גרסה מ־12:39, 9 ביולי 2015

תוכן עניינים

1 מרחבים וקטורים
- 1.1 דוגמאות
- 1.2 תתי מרחבים
  - 1.2.1 דוגמאות ודוגמאות נגדיות

מרחבים וקטורים

דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ $V=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\}$

עם חיבור $(x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})$

וכפל בסקלאר $\alpha\in\mathbb{R} , \alpha(x,y,z)=(\alpha z,\alpha y,\alpha z)$ הוא מרחב וקטורי.

ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.

הגדרה: מרחב וקטורי הוא רביעיה $(V,\mathbb{F},+,\cdot)$ , כאשר

$V$ היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של חיבור (+). כלומר $+:V\times V \to V$
$\mathbb{F}$ הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של $V$ וכפל בסקלאר.
כפל בסקלאר ( $\cdot$ ) היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי $\mathbb{F}$ . פורמאלית $\cdot : \mathbb{F}\times V \to V$

אקסיומות מרחב וקטורי:

אקסיומות של החיבור ב $V$ : לכל מתקיים
1. מוגדרות: $v+w\in V$ .
2. קיבוץ: $v+(u+w)=(v+u)+w$ .
3. חילוף: $v+u=u+v$ .
4. איבר נטרלי: $\exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v$ .
5. איבר נגדי: $\forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0$ .
אקסיומות של כפל וחיבור של שדה: בהגדרת שדה
אקסיומות כפל בסקלאר: לכל מתקיים
1. מוגדרות $\alpha v\in V$
2. קיבוץ: $\alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v$
3. כפל ביחידה (של השדה): $1_{\mathbb{F}}\cdot v=v$
4. פילוג:
  1. $\alpha(v+u)=\alpha v+\alpha u$
  2. $(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v$

טרמינולוגיה: אומרים ש $V$ מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}$ .

איברי $V$ נקראים וקטורים. איברי $\mathbb{F}$ נקראים סקלארים.

תכונות בסיסיות:

.1 $(-1_{F})v=(-v)$

.2 $0_{F}v=0_{V}$

דוגמאות

1. $V=\mathbb{F}^{n}:=\{(a_{1,}\dots,a_{n})|\, a_{i}\in\mathbb{F}\}$ מעל $\mathbb{F}$

עם חיבור $(a_{1,}\dots,a_{n})+(b_{1,}\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n})$

וכפל בסקלאר $\alpha(a_{1,}\dots,a_{n})=(\alpha a_{1,}\dots,\alpha a_{n})$

2. מרחב המטריצות $\mathbb{F}^{m\times n}$ מעל שדה $\mathbb{F}$ עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר.

3. מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית $\mathbb{F}_{n}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\,\forall i \, a_{i}\in\mathbb{F}\}$ מעל שדה $\mathbb{F}$

עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים.

4. מרחב הפולינומים $\mathbb{F}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\, a_{i}\in\mathbb{F},n\in\mathbb{N}\}$ עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים.

5. $V=\mathbb{R}$ הוא מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}=\mathbb{Q}$ עם חיבור וכפל "רגילים".

6. $V=\mathbb{C}^{3}$ הוא מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ .

הערה: $V=\mathbb{R}^{3}$ הוא אינו מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ (עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי $i\in \mathbb{F},(1,1,1)\in \mathbb{R}^3$ והכפל בניהם צריך להיות שייך ל $V$ אבל $i\cdot (1,1,1)=(i,i,i)\not\in \mathbb{R}^3$

תתי מרחבים

הגדרה יהיה $V$ מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}$ . תת קבוצה $W\subseteq V$ יקרא תת מרחב אם הוא מרחב וקטורי בפני עצמו ביחס לפעולות V. סימון $W\leq V$

הערה: כדי לבדוק אם W\subseteq V הוא תת מרחב מספיק לבדוק

לכל $w,u\in W$ מתקיים
מוגדרות: $u+w\in W$ .
איבר נטרלי: 0 של $V$ נמצא ב- $W$
אקסיומות כפל בסקלאר: לכל מתקיים
1. מוגדרות $\alpha w\in W$

את שאר האקסיומות $W$ יורש מ $V$ כתת קבוצה.

הערה: ניתן לרכז את הבדיקות הנ"ל מספיק לבדוק

$W\not=\emptyset$
שלכל $w,u\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}$ מתקיים $\alpha u+w\in W$ .

אבחנה: $\{0\},V\subseteq V$ תמיד תתי מרחבים ונקראים תתי המרחבים הטריוואלים.

דוגמאות ודוגמאות נגדיות

1. המישור האוקלידי $V=\mathbb{R}^{2}$ מעל $\mathbb{F}=\mathbb{R}$

א. $W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq 0\}$ (הרביע החיובי) אינו תת מרחב כי $-1(1,1)=(-1,-1)\not\notin W$

ב. עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq0\:\textnormal{or }x,y\leq0\}

 (הרביע החיובי והשלילי) אינו תת מרחב כי  $\underset{\in W}{(2,4)}+\underset{\in W}{(-3,-3)}=(-1,1)\notin W$

ג. $W=\{(x,y)|\, y=3x\}$ קו ישר העובר בראשית הוא כן תת מרחב. נוכיח את זה בסעיף הבא:

2. תהא $A\in \mathbb{F}^{m\times n}$ מטריצה ונסתכל על אוסף הפתרונות למערכת ההומוגנית $Ax=0$ . פורמאלית $W=\{v\in \mathbb{F}^n \, :\, Av=0\} \subseteq \mathbb{F}^n$ .

טענה $W\leq \mathbb{F}^n$ תת מרחב

הוכחה: נשתמש בקריטריון המקוצר

ברור ש $W$ לא ריקה כי $0\in W$
לכל $v_1,v_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}$ רוצים להראות כי $\alpha v_1 +v_2 \in W$ . לפי הגדרה צריך להראות כי $A(\alpha v_1 +v_2)=0$ . ואכן, $A(\alpha v_1 +v_2)=\alpha Av_1+Av_2=\alpha 0+0 =0+0=0$ .

3. מרחב המטריצות $V=\mathbb{F}^{n\times n}$ מעל $\mathbb{F}$ א. המטריצות מסוג

 $W=\{\left(\begin{array}{cccc} a & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & & 0\\ \vdots & & \ddots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right)|a\in\mathbb{F}\}$

הן תת מרחב.

נוכיח :

ברור כי $W$ אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל $W$

(b) המטריצות הסימטריות W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A\} ֱ הן תת מרחב )בתרגיל(.

(c) המטריצות הסימטריות איחוד עם המטריצות האנטי סימטריות W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A\textnormal{\,\ or\,}A^{t}=-A\} אינו תת מרחב כי \left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right)\in W אבל \left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)\notin W .

.3 V=\mathbb{R}_{2}[x] מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל \mathbb{R} .

(a) W=\mathbb{R}_{1}[x]=\{a+bx|\, a,b\in\mathbb{R}\} הינו תת מרחב כי באופן כללי \mathbb{R}_{n}[x] הוא מרחב וקטורי.

(b) W=\{a+bx|\,0\not=b\in\mathbb{R}\} הפולינומים מדרגה 1 בדיוק אינו תת מרחב. כי פולינום האפס שהוא האיבר הנטרלי ב V לא נמצא ב W 0\notin W .

.4 V=\mathbb{R} הוא מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{Q} .

(a) W=\mathbb{Q} הוא תת מרחב כי לכל v,w\in W,\,\alpha\in\mathbb{F} מתקיים \alpha v+w\in W .

.5 V=\mathbb{R} הוא מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{R} .

(a) W=\mathbb{Q} הוא אינו תת מרחב כי 1\in W,\,\sqrt{2}\in\mathbb{F} אבל 1\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2}\notin W

הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4"

גרסה מ־12:39, 9 ביולי 2015

תוכן עניינים

מרחבים וקטורים

דוגמאות

תתי מרחבים

דוגמאות ודוגמאות נגדיות

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים

@@ שורה 89: / שורה 89: @@
 #שלכל <math>w,u\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math>  מתקיים <math>\alpha u+w\in W</math>.
-אבחנה:  <math>\{0\},V\subseteq V</math> תמיד תתי מרחבים ונקראים <math>תתי המרחבים הטריוואלים</math>.
+אבחנה:  <math>\{0\},V\subseteq V</math> תמיד תתי מרחבים ונקראים תתי המרחבים הטריוואלים.
+===דוגמאות ודוגמאות נגדיות ===
+. המישור האוקלידי <math>V=\mathbb{R}^{2}</math>  מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math>
+א. <math> W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq 0\}</math> (הרביע החיובי) אינו תת מרחב כי
+<math>-1(1,1)=(-1,-1)\not\notin W</math>
+ב. <math>W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq0\:\textnormal{or }x,y\leq0\}</math>  (הרביע החיובי והשלילי) אינו תת מרחב כי <math>\underset{\in W}{(2,4)}+\underset{\in W}{(-3,-3)}=(-1,1)\notin W</math>
+ג. <math>W=\{(x,y)|\, y=3x\}</math>  קו ישר העובר בראשית הוא כן תת מרחב. נוכיח את זה בסעיף הבא:
+. תהא <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצה ונסתכל על אוסף הפתרונות למערכת ההומוגנית <math>Ax=0</math>.
+פורמאלית <math>W=\{v\in \mathbb{F}^n \, :\, Av=0\} \subseteq \mathbb{F}^n </math>.
+טענה <math>W\leq \mathbb{F}^n</math> תת מרחב
+הוכחה: נשתמש בקריטריון המקוצר
+# ברור ש <math>W</math> לא ריקה כי <math>0\in W</math>
+# לכל <math>v_1,v_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> רוצים להראות כי <math>\alpha v_1 +v_2 \in W</math>. לפי הגדרה צריך להראות כי <math>A(\alpha v_1 +v_2)=0</math>. ואכן, <math>A(\alpha v_1 +v_2)=\alpha Av_1+Av_2=\alpha 0+0 =0+0=0</math>.
+. מרחב המטריצות  <math>V=\mathbb{F}^{n\times n}</math>  מעל <math>\mathbb{F}</math>
+א. המטריצות מסוג
+ <math>W=\{\left(\begin{array}{cccc}
+a & 0 & \cdots & 0\\
+& 0 &  & 0\\
+\vdots &  & \ddots & 0\\
+& 0 & \cdots & 0
+\end{array}\right)|a\in\mathbb{F}\}</math>
+הן תת מרחב.
+נוכיח :
+# ברור כי <math>W</math> אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל <math>W</math>
+(b) המטריצות הסימטריות W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A\} ֱ הן תת מרחב )בתרגיל(.
+(c) המטריצות הסימטריות איחוד עם המטריצות האנטי סימטריות W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A\textnormal{\,\ or\,}A^{t}=-A\} אינו תת מרחב כי \left(\begin{array}{cc}
+& 1\\
+-1 & 0
+\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
+& 1\\
+& 1
+\end{array}\right)\in W  אבל \left(\begin{array}{cc}
+& 1\\
+-1 & 0
+\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}
+& 1\\
+& 1
+\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
+& 1\\
+& 1
+\end{array}\right)\notin W .
+.3 V=\mathbb{R}_{2}[x]  מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל \mathbb{R} .
+(a) W=\mathbb{R}_{1}[x]=\{a+bx|\, a,b\in\mathbb{R}\}  הינו תת מרחב כי באופן כללי \mathbb{R}_{n}[x]  הוא מרחב וקטורי.
+(b) W=\{a+bx|\,0\not=b\in\mathbb{R}\} הפולינומים מדרגה 1 בדיוק אינו תת מרחב. כי פולינום האפס שהוא האיבר הנטרלי ב V לא נמצא ב W  0\notin W .
+.4 V=\mathbb{R} הוא מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{Q} .
+(a) W=\mathbb{Q} הוא תת מרחב כי לכל v,w\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}  מתקיים \alpha v+w\in W .
+.5 V=\mathbb{R} הוא מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{R} .
+(a) W=\mathbb{Q} הוא אינו תת מרחב כי 1\in W,\,\sqrt{2}\in\mathbb{F}  אבל 1\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2}\notin W