הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏דוגמא 2)
(←‏סכום תתי מרחבים וסכום ישר)
שורה 365: שורה 365:
  
 
הגדרה: הסכום <math>W_1+W_2</math> יקרא '''סכום ישר''' אם <math>W_1\cap W_2 = \{0\}</math>
 
הגדרה: הסכום <math>W_1+W_2</math> יקרא '''סכום ישר''' אם <math>W_1\cap W_2 = \{0\}</math>
 +
 +
דוגמאות:
 +
1. ב <math>V=\mathbb{R}^3</math> נגדיר שני תת מרחב
 +
<math>W_1=\{\alpha\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}
 +
:\, \alpha \in \mathbb{R} \} </math>
 +
 +
<math>W_2=\{\alpha\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}
 +
:\, \alpha \in \mathbb{R} \} </math>
 +
 +
אזי
 +
 +
<math>W_1+W_2=\{w_1+w_2:\, w_1\in W_1, w_2\in W_2\} =
 +
\{\alpha_1\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}
 +
+ \alpha_2\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}
 +
:\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R} \} = \\
 +
\{\begin{pmatrix}\alpha_1\\ \alpha_1+\alpha_2\\ \alpha_2 \end{pmatrix}
 +
:\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R}\}
 +
</math>
 +
 +
2. באופן כללי

גרסה מ־18:34, 9 ביולי 2015

מרחבים וקטורים

דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּV=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\}

עם חיבור (x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})

וכפל בסקלאר \alpha\in\mathbb{R} , \alpha(x,y,z)=(\alpha z,\alpha y,\alpha z) הוא מרחב וקטורי.

ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.

הגדרה: מרחב וקטורי הוא רביעיה (V,\mathbb{F},+,\cdot), כאשר

  • V היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של חיבור (+). כלומר +:V\times V \to V
  • \mathbb{F} הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של V וכפל בסקלאר.
  • כפל בסקלאר (\cdot) היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי \mathbb{F}. פורמאלית \cdot : \mathbb{F}\times V \to V

אקסיומות מרחב וקטורי:

  1. אקסיומות של החיבור ב V: לכל v,w,u\in V מתקיים
    1. מוגדרות: v+w\in V .
    2. קיבוץ: v+(u+w)=(v+u)+w .
    3. חילוף: v+u=u+v .
    4. איבר נטרלי: \exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v .
    5. איבר נגדי: \forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0 .
  2. אקסיומות של כפל וחיבור של שדה: בהגדרת שדה
  3. אקסיומות כפל בסקלאר: לכל v,u\in V,\alpha,\beta\in\mathbb{F} מתקיים
    1. מוגדרות \alpha v\in V
    2. קיבוץ: \alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v
    3. כפל ביחידה (של השדה): 1_{\mathbb{F}}\cdot v=v
    4. פילוג:
      1. \alpha(v+u)=\alpha v+\alpha u
      2. (\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v

טרמינולוגיה: אומרים ש V מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}.

איברי V נקראים וקטורים. איברי \mathbb{F} נקראים סקלארים.


תכונות בסיסיות:

.1 (-1_{F})v=(-v)

.2 0_{F}v=0_{V}

דוגמאות

1. V=\mathbb{F}^{n}:=\{(a_{1,}\dots,a_{n})|\, a_{i}\in\mathbb{F}\} מעל \mathbb{F}

עם חיבור (a_{1,}\dots,a_{n})+(b_{1,}\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n})

וכפל בסקלאר \alpha(a_{1,}\dots,a_{n})=(\alpha a_{1,}\dots,\alpha a_{n})

2. מרחב המטריצות \mathbb{F}^{m\times n} מעל שדה \mathbb{F} עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר.

3. מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית \mathbb{F}_{n}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\,\forall i \, a_{i}\in\mathbb{F}\} מעל שדה \mathbb{F}

עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים.

4. מרחב הפולינומים \mathbb{F}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\, a_{i}\in\mathbb{F},n\in\mathbb{N}\} עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים.

5. V=\mathbb{R} הוא מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{Q} עם חיבור וכפל "רגילים".

6. V=\mathbb{C}^{3} הוא מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{R}.

הערה: V=\mathbb{R}^{3} הוא אינו מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{C} (עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי i\in \mathbb{F},(1,1,1)\in \mathbb{R}^3 והכפל בניהם צריך להיות שייך ל V אבל i\cdot (1,1,1)=(i,i,i)\not\in \mathbb{R}^3

תתי מרחבים

הגדרה יהיה V מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}. תת קבוצה W\subseteq V יקרא תת מרחב אם הוא מרחב וקטורי בפני עצמו ביחס לפעולות V. סימון W\leq V

הערה: כדי לבדוק אם W\subseteq V הוא תת מרחב מספיק לבדוק

  1. לכל w,u\in W מתקיים
  2. מוגדרות: u+w\in W .
  3. איבר נטרלי: 0 של V נמצא ב-W
  4. אקסיומות כפל בסקלאר: לכל w\in W,\alpha\in\mathbb{F} מתקיים
    1. מוגדרות \alpha w\in W

את שאר האקסיומות W יורש מ V כתת קבוצה.

