*'''מרחב העמודות''' של A. זהו המרחב הנפרש על ידי עמודות המטריצה A. נסמן <math>C(A)=span\{C_1(A),...,C_n(A)\}\subseteq\mathbb{F}^m</math>
*'''מרחב האפס''' של A. זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית Ax=0. נסמן <math>N(A)=\{x\in\mathbb{F}^n|Ax=0\}\subseteq\mathbb{F}^n</math>
'''משפט:''' לכל מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> מתקיים <math>\mathbb{F}^n=R(A)\oplus N(A)</math>
'''שימו לב:''' בהנתן מרחב כלשהו (פולינומים, מטריצות, פונקציות) ניתן לבצע את החישובים על מרחב הקואורדינטות. כפי שראינו בשיעור שעבר, מציאת בסיס למרחבים רבים שקולה למציאת בסיס למרחב האפס של מטריצה מסוימת.
===סיכום בנושא מימדי מרחבים המטריצה והדרגה===
תהי A מטריצה. המספרים הבאים שווים (זה נובע מהחומר שלמדנו עד עכשיו):
*דרגת המטריצה
*מימד מרחב העמודות
*מימד מרחב השורות
*מספר השורות השונות מאפס בצורה הקנונית
*מספר האיברים הפותחים
*מספר עמודות הציר
*מספר המשתנים התלויים
המספרים הבאים שווים:
*מספר המשתנים החופשיים
*מימד מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית
מכיוון שמספר המשתנים החופשיים ועוד מספר המשתנים התלויים שווה לסך כל המשתנים, וזהו מספר העמודות במטריצה, נובע שדרגת המטריצה ועוד מימד מרחב הפתרונות שווים למספר העמודות מ.
'''תרגיל.'''
הוכח כי לכל מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> מתקיים <math>\mathbb{F}^n=R(A)\oplus N(A)</math>
'''פתרון.'''
מכיוון שהרגע ראינו כי סכום המימדים מקיים <math>dimR(A)+N(A)=n</math> לפי משפט המימדים מספיק להוכיח שהחיתוך בינהם הינו אפס.
נניח וקיים v ששייך למרחב הפתרונות וגם למרחב השורות. מכיוון שהוא שייך למרחב השורות, ניתן להפעיל פעולות שורה על המטריצה כך שאחת משורותיה תהפוך להיות v, בלי הגבלת הכלליות תהא זו השונה הראשונה.
מכיוון ש-v במרחב הפתרונות של A, הוא גם במרחב הפתרונות של המטריצה לאחרת פעולות השורה B, ומתקיים <math>Bv=0</math>. אבל האיבר הראשון במכפלה שווה ל<math>0=R_1(A)v=v^tv</math> וכפי שלמדנו זהו סכום ריבועים שמתאפס ולכן v=0 כפי שרצינו.