הבדלים בין גרסאות בדף "88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 4"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(פונקציות)
(פונקציות)
(46 גרסאות ביניים של 7 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 2: שורה 2:
  
 
==פונקציות==
 
==פונקציות==
'''הגדרה:''' יהיו A,B קבוצות וR יחס בינהן. אזי:
+
'''הגדרה:''' (אפשר לדלג ולהתמקד בתחום וטווח של פונקציות ולא של יחסיים כללים) יהיו A,B קבוצות וR יחס בינהן. אזי:
 
*התחום של R הינו <math>dom(R)=\{a\in A|\exists b\in B:(a,b)\in R\}=\{(*,\;),(*,\;)\dots \}</math>
 
*התחום של R הינו <math>dom(R)=\{a\in A|\exists b\in B:(a,b)\in R\}=\{(*,\;),(*,\;)\dots \}</math>
 
*התמונה של R הינה <math>im(R)=\{b\in B|\exists a\in A:(a,b)\in R\}=\{(\;,*),(\; ,*)\dots \}</math>
 
*התמונה של R הינה <math>im(R)=\{b\in B|\exists a\in A:(a,b)\in R\}=\{(\;,*),(\; ,*)\dots \}</math>
  
'''דוגמא.'''
+
'''הערה''': ישירות מהגדרה  מתקיים כי <math>dom(R)\subseteq A, Im(R)\subseteq B</math>
*אם R יחס מלא על A אזי האיחוד של התמונה והתחום שווה A
+
 
 +
'''דוגמא:'''
 +
*אם R יחס מלא על A אזי האיחוד של התמונה והתחום שווה A (כי כל שני איברים ניתן להשוות)
 
*<math>R=\{(1,a),(2,b),(3,a),(a,1)\}</math> אזי התחום הוא <math>dom(R)=\{a,1,2,3\}</math> והתמונה הינה <math>im(R)=\{1,a,b\}</math>
 
*<math>R=\{(1,a),(2,b),(3,a),(a,1)\}</math> אזי התחום הוא <math>dom(R)=\{a,1,2,3\}</math> והתמונה הינה <math>im(R)=\{1,a,b\}</math>
  
שורה 15: שורה 17:
 
*יחס R נקרא '''חד ערכי''' אם <math>[(x,b)\in R] \and [(x,d) \in R] \rightarrow (d=b)</math> כלומר אין איבר שנשלח ל-2 מקומות שונים
 
*יחס R נקרא '''חד ערכי''' אם <math>[(x,b)\in R] \and [(x,d) \in R] \rightarrow (d=b)</math> כלומר אין איבר שנשלח ל-2 מקומות שונים
 
*יחס R נקרא '''חד-חד ערכי''' אם <math>[(x,b)\in R] \and [(y,b) \in R] \rightarrow (x=y)</math> כלומר איברים שונים נשלחים למקומות שונים (כלומר, היחס ההופכי הינו חד ערכי)
 
*יחס R נקרא '''חד-חד ערכי''' אם <math>[(x,b)\in R] \and [(y,b) \in R] \rightarrow (x=y)</math> כלומר איברים שונים נשלחים למקומות שונים (כלומר, היחס ההופכי הינו חד ערכי)
 
  
 
'''הגדרה:'''
 
'''הגדרה:'''
שורה 21: שורה 22:
 
יחס חד ערכי ושלם נקרא '''פונקציה'''; נסמן במקרה זה <math>(a,b)\in R\leftrightarrow b=R(a)</math>.  
 
יחס חד ערכי ושלם נקרא '''פונקציה'''; נסמן במקרה זה <math>(a,b)\in R\leftrightarrow b=R(a)</math>.  
 
ובאופן כללי <math>f:A\to B \;\; , a \mapsto f(a)</math>.  
 
ובאופן כללי <math>f:A\to B \;\; , a \mapsto f(a)</math>.  
(A נקרא תחום הגדרה של הפונקציה.)
+
(A נקרא תחום (הגדרה) של הפונקציה. ו B נקרא הטווח של הפונקציה)
 +
 
 +
נחזור על הגדרת חח"ע עבור פונקציה:
 +
 
 +
<math>f</math> חח"ע אמ"מ <math>f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2</math> אמ"מ <math>x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)</math>
 +
 
 +
 
 +
'''הגדרה:'''
 +
 
 +
תהא A קבוצה. '''פונקציית הזהות''' היא פונקציה <math>f:A \to A</math> המקיימת <math>\forall a\in A: f(a)=a</math>. נהוג לסמנה: <math>id_A</math> פונקציית הזהות היא חח"ע ועל.
  
