89-214 סמסטר א' תשעה

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־13:03, 23 במרץ 2015 מאת 464497330 (שיחה | תרומות) (הודעות כלליות)

(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

89-214 מבנים אלגבריים

קישורים

הודעות כלליות

ברוכים הבאים לקורס מבנים אלגברים!

'

ציוני תרגיל סופיים

מפורסמים בדף התרגילים. ערעורים יתקבלו עד יום חמישי, אצל שירה במייל.

השלמה לשיעור תרגיל בקבוצה 05 מיום כ"ח טבת (19 ינו')

תרגיל. תהי G חבורה מסדר p^2 (p ראשוני). הראו כי |Z(G)|\neq p.

פתרון. נניח בשלילה כי |Z(G)|=p. מכיוון שזו חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית, כלומר קיים a \in Z(G) שיקיים <a>=Z(G). בנוסף, משיקולי עוצמה, קיים איבר b \in G-Z(G). ננסה להראות כי b הזה מתחלף עם כל איברי G, ולכן b\in Z(G), ובסתירה לבחירת b.

ראשית, נשים לב לכך שהסדר של b הוא p; אילו הסדר היה p^2 אז b היה יוצר של כל G, ואילו הסדר היה 1 אז הוא היה איבר היחידה. הסדר של a גם הוא p, באופן ברור.

כעת, נביט בקבוצה H=<a,b>=\{a^i b^j | 0 \le i,j \le p-1\}. נראה כי H היא קבוצה מעוצמה p^2: נניח כי קיימים (i,j)\neq(i',j') עבורם {a^i}{b^j}={a^{i'}}{b^{j'}}. על ידי בידוד איברים, נקבל a^{i-i'}=b^{j'-j}, והאפשרות היחידה היא ששני ביטויים אלה שווים e, ובסתירה להנחה (i,j)\neq(i',j'). אם כן, לא ספרנו כאן איבר אחד פעמיים, ומצאנו שעוצמת H היא p^2.

ברור ש-H\subseteq G, ולפי שויון עוצמות סופיות, H=G. לכן כל איבר ב-G ניתן לרשום בתור a^ib^j. (עד כאן היה בשיעור.) נבדוק האם b \cdot a^ib^j=a^ib^j \cdot b.

ראשית, נזכיר כי ab=ba, כי a\in Z(G). לכן b\cdot a^i=b\cdot a\cdot a^{i-1}=a\cdot b\cdot a^{i-1}. נחזור על הטיעון i פעמים, ונקבל b\cdot a^i=a^i\cdot b. כמו כן, ברור כי b\cdot b^j=b^j\cdot b. ביחד, נקבל b\cdot a^ib^j=a^i\cdot b \cdot b^j = a^ib^j\cdot b, כנדרש. מצאנו אפוא כי b\in Z(G), ובסתירה לדרך שבה בחרנו את b.

תרגיל. תהי G חבורה מסדר p^2 (p ראשוני). הראו כי היא חבורה אבלית.

פתרון. לפי התרגיל הקודם, |Z(G)|\neq p. לפי נוסחת המחלקות, |Z(G)|\neq 1 (הראנו בכיתה). לפי לגרנז', |Z(G)| \mid p^2, וביחד נקבל |Z(G)|= p^2. אם כן, משויון עוצמת קבוצות סופיות, Z(G)=G, ו-G אבלית.