dots =a_n\} \\
+W_2= \{(a_1,a_2,\dots a_n)\in \mathbb{F}^n : a_1+ a_2 + \dots +a_n = 0 \}
+</math>
+מתקיים כי
+<math>W_1 \oplus W_2 = \mathbb{F}^n</math>
+הוכחה:
+קודם נראה שזהו סכום ואח"כ נראה שהוא ישר.
+'''סכום:'''
+יהא <math>v=(a_1,a_2,\dots a_n)\in \mathbb{F}^n</math>.
+נגדיר <math>b=\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n}</math> את ממוצע הקורדינאטות.
+ברור כי <math>w_1=(b,b,\dots ,b)\in W_1</math>. גם ברור כי <math>v=w_1 + (v-w_1)</math>.
+נראה כי <math>v-w_1 = (a_1-b,\dots ,a_n-b)\in W_2</math> וסיימנו (כי נגדיר <math>w_2=v-w_1</math>)
+אכן כדי שוקטור יהיה ב <math>W_2</math> סכום הקורטינאטות שלו צריך להיות שווה 0.
+נחשב <math>(a_1-b)+(a_2-b)+\dots +(a_n-b)= \sum_{i=1}^n a_i -n\cdot b=\sum_{i=1}^n a_i-\sum_{i=1}^n a_i=0</math>. כנדרש.
+'''סכום ישר:'''
+יהא <math>(a_1,\dots ,a_n)=v\in W_1\cap W_2</math> צ"ל שזהו וקטור האפס. בגלל ש <math>v\in W_1</math> ניתן להציג אותו כ <math>v=(a,a,\dots ,a)</math>, כיוון ש <math>v\in W_2</math> צריך להתקיים <math>a+a+\dots +a =na=0</math> ולכן <math>a=0</math> ולכן <math>v=0</math>
+==== תרגיל ====
+במרחב <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math>, הוכיחו כי <math>W_{1}=\left\{ p(x)\,|\,p(2)=0\right\}</math>  ו <math>W_{2}=\left\{ p(x)\,|\,p(x)=x\cdot p'(x)\right\}</math>  הם תתי מרחבים. חשבו את החיתוך והסכום שלהם. הראו שהסכום ישר.
-הערה: זהו התת מרחב הכי "קטן" המכיל את שני תת המרחב. פורמאלית, כל תת מרחב <math>U</math> המקיים
+=== תרגיל ====
-כי <math> W_1,W_2\subseteq U</math> יקיים כי <math> W_1+ W_2 \subseteq U</math>
+במרחב <math>V=\mathbb{R}^{4}</math>, מצאו את החיתוך והסכום של
+<math>W_{1}=\left\{ \left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{array}\right)\mid\begin{array}{c}a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}\\-a_{1}+2a_{3}=0\end{array}\right\}</math>
+ו
+<math>W_{2}=\left\{ \left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{array}\right)\mid\begin{array}{c}a_{1}-3a_{2}-5a_{3}=a_{4}\\4a_{2}+8a_{3}-2a_{4}=2a_{1}\end{array}\right\}</math>