'''דוגמאות:'''
+
===דוגמאות:===
 
*<math>f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}</math> כאשר <math>f(p)=p^2</math> (אינה חח"ע ואינה על)
 
*<math>f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}</math> כאשר <math>f(p)=p^2</math> (אינה חח"ע ואינה על)
*<math>f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}</math> כאשר <math>f(p)=p</math>. זו נקראת פונקצית הזהות והיא חח"ע וגם על
+
*<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}</math> כאשר <math>f(p)=p^2</math> ( חח"ע ואינה על)
 +
*<math>f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}</math> כאשר <math>f(p)=p</math>. זו פונקציית הזהות.
 +
*<math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> ( חח"ע ו על)
 +
* <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> המוגדרת ע"י הכלל <math>f(x)=\sin(x)</math>.
 +
*<math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> המוגדרת ע"י הכלל <math>f(x)=x^{3}</math>
 +
* <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> המוגדרת ע"י הכלל <math>f(x)=x^{2}</math>
 +
*<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> ( לא מוגדר כי <math>f(1)=?</math>)
 
*<math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{Z}</math> כאשר <math>f(x)=[x]</math> מוגדר להיות הערך השלם הקרוב ביותר ל-x (במקרה של חצי לוקחים את הגבוה). זו פונקציה על שאינה חח"ע
 
*<math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{Z}</math> כאשר <math>f(x)=[x]</math> מוגדר להיות הערך השלם הקרוב ביותר ל-x (במקרה של חצי לוקחים את הגבוה). זו פונקציה על שאינה חח"ע
 
*<math>f:\mathbb{Z}_2\rightarrow\mathbb{Z}_3</math> כאשר לוקחים את 0 ל0 ואת 1 ל1. זו פונקציה חח"ע שאינה על. (כל פונקציה היא על לתמונה של עצמה.)
 
*<math>f:\mathbb{Z}_2\rightarrow\mathbb{Z}_3</math> כאשר לוקחים את 0 ל0 ואת 1 ל1. זו פונקציה חח"ע שאינה על. (כל פונקציה היא על לתמונה של עצמה.)
*<math>D:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> פונקצית דיריכליי: על כל מספר רציונאלי מקבלת 1 ועל כל מספר אי רציונאלי מקבלת אפס.
+
*<math>D:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> פונקצית דיריכלה: על כל מספר רציונאלי מקבלת 1 ועל כל מספר אי רציונאלי מקבלת אפס.
 +
* תהא <math>A</math> קבוצה ו <math>B\subseteq A</math> תת קבוצה. הפונקציה
 +
<math>
 +
\chi_B=
 +
\begin{cases} 1 & \text{ if } x\in B \\ 0 & \text{ otherwise } \end{cases}
 +
</math>
 +
פונקצית האינדקטור. במקרה של דריכלה <math>D=\chi_{\mathbb{Q}}</math>
 +
* תהא <math>f:A\to B</math> אזי <math>g:A\to Im(f) </math> המוגדרת <math>g(a)=f(a)</math> היא על (במילים: פשוט חושבים על הטווח של f להיות התמונה של g)
 +
* תהא <math>A\subseteq B</math>  אזי הפונקציה <math>i : A\to B </math> המוגדרת <math>i(a)=a</math> נקראת פונקציה ההכלה (במקרה ש <math>A=B</math> זה פונקצית הזהות). פונקצית ההכלה היא חח"ע.
  
'''תרגיל.'''
+
====תרגיל (בשיעוריי הבית)====
יהיו A וB קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה. הוכח שכל פונקציה מA לB הינה על אם"ם היא חח"ע
+
יהיו A ו-B קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה. הוכח שכל פונקציה מ-A ל-B הינה על אם"ם היא חח"ע
  
'''הוכחה.'''
+
=====הוכחה=====
 
נסמן <math>f:A\to B, A=\{a_1,\dots a_n\},B=\{b_1,\dots b_n\} </math> . כאשר כל האיברים ב A שונים זה מזה וכנ"ל ל B
 
נסמן <math>f:A\to B, A=\{a_1,\dots a_n\},B=\{b_1,\dots b_n\} </math> . כאשר כל האיברים ב A שונים זה מזה וכנ"ל ל B
  
 
נניח  <math>f </math> חח"ע אזי <math>|\{f(a_1),\dots f(a_n)\}|=n</math>  
 
נניח  <math>f </math> חח"ע אזי <math>|\{f(a_1),\dots f(a_n)\}|=n</math>  
כיוון ש <math>\{f(a_1),\dots f(a_n)\}\subseteq B </math> מתקיים שיוון ולכן <math>f </math> על.
+
כיוון ש <math>\{f(a_1),\dots f(a_n)\}\subseteq B </math> ובשניהם יש אותו מספר איברים, מתקיים שיוון ולכן <math>f </math> על.
  
נניח  <math>f </math> על. נניח בשלילה ש <math>f </math> אינה חח"ע אזי <math>|\{f(a_1),\dots f(a_n)\}|<n</math>  
+
נניח  <math>f </math> על. נניח בשלילה ש <math>f </math> אינה חח"ע אזי <math>|\{f(a_1),\dots f(a_n)\}|<n</math> (כי יש שני איברים שנשלחים לאותו מקום)
 
ואז <math>f </math> אינה על -סתירה.  
 
ואז <math>f </math> אינה על -סתירה.  
  
 
הערה: הדבר אינו נכון אם  A וB קבוצות אינסופיות.
 
הערה: הדבר אינו נכון אם  A וB קבוצות אינסופיות.
  
למשל פונקצית הערך השלם על ואינה חח"ע
+
למשל פונקצית הערך השלם <math>f:\mathbb{R} \to \mathbb{Z} </math>  המוגדרת <math>f(x) =\lfloor{x}\rfloor</math> היא על ואינה חח"ע
 +
 
 +
==== תרגיל====
 +
קבעו האם הפונקציות הבאות חח"ע/על
 +
* <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> המוגדרת <math>f(x)=\lfloor x \rfloor</math>
 +
* <math>f:\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{Z}</math> המוגדרת <math>f(n,m)=n-m</math>
 +
*תהא A קבוצה, הפונקציה <math>f:A\to P(P(A))</math> המוגדרת <math>f(x)=\{B\subseteq A \mid x\in B\}</math>
 +
 
 +
==== תרגיל====
 +
מצאו פונקציה <math>f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}</math> על שאינה חח"ע.
 +
 
 +
==== תרגיל ====
 +
תהא A קבוצה ו <math>f:A\to \mathbb{N}</math> פונקציה. נגדיר יחס R על A ע"י <math>aRa'\iff f(a)\leq f(a')</math>. הוכיחו כי R יחס סדר על A אמ"מ <math>f</math> חח"ע.
 +
 
 +
==== תרגיל ====
 +
א. תהא A קבוצה לא ריקה. מצאו פונקציה <math>F:A^A\to A</math> שהיא על.
 +
 
 +
ב. תהא <math>A</math> קבוצה. מצאו פונקציה <math>F:A\to A^A</math> שהיא חח"ע.
 +
 
 +
ג. למה בסעיף א צריך לא ריקה ובסעיף ב אפשר גם ריקה?
 +
 
 +
==== תרגיל ====
 +
תהיינה <math>f,g:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}</math> פונקציות כך ש-<math>f(n)=g(3n-1)</math>.
 +
 
 +
הוכיחו שאם <math>f</math> על, אז <math>g</math> לא חח"ע.
 +
 
 +
==הרכבת פונקציות==
  
  
 
'''הגדרה:'''
 
'''הגדרה:'''
יהיו  <math>f:A\to B, g:B\to C </math> שתי פונקציות אזי ההרכבה שלהם <math>g \circ f:A\to C </math>  
+
יהיו  <math>f:A\to B, g:B\to C </math> שתי פונקציות אזי '''ההרכבה של <math>g</math> על <math>f</math>''' היא פונקציה  <math>g \circ f:A\to C </math> המוגדרת על ידי הכלל <math>g \circ f(a)=g(f(a)) </math>
מוגדרת <math>g \circ f(a)=g(f(a)) </math>
+
  
'''תרגיל.'''
+
 
 +
תכונות:
 +
# הרכבה היא קיבוצית. כלומר <math>f_3 \circ (f_2 \circ f_1) = (f_3 \circ f_2) \circ f_1 </math>
 +
# הרכבה '''אינה''' (בהכרח) חילופית כלומר לא מתקיים בהכרח כי <math>f_2 \circ f_1 = f_2 \circ  f_1 </math>. למשל <math>f(x) =x^2 , g(x) = x+1</math>  אזי <math>f(g(2))=f(3)=9, g(f(2))=g(4)=5</math> ולכן <math>f\circ g \neq g \circ f</math>
 +
 
 +
==== תרגיל ====
 +
תהא <math>g:\mathbb{N}\to \mathbb{N}</math> פונקציה. נגדיר <math>F:\mathbb{N}^{\mathbb{N}}\to \mathbb{N}^{\mathbb{N}}</math> ע"י <math>F(f)=g\circ f</math>. הוכיחו כי F חח"ע אמ"מ g חח"ע.
 +
 
 +
=====פתרון=====
 +
<math>\Leftarrow</math>: נתון: F חח"ע. נניח <math>g(n)=g(m)</math>, לכן עבור הפונקציות הקבועות <math>f\equiv n,f'\equiv m</math> נקבל <math>\forall k:g\circ f(k)=g((n)=g(m)=g\circ f'(k)</math> ולכן <math>F(f)=g\circ f=g\circ f'=F(f')</math>, ומחח"ע של F נקבל <math>f=f'</math> ולכן <math>n=m</math>.
 +
 
 +
<math>\Rightarrow</math>: נתון <math>g</math> חח"ע. תהיינה <math>f\neq f'\in \mathbb{N}^{\mathbb{N}}</math>, לכן יש <math>n\in \mathbb {N}</math> כך ש- <math>f(n)\neq f'(n)</math>, ולכן זה מתקיים גם אחרי ההרכבה, ולכן <math>F(f)\neq F(f')</math>.
 +
 
 +
====תרגיל====
 
*נניח <math>g \circ f</math> חח"ע. הוכח/הפרך: g חח"ע, f חח"ע  
 
*נניח <math>g \circ f</math> חח"ע. הוכח/הפרך: g חח"ע, f חח"ע  
 
*נניח <math>g \circ f</math> על. הוכח/הפרך: g על, f על
 
*נניח <math>g \circ f</math> על. הוכח/הפרך: g על, f על
  
 
+
=====פתרון=====
'''פתרון.'''
+
  
 
נניח <math>g \circ f</math> חח"ע. נניח בשלילה ש-f אינה חח"ע. לכן קיימים <math>x,y</math> כך ש <math>f(x)=f(y)</math> אבל <math>x\neq y</math>. אבל, <math>g\circ f (x) = g(f(x))=g(f(y))=g\circ f(y)</math> בסתירה לחח"ע של ההרכבה, ולכן f חח"ע.  
 
נניח <math>g \circ f</math> חח"ע. נניח בשלילה ש-f אינה חח"ע. לכן קיימים <math>x,y</math> כך ש <math>f(x)=f(y)</math> אבל <math>x\neq y</math>. אבל, <math>g\circ f (x) = g(f(x))=g(f(y))=g\circ f(y)</math> בסתירה לחח"ע של ההרכבה, ולכן f חח"ע.  
  
לגבי g ניתן דוגמא נגדית: <math>f(x)=e^x ,g(y)=y^2</math> ההרכבה היא <math>f(x)=e^{2x}</math>
+
לגבי g ניתן דוגמא נגדית: <math>f(x)=e^x ,g(y)=y^2</math> ההרכבה היא <math>h(x)=e^{2x}</math>
  
  
שורה 66: שורה 127:
  
 
דוגמא נגדית ל f: נתבונן בשתי הפונקציות מהטבעיים לעצמם
 
דוגמא נגדית ל f: נתבונן בשתי הפונקציות מהטבעיים לעצמם
<math>f(n)=n+1</math>
+
<math>f(n)=n+1</math>;
<math>\forall n\not=0 g(n)=n-1, g(0)=0</math>
+
<math>\forall n\not=0 g(n)=n-1 , g(0)=0</math>
 
ההרכבה היא הזהות
 
ההרכבה היא הזהות
  
 
(עוד דוגמא נביט בפונקציות מהטבעיים לטבעיים. <math>f(n)=2n</math>, והפונקציה g מוגדרת כ <math>g(2n)=n</math> ו <math>g(2n+1)=n</math>. ההרכבה הינה פונקצית הזהות שהיא בפרט על, אבל f אינה על כיוון שהאי זוגיים כלל לא נמצאים בתמונה שלה.)
 
(עוד דוגמא נביט בפונקציות מהטבעיים לטבעיים. <math>f(n)=2n</math>, והפונקציה g מוגדרת כ <math>g(2n)=n</math> ו <math>g(2n+1)=n</math>. ההרכבה הינה פונקצית הזהות שהיא בפרט על, אבל f אינה על כיוון שהאי זוגיים כלל לא נמצאים בתמונה שלה.)
  
 +
==פונקציות הפיכות==
 +
'''הערה:''' לכל פונקציה <math>f</math> מתקיים <math>f\circ id =f</math> וגם <math>id \circ f =f</math>
  
'''הגדרה:''' פונקצית הזהות על A הינה פונקציה מA לעצמו השולחת כל איבר לעצמו. נהוג לסמנה ב<math>id_A</math>. פונקציה <math>f:A\rightarrow B</math> נקראת הפיכה אם קיימת לה הופכית - פונקציה <math>f^{-1}:B\rightarrow A</math> כך שמתקיים <math>f\circ f^{-1} = id_B</math> וגם <math>f^{-1}\circ f = id_A</math>.  
+
'''הגדרה:''' תהי <math>f</math> פונקציה <math>f:A\rightarrow B</math>. פונקציה <math>g:B\rightarrow A</math> תיקרא '''הפונקציה ההופכית ל-<math>f</math>''' אם <math>f\circ g = id_B</math> וגם <math>g\circ f = id_A</math>. במקרה זה נסמן את <math>g</math> על ידי <math>f^{-1}</math>, ונאמר שהפונקציה <math>f</math> היא '''הפיכה'''.
  
 
הערה: זכרו שפונקציה היא יחס. הפונקציה ההופכית שלה היא היחס ההופכי מטבע הדברים. על מנת שהיחס ההופכי יהיה פונקציה הוא צריך להיות ח"ע ושהתחום שלו יהיה כל B. תנאים אלה מתממשים רק אם f הינה חח"ע ועל.
 
הערה: זכרו שפונקציה היא יחס. הפונקציה ההופכית שלה היא היחס ההופכי מטבע הדברים. על מנת שהיחס ההופכי יהיה פונקציה הוא צריך להיות ח"ע ושהתחום שלו יהיה כל B. תנאים אלה מתממשים רק אם f הינה חח"ע ועל.
  
'''תרגיל.'''
+
====משפט====
  
 
הוכח כי f הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל. כמו כן, הוכח שאם קיימת הופכית אזי היא יחידה.
 
הוכח כי f הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל. כמו כן, הוכח שאם קיימת הופכית אזי היא יחידה.
  
'''הוכחה:'''
+
=====הוכחה=====
  
אם f הפיכה, אזי <math>f\circ f^{-1} = id_B</math> וגם <math>f^{-1}\circ f = id_A</math>. מכיוון שהזהות הינה חח"ע ועל, נובע שf חח"ע ועל לפי התרגיל הקודם.
+
אם f הפיכה, אזי <math>f\circ f^{-1} = id_B</math> וגם <math>f^{-1}\circ f = id_A</math>. מכיוון שהזהות הינה חח"ע ועל, נובע ש-f חח"ע ועל לפי התרגיל הקודם בדבר הרכבת פונקציות.
  
 
אם f חח"ע ועל, אז נגדיר <math>g:B\to A</math> ע"י: עבור <math>a\in A </math> קיים (כי f על) יחיד (כי f חח"ע)  
 
אם f חח"ע ועל, אז נגדיר <math>g:B\to A</math> ע"י: עבור <math>a\in A </math> קיים (כי f על) יחיד (כי f חח"ע)  
<math>b\in B</math> כך ש <math>f(a)=b</math> . נגדיר <math>g(b):=a</math>. תרגיל: בדקו ש g ההפוכית של f.
+
<math>b\in B</math> כך ש <math>f(a)=b</math> . נגדיר <math>g(b):=a</math>. תרגיל: בדקו ש g ההופכית של f.
 +
 
 +
יחידות: נניח g,h הופכיות של f אזי <math>h= h\circ I_B=h\circ f \circ g=I_A \circ g=g</math>.
 +
 
 +
דרך אחרת להוכחת יחידות: נניח בשלילה ש g וh הופכיות שונות של f. מכיוון שהן שונות, הן חייבות להיות שונות על איבר אחד לפחות. כלומר, <math>\exists a\in A:g(a)\neq h(a)</math>. אבל <math>f(g(a))=f(h(a))</math> וזו סתירה לחח"ע של f.
 +
 
 +
====משפט====
 +
יהיו <math>f_1,\dots f_k:A\to A</math> הפיכות/חח"ע/על. הוכח שההרכבה <math>f_k \circ \dots \circ f_1</math> הפיכה/חח"ע/על
 +
 
 +
=====הוכחה=====
 +
 
 +
חח"ע: נניח <math>(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_2)</math> אזי מח"ע של <math>f_k</math>
 +
נקבל כי <math>(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_2)</math> באופן דומה נמשיך (או באינדוקציה) ונקבל <math>x_1=x_2</math>
 +
 
 +
על: יהא <math>y\in A</math> כיוון ש <math>f_k</math> על קיים <math>a_k\in A</math> כך ש <math>f_k(a_k)= y</math>
 +
באותו אופן קיים <math>a_{k-1}</math> כך ש <math>f_{k-1}(a_{k-1}=a_k</math> נמשיך באופן דומה (או באינקודציה)
 +
ונקבל <math>(f_k \circ \dots \circ f_1)(a_1)=(f_k \circ \dots \circ f_2)(a_2)=\dots f_k\circ f_{k-1} (a_{k-1}) = f_k(a_k)=y</math>
 +
 
 +
הפיכות: נובע מחח"ע+על
 +
 
 +
====מסקנות====
 +
 
 +
* אם <math>f,g</math> הפיכות אז <math>g\circ f</math> הפיכה.
 +
 
 +
* אם <math>g\circ f</math> הפיכה אז <math>f</math> חח"ע, <math>g</math> על (והן לאו דוקא הפיכות).
 +
 
 +
==== דוגמאות ====
 +
1. <math>f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> המוגדרת:
 +
# <math>f(x)=x+1</math> הפיכה וההופכית היא <math>f^{-1}(x) = x-1 </math>
 +
# <math>f(x)=x^3</math> הפיכה וההופכית היא <math>f^{-1}(x) = x^{1/3} </math>
 +
# <math>f(x)=\sin (x)</math> אינה הפיכה כי איננה חח"ע למשל <math>\sin(0) =\sin(2\pi k)</math>
 +
 
 +
2 תהא <math>A</math> קבוצה <math>f:P(A)\to P(A)</math> המוגדרת:
 +
# <math>f(B)= B^c</math> הפיכה וההופכית היא <math>f^{-1}(B) = B^c </math>
 +
# תהא <math>C\subseteq A</math> תת קבוצה <math>f(B)= B \triangle C</math> הפיכה וההופכית היא <math>f^{-1}(B) = B \triangle C </math>
 +
 
 +
3 תהא <math>A</math> קבוצה ו <math>C\subseteq A</math> תת קבוצה. נגדיר  <math>f:P(A)\to \{0,1\}</math> ע"י :
 +
<math>
 +
f(B)=
 +
\begin{cases} 1 & \text{ if } C\subseteq B \\ 0 & \text{ otherwise } \end{cases}
 +
</math>
 +
 
 +
תקיים כי<math>f(C)=f(A) </math> ואם <math>C\neq A</math> אזי הפונקציה אינה חח"ע ובפרט אינה הפיכה
 +
 
 +
4. תהא <math>A</math> קבוצה. אזי אפשר (בעזרת חומר שראינו בתירגול על יחסי שקילות)
 +
להגדיר <math>f:\{R \; | \; R \text{ Equivalence relation }\}\to \{\text{Partitions of }A\}</math> ע"י <math>f(R)=A/R</math> והיא תהיה חח"ע ועל כי ראינו את הפונקציה ההופכית לה
 +
 
 +
5 <math>\{4,5,6\}^{\{1,2,3\}}\to \{4,5,6\}\times \{4,5,6\}\times\{4,5,6\}</math>, המוגדרת <math>f\mapsto (f(1),f(2),f(3))</math> חח"ע ועל.
 +
 
 +
====תרגיל====
 +
הוכח כי אם <math>g\circ f \circ g =id</math> אז <math>f </math> הפיכה
 +
 
 +
הוכחה:
 +
 
 +
הרכבה של פונקציה חח"ע <math>(g\circ f) \circ g =id</math> גורר שהשמאלית <math>g</math> חח"ע
 +
 
 +
הרכבה של פונקציה על <math>g\circ (f \circ g) =id</math> גורר שהימנית <math>g</math> על
  
