'''מסקנה:''' אם <math>v_1</math> הינו צירוף לינארי של האחרים ניתן להסיר אותו במובן הבא: <math>span\{v_1,...,v_n\}=span\{v_2,...,v_n\}</math>.
===ושוב, בחזרה למערכות משוואות לינאריות=======תרגיל - הקשר בין צירוף לינארי לבין פתרון מערכת משוואות לינאריות===הוכח:*<math>b\in span\{v_1,...,v_n\}</math> '''אם"ם''' קיים פתרון למערכת <math>Ax=b</math> כאשר <math>A=(v_1 v_2 \cdots v_n)</math> הינה המטריצה שעמודותיה הן הוקטורים <math>v_1,...,v_n</math>
יהיו <math> v_1,...,v_n\in \mathbb{F}^m</math> נגדיר <math>A\in mathbb{F}^{m\times n}</math> להיות המטריצה שעמודותיה הן <math> v_1,...,v_n</math> (כלומר <math>C_i(A)=v_i</math>).
*במקרה זה הפתרון x הינו וקטור הסקלרים של הצירוף הלינארי שנותן את b. כלומר, כאשר יהיה <math>x=b\begin{pmatrix}x_1in \\x_2\\ \vdots \\ x_n\endmathbb{pmatrixF}^m</math> מתקיים <math>b=x_1v_1+וקטור (פתרון)...+x_nv_n</math>
הוכח כי:
1. <math>b\in span\{v_1,...,v_n\}</math> '''אם"ם''' קיים פתרון למערכת <math>Ax=b</math>
*נניח והוקטורים שייכים למרחב 2. במקרה זה הפתרון <math>x</math> הינו וקטור הסקלרים של הצירוף הלינארי שנותן את b. כלומר, כאשר <math>x=\mathbbbegin{Fpmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}^n</math>. הוכח שקיים צירוף לינארי יחיד הנותן את מתקיים <math>b אם"ם המטריצה הינה הפיכה=x_1v_1+. מה ניתן להסיק על הוקטורים במקרה זה?..+x_nv_n</math>
3.נניח והוקטורים שייכים למרחב <math>\mathbb{F}^n</math> (כלומר <math>m=n</math> והמטריצה ריבועית). הוכח שקיים צירוף לינארי יחיד הנותן את <math>b</math> אם"ם המטריצה הינה הפיכה. מה ניתן להסיק על הוקטורים במקרה זה?
====פתרון====
*לפי כפל עמודה נכון לאמר ש <math>Ax=x_1v_1+x_2v_2+...+x_nv_n</math>. לפיכך, ברור שקיים ====פתרון למערכת Ax=b אם"ם קיימים סקלרים כך ש <math>b=x_1v_1+x_2v_2+...+x_nv_n</math>. אמנם התרגיל הזה טריוויאלי למדי אך '''חשוב מאד''' לזכור תוצאה זו, היא תשמש אותנו בהמשך רבות. בניסוח קליט: Ax '''הינה צירוף לינארי של עמודות A עם הסקלרים מ-x'''.===
1+2. ישירות מכפל עמודה-עמודה נקבל כי <math>Ax=x_1v_1+x_2v_2+...+x_nv_n</math>. לפיכך, ברור שקיים פתרון למערכת Ax=b אם"ם קיימים סקלרים כך ש <math>b=x_1v_1+x_2v_2+...+x_nv_n</math>.
*הוכחנו כבר בסעיף קודםאמנם התרגיל הזה טריוויאלי למדי אך '''חשוב מאד''' לזכור תוצאה זו, היא תשמש אותנו בהמשך רבות. בניסוח קליט: <math>Ax</math> '''הינה צירוף לינארי של עמודות <math>A</math> עם הסקלרים מ-<math>x</math>'''.
3. אם המטריצה הפיכה אזי <math>x=A^{-1}b</math> הוא הפתרון היחיד. ולהפיך אם קיים צירוף לינארי יחיד הנותן את <math>b</math> אזי אם נדרג את <math>A</math> קנונית נגיע למטריצת היחידה. זה אומר ש <math>A</math> הפיכה.
*אם הוקטורים שייכים למרחב במקרה זה שהמטריצה הפיכה נסיק כי גם למערכת <math>\mathbb{F}^nAx=0</math> יוצא שהמטריצה הינה ריבועית וידוע שיש במקרה זה יש פתרון יחיד למערכת אם"ם המטריצה הפיכה. אם נציב bשהוא <math>x=0 ניתן להסיק מכך שלמערכת ההומוגנית יש פתרון יחיד אם"ם המטריצה הפיכה</math>. למערכת ההומוגנית יש פתרון יחיד אםכלומר צ"ם הצירוף הלינארי ל היחיד של הוקטורים עמודות <math>A</math> שמתאפס הינו הצירוף הלינארי הטריוויאלי (אפסים) ולכן '''המטריצה הפיכה אםהוא הצ"ם העמודות שלה ל הטריוויאלי. כלומר עמודות <math>A</math> בת"ל'''. בנוסף, מכיוון שאנו יודעים שמטריצה הפיכה אם"ם המשולחפת שלה הפיכה, ניתן גם להסיק ש'''מטריצה הינה הפיכה אם"ם שורותיה בת"ל'''.
==בסיס ומימד==