88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/3

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חזרה לדוגמאות

  • \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt[n]{(n!)^2}}
פתרון.

נשים לב כי \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e

ולכן \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2}{\sqrt[n]{n!}^2}=e^2

ולכן הטור חבר של \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} ולכן מתכנס.


פתרון ישן

נשים לב כי לפחות שני שלישים מאברי המכפלה 1\cdot2\cdot3\cdots n גדולים מהמספר \frac{n}{3} .

נקטין את כל האברים במכפלה שגדולים מ- \frac{n}{3}, ומכיוון שיש לפחות \frac23n כאלה נקבל ש-

n!=1\cdot2\cdots\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor\cdot\left(\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor+1\right)\cdots n\ge1\cdot2\cdots\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor\cdot\left(\frac{n}{3}\right)^{\frac23n}

(נניח n>2 , קל לבדוק את n=1,2)

נעלה בריבוע ונקבל כי

(n!)^2\ge\left(\frac{n}{3}\right)^\frac{4n}{3}

ולכן

\dfrac1{\sqrt[n]{(n!)^2}}\le\dfrac1{\sqrt[n]{\left(\frac{n}{3}\right)^\frac{4n}{3}}}

אבל קל לראות כי הטורים הבאים חברים (לפי מבחן ההשוואה הגבולי)

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt[n]{\left(\frac{n}{3}\right)^\frac{4n}{3}}}
\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^\frac43} (ידוע כי טור זה מתכנס)

וביחד הטור מתכנס לפי מבחן ההשוואה הראשון.