Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

מבחנים בבדידה

2022-08-31T20:12:23Z

אחיה172: /* מתמטיקה */

==מבחני בר-אילן==
=== מתמטיקה===
* מועד א קיץ 2022 [[מדיה:22BdidaSummerTestA.pdf|מועד א' קיץ תשפ"ב]], [[מדיה:22BdidaSummerTestASol.pdf|פתרון מועד א' קיץ תשפ"ב]]
* מועד ג קיץ 2021 [[מדיה:21BdidaSummerTestC.pdf|מועד ג' קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21BdidaSummerTestCSol.pdf|פתרון מועד ג' קיץ תשפ"א]]
* מועד ב קיץ 2021 [[מדיה:21BdidaSummerTestB.pdf|מועד ב' קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21BdidaSummerTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' קיץ תשפ"א]]
* מועד א קיץ 2021 [[מדיה:21BdidaSummerTestA.pdf|מועד א' קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21BdidaSummerTestASol.pdf|פתרון מועד א' קיץ תשפ"א]]
* מועד ב קיץ 2020 [[מדיה:20BdidaTestB.pdf|מועד ב' קיץ תש"פ]], [[מדיה:20BdidaTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' קיץ תש"פ]]
* מועד א קיץ 2020 [[מדיה:20BdidaTestA.pdf|מועד א' קיץ תש"פ]], [[מדיה:20BdidaTestASol.pdf|פתרון מועד א' קיץ תש"פ]]
* מועד ב קיץ 2019 [[מדיה:19BdidaTestB.pdf|מועד ב' תשע"ט]], [[מדיה:19BdidaTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשע"ט]]
* מועד א קיץ 2019 [[מדיה:19BdidaTestA.pdf|מועד א' תשע"ט]], [[מדיה:19BdidaTestASol.pdf|פתרון מועד א' תשע"ט]]
* מועד ב קיץ 2018 [[מדיה:18BdidaTestB.pdf|מועד ב' תשע"ח]], [[מדיה:18BdidaTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשע"ח]]
* מועד א קיץ 2018 [[מדיה:18BdidaTestA.pdf|מועד א' תשע"ח]], [[מדיה:18BdidaTestASol.pdf|פתרון מועד א' תשע"ח]]
*מועד א' קיץ 2017 [[מדיה:17BdidaTestA.pdf|מועד א']] ו[[מדיה:17BdidaTestASol.pdf|פתרונו]]
* מועד ב' קיץ 2017 [[מדיה:17BdidaTestB.pdf|מועד ב']], [[מדיה:17BdidaTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשעז]]
*מועד א' חורף 2017 [[מדיה:88195_test_77a.pdf|מועד א' חורף תשעז]]
*מועד ב' קיץ 2016 [[מדיה:DMtest2016B.pdf|מבחן מועד ב קיץ תשע"ו]]
*מועד א' קיץ 2016 [[מדיה:16BdidaTestA.pdf|מועד א']] ו[[מדיה:16BdidaTestASol.pdf|פתרונו]]
*מועד ב' קיץ 2015 [[מדיה:DMtest2015B.pdf|מבחן מועד ב קיץ תשע"ה]]
*מועד א' קיץ 2015 [[מדיה:DMtest2015.pdf|מבחן מועד א קיץ תשע"ה]]
*מועד א' חורף 2015 [[מדיה:88195_test_75a_150201.pdf|מבחן מועד א חורף תשע"ה]], [[מדיה:88195_test_75a_sol_150220.pdf|פתרון מבחן מועד א חורף תשע"ה]]
*מועד ב' חורף 2015: בחינת סיום (מועד ב'): [[מדיה:88195_test_75b_150201.pdf|מבחן מועד ב חורף תשע"ה]], [[מדיה:88195_test_75b_sol_150401.pdf|פתרון מבחן מועד ב חורף תשע"ה]]
*מועד ב' קיץ 2014 [[מדיה:DMtestB2014.pdf|מבחן מועד ב קיץ תשע"ד]],[[מדיה:DMtestBsol2014.pdf|פתרון מבחן מועד ב קיץ תשע"ד]]
*מועד א׳ 2014 [[מדיה:14BdidaTestA.pdf|מבחן מועד א תשע"ד]],[[מדיה:14BdidaTestAsol.pdf|פתרון מבחן מועד א תשע"ד]]
*מועד א׳ 2013[[מדיה:mivh11anmoesaatim.pdf | מבחן מועד א כולל פתרון]]
*מועד ב׳ 2013[[מדיה:mivh11anmoedb11m.pdf | מבחן מועד ב כולל פתרון]]
*מועד א' 2012 [[מדיה:s2012a.pdf|מועד א' + פתרון]]
*מועד ב' 2012 [[מדיה:s2012b.pdf|מועד ב' + פתרון]]
*מועד א, 2011 [[מדיה:11BdidaTestASol.pdf|פתרון]]
*מועד ב, 2011 [[מדיה:11BdidaTestBSol.pdf|פתרון]]
*מועד א, 2010 [[מדיה:10BdidaTestASol.pdf|פתרון]]
*מועד ב, 2010 [[מדיה:10BdidaTestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2009.pdf|מועד א, 2009]], [[מדיה:BdidaExamMoedA2009Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2009.pdf|מועד ב, 2009]],[[מדיה:BdidaExamMoedB2009Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2008.pdf|מועד א, 2008]],[[מדיה:BdidaExamMoedA2008Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2008.pdf|מועד ב, 2008]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2007.pdf|מועד א, 2007]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2007.pdf|מועד ב, 2007]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2006.pdf|מועד א, 2006]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2005.pdf|מועד א, 2005]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2005.pdf|מועד ב, 2005]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2004.pdf|מועד א, 2004]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2004.pdf|מועד ב, 2004]]

*[[מדיה:20DmRandSol.pdf|פתרונות למספר שאלות אקראיות]]
*[[מדיה:פתרון_מבחן_תשף_אסף_רינות_עי_יונתן_סמידוברסקי.pdf |מבחן תש"ף חורף של פרופ' רינות]] -פתרון ע"י יונתן סמידוברסקי

=== מתמטיקה בדידה מדעי המחשב ===
תשעז:
*[[מדיה:BdidaCS17ExamB.pdf|מבחן מועד ב תשעז]],
*[[מדיה:BdidaCS17ExamA.pdf|מבחן מועד א תשעז]], [[מדיה:BdidaCS17ExamASol.pdf|פתרון מועד א]]
*[[מדיה:BdidaCS17DemoExam.pdf|מבחן לדוגמא קיץ תשעז]]

קובץ:22BdidaSummerTestASol.pdf

2022-08-31T20:09:04Z

אחיה172:

קובץ:22BdidaSummerTestA.pdf

2022-08-31T20:08:35Z

אחיה172:

מבחנים בבדידה

2022-08-31T20:07:45Z

אחיה172: /* מבחני בר-אילן */

==מבחני בר-אילן==
=== מתמטיקה===
* מועד t קיץ 2023 [[מדיה:22BdidaSummerTestA.pdf|מועד א' קיץ תשפ"ב]], [[מדיה:22BdidaSummerTestASol.pdf|פתרון מועד א' קיץ תשפ"ב]]
* מועד ג קיץ 2021 [[מדיה:21BdidaSummerTestC.pdf|מועד ג' קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21BdidaSummerTestCSol.pdf|פתרון מועד ג' קיץ תשפ"א]]
* מועד ב קיץ 2021 [[מדיה:21BdidaSummerTestB.pdf|מועד ב' קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21BdidaSummerTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' קיץ תשפ"א]]
* מועד א קיץ 2021 [[מדיה:21BdidaSummerTestA.pdf|מועד א' קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21BdidaSummerTestASol.pdf|פתרון מועד א' קיץ תשפ"א]]
* מועד ב קיץ 2020 [[מדיה:20BdidaTestB.pdf|מועד ב' קיץ תש"פ]], [[מדיה:20BdidaTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' קיץ תש"פ]]
* מועד א קיץ 2020 [[מדיה:20BdidaTestA.pdf|מועד א' קיץ תש"פ]], [[מדיה:20BdidaTestASol.pdf|פתרון מועד א' קיץ תש"פ]]
* מועד ב קיץ 2019 [[מדיה:19BdidaTestB.pdf|מועד ב' תשע"ט]], [[מדיה:19BdidaTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשע"ט]]
* מועד א קיץ 2019 [[מדיה:19BdidaTestA.pdf|מועד א' תשע"ט]], [[מדיה:19BdidaTestASol.pdf|פתרון מועד א' תשע"ט]]
* מועד ב קיץ 2018 [[מדיה:18BdidaTestB.pdf|מועד ב' תשע"ח]], [[מדיה:18BdidaTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשע"ח]]
* מועד א קיץ 2018 [[מדיה:18BdidaTestA.pdf|מועד א' תשע"ח]], [[מדיה:18BdidaTestASol.pdf|פתרון מועד א' תשע"ח]]
*מועד א' קיץ 2017 [[מדיה:17BdidaTestA.pdf|מועד א']] ו[[מדיה:17BdidaTestASol.pdf|פתרונו]]
* מועד ב' קיץ 2017 [[מדיה:17BdidaTestB.pdf|מועד ב']], [[מדיה:17BdidaTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשעז]]
*מועד א' חורף 2017 [[מדיה:88195_test_77a.pdf|מועד א' חורף תשעז]]
*מועד ב' קיץ 2016 [[מדיה:DMtest2016B.pdf|מבחן מועד ב קיץ תשע"ו]]
*מועד א' קיץ 2016 [[מדיה:16BdidaTestA.pdf|מועד א']] ו[[מדיה:16BdidaTestASol.pdf|פתרונו]]
*מועד ב' קיץ 2015 [[מדיה:DMtest2015B.pdf|מבחן מועד ב קיץ תשע"ה]]
*מועד א' קיץ 2015 [[מדיה:DMtest2015.pdf|מבחן מועד א קיץ תשע"ה]]
*מועד א' חורף 2015 [[מדיה:88195_test_75a_150201.pdf|מבחן מועד א חורף תשע"ה]], [[מדיה:88195_test_75a_sol_150220.pdf|פתרון מבחן מועד א חורף תשע"ה]]
*מועד ב' חורף 2015: בחינת סיום (מועד ב'): [[מדיה:88195_test_75b_150201.pdf|מבחן מועד ב חורף תשע"ה]], [[מדיה:88195_test_75b_sol_150401.pdf|פתרון מבחן מועד ב חורף תשע"ה]]
*מועד ב' קיץ 2014 [[מדיה:DMtestB2014.pdf|מבחן מועד ב קיץ תשע"ד]],[[מדיה:DMtestBsol2014.pdf|פתרון מבחן מועד ב קיץ תשע"ד]]
*מועד א׳ 2014 [[מדיה:14BdidaTestA.pdf|מבחן מועד א תשע"ד]],[[מדיה:14BdidaTestAsol.pdf|פתרון מבחן מועד א תשע"ד]]
*מועד א׳ 2013[[מדיה:mivh11anmoesaatim.pdf | מבחן מועד א כולל פתרון]]
*מועד ב׳ 2013[[מדיה:mivh11anmoedb11m.pdf | מבחן מועד ב כולל פתרון]]
*מועד א' 2012 [[מדיה:s2012a.pdf|מועד א' + פתרון]]
*מועד ב' 2012 [[מדיה:s2012b.pdf|מועד ב' + פתרון]]
*מועד א, 2011 [[מדיה:11BdidaTestASol.pdf|פתרון]]
*מועד ב, 2011 [[מדיה:11BdidaTestBSol.pdf|פתרון]]
*מועד א, 2010 [[מדיה:10BdidaTestASol.pdf|פתרון]]
*מועד ב, 2010 [[מדיה:10BdidaTestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2009.pdf|מועד א, 2009]], [[מדיה:BdidaExamMoedA2009Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2009.pdf|מועד ב, 2009]],[[מדיה:BdidaExamMoedB2009Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2008.pdf|מועד א, 2008]],[[מדיה:BdidaExamMoedA2008Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2008.pdf|מועד ב, 2008]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2007.pdf|מועד א, 2007]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2007.pdf|מועד ב, 2007]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2006.pdf|מועד א, 2006]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2005.pdf|מועד א, 2005]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2005.pdf|מועד ב, 2005]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2004.pdf|מועד א, 2004]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2004.pdf|מועד ב, 2004]]

*[[מדיה:20DmRandSol.pdf|פתרונות למספר שאלות אקראיות]]
*[[מדיה:פתרון_מבחן_תשף_אסף_רינות_עי_יונתן_סמידוברסקי.pdf |מבחן תש"ף חורף של פרופ' רינות]] -פתרון ע"י יונתן סמידוברסקי

=== מתמטיקה בדידה מדעי המחשב ===
תשעז:
*[[מדיה:BdidaCS17ExamB.pdf|מבחן מועד ב תשעז]],
*[[מדיה:BdidaCS17ExamA.pdf|מבחן מועד א תשעז]], [[מדיה:BdidaCS17ExamASol.pdf|פתרון מועד א]]
*[[מדיה:BdidaCS17DemoExam.pdf|מבחן לדוגמא קיץ תשעז]]

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/12

2022-01-14T13:04:48Z

אחיה172:

*<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\ln\big(\cos(n^{-|\alpha|})\big)</math>

פתרון: נסתכל רק על <math>\alpha \geq 0</math> בגלל הערך המוחלט (ואז נוותר על הערך המוחלט):

כיוון ש <math>\lim\left[\cos(n^{-\alpha})-1\right]n^{2\alpha}=\lim\frac{\left[\cos(n^{-\alpha})-1\right]}{\left(n^{-\alpha}\right)^{2}}=-\frac{1}{2}</math>

נקבל, בשילוב עם כלל e ש <math>\cos(n^{-\alpha})^{n^{2\alpha}}=e^{\lim\left[\cos(n^{-\alpha})-1\right]n^{2\alpha}}=e^{-\frac{1}{2}}</math>

ונקבל ש
<math>\frac{\ln\left(\cos(n^{-\alpha})\right)}{n^{-2\alpha}}=n^{2\alpha}\cdot\ln\left(\cos(n^{-\alpha})\right)=\ln\left(\cos(n^{-\alpha})^{n^{2\alpha}}\right) \to -\frac{1}{2}</math>

ולכן הטור שבשאלה חבר של הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2\alpha}}</math> שמתכנס אמ"מ <math>2\alpha > 1</math> כלומר <math>\alpha > 0.5</math>

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/12

2022-01-14T12:22:08Z

אחיה172: יצירת דף עם התוכן "*<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\ln\big(\cos(n^{-|\alpha|})\big)</math> פתרון: נסתכל רק על <math>\alpha \geq 0</math> בגלל הערך המ..."

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/11

2022-01-14T11:43:24Z

אחיה172: יצירת דף עם התוכן "*<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left[1-\cos\left(\tfrac1n\right)\right]</math> פתרון: *<math>\left[1-\cos\left(\tfrac1n\right)\right] = \frac{1^2 -\..."

*<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left[1-\cos\left(\tfrac1n\right)\right]</math>

פתרון:
*<math>\left[1-\cos\left(\tfrac1n\right)\right] = \frac{1^2 -\cos^2(\frac{1}{n})}{1+\cos(\frac{1}{n})}\leq \sin^2(\frac{1}{n})\leq \frac{1}{n^2}</math>
ולפי מבחן השוואה לטורים חיובים, כיוון שהטור של <math> \frac{1}{n^2}</math> גם הטור שבשאלתנו.

83-112 חדו"א 1 להנדסה/נושאי הקורס

2022-01-01T18:48:50Z

אחיה172: /* קבצי PDF של שיעורי הבית שנמצאים ב XI (וב XI מגישים!) */

[[קטגוריה:מערכי לימוד]]
=מבחנים מהעבר=
*[[מדיה: BIU_Hedva1_15_A.pdf|מבחן מועד א תשע"ו]], [[מדיה:BIU_Hedva1_15_A_sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BIU_Hedva1_15_B.pdf|מבחן מועד ב תשע"ו]], [[מדיה:BIU_Hedva1_15_BSol.pdf|פתרון ללא 2,6]]
*[[מדיה:BIU_Hedva1_15_C.pdf|מבחן מועד ג תשע"ו]], [[מדיה:BIU_Hedva1_15_CSol.pdf|פתרון ללא 2,6]]
*[[מדיה:88112test2016.pdf |מבחן דמה תשע"ו]], [[מדיה:BIU_Hedva1_15_Dema_Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BIU_Hedva1_15_Dugma.pdf|מבחן לדוגמה תשע"ו]], [[מדיה:BIU_Hedva1_15_Dugma_Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:17EngInfi1DumbTest.pdf|מבחן דמה תשע"ז]], [[מדיה:17Infi1DumbTestSol.pdf|פתרון ללא 2,3,6]]
*[[מדיה:17EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ז]], [[מדיה:17EngHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:17EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ז]], [[מדיה:17EngHedva1TestBSol.pdf|פתרון ללא 2,6]]
*[[מדיה:17EngHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' תשע"ז]], [[מדיה:17EngHedva1TestCSol.pdf|פתרון ללא 2,6]]
*[[מדיה:18Hedva1EngExmTest.pdf|מבחן דמה תשע"ח]], [[מדיה:18Hedva1EngExmTestSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:18EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ח]], [[מדיה:18EngHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:18EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ח]], [[מדיה:18EngHedva1TestBSol.pdf|פתרון ללא 2,6]]
*[[מדיה:18EngHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' תשע"ח]], [[מדיה:18EngHedva1TestCSol.pdf|פתרון ללא 2,6]]
*[[מדיה:19EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ט]], [[מדיה:19EngHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:19EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ט]], [[מדיה:19EngHedva1TestBRealSol.pdf|פתרון ללא 2,6]]
*[[מדיה:19AvivEngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר אביב תשע"ט]], [[מדיה:19AvivEngHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:19AvivEngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר אביב תשע"ט]], [[מדיה:19EngHedva1TestBSol.pdf|פתרון ללא 2,6]]
*[[מדיה:20EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תש"ף]], [[מדיה:20EngHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:20EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תש"ף]], [[מדיה:20EngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:21EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"א]], [[מדיה:21EngHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:21EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"א]], [[מדיה:21EngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:21EngHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' תשפ"א]], [[מדיה:21EngHedva1TestCSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:21EngHedva1Quiz.pdf|בוחן סמסטר ב' תשפ"א]], [[מדיה:21EngHedva1QuizSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:21AvivEngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר אביב תשפ"א]], [[מדיה:21AvivEngHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:21AvivEngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר אביב תשפ"א]], [[מדיה:21AvivEngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]]

= קבצי PDF של שיעורי הבית שנמצאים ב XI (וב XI מגישים!)=
שימו לב שבתרגלי ה XI יש חלקים שמוגרלים רנדומית ולכן קבצי ה PDF לא יראו אחד לאחד כמו התרגילים ב XI (התבנית תהיה זהה, המספרים לא בהכרח)

*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex1.pdf|תרגיל 1]]
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex2.pdf|תרגיל 2]]
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex3.pdf|תרגיל 3]]
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex4.pdf|תרגיל 4]]
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex5.pdf|תרגיל 5]]
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex6.pdf|תרגיל 6]]
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex7.pdf|תרגיל 7]]
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex8.pdf|תרגיל 8]]
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex9.pdf|תרגיל 9]]
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex10.pdf|תרגיל 10]]
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex11.pdf|תרגיל 11]]
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex12.pdf|תרגיל 12]]

=נושאי ההרצאות=

[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hltzlnH9FvT-1NICRjcASiu פלייליסט של ההרצאות תשפ"א]

==הרצאות 1-2 חסמים==
פרק 1 ב[[חדוא 1 - ארז שיינר|קישור הבא]] (https://calc1.math-wiki.com)

== הרצאות 3-7 סדרות==
פרק 2 ב[[חדוא 1 - ארז שיינר|קישור הבא]] (https://calc1.math-wiki.com), הטיפול בתתי סדרות יהיה חלקי יותר בקורס הזה.

*הרצאה 3 - הגדרת הגבול במובן הצר והרחב
*הרצאה 4 - תכונות של הגדרת הגבול ומבוא לחשבון גבולות
*הרצאה 5 - כלים לחישוב גבולות
*הרצאה 6 - חשבון גבולות מורחב
*הרצאה 7 - סדרות מונוטוניות והמספר e

==הרצאות 8-10 פונקציות==
פרק 4 ב[[חדוא 1 - ארז שיינר|קישור הבא]] (https://calc1.math-wiki.com)

*הרצאה 8 - הגדרות הגבול של פונקציה לפי קושי ולפי היינה
*הרצאה 9 - הפונקציות הטריגונומטריות
*הרצאה 10 - רציפות, אי רציפות, גבול של הרכבה

==הרצאות 11-13 גזירות==
פרק 5 ב[[חדוא 1 - ארז שיינר|קישור הבא]] (https://calc1.math-wiki.com)

*הרצאה 11 - הגדרת הנגזרת ונגזרת של פונקציות אלמנטריות
*הרצאה 12 - נוסחאות הגזירה
*הרצאה 13 - נגזרת ההופכית

==הרצאות 14-17 חקירה==
פרק 6 ב[[חדוא 1 - ארז שיינר|קישור הבא]] (https://calc1.math-wiki.com)

*הרצאה 14 - משפט ערך הביניים
*הרצאה 15 - ויירשטראס, פרמה, רול, לגראנז', קושי
*הרצאה 16 - הוכחת משפט קושי, קשר בין הנגזרת למונוטוניות
*הרצאה 17 - כלל לופיטל

==הרצאה 18 פולינום טיילור==
פרק 6 ב[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/שיינר/תקציר הרצאות|קישור הבא]] (https://calc2.math-wiki.com)

*פולינום טיילור ושארית לגראנז' בלבד

==הרצאה 19 הקדמה לאינטגרלים==
פרק 3 ב[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/שיינר/תקציר הרצאות|קישור הבא]] (https://calc2.math-wiki.com)

*אינטגרל מסוים ולא מסויים, המשפט היסודי של החדו"א

==הרצאות 20-21 שיטות אינטגרציה==
פרק 1 ב[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/שיינר/תקציר הרצאות|קישור הבא]] (https://calc2.math-wiki.com)

==הרצאה 22 סכומי רימן==
פרק 2 ב[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/שיינר/תקציר הרצאות|קישור הבא]] (https://calc2.math-wiki.com)

*עבור פונקציה רציפה סכומי הרימן מתכנסים לאינטגרל המסויים
*אורך עקומה, נפח גוף סיבוב

==הרצאות 23-24 אינטגרל לא אמיתי==
פרק 4 ב[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/שיינר/תקציר הרצאות|קישור הבא]] (https://calc2.math-wiki.com)

*הגדרה ומבחני השוואה לאינטגרלים לא אמיתיים

קובץ:BIU Eng Hedva1 2021a ex9.pdf

2022-01-01T18:48:20Z

אחיה172: אחיה172 העלה גרסה חדשה של קובץ:BIU Eng Hedva1 2021a ex9.pdf

קובץ:14Linear1dumbtestSol.pdf

2021-08-19T18:23:35Z

אחיה172:

קובץ:14linear1ExamBSol.pdf

2021-08-19T18:09:27Z

אחיה172: אחיה172 העלה גרסה חדשה של קובץ:14linear1ExamBSol.pdf

קובץ:14linear1ExamBSol.pdf

2021-08-19T17:51:49Z

אחיה172:

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/1

2021-07-05T17:30:12Z

אחיה172:

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/1.5

2021-07-05T17:29:53Z

אחיה172: יצירת דף עם התוכן "אלגברה לינארית 1 - מערך תרגול ==מערכות משוואות לינאריות== (תיאוריה מההרצאה, אם אין צורך..."

[[אלגברה לינארית 1 - מערך תרגול]]

==מערכות משוואות לינאריות==
(תיאוריה מההרצאה, אם אין צורך בזה אפשר לדלג יש לתרגילים)
מערכות משוואות לינאריות בn משתנים עם m משוואות הינה מערכת מהצורה

<math>a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+...+a_{1,n}x_n=b_1</math>

<math>a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+...+a_{2,n}x_n=b_2</math>

...
<math>a_{m,1}x_1+a_{m,2}x_2+...+a_{m,n}x_n=b_m</math>

(סה"כ m משוואות)

ניתן להציג כל מערכת כזו באמצעות טבלת מספרים הנקראת '''מטריצה'''. לדוגמה:

<math>\left\{\begin{matrix}
x+3y=5\\
y-z=2\\
x+2y+z=4
\end{matrix}\right.</math>

את המערכת הנ"ל נייצג באמצעות המטריצה

<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & |5 \\
0 & 1 & -1 & |2 \\
1 & 2 & 1 & |4
\end{pmatrix}</math>

ניתן להבחין במספר פעולות שלא ישנו את פתרונות מערכת המשוואות:
*כפל שני אגפי המשוואה במספר שונה מאפס (שקול לכפל שורה במטריצה במספר שונה מאפס)
<math>A\to [2R_1\to R_1] \to \begin{pmatrix}
2 & 6 & 0 & |10 \\
0 & 1 & -1 & |2 \\
1 & 2 & 1 & |4
\end{pmatrix}</math>
*חיבור שני אגפי משוואה אחת כפול קבוע, לשני אגפי משוואה שנייה (שקול לחיבור שורה אחת כפול קבוע במטריצה לשורה אחרת)
<math>A\to [-R_1+R_3\to R_3] \to \begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & |5 \\
0 & 1 & -1 & |2 \\
0 & -1 & 1 & |-1
\end{pmatrix}</math>
*החלפת סדר המשוואות (שקול להחלפת סדר השורות במטריצה)

<math>A\to [R_1\leftrightarrow R_2] \to \begin{pmatrix}
0 & 1 & -1 & |2 \\
1 & 3 & 0 & |5 \\
1 & 2 & 1 & |4
\end{pmatrix}</math>

===דירוג גאוס ===
איבר '''מוביל/פותח/ציר''' הינו האיבר הראשון בשורה ששונה מאפס (משמאל לימין). מטריצה נקראת '''מדורגת''' אם מתחת לכל איבר מוביל שלה יש אפסים בלבד וכל איבר מוביל נמצא מימין לאיברים המובילים הקודמים. בנוסף, יש את הדרישה כי שורות אפסים (אם קיימות) נמצאות בסוף. מטריצה נקראת '''מדורגת קנונית''' אם היא מדורגת, ובנוסף יש אפסים '''מעל''' לכל איבר מוביל והאיברים המובילים חייבים להיות שווים למספר אחד.

הערה: לכל מטריצה '''קיימת''' צורה קנונית '''יחידה'''.

צורה סכמטית של צורה מדורגת היא הצורה (כאשר * מסמן ציר ו ? מסמן ערך כלשהוא)
<math> \begin{pmatrix}
* & ? & ? & ? & ?\\
0 & 0 & * & ? &? \\
0 & 0 & 0 & * & ? \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math>

צורה סכמטית של צורה קנונית היא הצורה (כאשר ? מסמן ערך כלשהוא)
<math> \begin{pmatrix}
1 & ? & 0 & 0 & ?\\
0 & 0 & 1 & 0 &? \\
0 & 0 & 0 & 1 & ? \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math>

כעת נלמד אלגוריתם המאפשר לנו לפתור מערכת משוואות לינארית באמצעות הצורה המטריצית שלה (בפרט, נדרג את המטריצה לצורתה הקנונית). תהליך זה נקרא '''[[מדיה: 10Linear1Gauss.pdf|אלגוריתם לדירוג גאוס]]'''.

=== תרגיל ===
פתרו את המערכת
<math>\left\{ \begin{array}{rcl}
x+y-z & = & 1\\
\phantom{2kx}y+z & = & -1\\
x-3y+3z & = & 9\\
-2x+4y-24z & = & -14
\end{array}\right.</math>

ואת
פתרו את המערכת
<math>\left\{ \begin{array}{rcl}
x+y-z & = & 1\\
\phantom{2kx}y+z & = & -1\\
x-3y+3z & = & 9\\
-2x+4y-24z & = & -24
\end{array}\right.</math>
מעל הממשיים

=== תרגיל ===
פתרו את המערכת
<math>\left\{\begin{matrix}
x+3y=5\\
y-z=2\\
x+2y+z=4
\end{matrix}\right.</math>
מעל הממשיים

===תרגיל===
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{R}</math>.

<math>\left( \begin{array}{ccc|c}
2 & 4 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
\end{array}\right)
</math>

=== פתרון ===
נשתמש בדירוג גאוס

<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
2 & 4 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{R_1 \leftrightarrow R_3}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & 1 \\
2 & 4 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{-2R_1 +R_2 \to R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)
</math>

זוהי הצורה המדורגת שממנה ניתן לראות כי יש פתרון יחיד. נמשיך לצורה הקנונית

<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{-0.5R_2 +R_1 \to R_1}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 1.5 \\
0 & 2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{0.5R_2 \to R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 1.5 \\
0 & 1 & 0 & -0.5 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

</math>
ומכאן קל לראות שהפתרון היחיד הוא <math>x=1.5, y=-0.5, z=1</math>

===תרגיל המשך===
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{R}</math>.

<math>\left( \begin{array}{ccc|c}
2 & 4 & 0 & 1 \\
0 &3 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)
</math>

=== פתרון ===
נשתמש בדירוג גאוס

<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
2 & 4 & 0 & 1 \\
0 & 3 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{0.5R_1 \to R_1}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 0 & 0.5 \\
0 & 3 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{R_1 \to R_1-2/3 R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -2/3 & -1/6 \\
0 & 3 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{R_2 \to 1/3 R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -2/3 & -1/6 \\
0 & 1 & 1/3 & 1/3 \\
\end{array}\right)
</math>

זוהי הצורה הקנונית שממנה ניתן לראות כי יש אין סוף פתרונות. נסמן את המשתנה החופשי <math>z=t</math> ונביע את שאר המשתנים בעזרתו. <math>y=1/3-1/3t, x= -1/6+2/3t</math> ולכן קבוצת הפתרונות למערכת היא הקבוצה

<math>\{\left( \begin{array}{c}
-\frac{1}{6}+\frac{2}{3} t\\
\frac{1}{3}-\frac{1}{3}t\\
t
\end{array}\right)
: \, t\in \mathbb{R} \}
</math>

=== תרגיל ===
.4 נניח כי אחרי דירוג של מערכת נתונה הגענו ל <math>\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 2 & -1\\
0 & 1 & 0 & 3
\end{array}\right)</math>

מצאו את קבוצת הפתרונות למערכת (מעל הממשיים) בהנחה ש:
* המערכת הומוגנית עם 4 משתנים .
*המערכת לא הומוגנית עם 3 משתנים.
=== תרגיל ===
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{R}</math>.

<math>\left( \begin{array}{cc|c}
1 & 4 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)
</math>

===פתרון===
נשתמש בדירוג גאוס

<math>\left( \begin{array}{cc|c}
1 & 4 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{-R_1 +R_2\to R_2}

\left( \begin{array}{cc|c}
1 & 4 & 1 \\
0 & -4 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{R_2 \leftrightarrow R_3}

\left( \begin{array}{cc|c}
1 & 4 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & -4 & 0 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{4R_2+R_3 \to R_3}

\left( \begin{array}{cc|c}
1 & 4 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 4 \\
\end{array}\right)
</math>

בשורה השלישית קיבלנו <math>0x+0y=4</math> כלומר שורת סתירה ולכן אין פתרון.

===תרגיל===

פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{C}</math>.

<math>\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 2 & 1 & 2 \\
1 & 2& 0 & -2+i \\
1 & 1-2i & 1 & 1-3i \\
\end{array}\right)
</math>

===תרגיל===
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{C}</math>.

<math>\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 2 & 1 & 3 \\
1 & 1-2i & 1 & 5 \\
\end{array}\right)
</math>

פתרון

<math>\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 2 & 1 & 3 \\
1 & 1-2i & 1 & 5 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{iR_1+R_2 \to R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 2 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 1+i & 5+3i \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{R_1-2R_2 \to R_1}

\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 0 & -1-2i & -7-6i \\
0 & 1 & 1+i & 5+3i \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{-iR_1 \to R_1}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -2+i & -6+7i \\
0 & 1 & 1+i & 5+3i \\
\end{array}\right)
</math>

זוהי הצורה הקנונית שממנה ניתן לראות כי יש אין סוף פתרונות. נסמן את המשתנה החופשי <math>z=t</math> ונביע את שאר המשתנים בעזרתו. <math>y=5+3i - t(1+i), x= -6+7i-t(-2+i)</math> ולכן קבוצת הפתרונות למערכת היא הקבוצה

<math>\{\left( \begin{array}{c}
-6+7i-t(-2+i) \\
5+3i - t(1+i)\\
t
\end{array}\right)
: \, t\in \mathbb{R} \}
</math>

===תרגיל 1.5 סעיף ב'===
ברוב השנים לא מתעסקים עם מערכות משוואות מעל שדות סופיים וצריך לדלג
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{Z}_{11}</math>.

<math>\begin{pmatrix}
5 & 3 & 3 & |0 \\
7 & 3 & 7 & |0 \\
7 & 9 & 0 & |3
\end{pmatrix}</math>

====פתרון====
נכפול את השורה הראשונה ב9 ואת השנייה והשלישית ב8. זכרו שכל הפעולות הן מודולו 11:

<math>\begin{pmatrix}
1 & 5 & 5 & |0 \\
1 & 2 & 1 & |0 \\
1 & 6 & 0 & |2
\end{pmatrix}</math>

נחסר את השורה הראשונה מן השורות השנייה והשלישית.

<math>\begin{pmatrix}
1 & 5 & 5 & |0 \\
0 & 8 & 7 & |0 \\
0 & 1 & 6 & |2
\end{pmatrix}</math>

נכפול את השורה השנייה ב7

<math>\begin{pmatrix}
1 & 5 & 5 & |0 \\
0 & 1 & 5 & |0 \\
0 & 1 & 6 & |2
\end{pmatrix}</math>

נחסר את השורה השנייה מהשלישית לקבל

<math>\begin{pmatrix}
1 & 5 & 5 & |0 \\
0 & 1 & 5 & |0 \\
0 & 0 & 1 & |2
\end{pmatrix}</math>

ולכן הפיתרון הינו: <math>z=2, y=-10=1, x=-10-5=7</math>

=== צורה מדורגת ומדורגת קנונית ===
אילו מבין ה <math>*</math> במטריצה הבאה
<math>AA=\left(\begin{array}{ccccc}* & 1 & 2 & 0 & *\\* & 0 & * & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 0 & *\end{array}\right)</math>

חייבים להיות אפסים בשביל ש:
*<math>A</math> מדורגת
*<math>A</math> מדורגת קנונית

===מספר פתרונות===
*נביט בצורה המדורגת של המטריצה.
*משתנה אשר בעמודה שלו בצורה המדורגת יש איבר מוביל (איבר ראשון משמאל בשורה, ששונה מאפס), נקרא '''משתנה תלוי'''.
*שאר המשתנים נקראים '''משתנים חופשיים'''.
*אם בצורה המדורגת יש שורת סתירה, אזי '''אין פתרונות''' למערכת.
*אם אין שורת סתירה בצורה המדורגת, מספר הפתרונות של המערכת הוא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים.
**בפרט, אם אין שורת סתירה ואין משתנים חופשיים אז יש '''פתרון יחיד'''.
**בפרט, אם אין שורת סתירה, יש משתנים חופשיים ויש אינסוף מספרים בשדה אז יש '''אינסוף פתרונות'''.

===תרגיל===
מצא לאילו ערכים של הפרמטרים a יש למערכת פתרון יחיד, אין פתרון, או אינסוף פתרונות. במקרה של אינסוף פתרונות מצא את הפתרון הכללי.

<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
a & a^2 & 1 & 2+a \\
a & 3a & 1 & 5\end{array}\right)
</math>

=== פתרון ===

<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
a & a^2 & 1 & 2+a \\
a & 3a & 1 & 5\end{array}\right)

\xrightarrow[R_3 -aR_1 \to R_3]{ R_2 -aR_1 \to R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1-a & 2 \\
0 & a(3-a) & 1-a & 5-a \end{array}\right)

\xrightarrow[]{ R_2 \leftrightarrow R_3}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
0 & a(3-a) & 1-a & 5-a\\
0 & 0 & 1-a & 2
\end{array}\right)

</math>

ולכן:
*עבור <math>a\neq 0,1,3</math> נקבל 3 צירים ולכן לא יהיו משתנים חופשיים. בנוסף לא תהיה שורת סתירה ולכן יהיה פתרון יחיד.
* עבור <math>a=1</math> נקבל שורת סתירה בשורה השלישית
* עבור <math>a=0</math> נקבל את המטריצה
<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 5\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}\right)
</math>
וגם פה יש סתירה כי מהשורה השניה נסיק <math>z=5</math> ואילו מהשורה השלישית נסיק <math>z=2</math> (אם היינו מדרגים את המטריצה היינו מקבלים שורת סתירה "קלאסית")

* עבור <math>a=3</math> נקבל את המטריצה
<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -2 & 2\\
0 & 0 & -2 & 2
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{ R_3-R_2 \to R_3}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -2 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)

</math>
וגם שיש אין סוף פתרונות.
נסמן את המשתנה החופשי <math>y=t</math> ונביע את שאר המשתנים בעזרתו. <math>z=-1, x= 1-z-3y=2-3t</math> ולכן קבוצת הפתרונות למערכת היא הקבוצה

<math>\{\left( \begin{array}{c}
2-3t \\
t\\
-1
\end{array}\right)
: \, t\in \mathbb{R} \}
</math>

===תרגיל===
מצא לאילו ערכים של הפרמטרים a,t יש למערכת פתרון יחיד, אין פתרון, או אינסוף פתרונות. במקרה של אינסוף פתרונות מצא את הפתרון הכללי (הערה: זהו הכללה של התרגיל הקודם. התרגיל הקודם מתקבל כאשר נציב t=-3 בתרגיל זה).

