88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/גבול

ההגדרה המדוייקת של סדרה

בבדידה נלמד/למדנו את ההגדרה המדוייקת של פונקציה. סדרה הינה פונקציה מקבוצת הטבעיים אל קבוצה כלשהי. סדרה ממשית, למשל, הינה פונקציה מהטבעיים אל הממשיים.

באופן טבעי, התמונה של המספר הטבעי 1 נקראת האיבר הראשון של הסדרה, התמונה של 2 היא האיבר השני וכן הלאה.

גבול של סדרה

תהי סדרת מספרים ממשיים $\{a_n\}_1^{\infty}=a_1,a_2,a_3,...$, (כך ש $a_1,a_2,a_3,...\in\mathbb{R}$).

לדוגמא:

$\{\frac{1}{2^n}\}_1^{\infty}=\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},...$

גבול של סדרה הוא נקודה ממשית אליה איברי הסדרה מתקרבים. לסדרה שלא מתקרבת לנקודה ספציפית אין גבול, למשל: $0,1,0,1,0,...$ (לסדרה זו אין גבול). נגדיר את מושג הגבול באופן מדוייק:

הגדרת הגבול

תהי $a_n$ סדרה של מספרים ממשיים. אזי מספר ממשי $L\in\mathbb{R}$ נקרא גבול הסדרה $a_n$ אם לכל $0<\epsilon\in\mathbb{R}$ קיים $N_{\epsilon}\in\mathbb{N}$ כך שלכל $n>N_{\epsilon}$ מתקיים $|a_n-L|<\epsilon$.

הסבר ההגדרה

נתרגם את זה למילים. למדנו ש$\epsilon>0$ מודד אורך, מספר טבעי $N_{\epsilon}\in\mathbb{N}$ מסמל מקום בסדרה, וערך מוחלט של הפרש מודד מרחק בין שני האיברים. בנוסף למדנו על המשפט הלוגי 'לכל סיר יש מכסה שמתאים לו'. עכשיו נרשום את הגדרת הגבול במילים:

נקודה L על ציר המספרים הממשיים היא גבול הסדרה $a_n$

אם לכל אורך ($\epsilon>0$) [סיר]

קיים מקום בסדרה ($N_{\epsilon}\in\mathbb{N}$) [מכסה]

כך שהחל ממנו והלאה (לכל $n>N_{\epsilon}$) מתקיים שהמרחק בין איברי הסדרה לבין הנקודה L קטן מהאורך $\epsilon$ ($|a_n-L|<\epsilon$) [מתאים לו]