יחידות: נניח g,h הופכיות של f אזי <math>h= h\circ I_B=h\circ f \circ g=I_A \circ g=g</math>
+
ביחד נקבל ש <math>g</math> חח"ע ועל כלומר הפיכה. נכפול ב <math>g^{-1}</math> מימין ומשמאל ונקבל כי <math>f=g^{-1}\circ g^{-1}</math> ואז <math>f</math> הפיכה כהרכבה של הפיכות.
נניח בשלילה ש g וh הופכיות שונות של f. מכיוון שהן שונות, הן חייבות להיות שונות על איבר אחד לפחות. כלומר, <math>\exists a\in A:g(a)\neq h(a)</math>. אבל <math>f(g(a))=f(h(a))</math> וזו סתירה לחח"ע של f.
+

גרסה מ־09:33, 21 ביוני 2021

חזרה למערכי התרגול

פונקציות

הגדרה: (אפשר לדלג ולהתמקד בתחום וטווח של פונקציות ולא של יחסיים כללים) יהיו A,B קבוצות וR יחס בינהן. אזי:

  • התחום של R הינו dom(R)=\{a\in A|\exists b\in B:(a,b)\in R\}=\{(*,\;),(*,\;)\dots \}
  • התמונה של R הינה im(R)=\{b\in B|\exists a\in A:(a,b)\in R\}=\{(\;,*),(\; ,*)\dots \}

הערה: ישירות מהגדרה מתקיים כי dom(R)\subseteq A, Im(R)\subseteq B

דוגמא:

  • אם R יחס מלא על A אזי האיחוד של התמונה והתחום שווה A (כי כל שני איברים ניתן להשוות)
  • R=\{(1,a),(2,b),(3,a),(a,1)\} אזי התחום הוא dom(R)=\{a,1,2,3\} והתמונה הינה im(R)=\{1,a,b\}

הגדרה:

  • יחס R מ-A ל-B נקרא על אם \forall b\in B \exists a\in A:(a,b)\in R כלומר im(R)=B
  • יחס R מ-A ל-B נקרא שלם אם \forall a\in A \exists b\in B:(a,b)\in R כלומר dom(R)=A
  • יחס R נקרא חד ערכי אם [(x,b)\in R] \and [(x,d) \in R] \rightarrow (d=b) כלומר אין איבר שנשלח ל-2 מקומות שונים
  • יחס R נקרא חד-חד ערכי אם [(x,b)\in R] \and [(y,b) \in R] \rightarrow (x=y) כלומר איברים שונים נשלחים למקומות שונים (כלומר, היחס ההופכי הינו חד ערכי)

הגדרה:

יחס חד ערכי ושלם נקרא פונקציה; נסמן במקרה זה (a,b)\in R\leftrightarrow b=R(a). ובאופן כללי f:A\to B \;\; , a \mapsto f(a). (A נקרא תחום (הגדרה) של הפונקציה. ו B נקרא הטווח של הפונקציה)

נחזור על הגדרת חח"ע עבור פונקציה:

f חח"ע אמ"מ f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2 אמ"מ x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)


הגדרה:

תהא A קבוצה. פונקציית הזהות היא פונקציה f:A \to A המקיימת \forall a\in A: f(a)=a. נהוג לסמנה: id_A פונקציית הזהות היא חח"ע ועל.

דוגמאות:

  • f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z} כאשר f(p)=p^2 (אינה חח"ע ואינה על)
  • f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z} כאשר f(p)=p^2 ( חח"ע ואינה על)
  • f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z} כאשר f(p)=p. זו פונקציית הזהות.
  • f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} כאשר f(x)=x-1 ( חח"ע ו על)
  • f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} המוגדרת ע"י הכלל f(x)=\sin(x).
  • f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} המוגדרת ע"י הכלל f(x)=x^{3}
  • f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} המוגדרת ע"י הכלל f(x)=x^{2}
  • f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} כאשר f(x)=x-1 ( לא מוגדר כי f(1)=?)
  • f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{Z} כאשר f(x)=[x] מוגדר להיות הערך השלם הקרוב ביותר ל-x (במקרה של חצי לוקחים את הגבוה). זו פונקציה על שאינה חח"ע
  • f:\mathbb{Z}_2\rightarrow\mathbb{Z}_3 כאשר לוקחים את 0 ל0 ואת 1 ל1. זו פונקציה חח"ע שאינה על. (כל פונקציה היא על לתמונה של עצמה.)
  • D:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} פונקצית דיריכלה: על כל מספר רציונאלי מקבלת 1 ועל כל מספר אי רציונאלי מקבלת אפס.
  • תהא A קבוצה ו B\subseteq A תת קבוצה. הפונקציה


\chi_B= 
\begin{cases} 1 & \text{ if } x\in B \\ 0 & \text{ otherwise } \end{cases}
פונקצית האינדקטור. במקרה של דריכלה D=\chi_{\mathbb{Q}}

  • תהא f:A\to B אזי g:A\to Im(f) המוגדרת g(a)=f(a) היא על (במילים: פשוט חושבים על הטווח של f להיות התמונה של g)
  • תהא A\subseteq B אזי הפונקציה i : A\to B המוגדרת i(a)=a נקראת פונקציה ההכלה (במקרה ש A=B זה פונקצית הזהות). פונקצית ההכלה היא חח"ע.