<math>\begin{pmatrix}
1 & a & 1 & |1 \\
a & a^2 & 1 & |2+a \\
a & 3a & 1 & |2-t
\end{pmatrix}</math>

<math>R_3:R_3-R2</math>

<math>R_2:R_2-aR_1</math>

<math>\begin{pmatrix}
1 & a & 1 & |1 \\
0 & 0 & 1-a & |2 \\
0 & 3a-a^2 & 0 & |-t-a
\end{pmatrix}</math>

<math>R_2\leftrightarrow -R_3</math>

<math>\begin{pmatrix}
1 & a & 1 & |1 \\
0 & a(a-3) & 0 & |a+t \\
0 & 0 & 1-a & |2
\end{pmatrix}</math>

כעת נניח <math>a\neq 0,1,3</math>. נבצע פעולות שחוקיות '''רק''' תחת ההנחה הזו, ולאחר מכן לחזור '''לנקודה הזו בדיוק''' ונפתור את המקרים <math>a=0,1,3</math> בצורה חוקית.

<math>R_2:\frac{R_2}{a(a-3)}</math>

<math>R_3:\frac{R_3}{1-a}</math>

<math>\begin{pmatrix}
1 & a & 1 & |1 \\
0 & 1 & 0 & |\frac{a+t}{a(a-3)} \\
0 & 0 & 1 & |\frac{2}{1-a}
\end{pmatrix}</math>

במקרה זה אין משתנים חופשיים ויש פתרון יחיד.

נחזור למקרים האחרים:

*נניח a=0 ונציב את הפרמטר הזו בנקודה בה עצרנו. נקבל:

<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & |1 \\
0 & 0 & 0 & |t \\
0 & 0 & 1 & |2
\end{pmatrix}</math>

אנו מקבלים משוואה מהצורה <math>0=t</math>.
**אם <math>t\neq 0</math> זו סתירה ולכן אין אף פתרון שיקיים את כל משוואות המערכת (כי משוואה זו לעולם לא תתקיים).
**אם t=0 מקבלים משתנה חופשי, ואינסוף פתרונות: נציב במקום המשתנה החופשי פרמטר s ונקבל: <math>y=s,z=2,x=1-2</math> ולכן סה"כ הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(-1,s,2)</math>

*נניח a=1:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & |1 \\
0 & -2 & 0 & |1+t \\
0 & 0 & 0 & |2
\end{pmatrix}</math>

השורה האחרונה הינה שורת סתירה ולכן אין פתרונות במצב זה.

*נניח a=3:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 & |1 \\
0 & 0 & 0 & |3+t \\
0 & 0 & -2 & |2
\end{pmatrix}</math>

**אם <math>t\neq -3</math> יש שורת סתירה ואין פתרון למערכת
**אם t=3 הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(2-3s,s,-1)</math>

=== תרגיל ===
תהא
<math>A=\left(\begin{array}{ccc}1 & * & *\\0 & * & 3\end{array}\right)</math>
ונתון שלמערכת לא בהכרח הומוגנית קיימים שני הפתרונות
<math>\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\3\\2\end{array}\right)</math>.
האם המטריצה <math>A</math> יכולה להיות בצורה קנונית?

=== תרגיל ===
נכון/לא נכון:

*למערכת משוואות המיוצג ע"י מטריצה <math>4\times2</math> אין פתרון.
*לכל מטריצה יש צורה מדורגת יחידה
*למטריצה <math>m\times n</math> יש לכל היותר m איברים פותחים (בצורה מדורגת)
*למטריצה <math>m\times n</math> יש לכל היותר n איברים פותחים (בצורה מדורגת)
*למערכת עם אינסוף פתרונות תהיה שורת אפסים בצורה מדורגת.
*בצורה מדורגת יש איבר יחיד שונה מאפס בכל עמודה.

=== תרגיל ===
נתונה מטריצה <math>A\in\mathbb{R}^{3\times3}</math> המקיימת כי <math>A\xrightarrow{R_{1}\leftrightarrow R_{3}}\xrightarrow{3R_{2}}\xrightarrow{R_{2}-2R_{1}}\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 0\\
0 & 1 & 3\\
2 & 0 & 1
\end{array}\right)</math> מצאו את <math>A</math>.

אלגברה לינארית 1 - מערך תרגול

2021-07-05T17:28:25Z

אחיה172:

[[קטגוריה:מערכי לימוד]] [[קטגוריה:אלגברה לינארית]]

*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/1|שיעור 1]] - בנושא שדות ומספרים מרוכבים
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/1.5|שיעור 1.5]] - בנושא מערכות משוואות לינאריות
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/2|שיעור 2]] - בנושא אלגברת המטריצות (כפל, חיבור) ומטריצות ריבועיות
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/3|שיעור 3]] - בנושא מטריצות הפיכות, מטריצות אלמנטריות, ואלגוריתם למציאת המטריצה ההופכית
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4|שיעור 4]] - בנושא מרחבים וקטוריים, סכום וחיתוך של תתי מרחבים וסכום ישר של תתי מרחבים
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/5|שיעור 5]] - בנושא צירופים לינאריים, המרחב הנפרש (span), בסיס, מימד ומשפט המימדים
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/6|שיעור 6]] - בנושא אלגוריתמים למציאות תלות/ אי תלות בין וקטורים, חיתוך, קואורדינטות, מטריצות מעבר.
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7|שיעור 7]] - בנושא מרחבי המטריצה (שורה, עמודה ואפס), דרגה של מטריצה
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8|שיעור 8]] - בנושא העתקות לינאריות,משפט ההגדרה, משפט הדרגה , גרעין ותמונה.
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/9|שיעור 9]] - מטריצה מייצגת העתקה
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/10|שיעור 10]] - מציאת גרעין ותמונה בעזרת המטריצה המייצגת, עוד תרגילים על העתקות לינאריות
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/11|שיעור 11]] - דטרמיננטות ללא תמורות, מטריצה מצורפת.

*[[מדיה: 88-112-2011S13b.pdf|שיעור 13]] - שאלות ממבחנים (הערות: ע"מ 2, שאלה 3א, הכוונה לR. ע"מ 12, סעיף ג', המרחב נפרש ע"י <math>e_1,e_4,e_2+e_3</math> ולא <math>e_1,e_4,e_2+e_4</math>).

===גרסאות ישנות - לקראת מחיקה===

* [[מדיה: 88-112-2011S3.pdf|שיעור 3]] - בנושא מטריצות הפיכות, מטריצות אלמנטריות, ואלגוריתם למציאת המטריצה ההופכית (מיותר)
* [[מדיה: 88-112-2011S4.pdf|שיעור 4]] - בנושא מרחבים וקטוריים, סכום וחיתוך של תתי מרחבים וסכום ישר של תתי מרחבים (מיותר)
*[[מדיה: LinearAlgTirgul7.pdf |שיעור 7 ]] - בנושא מרחבי מטריצה ( שורה , עמודה ,אפס ),דרגת מטריצה והעתקות לינאריות.
*[[מדיה: Tirgul_8.pdf |שיעור 8 ]] - בנושא העתקות לינאריות,משפט ההגדרה, משפט הדרגה , גרעין ותמונה.
*[[מדיה: 88-112-2011S11.pdf|שיעור 11]] - בנושא תמורות ודטרמיננטות.
*[[מדיה: 88-112-2011S12b.pdf|שיעור 12]] - דטרמיננטות, מטריצה מצורפת ומשפט קרמר.

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/1

2021-07-05T16:56:24Z

אחיה172: /* תרגיל */

[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]

=שיעור ראשון=

==שדות (מה שנעשה בהרצאה אפשר לדלג)==
הגדרה: [[שדה]].

===תרגיל 1.3 סעיף ג'===
[בד"כ נעשה בהרצאה!]

יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכיחו את הטענה הבאה: <math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = 0</math>, כאשר <math>0</math> הינו הסימון לאיבר הנייטרלי החיבורי.

====פתרון====

ראשית נשים לב שלפי הנתונים ניתן להניח שאקסיומות השדה מתקיימות.

יהא <math>a\in \mathbb{F} </math>. צריך להוכיח כי <math>0\cdot a = 0</math>

לפי תכונה (4) [ניטרליות <math>0</math> לחיבור] מתקיים ש <math>0+0=0</math>

לכן <math>0\cdot a = (0+0)\cdot a</math>

לפי תכונה (7) [פילוג] מתקיים בנוסף ש<math>0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a + 0\cdot a</math> (השתמשנו בעצם בתכונה (7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2))

לפי תכונה (5) [קיום נגדי] לאיבר <math>0\cdot a \in\mathbb{F}</math> קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל <math>0\cdot a + (-(0\cdot a)) = (0\cdot a + 0\cdot a) + (-(0\cdot a))</math>

4444
לפי תכונה (3) [קיבוציות] ניתן להחליף את סדר הסוגריים מימין ולקבל
<math>0\cdot a + (-(0\cdot a)) = 0\cdot a + (0\cdot a + (-(0\cdot a)))</math>

עוד לפי תכונה (5) [תכונת הנגדי] יחד עם תכונה (4) [נטרליות 0 לחיבור] מתקיים ש<math>0 = 0\cdot a</math> בדיוק כפי שרצינו להוכיח.

===תרגיל===
הוכיחו שבשדה ל0 אין הופכי.

===פתרון===
מכיוון ש0 כפול דבר שווה ל0.

===תרגיל 1.3 סעיף ו'===
יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכיחו את הטענה הבאה: <math>\forall a\in\mathbb{F}:-(-a)=a</math>. (כלומר, הנגדי של הנגדי הוא האיבר עצמו)

====פתרון====
יהא a בשדה צריך להוכיח כי <math>(-a)+a=0</math> [זה הגדרת נגדי].

כיוון החיבור חילופי נקבל כי <math>(-a)+a=a+(-a)</math>. כיוון ש <math>a+(-a)=0</math> לפי הגדרת נגדי של a, סיימנו.

===תרגיל 1.3 סעיף ז'===
יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכיחו את הטענה הבאה: <math>\forall a\in\mathbb{F}:(-1)\cdot a=-a</math>. (כלומר הנגדי של האיבר הנייטרלי הכפלי כפול a הינו הנגדי של a)

====פתרון====
<math>-a</math> זה סימון לנגדי של <math>a</math>. לכן מה שבעצם צריך להוכיח זה ש- <math>(-1)\cdot a</math> הוא הנגדי של <math>a</math>, לכן הם שווים (נגדי יש אחד).

מתוך תכונות (7),(5) וסעיף ג' שהוכחנו לעיל, <math>0=0\cdot a = (1+(-1))\cdot a = 1\cdot a + (-1)\cdot a</math>

לפי תכונה (4) קיבלנו <math>0=a+(-1)\cdot a</math>

לכן קיבלנו ש- <math>(-1)\cdot a</math> הוא הנגדי של <math>a</math> כפי שרצינו.

===תרגיל===
הוכיחו שבשדה מתקיים כי <math>(-1)(-1)=1</math>
===תרגיל ===
בד"כ נעשה בהרצאה!
יהא <math>\mathbb{F}</math> שדה. הוכיחו כי אין לו מחלקי אפס. כלומר לא קיימים <math>a,b\in \mathbb{F}</math> שונים מאפס כך ש <math>ab=0</math> (באופן שקול: אם <math>ab=0</math> אז בהכרח אחד מהם שווה 0)

====פתרון====
נניח <math>ab=0</math>. צ"ל שאחד מהם אפס.
אם <math>a=0</math> סיימנו
אחרת <math>a\neq 0 </math> ולכן קיים לו הופכי <math>a^{-1}</math>. נכפיל את ההופכי של a בשני האגפים ונקבל
<math>b=a^{-1}ab=a^{-1}0=0</math> וסיימנו.

===תרגיל 2.3 סעיף א'===
[בד"כ נעשה בהרצאה!]
יש להוכיח שקבוצת הטבעיים <math>\mathbb{N}=\{1,2,3,....\}</math> אינה שדה.

====פתרון====
אין איבר נייטרלי לחיבור: <math>\forall n,k\in\mathbb{N}:n+k>n</math>, ואילו האיבר הנייטרלי היה צריך לקיים <math>n+0=n</math>.

===תרגיל===

הוכיחו שבשה יש רק איבר אחד שנטרלי לכפל. (כלומר, איבר היחידה הוא יחיד)

===תרגיל===

הוכיחו שבשדה לכל איבר יש הופכי יחיד.

===תרגיל===

הוכיחו שבשדה מתקיים צמצום בכפל. כלומר, אם ab=ac כאשר a לא 0, אז b=c.

===תרגיל 2.3 סעיף ג'===
[בד"כ נעשה בהרצאה!]
הגדרה: נגדיר את הקבוצה הבאה: <math>\mathbb{Z}_n=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{n-1}\}</math>.

עובדה: עבור n=p ראשוני הקבוצה <math>\mathbb{Z}_p=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{p-1}\}</math> הינה שדה ביחס לחיבור וכפל מודלו p. הניטרלי לחיבור הוא 0 והנטרלי לכפל הוא 1. למשל <math>\mathbb{Z}_3=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\}</math>

תרגיל: הוכיחו כי ש<math>\mathbb{Z}_n</math> אינו שדה כאשר n מספר פריק (כלומר קיימים טבעיים כך ש n=mk)
ביחס לפעולות החיבור והכפל מודולו n.

====פתרון====

לפי הנתונים קיימים <math>0<k,m<n</math> כך ש <math>mk=n</math>. לפיכך, לפי ההגדרה,

<math>\overline{m}\overline{k}=n\mod{n} =\overline{0}</math>.

כלומר יש מחלקי אפס. כיוון שבשדה אין מחלקי אפס נסיק כי <math>\mathbb{Z}_n</math> אינו שדה במקרה זה.

===תרגיל 2.6===

הסבר מדוע <math>\mathbb{Z}_p</math> אינו תת שדה של <math>\mathbb{R}</math>

====פתרון====

תת שדה הינו תת קבוצה של איברים, תחת '''אותן''' פעולות כמו בשדה. לכן <math>(p-1)+1 = p \neq 0</math> ולכן אין סגירות לחיבור וזה אינו תת שדה.

==מרוכבים==
נגדיר מרוכבים, נראה שרוב תכונות השדה הן טריוויאליות פרט לקיום ההופכי וגם זה ניתן להוכחה.

===תרגיל 3.2===
אם נשנה את פעולת כפל המרוכבים לפעולה הבאה: <math>(a+bi)(c+di)=ac+bdi</math>, האם קבוצת המרוכבים תשאר שדה?

====פתרון====
לא. ניקח <math>(0+i)\cdot(1+0\cdot i)=0</math> כלומר יש לנו איברים שונים מאפס שמכפלתם הינה אפס. כלומר מחלקי אפס אבל בשדה אין מחלקי אפס!

===תרגיל 3.4===
הצג את הביטוי הבא בצורה <math>z=a+bi</math> וציין מהם <math>Re(z),Im(z),\overline{z},|z|</math>. הביטוי הינו: <math>\frac{5+2i}{2-3i}</math>

====פתרון====
נכפול בצמוד למכנה למעלה ולמטה <math>\frac{(5+2i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}</math>.

נעצור לרגע להבין את הפורמליות של מה שאנחנו עושים. הרי <math>\frac{5+2i}{2-3i}=(5+2i)(2-3i)^{-1}</math> וכעת רשמנו <math>(5+2i)(2+3i)[(2-3i)^{-1}(2+3i)^{-1}]</math>

לפיכך נקבל <math>z=\frac{4+19i}{13}=\frac{4}{13}+\frac{19}{13}i</math>

<math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{4^2+19^2}{13^2}}</math>

<math>Re(z)=\frac{4}{13},Im(z)=\frac{19}{13}</math>

<math>\overline{z}=\frac{4}{13}-\frac{19}{13}i</math>

===תכונות של מרוכבים===
*<math>\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}</math>

*<math>\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}</math>

*<math>\overline{z}z=|z|^2</math>

*<math>z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math>

===משפט דמואבר===
[אפשר לדלג]

ידוע שניתן להציג כל מספר מרוכב באופן יחיד בצורה <math>z=rcis\theta = r(cos\theta + i\cdot sin\theta)</math> כאשר r הוא ממשי אי-שלילי (המציין את המרחק מראשית הצירים ושווה ל |z|) והזווית <math>\theta</math> נמדדת נגד כיוון השעון מהקרן החיובית של ציר x. צורה זו נקראת הצורה הקוטבית של מספר מרוכב z. (ההצגה של המספר המרוכב z=a+bi, נקראת ההצגה הקרטזית שלו)

משפט דמואבר אומר ש <math>(rcis\theta)^n=r^ncis(n\theta)</math>

===תרגיל 3.8 א'===
חשב את <math>(1+\sqrt{3}i)^{2011}</math>

===פתרון===
דבר ראשון נעבור לצורה קוטבית. בהנתן מספר מרוכב z=a+bi המעבר לצורה הקוטבית שלו <math>z=r\cdot cis(\theta)</math> מתבצע על ידי
<math>r=|z|, cos\theta = \frac{a}{r}</math>

אצלנו בשאלה

<math>r=|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2</math>

<math>cos\theta = \frac{a}{r}=\frac{1}{2}</math>

ולכן <math>\theta = \frac{\pi}{3}</math>

ביחד <math>z=2cis\frac{\pi}{3}</math> ולכן <math>z^{2011}=2^{2011} cis 2011\frac{\pi}{3}</math> מכיוון שגם הסינוס וגם הקוסינוס הם ממחזור שני פאי, זה שווה ל

<math>2^{2011}cis(335\cdot 2\pi+\frac{\pi}{3})=2^{2011}cis\frac{\pi}{3}</math>

=== תרגיל ===
פתרון את המשוואה <math>z^5=3+4i</math>

=== תרגיל ===
מצאו דרך פשוטה לסובב נקודה במישור <math>\left(a,b\right)</math> בזווית <math>\theta</math> (כלומר למצוא את הנקודה במישור המתקבלת לאחר הסיבוב)

פתרון:

נחשוב במרוכבים על האיבר <math>a+bi</math> ונכפיל אותו ב <math>cis(\theta)</math>

=== תרגיל ===
חשבו את הסכום <math>\cos(1)+\cdots +\cos(n)</math>

פתרון:

ניעזר במרוכבים: <math>\sum_{k=1}^{n}\cos(k)=\text{Re}\left(\sum_{k=1}^{n}\text{cis}(k)\right)=\text{Re}\left(\sum_{k=1}^{n}\text{cis}(1)^{k}\right)</math>

===תרגיל (חשוב) ===
'''לרוב נעשה בהרצאה''' - ולכן הצעה: הוכיחו שלפולינום <math>p(x)=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+6x^5</math> יש שורש ממשי (בלי להזכיר את המשפט מההרצאה, לוודא שהם זוכרים לבד). אחרי זה אפשר להזכיר, אם נדרש, את ההגדרה והמשפט, ולעבור למסקנה.

הגדרה: פולינום עם מקדמים משדה <math>\mathbb{F}</math> ומשתנה x הוא <math>a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n</math> כאשר <math>a_i</math> קבועים מהשדה.
בהיתן פולינום <math>p(x)</math> ואיבר בשדה <math>a</math> נוכל להציב את a בפולינום לקבל איבר בשדה <math>p(a)=\sum_{i=0}^{n}a_ia^i</math>.
עוד נגדיר: a יקרא שורש של פולינום <math>p(x)</math> אם <math>p(a)=0</math>

יהא <math>p(x)</math> פולינום עם מקדמים ממשיים. הוכיחו שאם <math>z\in \mathbb{C}</math> שורש של פולינום <math>p(x)</math> אזי גם <math>\bar{z}</math> שורש של אותו פולינום.

הוכחה: בשימוש תכונות הצמוד.

==== ~מסקנה====
הסיקו (קצת בנפנופי ידיים, העיקר התובנה) שכל פולינום ממשי ניתן לפירוק לגורמים מדרגה קטנה שווה 2. היעזרו במשפט היסודי של האלגברה: כל פולינום מרוכב מדרגה <math>n</math> ניתן לפירוק למכפלה של <math>n</math> גורמים בדיוק מהצורה <math>\left(x-a\right)</math>

==מערכות משוואות לינאריות==
(תיאוריה מההרצאה, אם אין צורך בזה אפשר לדלג יש לתרגילים)
מערכות משוואות לינאריות בn משתנים עם m משוואות הינה מערכת מהצורה

<math>a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+...+a_{1,n}x_n=b_1</math>

<math>a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+...+a_{2,n}x_n=b_2</math>

...
<math>a_{m,1}x_1+a_{m,2}x_2+...+a_{m,n}x_n=b_m</math>

(סה"כ m משוואות)

ניתן להציג כל מערכת כזו באמצעות טבלת מספרים הנקראת '''מטריצה'''. לדוגמה:

<math>\left\{\begin{matrix}
x+3y=5\\
y-z=2\\
x+2y+z=4
\end{matrix}\right.</math>

את המערכת הנ"ל נייצג באמצעות המטריצה

<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & |5 \\
0 & 1 & -1 & |2 \\
1 & 2 & 1 & |4
\end{pmatrix}</math>

ניתן להבחין במספר פעולות שלא ישנו את פתרונות מערכת המשוואות:
*כפל שני אגפי המשוואה במספר שונה מאפס (שקול לכפל שורה במטריצה במספר שונה מאפס)
<math>A\to [2R_1\to R_1] \to \begin{pmatrix}
2 & 6 & 0 & |10 \\
0 & 1 & -1 & |2 \\
1 & 2 & 1 & |4
\end{pmatrix}</math>
*חיבור שני אגפי משוואה אחת כפול קבוע, לשני אגפי משוואה שנייה (שקול לחיבור שורה אחת כפול קבוע במטריצה לשורה אחרת)
<math>A\to [-R_1+R_3\to R_3] \to \begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & |5 \\
0 & 1 & -1 & |2 \\
0 & -1 & 1 & |-1
\end{pmatrix}</math>
*החלפת סדר המשוואות (שקול להחלפת סדר השורות במטריצה)

<math>A\to [R_1\leftrightarrow R_2] \to \begin{pmatrix}
0 & 1 & -1 & |2 \\
1 & 3 & 0 & |5 \\
1 & 2 & 1 & |4
\end{pmatrix}</math>

===דירוג גאוס ===
איבר '''מוביל/פותח/ציר''' הינו האיבר הראשון בשורה ששונה מאפס (משמאל לימין). מטריצה נקראת '''מדורגת''' אם מתחת לכל איבר מוביל שלה יש אפסים בלבד וכל איבר מוביל נמצא מימין לאיברים המובילים הקודמים. בנוסף, יש את הדרישה כי שורות אפסים (אם קיימות) נמצאות בסוף. מטריצה נקראת '''מדורגת קנונית''' אם היא מדורגת, ובנוסף יש אפסים '''מעל''' לכל איבר מוביל והאיברים המובילים חייבים להיות שווים למספר אחד.

הערה: לכל מטריצה '''קיימת''' צורה קנונית '''יחידה'''.

צורה סכמטית של צורה מדורגת היא הצורה (כאשר * מסמן ציר ו ? מסמן ערך כלשהוא)
<math> \begin{pmatrix}
* & ? & ? & ? & ?\\
0 & 0 & * & ? &? \\
0 & 0 & 0 & * & ? \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math>

צורה סכמטית של צורה קנונית היא הצורה (כאשר ? מסמן ערך כלשהוא)
<math> \begin{pmatrix}
1 & ? & 0 & 0 & ?\\
0 & 0 & 1 & 0 &? \\
0 & 0 & 0 & 1 & ? \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math>

כעת נלמד אלגוריתם המאפשר לנו לפתור מערכת משוואות לינארית באמצעות הצורה המטריצית שלה (בפרט, נדרג את המטריצה לצורתה הקנונית). תהליך זה נקרא '''[[מדיה: 10Linear1Gauss.pdf|אלגוריתם לדירוג גאוס]]'''.

=== תרגיל ===
פתרו את המערכת
<math>\left\{ \begin{array}{rcl}
x+y-z & = & 1\\
\phantom{2kx}y+z & = & -1\\
x-3y+3z & = & 9\\
-2x+4y-24z & = & -14
\end{array}\right.</math>

ואת
פתרו את המערכת
<math>\left\{ \begin{array}{rcl}
x+y-z & = & 1\\
\phantom{2kx}y+z & = & -1\\
x-3y+3z & = & 9\\
-2x+4y-24z & = & -24
\end{array}\right.</math>
מעל הממשיים

=== תרגיל ===
פתרו את המערכת
<math>\left\{\begin{matrix}
x+3y=5\\
y-z=2\\
x+2y+z=4
\end{matrix}\right.</math>
מעל הממשיים

===תרגיל===
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{R}</math>.

<math>\left( \begin{array}{ccc|c}
2 & 4 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
\end{array}\right)
</math>

=== פתרון ===
נשתמש בדירוג גאוס

<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
2 & 4 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{R_1 \leftrightarrow R_3}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & 1 \\
2 & 4 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{-2R_1 +R_2 \to R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)
</math>

זוהי הצורה המדורגת שממנה ניתן לראות כי יש פתרון יחיד. נמשיך לצורה הקנונית

<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{-0.5R_2 +R_1 \to R_1}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 1.5 \\
0 & 2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{0.5R_2 \to R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 1.5 \\
0 & 1 & 0 & -0.5 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

</math>
ומכאן קל לראות שהפתרון היחיד הוא <math>x=1.5, y=-0.5, z=1</math>

===תרגיל המשך===
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{R}</math>.

<math>\left( \begin{array}{ccc|c}
2 & 4 & 0 & 1 \\
0 &3 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)
</math>

=== פתרון ===
נשתמש בדירוג גאוס

<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
2 & 4 & 0 & 1 \\
0 & 3 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{0.5R_1 \to R_1}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 0 & 0.5 \\
0 & 3 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{R_1 \to R_1-2/3 R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -2/3 & -1/6 \\
0 & 3 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{R_2 \to 1/3 R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -2/3 & -1/6 \\
0 & 1 & 1/3 & 1/3 \\
\end{array}\right)
</math>

זוהי הצורה הקנונית שממנה ניתן לראות כי יש אין סוף פתרונות. נסמן את המשתנה החופשי <math>z=t</math> ונביע את שאר המשתנים בעזרתו. <math>y=1/3-1/3t, x= -1/6+2/3t</math> ולכן קבוצת הפתרונות למערכת היא הקבוצה

<math>\{\left( \begin{array}{c}
-\frac{1}{6}+\frac{2}{3} t\\
\frac{1}{3}-\frac{1}{3}t\\
t
\end{array}\right)
: \, t\in \mathbb{R} \}
</math>

=== תרגיל ===
.4 נניח כי אחרי דירוג של מערכת נתונה הגענו ל <math>\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 2 & -1\\
0 & 1 & 0 & 3
\end{array}\right)</math>

מצאו את קבוצת הפתרונות למערכת (מעל הממשיים) בהנחה ש:
* המערכת הומוגנית עם 4 משתנים .
*המערכת לא הומוגנית עם 3 משתנים.
=== תרגיל ===
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{R}</math>.

<math>\left( \begin{array}{cc|c}
1 & 4 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)
</math>

===פתרון===
נשתמש בדירוג גאוס

<math>\left( \begin{array}{cc|c}
1 & 4 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{-R_1 +R_2\to R_2}

\left( \begin{array}{cc|c}
1 & 4 & 1 \\
0 & -4 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{R_2 \leftrightarrow R_3}

\left( \begin{array}{cc|c}
1 & 4 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & -4 & 0 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{4R_2+R_3 \to R_3}

\left( \begin{array}{cc|c}
1 & 4 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 4 \\
\end{array}\right)
</math>

בשורה השלישית קיבלנו <math>0x+0y=4</math> כלומר שורת סתירה ולכן אין פתרון.

===תרגיל===

פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{C}</math>.

<math>\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 2 & 1 & 2 \\
1 & 2& 0 & -2+i \\
1 & 1-2i & 1 & 1-3i \\
\end{array}\right)
</math>

===תרגיל===
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{C}</math>.

<math>\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 2 & 1 & 3 \\
1 & 1-2i & 1 & 5 \\
\end{array}\right)
</math>

פתרון

<math>\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 2 & 1 & 3 \\
1 & 1-2i & 1 & 5 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{iR_1+R_2 \to R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 2 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 1+i & 5+3i \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{R_1-2R_2 \to R_1}

\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 0 & -1-2i & -7-6i \\
0 & 1 & 1+i & 5+3i \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{-iR_1 \to R_1}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -2+i & -6+7i \\
0 & 1 & 1+i & 5+3i \\
\end{array}\right)
</math>

זוהי הצורה הקנונית שממנה ניתן לראות כי יש אין סוף פתרונות. נסמן את המשתנה החופשי <math>z=t</math> ונביע את שאר המשתנים בעזרתו. <math>y=5+3i - t(1+i), x= -6+7i-t(-2+i)</math> ולכן קבוצת הפתרונות למערכת היא הקבוצה

<math>\{\left( \begin{array}{c}
-6+7i-t(-2+i) \\
5+3i - t(1+i)\\
t
\end{array}\right)
: \, t\in \mathbb{R} \}
</math>

===תרגיל 1.5 סעיף ב'===
ברוב השנים לא מתעסקים עם מערכות משוואות מעל שדות סופיים וצריך לדלג
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{Z}_{11}</math>.

<math>\begin{pmatrix}
5 & 3 & 3 & |0 \\
7 & 3 & 7 & |0 \\
7 & 9 & 0 & |3
\end{pmatrix}</math>

====פתרון====
נכפול את השורה הראשונה ב9 ואת השנייה והשלישית ב8. זכרו שכל הפעולות הן מודולו 11:

<math>\begin{pmatrix}
1 & 5 & 5 & |0 \\
1 & 2 & 1 & |0 \\
1 & 6 & 0 & |2
\end{pmatrix}</math>

נחסר את השורה הראשונה מן השורות השנייה והשלישית.

<math>\begin{pmatrix}
1 & 5 & 5 & |0 \\
0 & 8 & 7 & |0 \\
0 & 1 & 6 & |2
\end{pmatrix}</math>

נכפול את השורה השנייה ב7

<math>\begin{pmatrix}
1 & 5 & 5 & |0 \\
0 & 1 & 5 & |0 \\
0 & 1 & 6 & |2
\end{pmatrix}</math>

נחסר את השורה השנייה מהשלישית לקבל

<math>\begin{pmatrix}
1 & 5 & 5 & |0 \\
0 & 1 & 5 & |0 \\
0 & 0 & 1 & |2
\end{pmatrix}</math>

ולכן הפיתרון הינו: <math>z=2, y=-10=1, x=-10-5=7</math>

=== צורה מדורגת ומדורגת קנונית ===
אילו מבין ה <math>*</math> במטריצה הבאה
<math>AA=\left(\begin{array}{ccccc}* & 1 & 2 & 0 & *\\* & 0 & * & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 0 & *\end{array}\right)</math>

חייבים להיות אפסים בשביל ש:
*<math>A</math> מדורגת
*<math>A</math> מדורגת קנונית

===מספר פתרונות===
*נביט בצורה המדורגת של המטריצה.
*משתנה אשר בעמודה שלו בצורה המדורגת יש איבר מוביל (איבר ראשון משמאל בשורה, ששונה מאפס), נקרא '''משתנה תלוי'''.
*שאר המשתנים נקראים '''משתנים חופשיים'''.
*אם בצורה המדורגת יש שורת סתירה, אזי '''אין פתרונות''' למערכת.
*אם אין שורת סתירה בצורה המדורגת, מספר הפתרונות של המערכת הוא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים.
**בפרט, אם אין שורת סתירה ואין משתנים חופשיים אז יש '''פתרון יחיד'''.
**בפרט, אם אין שורת סתירה, יש משתנים חופשיים ויש אינסוף מספרים בשדה אז יש '''אינסוף פתרונות'''.

===תרגיל===
מצא לאילו ערכים של הפרמטרים a יש למערכת פתרון יחיד, אין פתרון, או אינסוף פתרונות. במקרה של אינסוף פתרונות מצא את הפתרון הכללי.

<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
a & a^2 & 1 & 2+a \\
a & 3a & 1 & 5\end{array}\right)
</math>

=== פתרון ===

<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
a & a^2 & 1 & 2+a \\
a & 3a & 1 & 5\end{array}\right)

\xrightarrow[R_3 -aR_1 \to R_3]{ R_2 -aR_1 \to R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1-a & 2 \\
0 & a(3-a) & 1-a & 5-a \end{array}\right)

\xrightarrow[]{ R_2 \leftrightarrow R_3}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
0 & a(3-a) & 1-a & 5-a\\
0 & 0 & 1-a & 2
\end{array}\right)

</math>

ולכן:
*עבור <math>a\neq 0,1,3</math> נקבל 3 צירים ולכן לא יהיו משתנים חופשיים. בנוסף לא תהיה שורת סתירה ולכן יהיה פתרון יחיד.
* עבור <math>a=1</math> נקבל שורת סתירה בשורה השלישית
* עבור <math>a=0</math> נקבל את המטריצה
<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 5\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}\right)
</math>
וגם פה יש סתירה כי מהשורה השניה נסיק <math>z=5</math> ואילו מהשורה השלישית נסיק <math>z=2</math> (אם היינו מדרגים את המטריצה היינו מקבלים שורת סתירה "קלאסית")

* עבור <math>a=3</math> נקבל את המטריצה
<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -2 & 2\\
0 & 0 & -2 & 2
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{ R_3-R_2 \to R_3}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -2 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)

</math>
וגם שיש אין סוף פתרונות.
נסמן את המשתנה החופשי <math>y=t</math> ונביע את שאר המשתנים בעזרתו. <math>z=-1, x= 1-z-3y=2-3t</math> ולכן קבוצת הפתרונות למערכת היא הקבוצה

<math>\{\left( \begin{array}{c}
2-3t \\
t\\
-1
\end{array}\right)
: \, t\in \mathbb{R} \}
</math>

===תרגיל===
מצא לאילו ערכים של הפרמטרים a,t יש למערכת פתרון יחיד, אין פתרון, או אינסוף פתרונות. במקרה של אינסוף פתרונות מצא את הפתרון הכללי (הערה: זהו הכללה של התרגיל הקודם. התרגיל הקודם מתקבל כאשר נציב t=-3 בתרגיל זה).

<math>\begin{pmatrix}
1 & a & 1 & |1 \\
a & a^2 & 1 & |2+a \\
a & 3a & 1 & |2-t
\end{pmatrix}</math>

<math>R_3:R_3-R2</math>

<math>R_2:R_2-aR_1</math>

<math>\begin{pmatrix}
1 & a & 1 & |1 \\
0 & 0 & 1-a & |2 \\
0 & 3a-a^2 & 0 & |-t-a
\end{pmatrix}</math>

<math>R_2\leftrightarrow -R_3</math>

<math>\begin{pmatrix}
1 & a & 1 & |1 \\
0 & a(a-3) & 0 & |a+t \\
0 & 0 & 1-a & |2
\end{pmatrix}</math>

כעת נניח <math>a\neq 0,1,3</math>. נבצע פעולות שחוקיות '''רק''' תחת ההנחה הזו, ולאחר מכן לחזור '''לנקודה הזו בדיוק''' ונפתור את המקרים <math>a=0,1,3</math> בצורה חוקית.

<math>R_2:\frac{R_2}{a(a-3)}</math>

<math>R_3:\frac{R_3}{1-a}</math>

<math>\begin{pmatrix}
1 & a & 1 & |1 \\
0 & 1 & 0 & |\frac{a+t}{a(a-3)} \\
0 & 0 & 1 & |\frac{2}{1-a}
\end{pmatrix}</math>

במקרה זה אין משתנים חופשיים ויש פתרון יחיד.

נחזור למקרים האחרים:

*נניח a=0 ונציב את הפרמטר הזו בנקודה בה עצרנו. נקבל:

<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & |1 \\
0 & 0 & 0 & |t \\
0 & 0 & 1 & |2
\end{pmatrix}</math>

אנו מקבלים משוואה מהצורה <math>0=t</math>.
**אם <math>t\neq 0</math> זו סתירה ולכן אין אף פתרון שיקיים את כל משוואות המערכת (כי משוואה זו לעולם לא תתקיים).
**אם t=0 מקבלים משתנה חופשי, ואינסוף פתרונות: נציב במקום המשתנה החופשי פרמטר s ונקבל: <math>y=s,z=2,x=1-2</math> ולכן סה"כ הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(-1,s,2)</math>

*נניח a=1:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & |1 \\
0 & -2 & 0 & |1+t \\
0 & 0 & 0 & |2
\end{pmatrix}</math>

השורה האחרונה הינה שורת סתירה ולכן אין פתרונות במצב זה.

