88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/6

חזרה למערכי התרגול

משפט המימדים

משפט המימדים:

יהי $V$ מ"ו ויהיו $U,W\leq V$ תתי מרחבים. אזי

$dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)$

סקיצה של ההוכחה - לא מפחיד כמו שנהוג לחשוב

1. ניקח בסיס לU חיתוך W. נסמן אותו ב$\{v_1,...,v_k\}$
2. נשלים אותו לבסיס לU. נסמן $\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_m\}$
3. נשלים את הבסיס לחיתוך גם לבסיס לW. נסמן $\{v_1,...,v_k,w_1,...,w_p\}$
4. נוכיח (וזה עיקר העבודה) שהקבוצה $\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_m,w_1,...,w_p\}$ הינה בסיס לU+W:
   1. נראה כי כל וקטור מהצורה u+w ניתן להצגה כצירוף לינארי של איברים אלה (זה ברור)
   2. נראה כי הקבוצה הזו בת"ל, אחרת וקטורים שהנחנו שאינם בחיתוך יהיו חייבים להיות בחיתוך בסתירה
5. המשל נובע בקלות מספירת הוקטורים בבסיסים שכן $dim(U+W) = k+m+p=(k+m)+(k+p) -k$

תרגיל 8.3

יהא V מ"ו ממימד 5, ויהיו U ממימד 3 ו-W ממימד 4 תתי מרחבים של V. מהן האפשרויות עבור $dim(U\cap W)$? הוכח!

פתרון

ראשית, $U+W\subseteq V$ ולכן $dim(U+W)\leq dim(V)=5$. אבל לפי משפט המימדים מתקיים $5\geq dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)=3+4-dim(U\cap W)$.

ביחד מקבלים ש $dim(U\cap W)\geq 2$. מצד שני, החיתוך מוכל גם בU וגם בW ולכן המימד שלו קטן שווה מהמימדים שלהם, ובפרט מהקטן מהם. לכן $dim(U\cap W)\leq 3$.

סה"כ האפשרויות למימד הן 2,3. קל למצוא דוגמאות המוכיחות שאפשרויות אלה אכן מתקבלות מתישהו.

תרגיל 8.5

יהא $V$ מ"ו ממימד $n$, ויהיו $U,W$ תתי מרחבים כך ש $dimU=n-1$ ו-$W$ אינו מוכל בU. הוכח כי $W+U=V$

הוכחה

נוכיח בעזרת משפט המימדים ש $dim(U+W)=dimV$ ואז המשל נובע (כי תת מרחב שמוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד).

$dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U\cap W)$. מכיוון שW אינו מוכל בU החיתוך בינהם שונה מW. ולכן $dim(U\cap W)<dimW$ ולכן $dimW-dim(U\cap W)\geq 1$. ביחד מקבלים $dim(U+W)=n-1 + dimW -dim(U\cap W)\geq n-1+1=n=dimV$. משל.

קואורדינטות

משפט: יהא V מ"ו מעל שדה F, יהי $B=\{v_1,...,v_n\}$ בסיס ל-V ויהי $v\in V$ וקטור. אזי ל-v יש הצגה יחידה כצירוף לינארי לפי הבסיס B. כלומר, אם מתקיים $v=a_1v_1+...+a_nv_n=b_1v_1+...+b_nv_n$ אזי בהכרח $\forall i:a_i=b_i$. (קל להוכיח את זה על ידי חיסור הצד הימני של המשוואה מהצד השמאלי, מקבלים צירוף לינארי שמתאפס עם מקדמים $a_i-b_i$.)

הגדרה: יהיו V,B וv כמו במשפט. אזי וקטור הקואורדינטות של v לפי בסיס B, מסומן $[v]_B\in\mathbb{F}^n$ מוגדר להיות $[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}$ כאשר $v=a_1v_1+...+a_nv_n$ ההצגה הלינארית היחידה הקיימת לפי המשפט.

חשוב לזכור $[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}$ אם"ם $v=a_1v_1+...+a_nv_n$

תרגיל קל אבל חשוב הוא להראות שלכל בסיס B מתקיים ש $v=0$ אם"ם $[v]_B=0$.

הערה: במרחבים הוקטוריים שאנו נעבוד איתם יש בסיסים סטנדרטיים. הייחוד של הבסיסים הסטנדרטיים הוא שקל מאד לחשב קואורדינטות לפיהם. נסתכל במרחבים וקטורים ובבסיסים הסטנדרטיים שלהם:

מרחב וקטורי	בסיס סטנדרטי
$\mathbb{F}^n$	$(1,0,...,0),(0,1,0,...,0),...,(0,...,0,1)$
$\mathbb{F}^{m\times n}$	$\begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},..., \begin{pmatrix}0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},..., \begin{pmatrix}0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\mathbb{F}_n[x]$	$1,x,x^2,...,x^n$

דוגמא. חשב את הקואורדינטות של הוקטור $v=1+2x-x^2$ לפי הבסיס הסטנדרטי S של $\mathbb{R}_3[x]$. למעשה הפולינום כמעט מוצג כצירוף לינארי של איברי הבסיס:

$v=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4 = 1\cdot 1 + 2\cdot x + (-1)\cdot x^2 + 0\cdot x^3$.

לפיכך $[v]_S=(1,2,-1,0)$.

דוגמא. חשב את הקואורדינטות של הוקטור $(a,b,c)$ לפי הבסיס הסטנדרטי S של $\mathbb{F}^n$. קל לראות ש $[v]_S = (a,b,c)$.

דוגמא. $V=\mathbb{R}^2,B=\{(1,1),(1,-1)\}$ מצא את הקואורדינטות של הוקטור $v=(a,b)$ לפי הבסיס B. במקרה הכינותי מראש-

$v=\frac{a+b}{2}\cdot (1,1)+\frac{a-b}{2}\cdot (1,-1)$

ולכן לפי ההגדרה $[v]_B=(\frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2})$

אנו רואים שאין זה קל למצוא את הקואורדינטות לפי בסיס כלשהו שאינו הסטנדרטי.

טענה.

יהא V מ"ו ויהי B בסיס לו. יהיו $u_1,...,u_k\in V$ וקטורים כלשהם. הוכח:

• $u_1,...,u_k$ בת"ל אם"ם $[u_1]_B,...,[u_k]_B$ בת"ל
• $w\in span\{u_1,...,u_k\}$ אם"ם $[w]_B\in span\{[u_1]_B,...,[u_k]_B\}$

נוכיח טענה זו בהמשך, לאחר שנלמד על העתקות לינאריות. כעת נניח שהיא נכונה ונתרכז בכלי החישובי המשמעותי שקיבלנו; כל בדיקה/חישוב של תלות לינארית או פרישה בכל מרחב וקטורי (מטריצות, פולינומים, פונקציות) יכול בעצם להעשות במרחב הוקטורי המוכר והנוח $\mathbb{F}^n$.

צירופים לינאריים - דוגמאות נוספות

תרגיל 7.31

נגדיר שני תתי מרחבים של $\mathbb{R}_3[x]$:

$V=\{p(x)|p(2)=0\}$, ו $U=\{p(x)|p(1)=0\}$

מצא את המימד של חיתוך המרחבים.

פתרון.

בתרגיל זה נשתמש בשיטה נפוצה ביותר. אנו מעוניינים לתאר את המרחבים הוקטוריים באופן קל יותר לעבודה מאשר התיאור לעיל; לכן ננסה לתאר את תתי המרחבים הללו כמרחבי פתרון של מערכת הומוגנית (בדומה להצגה השלישית בתרגיל הקודם). המשתנים שלנו במערכת המשוואות יהיו המקדמים של הפולינומים.