תרגיל (בשיעוריי הבית)

יהיו A ו-B קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה. הוכח שכל פונקציה מ-A ל-B הינה על אם"ם היא חח"ע

הוכחה

נסמן f:A\to B, A=\{a_1,\dots a_n\},B=\{b_1,\dots b_n\} . כאשר כל האיברים ב A שונים זה מזה וכנ"ל ל B

נניח f חח"ע אזי |\{f(a_1),\dots f(a_n)\}|=n כיוון ש \{f(a_1),\dots f(a_n)\}\subseteq B ובשניהם יש אותו מספר איברים, מתקיים שיוון ולכן f על.

נניח f על. נניח בשלילה ש f אינה חח"ע אזי |\{f(a_1),\dots f(a_n)\}|<n (כי יש שני איברים שנשלחים לאותו מקום) ואז f אינה על -סתירה.

הערה: הדבר אינו נכון אם A וB קבוצות אינסופיות.

למשל פונקצית הערך השלם f:\mathbb{R} \to \mathbb{Z} המוגדרת f(x) =\lfloor{x}\rfloor היא על ואינה חח"ע

תרגיל

קבעו האם הפונקציות הבאות חח"ע/על

  • f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} המוגדרת f(x)=\lfloor x \rfloor
  • f:\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{Z} המוגדרת f(n,m)=n-m
  • תהא A קבוצה, הפונקציה f:A\to P(P(A)) המוגדרת f(x)=\{B\subseteq A \mid x\in B\}

תרגיל

מצאו פונקציה f:\mathbb{N}\to \mathbb{N} על שאינה חח"ע.

תרגיל

תהא A קבוצה ו f:A\to \mathbb{N} פונקציה. נגדיר יחס R על A ע"י aRa'\iff f(a)\leq f(a'). הוכיחו כי R יחס סדר על A אמ"מ f חח"ע.

תרגיל

א. תהא A קבוצה לא ריקה. מצאו פונקציה F:A^A\to A שהיא על.

ב. תהא A קבוצה. מצאו פונקציה F:A\to A^A שהיא חח"ע.

ג. למה בסעיף א צריך לא ריקה ובסעיף ב אפשר גם ריקה?

תרגיל

תהיינה f,g:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N} פונקציות כך ש-f(n)=g(3n-1).

הוכיחו שאם f על, אז g לא חח"ע.

הרכבת פונקציות

הגדרה: יהיו f:A\to B, g:B\to C שתי פונקציות אזי ההרכבה של g על f היא פונקציה g \circ f:A\to C המוגדרת על ידי הכלל g \circ f(a)=g(f(a))


תכונות:

  1. הרכבה היא קיבוצית. כלומר f_3 \circ (f_2 \circ f_1) = (f_3 \circ f_2) \circ f_1
  2. הרכבה אינה (בהכרח) חילופית כלומר לא מתקיים בהכרח כי f_2 \circ f_1 = f_2 \circ  f_1 . למשל f(x) =x^2 , g(x) = x+1 אזי f(g(2))=f(3)=9, g(f(2))=g(4)=5 ולכן f\circ g \neq g \circ f

תרגיל

תהא g:\mathbb{N}\to \mathbb{N} פונקציה. נגדיר F:\mathbb{N}^{\mathbb{N}}\to \mathbb{N}^{\mathbb{N}} ע"י F(f)=g\circ f. הוכיחו כי F חח"ע אמ"מ g חח"ע.

פתרון

\Leftarrow: נתון: F חח"ע. נניח g(n)=g(m), לכן עבור הפונקציות הקבועות f\equiv n,f'\equiv m נקבל \forall k:g\circ f(k)=g((n)=g(m)=g\circ f'(k) ולכן F(f)=g\circ f=g\circ f'=F(f'), ומחח"ע של F נקבל f=f' ולכן n=m.

\Rightarrow: נתון g חח"ע. תהיינה f\neq f'\in \mathbb{N}^{\mathbb{N}}, לכן יש n\in \mathbb {N} כך ש- f(n)\neq f'(n), ולכן זה מתקיים גם אחרי ההרכבה, ולכן F(f)\neq F(f').

תרגיל

  • נניח g \circ f חח"ע. הוכח/הפרך: g חח"ע, f חח"ע
  • נניח g \circ f על. הוכח/הפרך: g על, f על
פתרון

נניח g \circ f חח"ע. נניח בשלילה ש-f אינה חח"ע. לכן קיימים x,y כך ש f(x)=f(y) אבל x\neq y. אבל, g\circ f (x) = g(f(x))=g(f(y))=g\circ f(y) בסתירה לחח"ע של ההרכבה, ולכן f חח"ע.

לגבי g ניתן דוגמא נגדית: f(x)=e^x ,g(y)=y^2 ההרכבה היא h(x)=e^{2x}


נניח g \circ f על. נסמן g \circ f : A\rightarrow B אזי לכל איבר b\in B קיים איבר a\in A כך ש g(f(a))=b. לכן עבור g לכל b קיים f(a) שנותן את b תחת g ולכן g על.

דוגמא נגדית ל f: נתבונן בשתי הפונקציות מהטבעיים לעצמם f(n)=n+1; \forall n\not=0 g(n)=n-1 , g(0)=0 ההרכבה היא הזהות

(עוד דוגמא נביט בפונקציות מהטבעיים לטבעיים. f(n)=2n, והפונקציה g מוגדרת כ g(2n)=n ו g(2n+1)=n. ההרכבה הינה פונקצית הזהות שהיא בפרט על, אבל f אינה על כיוון שהאי זוגיים כלל לא נמצאים בתמונה שלה.)

פונקציות הפיכות

הערה: לכל פונקציה f מתקיים f\circ id =f וגם id \circ f =f

הגדרה: תהי f פונקציה f:A\rightarrow B. פונקציה g:B\rightarrow A תיקרא הפונקציה ההופכית ל-f אם f\circ g = id_B וגם g\circ f = id_A. במקרה זה נסמן את g על ידי f^{-1}, ונאמר שהפונקציה f היא הפיכה.

הערה: זכרו שפונקציה היא יחס. הפונקציה ההופכית שלה היא היחס ההופכי מטבע הדברים. על מנת שהיחס ההופכי יהיה פונקציה הוא צריך להיות ח"ע ושהתחום שלו יהיה כל B. תנאים אלה מתממשים רק אם f הינה חח"ע ועל.

משפט

הוכח כי f הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל. כמו כן, הוכח שאם קיימת הופכית אזי היא יחידה.

הוכחה

אם f הפיכה, אזי f\circ f^{-1} = id_B וגם f^{-1}\circ f = id_A. מכיוון שהזהות הינה חח"ע ועל, נובע ש-f חח"ע ועל לפי התרגיל הקודם בדבר הרכבת פונקציות.

אם f חח"ע ועל, אז נגדיר g:B\to A ע"י: עבור a\in A קיים (כי f על) יחיד (כי f חח"ע) b\in B כך ש f(a)=b . נגדיר g(b):=a. תרגיל: בדקו ש g ההופכית של f.

יחידות: נניח g,h הופכיות של f אזי h= h\circ I_B=h\circ f \circ g=I_A \circ g=g.

דרך אחרת להוכחת יחידות: נניח בשלילה ש g וh הופכיות שונות של f. מכיוון שהן שונות, הן חייבות להיות שונות על איבר אחד לפחות. כלומר, \exists a\in A:g(a)\neq h(a). אבל f(g(a))=f(h(a)) וזו סתירה לחח"ע של f.

משפט

יהיו f_1,\dots f_k:A\to A הפיכות/חח"ע/על. הוכח שההרכבה f_k \circ \dots \circ f_1 הפיכה/חח"ע/על

הוכחה

חח"ע: נניח (f_k \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_2) אזי מח"ע של f_k נקבל כי (f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_2) באופן דומה נמשיך (או באינדוקציה) ונקבל x_1=x_2

על: יהא y\in A כיוון ש f_k על קיים a_k\in A כך ש f_k(a_k)= y באותו אופן קיים a_{k-1} כך ש f_{k-1}(a_{k-1}=a_k נמשיך באופן דומה (או באינקודציה) ונקבל (f_k \circ \dots \circ f_1)(a_1)=(f_k \circ \dots \circ f_2)(a_2)=\dots f_k\circ f_{k-1} (a_{k-1}) = f_k(a_k)=y

הפיכות: נובע מחח"ע+על

מסקנות

  • אם f,g הפיכות אז g\circ f הפיכה.
  • אם g\circ f הפיכה אז f חח"ע, g על (והן לאו דוקא הפיכות).

דוגמאות

1. f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} המוגדרת:

  1. f(x)=x+1 הפיכה וההופכית היא f^{-1}(x) = x-1
  2. f(x)=x^3 הפיכה וההופכית היא f^{-1}(x) = x^{1/3}
  3. f(x)=\sin (x) אינה הפיכה כי איננה חח"ע למשל \sin(0) =\sin(2\pi k)

2 תהא A קבוצה f:P(A)\to P(A) המוגדרת:

  1. f(B)= B^c הפיכה וההופכית היא f^{-1}(B) = B^c
  2. תהא C\subseteq A תת קבוצה f(B)= B \triangle C הפיכה וההופכית היא f^{-1}(B) = B \triangle C

3 תהא A קבוצה ו C\subseteq A תת קבוצה. נגדיר f:P(A)\to \{0,1\} ע"י : 
f(B)= 
\begin{cases} 1 & \text{ if } C\subseteq B \\ 0 & \text{ otherwise } \end{cases}

תקיים כיf(C)=f(A) ואם C\neq A אזי הפונקציה אינה חח"ע ובפרט אינה הפיכה

4. תהא A קבוצה. אזי אפשר (בעזרת חומר שראינו בתירגול על יחסי שקילות) להגדיר f:\{R \; | \; R \text{ Equivalence relation }\}\to \{\text{Partitions of }A\} ע"י f(R)=A/R והיא תהיה חח"ע ועל כי ראינו את הפונקציה ההופכית לה

5 \{4,5,6\}^{\{1,2,3\}}\to \{4,5,6\}\times \{4,5,6\}\times\{4,5,6\}, המוגדרת f\mapsto (f(1),f(2),f(3)) חח"ע ועל.

תרגיל

הוכח כי אם g\circ f \circ g =id אז f הפיכה

הוכחה:

הרכבה של פונקציה חח"ע (g\circ f) \circ g =id גורר שהשמאלית g חח"ע

הרכבה של פונקציה על g\circ (f \circ g) =id גורר שהימנית g על

ביחד נקבל ש g חח"ע ועל כלומר הפיכה. נכפול ב g^{-1} מימין ומשמאל ונקבל כי f=g^{-1}\circ g^{-1} ואז f הפיכה כהרכבה של הפיכות.