88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 3

יחסי סדר

הגדרה: יחס R על A נקרא אנטי-סימטרי אם מתקיים $\forall x,y\in A:[(x,y)\in R]\and[(y,x)\in R] \rightarrow (x=y)$

כלומר, אם $x\neq y$ אז לא יכול להיות שמתקיים היחס בין x לבין y וגם היחס בין y לx.

הגדרה: יחס R על A נקרא יחס סדר חלקי אם R רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי

דוגמאות ליחסי סדר חלקי:

הגדרה: דיאגרמת הסה Hassse

הגדרות. יהיו A קבוצה וR יחס סדר חלקי על הקבוצה:

איבר $x\in A$ נקרא מינמלי ביחס לR אם $\forall y\in A:(y,x)\in R \rightarrow y=x$ . כלומר, אין איבר 'קטן' מx. לא חייב להתקיים ש-x ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
איבר $x\in A$ נקרא מקסימלי ביחס לR אם $\forall y\in A:(x,y)\in R \rightarrow y=x$ . כלומר, אין איבר 'גדול' מx. לא חייב להתקיים ש-x ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
איבר $x\in A$ נקרא מינמימום ביחס לR אם $\forall y\in A:(x,y)\in R$ . כלומר, x 'קטן' מכל האיברים. x חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. (דוגמא: הקבוצה הריקה תחת יחס הכלה)
איבר $x\in A$ נקרא מקסימום ביחס לR אם $\forall y\in A:(y,x)\in R$ . כלומר, x 'גדול' מכל האיברים. x חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. (דוגמא: הקבוצה B תחת יחס ההכלה על קבוצת החזקה של B)