3. טרנזיטיביות - נניח <math>[(x,y)\in R] \and [(y,z)\in R]</math> אזי קיימים i,j כך ש <math>x,y\in Aֹ_i</math> וגם <math>y,z\in A_j</math>. לכן <math>y\in A_i\cap A_j</math>. מכיוון שהחיתוך בין תתי הקבוצות הוא ריק מוכרח להיות ש<math>A_i=A_j</math> ולכן <math>x,y,z\in A_i</math> ולכן <math>(x,z)\in R</math> כפי שרצינו.
הגדרה: תהא A קבוצה. '''חלוקה''' של A היא חלוקה של A לקבוצות זרות. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות <math>\{A_i\}_{i\in I}</math>
כפי שראינו בדוגמה הקודמת חלוקה של A מגדירה יחס שקילות (אמנם זה "רק" דוגמא אבל ניתן להוכיח את המקרה הכללי באותו אופן).
דוגמא נוספת:
נגדיר יחס שקילות R על <math>\mathbb{Z}</math> ע"י <math>3|(x-y) \Leftrightarrow xRy</math>
טענה : R אכן יחס שקילות
הוכחה:
בדוגמא השניה מחלקת השקילות של 0 היא <math>[0]_R=\{ 0 \pm 3 \pm 6 \dots \}</math> וקבוצת המנה היא
<math>\mathbb{Z}/R= \{[0]_R,[1]_R [3]_R\}</math> (כלומר כל השאריות האפשריות בחלוקה ב-3).
משפט: יהא R יחס שקילות על A אזי
# <math>A=\bigcup_{[x]\in A/R}[x]</math> כלומר (איחוד מחלקות השקילות תתן את כל A)
הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של A
מסקנה: