88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 2

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־11:47, 11 בנובמבר 2012 מאת אור שחף (שיחה | תרומות) (שאלה 4)

(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

שאלה 1

הוכיחו כי לכל קטע בעל מידה חיובית יש תת קבוצה לא מדידה. (הסתמכו על התרגיל הקודם).


שאלה 2

א. הוכיחו שקבוצת קנטור הטרנארית C (זו מהתרגול) היא קומפקטית.

ב. הוכיחו שהפְּנים של קבוצת קנטור הוא ריק (קבוצות כאלה נקראות "קבוצות דלילות").

ג. הראו שקבוצת קנטור אינה איחוד בן-מנייה של קטעים סגורים (סעיף זה מראה שקבוצה סגורה ב-\mathbb{R} אינה בהכרח איחוד בן מנייה של קטעים סגורים - בניגוד למקרה של קבוצה פתוחה וקטעים פתוחים)

ד. הוכיחו כי \frac{1}{4} \in C, למרות שרבע הוא אינו קצה של אף קטע בקבוצות C_n (רמז: נסו לפתח את רבע בבסיס 3).


שאלה 3

תהי X קבוצה כלשהי, ו- \Sigma \subseteq \mathcal{P}(X) אוסף תתי הקבוצות של X שהן בנות מנייה, או שהמשלים שלהן בן מנייה (כלומר E \in \Sigma או"א E בת מנייה, או X\setminus E בת מנייה).

א. הוכיחו כי \Sigma היא \sigma-אלגברה מעל X.

ב. נגדיר \mu : \Sigma \rightarrow [0,\infty] ע"י \mu \left( E \right)=\begin{cases} 0&|E| \leq \aleph_0 \\ \infty & \text{otherwise} \end{cases}. הוכיחו כי זו מידה.


שאלה 4

יהי (X,\Sigma,\mu) ממ"ח.

א. הוכיחו שאם \left( E_n \right)_{n=1}^\infty היא סדרת קבוצות יורדת (כלומר E_1 \supseteq E_2 \supseteq E_3 \supseteq \dots), ואם \mu \left(E_1 \right)<\infty, אזי \mu \left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right)=\lim_{n \rightarrow \infty} \mu \left( E_n \right)

(הדרכה: נסו לבנות סדרת קבוצות חדשה, כמו שעשיתם בהרצאה)

ב. הראו שהדרישה \mu \left( E_1 \right)< \infty היא הכרחית (כלומר אם נוותר עליה, נוכל למצוא דוגמא נגדית).

בהצלחה!