*נניח a=3:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 & |1 \\
0 & 0 & 0 & |3+t \\
0 & 0 & -2 & |2
\end{pmatrix}</math>

**אם <math>t\neq -3</math> יש שורת סתירה ואין פתרון למערכת
**אם t=3 הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(2-3s,s,-1)</math>

=== תרגיל ===
תהא
<math>A=\left(\begin{array}{ccc}1 & * & *\\0 & * & 3\end{array}\right)</math>
ונתון שלמערכת לא בהכרח הומוגנית קיימים שני הפתרונות
<math>\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\3\\2\end{array}\right)</math>.
האם המטריצה <math>A</math> יכולה להיות בצורה קנונית?

=== תרגיל ===
נכון/לא נכון:

*למערכת משוואות המיוצג ע"י מטריצה <math>4\times2</math> אין פתרון.
*לכל מטריצה יש צורה מדורגת יחידה
*למטריצה <math>m\times n</math> יש לכל היותר m איברים פותחים (בצורה מדורגת)
*למטריצה <math>m\times n</math> יש לכל היותר n איברים פותחים (בצורה מדורגת)
*למערכת עם אינסוף פתרונות תהיה שורת אפסים בצורה מדורגת.
*בצורה מדורגת יש איבר יחיד שונה מאפס בכל עמודה.

=== תרגיל ===
נתונה מטריצה <math>A\in\mathbb{R}^{3\times3}</math> המקיימת כי <math>A\xrightarrow{R_{1}\leftrightarrow R_{3}}\xrightarrow{3R_{2}}\xrightarrow{R_{2}-2R_{1}}\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 0\\
0 & 1 & 3\\
2 & 0 & 1
\end{array}\right)</math> מצאו את <math>A</math>.

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/1

2021-07-05T16:55:15Z

אחיה172: /* תרגיל */

[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]

=שיעור ראשון=

==שדות (מה שנעשה בהרצאה אפשר לדלג)==
הגדרה: [[שדה]].

===תרגיל 1.3 סעיף ג'===
[בד"כ נעשה בהרצאה!]

יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכיחו את הטענה הבאה: <math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = 0</math>, כאשר <math>0</math> הינו הסימון לאיבר הנייטרלי החיבורי.

====פתרון====

ראשית נשים לב שלפי הנתונים ניתן להניח שאקסיומות השדה מתקיימות.

יהא <math>a\in \mathbb{F} </math>. צריך להוכיח כי <math>0\cdot a = 0</math>

לפי תכונה (4) [ניטרליות <math>0</math> לחיבור] מתקיים ש <math>0+0=0</math>

לכן <math>0\cdot a = (0+0)\cdot a</math>

לפי תכונה (7) [פילוג] מתקיים בנוסף ש<math>0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a + 0\cdot a</math> (השתמשנו בעצם בתכונה (7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2))

לפי תכונה (5) [קיום נגדי] לאיבר <math>0\cdot a \in\mathbb{F}</math> קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל <math>0\cdot a + (-(0\cdot a)) = (0\cdot a + 0\cdot a) + (-(0\cdot a))</math>

4444
לפי תכונה (3) [קיבוציות] ניתן להחליף את סדר הסוגריים מימין ולקבל
<math>0\cdot a + (-(0\cdot a)) = 0\cdot a + (0\cdot a + (-(0\cdot a)))</math>

עוד לפי תכונה (5) [תכונת הנגדי] יחד עם תכונה (4) [נטרליות 0 לחיבור] מתקיים ש<math>0 = 0\cdot a</math> בדיוק כפי שרצינו להוכיח.

===תרגיל===
הוכיחו שבשדה ל0 אין הופכי.

===פתרון===
מכיוון ש0 כפול דבר שווה ל0.

===תרגיל 1.3 סעיף ו'===
יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכיחו את הטענה הבאה: <math>\forall a\in\mathbb{F}:-(-a)=a</math>. (כלומר, הנגדי של הנגדי הוא האיבר עצמו)

====פתרון====
יהא a בשדה צריך להוכיח כי <math>(-a)+a=0</math> [זה הגדרת נגדי].

כיוון החיבור חילופי נקבל כי <math>(-a)+a=a+(-a)</math>. כיוון ש <math>a+(-a)=0</math> לפי הגדרת נגדי של a, סיימנו.

===תרגיל 1.3 סעיף ז'===
יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכיחו את הטענה הבאה: <math>\forall a\in\mathbb{F}:(-1)\cdot a=-a</math>. (כלומר הנגדי של האיבר הנייטרלי הכפלי כפול a הינו הנגדי של a)

====פתרון====
<math>-a</math> זה סימון לנגדי של <math>a</math>. לכן מה שבעצם צריך להוכיח זה ש- <math>(-1)\cdot a</math> הוא הנגדי של <math>a</math>, לכן הם שווים (נגדי יש אחד).

מתוך תכונות (7),(5) וסעיף ג' שהוכחנו לעיל, <math>0=0\cdot a = (1+(-1))\cdot a = 1\cdot a + (-1)\cdot a</math>

לפי תכונה (4) קיבלנו <math>0=a+(-1)\cdot a</math>

לכן קיבלנו ש- <math>(-1)\cdot a</math> הוא הנגדי של <math>a</math> כפי שרצינו.

===תרגיל===
הוכיחו שבשדה מתקיים כי <math>(-1)(-1)=1</math>
===תרגיל ===
בד"כ נעשה בהרצאה!
יהא <math>\mathbb{F}</math> שדה. הוכיחו כי אין לו מחלקי אפס. כלומר לא קיימים <math>a,b\in \mathbb{F}</math> שונים מאפס כך ש <math>ab=0</math> (באופן שקול: אם <math>ab=0</math> אז בהכרח אחד מהם שווה 0)

====פתרון====
נניח <math>ab=0</math>. צ"ל שאחד מהם אפס.
אם <math>a=0</math> סיימנו
אחרת <math>a\neq 0 </math> ולכן קיים לו הופכי <math>a^{-1}</math>. נכפיל את ההופכי של a בשני האגפים ונקבל
<math>b=a^{-1}ab=a^{-1}0=0</math> וסיימנו.

===תרגיל 2.3 סעיף א'===
[בד"כ נעשה בהרצאה!]
יש להוכיח שקבוצת הטבעיים <math>\mathbb{N}=\{1,2,3,....\}</math> אינה שדה.

====פתרון====
אין איבר נייטרלי לחיבור: <math>\forall n,k\in\mathbb{N}:n+k>n</math>, ואילו האיבר הנייטרלי היה צריך לקיים <math>n+0=n</math>.

===תרגיל===

הוכיחו שבשה יש רק איבר אחד שנטרלי לכפל. (כלומר, איבר היחידה הוא יחיד)

===תרגיל===

הוכיחו שבשדה לכל איבר יש הופכי יחיד.

===תרגיל===

הוכיחו שבשדה מתקיים צמצום בכפל. כלומר, אם ab=ac כאשר a לא 0, אז b=c.

===תרגיל 2.3 סעיף ג'===
[בד"כ נעשה בהרצאה!]
הגדרה: נגדיר את הקבוצה הבאה: <math>\mathbb{Z}_n=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{n-1}\}</math>.

עובדה: עבור n=p ראשוני הקבוצה <math>\mathbb{Z}_p=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{p-1}\}</math> הינה שדה ביחס לחיבור וכפל מודלו p. הניטרלי לחיבור הוא 0 והנטרלי לכפל הוא 1. למשל <math>\mathbb{Z}_3=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\}</math>

תרגיל: הוכיחו כי ש<math>\mathbb{Z}_n</math> אינו שדה כאשר n מספר פריק (כלומר קיימים טבעיים כך ש n=mk)
ביחס לפעולות החיבור והכפל מודולו n.

====פתרון====

לפי הנתונים קיימים <math>0<k,m<n</math> כך ש <math>mk=n</math>. לפיכך, לפי ההגדרה,

<math>\overline{m}\overline{k}=n\mod{n} =\overline{0}</math>.

כלומר יש מחלקי אפס. כיוון שבשדה אין מחלקי אפס נסיק כי <math>\mathbb{Z}_n</math> אינו שדה במקרה זה.

===תרגיל 2.6===

הסבר מדוע <math>\mathbb{Z}_p</math> אינו תת שדה של <math>\mathbb{R}</math>

====פתרון====

תת שדה הינו תת קבוצה של איברים, תחת '''אותן''' פעולות כמו בשדה. לכן <math>(p-1)+1 = p \neq 0</math> ולכן אין סגירות לחיבור וזה אינו תת שדה.

==מרוכבים==
נגדיר מרוכבים, נראה שרוב תכונות השדה הן טריוויאליות פרט לקיום ההופכי וגם זה ניתן להוכחה.

===תרגיל 3.2===
אם נשנה את פעולת כפל המרוכבים לפעולה הבאה: <math>(a+bi)(c+di)=ac+bdi</math>, האם קבוצת המרוכבים תשאר שדה?

====פתרון====
לא. ניקח <math>(0+i)\cdot(1+0\cdot i)=0</math> כלומר יש לנו איברים שונים מאפס שמכפלתם הינה אפס. כלומר מחלקי אפס אבל בשדה אין מחלקי אפס!

===תרגיל 3.4===
הצג את הביטוי הבא בצורה <math>z=a+bi</math> וציין מהם <math>Re(z),Im(z),\overline{z},|z|</math>. הביטוי הינו: <math>\frac{5+2i}{2-3i}</math>

====פתרון====
נכפול בצמוד למכנה למעלה ולמטה <math>\frac{(5+2i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}</math>.

נעצור לרגע להבין את הפורמליות של מה שאנחנו עושים. הרי <math>\frac{5+2i}{2-3i}=(5+2i)(2-3i)^{-1}</math> וכעת רשמנו <math>(5+2i)(2+3i)[(2-3i)^{-1}(2+3i)^{-1}]</math>

לפיכך נקבל <math>z=\frac{4+19i}{13}=\frac{4}{13}+\frac{19}{13}i</math>

<math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{4^2+19^2}{13^2}}</math>

<math>Re(z)=\frac{4}{13},Im(z)=\frac{19}{13}</math>

<math>\overline{z}=\frac{4}{13}-\frac{19}{13}i</math>

===תכונות של מרוכבים===
*<math>\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}</math>

*<math>\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}</math>

*<math>\overline{z}z=|z|^2</math>

*<math>z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math>

===משפט דמואבר===
[אפשר לדלג]

ידוע שניתן להציג כל מספר מרוכב באופן יחיד בצורה <math>z=rcis\theta = r(cos\theta + i\cdot sin\theta)</math> כאשר r הוא ממשי אי-שלילי (המציין את המרחק מראשית הצירים ושווה ל |z|) והזווית <math>\theta</math> נמדדת נגד כיוון השעון מהקרן החיובית של ציר x. צורה זו נקראת הצורה הקוטבית של מספר מרוכב z. (ההצגה של המספר המרוכב z=a+bi, נקראת ההצגה הקרטזית שלו)

משפט דמואבר אומר ש <math>(rcis\theta)^n=r^ncis(n\theta)</math>

===תרגיל 3.8 א'===
חשב את <math>(1+\sqrt{3}i)^{2011}</math>

===פתרון===
דבר ראשון נעבור לצורה קוטבית. בהנתן מספר מרוכב z=a+bi המעבר לצורה הקוטבית שלו <math>z=r\cdot cis(\theta)</math> מתבצע על ידי
<math>r=|z|, cos\theta = \frac{a}{r}</math>

אצלנו בשאלה

<math>r=|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2</math>

<math>cos\theta = \frac{a}{r}=\frac{1}{2}</math>

ולכן <math>\theta = \frac{\pi}{3}</math>

ביחד <math>z=2cis\frac{\pi}{3}</math> ולכן <math>z^{2011}=2^{2011} cis 2011\frac{\pi}{3}</math> מכיוון שגם הסינוס וגם הקוסינוס הם ממחזור שני פאי, זה שווה ל

<math>2^{2011}cis(335\cdot 2\pi+\frac{\pi}{3})=2^{2011}cis\frac{\pi}{3}</math>

=== תרגיל ===
פתרון את המשוואה <math>z^5=3+4i</math>

=== תרגיל ===
מצאו דרך פשוטה לסובב נקודה במישור <math>\left(a,b\right)</math> בזווית <math>\theta</math> (כלומר למצוא את הנקודה במישור המתקבלת לאחר הסיבוב)

פתרון:

נחשוב במרוכבים על האיבר <math>a+bi</math> ונכפיל אותו ב <math>cis(\theta)</math>

=== תרגיל ===
חשבו את הסכום <math>\cos(1)+\cdots +\cos(n)</math>

פתרון:

ניעזר במרוכבים: <math>\sum_{k=1}^{n}\cos(k)=\text{Re}\left(\sum_{k=1}^{n}\text{cis}(k)\right)=\text{Re}\left(\sum_{k=1}^{n}\text{cis}(1)^{k}\right)</math>

===תרגיל (חשוב) ===
'''לרוב נעשה בהרצאה''' - ולכן הצעה: הוכיחו שלפולינום <math>p(x)=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+6x^5</math> יש שורש ממשי (בלי להזכיר את המשפט מההרצאה, לוודא שהם זוכרים לבד). אחרי זה אפשר להזכיר, אם נדרש, את ההגדרה והמשפט, ולעבור למסקנה.

הגדרה: פולינום עם מקדמים משדה <math>\mathbb{F}</math> ומשתנה x הוא <math>a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n</math> כאשר <math>a_i</math> קבועים מהשדה.
בהיתן פולינום <math>p(x)</math> ואיבר בשדה <math>a</math> נוכל להציב את a בפולינום לקבל איבר בשדה <math>p(a)=\sum_{i=0}^{n}a_ia^i</math>.
עוד נגדיר: a יקרא שורש של פולינום <math>p(x)</math> אם <math>p(a)=0</math>

יהא <math>p(x)</math> פולינום עם מקדמים ממשיים. הוכיחו שאם <math>z\in \mathbb{C}</math> שורש של פולינום <math>p(x)</math> אזי גם <math>\bar{z}</math> שורש של אותו פולינום.

הוכחה: בשימוש תכונות הצמוד.

==== ~מסקנה====
הסיקו (קצת בנפנופי ידיים, העיקר התובנה) שכל פולינום ממשי ניתן לפירוק לגורמים מדרגה קטנה שווה 2. היעזרו במשפט היסודי של האלגברה: כל פולינום מרוכב מדרגה <math>n</math> ניתן לפירוק למכפלה של <math>n</math> גורמים בדיוק מהצורה <math>\left(x-a\right)</math>

==מערכות משוואות לינאריות==
(תיאוריה מההרצאה, אם אין צורך בזה אפשר לדלג יש לתרגילים)
מערכות משוואות לינאריות בn משתנים עם m משוואות הינה מערכת מהצורה

<math>a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+...+a_{1,n}x_n=b_1</math>

<math>a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+...+a_{2,n}x_n=b_2</math>

...
<math>a_{m,1}x_1+a_{m,2}x_2+...+a_{m,n}x_n=b_m</math>

(סה"כ m משוואות)

ניתן להציג כל מערכת כזו באמצעות טבלת מספרים הנקראת '''מטריצה'''. לדוגמה:

<math>\left\{\begin{matrix}
x+3y=5\\
y-z=2\\
x+2y+z=4
\end{matrix}\right.</math>

את המערכת הנ"ל נייצג באמצעות המטריצה

<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & |5 \\
0 & 1 & -1 & |2 \\
1 & 2 & 1 & |4
\end{pmatrix}</math>

ניתן להבחין במספר פעולות שלא ישנו את פתרונות מערכת המשוואות:
*כפל שני אגפי המשוואה במספר שונה מאפס (שקול לכפל שורה במטריצה במספר שונה מאפס)
<math>A\to [2R_1\to R_1] \to \begin{pmatrix}
2 & 6 & 0 & |10 \\
0 & 1 & -1 & |2 \\
1 & 2 & 1 & |4
\end{pmatrix}</math>
*חיבור שני אגפי משוואה אחת כפול קבוע, לשני אגפי משוואה שנייה (שקול לחיבור שורה אחת כפול קבוע במטריצה לשורה אחרת)
<math>A\to [-R_1+R_3\to R_3] \to \begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & |5 \\
0 & 1 & -1 & |2 \\
0 & -1 & 1 & |-1
\end{pmatrix}</math>
*החלפת סדר המשוואות (שקול להחלפת סדר השורות במטריצה)

<math>A\to [R_1\leftrightarrow R_2] \to \begin{pmatrix}
0 & 1 & -1 & |2 \\
1 & 3 & 0 & |5 \\
1 & 2 & 1 & |4
\end{pmatrix}</math>

===דירוג גאוס ===
איבר '''מוביל/פותח/ציר''' הינו האיבר הראשון בשורה ששונה מאפס (משמאל לימין). מטריצה נקראת '''מדורגת''' אם מתחת לכל איבר מוביל שלה יש אפסים בלבד וכל איבר מוביל נמצא מימין לאיברים המובילים הקודמים. בנוסף, יש את הדרישה כי שורות אפסים (אם קיימות) נמצאות בסוף. מטריצה נקראת '''מדורגת קנונית''' אם היא מדורגת, ובנוסף יש אפסים '''מעל''' לכל איבר מוביל והאיברים המובילים חייבים להיות שווים למספר אחד.

הערה: לכל מטריצה '''קיימת''' צורה קנונית '''יחידה'''.

צורה סכמטית של צורה מדורגת היא הצורה (כאשר * מסמן ציר ו ? מסמן ערך כלשהוא)
<math> \begin{pmatrix}
* & ? & ? & ? & ?\\
0 & 0 & * & ? &? \\
0 & 0 & 0 & * & ? \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math>

צורה סכמטית של צורה קנונית היא הצורה (כאשר ? מסמן ערך כלשהוא)
<math> \begin{pmatrix}
1 & ? & 0 & 0 & ?\\
0 & 0 & 1 & 0 &? \\
0 & 0 & 0 & 1 & ? \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math>

כעת נלמד אלגוריתם המאפשר לנו לפתור מערכת משוואות לינארית באמצעות הצורה המטריצית שלה (בפרט, נדרג את המטריצה לצורתה הקנונית). תהליך זה נקרא '''[[מדיה: 10Linear1Gauss.pdf|אלגוריתם לדירוג גאוס]]'''.

=== תרגיל ===
פתרו את המערכת
<math>\left\{ \begin{array}{rcl}
x+y-z & = & 1\\
\phantom{2kx}y+z & = & -1\\
x-3y+3z & = & 9\\
-2x+4y-24z & = & -14
\end{array}\right.</math>

ואת
פתרו את המערכת
<math>\left\{ \begin{array}{rcl}
x+y-z & = & 1\\
\phantom{2kx}y+z & = & -1\\
x-3y+3z & = & 9\\
-2x+4y-24z & = & -24
\end{array}\right.</math>
מעל הממשיים

=== תרגיל ===
פתרו את המערכת
<math>\left\{\begin{matrix}
x+3y=5\\
y-z=2\\
x+2y+z=4
\end{matrix}\right.</math>
מעל הממשיים

===תרגיל===
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{R}</math>.

<math>\left( \begin{array}{ccc|c}
2 & 4 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
\end{array}\right)
</math>

=== פתרון ===
נשתמש בדירוג גאוס

<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
2 & 4 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{R_1 \leftrightarrow R_3}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & 1 \\
2 & 4 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{-2R_1 +R_2 \to R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)
</math>

זוהי הצורה המדורגת שממנה ניתן לראות כי יש פתרון יחיד. נמשיך לצורה הקנונית

<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{-0.5R_2 +R_1 \to R_1}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 1.5 \\
0 & 2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{0.5R_2 \to R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 1.5 \\
0 & 1 & 0 & -0.5 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

</math>
ומכאן קל לראות שהפתרון היחיד הוא <math>x=1.5, y=-0.5, z=1</math>

===תרגיל המשך===
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{R}</math>.

<math>\left( \begin{array}{ccc|c}
2 & 4 & 0 & 1 \\
0 &3 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)
</math>

=== פתרון ===
נשתמש בדירוג גאוס

<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
2 & 4 & 0 & 1 \\
0 & 3 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{0.5R_1 \to R_1}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 0 & 0.5 \\
0 & 3 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{R_1 \to R_1-2/3 R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -2/3 & -1/6 \\
0 & 3 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{R_2 \to 1/3 R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -2/3 & -1/6 \\
0 & 1 & 1/3 & 1/3 \\
\end{array}\right)
</math>

זוהי הצורה הקנונית שממנה ניתן לראות כי יש אין סוף פתרונות. נסמן את המשתנה החופשי <math>z=t</math> ונביע את שאר המשתנים בעזרתו. <math>y=1/3-1/3t, x= -1/6+2/3t</math> ולכן קבוצת הפתרונות למערכת היא הקבוצה

<math>\{\left( \begin{array}{c}
-\frac{1}{6}+\frac{2}{3} t\\
\frac{1}{3}-\frac{1}{3}t\\
t
\end{array}\right)
: \, t\in \mathbb{R} \}
</math>

=== תרגיל ===
.4 נניח כי אחרי דירוג של מערכת נתונה הגענו ל <math>\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 2 & -1\\
0 & 1 & 0 & 3
\end{array}\right)</math>

מצאו את קבוצת הפתרונות למערכת (מעל הממשיים) בהנחה ש:
* המערכת הומוגנית עם 4 משתנים .
*המערכת לא הומוגנית עם 3 משתנים.
=== תרגיל ===
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{R}</math>.

<math>\left( \begin{array}{cc|c}
1 & 4 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)
</math>

===פתרון===
נשתמש בדירוג גאוס

<math>\left( \begin{array}{cc|c}
1 & 4 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{-R_1 +R_2\to R_2}

\left( \begin{array}{cc|c}
1 & 4 & 1 \\
0 & -4 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{R_2 \leftrightarrow R_3}

\left( \begin{array}{cc|c}
1 & 4 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & -4 & 0 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{4R_2+R_3 \to R_3}

\left( \begin{array}{cc|c}
1 & 4 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 4 \\
\end{array}\right)
</math>

בשורה השלישית קיבלנו <math>0x+0y=4</math> כלומר שורת סתירה ולכן אין פתרון.

===תרגיל===

פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{C}</math>.

<math>\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 2 & 1 & 2 \\
1 & 2& 0 & -2+i \\
1 & 1-2i & 1 & 1-3i \\
\end{array}\right)
</math>

===תרגיל===
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{C}</math>.

<math>\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 2 & 1 & 3 \\
1 & 1-2i & 1 & 5 \\
\end{array}\right)
</math>

פתרון

<math>\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 2 & 1 & 3 \\
1 & 1-2i & 1 & 5 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{iR_1+R_2 \to R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 2 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 1+i & 5+3i \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{R_1-2R_2 \to R_1}

\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 0 & -1-2i & -7-6i \\
0 & 1 & 1+i & 5+3i \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{-iR_1 \to R_1}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -2+i & -6+7i \\
0 & 1 & 1+i & 5+3i \\
\end{array}\right)
</math>

זוהי הצורה הקנונית שממנה ניתן לראות כי יש אין סוף פתרונות. נסמן את המשתנה החופשי <math>z=t</math> ונביע את שאר המשתנים בעזרתו. <math>y=5+3i - t(1+i), x= -6+7i-t(-2+i)</math> ולכן קבוצת הפתרונות למערכת היא הקבוצה

<math>\{\left( \begin{array}{c}
-6+7i-t(-2+i) \\
5+3i - t(1+i)\\
t
\end{array}\right)
: \, t\in \mathbb{R} \}
</math>

===תרגיל 1.5 סעיף ב'===
ברוב השנים לא מתעסקים עם מערכות משוואות מעל שדות סופיים וצריך לדלג
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{Z}_{11}</math>.

<math>\begin{pmatrix}
5 & 3 & 3 & |0 \\
7 & 3 & 7 & |0 \\
7 & 9 & 0 & |3
\end{pmatrix}</math>

====פתרון====
נכפול את השורה הראשונה ב9 ואת השנייה והשלישית ב8. זכרו שכל הפעולות הן מודולו 11:

<math>\begin{pmatrix}
1 & 5 & 5 & |0 \\
1 & 2 & 1 & |0 \\
1 & 6 & 0 & |2
\end{pmatrix}</math>

נחסר את השורה הראשונה מן השורות השנייה והשלישית.

<math>\begin{pmatrix}
1 & 5 & 5 & |0 \\
0 & 8 & 7 & |0 \\
0 & 1 & 6 & |2
\end{pmatrix}</math>

נכפול את השורה השנייה ב7

<math>\begin{pmatrix}
1 & 5 & 5 & |0 \\
0 & 1 & 5 & |0 \\
0 & 1 & 6 & |2
\end{pmatrix}</math>

נחסר את השורה השנייה מהשלישית לקבל

<math>\begin{pmatrix}
1 & 5 & 5 & |0 \\
0 & 1 & 5 & |0 \\
0 & 0 & 1 & |2
\end{pmatrix}</math>

ולכן הפיתרון הינו: <math>z=2, y=-10=1, x=-10-5=7</math>

=== צורה מדורגת ומדורגת קנונית ===
אילו מבין ה <math>*</math> במטריצה הבאה
<math>AA=\left(\begin{array}{ccccc}* & 1 & 2 & 0 & *\\* & 0 & * & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 0 & *\end{array}\right)</math>

חייבים להיות אפסים בשביל ש:
*<math>A</math> מדורגת
*<math>A</math> מדורגת קנונית

===מספר פתרונות===
*נביט בצורה המדורגת של המטריצה.
*משתנה אשר בעמודה שלו בצורה המדורגת יש איבר מוביל (איבר ראשון משמאל בשורה, ששונה מאפס), נקרא '''משתנה תלוי'''.
*שאר המשתנים נקראים '''משתנים חופשיים'''.
*אם בצורה המדורגת יש שורת סתירה, אזי '''אין פתרונות''' למערכת.
*אם אין שורת סתירה בצורה המדורגת, מספר הפתרונות של המערכת הוא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים.
**בפרט, אם אין שורת סתירה ואין משתנים חופשיים אז יש '''פתרון יחיד'''.
**בפרט, אם אין שורת סתירה, יש משתנים חופשיים ויש אינסוף מספרים בשדה אז יש '''אינסוף פתרונות'''.

===תרגיל===
מצא לאילו ערכים של הפרמטרים a יש למערכת פתרון יחיד, אין פתרון, או אינסוף פתרונות. במקרה של אינסוף פתרונות מצא את הפתרון הכללי.

<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
a & a^2 & 1 & 2+a \\
a & 3a & 1 & 5\end{array}\right)
</math>

=== פתרון ===

<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
a & a^2 & 1 & 2+a \\
a & 3a & 1 & 5\end{array}\right)

\xrightarrow[R_3 -aR_1 \to R_3]{ R_2 -aR_1 \to R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1-a & 2 \\
0 & a(3-a) & 1-a & 5-a \end{array}\right)

\xrightarrow[]{ R_2 \leftrightarrow R_3}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
0 & a(3-a) & 1-a & 5-a\\
0 & 0 & 1-a & 2
\end{array}\right)

</math>

ולכן:
*עבור <math>a\neq 0,1,3</math> נקבל 3 צירים ולכן לא יהיו משתנים חופשיים. בנוסף לא תהיה שורת סתירה ולכן יהיה פתרון יחיד.
* עבור <math>a=1</math> נקבל שורת סתירה בשורה השלישית
* עבור <math>a=0</math> נקבל את המטריצה
<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 5\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}\right)
</math>
וגם פה יש סתירה כי מהשורה השניה נסיק <math>z=5</math> ואילו מהשורה השלישית נסיק <math>z=2</math> (אם היינו מדרגים את המטריצה היינו מקבלים שורת סתירה "קלאסית")

* עבור <math>a=3</math> נקבל את המטריצה
<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -2 & 2\\
0 & 0 & -2 & 2
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{ R_3-R_2 \to R_3}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -2 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)

</math>
וגם שיש אין סוף פתרונות.
נסמן את המשתנה החופשי <math>y=t</math> ונביע את שאר המשתנים בעזרתו. <math>z=-1, x= 1-z-3y=2-3t</math> ולכן קבוצת הפתרונות למערכת היא הקבוצה

<math>\{\left( \begin{array}{c}
2-3t \\
t\\
-1
\end{array}\right)
: \, t\in \mathbb{R} \}
</math>

===תרגיל===
מצא לאילו ערכים של הפרמטרים a,t יש למערכת פתרון יחיד, אין פתרון, או אינסוף פתרונות. במקרה של אינסוף פתרונות מצא את הפתרון הכללי (הערה: זהו הכללה של התרגיל הקודם. התרגיל הקודם מתקבל כאשר נציב t=-3 בתרגיל זה).

<math>\begin{pmatrix}
1 & a & 1 & |1 \\
a & a^2 & 1 & |2+a \\
a & 3a & 1 & |2-t
\end{pmatrix}</math>

<math>R_3:R_3-R2</math>

<math>R_2:R_2-aR_1</math>

<math>\begin{pmatrix}
1 & a & 1 & |1 \\
0 & 0 & 1-a & |2 \\
0 & 3a-a^2 & 0 & |-t-a
\end{pmatrix}</math>

<math>R_2\leftrightarrow -R_3</math>

<math>\begin{pmatrix}
1 & a & 1 & |1 \\
0 & a(a-3) & 0 & |a+t \\
0 & 0 & 1-a & |2
\end{pmatrix}</math>

כעת נניח <math>a\neq 0,1,3</math>. נבצע פעולות שחוקיות '''רק''' תחת ההנחה הזו, ולאחר מכן לחזור '''לנקודה הזו בדיוק''' ונפתור את המקרים <math>a=0,1,3</math> בצורה חוקית.

<math>R_2:\frac{R_2}{a(a-3)}</math>

<math>R_3:\frac{R_3}{1-a}</math>

<math>\begin{pmatrix}
1 & a & 1 & |1 \\
0 & 1 & 0 & |\frac{a+t}{a(a-3)} \\
0 & 0 & 1 & |\frac{2}{1-a}
\end{pmatrix}</math>

במקרה זה אין משתנים חופשיים ויש פתרון יחיד.

נחזור למקרים האחרים:

*נניח a=0 ונציב את הפרמטר הזו בנקודה בה עצרנו. נקבל:

<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & |1 \\
0 & 0 & 0 & |t \\
0 & 0 & 1 & |2
\end{pmatrix}</math>

אנו מקבלים משוואה מהצורה <math>0=t</math>.
**אם <math>t\neq 0</math> זו סתירה ולכן אין אף פתרון שיקיים את כל משוואות המערכת (כי משוואה זו לעולם לא תתקיים).
**אם t=0 מקבלים משתנה חופשי, ואינסוף פתרונות: נציב במקום המשתנה החופשי פרמטר s ונקבל: <math>y=s,z=2,x=1-2</math> ולכן סה"כ הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(-1,s,2)</math>

*נניח a=1:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & |1 \\
0 & -2 & 0 & |1+t \\
0 & 0 & 0 & |2
\end{pmatrix}</math>

השורה האחרונה הינה שורת סתירה ולכן אין פתרונות במצב זה.

*נניח a=3:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 & |1 \\
0 & 0 & 0 & |3+t \\
0 & 0 & -2 & |2
\end{pmatrix}</math>

**אם <math>t\neq -3</math> יש שורת סתירה ואין פתרון למערכת
**אם t=3 הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(2-3s,s,-1)</math>

=== תרגיל ===
תהא
<math>A=\left(\begin{array}{ccc}2 & * & *\\0 & * & 3\end{array}\right)</math>
ונתון שלמערכת לא בהכרח הומוגנית קיימים שני הפתרונות
<math>\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\3\\2\end{array}\right)</math>.
האם המטריצה <math>A</math> יכולה להיות בצורה קנונית?

=== תרגיל ===
נכון/לא נכון:

*למערכת משוואות המיוצג ע"י מטריצה <math>4\times2</math> אין פתרון.
*לכל מטריצה יש צורה מדורגת יחידה
*למטריצה <math>m\times n</math> יש לכל היותר m איברים פותחים (בצורה מדורגת)
*למטריצה <math>m\times n</math> יש לכל היותר n איברים פותחים (בצורה מדורגת)
*למערכת עם אינסוף פתרונות תהיה שורת אפסים בצורה מדורגת.
*בצורה מדורגת יש איבר יחיד שונה מאפס בכל עמודה.

=== תרגיל ===
נתונה מטריצה <math>A\in\mathbb{R}^{3\times3}</math> המקיימת כי <math>A\xrightarrow{R_{1}\leftrightarrow R_{3}}\xrightarrow{3R_{2}}\xrightarrow{R_{2}-2R_{1}}\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 0\\
0 & 1 & 3\\
2 & 0 & 1
\end{array}\right)</math> מצאו את <math>A</math>.

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/1

2021-07-05T16:50:15Z

אחיה172: /* תרגיל */

[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]

=שיעור ראשון=

==שדות (מה שנעשה בהרצאה אפשר לדלג)==
הגדרה: [[שדה]].

===תרגיל 1.3 סעיף ג'===
[בד"כ נעשה בהרצאה!]

יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכיחו את הטענה הבאה: <math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = 0</math>, כאשר <math>0</math> הינו הסימון לאיבר הנייטרלי החיבורי.

====פתרון====

ראשית נשים לב שלפי הנתונים ניתן להניח שאקסיומות השדה מתקיימות.

יהא <math>a\in \mathbb{F} </math>. צריך להוכיח כי <math>0\cdot a = 0</math>

לפי תכונה (4) [ניטרליות <math>0</math> לחיבור] מתקיים ש <math>0+0=0</math>

לכן <math>0\cdot a = (0+0)\cdot a</math>

לפי תכונה (7) [פילוג] מתקיים בנוסף ש<math>0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a + 0\cdot a</math> (השתמשנו בעצם בתכונה (7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2))

לפי תכונה (5) [קיום נגדי] לאיבר <math>0\cdot a \in\mathbb{F}</math> קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל <math>0\cdot a + (-(0\cdot a)) = (0\cdot a + 0\cdot a) + (-(0\cdot a))</math>

4444
לפי תכונה (3) [קיבוציות] ניתן להחליף את סדר הסוגריים מימין ולקבל
<math>0\cdot a + (-(0\cdot a)) = 0\cdot a + (0\cdot a + (-(0\cdot a)))</math>

עוד לפי תכונה (5) [תכונת הנגדי] יחד עם תכונה (4) [נטרליות 0 לחיבור] מתקיים ש<math>0 = 0\cdot a</math> בדיוק כפי שרצינו להוכיח.

===תרגיל===
הוכיחו שבשדה ל0 אין הופכי.

===פתרון===
מכיוון ש0 כפול דבר שווה ל0.

===תרגיל 1.3 סעיף ו'===
יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכיחו את הטענה הבאה: <math>\forall a\in\mathbb{F}:-(-a)=a</math>. (כלומר, הנגדי של הנגדי הוא האיבר עצמו)

====פתרון====
יהא a בשדה צריך להוכיח כי <math>(-a)+a=0</math> [זה הגדרת נגדי].

כיוון החיבור חילופי נקבל כי <math>(-a)+a=a+(-a)</math>. כיוון ש <math>a+(-a)=0</math> לפי הגדרת נגדי של a, סיימנו.

===תרגיל 1.3 סעיף ז'===
יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכיחו את הטענה הבאה: <math>\forall a\in\mathbb{F}:(-1)\cdot a=-a</math>. (כלומר הנגדי של האיבר הנייטרלי הכפלי כפול a הינו הנגדי של a)

====פתרון====
<math>-a</math> זה סימון לנגדי של <math>a</math>. לכן מה שבעצם צריך להוכיח זה ש- <math>(-1)\cdot a</math> הוא הנגדי של <math>a</math>, לכן הם שווים (נגדי יש אחד).

מתוך תכונות (7),(5) וסעיף ג' שהוכחנו לעיל, <math>0=0\cdot a = (1+(-1))\cdot a = 1\cdot a + (-1)\cdot a</math>

לפי תכונה (4) קיבלנו <math>0=a+(-1)\cdot a</math>

לכן קיבלנו ש- <math>(-1)\cdot a</math> הוא הנגדי של <math>a</math> כפי שרצינו.

===תרגיל===
הוכיחו שבשדה מתקיים כי <math>(-1)(-1)=1</math>
===תרגיל ===
בד"כ נעשה בהרצאה!
יהא <math>\mathbb{F}</math> שדה. הוכיחו כי אין לו מחלקי אפס. כלומר לא קיימים <math>a,b\in \mathbb{F}</math> שונים מאפס כך ש <math>ab=0</math> (באופן שקול: אם <math>ab=0</math> אז בהכרח אחד מהם שווה 0)

====פתרון====
נניח <math>ab=0</math>. צ"ל שאחד מהם אפס.
אם <math>a=0</math> סיימנו
אחרת <math>a\neq 0 </math> ולכן קיים לו הופכי <math>a^{-1}</math>. נכפיל את ההופכי של a בשני האגפים ונקבל
<math>b=a^{-1}ab=a^{-1}0=0</math> וסיימנו.

===תרגיל 2.3 סעיף א'===
[בד"כ נעשה בהרצאה!]
יש להוכיח שקבוצת הטבעיים <math>\mathbb{N}=\{1,2,3,....\}</math> אינה שדה.

====פתרון====
אין איבר נייטרלי לחיבור: <math>\forall n,k\in\mathbb{N}:n+k>n</math>, ואילו האיבר הנייטרלי היה צריך לקיים <math>n+0=n</math>.

===תרגיל===

הוכיחו שבשה יש רק איבר אחד שנטרלי לכפל. (כלומר, איבר היחידה הוא יחיד)

===תרגיל===

הוכיחו שבשדה לכל איבר יש הופכי יחיד.

===תרגיל===

הוכיחו שבשדה מתקיים צמצום בכפל. כלומר, אם ab=ac כאשר a לא 0, אז b=c.

===תרגיל 2.3 סעיף ג'===
[בד"כ נעשה בהרצאה!]
הגדרה: נגדיר את הקבוצה הבאה: <math>\mathbb{Z}_n=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{n-1}\}</math>.

עובדה: עבור n=p ראשוני הקבוצה <math>\mathbb{Z}_p=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{p-1}\}</math> הינה שדה ביחס לחיבור וכפל מודלו p. הניטרלי לחיבור הוא 0 והנטרלי לכפל הוא 1. למשל <math>\mathbb{Z}_3=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\}</math>

תרגיל: הוכיחו כי ש<math>\mathbb{Z}_n</math> אינו שדה כאשר n מספר פריק (כלומר קיימים טבעיים כך ש n=mk)
ביחס לפעולות החיבור והכפל מודולו n.

====פתרון====

לפי הנתונים קיימים <math>0<k,m<n</math> כך ש <math>mk=n</math>. לפיכך, לפי ההגדרה,

<math>\overline{m}\overline{k}=n\mod{n} =\overline{0}</math>.

כלומר יש מחלקי אפס. כיוון שבשדה אין מחלקי אפס נסיק כי <math>\mathbb{Z}_n</math> אינו שדה במקרה זה.

===תרגיל 2.6===

הסבר מדוע <math>\mathbb{Z}_p</math> אינו תת שדה של <math>\mathbb{R}</math>

====פתרון====

תת שדה הינו תת קבוצה של איברים, תחת '''אותן''' פעולות כמו בשדה. לכן <math>(p-1)+1 = p \neq 0</math> ולכן אין סגירות לחיבור וזה אינו תת שדה.

==מרוכבים==
נגדיר מרוכבים, נראה שרוב תכונות השדה הן טריוויאליות פרט לקיום ההופכי וגם זה ניתן להוכחה.

===תרגיל 3.2===
אם נשנה את פעולת כפל המרוכבים לפעולה הבאה: <math>(a+bi)(c+di)=ac+bdi</math>, האם קבוצת המרוכבים תשאר שדה?

====פתרון====
לא. ניקח <math>(0+i)\cdot(1+0\cdot i)=0</math> כלומר יש לנו איברים שונים מאפס שמכפלתם הינה אפס. כלומר מחלקי אפס אבל בשדה אין מחלקי אפס!

===תרגיל 3.4===
הצג את הביטוי הבא בצורה <math>z=a+bi</math> וציין מהם <math>Re(z),Im(z),\overline{z},|z|</math>. הביטוי הינו: <math>\frac{5+2i}{2-3i}</math>

====פתרון====
נכפול בצמוד למכנה למעלה ולמטה <math>\frac{(5+2i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}</math>.

נעצור לרגע להבין את הפורמליות של מה שאנחנו עושים. הרי <math>\frac{5+2i}{2-3i}=(5+2i)(2-3i)^{-1}</math> וכעת רשמנו <math>(5+2i)(2+3i)[(2-3i)^{-1}(2+3i)^{-1}]</math>

לפיכך נקבל <math>z=\frac{4+19i}{13}=\frac{4}{13}+\frac{19}{13}i</math>

<math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{4^2+19^2}{13^2}}</math>

<math>Re(z)=\frac{4}{13},Im(z)=\frac{19}{13}</math>

<math>\overline{z}=\frac{4}{13}-\frac{19}{13}i</math>

===תכונות של מרוכבים===
*<math>\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}</math>

*<math>\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}</math>

*<math>\overline{z}z=|z|^2</math>

*<math>z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math>

===משפט דמואבר===
[אפשר לדלג]

ידוע שניתן להציג כל מספר מרוכב באופן יחיד בצורה <math>z=rcis\theta = r(cos\theta + i\cdot sin\theta)</math> כאשר r הוא ממשי אי-שלילי (המציין את המרחק מראשית הצירים ושווה ל |z|) והזווית <math>\theta</math> נמדדת נגד כיוון השעון מהקרן החיובית של ציר x. צורה זו נקראת הצורה הקוטבית של מספר מרוכב z. (ההצגה של המספר המרוכב z=a+bi, נקראת ההצגה הקרטזית שלו)

משפט דמואבר אומר ש <math>(rcis\theta)^n=r^ncis(n\theta)</math>

===תרגיל 3.8 א'===
חשב את <math>(1+\sqrt{3}i)^{2011}</math>

===פתרון===
דבר ראשון נעבור לצורה קוטבית. בהנתן מספר מרוכב z=a+bi המעבר לצורה הקוטבית שלו <math>z=r\cdot cis(\theta)</math> מתבצע על ידי
<math>r=|z|, cos\theta = \frac{a}{r}</math>

אצלנו בשאלה

<math>r=|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2</math>

<math>cos\theta = \frac{a}{r}=\frac{1}{2}</math>

ולכן <math>\theta = \frac{\pi}{3}</math>

ביחד <math>z=2cis\frac{\pi}{3}</math> ולכן <math>z^{2011}=2^{2011} cis 2011\frac{\pi}{3}</math> מכיוון שגם הסינוס וגם הקוסינוס הם ממחזור שני פאי, זה שווה ל

<math>2^{2011}cis(335\cdot 2\pi+\frac{\pi}{3})=2^{2011}cis\frac{\pi}{3}</math>

=== תרגיל ===
פתרון את המשוואה <math>z^5=3+4i</math>

=== תרגיל ===
מצאו דרך פשוטה לסובב נקודה במישור <math>\left(a,b\right)</math> בזווית <math>\theta</math> (כלומר למצוא את הנקודה במישור המתקבלת לאחר הסיבוב)

פתרון:

נחשוב במרוכבים על האיבר <math>a+bi</math> ונכפיל אותו ב <math>cis(\theta)</math>

=== תרגיל ===
חשבו את הסכום <math>\cos(1)+\cdots +\cos(n)</math>

פתרון:

ניעזר במרוכבים: <math>\sum_{k=1}^{n}\cos(k)=\text{Re}\left(\sum_{k=1}^{n}\text{cis}(k)\right)=\text{Re}\left(\sum_{k=1}^{n}\text{cis}(1)^{k}\right)</math>

===תרגיל (חשוב) ===
'''לרוב נעשה בהרצאה''' - ולכן הצעה: הוכיחו שלפולינום <math>p(x)=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+6x^5</math> יש שורש ממשי (בלי להזכיר את המשפט מההרצאה, לוודא שהם זוכרים לבד). אחרי זה אפשר להזכיר, אם נדרש, את ההגדרה והמשפט, ולעבור למסקנה.

הגדרה: פולינום עם מקדמים משדה <math>\mathbb{F}</math> ומשתנה x הוא <math>a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n</math> כאשר <math>a_i</math> קבועים מהשדה.
בהיתן פולינום <math>p(x)</math> ואיבר בשדה <math>a</math> נוכל להציב את a בפולינום לקבל איבר בשדה <math>p(a)=\sum_{i=0}^{n}a_ia^i</math>.
עוד נגדיר: a יקרא שורש של פולינום <math>p(x)</math> אם <math>p(a)=0</math>

יהא <math>p(x)</math> פולינום עם מקדמים ממשיים. הוכיחו שאם <math>z\in \mathbb{C}</math> שורש של פולינום <math>p(x)</math> אזי גם <math>\bar{z}</math> שורש של אותו פולינום.

הוכחה: בשימוש תכונות הצמוד.

==== ~מסקנה====
הסיקו (קצת בנפנופי ידיים, העיקר התובנה) שכל פולינום ממשי ניתן לפירוק לגורמים מדרגה קטנה שווה 2. היעזרו במשפט היסודי של האלגברה: כל פולינום מרוכב מדרגה <math>n</math> ניתן לפירוק למכפלה של <math>n</math> גורמים בדיוק מהצורה <math>\left(x-a\right)</math>

==מערכות משוואות לינאריות==
(תיאוריה מההרצאה, אם אין צורך בזה אפשר לדלג יש לתרגילים)
מערכות משוואות לינאריות בn משתנים עם m משוואות הינה מערכת מהצורה

<math>a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+...+a_{1,n}x_n=b_1</math>

<math>a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+...+a_{2,n}x_n=b_2</math>

...
<math>a_{m,1}x_1+a_{m,2}x_2+...+a_{m,n}x_n=b_m</math>

(סה"כ m משוואות)

ניתן להציג כל מערכת כזו באמצעות טבלת מספרים הנקראת '''מטריצה'''. לדוגמה:

<math>\left\{\begin{matrix}
x+3y=5\\
y-z=2\\
x+2y+z=4
\end{matrix}\right.</math>

את המערכת הנ"ל נייצג באמצעות המטריצה

<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & |5 \\
0 & 1 & -1 & |2 \\
1 & 2 & 1 & |4
\end{pmatrix}</math>

ניתן להבחין במספר פעולות שלא ישנו את פתרונות מערכת המשוואות:
*כפל שני אגפי המשוואה במספר שונה מאפס (שקול לכפל שורה במטריצה במספר שונה מאפס)
<math>A\to [2R_1\to R_1] \to \begin{pmatrix}
2 & 6 & 0 & |10 \\
0 & 1 & -1 & |2 \\
1 & 2 & 1 & |4
\end{pmatrix}</math>
*חיבור שני אגפי משוואה אחת כפול קבוע, לשני אגפי משוואה שנייה (שקול לחיבור שורה אחת כפול קבוע במטריצה לשורה אחרת)
<math>A\to [-R_1+R_3\to R_3] \to \begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & |5 \\
0 & 1 & -1 & |2 \\
0 & -1 & 1 & |-1
\end{pmatrix}</math>
*החלפת סדר המשוואות (שקול להחלפת סדר השורות במטריצה)

<math>A\to [R_1\leftrightarrow R_2] \to \begin{pmatrix}
0 & 1 & -1 & |2 \\
1 & 3 & 0 & |5 \\
1 & 2 & 1 & |4
\end{pmatrix}</math>

===דירוג גאוס ===
איבר '''מוביל/פותח/ציר''' הינו האיבר הראשון בשורה ששונה מאפס (משמאל לימין). מטריצה נקראת '''מדורגת''' אם מתחת לכל איבר מוביל שלה יש אפסים בלבד וכל איבר מוביל נמצא מימין לאיברים המובילים הקודמים. בנוסף, יש את הדרישה כי שורות אפסים (אם קיימות) נמצאות בסוף. מטריצה נקראת '''מדורגת קנונית''' אם היא מדורגת, ובנוסף יש אפסים '''מעל''' לכל איבר מוביל והאיברים המובילים חייבים להיות שווים למספר אחד.

הערה: לכל מטריצה '''קיימת''' צורה קנונית '''יחידה'''.

צורה סכמטית של צורה מדורגת היא הצורה (כאשר * מסמן ציר ו ? מסמן ערך כלשהוא)
<math> \begin{pmatrix}
* & ? & ? & ? & ?\\
0 & 0 & * & ? &? \\
0 & 0 & 0 & * & ? \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math>

צורה סכמטית של צורה קנונית היא הצורה (כאשר ? מסמן ערך כלשהוא)
<math> \begin{pmatrix}
1 & ? & 0 & 0 & ?\\
0 & 0 & 1 & 0 &? \\
0 & 0 & 0 & 1 & ? \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math>

כעת נלמד אלגוריתם המאפשר לנו לפתור מערכת משוואות לינארית באמצעות הצורה המטריצית שלה (בפרט, נדרג את המטריצה לצורתה הקנונית). תהליך זה נקרא '''[[מדיה: 10Linear1Gauss.pdf|אלגוריתם לדירוג גאוס]]'''.

=== תרגיל ===
פתרו את המערכת
<math>\left\{ \begin{array}{rcl}
x+y-z & = & 1\\
\phantom{2kx}y+z & = & -1\\
x-3y+3z & = & 9\\
-2x+4y-24z & = & -14
\end{array}\right.</math>

ואת
פתרו את המערכת
<math>\left\{ \begin{array}{rcl}
x+y-z & = & 1\\
\phantom{2kx}y+z & = & -1\\
x-3y+3z & = & 9\\
-2x+4y-24z & = & -24
\end{array}\right.</math>
מעל הממשיים

=== תרגיל ===
פתרו את המערכת
<math>\left\{\begin{matrix}
x+3y=5\\
y-z=2\\
x+2y+z=4
\end{matrix}\right.</math>
מעל הממשיים

===תרגיל===
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{R}</math>.

<math>\left( \begin{array}{ccc|c}
2 & 4 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
\end{array}\right)
</math>

=== פתרון ===
נשתמש בדירוג גאוס

<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
2 & 4 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{R_1 \leftrightarrow R_3}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & 1 \\
2 & 4 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{-2R_1 +R_2 \to R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)
</math>

זוהי הצורה המדורגת שממנה ניתן לראות כי יש פתרון יחיד. נמשיך לצורה הקנונית

<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{-0.5R_2 +R_1 \to R_1}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 1.5 \\
0 & 2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{0.5R_2 \to R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 1.5 \\
0 & 1 & 0 & -0.5 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

</math>
ומכאן קל לראות שהפתרון היחיד הוא <math>x=1.5, y=-0.5, z=1</math>

===תרגיל המשך===
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{R}</math>.

<math>\left( \begin{array}{ccc|c}
2 & 4 & 0 & 1 \\
0 &3 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)
</math>

=== פתרון ===
נשתמש בדירוג גאוס

<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
2 & 4 & 0 & 1 \\
0 & 3 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{0.5R_1 \to R_1}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 0 & 0.5 \\
0 & 3 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{R_1 \to R_1-2/3 R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -2/3 & -1/6 \\
0 & 3 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{R_2 \to 1/3 R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -2/3 & -1/6 \\
0 & 1 & 1/3 & 1/3 \\
\end{array}\right)
</math>

זוהי הצורה הקנונית שממנה ניתן לראות כי יש אין סוף פתרונות. נסמן את המשתנה החופשי <math>z=t</math> ונביע את שאר המשתנים בעזרתו. <math>y=1/3-1/3t, x= -1/6+2/3t</math> ולכן קבוצת הפתרונות למערכת היא הקבוצה

<math>\{\left( \begin{array}{c}
-\frac{1}{6}+\frac{2}{3} t\\
\frac{1}{3}-\frac{1}{3}t\\
t
\end{array}\right)
: \, t\in \mathbb{R} \}
</math>

=== תרגיל ===
.4 נניח כי אחרי דירוג של מערכת נתונה הגענו ל <math>\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 2 & -1\\
0 & 1 & 0 & 3
\end{array}\right)</math>

מצאו את קבוצת הפתרונות למערכת (מעל הממשיים) בהנחה ש:
* המערכת הומוגנית עם 4 משתנים .
*המערכת לא הומוגנית עם 3 משתנים.
=== תרגיל ===
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{R}</math>.

<math>\left( \begin{array}{cc|c}
1 & 4 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)
</math>

===פתרון===
נשתמש בדירוג גאוס

<math>\left( \begin{array}{cc|c}
1 & 4 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{-R_1 +R_2\to R_2}

\left( \begin{array}{cc|c}
1 & 4 & 1 \\
0 & -4 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{R_2 \leftrightarrow R_3}

\left( \begin{array}{cc|c}
1 & 4 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & -4 & 0 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{4R_2+R_3 \to R_3}

\left( \begin{array}{cc|c}
1 & 4 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 4 \\
\end{array}\right)
</math>

בשורה השלישית קיבלנו <math>0x+0y=4</math> כלומר שורת סתירה ולכן אין פתרון.

===תרגיל===

פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{C}</math>.

<math>\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 2 & 1 & 2 \\
1 & 2& 0 & -2+i \\
1 & 1-2i & 1 & 1-3i \\
\end{array}\right)
</math>

===תרגיל===
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{C}</math>.

<math>\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 2 & 1 & 3 \\
1 & 1-2i & 1 & 5 \\
\end{array}\right)
</math>

פתרון

<math>\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 2 & 1 & 3 \\
1 & 1-2i & 1 & 5 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{iR_1+R_2 \to R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 2 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 1+i & 5+3i \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{R_1-2R_2 \to R_1}

\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 0 & -1-2i & -7-6i \\
0 & 1 & 1+i & 5+3i \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{-iR_1 \to R_1}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -2+i & -6+7i \\
0 & 1 & 1+i & 5+3i \\
\end{array}\right)
</math>

זוהי הצורה הקנונית שממנה ניתן לראות כי יש אין סוף פתרונות. נסמן את המשתנה החופשי <math>z=t</math> ונביע את שאר המשתנים בעזרתו. <math>y=5+3i - t(1+i), x= -6+7i-t(-2+i)</math> ולכן קבוצת הפתרונות למערכת היא הקבוצה

<math>\{\left( \begin{array}{c}
-6+7i-t(-2+i) \\
5+3i - t(1+i)\\
t
\end{array}\right)
: \, t\in \mathbb{R} \}
</math>

===תרגיל 1.5 סעיף ב'===
ברוב השנים לא מתעסקים עם מערכות משוואות מעל שדות סופיים וצריך לדלג
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{Z}_{11}</math>.

<math>\begin{pmatrix}
5 & 3 & 3 & |0 \\
7 & 3 & 7 & |0 \\
7 & 9 & 0 & |3
\end{pmatrix}</math>

====פתרון====
נכפול את השורה הראשונה ב9 ואת השנייה והשלישית ב8. זכרו שכל הפעולות הן מודולו 11:

<math>\begin{pmatrix}
1 & 5 & 5 & |0 \\
1 & 2 & 1 & |0 \\
1 & 6 & 0 & |2
\end{pmatrix}</math>

נחסר את השורה הראשונה מן השורות השנייה והשלישית.

<math>\begin{pmatrix}
1 & 5 & 5 & |0 \\
0 & 8 & 7 & |0 \\
0 & 1 & 6 & |2
\end{pmatrix}</math>

נכפול את השורה השנייה ב7

<math>\begin{pmatrix}
1 & 5 & 5 & |0 \\
0 & 1 & 5 & |0 \\
0 & 1 & 6 & |2
\end{pmatrix}</math>

נחסר את השורה השנייה מהשלישית לקבל

<math>\begin{pmatrix}
1 & 5 & 5 & |0 \\
0 & 1 & 5 & |0 \\
0 & 0 & 1 & |2
\end{pmatrix}</math>

ולכן הפיתרון הינו: <math>z=2, y=-10=1, x=-10-5=7</math>

=== צורה מדורגת ומדורגת קנונית ===
אילו מבין ה <math>*</math> במטריצה הבאה
<math>AA=\left(\begin{array}{ccccc}* & 1 & 2 & 0 & *\\* & 0 & * & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 0 & *\end{array}\right)</math>

חייבים להיות אפסים בשביל ש:
*<math>A</math> מדורגת
*<math>A</math> מדורגת קנונית

===מספר פתרונות===
*נביט בצורה המדורגת של המטריצה.
*משתנה אשר בעמודה שלו בצורה המדורגת יש איבר מוביל (איבר ראשון משמאל בשורה, ששונה מאפס), נקרא '''משתנה תלוי'''.
*שאר המשתנים נקראים '''משתנים חופשיים'''.
*אם בצורה המדורגת יש שורת סתירה, אזי '''אין פתרונות''' למערכת.
*אם אין שורת סתירה בצורה המדורגת, מספר הפתרונות של המערכת הוא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים.
**בפרט, אם אין שורת סתירה ואין משתנים חופשיים אז יש '''פתרון יחיד'''.
**בפרט, אם אין שורת סתירה, יש משתנים חופשיים ויש אינסוף מספרים בשדה אז יש '''אינסוף פתרונות'''.

===תרגיל===
מצא לאילו ערכים של הפרמטרים a יש למערכת פתרון יחיד, אין פתרון, או אינסוף פתרונות. במקרה של אינסוף פתרונות מצא את הפתרון הכללי.

<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
a & a^2 & 1 & 2+a \\
a & 3a & 1 & 5\end{array}\right)
</math>

=== פתרון ===

<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
a & a^2 & 1 & 2+a \\
a & 3a & 1 & 5\end{array}\right)

\xrightarrow[R_3 -aR_1 \to R_3]{ R_2 -aR_1 \to R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1-a & 2 \\
0 & a(3-a) & 1-a & 5-a \end{array}\right)

\xrightarrow[]{ R_2 \leftrightarrow R_3}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
0 & a(3-a) & 1-a & 5-a\\
0 & 0 & 1-a & 2
\end{array}\right)

</math>

ולכן:
*עבור <math>a\neq 0,1,3</math> נקבל 3 צירים ולכן לא יהיו משתנים חופשיים. בנוסף לא תהיה שורת סתירה ולכן יהיה פתרון יחיד.
* עבור <math>a=1</math> נקבל שורת סתירה בשורה השלישית
* עבור <math>a=0</math> נקבל את המטריצה
<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 5\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}\right)
</math>
וגם פה יש סתירה כי מהשורה השניה נסיק <math>z=5</math> ואילו מהשורה השלישית נסיק <math>z=2</math> (אם היינו מדרגים את המטריצה היינו מקבלים שורת סתירה "קלאסית")

* עבור <math>a=3</math> נקבל את המטריצה
<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -2 & 2\\
0 & 0 & -2 & 2
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{ R_3-R_2 \to R_3}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -2 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)

</math>
וגם שיש אין סוף פתרונות.
נסמן את המשתנה החופשי <math>y=t</math> ונביע את שאר המשתנים בעזרתו. <math>z=-1, x= 1-z-3y=2-3t</math> ולכן קבוצת הפתרונות למערכת היא הקבוצה

<math>\{\left( \begin{array}{c}
2-3t \\
t\\
-1
\end{array}\right)
: \, t\in \mathbb{R} \}
</math>

===תרגיל===
מצא לאילו ערכים של הפרמטרים a,t יש למערכת פתרון יחיד, אין פתרון, או אינסוף פתרונות. במקרה של אינסוף פתרונות מצא את הפתרון הכללי (הערה: זהו הכללה של התרגיל הקודם. התרגיל הקודם מתקבל כאשר נציב t=-3 בתרגיל זה).

<math>\begin{pmatrix}
1 & a & 1 & |1 \\
a & a^2 & 1 & |2+a \\
a & 3a & 1 & |2-t
\end{pmatrix}</math>

<math>R_3:R_3-R2</math>

<math>R_2:R_2-aR_1</math>

<math>\begin{pmatrix}
1 & a & 1 & |1 \\
0 & 0 & 1-a & |2 \\
0 & 3a-a^2 & 0 & |-t-a
\end{pmatrix}</math>

<math>R_2\leftrightarrow -R_3</math>

<math>\begin{pmatrix}
1 & a & 1 & |1 \\
0 & a(a-3) & 0 & |a+t \\
0 & 0 & 1-a & |2
\end{pmatrix}</math>

כעת נניח <math>a\neq 0,1,3</math>. נבצע פעולות שחוקיות '''רק''' תחת ההנחה הזו, ולאחר מכן לחזור '''לנקודה הזו בדיוק''' ונפתור את המקרים <math>a=0,1,3</math> בצורה חוקית.

<math>R_2:\frac{R_2}{a(a-3)}</math>

<math>R_3:\frac{R_3}{1-a}</math>

<math>\begin{pmatrix}
1 & a & 1 & |1 \\
0 & 1 & 0 & |\frac{a+t}{a(a-3)} \\
0 & 0 & 1 & |\frac{2}{1-a}
\end{pmatrix}</math>

במקרה זה אין משתנים חופשיים ויש פתרון יחיד.

נחזור למקרים האחרים:

*נניח a=0 ונציב את הפרמטר הזו בנקודה בה עצרנו. נקבל:

<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & |1 \\
0 & 0 & 0 & |t \\
0 & 0 & 1 & |2
\end{pmatrix}</math>

אנו מקבלים משוואה מהצורה <math>0=t</math>.
**אם <math>t\neq 0</math> זו סתירה ולכן אין אף פתרון שיקיים את כל משוואות המערכת (כי משוואה זו לעולם לא תתקיים).
**אם t=0 מקבלים משתנה חופשי, ואינסוף פתרונות: נציב במקום המשתנה החופשי פרמטר s ונקבל: <math>y=s,z=2,x=1-2</math> ולכן סה"כ הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(-1,s,2)</math>

*נניח a=1:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & |1 \\
0 & -2 & 0 & |1+t \\
0 & 0 & 0 & |2
\end{pmatrix}</math>

השורה האחרונה הינה שורת סתירה ולכן אין פתרונות במצב זה.

*נניח a=3:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 & |1 \\
0 & 0 & 0 & |3+t \\
0 & 0 & -2 & |2
\end{pmatrix}</math>

**אם <math>t\neq -3</math> יש שורת סתירה ואין פתרון למערכת
**אם t=3 הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(2-3s,s,-1)</math>

=== תרגיל ===
תהא
<math>A=\left(\begin{array}{ccc}2 & * & *\\0 & * & 3\end{array}\right)</math>
ונתון שלמערכת לא בהכרח הומוגנית קיימים שני הפתרונות
<math>\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\3\\2\end{array}\right)</math>.
מצאו את הפתרון למערכת ההומגנית.

=== תרגיל ===
נכון/לא נכון:

*למערכת משוואות המיוצג ע"י מטריצה <math>4\times2</math> אין פתרון.
*לכל מטריצה יש צורה מדורגת יחידה
*למטריצה <math>m\times n</math> יש לכל היותר m איברים פותחים (בצורה מדורגת)
*למטריצה <math>m\times n</math> יש לכל היותר n איברים פותחים (בצורה מדורגת)
*למערכת עם אינסוף פתרונות תהיה שורת אפסים בצורה מדורגת.
*בצורה מדורגת יש איבר יחיד שונה מאפס בכל עמודה.

=== תרגיל ===
נתונה מטריצה <math>A\in\mathbb{R}^{3\times3}</math> המקיימת כי <math>A\xrightarrow{R_{1}\leftrightarrow R_{3}}\xrightarrow{3R_{2}}\xrightarrow{R_{2}-2R_{1}}\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 0\\
0 & 1 & 3\\
2 & 0 & 1
\end{array}\right)</math> מצאו את <math>A</math>.

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/1

2021-07-05T16:32:08Z

אחיה172: /* מספר פתרונות */

[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]

=שיעור ראשון=

==שדות (מה שנעשה בהרצאה אפשר לדלג)==
הגדרה: [[שדה]].

===תרגיל 1.3 סעיף ג'===
[בד"כ נעשה בהרצאה!]

יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכיחו את הטענה הבאה: <math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = 0</math>, כאשר <math>0</math> הינו הסימון לאיבר הנייטרלי החיבורי.

====פתרון====

ראשית נשים לב שלפי הנתונים ניתן להניח שאקסיומות השדה מתקיימות.

יהא <math>a\in \mathbb{F} </math>. צריך להוכיח כי <math>0\cdot a = 0</math>

לפי תכונה (4) [ניטרליות <math>0</math> לחיבור] מתקיים ש <math>0+0=0</math>

לכן <math>0\cdot a = (0+0)\cdot a</math>

לפי תכונה (7) [פילוג] מתקיים בנוסף ש<math>0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a + 0\cdot a</math> (השתמשנו בעצם בתכונה (7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2))

לפי תכונה (5) [קיום נגדי] לאיבר <math>0\cdot a \in\mathbb{F}</math> קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל <math>0\cdot a + (-(0\cdot a)) = (0\cdot a + 0\cdot a) + (-(0\cdot a))</math>

4444
לפי תכונה (3) [קיבוציות] ניתן להחליף את סדר הסוגריים מימין ולקבל
<math>0\cdot a + (-(0\cdot a)) = 0\cdot a + (0\cdot a + (-(0\cdot a)))</math>

עוד לפי תכונה (5) [תכונת הנגדי] יחד עם תכונה (4) [נטרליות 0 לחיבור] מתקיים ש<math>0 = 0\cdot a</math> בדיוק כפי שרצינו להוכיח.

===תרגיל===
הוכיחו שבשדה ל0 אין הופכי.

===פתרון===
מכיוון ש0 כפול דבר שווה ל0.

===תרגיל 1.3 סעיף ו'===
יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכיחו את הטענה הבאה: <math>\forall a\in\mathbb{F}:-(-a)=a</math>. (כלומר, הנגדי של הנגדי הוא האיבר עצמו)

====פתרון====
יהא a בשדה צריך להוכיח כי <math>(-a)+a=0</math> [זה הגדרת נגדי].

כיוון החיבור חילופי נקבל כי <math>(-a)+a=a+(-a)</math>. כיוון ש <math>a+(-a)=0</math> לפי הגדרת נגדי של a, סיימנו.

===תרגיל 1.3 סעיף ז'===
יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכיחו את הטענה הבאה: <math>\forall a\in\mathbb{F}:(-1)\cdot a=-a</math>. (כלומר הנגדי של האיבר הנייטרלי הכפלי כפול a הינו הנגדי של a)

====פתרון====
<math>-a</math> זה סימון לנגדי של <math>a</math>. לכן מה שבעצם צריך להוכיח זה ש- <math>(-1)\cdot a</math> הוא הנגדי של <math>a</math>, לכן הם שווים (נגדי יש אחד).

מתוך תכונות (7),(5) וסעיף ג' שהוכחנו לעיל, <math>0=0\cdot a = (1+(-1))\cdot a = 1\cdot a + (-1)\cdot a</math>

לפי תכונה (4) קיבלנו <math>0=a+(-1)\cdot a</math>

לכן קיבלנו ש- <math>(-1)\cdot a</math> הוא הנגדי של <math>a</math> כפי שרצינו.

===תרגיל===
הוכיחו שבשדה מתקיים כי <math>(-1)(-1)=1</math>
===תרגיל ===
בד"כ נעשה בהרצאה!
יהא <math>\mathbb{F}</math> שדה. הוכיחו כי אין לו מחלקי אפס. כלומר לא קיימים <math>a,b\in \mathbb{F}</math> שונים מאפס כך ש <math>ab=0</math> (באופן שקול: אם <math>ab=0</math> אז בהכרח אחד מהם שווה 0)

====פתרון====
נניח <math>ab=0</math>. צ"ל שאחד מהם אפס.
אם <math>a=0</math> סיימנו
אחרת <math>a\neq 0 </math> ולכן קיים לו הופכי <math>a^{-1}</math>. נכפיל את ההופכי של a בשני האגפים ונקבל
<math>b=a^{-1}ab=a^{-1}0=0</math> וסיימנו.

===תרגיל 2.3 סעיף א'===
[בד"כ נעשה בהרצאה!]
יש להוכיח שקבוצת הטבעיים <math>\mathbb{N}=\{1,2,3,....\}</math> אינה שדה.

====פתרון====
אין איבר נייטרלי לחיבור: <math>\forall n,k\in\mathbb{N}:n+k>n</math>, ואילו האיבר הנייטרלי היה צריך לקיים <math>n+0=n</math>.

===תרגיל===

הוכיחו שבשה יש רק איבר אחד שנטרלי לכפל. (כלומר, איבר היחידה הוא יחיד)

===תרגיל===

הוכיחו שבשדה לכל איבר יש הופכי יחיד.

===תרגיל===

הוכיחו שבשדה מתקיים צמצום בכפל. כלומר, אם ab=ac כאשר a לא 0, אז b=c.

===תרגיל 2.3 סעיף ג'===
[בד"כ נעשה בהרצאה!]
הגדרה: נגדיר את הקבוצה הבאה: <math>\mathbb{Z}_n=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{n-1}\}</math>.

עובדה: עבור n=p ראשוני הקבוצה <math>\mathbb{Z}_p=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{p-1}\}</math> הינה שדה ביחס לחיבור וכפל מודלו p. הניטרלי לחיבור הוא 0 והנטרלי לכפל הוא 1. למשל <math>\mathbb{Z}_3=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\}</math>

תרגיל: הוכיחו כי ש<math>\mathbb{Z}_n</math> אינו שדה כאשר n מספר פריק (כלומר קיימים טבעיים כך ש n=mk)
ביחס לפעולות החיבור והכפל מודולו n.

====פתרון====

לפי הנתונים קיימים <math>0<k,m<n</math> כך ש <math>mk=n</math>. לפיכך, לפי ההגדרה,

<math>\overline{m}\overline{k}=n\mod{n} =\overline{0}</math>.

כלומר יש מחלקי אפס. כיוון שבשדה אין מחלקי אפס נסיק כי <math>\mathbb{Z}_n</math> אינו שדה במקרה זה.

===תרגיל 2.6===

הסבר מדוע <math>\mathbb{Z}_p</math> אינו תת שדה של <math>\mathbb{R}</math>

====פתרון====

תת שדה הינו תת קבוצה של איברים, תחת '''אותן''' פעולות כמו בשדה. לכן <math>(p-1)+1 = p \neq 0</math> ולכן אין סגירות לחיבור וזה אינו תת שדה.

==מרוכבים==
נגדיר מרוכבים, נראה שרוב תכונות השדה הן טריוויאליות פרט לקיום ההופכי וגם זה ניתן להוכחה.

===תרגיל 3.2===
אם נשנה את פעולת כפל המרוכבים לפעולה הבאה: <math>(a+bi)(c+di)=ac+bdi</math>, האם קבוצת המרוכבים תשאר שדה?

====פתרון====
לא. ניקח <math>(0+i)\cdot(1+0\cdot i)=0</math> כלומר יש לנו איברים שונים מאפס שמכפלתם הינה אפס. כלומר מחלקי אפס אבל בשדה אין מחלקי אפס!

===תרגיל 3.4===
הצג את הביטוי הבא בצורה <math>z=a+bi</math> וציין מהם <math>Re(z),Im(z),\overline{z},|z|</math>. הביטוי הינו: <math>\frac{5+2i}{2-3i}</math>

====פתרון====
נכפול בצמוד למכנה למעלה ולמטה <math>\frac{(5+2i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}</math>.

נעצור לרגע להבין את הפורמליות של מה שאנחנו עושים. הרי <math>\frac{5+2i}{2-3i}=(5+2i)(2-3i)^{-1}</math> וכעת רשמנו <math>(5+2i)(2+3i)[(2-3i)^{-1}(2+3i)^{-1}]</math>

לפיכך נקבל <math>z=\frac{4+19i}{13}=\frac{4}{13}+\frac{19}{13}i</math>

<math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{4^2+19^2}{13^2}}</math>

<math>Re(z)=\frac{4}{13},Im(z)=\frac{19}{13}</math>

<math>\overline{z}=\frac{4}{13}-\frac{19}{13}i</math>

===תכונות של מרוכבים===
*<math>\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}</math>

*<math>\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}</math>

*<math>\overline{z}z=|z|^2</math>

*<math>z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math>

===משפט דמואבר===
[אפשר לדלג]

ידוע שניתן להציג כל מספר מרוכב באופן יחיד בצורה <math>z=rcis\theta = r(cos\theta + i\cdot sin\theta)</math> כאשר r הוא ממשי אי-שלילי (המציין את המרחק מראשית הצירים ושווה ל |z|) והזווית <math>\theta</math> נמדדת נגד כיוון השעון מהקרן החיובית של ציר x. צורה זו נקראת הצורה הקוטבית של מספר מרוכב z. (ההצגה של המספר המרוכב z=a+bi, נקראת ההצגה הקרטזית שלו)

משפט דמואבר אומר ש <math>(rcis\theta)^n=r^ncis(n\theta)</math>

===תרגיל 3.8 א'===
חשב את <math>(1+\sqrt{3}i)^{2011}</math>

===פתרון===
דבר ראשון נעבור לצורה קוטבית. בהנתן מספר מרוכב z=a+bi המעבר לצורה הקוטבית שלו <math>z=r\cdot cis(\theta)</math> מתבצע על ידי
<math>r=|z|, cos\theta = \frac{a}{r}</math>

אצלנו בשאלה

<math>r=|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2</math>

<math>cos\theta = \frac{a}{r}=\frac{1}{2}</math>

ולכן <math>\theta = \frac{\pi}{3}</math>

ביחד <math>z=2cis\frac{\pi}{3}</math> ולכן <math>z^{2011}=2^{2011} cis 2011\frac{\pi}{3}</math> מכיוון שגם הסינוס וגם הקוסינוס הם ממחזור שני פאי, זה שווה ל

<math>2^{2011}cis(335\cdot 2\pi+\frac{\pi}{3})=2^{2011}cis\frac{\pi}{3}</math>

=== תרגיל ===
פתרון את המשוואה <math>z^5=3+4i</math>

=== תרגיל ===
מצאו דרך פשוטה לסובב נקודה במישור <math>\left(a,b\right)</math> בזווית <math>\theta</math> (כלומר למצוא את הנקודה במישור המתקבלת לאחר הסיבוב)

פתרון:

נחשוב במרוכבים על האיבר <math>a+bi</math> ונכפיל אותו ב <math>cis(\theta)</math>

=== תרגיל ===
חשבו את הסכום <math>\cos(1)+\cdots +\cos(n)</math>

פתרון:

ניעזר במרוכבים: <math>\sum_{k=1}^{n}\cos(k)=\text{Re}\left(\sum_{k=1}^{n}\text{cis}(k)\right)=\text{Re}\left(\sum_{k=1}^{n}\text{cis}(1)^{k}\right)</math>

===תרגיל (חשוב) ===
'''לרוב נעשה בהרצאה''' - ולכן הצעה: הוכיחו שלפולינום <math>p(x)=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+6x^5</math> יש שורש ממשי (בלי להזכיר את המשפט מההרצאה, לוודא שהם זוכרים לבד). אחרי זה אפשר להזכיר, אם נדרש, את ההגדרה והמשפט, ולעבור למסקנה.

