קבוצה פורשת

קבוצה B של וקטורים במרחב וקטורי V מעל שדה F פורשת את המרחב, אם כל וקטור ב-v הוא צירוף לינארי (עם מקדמים מ-F) של וקטורי B.

כל קבוצה B פורשת את הקבוצה הנפרשת על-ידיה.

המקרה הסופי. נניח ש-$\ B = \{v_1,\dots,v_n\}$ היא קבוצה סופית. אז B פורשת את V אם לכל $\ v\in V$ קיימים $\ a_1,\dots,a_n \in F$ כך ש-$\ v = a_1v_1 + \cdots + a_n v_n$.

המקרה הכללי. כאשר B אינה סופית נדרשת הגדרה מעט יותר מורכבת: B פורשת את V אם לכל $\ v\in V$ קיימים $\ b_1,\dots,b_n \in B$ ו-$\ a_1,\dots,a_n \in F$ כך ש-$\ v = a_1v_1 + \cdots + a_n v_n$ (אפשר להשתמש, כביכול, בוקטורים שונים מ-B לכל וקטור v).

דוגמאות

וקטורי היחידה $\ e_1,\dots,e_n$ פורשים את מרחב הוקטורים $\ F^n$. הקבוצה $\ \{1,x,x^2,\dots\}$ פורשת את מרחב הפולינומים $\ F[x]$.

הקשר לבסיסים

קבוצה פורשת ובלתי תלויה היא בסיס. כל קבוצה פורשת של V מכילה בסיס. כל קבוצה המכילה בסיס היא פורשת.