הבדלים בין גרסאות בדף "88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 4"

גרסה מ־15:00, 23 ביולי 2013

חזרה למערכי התרגול

פונקציות

הגדרה: יהיו A,B קבוצות וR יחס בינהן. אזי:

התחום של R הינו $dom(R)=\{a\in A|\exists b\in B:(a,b)\in R\}=\{(*,\;),(*,\;)\dots \}$
התמונה של R הינה $im(R)=\{b\in B|\exists a\in A:(a,b)\in R\}=\{(\;,*),(\; ,*)\dots \}$

דוגמא.

אם R יחס מלא על A אזי האיחוד של התמונה והתחום שווה A
$R=\{(1,a),(2,b),(3,a),(a,1)\}$ אזי התחום הוא $dom(R)=\{a,1,2,3\}$ והתמונה הינה $im(R)=\{1,a,b\}$

הגדרה:

יחס R נקרא על אם $\forall b\in B:\exists a\in A:(a,b)\in R$ כלומר $im(R)=B$
יחס R מ-A ל-B נקרא שלם אם $\forall a\in A:\exists b\in B:(a,b)\in R$ כלומר $dom(R)=A$
יחס R נקרא חד ערכי אם $[(x,b)\in R] \and [(x,d) \in R] \rightarrow (d=b)$ כלומר אין איבר שנשלח ל-2 מקומות שונים
יחס R נקרא חד-חד ערכי אם $[(x,b)\in R] \and [(y,b) \in R] \rightarrow (x=y)$ כלומר איברים שונים נשלחים למקומות שונים (כלומר, היחס ההופכי הינו חד ערכי)

הגדרה:

יחס חד ערכי ושלם נקרא פונקציה; נסמן במקרה זה $(a,b)\in R\leftrightarrow b=R(a)$ . ובאופן כללי $f:A\to B \;\; , a \mapsto f(a)$ . (A נקרא תחום הגדרה של הפונקציה.)

דוגמאות:

$f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ כאשר $f(p)=p^2$ (אינה חח"ע ואינה על)
$f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ כאשר $f(p)=p$ . זו נקראת פונקצית הזהות והיא חח"ע וגם על
$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{Z}$ כאשר $f(x)=[x]$ מוגדר להיות הערך השלם הקרוב ביותר ל-x (במקרה של חצי לוקחים את הגבוה). זו פונקציה על שאינה חח"ע
$f:\mathbb{Z}_2\rightarrow\mathbb{Z}_3$ כאשר לוקחים את 0 ל0 ואת 1 ל1. זו פונקציה חח"ע שאינה על. (כל פונקציה היא על לתמונה של עצמה.)
$D:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ פונקצית דיריכליי: על כל מספר רציונאלי מקבלת 1 ועל כל מספר אי רציונאלי מקבלת אפס.

תרגיל. יהיו A וB קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה. הוכח שכל פונקציה מA לB הינה על אם"ם היא חח"ע

הוכחה. נסמן $f:A\to B, A=\{a_1,\dots a_n\},B=\{b_1,\dots b_n\}$ . כאשר כל האיברים ב A שונים זה מזה וכנ"ל ל B

נניח $f$ חח"ע אזי $|\{f(a_1),\dots f(a_n)\}|=n$ כיוון ש $\{f(a_1),\dots f(a_n)\}\subseteq B$ מתקיים שיוון ולכן $f$ על.

נניח $f$ על. נניח בשלילה ש $f$ אינה חח"ע אזי $|\{f(a_1),\dots f(a_n)\}|<n$ ואז $f$ אינה על -סתירה.

הערה: הדבר אינו נכון אם A וB קבוצות אינסופיות.

למשל פונקצית הערך השלם על ואינה חח"ע

הגדרה: יהיו $f:A\to B, g:B\to C$ שתי פונקציות אזי ההרכבה שלהם $g \circ f:A\to C$ מוגדרת $g \circ f(a)=g(f(a))$

תרגיל.

