*יחס 'הכלה' הינו רפלקסיבי וטרנזיטיבי
*יחס 'a מחלק את b' הינו רפלקסיבי וטרנזיטיבי
*יחס 'אדם x שמע על אדם y' הינו רפלקסיבי ===יחסי שקילות===נביט בקבוצה <math>A=\{1,2,3,4,5,6\}</math> ונביט באוסף תת הקבוצות <math>B=\{1,3\},C=\{2,4,5\},D=\{6\}</math> המקיימות שתי תכונות*הן '''זרות''' זו לו (כלומר החיתוך בין כל שתי תתי קבוצות הוא ריק)*האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה <math>A=B\cup C\cup D</math> (אמנם אנחנו עוסקים בדוגמא, אבל התרגיל יהיה נכון באופן כללי לקבוצות כאלה). נגדיר את היחס R על A באופן הבא: <math>(x,y)\in R</math> אם"ם x,y שייכים שניהם לאחד מתתי הקבוצות B,C,D. הוכח שR מקיים רפלקסיביות, סימטריות, וטרנזיטיביות. ====פתרון====1. רפלקסיביות - נניח <math>x\in A</math> לכן x שייך לאחת מתתי הקבוצות (שכן האיחוד שלהן שווה לA) ולכן <math>(x,x)\in R</math>. 2. סימטריות - נניח <math>(x,y)\in R</math> אזי <math>x,y\in X</math> כאשר X אחת מתתי הקבוצות, מכיוון שאין משמעות לסדר שייכות לקבוצה, נובע שגם <math>(y,x)\in R</math>. 3. טרנזיטיביות - נניח <math>[(x,y)\in R] \and [(y,z)\in R]</math> אזי אחת מתתי הקבוצות X מקיימת <math>x,y\in X</math> ואחת מתתי הקבוצות Y מקיימת <math>y,z\in Y</math>. לכן <math>y\in X\cap Y</math>. מכיוון שהחיתוך בין תתי הקבוצות הוא ריק מוכרח להיות שX=Y ולכן <math>x,y,z\in X</math> ולכן <math>(x,z)\in R</math> כפי שרצינו. הגדרה: יחס המקיים את שלושת התכונות רפלקסיביות, סימטריות וטרנזיטיביות נקרא '''יחס שקילויות'''. כפי שראינו בתרגיל הקודם, אם אנחנו מחלקים קבוצה לתתי קבוצות זרות, היחס שמקשר בין איברי אותה קבוצה הינו יחס שקילויות. האם הכיוון ההפוך גם נכון? כלומר, האם כל יחס שקילויות מחלק קבוצה לתתי קבוצות זרות שאיחודן נותן את הקבוצה כולה. התשובה איפוא היא כן, יחס שקילויות מחלק קבוצה לתתי קבוצות כאלה (תרגיל קל). זוהי מהותו העיקרית של יחס השקילויות - לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים (כמו שיוויון) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת. בהנתן קבוצה ויחס שקילויות על הקבוצה, נביט בכל האיברים השקולים לאיבר כלשהו (כלומר הם ביחס איתו). קבוצה זו נקראת '''מחלקת שקילות'''. דוגמא: 0,3,6,9,... כולם ביחס השקילות "מודולו 3" באותה מחלקת שקילות. 1,4,7,10... נמצאים במחלקת שקילות אחרת. ===דוגמא חשובה - הגדרת הרציונאליים===נביט בקבוצת המכפלה הקרטזית של השלמים עם עצמם <math>\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}</math>. נסתכל על ההתאמה <math>(a,b)\leftrightarrow\frac{a}{b}</math> האם תחת ההתאמה הזו ניתן להגדיר את הרציונאליים באמצעות המכפלה הקרטזית לעיל בלבד? תשובה: לא. למשל, <math>\frac{2}{6}=\frac{1}{3}</math> ואילו <math>(2,6)\neq (1,3)</math>. כלומר, המכפלה הקרטזית מכילה חזרות מיותרות לעומת הרציונאליים. נרצה איפוא, להגדיר יחס שקילויות על הזוגות הסדורים של מספרים שלמים כך שכל שני שברים שקולים יהיו ביחס. שימו לב שאנו מגדירים יחס על קבוצת זוגות סדורים, ולכן האיברים ביחס הינם זוגות סדורים של זוגות סדורים. נגדיר <math>((x,y),(z,w))\in R \subeteq (\mathbb{Z}\times\mathbb{Z})\times(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z})</math> כך שהשברים שווים <math>\frac{x}{y}=\frac{z}{w}</math>. בקיצור נרשום ש <math>((x,y),(z,w))\in R \iff xw=zy</math>. הגדרה: תהי A קבוצה ויהי R יחס שקילויות על A. אזי '''קבוצת המנה''' <math>A/R</math> מוגדרת להיות קבוצת מחלקות השקילות של A לפי R. מסקנה: הרציונאלים הם קבוצת המנה של הקבוצה והיחס שהגדרנו לעיל. למעשה, מאחורי כל שבר עומדת הקבוצה האינסופית של כל השברים השקולים לו, ופשוט אנחנו בוחרים לייצג קבוצה זו על ידי אחד השברים שבה באופן שרירותי (או באופן מסוים - בחירת השבר המצומצם).