הערה: ניתן לרכז את הבדיקות הנ"ל מספיק לבדוק

  1. W\not=\emptyset
  2. שלכל w,u\in W,\,\alpha\in\mathbb{F} מתקיים \alpha u+w\in W.

אבחנה: \{0\},V\subseteq V תמיד תתי מרחבים ונקראים תתי המרחבים הטריוואלים.

דוגמאות ודוגמאות נגדיות

1. המישור האוקלידי V=\mathbb{R}^{2} מעל \mathbb{F}=\mathbb{R}

א. W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq 0\} (הרביע החיובי) אינו תת מרחב כי -1(1,1)=(-1,-1)\not\notin W

ב. עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq0\:\text{ or }x,y\leq0\}

(הרביע החיובי והשלילי) אינו תת מרחב כי \underset{\in W}{(2,4)}+\underset{\in W}{(-3,-3)}=(-1,1)\notin W

ג. W=\{(x,y)|\, y=3x\} קו ישר העובר בראשית הוא כן תת מרחב. נוכיח את זה בסעיף הבא:

2. תהא A\in \mathbb{F}^{m\times n} מטריצה ונסתכל על אוסף הפתרונות למערכת ההומוגנית Ax=0. פורמאלית W=\{v\in \mathbb{F}^n \, :\, Av=0\} \subseteq \mathbb{F}^n .

טענה W\leq \mathbb{F}^n תת מרחב

הוכחה: נשתמש בקריטריון המקוצר

  1. ברור ש W לא ריקה כי 0\in W
  2. לכל v_1,v_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F} רוצים להראות כי \alpha v_1 +v_2 \in W. לפי הגדרה צריך להראות כי A(\alpha v_1 +v_2)=0. ואכן, A(\alpha v_1 +v_2)=\alpha Av_1+Av_2=\alpha 0+0 =0+0=0.


3. מרחב המטריצות V=\mathbb{F}^{n\times n} מעל \mathbb{F} א. המטריצות מסוג W=\{\left(\begin{array}{cccc} a & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & & 0\\ \vdots & & \ddots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right)|a\in\mathbb{F}\} הן תת מרחב.

נוכיח :

  1. ברור כי W אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל W
  2. לכל A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F} רוצים להראות ש \alpha A_1 +A_2 \in W כלומר להראות שהמטריצה \alpha A_1 +A_2 כולה אפסים פרט (אולי) למקום 1,1 וזה אכן כך בגלל שזאת הצורה של A_1,A_2

ב. המטריצות הסימטריות W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A\} והמטריצות האנטי-סימטריות W=\{A\in V\,|\, A^{t}=-A\} שתיהן תתי מרחב.

הוכחה (עבור הסימטריות)

  1. ברור כי W אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל W
  2. לכל A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F} רוצים להראות ש \alpha A_1 +A_2 \in W כלומר להראות שהמטריצה \alpha A_1 +A_2 סימטרית. נתון כי A_1^t=A_1,A_2^t=A_2. כעת מחוקי שיחלוף

נקבל כי (\alpha A_1 +A_2)^t=\alpha A_1^t +A_2^t=\alpha A_1 +A_2.

ג.המטריצות הסימטריות איחוד עם המטריצות האנטי סימטריות W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A \text{ or } A^{t}=-A\} אינו תת מרחב כי המטריצות A_1 = \left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & & 0\cdots & 0\\ 1 & 0 & & 0 & 0\\ \vdots & & \ddots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array} \right) A_2= \left(\begin{array}{ccccc} 0 & -1 & & 0\cdots & 0\\ 1 & 0 & & 0 & 0\\ \vdots & & \ddots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array} \right) שייכות ל W אבל החיבור שלהם לא.

ד. המטריצות משולשיות/אלכסוניות/סקלאריות הן תת מרחב.

ה. המטריצות W=\{A\in V\,|\, tr(A)=0\} הן תת מרחב

הוכחה

  1. ברור כי W אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל W
  2. לכל A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F} רוצים להראות ש \alpha A_1 +A_2 \in W כלומר להראות שעקבה של המטריצה \alpha A_1 +A_2 שווה 0. נתון כי tr(A_1)=tr(A_2)=0. כעת מחוקי עקבה

נקבל כי tr(\alpha A_1 +A_2)=\alpha tr(A_1) +tr(A_2)=\alpha 0 +0 = 0.


4. V=\mathbb{R}_{2}[x] מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל \mathbb{R} .

א. W=\mathbb{R}_{1}[x]=\{a+bx|\, a,b\in\mathbb{R}\} הינו תת מרחב כי באופן כללי \mathbb{R}_{n}[x] הוא מרחב וקטורי (והפעולות מוגדרות באופן זהה לכל המרחבים).

ב. W=\{a+bx|\,0\not=b\in\mathbb{R}\} הפולינומים מדרגה 1 בדיוק אינו תת מרחב. כי פולינום האפס שהוא האיבר הנטרלי ב V לא נמצא בW .

חיתוך תתי מרחבים

משפט: יהי V מרחב וקטורי מעל \mathbb{F} . יהיו W_1,W_2\leq V תתי מרחבים. אזי חיתוך תתי המרחבים W_1\cap W_1:=\{v\in V:\, v\in W_1\land v\in W_2\} הינו תת מרחב.

הערה: זהו התת מרחב הכי "גדול" שמוכל ב W_1,W_2. פורמאלית, כל תת מרחב U המקיים כי U\subseteq W_1,W_2 יקיים כי U\subseteq W_1\cap W_2

דוגמא 1

1. יהי V = \mathbb{R}^4 . נגדיר שתי תת מרחבים W_1=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in V :\, x_1+x_2+x_3+x_4 =0\}

W_2=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in V :\, x_1+x_2+x_3+2x_4 =0 \land -x_1+x_2+x_3+x_4 =0 \}

נמצא את W_1\cap W_2

נשים לב שנוכל לאפיין את תתי המרחבים בצורה הבאה:

W_1=\{v\in V :\, A_1v =0\}

W_2=\{v\in V :\, A_2v =0 \}

כאשר A_1 = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1\end{pmatrix}, A_2 = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &2 \\ -1 &1 &1 &1 \end{pmatrix}

כמו שראינו אלו תת מרחבים. כעת W_1\cap W_2= \begin{pmatrix} A_1 &A_2\end{pmatrix} v =0

ולכן צריך בסה"כ למצוא פתרון למערכת לא הומוגנית. נעשה זאת עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1 \\ 1 &1 &1 &2 \\ -1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \to \\ \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1 \\ 0 &0 &0 &1 \\ 0 &2 &2 &2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1 \\ 0 &1 &1 &1\\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &0 \\ 0 &1 &1 &0\\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &1 &0\\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}


התשובה הסופית

W_1\cap W_2 = \{\left( \begin{array}{c} 0 \\ -t\\ t\\ 0 \end{array}\right) : \, t\in \mathbb{R} \}

דוגמא 2

יהי V = \mathbb{R}^3 . נגדיר שתי תת מרחבים

W_1=\{\alpha_1\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} +\alpha_2\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix} :\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R} \}

W_2=\{\alpha_1\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1 \end{pmatrix} +\alpha_2\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} :\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R} \}

נמצא את החיתוך בניהם

צריך למצוא סקלארים \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3, \alpha_4\in \mathbb{R} המקיימים

\alpha_1\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\-1\end{pmatrix} +\alpha_2\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} = \alpha_3\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} +\alpha_4\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}

שימו לב שאם מצאנו ארבעה סקלארים שמקימים את המשוואה לעיל אז אנחנו יודעים שהוקטור הזה במשוואה. עוד שימו לב שאם יודעים שהשיוויון מתקיים מספיק לדעת את \alpha_1,\alpha_2 או את \alpha_3,\alpha_4 כדי לחשב את הוקטור עצמו (כי שני אגפי השיוויון שווים).

בעצם, זה שוב לפתור מערכת משוואות כאשר הנעלמים הם \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3, \alpha_4. הנה המערכת (אחרי שנעביר אגף):

\begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\ 1 &1 &-1 &1\\ -1 &1 &-1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \alpha_3\\ \alpha_4 \end{pmatrix} = 0

נדרג ונמשיך

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\ 1 &1 &-1 &1\\ -1 &1 &-1 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\ 0 &2 & 0 & 2\\ 0 &0 &-2 & -2 \end{pmatrix} \to \\ \begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\ 0 &1 & 0 & 1\\ 0 &0 &-1 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &-1 &0 &0\\ 0 &1 & 0 & 1\\ 0 &0 &-1 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1\\ 0 &1 & 0 & 1\\ 0 &0 &-1 & -1 \end{pmatrix}

קיבלנו כי התנאי היחידי המתקיים בין \alpha_3,\alpha_4 הוא \alpha_3= -\alpha_4. ובמקרה שהתנאי מתקיים יש פתרון למערכת המשוואות.

לכן התשובה הסופית

W_1\cap W_2 = \{\alpha\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} -\alpha\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix} :\, \alpha \in \mathbb{R} \}

דוגמא 3

V=\mathbb{C}^{n\times n} מעל \mathbb{C} . יהיו W_1 תת מרחב של המטריצות הסימטריות ו W_2 תת המרחב של המטריצות האנטי סימטריות אזי: W_1\cap W_2=\{A:A^{t}=A\land A^{t}=-A\}=\{0\}

הוכחה: ישירות- אם A גם סימטרית וגם אנטי סימטרית אזי מתקיים -A=A^t=A. נעביר אגף ונקבל 2A=0. נחלק ב 2 ונקבל כי A=0

סכום תתי מרחבים

יהי V מרחב וקטורי מעל \mathbb{F} . יהיו W_1,W_2\leq V תתי מרחבים. נרצה למצוא את התת מרחב הכי "קטן" שמכיל את W_1,W_2. נסמן תת מרחב זה ב W אז פורמאלית, נרצה כי כל תת מרחב U המקיים W_1,W_2\subseteq U בהכרח יקיים גם W\subseteq U.

יש שיחשבו שהתת מרחב הכי קטן שמכיל את W_1,W_2 הוא האיחוד את W_1,\cup W_2. אבל התשובה שגויה כיוון שהאיחוד לא בהכרח תת מרחב כפי שנוכיח בתרגיל הבא.

תרגיל: יהי V מרחב וקטורי מעל \mathbb{F} . יהיו W_1,W_2\leq V תתי מרחבים. אזי

W_1,\cup W_2\leq V אמ"מ (W_1\subseteq W_2 \lor W_2\subseteq W_1) כלומר אחד מתת המרחב מוכל בשני.

הוכחה: כיוון ראשון (\Leftarrow): פשוט, אם אחד מוכל בשני אזי האיחוד שווה ל W_i (כאשר i שווה ל-1 או 2, תלוי במקרה) שהוא תת מרחב.

כיוון שני (\Rightarrow): נניח בשלילה כי (W_1\not\subseteq W_2 \land W_2\not\subseteq W_1) אזי קיימים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): w_1\in W_1\setminus W_2 \

וגם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): w_2\in W_2\setminus W_1 \ . שני הוקטורים w_1,w_2 נמצאים באיחוד ולכן גם הסכום שלהם w_1+w_2 נמצא באיחוד כי נתון שהוא תת מרחב. כעת מהגדרת האיחוד w_1+w_2 נמצא ב W_i (כאשר i שווה ל-1 או 2, תלוי במקרה). בה"כ נניח w_1+w_2\in W_1. כיוון ש w_1\in W_1 אזי חיסור שני הוקטורים (w_1+w_2)-w_1 \in W_1 נמצא גם כן ב W_1 אבל החיסור שווה ל w_2. סתירה לכך ש w_2 \not\in W_1


סכום תתי מרחבים וסכום ישר

הגדרה: V מרחב וקטורי מעל \mathbb{F} . יהיו W_1,W_2\leq V תתי מרחבים. אזי סכום תתי המרחבים W_1 + W_1:=\{w_1+w_2:\, w_1\in W_1, w_2\in W_2\} הינו תת מרחב.

הערה: זהו התת מרחב הכי "קטן" המכיל את שני תת המרחב. פורמאלית, כל תת מרחב U המקיים כי W_1,W_2\subseteq U יקיים כי W_1+ W_2 \subseteq U

הגדרה: הסכום W_1+W_2 יקרא סכום ישר אם W_1\cap W_2 = \{0\}

דוגמאות: 1. ב V=\mathbb{R}^3 נגדיר שני תת מרחב W_1=\{\alpha\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} :\, \alpha \in \mathbb{R} \}

W_2=\{\alpha\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} :\, \alpha \in \mathbb{R} \}

אזי

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): W_1+W_2=\{w_1+w_2:\, w_1\in W_1, w_2\in W_2\} = \{\alpha_1\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + \alpha_2\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}  :\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R} \} = \\ \{\begin{pmatrix}\alpha_1\\ \alpha_1+\alpha_2\\ \alpha_2 \end{pmatrix}  :\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R}\}


2. באופן כללי

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-112_לינארית_1_תיכוניסטים_קיץ_תשעא/מערך_תרגול/4&oldid=61824