האם הפולינומים <math>v_1=1+x^2,v_2=1-x,v_3=x+x^2</math> תלויים לינארית?
דבר ראשון, נעבור למרחב הקואורדינטות. מכיוון שבחירת הבסיס היא לשיקולנו, נבחר את הבסיס הסטנדרטי S של הפולינומים איתו קל לעבוד. מתקיים ש <math>[v_1]_S=(1,0,1),[v_2]_S=(1,-1,0),[v_3]_S=(0,1,1)</math>
הוכחנו בשיעור שעבר שוקטורים "רגילים" ת"ל אם"ם המטריצה שהם השורות שלה אינה הפיכה אם"ם הצורה המדורגת של המטריצה מכילה שורת אפסים. לכן, נשים את וקטורי הקואורדינטות בשורות מטריצה ונדרג.
<math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}</math>
לכן וקטורי הקואורדינטות תלויים לינארית ולכן הפולינומים עצמם תלויים לינארית. דרך נוספת: נשים את הוקטורים בעמודה של מטריצה <math>A</math>. צ"ל של עמודות <math>A</math> זה פשוט <math>Ax</math>. ולכן הוקטורים בת"ל אמ"מ הפתרון היחידי למערכת <math>Ax=0</math> (צ"ל שמתאפס) הוא הפתרון הטריאלי (הצ"ל הטריאלי) <math>\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \</math> קיבלנו שיש משתנים חופשיים ולכן יש פתרון לא טרויאלי ולכן הוקטורים תלויים לינארית! נסכם את התהליך:
====אלגוריתם לבדיקת תלות לינארית בין וקטורים====
#אם באיזה שלב קיבלת שורת אפסים סימן שהוקטורים תלויים לינארית
#אם הגעת לצורה מדורגת ללא שורת אפסים סימן שהוקטורים בלתי תלויים לינארית
ובדרך הנוספת
#הפוך את הוקטורים לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
#שים את וקטורי הקואורדינטות ב'''עמודות''' מטריצה A
# בדוק אם יש פתרון לא טריאלי למערכת <math>Ax=0</math>
# אם יש אז הם תלויים ואם אין אז הם בת"ל
=== צירופים לינאריים ===