נניח $f \circ g$ חח"ע. הוכח/הפרך: f חח"ע, g חח"ע
נניח $f \circ g$ על. הוכח/הפרך: f על, g על

פתרון.

נניח $f \circ g$ חח"ע. נניח בשלילה ש-g אינה חח"ע. לכן קיימים $x,y$ כך ש $g(x)=g(y)$ אבל $x\neq y$ . אבל, $f\circ g (x) = f(g(x))=f(g(y))=f\circ g(y)$ בסתירה לחח"ע של ההרכבה, ולכן g חח"ע.

לגבי f ניתן דוגמא נגדית: $(e^x)^2$

נניח $f \circ g$ על. נסמן $f \circ g : A\rightarrow B$ אזי לכל איבר $b\in B$ קיים איבר $a\in A$ כך ש $f(g(a))=b$ . לכן עבור f לכל b קיים $g(a)$ שנותן את b תחת f ולכן f על.

דוגמא נגדית ל g: נביט בפונקציות מהטבעיים לטבעיים. $g(n)=2n$ , והפונקציה f מוגדרת כ $f(2n)=n$ ו $f(2n+1)=n$ . ההרכבה הינה פונקצית הזהות שהיא בפרט על, אבל g אינה על כיוון שהאי זוגיים כלל לא נמצאים בתמונה שלה.

הגדרה: פונקצית הזהות על A הינה פונקציה מA לעצמו השולחת כל איבר לעצמו. נהוג לסמנה ב $id_A$ . פונקציה $f:A\rightarrow B$ נקראת הפיכה אם קיימת לה הופכית - פונקציה $f^{-1}:B\rightarrow A$ כך שמתקיים $f\circ f^{-1} = id_B$ וגם $f^{-1}\circ f = id_A$ .

הערה: זכרו שפונקציה היא יחס. הפונקציה ההופכית שלה היא היחס ההופכי מטבע הדברים. על מנת שהיחס ההופכי יהיה פונקציה הוא צריך להיות ח"ע ושהתחום שלו יהיה כל B. תנאים אלה מתממשים רק אם f הינה חח"ע ועל.

@@ שורה 4: / שורה 4: @@
 '''הגדרה:''' יהיו A,B קבוצות וR יחס בינהן. אזי:
 *התחום של R הינו <math>dom(R)=\{a\in A|\exists b\in B:(a,b)\in R\}=\{(*,\;),(*,\;)\dots \}</math>
-*התמונה של R הינה <math>im(R)=\{b\in B|\exists a\in A:(a,b)\in R\}</math>
+*התמונה של R הינה <math>im(R)=\{b\in B|\exists a\in A:(a,b)\in R\}=\{(\;,*),(\; ,*)\dots \}</math>
 '''דוגמא.'''
 *אם R יחס מלא על A אזי האיחוד של התמונה והתחום שווה A
-*<math>R=\{(1,a),(2,b),(3,a)\}</math> אזי התחום הוא <math>dom(R)=\{1,2,3\}</math> והתמונה הינה <math>im(R)=\{a,b\}</math>
+*<math>R=\{(1,a),(2,b),(3,a),(a,1)\}</math> אזי התחום הוא <math>dom(R)=\{a,1,2,3\}</math> והתמונה הינה <math>im(R)=\{1,a,b\}</math>
 '''הגדרה:'''
-*יחס R נקרא '''חד ערכי''' אם <math>[(x,b)\in R] \and [(x,d) \in R] \rightarrow (d=b)</math>
-*יחס R נקרא '''חד-חד ערכי''' אם <math>[(x,b)\in R] \and [(y,b) \in R] \rightarrow (x=y)</math> (כלומר, היחס ההופכי הינו חד ערכי)
 *יחס R נקרא '''על''' אם <math>\forall b\in B:\exists a\in A:(a,b)\in R</math> כלומר <math>im(R)=B</math>
-*יחס R מ-A ל-B נקרא '''שלם''' אם <math>\forall a\in A:\exists b\in B:(a,b)\in R</math>
+*יחס R מ-A ל-B נקרא '''שלם''' אם <math>\forall a\in A:\exists b\in B:(a,b)\in R</math> כלומר <math>dom(R)=A</math>
+*יחס R נקרא '''חד ערכי''' אם <math>[(x,b)\in R] \and [(x,d) \in R] \rightarrow (d=b)</math> כלומר אין איבר שנשלח ל-2 מקומות שונים
+*יחס R נקרא '''חד-חד ערכי''' אם <math>[(x,b)\in R] \and [(y,b) \in R] \rightarrow (x=y)</math> כלומר איברים שונים נשלחים למקומות שונים (כלומר, היחס ההופכי הינו חד ערכי)
 '''הגדרה:'''
-יחס חד ערכי ושלם נקרא '''פונקציה'''; נסמן במקרה זה <math>(a,b)\in R\leftrightarrow b=R(a)</math>. (נהוג להניח כי מסתכלים על הפונקציה מהתחום שלה אל קבוצה כלשהי, זה נקרא תחום הגדרה.)
+יחס חד ערכי ושלם נקרא '''פונקציה'''; נסמן במקרה זה <math>(a,b)\in R\leftrightarrow b=R(a)</math>.
+ובאופן כללי <math>f:A\to B \;\; , a \mapsto f(a)</math>.
+(A נקרא תחום הגדרה של הפונקציה.)
 '''דוגמאות:'''
@@ שורה 31: / שורה 34: @@
 '''הוכחה.'''
-נניח שהפונקציה חח"ע. נזכר שפונקציה הינה יחס, ונספור את הזוגות הסדורים שהיא מכילה; מכיוון שהתחום של הפונקציה הוא A מספר הזוגות הוא בדיוק מספר האיברים בA (מתוך חד ערכיות והעובדה שזה תחום). לכל איבר בA קיים זוג יחיד בפונקציה. אם היה זוג שהיה מקבל את אותו איבר בB זו הייתה סתירה לח"ע ולכן מספר האיברים מB שמופיעים בזוגות הוא כמספר האיברים בA. מכיוון שעוצמת הקבוצות זהה, כל האיברים מB מופיעים בזוג ולכן הפונקציה על.
+נסמן <math>f:A\to B, A=\{a_1,\dots a_n\},B=\{b_1,\dots b_n\} </math> . כאשר כל האיברים ב A שונים זה מזה וכנ"ל ל B
-נניח שהפונקציה על. אם היא לא הייתה חח"ע היה איבר בB שחוזר על עצמו בזוגות לעיל ולכן מספר האיברים המופיע בB היה לכל היותר מספר האיברים בA פחות אחד בסתירה.
+נניח  <math>f </math> חח"ע אזי <math>|\{f(a_1),\dots f(a_n)\}|=n</math>
+כיוון ש <math>\{f(a_1),\dots f(a_n)\}\subseteq B </math> מתקיים שיוון ולכן <math>f </math> על.
-'''תרגיל.'''
+נניח  <math>f </math> על. נניח בשלילה ש <math>f </math> אינה חח"ע אזי <math>|\{f(a_1),\dots f(a_n)\}|<n</math>
-יהיו A וB קבוצות אינסופיות. האם כל פונקציה בינהן היא על אם"ם היא חח"ע?
+ואז <math>f </math> אינה על -סתירה.
-'''פתרון.'''
+הערה: הדבר אינו נכון אם  A וB קבוצות אינסופיות.
-לא. דוגמא: פונקצית הערך השלם על ואינה חח"ע
+למשל פונקצית הערך השלם על ואינה חח"ע
+'''הגדרה:'''
+יהיו  <math>f:A\to B, g:B\to C </math> שתי פונקציות אזי ההרכבה שלהם <math>g \circ f:A\to C </math>
+מוגדרת <math>g \circ f(a)=g(f(a)) </math>
 '''תרגיל.'''

הבדלים בין גרסאות בדף "88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 4"

גרסה מ־15:00, 23 ביולי 2013

פונקציות

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים