88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 7

אריתמטיקה של עוצמות

תרגיל. יהיו A,B קבוצות כך ש, עוצמת B גדולה מאחד. הוכח כי העוצמה של אוסף הפונקציות מA לB גדולה מעוצמת A.

פתרון.

קל לבנות פונקציה על מאוסף הפונקציות מA לB אל A. נשלח כל פונקציה באוסף למקור של איבר b מסוים. מכיוון שכל הפונקציות מA לB נמצאות באוסף, בפרט כל הפונקציות ששולחות כל איבר מA ל-b יהיו שם.

נניח בשלילה שקיימת התאמה חח"ע ועל בין A לבין אוסף הפונקציות הנ"ל. נסמן ב$f_a:A\rightarrow B$ את הפונקציה המתאימה לאיבר $a\in A$.

ידוע לנו שבקבוצה B יש לפחות שני איברים, לכן בהנתן אחד מהם אפשר לבחור את השני. נגדיר פונקציה באופן הבא $\forall a\in A : g(a)\neq g_a(a)$. לפי ההגדרות פונקציה זו הינה פונקציה מA לB אך אינה מתאימה לאף איבר בA בסתירה.

תרגיל. הוכח שעוצמת קבוצת החזקה של A תמיד גדולה מעוצמתה של A

הוכחה. קל להראות שקיימת העתקה חח"ע ועל בין אוסף הפונקציה $f:A\rightarrow \{0,1\}$ (כל קבוצה חלקית אומרת בעצם על כל איבר של A אם הוא שייך (1) או לא שייך (0). למשל הפונקציה המתאימה לקבוצה הריקה היא פונקצית האפס, והפונקציה המתאימה לקבוצה כולה היא הפונקציה 1).

פונקציה זו עומדת בתנאי התרגיל לעיל ולכן עוצמתה גדולה מעוצמת A אבל זהה לעוצמה של קבוצת החזקה, כפי שרצינו.