מרחבים וקטורים

דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ $V=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\}$

עם חיבור $(x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})$

וכפל בסקלאר $\alpha\in\mathbb{R} , \alpha(x,y,z)=(\alpha z,\alpha y,\alpha z)$ הוא מרחב וקטורי.

ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.

הגדרה: מרחב וקטורי הוא רביעיה $(V,\mathbb{F},+,\cdot)$ , כאשר

$V$ היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של חיבור (+). כלומר $+:V\times V \to V$
$\mathbb{F}$ הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של $V$ וכפל בסקלאר.
כפל בסקלאר ( $\cdot$ ) היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי $\mathbb{F}$ . פורמאלית $\cdot : \mathbb{F}\times V \to V$

אקסיומות מרחב וקטורי:

אקסיומות של החיבור ב $V$ : לכל מתקיים
1. מוגדרות: $v+w\in V$ .
2. קיבוץ: $v+(u+w)=(v+u)+w$ .
3. חילוף: $v+u=u+v$ .
4. איבר נטרלי: $\exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v$ .
5. איבר נגדי: $\forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0$ .
אקסיומות של כפל וחיבור של שדה: בהגדרת שדה
אקסיומות כפל בסקלאר: לכל מתקיים
1. מוגדרות $\alpha v\in V$
2. קיבוץ: $\alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v$
3. כפל ביחידה (של השדה): $1_{\mathbb{F}}\cdot v=v$
4. פילוג:
  1. $\alpha(v+u)=\alpha v+\alpha u$
  2. $(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v$

טרמינולוגיה: אומרים ש $V$ מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}$ .

איברי $V$ נקראים וקטורים. איברי $\mathbb{F}$ נקראים סקלארים.

תכונות בסיסיות:

.1 $(-1_{F})v=(-v)$

.2 $0_{F}v=0_{V}$

דוגמאות

1. $V=\mathbb{F}^{n}:=\{(a_{1,}\dots,a_{n})|\, a_{i}\in\mathbb{F}\}$ מעל $\mathbb{F}$

עם חיבור $(a_{1,}\dots,a_{n})+(b_{1,}\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n})$

וכפל בסקלאר $\alpha(a_{1,}\dots,a_{n})=(\alpha a_{1,}\dots,\alpha a_{n})$

2. מרחב המטריצות $\mathbb{F}^{m\times n}$ מעל שדה $\mathbb{F}$ עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר.

3. מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית $\mathbb{F}_{n}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\,\forall i \, a_{i}\in\mathbb{F}\}$ מעל שדה $\mathbb{F}$

עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים.

4. מרחב הפולינומים $\mathbb{F}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\, a_{i}\in\mathbb{F},n\in\mathbb{N}\}$ עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים.

5. $V=\mathbb{R}$ הוא מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}=\mathbb{Q}$ עם חיבור וכפל "רגילים".

6. $V=\mathbb{C}^{3}$ הוא מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ .

הערה: $V=\mathbb{R}^{3}$ הוא אינו מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ (עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי $i\in \mathbb{F},(1,1,1)\in \mathbb{R}^3$ והכפל בניהם צריך להיות שייך ל $V$ אבל $i\cdot (1,1,1)=(i,i,i)\not\in \mathbb{R}^3$