הגדרה: פולינום עם מקדמים משדה <math>\mathbb{F}</math> ומשתנה x הוא <math>a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n</math> כאשר <math>a_i</math> קבועים מהשדה.
בהיתן פולינום <math>p(x)</math> ואיבר בשדה <math>a</math> נוכל להציב את a בפולינום לקבל איבר בשדה <math>p(a)=\sum_{i=0}^{n}a_ia^i</math>.
עוד נגדיר: a יקרא שורש של פולינום <math>p(x)</math> אם <math>p(a)=0</math>

יהא <math>p(x)</math> פולינום עם מקדמים ממשיים. הוכיחו שאם <math>z\in \mathbb{C}</math> שורש של פולינום <math>p(x)</math> אזי גם <math>\bar{z}</math> שורש של אותו פולינום.

הוכחה: בשימוש תכונות הצמוד.

==== ~מסקנה====
הסיקו (קצת בנפנופי ידיים, העיקר התובנה) שכל פולינום ממשי ניתן לפירוק לגורמים מדרגה קטנה שווה 2. היעזרו במשפט היסודי של האלגברה: כל פולינום מרוכב מדרגה <math>n</math> ניתן לפירוק למכפלה של <math>n</math> גורמים בדיוק מהצורה <math>\left(x-a\right)</math>

==מערכות משוואות לינאריות==
(תיאוריה מההרצאה, אם אין צורך בזה אפשר לדלג יש לתרגילים)
מערכות משוואות לינאריות בn משתנים עם m משוואות הינה מערכת מהצורה

<math>a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+...+a_{1,n}x_n=b_1</math>

<math>a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+...+a_{2,n}x_n=b_2</math>

...
<math>a_{m,1}x_1+a_{m,2}x_2+...+a_{m,n}x_n=b_m</math>

(סה"כ m משוואות)

ניתן להציג כל מערכת כזו באמצעות טבלת מספרים הנקראת '''מטריצה'''. לדוגמה:

<math>\left\{\begin{matrix}
x+3y=5\\
y-z=2\\
x+2y+z=4
\end{matrix}\right.</math>

את המערכת הנ"ל נייצג באמצעות המטריצה

<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & |5 \\
0 & 1 & -1 & |2 \\
1 & 2 & 1 & |4
\end{pmatrix}</math>

ניתן להבחין במספר פעולות שלא ישנו את פתרונות מערכת המשוואות:
*כפל שני אגפי המשוואה במספר שונה מאפס (שקול לכפל שורה במטריצה במספר שונה מאפס)
<math>A\to [2R_1\to R_1] \to \begin{pmatrix}
2 & 6 & 0 & |10 \\
0 & 1 & -1 & |2 \\
1 & 2 & 1 & |4
\end{pmatrix}</math>
*חיבור שני אגפי משוואה אחת כפול קבוע, לשני אגפי משוואה שנייה (שקול לחיבור שורה אחת כפול קבוע במטריצה לשורה אחרת)
<math>A\to [-R_1+R_3\to R_3] \to \begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & |5 \\
0 & 1 & -1 & |2 \\
0 & -1 & 1 & |-1
\end{pmatrix}</math>
*החלפת סדר המשוואות (שקול להחלפת סדר השורות במטריצה)

<math>A\to [R_1\leftrightarrow R_2] \to \begin{pmatrix}
0 & 1 & -1 & |2 \\
1 & 3 & 0 & |5 \\
1 & 2 & 1 & |4
\end{pmatrix}</math>

===דירוג גאוס ===
איבר '''מוביל/פותח/ציר''' הינו האיבר הראשון בשורה ששונה מאפס (משמאל לימין). מטריצה נקראת '''מדורגת''' אם מתחת לכל איבר מוביל שלה יש אפסים בלבד וכל איבר מוביל נמצא מימין לאיברים המובילים הקודמים. בנוסף, יש את הדרישה כי שורות אפסים (אם קיימות) נמצאות בסוף. מטריצה נקראת '''מדורגת קנונית''' אם היא מדורגת, ובנוסף יש אפסים '''מעל''' לכל איבר מוביל והאיברים המובילים חייבים להיות שווים למספר אחד.

הערה: לכל מטריצה '''קיימת''' צורה קנונית '''יחידה'''.

צורה סכמטית של צורה מדורגת היא הצורה (כאשר * מסמן ציר ו ? מסמן ערך כלשהוא)
<math> \begin{pmatrix}
* & ? & ? & ? & ?\\
0 & 0 & * & ? &? \\
0 & 0 & 0 & * & ? \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math>

צורה סכמטית של צורה קנונית היא הצורה (כאשר ? מסמן ערך כלשהוא)
<math> \begin{pmatrix}
1 & ? & 0 & 0 & ?\\
0 & 0 & 1 & 0 &? \\
0 & 0 & 0 & 1 & ? \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math>

כעת נלמד אלגוריתם המאפשר לנו לפתור מערכת משוואות לינארית באמצעות הצורה המטריצית שלה (בפרט, נדרג את המטריצה לצורתה הקנונית). תהליך זה נקרא '''[[מדיה: 10Linear1Gauss.pdf|אלגוריתם לדירוג גאוס]]'''.

=== תרגיל ===
פתרו את המערכת
<math>\left\{ \begin{array}{rcl}
x+y-z & = & 1\\
\phantom{2kx}y+z & = & -1\\
x-3y+3z & = & 9\\
-2x+4y-24z & = & -14
\end{array}\right.</math>

ואת
פתרו את המערכת
<math>\left\{ \begin{array}{rcl}
x+y-z & = & 1\\
\phantom{2kx}y+z & = & -1\\
x-3y+3z & = & 9\\
-2x+4y-24z & = & -24
\end{array}\right.</math>
מעל הממשיים

=== תרגיל ===
פתרו את המערכת
<math>\left\{\begin{matrix}
x+3y=5\\
y-z=2\\
x+2y+z=4
\end{matrix}\right.</math>
מעל הממשיים

===תרגיל===
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{R}</math>.

<math>\left( \begin{array}{ccc|c}
2 & 4 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
\end{array}\right)
</math>

=== פתרון ===
נשתמש בדירוג גאוס

<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
2 & 4 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{R_1 \leftrightarrow R_3}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & 1 \\
2 & 4 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{-2R_1 +R_2 \to R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)
</math>

זוהי הצורה המדורגת שממנה ניתן לראות כי יש פתרון יחיד. נמשיך לצורה הקנונית

<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{-0.5R_2 +R_1 \to R_1}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 1.5 \\
0 & 2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{0.5R_2 \to R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 1.5 \\
0 & 1 & 0 & -0.5 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

</math>
ומכאן קל לראות שהפתרון היחיד הוא <math>x=1.5, y=-0.5, z=1</math>

===תרגיל המשך===
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{R}</math>.

<math>\left( \begin{array}{ccc|c}
2 & 4 & 0 & 1 \\
0 &3 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)
</math>

=== פתרון ===
נשתמש בדירוג גאוס

<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
2 & 4 & 0 & 1 \\
0 & 3 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{0.5R_1 \to R_1}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 0 & 0.5 \\
0 & 3 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{R_1 \to R_1-2/3 R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -2/3 & -1/6 \\
0 & 3 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{R_2 \to 1/3 R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -2/3 & -1/6 \\
0 & 1 & 1/3 & 1/3 \\
\end{array}\right)
</math>

זוהי הצורה הקנונית שממנה ניתן לראות כי יש אין סוף פתרונות. נסמן את המשתנה החופשי <math>z=t</math> ונביע את שאר המשתנים בעזרתו. <math>y=1/3-1/3t, x= -1/6+2/3t</math> ולכן קבוצת הפתרונות למערכת היא הקבוצה

<math>\{\left( \begin{array}{c}
-\frac{1}{6}+\frac{2}{3} t\\
\frac{1}{3}-\frac{1}{3}t\\
t
\end{array}\right)
: \, t\in \mathbb{R} \}
</math>

=== תרגיל ===
.4 נניח כי אחרי דירוג של מערכת נתונה הגענו ל <math>\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 2 & -1\\
0 & 1 & 0 & 3
\end{array}\right)</math>

מצאו את קבוצת הפתרונות למערכת (מעל הממשיים) בהנחה ש:
* המערכת הומוגנית עם 4 משתנים .
*המערכת לא הומוגנית עם 3 משתנים.
=== תרגיל ===
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{R}</math>.

<math>\left( \begin{array}{cc|c}
1 & 4 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)
</math>

===פתרון===
נשתמש בדירוג גאוס

<math>\left( \begin{array}{cc|c}
1 & 4 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{-R_1 +R_2\to R_2}

\left( \begin{array}{cc|c}
1 & 4 & 1 \\
0 & -4 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{R_2 \leftrightarrow R_3}

\left( \begin{array}{cc|c}
1 & 4 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & -4 & 0 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{4R_2+R_3 \to R_3}

\left( \begin{array}{cc|c}
1 & 4 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 4 \\
\end{array}\right)
</math>

בשורה השלישית קיבלנו <math>0x+0y=4</math> כלומר שורת סתירה ולכן אין פתרון.

===תרגיל===

פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{C}</math>.

<math>\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 2 & 1 & 2 \\
1 & 2& 0 & -2+i \\
1 & 1-2i & 1 & 1-3i \\
\end{array}\right)
</math>

===תרגיל===
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{C}</math>.

<math>\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 2 & 1 & 3 \\
1 & 1-2i & 1 & 5 \\
\end{array}\right)
</math>

פתרון

<math>\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 2 & 1 & 3 \\
1 & 1-2i & 1 & 5 \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{iR_1+R_2 \to R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 2 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 1+i & 5+3i \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{R_1-2R_2 \to R_1}

\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 0 & -1-2i & -7-6i \\
0 & 1 & 1+i & 5+3i \\
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{-iR_1 \to R_1}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -2+i & -6+7i \\
0 & 1 & 1+i & 5+3i \\
\end{array}\right)
</math>

זוהי הצורה הקנונית שממנה ניתן לראות כי יש אין סוף פתרונות. נסמן את המשתנה החופשי <math>z=t</math> ונביע את שאר המשתנים בעזרתו. <math>y=5+3i - t(1+i), x= -6+7i-t(-2+i)</math> ולכן קבוצת הפתרונות למערכת היא הקבוצה

<math>\{\left( \begin{array}{c}
-6+7i-t(-2+i) \\
5+3i - t(1+i)\\
t
\end{array}\right)
: \, t\in \mathbb{R} \}
</math>

===תרגיל 1.5 סעיף ב'===
ברוב השנים לא מתעסקים עם מערכות משוואות מעל שדות סופיים וצריך לדלג
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{Z}_{11}</math>.

<math>\begin{pmatrix}
5 & 3 & 3 & |0 \\
7 & 3 & 7 & |0 \\
7 & 9 & 0 & |3
\end{pmatrix}</math>

====פתרון====
נכפול את השורה הראשונה ב9 ואת השנייה והשלישית ב8. זכרו שכל הפעולות הן מודולו 11:

<math>\begin{pmatrix}
1 & 5 & 5 & |0 \\
1 & 2 & 1 & |0 \\
1 & 6 & 0 & |2
\end{pmatrix}</math>

נחסר את השורה הראשונה מן השורות השנייה והשלישית.

<math>\begin{pmatrix}
1 & 5 & 5 & |0 \\
0 & 8 & 7 & |0 \\
0 & 1 & 6 & |2
\end{pmatrix}</math>

נכפול את השורה השנייה ב7

<math>\begin{pmatrix}
1 & 5 & 5 & |0 \\
0 & 1 & 5 & |0 \\
0 & 1 & 6 & |2
\end{pmatrix}</math>

נחסר את השורה השנייה מהשלישית לקבל

<math>\begin{pmatrix}
1 & 5 & 5 & |0 \\
0 & 1 & 5 & |0 \\
0 & 0 & 1 & |2
\end{pmatrix}</math>

ולכן הפיתרון הינו: <math>z=2, y=-10=1, x=-10-5=7</math>

=== צורה מדורגת ומדורגת קנונית ===
אילו מבין ה <math>*</math> במטריצה הבאה
<math>AA=\left(\begin{array}{ccccc}* & 1 & 2 & 0 & *\\* & 0 & * & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 0 & *\end{array}\right)</math>

חייבים להיות אפסים בשביל ש:
*<math>A</math> מדורגת
*<math>A</math> מדורגת קנונית

===מספר פתרונות===
*נביט בצורה המדורגת של המטריצה.
*משתנה אשר בעמודה שלו בצורה המדורגת יש איבר מוביל (איבר ראשון משמאל בשורה, ששונה מאפס), נקרא '''משתנה תלוי'''.
*שאר המשתנים נקראים '''משתנים חופשיים'''.
*אם בצורה המדורגת יש שורת סתירה, אזי '''אין פתרונות''' למערכת.
*אם אין שורת סתירה בצורה המדורגת, מספר הפתרונות של המערכת הוא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים.
**בפרט, אם אין שורת סתירה ואין משתנים חופשיים אז יש '''פתרון יחיד'''.
**בפרט, אם אין שורת סתירה, יש משתנים חופשיים ויש אינסוף מספרים בשדה אז יש '''אינסוף פתרונות'''.

===תרגיל===
מצא לאילו ערכים של הפרמטרים a יש למערכת פתרון יחיד, אין פתרון, או אינסוף פתרונות. במקרה של אינסוף פתרונות מצא את הפתרון הכללי.

<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
a & a^2 & 1 & 2+a \\
a & 3a & 1 & 5\end{array}\right)
</math>

=== פתרון ===

<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
a & a^2 & 1 & 2+a \\
a & 3a & 1 & 5\end{array}\right)

\xrightarrow[R_3 -aR_1 \to R_3]{ R_2 -aR_1 \to R_2}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1-a & 2 \\
0 & a(3-a) & 1-a & 5-a \end{array}\right)

\xrightarrow[]{ R_2 \leftrightarrow R_3}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
0 & a(3-a) & 1-a & 5-a\\
0 & 0 & 1-a & 2
\end{array}\right)

</math>

ולכן:
*עבור <math>a\neq 0,1,3</math> נקבל 3 צירים ולכן לא יהיו משתנים חופשיים. בנוסף לא תהיה שורת סתירה ולכן יהיה פתרון יחיד.
* עבור <math>a=1</math> נקבל שורת סתירה בשורה השלישית
* עבור <math>a=0</math> נקבל את המטריצה
<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 5\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}\right)
</math>
וגם פה יש סתירה כי מהשורה השניה נסיק <math>z=5</math> ואילו מהשורה השלישית נסיק <math>z=2</math> (אם היינו מדרגים את המטריצה היינו מקבלים שורת סתירה "קלאסית")

* עבור <math>a=3</math> נקבל את המטריצה
<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -2 & 2\\
0 & 0 & -2 & 2
\end{array}\right)

\xrightarrow[]{ R_3-R_2 \to R_3}

\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -2 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)

</math>
וגם שיש אין סוף פתרונות.
נסמן את המשתנה החופשי <math>y=t</math> ונביע את שאר המשתנים בעזרתו. <math>z=-1, x= 1-z-3y=2-3t</math> ולכן קבוצת הפתרונות למערכת היא הקבוצה

<math>\{\left( \begin{array}{c}
2-3t \\
t\\
-1
\end{array}\right)
: \, t\in \mathbb{R} \}
</math>

===תרגיל===
מצא לאילו ערכים של הפרמטרים a,t יש למערכת פתרון יחיד, אין פתרון, או אינסוף פתרונות. במקרה של אינסוף פתרונות מצא את הפתרון הכללי (הערה: זהו הכללה של התרגיל הקודם. התרגיל הקודם מתקבל כאשר נציב t=-3 בתרגיל זה).

<math>\begin{pmatrix}
1 & a & 1 & |1 \\
a & a^2 & 1 & |2+a \\
a & 3a & 1 & |2-t
\end{pmatrix}</math>

<math>R_3:R_3-R2</math>

<math>R_2:R_2-aR_1</math>

<math>\begin{pmatrix}
1 & a & 1 & |1 \\
0 & 0 & 1-a & |2 \\
0 & 3a-a^2 & 0 & |-t-a
\end{pmatrix}</math>

<math>R_2\leftrightarrow -R_3</math>

<math>\begin{pmatrix}
1 & a & 1 & |1 \\
0 & a(a-3) & 0 & |a+t \\
0 & 0 & 1-a & |2
\end{pmatrix}</math>

כעת נניח <math>a\neq 0,1,3</math>. נבצע פעולות שחוקיות '''רק''' תחת ההנחה הזו, ולאחר מכן לחזור '''לנקודה הזו בדיוק''' ונפתור את המקרים <math>a=0,1,3</math> בצורה חוקית.

<math>R_2:\frac{R_2}{a(a-3)}</math>

<math>R_3:\frac{R_3}{1-a}</math>

<math>\begin{pmatrix}
1 & a & 1 & |1 \\
0 & 1 & 0 & |\frac{a+t}{a(a-3)} \\
0 & 0 & 1 & |\frac{2}{1-a}
\end{pmatrix}</math>

במקרה זה אין משתנים חופשיים ויש פתרון יחיד.

נחזור למקרים האחרים:

*נניח a=0 ונציב את הפרמטר הזו בנקודה בה עצרנו. נקבל:

<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & |1 \\
0 & 0 & 0 & |t \\
0 & 0 & 1 & |2
\end{pmatrix}</math>

אנו מקבלים משוואה מהצורה <math>0=t</math>.
**אם <math>t\neq 0</math> זו סתירה ולכן אין אף פתרון שיקיים את כל משוואות המערכת (כי משוואה זו לעולם לא תתקיים).
**אם t=0 מקבלים משתנה חופשי, ואינסוף פתרונות: נציב במקום המשתנה החופשי פרמטר s ונקבל: <math>y=s,z=2,x=1-2</math> ולכן סה"כ הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(-1,s,2)</math>

*נניח a=1:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & |1 \\
0 & -2 & 0 & |1+t \\
0 & 0 & 0 & |2
\end{pmatrix}</math>

השורה האחרונה הינה שורת סתירה ולכן אין פתרונות במצב זה.

*נניח a=3:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 & |1 \\
0 & 0 & 0 & |3+t \\
0 & 0 & -2 & |2
\end{pmatrix}</math>

**אם <math>t\neq -3</math> יש שורת סתירה ואין פתרון למערכת
**אם t=3 הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(2-3s,s,-1)</math>

=== תרגיל ===
נכון/לא נכון:

*למערכת משוואות המיוצג ע"י מטריצה <math>4\times2</math> אין פתרון.
*לכל מטריצה יש צורה מדורגת יחידה
*למטריצה <math>m\times n</math> יש לכל היותר m איברים פותחים (בצורה מדורגת)
*למטריצה <math>m\times n</math> יש לכל היותר n איברים פותחים (בצורה מדורגת)
*למערכת עם אינסוף פתרונות תהיה שורת אפסים בצורה מדורגת.
*בצורה מדורגת יש איבר יחיד שונה מאפס בכל עמודה.

=== תרגיל ===
נתונה מטריצה <math>A\in\mathbb{R}^{3\times3}</math> המקיימת כי <math>A\xrightarrow{R_{1}\leftrightarrow R_{3}}\xrightarrow{3R_{2}}\xrightarrow{R_{2}-2R_{1}}\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 0\\
0 & 1 & 3\\
2 & 0 & 1
\end{array}\right)</math> מצאו את <math>A</math>.

88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשפא

2021-06-28T12:52:57Z

אחיה172: /* קישורים */

[[88-195 מתמטיקה בדידה]]

==קישורים==
*[[מתמטיקה בדידה - ארז שיינר|סרטוני ותקצירי ההרצאות והתרגולים]]
* [[מתמטיקה בדידה - מערך תרגול|מערכי תרגול]]

* [http://xi.math-wiki.com מערכת הגשת התרגילים XI]

==מבחנים==

* [[מבחנים בבדידה|מבחנים משנים קודמות]]

==הודעות==

בוחן בבדידה יתקיים בתאריך ????.

חומר: ????

88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשפא

2021-06-28T12:45:23Z

אחיה172: /* קישורים */

[[88-195 מתמטיקה בדידה]]

==קישורים==
*[[מתמטיקה בדידה - ארז שיינר|סרטוני ותקצירי ההרצאות והתרגולים]]

* [http://xi.math-wiki.com מערכת הגשת התרגילים XI]

==מבחנים==

* [[מבחנים בבדידה|מבחנים משנים קודמות]]

==הודעות==

בוחן בבדידה יתקיים בתאריך ????.

חומר: ????

88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשפא

2021-06-28T12:44:02Z

אחיה172: יצירת דף עם התוכן "88-195 מתמטיקה בדידה ==קישורים== *מתמטיקה בדידה - ארז שיינר|סרטוני ותקצירי ההרצאות והתרגו..."

[[88-195 מתמטיקה בדידה]]

==קישורים==
*[[מתמטיקה בדידה - ארז שיינר|סרטוני ותקצירי ההרצאות והתרגולים]]

* [http://xi.math-wiki.com מערכת הגשת התרגילים XI]

*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף/ארז שיינר|הרצאות בפועל של ארז שיינר]]

*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף/אושרית שטוסל|מצגות וסרטוני התרגולים של אושרית שטוסל]]

*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף/בארי גרינפלד|רשימות ההרצאה - בארי]]

*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף/יפעת חדד|סיכומי וסרטוני התרגול של יפעת חדד]]

* [https://www.youtube.com/playlist?list=PLKtmT6p9xoPrIsWy4Y1iQbGp6SlfGBkyY סרטוני התרגול של עוזי חרוש], [https://drive.google.com/file/d/18q1Ku3yatV-Oa--HizAQnbu-LOWjLH_3/view?usp=sharing חוברת הקורס שנכתבה במהלך התרגול]

* [https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4m6qlCSozXuQi4b22tzrEz9 סרטוני התרגולים של גלעד פורת קורן]

*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף/אריאל ויצמן|סיכומי וסרטוני התרגול של אריאל ויצמן]]

*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף/אלעד עטייא|הרצאות של אלעד]]

==מבחנים==

* [[מבחנים בבדידה|מבחנים משנים קודמות]]

==הודעות==

בוחן בבדידה יתקיים בתאריך ????.

חומר: ????

88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים

2021-03-05T13:16:40Z

אחיה172:

[http://math-wiki.com/index.php?title=88-222_%D7%98%D7%95%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%95%D7%92%D7%99%D7%94 88-222 טופולוגיה]

מרצים: פרופ' מיכאל מגרל, ד"ר אייל סובג

מתרגלים: מתן קומיסרצ'יק, גלעד פורת קורן, תמר בר-און.

==תירגולים==
*[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/תמר|תירגול תמר]]
*[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/גלעד|תירגול גלעד]]
*[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/מתן|תירגול מתן]]

==שיעורי בית==

== חומר נוסף ==

*[http://u.math.biu.ac.il/~megereli/TOP.html האתר של פרופסור מגרל] האתר כולל [http://u.math.biu.ac.il/~megereli/TopEx20.pdf תרגילים מומלצים] (עודכן ב 14.08.2020)
*[[מדיה:AllTopLecNotes2020.pdf| הרצאות משנת 2020 (מיכאל מגרל)]]

==העשרה==

*[https://en.wikibooks.org/wiki/Topology Topology in Wikipedia]
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Furstenberg%27s_proof_of_the_infinitude_of_primes Furstenberg's topological proof of the infinitude of primes]

88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים

2021-03-05T13:15:49Z

אחיה172: /* תירגולים */

[http://math-wiki.com/index.php?title=88-222_%D7%98%D7%95%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%95%D7%92%D7%99%D7%94 88-222 טופולוגיה]

מרצים: פרופ' מיכאל מגרל, ד"ר אייל סובג

מתרגלים: מתן קומיסרצ'יק, גלעד פורת קורן, תמר בר-און.

==תירגולים==
*[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/תמר|תירגול תמר]]
*[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/גלעד|תירגול גלעד]]
*[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/מתן|תירגול מתן]]

== חומר נוסף ==

*[http://u.math.biu.ac.il/~megereli/TOP.html האתר של פרופסור מגרל] האתר כולל [http://u.math.biu.ac.il/~megereli/TopEx20.pdf תרגילים מומלצים] (עודכן ב 14.08.2020)
*[[מדיה:AllTopLecNotes2020.pdf| הרצאות משנת 2020 (מיכאל מגרל)]]

==שיעורי בית==

==העשרה==

*[https://en.wikibooks.org/wiki/Topology Topology in Wikipedia]
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Furstenberg%27s_proof_of_the_infinitude_of_primes Furstenberg's topological proof of the infinitude of primes]

88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/מתן

2021-03-05T13:15:32Z

אחיה172:

[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים]]

88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/תמר

2021-03-05T13:15:21Z

אחיה172:

[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים]]

*מייל: tamarnachshoni@gmail.com.
*קישור לזום של התרגולים: https://us02web.zoom.us/j/86811690383

88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/גלעד

2021-03-05T13:15:14Z

אחיה172: יצירת דף עם התוכן "88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים [https://us02web.zoom.us/j/95388740016 קישור לזום לתרגולים של גלעד] [https://www...."

[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים]]

[https://us02web.zoom.us/j/95388740016 קישור לזום לתרגולים של גלעד]

[https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4k6HwqgY-0SQo6eD2b69KWJ קישור לסרטוני התרגולים של גלעד]

88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים

2021-03-05T13:14:43Z

אחיה172:

[http://math-wiki.com/index.php?title=88-222_%D7%98%D7%95%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%95%D7%92%D7%99%D7%94 88-222 טופולוגיה]

מרצים: פרופ' מיכאל מגרל, ד"ר אייל סובג

מתרגלים: מתן קומיסרצ'יק, גלעד פורת קורן, תמר בר-און.

==תירגולים==

[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/תמר|תירגול תמר]]
[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/גלעד|תירגול גלעד]]
[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/מתן|תירגול מתן]]

== חומר נוסף ==

*[http://u.math.biu.ac.il/~megereli/TOP.html האתר של פרופסור מגרל] האתר כולל [http://u.math.biu.ac.il/~megereli/TopEx20.pdf תרגילים מומלצים] (עודכן ב 14.08.2020)
*[[מדיה:AllTopLecNotes2020.pdf| הרצאות משנת 2020 (מיכאל מגרל)]]

==שיעורי בית==

==העשרה==

*[https://en.wikibooks.org/wiki/Topology Topology in Wikipedia]
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Furstenberg%27s_proof_of_the_infinitude_of_primes Furstenberg's topological proof of the infinitude of primes]

88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/מתן

2021-03-05T13:13:40Z

אחיה172:

[[88-222 טופולוגיה]]

88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/תמר

2021-03-05T13:13:35Z

אחיה172: יצירת דף עם התוכן "88-222 טופולוגיה *מייל: tamarnachshoni@gmail.com. *קישור לזום של התרגולים: https://us02web.zoom.us/j/86811690383"

[[88-222 טופולוגיה]]
*מייל: tamarnachshoni@gmail.com.
*קישור לזום של התרגולים: https://us02web.zoom.us/j/86811690383

קובץ:Lec7 88617 79.pdf

2021-01-12T08:40:16Z

אחיה172: אחיה172 העלה גרסה חדשה של קובץ:Lec7 88617 79.pdf

קובץ:BIU Eng Hedva1 2021a ex8.pdf

2021-01-07T13:26:59Z

אחיה172: אחיה172 העלה גרסה חדשה של קובץ:BIU Eng Hedva1 2021a ex8.pdf

88-113Exams

2020-12-18T07:33:57Z

אחיה172: /* בחנים */

[[88-113 אלגברה לינארית 2]]

=מבחנים =
* [[מדיה: LinAlg288113TestMoedA2020semA.pdf|תש"ף סמסטר א' מועד א']]
* [[מדיה: LinAlg288113TestMoedA2019semA.pdf|תשע"ט סמסטר א' מועד א']]
* [[מדיה: LinAlg288113TestMoedB2018semA.pdf|תשע"ח סמסטר א' מועד ב']], [[מדיה: LinAlg288113TestMoedB2018semA_sol.pdf| פתרון]]
* [[מדיה: LinAlg288113TestMoedA2018semA.pdf|תשע"ח סמסטר א' מועד א']] [[מדיה: LinAlg288113TestMoedA2018semA_sol.pdf| פתרון]]

* [[מדיה: LinAlg288113TestMoedB2017.pdf|תשע"ז מבחן מועד ב']] [[מדיה: LinAlg288113TestMoedB2017_sol.pdf| פתרון]]
* [[מדיה: LinAlg288113TestMoedA2017.pdf|תשע"ז מבחן מועד א']] [[מדיה: LinAlg288113TestMoedA2017_sol.pdf| פתרון]]

*[[מדיה: 88113_test_76s_160126.pdf|תשע"ו מבחן לדוגמא]]; [[מדיה: 88113_test_76s_sol_160126.pdf|פתרון]]

* [[מדיה: 88113_test_76a_160120.pdf|תשע"ו מבחן מועד א']]; [[מדיה: 88113_test_76a_sol_160201.pdf|פתרון]]

* [[מדיה: 88113_test_76b_160304.pdf|תשע"ו מבחן מועד ב' (מתוקן)]]; [[מדיה: 88113_test_76b_sol_160304.pdf|פתרון]]

* [[מדיה: 88113_test_75a_150720.pdf|תשע"ה מבחן מועד א']]; [[מדיה: 88113_test_75a_sol_150813.pdf|פתרון]]

* [[מדיה: 88113_test_75b_150720.pdf|תשע"ה מבחן מועד ב']]; [[מדיה: 88113_test_75b_sol_151011.pdf|פתרון]]

* [[מדיה: 88113_test_74s_140727.pdf|תשע"ד מבחן לדוגמה]]; [[מדיה: 88113_test_74s_sol_140727.pdf|פתרון]]

* [[מדיה: 88113_test_74a_140727.pdf|תשע"ד מבחן מועד א']]; [[מדיה: 88113_test_74a_sol_140825.pdf|פתרון]]

* [[מדיה: 88113_test_74b_140919.pdf|תשע"ד מבחן מועד ב' (מתוקן)]]; [[מדיה: 88113_test_74b_sol_140919.pdf|פתרון]]

* [[מדיה: 88113_test_74c_150102.pdf|תשע"ד מבחן מועד ג']]; [[מדיה: 88113_test_74c_sol_150102.pdf|פתרון]]

* [[מדיה: moedA2013.pdf|תשע"ג סמסטר ב מועד א]] [[מדיה:A-פיתרון.pdf|ופיתרונו]]. ([[מדיה:alternative3.doc|פתרון אלטרנטיבי ל-3]])

* [[מדיה: moedB2013.pdf|תשע"ג סמסטר ב מועד ב ופיתרונו]].

