88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4

מרחבים וקטורים

דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ$V=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\}$

עם חיבור $(x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})$

וכפל בסקלאר $\alpha\in\mathbb{R} , \alpha(x,y,z)=(\alpha z,\alpha y,\alpha z)$ הוא מרחב וקטורי.

ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.

הגדרה: מרחב וקטורי הוא רביעיה $(V,\mathbb{F},+,\cdot)$, כאשר

• $V$ היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של חיבור (+). כלומר $+:V\times V \to V$
• $\mathbb{F}$ הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של $V$ וכפל בסקלאר.
• כפל בסקלאר ($\cdot$) היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי $\mathbb{F}$. פורמאלית $\cdot : \mathbb{F}\times V \to V$

אקסיומות מרחב וקטורי:

1. אקסיומות של החיבור ב $V$: לכל $v,w,u\in V$ מתקיים
   1. מוגדרות: $v+w\in V$ .
   2. קיבוץ: $v+(u+w)=(v+u)+w$ .
   3. חילוף: $v+u=u+v$ .
   4. איבר נטרלי: $\exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v$ .
   5. איבר נגדי: $\forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0$ .
2. אקסיומות של כפל וחיבור של שדה: בהגדרת שדה
3. אקסיומות כפל בסקלאר: לכל $v,u\in V,\alpha,\beta\in\mathbb{F}$ מתקיים
   1. מוגדרות $\alpha v\in V$
   2. קיבוץ: $\alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v$
   3. כפל ביחידה (של השדה): $1_{\mathbb{F}}\cdot v=v$
   4. פילוג:
      1. $\alpha(v+u)=\alpha v+\alpha u$
      2. $(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v$

טרמינולוגיה: אומרים ש $V$ מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}$.

איברי $V$ נקראים וקטורים. איברי $\mathbb{F}$ נקראים סקלארים.

תכונות בסיסיות:

.1 $(-1_{F})v=(-v)$

.2 $0_{F}v=0_{V}$

דוגמאות

1. $V=\mathbb{F}^{n}:=\{(a_{1,}\dots,a_{n})|\, a_{i}\in\mathbb{F}\}$ מעל $\mathbb{F}$

עם חיבור $(a_{1,}\dots,a_{n})+(b_{1,}\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n})$

וכפל בסקלאר $\alpha(a_{1,}\dots,a_{n})=(\alpha a_{1,}\dots,\alpha a_{n})$

2. מרחב המטריצות $\mathbb{F}^{m\times n}$ מעל שדה $\mathbb{F}$ עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר.

3. מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית $\mathbb{F}_{n}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\,\forall i \, a_{i}\in\mathbb{F}\}$ מעל שדה $\mathbb{F}$

עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים.

4. מרחב הפולינומים $\mathbb{F}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\, a_{i}\in\mathbb{F},n\in\mathbb{N}\}$ עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים.

5. $V=\mathbb{R}$ הוא מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}=\mathbb{Q}$ עם חיבור וכפל "רגילים".

6. $V=\mathbb{C}^{3}$ הוא מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}=\mathbb{R}$.

הערה: $V=\mathbb{R}^{3}$ הוא אינו מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ (עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי $i\in \mathbb{F},(1,1,1)\in \mathbb{R}^3$ והכפל בניהם צריך להיות שייך ל $V$ אבל $i\cdot (1,1,1)=(i,i,i)\not\in \mathbb{R}^3$

תתי מרחבים

הגדרה יהיה $V$ מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}$. תת קבוצה $W\subseteq V$ יקרא תת מרחב אם הוא מרחב וקטורי בפני עצמו ביחס לפעולות V. סימון $W\leq V$

הערה: כדי לבדוק אם $W\subseteq V$ הוא תת מרחב מספיק לבדוק

1. לכל $w,u\in W$ מתקיים
2. מוגדרות: $u+w\in W$ .
3. איבר נטרלי: 0 של $V$ נמצא ב-$W$
4. אקסיומות כפל בסקלאר: לכל $w\in W,\alpha\in\mathbb{F}$ מתקיים
   1. מוגדרות $\alpha w\in W$

את שאר האקסיומות $W$ יורש מ $V$ כתת קבוצה.

הערה: ניתן לרכז את הבדיקות הנ"ל מספיק לבדוק

1. $W\not=\emptyset$
2. שלכל $w,u\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}$ מתקיים $\alpha u+w\in W$.

אבחנה: $\{0\},V\subseteq V$ תמיד תתי מרחבים ונקראים תתי המרחבים הטריוואלים.

