88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4

מרחבים וקטורים

דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ$V=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\}$

עם חיבור $(x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})$

וכפל בסקלאר $\alpha\in\mathbb{R} , \alpha(x,y,z)=(\alpha z,\alpha y,\alpha z)$ הוא מרחב וקטורי.

ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.

הגדרה: מרחב וקטורי הוא רביעיה $(V,\mathbb{F},+,\cdot)$, כאשר

• $V$ היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של חיבור (+). כלומר $+:V\times V \to V$
• $\mathbb{F}$ הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של $V$ וכפל בסקלאר.
• כפל בסקלאר ($\cdot$) היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי $\mathbb{F}$. פורמאלית $\cdot : \mathbb{F}\times V \to V$

אקסיומות מרחב וקטורי:

1. אקסיומות של החיבור ב $V$: לכל $v,w,u\in V$ מתקיים
   1. מוגדרות: $v+w\in V$ .
   2. קיבוץ: $v+(u+w)=(v+u)+w$ .
   3. חילוף: $v+u=u+v$ .
   4. איבר נטרלי: $\exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v$ .
   5. איבר נגדי: $\forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0$ .
2. אקסיומות של כפל וחיבור של שדה: בהגדרת שדה
3. אקסיומות כפל בסקלאר: לכל $v,u\in V,\alpha,\beta\in\mathbb{F}$ מתקיים
   1. מוגדרות $\alpha v\in V$
   2. קיבוץ: $\alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v$
   3. כפל ביחידה (של השדה): $1_{\mathbb{F}}\cdot v=v$
   4. פילוג:
      1. $\alpha(v+u)=\alpha v+\alpha u$
      2. $(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v$

טרמינולוגיה: אומרים ש $V$ מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}$.

איברי $V$ נקראים וקטורים. איברי $\mathbb{F}$ נקראים סקלארים.

תכונות בסיסיות:

.1 $(-1_{F})v=(-v)$

.2 $0_{F}v=0_{V}$

דוגמאות

1.

$V=\mathbb{F}^{n}:=\{(a_{1,}\dots,a_{n})|\, a_{i}\in\mathbb{F}\}$ מעל $\mathbb{F}$

עם חיבור $(a_{1,}\dots,a_{n})+(b_{1,}\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n})$

וכפל בסקלאר $\alpha(a_{1,}\dots,a_{n})=(\alpha a_{1,}\dots,\alpha a_{n})$