89-113 תשע"ג סמסטר ב' - הודעות

5/7- הערה בנושא לכסינות ושלישות

אלו הגרירות:

לכסינות <=> פ"א מל"ל+שיוויון ריבויים <=> פ"מ מל"ל שונים

שלישות <=> פ"א מל"ל

כלומר, בשביל לכסינות נירצה גם מל"ל לפ"א וגם שיוויון ריבויים, זאת ע"מ לקבל גם מספיק ע"ע לבניית D וגם מספיק ו"ע לבניית P.

האחד איננו גורר את השני.

לדוגמא

(i) הפ"א $(x-1)^2(x+5)$ הוא מל"ל, אך אם ר"ג של הע"ע 1 קטן מ-2 אין לכסינות, היות ולא יהיו מספיק ו"ע כדי לבנות P מלכסנת.

(ii) הפ"א $(x^2+1)(x-3)^2$ הוא איננו מל"ל מעל הממשיים. לכן, גם אם יש שיוויון ריבויים עבור הע"ע היחיד-3, לא תהיה לכסינות כי אין מספיק ע"ע (שהם שורשי הפ"א) לבניית האלכסונית D.

שימו לב1, ריבוי כל חלק בפ"מ הוא בין 1 לריבויו בפ"א. לכן, בפרט מתקיים:

פ"א מל"ל שונים => לכסינות, אך לא להיפך.

שימו לב2, מעל המרוכבים כל פולינום הוא מל"ל (המשפט היסודי של האלגברה), לכן מעל C מתקיים שמט'/ה"ל תמיד שלישה ובפרט:

לכסינות <=> שיוויון ריבויים (כלומר, תמיד יהיו מספיק ע"ע, השאלה האם יהיו מספיק ו"ע)

7/6- שאלה פתורה לסטודנטים בתרגול של יום חמישי (עידן)

שאלה על הניצב

6/6-להלן הבהרה בנושא ש.ב- תרגילים שיעלו בשבועיים האחרונים של הסמסטר לא יהיו להגשה (כלומר, יעלו עם פתרונות). מתוך 11 התרגילים שכן להגשה ילקחו ה-9 הטובים ביותר. כלומר אם יש תרגיל שאינכם מרוצים מציונו, או שפיספסתם הגשה במהלך הסמסטר, המשיכו להגיש גם את 10 ו-11.

שימו לב לתיקון בתרגיל 10.

23/5 - לקבוצות של עידן (יום רביעי) - מצ"ב קובץ המסכם שתי טענות מהתרגול על קבוצות אורתוגונליות

שתי שאלות

22/5 - לקבוצה 05 של עידן (יום רביעי) - קראו את הקובץ המצורף לפתרון ברור של אחת השאלות מהתרגול של היום

שאלה על מכפלה פנימית

29/4- תרגילים בדוקים שלא נילקחו בכיתה, נמצאים בתיקיה ע"ש הקורס בחדר צילום, בקומת הכניסה של מתמטיקה.

28/4-הערות לתירגול 7:

1)שיוויון העיקבה למטריצות דומות: קל להראות שעבור מטריצה A עם פ"א $f_A(x)=\Sigma_{i=0}^na_ix^i$ מתקיים $|a_{n-1}|=tr(A),\ |a_0|=det(A)$ . כמו כן, הוכחנו כי למטריצות דומות פ"א זהה, כלומר הפולינומים שווים מקדם-מקדם, בפרט גם העיקבה זהה והדטרמיננטה זהה.

עיקבה שווה לסכום ע"ע עבור מט' עם פ"א מל"ל: אם הפ"א מל"ל, הוכחתם בכיתה כי המטריצה דומה למשולשית T.

בסה"כ לA ולT אותם ע"ע ואותה עיקבה, ב-T הע"ע מופיעים על האלכסון ונקבל את הנידרש.

2)מטריצות דומות => פ"א זהה ופ"מ זהה.

חשוב! הכיוון ההפוך נכון רק עבור מטריצות 2X2 ו-3X3.

3)הערות חשובות:

א. אם פולינום מאפס את A אז גם המתוקן המתאים לו (כלומר הפולינום המחולק במקדם המוביל) מאפס את A.

ב. חשוב! קיים פולינום מתוקן יחיד מדרגה מינימלית (לא מכל דרגה) אשר מאפס את A.

4) מציאת המינימלי:

אם $f_A(x)=p_1(x)^{d_1}\cdots p_k(x)^{d_k}$ (עבור $p_i$ הרכיבים האי פריקים(לא בהכרח לינארים) של f) אז $M_A(x)=p_1(x)^{s_1}\cdots p_k(x)^{s_k}$ עבור $1\leq s_i\leq d_i\ \forall i$