* [[מדיה:מבחן מועד א.pdf|תשע"ג סמסטר ב מועד א]]

* [[מדיה:09ALinear2FinalExam.pdf|תש"ע סמסטר א]]

* [https://exams.math.biu.ac.il/ מאגר מבחנים מאתר המחלקה למתמטיקה בר-אילן]

[[מדיה:Example.pdf|טעויות במבחנים]]

=בחנים =
* [[מדיה:Lin2SemesterAQuiz2020.pdf|תשפ"א סמסטר א]] [[מדיה:Lin2SemesterAQuiz2020Sol.pdf|פתרון בוחן תשפ"א סמסטר א]]
* [[מדיה: linearalgebra2020semsteraquiz.pdf|תש"ף סמסטר א]],[[מדיה: linearalgebra2020semsteraquizSol.pdf|פתרון בוחן תש"ף סמסטר א]]
* [[מדיה: linearalgebra2019semsteraquiz.pdf|תשע"ט סמסטר א]],[[מדיה: linearalgebra2019semsteraquizSol.pdf|פתרון בוחן תשע"ט סמסטר א]]
* [[מדיה: linearalgebra2018semsteraquiz.pdf|תשע"ח סמסטר א]],[[מדיה: linearalgebra2018semsteraquizSol.pdf|פתרון בוחן תשע"ח סמסטר א]]
* [[מדיה: linearalgebra22017semsteraquiz.pdf|תשע"ז סמסטר א]],[[מדיה: linearalgebra22017semsteraquizSol.pdf|פתרון בוחן תשע"ז סמסטר א]]
* [[מדיה: בוחן לינארית 2 תשעו.pdf|תשעו סמסטר א]]
* [[מדיה: בוחן_לינארית_2_סב_תשעה.pdf|תשעה סמסטר ב]]
* [[מדיה:ext12312ar123g1il1231234baitli1.pdf|תשעה סמסטר א ]]
* [[מדיה: 88-113-2014-quiz.pdf|תשעד סמסטר ב]]
* [[מדיה:16ALinear2MiddleExam.pdf|תשעד סמסטר א]]
* [[מדיה: Bohan2013sol.doc|תשעג סמסטר ב]]
* תשעב סמסטר א [[מדיה:12Linear2exam1.pdf|בוחן 1]], [[מדיה:12Linear2exam2.pdf|בוחן 2]],[[מדיה:12Linear2exam3.pdf|בוחן 3]],[[מדיה:12Linear2exam4.pdf|בוחן 4]]
* [[מדיה:09ALinear2MiddleExam.pdf|תשע סמסטר א]]

88-113 לינארית 2 סמסטר א תשפא

2020-12-17T21:08:50Z

אחיה172: /* אושרית */

'''[[88-113 אלגברה לינארית 2]]'''

== סיכומי תרגולים והקלטות==
===תירגולים תמר===
*תירגול 1 [[מדיה: Lin2SemesterATir1Tamar.pdf|קובץ]],[https://us02web.zoom.us/rec/share/moYyiZsd9oGMi633grNZM0PUxJvvPADZXcY3_a7_DPZupP91Or7aiGvpYTTU7fxY.bmAyzwuMGtnr5_MD?startTime=1603296172000| הקלטה]
* תירגול 2 [[מדיה: Lin2SemesterATir2Tamar.pdf|קובץ]], [https://us02web.zoom.us/rec/share/F80Px9Gp43-roA28z6noQj0tVbf8Qbub8ryRMjC0BkY8kLoOIM8u-q2lLdHssVm6.KfpbcLZ7A0ByiJnn?startTime=1603904407000| הקלטה]
* תירגול 3 [[מדיה: Lin2SemesterATir3Tamar.pdf|קובץ]], [https://us02web.zoom.us/rec/share/_XpuOoAuDaWWBqGH3pn7tK7T79HnuXqZDKh-3Pqbm_BbxvG4IebNr7oG_dWCNAlt.c3dbr39LEnedduy9?startTime=1604509205000| הקלטה]
* תירגול 4 [[מדיה: Lin2SemesterATir4Tamar.pdf|קובץ]], [https://us02web.zoom.us/rec/share/wGuvlFq2yYPrugOdLIJoOZ5sfOTQwA-QhTnvBMbPLEdGVpuSvHS4XJ58Ps-DptS4.4o1lgAESuRd30BqZ?startTime=1605114007000| הקלטה]
* תירגול 5 [[מדיה: Lin2SemesterATir5Tamar.pdf|קובץ]] [https://us02web.zoom.us/rec/share/cACvleL7aUeZEKnB1Pf6Y7u-555iq3X6fGpCmRxstxrrx7WRqejAGFacEzYEjxue.8OfeYKjCX97hP-8_?startTime=1605718804000| הקלטה]
* תירגול 6 [[מדיה: Lin2SemesterATir6Tamar.pdf|קובץ]] [https://us02web.zoom.us/rec/share/3GUoFf_ADW9RmrlCxcPYi01KYAqRsfL0OfeyD5VFS2nsjNrmivA035DVzu3jW9hD.k3fRrTB1gD5vhm0y?startTime=1606323603000| הקלטה]
* תירגול 7 [[מדיה: Lin2SemesterATir7Tamar.pdf|קובץ]],[https://www.youtube.com/playlist?list=PL4hU6nCXs7aGB1zreZZ7yEcUyGfPE-WuB הקלטה]
* תירגול 8 [[מדיה: Lin2SemesterATir8Tamar.pdf|קובץ]],[https://www.youtube.com/playlist?list=PL4hU6nCXs7aGB1zreZZ7yEcUyGfPE-WuB הקלטה]

===אושרית===

[[מדיה: Lin2SemesterATir1oshrit.pdf|תרגול 1- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 1 -אושרית]https://youtu.be/I68adMGXRS0

[[מדיה:Lin2SemesterATir2oshrit.pdf|תרגול 2- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 2 -אושרית]https://youtu.be/MJkPDCmzFhY

[[מדיה:Lin2SemesterATir3oshrit.pdf|תרגול 3- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 3 -אושרית]https://youtu.be/c7lVkQnlsus

[[מדיה:Lin2SemesterATir5oshrit.pdf|תרגול 4- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 4 -אושרית]https://youtu.be/VIJX__qYt74

[[מדיה:Lin2SemesterATir6oshrit.pdf|תרגול 5- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 5 -אושרית]https://youtu.be/iguvPZjenuo

[[מדיה:Lin2SemesterATir7oshrit.pdf|תרגול 6- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 6 -אושרית]https://youtu.be/V9hVTDlKYn8

[[מדיה:Lin2SemesterATir8oshrit.pdf|תרגול 7- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 7 -אושרית]https://youtu.be/ee-ez5xw5BA

[[מדיה:Lin2SemesterATir9oshrit.pdf|תרגול 8- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 8 -אושרית] https://youtu.be/TbVD6oR8r48

==הבוחן==
[[מדיה:Lin2SemesterAQuiz2020.pdf|הבוחן]] [[מדיה:Lin2SemesterAQuiz2020Sol.pdf|ופתרונו]]

== ציוני תרגיל==

==ציוני בוחן==

==חומר עזר==

* [[מדיה: linear.pdf|חוברת הקורס: אלגברה לינארית 1+2, מאת ד"ר בועז צבאן]]

* [[סיכומי ההרצאות מאת יהונתן רגב ונועם יערי|סיכומי הרצאות (פרופ' קוניאבסקי) מאת יהונתן רגב ונועם יערי]]

* [[לינארית 2/מערכי ההרצאה|מערכי הרצאות]]

* [[אלגברה לינארית 2 - מערך תרגול|מערכי תירגול]]

* דפי עזר (פרופ' רון עדין): [[מדיה: צורת ז'ורדן.pdf|צורת ז'ורדן]], [[מדיה: מכפלה פנימית.pdf|מכפלה פנימית]]

* [https://www.youtube.com/watch?v=p9GLbf0_MYM צילום שעור (וידאו): מבוא למכפלה פנימית]

* סיכום ודוגמה על שילוש ולכסון אוניטרי ואו"ג [[מדיה: שילוש ולכסון אוניטרי ואוג.pdf|שילוש ולכסון אוניטרי ואוג]]
*[[מדיה:18Linear2SikumMichael.pdf|סיכום משפטים וטענות עיקריות מאת מיכאל לייקין ומיטשל בטובסקי]]

88-113 לינארית 2 סמסטר א תשפא

2020-12-17T19:14:58Z

אחיה172: /* אושרית */

'''[[88-113 אלגברה לינארית 2]]'''

== סיכומי תרגולים והקלטות==
===תירגולים תמר===
*תירגול 1 [[מדיה: Lin2SemesterATir1Tamar.pdf|קובץ]],[https://us02web.zoom.us/rec/share/moYyiZsd9oGMi633grNZM0PUxJvvPADZXcY3_a7_DPZupP91Or7aiGvpYTTU7fxY.bmAyzwuMGtnr5_MD?startTime=1603296172000| הקלטה]
* תירגול 2 [[מדיה: Lin2SemesterATir2Tamar.pdf|קובץ]], [https://us02web.zoom.us/rec/share/F80Px9Gp43-roA28z6noQj0tVbf8Qbub8ryRMjC0BkY8kLoOIM8u-q2lLdHssVm6.KfpbcLZ7A0ByiJnn?startTime=1603904407000| הקלטה]
* תירגול 3 [[מדיה: Lin2SemesterATir3Tamar.pdf|קובץ]], [https://us02web.zoom.us/rec/share/_XpuOoAuDaWWBqGH3pn7tK7T79HnuXqZDKh-3Pqbm_BbxvG4IebNr7oG_dWCNAlt.c3dbr39LEnedduy9?startTime=1604509205000| הקלטה]
* תירגול 4 [[מדיה: Lin2SemesterATir4Tamar.pdf|קובץ]], [https://us02web.zoom.us/rec/share/wGuvlFq2yYPrugOdLIJoOZ5sfOTQwA-QhTnvBMbPLEdGVpuSvHS4XJ58Ps-DptS4.4o1lgAESuRd30BqZ?startTime=1605114007000| הקלטה]
* תירגול 5 [[מדיה: Lin2SemesterATir5Tamar.pdf|קובץ]] [https://us02web.zoom.us/rec/share/cACvleL7aUeZEKnB1Pf6Y7u-555iq3X6fGpCmRxstxrrx7WRqejAGFacEzYEjxue.8OfeYKjCX97hP-8_?startTime=1605718804000| הקלטה]
* תירגול 6 [[מדיה: Lin2SemesterATir6Tamar.pdf|קובץ]] [https://us02web.zoom.us/rec/share/3GUoFf_ADW9RmrlCxcPYi01KYAqRsfL0OfeyD5VFS2nsjNrmivA035DVzu3jW9hD.k3fRrTB1gD5vhm0y?startTime=1606323603000| הקלטה]
* תירגול 7 [[מדיה: Lin2SemesterATir7Tamar.pdf|קובץ]],[https://www.youtube.com/playlist?list=PL4hU6nCXs7aGB1zreZZ7yEcUyGfPE-WuB הקלטה]
* תירגול 8 [[מדיה: Lin2SemesterATir8Tamar.pdf|קובץ]],[https://www.youtube.com/playlist?list=PL4hU6nCXs7aGB1zreZZ7yEcUyGfPE-WuB הקלטה]

===אושרית===

[[מדיה: Lin2SemesterATir1oshrit.pdf|תרגול 1- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 1 -אושרית]https://youtu.be/I68adMGXRS0

[[מדיה:Lin2SemesterATir2oshrit.pdf|תרגול 2- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 2 -אושרית]https://youtu.be/MJkPDCmzFhY

[[מדיה:Lin2SemesterATir3oshrit.pdf|תרגול 3- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 3 -אושרית]https://youtu.be/c7lVkQnlsus

[[מדיה:Lin2SemesterATir5oshrit.pdf|תרגול 4- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 4 -אושרית]https://youtu.be/VIJX__qYt74

[[מדיה:Lin2SemesterATir6oshrit.pdf|תרגול 5- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 5 -אושרית]https://youtu.be/iguvPZjenuo

[[מדיה:Lin2SemesterATir7oshrit.pdf|תרגול 6- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 6 -אושרית]https://youtu.be/V9hVTDlKYn8

[[מדיה:Lin2SemesterATir8oshrit.pdf|תרגול 7- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 7 -אושרית]https://youtu.be/ee-ez5xw5BA

[קישור הקלטת תרגול 8 -אושרית] https://youtu.be/TbVD6oR8r48

==הבוחן==
[[מדיה:Lin2SemesterAQuiz2020.pdf|הבוחן]] [[מדיה:Lin2SemesterAQuiz2020Sol.pdf|ופתרונו]]

== ציוני תרגיל==

==ציוני בוחן==

==חומר עזר==

* [[מדיה: linear.pdf|חוברת הקורס: אלגברה לינארית 1+2, מאת ד"ר בועז צבאן]]

* [[סיכומי ההרצאות מאת יהונתן רגב ונועם יערי|סיכומי הרצאות (פרופ' קוניאבסקי) מאת יהונתן רגב ונועם יערי]]

* [[לינארית 2/מערכי ההרצאה|מערכי הרצאות]]

* [[אלגברה לינארית 2 - מערך תרגול|מערכי תירגול]]

* דפי עזר (פרופ' רון עדין): [[מדיה: צורת ז'ורדן.pdf|צורת ז'ורדן]], [[מדיה: מכפלה פנימית.pdf|מכפלה פנימית]]

* [https://www.youtube.com/watch?v=p9GLbf0_MYM צילום שעור (וידאו): מבוא למכפלה פנימית]

* סיכום ודוגמה על שילוש ולכסון אוניטרי ואו"ג [[מדיה: שילוש ולכסון אוניטרי ואוג.pdf|שילוש ולכסון אוניטרי ואוג]]
*[[מדיה:18Linear2SikumMichael.pdf|סיכום משפטים וטענות עיקריות מאת מיכאל לייקין ומיטשל בטובסקי]]

88-113 לינארית 2 סמסטר א תשפא

2020-12-17T19:14:42Z

אחיה172: /* בוחן */

'''[[88-113 אלגברה לינארית 2]]'''

== סיכומי תרגולים והקלטות==
===תירגולים תמר===
*תירגול 1 [[מדיה: Lin2SemesterATir1Tamar.pdf|קובץ]],[https://us02web.zoom.us/rec/share/moYyiZsd9oGMi633grNZM0PUxJvvPADZXcY3_a7_DPZupP91Or7aiGvpYTTU7fxY.bmAyzwuMGtnr5_MD?startTime=1603296172000| הקלטה]
* תירגול 2 [[מדיה: Lin2SemesterATir2Tamar.pdf|קובץ]], [https://us02web.zoom.us/rec/share/F80Px9Gp43-roA28z6noQj0tVbf8Qbub8ryRMjC0BkY8kLoOIM8u-q2lLdHssVm6.KfpbcLZ7A0ByiJnn?startTime=1603904407000| הקלטה]
* תירגול 3 [[מדיה: Lin2SemesterATir3Tamar.pdf|קובץ]], [https://us02web.zoom.us/rec/share/_XpuOoAuDaWWBqGH3pn7tK7T79HnuXqZDKh-3Pqbm_BbxvG4IebNr7oG_dWCNAlt.c3dbr39LEnedduy9?startTime=1604509205000| הקלטה]
* תירגול 4 [[מדיה: Lin2SemesterATir4Tamar.pdf|קובץ]], [https://us02web.zoom.us/rec/share/wGuvlFq2yYPrugOdLIJoOZ5sfOTQwA-QhTnvBMbPLEdGVpuSvHS4XJ58Ps-DptS4.4o1lgAESuRd30BqZ?startTime=1605114007000| הקלטה]
* תירגול 5 [[מדיה: Lin2SemesterATir5Tamar.pdf|קובץ]] [https://us02web.zoom.us/rec/share/cACvleL7aUeZEKnB1Pf6Y7u-555iq3X6fGpCmRxstxrrx7WRqejAGFacEzYEjxue.8OfeYKjCX97hP-8_?startTime=1605718804000| הקלטה]
* תירגול 6 [[מדיה: Lin2SemesterATir6Tamar.pdf|קובץ]] [https://us02web.zoom.us/rec/share/3GUoFf_ADW9RmrlCxcPYi01KYAqRsfL0OfeyD5VFS2nsjNrmivA035DVzu3jW9hD.k3fRrTB1gD5vhm0y?startTime=1606323603000| הקלטה]
* תירגול 7 [[מדיה: Lin2SemesterATir7Tamar.pdf|קובץ]],[https://www.youtube.com/playlist?list=PL4hU6nCXs7aGB1zreZZ7yEcUyGfPE-WuB הקלטה]
* תירגול 8 [[מדיה: Lin2SemesterATir8Tamar.pdf|קובץ]],[https://www.youtube.com/playlist?list=PL4hU6nCXs7aGB1zreZZ7yEcUyGfPE-WuB הקלטה]

===אושרית===

[[מדיה: Lin2SemesterATir1oshrit.pdf|תרגול 1- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 1 -אושרית]https://youtu.be/I68adMGXRS0

[[מדיה:Lin2SemesterATir2oshrit.pdf|תרגול 2- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 2 -אושרית]https://youtu.be/MJkPDCmzFhY

[[מדיה:Lin2SemesterATir3oshrit.pdf|תרגול 3- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 3 -אושרית]https://youtu.be/c7lVkQnlsus

[[מדיה:Lin2SemesterATir5oshrit.pdf|תרגול 4- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 4 -אושרית]https://youtu.be/VIJX__qYt74

[[מדיה:Lin2SemesterATir6oshrit.pdf|תרגול 5- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 5 -אושרית]https://youtu.be/iguvPZjenuo

[[מדיה:Lin2SemesterATir7oshrit.pdf|תרגול 6- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 6 -אושרית]https://youtu.be/V9hVTDlKYn8

[[מדיה:Lin2SemesterATir8oshrit.pdf|תרגול 7- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 7 -אושרית]https://youtu.be/ee-ez5xw5BA

yaire246@gmail.com

[קישור הקלטת תרגול 8 -אושרית] https://youtu.be/TbVD6oR8r48

==הבוחן==
[[מדיה:Lin2SemesterAQuiz2020.pdf|הבוחן]] [[מדיה:Lin2SemesterAQuiz2020Sol.pdf|ופתרונו]]

== ציוני תרגיל==

==ציוני בוחן==

==חומר עזר==

* [[מדיה: linear.pdf|חוברת הקורס: אלגברה לינארית 1+2, מאת ד"ר בועז צבאן]]

* [[סיכומי ההרצאות מאת יהונתן רגב ונועם יערי|סיכומי הרצאות (פרופ' קוניאבסקי) מאת יהונתן רגב ונועם יערי]]

* [[לינארית 2/מערכי ההרצאה|מערכי הרצאות]]

* [[אלגברה לינארית 2 - מערך תרגול|מערכי תירגול]]

* דפי עזר (פרופ' רון עדין): [[מדיה: צורת ז'ורדן.pdf|צורת ז'ורדן]], [[מדיה: מכפלה פנימית.pdf|מכפלה פנימית]]

* [https://www.youtube.com/watch?v=p9GLbf0_MYM צילום שעור (וידאו): מבוא למכפלה פנימית]

* סיכום ודוגמה על שילוש ולכסון אוניטרי ואו"ג [[מדיה: שילוש ולכסון אוניטרי ואוג.pdf|שילוש ולכסון אוניטרי ואוג]]
*[[מדיה:18Linear2SikumMichael.pdf|סיכום משפטים וטענות עיקריות מאת מיכאל לייקין ומיטשל בטובסקי]]

קובץ:88218Tir82020.pdf

2020-12-06T14:14:18Z

אחיה172:

88-218 תשפא סמסטר א

2020-12-06T14:13:59Z

אחיה172: /* הקלטות וסיכומי תרגול */

'''[[88-218 תורת החבורות]]'''

מרצים: תומר באואר, בארי גרינפלד

מתרגלת: תמר בר-און

[https://us02web.zoom.us/j/86811690383 קישור לזום של התרגול]

==קישורים==
* [[88-211 מבחנים|מבחנים משנים קודמות]] כאשר הקורס נקרא "אלגברה מופשטת" או "מבוא לתורת החבורות".
* [[מבוא לתורת החבורות - סיכומי ההרצאות מאת יהונתן רגב ונועם יערי|סיכומי הרצאות מאת יהונתן רגב ונועם יערי]] (החומר לא בהכרח זהה)

==הקלטות וסיכומי תרגול==

*[[מדיה: 88218Tir12020.pdf|תרגול 1- יום ראשון]]
*[[מדיה: 88218Tir12020wed.pdf|תרגול 1- יום רביעי]], [https://us02web.zoom.us/rec/share/XCMZOVCUyMvQk2s77e4pfIX9CNSSsVya_i-ZZwXSsoaCKXpyCYhIv4yevuaGVCBH.O1Qlk8egruNmTkW5?startTime=1603278004000| תרגול 1- יום רביעי]
*[[מדיה: 88218Tir22020.pdf|תרגול 2- יום ראשון]],[https://us02web.zoom.us/rec/share/QC2OHHasjIK5188VLYnOoqqQ3jqS9fkU0f2sQSVcZP7zf-c0biyMzQ0BKlAFkm7n.LNOVlkrTXRUbN0Jk?startTime=1603627204000| תרגול 2- יום ראשון]
*[[מדיה: 88218Tir22020wed.pdf|תרגול 2- יום רביעי]],[https://us02web.zoom.us/rec/share/rnl4GIeYv-T-vtvTzMWG-C68DdwWGEU40xqCofgfLamvE-FihKENNiz4LABuKPJo.nj43JjSbNIh7X6dM?startTime=1603886413000| תרגול 2- יום רביעי]
*[[מדיה: 88218Tir32020wed.pdf|תרגול 3- יום ראשון]],[https://us02web.zoom.us/rec/share/FgbuosHh3AHngVM2BSGT1Lt8DVPsoM4WqK-9m8Z8f4wzkbeZj14Uwl46oDgHbSeQ.eQYHkzD5dNNlZIrM?startTime=1604232005000| תרגול 3- יום ראשון]
*[[מדיה: 88218Tir32020wedcorrect.pdf|תרגול 3- יום רביעי]],[https://us02web.zoom.us/rec/share/7RELbRKi4abvqAQdEAt7mVl0_nuIzY-FtBtPwvESQmaq1HOFFx6z1RLqc5CO0UcN.Us1056CokEDFTEaa?startTime=1604491203000| תרגול 3- יום רביעי]
*[[מדיה: 88218Tir42020.pdf|תרגול 4- יום ראשון]],[https://us02web.zoom.us/rec/share/h-cyif-NUyAXn3gMWI6-V1xx3sdgzJxe0OQFrOov9Y8rhghq7FMTkvGYaJnJkG44.u-I7f8JnwMHuIagJ?startTime=1604836802000| תרגול 4- יום ראשון]
*[[מדיה: 88218Tir42020wed.pdf|תרגול 4- יום רביעי]],[https://us02web.zoom.us/rec/share/djgDce2ztEKjMPNM4AAksOaMemydYJRiYHp0vSVLhxGyPcXkNanzW0aKnlAHNWT7.jDK28PFtJFoYQL-a?startTime=1605096004000| תרגול 4- יום רביעי]
*[[מדיה: 88218Tir52020.pdf|תרגול 5- יום ראשון]],[https://us02web.zoom.us/rec/share/IP75ob0d5CJv3BBHthD4hS4vxIYSfBK1_gitjIQGt039Z2jUPDAwLAdP9SZRWu5o.R6W5fd9agkK2ipgQ?startTime=1605441602000| תרגול 5- יום ראשון]
*[[מדיה: 88218Tir52020wed.pdf|תרגול 5- יום רביעי]],[https://us02web.zoom.us/rec/share/4DaBkjYkKtg8CLc35wgAGTVGKfejOQxuTQLZaxcSIdUPdFS_eKCsUjSUKCvpq8wk.3LoepuxJHt09TJ08?startTime=1605700808000| תרגול 5- יום רביעי]
*[[מדיה: 88218Tir62020wed.pdf|תרגול 6- יום ראשון]],[https://us02web.zoom.us/rec/share/Q4sOSXp8dRpWeduovrxt3PS3oEUrjSPAnugboNWBlOGyXap14ZBPEvB30wGvI6HX.zBXb4h8pYWtfkDMX?startTime=1606046402000| תרגול 6 יום ראשון]
*[[מדיה: 88218Tir62020wedcorrect.pdf|תרגול 6- יום רביעי]],[https://us02web.zoom.us/rec/share/R2NTN1Q_vcvNnfkgtW-QuwIWo1u_mI-JqstRXhMpJZ_hCe_K3P5QzW6HFNxuvtFP.BRvnFhEbMYqAhRgM?startTime=1606305606000| תרגול 6- יום רביעי]
* [[מדיה: 88218Tir72020.pdf|תרגול 7- יום ראשון]], [https://www.youtube.com/playlist?list=PL4hU6nCXs7aHylywX_JRHztdLVB04MNSH הקלטה]
* [[מדיה: 88218Tir72020wed.pdf|תרגול 7- יום רביעי]], [https://www.youtube.com/playlist?list=PL4hU6nCXs7aHylywX_JRHztdLVB04MNSH הקלטה]
* [[מדיה: 88218Tir82020.pdf|תרגול 8- יום ראשון]], [https://www.youtube.com/playlist?list=PL4hU6nCXs7aHylywX_JRHztdLVB04MNSH הקלטה]

==הודעות==
בוחן יתקיים בתאריך 21.12 14:00-15:30.

==תרגילי בית==
יש חובת הכנה לתרגילי הבית, גם אם אין חובת הגשה.

==חוברת מערכי תרגול==

'''הערה''': חשוב לשים לב כי מערכי התרגול לא חופפים לגמרי למה שנלמד בכיתה, ולעתים עלולים להכיל טעויות!
נשמח לשמוע על הערות והצעות למערכים.

[[מדיה:88218rec_2020A.pdf|חוברת מערכי תרגול]] (לפעמים צריך לרענן את הדף כדי לקבל את הגרסה האחרונה.)

קובץ:Lin2SemesterATir7Tamar.pdf

2020-12-02T19:14:21Z

אחיה172:

88-113 לינארית 2 סמסטר א תשפא

2020-12-02T19:14:07Z

אחיה172: /* סיכומי תרגולים והקלטות */

'''[[88-113 אלגברה לינארית 2]]'''

== סיכומי תרגולים והקלטות==
===תירגולים תמר===
*תירגול 1 [[מדיה: Lin2SemesterATir1Tamar.pdf|קובץ]],[https://us02web.zoom.us/rec/share/moYyiZsd9oGMi633grNZM0PUxJvvPADZXcY3_a7_DPZupP91Or7aiGvpYTTU7fxY.bmAyzwuMGtnr5_MD?startTime=1603296172000| הקלטה]
* תירגול 2 [[מדיה: Lin2SemesterATir2Tamar.pdf|קובץ]], [https://us02web.zoom.us/rec/share/F80Px9Gp43-roA28z6noQj0tVbf8Qbub8ryRMjC0BkY8kLoOIM8u-q2lLdHssVm6.KfpbcLZ7A0ByiJnn?startTime=1603904407000| הקלטה]
* תירגול 3 [[מדיה: Lin2SemesterATir3Tamar.pdf|קובץ]], [https://us02web.zoom.us/rec/share/_XpuOoAuDaWWBqGH3pn7tK7T79HnuXqZDKh-3Pqbm_BbxvG4IebNr7oG_dWCNAlt.c3dbr39LEnedduy9?startTime=1604509205000| הקלטה]
* תירגול 4 [[מדיה: Lin2SemesterATir4Tamar.pdf|קובץ]], [https://us02web.zoom.us/rec/share/wGuvlFq2yYPrugOdLIJoOZ5sfOTQwA-QhTnvBMbPLEdGVpuSvHS4XJ58Ps-DptS4.4o1lgAESuRd30BqZ?startTime=1605114007000| הקלטה]
* תירגול 5 [[מדיה: Lin2SemesterATir5Tamar.pdf|קובץ]] [https://us02web.zoom.us/rec/share/cACvleL7aUeZEKnB1Pf6Y7u-555iq3X6fGpCmRxstxrrx7WRqejAGFacEzYEjxue.8OfeYKjCX97hP-8_?startTime=1605718804000| הקלטה]
* תירגול 6 [[מדיה: Lin2SemesterATir6Tamar.pdf|קובץ]] [https://us02web.zoom.us/rec/share/3GUoFf_ADW9RmrlCxcPYi01KYAqRsfL0OfeyD5VFS2nsjNrmivA035DVzu3jW9hD.k3fRrTB1gD5vhm0y?startTime=1606323603000| הקלטה]
* תירגול 7 [[מדיה: Lin2SemesterATir7Tamar.pdf|קובץ]]

===אושרית===

[[מדיה: Lin2SemesterATir1oshrit.pdf|תרגול 1- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 1 -אושרית]https://youtu.be/I68adMGXRS0

[[מדיה:Lin2SemesterATir2oshrit.pdf|תרגול 2- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 2 -אושרית]https://youtu.be/MJkPDCmzFhY

[[מדיה:Lin2SemesterATir3oshrit.pdf|תרגול 3- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 3 -אושרית]https://youtu.be/c7lVkQnlsus

[[מדיה:Lin2SemesterATir5oshrit.pdf|תרגול 4- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 4 -אושרית]https://youtu.be/VIJX__qYt74

[[מדיה:Lin2SemesterATir6oshrit.pdf|תרגול 5- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 5 -אושרית]https://youtu.be/iguvPZjenuo

[[מדיה:Lin2SemesterATir7oshrit.pdf|תרגול 6- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 6 -אושרית]https://youtu.be/V9hVTDlKYn8

[[מדיה:Lin2SemesterATir8oshrit.pdf|תרגול 7- אושרית]]

== ציוני תרגיל==

==ציוני בוחן==

==חומר עזר==

* [[מדיה: linear.pdf|חוברת הקורס: אלגברה לינארית 1+2, מאת ד"ר בועז צבאן]]

* [[סיכומי ההרצאות מאת יהונתן רגב ונועם יערי|סיכומי הרצאות (פרופ' קוניאבסקי) מאת יהונתן רגב ונועם יערי]]

* [[לינארית 2/מערכי ההרצאה|מערכי הרצאות]]

* [[אלגברה לינארית 2 - מערך תרגול|מערכי תירגול]]

* דפי עזר (פרופ' רון עדין): [[מדיה: צורת ז'ורדן.pdf|צורת ז'ורדן]], [[מדיה: מכפלה פנימית.pdf|מכפלה פנימית]]

* [https://www.youtube.com/watch?v=p9GLbf0_MYM צילום שעור (וידאו): מבוא למכפלה פנימית]

* סיכום ודוגמה על שילוש ולכסון אוניטרי ואו"ג [[מדיה: שילוש ולכסון אוניטרי ואוג.pdf|שילוש ולכסון אוניטרי ואוג]]
*[[מדיה:18Linear2SikumMichael.pdf|סיכום משפטים וטענות עיקריות מאת מיכאל לייקין ומיטשל בטובסקי]]

== בוחן ==

קובץ:88218Tir72020wed.pdf

2020-12-02T13:43:30Z

אחיה172:

88-218 תשפא סמסטר א

2020-12-02T13:42:44Z

אחיה172: /* הקלטות וסיכומי תרגול */

'''[[88-218 תורת החבורות]]'''

מרצים: תומר באואר, בארי גרינפלד

מתרגלת: תמר בר-און

[https://us02web.zoom.us/j/86811690383 קישור לזום של התרגול]

==קישורים==
* [[88-211 מבחנים|מבחנים משנים קודמות]] כאשר הקורס נקרא "אלגברה מופשטת" או "מבוא לתורת החבורות".
* [[מבוא לתורת החבורות - סיכומי ההרצאות מאת יהונתן רגב ונועם יערי|סיכומי הרצאות מאת יהונתן רגב ונועם יערי]] (החומר לא בהכרח זהה)

==הקלטות וסיכומי תרגול==

*[[מדיה: 88218Tir12020.pdf|תרגול 1- יום ראשון]]
*[[מדיה: 88218Tir12020wed.pdf|תרגול 1- יום רביעי]], [https://us02web.zoom.us/rec/share/XCMZOVCUyMvQk2s77e4pfIX9CNSSsVya_i-ZZwXSsoaCKXpyCYhIv4yevuaGVCBH.O1Qlk8egruNmTkW5?startTime=1603278004000| תרגול 1- יום רביעי]
*[[מדיה: 88218Tir22020.pdf|תרגול 2- יום ראשון]],[https://us02web.zoom.us/rec/share/QC2OHHasjIK5188VLYnOoqqQ3jqS9fkU0f2sQSVcZP7zf-c0biyMzQ0BKlAFkm7n.LNOVlkrTXRUbN0Jk?startTime=1603627204000| תרגול 2- יום ראשון]
*[[מדיה: 88218Tir22020wed.pdf|תרגול 2- יום רביעי]],[https://us02web.zoom.us/rec/share/rnl4GIeYv-T-vtvTzMWG-C68DdwWGEU40xqCofgfLamvE-FihKENNiz4LABuKPJo.nj43JjSbNIh7X6dM?startTime=1603886413000| תרגול 2- יום רביעי]
*[[מדיה: 88218Tir32020wed.pdf|תרגול 3- יום ראשון]],[https://us02web.zoom.us/rec/share/FgbuosHh3AHngVM2BSGT1Lt8DVPsoM4WqK-9m8Z8f4wzkbeZj14Uwl46oDgHbSeQ.eQYHkzD5dNNlZIrM?startTime=1604232005000| תרגול 3- יום ראשון]
*[[מדיה: 88218Tir32020wedcorrect.pdf|תרגול 3- יום רביעי]],[https://us02web.zoom.us/rec/share/7RELbRKi4abvqAQdEAt7mVl0_nuIzY-FtBtPwvESQmaq1HOFFx6z1RLqc5CO0UcN.Us1056CokEDFTEaa?startTime=1604491203000| תרגול 3- יום רביעי]
*[[מדיה: 88218Tir42020.pdf|תרגול 4- יום ראשון]],[https://us02web.zoom.us/rec/share/h-cyif-NUyAXn3gMWI6-V1xx3sdgzJxe0OQFrOov9Y8rhghq7FMTkvGYaJnJkG44.u-I7f8JnwMHuIagJ?startTime=1604836802000| תרגול 4- יום ראשון]
*[[מדיה: 88218Tir42020wed.pdf|תרגול 4- יום רביעי]],[https://us02web.zoom.us/rec/share/djgDce2ztEKjMPNM4AAksOaMemydYJRiYHp0vSVLhxGyPcXkNanzW0aKnlAHNWT7.jDK28PFtJFoYQL-a?startTime=1605096004000| תרגול 4- יום רביעי]
*[[מדיה: 88218Tir52020.pdf|תרגול 5- יום ראשון]],[https://us02web.zoom.us/rec/share/IP75ob0d5CJv3BBHthD4hS4vxIYSfBK1_gitjIQGt039Z2jUPDAwLAdP9SZRWu5o.R6W5fd9agkK2ipgQ?startTime=1605441602000| תרגול 5- יום ראשון]
*[[מדיה: 88218Tir52020wed.pdf|תרגול 5- יום רביעי]],[https://us02web.zoom.us/rec/share/4DaBkjYkKtg8CLc35wgAGTVGKfejOQxuTQLZaxcSIdUPdFS_eKCsUjSUKCvpq8wk.3LoepuxJHt09TJ08?startTime=1605700808000| תרגול 5- יום רביעי]
*[[מדיה: 88218Tir62020wed.pdf|תרגול 6- יום ראשון]],[https://us02web.zoom.us/rec/share/Q4sOSXp8dRpWeduovrxt3PS3oEUrjSPAnugboNWBlOGyXap14ZBPEvB30wGvI6HX.zBXb4h8pYWtfkDMX?startTime=1606046402000| תרגול 6 יום ראשון]
*[[מדיה: 88218Tir62020wedcorrect.pdf|תרגול 6- יום רביעי]],[https://us02web.zoom.us/rec/share/R2NTN1Q_vcvNnfkgtW-QuwIWo1u_mI-JqstRXhMpJZ_hCe_K3P5QzW6HFNxuvtFP.BRvnFhEbMYqAhRgM?startTime=1606305606000| תרגול 6- יום רביעי]
* [[מדיה: 88218Tir72020.pdf|תרגול 7- יום ראשון]], [https://www.youtube.com/playlist?list=PL4hU6nCXs7aHylywX_JRHztdLVB04MNSH הקלטה]
* [[מדיה: 88218Tir72020wed.pdf|תרגול 7- יום רביעי]], [https://www.youtube.com/playlist?list=PL4hU6nCXs7aHylywX_JRHztdLVB04MNSH הקלטה]

==הודעות==
בוחן יתקיים בתאריך 21.12 14:00-15:30.

==תרגילי בית==
יש חובת הכנה לתרגילי הבית, גם אם אין חובת הגשה.

==חוברת מערכי תרגול==

'''הערה''': חשוב לשים לב כי מערכי התרגול לא חופפים לגמרי למה שנלמד בכיתה, ולעתים עלולים להכיל טעויות!
נשמח לשמוע על הערות והצעות למערכים.

[[מדיה:88218rec_2020A.pdf|חוברת מערכי תרגול]] (לפעמים צריך לרענן את הדף כדי לקבל את הגרסה האחרונה.)

קובץ:Lec7 88617 79.pdf

2020-12-01T16:24:49Z

אחיה172:

88-617 תשפא סמסטר א

2020-12-01T16:24:30Z

אחיה172: /* סיכומי הרצאות */

[[88-617 מבוא לאנליזה מתקדמת למורים]]

מרצה: תמר בר-און, tamarnachshoni@gmail.com.

מתרגל: אריאל ויצמן, relweiz@gmail.com.

=דף נוסחאות=

*[[מדיה:EquationPage_88617.pdf|דף נוסחאות תשפ]]

==מבחן תש"ף==

*[[מדיה:ExmMoedA_88617_2020.pdf|מועד א']]

*[[מדיה:ExmMoedA_88617_2020Sol.pdf|פתרון]]

בשנץ תש"ף לא התקיים מועד ב'.

=מבחן תשע"ט=

*[[מדיה:ExmMoedA_88617_79.pdf|מועד א']]

*[[מדיה:ExmMoedASol_88617_79.pdf|פתרון מועד א']]

*[[מדיה:ExmMoedB_88617_79.pdf|מועד ב']]

*[[מדיה:ExmMoedBSol_88617_79.pdf|פתרון מועד ב']]

==המבחן==

*[[מדיה:ExmTest1_88617_79.pdf|מבחן לדוגמא]]

*[[מדיה:ExmTest1sol_88617_79.pdf|מבחן לדוגמא- פתרון]]

*[[מדיה:ExmTest2_88617_79.pdf|שאלות לאימון]]

*[[מדיה:ExmTest2sol_88617_79.pdf|שאלות לאימון- פתרונות]]

==רשימת נושאים==

בפונקציות מרוכבות:
1. מספרים מרוכבים: הגדרה, הצגה פולרית וקרטזית, נורמה וצמוד, פעולות חשבוניות.

2. סדרות והתכנסות

3. פונקציות רציפות וגזירות.

4. משוואות קושי רימן.

5. פונקציית האקספוננט המרוכבת.

6. פונקציות טריגונומטריות מרוכבות.

את כל החומר ניתן למצוא בספרי האוניברסיטה הפתוחה של הקורס "פונקציות מרוכבות", יחידות 1-3.

במשוואות דיפרנציאליות:

1. משוואות לינאריות מסדר ראשון.

2. משוואות פרידות.

3. משוואות לינאריות מסדר שני עם מקדמים קבועים- המקרה ההומגוני והמקרה הלא הומוגני עם פולינום או אקספוננט.

