הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏דוגמאות)
(←‏דוגמאות)
שורה 69: שורה 69:
  
 
הערה: <math>V=\mathbb{R}^{3}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math> (עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי <math>i\in \mathbb{F},(1,1,1)\in \mathbb{R}^3</math> והכפל בניהם צריך להיות שייך ל <math>V</math> אבל <math>i\cdot (1,1,1)=(i,i,i)\not\in \mathbb{R}^3</math>
 
הערה: <math>V=\mathbb{R}^{3}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math> (עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי <math>i\in \mathbb{F},(1,1,1)\in \mathbb{R}^3</math> והכפל בניהם צריך להיות שייך ל <math>V</math> אבל <math>i\cdot (1,1,1)=(i,i,i)\not\in \mathbb{R}^3</math>
 +
 +
==תתי מרחבים ==
 +
 +
הגדרה יהיה <math>V</math>  מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>. תת קבוצה <math>W\subseteq V</math>
 +
יקרא '''תת מרחב''' אם הוא מרחב וקטורי בפני עצמו ביחס לפעולות '''V'''. סימון <math>W\leq V</math>
 +
 +
הערה: כדי לבדוק אם '''W\subseteq V'''  הוא תת מרחב מספיק לבדוק
 +
 +
#לכל <math>w,u\in W</math>  מתקיים
 +
#מוגדרות: <math>u+w\in W</math> .
 +
#איבר נטרלי: 0  של <math>V</math> נמצא ב-<math>W</math>
 +
#אקסיומות כפל בסקלאר: לכל <math>w\in W,\alpha\in\mathbb{F}</math>  מתקיים
 +
##מוגדרות <math>\alpha w\in W</math>
 +
 +
את שאר האקסיומות <math>W</math>  יורש מ <math>V</math>  כתת קבוצה.
 +
 +
הערה: ניתן לרכז את הבדיקות הנ"ל מספיק לבדוק
 +
#<math>W\not=\emptyset</math>
 +
#שלכל <math>w,u\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math>  מתקיים <math>\alpha u+w\in W</math>.
 +
 +
אבחנה:  <math>\{0\},V\subseteq V</math> תמיד תתי מרחבים ונקראים <math>תתי המרחבים הטריוואלים</math>.

גרסה מ־12:25, 9 ביולי 2015

מרחבים וקטורים

דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּV=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\}

עם חיבור (x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})

וכפל בסקלאר \alpha\in\mathbb{R} , \alpha(x,y,z)=(\alpha z,\alpha y,\alpha z) הוא מרחב וקטורי.

ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.

הגדרה: מרחב וקטורי הוא רביעיה (V,\mathbb{F},+,\cdot), כאשר

  • V היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של חיבור (+). כלומר +:V\times V \to V
  • \mathbb{F} הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של V וכפל בסקלאר.
  • כפל בסקלאר (\cdot) היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי \mathbb{F}. פורמאלית \cdot : \mathbb{F}\times V \to V

אקסיומות מרחב וקטורי:

  1. אקסיומות של החיבור ב V: לכל v,w,u\in V מתקיים
    1. מוגדרות: v+w\in V .
    2. קיבוץ: v+(u+w)=(v+u)+w .
    3. חילוף: v+u=u+v .
    4. איבר נטרלי: \exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v .
    5. איבר נגדי: \forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0 .
  2. אקסיומות של כפל וחיבור של שדה: בהגדרת שדה
  3. אקסיומות כפל בסקלאר: לכל v,u\in V,\alpha,\beta\in\mathbb{F} מתקיים
    1. מוגדרות \alpha v\in V
    2. קיבוץ: \alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v
    3. כפל ביחידה (של השדה): 1_{\mathbb{F}}\cdot v=v
    4. פילוג:
      1. \alpha(v+u)=\alpha v+\alpha u
      2. (\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v

טרמינולוגיה: אומרים ש V מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}.

איברי V נקראים וקטורים. איברי \mathbb{F} נקראים סקלארים.


תכונות בסיסיות:

.1 (-1_{F})v=(-v)

.2 0_{F}v=0_{V}

דוגמאות

1. V=\mathbb{F}^{n}:=\{(a_{1,}\dots,a_{n})|\, a_{i}\in\mathbb{F}\} מעל \mathbb{F}

עם חיבור (a_{1,}\dots,a_{n})+(b_{1,}\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n})

וכפל בסקלאר \alpha(a_{1,}\dots,a_{n})=(\alpha a_{1,}\dots,\alpha a_{n})

2. מרחב המטריצות \mathbb{F}^{m\times n} מעל שדה \mathbb{F} עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר.

3. מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית \mathbb{F}_{n}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\,\forall i \, a_{i}\in\mathbb{F}\} מעל שדה \mathbb{F}

עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים.

4. מרחב הפולינומים \mathbb{F}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\, a_{i}\in\mathbb{F},n\in\mathbb{N}\} עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים.

5. V=\mathbb{R} הוא מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{Q} עם חיבור וכפל "רגילים".

6. V=\mathbb{C}^{3} הוא מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{R}.

הערה: V=\mathbb{R}^{3} הוא אינו מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{C} (עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי i\in \mathbb{F},(1,1,1)\in \mathbb{R}^3 והכפל בניהם צריך להיות שייך ל V אבל i\cdot (1,1,1)=(i,i,i)\not\in \mathbb{R}^3

תתי מרחבים

הגדרה יהיה V מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}. תת קבוצה W\subseteq V יקרא תת מרחב אם הוא מרחב וקטורי בפני עצמו ביחס לפעולות V. סימון W\leq V

הערה: כדי לבדוק אם W\subseteq V הוא תת מרחב מספיק לבדוק

  1. לכל w,u\in W מתקיים
  2. מוגדרות: u+w\in W .
  3. איבר נטרלי: 0 של V נמצא ב-W
  4. אקסיומות כפל בסקלאר: לכל w\in W,\alpha\in\mathbb{F} מתקיים
    1. מוגדרות \alpha w\in W

את שאר האקסיומות W יורש מ V כתת קבוצה.

הערה: ניתן לרכז את הבדיקות הנ"ל מספיק לבדוק

  1. W\not=\emptyset
  2. שלכל w,u\in W,\,\alpha\in\mathbb{F} מתקיים \alpha u+w\in W.

אבחנה: \{0\},V\subseteq V תמיד תתי מרחבים ונקראים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): תתי המרחבים הטריוואלים .

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-112_לינארית_1_תיכוניסטים_קיץ_תשעא/מערך_תרגול/4&oldid=61800