88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/מונוטוניות

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חזרה לסדרות

סדרות מונוטוניות

הגדרה. סדרה נקראת מונוטונית עולה (יורדת) אם כל אבר בה גדול או שווה לקודמו (קטן או שווה לקודמו)

דוגמאות
  • 1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,\ldots
  • 0,0.9,0.99,0.999,\ldots
  • 1,\frac12,\frac13,\ldots


משפט

סדרה מונוטונית וגם חסומה מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומה, מתכנסת במובן הרחב.


תרגיל.

הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת a_n=\dfrac1n+\dfrac1{n+1}+\cdots+\dfrac1{3n}

פתרון

נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל n מתקיים a_{n+1}-a_n\le0 ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.

\displaystyle\begin{align}a_{n+1}=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n+3}\\
a_{n+1}-a_n=\frac1{3n+1}+\frac1{3n+2}+\frac1{3n+3}-\frac1n\le\frac1{3n}+\frac1{3n}+\frac1{3n}-\frac1n=0\end{align}

לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על-מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על-ידי 0 , ולכן הסדרה מתכנסת.


תרגיל.

יהיו \alpha,\beta>0 ונגדיר a_1=\alpha,b_1=\beta . כעת נגדיר סדרות באמצעות נוסחת הנסיגה (כלומר כל אבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו):

\begin{align}a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\\b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}\end{align}

הוכח כי שתי הסדרות מתכנסות.

פתרון

אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי אברי a_n גדולים בהתאמה מאברי b_n (פרט אולי לאבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאברים הראשונים, כל אברי הסדרות הנם אי-שליליים.

a_{n+1}-b_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_n\cdot b_n}=\dfrac{a_n-2\sqrt{a_n\cdot b_n}+b_n}{2}=\dfrac{\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n}\right)^2}{2}\ge0

אם כך, מתקיים כי

a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}\le\dfrac{a_n+a_n}{2}=a_n

ולכן a_n מונוטונית יורדת. כמו כן

b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}\ge\sqrt{b_n\cdot b_n}=b_n

ולכן b_n מונוטונית עולה.

נותר להראות כי הסדרות חסומות. נשים לב כי מתקיים:

b_2\le b_n\le a_n\le a_2

ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.


תרגיל.

יהי 0<c<1 . נגדיר סדרה על-ידי נוסחת הנסיגה

\begin{cases}a_1=c\\a_{n+1}=\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_n^2}{2}\end{cases}

הוכח כי הסדרה מתכנסת ומצא את גבולה.

פתרון

נבדוק מהו ההפרש בין שני איברים עוקבים על-מנת לבדוק מונוטוניות:

a_{n+1}-a_n=\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_n^2}{2}-\left(\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_{n-1}^2}{2}\right)=\dfrac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}

נראה כי הפרש בין זוגות שומר על סימן הזוג הקודם. לכן, נוכיח כי הסדרה מונוטונית באמצעות אינדוקציה:

עבור n=1 :

a_2-a_1=\dfrac{c}{2}+\dfrac{c^2}{2}-c=\dfrac{c^2}{2}-\dfrac{c}{2}<0

(זה נכון כיון ש- c^2<c\cdot1=c לפי הנתון c<1 .)


נניח, אם כן, כי a_n-a_{n-1}<0 ונוכיח כי a_{n+1}-a_n<0 . כיון שכל אברי הסדרה חיוביים (כל אבר בסדרה מוגדר על-ידי סכום של קבוע חיובי וריבוע), מותר להעלות את אגפי אי-השוויון בריבוע ולקבל a_n^2<a_{n-1}^2 .

לפי החישוב לעיל מתקיים:

a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}<0

כפי שרצינו.

על כן הסדרה מונוטונית יורדת, וחסומה על-ידי 0 (הרי אבריה חיוביים) ולפי המשפט מתכנסת. נותר לנו לחשב את גבולה.


טענה חשובה אך קלה לבדיקה: \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1} . זה נכון כיון שגבול סדרה נקבע על-פי המקום אליו האברים שואפים באינסוף, ולא על-פי מתי היא מתחילה.

שימו לב לשיטה הבאה, היא תשמש אותנו פעמים רבות בתרגילים עם נוסחאות נסיגה. כיון שהוכחנו שהסדרה מתכנסת (ורק מסיבה זו) ניתן לומר שקיים גבול ממשי L כך ש- \lim a_n=L . נביט בנוסחת הנסיגה

a_{n+1}=\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_n^2}{2}

נפעיל גבול על שני הצדדים (כיון שזו סדרה מתכנסת, כאמור)

\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}\right]

לפי הטענה לעיל וחשבון גבולות ניתן לומר:

\begin{align}L=\dfrac{c}{2}+\dfrac{L^2}{2}\\L^2-2L+c=0\\L=1\pm\sqrt{1-c}\end{align}

כעת יש לנו שתי אפשרויות לגבול, נפסול אחת מהן והנותרת בהכרח תהא גבול הסדרה. כיון ש- a_1=c<1<1+\sqrt{1-c} ושהסדרה מונוטונית יורדת, לא יתכן כי היא שואפת לגבול זה (קל להראות את קיום שלילת הגבול).

לכן סה"כ, גבול הסדרה הנו L=1-\sqrt{1-c}