נביט בV. זהו אוסף כל הפולינומים ש2 הוא שורש שלהם. יהי פולינום כללי $p(x)=a+bx+cx^2+dx^3$, הוא שייך לV אם"ם מקדמיו מקיימים את המשוואה הלינארית: $a+2b+4c+8d=0$. באופן דומה הפולינום שייך לU אם"ם מקדמיו מקיימים את המשוואה הלינארית $0=a+b+c+d$. לכן פולינום נמצא בחיתוך אם"ם מקדמיו (הקואורדינטות) מקיימים את מערכת המשוואות המכילה את שתי המשוואות הללו. נמצא בסיס למרחב זה:

$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 8\end{pmatrix}$. נדרג קנונית לקבל

$\begin{pmatrix}1 & 0 & -2 & -6 \\ 0 & 1 & 3 & 7\end{pmatrix}$

ולכן הפתרון הכללי הוא מהצורה $(2t+6s,-3t-7s,t,s)$, ולכן הבסיס הינו $(2,-3,1,0),(6,-7,0,1)$. נחזור לצורה הפולינומית לקבל את התשובה הסופית:

$\{2-3x+x^2,6-7x+x^3\}$ מהווים בסיס לחיתוך בין V לU.

אלגוריתם למציאת חיתוך בין שני תתי מרחבים U,W

ישנן שתי שיטות לחשב את החיתוך, נתחיל בראשונה (שביצענו הרגע, למעשה):

1. מצא מערכת משוואות המתארת את U ומערכת משוואות המתארת את W (כמו בהצגה השנייה מבין הצגות המרחב)
2. פתור מערכת אחת המכילה את כל המשוואות משתי המערכות וקבל את החיתוך

שיטה שנייה:

1. כתוב צירוף לינארי כללי בU וצירוף לינארי כללי בW
2. השווה את הצירופים ופתור מערכת משוואות על הסקלרים
3. הצב את הסקלרים שקיבלת בצירוף הלינארי וקבל את החיתוך

תרגיל.

מצא את החיתוך בין תתי המרחבים הבאים בשיטה השנייה לעיל.

$B=\operatorname{span}\left (\Big\{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\Big\}\right ), C=\operatorname{span}\left ( \Big\{\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 4 \\ -1 & 4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}\Big\}\right )$

פתרון.

(קחו נשימה עמוקה) יהיו סקלרים a,b,c,x,y,z, וקטור הוא בחיתוך אם"ם הוא צירוף לינארי של שתי הקבוצות הפורשות:

$a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 & 4 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}$

לכן מערכת המשוואות על הסקלרים הינה:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -3 & -1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & -4 & -1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & -1 & | & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 3 & -4 & 2 & | & 0 \\ \end{pmatrix}$

נדרג ונמצא את הפתרונות (שימו לב: מספיק למצוא רק את x,y,z או רק את a,b,c מכיוון שבהנתן צירוף לינארי של איברי C שנותן את החיתוך אין צורך להמשיך (כמו כן לגבי B).)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -3 & -1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & -4 & -1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -5 & 1 & | & 0 \\ \end{pmatrix}$

במקרה זה קל יותר למצוא את x,y,z; המשתנים החופשיים הינם x,z ומתקיים z=5y. ולכן הצ"ל הכללי בחיתוך הינו:

$B\cap C=\Big\{x\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 & 4 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}+5y\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}\Big\}=$

$=\Big\{x\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}6 & 9 \\ 4 & -6 \end{pmatrix}\Big\}=span\Big\{\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}6 & 9 \\ 4 & -6 \end{pmatrix}\Big\}$

דוגמא.

האם הפולינומים $v_1=1+x^2,v_2=1-x,v_3=x+x^2$ תלויים לינארית?

דבר ראשון, נעבור למרחב הקואורדינטות. מכיוון שבחירת הבסיס היא לשיקולנו, נבחר את הבסיס הסטנדרטי S של הפולינומים איתו קל לעבוד. מתקיים ש $[v_1]_S=(1,0,1),[v_2]_S=(1,-1,0),[v_3]=(0,1,1)$

הוכחנו בשיעור שעבר שוקטורים "רגילים" ת"ל אם"ם המטריצה שהם השורות שלה אינה הפיכה אם"ם הצורה המדורגת של המטריצה מכילה שורת אפסים. לכן, נשים את וקטורי הקואורדינטות בשורות מטריצה ונדרג.