דוגמאות ודוגמאות נגדיות

1. המישור האוקלידי $V=\mathbb{R}^{2}$ מעל $\mathbb{F}=\mathbb{R}$

א. $W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq 0\}$ (הרביע החיובי) אינו תת מרחב כי $-1(1,1)=(-1,-1)\not\notin W$

ב. עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq0\:\text{ or }x,y\leq0\}

(הרביע החיובי והשלילי) אינו תת מרחב כי $\underset{\in W}{(2,4)}+\underset{\in W}{(-3,-3)}=(-1,1)\notin W$

ג. $W=\{(x,y)|\, y=3x\}$ קו ישר העובר בראשית הוא כן תת מרחב. נוכיח את זה בסעיף הבא:

2. תהא $A\in \mathbb{F}^{m\times n}$ מטריצה ונסתכל על אוסף הפתרונות למערכת ההומוגנית $Ax=0$. פורמאלית $W=\{v\in \mathbb{F}^n \, :\, Av=0\} \subseteq \mathbb{F}^n$.

טענה $W\leq \mathbb{F}^n$ תת מרחב

הוכחה: נשתמש בקריטריון המקוצר

1. ברור ש $W$ לא ריקה כי $0\in W$
2. לכל $v_1,v_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}$ רוצים להראות כי $\alpha v_1 +v_2 \in W$. לפי הגדרה צריך להראות כי $A(\alpha v_1 +v_2)=0$. ואכן, $A(\alpha v_1 +v_2)=\alpha Av_1+Av_2=\alpha 0+0 =0+0=0$.

3. מרחב המטריצות $V=\mathbb{F}^{n\times n}$ מעל $\mathbb{F}$ א. המטריצות מסוג $W=\{\left(\begin{array}{cccc} a & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & & 0\\ \vdots & & \ddots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right)|a\in\mathbb{F}\}$ הן תת מרחב.

נוכיח :

1. ברור כי $W$ אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל $W$
2. לכל $A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}$ רוצים להראות ש $\alpha A_1 +A_2 \in W$ כלומר להראות שהמטריצה $\alpha A_1 +A_2$ כולה אפסים פרט (אולי) למקום $1,1$ וזה אכן כך בגלל שזאת הצורה של $A_1,A_2$

ב. המטריצות הסימטריות $W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A\}$ והמטריצות האנטי-סימטריות $W=\{A\in V\,|\, A^{t}=-A\}$ שתיהן תתי מרחב.

הוכחה (עבור הסימטריות)

1. ברור כי $W$ אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל $W$
2. לכל $A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}$ רוצים להראות ש $\alpha A_1 +A_2 \in W$ כלומר להראות שהמטריצה $\alpha A_1 +A_2$ סימטרית. נתון כי $A_1^t=A_1,A_2^t=A_2$. כעת מחוקי שיחלוף

נקבל כי $(\alpha A_1 +A_2)^t=\alpha A_1^t +A_2^t=\alpha A_1 +A_2$.

ג.המטריצות הסימטריות איחוד עם המטריצות האנטי סימטריות $W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A \text{ or } A^{t}=-A\}$ אינו תת מרחב כי המטריצות $A_1 = \left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & & 0\cdots & 0\\ 1 & 0 & & 0 & 0\\ \vdots & & \ddots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array} \right) A_2= \left(\begin{array}{ccccc} 0 & -1 & & 0\cdots & 0\\ 1 & 0 & & 0 & 0\\ \vdots & & \ddots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array} \right)$ שייכות ל $W$ אבל החיבור שלהם לא.

ד. המטריצות משולשיות/אלכסוניות/סקלאריות הן תת מרחב.

ה. המטריצות $W=\{A\in V\,|\, tr(A)=0\}$ הן תת מרחב

הוכחה

1. ברור כי $W$ אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל $W$
2. לכל $A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}$ רוצים להראות ש $\alpha A_1 +A_2 \in W$ כלומר להראות שעקבה של המטריצה $\alpha A_1 +A_2$ שווה 0. נתון כי $tr(A_1)=tr(A_2)=0$. כעת מחוקי עקבה

נקבל כי $tr(\alpha A_1 +A_2)=\alpha tr(A_1) +tr(A_2)=\alpha 0 +0 = 0$.

4. $V=\mathbb{R}_{2}[x]$ מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל $\mathbb{R}$ .

א. $W=\mathbb{R}_{1}[x]=\{a+bx|\, a,b\in\mathbb{R}\}$ הינו תת מרחב כי באופן כללי $\mathbb{R}_{n}[x]$ הוא מרחב וקטורי (והפעולות מוגדרות באופן זהה לכל המרחבים).

ב. $W=\{a+bx|\,0\not=b\in\mathbb{R}\}$ הפולינומים מדרגה 1 בדיוק אינו תת מרחב. כי פולינום האפס שהוא האיבר הנטרלי ב $V$ לא נמצא ב$W$ .