חוג ריבועי

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־08:32, 4 ביולי 2019 מאת Uzi (שיחה | תרומות) (חישוב חוגי מנה)

(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חוג ריבועי הוא חוג שבו כל איבר מקיים משוואה ממעלה שניה מעל השלמים.

עבור שלם D חופשי מריבועים (כלומר שאין לו מחלק ריבועי), נסמן \ {\mathcal{O}}_D = \begin{cases}\mathbb{Z}[\sqrt{D}] & D \equiv 2,3 \pmod{4} \\ 
\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{D}}{2}] & D \equiv 1 \pmod{4} \end{cases}. החוג \ \mathcal{O}_D הוא "הסגור השלם" של חוג השלמים בשדה \ \mathbb{Q}[\sqrt{D}]. כל תחום שלמות ריבועי הוא תת-חוג של חוג מהצורה הזו.

תחומי שלמות ריבועיים הם "מעבדה" לבחינת מושגי היסוד של תחומי שלמות: איברים ראשוניים ואי-פריקים, פריקות יחידה ואידיאלים ראשיים, אוקלידיות וכדומה. חלק מהמושגים האלה דורשים חישוב של חוגי מנה. נדגים זאת בכמה מקרים.

חישוב חוגי מנה

נחשב את \ \mathbb{Z}[\sqrt{10}]/\langle 4-\sqrt{10}\rangle. כדי לוודא שלא תשתחל פנימה טעות בסימן של השורש, נחליף אותו בשם משתנה ונכתוב את החוג המקורי כמנה \ \mathbb{Z}[t]/\langle t^2-10\rangle, ואת חוג המנה המבוקש כמנה \ \mathbb{Z}[t]/\langle t^2-10, 4-t\rangle. מכיוון שבחוג המנה הזה t=4, מתברר ש-0 \equiv t^2-10 \equiv 4^2-10 = -6, כלומר המנה היא \ \mathbb{Z}_6[t]/\langle t^2-10, 4-t\rangle = \mathbb{Z}_6.

נחשב את המנה \ \mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-11}}{2}]/\langle \frac{13+7\sqrt{-11}}{2}\rangle. כאן חשוב עוד יותר להחליף שמות ולסמן \ x = \frac{1+\sqrt{-11}}{2}, כאשר \ x^2-x+3=0. מכיוון ש-\ \frac{13+7\sqrt{-11}}{2} = 3+7x, אנחנו מחשבים את המנה \ \mathbb{Z}[x]/\langle x^2-x+3, \ 3+7x\rangle. הנורמה של 3+7x היא 177=3*59, ומכיוון שהנורמה היא (כמובן) כפולה של 3+7x, האידיאל מכיל את 177. זה אומר שהמנה שווה ל-\ \mathbb{Z}_{177}[x]/\langle x^2-x+3,\ 3+7x\rangle! בחוג הזה 7 הוא הפיך, ואפשר לפתור את המשוואה: \ 0 \equiv 76(3+7x) = 51+x, כלומר x=-51. הצבת ערך זה מאפסת (שלא במפתיע) את התנאי הריבועי, ולכן חוג המנה הוא \ \mathbb{Z}_{177} \cong \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_{59}.