88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות/משפט קושי

משפט ערך הביניים המוכלל

יהיו $f(x),g(x)$ פונקציות רציפות בקטע $[a,b]$ וגזירות בקטע הפתוח $(a,b)$ .

אם $g(x)\ne 0$ שמה אזי קיים $c\in(a,b)$ כך ש- $\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ .

תרגיל: הוכח כי לכל $x,y\in[0,\frac{\pi}{3}]$ מתקיים $\Big|\tan(x)-\tan(y)\Big|\le 8\Big|\sin(x)-\sin(y)\Big|$

פתרון: נגדיר $f(x)=\tan(x)\ ,\ g(x)=\sin(x)$ .

לפי משפט ע"ב המוכלל $\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ כאשר $x<c<y$

מתקיים $\left|\frac{f'(c)}{g'(c)}\right|=\left|\frac{\frac{1}{\cos^2(c)}}{\cos(c)}\right|=\left|\frac{1}{\cos^3(c)}\right|\le\left|\frac{1}{\cos^3\left(\frac{\pi}{3}\right)}\right|=8$