$\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$

$R_3-R_1,R_3+R_2$

$\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

לכן וקטורי הקואורדינטות תלויים לינארית ולכן הפולינומים עצמם תלויים לינארית. נסכם את התהליך:

אלגוריתם לבדיקת תלות לינארית בין וקטורים

1. הפוך את הוקטורים לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
2. שים את וקטורי הקואורדינטות בשורות מטריצה A
3. הבא את המטריצה לצורה מדורגת
4. אם באיזה שלב קיבלת שורת אפסים סימן שהוקטורים תלויים לינארית
5. אם הגעת לצורה מדורגת ללא שורת אפסים סימן שהוקטורים בלתי תלויים לינארית

דוגמא. האם המטריצה $v=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}$ נפרשת על ידי המטריצות $v_1=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 10 & 10\end{pmatrix}$ ? אם כן, הצג אותה כצירוף לינארי שלהן.

פתרון: נעבור דבר ראשון למרחב הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי $S=\Big\{\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\Big\}$

נקבל $[v]_S=(1,2,3,4),[v_1]_S=(1,1,0,0),[v_2]_S=(1,0,2,1),[v_3]_S=(2,2,10,10)$.

למדנו בשיעור שעבר שוקטור b נפרש על ידי וקטורים מסויימים אם"ם קיים פתרון למערכת Ax=b כאשר A היא המטריצה שעמודותיה הם אותם וקטורים. הפתרון x הוא וקטור הסקלרים מהצירוף הלינארי. לכן, אנו רוצים לדעת האם קיים פתרון למערכת ואם כן מהו:

$\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 10\\ 0 & 1 & 10\end{pmatrix} x = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \\4 \end{pmatrix}$

קל לפתור ולגלות ש $x=(1,-1,\frac{1}{2})$ מקיים את המערכת ולכן מתקיים $v=v_1-v_2+\frac{1}{2}v_3$

נסכם:

אלגוריתם לחישוב צירוף לינארי

1. נתון וקטור b וקבוצת וקטורים. העבר את כולם לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
2. פתור את המערכת Ax=b כאשר עמודות A הינן וקטורי הקואורדינטות של קבוצת הוקטורים הפורשים
3. אם אין פתרון, b לא נפרש על ידי האחרים
4. אם קיים פתרון x אזי הוא מכיל את הסקלרים של הצירוף הלינארי בהתאם לסדר העמודות בA

מטריצות מעבר בין בסיסים

ראינו שקל מאד למצוא קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי, נשתמש בהנחה הזו בהמשך. אנו מעוניינים לדעת כיצד לחשב קואורדינטות לפי בסיס כלשהו, לאו דווקא סטנדרטי.

משפט: יהא V מ"ו ויהיו E,F בסיסים לו. אזי קיימת מטריצה יחידה המסומנת $[I]^E_F$ המקיימת את הפסוק הבא:

$\forall v\in V: [I]^E_F[v]_E=[v]_F$

נסמן $E=\{v_1,...,v_n\}$ ו $F=\{w_1,...,w_n\}$. אזי מתקיים ש$[I]^E_F$ הינה המטריצה שעמודותיה הן $[v_i]_F$

דוגמא.

הוכח ש $[I]^S_B[I]^A_S=[I]^A_B$. מכיוון שאנו יודעים שמטריצה המעבר הינה יחידה, מספיק להראות שהכפל מקיים את הפסוק מההגדרה:

$\forall v\in V: [I]^S_B[I]^A_S[v]_A=[I]^S_B[v]_S=[v]_B$

משפט: לכל שני בסיסים E,F מטריצת המעבר הינה מטריצה הפיכה ומתקיים $([I]^E_F)^{-1}=[I]^F_E$

מסקנה:

אלגוריתם למציאת מטריצת מעבר בין כל שני בסיסים E,F

1. בחר בסיס סטנדרטי S מתאים למרחב שלך
2. מצא את מטריצת המעבר $[I]^E_S$. זה קל מאד שכן יש למצוא את הקואורדינטות של איברי הבסיס E לפי הבסיס הסטנדרטי S
3. מצא את מטריצת המעבר $[I]^F_S$.
4. הפוך את המטריצה האחרונה לקבל $([I]^F_S)^{-1}=[I]^S_F$
5. כפול את המטריצות על מנת לקבל את התוצאה הסופית $[I]^S_F[I]^E_S=[I]^E_F$