==קישורים==

[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים]]

[[אנליזה מתקדמת למורים - מבחנים משנים שעברו | מבחנים משנים שעברו]]

==סיכומי הרצאות==

*[[מדיה:Lec1_88617_79.pdf|הרצאה 1]],[https://us02web.zoom.us/rec/share/hhN4ghTY8Ng38rdkXTxc9Nelj9TmuuLnZ0PnczKUVBKrBlbLZyBHg5GlgnrVcgKz.WVjdRc1VYE3lzcwN?startTime=1603170009000 הרצאה 1- הקלטה]
*[[מדיה:Lec2_88617_79.pdf|הרצאה 2]], [https://us02web.zoom.us/rec/share/r4E5vZp3CfYrRCDZy77dIx0V_C0lA2g34prihkSt5QAV32xwkoxbKXgOiF_7Txv-.ZYkQfWWgsRe4fwxj?startTime=1603778416000 הרצאה 2- הקלטה]
*[[מדיה:Lec3_88617_79.pdf|הרצאה 3]], [https://us02web.zoom.us/rec/share/AEWg63qbuN45azjeajpwCTgWBJF6QcemDnCA5b6cD_Wj5wiPqsp1WSqQRPpdSZY-.QI5gfVOdz4k9yxAx?startTime=1604389750000| הרצאה 3- הקלטה. חלק 1]
*[https://us02web.zoom.us/rec/share/gSXIqYeSNF7Km1oYzgPnrzEoCk-iYoYK3LkjPWjcKeIADX5AQXKaAaKsNvfUl4uv.iwLeL1MBPLg4Z8w-?startTime=1604412005000| הרצאה 3- הקלטה. חלק 2]
*[[מדיה:Lec4_88617_79.pdf|הרצאה 4 ]], [https://us02web.zoom.us/rec/share/zjiQyns7irsaBIu57BmhEmi0guGvBO2CyTotxdl9jNVnPTwX4_OwX9HDF0e01R62.RtkHVmQelCBJ-dSR?startTime=1604988005000| הרצאה 4- הקלטה]
*[[מדיה:Lec5_88617_79.pdf|הרצאה 5 ]], [https://us02web.zoom.us/rec/share/SMZzz47ROfYX0tf8OI0nrADujR_gF8Sgf6tWWfMq9Usa5PO87HnPGPzxUSIDkmp-.rFwlJ1T9DYq7QKe3?startTime=1605592806000| הרצאה 5- הקלטה]
*[[מדיה:Lec6_88617_79.pdf|הרצאה 6 ]], [https://us02web.zoom.us/rec/share/yeTIS39OJPQWQPiE41QTTy55s9SMcb3SfffwUlSYCP_UpSqCWQFw73jMG9HdIZXP.pL3sT4Ks9lggzDQq?startTime=1606203942000| הרצאה 6- הקלטה חלק 1], [https://us02web.zoom.us/rec/share/SHX33OjPeX4LAQkJ_BEXNGX3PDU08NwCRUvcVeKVJfmsnzW3eaQ9TQ1qTR0YHqTY.WDi_BNb2xuV5fTXk?startTime=1606226403000| הרצאה 6- הקלטה חלק 2]
*[[מדיה:Lec7_88617_79.pdf|הרצאה 7 ]],

==סיכומי תרגולים==
*תרגול 1 - הגדרת מרוכבים: [[מדיה:les1_88617_81.pdf|סיכום]], [https://youtu.be/Lwgl3Cah1Pg סרטון]
*תרגול 2 - הצגה פולרית וקרטזית: [[מדיה:les2_88617_81.pdf|סיכום]], [https://youtu.be/9mk-J__dQog סרטון]
*תרגול 3 - משפט דה-מואבר: [[מדיה:les3_88617_81.pdf|סיכום]], [https://youtu.be/YC3wzdvqYIY סרטון]
*תרגול 4 - שאלה מסכמת: [[מדיה:les4_88617_81.pdf|סיכום]], [https://youtu.be/Cz7i2OOib8A סרטון]
*תרגול 5 - פונקציות מרוכבות: [[מדיה:les5_88617_81.pdf|סיכום]], [https://youtu.be/aiuDDlfQeKc סרטון]

==תרגילי בית==
*[[מדיה:Ex1_88617_81.pdf|תרגיל 1]], [[מדיה:Ex1_88617_81Sol.pdf|פתרון]].
*[[מדיה:Ex2_88617_81.pdf|תרגיל 2]], [[מדיה:Ex2_88617_81Sol.pdf|פתרון]].
*[[מדיה:Ex3_88617_81.pdf|תרגיל 3]], [[מדיה:Ex3_88617_81Sol.pdf|פתרון]].
*[[מדיה:Ex4_88617_81.pdf|תרגיל 4]], [[מדיה:Ex4_88617_81Sol.pdf|פתרון]].
*[[מדיה:Ex5_88617_81.pdf|תרגיל 5]], [[מדיה:Ex5_88617_81Sol.pdf|פתרון]].

===תרגיל הגשה עם ציון===

88-113 לינארית 2 סמסטר א תשפא

2020-11-04T14:48:18Z

אחיה172: /* תמר */

88-113 לינארית 2 סמסטר א תשפא

2020-11-04T14:47:51Z

אחיה172: /* תמר */

'''[[88-113 אלגברה לינארית 2]]'''

== סיכומי תרגולים והקלטות==
=== תמר===
*תירגול 1 [[מדיה: Lin2SemesterATir1Tamar.pdf|קובץ]],[https://us02web.zoom.us/rec/share/moYyiZsd9oGMi633grNZM0PUxJvvPADZXcY3_a7_DPZupP91Or7aiGvpYTTU7fxY.bmAyzwuMGtnr5_MD?startTime=1603296172000| הקלטה]
* תירגול 2 [[מדיה: Lin2SemesterATir2Tamar.pdf|קובץ]], [https://us02web.zoom.us/rec/share/F80Px9Gp43-roA28z6noQj0tVbf8Qbub8ryRMjC0BkY8kLoOIM8u-q2lLdHssVm6.KfpbcLZ7A0ByiJnn?startTime=1603904407000| הקלטה]

===אושרית===

[[מדיה: Lin2SemesterATir1oshrit.pdf|תרגול 1- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 1 -אושרית]https://youtu.be/I68adMGXRS0

[[מדיה:Lin2SemesterATir2oshrit.pdf|תרגול 2- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 2 -אושרית]https://youtu.be/MJkPDCmzFhY

[[מדיה:Lin2SemesterATir3oshrit.pdf|תרגול 3- אושרית]]

== ציוני תרגיל==

==ציוני בוחן==

==חומר עזר==

* [[מדיה: linear.pdf|חוברת הקורס: אלגברה לינארית 1+2, מאת ד"ר בועז צבאן]]

* [[סיכומי ההרצאות מאת יהונתן רגב ונועם יערי|סיכומי הרצאות (פרופ' קוניאבסקי) מאת יהונתן רגב ונועם יערי]]

* [[לינארית 2/מערכי ההרצאה|מערכי הרצאות]]

* [[אלגברה לינארית 2 - מערך תרגול|מערכי תירגול]]

* דפי עזר (פרופ' רון עדין): [[מדיה: צורת ז'ורדן.pdf|צורת ז'ורדן]], [[מדיה: מכפלה פנימית.pdf|מכפלה פנימית]]

* [https://www.youtube.com/watch?v=p9GLbf0_MYM צילום שעור (וידאו): מבוא למכפלה פנימית]

* סיכום ודוגמה על שילוש ולכסון אוניטרי ואו"ג [[מדיה: שילוש ולכסון אוניטרי ואוג.pdf|שילוש ולכסון אוניטרי ואוג]]
*[[מדיה:18Linear2SikumMichael.pdf|סיכום משפטים וטענות עיקריות מאת מיכאל לייקין ומיטשל בטובסקי]]

== בוחן ==

88-113 לינארית 2 סמסטר א תשפא

2020-11-04T14:46:42Z

אחיה172: /* סיכומי תרגולים והקלטות */

'''[[88-113 אלגברה לינארית 2]]'''

== סיכומי תרגולים והקלטות==
=== תמר===
*[[מדיה: Lin2SemesterATir1Tamar.pdf|תרגול 1- תמר (קובץ)]],[https://us02web.zoom.us/rec/share/moYyiZsd9oGMi633grNZM0PUxJvvPADZXcY3_a7_DPZupP91Or7aiGvpYTTU7fxY.bmAyzwuMGtnr5_MD?startTime=1603296172000| תרגול 1- תמר (הקלטה)]
*[[מדיה: Lin2SemesterATir2Tamar.pdf|תרגול 2- תמר (קובץ)]], [https://us02web.zoom.us/rec/share/F80Px9Gp43-roA28z6noQj0tVbf8Qbub8ryRMjC0BkY8kLoOIM8u-q2lLdHssVm6.KfpbcLZ7A0ByiJnn?startTime=1603904407000| תרגול 2- תמר (הקלטה)]
===אושרית===

[[מדיה: Lin2SemesterATir1oshrit.pdf|תרגול 1- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 1 -אושרית]https://youtu.be/I68adMGXRS0

[[מדיה:Lin2SemesterATir2oshrit.pdf|תרגול 2- אושרית]]

[קישור הקלטת תרגול 2 -אושרית]https://youtu.be/MJkPDCmzFhY

[[מדיה:Lin2SemesterATir3oshrit.pdf|תרגול 3- אושרית]]

== ציוני תרגיל==

==ציוני בוחן==

==חומר עזר==

* [[מדיה: linear.pdf|חוברת הקורס: אלגברה לינארית 1+2, מאת ד"ר בועז צבאן]]

* [[סיכומי ההרצאות מאת יהונתן רגב ונועם יערי|סיכומי הרצאות (פרופ' קוניאבסקי) מאת יהונתן רגב ונועם יערי]]

* [[לינארית 2/מערכי ההרצאה|מערכי הרצאות]]

* [[אלגברה לינארית 2 - מערך תרגול|מערכי תירגול]]

* דפי עזר (פרופ' רון עדין): [[מדיה: צורת ז'ורדן.pdf|צורת ז'ורדן]], [[מדיה: מכפלה פנימית.pdf|מכפלה פנימית]]

* [https://www.youtube.com/watch?v=p9GLbf0_MYM צילום שעור (וידאו): מבוא למכפלה פנימית]

* סיכום ודוגמה על שילוש ולכסון אוניטרי ואו"ג [[מדיה: שילוש ולכסון אוניטרי ואוג.pdf|שילוש ולכסון אוניטרי ואוג]]
*[[מדיה:18Linear2SikumMichael.pdf|סיכום משפטים וטענות עיקריות מאת מיכאל לייקין ומיטשל בטובסקי]]

== בוחן ==

88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 2

2020-07-14T16:34:51Z

אחיה172: /* תרגיל */

'''[[מתמטיקה בדידה - מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]'''

==מכפלה קרטזית==
הגדרה: '''המכפלה הקרטזית''' של שתי קבוצות A וB הינה אוסף כל ה'''זוגות הסדורים''' - <math>A\times B = \{(a,b)|a\in A \and b\in B\}</math>. ההבדל בין זוג סדור לבין קבוצה המכילה זוג איברים היא שהאיברים יכולים להיות שווים בזוג סדור, והסדר שלהם מהותי. כלומר שני האיברים הבאים שונים <math>(1,2),(2,1)</math> והאיבר הבא הינו זוג חוקי <math>(1,1)</math>.

ניתן להכליל את ההגדרה לעיל לn-יה סדורה - כלומר n איברים מסודרים.

דוגמא: <math>A=\{1,2,3\}</math> ו<math>B=\{a,b\}</math> אזי מתקיים <math>A\times B =\{(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b)\}</math>

ניתן להגדיר זוגות סדורים באמצעות הגדרת הקבוצות בלבד, כפי שנראה בתרגיל הבא:

===תרגיל (בשיעורי הבית בד"כ)===
הוכח/הפרך:

1. <math>[(a=c)\and(b=d)]\iff \{\{a\},b\}=\{\{c\},d\}</math>

2. <math>[(a=c)\and(b=d)]\iff \{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}</math>

====פתרון====

1. הפרכה ע"י הדוגמא הנגדית <math>a=2,b=\{3\},c=3,d=\{2\}</math>

2.

הוכחה: הכיוון משמאל לימין הוא ברור. מימין לשמאל, נניח והקבוצות שוות אזי <math>\{a\}=\{c\}</math> או ש <math>\{a\}=\{c,d\}</math>.

במקרה הראשון, נובע a=c ובמקרה השני נובע a=c=d, כך או כך a=c. כעת, <math>\{a,b\}=\{c,b\}=\{c\}</math> או <math>\{c,b\}=\{c,d\}</math> ונובע משניהם ש b=d.

לכן, ניתן להגדיר זוג סדור על ידי קבוצות בלבד (באופן דומה לכך שכל המתמטיקה פחות או יותר נבנת על קבוצות בלבד).

===תרגיל===
הוכיחו או הפריכו:

א. לכל קבוצות A,B,C מתקיים <math>A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C)</math>

ב. לכל קבוצות <math>A,B,C,D</math> מתקיים: <math>(A\times B)\cup (C\times D)=(A\cup C)\times (B\cup D)</math>

====פתרון====
א. הוכחה: <math>(x,y)\in A\times(B\cap C) \iff (x\in A) \and [(y\in B)\and (y\in C)] \iff [(x\in A)\and(y\in B)] \and [(x\in A)\and(y\in C)] \iff (x,y)\in[(A\times B)\cap(A\times C)]</math>

ב. הפרכה: אפשר פשוט לקחת <math>A=\{1\},B=\{2\},C=\{3\},D=\{4\}</math>. אפשר גם לקחת <math>A=B=[0,1],C=D=[1,2]</math>, ולהראות את המלבנים המתאימים שיוצאים בשני הצדדים - זה אולי יותר ממחיש את המכפלה.

==יחסים כתת קבוצה של הזוגות הסדורים==
הגדרה: יהיו A,B קבוצות, <math>R\subseteq A\times B</math> יקרא יחס (מ A ל -B).
הרעיון שעומד בבסיסו של יחס הוא האפשרות "לקשר" בין איברי A ל B.
דוגמא: <math>A=\{1,2,3\},B=\{0,2,6\}</math> ונביט בתת הקבוצה <math>R\subseteq A\times B</math> הבאה: <math>R=\{(1,2),(1,6),(2,2),(2,6),(3,6)\}</math>. מה מיוחד בזוגות אלה?

זוגות אלה הינן כל זוגות האיברים (a,b) כך ש <math>a\leq b</math>. (כלומר הגדרנו את היחס המייצג "קטן שווה")

הערה: יחס לא חייב לייצג חוקיות מסוימת למשל גם הקבוצה <math>S=\{(1,2),(1,6),(2,0),(2,2)\}</math> היא יחס. גם <math>\emptyset</math> היא יחס. וגם <math>A\times B</math> הוא יחס.

סימון: אם זוג מסוים, (a,b), נמצא בקבוצת היחס R נהוג לסמן aRb. (אם יש משמעות ליחס כמו לעיל ניתן גם לסמן פשוט <math>a\leq b</math>.

דוגמא: נביט בקבוצת האנשים A. נגדיר את יחס "בן של" על ידי קבוצת הזוגות הסדורים <math>R\subseteq A\times A</math> כך ש <math>(x,y)\in R</math> אם"ם x הוא בן של y. שימו לב שיש משמעות לכיוון היחס, שכן יש הבדל בין העובדה שאני הבן של מישהו לבין העובדה שהוא הבן שלי.

===תכונות של יחסים על קבוצה===
הגדרה: יחס R על קבוצה A פירושו <math>R\subseteq A\times A</math>

תהי קבוצה A ויחס R עליה אזי
#R נקרא '''רפלקסיבי''' אם כל איבר מקיים את היחס עם עצמו ( מתקיים <math>\forall a\in A:(a,a)\in R</math>)
#R נקרא '''סימטרי''' אם aRb גורר שגם bRa (מתקיים <math>\forall a,b\in A:[(a,b)\in R \rightarrow (b,a)\in R]</math>)
#R נקרא '''טרנזיטיבי''' אם יחס בין ראשון לשני, ויחס בין השני לשלישי גורר יחס בין הראשון לשלישי (מתקיים <math>\forall a,b,c\in A:[((a,b)\in R) \and ((b,c)\in R) \rightarrow ((a,c)\in R)]</math>)
#R נקרא '''אנטי סימטרי (חלש)''' אם aRb וגם bRa גורר כי a=b (מתקיים <math>\forall a,b\in A:[(a,b)\in R \and (b,a)\in R \rightarrow a=b]</math>)

דוגמאות:
*יחס 'שיוויון' הינו רפלקסיבי, סימטרי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי.
*יחס 'קטן שווה' הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי סימטרי.
*יחס 'קטן ממש' הינו טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי.
*יחס 'שיוויון מודולו n' הינו רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי.
*יחס 'הכלה' הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי.
*יחס 'a מחלק את b' (על הטבעיים) הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי.
*יחס 'a מחלק את b' (על השלמים) הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי.
*יחס 'אדם x שמע על אדם y' הינו רפלקסיבי.
==== תרגיל ====
מצאו יחסים על הקבוצה <math>\{1,2,3\}</math> עם התכונות הבאות:
* יחס רפלקסיבי
*יחס סימטרי
*יחס אנטי סימטרי
*יחס טרנזיטיבי
*יחס סימטרי ואנטי סימטרי
*יחס טרנזיטיבי וסימטרי
* יחס רפלקסיבי, סימטרי ולא טרנזיטיבי
*עוד לבקשת הקהל

==== תרגיל ====
לכל <math>x</math> ממשי, נגדיר את הערך התחתון שלו <math>\lfloor x\rfloor</math> להיות המספר השלם הגדול ביותר <math>z</math> המקיים <math>z\leq x</math>. למשל <math>\lfloor2.3\rfloor=2</math> למשל <math>\lfloor\pi\rfloor=3</math> למשל <math>\lfloor-2.3\rfloor=-3</math>.

נגדיר <math>R=\left\{ \left(x,\lfloor x\rfloor\right)\,\mid x\in\mathbb{R}\right\}</math> שהוא יחס על <math>\mathbb{R}</math>. קבעו האם הוא רפלקסיבי/סימטרי/אנטי-סימטרי/טרנזיטיבי.

==יחסי שקילות==
הגדרה: תהא A קבוצה ו-R יחס עליה. R יקרה יחס שקילות אם הוא
#רפלקסיבי
#סימטרי
#טרנזיטיבי

דוגמא: תהא <math>A=\{1,2,3,4,5,6\}</math>. נגדיר תת הקבוצות <math>A_1=\{1,3\},A_2=\{2,4,5\},A_3=\{6\}</math>

נגדיר יחס R על A כך <math>\exist 1\leq i \leq 3 : x,y\in A_i \Leftrightarrow xRy</math>

טענה R יחס שקילות

הוכחה:

1. רפלקסיביות - נניח <math>x\in A</math> לכן x שייך ל <math>A_i</math> עבור i מסוים (שכן האיחוד שלהן שווה לA) ולכן <math>(x,x)\in R</math>.

2. סימטריות - נניח <math>(x,y)\in R</math> אזי <math>x,y\in A_i</math> עבור i מסוים, מכיוון שאין משמעות לסדר שייכות לקבוצה, נובע שגם <math>(y,x)\in R</math>.

3. טרנזיטיביות - נניח <math>[(x,y)\in R] \and [(y,z)\in R]</math> אזי קיימים i,j כך ש <math>x,y\in Aֹ_i</math> וגם <math>y,z\in A_j</math>. לכן <math>y\in A_i\cap A_j</math>. מכיוון שהחיתוך בין תתי הקבוצות הוא ריק מוכרח להיות ש<math>A_i=A_j</math> ולכן <math>x,y,z\in A_i</math> ולכן <math>(x,z)\in R</math> כפי שרצינו.

הגדרה: תהא A קבוצה. '''חלוקה''' של A היא חלוקה של A לקבוצות זרות. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות <math>\{A_i\}_{i\in I}</math>
כך ש:
* <math>\forall i\in I: A_i \neq \emptyset </math>
* <math>\cup _{i\in I} A_i =A </math> כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה
* הן '''זרות''' זו לו = החיתוך בין כל שתי תתי קבוצות הוא ריק (<math>\forall i\not= j\in I : A_i\cap A_j = \phi </math>)

כפי שראינו בדוגמה הקודמת חלוקה של A מגדירה יחס שקילות (אמנם זה "רק" דוגמא אבל ניתן להוכיח את המקרה הכללי באותו אופן).

'''הערה:''' אפשר להציג את היחס על <math>P(X)</math> שמוגדר ע"י <math>A\sim B\iff A\cap S=B\cap S </math> (כאשר S ת"ק קבועה), אם כי זה נעשה בשיעורי הבית.

====תרגיל====
נגדיר על <math>\mathbb{R}</math> ארבעה יחסים <math>Q,R,S,T</math> באופן הבא: לכל <math>x,y\in \mathbb{R}</math>:

<math>xQy\iff x-y=17</math>

<math>xRy\iff x-y\in \mathbb{N}\cup \{0\}</math>

<math>xSy\iff x-y\in 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}</math>.

<math>xTy\iff x-y\in \mathbb{Z}</math>.

בדקו עבור כל אחד מהם האם הוא יחס שקילות.

=====פתרון=====

<math>Q</math> לא כיון שלא רפלקסיבי, שהרי לכל <math>x\in \mathbb{R}</math> (ובפרט קיים לפחות אחד) <math>x-x=0\neq 17</math>.

<math>R</math> אמנם רפלקסיבי, אך לא סימטרי.

<math>S</math> לא טרנזיטיבי: <math>2S6\land 6S3</math> אבל לא נכון ש-<math>2S3</math>.

<math>T</math> כן יחס שקילות:

רפלקסיביות: יהי <math>x\in \mathbb{R}</math>, אז <math>x-x=0\in \mathbb{Z}</math>.

סימטריות: <math>xTy\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z} :x-y=a \Rightarrow y-x=-a\in \mathbb{Z} \Rightarrow yTx</math>.

טרנזיטיביות: <math>xTy\land yTz\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z}: x-y=a \land \exists b\in \mathbb{Z}: y-z=b\\ \Rightarrow x-z=x-y+y-z=a+b\in \mathbb{Z}</math>.

===מחלקות שקילות וקבוצת המנה===
הגדרה:

יהא R יחס שקילות על A אזי

# לכל <math>x\in A</math> מוגדרת '''מחלקת השקילות של x ''' להיות <math>\bar{x}=[x]_R:=\{y\in A | (x,y)\in R\} </math>
# ''' קבוצת המנה ''' מוגדרת <math>A/R := \{ [x]_R | x\in A\} </math>

למשל, בדוגמא הראשונה <math>A_1,A_2,A_3</math> הן מחלקות השקילות. קבוצת המנה היא <math>A/R=\{A_1,A_2,A_3\}</math>

משפט: יהא R יחס שקילות על A אזי
# לכל <math>x,y\in A</math> מתקיים <math>[x]=[y]</math> או <math>[x]\cap [y] =\phi </math> (כלומר מחלקות השקילות זרות)
# <math>A=\bigcup_{[x]\in A/R}[x]</math> כלומר (איחוד מחלקות השקילות תתן את כל A)
הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של A

מסקנה:
תהא A קבוצה אזי יש התאמה {<math>R</math> יחס שקילות על A }
<math>\leftrightarrow</math> {חלוקות של A}

חידוד: מהותו העיקרית של יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים (כמו שיוויון) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת.
====תרגיל====
כמה יחסי שקילות שונים יש על <math>A=\{1,2,3\}</math>? פתרון: נספור לפי חלוקות ונגלה כי התשובה היא 5.
====תרגיל====
תהי <math>A=\{1,2,3\}</math> קבוצה. השלם את היחסים הבאים מעליה על מנת שיקיימו את התכונות הנדרשות בשאלה (השלם - כלומר הוסף זוגות סדורים '''הכרחיים'''):
*השלם את <math>R=\{(1,2)\}</math> להיות יחס סימטרי וטרנזיטיבי. האם אחרי ההשלמה קיבלת יחס שקילות?
*השלם את הקבוצה הריקה ליחס שקילות. איך קוראים ליחס שקיבלת? מהן מחלקות השקילות?

=====פתרון=====
1. <math>R=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\}</math> זה אינו יחס שקילות מכיוון שאינו רפלקסיבי - (3,3) חסר.

2. <math>R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}</math>. זהו יחס השיוויון, מחלקות השקילות שלו הינן [1],[2],[3].

====תרגיל====
ראינו לעיל יחס <math>T\subseteq \mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> (המוגדר ע"י שההפרש שייך לשלמים) והראינו שהוא יחס שקילות. הוכיחו:

א. <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}\Rightarrow [x]_T\subseteq \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math>.

ב. אם <math>x,y\in [0,1)</math> שונים אז <math>[x]_T\neq [y]_T</math>.

ג. <math>\forall x\in \mathbb{R} \exists y\in [0,1): [x]_T=[y]_T</math>.

=====פתרון=====
א. יהי <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math> ונניח בשלילה שקיים <math>q\in \mathbb{Q}\cap [x]_T</math>. נקבל שקיים <math>a\in \mathbb{Z}</math> כך ש <math>x-q=a</math> ולכן <math>x=a+q\in \mathbb{Q}</math> בסתירה (סגירות הרציונאליים).

ב. יהיו <math>x\neq y</math>. בה"כ <math>x>y</math>, ולכן <math>x-y>0</math>. מאידך, כיון ששניהם בין 0 ל-1 נקבל <math>x-y<1</math>, ולכן ההפרש בהכרח לא שלם, ולכן הם לא שקולים.

ג. כל מספר כשמחסרים ממנו את הערך השלם התחתון שלו מקבלים משהו בין 0 ל-1, והם שקולים כי ההפרש הוא הערך השלם התחתון, שהוא, מהגדרתו, מספר שלם.

====תרגיל====

על <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> נגדיר יחס <math>\sim</math> לפי זה שלכל <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math>:

<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2</math>.

הוכיחו שזהו יחס שקילות ('''חשוב להדגיש איך בודקים יחס שקילות על זוגות סדורים!!!'''). מהי, מבחינה גיאומטרית מחלקת השקילות של <math>(0,1)</math>? ומהי, מבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה?

=====פתרון=====

מעגל עם רדיוס 1 מסביב לראשית. קבוצת המנה - אוסף המעגלים מסביב לראשית (כלומר: קבוצה של קבוצות של זוגות סדורים שהם הנק' על כל מעגל לפי הרדיוס שלו).

==== תרגיל ====
תהא <math>A</math> קבוצה ותהא <math>S\subseteq A</math> ת"ק שלה. נגדיר יחס <math>\sim</math> על <math>P(A)</math>
ע"י הכלל <math>B_1\sim B_2 \iff B_1 \cup S=B_2\cup S</math>

* הוכיחו כי זהו יחס שקילות.
* עבור <math>S=\{1,7,9,10\},A=\{1,2,\dots 10\}</math> מצאו את מספר האיברים ב <math>P(A)/\sim</math>

=====פתרון=====
* יש לבדוק פשוט שהתכונות של יחס שקילות מתקיימות לפי הגדרת היחס הנתון.
* נשים לב ששתי קבוצות ב-(P(A שקולות זו לזו אם ורק אם הן נבדלות זו מזו רק באיברים השייכים ל-S (אפשר להוכיח), כלומר: אם ההפרש הסימטרי שלהן מוכל ב-S. לכן, אם אנו רוצים לספור מחלקות שקילות (שונות), עלינו לספור כמה אפשרויות יש לחלק של ההפרש הסימטרי שאינו מוכל ב-S (החלק שמוכל אינו משפיע). כיוון שחלק זה יכול להיות כל תת קבוצה של המשלים של S (ביחס ל-A), וכיוון שבמשלים זה יש 6 איברים, נקבל שישנן 6^2 אפשרויות, ולכן זהו מספר מחלקות השקילות, כלומר: גודל קבוצת המנה.

===דוגמא חשובה - הגדרת הרציונאליים ===
נביט בקבוצת המכפלה הקרטזית של השלמים עם עצמם <math>\mathbb{Z}\times \mathbb{N} </math>. נסתכל על ההתאמה <math>(a,b)\leftrightarrow\frac{a}{b}</math> האם תחת ההתאמה הזו ניתן להגדיר את הרציונאליים באמצעות המכפלה הקרטזית לעיל בלבד?

תשובה: לא. למשל, <math>\frac{2}{6}=\frac{1}{3}</math> ואילו <math>(2,6)\neq (1,3)</math>. כלומר, המכפלה הקרטזית מכילה חזרות מיותרות לעומת הרציונאליים.

נרצה איפוא, להגדיר יחס שקילות על הזוגות הסדורים של מספרים שלמים כך שכל שני שברים שקולים יהיו ביחס. שימו לב שאנו מגדירים יחס על קבוצת זוגות סדורים, ולכן האיברים ביחס הינם זוגות סדורים של זוגות סדורים. נגדיר
<math>R</math> על <math>\mathbb{Z}\times \mathbb{N} </math> ע"י

<math>(x,y)R(z,w) \iff xw=zy</math> (כלומר אם מתקיים עבור השברים <math>\frac{x}{y}=\frac{z}{w}</math>)

נוכיח רק טרנזיטיביות:
נניח <math>(x,y)R(z,w), (z,w)R(a,b) </math>
אזי <math> xw=zy, zb=aw </math> (צ"ל <math> xb=ay </math>)

כייון ש <math> w \not=0 </math> נקבל כי <math>x=\frac{zy}{w}</math> ולכן <math>xb=\frac{zby}{w}=\frac{awy}{w}=ay</math> כנדרש.

ומי שלא רוצה להשתמש בחילוק (אבל כן מתיר לצמצם משיוויון איבר שנמצא בשני הצדדים, כי ניתן להשתכנע בכך מהגדרת כפל על טבעיים): נשים לב שמתקיים: <math>xwb=zyb=yaw</math>, ולכן נקבל <math>xb=ay</math> כנדרש.

מסקנה: הרציונאלים הם קבוצת המנה של <<math>\mathbb{Z}\times \mathbb{N} </math> והיחס שהגדרנו לעיל. למעשה, מאחורי כל שבר עומדת הקבוצה האינסופית של כל השברים השקולים לו, ופשוט אנחנו בוחרים לייצג קבוצה זו על ידי אחד השברים שבה באופן שרירותי (או באופן מסוים - בחירת השבר המצומצם).

===שאלה ממבחן===
א. תהי A קבוצה לא ריקה ותהי <math>\{R_i\}_{i\in I}</math> משפחה של יחסי שקילות על A. הוכיחו כי החיתוך הכללי <math>R=\cap_{i\in I}R_i</math> הינו יחס שקילויות על A.

ב. נסמן <math>R_n=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}:n|(x-y)\}</math>. מהם <math>R_1,R_2,R=\cap_{n\in\mathbb{N}}R_n</math>? מהן קבוצות המנה <math>\mathbb{Z}/R,\mathbb{Z}/R_1,\mathbb{Z}/R_2</math>?

====פתרון====
א. רפלקסיביות: מאחר ו <math>\forall a\in A\forall i\in I : (a,a)\in R_i</math> נובע ש <math>\forall a\in A: (a,a)\in R</math>.

סימטריות: נניח <math>(x,y)\in R</math> לכן <math>\forall i\in I:(x,y)\in R_i</math> ולכן נובע מסמטריות היחסים ש <math>\forall i\in I:(y,x)\in R_i</math> ולכן <math>(y,x)\in R</math>.

טרנזיטיביות: ממש אותו דבר...

ב. <math>R_1</math> הינו אוסף כל הזוגות הסדורים מעל השלמים, שכן אחד מחלק כל מספר ולכן כל הפרש.

<math>R_2</math> הינו אוסף כל הזוגות בהם שני הצדדים זוגיים או שני הצדדים אי זוגיים, שכן ההפרש בינהם חייב להיות זוגי.

R הינו אוסף הזוגות שההפרש בינהם מתחלק בכל המספרים הטבעיים. רק הפרש אפס יכול להתחלק בכל מספר, ולכן R הינו אוסף הזוגות מהצורה (q,q) עבור q מספר שלם. (יחס השיוויון.)

<math>\mathbb{Z}/R_1</math> הינו אוסף מחלקות השקילות של היחס המכיל את כל הזוגות. יש בו רק מחלקת שקילות אחת המכילה את כל המספרים השלמים.

<math>\mathbb{Z}/R_2</math> מכיל שתי קבוצות, קבוצת הזוגיים וקבוצת האי זוגיים שכן בין כל הזוגיים יש את היחס, ובין כל האי זוגיים ולא בין לבין כמובן (הרי זה יחס שקילויות כפי שקל להוכיח).

<math>\mathbb{Z}/R</math> הינו אוסף כל הקבוצות המכילות איבר שלם בודד.

88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 2

2020-07-14T16:33:55Z

אחיה172: /* תרגיל */

'''[[מתמטיקה בדידה - מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]'''

==מכפלה קרטזית==
הגדרה: '''המכפלה הקרטזית''' של שתי קבוצות A וB הינה אוסף כל ה'''זוגות הסדורים''' - <math>A\times B = \{(a,b)|a\in A \and b\in B\}</math>. ההבדל בין זוג סדור לבין קבוצה המכילה זוג איברים היא שהאיברים יכולים להיות שווים בזוג סדור, והסדר שלהם מהותי. כלומר שני האיברים הבאים שונים <math>(1,2),(2,1)</math> והאיבר הבא הינו זוג חוקי <math>(1,1)</math>.

ניתן להכליל את ההגדרה לעיל לn-יה סדורה - כלומר n איברים מסודרים.

דוגמא: <math>A=\{1,2,3\}</math> ו<math>B=\{a,b\}</math> אזי מתקיים <math>A\times B =\{(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b)\}</math>

ניתן להגדיר זוגות סדורים באמצעות הגדרת הקבוצות בלבד, כפי שנראה בתרגיל הבא:

===תרגיל (בשיעורי הבית בד"כ)===
הוכח/הפרך:

1. <math>[(a=c)\and(b=d)]\iff \{\{a\},b\}=\{\{c\},d\}</math>

2. <math>[(a=c)\and(b=d)]\iff \{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}</math>

====פתרון====

1. הפרכה ע"י הדוגמא הנגדית <math>a=2,b=\{3\},c=3,d=\{2\}</math>

2.

הוכחה: הכיוון משמאל לימין הוא ברור. מימין לשמאל, נניח והקבוצות שוות אזי <math>\{a\}=\{c\}</math> או ש <math>\{a\}=\{c,d\}</math>.

במקרה הראשון, נובע a=c ובמקרה השני נובע a=c=d, כך או כך a=c. כעת, <math>\{a,b\}=\{c,b\}=\{c\}</math> או <math>\{c,b\}=\{c,d\}</math> ונובע משניהם ש b=d.

לכן, ניתן להגדיר זוג סדור על ידי קבוצות בלבד (באופן דומה לכך שכל המתמטיקה פחות או יותר נבנת על קבוצות בלבד).

===תרגיל===
הוכיחו או הפריכו:

א. לכל קבוצות A,B,C מתקיים <math>A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C)</math>

ב. לכל קבוצות <math>A,B,C,D</math> מתקיים: <math>(A\times B)\cup (C\times D)=(A\cup C)\times (B\cup D)</math>

====פתרון====
א. הוכחה: <math>(x,y)\in A\times(B\cap C) \iff (x\in A) \and [(y\in B)\and (y\in C)] \iff [(x\in A)\and(y\in B)] \and [(x\in A)\and(y\in C)] \iff (x,y)\in[(A\times B)\cap(A\times C)]</math>

ב. הפרכה: אפשר פשוט לקחת <math>A=\{1\},B=\{2\},C=\{3\},D=\{4\}</math>. אפשר גם לקחת <math>A=B=[0,1],C=D=[1,2]</math>, ולהראות את המלבנים המתאימים שיוצאים בשני הצדדים - זה אולי יותר ממחיש את המכפלה.

==יחסים כתת קבוצה של הזוגות הסדורים==
הגדרה: יהיו A,B קבוצות, <math>R\subseteq A\times B</math> יקרא יחס (מ A ל -B).
הרעיון שעומד בבסיסו של יחס הוא האפשרות "לקשר" בין איברי A ל B.
דוגמא: <math>A=\{1,2,3\},B=\{0,2,6\}</math> ונביט בתת הקבוצה <math>R\subseteq A\times B</math> הבאה: <math>R=\{(1,2),(1,6),(2,2),(2,6),(3,6)\}</math>. מה מיוחד בזוגות אלה?

זוגות אלה הינן כל זוגות האיברים (a,b) כך ש <math>a\leq b</math>. (כלומר הגדרנו את היחס המייצג "קטן שווה")

הערה: יחס לא חייב לייצג חוקיות מסוימת למשל גם הקבוצה <math>S=\{(1,2),(1,6),(2,0),(2,2)\}</math> היא יחס. גם <math>\emptyset</math> היא יחס. וגם <math>A\times B</math> הוא יחס.

סימון: אם זוג מסוים, (a,b), נמצא בקבוצת היחס R נהוג לסמן aRb. (אם יש משמעות ליחס כמו לעיל ניתן גם לסמן פשוט <math>a\leq b</math>.

דוגמא: נביט בקבוצת האנשים A. נגדיר את יחס "בן של" על ידי קבוצת הזוגות הסדורים <math>R\subseteq A\times A</math> כך ש <math>(x,y)\in R</math> אם"ם x הוא בן של y. שימו לב שיש משמעות לכיוון היחס, שכן יש הבדל בין העובדה שאני הבן של מישהו לבין העובדה שהוא הבן שלי.

===תכונות של יחסים על קבוצה===
הגדרה: יחס R על קבוצה A פירושו <math>R\subseteq A\times A</math>

תהי קבוצה A ויחס R עליה אזי
#R נקרא '''רפלקסיבי''' אם כל איבר מקיים את היחס עם עצמו ( מתקיים <math>\forall a\in A:(a,a)\in R</math>)
#R נקרא '''סימטרי''' אם aRb גורר שגם bRa (מתקיים <math>\forall a,b\in A:[(a,b)\in R \rightarrow (b,a)\in R]</math>)
#R נקרא '''טרנזיטיבי''' אם יחס בין ראשון לשני, ויחס בין השני לשלישי גורר יחס בין הראשון לשלישי (מתקיים <math>\forall a,b,c\in A:[((a,b)\in R) \and ((b,c)\in R) \rightarrow ((a,c)\in R)]</math>)
#R נקרא '''אנטי סימטרי (חלש)''' אם aRb וגם bRa גורר כי a=b (מתקיים <math>\forall a,b\in A:[(a,b)\in R \and (b,a)\in R \rightarrow a=b]</math>)

דוגמאות:
*יחס 'שיוויון' הינו רפלקסיבי, סימטרי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי.
*יחס 'קטן שווה' הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי סימטרי.
*יחס 'קטן ממש' הינו טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי.
*יחס 'שיוויון מודולו n' הינו רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי.
*יחס 'הכלה' הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי.
*יחס 'a מחלק את b' (על הטבעיים) הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי.
*יחס 'a מחלק את b' (על השלמים) הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי.
*יחס 'אדם x שמע על אדם y' הינו רפלקסיבי.
==== תרגיל ====
מצאו יחסים על הקבוצה <math>\{1,2,3\}</math> עם התכונות הבאות:
* יחס רפלקסיבי
*יחס סימטרי
*יחס אנטי סימטרי
*יחס טרנזיטיבי
*יחס סימטרי ואנטי סימטרי
*יחס טרנזיטיבי וסימטרי
* יחס רפלקסיבי, סימטרי ולא טרנזיטיבי
*עוד לבקשת הקהל

==יחסי שקילות==
הגדרה: תהא A קבוצה ו-R יחס עליה. R יקרה יחס שקילות אם הוא
#רפלקסיבי
#סימטרי
#טרנזיטיבי

דוגמא: תהא <math>A=\{1,2,3,4,5,6\}</math>. נגדיר תת הקבוצות <math>A_1=\{1,3\},A_2=\{2,4,5\},A_3=\{6\}</math>

נגדיר יחס R על A כך <math>\exist 1\leq i \leq 3 : x,y\in A_i \Leftrightarrow xRy</math>

טענה R יחס שקילות

הוכחה:

1. רפלקסיביות - נניח <math>x\in A</math> לכן x שייך ל <math>A_i</math> עבור i מסוים (שכן האיחוד שלהן שווה לA) ולכן <math>(x,x)\in R</math>.

2. סימטריות - נניח <math>(x,y)\in R</math> אזי <math>x,y\in A_i</math> עבור i מסוים, מכיוון שאין משמעות לסדר שייכות לקבוצה, נובע שגם <math>(y,x)\in R</math>.

3. טרנזיטיביות - נניח <math>[(x,y)\in R] \and [(y,z)\in R]</math> אזי קיימים i,j כך ש <math>x,y\in Aֹ_i</math> וגם <math>y,z\in A_j</math>. לכן <math>y\in A_i\cap A_j</math>. מכיוון שהחיתוך בין תתי הקבוצות הוא ריק מוכרח להיות ש<math>A_i=A_j</math> ולכן <math>x,y,z\in A_i</math> ולכן <math>(x,z)\in R</math> כפי שרצינו.

הגדרה: תהא A קבוצה. '''חלוקה''' של A היא חלוקה של A לקבוצות זרות. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות <math>\{A_i\}_{i\in I}</math>
כך ש:
* <math>\forall i\in I: A_i \neq \emptyset </math>
* <math>\cup _{i\in I} A_i =A </math> כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה
* הן '''זרות''' זו לו = החיתוך בין כל שתי תתי קבוצות הוא ריק (<math>\forall i\not= j\in I : A_i\cap A_j = \phi </math>)

כפי שראינו בדוגמה הקודמת חלוקה של A מגדירה יחס שקילות (אמנם זה "רק" דוגמא אבל ניתן להוכיח את המקרה הכללי באותו אופן).

'''הערה:''' אפשר להציג את היחס על <math>P(X)</math> שמוגדר ע"י <math>A\sim B\iff A\cap S=B\cap S </math> (כאשר S ת"ק קבועה), אם כי זה נעשה בשיעורי הבית.

====תרגיל====
נגדיר על <math>\mathbb{R}</math> ארבעה יחסים <math>Q,R,S,T</math> באופן הבא: לכל <math>x,y\in \mathbb{R}</math>:

<math>xQy\iff x-y=17</math>

<math>xRy\iff x-y\in \mathbb{N}\cup \{0\}</math>

<math>xSy\iff x-y\in 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}</math>.

<math>xTy\iff x-y\in \mathbb{Z}</math>.

בדקו עבור כל אחד מהם האם הוא יחס שקילות.

=====פתרון=====

<math>Q</math> לא כיון שלא רפלקסיבי, שהרי לכל <math>x\in \mathbb{R}</math> (ובפרט קיים לפחות אחד) <math>x-x=0\neq 17</math>.

<math>R</math> אמנם רפלקסיבי, אך לא סימטרי.

<math>S</math> לא טרנזיטיבי: <math>2S6\land 6S3</math> אבל לא נכון ש-<math>2S3</math>.

<math>T</math> כן יחס שקילות:

רפלקסיביות: יהי <math>x\in \mathbb{R}</math>, אז <math>x-x=0\in \mathbb{Z}</math>.

סימטריות: <math>xTy\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z} :x-y=a \Rightarrow y-x=-a\in \mathbb{Z} \Rightarrow yTx</math>.

טרנזיטיביות: <math>xTy\land yTz\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z}: x-y=a \land \exists b\in \mathbb{Z}: y-z=b\\ \Rightarrow x-z=x-y+y-z=a+b\in \mathbb{Z}</math>.

===מחלקות שקילות וקבוצת המנה===
הגדרה:

יהא R יחס שקילות על A אזי

# לכל <math>x\in A</math> מוגדרת '''מחלקת השקילות של x ''' להיות <math>\bar{x}=[x]_R:=\{y\in A | (x,y)\in R\} </math>
# ''' קבוצת המנה ''' מוגדרת <math>A/R := \{ [x]_R | x\in A\} </math>

למשל, בדוגמא הראשונה <math>A_1,A_2,A_3</math> הן מחלקות השקילות. קבוצת המנה היא <math>A/R=\{A_1,A_2,A_3\}</math>

משפט: יהא R יחס שקילות על A אזי
# לכל <math>x,y\in A</math> מתקיים <math>[x]=[y]</math> או <math>[x]\cap [y] =\phi </math> (כלומר מחלקות השקילות זרות)
# <math>A=\bigcup_{[x]\in A/R}[x]</math> כלומר (איחוד מחלקות השקילות תתן את כל A)
הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של A

מסקנה:
תהא A קבוצה אזי יש התאמה {<math>R</math> יחס שקילות על A }
<math>\leftrightarrow</math> {חלוקות של A}

חידוד: מהותו העיקרית של יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים (כמו שיוויון) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת.
====תרגיל====
כמה יחסי שקילות שונים יש על <math>A=\{1,2,3\}</math>? פתרון: נספור לפי חלוקות ונגלה כי התשובה היא 5.
====תרגיל====
תהי <math>A=\{1,2,3\}</math> קבוצה. השלם את היחסים הבאים מעליה על מנת שיקיימו את התכונות הנדרשות בשאלה (השלם - כלומר הוסף זוגות סדורים '''הכרחיים'''):
*השלם את <math>R=\{(1,2)\}</math> להיות יחס סימטרי וטרנזיטיבי. האם אחרי ההשלמה קיבלת יחס שקילות?
*השלם את הקבוצה הריקה ליחס שקילות. איך קוראים ליחס שקיבלת? מהן מחלקות השקילות?

=====פתרון=====
1. <math>R=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\}</math> זה אינו יחס שקילות מכיוון שאינו רפלקסיבי - (3,3) חסר.

2. <math>R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}</math>. זהו יחס השיוויון, מחלקות השקילות שלו הינן [1],[2],[3].

====תרגיל====
ראינו לעיל יחס <math>T\subseteq \mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> (המוגדר ע"י שההפרש שייך לשלמים) והראינו שהוא יחס שקילות. הוכיחו:

א. <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}\Rightarrow [x]_T\subseteq \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math>.

ב. אם <math>x,y\in [0,1)</math> שונים אז <math>[x]_T\neq [y]_T</math>.

ג. <math>\forall x\in \mathbb{R} \exists y\in [0,1): [x]_T=[y]_T</math>.

=====פתרון=====
א. יהי <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math> ונניח בשלילה שקיים <math>q\in \mathbb{Q}\cap [x]_T</math>. נקבל שקיים <math>a\in \mathbb{Z}</math> כך ש <math>x-q=a</math> ולכן <math>x=a+q\in \mathbb{Q}</math> בסתירה (סגירות הרציונאליים).

ב. יהיו <math>x\neq y</math>. בה"כ <math>x>y</math>, ולכן <math>x-y>0</math>. מאידך, כיון ששניהם בין 0 ל-1 נקבל <math>x-y<1</math>, ולכן ההפרש בהכרח לא שלם, ולכן הם לא שקולים.

ג. כל מספר כשמחסרים ממנו את הערך השלם התחתון שלו מקבלים משהו בין 0 ל-1, והם שקולים כי ההפרש הוא הערך השלם התחתון, שהוא, מהגדרתו, מספר שלם.

====תרגיל====

על <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> נגדיר יחס <math>\sim</math> לפי זה שלכל <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math>:

<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2</math>.

הוכיחו שזהו יחס שקילות ('''חשוב להדגיש איך בודקים יחס שקילות על זוגות סדורים!!!'''). מהי, מבחינה גיאומטרית מחלקת השקילות של <math>(0,1)</math>? ומהי, מבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה?

=====פתרון=====

מעגל עם רדיוס 1 מסביב לראשית. קבוצת המנה - אוסף המעגלים מסביב לראשית (כלומר: קבוצה של קבוצות של זוגות סדורים שהם הנק' על כל מעגל לפי הרדיוס שלו).

==== תרגיל ====
תהא <math>A</math> קבוצה ותהא <math>S\subseteq A</math> ת"ק שלה. נגדיר יחס <math>\sim</math> על <math>P(A)</math>
ע"י הכלל <math>B_1\sim B_2 \iff B_1 \cup S=B_2\cup S</math>

* הוכיחו כי זהו יחס שקילות.
* עבור <math>S=\{1,7,9,10\},A=\{1,2,\dots 10\}</math> מצאו את מספר האיברים ב <math>P(A)/\sim</math>

=====פתרון=====
* יש לבדוק פשוט שהתכונות של יחס שקילות מתקיימות לפי הגדרת היחס הנתון.
* נשים לב ששתי קבוצות ב-(P(A שקולות זו לזו אם ורק אם הן נבדלות זו מזו רק באיברים השייכים ל-S (אפשר להוכיח), כלומר: אם ההפרש הסימטרי שלהן מוכל ב-S. לכן, אם אנו רוצים לספור מחלקות שקילות (שונות), עלינו לספור כמה אפשרויות יש לחלק של ההפרש הסימטרי שאינו מוכל ב-S (החלק שמוכל אינו משפיע). כיוון שחלק זה יכול להיות כל תת קבוצה של המשלים של S (ביחס ל-A), וכיוון שבמשלים זה יש 6 איברים, נקבל שישנן 6^2 אפשרויות, ולכן זהו מספר מחלקות השקילות, כלומר: גודל קבוצת המנה.

===דוגמא חשובה - הגדרת הרציונאליים ===
נביט בקבוצת המכפלה הקרטזית של השלמים עם עצמם <math>\mathbb{Z}\times \mathbb{N} </math>. נסתכל על ההתאמה <math>(a,b)\leftrightarrow\frac{a}{b}</math> האם תחת ההתאמה הזו ניתן להגדיר את הרציונאליים באמצעות המכפלה הקרטזית לעיל בלבד?

תשובה: לא. למשל, <math>\frac{2}{6}=\frac{1}{3}</math> ואילו <math>(2,6)\neq (1,3)</math>. כלומר, המכפלה הקרטזית מכילה חזרות מיותרות לעומת הרציונאליים.

נרצה איפוא, להגדיר יחס שקילות על הזוגות הסדורים של מספרים שלמים כך שכל שני שברים שקולים יהיו ביחס. שימו לב שאנו מגדירים יחס על קבוצת זוגות סדורים, ולכן האיברים ביחס הינם זוגות סדורים של זוגות סדורים. נגדיר
<math>R</math> על <math>\mathbb{Z}\times \mathbb{N} </math> ע"י

<math>(x,y)R(z,w) \iff xw=zy</math> (כלומר אם מתקיים עבור השברים <math>\frac{x}{y}=\frac{z}{w}</math>)

נוכיח רק טרנזיטיביות:
נניח <math>(x,y)R(z,w), (z,w)R(a,b) </math>
אזי <math> xw=zy, zb=aw </math> (צ"ל <math> xb=ay </math>)

כייון ש <math> w \not=0 </math> נקבל כי <math>x=\frac{zy}{w}</math> ולכן <math>xb=\frac{zby}{w}=\frac{awy}{w}=ay</math> כנדרש.

ומי שלא רוצה להשתמש בחילוק (אבל כן מתיר לצמצם משיוויון איבר שנמצא בשני הצדדים, כי ניתן להשתכנע בכך מהגדרת כפל על טבעיים): נשים לב שמתקיים: <math>xwb=zyb=yaw</math>, ולכן נקבל <math>xb=ay</math> כנדרש.

מסקנה: הרציונאלים הם קבוצת המנה של <<math>\mathbb{Z}\times \mathbb{N} </math> והיחס שהגדרנו לעיל. למעשה, מאחורי כל שבר עומדת הקבוצה האינסופית של כל השברים השקולים לו, ופשוט אנחנו בוחרים לייצג קבוצה זו על ידי אחד השברים שבה באופן שרירותי (או באופן מסוים - בחירת השבר המצומצם).

===שאלה ממבחן===
א. תהי A קבוצה לא ריקה ותהי <math>\{R_i\}_{i\in I}</math> משפחה של יחסי שקילות על A. הוכיחו כי החיתוך הכללי <math>R=\cap_{i\in I}R_i</math> הינו יחס שקילויות על A.

ב. נסמן <math>R_n=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}:n|(x-y)\}</math>. מהם <math>R_1,R_2,R=\cap_{n\in\mathbb{N}}R_n</math>? מהן קבוצות המנה <math>\mathbb{Z}/R,\mathbb{Z}/R_1,\mathbb{Z}/R_2</math>?

====פתרון====
א. רפלקסיביות: מאחר ו <math>\forall a\in A\forall i\in I : (a,a)\in R_i</math> נובע ש <math>\forall a\in A: (a,a)\in R</math>.

סימטריות: נניח <math>(x,y)\in R</math> לכן <math>\forall i\in I:(x,y)\in R_i</math> ולכן נובע מסמטריות היחסים ש <math>\forall i\in I:(y,x)\in R_i</math> ולכן <math>(y,x)\in R</math>.

טרנזיטיביות: ממש אותו דבר...

ב. <math>R_1</math> הינו אוסף כל הזוגות הסדורים מעל השלמים, שכן אחד מחלק כל מספר ולכן כל הפרש.

<math>R_2</math> הינו אוסף כל הזוגות בהם שני הצדדים זוגיים או שני הצדדים אי זוגיים, שכן ההפרש בינהם חייב להיות זוגי.

R הינו אוסף הזוגות שההפרש בינהם מתחלק בכל המספרים הטבעיים. רק הפרש אפס יכול להתחלק בכל מספר, ולכן R הינו אוסף הזוגות מהצורה (q,q) עבור q מספר שלם. (יחס השיוויון.)

<math>\mathbb{Z}/R_1</math> הינו אוסף מחלקות השקילות של היחס המכיל את כל הזוגות. יש בו רק מחלקת שקילות אחת המכילה את כל המספרים השלמים.

<math>\mathbb{Z}/R_2</math> מכיל שתי קבוצות, קבוצת הזוגיים וקבוצת האי זוגיים שכן בין כל הזוגיים יש את היחס, ובין כל האי זוגיים ולא בין לבין כמובן (הרי זה יחס שקילויות כפי שקל להוכיח).

<math>\mathbb{Z}/R</math> הינו אוסף כל הקבוצות המכילות איבר שלם בודד.

88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 2

2020-07-14T16:21:38Z

אחיה172: /* דוגמא חשובה - הגדרת הרציונאליים (בהרצאה בד"כ) */

'''[[מתמטיקה בדידה - מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]'''

==מכפלה קרטזית==
הגדרה: '''המכפלה הקרטזית''' של שתי קבוצות A וB הינה אוסף כל ה'''זוגות הסדורים''' - <math>A\times B = \{(a,b)|a\in A \and b\in B\}</math>. ההבדל בין זוג סדור לבין קבוצה המכילה זוג איברים היא שהאיברים יכולים להיות שווים בזוג סדור, והסדר שלהם מהותי. כלומר שני האיברים הבאים שונים <math>(1,2),(2,1)</math> והאיבר הבא הינו זוג חוקי <math>(1,1)</math>.

ניתן להכליל את ההגדרה לעיל לn-יה סדורה - כלומר n איברים מסודרים.

דוגמא: <math>A=\{1,2,3\}</math> ו<math>B=\{a,b\}</math> אזי מתקיים <math>A\times B =\{(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b)\}</math>

ניתן להגדיר זוגות סדורים באמצעות הגדרת הקבוצות בלבד, כפי שנראה בתרגיל הבא:

===תרגיל (בשיעורי הבית בד"כ)===
הוכח/הפרך:

1. <math>[(a=c)\and(b=d)]\iff \{\{a\},b\}=\{\{c\},d\}</math>

2. <math>[(a=c)\and(b=d)]\iff \{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}</math>

====פתרון====

1. הפרכה ע"י הדוגמא הנגדית <math>a=2,b=\{3\},c=3,d=\{2\}</math>

2.

הוכחה: הכיוון משמאל לימין הוא ברור. מימין לשמאל, נניח והקבוצות שוות אזי <math>\{a\}=\{c\}</math> או ש <math>\{a\}=\{c,d\}</math>.

במקרה הראשון, נובע a=c ובמקרה השני נובע a=c=d, כך או כך a=c. כעת, <math>\{a,b\}=\{c,b\}=\{c\}</math> או <math>\{c,b\}=\{c,d\}</math> ונובע משניהם ש b=d.

לכן, ניתן להגדיר זוג סדור על ידי קבוצות בלבד (באופן דומה לכך שכל המתמטיקה פחות או יותר נבנת על קבוצות בלבד).

===תרגיל===
הוכיחו או הפריכו:

א. לכל קבוצות A,B,C מתקיים <math>A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C)</math>

ב. לכל קבוצות <math>A,B,C,D</math> מתקיים: <math>(A\times B)\cup (C\times D)=(A\cup C)\times (B\cup D)</math>

====פתרון====
א. הוכחה: <math>(x,y)\in A\times(B\cap C) \iff (x\in A) \and [(y\in B)\and (y\in C)] \iff [(x\in A)\and(y\in B)] \and [(x\in A)\and(y\in C)] \iff (x,y)\in[(A\times B)\cap(A\times C)]</math>

ב. הפרכה: אפשר פשוט לקחת <math>A=\{1\},B=\{2\},C=\{3\},D=\{4\}</math>. אפשר גם לקחת <math>A=B=[0,1],C=D=[1,2]</math>, ולהראות את המלבנים המתאימים שיוצאים בשני הצדדים - זה אולי יותר ממחיש את המכפלה.

==יחסים כתת קבוצה של הזוגות הסדורים==
הגדרה: יהיו A,B קבוצות, <math>R\subseteq A\times B</math> יקרא יחס (מ A ל -B).
הרעיון שעומד בבסיסו של יחס הוא האפשרות "לקשר" בין איברי A ל B.
דוגמא: <math>A=\{1,2,3\},B=\{0,2,6\}</math> ונביט בתת הקבוצה <math>R\subseteq A\times B</math> הבאה: <math>R=\{(1,2),(1,6),(2,2),(2,6),(3,6)\}</math>. מה מיוחד בזוגות אלה?

זוגות אלה הינן כל זוגות האיברים (a,b) כך ש <math>a\leq b</math>. (כלומר הגדרנו את היחס המייצג "קטן שווה")

הערה: יחס לא חייב לייצג חוקיות מסוימת למשל גם הקבוצה <math>S=\{(1,2),(1,6),(2,0),(2,2)\}</math> היא יחס. גם <math>\emptyset</math> היא יחס. וגם <math>A\times B</math> הוא יחס.

סימון: אם זוג מסוים, (a,b), נמצא בקבוצת היחס R נהוג לסמן aRb. (אם יש משמעות ליחס כמו לעיל ניתן גם לסמן פשוט <math>a\leq b</math>.

דוגמא: נביט בקבוצת האנשים A. נגדיר את יחס "בן של" על ידי קבוצת הזוגות הסדורים <math>R\subseteq A\times A</math> כך ש <math>(x,y)\in R</math> אם"ם x הוא בן של y. שימו לב שיש משמעות לכיוון היחס, שכן יש הבדל בין העובדה שאני הבן של מישהו לבין העובדה שהוא הבן שלי.

===תכונות של יחסים על קבוצה===
הגדרה: יחס R על קבוצה A פירושו <math>R\subseteq A\times A</math>

תהי קבוצה A ויחס R עליה אזי
#R נקרא '''רפלקסיבי''' אם כל איבר מקיים את היחס עם עצמו ( מתקיים <math>\forall a\in A:(a,a)\in R</math>)
#R נקרא '''סימטרי''' אם aRb גורר שגם bRa (מתקיים <math>\forall a,b\in A:[(a,b)\in R \rightarrow (b,a)\in R]</math>)
#R נקרא '''טרנזיטיבי''' אם יחס בין ראשון לשני, ויחס בין השני לשלישי גורר יחס בין הראשון לשלישי (מתקיים <math>\forall a,b,c\in A:[((a,b)\in R) \and ((b,c)\in R) \rightarrow ((a,c)\in R)]</math>)
#R נקרא '''אנטי סימטרי (חלש)''' אם aRb וגם bRa גורר כי a=b (מתקיים <math>\forall a,b\in A:[(a,b)\in R \and (b,a)\in R \rightarrow a=b]</math>)

דוגמאות:
*יחס 'שיוויון' הינו רפלקסיבי, סימטרי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי.
*יחס 'קטן שווה' הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי סימטרי.
*יחס 'קטן ממש' הינו טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי.
*יחס 'שיוויון מודולו n' הינו רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי.
*יחס 'הכלה' הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי.
*יחס 'a מחלק את b' (על הטבעיים) הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי.
*יחס 'a מחלק את b' (על השלמים) הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי.
*יחס 'אדם x שמע על אדם y' הינו רפלקסיבי.
==== תרגיל ====
מצאו יחסים על הקבוצה <math>\{1,2,3\}</math> עם התכונות הבאות:
* יחס רפלקסיבי
*יחס סימטרי
*יחס אנטי סימטרי
*יחס טרנזיטיבי
*יחס סימטרי ואנטי סימטרי
*יחס טרנזיטיבי וסימטרי
* יחס רפלקסיבי, סימטרי ולא טרנזיטיבי
*עוד לבקשת הקהל

==יחסי שקילות==
הגדרה: תהא A קבוצה ו-R יחס עליה. R יקרה יחס שקילות אם הוא
#רפלקסיבי
#סימטרי
#טרנזיטיבי

דוגמא: תהא <math>A=\{1,2,3,4,5,6\}</math>. נגדיר תת הקבוצות <math>A_1=\{1,3\},A_2=\{2,4,5\},A_3=\{6\}</math>

נגדיר יחס R על A כך <math>\exist 1\leq i \leq 3 : x,y\in A_i \Leftrightarrow xRy</math>

טענה R יחס שקילות

הוכחה:

1. רפלקסיביות - נניח <math>x\in A</math> לכן x שייך ל <math>A_i</math> עבור i מסוים (שכן האיחוד שלהן שווה לA) ולכן <math>(x,x)\in R</math>.

2. סימטריות - נניח <math>(x,y)\in R</math> אזי <math>x,y\in A_i</math> עבור i מסוים, מכיוון שאין משמעות לסדר שייכות לקבוצה, נובע שגם <math>(y,x)\in R</math>.

3. טרנזיטיביות - נניח <math>[(x,y)\in R] \and [(y,z)\in R]</math> אזי קיימים i,j כך ש <math>x,y\in Aֹ_i</math> וגם <math>y,z\in A_j</math>. לכן <math>y\in A_i\cap A_j</math>. מכיוון שהחיתוך בין תתי הקבוצות הוא ריק מוכרח להיות ש<math>A_i=A_j</math> ולכן <math>x,y,z\in A_i</math> ולכן <math>(x,z)\in R</math> כפי שרצינו.

הגדרה: תהא A קבוצה. '''חלוקה''' של A היא חלוקה של A לקבוצות זרות. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות <math>\{A_i\}_{i\in I}</math>
כך ש:
* <math>\forall i\in I: A_i \neq \emptyset </math>
* <math>\cup _{i\in I} A_i =A </math> כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה
* הן '''זרות''' זו לו = החיתוך בין כל שתי תתי קבוצות הוא ריק (<math>\forall i\not= j\in I : A_i\cap A_j = \phi </math>)

כפי שראינו בדוגמה הקודמת חלוקה של A מגדירה יחס שקילות (אמנם זה "רק" דוגמא אבל ניתן להוכיח את המקרה הכללי באותו אופן).

'''הערה:''' אפשר להציג את היחס על <math>P(X)</math> שמוגדר ע"י <math>A\sim B\iff A\cap S=B\cap S </math> (כאשר S ת"ק קבועה), אם כי זה נעשה בשיעורי הבית.

====תרגיל====
נגדיר על <math>\mathbb{R}</math> ארבעה יחסים <math>Q,R,S,T</math> באופן הבא: לכל <math>x,y\in \mathbb{R}</math>:

<math>xQy\iff x-y=17</math>

<math>xRy\iff x-y\in \mathbb{N}\cup \{0\}</math>

<math>xSy\iff x-y\in 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}</math>.

<math>xTy\iff x-y\in \mathbb{Z}</math>.

בדקו עבור כל אחד מהם האם הוא יחס שקילות.

=====פתרון=====

<math>Q</math> לא כיון שלא רפלקסיבי, שהרי לכל <math>x\in \mathbb{R}</math> (ובפרט קיים לפחות אחד) <math>x-x=0\neq 17</math>.

<math>R</math> אמנם רפלקסיבי, אך לא סימטרי.

<math>S</math> לא טרנזיטיבי: <math>2S6\land 6S3</math> אבל לא נכון ש-<math>2S3</math>.

<math>T</math> כן יחס שקילות:

רפלקסיביות: יהי <math>x\in \mathbb{R}</math>, אז <math>x-x=0\in \mathbb{Z}</math>.

סימטריות: <math>xTy\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z} :x-y=a \Rightarrow y-x=-a\in \mathbb{Z} \Rightarrow yTx</math>.

טרנזיטיביות: <math>xTy\land yTz\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z}: x-y=a \land \exists b\in \mathbb{Z}: y-z=b\\ \Rightarrow x-z=x-y+y-z=a+b\in \mathbb{Z}</math>.

===מחלקות שקילות וקבוצת המנה===
הגדרה:

יהא R יחס שקילות על A אזי

# לכל <math>x\in A</math> מוגדרת '''מחלקת השקילות של x ''' להיות <math>\bar{x}=[x]_R:=\{y\in A | (x,y)\in R\} </math>
# ''' קבוצת המנה ''' מוגדרת <math>A/R := \{ [x]_R | x\in A\} </math>

למשל, בדוגמא הראשונה <math>A_1,A_2,A_3</math> הן מחלקות השקילות. קבוצת המנה היא <math>A/R=\{A_1,A_2,A_3\}</math>

משפט: יהא R יחס שקילות על A אזי
# לכל <math>x,y\in A</math> מתקיים <math>[x]=[y]</math> או <math>[x]\cap [y] =\phi </math> (כלומר מחלקות השקילות זרות)
# <math>A=\bigcup_{[x]\in A/R}[x]</math> כלומר (איחוד מחלקות השקילות תתן את כל A)
הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של A

מסקנה:
תהא A קבוצה אזי יש התאמה {<math>R</math> יחס שקילות על A }
<math>\leftrightarrow</math> {חלוקות של A}

חידוד: מהותו העיקרית של יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים (כמו שיוויון) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת.
====תרגיל====
כמה יחסי שקילות שונים יש על <math>A=\{1,2,3\}</math>? פתרון: נספור לפי חלוקות ונגלה כי התשובה היא 5.
====תרגיל====
תהי <math>A=\{1,2,3\}</math> קבוצה. השלם את היחסים הבאים מעליה על מנת שיקיימו את התכונות הנדרשות בשאלה (השלם - כלומר הוסף זוגות סדורים '''הכרחיים'''):
*השלם את <math>R=\{(1,2)\}</math> להיות יחס סימטרי וטרנזיטיבי. האם אחרי ההשלמה קיבלת יחס שקילות?
*השלם את הקבוצה הריקה ליחס שקילות. איך קוראים ליחס שקיבלת? מהן מחלקות השקילות?

=====פתרון=====
1. <math>R=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\}</math> זה אינו יחס שקילות מכיוון שאינו רפלקסיבי - (3,3) חסר.

2. <math>R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}</math>. זהו יחס השיוויון, מחלקות השקילות שלו הינן [1],[2],[3].

====תרגיל====
ראינו לעיל יחס <math>T\subseteq \mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> (המוגדר ע"י שההפרש שייך לשלמים) והראינו שהוא יחס שקילות. הוכיחו:

א. <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}\Rightarrow [x]_T\subseteq \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math>.

ב. אם <math>x,y\in [0,1)</math> שונים אז <math>[x]_T\neq [y]_T</math>.

ג. <math>\forall x\in \mathbb{R} \exists y\in [0,1): [x]_T=[y]_T</math>.

=====פתרון=====
א. יהי <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math> ונניח בשלילה שקיים <math>q\in \mathbb{Q}\cap [x]_T</math>. נקבל שקיים <math>a\in \mathbb{Z}</math> כך ש <math>x-q=a</math> ולכן <math>x=a+q\in \mathbb{Q}</math> בסתירה (סגירות הרציונאליים).

ב. יהיו <math>x\neq y</math>. בה"כ <math>x>y</math>, ולכן <math>x-y>0</math>. מאידך, כיון ששניהם בין 0 ל-1 נקבל <math>x-y<1</math>, ולכן ההפרש בהכרח לא שלם, ולכן הם לא שקולים.

ג. כל מספר כשמחסרים ממנו את הערך השלם התחתון שלו מקבלים משהו בין 0 ל-1, והם שקולים כי ההפרש הוא הערך השלם התחתון, שהוא, מהגדרתו, מספר שלם.

====תרגיל====

על <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> נגדיר יחס <math>\sim</math> לפי זה שלכל <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math>:

<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2</math>.

הוכיחו שזהו יחס שקילות ('''חשוב להדגיש איך בודקים יחס שקילות על זוגות סדורים!!!'''). מהי, מבחינה גיאומטרית מחלקת השקילות של <math>(0,1)</math>? ומהי, מבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה?

=====פתרון=====

מעגל עם רדיוס 1 מסביב לראשית. קבוצת המנה - אוסף המעגלים מסביב לראשית (כלומר: קבוצה של קבוצות של זוגות סדורים שהם הנק' על כל מעגל לפי הרדיוס שלו).

==== תרגיל ====
תהא <math>A</math> קבוצה ותהא <math>S\subseteq A</math> ת"ק שלה. נגדיר יחס <math>\sim</math> על <math>P(A)</math>
ע"י הכלל <math>B_1\sim B_2 \iff B_1 \cup S=B_2\cup S</math>

* הוכיחו כי זהו יחס שקילות.
* עבור <math>S=\{1,7,9,10\},A=\{1,2,\dots 10\}</math> מצאו את מספר האיברים ב <math>P(A)/\sim</math>

=====פתרון=====
* יש לבדוק פשוט שהתכונות של יחס שקילות מתקיימות לפי הגדרת היחס הנתון.
* נשים לב ששתי קבוצות ב-(P(A שקולות זו לזו אם ורק אם הן נבדלות זו מזו רק באיברים השייכים ל-S (אפשר להוכיח), כלומר: אם ההפרש הסימטרי שלהן מוכל ב-S. לכן, אם אנו רוצים לספור מחלקות שקילות (שונות), עלינו לספור כמה אפשרויות יש לחלק של ההפרש הסימטרי שאינו מוכל ב-S (החלק שמוכל אינו משפיע). כיוון שחלק זה יכול להיות כל תת קבוצה של המשלים של S (ביחס ל-A), וכיוון שבמשלים זה יש 6 איברים, נקבל שישנן 6^2 אפשרויות, ולכן זהו מספר מחלקות השקילות, כלומר: גודל קבוצת המנה.

===דוגמא חשובה - הגדרת הרציונאליים ===
נביט בקבוצת המכפלה הקרטזית של השלמים עם עצמם <math>\mathbb{Z}\times \mathbb{N} </math>. נסתכל על ההתאמה <math>(a,b)\leftrightarrow\frac{a}{b}</math> האם תחת ההתאמה הזו ניתן להגדיר את הרציונאליים באמצעות המכפלה הקרטזית לעיל בלבד?

תשובה: לא. למשל, <math>\frac{2}{6}=\frac{1}{3}</math> ואילו <math>(2,6)\neq (1,3)</math>. כלומר, המכפלה הקרטזית מכילה חזרות מיותרות לעומת הרציונאליים.

נרצה איפוא, להגדיר יחס שקילות על הזוגות הסדורים של מספרים שלמים כך שכל שני שברים שקולים יהיו ביחס. שימו לב שאנו מגדירים יחס על קבוצת זוגות סדורים, ולכן האיברים ביחס הינם זוגות סדורים של זוגות סדורים. נגדיר
<math>R</math> על <math>\mathbb{Z}\times \mathbb{N} </math> ע"י

<math>(x,y)R(z,w) \iff xw=zy</math> (כלומר אם מתקיים עבור השברים <math>\frac{x}{y}=\frac{z}{w}</math>)

נוכיח רק טרנזיטיביות:
נניח <math>(x,y)R(z,w), (z,w)R(a,b) </math>
אזי <math> xw=zy, zb=aw </math> (צ"ל <math> xb=ay </math>)

כייון ש <math> w \not=0 </math> נקבל כי <math>x=\frac{zy}{w}</math> ולכן <math>xb=\frac{zby}{w}=\frac{awy}{w}=ay</math> כנדרש.

ומי שלא רוצה להשתמש בחילוק (אבל כן מתיר לצמצם משיוויון איבר שנמצא בשני הצדדים, כי ניתן להשתכנע בכך מהגדרת כפל על טבעיים): נשים לב שמתקיים: <math>xwb=zyb=yaw</math>, ולכן נקבל <math>xb=ay</math> כנדרש.

מסקנה: הרציונאלים הם קבוצת המנה של <<math>\mathbb{Z}\times \mathbb{N} </math> והיחס שהגדרנו לעיל. למעשה, מאחורי כל שבר עומדת הקבוצה האינסופית של כל השברים השקולים לו, ופשוט אנחנו בוחרים לייצג קבוצה זו על ידי אחד השברים שבה באופן שרירותי (או באופן מסוים - בחירת השבר המצומצם).

===שאלה ממבחן===
א. תהי A קבוצה לא ריקה ותהי <math>\{R_i\}_{i\in I}</math> משפחה של יחסי שקילות על A. הוכיחו כי החיתוך הכללי <math>R=\cap_{i\in I}R_i</math> הינו יחס שקילויות על A.

ב. נסמן <math>R_n=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}:n|(x-y)\}</math>. מהם <math>R_1,R_2,R=\cap_{n\in\mathbb{N}}R_n</math>? מהן קבוצות המנה <math>\mathbb{Z}/R,\mathbb{Z}/R_1,\mathbb{Z}/R_2</math>?

====פתרון====
א. רפלקסיביות: מאחר ו <math>\forall a\in A\forall i\in I : (a,a)\in R_i</math> נובע ש <math>\forall a\in A: (a,a)\in R</math>.

סימטריות: נניח <math>(x,y)\in R</math> לכן <math>\forall i\in I:(x,y)\in R_i</math> ולכן נובע מסמטריות היחסים ש <math>\forall i\in I:(y,x)\in R_i</math> ולכן <math>(y,x)\in R</math>.

טרנזיטיביות: ממש אותו דבר...

ב. <math>R_1</math> הינו אוסף כל הזוגות הסדורים מעל השלמים, שכן אחד מחלק כל מספר ולכן כל הפרש.

<math>R_2</math> הינו אוסף כל הזוגות בהם שני הצדדים זוגיים או שני הצדדים אי זוגיים, שכן ההפרש בינהם חייב להיות זוגי.

R הינו אוסף הזוגות שההפרש בינהם מתחלק בכל המספרים הטבעיים. רק הפרש אפס יכול להתחלק בכל מספר, ולכן R הינו אוסף הזוגות מהצורה (q,q) עבור q מספר שלם. (יחס השיוויון.)

<math>\mathbb{Z}/R_1</math> הינו אוסף מחלקות השקילות של היחס המכיל את כל הזוגות. יש בו רק מחלקת שקילות אחת המכילה את כל המספרים השלמים.

<math>\mathbb{Z}/R_2</math> מכיל שתי קבוצות, קבוצת הזוגיים וקבוצת האי זוגיים שכן בין כל הזוגיים יש את היחס, ובין כל האי זוגיים ולא בין לבין כמובן (הרי זה יחס שקילויות כפי שקל להוכיח).

<math>\mathbb{Z}/R</math> הינו אוסף כל הקבוצות המכילות איבר שלם בודד.