גרסה מ־12:07, 9 ביולי 2015

מרחבים וקטורים

דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ $V=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\}$ עם חיבור $(x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})$ וכפל בסקלאר $\alpha\in\mathbb{R} , \alpha(x,y,z)=(\alpha z,\alpha y,\alpha z)$ הוא מרחב וקטורי.

ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.

הגדרה: מרחב וקטורי הוא רביעיה $(V,\mathbb{F},+,\cdot)$ , כאשר

$V$ היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של חיבור (+). כלומר $+:V\times V \to V$
$\mathbb{F}$ הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של $V$ וכפל בסקלאר.
כפל בסקלאר ( $\cdot$ ) היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי $\mathbb{F}$ .

פורמאלית $\cdot : \mathbb{F}\times V \to V$ .

אקסיומות מרחב וקטורי:

אקסיומות של החיבור ב $V$ :

לכל $v,w,u\in V$ מתקיים

1. מוגדרות: $v+w\in V$ .
2. קיבוץ: $v+(u+w)=(v+u)+w$ .
3. חילוף: $v+u=u+v$ .
4. איבר נטרלי: $\exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v$ .
5. איבר נגדי: $\forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0$ .

אקסיומות של כפל וחיבור של שדה -בהגדרת שדה

אקסיומות כפל בסקלאר

לכל $v,u\in V,\alpha,\beta\in\mathbb{F}$ מתקיים

1. מוגדרות $\alpha v\in V$
2. קיבוץ: $\alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v$
3. כפל ביחידה (של השדה): $1_{\mathbb{F}}\cdot v=v$
4. פילוג:
  1. $\alpha(v+u)=\alpha v+\alpha u$
  2. $(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v$

טרמינולוגיה: אומרים ש $V$ מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}$ .

איברי $V$ נקראים וקטורים. איברי $\mathbb{F}$ נקראים סקלארים.

תכונות בסיסיות:

.1 $(-1_{F})v=(-v)$

.2 $0_{F}v=0_{V}$

@@ שורה 2: / שורה 2: @@
 דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ<math>V=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\}</math>  עם '''חיבור'''
- <math>(x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})</math>  ו'''כפל בסקלאר''' <math>\alpha\in\mathbb{R} , \alpha(x,y,z)=(\alpha z,\alpha y,\alpha z)</math>  הוא מרחב וקטורי.
+<math>(x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})</math>  ו'''כפל בסקלאר''' <math>\alpha\in\mathbb{R} , \alpha(x,y,z)=(\alpha z,\alpha y,\alpha z)</math>  הוא מרחב וקטורי.
 ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.
@@ שורה 14: / שורה 14: @@
 אקסיומות מרחב וקטורי:
-'''אקסיומות של החיבור ב <math>V</math>:'''
+#'''אקסיומות של החיבור ב <math>V</math>:'''
 לכל <math>v,w,u\in V</math>  מתקיים
-# מוגדרות: <math>v+w\in V</math> .
+## מוגדרות: <math>v+w\in V</math> .
-#קיבוץ: <math>v+(u+w)=(v+u)+w</math> .
+##קיבוץ: <math>v+(u+w)=(v+u)+w</math> .
-#חילוף: <math>v+u=u+v</math> .
+##חילוף: <math>v+u=u+v</math> .
-#איבר נטרלי: <math>\exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v</math> .
+##איבר נטרלי: <math>\exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v</math> .
-#איבר נגדי: <math>\forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0</math> .
+##איבר נגדי: <math>\forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0</math> .
-'''אקסיומות של כפל וחיבור של שדה''' -בהגדרת שדה
+#'''אקסיומות של כפל וחיבור של שדה''' -בהגדרת שדה
-'''אקסיומות כפל בסקלאר'''
+#'''אקסיומות כפל בסקלאר'''
 לכל <math>v,u\in V,\alpha,\beta\in\mathbb{F}</math> מתקיים
-#מוגדרות <math>\alpha v\in V</math>
+##מוגדרות <math>\alpha v\in V</math>
-#קיבוץ: <math>\alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v</math>
+##קיבוץ: <math>\alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v</math>
-#כפל ביחידה (של השדה): <math>1_{\mathbb{F}}\cdot v=v</math>
+##כפל ביחידה (של השדה): <math>1_{\mathbb{F}}\cdot v=v</math>
-# פילוג:
+## פילוג:
-##<math>\alpha(v+u)=\alpha v+\alpha u</math>
+###<math>\alpha(v+u)=\alpha v+\alpha u</math>
-## <math>(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v</math>
+### <math>(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v</math>
 טרמינולוגיה: אומרים ש <math>V</math>  מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>.

הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4"

גרסה מ־12:07, 9 ביולי 2015

מרחבים וקטורים

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים