Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

מבנים אלגבריים למדעי המחשב - ארז שיינר

2026-05-07T07:52:06Z

ארז שיינר: /* הרצאה 4 הומומורפיזמים, איזומורפיזמים, משפט קיילי, משפט לגראנג'; פרקים 9 ו6 מהספר */

[[קטגוריה:מערכי לימוד]]

=ספר הקורס=
ההרצאות מבוססות באופן כללי על הספר [http://abstract.ups.edu/aata/ Abstarct Algebra - Theory and Applications by Thomas W. Judson]

* [[מדיה:19CSASnotes.pdf|סיכום ההרצאות מ2019 ע"י ספיר ביתן]]
* [[מדיה:21CSASnotes.pdf|סיכום ההרצאות מ2021 ע"י רועי אוסקר]]

=מבחנים לדוגמא=

*[[מדיה:17ASExmTest1.pdf|מבחן לדוגמא 1 תשע"ח]]
**[[מדיה:17ASExmTest1Sol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא 1 תשע"ח]]
*[[מדיה:17ASExmTest2.pdf|מבחן לדוגמא 2 תשע"ח]]
**[[מדיה:17ASExmTest2Sol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא 2 תשע"ח]]
*[[מדיה:17ASExmTest3.pdf|מבחן לדוגמא 3 תשע"ח]]
**[[מדיה:17ASExmTest3Sol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא 3 תשע"ח]]
*[[מדיה:17ASTestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ח]]
*[[מדיה:17ASTestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ח]]
*[[מדיה:17ASTestC.pdf|מבחן מועד ג' תשע"ח]]
*[[מדיה:18ASTestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ט]]
**[[מדיה:18ASTestASol.pdf|פתרון מועד א' תשע"ט]]
*[[מדיה:19ASTestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ט]]
**[[מדיה:18ASTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשע"ט]]
*[[מדיה:20ASTestA.pdf|מבחן מועד א' תש"ף]]
*[[מדיה:20ASTestB.pdf|מבחן מועד ב' תש"ף]]
*[[מדיה:21ASTestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"א]]
**[[מדיה:21ASTestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשפ"א]]
*[[מדיה:21ASTestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"א]]
*[[מדיה:21ASTestC.pdf|מבחן מועד ג' תשפ"א]]
*[[מדיה:22ASTestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"ב]]
*[[מדיה:22ASTestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"ב]]

* [[89-214 מבחנים|מבחנים משנים קודמות]]

=נושאי ההרצאות=

[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hka_9hBlLKybpwG_5_T7FaY פלייליסט של הרצאות קבוצה 01 תשפ"א]

[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hlVTrX-RcrpYiTMyQBmIihV פלייליסט של הרצאות קבוצה 02 תשפ"א]

==הרצאה 1 הקדמה; הסבר על קידוד והצפנה, מבוא למבנים אלגבריים ==

*קידוד הוא שיטה להעברת מידע ובין היתר מטרתו היא להבטיח את נכונות המידע ולזהות (ולתקן) שגיאות.
*הצפנה היא שיטה להסתרת מידע במקום בו כולם רואים את התוכן המועבר, דרך להבטיח מי הוא מקור המידע (חתימה) ודרך להבטיח את אמינות המידע (ללא חוסרים וללא שינויים).
*המבנים האלגבריים שאנו עוסקים בהם בקורס הם חבורה, חוג ושדה.

==הרצאה 2 חבורות ותת חבורות; פרקים 3,4 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר] ==
===חבורות===
*חבורה היא קבוצה G עם פעולה המקיימת:
**סגירות
**אסוציאטיביות
**איבר נייטרלי
**לכל איבר יש איבר הופכי

*חבורה המקיימת את חוק החילוף נקראת חבורה אבלית, קומוטטיבית או חילופית

*תכונת הצמצום: תהי חבורה G, אזי לכל <math>a,b,c\in G</math> אם <math>ab=ac</math> אזי <math>b=c</math>.
**הוכחה: נכפול באיבר ההופכי <math>a^{-1}(ab)=a^{-1}(ac)</math> ונשתמש באסוציאטיביות ובאיבר הנייטרלי.

*יחידות האיבר ההופכי: נובע מתכונת הצמצום שלכל איבר בחבורה קיים איבר הופכי יחיד.
**הוכחה: אם <math>ab=ac=e_G</math> אזי <math>b=c</math>.

*דוגמאות לחבורות:
**<math>S_n</math> חבורת הפונקציות ההפיכות מקבוצה בגודל n לעצמה עם פעולת ההרכבה.
**<math>GL_n(\mathbb{F})</math> חבורת המטריצות ההפיכות עם כפל מטריצות.
**<math>\mathbb{Z}</math> חבורת השלמים עם חיבור.
**<math>\mathbb{Z}_n</math> חבורת השאריות עם חיבור מודולו n.

===מכפלה קרטזית של חבורות===

*תהיינה חבורות <math>G,H</math> המכפלה הקרטזית של החבורות <math>G\times H</math> (אוסף הזוגות הסדורים) היא חבורה עם הפעולה הבאה:

<math>(g_1,h_1)\cdot_{G\times H}(g_2,h_2)=(g_1\cdot_G g_2,h_1\cdot_H h_2)</math>

===תת חבורות===
*הגדרה: תהי חבורה G. תת קבוצה <math>H\subseteq G</math> נקראת תת חבורה של G אם היא חבורה ביחס לפעולה של G.

*קרטריון מקוצר לבדיקת תת חבורה:
*תת קבוצה H של חבורה G הינה תת חבורה אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
**<math>e_G\in H</math>.
**לכל שני איברים <math>a,b\in H</math> מתקיים כי <math>ab^{-1}\in H</math>.

*הוכחת הקריטריון המקוצר:
*בכיוון ראשון נניח כי H תת חבורה:
**נוכיח כי <math>e_G\in H</math>.
***נניח H תת חבורה, לכן קיים בה איבר נייטרלי <math>e_H</math>.
***כיוון שמדובר באיבר נייטרלי בH מתקיים כי <math>e_H\cdot e_H=e_H</math>.
***מצד שני ברור ש<math>e_H\cdot e_G=e_H</math>.
***לכן <math>e_H\cdot e_H=e_H\cdot e_G</math> ולפי תכונת הצמצום נובע ש <math>e_H=e_G</math>.
**נוכיח כי לכל שני איברים <math>a,b\in H</math> מתקיים כי <math>ab^{-1}\in H</math>.
***יהיו <math>a,b\in H</math>.
***קיים בH הופכי לb, נקרא לו c.
***לכן <math>bc=bb^{-1}=e_G</math> (הרי הוכחנו כבר ש<math>e_H=e_G</math>).
***שוב לפי תכונת הצמצום נובע כי <math>b^{-1}=c\in H</math>.
***לפי הסגירות של H נובע כי <math>ab^{-1}\in H</math>.
*בכיוון השני, נוכיח כי H תת חבורה:
**סגירות:
***יהיו <math>a,b\in H</math>.
***ידוע כי <math>e_G\in H</math>, לכן <math>e_G\cdot b^{-1}\in H</math>, כלומר <math>b^{-1}\in H</math>.
***לכן <math>a\cdot \left(b^{-1}\right)^{-1}\in H</math> כלומר <math>a\cdot b \in H</math>.
**אסוציאטיביות:
***נתון כי הפעולה אסוציאטיבית, הרי זו הפעולה של G וG חבורה.
**איבר נייטרלי:
***נתון כי <math>e_G\in H</math>.
**איברים הופכיים:
***יהי <math>a\in H</math>.
***לכן <math>a^{-1}=e_G\cdot a^{-1}\in H</math> בדומה להוכחת הסגירות.

*תת חבורות;
**<math>SL_n(\mathbb{F})</math> חבורת המטריצות בעלות דטרמיננטה שווה 1, עם כפל מטריצות.
**קווטרניונים <math>\left\{
\pm\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},
\pm\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},
\pm\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix},
\pm\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}
\right\}\subseteq GL_2\left(\mathbb{C}\right)</math>
**<math>\mathbb{C}\setminus \{0\}=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}:(a,b)\neq (0,0)\right\}\subseteq GL_2\left(\mathbb{R}\right)</math>.
**<math>\{z\in\mathbb{C}:|z|=1\}\subseteq \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> מעגל היחידה.

===תת חבורות ציקליות===

*כתיב אקספוננט <math>g^n=g\cdots g</math> או כפל <math>ng=g+\cdots+g</math> בהתאם לסימון פעולת החבורה.

*תהי G חבורה, לכל <math>a\in G,n\in \mathbb{N}</math> נגדיר:
**<math>a^0=e_G</math>.
**<math>a^{-n}=(a^{-1})^n</math>

*הערה: קל להוכיח כי <math>(a^{-1})^n=(a^n)^{-1}</math>

*תהי חבורה G, לכל <math>a\in G</math> נגדיר את הסדר של האיבר <math>o(a)</math> בתור החזקה החיובית הקטנה ביותר k עבורה <math>a^k=e_G</math>. אם אין חזקה כזו, ניתן לומר שהסדר הוא אינסוף.
*דוגמאות:
**<math>o(e_G)=1</math>.
**ב<math>\mathbb{Z}_5</math> מתקיים כי <math>o(2)=5</math>.
**ב<math>\mathbb{Z}</math> הסדר של כל איבר שונה מאפס הוא אינסוף.

*תהי חבורה G, ויהי <math>a\in G</math>. תת החבורה הציקלית הנוצרת על ידי a הינה <math><a>=\{a^n|n\in\mathbb{Z}\}</math>
*הוכחה שאכן מדובר בתת חבורה:
**<math>e_G=a^0\in<a></math>.
**יהיו <math>a^n,a^k\in<a></math> אזי <math>a^n\cdot (a^k)^{-1}=a^n\cdot (a^{-1})^k=a^{n-k}\in<a></math>.

*תהי חבורה G, אזי סדר כל איבר הוא גודל החבורה הציקלית שהוא יוצר, כלומר <math>|<a>|=o(a)</math>.
*הוכחה:
**ראשית נוכיח עבור המקרה בו סדר האיבר סופי <math>o(a)=n</math>.
***רוצים להוכיח כי <math><a>=\{e_G,a,a^2,...,a^{n-1}\}</math> וכי כל האיברים בקבוצה זו שונים זה מזה (אחרת כמות האיברים קטנה יותר מn).
***ברור שהחזקות של a שייכות לתת החבורה הציקלית.
***יהי k כלשהו, נסמן בr את השארית <math>r=k \mod n</math> כלומר <math>k=pn+r</math> עבור <math>p\in\mathbb{Z}, 0\leq r\leq n-1</math>.
***<math>a^k=(a^n)^pa^r=e_G^pa^r=a^r</math>.
***כעת נניח כי קיימות שתי חזקות שונות <math>0\leq r_1<r_2\leq n-1</math> כך ש <math>a^{r_1}=a^{r_2}</math>.
***לכן <math>a^{r_2-r_1}=e_G</math>.
***אבל <math>r_2-r_1\leq n-1 < n</math> בסתירה לכך ש<math>o(a)=n</math>.
**כעת נניח כי סדר האיבר הוא אינסוף, ונוכיח כי גודל תת החבורה הציקלית שהוא יוצר הוא אינסוף.
***נניח בשלילה ש <math><a></math> סופית, לכן לפחות שתי חזקות שונות של a נותנות אותו איבר.
***נסמן <math>n<k</math> כך ש <math>a^n=a^k</math>.
***לכן <math>a^{k-n}=e_G</math> בסתירה לכך שסדר האיבר הוא אינסוף.

*מסקנה: תהי חבורה '''סופית''' G, אזי לכל איבר בחבורה יש סדר סופי.
**הוכחה: גודל תת החבורה הציקלית חייב להיות סופי.

*תת חבורות ציקליות:
**<math>2\mathbb{Z}</math>.
**<math>\{z\in\mathbb{C}:z^n=1\}\subseteq \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> שורשי היחידה מסדר n.

==הרצאה 3 חבורת תמורות, סימן התמורה; פרק 5 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר] ==

===סימן של תמורה===
*נביט בחבורת התמורות <math>S_n</math>.
*עבור <math>f\in S_n</math> נגדיר את הסימן <math>\mathrm{sign}(f):=\Pi_{i> j}\frac{x_{f(i)}-x_{f(j)}}{x_i-x_j}</math>.
*הסימן של תמורה הוא תמיד פלוס או מינוס 1.
*אם סימן התמורה הוא מינוס אחד אומרים שהיא '''אי-זוגית''' או '''שלילית''', ואם הסימן הוא אחד אומרים שהיא '''זוגית''' או '''חיובית'''.

*כפליות הסימן: תהיינה שתי תמורות <math>f,g\in S_n</math>, אזי <math>\mathrm{sign}(f\circ g)=\mathrm{sign}(f)\cdot\mathrm{sign}(g)</math>.
**הוכחה:
**<math>\mathrm{sign}(f\circ g)=\Pi_{i> j}\frac{x_{f(g(i))}-x_{f(g(j))}}{x_i-x_j}=\Pi_{i> j}\frac{x_{f(g(i))}-x_{f(g(j))}}{x_{g(i)}-x_{g(j)}}\cdot\frac{x_{g(i)}-x_{g(j)}}{x_i-x_j}</math>
**כיוון שg חח"ע ועל,אוסף הזוגות <math>i> j</math> שווה לאוסף הזוגות <math>g(i),g(j)</math>, ולכן <math>\Pi_{i> j}\frac{x_{f(g(i))}-x_{f(g(j))}}{x_{g(i)}-x_{g(j)}}=\mathrm{sign}(f)</math>.
**סה"כ קיבלנו <math>\mathrm{sign}(f\circ g)=\mathrm{sign}(f)\cdot\mathrm{sign}(g)</math>.

<videoflash>Lmk0izbQR08</videoflash>

===מחזורים===
*מחזור <math>(a_1\ a_2\ \cdots \ a_k)</math> מייצג את התמורה f המקיימת <math>f(a_1)=a_2,...,f(a_{k-1})=a_k,f(a_k)=a_1</math> ולכל איבר אחר <math>f(a)=a</math>.
*לדוגמא: <math>\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&2&5&3&1\end{pmatrix}=(1\ 4\ 3\ 5)\in S_5</math>

*כל תמורה ניתן להציג כהרכבה של מחזורים זרים, ואת תמורה הזהות ניתן להציג כ<math>(1)</math>.

*חילוף הוא מחזור באורך 2.
*חילוף הוא תמורה אי זוגית.
**נוכיח עבור <math>f=(1\ 2)\in S_n</math>. (זה מספיק כיוון שהשם של האיברים לא משנה.)
**<math>\mathrm{sign}(f)=\left(\frac{x_2-x_1}{x_1-x_2}\cdot\frac{x_2-x_3}{x_1-x_3}\cdots \frac{x_2-x_n}{x_1-x_n}\right)\cdot\left(\frac{x_1-x_3}{x_2-x_3}\cdots\frac{x_1-x_n}{x_2-x_n}\right)\left(\cdot\frac{x_3-x_4}{x_3-x_4}\cdots\frac{x_{n-1}-x_n}{x_{n-1}-x_n}\right)=-1</math>

*כל מחזור ניתן להציג כהרכבה של חילופים:
**<math>(a_1\ a_2\ \cdots \ a_k)=(a_1\ a_2)(a_2\ a_3)\cdot (a_{k-1}\ a_k)</math>
**כל איבר שלא מוזכר במחזור נשלח לעצמו, ונציב בשני הצדדים את <math>a_1,...,a_{k-1}</math> ונראה כי הפונקציות שוות.
**כיוון שמדובר בפונקציה הפיכה, אין צורך לבדוק את האיבר האחרון <math>a_k</math>.

*מסקנה: כיוון שסימן כל חילוף הוא שלילי ולפי כפליות הסימן, הסימן של מחזור באורך k הוא <math>(-1)^{k-1}</math>.
*דוגמא:
**<math>f=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\4&2&5&3&1&7&6\end{pmatrix}=(1\ 4\ 3\ 5)(6\ 7)</math>.
**לכן <math>\mathrm{sign}(f)=(-1)\cdot(-1)=1</math>, כלומר מדובר בתמורה זוגית.

<videoflash>oXntZnnoHfM</videoflash>

==הרצאה 4 הומומורפיזמים, איזומורפיזמים, משפט קיילי, משפט לגראנג'; פרקים 9 ו6 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר] ==

===הומומורפיזם, איזומורפיזם===
*הגדרה: תהיינה שתי חבורות G,H ותהי פונקציה <math>f:G\to H</math>. אזי f נקראת '''הומומורפיזם''' אם לכל <math>a,b\in G</math> מתקיים <math>f(a\cdot_G b)=f(a)\cdot_H f(b)</math>.
*שימו לב ש <math>\cdot_G</math> היא הפעולה של G, ו<math>\cdot_H</math> היא הפעולה של H.
*הומומורפיזם שהוא פונקציה חח"ע ועל נקרא איזומורפיזם.
*הומומורפיזם שומר במובן מסויים על המבנה של החבורה, ואיזומורפיזם מראה שהחבורות הן 'אותה גברת בשינוי אדרת'.

*תכונות:
**אם <math>f:G\to H</math> הומומורפיזם אזי <math>f(e_G)=e_H</math>.
***הוכחה:
***<math>f(e_G)=f(e_G\cdot e_G)=f(e_G)\cdot f(e_G)</math>.
***לפי תכונת הצמצום <math>f(e_G)=e_H</math>.
**אם f הומומופיזם אזי <math>o(f(a))\leq o(a)</math>.
***אם <math>o(a)=n</math> אזי <math>a^n=e_G</math>.
***לכן <math>f(a^n)=\left(f(a)\right)^n=e_H</math>.
***לכן <math>o(f(a))\leq n=o(a)</math>.
**אם f איזומורפיזם אזי גם <math>f^{-1}</math> איזומורפיזם
**אם f איזומורפיזם אזי <math>o(f(a))= o(a)</math>.
***<math>o(f(a))\leq o(a)</math>
***<math>o(a)= o(f^{-1}(f(a)))\leq o(f(a))</math>
**אם f הומומורפיזם אזי <math>f(a^{-1})=\left(f(a)\right)^{-1}</math> (שימו לב שf לא צריכה להיות הפיכה, והסימון <math>f^{-1}(a)</math> לא בהכרח מוגדר ואינו קשור).
***אכן <math>f(a)\cdot f(a^{-1})=f(e_G)=e_H</math>.

*הגדרה: גרעין של הומומורפיזם הוא אוסף האיברים שנשלחים לאיבר היחידה.
*טענה: התמונה והגרעין של הומומורפיזם הינם תתי חבורות של הטוווח והתחום בהתאמה.
**הוכחה לגבי התמונה:
**יהי הומומורפיזם <math>f:G\to H</math>.
**ראשית, <math>f(e_G)=e_H</math> ולכן <math>e_H\in Im(f)</math>.
**שנית, יהיו <math>h_1,h_2\in Im(f)</math> לכן קיימים <math>g_1,g_2\in G</math> כך ש <math>f(g_i)=h_i</math>.
**<math>h_1\cdot h_2^{-1}=f(g_1)\cdot \left(f(g_2)\right)^{-1}=f(g_1\cdot g_2^{-1})\in Im(f)</math>.
**סה"כ הוכחנו כי <math>Im(f)</math> הינה תת חבורה של <math>H</math>.

===משפט קיילי===
*שיכון קיילי:
**תהי חבורה <math>G</math> ונגדיר את S להיות חבורת הפונקציות ההפיכות מ<math>G</math> לעצמה עם פעולת ההרכבה (חבורת תמורות).
**לכל איבר <math>a\in G</math> נגדיר את התמורה המתאימה לו <math>f_a\in S</math> המוגדרת ע"י <math>f_a(x)=a\cdot x</math>.
***הוכחה ש<math>f_a\in S</math>:
***חח"ע: אם <math>f_a(x_1)=f_a(x_2)</math> אזי <math>a\cdot x_1=a\cdot x_2</math> ולפי תכונת הצמצום <math>x_1=x_2</math>.
***על: עבור <math>y\in G</math> מתקיים כי <math>f_a(a^{-1}\cdot y)=a\cdot(a^{-1}\cdot y) =(a\cdot a^{-1})\cdot y=y </math>
**הפונקציה <math>\varphi:G\to S</math> השולחת כל איבר לתמורה המתאימה לו <math>\varphi(a)=f_a</math> נקראת '''שיכון קיילי'''.

*תכונות:
*שיכון קיילי הינו הומומורפיזם.
**<math>\varphi(a)\circ\varphi(b)=f_a\circ f_b</math>.
**<math>f_a\circ f_b (x)=f_a(f_b(x))=a\cdot (b\cdot x)=(a\cdot b)\cdot (x) = f_{a\cdot b}(x)</math>.
**לכן <math>\varphi(a)\circ\varphi(b)=\varphi(a\cdot b)</math>.
*שיכון קיילי הינו חח"ע (לכן הוא נקרא שיכון).
**אם <math>a\neq b</math>, אזי <math>f_a(e)=a\neq b=f_b(e)</math>.
**כלומר <math>f_a\neq f_b</math> ולכן <math>\varphi(a)\neq\varphi(b)</math>.

*מסקנה: '''משפט קיילי''' כל חבורה איזומורפית לתת חבורה של חבורת תמורות.
**הוכחה: החבורה איזומורפית לתמונה שלה בשיכון קיילי.

===משפט לגראנג'===
*תהי חבורה G ותת חבורה H. יהי <math>a\in G</math>, נגדיר את '''המחלקה''' <math>a\cdot H:=\{a\cdot h:h\in H\}</math>.
*אלה הן למעשה מחלקות השקילות של היחס <math>aRb\iff a^{-1}b\in H</math>
**הוכחה שמדובר ביחס שקילות:
***רפלקסיביות: <math>a^{-1}a=e\in H</math>
***סימטריות: אם <math>a^{-1}b\in H</math> אזי גם ההופכי שלו <math>(a^{-1}b)^{-1}=b^{-1}a\in H</math>
***טרנזיטיביות: נניח <math>a^{-1}b,b^{-1}c\in H</math> אזי לפי סגירות גם <math>a^{-1}bb^{-1}c=a^{-1}c\in H</math>
**אכן <math>[a]_R=\{b|aRb\}=\{b|a^{-1}b=h\in H\}=\{b|b=ah,h\in H\}=a\cdot H</math>
*טענה: לכל איבר <math>a\in G</math> מתקיים כי <math>|a\cdot H|=|H|</math>.
**הוכחה:
**נביט בפונקציה <math>f:H\to a\cdot H</math> המוגדרת ע"י <math>f(h)=a\cdot h</math> ונוכיח שהיא חח"ע ועל.
**חח"ע: אם <math>f(h_1)=f(h_2)</math> אזי <math>a\cdot h_1=a\cdot h_2</math> ולפי תכונת הצמצום <math>h_1=h_2</math>.
**על: יהי <math>a\cdot h\in a\cdot H</math>, ברור ש<math>f(h)=a\cdot h</math>.

*הגדרה: האינדקס <math>[G:H]</math> מוגדר להיות מספר המחלקות השונות ש<math>H</math> מגדירה.
*כיוון שראינו שהמחלקות הן בעצם מחלקות שקילות שוות בגודלן המחלקות את G, נובע '''משפט לגראנג' ''':עבור חבורות סופיות, <math>|G|=|H|\cdot [G:H]</math>.
*נובע כי הגודל (סדר) של כל תת חבורה, מחלק את הגודל (סדר) של החבורה כולה.
*יהי <math>a\in G</math> איבר מסדר <math>n</math>. ראינו כי <math>|<a>|=n</math>, ולכן ביחד סדר האיבר מחלק את גודל החבורה.
*תהי חבורה סופית עם מספר ראשוני של איברים, אזי היא חבורה ציקלית.
**אכן, ניקח איבר שונה מהנייטרלי, הסדר שלו חייב להיות המספר הראשוני (כי לראשוני אין מחלקים), ולכן החבורה הציקלית שלו שווה לכל החבורה.

*לפני הרצאה זו, חזרו בבקשה על הנושא של יחסי שקילות. ניתן לצפות בסרטון הבא:

<videoflash>jKprPSfRysE</videoflash>

==הרצאה 5 חבורת אוילר, משפטי אוילר ופרמה; פרק 6 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]==
===חלוקה עם שארית===
*זוג מספרים שלמים <math>a,b</math> נקראים שקולים מודולו n אם קיים שלם <math>q</math> כך ש <math>a=b+q\cdot n</math>
*חלוקה עם שארית: לכל מספר טבעי a ולכל מספר שלם b קיים זוג שלמים '''יחיד''' <math>q,r</math> כך ש <math>b=q\cdot a+r</math> וגם <math>0\leq r < a</math>.
**קיום:
***יהי <math>a\in\mathbb{N}</math>
***אם <math>b=0</math> אזי <math>b=0\cdot a + 0</math>.
***יהי <math>b\geq 0</math> עבורו הטענה נכונה, נוכיח עבור <math>b+1</math>.
***<math>b+1=qa+r+1</math>.
***אם <math>r+1<a</math> סיימנו, אחרת <math>r+1=a</math> ולכן <math>b=(q+1)a+0</math>.
***אם <math>b<0</math> אזי <math>-b=qa+r</math>.
***אם <math>r=0</math> אזי <math>b=(-q)a+0</math> וסיימנו.
***אם <math>0<r<a</math> אזי <math>b=-qa-r=-qa-a+a-r=(-q-1)a+(a-r)</math> כאשר <math>0<a-r<a</math>.
**יחידות:
***נניח <math>b=q_1a+r_1=q_2a+r_2</math>.
***לכן <math>(q_1-q_2)a=r_2-r_1</math>.
***אבל <math>-(a-1)\leq r_2-r_2\leq a-1</math>, ולכן <math>r_2-r_1\neq ka</math>.
***לכן <math>q_1-q_2=0</math> כלומר <math>q_1=q_2</math> ולכן גם <math>r_1=r_2</math>.
*המספר q נקרא '''מנת''' החלוקה והמספר r נקרא '''שארית''' החלוקה.
*יהיו שני שלמים <math>a,b</math> ויהיו <math>r_a,r_b</math> השאריות שלהם בחלוקה בn. אזי <math>ab\equiv r_ar_b \mod n</math>
**<math>ab=(q_an+r_a)(q_bn+r_b)=(q_aq_bn+r_aq_b+q_ar_b)n+r_ar_b</math>
*מסקנה: באותם תנאים, לכל k טבעי מתקיים כי <math>a^k\equiv r_a^k \mod n</math>.

===המחלק המשותף הגדול ביותר===
*לכל שני מספרים טבעיים <math>k<n</math> מתקיים כי <math>gcd(n,k)=gcd(n-k,k)</math>
**נוכיח שכל מספר שמחלק את <math>n,k</math> מחלק גם את <math>n-k,k</math> וההפך, ולכן הגדול ביותר הוא אותו האחד.
**אם <math>a</math> מחלק את <math>n,k</math> אזי <math>n=qa,k=ta</math>, לכן <math>n-k=(q-t)a</math>.
**אם <math>a</math> מחלק את <math>n-k,k</math> אזי <math>n-k=qa,k=ta</math> ולכן <math>n=(q+t)a</math>.
*לכל שני מספריים טבעיים <math>n,k</math> קיימים מספרים שלמים <math>a,b</math> כך ש <math>an+bk=gcd(n,k)</math>
**עבור <math>n=k=1</math> מתקיים כי <math>1\cdot 1 + 0\cdot 1 = 1 = gcd(1,1)</math>.
**נניח שהטענה נכונה לכל <math>n+k<m</math> נוכיח שהיא נכונה עבור <math>n+k=m</math>.
**אם <math>n=k</math> אזי <math>1\cdot n + 0\cdot k = n =gcd(n,n)=gcd(n,k)</math>.
**אחרת, אם <math>n>k</math> מתקיים כי <math>gcd(n,k)=gcd(n-k,k)=a(n-k)+bk=an+(b-a)k</math>.
**שימו לב שהנחת האינדוקציה התקיימה עבור הזוג <math>n-k,k</math>.

*שני מספרים טבעיים n,k נקראים '''זרים''' אם <math>gcd(n,k)=1</math>
*ב<math>\mathbb{Z}_n</math> עם פעולת הכפל מודולו n האיברים ההפיכים הם בדיוק המספרים הזרים ל n.
**נניח <math>k\in\mathbb{Z}_n</math> אינו זר לn, כלומר <math>gcd(n,k)=a>1</math>.
***לכן <math>n=qa,k=ta</math> לכן <math>qk=tn</math> ולכן <math>qk=0\in\mathbb{Z}_n</math> כלומר k מחלק אפס ואינו הפיך.
**נניח <math>k\in\mathbb{Z}_n</math> זר לn כלומר <math>gcd(n,k)=1</math>.
***לכן קיימים שלמים כך ש <math>an+bk=1</math> לכן <math>b\cdot k \equiv 1 \mod n</math>.
*עבור מספר טבעי <math>1<n</math> קבוצת המספרים הטבעיים הזרים לn וקטנים ממנו מהווה חבורה ביחס לכפל מודולו n, היא נקראית '''חבורת אוילר''' ומסומנת <math>U_n</math>.
**הוכחה ש<math>U_n</math> חבורה:
**סגירות: מכפלת הפיכים היא הפיכה.
**אסוציאטיביות: נובע מהאסוציאטיביות של הכפל.
**איבר נייטרלי: 1.
**הפיכים: ברור מההגדרה.
*<math>\mathbb{Z}_n</math> עם פעולות חיבור וכפל מודולו n הוא שדה אם ורק אם n הינו מספר ראשוני.
**אכן, כל המספרים החיוביים הקטנים מn הפיכים אם"ם כולם זרים לו אם"ם הוא ראשוני.

===פונקצית אוילר, משפט אוילר והמשפט הקטן של פרמה===
*פונקצית אוילר <math>\phi(n)</math> היא מספר המספרים הטבעיים שקטנים או שווים לn וזרים לו.
*'''משפט אוילר''' - יהיו שני מספרים טבעיים '''זרים''' <math>a<n</math>. אזי <math>a^{\phi(n)}\equiv 1</math> מודולו n.
**עבור <math>n>1</math>, מתקיים כי <math>a\in U_n</math> וגם <math>|U_n|=\phi(n)</math>.
**הסדר של איבר בחבורה סופית חייב לחלק את סדר החבורה, נסמן <math>o(a)=k</math> ולכן <math>\phi(n)=t\cdot k</math>.
**לכן <math>a^{\phi(n)} = (a^k)^t=1</math> כאשר הכפל נעשה ב<math>U_n</math>.
*'''המשפט הקטן של פרמה''' - יהי p ראשוני ומספר טבעי <math>a<p</math> אזי <math>a^{p-1}\equiv 1</math> מודולו p.
**זו מסקנה ישירה ממשפט אוילר (אמנם למעשה אוילר הוא הכללה של פרמה), כיוון ש <math>\phi(p)=p-1</math>.
*בפרט, בתנאי המשפט, <math>a^p\equiv a</math> מודולו p.
**למעשה <math>a^p\equiv a</math> מודולו p נכון לכל ראשוני p ולכל טבעי a.
**כיוון שאם a זר לp מתקיים כי גם השארית <math>r_a</math> זרה ל <math>p</math> ולכן <math>a^{p-1}\equiv r_a^{p-1}\equiv 1</math> מודולו p.
**אם a אינו זר לp אזי הוא חייב להתחלק בראשוני p, ולכן <math>a^p\equiv a \equiv 0</math> מודולו p.

==הרצאה 6 הצפנה סימטרית (מפתח פרטי), הצפנה אסימטרית (מפתח ציבורי), RSA; פרק 7 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]==

*הצפנה; העברת מידע בערוץ פומבי כך שרק המשתתפים בהצפנה יוכלו להבין אותו, הוכחה לזהות כותב המידע (בין היתר כותב המידע לא יוכל להתנער ממנו), הוכחה לאמינות ושלימות המידע (המידע אינו חלקי ואף אחד לא שינה אותו).
*[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A6%D7%95%D7%A4%D7%9F_%D7%A1%D7%99%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99 הצפנה סימטרית] - הצפנה בה לשני הצדדים יש סוד משותף שהעבירו מראש בערוץ שאינו פומבי (משאית ברינקס, לנסוע לחנות לאסוף כרטיס sim).
*[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A4%D7%AA%D7%97_%D7%A6%D7%99%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%99 הצפנה פומבית] - הצפנה ללא סוד מתואם מראש, באמצעות מפתחות פומביים (שכולם רואים).
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Transport_Layer_Security פרקטית] הצדדים מעבירים מפתח סודי באמצעות הצפנה פומבית, ואז עוברים להצפנה סימטרית.

*ההצפנה "המושלמת" - רצף בינארי אקראי באורך המידע המוסכם על שני הצדדים. ללא תלות במידע ובחוקיותו, חיבור בכל ביט (xor) של המידע עם הרצף ייצר תוכן שבו לכל ביט יש סיכוי שווה להיות 0 או 1.
*אם הרצף קצר מהמידע וחוזר על עצמו, חיבור שתי חתיכות שנשלחו יאפס את הרצף הסודי וישאיר לנו שתי חתיכות מידע גלוי המחוברות (זה כמעט מידע חשוף).

*קוד חילוף אותיות - נשבר ע"י חקר סטטיסטיקת שכיחות האותיות. אם המידע עובר תהליך שגורם לו להראות אקראי - עדיף
*מטא דטא - מידע על המידע שעשוי לעניין אותנו:
**אם רצף נשלח פעמיים, גם אם אין אנו יודעים מהו, ייתכן שנסיק מההקשר.
**הזמן שבו נשלח מסר (אמצע הלילה למשל).
**הזמן שלקח למכונה להצפין את המידע.
**עצם העובדה ששני צדדים מסוימים מדברים (רוסיה ונציגי קמפיין לנשיאות ארה"ב).
**אורך המידע (בהנחה שהוא אינו מרופד באפסים).

===RSA===

מומלץ לקרוא ישירות את המאמר פורץ הדרך בו הוצגה השיטה:

[https://people.cs.umass.edu/~emery/classes/cmpsci691st/readings/Sec/Rsapaper.pdf Rivest, Ronald L., Adi Shamir, and Leonard Adleman. "A method for obtaining digital signatures and public-key cryptosystems."]

*אליס בוחרת שני ראשוניים גדולים <math>\{p,q\}</math> זה הסוד שלה.
*אליס מחשבת את המכפלה <math>n=p\cdot q</math>
*אליס מחשבת את פונקצית אוילר <math>m=\phi(n)=(p-1)(q-1)</math>
*(הסבר - המספרים שאינם זרים לn מחלקים את אחד הראשוניים. <math>p,2p,3p,...,q\cdot p</math> וגם <math>q,2q,3q,...,p\cdot q</math>. סה"כ <math>p+q-1</math> כי <math>n=p\cdot q</math> נספר פעמיים.)
*אליס בוחרת מספר כלשהו e כך שהוא זר לm.
*אליס מחשבת את ההופכי של e מודולו m, נקרא לו d. היא יודעת לעשות את זה כיוון שהיא הקשיבה בהרצאה קודמת על gcd ומציאת הופכי.
*אליס מפרסמת לכל העולם ואחותו את זוג המספרים <math>n,e</math>

*כעת בוב מעוניין לשלוח לאליס מידע שרק היא תוכל לפענח.
*בוב בעצם הולך "לנעול" את המידע באמצעות המנעול <math>e,n</math> של אליס. כל אחד יכול לנעול אותו, ורק אליס יודעת לפתוח אותו.
*המידע שבוב מעוניין לשלוח הוא מספר <math>x<n</math>, בוב שולח את המידע המוצפן <math>x^e\mod n</math>
*אם בוב רוצה לשלוח יותר מידע, הוא יצטרך לפרק אותו לחתיכות. שימו לב שאם המנעול של אליס ישאר קבוע לחלוטין זה יהווה חולשה.

*אליס מקבלת את המידע המוצפן ומפענחת אותו באופן הבא: <math>x=\left(x^e\right)^d \mod n</math>
*הוכחה - נחלק לשני מקרים.
*אם <math>gcd(x,n)=1</math>:
**נתון כי <math>de=km+1=k\phi(n)+1</math>.
**<math>\left(x^e\right)^d=x^{de}=x^{k\phi(n)+1}=\left(x^{\phi(n)}\right)^k\cdot x\equiv x \mod n</math>
**זה נכון כיוון שלפי משפט אוילר <math>x^{\phi(n)}\equiv 1 \mod n</math>
*אם <math>gcd(x,n)\neq 1</math>:
**כיוון ש<math>n=p\cdot q</math> אז x הוא כפולה של p או q. נוכיח במקרה שx מתחלק בp.
**קיים <math>h<q</math> עבורו <math>x=hp</math> וכמו כן x זר לq (אחרת בשני המקרים יוצא ש <math>x\geq n</math>).
**לכן לפי פרמה הקטן יוצא ש <math>x^{q-1}\equiv 1 \mod q</math>
**לכן <math>x^{km}=x^{k(p-1)(q-1)}=\left(x^{q-1}\right)^{k(p-1)}\equiv 1 \mod q</math>
**לכן <math>x^{de}=x^{km+1}=x^{km}x=(1+tq)x=x+tqhp=x+th\cdot n\equiv x \mod n</math>

*שימו לב: אמנם <math>4\equiv 1 \mod 3</math> אך <math>2^4 \not\equiv 2 \mod 3</math> כלומר לחשב את ההופכי של e מוד n זה אמנם קל, אך לא יעיל לשום דבר...

==הרצאה 7 המשך הצפנה - בדיקת ראשוניות, דיפי הלמן, חתימה, חישוב חזקות;==

===שיטת מילר-רבין לבדיקת ראשוניות===
*חלק מהותי בשיטות שאנו לומדים הוא מציאת ראשוניים גדולים. כיצד הדבר נעשה? האם יש רשימה גדולה של כל הראשוניים בעולם?
*ידוע שכמות הראשוניים עד המספר <math>n</math> היא בערך <math>\frac{n}{\ln(n)}</math>.
*לכן הסיכוי בבחירת מספר אקראי עד <math>n</math> שהוא יהיה ראשוני הוא בערך <math>\frac{1}{\ln(n)}</math>.
*אנו זקוקים למבחן ראשוניות - נגריל מספרים אקראיים ונבדוק האם הם ראשוניים, ומהר מאד נמצא אחד כזה בהתחשב בסיכוי הנ"ל.
*זכרו שפירוק לגורמים ראשוניים היא בעייה קשה (אחרת RSA מיותר ממילא).

*לפי משפט פרמה הקטן, אם <math>p</math> ראשוני, אזי לכל <math>a<p</math> מתקיים <math>a^{p-1}\equiv 1 \mod p</math>.
*האם ההפך נכון? כלומר, האם <math>a^{p-1}\equiv 1 \mod p</math> רומז ש<math>p</math> ראשוני?
*[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%A7%D7%A8%D7%9E%D7%99%D7%99%D7%A7%D7%9C מספרי קרמייקל] מקיימים את התכונה הזו כמעט לכל <math>a</math> למרות שאינם ראשוניים.

*טענה: אם <math>p</math> ראשוני, ו<math>x\in U_p</math> איבר כך ש <math>x^2=1</math> אזי <math>x=\pm 1</math>
*הוכחה:
**נזכור ש<math>\mathbb{Z}_p</math> הוא '''שדה''' כיוון שמדובר במספר ראשוני, ולכן אין ב<math>U_p=\mathbb{Z}/\{0\}</math> מחלקי אפס.
**<math>x^2=1</math> אם"ם <math>(x-1)(x+1)=0</math> אם"ם <math>x=\pm 1</math>

*הגדרה:
**בהנתן מספר n, ונסמן <math>n-1=2^s\cdot r</math> עבור r אי זוגי. אומרים שהמספר <math>1\leq a <n</math> הוא '''עד חזק''' לראשוניות של n אם אחד מהתנאים הבאים מתקיים:
***<math>a^r\equiv 1 \mod n</math>
***<math>a^{2^kr}\equiv n-1 \mod n</math> עבור <math>1\leq k \leq s-1</math>.

*שימו לב: <math>n-1\equiv -1 \mod n</math>

*אם <math>p</math> ראשוני אזי כל המספרים <math>1<a<p</math> הם עדים חזקים לכך.
**הוכחה:
***לפי אוילר <math>a^{p-1}\equiv 1 \mod p</math> .
***אם נעלה את <math>a^r</math> בריבוע s פעמים נקבל <math>a^{2^s\cdot r}=a^{p-1}\equiv 1 \mod p</math>.
***לכן אם <math>a^r\not \equiv 1 \mod p</math>, בשלב כלשהו נעלה מספר שאינו 1 בריבוע ונקבל 1, לכן מספר זה חייב להיות <math>-1</math>.
*אם <math>p</math> אינו ראשוני, ידוע שלכל היותר רבע מבין המספרים <math>a</math> יכולים להיות עדים חזקים.
*לכן הסיכוי שמצאנו עד חזק למרות שהמספר שאנו בודקים אינו ראשוני הוא רבע.
*אם נבחן k מספרים אקראיים שונים, הסיכוי שכולם יהיו עדים חזקים אך המספר אינו ראשוני הוא <math>\frac{1}{4^k}</math> (נמוך מאד).

===דיפי-הלמן===
מומלץ לקרוא ישירות את המאמר פורץ הדרך בו הוצגה השיטה:

[http://ee.stanford.edu/%7Ehellman/publications/24.pdf Diffie, Whitfield, and Martin E. Hellman. "New directions in cryptography."]

*למדנו שבעזרת RSA ניתן להעביר פיסת מידע באופן בטוח בערוץ פומבי, ולרוב נרצה להעביר מפתח סודי לצורך הצפנה סימטרית.
*אלגוריתם דיפי-הלמן הוא שיטה לתיאום מפתח סודי בלבד ולא להעברת מידע.

*אליס ובוב מתאמים מספר ראשוני גדול <math>p</math> שאינו סודי כמובן.
*כמו כן הם מתאמים יוצר <math>g</math> של <math>U_p</math> (כלומר <math>U_p=<g></math>), או לפחות איבר מסדר מאד גדול (בהמשך יש הסבר כיצד אפשר לעשות זאת).
*כעת אליס בוחרת מספר אקראי סודי <math>a\leq p-1</math> ושולחת לבוב את <math>g^a \mod p</math>.
*בוב בוחר מספר אקראי סודי <math>b\leq p-1</math> ושולח לאליס את <math>g^b \mod p</math>.

*כעת אליס ובוב שניהם יכולים לחשב בקלות את הסוד המשותף <math>g^{ab}</math>.

*על מנת לשבור את ההצפנה צריך לחשב את <math>a</math> בהנתן <math>g^a \mod p</math>, זו בעיית הלוגריתם הדיסקרטי שנחשבת לקשה.
*אם <math>g</math> מסדר נמוך חישוב כל החזקות האפשריות שלו הוא קל.

*גישה פרקטית למשל:
**נבחר את p להיות מספר ראשוני "בטוח", כלומר <math>p=2q+1</math> כאשר <math>q</math> ראשוני.
**כעת ב<math>|U_p|=2q</math> ולכן הסדר של כל איבר ב<math>U_p</math> הוא אחד מבין <math>1,2,q,2q</math>.
**נגריל איבר <math>g\neq \pm 1</math> (לכן <math>g^2\not\equiv 1 \mod p</math>) וגם <math>g^q\not\equiv 1 \mod p</math>.
**האיבר שבחרנו הוא יוצר.

===חתימה===

*פונקציות גיבוב (hash) - מעבירות קלט בגודל אקראי לקלט באורך קבוע.
*התנגשות היא מצב בו שני קלטים מובילים לאותו ערך מגובב. לפי שובך היונים התנגשויות קיימות, אך בפונקציות גיבוב "טובות" הסיכוי לכך נמוך מאד.

*סיפרנו על אליס שייצרה מפתח פומבי <math>(n,e)</math>, ושמרה לעצמה את הערכים הסודיים <math>m,d</math>
*כעת אליס רוצה להבטיח את זהותה ואת אמינות המידע, היא מעבירה את המידע שלה דרך פונקצית גיבוב ומקבלת את הערך המגובב <math>a</math>.
*אליס מחשבת את <math>y=a^{d} \mod n</math> ושולחת אותו בנוסף למידע.
*אפילו בהנתן <math>a</math> לא ניתן לחשב את <math>d</math> (זו בעיית הלוגריתם הדיסקרטי).
*אף אחד אחר לא יכול לחשב את y כיוון ש <math>d</math> סודי.

*כעת בוב שרוצה לוודא את אמינות המידע מחשב את <math>a=y^{e} \mod n</math> ומוודא כי המידע שהוא קיבל הוא המידע שאליס התכוונה לשלוח עד כדי המקרה הבלתי סביר של התנגשות.
*אף אחד אחר לא יכל ליצור את הוכחת אמינות המידע הזו פרט לאליס.

*שימו לב שעל מנת למנוע תקיפת 'אדם באמצע' באמצעות חתימה המפתחות הפומביים צריכים להיות מאומתים על פני ערוץ מאובטח (מקודדים בתוך הדפדפן למשל).

===חישוב חזקה===
*[http://abstract.ups.edu/aata/section-method-of-repeated-squares.html שיטת הריבועים החוזרים] לחישוב חזקה.
*לדוגמא, אנו מעוניינים לחשב את <math>x^{41} \mod n</math> במעט פעולות
**<math>41=2^5+2^3+1</math>
**<math>x^{41}=x^{2^5}\cdot x^{2^3}\cdot x</math>
**<math>x^{41}=\left(\left(\left(\left(x^2\right)^2\right)^2\right)^2\right)^2\cdot \left(\left(x^2\right)^2\right)^2 \cdot x</math>
**סה"כ חישבנו את החזקה עם 8 העלאות בריבוע, ושלוש הכפלות, במקום 40 הכפלות.

==הרצאה 8 תת חבורות נורמליות, חבורות מנה, גרעין; פרקים 10,11 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]==

*תהי חבורה G ותהי תת חבורה N. תת החבורה N נקראת '''נורמלית''' אם לכל <math>a\in G</math> מתקיים כי <math>aN=Na</math>.
*ברור שבחבורה אבלית כל חבורה היא תת חבורה נורמלית.
*דוגמא:
**נביט בחבורה הסימטרית <math>G=S_3</math> ובתת החבורה <math>H=<(1\ 2)>=\{(1),(1\ 2)\}</math>.
**אזי <math>(1\ 3)H=\{(1\ 3), (3\ 1\ 2)\}</math> אך <math>H(1\ 3)=\{(1\ 3),(2\ 1\ 3)\} </math> וקל לראות כי <math>(1\ 3)H\neq H(1\ 3)</math>.
**אזי N תת חבורה לא נורמלית!
*דוגמא נוספת:
**נביט בחבורה הסימטרית <math>G=S_3</math> ובתת החבורה <math>N=<(1\ 2\ 3)></math> שהיא תת החבורה של כל התמורות הזוגיות במקרה זה.
**קל לוודא שלכל תמורה זוגית מתקיים <math>fN=Nf=N</math> ולכל תמורה אי-זוגית מתקיים <math>fN=Nf</math> שווה לקבוצת כל התמורות האי-זוגיות.

*טענה תהי N תת חבורה נורמלית אזי <math>(aN)(bN)=abN</math>
*הוכחה - הכלה דו כיוונית:
**יהי <math>anbk\in (aN)(bN)</math> כיוון ש <math>bN=Nb</math> אזי <math>anbk=abmk\in abN</math>.
**יהי <math>abn\in abN</math> אזי <math>aebn\in (aN)(bN)</math>.

*תהיינה G חבורה וN תת חבורה נורמלית, אזי <math>G/N=\{aN|a\in G\}</math> היא חבורה.

*יהי הומומורפיזם בין חבורות <math>f:G\to H</math>. נגדיר את '''הגרעין''' <math>\ker(f)=\{a\in G|f(a)=e_H\}</math>.
*נסמן <math>K=\ker(f)</math>
*טענה:
**לכל <math>a\in G</math> מתקיים כי <math>aK=\left\{b\in G|f(a)=f(b)\right\}</math>
*הוכחה:
**בכיוון ראשון, יהי <math>ak\in aK</math> אזי <math>f(ak)=f(a)f(k)=f(a)e_H=f(a)</math>
**בכיוון שני, יהי <math>b\in G</math> כך ש <math>f(a)=f(b)</math> אזי <math>f(a^{-1}b)=e_H</math> ולכן <math>a^{-1}b=k\in K</math> ולכן <math>b=ak\in aK</math>

*כיוון שהוכחה דומה עובדת מהצד השני, נובע כי <math>aK=Ka</math> ולכן הגרעין הינו תת חבורה נורמלית.

==הרצאה 9 משפט האיזומורפיזם, מבוא לקידוד; פרק 11 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]==
*'''משפט האיזומורפיזם הראשון'''. יהי <math>\varphi:G\to H</math> הומומורפיזם בין חבורות. אזי <math>G/\ker(\varphi)\cong im(\varphi) </math>
*הוכחה:
**לצורך הנוחות נסמן <math>K=\ker(\varphi)</math> ו<math>M=im(\varphi)</math>.
**עלינו להראות שקיים איזומורפיזם (כלומר הומומורפיזם חח"ע ועל) <math>f:G/K\to M</math>.
**לכל <math>aK\in G/K</math> נגדיר <math>f(aK)=\varphi(a)</math>.
**ראשית, עלינו להוכיח כי מדובר בפונקציה מוגדרת היטב. כלומר, בהנתן <math>a,b\in G</math>, אם <math>aK=bK</math> עלינו להוכיח כי <math>f(aK)=f(bK)</math>.
***<math>a=ae\in aK</math> ולכן <math>a\in bK</math>. כלומר קיים <math>k\in K</math> כך ש <math>a=bk</math>.
***<math>\varphi(a)=\varphi(bk)=\varphi(b)\varphi(k)=\varphi(b)</math>.
***<math>f(aK)=\varphi(a)=\varphi(b)=f(bK)</math>.
**כעת, עלינו להוכיח ש<math>f</math> הינו הומומורפיזם.
***<math>f\left((aK)(bK)\right)=f(abK)=\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)=f(aK)f(bK)</math>
**עכשיו נוכיח ש<math>f</math> על.
***לכל איבר בתמונה <math>h\in M</math> קיים מקור <math>g\in G</math>. לכן <math>f(gK)=\varphi(g)=h</math>.
**ולבסוף, נוכיח ש<math>f</math> חח"ע.
***יהיו <math>aK,bK\in G/K</math> כך ש <math>f(aK)=f(bK)</math> עלינו להוכיח כי <math>aK=bK</math>.
***נתון <math>\varphi(a)=\varphi(b)</math> צ"ל <math>aK=bK</math>. שימו לב שלא צריך להוכיח כי <math>a=b</math>; אכן <math>\varphi</math> לא חייב להיות חח"ע.
***נראה הכלה בכיוון אחד, הכיוון השני דומה.
***יהי <math>ak\in aK</math> צ"ל <math>ak\in bK</math>.
***קל לראות ש <math>ak=bb^{-1}ak</math>, עלינו להוכיח כי <math>b^{-1}ak\in K</math>.
***אכן <math>\varphi(b^{-1}ak)=\left(\varphi(b)\right)^{-1}\varphi(a)\varphi(k)=\left(\varphi(a)\right)^{-1}\varphi(a)=e_H</math>

*דוגמא.
*נגדיר את הפונקציה <math>\varphi:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}_n</math> על ידי <math>\varphi(a)=a\mod n</math> (השארית של החלוקה של a בn).
*נוכיח שמדובר בהומומורפיזם.
**יהיו <math>a,b\in\mathbb{Z}</math> לפי ההגדרה <math>\varphi(a+b)= a+b \mod n</math>.
**נשים לב כי <math>a=\varphi(a)+kn, b=\varphi(b)+mn</math>.
**לכן <math>a+b\equiv \varphi(a)+\varphi(b) \mod n</math>.
**סה"כ <math>\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b)</math> כיוון שהם שקולים מודולו n, ואנו עוסקים בחבורה <math>\mathbb{Z}_n</math>.
*כעת מתקיים כי <math>\ker\varphi=n\mathbb{Z}=\{na|a\in\mathbb{Z}\}</math>.
*לכן <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}_n</math>

*שאלה - האם בחיבור <math>1+7+5+8</math> ב<math>\mathbb{Z}_9</math> חשוב לבצע את פעולת המודולו בכל חיבור, או שמותר בסוף?
*<math>\mathbb{Z}_9</math> איזומורפית לחבורה <math>\{0+9\mathbb{Z},...,8+9\mathbb{Z}\}</math>
*נביט ב <math>(1+9\mathbb{Z})+(7+9\mathbb{Z})+(5+9\mathbb{Z})+(8+9\mathbb{Z})</math>
*הוכחנו כי <math>(aN)(bN)=abN</math>. לכן <math>(1+9\mathbb{Z})+(7+9\mathbb{Z})+(5+9\mathbb{Z})+(8+9\mathbb{Z})=21+9\mathbb{Z}</math>.
*כיוון ש <math>\varphi(21)=\varphi(3)</math>, נובע לפי הוכחת משפט האיזומורפיזם הראשון כי <math>21+9\mathbb{Z}=3+9\mathbb{Z}</math>, כלומר אכן מותר לעשות את המודולו בסוף.

===מבוא לקידוד===
*קוד ISBN בעל 10 ספרות, כאשר הספרה האחרונה היא ספרת ביקורת.
*הספרות שייכות לחבורה <math>\mathbb{Z}_{11}</math>, כאשר 9 הספרות הראשונות הן 0-9 והאחרונה יכולה להיות גם X.
*קוד תקין מקיים את הנוסחא <math>10x_1+9x_2+...+x_{10}=0</math> (שימו לב שמדובר בפעולות מודולו 11).
*לכן חישוב ספרת הביקורת הוא <math>x_{10}=-\left(10x_1+...+2x_9\right)</math>.
*אם ספרה אחת בלבד מהקוד תשתנה בטעות, הקוד בוודאות לא יהיה תקין.
**אם נחליף את <math>x_i</math> בספרה <math>y_i</math> על מנת שהקוד החדש יהיה תקין צריך ש <math>a_i(y_i-x_i)=0</math>, אבל <math>a_i\neq 0</math> ו<math>\mathbb{Z}_{11}</math> הוא שדה.
*אם נחליף במיקום של זוג ספרות כלשהן נקבל קוד בלתי תקין.
**<math>a_ix_i+a_jx_j-a_ix_j-a_jx_i=(a_i-a_j)(x_i-x_j)\neq 0</math>.
*שימו לב שקוד זה מוגבל במספר הספרות, ואכן כשהוסיפו ספרות שינו אותו באופן דומה במידה מסוימת לתעודת הזהות שנלמד בהמשך.

==הרצאה 10 קידוד; פרק 8 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]==
*תעודת זהות בישראל.
*עבור ספרת הביקורת של תעודת הזהות אנו לא מרשים שימוש בספרה X ולכן עובדים ב<math>\mathbb{Z}_{10}</math>.
*הבעייה - זה אינו שדה ויש מחלקי אפס. למשל <math>5\cdot 0 = 5\cdot 2</math>, לכן הקוד לעיל לא יזהה בהכרח החלפת ספרה.
*תאור מילולי של חישוב ספרת ביקורת (אלגוריתם Luhn):
**לכל ספרה בתעודת הזהות ניתן משקל - 2 עבור הספרה הימנית ביותר (שאינה ספרת הביקורת) 1 עבור הבאה, וכך הלאה בסירוגין.
**נכפיל כל ספרה במשקל שלה, אם הכפלנו ספרה ב2 וקיבלנו מספר בן שתי ספרות - נסכום את הספרות.
**נסכום את כל התוצאות הללו.
**המספר הקטן ביותר שנוסיף לסכום לעיל על מנת להשלים אותו לכפולה שלימה של 10, הוא ספרת הביקורת.
*לדוגמא - מספר התעודת הזהות הראשון שניתן הוא 1. נכפול ב2 ונקבל 2. נשלים ל10 וספרת הביקורת היא 8, לכן תעודת הזהות היא 18.
*לדוגמא - נניח שתעודת הזהות היא 1789 (כמובן ללא ביקורת). אזי 9 כפול 2 זה 18, ולכן נסכום 9, 8 כפול 1 זה 8, 7 כפול 2 זה 14 שנותן 5, ו1 כפול 1 זה 1.
**סה"כ קיבלנו 9+8+5+1=22 ולכן ספרת הביקורת היא 8.

*תאור מתמטי:
*ראשית נביט בכפל ב2
**הספרות <math>\{0,1,2,3,4\}</math> נשלחות לספרות <math>\{0,2,4,6,8\}</math> בהתאמה.
**הספרות <math>\{5,6,7,8,9\}</math> נשלחות לספרות <math>\{1,3,5,7,9\}</math> בהתאמה.
**הספרות <math>\{5,6,7,8,9\}</math> כפול 2 שוות ל <math>10+x</math> ונשלחות ל<math>1+x</math>.
**נשים לב כי פעמיים הספרה שקול ל <math>x</math> מודולו 10.
**סה"כ הגדרנו את הפונקציה הבאה על הספרות <math>f(a)=\begin{cases}2a & a\leq 4 \\ 2a+1 & a\geq 5\end{cases}</math>.
*שימו לב שכפל רגיל ב2 לא היה עובד, כיוון ש<math>2\cdot 5 = 2\cdot 0</math>.

*מדוע אם כך בחרנו דווקא במשקל 2 שאינו זר ל 10 (ולכן אינו הפיך)?
**ההפיכים מודולו 10 הם אי זוגיים.
**ההפרש בין כל שניים מהם הוא זוגי, ולכן כל חילוף של שתי ספרות בהפרש 5 לא היה מתגלה.
** לדוגמא נניח כי המשקלים הם 1 ו3.
**<math>1\cdot a+3\cdot (a+5)=a+3a+15=1\cdot(a+5)+3\cdot a</math>.

*נניח שספרות תעודת הזהות הן <math>x_9,...,x_1</math> כאשר <math>x_1</math> היא ספרת הביקורת והימנית ביותר.
*לפי החישוב לעיל ספרת הביקורת נבחרה כך ש <math>x_9+f(x_8)+x_7+...+f(x_2)+x_1=0</math>.
*נעביר אגף ונקבל נוסחא לספרת הביקורת.

*קל לראות שתעודת זהות שנפלה בה טעות בספרה אחת אינה תקינה יותר.
**אם הספרה השונה היא במקום אי זוגי אז <math>1\cdot x_i\neq 1\cdot yi</math>.
**אם הספרה השונה היא במקום אי זוגי אז <math>f(x_i)\neq f(y_i)</math> כיוון ש<math>f</math> חח"ע.
*אם החלפנו את הספרות 0,9 במקומות סמוכים לא נזהה את השגיאה.
**אכן, <math>1\cdot 0 + f(9) = 9 = 1\cdot 9 + f(0)</math>.
*אם החלפנו שתי ספרות שונות במקומות סמוכים שאינן הזוג 0,9 אז נזהה את השגיאה.
**אם שתי הספרות קטנות או שוות ל4, נקבל <math>x_i+2x_j-x_j-2x_i=x_j-x_i\neq 0</math>.
**אם שתי הספרות גדולות או שוות ל5 נקבל <math>x_i+2x_j+1-x_j-2x_i-1=x_j-x_i\neq 0</math>.
**אם <math>0\leq x_i\leq 4</math> אבל <math>5\leq x_j\leq 9</math> נקבל <math>x_i+2x_j+1-x_j-2x_i=x_j-x_i+1</math>.
**הדרך היחידה ש<math>x_j-x_i+1=0</math>היא אם <math>x_j-x_i=9</math> וזה בדיוק הזוג 0,9.

===קוד לינארי===
*המידע שאנו מעוניים לשלוח הוא וקטור של ביטים <math>\mathbb{Z}_2^k</math>.
*נכפיל את המידע במטריצה הבינארית <math>G=\begin{pmatrix} I_k \\ A\end{pmatrix}</math> ונקבל קוד ב<math>\mathbb{Z}_2^n</math>.
*דוגמא
**נביט במטריצה <math>G=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}</math>.
**כפל במטריצה זו מוסיף למידע באורך 3 ביט יתירות הבודק זוגיות (parity bit).

*עבור <math>G=\begin{pmatrix} I_k \\ A\end{pmatrix}</math> נגדיר את המטריצה <math>H=\begin{pmatrix}A & I_{n-k}\end{pmatrix}</math>.
*טענה:
*לכל וקטור <math>Hv=0</math> אם ורק אם <math>v</math> הוא מהצורה <math>v=Gx</math>.
**הוכחה:
**כיוון ראשון:
***נוכיח ראשית ש<math>HG=0</math>, ולכן ברור שאם <math>v=Gx</math> אזי <math>Hv=0</math>.
***<math>HG=\begin{pmatrix}A & I_{n-k}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_k \\ A\end{pmatrix}=A+A=0</math> (זכרו שאנו מעל השדה <math>\mathbb{Z}_2</math>).
**בכיוון ההפוך:
***נניח כי <math>Hv=0</math> ונסמן <math>v=\begin{pmatrix}x\\u\end{pmatrix}</math> כאשר <math>x\in\mathbb{Z}_2^k</math>.
***נוכיח כי <math>Gx=v</math>.
***נסמן <math>Gx=\begin{pmatrix}x\\u'\end{pmatrix}</math>, צריך להוכיח כי <math>u=u'</math>.
***נתון כי <math>Hv=0</math>, ומכיוון קודם ידוע כי <math>HGx=0</math> ולכן ביחד <math>H(Gx-v)=0</math>.
***לכן <math>0=H(Gx-v)=H\begin{pmatrix}0\\u'-u\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A & I_{n-k}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\u'-u\end{pmatrix}=u'-u</math>
**כלומר קוד <math>v</math> הינו תקין אם ורק אם <math>Hv=0</math>.

*שימו לב כי נובע מההוכחה לעיל שעבור וקטור מידע <math>x</math> יש בדיוק וקטור יתירות יחיד <math>u</math> עבורו <math>\begin{pmatrix}x\\u\end{pmatrix}</math> תקין.
*כלומר, ניתן לזהות כל כמות טעויות המשנה אך ורק את וקטור היתירות.

==הרצאה 11 המשך קידוד; פרק 8 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]==

*עד כה הראנו שיש לנו דרך לקודד מידע ולוודא שהמידע שהגיע הוא קוד תקין.
*השאלה: כיצד שגיאות עשויות להשפיע על הקוד? כמה שגיאות יכולות להעביר אותנו ממילה חוקית אחת לאחרת?
*מרחק המינג- המרחק בין שני וקטורים ב<math>\mathbb{Z}_2^n</math> הוא כמות העמודות בהן הם נבדלים.
**דוגמא: <math>d((1,0,1,0),(0,1,1,0))=2</math>.

*נסמן ב<math>d_{min}</math> את המרחק הקטן ביותר בין שתי מילים חוקיות כלשהן <math>Gx_1,Gx_2</math>.
*טענה: אם <math>d_{min}\geq 2n+1</math> אז הקוד מסוגל לזהות עד <math>2n</math> שגיאות ולתקן עד <math>n</math> שגיאות.
*הוכחה:
**אם כמות השגיאות קטנה או שווה ל<math>2n</math> המילה שהתקבלה בוודאות אינה חוקית, כיוון שהמרחק המינימלי בין שתי מילים חוקיות גדול או שווה ל<math>2n+1</math>.
**אם כמות השגיאות קטנה או שווה ל<math>n</math> יש בדיוק מילה חוקית אחת שיכולה להיות המקור.
**אחרת, ניתן להגיע ע"י n שגיאות משתי מילים חוקיות למילה שקיבלנו, כלומר המרחק בין שתי המילים החוקיות קטן או שווה ל<math>2n</math>, בסתירה.

*דוגמא: בקוד ביט parity מתקיים כי <math>d_{min}=2</math> והקוד יכול לזהות שגיאה אחת ולא לתקן בכלל.

*טענה:
*הקוד מסוגל לזהות לפחות שגיאה אחת אם ורק אם ב<math>H</math> אין עמודת אפסים.
**הוכחה:
**תהי מילה חוקית <math>v</math> ונוסיף לה שגיאה אחת בדיוק <math>v+e_i</math>.
**אזי <math>H(v+e_i)=Hv+He_i=0+C_i(H)</math>.

*טענה:
*<math>d_{min}\geq 3</math> אם ורק אם ב<math>H</math> אין עמודת אפסים וגם אין שתי עמודות זהות.
*במקרה זה ניתן לזהות לפחות שתי שגיאות, ולתקן לפחות שגיאה אחת.
**הוכחה:
**תהי מילה חוקית <math>v</math> ונוסיף לה שתי שגיאות <math>v+e_i+e_j</math>.
**אזי <math>H(v+e_i+e_j)=C_i(H)+C_j(H)</math>.
**זה שווה אפס (כלומר המילה החדשה חוקית) אם ורק אם <math>C_i(H)=C_j(H)</math>.

*הערה:
*נניח שהוספנו <math>n-k</math> ביטים למידע, זה משאיר ל<math>A</math> כמות של <math>2^{n-k}-(n-k)-1</math> עמודות שיכולות להיות שונות מאפס, ושונות מהעמודות של <math>I_{n-k}</math>.
*כלומר על מנת לתקן שגיאה אחת, כמות הביטים שעלינו להוסיף לוגריתמית ביחס לכמות המידע.

*דוגמא (קוד המינג)
*<math>H=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1& 0 & 0\\ 1& 0 & 1&1&0&1&0\\1&1&0&1&0&0&1\end{pmatrix}</math>
*כיוון שסכום שלושת העמודות הראשונות הוא אפס <math>d_{min}\leq 3</math>.
*מצד שני, כיוון שאין ב<math>H</math> שתי עמודות זהות <math>d_{min}\geq 3</math>.
*ביחד <math>d_{min}= 3</math>.

*מציאת שגיאה, בהנתן שהתרחשה בדיוק שגיאה אחת:
*נניח שהמילה שנשלחה היא <math>v</math> והמילה שהתקבלה היא <math>v+e_i</math>.
*לכן <math>H(v+e_i)=C_i(H)</math>.
*כלומר מיקום העמודה במטריצה <math>H</math> הוא מיקום הטעות.

*דוגמא:
*<math>
v=Gx=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0 & 1 & 1 & 1\\1& 0 & 1&1\\1&1&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\\0\\0\\1\end{pmatrix}
</math>
*נניח שהתקבלה בצד השני המילה יחד עם טעות אחת <math>u=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\\0\\0\\1\end{pmatrix}</math>.
*נחשב <math>Hu=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}</math>.
*כך אנו יודעים שהטעות הייתה בביט השני.

checksum בפרוטוקולי IP, TCP, UDP.

==הרצאה 12 חוג הפולינומים; פרקים 16,17 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]==

*תזכורת: חוג הוא קבוצה <math>R</math> עם פעולות חיבור וכפל, כך שהוא חבורה חילופית ביחד לחיבור, מקיים אסוציאטיביות בכפל, מכיל איבר יחידה ואת חוק הפילוג.

===חוג הפולינומים===

*יהי <math>\mathbb{F}</math> שדה, אזי <math>\mathbb{F}[x]</math> הוא חוג הפולינומים עם פעולות כפל וחיבור רגילות.
**כלומר <math>\mathbb{F}[x]=\{a_nx^n+...+a_1x+a_0|n\in\mathbb{N},a_i\in\mathbb{F}\}</math>.
*עבור פולינום <math>a_nx^n+...+a_1x+a_0</math> כאשר <math>a_n\neq 0</math> אומרים ש'''הדרגה''' שלו היא <math>n</math>.
*עבור פולינום האפס אפשר להגיד שדרגתו היא <math>-1</math>.

*טענה (חלוקה עם שארית): יהיו שני פולינומים <math>f(x),g(x)\in\mathbb{F}[x]</math> כך ש<math>g(x)</math> אינו פולינום האפס, אזי קיימים פולינומים יחידים <math>q(x),r(x)</math> כך ש:
**<math>f(x)=q(x)g(x)+r(x)</math>.
**<math>\deg(r(x))<\deg(g(x))</math>.
*הוכחה:
*קיום:
**יהי <math>g(x)</math> כזה.
**אם <math>\deg(f)<\deg(g)</math> אזי <math>f=0\cdot g + f</math>.
**אם <math>\deg(f)\geq\deg(g)</math> נוכיח באינדוקציה על הדרגה של <math>f</math>.
**נסמן <math>f(x)=a_nx^n+...+a_0</math>, <math>g(x)=b_mx^m+...+b_0</math> כאשר נתון <math>n\geq m</math>.
**הפולינום <math>f(x)-\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}g(x)</math> הוא מדרגה קטנה ממש מ<math>n</math> ולכן מקיים את הטענה לפי הנחת האינדוקציה.
**לכן <math>f(x)-\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}g(x)=q(x)g(x)+r(x)</math>.
**לכן <math>f(x)=(\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}+q(x))g(x)+r(x)</math>.
*יחידות:
**נניח <math>f(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x)=q_2(x)g(x)+r_2(x)</math>.
**לכן <math>(q_1(x)-q_2(x))g(x)=r_1(x)-r_2(x)</math>.
**אבל <math>\deg(r_1(x)-r_2(x))<\deg(g(x))</math> ולכן <math>q_1(x)-q_2(x)=0</math> ולכן גם <math>r_1(x)-r_2(x)=0</math>.

*מסקנה: עבור פולינום <math>f(x)</math> ועבור נקודה <math>a\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי <math>f(a)=0</math> אם"ם קיים פולינום <math>q(x)</math> כך ש <math>f(x)=q(x)(x-a)</math>.
*במילים: a הינו שורש של הפולינום f אם"ם הפולינום f מתחלק בפולינום x-a.
*הוכחה:
**לפי משפט החלוקה עם שארית קיימים פולינומים <math>q(x),r(x)</math> כך ש:
***<math>f(x)=q(x)(x-a)+r(x)</math>.
***<math>\deg(r(x))<\deg(x-a)=1</math>, כלומר <math>r(x)=r\in\mathbb{F}</math> הוא קבוע.
**נציב <math>a</math> ונקבל <math>f(a)=r</math>.
**לכן <math>f(x)=q(x)(x-a)</math> אם ורק אם <math>f(a)=0</math>.

===קודים פולינומיים===

*כעת נביט בפולינומים מעל השדה הבינארי <math>\mathbb{Z}_2[x]</math>.
*כל פולינום מדרגה n מתאים לוקטור המקדמים ב<math>\mathbb{Z}_2^{n+1}</math>.
*למשל, וקטור המידע <math>10110</math> מתאים לפולינום <math>x^4+x^2+x</math>.

*נקבע פולינום <math>g(x)\in\mathbb{Z}_2[x]</math> כלשהו מדרגה m.
*עבור מידע <math>f(x)</math> נבצע חלוקה עם שארית של <math>x^m\cdot f(x)</math> ב<math>g(x)</math>
*<math>x^m\cdot f(x) =q(x)g(x)+r(x)</math>.
*המילה שנשלח היא <math>x^m\cdot f(x) + r(x)</math> (שימו לב כי <math>r(x)=-r(x)</math>).
*המילה תקינה אם ורק אם היא מתחלקת ב<math>g(x)</math>.
*זהו קוד לינארי:
**אם <math>f(x),h(x)</math> מתאימים לוקטורי מידע, <math>f(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x)</math> ו<math>h(x)=q_2(x)g(x)+r_2(x)</math> אז השארית של <math>f(x)+h(x)</math> היא <math>r_1(x)+r_2(x)</math>.
*קוד זה מוסיף m ביטים של יתירות למידע.

*דוגמא:
*נבחר את הפולינום <math>g(x)=x^3+x+1</math> (מוסיף 3 ביטי יתירות).
**נקודד מידע:
***נניח כי המידע שלנו הוא <math>1010</math> כלומר הפולינום <math>f(x)=x^3+x</math>.
***לכן עלינו לחלק את הפולינום <math>x^3\cdot f(x) =x^6+x^4</math> בפולינום <math>g(x)=x^3+x+1</math>.
***לאחר אלגוריתם חלוקה עם שארית נקבל <math>x^6+x^4=(x^3+1)(x^3+x+1)+x+1</math>.
***לכן סה"כ המידע שנשלח הוא <math>x^3\cdot f(x) + r(x)=x^6+x^4+x+1</math> שזה בעצם <math>1010011</math>.
**נבדוק תקינות מידע:
***האם המידע <math>1101101</math> תקין?
***זה בעצם הפולינום <math>x^6+x^5+x^3+x^2+1</math>, זה קוד תקין אם"ם הוא מתחלק ב<math>g(x)</math>.
***נבצע חלוקה עם שארית ונקבל שארית <math>x^2</math>, לכן הקוד אינו תקין.

==הרצאה 13 קודים ציקליים; פרק 22 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]==

===קידוד פולינומי ציקלי===
*עבור הקידוד הציקלי נקבע את הפרמטרים הבאים:
**יהי k אורך המידע, כלומר נקודד פולינומים עד דרגה <math>k-1</math> בלבד.
**יהי g פולינום מדרגה m, לפי נקודד קידוד פולינומי.
**נסמן את אורך המילה המקודדת ב<math>n=k+m</math>.
**מילה היא חוקית אם ורק אם היא מהצורה <math>h(x)g(x)</math> כאשר <math>deg(h(x))<k</math>

*קוד נקרא ציקלי אם לכל מילה חוקית <math>(a_{n-1}\ a_{n-2}\ \cdots\ a_1\ a_0)</math> גם ההזזה הציקלית <math>(a_{n-2}\ a_{n-3}\ \cdots\ a_0\ a_{n-1})</math> היא מילה חוקית.

*נתאר את ההזה הציקלית באמצעות פעולה אלגברית.
**יהי <math>f(x)=a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0</math>
**אזי <math>x\cdot f(x) \equiv a_{n-2}x^{n-1}+...+a_0x+a_{n-1} \mod x^n-1</math>
**כלומר ההזזה הציקלית של <math>f(x)</math> היא השארית של <math>x\cdot f(x)</math> בחלוקה ב<math>x^n-1</math>.
**הוכחה:
***אכן <math>x\cdot f(x)= a_{n-1}x^n+...+a_0x=a_{n-1}(x^n-1) + a_{n-1} + a_{n-2}x^{n-1}+...+a_0x</math>

*במילים פשוטות:
**יהי <math>f(x)=a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0</math>
**אם <math>a_n=0</math> אזי ההזזה הציקלית היא <math>x\cdot f(x)</math>
**אם <math>a_n=1</math> אזי ההזה הציקלית היא <math>x\cdot f(x) +x^n +1</math>
***(מכבים את הביט האחרון, ומוסיפים ביט ראשון)

*משפט: הפולינום <math>g(x)</math> מחלק את <math>x^n+1</math> אם ורק אם הקוד הפולינומי הינו ציקלי.
*שימו לב: n הוא אורך המילה המקודדת, שכולל הן את המידע והן את היתירות.
**הוכחה:
**בכיוון ראשון, נניח כי הקוד הוא ציקלי:
***<math>x^{k-1}g(x)</math> היא מילה חוקית
***כיוון שהקוד ציקלי, גם ההזזה הציקלית <math>x\cdot x^{k-1}g(x)+x^n+1</math> חוקית
***כלומר <math>x^k g(x)+x^n+1=h(x)g(x)</math>
***לכן <math>x^n+1=(h(x)+x^k) g(x)</math>, כפי שרצינו.
**בכיוון שני, נניח כי <math>x^n+1=t(x)g(x)</math>
***נשים לב כי <math>deg(t(x))=k</math>
***תהי מילה חוקית <math>h(x)g(x)</math>
***אם <math>deg(h\cdot g)<n</math> אז ההזזה הציקלית היא <math>xh(x)g(x)</math> והיא מילה חוקית כי <math>deg(xh(x))<k</math>
***אחרת, נניח כי <math>deg(h\cdot g)=n</math> ולכן ההזזה הציקלית היא <math>xh(x)g(x)+x^n+1</math>
***כלומר ההזזה הציקלית היא <math>xh(x)g(x)+t(x)g(x)=(xh(x)+t(x))\cdot g(x)</math>
***כיוון ש <math>deg(xh(x))=deg(t(x))=k</math> נובע כי <math>deg(xh(x)+t(x))<k</math>
***לכן <math>(xh(x)+t(x))\cdot g(x)</math> מילה חוקית, כפי שרצינו.

*משפט: קוד פולינומי ציקלי עם פולינום <math>g(x)</math> מדרגה <math>m</math> מסוגל לזהות כל כמות של שגיאות, בתנאי שכולן נמצאות בתוך טווח של <math>m</math> ביטים.
*הוכחה:
**נניח שקרו טעויות בתוך טווח של <math>m</math> ביטים.
**אם המילה החדשה חוקית, גם כל הזזה ציקלית שלה היא חוקית.
**נזיז את <math>m</math> הביטים כך שיהיו בקצה הימני במקום של היתירות.
**כיוון שהיתירות היא יחידה, בוודאות המילה אינה חוקית, סתירה.

*דוגמא:
*<math>x^7-1=(1+x)(1+x+x^3)(1+x^2+x^3)</math>
*לכן הקוד הנוצר על ידי הפולינום <math>g(x)=1+x+x^3</math> עבור וקטורי מידע באורך 4 הוא ציקלי.

*פרוטוקול Ethernet משתמש בתיקון שגיאות ציקלי הנקרא CRC32, ובפרט בפולינום:
*<math>g(x)=x^{32} + x^{26} + x^{23} + x^{22} + x^{16} + x^{12} + x^{11} + x^{10} + x^8 + x^7 + x^5 + x^4 + x^2 + x + 1</math>.
*הפולינום <math>g(x)</math> מחלק את <math>x^{2^{32}-1}-1</math>, כלומר הוא מתאים לקידוד של עד למעלה מ4 מיליארד ביטים של מידע.

מבנים אלגבריים למדעי המחשב - ארז שיינר

2026-04-16T06:44:21Z

ארז שיינר: /* סימן של תמורה */

[[קטגוריה:מערכי לימוד]]

=ספר הקורס=
ההרצאות מבוססות באופן כללי על הספר [http://abstract.ups.edu/aata/ Abstarct Algebra - Theory and Applications by Thomas W. Judson]

* [[מדיה:19CSASnotes.pdf|סיכום ההרצאות מ2019 ע"י ספיר ביתן]]
* [[מדיה:21CSASnotes.pdf|סיכום ההרצאות מ2021 ע"י רועי אוסקר]]

=מבחנים לדוגמא=

*[[מדיה:17ASExmTest1.pdf|מבחן לדוגמא 1 תשע"ח]]
**[[מדיה:17ASExmTest1Sol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא 1 תשע"ח]]
*[[מדיה:17ASExmTest2.pdf|מבחן לדוגמא 2 תשע"ח]]
**[[מדיה:17ASExmTest2Sol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא 2 תשע"ח]]
*[[מדיה:17ASExmTest3.pdf|מבחן לדוגמא 3 תשע"ח]]
**[[מדיה:17ASExmTest3Sol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא 3 תשע"ח]]
*[[מדיה:17ASTestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ח]]
*[[מדיה:17ASTestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ח]]
*[[מדיה:17ASTestC.pdf|מבחן מועד ג' תשע"ח]]
*[[מדיה:18ASTestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ט]]
**[[מדיה:18ASTestASol.pdf|פתרון מועד א' תשע"ט]]
*[[מדיה:19ASTestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ט]]
**[[מדיה:18ASTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשע"ט]]
*[[מדיה:20ASTestA.pdf|מבחן מועד א' תש"ף]]
*[[מדיה:20ASTestB.pdf|מבחן מועד ב' תש"ף]]
*[[מדיה:21ASTestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"א]]
**[[מדיה:21ASTestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשפ"א]]
*[[מדיה:21ASTestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"א]]
*[[מדיה:21ASTestC.pdf|מבחן מועד ג' תשפ"א]]
*[[מדיה:22ASTestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"ב]]
*[[מדיה:22ASTestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"ב]]

* [[89-214 מבחנים|מבחנים משנים קודמות]]

=נושאי ההרצאות=

[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hka_9hBlLKybpwG_5_T7FaY פלייליסט של הרצאות קבוצה 01 תשפ"א]

[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hlVTrX-RcrpYiTMyQBmIihV פלייליסט של הרצאות קבוצה 02 תשפ"א]

==הרצאה 1 הקדמה; הסבר על קידוד והצפנה, מבוא למבנים אלגבריים ==

*קידוד הוא שיטה להעברת מידע ובין היתר מטרתו היא להבטיח את נכונות המידע ולזהות (ולתקן) שגיאות.
*הצפנה היא שיטה להסתרת מידע במקום בו כולם רואים את התוכן המועבר, דרך להבטיח מי הוא מקור המידע (חתימה) ודרך להבטיח את אמינות המידע (ללא חוסרים וללא שינויים).
*המבנים האלגבריים שאנו עוסקים בהם בקורס הם חבורה, חוג ושדה.

==הרצאה 2 חבורות ותת חבורות; פרקים 3,4 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר] ==
===חבורות===
*חבורה היא קבוצה G עם פעולה המקיימת:
**סגירות
**אסוציאטיביות
**איבר נייטרלי
**לכל איבר יש איבר הופכי

*חבורה המקיימת את חוק החילוף נקראת חבורה אבלית, קומוטטיבית או חילופית

*תכונת הצמצום: תהי חבורה G, אזי לכל <math>a,b,c\in G</math> אם <math>ab=ac</math> אזי <math>b=c</math>.
**הוכחה: נכפול באיבר ההופכי <math>a^{-1}(ab)=a^{-1}(ac)</math> ונשתמש באסוציאטיביות ובאיבר הנייטרלי.

*יחידות האיבר ההופכי: נובע מתכונת הצמצום שלכל איבר בחבורה קיים איבר הופכי יחיד.
**הוכחה: אם <math>ab=ac=e_G</math> אזי <math>b=c</math>.

*דוגמאות לחבורות:
**<math>S_n</math> חבורת הפונקציות ההפיכות מקבוצה בגודל n לעצמה עם פעולת ההרכבה.
**<math>GL_n(\mathbb{F})</math> חבורת המטריצות ההפיכות עם כפל מטריצות.
**<math>\mathbb{Z}</math> חבורת השלמים עם חיבור.
**<math>\mathbb{Z}_n</math> חבורת השאריות עם חיבור מודולו n.

===מכפלה קרטזית של חבורות===

*תהיינה חבורות <math>G,H</math> המכפלה הקרטזית של החבורות <math>G\times H</math> (אוסף הזוגות הסדורים) היא חבורה עם הפעולה הבאה:

<math>(g_1,h_1)\cdot_{G\times H}(g_2,h_2)=(g_1\cdot_G g_2,h_1\cdot_H h_2)</math>

===תת חבורות===
*הגדרה: תהי חבורה G. תת קבוצה <math>H\subseteq G</math> נקראת תת חבורה של G אם היא חבורה ביחס לפעולה של G.

*קרטריון מקוצר לבדיקת תת חבורה:
*תת קבוצה H של חבורה G הינה תת חבורה אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
**<math>e_G\in H</math>.
**לכל שני איברים <math>a,b\in H</math> מתקיים כי <math>ab^{-1}\in H</math>.

*הוכחת הקריטריון המקוצר:
*בכיוון ראשון נניח כי H תת חבורה:
**נוכיח כי <math>e_G\in H</math>.
***נניח H תת חבורה, לכן קיים בה איבר נייטרלי <math>e_H</math>.
***כיוון שמדובר באיבר נייטרלי בH מתקיים כי <math>e_H\cdot e_H=e_H</math>.
***מצד שני ברור ש<math>e_H\cdot e_G=e_H</math>.
***לכן <math>e_H\cdot e_H=e_H\cdot e_G</math> ולפי תכונת הצמצום נובע ש <math>e_H=e_G</math>.
**נוכיח כי לכל שני איברים <math>a,b\in H</math> מתקיים כי <math>ab^{-1}\in H</math>.
***יהיו <math>a,b\in H</math>.
***קיים בH הופכי לb, נקרא לו c.
***לכן <math>bc=bb^{-1}=e_G</math> (הרי הוכחנו כבר ש<math>e_H=e_G</math>).
***שוב לפי תכונת הצמצום נובע כי <math>b^{-1}=c\in H</math>.
***לפי הסגירות של H נובע כי <math>ab^{-1}\in H</math>.
*בכיוון השני, נוכיח כי H תת חבורה:
**סגירות:
***יהיו <math>a,b\in H</math>.
***ידוע כי <math>e_G\in H</math>, לכן <math>e_G\cdot b^{-1}\in H</math>, כלומר <math>b^{-1}\in H</math>.
***לכן <math>a\cdot \left(b^{-1}\right)^{-1}\in H</math> כלומר <math>a\cdot b \in H</math>.
**אסוציאטיביות:
***נתון כי הפעולה אסוציאטיבית, הרי זו הפעולה של G וG חבורה.
**איבר נייטרלי:
***נתון כי <math>e_G\in H</math>.
**איברים הופכיים:
***יהי <math>a\in H</math>.
***לכן <math>a^{-1}=e_G\cdot a^{-1}\in H</math> בדומה להוכחת הסגירות.

*תת חבורות;
**<math>SL_n(\mathbb{F})</math> חבורת המטריצות בעלות דטרמיננטה שווה 1, עם כפל מטריצות.
**קווטרניונים <math>\left\{
\pm\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},
\pm\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},
\pm\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix},
\pm\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}
\right\}\subseteq GL_2\left(\mathbb{C}\right)</math>
**<math>\mathbb{C}\setminus \{0\}=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}:(a,b)\neq (0,0)\right\}\subseteq GL_2\left(\mathbb{R}\right)</math>.
**<math>\{z\in\mathbb{C}:|z|=1\}\subseteq \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> מעגל היחידה.

===תת חבורות ציקליות===

*כתיב אקספוננט <math>g^n=g\cdots g</math> או כפל <math>ng=g+\cdots+g</math> בהתאם לסימון פעולת החבורה.

*תהי G חבורה, לכל <math>a\in G,n\in \mathbb{N}</math> נגדיר:
**<math>a^0=e_G</math>.
**<math>a^{-n}=(a^{-1})^n</math>

*הערה: קל להוכיח כי <math>(a^{-1})^n=(a^n)^{-1}</math>

*תהי חבורה G, לכל <math>a\in G</math> נגדיר את הסדר של האיבר <math>o(a)</math> בתור החזקה החיובית הקטנה ביותר k עבורה <math>a^k=e_G</math>. אם אין חזקה כזו, ניתן לומר שהסדר הוא אינסוף.
*דוגמאות:
**<math>o(e_G)=1</math>.
**ב<math>\mathbb{Z}_5</math> מתקיים כי <math>o(2)=5</math>.
**ב<math>\mathbb{Z}</math> הסדר של כל איבר שונה מאפס הוא אינסוף.

*תהי חבורה G, ויהי <math>a\in G</math>. תת החבורה הציקלית הנוצרת על ידי a הינה <math><a>=\{a^n|n\in\mathbb{Z}\}</math>
*הוכחה שאכן מדובר בתת חבורה:
**<math>e_G=a^0\in<a></math>.
**יהיו <math>a^n,a^k\in<a></math> אזי <math>a^n\cdot (a^k)^{-1}=a^n\cdot (a^{-1})^k=a^{n-k}\in<a></math>.

*תהי חבורה G, אזי סדר כל איבר הוא גודל החבורה הציקלית שהוא יוצר, כלומר <math>|<a>|=o(a)</math>.
*הוכחה:
**ראשית נוכיח עבור המקרה בו סדר האיבר סופי <math>o(a)=n</math>.
***רוצים להוכיח כי <math><a>=\{e_G,a,a^2,...,a^{n-1}\}</math> וכי כל האיברים בקבוצה זו שונים זה מזה (אחרת כמות האיברים קטנה יותר מn).
***ברור שהחזקות של a שייכות לתת החבורה הציקלית.
***יהי k כלשהו, נסמן בr את השארית <math>r=k \mod n</math> כלומר <math>k=pn+r</math> עבור <math>p\in\mathbb{Z}, 0\leq r\leq n-1</math>.
***<math>a^k=(a^n)^pa^r=e_G^pa^r=a^r</math>.
***כעת נניח כי קיימות שתי חזקות שונות <math>0\leq r_1<r_2\leq n-1</math> כך ש <math>a^{r_1}=a^{r_2}</math>.
***לכן <math>a^{r_2-r_1}=e_G</math>.
***אבל <math>r_2-r_1\leq n-1 < n</math> בסתירה לכך ש<math>o(a)=n</math>.
**כעת נניח כי סדר האיבר הוא אינסוף, ונוכיח כי גודל תת החבורה הציקלית שהוא יוצר הוא אינסוף.
***נניח בשלילה ש <math><a></math> סופית, לכן לפחות שתי חזקות שונות של a נותנות אותו איבר.
***נסמן <math>n<k</math> כך ש <math>a^n=a^k</math>.
***לכן <math>a^{k-n}=e_G</math> בסתירה לכך שסדר האיבר הוא אינסוף.

*מסקנה: תהי חבורה '''סופית''' G, אזי לכל איבר בחבורה יש סדר סופי.
**הוכחה: גודל תת החבורה הציקלית חייב להיות סופי.

*תת חבורות ציקליות:
**<math>2\mathbb{Z}</math>.
**<math>\{z\in\mathbb{C}:z^n=1\}\subseteq \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> שורשי היחידה מסדר n.

==הרצאה 3 חבורת תמורות, סימן התמורה; פרק 5 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר] ==

===סימן של תמורה===
*נביט בחבורת התמורות <math>S_n</math>.
*עבור <math>f\in S_n</math> נגדיר את הסימן <math>\mathrm{sign}(f):=\Pi_{i> j}\frac{x_{f(i)}-x_{f(j)}}{x_i-x_j}</math>.
*הסימן של תמורה הוא תמיד פלוס או מינוס 1.
*אם סימן התמורה הוא מינוס אחד אומרים שהיא '''אי-זוגית''' או '''שלילית''', ואם הסימן הוא אחד אומרים שהיא '''זוגית''' או '''חיובית'''.

*כפליות הסימן: תהיינה שתי תמורות <math>f,g\in S_n</math>, אזי <math>\mathrm{sign}(f\circ g)=\mathrm{sign}(f)\cdot\mathrm{sign}(g)</math>.
**הוכחה:
**<math>\mathrm{sign}(f\circ g)=\Pi_{i> j}\frac{x_{f(g(i))}-x_{f(g(j))}}{x_i-x_j}=\Pi_{i> j}\frac{x_{f(g(i))}-x_{f(g(j))}}{x_{g(i)}-x_{g(j)}}\cdot\frac{x_{g(i)}-x_{g(j)}}{x_i-x_j}</math>
**כיוון שg חח"ע ועל,אוסף הזוגות <math>i> j</math> שווה לאוסף הזוגות <math>g(i),g(j)</math>, ולכן <math>\Pi_{i> j}\frac{x_{f(g(i))}-x_{f(g(j))}}{x_{g(i)}-x_{g(j)}}=\mathrm{sign}(f)</math>.
**סה"כ קיבלנו <math>\mathrm{sign}(f\circ g)=\mathrm{sign}(f)\cdot\mathrm{sign}(g)</math>.

<videoflash>Lmk0izbQR08</videoflash>

===מחזורים===
*מחזור <math>(a_1\ a_2\ \cdots \ a_k)</math> מייצג את התמורה f המקיימת <math>f(a_1)=a_2,...,f(a_{k-1})=a_k,f(a_k)=a_1</math> ולכל איבר אחר <math>f(a)=a</math>.
*לדוגמא: <math>\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&2&5&3&1\end{pmatrix}=(1\ 4\ 3\ 5)\in S_5</math>

*כל תמורה ניתן להציג כהרכבה של מחזורים זרים, ואת תמורה הזהות ניתן להציג כ<math>(1)</math>.

*חילוף הוא מחזור באורך 2.
*חילוף הוא תמורה אי זוגית.
**נוכיח עבור <math>f=(1\ 2)\in S_n</math>. (זה מספיק כיוון שהשם של האיברים לא משנה.)
**<math>\mathrm{sign}(f)=\left(\frac{x_2-x_1}{x_1-x_2}\cdot\frac{x_2-x_3}{x_1-x_3}\cdots \frac{x_2-x_n}{x_1-x_n}\right)\cdot\left(\frac{x_1-x_3}{x_2-x_3}\cdots\frac{x_1-x_n}{x_2-x_n}\right)\left(\cdot\frac{x_3-x_4}{x_3-x_4}\cdots\frac{x_{n-1}-x_n}{x_{n-1}-x_n}\right)=-1</math>

*כל מחזור ניתן להציג כהרכבה של חילופים:
**<math>(a_1\ a_2\ \cdots \ a_k)=(a_1\ a_2)(a_2\ a_3)\cdot (a_{k-1}\ a_k)</math>
**כל איבר שלא מוזכר במחזור נשלח לעצמו, ונציב בשני הצדדים את <math>a_1,...,a_{k-1}</math> ונראה כי הפונקציות שוות.
**כיוון שמדובר בפונקציה הפיכה, אין צורך לבדוק את האיבר האחרון <math>a_k</math>.

*מסקנה: כיוון שסימן כל חילוף הוא שלילי ולפי כפליות הסימן, הסימן של מחזור באורך k הוא <math>(-1)^{k-1}</math>.
*דוגמא:
**<math>f=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\4&2&5&3&1&7&6\end{pmatrix}=(1\ 4\ 3\ 5)(6\ 7)</math>.
**לכן <math>\mathrm{sign}(f)=(-1)\cdot(-1)=1</math>, כלומר מדובר בתמורה זוגית.

<videoflash>oXntZnnoHfM</videoflash>

==הרצאה 4 הומומורפיזמים, איזומורפיזמים, משפט קיילי, משפט לגראנג'; פרקים 9 ו6 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר] ==

===הומומורפיזם, איזומורפיזם===
*הגדרה: תהיינה שתי חבורות G,H ותהי פונקציה <math>f:G\to H</math>. אזי f נקראת '''הומומורפיזם''' אם לכל <math>a,b\in G</math> מתקיים <math>f(a\cdot_G b)=f(a)\cdot_H f(b)</math>.
*שימו לב ש <math>\cdot_G</math> היא הפעולה של G, ו<math>\cdot_H</math> היא הפעולה של H.
*הומומורפיזם שהוא פונקציה חח"ע ועל נקרא איזומורפיזם.
*הומומורפיזם שומר במובן מסויים על המבנה של החבורה, ואיזומורפיזם מראה שהחבורות הן 'אותה גברת בשינוי אדרת'.

*תכונות:
**אם <math>f:G\to H</math> הומומורפיזם אזי <math>f(e_G)=e_H</math>.
***הוכחה:
***<math>f(e_G)=f(e_G\cdot e_G)=f(e_G)\cdot f(e_G)</math>.
***לפי תכונת הצמצום <math>f(e_G)=e_H</math>.
**אם f הומומופיזם אזי <math>o(f(a))\leq o(a)</math>.
***אם <math>o(a)=n</math> אזי <math>a^n=e_G</math>.
***לכן <math>f(a^n)=\left(f(a)\right)^n=e_H</math>.
***לכן <math>o(f(a))\leq n=o(a)</math>.
**אם f איזומורפיזם אזי <math>o(f(a))= o(a)</math>.
***נניח כי <math>o(a)=n</math>, הוכחנו ש<math>o(f(a))\leq n</math>.
***נסמן <math>o(f(a))=k</math>.
***לכן <math>\left(f(a)\right)^k=e_H</math>, ולכן <math>f(a^k)=e_H</math>.
***כיוון שאיזומורפיזם הינו פונקציה חח"ע, נובע כי <math>a^k=e_G</math>, כלומר <math>o(a)\leq k</math>.
***ביחד <math>k=n</math>.
***לבסוף, נובע <math>o(f(a))</math> סופי אם"ם <math>o(a)</math> סופי, ולכן הם שווים גם אם אחד מהם הוא אינסוף.
**אם f הומומורפיזם אזי <math>f(a^{-1})=\left(f(a)\right)^{-1}</math> (שימו לב שf לא צריכה להיות הפיכה, והסימון <math>f^{-1}(a)</math> לא בהכרח מוגדר ואינו קשור).
***אכן <math>f(a)\cdot f(a^{-1})=f(e_G)=e_H</math>.

*הגדרה: גרעין של הומומורפיזם הוא אוסף האיברים שנשלחים לאיבר היחידה.
*טענה: התמונה והגרעין של הומומורפיזם הינם תתי חבורות של הטוווח והתחום בהתאמה.
**הוכחה לגבי התמונה:
**יהי הומומורפיזם <math>f:G\to H</math>.
**ראשית, <math>f(e_G)=e_H</math> ולכן <math>e_H\in Im(f)</math>.
**שנית, יהיו <math>h_1,h_2\in Im(f)</math> לכן קיימים <math>g_1,g_2\in G</math> כך ש <math>f(g_i)=h_i</math>.
**<math>h_1\cdot h_2^{-1}=f(g_1)\cdot \left(f(g_2)\right)^{-1}=f(g_1\cdot g_2^{-1})\in Im(f)</math>.
**סה"כ הוכחנו כי <math>Im(f)</math> הינה תת חבורה של <math>H</math>.

===משפט קיילי===
*שיכון קיילי:
**תהי חבורה <math>G</math> ונגדיר את S להיות חבורת הפונקציות ההפיכות מ<math>G</math> לעצמה עם פעולת ההרכבה (חבורת תמורות).
**לכל איבר <math>a\in G</math> נגדיר את התמורה המתאימה לו <math>f_a\in S</math> המוגדרת ע"י <math>f_a(x)=a\cdot x</math>.
***הוכחה ש<math>f_a\in S</math>:
***חח"ע: אם <math>f_a(x_1)=f_a(x_2)</math> אזי <math>a\cdot x_1=a\cdot x_2</math> ולפי תכונת הצמצום <math>x_1=x_2</math>.
***על: עבור <math>y\in G</math> מתקיים כי <math>f_a(a^{-1}\cdot y)=a\cdot(a^{-1}\cdot y) =(a\cdot a^{-1})\cdot y=y </math>
**הפונקציה <math>\varphi:G\to S</math> השולחת כל איבר לתמורה המתאימה לו <math>\varphi(a)=f_a</math> נקראת '''שיכון קיילי'''.

*תכונות:
*שיכון קיילי הינו הומומורפיזם.
**<math>\varphi(a)\circ\varphi(b)=f_a\circ f_b</math>.
**<math>f_a\circ f_b (x)=f_a(f_b(x))=a\cdot (b\cdot x)=(a\cdot b)\cdot (x) = f_{a\cdot b}(x)</math>.
**לכן <math>\varphi(a)\circ\varphi(b)=\varphi(a\cdot b)</math>.
*שיכון קיילי הינו חח"ע (לכן הוא נקרא שיכון).
**אם <math>a\neq b</math>, אזי <math>f_a(e)=a\neq b=f_b(e)</math>.
**כלומר <math>f_a\neq f_b</math> ולכן <math>\varphi(a)\neq\varphi(b)</math>.

*מסקנה: '''משפט קיילי''' כל חבורה איזומורפית לתת חבורה של חבורת תמורות.
**הוכחה: החבורה איזומורפית לתמונה שלה בשיכון קיילי.

===משפט לגראנג'===
*תהי חבורה G ותת חבורה H. יהי <math>a\in G</math>, נגדיר את '''המחלקה''' <math>a\cdot H:=\{a\cdot h:h\in H\}</math>.
*אלה הן למעשה מחלקות השקילות של היחס <math>aRb\iff a^{-1}b\in H</math>
**הוכחה שמדובר ביחס שקילות:
***רפלקסיביות: <math>a^{-1}a=e\in H</math>
***סימטריות: אם <math>a^{-1}b\in H</math> אזי גם ההופכי שלו <math>(a^{-1}b)^{-1}=b^{-1}a\in H</math>
***טרנזיטיביות: נניח <math>a^{-1}b,b^{-1}c\in H</math> אזי לפי סגירות גם <math>a^{-1}bb^{-1}c=a^{-1}c\in H</math>
**אכן <math>[a]_R=\{b|aRb\}=\{b|a^{-1}b=h\in H\}=\{b|b=ah,h\in H\}=a\cdot H</math>
*טענה: לכל איבר <math>a\in G</math> מתקיים כי <math>|a\cdot H|=|H|</math>.
**הוכחה:
**נביט בפונקציה <math>f:H\to a\cdot H</math> המוגדרת ע"י <math>f(h)=a\cdot h</math> ונוכיח שהיא חח"ע ועל.
**חח"ע: אם <math>f(h_1)=f(h_2)</math> אזי <math>a\cdot h_1=a\cdot h_2</math> ולפי תכונת הצמצום <math>h_1=h_2</math>.
**על: יהי <math>a\cdot h\in a\cdot H</math>, ברור ש<math>f(h)=a\cdot h</math>.

*הגדרה: האינדקס <math>[G:H]</math> מוגדר להיות מספר המחלקות השונות ש<math>H</math> מגדירה.
*כיוון שראינו שהמחלקות הן בעצם מחלקות שקילות שוות בגודלן המחלקות את G, נובע '''משפט לגראנג' ''':עבור חבורות סופיות, <math>|G|=|H|\cdot [G:H]</math>.
*נובע כי הגודל (סדר) של כל תת חבורה, מחלק את הגודל (סדר) של החבורה כולה.
*יהי <math>a\in G</math> איבר מסדר <math>n</math>. ראינו כי <math>|<a>|=n</math>, ולכן ביחד סדר האיבר מחלק את גודל החבורה.
*תהי חבורה סופית עם מספר ראשוני של איברים, אזי היא חבורה ציקלית.
**אכן, ניקח איבר שונה מהנייטרלי, הסדר שלו חייב להיות המספר הראשוני (כי לראשוני אין מחלקים), ולכן החבורה הציקלית שלו שווה לכל החבורה.

*לפני הרצאה זו, חזרו בבקשה על הנושא של יחסי שקילות. ניתן לצפות בסרטון הבא:

<videoflash>jKprPSfRysE</videoflash>

==הרצאה 5 חבורת אוילר, משפטי אוילר ופרמה; פרק 6 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]==
===חלוקה עם שארית===
*זוג מספרים שלמים <math>a,b</math> נקראים שקולים מודולו n אם קיים שלם <math>q</math> כך ש <math>a=b+q\cdot n</math>
*חלוקה עם שארית: לכל מספר טבעי a ולכל מספר שלם b קיים זוג שלמים '''יחיד''' <math>q,r</math> כך ש <math>b=q\cdot a+r</math> וגם <math>0\leq r < a</math>.
**קיום:
***יהי <math>a\in\mathbb{N}</math>
***אם <math>b=0</math> אזי <math>b=0\cdot a + 0</math>.
***יהי <math>b\geq 0</math> עבורו הטענה נכונה, נוכיח עבור <math>b+1</math>.
***<math>b+1=qa+r+1</math>.
***אם <math>r+1<a</math> סיימנו, אחרת <math>r+1=a</math> ולכן <math>b=(q+1)a+0</math>.
***אם <math>b<0</math> אזי <math>-b=qa+r</math>.
***אם <math>r=0</math> אזי <math>b=(-q)a+0</math> וסיימנו.
***אם <math>0<r<a</math> אזי <math>b=-qa-r=-qa-a+a-r=(-q-1)a+(a-r)</math> כאשר <math>0<a-r<a</math>.
**יחידות:
***נניח <math>b=q_1a+r_1=q_2a+r_2</math>.
***לכן <math>(q_1-q_2)a=r_2-r_1</math>.
***אבל <math>-(a-1)\leq r_2-r_2\leq a-1</math>, ולכן <math>r_2-r_1\neq ka</math>.
***לכן <math>q_1-q_2=0</math> כלומר <math>q_1=q_2</math> ולכן גם <math>r_1=r_2</math>.
*המספר q נקרא '''מנת''' החלוקה והמספר r נקרא '''שארית''' החלוקה.
*יהיו שני שלמים <math>a,b</math> ויהיו <math>r_a,r_b</math> השאריות שלהם בחלוקה בn. אזי <math>ab\equiv r_ar_b \mod n</math>
**<math>ab=(q_an+r_a)(q_bn+r_b)=(q_aq_bn+r_aq_b+q_ar_b)n+r_ar_b</math>
*מסקנה: באותם תנאים, לכל k טבעי מתקיים כי <math>a^k\equiv r_a^k \mod n</math>.

===המחלק המשותף הגדול ביותר===
*לכל שני מספרים טבעיים <math>k<n</math> מתקיים כי <math>gcd(n,k)=gcd(n-k,k)</math>
**נוכיח שכל מספר שמחלק את <math>n,k</math> מחלק גם את <math>n-k,k</math> וההפך, ולכן הגדול ביותר הוא אותו האחד.
**אם <math>a</math> מחלק את <math>n,k</math> אזי <math>n=qa,k=ta</math>, לכן <math>n-k=(q-t)a</math>.
**אם <math>a</math> מחלק את <math>n-k,k</math> אזי <math>n-k=qa,k=ta</math> ולכן <math>n=(q+t)a</math>.
*לכל שני מספריים טבעיים <math>n,k</math> קיימים מספרים שלמים <math>a,b</math> כך ש <math>an+bk=gcd(n,k)</math>
**עבור <math>n=k=1</math> מתקיים כי <math>1\cdot 1 + 0\cdot 1 = 1 = gcd(1,1)</math>.
**נניח שהטענה נכונה לכל <math>n+k<m</math> נוכיח שהיא נכונה עבור <math>n+k=m</math>.
**אם <math>n=k</math> אזי <math>1\cdot n + 0\cdot k = n =gcd(n,n)=gcd(n,k)</math>.
**אחרת, אם <math>n>k</math> מתקיים כי <math>gcd(n,k)=gcd(n-k,k)=a(n-k)+bk=an+(b-a)k</math>.
**שימו לב שהנחת האינדוקציה התקיימה עבור הזוג <math>n-k,k</math>.

*שני מספרים טבעיים n,k נקראים '''זרים''' אם <math>gcd(n,k)=1</math>
*ב<math>\mathbb{Z}_n</math> עם פעולת הכפל מודולו n האיברים ההפיכים הם בדיוק המספרים הזרים ל n.
**נניח <math>k\in\mathbb{Z}_n</math> אינו זר לn, כלומר <math>gcd(n,k)=a>1</math>.
***לכן <math>n=qa,k=ta</math> לכן <math>qk=tn</math> ולכן <math>qk=0\in\mathbb{Z}_n</math> כלומר k מחלק אפס ואינו הפיך.
**נניח <math>k\in\mathbb{Z}_n</math> זר לn כלומר <math>gcd(n,k)=1</math>.
***לכן קיימים שלמים כך ש <math>an+bk=1</math> לכן <math>b\cdot k \equiv 1 \mod n</math>.
*עבור מספר טבעי <math>1<n</math> קבוצת המספרים הטבעיים הזרים לn וקטנים ממנו מהווה חבורה ביחס לכפל מודולו n, היא נקראית '''חבורת אוילר''' ומסומנת <math>U_n</math>.
**הוכחה ש<math>U_n</math> חבורה:
**סגירות: מכפלת הפיכים היא הפיכה.
**אסוציאטיביות: נובע מהאסוציאטיביות של הכפל.
**איבר נייטרלי: 1.
**הפיכים: ברור מההגדרה.
*<math>\mathbb{Z}_n</math> עם פעולות חיבור וכפל מודולו n הוא שדה אם ורק אם n הינו מספר ראשוני.
**אכן, כל המספרים החיוביים הקטנים מn הפיכים אם"ם כולם זרים לו אם"ם הוא ראשוני.

===פונקצית אוילר, משפט אוילר והמשפט הקטן של פרמה===
*פונקצית אוילר <math>\phi(n)</math> היא מספר המספרים הטבעיים שקטנים או שווים לn וזרים לו.
*'''משפט אוילר''' - יהיו שני מספרים טבעיים '''זרים''' <math>a<n</math>. אזי <math>a^{\phi(n)}\equiv 1</math> מודולו n.
**עבור <math>n>1</math>, מתקיים כי <math>a\in U_n</math> וגם <math>|U_n|=\phi(n)</math>.
**הסדר של איבר בחבורה סופית חייב לחלק את סדר החבורה, נסמן <math>o(a)=k</math> ולכן <math>\phi(n)=t\cdot k</math>.
**לכן <math>a^{\phi(n)} = (a^k)^t=1</math> כאשר הכפל נעשה ב<math>U_n</math>.
*'''המשפט הקטן של פרמה''' - יהי p ראשוני ומספר טבעי <math>a<p</math> אזי <math>a^{p-1}\equiv 1</math> מודולו p.
**זו מסקנה ישירה ממשפט אוילר (אמנם למעשה אוילר הוא הכללה של פרמה), כיוון ש <math>\phi(p)=p-1</math>.
*בפרט, בתנאי המשפט, <math>a^p\equiv a</math> מודולו p.
**למעשה <math>a^p\equiv a</math> מודולו p נכון לכל ראשוני p ולכל טבעי a.
**כיוון שאם a זר לp מתקיים כי גם השארית <math>r_a</math> זרה ל <math>p</math> ולכן <math>a^{p-1}\equiv r_a^{p-1}\equiv 1</math> מודולו p.
**אם a אינו זר לp אזי הוא חייב להתחלק בראשוני p, ולכן <math>a^p\equiv a \equiv 0</math> מודולו p.

==הרצאה 6 הצפנה סימטרית (מפתח פרטי), הצפנה אסימטרית (מפתח ציבורי), RSA; פרק 7 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]==

*הצפנה; העברת מידע בערוץ פומבי כך שרק המשתתפים בהצפנה יוכלו להבין אותו, הוכחה לזהות כותב המידע (בין היתר כותב המידע לא יוכל להתנער ממנו), הוכחה לאמינות ושלימות המידע (המידע אינו חלקי ואף אחד לא שינה אותו).
*[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A6%D7%95%D7%A4%D7%9F_%D7%A1%D7%99%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99 הצפנה סימטרית] - הצפנה בה לשני הצדדים יש סוד משותף שהעבירו מראש בערוץ שאינו פומבי (משאית ברינקס, לנסוע לחנות לאסוף כרטיס sim).
*[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A4%D7%AA%D7%97_%D7%A6%D7%99%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%99 הצפנה פומבית] - הצפנה ללא סוד מתואם מראש, באמצעות מפתחות פומביים (שכולם רואים).
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Transport_Layer_Security פרקטית] הצדדים מעבירים מפתח סודי באמצעות הצפנה פומבית, ואז עוברים להצפנה סימטרית.

*ההצפנה "המושלמת" - רצף בינארי אקראי באורך המידע המוסכם על שני הצדדים. ללא תלות במידע ובחוקיותו, חיבור בכל ביט (xor) של המידע עם הרצף ייצר תוכן שבו לכל ביט יש סיכוי שווה להיות 0 או 1.
*אם הרצף קצר מהמידע וחוזר על עצמו, חיבור שתי חתיכות שנשלחו יאפס את הרצף הסודי וישאיר לנו שתי חתיכות מידע גלוי המחוברות (זה כמעט מידע חשוף).

*קוד חילוף אותיות - נשבר ע"י חקר סטטיסטיקת שכיחות האותיות. אם המידע עובר תהליך שגורם לו להראות אקראי - עדיף
*מטא דטא - מידע על המידע שעשוי לעניין אותנו:
**אם רצף נשלח פעמיים, גם אם אין אנו יודעים מהו, ייתכן שנסיק מההקשר.
**הזמן שבו נשלח מסר (אמצע הלילה למשל).
**הזמן שלקח למכונה להצפין את המידע.
**עצם העובדה ששני צדדים מסוימים מדברים (רוסיה ונציגי קמפיין לנשיאות ארה"ב).
**אורך המידע (בהנחה שהוא אינו מרופד באפסים).

===RSA===

מומלץ לקרוא ישירות את המאמר פורץ הדרך בו הוצגה השיטה:

[https://people.cs.umass.edu/~emery/classes/cmpsci691st/readings/Sec/Rsapaper.pdf Rivest, Ronald L., Adi Shamir, and Leonard Adleman. "A method for obtaining digital signatures and public-key cryptosystems."]

*אליס בוחרת שני ראשוניים גדולים <math>\{p,q\}</math> זה הסוד שלה.
*אליס מחשבת את המכפלה <math>n=p\cdot q</math>
*אליס מחשבת את פונקצית אוילר <math>m=\phi(n)=(p-1)(q-1)</math>
*(הסבר - המספרים שאינם זרים לn מחלקים את אחד הראשוניים. <math>p,2p,3p,...,q\cdot p</math> וגם <math>q,2q,3q,...,p\cdot q</math>. סה"כ <math>p+q-1</math> כי <math>n=p\cdot q</math> נספר פעמיים.)
*אליס בוחרת מספר כלשהו e כך שהוא זר לm.
*אליס מחשבת את ההופכי של e מודולו m, נקרא לו d. היא יודעת לעשות את זה כיוון שהיא הקשיבה בהרצאה קודמת על gcd ומציאת הופכי.
*אליס מפרסמת לכל העולם ואחותו את זוג המספרים <math>n,e</math>

*כעת בוב מעוניין לשלוח לאליס מידע שרק היא תוכל לפענח.
*בוב בעצם הולך "לנעול" את המידע באמצעות המנעול <math>e,n</math> של אליס. כל אחד יכול לנעול אותו, ורק אליס יודעת לפתוח אותו.
*המידע שבוב מעוניין לשלוח הוא מספר <math>x<n</math>, בוב שולח את המידע המוצפן <math>x^e\mod n</math>
*אם בוב רוצה לשלוח יותר מידע, הוא יצטרך לפרק אותו לחתיכות. שימו לב שאם המנעול של אליס ישאר קבוע לחלוטין זה יהווה חולשה.

*אליס מקבלת את המידע המוצפן ומפענחת אותו באופן הבא: <math>x=\left(x^e\right)^d \mod n</math>
*הוכחה - נחלק לשני מקרים.
*אם <math>gcd(x,n)=1</math>:
**נתון כי <math>de=km+1=k\phi(n)+1</math>.
**<math>\left(x^e\right)^d=x^{de}=x^{k\phi(n)+1}=\left(x^{\phi(n)}\right)^k\cdot x\equiv x \mod n</math>
**זה נכון כיוון שלפי משפט אוילר <math>x^{\phi(n)}\equiv 1 \mod n</math>
*אם <math>gcd(x,n)\neq 1</math>:
**כיוון ש<math>n=p\cdot q</math> אז x הוא כפולה של p או q. נוכיח במקרה שx מתחלק בp.
**קיים <math>h<q</math> עבורו <math>x=hp</math> וכמו כן x זר לq (אחרת בשני המקרים יוצא ש <math>x\geq n</math>).
**לכן לפי פרמה הקטן יוצא ש <math>x^{q-1}\equiv 1 \mod q</math>
**לכן <math>x^{km}=x^{k(p-1)(q-1)}=\left(x^{q-1}\right)^{k(p-1)}\equiv 1 \mod q</math>
**לכן <math>x^{de}=x^{km+1}=x^{km}x=(1+tq)x=x+tqhp=x+th\cdot n\equiv x \mod n</math>

*שימו לב: אמנם <math>4\equiv 1 \mod 3</math> אך <math>2^4 \not\equiv 2 \mod 3</math> כלומר לחשב את ההופכי של e מוד n זה אמנם קל, אך לא יעיל לשום דבר...

==הרצאה 7 המשך הצפנה - בדיקת ראשוניות, דיפי הלמן, חתימה, חישוב חזקות;==

===שיטת מילר-רבין לבדיקת ראשוניות===
*חלק מהותי בשיטות שאנו לומדים הוא מציאת ראשוניים גדולים. כיצד הדבר נעשה? האם יש רשימה גדולה של כל הראשוניים בעולם?
*ידוע שכמות הראשוניים עד המספר <math>n</math> היא בערך <math>\frac{n}{\ln(n)}</math>.
*לכן הסיכוי בבחירת מספר אקראי עד <math>n</math> שהוא יהיה ראשוני הוא בערך <math>\frac{1}{\ln(n)}</math>.
*אנו זקוקים למבחן ראשוניות - נגריל מספרים אקראיים ונבדוק האם הם ראשוניים, ומהר מאד נמצא אחד כזה בהתחשב בסיכוי הנ"ל.
*זכרו שפירוק לגורמים ראשוניים היא בעייה קשה (אחרת RSA מיותר ממילא).

*לפי משפט פרמה הקטן, אם <math>p</math> ראשוני, אזי לכל <math>a<p</math> מתקיים <math>a^{p-1}\equiv 1 \mod p</math>.
*האם ההפך נכון? כלומר, האם <math>a^{p-1}\equiv 1 \mod p</math> רומז ש<math>p</math> ראשוני?
*[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%A7%D7%A8%D7%9E%D7%99%D7%99%D7%A7%D7%9C מספרי קרמייקל] מקיימים את התכונה הזו כמעט לכל <math>a</math> למרות שאינם ראשוניים.

*טענה: אם <math>p</math> ראשוני, ו<math>x\in U_p</math> איבר כך ש <math>x^2=1</math> אזי <math>x=\pm 1</math>
*הוכחה:
**נזכור ש<math>\mathbb{Z}_p</math> הוא '''שדה''' כיוון שמדובר במספר ראשוני, ולכן אין ב<math>U_p=\mathbb{Z}/\{0\}</math> מחלקי אפס.
**<math>x^2=1</math> אם"ם <math>(x-1)(x+1)=0</math> אם"ם <math>x=\pm 1</math>

*הגדרה:
**בהנתן מספר n, ונסמן <math>n-1=2^s\cdot r</math> עבור r אי זוגי. אומרים שהמספר <math>1\leq a <n</math> הוא '''עד חזק''' לראשוניות של n אם אחד מהתנאים הבאים מתקיים:
***<math>a^r\equiv 1 \mod n</math>
***<math>a^{2^kr}\equiv n-1 \mod n</math> עבור <math>1\leq k \leq s-1</math>.

*שימו לב: <math>n-1\equiv -1 \mod n</math>

*אם <math>p</math> ראשוני אזי כל המספרים <math>1<a<p</math> הם עדים חזקים לכך.
**הוכחה:
***לפי אוילר <math>a^{p-1}\equiv 1 \mod p</math> .
***אם נעלה את <math>a^r</math> בריבוע s פעמים נקבל <math>a^{2^s\cdot r}=a^{p-1}\equiv 1 \mod p</math>.
***לכן אם <math>a^r\not \equiv 1 \mod p</math>, בשלב כלשהו נעלה מספר שאינו 1 בריבוע ונקבל 1, לכן מספר זה חייב להיות <math>-1</math>.
*אם <math>p</math> אינו ראשוני, ידוע שלכל היותר רבע מבין המספרים <math>a</math> יכולים להיות עדים חזקים.
*לכן הסיכוי שמצאנו עד חזק למרות שהמספר שאנו בודקים אינו ראשוני הוא רבע.
*אם נבחן k מספרים אקראיים שונים, הסיכוי שכולם יהיו עדים חזקים אך המספר אינו ראשוני הוא <math>\frac{1}{4^k}</math> (נמוך מאד).

===דיפי-הלמן===
מומלץ לקרוא ישירות את המאמר פורץ הדרך בו הוצגה השיטה:

[http://ee.stanford.edu/%7Ehellman/publications/24.pdf Diffie, Whitfield, and Martin E. Hellman. "New directions in cryptography."]

*למדנו שבעזרת RSA ניתן להעביר פיסת מידע באופן בטוח בערוץ פומבי, ולרוב נרצה להעביר מפתח סודי לצורך הצפנה סימטרית.
*אלגוריתם דיפי-הלמן הוא שיטה לתיאום מפתח סודי בלבד ולא להעברת מידע.

*אליס ובוב מתאמים מספר ראשוני גדול <math>p</math> שאינו סודי כמובן.
*כמו כן הם מתאמים יוצר <math>g</math> של <math>U_p</math> (כלומר <math>U_p=<g></math>), או לפחות איבר מסדר מאד גדול (בהמשך יש הסבר כיצד אפשר לעשות זאת).
*כעת אליס בוחרת מספר אקראי סודי <math>a\leq p-1</math> ושולחת לבוב את <math>g^a \mod p</math>.
*בוב בוחר מספר אקראי סודי <math>b\leq p-1</math> ושולח לאליס את <math>g^b \mod p</math>.

*כעת אליס ובוב שניהם יכולים לחשב בקלות את הסוד המשותף <math>g^{ab}</math>.

*על מנת לשבור את ההצפנה צריך לחשב את <math>a</math> בהנתן <math>g^a \mod p</math>, זו בעיית הלוגריתם הדיסקרטי שנחשבת לקשה.
*אם <math>g</math> מסדר נמוך חישוב כל החזקות האפשריות שלו הוא קל.

*גישה פרקטית למשל:
**נבחר את p להיות מספר ראשוני "בטוח", כלומר <math>p=2q+1</math> כאשר <math>q</math> ראשוני.
**כעת ב<math>|U_p|=2q</math> ולכן הסדר של כל איבר ב<math>U_p</math> הוא אחד מבין <math>1,2,q,2q</math>.
**נגריל איבר <math>g\neq \pm 1</math> (לכן <math>g^2\not\equiv 1 \mod p</math>) וגם <math>g^q\not\equiv 1 \mod p</math>.
**האיבר שבחרנו הוא יוצר.

===חתימה===

*פונקציות גיבוב (hash) - מעבירות קלט בגודל אקראי לקלט באורך קבוע.
*התנגשות היא מצב בו שני קלטים מובילים לאותו ערך מגובב. לפי שובך היונים התנגשויות קיימות, אך בפונקציות גיבוב "טובות" הסיכוי לכך נמוך מאד.

*סיפרנו על אליס שייצרה מפתח פומבי <math>(n,e)</math>, ושמרה לעצמה את הערכים הסודיים <math>m,d</math>
*כעת אליס רוצה להבטיח את זהותה ואת אמינות המידע, היא מעבירה את המידע שלה דרך פונקצית גיבוב ומקבלת את הערך המגובב <math>a</math>.
*אליס מחשבת את <math>y=a^{d} \mod n</math> ושולחת אותו בנוסף למידע.
*אפילו בהנתן <math>a</math> לא ניתן לחשב את <math>d</math> (זו בעיית הלוגריתם הדיסקרטי).
*אף אחד אחר לא יכול לחשב את y כיוון ש <math>d</math> סודי.

*כעת בוב שרוצה לוודא את אמינות המידע מחשב את <math>a=y^{e} \mod n</math> ומוודא כי המידע שהוא קיבל הוא המידע שאליס התכוונה לשלוח עד כדי המקרה הבלתי סביר של התנגשות.
*אף אחד אחר לא יכל ליצור את הוכחת אמינות המידע הזו פרט לאליס.

*שימו לב שעל מנת למנוע תקיפת 'אדם באמצע' באמצעות חתימה המפתחות הפומביים צריכים להיות מאומתים על פני ערוץ מאובטח (מקודדים בתוך הדפדפן למשל).

===חישוב חזקה===
*[http://abstract.ups.edu/aata/section-method-of-repeated-squares.html שיטת הריבועים החוזרים] לחישוב חזקה.
*לדוגמא, אנו מעוניינים לחשב את <math>x^{41} \mod n</math> במעט פעולות
**<math>41=2^5+2^3+1</math>
**<math>x^{41}=x^{2^5}\cdot x^{2^3}\cdot x</math>
**<math>x^{41}=\left(\left(\left(\left(x^2\right)^2\right)^2\right)^2\right)^2\cdot \left(\left(x^2\right)^2\right)^2 \cdot x</math>
**סה"כ חישבנו את החזקה עם 8 העלאות בריבוע, ושלוש הכפלות, במקום 40 הכפלות.

==הרצאה 8 תת חבורות נורמליות, חבורות מנה, גרעין; פרקים 10,11 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]==

*תהי חבורה G ותהי תת חבורה N. תת החבורה N נקראת '''נורמלית''' אם לכל <math>a\in G</math> מתקיים כי <math>aN=Na</math>.
*ברור שבחבורה אבלית כל חבורה היא תת חבורה נורמלית.
*דוגמא:
**נביט בחבורה הסימטרית <math>G=S_3</math> ובתת החבורה <math>H=<(1\ 2)>=\{(1),(1\ 2)\}</math>.
**אזי <math>(1\ 3)H=\{(1\ 3), (3\ 1\ 2)\}</math> אך <math>H(1\ 3)=\{(1\ 3),(2\ 1\ 3)\} </math> וקל לראות כי <math>(1\ 3)H\neq H(1\ 3)</math>.
**אזי N תת חבורה לא נורמלית!
*דוגמא נוספת:
**נביט בחבורה הסימטרית <math>G=S_3</math> ובתת החבורה <math>N=<(1\ 2\ 3)></math> שהיא תת החבורה של כל התמורות הזוגיות במקרה זה.
**קל לוודא שלכל תמורה זוגית מתקיים <math>fN=Nf=N</math> ולכל תמורה אי-זוגית מתקיים <math>fN=Nf</math> שווה לקבוצת כל התמורות האי-זוגיות.

*טענה תהי N תת חבורה נורמלית אזי <math>(aN)(bN)=abN</math>
*הוכחה - הכלה דו כיוונית:
**יהי <math>anbk\in (aN)(bN)</math> כיוון ש <math>bN=Nb</math> אזי <math>anbk=abmk\in abN</math>.
**יהי <math>abn\in abN</math> אזי <math>aebn\in (aN)(bN)</math>.

*תהיינה G חבורה וN תת חבורה נורמלית, אזי <math>G/N=\{aN|a\in G\}</math> היא חבורה.

*יהי הומומורפיזם בין חבורות <math>f:G\to H</math>. נגדיר את '''הגרעין''' <math>\ker(f)=\{a\in G|f(a)=e_H\}</math>.
*נסמן <math>K=\ker(f)</math>
*טענה:
**לכל <math>a\in G</math> מתקיים כי <math>aK=\left\{b\in G|f(a)=f(b)\right\}</math>
*הוכחה:
**בכיוון ראשון, יהי <math>ak\in aK</math> אזי <math>f(ak)=f(a)f(k)=f(a)e_H=f(a)</math>
**בכיוון שני, יהי <math>b\in G</math> כך ש <math>f(a)=f(b)</math> אזי <math>f(a^{-1}b)=e_H</math> ולכן <math>a^{-1}b=k\in K</math> ולכן <math>b=ak\in aK</math>

*כיוון שהוכחה דומה עובדת מהצד השני, נובע כי <math>aK=Ka</math> ולכן הגרעין הינו תת חבורה נורמלית.

==הרצאה 9 משפט האיזומורפיזם, מבוא לקידוד; פרק 11 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]==
*'''משפט האיזומורפיזם הראשון'''. יהי <math>\varphi:G\to H</math> הומומורפיזם בין חבורות. אזי <math>G/\ker(\varphi)\cong im(\varphi) </math>
*הוכחה:
**לצורך הנוחות נסמן <math>K=\ker(\varphi)</math> ו<math>M=im(\varphi)</math>.
**עלינו להראות שקיים איזומורפיזם (כלומר הומומורפיזם חח"ע ועל) <math>f:G/K\to M</math>.
**לכל <math>aK\in G/K</math> נגדיר <math>f(aK)=\varphi(a)</math>.
**ראשית, עלינו להוכיח כי מדובר בפונקציה מוגדרת היטב. כלומר, בהנתן <math>a,b\in G</math>, אם <math>aK=bK</math> עלינו להוכיח כי <math>f(aK)=f(bK)</math>.
***<math>a=ae\in aK</math> ולכן <math>a\in bK</math>. כלומר קיים <math>k\in K</math> כך ש <math>a=bk</math>.
***<math>\varphi(a)=\varphi(bk)=\varphi(b)\varphi(k)=\varphi(b)</math>.
***<math>f(aK)=\varphi(a)=\varphi(b)=f(bK)</math>.
**כעת, עלינו להוכיח ש<math>f</math> הינו הומומורפיזם.
***<math>f\left((aK)(bK)\right)=f(abK)=\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)=f(aK)f(bK)</math>
**עכשיו נוכיח ש<math>f</math> על.
***לכל איבר בתמונה <math>h\in M</math> קיים מקור <math>g\in G</math>. לכן <math>f(gK)=\varphi(g)=h</math>.
**ולבסוף, נוכיח ש<math>f</math> חח"ע.
***יהיו <math>aK,bK\in G/K</math> כך ש <math>f(aK)=f(bK)</math> עלינו להוכיח כי <math>aK=bK</math>.
***נתון <math>\varphi(a)=\varphi(b)</math> צ"ל <math>aK=bK</math>. שימו לב שלא צריך להוכיח כי <math>a=b</math>; אכן <math>\varphi</math> לא חייב להיות חח"ע.
***נראה הכלה בכיוון אחד, הכיוון השני דומה.
***יהי <math>ak\in aK</math> צ"ל <math>ak\in bK</math>.
***קל לראות ש <math>ak=bb^{-1}ak</math>, עלינו להוכיח כי <math>b^{-1}ak\in K</math>.
***אכן <math>\varphi(b^{-1}ak)=\left(\varphi(b)\right)^{-1}\varphi(a)\varphi(k)=\left(\varphi(a)\right)^{-1}\varphi(a)=e_H</math>

*דוגמא.
*נגדיר את הפונקציה <math>\varphi:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}_n</math> על ידי <math>\varphi(a)=a\mod n</math> (השארית של החלוקה של a בn).
*נוכיח שמדובר בהומומורפיזם.
**יהיו <math>a,b\in\mathbb{Z}</math> לפי ההגדרה <math>\varphi(a+b)= a+b \mod n</math>.
**נשים לב כי <math>a=\varphi(a)+kn, b=\varphi(b)+mn</math>.
**לכן <math>a+b\equiv \varphi(a)+\varphi(b) \mod n</math>.
**סה"כ <math>\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b)</math> כיוון שהם שקולים מודולו n, ואנו עוסקים בחבורה <math>\mathbb{Z}_n</math>.
*כעת מתקיים כי <math>\ker\varphi=n\mathbb{Z}=\{na|a\in\mathbb{Z}\}</math>.
*לכן <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}_n</math>

*שאלה - האם בחיבור <math>1+7+5+8</math> ב<math>\mathbb{Z}_9</math> חשוב לבצע את פעולת המודולו בכל חיבור, או שמותר בסוף?
*<math>\mathbb{Z}_9</math> איזומורפית לחבורה <math>\{0+9\mathbb{Z},...,8+9\mathbb{Z}\}</math>
*נביט ב <math>(1+9\mathbb{Z})+(7+9\mathbb{Z})+(5+9\mathbb{Z})+(8+9\mathbb{Z})</math>
*הוכחנו כי <math>(aN)(bN)=abN</math>. לכן <math>(1+9\mathbb{Z})+(7+9\mathbb{Z})+(5+9\mathbb{Z})+(8+9\mathbb{Z})=21+9\mathbb{Z}</math>.
*כיוון ש <math>\varphi(21)=\varphi(3)</math>, נובע לפי הוכחת משפט האיזומורפיזם הראשון כי <math>21+9\mathbb{Z}=3+9\mathbb{Z}</math>, כלומר אכן מותר לעשות את המודולו בסוף.

===מבוא לקידוד===
*קוד ISBN בעל 10 ספרות, כאשר הספרה האחרונה היא ספרת ביקורת.
*הספרות שייכות לחבורה <math>\mathbb{Z}_{11}</math>, כאשר 9 הספרות הראשונות הן 0-9 והאחרונה יכולה להיות גם X.
*קוד תקין מקיים את הנוסחא <math>10x_1+9x_2+...+x_{10}=0</math> (שימו לב שמדובר בפעולות מודולו 11).
*לכן חישוב ספרת הביקורת הוא <math>x_{10}=-\left(10x_1+...+2x_9\right)</math>.
*אם ספרה אחת בלבד מהקוד תשתנה בטעות, הקוד בוודאות לא יהיה תקין.
**אם נחליף את <math>x_i</math> בספרה <math>y_i</math> על מנת שהקוד החדש יהיה תקין צריך ש <math>a_i(y_i-x_i)=0</math>, אבל <math>a_i\neq 0</math> ו<math>\mathbb{Z}_{11}</math> הוא שדה.
*אם נחליף במיקום של זוג ספרות כלשהן נקבל קוד בלתי תקין.
**<math>a_ix_i+a_jx_j-a_ix_j-a_jx_i=(a_i-a_j)(x_i-x_j)\neq 0</math>.
*שימו לב שקוד זה מוגבל במספר הספרות, ואכן כשהוסיפו ספרות שינו אותו באופן דומה במידה מסוימת לתעודת הזהות שנלמד בהמשך.

==הרצאה 10 קידוד; פרק 8 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]==
*תעודת זהות בישראל.
*עבור ספרת הביקורת של תעודת הזהות אנו לא מרשים שימוש בספרה X ולכן עובדים ב<math>\mathbb{Z}_{10}</math>.
*הבעייה - זה אינו שדה ויש מחלקי אפס. למשל <math>5\cdot 0 = 5\cdot 2</math>, לכן הקוד לעיל לא יזהה בהכרח החלפת ספרה.
*תאור מילולי של חישוב ספרת ביקורת (אלגוריתם Luhn):
**לכל ספרה בתעודת הזהות ניתן משקל - 2 עבור הספרה הימנית ביותר (שאינה ספרת הביקורת) 1 עבור הבאה, וכך הלאה בסירוגין.
**נכפיל כל ספרה במשקל שלה, אם הכפלנו ספרה ב2 וקיבלנו מספר בן שתי ספרות - נסכום את הספרות.
**נסכום את כל התוצאות הללו.
**המספר הקטן ביותר שנוסיף לסכום לעיל על מנת להשלים אותו לכפולה שלימה של 10, הוא ספרת הביקורת.
*לדוגמא - מספר התעודת הזהות הראשון שניתן הוא 1. נכפול ב2 ונקבל 2. נשלים ל10 וספרת הביקורת היא 8, לכן תעודת הזהות היא 18.
*לדוגמא - נניח שתעודת הזהות היא 1789 (כמובן ללא ביקורת). אזי 9 כפול 2 זה 18, ולכן נסכום 9, 8 כפול 1 זה 8, 7 כפול 2 זה 14 שנותן 5, ו1 כפול 1 זה 1.
**סה"כ קיבלנו 9+8+5+1=22 ולכן ספרת הביקורת היא 8.

*תאור מתמטי:
*ראשית נביט בכפל ב2
**הספרות <math>\{0,1,2,3,4\}</math> נשלחות לספרות <math>\{0,2,4,6,8\}</math> בהתאמה.
**הספרות <math>\{5,6,7,8,9\}</math> נשלחות לספרות <math>\{1,3,5,7,9\}</math> בהתאמה.
**הספרות <math>\{5,6,7,8,9\}</math> כפול 2 שוות ל <math>10+x</math> ונשלחות ל<math>1+x</math>.
**נשים לב כי פעמיים הספרה שקול ל <math>x</math> מודולו 10.
**סה"כ הגדרנו את הפונקציה הבאה על הספרות <math>f(a)=\begin{cases}2a & a\leq 4 \\ 2a+1 & a\geq 5\end{cases}</math>.
*שימו לב שכפל רגיל ב2 לא היה עובד, כיוון ש<math>2\cdot 5 = 2\cdot 0</math>.

*מדוע אם כך בחרנו דווקא במשקל 2 שאינו זר ל 10 (ולכן אינו הפיך)?
**ההפיכים מודולו 10 הם אי זוגיים.
**ההפרש בין כל שניים מהם הוא זוגי, ולכן כל חילוף של שתי ספרות בהפרש 5 לא היה מתגלה.
** לדוגמא נניח כי המשקלים הם 1 ו3.
**<math>1\cdot a+3\cdot (a+5)=a+3a+15=1\cdot(a+5)+3\cdot a</math>.

*נניח שספרות תעודת הזהות הן <math>x_9,...,x_1</math> כאשר <math>x_1</math> היא ספרת הביקורת והימנית ביותר.
*לפי החישוב לעיל ספרת הביקורת נבחרה כך ש <math>x_9+f(x_8)+x_7+...+f(x_2)+x_1=0</math>.
*נעביר אגף ונקבל נוסחא לספרת הביקורת.

*קל לראות שתעודת זהות שנפלה בה טעות בספרה אחת אינה תקינה יותר.
**אם הספרה השונה היא במקום אי זוגי אז <math>1\cdot x_i\neq 1\cdot yi</math>.
**אם הספרה השונה היא במקום אי זוגי אז <math>f(x_i)\neq f(y_i)</math> כיוון ש<math>f</math> חח"ע.
*אם החלפנו את הספרות 0,9 במקומות סמוכים לא נזהה את השגיאה.
**אכן, <math>1\cdot 0 + f(9) = 9 = 1\cdot 9 + f(0)</math>.
*אם החלפנו שתי ספרות שונות במקומות סמוכים שאינן הזוג 0,9 אז נזהה את השגיאה.
**אם שתי הספרות קטנות או שוות ל4, נקבל <math>x_i+2x_j-x_j-2x_i=x_j-x_i\neq 0</math>.
**אם שתי הספרות גדולות או שוות ל5 נקבל <math>x_i+2x_j+1-x_j-2x_i-1=x_j-x_i\neq 0</math>.
**אם <math>0\leq x_i\leq 4</math> אבל <math>5\leq x_j\leq 9</math> נקבל <math>x_i+2x_j+1-x_j-2x_i=x_j-x_i+1</math>.
**הדרך היחידה ש<math>x_j-x_i+1=0</math>היא אם <math>x_j-x_i=9</math> וזה בדיוק הזוג 0,9.

===קוד לינארי===
*המידע שאנו מעוניים לשלוח הוא וקטור של ביטים <math>\mathbb{Z}_2^k</math>.
*נכפיל את המידע במטריצה הבינארית <math>G=\begin{pmatrix} I_k \\ A\end{pmatrix}</math> ונקבל קוד ב<math>\mathbb{Z}_2^n</math>.
*דוגמא
**נביט במטריצה <math>G=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}</math>.
**כפל במטריצה זו מוסיף למידע באורך 3 ביט יתירות הבודק זוגיות (parity bit).

*עבור <math>G=\begin{pmatrix} I_k \\ A\end{pmatrix}</math> נגדיר את המטריצה <math>H=\begin{pmatrix}A & I_{n-k}\end{pmatrix}</math>.
*טענה:
*לכל וקטור <math>Hv=0</math> אם ורק אם <math>v</math> הוא מהצורה <math>v=Gx</math>.
**הוכחה:
**כיוון ראשון:
***נוכיח ראשית ש<math>HG=0</math>, ולכן ברור שאם <math>v=Gx</math> אזי <math>Hv=0</math>.
***<math>HG=\begin{pmatrix}A & I_{n-k}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_k \\ A\end{pmatrix}=A+A=0</math> (זכרו שאנו מעל השדה <math>\mathbb{Z}_2</math>).
**בכיוון ההפוך:
***נניח כי <math>Hv=0</math> ונסמן <math>v=\begin{pmatrix}x\\u\end{pmatrix}</math> כאשר <math>x\in\mathbb{Z}_2^k</math>.
***נוכיח כי <math>Gx=v</math>.
***נסמן <math>Gx=\begin{pmatrix}x\\u'\end{pmatrix}</math>, צריך להוכיח כי <math>u=u'</math>.
***נתון כי <math>Hv=0</math>, ומכיוון קודם ידוע כי <math>HGx=0</math> ולכן ביחד <math>H(Gx-v)=0</math>.
***לכן <math>0=H(Gx-v)=H\begin{pmatrix}0\\u'-u\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A & I_{n-k}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\u'-u\end{pmatrix}=u'-u</math>
**כלומר קוד <math>v</math> הינו תקין אם ורק אם <math>Hv=0</math>.

*שימו לב כי נובע מההוכחה לעיל שעבור וקטור מידע <math>x</math> יש בדיוק וקטור יתירות יחיד <math>u</math> עבורו <math>\begin{pmatrix}x\\u\end{pmatrix}</math> תקין.
*כלומר, ניתן לזהות כל כמות טעויות המשנה אך ורק את וקטור היתירות.

==הרצאה 11 המשך קידוד; פרק 8 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]==

*עד כה הראנו שיש לנו דרך לקודד מידע ולוודא שהמידע שהגיע הוא קוד תקין.
*השאלה: כיצד שגיאות עשויות להשפיע על הקוד? כמה שגיאות יכולות להעביר אותנו ממילה חוקית אחת לאחרת?
*מרחק המינג- המרחק בין שני וקטורים ב<math>\mathbb{Z}_2^n</math> הוא כמות העמודות בהן הם נבדלים.
**דוגמא: <math>d((1,0,1,0),(0,1,1,0))=2</math>.

*נסמן ב<math>d_{min}</math> את המרחק הקטן ביותר בין שתי מילים חוקיות כלשהן <math>Gx_1,Gx_2</math>.
*טענה: אם <math>d_{min}\geq 2n+1</math> אז הקוד מסוגל לזהות עד <math>2n</math> שגיאות ולתקן עד <math>n</math> שגיאות.
*הוכחה:
**אם כמות השגיאות קטנה או שווה ל<math>2n</math> המילה שהתקבלה בוודאות אינה חוקית, כיוון שהמרחק המינימלי בין שתי מילים חוקיות גדול או שווה ל<math>2n+1</math>.
**אם כמות השגיאות קטנה או שווה ל<math>n</math> יש בדיוק מילה חוקית אחת שיכולה להיות המקור.
**אחרת, ניתן להגיע ע"י n שגיאות משתי מילים חוקיות למילה שקיבלנו, כלומר המרחק בין שתי המילים החוקיות קטן או שווה ל<math>2n</math>, בסתירה.

*דוגמא: בקוד ביט parity מתקיים כי <math>d_{min}=2</math> והקוד יכול לזהות שגיאה אחת ולא לתקן בכלל.

*טענה:
*הקוד מסוגל לזהות לפחות שגיאה אחת אם ורק אם ב<math>H</math> אין עמודת אפסים.
**הוכחה:
**תהי מילה חוקית <math>v</math> ונוסיף לה שגיאה אחת בדיוק <math>v+e_i</math>.
**אזי <math>H(v+e_i)=Hv+He_i=0+C_i(H)</math>.

*טענה:
*<math>d_{min}\geq 3</math> אם ורק אם ב<math>H</math> אין עמודת אפסים וגם אין שתי עמודות זהות.
*במקרה זה ניתן לזהות לפחות שתי שגיאות, ולתקן לפחות שגיאה אחת.
**הוכחה:
**תהי מילה חוקית <math>v</math> ונוסיף לה שתי שגיאות <math>v+e_i+e_j</math>.
**אזי <math>H(v+e_i+e_j)=C_i(H)+C_j(H)</math>.
**זה שווה אפס (כלומר המילה החדשה חוקית) אם ורק אם <math>C_i(H)=C_j(H)</math>.

*הערה:
*נניח שהוספנו <math>n-k</math> ביטים למידע, זה משאיר ל<math>A</math> כמות של <math>2^{n-k}-(n-k)-1</math> עמודות שיכולות להיות שונות מאפס, ושונות מהעמודות של <math>I_{n-k}</math>.
*כלומר על מנת לתקן שגיאה אחת, כמות הביטים שעלינו להוסיף לוגריתמית ביחס לכמות המידע.

*דוגמא (קוד המינג)
*<math>H=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1& 0 & 0\\ 1& 0 & 1&1&0&1&0\\1&1&0&1&0&0&1\end{pmatrix}</math>
*כיוון שסכום שלושת העמודות הראשונות הוא אפס <math>d_{min}\leq 3</math>.
*מצד שני, כיוון שאין ב<math>H</math> שתי עמודות זהות <math>d_{min}\geq 3</math>.
*ביחד <math>d_{min}= 3</math>.

*מציאת שגיאה, בהנתן שהתרחשה בדיוק שגיאה אחת:
*נניח שהמילה שנשלחה היא <math>v</math> והמילה שהתקבלה היא <math>v+e_i</math>.
*לכן <math>H(v+e_i)=C_i(H)</math>.
*כלומר מיקום העמודה במטריצה <math>H</math> הוא מיקום הטעות.

*דוגמא:
*<math>
v=Gx=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0 & 1 & 1 & 1\\1& 0 & 1&1\\1&1&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\\0\\0\\1\end{pmatrix}
</math>
*נניח שהתקבלה בצד השני המילה יחד עם טעות אחת <math>u=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\\0\\0\\1\end{pmatrix}</math>.
*נחשב <math>Hu=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}</math>.
*כך אנו יודעים שהטעות הייתה בביט השני.

checksum בפרוטוקולי IP, TCP, UDP.

==הרצאה 12 חוג הפולינומים; פרקים 16,17 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]==

*תזכורת: חוג הוא קבוצה <math>R</math> עם פעולות חיבור וכפל, כך שהוא חבורה חילופית ביחד לחיבור, מקיים אסוציאטיביות בכפל, מכיל איבר יחידה ואת חוק הפילוג.

===חוג הפולינומים===

*יהי <math>\mathbb{F}</math> שדה, אזי <math>\mathbb{F}[x]</math> הוא חוג הפולינומים עם פעולות כפל וחיבור רגילות.
**כלומר <math>\mathbb{F}[x]=\{a_nx^n+...+a_1x+a_0|n\in\mathbb{N},a_i\in\mathbb{F}\}</math>.
*עבור פולינום <math>a_nx^n+...+a_1x+a_0</math> כאשר <math>a_n\neq 0</math> אומרים ש'''הדרגה''' שלו היא <math>n</math>.
*עבור פולינום האפס אפשר להגיד שדרגתו היא <math>-1</math>.

*טענה (חלוקה עם שארית): יהיו שני פולינומים <math>f(x),g(x)\in\mathbb{F}[x]</math> כך ש<math>g(x)</math> אינו פולינום האפס, אזי קיימים פולינומים יחידים <math>q(x),r(x)</math> כך ש:
**<math>f(x)=q(x)g(x)+r(x)</math>.
**<math>\deg(r(x))<\deg(g(x))</math>.
*הוכחה:
*קיום:
**יהי <math>g(x)</math> כזה.
**אם <math>\deg(f)<\deg(g)</math> אזי <math>f=0\cdot g + f</math>.
**אם <math>\deg(f)\geq\deg(g)</math> נוכיח באינדוקציה על הדרגה של <math>f</math>.
**נסמן <math>f(x)=a_nx^n+...+a_0</math>, <math>g(x)=b_mx^m+...+b_0</math> כאשר נתון <math>n\geq m</math>.
**הפולינום <math>f(x)-\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}g(x)</math> הוא מדרגה קטנה ממש מ<math>n</math> ולכן מקיים את הטענה לפי הנחת האינדוקציה.
**לכן <math>f(x)-\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}g(x)=q(x)g(x)+r(x)</math>.
**לכן <math>f(x)=(\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}+q(x))g(x)+r(x)</math>.
*יחידות:
**נניח <math>f(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x)=q_2(x)g(x)+r_2(x)</math>.
**לכן <math>(q_1(x)-q_2(x))g(x)=r_1(x)-r_2(x)</math>.
**אבל <math>\deg(r_1(x)-r_2(x))<\deg(g(x))</math> ולכן <math>q_1(x)-q_2(x)=0</math> ולכן גם <math>r_1(x)-r_2(x)=0</math>.

*מסקנה: עבור פולינום <math>f(x)</math> ועבור נקודה <math>a\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי <math>f(a)=0</math> אם"ם קיים פולינום <math>q(x)</math> כך ש <math>f(x)=q(x)(x-a)</math>.
*במילים: a הינו שורש של הפולינום f אם"ם הפולינום f מתחלק בפולינום x-a.
*הוכחה:
**לפי משפט החלוקה עם שארית קיימים פולינומים <math>q(x),r(x)</math> כך ש:
***<math>f(x)=q(x)(x-a)+r(x)</math>.
***<math>\deg(r(x))<\deg(x-a)=1</math>, כלומר <math>r(x)=r\in\mathbb{F}</math> הוא קבוע.
**נציב <math>a</math> ונקבל <math>f(a)=r</math>.
**לכן <math>f(x)=q(x)(x-a)</math> אם ורק אם <math>f(a)=0</math>.

===קודים פולינומיים===

*כעת נביט בפולינומים מעל השדה הבינארי <math>\mathbb{Z}_2[x]</math>.
*כל פולינום מדרגה n מתאים לוקטור המקדמים ב<math>\mathbb{Z}_2^{n+1}</math>.
*למשל, וקטור המידע <math>10110</math> מתאים לפולינום <math>x^4+x^2+x</math>.

*נקבע פולינום <math>g(x)\in\mathbb{Z}_2[x]</math> כלשהו מדרגה m.
*עבור מידע <math>f(x)</math> נבצע חלוקה עם שארית של <math>x^m\cdot f(x)</math> ב<math>g(x)</math>
*<math>x^m\cdot f(x) =q(x)g(x)+r(x)</math>.
*המילה שנשלח היא <math>x^m\cdot f(x) + r(x)</math> (שימו לב כי <math>r(x)=-r(x)</math>).
*המילה תקינה אם ורק אם היא מתחלקת ב<math>g(x)</math>.
*זהו קוד לינארי:
**אם <math>f(x),h(x)</math> מתאימים לוקטורי מידע, <math>f(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x)</math> ו<math>h(x)=q_2(x)g(x)+r_2(x)</math> אז השארית של <math>f(x)+h(x)</math> היא <math>r_1(x)+r_2(x)</math>.
*קוד זה מוסיף m ביטים של יתירות למידע.

*דוגמא:
*נבחר את הפולינום <math>g(x)=x^3+x+1</math> (מוסיף 3 ביטי יתירות).
**נקודד מידע:
***נניח כי המידע שלנו הוא <math>1010</math> כלומר הפולינום <math>f(x)=x^3+x</math>.
***לכן עלינו לחלק את הפולינום <math>x^3\cdot f(x) =x^6+x^4</math> בפולינום <math>g(x)=x^3+x+1</math>.
***לאחר אלגוריתם חלוקה עם שארית נקבל <math>x^6+x^4=(x^3+1)(x^3+x+1)+x+1</math>.
***לכן סה"כ המידע שנשלח הוא <math>x^3\cdot f(x) + r(x)=x^6+x^4+x+1</math> שזה בעצם <math>1010011</math>.
**נבדוק תקינות מידע:
***האם המידע <math>1101101</math> תקין?
***זה בעצם הפולינום <math>x^6+x^5+x^3+x^2+1</math>, זה קוד תקין אם"ם הוא מתחלק ב<math>g(x)</math>.
***נבצע חלוקה עם שארית ונקבל שארית <math>x^2</math>, לכן הקוד אינו תקין.

==הרצאה 13 קודים ציקליים; פרק 22 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]==

===קידוד פולינומי ציקלי===
*עבור הקידוד הציקלי נקבע את הפרמטרים הבאים:
**יהי k אורך המידע, כלומר נקודד פולינומים עד דרגה <math>k-1</math> בלבד.
**יהי g פולינום מדרגה m, לפי נקודד קידוד פולינומי.
**נסמן את אורך המילה המקודדת ב<math>n=k+m</math>.
**מילה היא חוקית אם ורק אם היא מהצורה <math>h(x)g(x)</math> כאשר <math>deg(h(x))<k</math>

*קוד נקרא ציקלי אם לכל מילה חוקית <math>(a_{n-1}\ a_{n-2}\ \cdots\ a_1\ a_0)</math> גם ההזזה הציקלית <math>(a_{n-2}\ a_{n-3}\ \cdots\ a_0\ a_{n-1})</math> היא מילה חוקית.

*נתאר את ההזה הציקלית באמצעות פעולה אלגברית.
**יהי <math>f(x)=a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0</math>
**אזי <math>x\cdot f(x) \equiv a_{n-2}x^{n-1}+...+a_0x+a_{n-1} \mod x^n-1</math>
**כלומר ההזזה הציקלית של <math>f(x)</math> היא השארית של <math>x\cdot f(x)</math> בחלוקה ב<math>x^n-1</math>.
**הוכחה:
***אכן <math>x\cdot f(x)= a_{n-1}x^n+...+a_0x=a_{n-1}(x^n-1) + a_{n-1} + a_{n-2}x^{n-1}+...+a_0x</math>

*במילים פשוטות:
**יהי <math>f(x)=a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0</math>
**אם <math>a_n=0</math> אזי ההזזה הציקלית היא <math>x\cdot f(x)</math>
**אם <math>a_n=1</math> אזי ההזה הציקלית היא <math>x\cdot f(x) +x^n +1</math>
***(מכבים את הביט האחרון, ומוסיפים ביט ראשון)

*משפט: הפולינום <math>g(x)</math> מחלק את <math>x^n+1</math> אם ורק אם הקוד הפולינומי הינו ציקלי.
*שימו לב: n הוא אורך המילה המקודדת, שכולל הן את המידע והן את היתירות.
**הוכחה:
**בכיוון ראשון, נניח כי הקוד הוא ציקלי:
***<math>x^{k-1}g(x)</math> היא מילה חוקית
***כיוון שהקוד ציקלי, גם ההזזה הציקלית <math>x\cdot x^{k-1}g(x)+x^n+1</math> חוקית
***כלומר <math>x^k g(x)+x^n+1=h(x)g(x)</math>
***לכן <math>x^n+1=(h(x)+x^k) g(x)</math>, כפי שרצינו.
**בכיוון שני, נניח כי <math>x^n+1=t(x)g(x)</math>
***נשים לב כי <math>deg(t(x))=k</math>
***תהי מילה חוקית <math>h(x)g(x)</math>
***אם <math>deg(h\cdot g)<n</math> אז ההזזה הציקלית היא <math>xh(x)g(x)</math> והיא מילה חוקית כי <math>deg(xh(x))<k</math>
***אחרת, נניח כי <math>deg(h\cdot g)=n</math> ולכן ההזזה הציקלית היא <math>xh(x)g(x)+x^n+1</math>
***כלומר ההזזה הציקלית היא <math>xh(x)g(x)+t(x)g(x)=(xh(x)+t(x))\cdot g(x)</math>
***כיוון ש <math>deg(xh(x))=deg(t(x))=k</math> נובע כי <math>deg(xh(x)+t(x))<k</math>
***לכן <math>(xh(x)+t(x))\cdot g(x)</math> מילה חוקית, כפי שרצינו.

*משפט: קוד פולינומי ציקלי עם פולינום <math>g(x)</math> מדרגה <math>m</math> מסוגל לזהות כל כמות של שגיאות, בתנאי שכולן נמצאות בתוך טווח של <math>m</math> ביטים.
*הוכחה:
**נניח שקרו טעויות בתוך טווח של <math>m</math> ביטים.
**אם המילה החדשה חוקית, גם כל הזזה ציקלית שלה היא חוקית.
**נזיז את <math>m</math> הביטים כך שיהיו בקצה הימני במקום של היתירות.
**כיוון שהיתירות היא יחידה, בוודאות המילה אינה חוקית, סתירה.

*דוגמא:
*<math>x^7-1=(1+x)(1+x+x^3)(1+x^2+x^3)</math>
*לכן הקוד הנוצר על ידי הפולינום <math>g(x)=1+x+x^3</math> עבור וקטורי מידע באורך 4 הוא ציקלי.

*פרוטוקול Ethernet משתמש בתיקון שגיאות ציקלי הנקרא CRC32, ובפרט בפולינום:
*<math>g(x)=x^{32} + x^{26} + x^{23} + x^{22} + x^{16} + x^{12} + x^{11} + x^{10} + x^8 + x^7 + x^5 + x^4 + x^2 + x + 1</math>.
*הפולינום <math>g(x)</math> מחלק את <math>x^{2^{32}-1}-1</math>, כלומר הוא מתאים לקידוד של עד למעלה מ4 מיליארד ביטים של מידע.

אנליזת פורייה - ארז שיינר

2026-04-03T12:42:00Z

ארז שיינר: /* הרצאה 11 - התמרת פורייה הבדידה */

[[קטגוריה:מערכי לימוד]]
=מבחנים לדוגמא=
*[[מדיה:20ForierTestA.pdf|מועד א' תש"ף]]
**[[מדיה:20ForierTestASol.pdf|פתרונות סופיים למועד א' תש"ף]]
*[[מדיה:20ForierTestB.pdf|מועד ב' תש"ף]]
*[[מדיה:19ForierExmplTest.pdf|מבחן לדוגמא תשע"ט]]
**[[מדיה:19ForierExmplTestSol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא תשע"ט]]
*[[מדיה:19ForierTestA.pdf|מועד א' תשע"ט]]
**[[מדיה:19ForierTestASol.pdf|פתרון חלקי מאד מועד א' תשע"ט]]
*[[מדיה:19ForierTestB.pdf|מועד ב' תשע"ט]]
**[[מדיה:19ForierTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשע"ט]]

=תקציר ההרצאות=
*ההרצאות מבוססות בחלקן על הספר המצויין [https://samyzaf.com/technion/fourier/fourier.pdf 'טורי פוריה' של זעפרני ופינקוס].

עוד ספרים מתמטיים בסגנון ניתן למצוא [https://samyzaf.com/ באתר של סמי זערפני].

==הרצאה 1 - הקדמה ומקדמי פוריה==
===הקדמה - גלים===

*מבלי להגדיר גל במפורש, גל הוא תופעה מחזורית.
*לגל שהוא פונקציה במשתנה אחד של ציר הזמן יש שלוש תכונות:
**תדר או אורך גל (אחד חלקי המחזור או המחזור)
**אמפליטודה (מרחק בין המקסימום למינימום)
**פאזה (מהי נק' ההתחלה של המחזור).
*אנחנו נתרכז כמעט באופן בלעדי בפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס, ונקרא להם גלים טריגונומטריים.

*מדוע דווקא סינוס וקוסינוס?
*למדנו במד"ר על המשוואה <math>y''=-k^2y</math> המתארת תנועה על מסה המחוברת לקפיץ
*זו למעשה תנועה כללית של גל - ככל שהוא מתרחק, גדל הכוח שמושך אותו למרכז. מיתר גיטרה הוא דוגמא טובה נוספת.
*הפתרון הכללי למד"ר הוא <math>y=a\sin(kt)+b\cos(kt)</math>.
*הקבוע <math>k</math> קובע את התדר של כל גל.
*הקבועים <math>a,b</math> קובעים את האמפליטודה של כל גל.
*מה לגבי הפאזה?
**בפונקציה <math>a\sin(kt+t_0)</math>, הקבוע <math>t_0</math> קובע את הפאזה.
**ניתן להציג כל גל כזה באמצעות סינוס וקוסינוס ללא פאזה:
***<math>a\sin(kt+t_0)=(a\sin(t_0))cos(kt)+(a\cos(t_0))sin(kt)</math>

*האם גם ההפך נכון? כלומר האם כל צירוף לינארי <math>a\sin(kt)+b\cos(kt)</math> ניתן להציג כגל יחיד?
*תשובה: כן.
*הוכחה:
**נסמן <math>z=a+bi=rcis(\theta)</math>
**כלומר <math>a\sin(kt)+b\cos(kt)=r\sin(\theta)sin(kt)+r\cos(\theta)cos(kt)=rcos(kt-\theta)</math>
*שימו לב:
**סכמנו שני גלים מאותו תדר עם פאזה אפס, וקיבלנו גל חדש.
**הגל החדש הוא מאותו תדר כמו שני הגלים.
**לגל החדש יש פאזה שאינה אפס.
**האפליטודה של הגל החדש היא <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math>.

*האם כל פונקציה היא סכום של גלים?
*בהנתן פונקציה שהיא סכום של גלים, כיצד נמצא מיהם הגלים המרכיבים אותה?
*האם יש דרך יחידה להרכיב פונקציה מגלים? (למעשה כבר ראינו שלא באופן כללי - הרי הצלחנו להציג גל אחד כסכום של שני גלים אחרים).
*למה בכלל מעניין אותנו לפרק פונקציה לגלים?
*במהלך ההרצאות נענה (לפחות חלקית) על השאלות הללו.

===טורי פורייה ומקדמי פוריה===
*טור פורייה הוא טור מהצורה <math>f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]</math>

*אם פונקציה שווה לטור פורייה שלה, מהם המקדמים <math>a_n,b_n</math>?

====חישובים להקדמה====
נגדיר את המכפלה הפנימית <math>\langle f,g\rangle =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f\cdot \overline{g}dx</math> על הפונקציה המרוכבות האינטגרביליות בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>

הערה: מסתכלים על מחלקות שקילות של פונקציות שוות כמעט בכל מקום (כב"מ)

קל לוודא כי לכל <math>m\neq n\in\mathbb{Z}</math> מתקיים כי <math>e^{i\cdot mx}\perp e^{i\cdot nx} </math> וכן <math>||e^{i\cdot nx}||^2=2</math>

לכן לכל <math>n\neq m\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>(e^{imx}\pm e^{-imx})\perp (e^{inx}\pm e^{-inx})</math>

ולבסוף לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>(e^{inx}- e^{-inx})\perp (e^{inx}+ e^{-inx})</math> וכן <math>||e^{inx}\pm e^{-inx}||=2</math>

*הערה חשובה:
**למעשה החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה <math>\{\frac{1}{\sqrt{2}},sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),...\}</math> מהווה קבוצה אורתונורמלית

====מקדמי הטור====

*כעת תהי פונקציה ששווה לטור פורייה, ועוד נניח שהטור מתכנס במ"ש.
*<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]\right)\cos(kx)dx=</math>
*<math>=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}\cos(kx)+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right]\right)dx=</math>
*כיוון שהטור מתכנס במ"ש, מותר לנו לעשות אינטגרציה איבר איבר
*<math>=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos(kx)dx + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right)dx\right]</math>
*לפי חישובי האינטגרלים לעיל, כמעט הכל מתאפס וסה"כ נקבל:
*<math>a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx</math>
*שימו לב שחישוב זה נכון בפרט עבור <math>k=0</math>.
*באופן דומה נקבל כי <math>b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(kx)dx</math>

*הוכחנו שאם פונקציה שווה לטור פורייה, והטור מתכנס במ"ש, אזי הוא יחיד והמקדמים שלו נקבעים על ידי הנוסחאות לעיל.
*השאלה היא אילו פונקציות שוות לטור פורייה.
*באופן מיידי, ברור שטור פורייה הוא פונקציה עם מחזור <math>2\pi</math>.
*לכן בדר"כ אנו שואלים האם ההמשך המחזורי של הפונקציה שווה לטור פורייה:
**תהי פונקציה <math>f</math>, נגדיר את ההמשך המחזורי שלה <math>g</math> על ידי:
**לכל <math>k\in\mathbb{Z}</math> ולכל <math>x\in [-\pi+2\pi k,\pi+2\pi k)</math> נגדיר <math>g(x)=f(x-2\pi k)</math>.
**ברור ש <math>g(x+2\pi) = g(x)</math>, כלומר קיבלנו פונקציה מחזורית.
**ניתן גם לרשום בנוסחא מקוצרת <math>g(x)=f(x-2\pi\lfloor\frac{x+\pi}{2\pi}\rfloor)</math>

*לדוגמא, ההמשך המחזורי של <math>x^2</math>:
:[[קובץ:x^2_fourier.png|1000px]]

=====דוגמא=====
*נחשב את מקדמי הפורייה של ההמשך המחזורי של <math>x^2</math>
*שימו לב, מקדמי הפורייה של פונקציה וההמשך המחזורי שלה זהים, כיוון שערך הפונקציה בנקודה אחת לא משפיע על האינטגרל.

:<math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin(nx)dx=0</math>.
*שימו לב: מקדמי הפורייה של הסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה זוגית, ומקדמי הפורייה של הקוסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה אי זוגית.

:<math>a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2dx= \frac{2}{\pi}\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{\pi} = \frac{2\pi^2}{3}</math>

:<math>a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)dx =\left\{\begin{array}{lr}f'=\cos(nx) & g=x^2\\ f= \frac{\sin(nx)}{n} & g'=2x\end{array}\right\}=</math>
:<math>=\frac{2}{\pi}\left[\frac{x^2\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} - \frac{4}{n\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx = - \frac{4}{n\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx=
\left\{\begin{array}{lr}f'=\sin(nx) & g=x\\ f= -\frac{\cos(nx)}{n} & g'=1\end{array}\right\}=</math>
:<math>- \frac{4}{n\pi}\left[\frac{-x\cos(nx)}{n}\right]_0^\pi + \frac{4}{n^2\pi}\int_0^\pi \cos(nx)dx=\frac{4\pi\cos(\pi n)}{n^2\pi}+\frac{4}{n^3\pi}\left[sin(nx)\right]_0^\pi = \frac{4(-1)^n}{n^2}</math>

*שימו לב כי לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>cos(n\pi)=(-1)^n</math>

*סה"כ אם ההמשך המחזורי של <math>x^2</math> שווה לטור פורייה שמתכנס במ"ש, אזי טור זה הוא:
:<math>\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)</math>

*נניח (ונוכיח בהמשך) שטור זה אכן שווה לפונקציה ונציב <math>\pi</math>.
*<math>\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{n^2}</math>
*ונקבל את הסכום המפורסם
::<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}</math>

==הרצאה 2 - למת רימן לבג, גרעין דיריכלה==
===מרחבי מכפלה פנימית שאינם ממימד סופי והיטלים===
*פונקציה נקראת רציפה למקוטעין בקטע סופי אם:
**1. היא רציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות.
**2. הגבולות החד צדדיים הרלוונטיים בכל נקודה הם סופיים.
*למעשה נקודות אי הרציפות היחידות של פונקציה רציפה למקוטעין הן ממין ראשון (קפיצתיות).
*פונקציה נקראת רציפה למקוטעין בקטע כללי, אם ניתן לחלק אותו לקטעים סופיים בהן הפונקציה רציפה למקוטעין.

*E הוא המרחב הוקטורי של כל הפונקציות הרציפות למקוטעין <math>f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{C}</math> מעל השדה <math>\mathbb{C}</math>, המקיימות בנוסף שבכל נקודה ערך הפונקציה שווה לממוצע בין הגבולות החד צדדיים שלה, ובקצוות ערך הנקודה שווה לגבול החד צדדי המוגדר.
**לא קשה להוכיח שאכן מדובר במרחב וקטורי. בעיקר יש לשים לב לכך שסכום פונקציות בקבוצה נשאר בקבוצה.
*<math>\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx</math> היא מכפלה פנימית מעל E.
**<math>\langle g,f\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x)\overline{f(x)}dx = \overline{\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx} = \overline{\langle f,g\rangle}</math>
**<math>\langle af+bg,h\rangle = a\langle f,h\rangle + b\langle g,h\rangle </math>
**<math>\langle f,f\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{f(x)}dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f|^2dx</math>
***בכל קטע רציפות האינטגרל על פונקציה חיובית הוא אפס אם ורק אם היא אפס.
***כיוון שהפונקציה בכל נקודה שווה לאחד הגבולות החד צדדיים או לממוצע בניהם, נובע שאם האינטגרל לעיל מתאפס הפונקציה חייבת להתאפס לחלוטין.
*נביט בנורמה המושרית <math>||f||^2=\langle f,f\rangle</math>

*כעת נוכיח מספר תכונות של היטלים במרחבי מכפלה פנימית.
*יש לנקוט בזהירות מיוחדת בנושא זה, כיוון שאנו עוסקים במרחבים שאינם נוצרים סופית (אין להם בסיס סופי או מימד).
*ייתכן שהוכחתם חלק מהמשפטים הבאים רק עבור מרחבים נוצרים סופית.

*תהי קבוצה אורתונורמלית סופית <math>\{e_1,...,e_n\}</math>, ונקרא למרחב שהיא פורשת W.
*לכל וקטור <math>v\in V</math> נגדיר את ההיטל של <math>v</math> על W על ידי <math>\widetilde{v}=\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i</math>
*נוכיח מספר תכונות לגבי ההיטל הזה:

*מתקיים כי <math>\langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle=\sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2</math>
**הוכחה:
**<math>\langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle v,\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i\rangle = \sum_{i=1}^n \overline{\langle v,e_i\rangle}\langle v,e_i\rangle = \sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2</math>
**<math>\langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle = \langle \sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i,\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i\rangle = \sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2</math>
**המעבר האחרון נכון כיוון ש <math>\{e_1,...,e_n\}</math> אורתונורמלית.

*מתקיים כי <math>||v||^2=||v-\widetilde{v}||^2+||\widetilde{v}||^2</math>
**הוכחה:
**<math>\langle v-\widetilde{v},v-\widetilde{v}\rangle = \langle v,v\rangle - \langle v,\widetilde{v}\rangle - \langle \widetilde{v},v\rangle + \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle</math>
**נזכור כי <math>\langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle</math>.
**לכן קיבלנו כי <math>||v-\widetilde{v}||^2 = ||v||^2 - ||\widetilde{v}||^2</math>

*מסקנה מיידית: <math>||\widetilde{v}||\leq ||v||</math>

====אי שיוויון בסל====
*כעת תהי קבוצה אורתונורמלית אינסופית <math>\{e_1,e_2,...\}</math>.
*לכל <math>v\in V</math> מתקיים כי <math>\sum_{i=1}^\infty |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2</math>
**הוכחה:
**ראינו שלכל n מתקיים כי <math>\sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2</math>.
**כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי חסומה על ידי <math>||v||^2</math> ולכן הטור מתכנס למספר שקטן או שווה לו.

*בפרט נובע כי
:<math>\lim_{n\to\infty}|\langle v,e_i\rangle|=0</math>

===למת רימן לבג===

*ראינו כי <math>\{\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x),...\}</math> היא קבוצה אורתונורמלית ב<math>E</math> (כרגע אנו לא צריכים את הפונקציה הקבועה).
*כמו כן לכל פונקציה f הגדרנו מקדמי פורייה ע"י:
*לכל <math>1\leq n\in \mathbb{N}</math> הגדרנו <math>a_n=\langle f,\cos(nx)\rangle</math>, ו<math>b_n=\langle f,\sin(nx)\rangle</math>

*נובע מאי שיוויון בסל כי המקדמים שואפים לאפס.
*כלומר:
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx = 0</math>
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx = 0</math>

*למת רימן-לבג: תהי <math>g</math> רציפה למקוטעין בקטע <math>[0,\pi]</math>, אזי:
:<math>\lim_{n\to\infty}\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = 0</math>
*הוכחה:
**<math>\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{0}^\pi g(t)\cos(\frac{t}{2})\sin(nt) dt+\int_{0}^\pi g(t)\sin(\frac{t}{2})\cos(nt) dt
</math>
**נגדיר את שתי הפונקציות <math>h_s(t)=\begin{cases}g(t)\sin(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t <0\end{cases}</math> ו <math>h_c(t)=\begin{cases}g(t)\cos(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t <0\end{cases}</math>
**קל לראות כי שתי הפונקציות רציפות למקוטעין. לכן פרט לשינוי במספר סופי של נקודות שלא משפיע על האינטגרל, ניתן להניח כי <math>h_c,h_s\in E</math>.
**ביחד נקבל כי <math>\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{-\pi}^\pi h_c(t)\sin(nt)dt + \int_{-\pi}^\pi h_s(t)\cos(nt)dt \to 0</math>

===גרעין דיריכלה===

*גרעין דיריכלה הוא הפונקציה <math>D_n(t)= \frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}</math>

*טענה: <math>D_n(t)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos(kt)</math> בכל נקודה <math>t\neq 2\pi k</math>
**הוכחה:
**נכפל ב<math>2\sin(\frac{t}{2})</math> ונקבל בצד שמאל:
**<math>\sin(\frac{t}{2}) + 2\sin(\frac{t}{2})\cos(t) + 2\sin(\frac{t}{2})\cos(2t)+...+2\sin(\frac{t}{2})\cos(nt)</math>
**נבחין בזהות הטריגונומטרית <math>2\sin(a)\cos(b) = \sin(b+a)-\sin(b-a)</math>
**ובפרט <math>2\sin(\frac{t}{2})\cos(kt) = \sin(kt+\frac{t}{2}) - \sin(kt-\frac{t}{2})</math>
**ביחד נקבל <math>\sin(\frac{t}{2}) + \sin(t+\frac{t}{2})-\sin(t-\frac{t}{2}) + \sin(2t+\frac{t}{2}) - \sin(2t-\frac{t}{2})+...+\sin(nt+\frac{t}{2}) - \sin(nt-\frac{t}{2}) = \sin(nt+\frac{t}{2}) = \sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)</math>

*נשים לב כי הפונקציה <math>2\sin(\frac{t}{2})</math> מתאפסת בנקודות <math>t=2\pi k</math>, בנקודות אלו לגרעין דיריכלה יש אי רציפות סליקה.
*זה נכון כיוון שפרט לנקודות אלו מדובר בפונקציה רציפה.
*כמו כן, גרעין דיריכלה מחזורי <math>2\pi</math> כיוון שהוא סכום של פונקציות מחזוריות <math>2\pi</math>.

*נחשב את האינטגרל על גרעין דיריכלה:
*ראשית, לכל <math>1\leq k \in \mathbb{N}</math> מתקיים:
:<math>\int_0^\pi \cos(kt)dt = \left[\frac{\sin(kt)}{k}\right]_0^\pi = 0</math>
*לכן נקבל:
:<math>\frac{1}{\pi}\int_0^\pi D_n(t)dt = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[\frac{1}{2} + \cos(t) + \cos(2t)+...+\cos(nt)\right]dt = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \frac{1}{2}dt = \frac{1}{2}</math>

====הסכומים החלקיים של טור פוריה====
*תהיה נקודה x, נביט בסדרת הסכומים החלקיים של טור הפוריה המתאים לפונקציה <math>f</math> שהיא מחזורית <math>2\pi</math>:
:<math>S_n = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^n a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)</math>
*נציב את מקדמי פוריה ונקבל כי:
:<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2}f(t)dt + \sum_{k=1}^n \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\cos(kt)dt\right]\cos(kx)+\left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin(kt)dt\right]\sin(kx)=</math>
:<math>= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\left[\frac{1}{2}f(t)+\sum_{k=1}^n f(t)\left(\cos(kt)\cos(kx) + \sin(kt)\sin(kx)\right)\right]dt=</math>
:<math>=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\left[\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos(k(t-x))\right]dt</math>
*זה בעצם גרעין דיריכלה, כלומר קיבלנו כי:
:<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(t-x)dt</math>
*שימו לב ששינוי מספר סופי של נקודות לא משפיע על האינטגרל, ולכן נקודות אי הרציפות הסליקות של גרעין דיריכלה לא פוגעות בהוכחה.

*טענה: תהי <math>f</math> פונקציה מחזורית <math>2\pi</math>. אזי לכל <math>a\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי:
:<math>\int_{-\pi}^\pi f(x)dx = \int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx</math>
*כלומר, השטח מתחת לגרף הפונקציה שווה על כל קטע באורך <math>2\pi</math>.
**הוכחה:
::<math>\int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx = \int_{-\pi+a}^{\pi} f(x)dx + \int_{\pi}^{\pi+a} f(x)dx</math>
::נבצע הצבה <math>t=x-2\pi</math> באינטגרל השני ונקבל:
::<math>\int_{\pi}^{\pi+a} f(x)dx = \{t=x-2\pi, dt=dx\} = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(t+2\pi)dt = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(t)dt = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(x)dx</math>
::ביחד נקבל כי:
::<math>\int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx=\int_{-\pi+a}^{\pi} f(x)dx + \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(x)dx = \int_{-\pi}^\pi f(x)dx</math>

*נחזור לסכומים החלקיים ונבצע הצבה:
:<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(t-x)dt = \{ u=t-x, du=dt\} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi-x}^{\pi-x} f(x+u)D_n(u)du</math>
:כיוון שגרעין דיריכלה ו<math>f</math> הן מחזוריות, נקבל:
:<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+u)D_n(u)du=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+t)D_n(t)dt</math>

==הרצאה 3 התכנסות נקודתית של טורי פוריה==

===סימונים והגדרות===
*נסמן את הגבול החד צדדי מימין ב<math>f(d^+)=\lim_{x\to d^+}f(x)</math>.
*נסמן את הגבול החד צדדי משמאל ב<math>f(d^-)=\lim_{x\to d^-}f(x)</math>.
*שימו לב: אם הפונקציה רציפה למקוטעין, הערכים הללו תמיד מוגדרים.

*נגדיר את הנגזרת הימנית ע"י <math>f'(x^+) = \lim_{t\to 0^+}\frac{f(x+t)-f(x^+)}{t}</math>.
*נגדיר את הנגזרת השמאלית ע"י <math>f'(x^-) = \lim_{t\to 0^-}\frac{f(x+t)-f(x^-)}{t}</math>.
*שימו לב: ייתכן ש<math>f'(d^+)=f'(d^-)</math> אך הפונקציה אינה גזירה בd. זה יקרה אם היא לא רציפה בנקודה.

דוגמא:
*נביט בפונקציה <math>f(x)=\frac{x}{|x|}</math>
*מתקיים כי <math>f(0^+)=1</math>, ו<math>f(0^-)=-1</math>.
*כמו כן מתקיים כי <math>f'(0^+)=f'(0^-)=0</math>.
כמובן שהפונקציה אינה רציפה ואינה גזירה ב0.

===משפט דיריכלה - התכנסות נקודתית של טור פוריה===
*תהי <math>f</math> פונקציה מחזורית <math>2\pi</math>, רציפה למקוטעין כך שבכל נקודה הנגזרות החד צדדיות שלה קיימות וסופיות.
*אזי לכל <math>x\in\mathbb{R}</math> הטור עם מקדמי הפוריה של <math>f</math> מתכנס:
:<math>\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)</math>
*בפרט, בכל נקודה בה הפונקציה רציפה טור הפוריה מתכנס נקודתית לפונקציה, ובכל נקודה בה יש אי רציפות קפיצתית טור הפוריה מתכנס לממוצע הגבולות מימין ומשמאל.

====הוכחה====
*תהי נקודה <math>x\in\mathbb{R}</math>.
*נביט בפונקציה <math>g(t) = \frac{f(x+t) - f(x^+)}{2\sin(\frac{t}{2})}</math>
*<math>\lim_{t\to 0^+}g(t) = \lim_{t\to 0^+}\frac{f(x+t) - f(x^+)}{t}\frac{\frac{t}{2}}{\sin(\frac{t}{2})} = f'(x^+)\cdot 1</math>
*כיוון שהנגזרות החד צדדיות קיימות וסופיות, קיבלנו ש<math>g(t)</math> רציפה למקוטעין בקטע <math>[0,\pi]</math>.
*לפי למת רימן-לבג נובע כי:
:<math>\lim_{n\to\infty}\int_0^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt=0</math>
*כלומר:
:<math>0=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[f(x+t)-f(x^+)\right]\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}dt=
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[f(x+t)-f(x^+)\right]D_n(t)dt</math>
*כיוון ש
:<math>\frac{1}{\pi}\int_0^\pi f(x^+)D_n(t)dt = \frac{f(x^+)}{2}</math>
*נובע כי:
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi f(x+t)D_n(t)dt = \frac{f(x^+)}{2}</math>

*באופן דומה לחלוטין ניתן להוכיח כי:
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^0 f(x+t)D_n(t)dt = \frac{f(x^-)}{2}</math>
*ולכן סה"כ נקבל כי:
:<math>\lim_{n\to\infty} S_n(x)= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+t)D_n(t)dt = \frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}</math>

====דוגמאות====
=====דוגמא 1=====
*תהי <math>f</math> ההמשך המחזורי של <math>x</math>.
:[[קובץ:x_fourier.png|1000px]]
*כיוון שf רציפה למקוטעין ובעלת נגזרות חד צדדיות קיימות (כולן שוות 1), תנאי משפט דיריכלה מתקיימים.
*כיוון שf הינה אי-זוגית, לכל <math>n</math> מתקיים כי <math>a_n=0</math>.

*כעת נחשב את המקדמים של הסינוסים:
:<math>b_n=\langle f,sin(nx)\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi x\sin(nx)dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi x\sin(nx)dx= \frac{2}{n\pi}\left[-x\cos(nx)\right]_{0}^\pi + \frac{2}{n\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)dx =
-\frac{2\pi\cos(\pi n)}{\pi n} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}</math>
*לכן, בכל נקודת רציפות של f, כלומר בכל נקודה <math>x\neq \pi +2\pi k</math>, מתקיים כי:
:<math>f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx) </math>.
*בפרט, לכל נקודה <math>x\in (-\pi,\pi)</math> מתקיים כי:
:<math>x=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)</math>
*עבור נקודות אי הרציפות (הקפיצתיות), מתקיים כי הממוצע בין הגבולות החד צדדיים הוא אפס.
*קל לראות שאכן לכל <math>x=\pi+2\pi k</math> נקבל שטור הפורייה מתכנס לאפס (למעשה כל הסינוסים מתאפסים).

*נציב לדוגמא <math>x=\frac{\pi}{2}</math> ונקבל:
:<math>\frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(\frac{n\pi}{2}) </math>
*לכל n זוגי הסינוס יתאפס, ולכן נקבל:
:<math>\frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{2n-1}\sin(n\pi-\frac{\pi}{2}) =\sum_{n=1}^\infty\frac{-2}{2n-1}\cos(n\pi) = \sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{2n-1} </math>
*שימו לב שהפעם לא קיבלנו טור חדש בזכות פורייה, כיוון שנקבל בדיוק את אותו הטור אם נציב 1 בטור הטיילור של <math>arctan(x)</math>.

=====דוגמא 2=====
*כעת, תהי <math>g</math> ההמשך המחזורי של <math>x^2</math>.
*הפונקציה g הינה רציפה בכל הממשיים.
*הפונקציה g גזירה בכל הממשיים פרט לנקודות <math>x=\pi+2\pi k</math>.
*בנקודות אי הגזירות, הנגזרות החד צדדיות קיימות ושוות ל<math>\pm 2\pi</math> (כיוון שהנגזרת של <math>x^2</math> היא <math>2x</math>).
*סה"כ לפי משפט דיריכלה, טור הפוריה של g מתכנס אליה בכל הממשיים (כיוון שהיא רציפה בכל הממשיים).

*כלומר קיבלנו שלכל <math>x\in [-\pi,\pi]</math> מתקיים כי:
::<math>x^2=\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)</math>

*שימו לב שאם נגזור איבר איבר את טור הפוריה של <math>x^2</math>, נקבל את טור הפורייה של <math>2x</math>.
*האם זה מפתיע?

=====דוגמא 3=====
*תהי <math>h</math> ההמשך המחזורי של הפונקציה <math>\begin{cases}x & x\in [0,\pi]\\0 & x\in [-\pi,0)\end{cases}</math>
:[[קובץ:x_and_0_fourier.png|1000px]]
*שוב, קיבלנו פונקציה רציפה למקוטעין עם נגזרות חד צדדיות קיימות וסופיות.

*נחשב את מקדמי הפורייה:

:<math>a_0=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi xdx = \frac{\pi}{2}</math>

:<math>a_n = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi x\cos(nx)dx = \frac{1}{n\pi}\left[x\sin(nx)\right]_0^\pi - \frac{1}{n\pi}\int_0^\pi \sin(nx)dx = \frac{1}{n^2\pi}\left[\cos(nx)\right]_0^\pi=
\frac{(-1)^n-1}{\pi n^2}</math>

:<math>b_n = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi x\sin(nx)dx = \frac{-1}{n\pi}\left[x\cos(nx)\right]_0^\pi + \frac{1}{n\pi}\int_0^\pi \cos(nx)dx = \frac{(-1)^{n+1}}{n}</math>

*סה"כ שלכל <math>x\in (-\pi,\pi)</math> מתקיים כי:
:<math>h(x) = \frac{\pi}{4} + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{(-1)^n-1}{\pi n^2}\cos(nx) + \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)\right]</math>

*שימו לב: מצאנו שני טורי פורייה שמתכנסים ל<math>x</math> בקטע <math>(0,\pi)</math>.
*באופן דומה אפשר להראות שקיימים אינסוף טורי פורייה כאלה.

===טור הנגזרת===
*תהי <math>f</math> רציפה בקטע <math>[-\pi,\pi]</math> כך שהנגזרת שלה <math>f'</math> רציפה למקוטעין בקטע.
====שימוש בנוסחאת ניוטון לייבניץ לחישוב האינטגרל המסויים====
*שימו לב שמותר לנו להשתמש בנוסחאת ניוטון לייבניץ:
**כיוון שהנגזרת רציפה למקוטעין, אפשר להראות בעזרת לופיטל שהנגזרות החד צדדיות בנקודות אי הגזירות של f קיימות.
**בעצם, זה מראה שf גזירה בקטעים סגורים בהם אפשר להפעיל את נוסחאת ניוטון לייבניץ.
**אם נחשב את האינטגרל על הנגזרת בכל הקטעים הסגורים, ערכי f יצטמצמו, פרט לקצוות.
***לדוגמא:
***<math>\int_{-1}^1 \frac{x}{|x|}dx = \int_{-1}^0 (-1)dx + \int_{0}^1 (1)dx = (-x)|_{-1}^0+(x)|_0^1 = 0-1 + 1-0 = 1-1</math>
***כלומר קיבלנו כי <math>\int_{-1}^1 \frac{x}{|x|}dx = (|x|)_{-1}^{1}</math>, כאשר <math>(|x|)' = \frac{x}{|x|}</math>

====חישוב מקדמי טור הפורייה של הנגזרת====
*נסמן את מקדמי הפורייה של <math>f</math> ב<math>a_n,b_n</math>
*נחשב את מקדמי הפורייה של הנגזרת, נסמן אותם ב<math>\alpha_n,\beta_n</math>:

:<math>\alpha_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)dx= \frac{f(\pi)-f(-\pi)}{\pi}</math>

:<math>\alpha_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f'(x)\cos(nx)dx = \frac{1}{\pi}\left[f(x)\cos(nx)\right]_{-\pi}^\pi +\frac{n}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx =
\frac{(-1)^n\left(f(\pi)-f(-\pi)\right)}{\pi}+n\cdot b_n = (-1)^n\alpha_0+nb_n</math>

:<math>\beta_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f'(x)\sin(nx)dx = \frac{1}{\pi}\left[f(x)\sin(nx)\right]_{-\pi}^\pi -\frac{n}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx = -n\cdot a_n</math>

*כלומר, בתנאים הנתונים, אם טור הפוריה של f הינו:
:<math>f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>
*אזי טור הפורייה של הנגזרת הינו:
:<math>f'(x)\sim\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left((-1)^n\alpha_0+nb_n\right)\cos(nx)-n\cdot a_n\sin(nx)</math>

*במקרה המיוחד בו <math>f(-\pi)=f(\pi)</math> מתקיים כי <math>\alpha_0=0</math> ולכן נקבל את טור הפורייה הפשוט:
:<math>f'(x)\sim\sum_{n=1}^\infty nb_n\cos(nx)-na_n\sin(nx)</math>

====דוגמאות====
=====דוגמא 1=====
*נזכר בטור הפורייה של <math>x^2</math>:
:<math>\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)</math>
*נרצה למצוא את מקדמי הפוריה של <math>\frac{x^3}{3}</math>, נסמנם ב<math>a_n,b_n</math>.

*לכל <math>1\leq n</math> נקבל כי:
:<math>\frac{2(-1)^n\pi^2}{3}+nb_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}</math>
:<math>-na_n = 0</math>
*כמו כן נחשב את המקדם הראשון:
:<math>a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{x^3}{3}dx = 0</math>

*נחלץ את המקדמים ונקבל כי טור הפורייה של <math>\frac{x^3}{3}</math> הוא:
:<math>\frac{x^3}{3} \sim \sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^n}{n^3}\left(2-\frac{\pi^2 n^2}{3}\right)\sin(nx)</math>

=====דוגמא 2=====
*נחשב את טור הפורייה של <math>e^x</math>.
*נסמן את טור הפורייה של <math>e^x</math> ב:
:<math>\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>
*כמובן שהנגזרת במקרה הזה שווה לפונקציה, ולכן יש לה בדיוק אותו טור פורייה.
*מצד שני, טור הפורייה של הנגזרת צריך להיות:
:<math>\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left((-1)^n\alpha_0+nb_n\right)\cos(nx) -na_n\sin(nx)</math>
*כאשר <math>\alpha_0=\frac{f(\pi)-f(-\pi)}{\pi}=\frac{e^\pi-e^{-\pi}}{\pi}</math>

*ביחד נקבל את המשוואות:
:<math>a_0=\alpha_0</math>
:<math>a_n=(-1)^n\alpha_0+nb_n</math>
:<math>b_n=-na_n</math>
*נציב את המשוואה השלישית בשנייה ונקבל:
:<math>a_n=\frac{(-1)^n\alpha_0}{1+n^2}</math>
*ולכן
:<math>b_n=\frac{n(-1)^{n+1}\alpha_0}{1+n^2}</math>

*סה"כ קיבלנו כי טור הפורייה של <math>e^x</math> הינו:
:<math>\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n\alpha_0}{1+n^2}\cos(nx) + \frac{n(-1)^{n+1}\alpha_0}{1+n^2}\sin(nx)</math>

*כיוון שלהמשך המחזורי של <math>e^x</math> יש אי רציפות קפיצתית ב<math>x=\pi</math>, טור הפורייה שם מתכנס לממוצע <math>\frac{e^\pi+e^{-\pi}}{2}</math>
*כלומר, אם נציב <math>x=\pi</math> נקבל:
:<math>\frac{1}{\alpha_0}\frac{e^\pi+e^{-\pi}}{2} = \frac{1}{2} +\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^2}</math>
*נפשט:
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^2}=\frac{\pi(e^\pi+e^{-\pi})}{2(e^\pi-e^{-\pi})}-\frac{1}{2}</math>

==הרצאה 4 - התכנסות במ"ש ושיוויון פרסבל==
===תנאי להתכנסות במ"ש של טור פורייה===
*תהי <math>f</math> רציפה בקטע <math>[-\pi,\pi]</math> המקיימת <math>f(-\pi)=f(\pi)</math>, כך ש <math>f'</math> רציפה למקוטעין.
*אזי טור הפורייה של <math>f</math> מתכנס אליה במ"ש בכל הממשיים.

*לפי משפט דיריכלה ידוע כי טור הפורייה של ההמשך המחזורי של f מתכנס אליה בכל נקודה.
*נסמן את טור הפורייה ב
:<math>\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>
*ברור כי
:<math>\left|\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right|\leq \frac{|a_0|}{2} + \sum_{n=1}^\infty |a_n|+|b_n|</math>
*לפי מבחן ה-M של ויירשטראס, מספיק להוכיח שטור המספרים מימין מתכנס על מנת להסיק שטור הפורייה מתכנס במ"ש.

*נסמן את מקדמי פורייה של הנגזרת ב<math>\alpha_n,\beta_n</math>.
*כבר חישבנו ש:
**<math>\alpha_0=0</math>
**<math>\alpha_n=nb_n</math>
**<math>\beta_n=-na_n</math>
*לכן ביחד נקבל כי <math>\sqrt{|a_n|^2+|b_n|^2}=\frac{1}{n}\sqrt{|\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}</math>
*לפי אי שיוויון קושי שוורץ, נקבל כי לכל n מתקיים:
:<math>\sum_{n=1}^N \frac{\sqrt{|\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}}{n} \leq \sqrt{\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^2}}\sqrt{\sum_{n=1}^N |\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}</math>
*לפי אי שיוויון בסל, אנו יודעים כי הטור <math>\sum_{n=1}^\infty |\alpha_n|^2+|\beta_n|^2</math> מתכנס, כיוון שמדובר במקדמי פורייה של <math>f'\in E</math>.
**(זכרו שמותר להניח כי <math>f'\in E</math> על ידי שינוי מספר סופי של נקודות שלא משפיעות על חישוב מקדמי הפורייה.)
*לכן <math>\left(\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^2}\right),\left(\sum_{n=1}^N |\alpha_n|^2+|\beta_n|^2\right)</math> חסומות כסדרות סכומים חלקיים של טורים מתכנסים.
*לכן סה"כ <math>\sum_{n=1}^N \frac{\sqrt{|\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}}{n}</math> חסומה, ולכן הטור האינסופי המתאים לה מתכנס.

*סה"כ קיבלנו כי <math>\sum_{n=1}^\infty \sqrt{|a_n|^2+|b_n|^2}</math> מתכנס.
*לכן בוודאי גם הטורים הקטנים יותר <math>\sum_{n=1}^\infty |a_n|</math> ו<math>\sum_{n=1}^\infty |b_n|</math> מתכנסים, כפי שרצינו.

===שיוויון פרסבל===
*נביט במערכת האורתונורמלית <math>\{\frac{1}{\sqrt{2}},\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),...\}\subseteq E</math>, ותהי <math>f\in E</math>.
*ידוע לנו כי <math>a_0=\langle f,1\rangle</math>, ולכן <math>\frac{a_0}{\sqrt{2}}=\langle f,\frac{1}{\sqrt{2}}\rangle</math>

*נסמן את סדרת הסכומים החלקיים של טור הפורייה המתאים לפונקציה f ב <math>S_n</math>.
*<math>S_n</math> היא ההיטל של <math>f</math> על הקבוצה האורתונורמלית <math>\{\frac{1}{\sqrt{2}},\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),...,\cos(nx),\sin(nx)\}</math>
**אכן <math>\langle f,\frac{1}{\sqrt{2}}\rangle \frac{1}{\sqrt{2}} + \sum_{n=1}^\infty \langle f,\cos(nx)\rangle \cos(nx) + \langle f,\sin(nx)\rangle \sin(nx) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>

*נזכור כי <math>||v||^2=||v-\widetilde{v}||^2+||\widetilde{v}||^2</math>
**לכן <math>||f-S_n||^2=||f||^2-||S_n||^2</math>.
*כמו כן, נזכור כי <math>||\widetilde{v}||^2 = \sum_{i=1}^{n}|\langle v,e_i\rangle|^2</math>
**לכן <math>||S_n||^2 = \frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{k=1}^n |a_k|^2+|b_k|^2</math>

*אי שיוויון בסל אומר כי <math>\sum_{i=1}^\infty |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2</math>
*כלומר:
:<math>\frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty |a_n|^2+|b_n|^2 \leq ||f||^2 = \langle f,f\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2dx</math>
*משפט שיוויון פרסבל אומר שבעצם מתקיים שיוויון:
:<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2dx=\frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty |a_n|^2+|b_n|^2 </math>

*אם נוכיח ש <math>||f-S_n||^2\to 0</math>, נסיק כי <math>||S_n||^2\to ||f||^2</math> וזהו בדיוק שיוויון פרסבל.

====הוכחת שיוויון פרסבל כאשר טור הפורייה מתכנס במ"ש====

*תהי <math>f</math> רציפה בקטע <math>[-\pi,\pi]</math> המקיימת <math>f(-\pi)=f(\pi)</math>, כך שהנגזרת שלה <math>f'</math> רציפה למקוטעין.
*נסמן <math>d_n=\sup_{[-\pi,\pi]}|f-S_n|</math>
*הוכחנו כי טור הפורייה של f מתכנס אליה במ"ש, כלומר <math>d_n\to 0</math>.
*לכן <math>||f-S_n||^2 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f-S_n|^2dx \leq 2d_n^2 \to 0</math>

=====דוגמא=====
*הפונקציה <math>f(x)=x^2</math> מקיימת את דרישות המשפט.
*נזכור כי טור הפורייה שלה הוא:
:<math>\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)</math>

*לכן לפי שיוויון פרסבל נקבל כי:
:<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^4dx = \frac{4\pi^4}{18}+\sum_{n=1}^\infty \frac{16}{n^4}</math>

:<math>\frac{2\pi^4}{5}-\frac{4\pi^4}{18} = \sum_{n=1}^\infty \frac{16}{n^4}</math>

*ולכן:
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}</math>

====הוכחת שיוויון פרסבל במקרה הכללי====

*תהי <math>f \in E</math>, אנחנו מעוניינים להוכיח כי <math>||f-S_m||\to 0</math>.
*נבנה סדרת פונקציות <math>f_n</math> רציפות בקטע <math>[-\pi,\pi]</math> המקיימות <math>f_n(-\pi)=f_n(\pi)</math>, כך שהנגזרות שלהן <math>f_n'</math> רציפות למקוטעין, המקיימות:
:<math>||f-f_n||\to 0</math>

*יהי <math>\varepsilon</math>, נבחר <math>n</math> כך ש <math>||f-f_n||< \frac{\varepsilon}{2}</math>.
*נסמן ב<math>T_m</math> את סדרת הסכומים החלקיים של טור הפורייה של <math>f_n</math>.
*ראינו כי <math>\lim_{m\to\infty}||f_n-T_m||=0</math>.

*כיוון שההיטל הוא הוקטור הקרוב ביותר, נקבל:
**<math>||f-S_m||\leq ||f-T_m||</math>
*כמו כן, <math>||f-T_m||\leq ||f-f_n||+||f_n-T_m||</math>
*קיים מקום החל ממנו לכל <math>m</math> מתקיים כי <math>||f_n-T_m||< \frac{\varepsilon}{2}</math>.
*לכן החל ממקום זה <math>||f-S_m||<\varepsilon</math> כפי שרצינו.

=====בניית סדרת הפונקציות=====

*f רציפה למקוטעין, ולכן רציפה במ"ש בכל קטע רציפות.
*לכן ניתן לבחור חלוקה <math>P</math> הכוללת את נקודות אי הרציפות, עם פרמטר חלוקה מספיק קטן כך ש <math>|f(x)-f(c_k)|^2< \frac{\varepsilon}{2\pi}</math> לכל זוג נקודות <math>x,c_k\in [x_{k-1},x_k]</math>.
*נבחר נקודות כלשהן <math>c_k</math> בכל קטע ונביט בפונקצית המדרגות g שבכל תת קטע שווה לקבוע <math>f(c_k)</math>.
*כעת האינטגרל תמיד קטן מסכום הדרבו העליון:
**<math>\int_{-\pi}^{\pi} |f-g|^2dx \leq \sum_{k=1}^n \sup_{[x_{k-1},x_k]}|f(x)-f(c_k)|^2 (x_k-x_{k-1}) \leq \sum_{k=1}^n \frac{\varepsilon}{2\pi}(x_k-x_{k-1}) = \varepsilon</math>
*לכן אפשר לבנות סדרת פונקציות מדרגות כנ"ל <math>g_n</math> כך ש<math>||f-g_n||<\frac{1}{n}</math>

*כעת נגדיר סדרת פונקציות <math>f_n</math> להיות <math>g_n</math>, פרט לשינויים הבאים:
**עבור <math>\delta</math> שנקבע בהמשך, נחבר בקו ישר את הנקודות בקצוות המקטעים <math>[x_k-\delta,x_k]</math>.
**נגדיר <math>f_n(-\pi)=g(\pi)</math>.
**נחבר בקו ישר את הנקודות בקצה הקטע <math>[x_0,x_0+\delta]</math>.
*עבור <math>\delta</math> קטנה מספיק, <math>\int_{-\pi}^{\pi}|f_n-g|^2dx < \frac{1}{n}</math>.

*סה"כ נקבל כי
**<math>f_n</math> מורכבת מקטעים ישרים המחוברים זה לזה, ולכן מדובר בפונקציה רציפה, בעלת נגזרת רציפה למקוטעין.
**<math>f_n(-\pi)=f_n(\pi)</math>
**אכן מתקיים כי <math>||f-f_n||\leq ||f-g||+||g-f_n||\to 0</math>

===יחידות טור פורייה===

====הם ישנן שתי פונקציות שונות בעלות אותו טור פורייה?====
*תהיינה <math>f,g\in E</math> בעלות אותם מקדמי פורייה.
*אם טורי הפורייה מתכנסים לפונקציה, ברור שזו אותה הפונקציה, אבל אם לא?

*מקדמי הפורייה של <math>f-g</math> הם אפס, ולכן לפי שיוויון פרסבל:
:<math>||f-g||^2=0</math>
*לכן <math>f=g</math>.

*שימו לב שעבור סתם פונקציות רציפות למקוטעין, זה אומר ש<math>f=g</math> פרט למספר סופי של נקודות.

====האם תתכן פונקציה אחת, בעלת שני טורים טריגונומטריים?====
*קנטור הוכיח שאם טור טריגונומטרי שווה לאפס בכל הקטע <math>[-\pi,\pi]</math>, אזי כל מקדמי הטור הם אפס.
*יותר מאוחר הוכיחו כי אם הטור מתאפס בכל נקודה בקטע פרט לקבוצה בת מנייה של נקודות, עדיין כל מקדמי הטור הם אפס.
*מנשוב מצא ב1916 טור טריגונומטרי שמתכנס לאפס בכל נקודה פרט לקבוצה ממידה אפס של נקודות, אך '''לא''' כל מקדמי הטור הם אפס.

==הרצאה 5 - תופעת גיבס, טורי הסינוסים והקוסינוסים==
===תופעת גיבס===
*ראינו תנאים בהם טור הפורייה מתכנס במ"ש.
*כעת אנחנו רוצים לחקור מקרים בהם אין התכנסות במ"ש, ונראה כי בהן יש חריגה מיוחדת של סדרת הסכומי החלקיים מן הפונקציה.

*נביט בטור פורייה של הפונקציה x:
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)</math>
*נסמן ב<math>S_m</math> את סדרת הסכומים החלקיים של הטור ונביט ב:
:<math>S_m(\pi - \frac{\pi}{m})=\sum_{n=1}^m \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(n(\pi - \frac{\pi}{m})) = \sum_{n=1}^m \frac{2}{n}\sin(\frac{n\pi}{m})</math>
*כעת,
:<math>\sum_{n=1}^m \frac{2}{n}\sin(\frac{n\pi}{m}) = 2\sum_{n=1}^m \frac{\sin\left(\frac{n\pi}{m}\right)}{\left(\frac{n\pi}{m}\right)}\frac{\pi}{m}\to 2\int_0^\pi \frac{\sin(x)}{x}dx</math>
*לכן סה"כ השגיאה בקירוב ע"י הסכומים החלקיים בסדרת הנקודות הללו היא:
:<math>\pi-\frac{\pi}{m} - S_m (\pi-\frac{\pi}{m}) \to \pi - 2\int_0^\pi \frac{\sin(x)}{x}dx = \int_0^\pi (1-\frac{2\sin(x)}{x})dx \approx -0.56</math>
*(הערכת האינטגרל נעשית על ידי פיתוח טור הטיילור של הפונקציה, נקבל טור לייבניץ לפיו קל לבצע הערכת שגיאה.)
*כלומר סדרת הסכומים החלקיים עולה משמעותית מעל הפונקציה, כפי שניתן לראות בגרף המצורף.
*אם נחלק את זה בגודל הקפיצה בין הגבולות החד צדדים של ההמשך המחזורי של x בנקודה <math>\pi</math>, נקבל בערך <math>-0.089</math>.

*לא נוכיח זאת, אבל יחס הטעות הזה בנקודות אי הרציפות נשמר באופן כללי עבור פונקציות בE שנגזרתן רציפה למקוטעין, ונקרא 'תופעת גיבס'.

:[[קובץ:gibs_x.png|1000px]]

===טור הסינוסים וטור הקוסינוסים===
*עבור פונקציה <math>f</math> הרציפה בקטע <math>[0,\pi]</math> ובעלת נגזרת רציפה למקוטעין, ניתן להשלים אותה לפונקציה <math>f^+</math> הזוגית בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>, או ל<math>f^-</math> האי זוגית בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>.

*את ההמשך הזוגי אפשר לפתח לטור קוסינוסים, שמתכנס במ"ש בקטע <math>[0,\pi]</math>. זה נקרא '''טור הקוסינוסים''' של הפונקציה <math>f</math>.
*הוכחה:
**<math>f^+</math> רציפה ב<math>[-\pi,\pi]</math>, בעלת נגזרת רציפה למקוטעין, ומתקיים כמובן ש<math>f(-\pi)=f(\pi)</math>.

*את ההמשך האי זוגי אפשר לפתח לטור סינוסים, שמתכנס אל הפונקציה בקטע <math>(0,\pi)</math>. זה נקרא '''טור הסינוסים''' של הפונקציה <math>f</math>.
*אם <math>f(\pi)=f(0)=0</math> אזי טור הסינוסים מתכנס במ"ש בקטע <math>[0,\pi]</math>.
*הוכחה:
**<math>f^-</math> רציפה כיוון ש<math>f(0)=0</math>, ומתקיים כי <math>f(-\pi)=-f(\pi)=0=f(\pi)</math>.

*חישוב המקדמים:
*עבור טור הקוסינוסים:
**<math>a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^+\cos(nx) dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f\cos(nx)dx </math>
*עבור טור הסינוסים:
**<math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^-\cos(nx) dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f\sin(nx)dx </math>

====דוגמאות====

*נחשב טור קוסינוסים של <math>e^x</math>:
**<math>a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} e^xdx = \frac{2}{\pi}(e^\pi-1)</math>
**<math>a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} e^x\cos(nx)dx = \frac{2}{\pi}\frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^2+1}</math>
**הטור מתכנס במ"ש לפונקציה בקטע <math>[0,\pi]</math>:
:<math>e^x=\frac{e^\pi-1}{\pi}+ \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^2+1}\cos(nx) </math>
*לכן מותר לבצע אינטגרציה איבר איבר, נחשב את <math>\int_0^x</math> בשני הצדדים ונקבל:
:<math>e^x-1 - \frac{e^\pi-1}{\pi}x = \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^3+n}\sin(nx)</math>

*נציב למשל <math>x=0</math> ונקבל את השיוויון:
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^2+1} = \frac{\pi}{2} - \frac{e^\pi-1}{2}</math>

*נחשב טור סינוסים של <math>e^x</math>:
**<math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi e^x\sin(nx)dx = \frac{2n(1-e^\pi(-1)^n)}{\pi(n^2+1)}</math>
**הטור מתכנס בקטע <math>(0,\pi)</math>:
:<math>e^x=\sum_{n=1}^\infty \frac{2n(1-e^\pi(-1)^n)}{\pi(n^2+1)}\sin(nx) </math>

*נחשב טור סינוסים של <math>f(x)=\pi x - x^2</math>.
*שימו לב: <math>f(0)=f(\pi)=0</math>.
**<math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi (\pi x-x^2)\sin(nx)dx = \frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^3} </math>
**לכן הטור מתכנס במ"ש בקטע <math>[0,\pi]</math>:
:<math>\pi x - x^2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^3} \sin(nx)</math>
*לכן מותר לבצע אינטגרציה איבר איבר, נחשב את <math>\int_0^x</math> בשני הצדדים ונקבל:
:<math>\frac{\pi x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = \sum_{n=1}^\infty \frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^4}(-\cos(nx)+1)</math>
*שימו לב שלא מדובר בטור טריגונומטרי.

==הרצאה 6 - משוואת החום על טבעת, התמרת פורייה==
===משוואת החום על טבעת===
*נביט במד"ח החום על מוט עבור הפונקציה <math>u(x,t)</math>:
**<math>u_t-ku_{xx}=0</math>
**<math>u(x,0)=f(x)</math> (תנאי התחלה)
**<math>u(-\pi,t)=u(\pi,t)</math> (תנאי שפה)
**<math>u_x(-\pi,t)=u_x(\pi,t)</math> (תנאי שפה)
**כאשר <math>x\in[-\pi,\pi]</math>, ו<math>t\in[0,\infty)</math>
*על מנת להבין את תנאי השפה, אפשר לחשוב על הבעייה במובן שהמוט הוא מעגלי.

*נחפש פתרון מהצורה <math>u(x,t)=X(x)\cdot T(t)</math>.
*נציב במד"ח את הניחוש, ונקבל:
:<math>X(x)T'(t)=kX''(x)T(t)</math>
*נניח שהצדדים שונים מאפס ונחלק:
:<math>\frac{T'(t)}{kT(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}</math>
*כיוון שכל צד תלוי במשתנה אחר, הדרך היחידה לקבל שיוויון היא אם שני הצדדים קבועים.
*נביט בפתרונות עבור קבוע שלילי:
:<math>\frac{T'(t)}{kT(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda</math>

*כעת נפתור את ה[[מד"ר תקציר הרצאות|מד"ר]]ים בנפרד:
*שימו לב שאנו בוחרים את השמות של הקבועים בצורה מיוחדת לקראת הפתרון בהמשך.
**עבור <math>\lambda=0</math>:
***<math>X_0(x)=cx+\frac{a_0}{2}</math>, ועל מנת לקיים את תנאי השפה נקבל כי <math>c=0</math>
***<math>T_0(t)=1</math> (הקבוע יבלע בקבוע של <math>X_0(x)</math>)

**עבור <math>\lambda\neq 0</math>:
***<math>X= a_{\sqrt{\lambda}} \cos(\sqrt{\lambda}x) + b_{\sqrt{\lambda}} \sin(\sqrt{\lambda}x)</math>
***<math>T=e^{-k\lambda t}</math> (הקבוע חסר כי הוא יבלע בקבועים האחרים כאשר נכפול ב<math>X(x)</math>)

*ע"י הצבה ניתן לוודא שעבור <math>\lambda=n^2</math> הפונקציות לעיל מקיימות את תנאי השפה.
*גם צירוף לינארי שלהן יהווה פתרון כיוון שהמד"ח הומוגנית ותנאי השפה הומוגניים.
*צירוף לינארי אינסופי יהווה פתרון לבעייה אם טורי הנגזרות יתכנסו במ"ש (ולכן יהיה מותר לגזור איבר איבר).

*לכן אנו מחפשים פתרון כללי מהצורה:
:<math>u(x,t)=T_0(t)X_0(x)+\sum_{n=1}^\infty T_n(t)X_n(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty e^{-kn^2 t}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))</math>
*כל שנותר לנו לעשות הוא למצוא את הקבועים <math>a_n,b_n</math>.
*נציב כעת בתנאי ההתחלה <math>u(x,0)=f(x)</math> ונקבל בעצם את טור הפורייה:
:<math>f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>
*אנחנו יכולים לפתור משוואה זו בהנתן שf מקיימת את תנאי משפט דיריכלה.
*מדוע זה יהיה פתרון?
**נזכור שמקדמי הפורייה שואפים לאפס.
**בזכות האקספוננט, טור זה ונגזרותיו אכן יתכנסו במ"ש עבור <math>t\in [a,\infty)</math> לכל <math>a>0</math> ולכל <math>x\in[-\pi,\pi]</math>.
**לכן מותר לגזור איבר איבר, ואכן מדובר בפתרון של המד"ח.

===התמרת פורייה===

====טור פורייה המרוכב====
*לא קשה לוודא כי <math>\{e^{inx}\}_{n\in\mathbb{Z}}</math> מהווה קבוצה אורתונורמלית בE אם נעדכן מעט את המכפלה הפנימית:
:<math>\langle f,g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx</math>
*תהי <math>f\in E</math>, שאלה שעולה באופן טבעי היא האם:
:<math>f=\sum_{n=-\infty}^\infty \langle f,e^{inx}\rangle e^{inx}</math>
*כאשר אנו מגדירים את הסכום ממינוס אינסוף עד אינסוף באופן הבא:
:<math>\sum_{n=-\infty}^\infty u_n = u_0+\sum_{n=1}^\infty (u_n+u_{-n}) </math>

*נסמן את מקדמי פורייה הרגילים ב<math>a_n,b_n</math>.

*נשים לב כי עבור <math>n=0</math> נקבל:
:<math>\langle f,1\rangle = \frac{a_0}{2}</math>
*כעת עבור <math>n>0</math> מתקיים:
:<math>\langle f, e^{inx}\rangle e^{inx}+\langle f, e^{-inx}\rangle e^{-inx} =</math>
:<math>= (\langle f, e^{inx}\rangle+\langle f, e^{-inx}\rangle)\cos(nx) + (\langle f, e^{inx}\rangle-\langle f, e^{-inx}\rangle)i\sin(nx)=</math>
:<math>= 2\langle f, \cos(nx)\rangle \cos(nx) + 2\langle f, i\sin(nx)\rangle i\sin(nx)= </math>
:<math>=a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>
*(שימו לב: הi יצא מהצד הימני של המכפלה הפנימית עם מינוס)

*כלומר, טור פורייה המרוכב הוא בדיוק טור פורייה הרגיל!

====הכללה לפונקציות שאינן מחזוריות====
*טורי פורייה עזרו לנו לחקור פונקציות בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>.
*בהנתן גל <math>e^{inx}</math>, מצאנו את ה'אמפליטודה' שלו (המקדם):
:<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx</math>
*(שימו לב - המכפלה הפנימית מצמידה את הפונקציה מימין, ולכן קיבלנו <math>-i</math>).

*מחשבה הגיונית היא שאם נרצה לחקור פונקציות בכל הממשיים, עבור גל <math>e^{isx}</math> נמצא את ה'אמפליטודה':
:<math>\mathcal{F}[f](s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx</math>.
*כאשר האינטגרל מתכנס, הפונקציה <math>\mathcal{F}[f](s)</math> נקראת '''התמרת פורייה''' של הפונקציה <math>f</math>.
*הערה - המקדם <math>\frac{1}{2\pi}</math> לעיתים אינו מופיע בהגדרת ההתמרה. אנחנו נראה בהמשך שיש לו קשר להתמרה ההפוכה.

*הערות כלליות:
**נסמן בדר"כ את ההתמרה של f ב<math>F(s)=\mathcal{F}(f)(s)</math>.
**<math>F(s)</math> מייצגת את האמפליטודה בכל תדר, ולכן נהוג לומר שהיא מוגדרת ב'מרחב התדר'.
**לעומת זאת, <math>f(x)</math> מייצגת את גובה הפונקציה בכל נקודה בזמן, ונהוג לומר שהיא מוגדרת ב'מרחב הזמן'.
**לכל תדר <math>s</math> יש שני גלים שמייצגים אותו, <math>e^{\pm isx}</math>.
**כפי שלמדנו, באמצעות שני הגלים ניתן לייצג כל 'פאזה'.

*נסמן ב<math>G</math> את אוסף הפונקציות <math>g</math> הרציפות למקוטעין ב<math>\mathbb{R}</math>, עבורן האינטגרל הלא אמיתי מתכנס <math>\int_{-\infty}^\infty|g(x)|dx<\infty</math>.
*לכל <math>f\in G</math> התמרת הפורייה מוגדרת בכל הממשיים.
**הוכחה:
**<math>\int_{-\infty}^\infty|f(x)e^{-isx}|dx = \int_{-\infty}^\infty|f(x)|dx</math> מתכנס.
**כיוון שהאינטגרל המגדיר את <math>F(s)</math> מתכנס בהחלט, הוא מתכנס.

=====דוגמאות=====
*נמצא את <math>\mathcal{F}(f)(s)</math> עבור <math>f(x)=e^{-|x|}</math>.
:<math>2\pi F(s)=\int_{-\infty}^\infty e^{-|x|}e^{-isx}dx = \int_0^\infty e^{-x}e^{-isx}dx + \int_{-\infty}^0 e^{x}e^{-isx}dx=</math>
:<math>=\left[\frac{e^{-x(1+is)}}{-(1+is)}\right]_0^\infty + \left[\frac{e^{x(1-is)}}{1-is}\right]_{-\infty}^0=\frac{1}{1+is} + \frac{1}{1-is} = \frac{2}{1+s^2}</math>
*שימו לב - השתמשנו בעובדה ש<math>e^{isx}</math> חסומה, ואילו <math>e^{-x}\to 0</math> כאשר <math>x\to \infty</math>.
*לכן סה"כ קיבלנו כי <math>\mathcal{F}[e^{-|x|}](s) = \frac{1}{\pi(1+s^2)}</math>

*נמצא את התמרת הפורייה של <math>f(x)=\begin{cases}|x| & |x|\leq \pi \\ 0 & |x|>\pi\end{cases}</math>
:<math>F(s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|e^{-isx}dx = </math>
:<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|\cos(sx)dx - \frac{i}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|\sin(sx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^\pi x\cos(sx)dx = \frac{\sin(s\pi)}{s} + \frac{\cos(s\pi)-1}{s^2\pi}</math>

*שימו לב: חישוב האינטגרל שגוי עבור <math>s=0</math>, ניתן להציבו בנוסחא המקורית של האינטגרל או להשתמש ברציפות ההתמרה, שנלמד בהמשך.

==הרצאה 7 - תכונות של התמרות פורייה==
===תכונות ההתמרה===
*תהי <math>f\in G</math> אזי <math>F(s)=\mathcal{F}[f](s)</math> רציפה במ"ש ב<math>\mathbb{R}</math>.
**הוכחה:
**יהי <math>\varepsilon>0</math>. כיוון ש <math>\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx</math> מתכנס, קיים <math>R</math> עבורו <math>\frac{1}{2\pi}\int_{|x|>R}|f(x)|dx <\frac{\varepsilon}{4}</math>
**עבור <math>s_1,s_2</math> מתקיים כי <math>|F(s_1)-F(s_2)|\leq \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)(e^{-is_1x}-e^{-is_2x})|dx</math>
**כמובן ש <math>|e^{-is_1x}-e^{-is_2x}|\leq 2</math> ולכן בתחום <math>|x|>R</math> האינטגרל הנ"ל קטן מ<math>\frac{\varepsilon}{2}</math>.
**נותר להוכיח שעבור <math>s_1,s_2</math> מספיק קרובים מתקיים כי <math>\frac{1}{2\pi}\int_{-R}^{R}|f(x)(e^{-is_1x}-e^{-is_2x})|dx<\frac{\varepsilon}{2}</math>
**נראה כי <math>|e^{ix}-e^{iy}|\leq |x-y|</math>.
***<math>|e^{ix}-e^{iy}|</math> הוא המרחק בין שתי נקודות על מעגל היחידה.
***<math>|x-y|</math> הוא הזווית בינהן, כלומר אורך הקשת בינהן.
***אורך הקשת בוודאי גדול או שווה למרחק הישר בין שתי הנקודות.
**לכן <math>|e^{-is_1x}-e^{-is_2x}|\leq |x||s_1-s_2|</math>
**כיוון ש<math>|x|\leq R</math> והפונקציה <math>f</math> חסומה בתחום זה, עבור <math>|s_1-s_2|</math> מספיק קטן נקבל את הדרוש.

*רשימת תכונות נוספות של ההתמרה:
*<math>\mathcal{F}[f+a\cdot g] = \mathcal{F}[f]+a\mathcal{F}[g]</math>
*<math>\mathcal{F}[f](-s) = \overline{\mathcal{F}[f](s)}</math>
*אם <math>f</math> ממשית וזוגית, גם <math>\mathcal{F}[f](s)</math> ממשית וזוגית.

*הזזה במרחב הזמן:
*אם <math>g(x)=f(ax+b)</math>, אזי <math>\mathcal{F}(g)(s) = \frac{1}{|a|}e^{\frac{isb}{a}}\mathcal{F}[f](\frac{s}{a})</math>
*אם <math>a=1</math> אז נקבל שהזזה במרחב הזמן שקולה לסיבוב במרחב התדר (כפל ב<math>e^{isb}</math> משנה את הזוית).

*הזזה במרחב התדר:
*<math>\mathcal{F}[e^{ibx}f(x)](s) = \mathcal{F}[f](s-b)</math>
*באופן דומה, קיבלנו שסיבוב בזמן שקול להזזה בתדר.

*התמרת הנגזרת:
*נניח <math>f,f'\in G</math> ונניח כי <math>f'</math> רציפה ומתקיים כי <math>\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=0</math>, אזי:
*<math>\mathcal{F}[f'](s)=is\mathcal{F}[f](s)</math>
**הוכחה:
**<math>\mathcal{F}[f'](s) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f'(x)e^{-isx}dx</math>
**נבצע אינטגרציה בחלקים ונקבל כי
**<math>\mathcal{F}[f'](s) = \frac{1}{2\pi}(fe^{-isx})_{-\infty}^{\infty} + \frac{is}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-isx}dx</math>.
**כיוון ש<math>e^{-isx}</math> חסומה, יחד עם הנתון נובע כי <math>(fe^{-isx})_{-\infty}^{\infty}=0</math>.
**לכן סה"כ קיבלנו כי <math>\mathcal{F}[f'](s)=is\mathcal{F}[f](s)</math>

*נגזרת ההתמרה:
*תהי <math>f\in G</math> רציפה כך ש<math>xf(x)\in G</math> אזי:
*<math>\mathcal{F}[xf(x)](s)=i\frac{d}{ds}\mathcal{F}[f](s)</math>
**הוכחה:
**<math>i\frac{d}{ds}\mathcal{F}[f](s) = i \frac{d}{ds} \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-isx}dx = \frac{i}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\frac{d}{ds}e^{-isx}dx = \frac{-i^2}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)e^{-isx} = \mathcal{F}[xf(x)](s)</math>
**אנחנו צריכים להצדיק את ההכנסה של הנגזרת אל תוך האינטגרל:
***נסמן <math>F_n(s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-n}^{n} f(x)e^{-isx}dx</math>
***ברור ש<math>F_n(s)\to F(s)</math>, נוכיח שסדרת הנגזרות מתכנסת במ"ש ולכן מתכנסת לנגזרת של <math>F(s)</math>.
***עבור אינטגרל סופי מותר להחליף את סדר הנגזרת והאינטגרל בזכות פוביני.
***אכן <math>F_n'(s)</math> מתכנסות במ"ש כיוון שהאינטגרל <math>\int_{-\infty}^\infty |xf(x)|dx</math> מתכנס, והרי <math>|xf(x)e^{-isx}|=|xf(x)|</math> ואכן אינו תלוי בs.

====דוגמאות====

*ראינו כי <math>\mathcal{F}[e^{-|x|}](s) = \frac{1}{\pi(1+s^2)}</math>
*לכן על ידי הזזה בזמן נקבל כי:
**<math>\mathcal{F}[e^{-|1-2x|}](s) = \frac{e^{\frac{-is}{2}}}{2\pi (1+(-\frac{s}{2})^2)}</math>

*נסמן <math>F(s)=\mathcal{F}[e^{-x^2}]</math>.
*כעת <math>\mathcal{F}[xe^{-x^2}] = iF'</math> לפי הנוסחא של נגזרת ההתמרה.
*מצד שני, <math>\mathcal{F}[-2xe^{-x^2}] = isF</math> לפי הנוסחא של התמרת הנגזרת.
*ביחד נקבל כי <math>isF = -2iF'</math>, ולכן <math>sF=-2F'</math>.
*נפתור את המד"ר:
**נכפול בגורם אינטגרציה <math>\frac{1}{2}e^{\frac{s^2}{4}}</math> ונקבל <math>(e^{\frac{s^2}{4}}F)'=0</math>
**לכן <math>F=Ce^{-\frac{s^2}{4}}</math>
**נציב <math>s=0</math>
**<math>2\pi C=F(0)=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx </math>, נחשב אינטגרל מפורסם זה בהמשך.

==הרצאה 8 - התמרה הפוכה==

*בטורי פורייה, מקדמי הפורייה היו האמפליטודות של התדרים, וכאשר סכמנו את הגלים קיבלנו חזרה את הפונקציה לפי משפט דיריכלה.
*כעת התדרים שלנו הם כל הממשיים, ולכן הסכימה שלהם היא בעצם אינטגרל.
*האמפליטודה של כל תדר מרוכב <math>e^{isx}</math> היא התמרת הפורייה <math>F(s)</math>, ולכן אנחנו מצפים לקבל:
**<math>f(x)=\int_{-\infty}^\infty F(s)e^{isx}ds=\mathcal{F}^{-1}[F](x)</math>

*משפט ההתמרה ההפוכה:
**תהי <math>f\in G</math>, אזי בכל נקודה בה קיימות הנגזרות החד צדדיות מתקיים כי:
**<math>\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}=\lim_{n\to\infty}\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds</math>
**שימו לב שהאינטגרל <math>\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds</math> לא חייב להתכנס, אבל אם הוא מתכנס הוא שווה לגבול לעיל.

===דוגמא===

*ראינו ש<math>\mathcal{F}[e^{-x^2}] = Ce^{-\frac{s^2}{4}} =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}e^{-isx}dx</math>
*כיוון ש<math>e^{-x^2}</math> רציפה וגזירה, וכיוון ש <math>e^{-\frac{s^2}{4}}\in G</math> לפי משפט ההתמרה ההפוכה נקבל כי:
**<math>\mathcal{F}^{-1}[Ce^{-\frac{s^2}{4}}](x) = e^{-x^2}</math>
*כלומר <math>e^{-x^2}=\int_{-\infty}^\infty Ce^{-\frac{s^2}{4}}e^{isx}ds </math>
*נציב <math>t=\frac{s}{2}</math> ונקבל:
**<math>e^{-x^2} = 2C\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2}e^{-i(-2x)t}dt = 2C\cdot 2\pi Ce^{-\frac{(-2x)^2}{4}}</math>
*ולכן <math>4C^2\pi = 1</math>, ומכאן <math>C=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}</math>

*נזכור בנוסף שראינו כי <math>2\pi C = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx</math>.
*לכן נובע כי <math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}</math>

===דוגמא===
*נביט ב<math>f(x)=\begin{cases}1 & |x|<1 \\ 0 & |x|>1\end{cases}</math>
*<math>\mathcal{F}[f](s) = \frac{sin(s)}{\pi s}</math>
*<math>\lim \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}} \frac{sin(s)}{\pi s}e^{is}ds = \frac{1}{2}</math> (הצבנו x=1, הנקודה בה f אינה רציפה).

===הקדמה לקראת הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה===

*כעת נוכיח מספר טענות הדרושות לנו לצורך הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה.

====למת רימן-לבג====
*ראינו גרסא של למת רימן-לבג עבור טורי פוריה, לפי מקדמי הפורייה שואפים לאפס.
*כעת ננסח ונוכיח גרסא עבור התמרות פורייה:

*תהי <math>f\in G</math>, אזי <math>\lim_{s\to\pm\infty}\mathcal{F}[f](s)=0</math>
*(כלומר, האמפליטודות שואפות לאפס כאשר התדר שואף לאינסוף)

*נוכיח את הלמה:

*צ"ל כי<math>\lim_{s\to\pm\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx =0</math>
*נשים לב כי <math>e^{-isx}=\cos(sx)-i\sin(sx)</math>.
*לכן מספיק לנו להוכיח כי <math>\lim_{s\to\pm\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(sx)dx =0</math> (ההוכחה עבור סינוס דומה).
*כיוון ש<math>f\in G</math> האינטגרל <math>\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx</math> מתכנס.
*לכן קיים <math>M</math> עבורו <math>\int_{|x|>M}|f(x)|dx<\frac{\varepsilon}{2}</math>.
*לכן <math>|\int_{|x|>M}f(x)\cos(sx)dx|\leq \int_{|x|>M}|f(x)|dx < \frac{\varepsilon}{2}</math>
*לכן מספיק לנו להוכיח כי עבור <math>|s|</math> מספיק גדול מתקיים <math>|\int_{-M}^{M}f(x)\cos(sx)dx| < \frac{\varepsilon}{2}</math>
*(עבור <math>M=\pi</math> ו<math>s\in\mathbb{N}</math> כבר הוכחנו טענה זו בעזרת פרסבל, כעת נשתמש בשיטות אחרות.)

*נשים לב כי בכל קטע מתקיים:
**<math>\lim_{s\to\pm\infty}\int_{x_1}^{x_2}\cos(sx)dx = \lim_{s\to\pm\infty}\frac{\sin(sx_2)-\sin(sx_1)}{s}=0</math>
*כיוון ש<math>f</math> רציפה למקוטעין היא אינטגרבילית ב<math>[-M,M]</math>.
*לכן ניתן לבחור פונקצית מדרגות <math>h</math> עבורה מתקיים <math>\int_{-M}^M |f-h|dx < \frac{\varepsilon}{4}</math> (האינטגרל על פונקצית המדרגות הינו סכום דרבו תחתון מספיק קרוב).
*כמו כן מתקיים:
**<math>\int_{-M}^Mh\cos(sx)dx = \sum \int_{x_{i-1}}^{x_i}m_i\cos(sx)dx</math>
**כיוון שמדובר בסכום סופי של ביטויים ששואפים לאפס, הסכום גם שואף לאפס.
*סה"כ <math>\int_{-M}^{M}f(x)\cos(sx)dx = \int_{-M}^{M}(f(x)-h(x))\cos(sx)dx + \int_{-M}^{M}h(x)\cos(sx)dx</math>
**מתקיים כי <math>|\int_{-M}^{M}(f(x)-h(x))\cos(sx)dx|\leq \int_{-M}^{M}|f(x)-h(x)|dx < \frac{\varepsilon}{4}</math>
**עבור <math>|s|</math> מספיק גדול מתקיים כי <math>|\int_{-M}^{M}h(x)\cos(sx)dx|< \frac{\varepsilon}{4}</math>

*סה"כ קיבלנו כי עבור <math>|s|</math> מספיק גדול מתקיים <math>|\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cos(sx)sx|<\varepsilon</math>

====טענת עזר====
*תהי <math>f\in G</math> ותהי x נק' בה הנגזרות החד צדדיות קיימות, אזי:
:<math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\pi}\int_0^{\infty} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^+)}{2}</math>
:<math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{0} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^-)}{2}</math>

*נוכיח את הטענה הראשונה, הטענה השנייה דומה.

*נגדיר את הפונקציה <math>g(t)=\begin{cases}\frac{f(x+t)}{t}& x\in [\pi,\infty)\\ 0 & x\in (-\infty,\pi)\end{cases}</math>
*כיוון ש<math>f\in G</math> נובע שגם <math>g\in G</math> הרי <math>\left|\frac{f(x+t)}{t}\right|\leq |f(x+t)|</math> עבור <math>t>\pi</math>.
*לכן לפי למת רימן-לבג נובע כי <math>\lim_{s\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin(st)dt = 0</math>
*בפרט מתקיים גבול הסדרה:
**<math>\lim_{n\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)dt =0</math>
*אבל <math>\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)dt = \int_\pi^\infty \frac{f(x+t)}{t}\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)dt</math>

*לכן נותר להוכיח כי <math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^+)}{2}</math>
*נגדיר את הפונקציה <math>h(t)=f(x+t)\frac{2\sin(\frac{t}{2})}{t}</math>.
**אם נתקן את אי הרציפות הסליקה של <math>\frac{2\sin(\frac{t}{2})}{t}</math> נקבל טור טיילור שגזיר אינסוף פעמים.
**לכן הפוקנציה <math>h</math> רציפה למקוטעין ובעלת נגזרות חד צדדיות קיימות.
*כעת נשים לב כי:
**<math>\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} h(t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}dt
= \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} h(t)D_n(t)dt</math>
**לפי ההוכחה של משפט דיריכלה להתכנסות טורי פורייה, הגבול של הביטוי הזה שווה ל<math>\frac{h(0^+)}{2} = \frac{f(x^+)}{2}</math>.

=====דוגמא=====
*טענה:
:<math>\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx = \frac{\pi}{2}</math>

*הוכחה:
**ראשית, אנו יודעים כי האינטגרל מתכנס לפי מבחן דיריכלה לאינטגרלים לא אמיתיים.
**לכן מתקיים כי <math>\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx =\lim_{n\to\infty} \int_0^{(n+\frac{1}{2})\pi}\frac{\sin(x)}{x}dx</math>
**נבצע הצבה <math>t=\frac{x}{n+\frac{1}{2}}</math> ונקבל כי:
***<math>\int_0^{(n+\frac{1}{2})\pi}\frac{\sin(x)}{x}dx = \int_0^\pi \frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt</math>
**עבור <math>f(x)=1</math>, לפי הוכחת טענת העזר נקבל כי הגבול הוא <math>\frac{\pi}{2}</math>

===הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה===
*<math>\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds = \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\left[\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{-isy}dy\right]e^{isx}ds=</math>
*<math>=\frac{1}{2\pi} \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dyds</math>
*נחליף את סדר האינטגרציה (הצדקה בהמשך), ונקבל:
*<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}f(y)e^{is(x-y)}dsdy =</math>
*<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y) \left[\frac{e^{is(x-y)}}{i(x-y)}\right]_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}} dy =</math>
*<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y) \frac{2\sin\left((n+\frac{1}{2})(x-y)\right)}{(x-y)} dy</math>
*נציב <math>t=y-x</math> ונקבל:
*<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x+t) \frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}</math>
כאשר המעבר האחרון הוא בזכות טענת העזר לעיל.

====הצדקת החלפת סדר האינטגרציה====

*נביט בסדרה <math>u_k(s)=\int_{-k}^k f(y)e^{is(x-y)}dy</math>, שמתכנסת כמובן ל<math>\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dy</math>
*מתקיים כי <math>|\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dy - u_k(s)| \leq \int_{|y|>k} |f(y)e^{is(x-y)}|dy = \int_{|y|>k} |f(y)|dy\to 0</math>
**(נתון כי <math>f\in G</math>)
*לכן הסדרה מתכנסת במ"ש ומותר לבצע אינטגרציה איבר איבר:
**<math>\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dyds = \lim_{k\to\infty} \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}} u_k(s)ds</math>
**לפי פוביני מותר לנו להחליף את סדר האינטגרציה ונקבל כי
**<math>\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dyds = \lim_{k\to\infty} \int_{-k}^k \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}f(y)e^{is(x-y)}dsdy = \int_{-\infty}^\infty \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}f(y)e^{is(x-y)}dsdy</math>
**שימו לב שהאינטגרל הלא אמיתי אכן מתכנס (כפי שהוכחנו לעיל) ולכן שווה לגבול.

==הרצאה 9 - קונבולוציה, משוואת החום על מוט אינסופי==

*תהיינה <math>f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{C}</math> פונקציות, נגדיר את ה'''קונבולוציה''' ביניהן להיות:
**<math>f*g(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y)dy</math>.

*מוטיבציה לדוגמא:
**אם <math>f,g</math> הן פונקציות צפיפות של משתנים מקריים, מהי פונקציית הצפיפות של סכום המשתנים?
**הסיכוי שסכום המשתנים יהיה x, הוא סכום מכפלות הסיכויים שמשתנה אחד יהיה שווה y והשני יהיה שווה x-y.

*הקונבולוציה היא אבלית:
**<math>g*f = \int_{-\infty}^\infty g(x-y)f(y)dy = \{t=x-y,dt=-dy\} = \int_{-\infty}^\infty g(t)f(x-t)dt = f*g</math>

*שימו לב: בנושא זה נבצע החלפת סדר אינטגרציה, אך לא נצדיק החלפה זו כיוון שהיא דורשת העמקה רבה.
*ניתן להעמיק ע"י קריאה בספר Fourier Analysis של T.W.Korner

*משפט הקונבולוציה:
*תהיינה <math>f,g\in G</math> רציפות וחסומות אזי <math>\mathcal{F}[f*g] = 2\pi \cdot \mathcal{F}[f] \cdot \mathcal{F}[g]</math>

*הסבר המשפט (לא הוכחה מלאה, כיוון שאנו מחליפים סדר אינטגרציה ללא הצדקה):
:<math>\mathcal{F}[f*g] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \left[\int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y)dy\right]e^{-isx}dx = </math>
:<math>= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x-y)e^{-is(x-y)}g(y)e^{-isy}dydx =</math>
:<math>= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x-y)e^{-is(x-y)}g(y)e^{-isy}dxdy =</math>
:<math>= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \left[\int_{-\infty}^\infty f(x-y)e^{-is(x-y)}dx\right] g(y)e^{-isy}dy =</math>
:<math>= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \left[\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-ist}dt\right] g(y)e^{-isy}dy =</math>
:<math>= 2\pi\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-ist}dt\right) \cdot \left( \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty g(y)e^{-isy}dy\right) =2\pi \cdot \mathcal{F}[f] \cdot \mathcal{F}[g]</math>

===משוואת החום על מוט אינסופי===

*אם פונקצית החום על מוט אינסופי היא <math>u(x,t)</math>, היא מקיימת את המשוואה <math>u_t-ku_{xx}=0</math>.
*נניח גם כי תנאי ההתחלה הם <math>u(x,0)=f(x)</math> (זה החום בכל נקודה במוט בזמן 0).

*נבצע התמרת פורייה של הפתרון לפי המשתנה x:
:<math>U(s,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} u(x,t)e^{-isx}dx</math>
*נגזור לפי המשתנה t:
:<math>U_t(s,t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} u_t(x,t)e^{-isx}dx</math>
*(נניח כי הפתרון מקיים את התנאים שמאפשרים להחליף את סדר הגזירה והאינטגרציה, לא נרחיב על כך בהמשך)
*כיוון ש<math>u_t-ku_{xx}=0</math> נקבל כי:
:<math>U_t(s,t) = \frac{k}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} u_{xx}(x,t)e^{-isx}dx</math>
*נזכר בנוסחאת התמרת הנגזרת <math>\mathcal{F}[f']=is\mathcal{F}[f]</math>
*ולכן נקבל כי:
:<math>U_t(s,t) = -s^2 \frac{k}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty u(x,t)e^{-isx}dx = -ks^2 U(s,t)</math>
*זו מד"ר פשוטה שפתרונה הוא:
:<math>U(s,t) = A(s)e^{-ks^2 t}</math>

*נציב את תנאי ההתחלה <math>t=0</math> ונקבל כי
:<math>A(s) = U(s,0) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} u(x,0)e^{-isx}dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-isx}dx = \mathcal{F}[f]</math>
*לכן בעצם מתקיים כי <math>U(s,t)= F(s)e^{-ks^2 t}</math>
*קיבלנו שההתמרה של הפתרון היא מכפלה של שתי התמרות, ולכן הפתרון הוא הקונבולוציה של שתי הפונקציות המקוריות.

*נחפש את ההתמרה ההפוכה של <math>e^{-ks^2 t}</math>
*נזכור כי <math>\mathcal{F}[e^{-x^2}] = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} e^{-\frac{s^2}{4}}</math>
:<math>\mathcal{F}^{-1}[e^{-ks^2 t}]=\int_{-\infty}^\infty e^{-ks^2 t}e^{isx}ds = \{s=\frac{u}{2\sqrt{kt}}\}=</math>
:<math>=\frac{1}{2\sqrt{kt}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{u^2}{4}}e^{iu(\frac{x}{2\sqrt{kt}})}du = \frac{2\sqrt{\pi}}{2\sqrt{kt}} \mathcal{F}^{-1}[\frac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-\frac{u^2}{4}}](\frac{x}{2\sqrt{kt}}) = \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{kt}}e^{-\frac{x^2}{4kt}}</math>
*נסמן פונקציה זו ב<math>p(x,t)=\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{kt}}e^{-\frac{x^2}{4kt}}</math>

*לכן עבור פתרון מד"ח החום u מתקיים כי:
:<math>\mathcal{F}[u] = \mathcal{F}[f]\cdot \mathcal{F}[p]</math>
*ולכן לפי משפט הקונבולוציה מתקיים כי
:<math> u(x,t) = \frac{1}{2\pi} f*p(x,t)</math>
*שימו לב שהקונבולוציה היא לפי המשתנה x.
*לכן
:<math>u(x,t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y)p(x-y,t)dy = \frac{1}{2\sqrt{\pi kt}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{-\frac{(x-y)^2}{4kt}}dy</math>

*שימו לב שבפתרון הסופי מופיעה פונקצית תנאי ההתחלה, ואין צורך לחשב את ההתמרה שלה.

==הרצאה 10 - משפט הדגימה של שנון==
===משפט הדגימה של שנון===
*תהי פונקציה f. ברור שבהנתן הערכים של f על השלמים <math>f(0),f(\pm 1),f(\pm 2),...</math> לא ניתן להסיק כלום על ערכיה האחרים (אפילו אם היא רציפה וגזירה).
*בפרט אם נדגום באופן דומה את הפונקציה <math>sin(x)</math> בנקודות <math>2\pi n</math> אנחנו עשויים לחשוד שהיא קבועה לחלוטין.
*מה יקרה אם נדגום גל בקצב מהיר יותר מהתדר שלו?
*במילים פשוטות, משפט הדגימה של שנון אומר שבהנתן פונקציה שהתדרים שלה חסומים, אם נדגום אותה בקצב מהיר פי 2 מהתדר המקסימלי שלה, נוכל לשחזר אותה לחלוטין.
*כעת ננסח את המשפט במדויק, יחד עם ניסוח התנאים הנחוצים על הפונקציות.

*עד כה דיברנו על תדר כמדד לקצב בו הפונקציה חוזרת על עצמה, כעת נגדיר אותו במדויק:
*בהנתן פונקציה עם מחזור <math>t</math> נגדיר את התדר של המחזור להיות <math>\frac{1}{t}</math>.
*דוגמאות:
**התדר של <math>\sin(x)</math> הוא <math>\frac{1}{2\pi}</math>
**התדר של <math>\sin(\pi x)</math> הוא <math>\frac{1}{2}</math>
**באופן כללי, התדר של <math>sin(\pi t x)</math> הוא <math>\frac{t}{2}</math> כיוון ש <math>\sin(\pi t(x+\frac{2}{t})) = \sin(\pi t x)</math>
**התדר של <math>e^{isx}</math> הוא <math>\frac{|s|}{2\pi}</math> כיוון ש <math>e^{is(x+\frac{2\pi}{|s|})} = e^{isx\pm i2\pi} =e^{isx}</math>

*משפט הדגימה של שנון:
*תהי <math>f\in G</math> רציפה ובעלת נגזרת חד צדדיות הקיימות בכל נקודה, שתדריה חסומים על ידי <math>t</math>, אזי בהנתן דגימה שלה בתדר <math>2t</math> ניתן לשחזר אותה בכל הממשיים (כלומר היא נקבעת באופן יחיד על ידי הדגימות).
*שימו לב: הכוונה בכך שתדריה של הפונקציה חסומים, היא למעשה ש<math>\mathcal{F}[f](s)=0</math> לכל <math>\frac{|s|}{2\pi}>t</math>.

====הוכחת משפט הדגימה====
*כיוון שהתמרת הפורייה מתאפסת מחוץ לקטע <math>[-2\pi t,2\pi t]</math>, ניתן לקבוע כי
:<math>\int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds = \int_{-2\pi t}^{2\pi t}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds</math>
*ובפרט האינטגרל מתכנס.
*לפי משפט ההתמרה ההפוכה, נובע כי <math>f(x)= \int_{-2\pi t}^{2\pi t}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds</math>

*כעת, נתונה לנו סדרת הדגימות בתדר <math>2t</math>:
:<math>c_n = f\left(\frac{n}{2t}\right), n\in\mathbb{Z}</math>
*נציב אותן בנוסחא שמצאנו לעיל:
:<math>c_n = \int_{-2\pi t}^{2\pi t}\mathcal{F}[f](s)e^{is\left(\frac{n}{2t}\right)}ds</math>
*נבצע הצבה <math>\frac{s}{2t}=-x</math> ונקבל:
:<math>c_n = \int_{-\pi}^\pi \mathcal{F}[f](-2tx)e^{-inx}dx</math>
*אבל אלה בדיוק מקדמי פוריה (פרט לקבוע <math>\frac{1}{2\pi}</math>) של הפונקציה <math>\mathcal{F}[f](-2tx)</math>.
*כיוון שההתמרה חסומה בתדר, עבור <math>|x|\geq \pi</math> מתקיים כי <math>\mathcal{F}[f](-2tx)=0</math> (זכרו כי ההתמרה רציפה, ולכן מתאפסת גם בקצוות).
*לכן <math>\mathcal{F}[f](-2tx)</math> נקבעת על ידי ערכיה בקטע <math>(-\pi,\pi)</math>, והם נקבעים באופן יחיד על ידי מקדמי הפורייה (מסקנה מפרסבל).
*לבסוף, כפי שראינו לעיל, הפונקציה f נקבעת באופן יחיד על ידי ההתמרה (בזכות משפט ההתמרה ההפוכה).

====הערות====
*שימו לב שלא ניתן באופן פרקטי לדגום אות אנלוגי באינסוף נקודות.
*מה יקרה אם נדגום במספר סופי של נקודות ונניח כי הפונקציה ממשיכה באופן מחזורי?
*נקבל פונקציה שאינה שייכת ל<math>G</math>, כיוון שהאינטגרל שלה לא יכול להתכנס בכל הממשיים.
*בהמשך, נראה אנלוגיה למשפט הדגימה של שנון בהתמרת פורייה הבדידה.

==הרצאה 11 - התמרת פורייה הבדידה==

===DFT - Discrete Fourier transform===

*תהי סדרת נקודות <math>a_0,...,a_{N-1} \in \mathbb{C}</math>, התמרת הפורייה הבדידה שלה היא סדרת הנקודות <math>A_0,...,A_{N-1}\in\mathbb{C}</math> המוגדרת ע"י:
:<math>A_n = \sum_{k=0}^{N-1} a_k e^{-2\pi i n\frac{k}{N}} </math>

*שימו לב שכמות הפעולות הנדרשות לחישוב ההתמרה באופן ישיר היא סדר גודל של <math>N^2</math>.
*התמרת פורייה המהירה (FFT) מבצעת את אותו חישוב בכמות פעולות בסדר גודל של <math>N\log(N)</math>.

====משמעות ההתמרה====

*תהי פונקציה f. נדגום ממנה <math>N</math> נקודות בתדר <math>t</math>, כלומר נתון לנו:
:<math>f(0),f(\frac{1}{t}),f(\frac{2}{t}),...,f(\frac{N-1}{t})</math>
*נסמן נקודות אלה ב<math>a_k=f(\frac{k}{t})</math>

*אנו רוצים לפרק אותה לסכום של גלים:
:<math>f(x)=B_0e^{2\pi i \cdot 0\cdot\frac{t}{N}x}+ B_1e^{2\pi i \cdot 1\cdot\frac{t}{N}x}+B_2e^{2\pi i \cdot 2\cdot\frac{t}{N}x}+...+B_{N-1}e^{2\pi i \cdot (N-1)\cdot\frac{t}{N}x}</math>
*כיוון שהתדר של <math>e^{isx}</math> הוא <math>\frac{|s|}{2\pi}</math> נובע כי הגלים הללו הם בתדרים <math>0,\frac{t}{N},\frac{2t}{N},...,\frac{(N-1)t}{N}</math>
*שימו לב - ככל שנדגום יותר נקודות נקבל יותר מגוון של תדרים. מצד שני, נביט בחלון זמן יותר ארוך ונפספס שינויי תדרים מהירים יותר.

*נוכיח שפירוק זה תמיד אפשרי כך שיהיה שיוויון בכל נקודות הדגימה, ונקשר בין סדרת המקדמים להתמרת הפורייה של נקודות הדגימה.

*נביט בפונקצית הגל <math>u_n(x)=e^{2\pi i n\frac{t}{N}x}</math>.
*נציב בה את נקודות הדגימה ונקבל את הוקטור המרוכב:
:<math>v_n= \left(u_n(0),u_n(\frac{1}{t}),...,u_n(\frac{N-1}{t})\right) = \left( 1,e^{2\pi i n \frac{1}{N}},e^{2\pi i n \frac{2}{N}},...,e^{2\pi i n \frac{N-1}{N}} \right)</math>
*נציב בפונקציה הנתונה f את נקודות הדגימה ונקבל את הוקטור המרוכב:
:<math>v=\left(f(0),f(\frac{1}{t}),f(\frac{2}{t}),...,f(\frac{N-1}{t})\right) = (a_0,...,a_{N-1})</math>
*לכן אנו מעוניינים בפתרון למשוואה:
:<math>v=B_0v_0+...+B_{N-1}v_{N-1}</math>
*זה בדיוק אומר שהפירוק של הפונקציה לגלים מתקיים בכל נקודות הדגימה:
:<math>f(\frac{k}{t}) = B_0u_0(\frac{k}{t})+...+B_{N-1}u_{N-1}(\frac{k}{t})</math>

*נבחן את הקבוצה <math>\{v_0,...,v_{N-1}\}</math>.
:<math>\langle v_n,v_n\rangle = v_n^t \overline{v_n} = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i n \frac{k}{N}}\cdot e^{-2\pi i n \frac{k}{N}}= 1+1+...+1= N</math>
*עבור <math>n\neq m</math>:
:<math>\langle v_n,v_m\rangle = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i n \frac{k}{N}}\cdot e^{-2\pi i m \frac{k}{N}} = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i (n-m) \frac{k}{N}}</math>
*אבל זה בדיוק סכום סדרה הנדסית <math>1+q+...+q^{N-1}</math> עבור <math>q=e^{2\pi i (n-m)\frac{1}{N}}</math>
*שימו לב ש<math>\frac{|n-m|}{N}<1</math> ולכן <math>q\neq 1</math>.
*כמו כן, שימו לב ש<math>q^N = e^{2\pi i (n-m)}=1</math>
*לכן לפי הנוסחא לסכום סדרה הנדסית נקבל כי:
:<math>\langle v_n,v_m\rangle = \frac{1-q^N}{1-q}=0</math>
*כלומר גילינו כי <math>\{v_0,...,v_{N-1}\}</math> קבוצה אורתוגונלית (לא אורתונורמלית) ומהווה בסיס.
*לכן ניתן בקלות לחשב את המקדמים <math>B_n = \frac{\langle v,v_n\rangle}{N}</math>

*לבסוף, נשים לב כי:
:<math>\langle v,v_n\rangle = \sum_{k=0}^{N-1} a_k e^{-2\pi i n \frac{k}{N}} = A_n</math>
*כלומר <math>B_n = \frac{A_n}{N}</math>

====התמרת פורייה הבדידה ההפוכה====
*מכאן גם ניתן להסיק ישירות את התמרת פורייה ההפוכה, שמחזירה את סדרת המקדמים <math>A_n</math> לסדרת הדגימות <math>a_n</math>.
:<math>v=\frac{1}{N}(A_0v_0+...+A_{N-1}v_{N-1})</math>
*ולכן:
:<math>a_n = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} A_k e^{2\pi i k \frac{n}{N}}</math>

====מסקנות לגבי גלים ממשיים====
*פירקנו את הפונקציה לסכום של גלים מרוכבים בנקודות הדגימה, האם ניתן להשתמש בהתמרה על מנת לקבל פירוק לגלים ממשיים?

*ראשית, נשים לב לתופעה הבאה:
:<math>v_{N-n} = (1,e^{2\pi i (N-n) \frac{1}{N}},...,e^{2\pi i (N-n) \frac{N-1}{N}}) = (1,e^{2\pi i (N-n) \frac{1}{N} - 2\pi i },...,e^{2\pi i (N-n) \frac{N-1}{N} - 2\pi i (N-1)})</math>
*(השיוויון נכון בזכות המחזוריות)
*ולכן נקבל:
:<math>v_{N-n} = (1, e^{2\pi i (\frac{(N-n)}{N} - 1)},...,e^{2\pi i (N-1)(\frac{(N-n)}{N} - 1)}) = v_{-n}</math>

*כלומר פירוק הפונקציה לגלים <math>u_0,u_1,...,u_{N-1}</math> נותן את אותם המקדמים כמו פירוק הפונקציה לגלים <math>u_0,u_1,u_{-1},...</math>.
*כאשר המקדם של <math>u_{-n}</math> שווה למקדם של <math>u_{N-n}</math>.
*שימו לב שזה לא פירוק של הפונקציה לסכום הגלים בכל הממשיים, אלא רק בנקודות הדגימה.

*לדוגמא:
*נניח שיש לנו 5 דגימות של f.
*אם נפרק את f לגלים <math>u_0,u_1,...,u_5</math> נקבל <math>v=B_0v_0+...+B_4v_4</math>
*אם נפרק את f לגלים <math>u_{-2},u_{-1},u_0,u_1,u_2</math> נקבל <math>v=B_3v_{-2},B_4v_{-1}+B_0v_0+B_1v_1+B_2v_2</math>
*במצב זה, אם דגמנו בתדר <math>t</math> נקבל את התדרים <math>0,\frac{t}{5},\frac{2t}{5}</math> שזה מתאים למשפט הדגימה של שנון (טווח התדרים של הפונקציה הוא עד חצי מתדר הדגימה).

*עבור n ספציפי מתקיים כי:
:<math>B_ne^{2\pi i n \frac{t}{N}x} + B_{N-n}e^{-2\pi i n \frac{t}{N}x} = (B_n+B_{N-n}) \cos (2\pi n \frac{t}{N}x) + i(B_n-B_{N-n})sin(2\pi n \frac{t}{N}x)</math>
*מהצבה ישירה של הנוסחאות שמצאנו ניתן לראות שאם f ממשית אזי <math>B_n+B_{N-n}</math> וגם <math>i(B_n-B_{N-n})</math> הם ממשיים.
*כלומר הצלחנו לפרק את f לסכום של גלים ממשיים עם מקדמים ממשיים.

*הערה: אם N זוגי, אז הגל <math>u_{\frac{N}{2}}</math> נותר בודד.
*לדוגמא עבור <math>N=4</math> נקבל במקום הגלים <math>u_0,u_1,u_2,u_3</math> את <math>u_{-1},u_0,u_1,u_2</math>
*נשים לב כי במקרה זה <math>v_{\frac{N}{2}}</math> הוא וקטור ממשי (ולכן גם המקדם שלו ממשי) כיוון שהsin מתאפס בכל נקודות הדגימה.

===עיבוד תמונה===

[https://fft.math-wiki.com/ דוגמא לשימוש בעיבוד תמונה]

מד"ר - משוואות דיפרנציאליות רגילות - ארז שיינר

2025-12-25T08:40:40Z

ארז שיינר: /* תכונות התמרת לפלס */

[[88-240 משוואות דיפרנציאליות רגילות]]

=מבחנים לדוגמא=
*[[מדיה:18EngODEExmpTest1.pdf|מבחן לדוגמא 1]], [[מדיה:18EngODEExmpTest1Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:18EngODEExmpTest2.pdf|מבחן לדוגמא 2]], [[מדיה:18EngODEExmpTest2Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:18EngODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ח]], [[מדיה:18EngODETestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:18EngODETestB.pdf|מבחן מועד ב' הנדסה תשע"ח]], [[מדיה:18EngODETestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' הנדסה תשע"ח]]
*[[מדיה:19ODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ט]], [[מדיה:19ODETestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:19ODETestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ט]], [[מדיה:19ODETestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' תשע"ט]]
*[[מדיה:21ODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"א]], [[מדיה:21ODETestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשפ"א]]
*[[מדיה:21ODETestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"א]], [[מדיה:21ODETestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' תשפ"א]]
*[[מדיה:22ODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"ב]], [[מדיה:22ODETestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשפ"ב]]
*[[מדיה:22ODETestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"ב]], [[מדיה:22ODETestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' תשפ"ב]]
*[[מדיה:23ODEQuiz.pdf|בוחן תשפ"ג]], [[מדיה:23ODEQuizSol.pdf|פתרון בוחן תשפ"ג]]
*[[מדיה:23ODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"ג]], [[מדיה:23ODETestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשפ"ג]]
*[[מדיה:23ODETestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"ג]], [[מדיה:23ODETestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' תשפ"ג - שימו לב יש טעויות חישוב בפתרון שאלות 4,5]]
*[[מדיה:23EngODEQuiz.pdf|בוחן הנדסה תשפ"ג]], [[מדיה:23EngODEQuizSol.pdf|פתרון בוחן הנדסה תשפ"ג]]
*[[מדיה:23EngODETestA.pdf|מבחן מועד א' הנדסה תשפ"ג]], [[מדיה:23EngODETestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:23EngODETestB.pdf|מבחן מועד ב' הנדסה תשפ"ג]], [[מדיה:23EngODETestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:25ODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"ה]], [[מדיה:25ODETestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:25ODETestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"ה]], [[מדיה:25ODETestBSolAdi.pdf|הצעה לפתרון באדיבות עדי מכנס]]
*[[מדיה:25EngODEQuiz.pdf|בוחן הנדסה תשפ"ה]], [[מדיה:25EngODEQuizSol.pdf|פתרון]]

===מבחנים של מד"ר למדעי המוח===
*[[מדיה:23BSODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"ג]], [[מדיה:23BSODETestAPartialSol.pdf|פתרון חלקי מבחן מועד א' תשפ"ג]]
*[[מדיה:23BSODETestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"ג]], [[מדיה:23BSODETestBPartialSol.pdf|פתרון חלקי מבחן מועד ב' תשפ"ג]]

===עוד קצת מבחנים - מד"ר ואנליזה מתקדמת למורים===
[[הרחבת הסמכה למורים למתמטיקה - באר שבע/מחזור ה/סמסטר ב תשפ"א|שאלות 3,4,5 מהמבחנים הבאים]] (ברמה קצת יותר קלה)

=הרצאות=

[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hlMJrtihLjrl0d55Zk4Ggy6 פלייליסט של ההרצאות למחלקת מתמטיקה שנת תשפ"א]

==הרצאה 1 הקדמה ומשוואה פרידה==

*משוואה דיפרנציאלית מכילה את המשתנה, הפונקציה ונגזרותיה.
*בחקירת פונקציות, במציאת תחומי עלייה וירידה, אנו פותרים את המשוואה <math>f'(x)=0</math>. האם זו משוואה דיפרנציאלית?
*לא, כיוון שבמשוואות דיפרנציאלית אנו מחפשים פונקציה שמקיימת את המשוואה לכל ערך של המשתנה.
*כאן הפונקציה נתונה, ואנו מחפשים ערך של המשתנה שמקיים את המשוואה.

*המלצה: ניתן להעזר בספר המצויין על מד"ר של סמי זעפרני ב[https://samyzaf.com/technion/ode/ode.pdf קישור הבא].

*אפשר להציץ ב[https://en.wikisource.org/wiki/The_Mathematical_Principles_of_Natural_Philosophy_(1846) ספר הבא] שכתב סר אייזיק ניוטון על מנת לקבל רקע פיזיקלי מתאים.

===נפילה חופשית===
*גוף הנופל חופשית נופל בתאוצה שבקירוב היא קבועה <math>g=9.82</math>.
*נסמן ב<math>y(t)</math> את הגובה של הגוף (כאשר הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ)
*<math>v(t)=y'(t)</math> היא המהירות
*<math>a(t)=v'(t)=y''(t)</math> היא התאוצה.
*לכן על מנת לדעת את מיקומו של הגוף בכל נקודה בזמן, עלינו לפתור את המשוואה <math>a(t)=g</math>, הרי התאוצה קבועה.

*<math>y''(t)=g</math>
*לכן <math>y'(t)=gt+c_1</math>
*לכן <math>y(t)=\frac{g}{2}t^2+c_1t+c_2</math>

*כיצד נחשב את הקבועים? לפי תנאי ההתחלה.
*נסמן את הגובה ההתחלתי בתור 0 (נזכור כי הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ). ולכן <math>y(0)=0</math> ולכן <math>c_2=0</math>
*נניח כי המהירות ההתחלתית גם היא הייתה 0 ולכן <math>y'(0)=0</math> ולכן גם <math>c_1=0</math>.

===ריבית דריבית===
*נניח שסכום הכסף בבנק לאורך זמן מתואר על ידי הפונקציה <math>y(t)</math>.
*נניח שאנו מרוויחים תשואה של 2 אחוז בשנה, לכן לאחר שנה יתקיים כי <math>y(1)=y(0)+0.02\cdot y(0)</math>.
*אבל מה היה קורה אילו הבנק היה משלם את הריבית פעם בחצי שנה?
**בחצי השנה הראשונה נקבל מחצית מהריבית <math>y(\frac{1}{2})=y(0)+\frac{1}{2}\cdot 0.02\cdot y(0)</math>
**ובחצי השנה השנייה נקבל מחצית מהריבית, אך סכום הקרן שלנו כבר גדל <math>y(1)=y(\frac{1}{2})+\frac{1}{2}\cdot 0.02 \cdot y(\frac{1}{2})</math>
**סה"כ <math>y(1)=(1.01)^2\cdot y(0)</math>
*זה גדול יותר מהריבית השנתית, כיוון שצברנו ריבית על הקרן וגם על הריבית החצי שנתית.
*האם יש דרך להפוך את התהליך לרציף?
*כלומר, בהנתן שתי נקודות זמן קרובות אנו מעוניינים לקבל את הריבית היחסית על הזמן שעבר:
**<math>y(t_2)=y(t_1)+(t_2-t_1)\cdot 0.02 \cdot y(t_1)</math>
**נעביר אגף ונחלק <math>\frac{y(t_2)-y(t_1)}{t_2-t_2}=0.02\cdot y(t_1)</math>
*אם נשאיף <math>t_2\to t_1</math> נקבל כי <math>y'(t_1)=0.02\cdot y(t_1)</math>
*כלומר אנו מעוניינים בפונקציה שמקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית <math>y'=r\cdot y</math> כאשר <math>r</math> היא הריבית השנתית.

===המשוואה <math>y'=r\cdot y</math>===
*בהמשך הקורס נעסוק בשאלה האם למשוואה דיפרנציאלית יש פתרון, וכמה פתרונות יש למשוואה.
*מידי פעם נחזור ונפתור את המשוואה הזו בכלים שונים.
*כעת נשים לב כי:
*<math>y'-ry=0</math>
*<math>e^{-rt}(y'-ry)=0</math>
*<math>(e^{-rt}y)'=0</math>
*כיוון שהנגזרת שווה אפס הפונקציה קבועה <math>e^{-rt}y=C</math>
*סה"כ <math>y=Ce^{rt}</math>

*על מנת לחשב את הקבוע C עבור המקרה של ריבית דריבית, עלינו לדעת כמה כסף היה בחשבון בזמן t=0.
*שימו לב שלכל תנאי התחלה קיבלנו פתרון '''יחיד'''.

===סדר המד"ר===

*משוואה דיפרנציאלית נקראת '''מסדר''' n אם הנגזרת הגבוהה ביותר היא מסדר n.
**המשוואה <math>y''=g</math> היא משוואה מסדר שני.
**המשוואה <math>y'=ry</math> היא משוואה מסדר ראשון.

===משוואות פרידות===

*משוואה דיפרנציאלית נקראת פרידה אם היא מהצורה <math>y'=f(y)g(x)</math>.
*נהוג גם להחליף <math>y'=\frac{dy}{dx}</math> ולכן המשוואה תרשם כך <math>dy=f(y)g(x)dx</math>.
*לבסוף, אם נזהר עם חלוקה באפס, משוואה פרידה באופן כללי יכולה להיות מהצורה <math>f(y)g(x)dy +h(y)r(x)dx=0</math>, כלומר <math>y'=-\frac{h(y)r(x)}{f(y)g(x)}</math>.

*משוואות פרידות אנו יכולים לפתור באמצעות אינטגרלים באופן הבא:
*ראשית נפריד (ומכאן השם) את המשתנים לשני צידי המשוואה:
*<math>f(y)y'=g(x)</math>
*הקדומות של שני הצדדים שוות עד כדי קבוע.
*<math>\int f(y)y'dx=\{t=y(x),dt=y'dx\}=\int f(t)dt=F(y)</math>
*לכן ביחד נקבל <math>F(y)=G(x)+c</math>
*בעצם אנו מחשבים אינטגרלים לשני הצדדים <math>f(y)dy=g(x)dx</math>, כל אחד לפי המשתנה שלו!

*לדוגמא נפתור את המשוואה <math>y'=r\cdot y</math> כמשוואה פרידה.
*ראשית נפריד את המשתנים ונקבל כי <math>\frac{1}{y}dy=rdx</math>.
*נשים לב כי הנחנו כאן כי <math>y\neq 0</math>.
*כעת <math>\int \frac{1}{y}dy=ln|y|</math>.
*<math>\int rdx=rx</math>.
*וביחד <math>ln|y|=rx+C</math>.
*לכן <math>|y|=e^{rx+C}=e^C\cdot e^{rx}</math>.
*לכן <math>y=\pm e^C\cdot e^{rx}</math>.
*כעת, קל לראות מהצבה במשוואה כי y=0 גם פותר את המשוואה.
*בסה"כ הפתרון הכללי הוא (שוב) <math>y=Ce^{rx}</math>.

*שימו לב - חלקנו למקרים בהם הפונקציה שונה מאפס או קבועה אפס, אך לא טיפלנו במקרים בהם הפונקציה מידי פעם שווה אפס.
*בתרגיל זה איננו צריכים, כי מצאנו את הפתרון הכללי בדרך פשוטה יותר למעלה.
*בהמשך, משפט הקיום והיחידות יעזור לנו להתמודד עם השאלה הזו, אך באופן כללי לא נעסוק הרבה במקרי קצה בקורס זה.

====המרדף====
*דוגמא יפה וחשובה מ[http://people.uncw.edu/hermanr/mat361/ODEBook/ODE1.pdf הספר הזה] עמוד 19 של הספר (33 של הPDF)
*מרצה צועד במהירות קבועה <math>b</math> בקו ישר בשדרה שמוביל אל בניין 507.
*סטודנט שרוצה עוד שתי נקודות לעובר רואה את המרצה, ונע לכיוון המרצה במהירות קבועה <math>c</math>.
*המרצה מתחיל בנקודה <math>(0,0)</math> ונע בכיוון החיובי של ציר y, הסטודנט מתחיל בנקודה <math>(a,0)</math> עבור <math>a>0</math>.
*באיזה מסלול ינוע הסטודנט? באילו תנאים הוא יתפוס את המרצה?

*נסמן את פונקצית המסלול של הסטודנט ב<math>y(x)</math>
*כיוון שהסטודנט תמיד נע בכיוון המרצה, המשיק של הפונקציה בכל נקודה במסלול הסטודנט צריך לפגוש את המרצה באותו הזמן.
*בזמן <math>t</math> המרצה נמצא בנקודה <math>(0,b\cdot t)</math> והסטודנט נמצא בנקודה <math>(x,y)</math>.
*השיפוע בין המרצה לסטודנט הוא הנגזרת של פונקצית המסלול, כלומר <math>y'=\frac{y-bt}{x}</math>

*כעת יש לנו שלושה משתנים <math>t,x,y</math>, כיצד נפטר מאחד מהם? לא השתמשנו במהירות הסטודנט!
*המסלול שהסטודנט עבר צריך להיות שווה ל<math>c\cdot t</math>, כלומר <math>\int_x^a \sqrt{y'^2+1}=ct</math>
*מהמשוואה לעיל אנו יודעים כי <math>t=\frac{y-xy'}{b}</math>
*ביחד נקבל כי <math>\int_x^a \sqrt{y'^2+1}=c\cdot \frac{y-xy'}{b}</math>
*נגזור את שני הצדדים ונקבל כי:
*<math>-\sqrt{y'^2+1}=\frac{c}{b}\cdot (-xy'')</math>
*<math>\frac{c}{b}xy''=\sqrt{y'^2+1}</math>
*נסמן <math>y'=z</math> ונקבל <math>\frac{c}{b}xz'=\sqrt{z^2+1}</math>

*זו מד"ר פרידה
*<math>\frac{c}{b\sqrt{z^2+1}}dz=\frac{1}{x}dx</math>
*באמצעות [[מדיה:09Infi2Universal.pdf|ההצבה האוניברסאלית המתאימה]] <math>z=tan(t)</math> נפתור את האינטגרל של הצד השמאלי ונקבל כי
*<math>\frac{c}{b}ln(\sqrt{z^2+1}+z)=ln(x)+D</math>
*ברגע הראשון התקיים כי <math>x=a</math> והתלמיד כיוון לראשית הצירים כלומר <math>y'(a)=0</math> כלומר <math>z(a)=0</math>
*לכן <math>\frac{c}{b}ln(\sqrt{z^2+1}+z)=ln(x)-ln(a)</math>
*<math>ln(\sqrt{z^2+1}+z)=\frac{b}{c}ln(\frac{x}{a})</math>
*<math>\sqrt{z^2+1}+z=\left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{b}{c}}</math>

*כעת קצת אלגברה:
*<math>z+\sqrt{z^2+1}=A</math>
*<math>\frac{-1}{z-\sqrt{z^2+1}}=A</math>
*<math>z-\sqrt{z^2+1}=-\frac{1}{A}</math>
*נחבר למשוואה הראשונה
*<math>z=\frac{1}{2}\left(A-\frac{1}{A}\right)</math>

*הרי <math>z=y'</math>, ולכן ביחד:
*<math>y'=\frac{1}{2}\left(\left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{b}{c}}-\left(\frac{x}{a}\right)^{-\frac{b}{c}}\right)</math>
*ולכן אחרי אינטגרציה נקבל כי:
*<math>y=\frac{a}{2}\left(\frac{1}{\frac{b}{c}+1}\left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{b}{c}+1} -
\frac{1}{1-\frac{b}{c}}\left(\frac{x}{a}\right)^{1-\frac{b}{c}}\right) + K</math>
*כאשר אנחנו מקבלים את הקבוע <math>K</math> מהנתון <math>y(a)=0</math>

*באופן טבעי, אם מהירות המרצה גדולה ממהירות הסטודנט <math>b>c</math> נקבל שאיפה לאינסוף כאשר <math>x\to 0</math> והסטודנט לא יגיע למרצה.
*אם <math>b<c</math> הסטודנט יגיע לשדירה ויתפוס את המרצה.
*אם <math>b=c</math> האינטגרציה שלנו שגוייה, וכאשר נחשב אותה נכון שוב נקבל שאיפה לאינסוף (באופן טבעי)

===הפיכת משוואה לפרידה===
*נביט במשוואה <math>y'=(x+y)^2</math> שאינה משוואה פרידה.
*נדגים עכשיו טריק שיהפוך את המשוואה לפרידה.
*נגדיר את הפונקציה <math>z=x+y</math>.
*מתקיים כי <math>z'=1+y'</math> וביחד המשוואה המקורית מקבלת את הצורה <math>z'-1=z^2</math>.
*זוהי משוואה פרידה <math>\frac{1}{1+z^2}dz=dx</math>.
*נפעיל אינטגרל על שני הצדדים ונקבל כי <math>\arctan(z)=x+C</math>
*ולכן <math>z=\tan(x+C)</math>
*ולכן <math>x+y=\tan(x+C)</math>
*<math>y=\tan(x+C)-x</math>

*שימו לב לדוגמא, כאן לא התייחסנו למקרה הקצה בו <math>x+C</math> מחוץ לתחום <math>(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math>.
*שיטה אחת לוודא שהפתרון שלנו אכן נכון היא להציב את התוצאה שקיבלנו ישירות במשוואה.
*על מנת לדעת אם לא פספסנו פתרונות אחרים, נעזר בהמשך במשפט הקיום והיחידות.
*אבל כאמור - אנחנו לא נתייחס באופן כזה לכל מקרה קצה בהמשך הקורס.

==הרצאה 2 מד"ר הומוגנית, מד"ר לינאריות מסדר ראשון ומשוואת ברנולי==
===מד"ר הומוגנית===

*מד"ר הומוגנית (בניגוד למד"ר לינארית הומוגנית שנראה בהמשך) היא משוואה מהצורה <math>y'=g(\frac{y}{x})</math>.
*נפתור מד"ר הומוגנית באמצעות ההצבה <math>z=\frac{y}{x}</math> באופן הבא:
**ראשית נסמן <math>y'=g(\frac{y}{x})</math>.
**כעת נגזור את שני צידי המשוואה <math>zx=y</math>, ונקבל כי <math>z'x+z=y'</math>.
**לכן לאחר החלפת המשתנה קיבלנו משוואה '''פרידה''' <math>z'x+z=g(z)</math>.
**נפריד את המשתנים <math>\frac{1}{g(z)-z}dz=\frac{1}{x}dx</math>.
**ולכן <math>\int \frac{1}{g(z)-z}dz=\ln|x|+C</math>.
**נמצא את <math>z</math> ונציב בחזרה <math>y=zx</math>.

*פונקציה <math>f(x,y)</math> נקראת הומוגנית מסדר k אם לכל <math>\lambda\neq 0</math> מתקיים כי <math>f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^k f(x,y)</math>.
*לדוגמא <math>f(x,y)=\frac{x^2+xy}{x+y}</math> הומוגנית מסדר 1.

*טענה: פונקציה <math>f(x,y)</math> היא מהצורה <math>g(\frac{y}{x})</math> לכל <math>x\neq 0</math> אם"ם היא הומוגנית מסדר <math>0</math> לכל <math>x\neq 0</math>.
*הוכחה:
**אם <math>f(x,y)=g(\frac{y}{x})</math> אזי לכל <math>x\neq 0</math> מתקיים <math>f(\lambda x,\lambda y)=g(\frac{\lambda y}{\lambda x})=g(\frac{y}{x})=\lambda^0 f(x,y)</math>.
**אם <math>f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y)</math>, נציב <math>\lambda=\frac{1}{x}</math> ונקבל כי <math>f(x,y)=f(1,\frac{y}{x})=g(\frac{y}{x})</math>.

*דוגמא - נפתור את המשוואה <math>y'=\frac{x^2+y^2}{xy}</math>
**<math>g(\frac{y}{x})=f(1,\frac{y}{x})=\frac{1+(\frac{y}{x})^2}{\frac{y}{x}}</math>
**<math>\int \frac{1}{g(z)-z}dz=\int \frac{1}{\frac{1+z^2}{z}-z}dz=\int z dz=\frac{z^2}{2} </math>
**<math>\frac{z^2}{2}=ln|x|+C</math>
**<math>z=\pm\sqrt{ln(x^2)+C}</math>
**ולבסוף <math>y=\pm x\sqrt{ln(x^2)+C}</math>

*דוגמא - נפתור את המשוואה <math>xdy-\left(x\cdot\cos^2(\frac{y}{x})+y\right)dx=0</math>
**<math>y'=\frac{x\cdot\cos^2(\frac{y}{x})+y}{x}</math>
**<math>g(\frac{y}{x})=f(1,\frac{y}{x})=\cos^2(\frac{y}{x})+\frac{y}{x}</math>
**<math>\int \frac{1}{g(z)-z}dz=\int \frac{1}{\cos^2(z)}dz=\tan(z)</math>
**<math>\tan(z)=\ln|x|+c</math>
**<math>z=\arctan(ln|x|+C)</math>
**<math>y=x\cdot \arctan(ln|x|+C)</math>

===מד"ר לינארית מסדר ראשון===
*הגדרה: משוואה מסדר ראשון נקראת לינארית אם היא מהצורה <math>y'+a(x)\cdot y=b(x)</math>.
*מד"ר לינארית הומוגנית (בניגוד למד"ר הומוגנית שראינו לעיל) היא מהצורה <math>y'+a(x)\cdot y=0</math>.
*נחשב נוסחא לפתרון מד"ר לינארית כללית ע"י מציאת פתרון למשוואה לינארית הומוגנית ובאמצעות שיטת וריאצית המקדמים.

*נשים לב כי המשוואה הלינארית ההומוגנית <math>y'+a(x)\cdot y=0</math> היא '''פרידה'''.
*נפריד את המשתנים ונקבל <math>\frac{1}{y}dy=-a(x)dx</math>.
*נבצע אינטגרציה ונקבל כי <math>ln|y|=-A(x) +C</math>.
*ולכן <math>y=C\cdot e^{-A(x)}</math>

*כעת נשתמש בשיטת וריאצית המקדמים על מנת לפתור את המד"ר הלא הומוגנית.
*נציב במקום המקדם הקבוע <math>C</math> פונקציה <math>C(x)</math>, וננחש שזה פתרון של המד"ר.
*כיוון שאנו מנחשים שזה פתרון של המד"ר, נציב אותו בתוך המשוואה ונמצא (בתקווה) פונקציה <math>C(x)</math> כך שהמשוואה תתקיים.

*כלומר, נציב <math>y=C(x)\cdot e^{-A(x)}</math> במשוואה <math>y'+a(x)y=b(x)</math>.
*נקבל <math>C'(x)\cdot e^{-A(x)}-a(x)\cdot C(x)\cdot e^{-A(x)} + a(x)\cdot C(x) \cdot e^{-A(x)}=b(x)</math>
*משוואה זו מתקיימת אם"ם <math>C'(x)\cdot e^{-A(x)}=b(x)</math>.
*כלומר <math>C'(x)=b(x)\cdot e^{A(x)}</math>.
*לכן נבחר <math>C(x)=\int \left[b(x)\cdot e^{A(x)}\right]dx+C</math>

*סה"כ הפתרון הכללי למד"ר הלינארית <math>y'+a(x)\cdot y=b(x)</math> הוא:
<math>e^{-A(x)}\cdot\left(C+\int\left(b(x)\cdot e^{A(x)}\right)dx\right)</math>

*דוגמא - המשוואה החביבה עלינו <math>y'=ry</math>:
**ראשית, נשים לב כי <math>a(x)=-r</math> ו<math>b(x)=0</math>.
**כלומר זו מד"ר לינארית הומוגנית, והפתרון הכללי הוא <math>y=C\cdot e^{-\int (-r)dx}=C\cdot e^{rx}</math>

====נפילה חופשית כולל התנגדות אוויר====
*גוף בעל מסה <math>m</math> נמצא בנפילה חופשית, מצד אחד הוא מושפע מכוח הכבידה שנחשב קבוע <math>m\cdot g</math> ומצד שני מכוח התנגדות האוויר.
*במהירויות גבוהות נניח שהוא פרופורציונלי למהירות הנפילה בריבוע <math>b\cdot v^2</math>, ובמהירויות נמוכות נניח שהוא פרופורציונלי למהירות הנפילה <math>bv</math>.

=====במהירות גבוהה=====
*לפי החוק השני של ניוטון <math>m\cdot a = gm -b\cdot v^2</math>.
*כלומר <math>v'=g-\frac{b}{m}v^2</math>
*נבצע הפרדת משתנים <math>\frac{1}{g-\frac{b}{m}v^2}dv=dt</math>
*נבצע פירוק לשברים חלקיים:
*<math>\frac{1}{g-\frac{b}{m}v^2}=\frac{1}{(\sqrt{g}-\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v)(\sqrt{g}+\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v)}=\frac{1}{2\sqrt{g}}\left(\frac{1}{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}+\frac{1}{\sqrt{g}-\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}\right)</math>
*ולכן <math>\int \frac{1}{g-\frac{b}{m}v^2}dv=\frac{\sqrt{m}}{2\sqrt{g\cdot b}}\ln\left|\frac{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}{\sqrt{g}-\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}\right|</math>
*מצד שני <math>\int dt=t+c</math>
*לכן <math>\frac{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}{\sqrt{g}-\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}=Ce^{\left(2\sqrt{\frac{g\cdot b}{m}}t\right)}</math>
*נסדר קצת <math>v=\sqrt{\frac{g\cdot m}{b}}\cdot \left(1-\frac{2}{1+Ce^{\left(2\sqrt{\frac{g\cdot b}{m}}t\right)}}\right)</math>
*נשים לב שכאשר <math>t\to\infty</math> אנו מתכנסים ל[https://en.wikipedia.org/wiki/Terminal_velocity מהירות הסופית] <math>\sqrt{\frac{g\cdot m}{b}}</math>.
*אם זו הייתה המהירות ההתחלתית היינו מקבלים פונקצית מהירות קבועה.

=====במהירות נמוכה=====
*לפי החוק השני של ניוטון <math>m\cdot a = gm -b\cdot v</math>.
*כלומר קיבלנו את המד"ר הלינארית <math>v'+\frac{b}{m}v=g</math>.
*ולכן הפתרון הוא <math>v=e^{-\frac{b}{m}t}\cdot\left(\int ge^{\frac{b}{m}t}dt+C\right)=\frac{g\cdot m}{b}+Ce^{-\frac{b}{m}t}</math>.
*וכאשר <math>t\to\infty</math> המהירות שואפת למהירות הסופית <math>\frac{g\cdot m}{b}</math>.

===משוואת ברנולי===

*משוואת ברנולי היא משוואה מהצורה <math>y'+p(x)\cdot y = q(x)\cdot y^n</math> עבור <math>n\neq 0,1</math>.
*נפתור את המשוואה על ידי הצבה שתהפוך אותה למשוואה לינארית, אותה כבר למדנו לפתור.
*נניח כי <math>y\neq 0</math>, ונחלק ב<math>y^n</math>.
*נקבל את המשוואה <math>\frac{y'}{y^n}+p(x)\cdot y^{1-n}=q(x)</math>.
*נציב <math>z=y^{1-n}</math>.
*נגזור <math>z'=(1-n)\frac{y'}{y^n}</math>.
*נקבל משוואה לינארית <math>\frac{z'}{1-n}+p(x)\cdot z = q(x)</math>.
*נפתור עבור <math>z</math> ונציב חזרה לקבל <math>y=z^{\frac{1}{1-n}}</math>.

*דוגמא - נפתור את המשוואה <math>y'-2xy=2x^3y^2</math>.
**נציב <math>z=\frac{1}{y}</math>.
**נקבל <math>-z'-2xz=2x^3</math> ולכן <math>z'+2xz=-2x^3</math>.
**לכן <math>z=e^{-x^2}\cdot\left(\int \left(-2x^3e^{x^2}\right)dx+C\right)</math>
**לכן <math>z=e^{-x^2}\cdot\left(e^{x^2}(1-x^2)+C\right)</math>
**לכן <math>z=1-x^2+Ce^{-x^2}</math>
**ולבסוף <math>y=\frac{1}{1-x^2+Ce^{-x^2}}</math>

*דוגמא - גוף בתנועה עם כוח גרר לא לינארי ביחס למהירות
**נתון גוף הנע חצי באוויר וחצי בתוך נוזל כלשהו. נניח כי החיכוך עם הנוזל פרופורציונלי למהירות, והחיכוך עם האוויר פרופורציונלי למהירות בריבוע.
**<math>F=-bv-dv^2</math> ולכן <math>v'=-bv-dv^2</math> (לצורך הפשטות הכנסנו את המסה לתוך הקבועים).
**זוהי משוואת ברנולי, נציב <math>z=\frac{1}{v}</math>.
**לכן <math>z'-bz=d</math>
**נפתור את המשוואה הדיפרנציאלית:
***<math>z=e^{bt}\cdot (\frac{d}{-b}e^{-bt}+C)=Ce^{bt}-\frac{d}{b}</math>
**ולכן <math>v=\frac{1}{Ce^{bt}-\frac{d}{b}}</math>
**כמובן שכאשר <math>t\to\infty</math> המהירות מתכנסת מהר מאד לאפס.

*דוגמא - [https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_function#Applications המשוואה הלוגיסטית]
**קצב הגדילה של אוכלוסיה פרופורציונלית לגודל האוכלוסיה כפול כמות המשאבים הפנויים.
**המשאבים קטנים באופן פרופורציונלי לגודל האוכלוסיה.
**<math>y'= y\cdot (a-by)</math>

==הרצאה 3 משוואות מדוייקות==

===הקדמה - פונקציות בשני משתנים===

*נגזרות חלקיות
**דוגמא עבור <math>f(x,y)=x^2+xy</math> מתקיים <math>f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y</math> ו<math>f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=x</math>
*עבור פונקציות דיפרנציאביליות (כמו הפונקציות האלמנטריות), מתקיים כי <math>f_{xy}=f_{yx}</math> (כלומר סדר הנגזרות לא משנה).
*כלל השרשרת: אם <math>g(t)=f(x(t),y(t))</math> אזי <math>g'(t)=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot x'(t)+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot y'(t)</math>
*בפרט, עבור <math>g(x)=f(x,y(x))</math> מתקיים <math>g'(x)=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot 1 + \frac{\partial f}{\partial y}\cdot y'</math>

===מד"ר מדוייקת===

*מד"ר מסדר ראשון נקראת מדוייקת אם היא מהצורה <math>U_x(x,y)dx+U_y(x,y)dy=0</math>, עבור <math>U(x,y)</math> דיפרנציאבילית.
*פתרון המד"ר ניתן בצורה סתומה על ידי המשוואה <math>U(x,y)=C</math>, כאשר C קבוע כלשהו.
*תהי מד"ר מהצורה <math>Pdx+Qdy=0</math> כאשר <math>P,Q</math> בעלות נגזרות רציפות. אזי המד"ר מדוייקת אם"ם <math>P_y=Q_x</math>

*הוכחה לפתרון המד"ר המדויקת:
**נגזור את הפונקציה <math>g(x)=U(x,y(x))</math> לפי המשתנה <math>x</math> באמצעות כלל השרשרת ונקבל כי <math>g'(x)=U_x(x,y)+U_y(x,y)y'</math>
**לפי הנתון <math>U_x(x,y)dx+U_y(x,y)dy=0</math> נובע כי <math>g'(x)=0</math> ולכן <math>g(x)=U(x,y)=C</math> פונקציה קבועה.

*הוכחה לתנאי השקול למד"ר מדויקת:
**כיוון ראשון, נניח <math>Pdx+Qdy=0</math> מדוייקת.
***לכן קיימת <math>U(x,y)</math> דיפרנציאבילית כך ש <math>P=U_x,Q=U_y</math>.
***לכן <math>P_y=U_{xy}=U_{yx}=Q_x</math>.
**כיוון שני, נניח כי <math>P_y=Q_x</math>.
***אנו מחפשים <math>U(x,y)</math> עבורה <math>P=U_x</math>.
***נעשה אינטגרציה לפי <math>x</math> ונקבל כי <math>U(x,y)=\int P(x,y)dx + c(y)</math>.
***לכן ברור כי <math>U_x=P</math>, השאלה היא אם ניתן לבחור <math>c(y)</math> עבורו <math>U_y=Q</math>.
***כלומר אנו רוצים <math>c'(y)=Q-\frac{\partial}{\partial y}\int P(x,y)dx</math>
***משוואה זו תהיה פתירה, אם הצד הימני הוא פונקציה שאינה תלוייה בx.
***אכן <math>\frac{\partial}{\partial x}\left(Q-\frac{\partial}{\partial y}\int P(x,y)dx\right)=Q_x-P_y=0</math>.

*דוגמא: מצאו משוואה המתארת את הפתרון למד"ר הבאה באופן סתום <math>(2x+6y)dx+(6x+3y^2)dy=0</math>.
**ראשית נוודא שמדובר במשוואה מדוייקת: <math>P_y=Q_x=6</math>.
**נבצע אינטגרציה <math>U=\int Pdx +c(y)= x^2+6xy +c(y)</math>.
**נגזור לפי y ונקבל כי <math>Q=U_y=6x+c'(y)</math>.
**לכן <math>c'(y)=Q-6x=3y^2</math>.
**לכן <math>c(y)=y^3</math> וסה"כ <math>U(x,y)=x^2+6xy+y^3</math>.
**לכן הפתרון למד"ר נתון באופן סתום ע"י <math>x^2+6xy+y^3=C</math>.

====גורם אינטגרציה====

*לעיתים המד"ר אינה מדוייקת, אך ניתן לכפול אותה בפונקציה (שנקרא לה '''גורם אינטגרציה''') וכך נהפוך אותה למדוייקת.
*באופן כללי אנו לא יודעים למצוא את גורם האינטגרציה, אבל נביט במקרה בו קיים גורם אינטגרציה שתלוי בx בלבד.

*תהי מד"ר <math>Pdx+Qdy=0</math>, ונניח שקיים לה גורם אינטגרציה <math>\mu(x)</math> התלוי בx בלבד.
*כלומר <math>\mu\cdot Pdx+\mu\cdot Qdy=0</math> מדוייקת.
*לכן <math>(\mu\cdot P)_y=(\mu\cdot Q)_x</math>.
*כלומר <math>\mu\cdot P_y=\mu'\cdot Q+\mu\cdot Q_x</math>.
*לכן <math>\frac{\mu'}{\mu}=\frac{P_y-Q_x}{Q}</math>.
*ניתן לפתור משוואה זו אם הצד הימני תלוי בx בלבד, כיוון שהצד השמאלי תלוי בx בלבד.
*במקרה זה, פתרון יהיה <math>\mu(x)=e^{\int\left(\frac{P_y-Q_x}{Q}\right)dx}</math>

*דוגמא - המשוואה <math>y'=ry</math>.
**המשוואה הינה <math>-rydx+dy=0</math>.
**<math>P_y=-r\neq 0=Q_x</math>
**מתקיים כי <math>\frac{P_y-Q_x}{Q}=-r</math> תלוי בx בלבד.
**לכן יש גורם אינטגרציה <math>\mu(x,y)=e^{-rx}</math>
**נכפול את המשוואה בגורם האינטגרציה.
**<math>-re^{-rx}ydx+e^{-rx}dy=0</math>.
**כעת <math>P_y=-re^{-rx}=Q_x</math>.
**<math>U(x,y)=\int Pdx +c(y) = e^{-rx}y+c(y)</math>
**<math>Q=U_y=e^{-rx}+c'(y)</math>.
**לכן <math>c'(y)=0</math> ואפשר לבחור <math>c(y)=0</math>.
**סה"כ <math>U(x,y)=e^{-rx}y=C</math>.
**(כך פתרנו למעשה את משוואה זו בשיעור הראשון.)

*דוגמא - המשוואה <math>(1-x^2y)dx+x^2(y-x)dy=0</math>.
**<math>\frac{P_y-Q_x}{Q}=\frac{-x^2-(2xy-3x^2)}{x^2(y-x)}=\frac{2x(x-y)}{x^2(y-x)}=-\frac{2}{x}</math>
**<math>\mu(x)=e^{-2ln(x)}=\frac{1}{x^2}</math>.
**אכן המשוואה <math>(\frac{1}{x^2}-y)dx+(y-x)dy=0</math> מדוייקת.
***נבדוק: <math>P_y=-1=Q_x</math>.
**נפתור את המד"ר:
***<math>U(x,y)=\int Pdx+c(y)=-\frac{1}{x}-yx+c(y)</math>.
***<math>Q=U_y=-x+c'(y)</math>.
***<math>c'(y)=y-x+x=y</math>.
***<math>c(y)=\frac{y^2}{2}</math>.
***סה"כ הפתרון למד"ר נתון באופן סתום ע"י <math>U(x,y)=-\frac{1}{x}-yx+\frac{y^2}{2}=C</math>.
***אפשר באמצעות השלמה לריבוע לבודד את y.

==הרצאה 4 משפט הקיום והיחידות==

===בעיית קושי===
*מציאת פתרון למד"ר <math>y'=f(x,y)</math> המקיימת <math>y(x_0)=y_0</math>

===המשוואה האינטגרלית===
*בעיית הקושי <math>y'=f(x,y)</math> עם <math>y(x_0)=y_0</math> שקולה למשוואה <math>y(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(t,y(t))dt</math>.
**בכיוון אחד - נניח כי המשוואה הדיפרנציאלית ותנאי ההתחלה נתונים.
***אזי <math>\int_{x_0}^x y'(t)dt=\int_{x_0}^xf(t,y(t))dt</math>.
***לכן <math>y(x)-y(x_0)=\int_{x_0}^xf(t,y(t))dt</math>.
***ולפי תנאי ההתחלה נקבל כי <math>y(x)-y_0=\int_{x_0}^xf(t,y(t))dt</math>.
**בכיוון שני, נניח כי המשוואה האינטגרלית נתונה.
***נגזור את שני הצדדים ונקבל את המשוואה הדיפרנציאלית (נגזרת של פונקצית שטח של פונקציה רציפה).
***נציב במשוואה האינטגרלית את <math>x_0</math> ונקבל <math>y(x_0)=y_0+\int_{x_0}^{x_0}f(t,y(t))dt=y_0</math>.

===שיטת פיקרד===
*נראה את שיטת פיקרד, באמצעותה נוכיח את קיום הפתרון במשפט הקיום והיחידות.
*נבנה נוסחת נסיגה מהמשוואה האינטגרלית, ואז אם הסדרה תתכנס (במ"ש) נקבל את המשוואה האינטגרלית:
*נגדיר <math>\varphi_0=y_0</math>, ולכל <math>n</math> נגדיר <math>\varphi_{n+1}=y_0+\int_{x_0}^xf(t,\varphi_n(t))dt</math>.
*מאוחר יותר נוכיח כי סדרת הפונקציות מתכנסת לפתרון של המד"ר.

*דוגמא - נביט במשוואה (המאד מקורית) <math>y'=-ry</math>.
**<math>\varphi_0=y_0</math>
**<math>\varphi_1=y_0+\int_{x_0}^x(-ry_0)dt=y_0+y_0(-r(x-x_0))</math>
**<math>\varphi_2=y_0+\int_{x_0}^x\left(-r)\cdot(y_0-r\cdot y_0(t-x_0)\right)dt=y_0+y_0(-r(x-x_0))+y_0\frac{(-r(x-x_0))^2}{2}</math>
**<math>\varphi_3=y_0+\int_{x_0}^x\varphi_2dt=y_0+y_0(-r(x-x_0))+y_0\frac{(-r(x-x_0))^2}{2}+y_0\frac{(-r(x-x_0))^3}{3!}</math>
**נמשיך כך, ונקבל סדרת פונקציות המתכנסת ל<math>\varphi_n(x)\to y(x)=y_0e^{-r(x-x_0)}</math>
**אם נתון תנאי ההתחלה <math>y(0)=C</math> נקבל בדיוק את הפתרון <math>y=Ce^{-rx}</math>.

===ניסוח משפט הקיום והיחידות===
*תהי <math>f(x,y)</math> רציפה ובעלת נגזרת <math>f_y</math> רציפה במלבן הסגור <math>|x-x_0|\leq a, |y-y_0|\leq b</math>.
*נביט בבעיית הקושי <math>y'=f(x,y)</math>, עם תנאי ההתחלה <math>y(x_0)=y_0</math>
*נבחר <math>M</math> חסם כך ש <math>|f(x,y)|<M</math> במלבן הנתון, ונסמן <math>a'=\min\{a,\frac{b}{M}\}</math>.
*אזי '''קיים''' פתרון '''יחיד''' <math>y(x)</math> לבעיית הקושי בתחום <math>|x-x_0|\leq a'</math>.

*הערות:
*שימו לב שהמשפט מבטיח פתרון בתחום מצומצם.
**אכן ראינו מד"ר שהייתה מוגדרת ורציפה בכל הממשיים, אך לא היה פתרון שמוגדר בכל הממשיים (<math>y'=(x+y)^2</math>).
**לכל נקודה יש פתרון מסביבה, גם אם אין פתרון שמוגדר בכל מקום.
*שימו לב שאם מצאנו פתרון בצורה כלשהי, אנחנו יודעים שהוא יחיד בזכות המשפט (לפחות בסביבה מסויימת).
*מצד שני, אם הפתרון הכללי שמצאנו לא מקיים את תנאי ההתחלה, סימן שאנחנו צריכים לחפש פתרון שפספסנו.

===הוכחת הקיום===
*נוכיח שסדרת הפונקציות בשיטת פיקרד מתכנסת לפתרון לבעיית הקושי.
*הערה: נוכיח עבור <math>x\geq x_0</math> ההוכחות עבור <math>x<x_0</math> דומות.

*ראשית, נוכיח שסדרת הפונקציות נשארת בתחום המלבן <math>|x-x_0|\leq a',|y-y_0|\leq b</math> שנמצא בתוך המלבן המקורי ולכן מותר להשתמש בתכונות של <math>f</math>.
*כלומר, עלינו להוכיח כי לכל <math>x</math> המקיים <math>|x-x_0|\leq a'</math> מתקיים כי <math>|\varphi_n(x)-y_0|\leq b</math>.
**הפונקציה הראשונה <math>\varphi_0=y_0</math> כמובן בתוך המלבן.
**כעת יהי n עבורו הטענה נכונה, אזי <math>\varphi_{n+1}=y_0+\int_{x_0}^xf(t,\varphi_n(t))dt</math>.
***שימו לב כי האינטגרל הוא בתחום <math>[x_0,x]</math> שנמצא בתחום התחום <math>[x_0,x_0+a']</math>.
**לכן <math>|\varphi_{n+1}(x)-y_0|\leq \int_{x_0}^x|f(t,\varphi_n(t)|dt\leq M(x-x_0)\leq Ma'\leq b</math>.

*כעת, נשים לב לתכונה הבאה:
**כיוון ש<math>f_y</math> רציפה במלבן סגור היא חסומה נניח ע"י K.
**לפי משפט לגראנז' נקבל כי <math>|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leq K|y_1-y_2|</math>

*כעת נוכיח שסדרת הפונקציות מתכנסת (במ"ש):
**ראשית, נשים לב כי <math>\varphi_n-y_0=\varphi_n-\varphi_0=\varphi_n-\varphi_{n-1}+\varphi_{n-1}-\varphi_{n-2}+...+\varphi_1-\varphi_0</math>.
**לכן עלינו להוכיח כי הטור <math>\sum_{i=1}^\infty\left(\varphi_i-\varphi_{i-1}\right)</math> מתכנס במ"ש (כי הסס"ח שלו היא <math>\varphi_n</math> פחות קבוע).
**ראשית, <math>|\varphi_1-\varphi_0|=|y_0+\int_{x_0}^xf(t,y_0)dt-y_0|\leq M(x-x_0)</math>
**כעת <math>|\varphi_2-\varphi_1|\leq\int_{x_0}^x|f(t,\varphi_1)-f(t,\varphi_0)|dt\leq \int_{x_0}^xK|\varphi_1-\varphi_0|dt\leq KM\frac{(x-x_0)^2}{2}</math>
**<math>|\varphi_3-\varphi_2|\leq \int_{x_0}^{x}K|\varphi_2-\varphi_1|dt=K^2M\frac{(x-x_0)^3}{3!}</math>
**נמשיך כך ונקבל כי <math>
\left|\sum_{i=1}^n\left(\varphi_i-\varphi_{i-1}\right)\right|\leq
\sum_{i=1}^n\left|\varphi_i-\varphi_{i-1}\right|\leq
\sum_{i=1}^nK^{n-1}M\frac{(x-x_0)^n}{n!}\leq
\sum_{i=1}^nK^{n-1}M\frac{(a')^n}{n!}
</math>
**זה טור מתכנס לפי מבחן המנה, וכן לפי מבחן הM של קושי הטור המקורי מתכנס במידה שווה.
**הערה: כיוון ש<math>\left|f(x,\varphi_n(x))-f(x,\varphi_{n-1}(x))\right|\leq K|\varphi_n(x)-\varphi_{n-1}(x)|</math> אזי גם הסדרה <math>f(x,\varphi_n(x))</math> מתכנסת במ"ש באופן דומה.

*נוכיח שפונקצית הגבול <math>\varphi_n\to y</math> היא פתרון של בעיית הקושי.
**נשאיף את שני צידי נוסחאת הנסיגה לאינסוף <math>\varphi_n=y_0+\int_{x_0}^{x}f(t,\varphi_{n-1}(t))dt</math>.
**נקבל כי <math>y(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(t,y(t))dt</math>.
**הערה: האינטגרל של הסדרה שואף לאינטגרל של פונקצית הגבול בזכות ההתכנסות במ"ש.

===הוכחת היחידות===

*טענת עזר - תהי <math>g</math> חסומה כך שלכל <math>x\geq x_0</math> בקטע <math>|x-x_0|\leq a</math> מתקיים כי <math>|g|\leq K\int_{x_0}^x|g(t)|dt</math> אזי <math>g=0</math> לכל <math>x\geq x_0</math> בקטע.
**<math>|g|\leq M</math>.
**<math>|g|\leq K\int_{x_0}^x|g|dt\leq KM(x-x_0)</math>.
**<math>|g|\leq K\int_{x_0}^x|g|dt\leq K\int_{x_0}^x KM(t-x_0)dt=K^2M\frac{(x-x_0)^2}{2}</math>.
**נמשיך כך ונקבל שלכל n מתקיים כי <math>|g|\leq K^nM\frac{(x-x_0)^n}{n!}</math>.
**לכן <math>|g|\leq K^n M\frac{a^n}{n!}\to 0</math>.
**לכן <math>g=0</math>.

*יהיו שני פתרונות <math>y_1,y_2</math> לבעיית הקושי, נוכיח כי <math>y_1=y_2</math>:
**<math>|y_2-y_1|=\left|\int_{x_0}^x(f(t,y_2)-f(t,y_1))dt\right|\leq \int_{x_0}^x|f(t,y_2)-f(t,y_1)|dt\leq K\int_{x_0}^x|y_2-y_1|dt</math>.
**לכן לפי טענת העזר, <math>y_1=y_2</math>.

==הרצאה 5 מד"ר מסדר גבוה (ובפרט סדר שני), מד"ר לינארית מסדר גבוה==
*נחקור כעת משוואות מהצורה <math>f(x,y,y',...,y^{(n)})=0</math>

*דוגמא:
**נביט במסה המחוברת לקפיץ עם קבוע k, על משטח ללא חיכוך.
**נסמן את המרחק של המסה מהמצב הרפוי של הקפיץ בX.
**הכוח הפועל על המסה הוא <math>-kX</math>.
**לכן לפי החוק השני של ניוטון <math>mX''=-kX</math>.

*דוגמא:
**נביט בסירה במים המחוברת בקפיץ למזח.
**מלבד הכוח שהקפיץ מפעיל, המים מתנגדים לסירה באופן פרופורציוני למהירות שלה.
**<math>mX''=-kX-dX'</math>
**היחס בין קבוע הקפיץ לקבוע התנגדות המים ישפיע על התנועה - האם הסירה תתקדם בכיוון אחד, או תעשה תנועה מחזורית (בכל מקרה היא תאט).

*דוגמא:
**מסה מחוברת לקפיץ עם חיכוך

*דוגמא:
**מסה תלוייה על קפיץ במאונך עם או בלי התנגדות אוויר ועם השפעת כוח המשיכה (לא הומוגני)

===הורדת סדר המשוואה===
====מד"ר מסדר גבוה ללא y====
*אם y אינו מופיע במשוואה פשוט נחליף משתנה <math>u=y'</math>.

*דוגמא:
**משוואת נפילה חופשית ללא התנגדות אוויר היא מסדר שני <math>mX''=C</math>.
**נביט בפונקצית המהירות <math>V=X'</math> ונקבל את המשוואה <math>mV'=C</math> מסדר ראשון.

====הורדת סדר למד"ר מסדר שני ללא x====
*תהי מד"ר מהצורה <math>y''=f(y',y)</math>.
*ראשית נחפש פונקציה <math>p</math> המקיימת את המד"ר מסדר ראשון <math>p'(t)p(t)=f(p(t),t)</math>
**נהוג לרשום את שם המשתנה כאן y ולא t, אך אני לא עושה את זה כעת על מנת למנוע בלבול מיותר.
*כעת נחפש פונקציה y המקיימת את המד"ר עבור p שמצאנו <math>y'=p(y)</math>
*פונקציה כזו תקיים כי <math>y''=p'(y)y'=p'(y)p(y)=f(p(y),y)=f(y',y)</math>
*כלומר היא מהווה פתרון למד"ר.

=====דוגמא - משוואות הקפיץ=====
**נחזור לדוגמא של מסה המחוברת לקפיץ, ולצורך הנוחות נחליף את פונקצית המיקום X בפונקציה y (המשתנה ישאר t).
**נניח כי המסה היא חלק מקבוע הקפיץ ונביט במשוואה <math>y''=-ky</math>.
**אנחנו רוצים למצוא p פונקציה של y המקיימת את המשוואה <math>pp'=-ky</math>.
***זו משוואה פרידה <math>pdp=-kydy</math> ולכן <math>\frac{p^2}{2}=-\frac{ky^2}{2}+C</math>.
***לכן <math>p(y)=\pm\sqrt{C-ky^2}</math>.
**לכן קיבלנו את המד"ר הפרידה <math>y'=\pm\sqrt{C-ky^2}</math>.
***<math>\int \frac{dy}{\sqrt{C-ky^2}}=\pm \int dt</math>.
***<math>\frac{1}{\sqrt{k}}\arcsin\left(\sqrt{\frac{k}{c}}y\right)=\pm t+D</math>.
***<math>\sqrt{\frac{c}{k}}\cdot sin\left(\pm\sqrt{k}t+D\right)</math>.
***שימו לב שהביטוי <math>\sqrt{\frac{c}{k}}</math> מייצג קבוע חיובי כלשהו.
***שימו לב שעבור בחירה מתאימה של הפאזה D גם cos הוא פתרון.
**שימו לב שישנם שני קבועים בפתרון. זה הגיוני, כי אנו צריכים שני תנאי התחלה - מיקום המסה, והמהירות שלה.

=====דוגמא - מהירות מילוט=====
*גוף בעל מסה <math>m</math> נזרק מכדור הארץ כלפי מעלה במהירות <math>v_0</math>, נסמן את מרחק הגוף ממרכז כדור הארץ ב<math>r</math>.
**מצאו את פונקצית מהירות הגוף ביחס לגובה שלו <math>v(r)</math>.
**מהי מהירות המילוט של הגוף? כלומר עבור איזו מהירות התחלתית מתקיים כי <math>r(t)\to \infty</math> כאשר <math>t\to \infty</math>?

*נסמן את מסת כדור הארץ ב<math>m_e</math>, את רדיוס כדור הארץ ב<math>R_e</math>, את קבוע הכבידה האוניברסאלי ב<math>G</math> ואת תאוצת הנפילה בכדור הארץ ב<math>g</math>
**ראשית נשים לב כי כוח המשיכה של כדור הארץ המופעל על מסה <math>m</math> הוא בקירוב <math>mg=\frac{Gm_e m}{R_e^2}</math> כלומר <math>g=\frac{Gm_e}{R_e^2}</math> ולכן <math>gR_e^2 = Gm_e</math>
**המשוואה המתארת את תנועת הגוף היא:
***<math>mr''=-\frac{Gm_e m}{r^2}</math> כלומר <math>r''=-\frac{Gm_e}{r^2}=-\frac{gR_e^2}{r^2}</math>
**זו משוואה מסדר שני שחסר בה המשתנה <math>t</math>
**נחפש <math>p</math> עבורה <math>p(r)=r'</math> ולכן <math>pp'=r''</math>
***<math>pp'=-\frac{gR_e^2}{r^2}</math>
***נעשה אינטגרציה למד"ר הפרידה שקיבלנו ונקבל
***<math>\frac{p^2}{2}=\frac{gR_e^2}{r}+C</math>
***לכן <math>p(r)=\pm\sqrt{C+\frac{2gR_e^2}{r}}</math>

*כיוון שהמהירות ההתחלתית היא חיובית נקבל כי
**<math>r'=\sqrt{C+\frac{2gR_e^2}{r}}</math>
*על מנת למצוא את הקבוע, נציב את תנאי ההתחלה:
**הגובה הראשוני הוא <math>r=R_e</math> ובו המהירות היא <math>v_0</math>
**<math>v_0=\sqrt{C+2gR_e}</math>
**<math>C=v_0^2-2gR_e</math>
*הערה: ניתן לפתור את המד"ר הזו על מנת למצוא את הגובה כפונקציה של הזמן, אך לא התבקשנו לעשות כן.

*סה"כ נקבל כי <math>v(r)=\sqrt{v_0^2-2gR_e+\frac{2gR_e^2}{r}}</math>

*מהירות המילוט היא המהירות ההתחלתית הנמוכה ביותר המבטיחה כי הגוף לא יגיע למהירות אפס.
*לכן מהירות המילוט מקיימת כי <math>v_0^2 = 2gR_e</math> ולכן <math>v_0 =\sqrt{2gR_e}</math>
**לכל מהירות נמוכה יותר הביטוי בתוך השורש מתחיל מ<math>v_0</math> ושואף למספר שלילי (בהנחת השלילה ש <math>r\to \infty</math>), ולכן יגיע לאפס. במהירות אפס החפץ לא ימשיך לנוע.
**לכל מהירות התחלתית גבוהה יותר, המהירות גדולה יותר מערך חיובי קבוע, ולכן <math>r\to\infty</math>.
**אם המהירות ההתחלתית היא בדיוק מהירות המילוט, ניתן לפתור את המד"ר בקלות ולראות כי <math>r\to\infty</math>.

===מד"ר לינארית===
*מד"ר לינארית היא מד"ר מהצורה <math>y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+...+a_1(x)y'+a_0(x)y=f(x)</math>.
*אם <math>f(x)\equiv 0</math> אזי המד"ר נקראת הומוגנית.
*בעיית הקושי למד"ר הלינארית היא המשוואה יחד עם תנאי ההתחלה <math>y(x_0)=b_0,y'(x_0)=b_1,...,y^{(n-1)}(x_0)=b_{n-1}</math>
*משפט קיום ויחידות: אם <math>a_i(x),f(x)</math> רציפות בקטע <math>I</math> ויהי <math>x_0\in I</math>, אזי קיים פתרון יחיד בקטע <math>I</math> לבעיית הקושי.

*נגדיר את אופרטור הגזירה <math>D</math> על מרחב הפונקציות הגזירות אינסוף פעמים.
*<math>a(x)D</math> גם הוא אופרטור לינארי
*לכן ניתן לכתוב מד"ר לינארית כ <math>Ty=f(x)</math> כאשר <math>T=D^n+\sum_{k=1}^{n-1} a_k(x)\cdot D^k + I </math> אופרטור לינארי.

====מד"ר לינארית הומוגנית====
*אוסף הפתרונות של מד"ר לינארית הומוגנית הוא תת מרחב וקטורי.
**זה הרי הגרעין של האופרטור <math>T</math> המתואר לעיל

*תזכורת: <math>y_1,...,y_n</math> נקראת תלויות לינארית אם קיימים קבועים לא כולם אפס כך ש <math>c_1y_1+...+c_ny_n\equiv 0</math> (הצירוף הוא פונקצית האפס).

*הגדרה: הוורונסיקאן <math>W(x)</math> של הפונקציות <math>y_1,...,y_n</math> הוא הדטרמיננטה <math>\left|\begin{pmatrix}
y_1 & y_2 & \cdots & y_n \\
y_1' & y_2' & \cdots & y_n' \\
\vdots & \vdots & &\vdots\\
y_1^{(n-1)} & y_2^{(n-1)} & \cdots & y_n^{(n-1)}

\end{pmatrix}\right|</math>

*אם <math>y_1,...,y_n</math> ת"ל אזי <math>W(x)\equiv 0</math>.
**נתון כי <math>c_1y_1+...+c_ny_n=0</math>
**נגזור <math>c_1y_1'+...+c_ny_n'=0</math>
**נמשיך ולגזור ונקבל שלכל <math>0\leq k\leq n-1</math> מתקיים כי <math>c_1y_1^{(k)}+...+c_ny_n^{(n-1)}=0</math>.
**לכן <math>\begin{pmatrix}
y_1 & y_2 & \cdots & y_n \\
y_1' & y_2' & \cdots & y_n' \\
\vdots & \vdots & &\vdots\\
y_1^{(n-1)} & y_2^{(n-1)} & \cdots & y_n^{(n-1)}

\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{pmatrix}=0</math>
**כיוון שלמטריצה יש פתרון לא טריוואלי (ללא תלות בx) היא אינה הפיכה והדטרמיננטה שלה היא אפס.

*אם <math>W(x_0)=0</math> עבור <math>x_0\in I</math> כלשהו עבור <math>y_1,...,y_n</math> '''פתרונות של מד"ר לינארית הומוגנית''' עם מקדמים רציפים בקטע <math>I</math>, אזי הפתרונות ת"ל ו<math>W(x)\equiv 0</math>.
**כיוון ש<math>W(x_0)=0</math> קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת כך שלכל <math>0\leq k\leq n-1</math> מתקיים כי <math>
c_1y_1^{(k)}(x_0)+...+c_ny_n^{(k)}(x_0)=0</math>.
**נביט בפונקציה <math>g(x)=c_1y_1(x)+...+c_ny_n(x)</math>, לפי לינאריות גם <math>g(x)</math> פתרון של המד"ר.
**כיוון שלכל <math>0\leq k\leq n-1</math> מתקיים כי <math>g^{(k)}(x_0)=0</math> ולפי יחידות הפתרון, נובע כי <math>g(x)\equiv 0</math> (הרי פונקצית האפס היא פתרון שמקיים את אותם תנאיי ההתחלה).

*הערה: ייתכנו פונקציות בת"ל שהוורונסיקאן שלהן מתאפס, אם הן לא פתרונות לאותו מד"ר לינארית. למשל <math>x^2,x|x|</math>.

*דוגמא:
**נביט בוורונסקיאן של <math>e^{\lambda_1x},...,e^{\lambda_nx}</math>.
**<math>W(x)=\left|\begin{pmatrix}
e^{\lambda_1x} & \cdots & e^{\lambda_nx} \\
\vdots & & \vdots \\
\lambda_1^{n-1}e^{\lambda_1x} & \cdots & \lambda_n^{n-1}e^{\lambda_nx}
\end{pmatrix}\right|=e^{(\lambda_1+...+\lambda_n)x}\left|\begin{pmatrix}
1 & \cdots & 1 \\
\vdots & & \vdots \\
\lambda_1^{n-1}& \cdots & \lambda_n^{n-1}
\end{pmatrix}\right|</math>
**זו מטריצת ונדרמונד ולכן <math>W(x)=e^{(\lambda_1+...+\lambda_n)x}\prod_{i<j}(\lambda_j-\lambda_i)</math>
**לכן הפונקציות בת"ל אם ורק אם כל הקבועים שונים זה מזה <math>\lambda_i\neq\lambda_j</math>

*הוכחה לחישוב הדטרמיננטה של מטריצת ונדרמונד:
:<math>
\left|\begin{pmatrix}
1 & 1 &\cdots & 1 \\
\lambda_1 & \lambda_2 &\cdots & \lambda_n\\
\vdots & && \vdots \\
\lambda_1^{n-2}&\lambda_2^{n-2}&\cdots&\lambda_n^{n-2}\\
\lambda_1^{n-1}& \lambda_2^{n-1}&\cdots & \lambda_n^{n-1}
\end{pmatrix}\right|=
</math>
:נבצע את פעולות השורה<math>R_n-\lambda_1 R_{n-1}\\R_{n-1}-\lambda_1 R_{n-2}\\\vdots\\R_2-\lambda_1 R_1</math>
:<math>=\left|\begin{pmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
0&\lambda_2-\lambda_1&\cdots&\lambda_n-\lambda_1\\
\vdots & && \vdots \\
0&\lambda_2^{n-3}(\lambda_2-\lambda_1)&\cdots&\lambda_n^{n-3}(\lambda_n-\lambda_1)\\
0&\lambda_2^{n-2}(\lambda_2-\lambda_1)& \cdots & \lambda_n^{n-2}(\lambda_n-\lambda_1)
\end{pmatrix}\right|=
(\lambda_2-\lambda_1)\cdots(\lambda_n-\lambda_1)\cdot
\left|\begin{pmatrix}
1 & 1 &\cdots & 1 \\
\lambda_2 & \lambda_3 &\cdots & \lambda_n\\
\vdots & && \vdots \\
\lambda_2^{n-2}&\lambda_3^{n-2}&\cdots&\lambda_n^{n-2}\\
\lambda_2^{n-1}& \lambda_3^{n-1}&\cdots & \lambda_n^{n-1}
\end{pmatrix}\right|
</math>
:כאשר המעבר הוא חישוב דטרמיננטה לפי העמודה הראשונה
:ומכאן סיימנו באינדוקציה

*מרחב הפתרונות של המד"ר הלינארית ההומוגנית הוא ממימד n.
**לכל <math>0\leq k\leq n-1</math> נגדיר את <math>y_k</math> להיות הפתרון המקיים את תנאי ההתחלה <math>y_k^{(k)}(x_0)=1</math> ואם <math>j\neq k</math> אז <math>y_k^{(j)}(x_0)=0</math>.
**נוכיח שn פתרונות אלה מהווים בסיס.
***<math>W(x_0)=|I|=1</math> ולכן הפתרונות בת"ל.
***עבור תנאי ההתחלה <math>y^{(k)}(x_0)=b_k</math> פתרון המקיים תנאיי התחלה אלו הוא <math>b_0y_0+...+b_{n-1}y_{n-1}</math>, ולכן הקבוצה פורשת.

*דוגמא: משוואת המסה על קפיץ <math>x''+kx=0</math>
**נביט בפתרונות <math>x_1=cos\left(\sqrt{k}t\right),x_2=sin\left(\sqrt{k}t\right)</math>, הן אכן פותרות את המשוואה.
**נביט בוורונסקיאן <math>\left|\begin{pmatrix}
cos\left(\sqrt{k}t\right) & sin\left(\sqrt{k}t\right)\\
-\sqrt{k}sin\left(\sqrt{k}t\right) & \sqrt{k}cos\left(\sqrt{k}t\right)
\end{pmatrix}\right|=\sqrt{k}\neq 0</math>
**לכן אלו שני פתרונות בת"ל שפורשים את כל מרחב הפתרונות, ולכן הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>x(t)=c_1\cdot cos\left(\sqrt{k}t\right) + c_2\cdot sin\left(\sqrt{k}t\right)</math>

====מד"ר לינארית לא הומוגנית====

*פתרון כללי למד"ר הלינארית שווה לפתרון הכללי למד"ר ההומוגנית ועוד פתרון פרטי למד"ר הלא הומוגנית
**הוכחה זהה לטיעון לגבי מערכות משוואות לינאריות.

*דוגמא: <math>y''=-ky+g</math> מסה התלוייה על קפיץ אנכי, עם השפעת כוח המשיכה. גובה אפס הוא הנקודה בה הקפיץ רפוי, הכיוון החיובי הוא למטה.
**נמצא פתרון פרטי ע"י ניחוש מושכל.
**נחפש פתרון מהצורה <math>y=a</math>.
**נציב ונקבל <math>y=\frac{g}{k}</math>.
*לכן פתרון כללי למד"ר הוא <math>x(t)=c_1\cdot cos\left(\sqrt{k}t\right) + c_2\cdot sin\left(\sqrt{k}t\right)+\frac{g}{k}</math>.

*דוגמא: <math>x''=-kx+sin(t)</math> מסה על קפיץ עם כוח חיצוני שתלוי בזמן.
**נמצא פתרון פרטי ע"י ניחוש מושכל.
**נחפש פתרון מהצורה <math>x=asin(t)</math>.
**<math>-asin(t)=-kasin(t)+sin(t)</math>.
**<math>a(k-1)sin(t)=sin(t)</math>.
**משוואה זו תתקיים עבור <math>a=\frac{1}{k-1}</math>.
*לכן פתרון כללי למד"ר הוא <math>x(t)=c_1\cdot cos\left(\sqrt{k}t\right) + c_2\cdot sin\left(\sqrt{k}t\right)+\frac{1}{k-1}sin(t)</math>.

==הרצאה 6 מד"ר לינארית עם מקדמים קבועים==

ראשית נציג גישה אחת לנושא, ומאוחר יותר נציג גרסא מעודכנת (2022) המבוססות יותר על אופרטורים.

===פולינום אופייני===

*נביט במד"ר הלינארית ההומוגנית עם מקדמים קבועים <math>y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_0y=0</math> כאשר <math>a_i\in\mathbb{R}</math>.
*דוגמאות:
**משוואת הקפיץ <math>y''+ky=0</math>.
**<math>y''-2y'+y=0</math>.

*ננחש פתרון למד"ר מהצורה <math>y=e^{\lambda x}</math>.
*נציב במד"ר ונקבל <math>\lambda^ne^{\lambda x}+a_{n-1}\lambda^{n-1}e^{\lambda x} +...+a_0e^{\lambda x}=0</math>.
*לכן <math>\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+...+a_0=0</math>.
*נגדיר את '''הפולינום האופייני''' של המד"ר להיות <math>p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0</math>.
*לכל שורש של הפולינום האופייני, קיבלנו פתרון למד"ר.

*דוגמא: <math>y''=y</math>
**נעביר אגף ונמצא את הפולינום האופייני:
***<math>y''-y=0</math>
***<math>p(x)=x^2-1</math>
**לכן השורשים של הפולינום האופייני הם <math>\pm 1</math>.
**לכן שני פתרונות למד"ר הם <math>e^x,e^{-x}</math>.
**ראינו שהם בת"ל בעזרת הורונסקיאן ולכן הפתרון הכללי למד"ר ההומוגנית הוא <math>c_1e^{x}+c_2e^{-x}</math>.

*מה קורה כאשר חסרים שורשים (מרוכבים)?
*מה קורה כאשר שורש חוזר על עצמו?
*הפולינום האופייני של המד"ר <math>y''+ky=0</math> הוא <math>x^2+k</math>.
*הפולינום האופייני של המד"ר <math>y''-2y+y=0</math> הוא <math>x^2-2x+1=(x-1)^2</math>.

*כאשר השורש הוא מרוכב, נעזר באנליזה מרוכבת:
**ראשית, אם <math>a+bi</math> שורש של פולינום ממשי גם הצמוד שלו הוא שורש של הפולינום.
**נזכר גם כי <math>e^{ibx}=\cos(bx)+i\sin(bx)</math>
**כעת, נניח שיש זוג שורשים מרוכבים <math>a\pm bi</math> לכן <math>e^{(a\pm bi)x}</math> הן פתרונות.
**לכן גם צירוף לינארי שלהם הוא פתרון:
***<math>\frac{1}{2}\left(e^{ax+ibx}+e^{ax-ibx}\right)=e^{ax}\cos(bx)</math>
***<math>\frac{-i}{2}\left(e^{ax+ibx}-e^{ax-ibx}\right)=e^{ax}\sin(bx)</math>
***עבור זוג השורשים המרוכבים הצמודים קיבלנו זוג פתרונות ממשיים בת"ל!

*דוגמא משוואת הקפיץ <math>y''+ky=0</math>.
**הפולינום האופייני הינו <math>x^2+k=0</math>.
**שורשי הפולינום האופייני הינם <math>\pm\sqrt{k}i</math>.
**הפתרונות למד"ר ההומוגנית הם <math>e^{0\cdot x}\cos\left(\sqrt{k}x\right),e^{0\cdot x}\sin\left(\sqrt{k}x\right)</math>.

*כעת נטפל במקרה בו שורש חוזר על עצמו:
**ראשית, נביט באופרטור הלינארי <math>D=\frac{d}{dx}</math> ששולח פונקציה לנגזרת שלה, ונסמן ב<math>I</math> את אופרטור הזהות.
**למשל המד"ר <math>y''-2y+y=0</math> ניתנת להצגה כ<math>\left(D^2-2D+I\right)y=0</math>.
**לכן <math>\left(D-I\right)\left(D-I\right)y=0</math>.
**הפולינום האופייני של המד"ר הוא <math>(x-1)^2=0</math> ולכן <math>y=e^x</math> הוא פתרון.
**כעת, נראה כי גם <math>xe^x</math> הוא פתרון של המד"ר.
***<math>\left(D-I\right)\left(D-I\right)xe^x=\left(D-I\right)(e^x+xe^x-xe^x)=0</math>
**באופן דומה אפשר להוכיח שאם ריבוי השורש הוא <math>n</math> אזי לכל <math>0\leq k \leq n-1</math> הביטוי <math>x^ke^{\lambda x}</math> הוא פתרון.

===סיכום מציאת פתרון כללי למד"ר הומוגנית עם מקדמים קבועים===

*מוצאים את הפולינום האופייני, ואת כל השורשים שלו (כולל המרוכבים).
*לכל שורש ממשי <math>\lambda</math> מריבוי <math>n</math> מתאימים הפתרונות <math>e^{\lambda x},xe^{\lambda x},...,x^{n-1}e^{\lambda x}</math>.
*לכל שורש מרוכב <math>a+bi</math> מריבוי <math>n</math> (ידוע שגם הצמוד שלו שורש מאותו ריבוי) מתאימים הפתרונות <math>e^{ax}\cos(bx),e^{ax}\sin(bx),xe^{ax}\cos(bx),xe^{ax}\sin(bx),...,x^{n-1}e^{ax}\cos(bx),x^{n-1}e^{ax}\sin(bx)</math>
*סה"כ מצאנו למד"ר מסדר n בדיוק n פתרונות.
*הפתרונות הללו בת"ל ולכן הפתרון הכללי הוא צירוף לינארי שלהם.
**נוכיח שהפתרונות בת"ל (מעל המרוכבים).
**<math>P_1e^{\lambda_1 x}+...+P_ne^{\lambda_n x} \equiv 0</math>.
**נניח ש<math>|\lambda_i|\leq|\lambda_n|</math>, נחלק ב<math>e^{\lambda_n x}</math>.
**נציב <math>x=t\overline{\lambda_n}</math> ונשאיף את <math>t\to\infty</math>.
**נקבל כי הפולינום המקדם של האקספוננט הגדול ביותר חייב להיות אפס.
**לכן באינדוקציה כל הפולינומים חייבים להיות אפס, ולכן כל אחד מהקבועים חייב להיות אפס.
**כיוון שהפתרונות בת"ל מעל המרוכבים, אפשר ליצור איתם כל תנאי התחלה, ולקבל פונקציות ממשיות שפותרות אותו.

*דוגמא: מצאו את הפתרון הכללי של המד"ר <math>y^{(4)}-6y'''+14y''-16y'+8y=0</math>.
**ראשית, נמצא את הפולינום האופייני <math>p(x)=x^4-6x^3+14x^2-16x+8=0</math>.
**ננחש ש2 הוא שורש, נבצע חילוק, ננחש שוב את 2 כשורש ונקבל כי <math>p(x)=(x-2)^2(x^2-2x+2)</math>.
**לכן השורשים של הפולינום האופייני הם 2 מריבוי 2, ו<math>1\pm i</math> מריבוי 1.
**לכן הפתרון הכללי הוא <math>y=c_1e^{2x}+c_2xe^{2x}+c_3e^xsin(x)+c_4e^xcos(x)</math>.

*דוגמא: מצאו את הפתרון של המד"ר <math>y'''+3y''+3y'+y=0</math> המקיים <math>y(0)=0,y'(0)=1,y''(0)=0</math>.
**הפולינום האופייני הוא <math>p(x)=(x+1)^3</math>.
**הפתרון הכללי הוא <math>y=c_1e^{-x}+c_2xe^{-x}+c_3x^2e^{-x}</math>.
**כעת נמצא את הקבועים:
***<math>y(0)=c_1=0</math>.
***<math>y'(0)=c_2=1</math>.
***<math>y''(0)=-2+2c_3=0</math> ולכן <math>c_3=1</math>.
**סה"כ הפתרון הוא <math>y=e^{-x}(x+x^2)</math>.

===גישה מבוססת אופרטורים===

*נציג את המד"ר הלינארית עם מקדמים קבועים באמצעות אופרטור הגזירה:
*<math>y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_0y = (D^n+a_{n-1}D^{n-1}+\cdots+a_0 I)y=Ty</math>
*נגדיר את הפולינום האופייני <math>p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0</math>
*סה"כ האופרטור של המד"ר הוא <math>T=p(D)</math>

*נפרק את הפולינום האופייני לגורמים לינאריים מעל המרוכבים
*<math>p(x)=(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\cdots(x-\lambda_n)</math>
*ונקבל כי <math>T=p(D)=(D-\lambda_1 I)\cdots (D-\lambda_n I)</math>
**שימו לב כי מותר לפתוח סוגריים באופן טבעי ואפשר להחליף בין סדר הגורמים כיוון ש <math>D,\lambda I</math> אופרטורים מתחלפים.

*כיוון שמותר להחליף את סדר הגורמים נובע כי אם <math>\lambda</math> שורש של הפולינום האופייני מריבוי <math>k</math> אזי
**<math>\ker\left((D-\lambda I)^k\right)\subseteq \ker T</math>

בטקסט לעיל, למדנו איך למצוא בסיס לגרעין הזה.

==הרצאה 7 מציאת פתרון פרטי למד"ר לינארית לא הומוגנית==

*כבר ראינו שעל מנת למצוא פתרון כללי למד"ר לינארית לא הומוגנית, עלינו למצוא פתרון כללי למד"ר ההומוגנית (למדנו כיצד בהרצאה קודמת), ופתרון פרטי כלשהו למד"ר הלא הומוגנית.
*נלמד כיצד למצוא פתרון פרטי.

===שיטת הניחוש עבור מד"ר עם מקדמים קבועים===
*תהי מד"ר מהצורה <math>y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1y'+a_0y=f(x)</math>.

*אם <math>f(x)=P_m(x)</math> פולינום מדרגה m:
**<math>0</math> '''אינו''' שורש של הפולינום האופייני, ננחש <math>y_p=Q_m(x)</math> פולינום מדרגה m.
**אם <math>0</math> שורש של הפולינום האופייני מריבוי k ננחש <math>y_p=x^kQ_m(x)</math>.

*אם <math>f(x)=e^{ax}P_m(x)</math>:
**אם <math>a</math> '''אינו''' שורש של הפולינום האופייני ננחש <math>y_p=e^{ax}Q_m(x)</math>.
**אם <math>a</math> שורש של הפולינום האופייני מריבוי k ננחש <math>y_p=x^ke^{ax}Q_m(x)</math>.

*אם <math>f(x)=e^{ax}sin(bx)P_m(x)</math> או <math>f(x)=e^{ax}cos(bx)P_m(x)</math>:
**אם <math>a\pm bi</math> '''אינם''' שורשים של הפולינום האופייני ננחש <math>y_p=e^{ax}sin(bx)Q_m(x) + e^{ax}cos(bx)R_m(x)</math> (כאשר <math>R_m(x),Q_m(x)</math> פולינומים מסדר m).
**אם <math>a\pm bi</math> שורשים של הפולינום האופייני מריבוי k כל אחד, ננחש <math>y_p=x^ke^{ax}sin(bx)Q_m(x) + x^ke^{ax}cos(bx)R_m(x)</math>.

*דוגמאות:
**עבור <math>y''+2y'+y=x^2</math> הפולינום האופייני הוא <math>p(x)=(x+1)^2</math> ננחש את הפתרון <math>y_p=ax^2+bx+c</math>.
**עבור <math>y''+2y'+y=e^{x}</math> כעת <math>1</math> אינו שורש של הפולינום האופייני, ולכן ננחש <math>y_p=ae^x</math>. (שימו לב שהפולינום הוא בעצם מדרגה 0.)
**עבור <math>y''+2y'+y=xe^{-x}</math> כעת <math>-1</math> הוא שורש מריבוי 2 ולכן ננחש את הפתרון <math>y_p=x^2e^{-x}(a+bx)</math>.
**עבור <math>y''+y=sin(x)</math> הפולינום האופייני הוא <math>p(x)=x^2+1</math> השורש <math>0+i</math> מופיע מריבוי 1 ולכן ננחש <math>y_p=axsin(x)+bxcos(x)</math>.

*לאחר הניחוש, נמצא את הקבועים ע"י הצבה. נחשב עבור הדוגמא הראשונה:
**המד"ר <math>y''+2y'+y=x^2</math>, הניחוש <math>y_p=ax^2+bx+c</math>.
***<math>y_p'=2ax+b</math>.
***<math>y_p''=2a</math>.
***נציב <math>2a+4ax+2b+ax^2+bx+c=x^2</math>.
***נבצע השוואת מקדמים:
****<math>a=1</math>.
****<math>4a+b=0</math>.
****<math>2a+2b+c=0</math>.
**לכן הפתרון הפרטי הוא <math>y_p=x^2-4x+6</math>.
**סה"כ הפתרון הכללי הוא <math>c_1e^{-x}+c_2xe^{-x}+x^2-4x+6</math>.

===וריאצית מקדמים יחד עם שיטת קרמר למד"ר לינארית===

*תהי מד"ר לינארית (לאו דווקא עם מקדמים קבועים) מהצורה <math>y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+...+a_1(x)y'+a_0(x)y=f(x)</math>.
*יהיו <math>y_1,...,y_n</math> פתרונות בת"ל למד"ר ההומוגנית.
*ננחש כי קיים פתרון פרטי מהצורה <math>y_p=c_1(x)y_1+...+c_n(x)y_n</math>.

*טענה - עבור פונקציות <math>c_1(x),...,c_n(x)</math> המקיימות את מערכת המשוואות

<math>\begin{cases}
c_1'y_1+...+c_n'y_n=0 \\
c_1'y_1'+...+c_n'y_n'=0 \\
\vdots \\
c_1'y_1^{(n-2)} +...+c_n'y_n^{(n-2)}=0\\
c_1'y_1^{(n-1)}+...+c_n'y_n^{(n-1)}=f(x)
\end{cases}</math>

מתקיים כי <math>y_p=c_1(x)y_1+...+c_n(x)y_n</math> הוא פתרון פרטי של המד"ר.

*הוכחה:
**<math>y_p'=c_1'y_1+\cdots+c_n'y_n+c_1y_1'+\cdots+c_ny_n'=c_1y_1'+\cdots+c_ny_n'</math>. (לפי המשוואה הראשונה.)
**באופן דומה <math>y_p''=c_1y_1''+\cdots+c_ny_n''</math>. (לפי המשוואה השנייה.)
**נמשיך כך עד שנקבל <math>y_p^{(n-1)} = c_1y_1^{(n-1)}+\cdots +c_ny_n^{(n-1)}</math>
**כעת נגזור ונקבל <math>y_p^{(n)}=f(x)+c_1y_1^{(n)}+\cdots+c_ny_n^{(n)}</math>, לפי המשוואה האחרונה.
**נציב במד"ר המקורית:
***<math>y_p^{(n)}+a_{n-1}(x)y_p^{(n-1)}+\cdots + a_1(x)y_p'+a_0(x)y_p=f(x)+c_1(y_1^{(n)}+\cdots+a_0(x)y_1)+\cdots+c_n(y_n^{(n)}+\cdots+a_0(x)y_n)</math>
**כיוון ש<math>y_1,...,y_n</math> פתרונות למד"ר ההומוגנית הביטויים בסוגריים מתאפסים וסה"כ קיבלנו כי אכן <math>y_p'''+a_2(x)y_p''+a_1(x)y_p'+a_0(x)y_p=f(x)</math>.

*נכתוב '''שוב''' את ההוכחה, בעזרת סימן הסכימה (עשוי להיות נוח יותר או פחות):
**ראשית, ניתן להוכיח באינדוקציה כי לכל <math>0\leq m\leq n-1</math> מתקיים כי
**<math>D^m y_p = D^m \sum_{k=1}^n c_k(x)y_k = \sum_{k=1}^n c_k(x)D^m y_k</math>
**כעת בעזרת המשוואה האחרונה נקבל כי
**<math>D^n y_p = D D^{n-1}y_p = D\sum_{k=1}^nc_k(x)D^{n-1}y_k=\sum_{k=1}^n c'_k(x)D^{n-1}y_k + \sum_{k=1}^nc_k(x)D^ny_k=f(x)+\sum_{k=1}^nc_k(x)D^ny_k</math>
**נציב במד"ר ונקבל
**<math>Ty_p=D^ny_p +\sum_{t=0}^{n-1}a_t(x)D^ty_p=f(x)+\sum_{k=1}^nc_k(x)D^ny_k + \sum_{t=0}^{n-1}a_t(x)\left(\sum_{k=1}^n c_k(x)D^t y_k\right)=</math>
**<math>=f(x)+\sum_{k=1}^n c_k(x)\left(D^ny_k + \sum_{t=0}^{n-1}a_t(x)D^t y_k\right) = f(x)+0</math>

*כלומר, על מנת למצוא פתרון פרטי, עלינו למצוא פתרון למערכת המשוואות הבאה:
*<math>
\begin{pmatrix}
y_1 & \cdots & y_n \\
\vdots & & \vdots \\
y_1^{(n-2)} & \cdots & y_n^{(n-2)}\\
y_1^{(n-1)} & \cdots & y_n^{(n-1)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_1' \\ \vdots \\ c_n'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\ \vdots \\ 0 \\ f(x)
\end{pmatrix}
</math>
*אבל דטרמיננטת מטריצת המקדמים היא בדיוק הוורונסקיאן!
*כיוון ש<math>y_1,...,y_n</math> בסיס למרחב הפתרונות, מטריצת המקדמים הפיכה לכל <math>x</math> ולכן קיים פתרון (יחיד) למערכת.
*כיצד נמצא את הפתרון? שיטת קרמר.
*לאחר שנמצא את הערכים של <math>c_k'(x)</math> נבצע אינטגרציה ונמצא סה"כ את הפתרון הפרטי.

*דוגמא - מצאו פתרון כללי למד"ר <math>y''+y=sin^2(x)</math>.
**פתרון כללי למד"ר ההומוגנית הוא <math>c_1cos(x)+c_2sin(x)</math>.
**כעת עלינו למצא פתרון פרטי <math>y_p=c_1(x)cos(x)+c_2(x)sin(x)</math>.
**עלינו למצוא פתרון למערכת <math>
\begin{pmatrix}
cos(x) & sin(x) \\
-sin(x) & cos(x)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_1'(x) \\ c_2'(x)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\ sin^2(x)
\end{pmatrix}
</math>
** לכן לפי שיטת קרמר
***<math>
c_1'(x)=\frac{
\left|
\begin{pmatrix}
0 & sin(x) \\
sin^2(x) & cos(x)
\end{pmatrix}
\right|
}
{
\left|
\begin{pmatrix}
cos(x) & sin(x) \\
-sin(x) & cos(x)
\end{pmatrix}
\right|
}=-sin^3(x)
</math>
***<math>
c_2'(x)=\frac{
\left|
\begin{pmatrix}
cos(x) & 0 \\
-sin(x) & sin^2(x)
\end{pmatrix}
\right|
}
{
\left|
\begin{pmatrix}
cos(x) & sin(x) \\
-sin(x) & cos(x)
\end{pmatrix}
\right|
}=sin^2(x)cos(x)
</math>
***לכן <math>c_1(x)=\int (-sin^3(x))dx = \int (1-cos^2(x))(-sin(x))dx=\{t=cos(x)\}=\int (1-t^2)dt=t-\frac{t^3}{3}=cos(x)-\frac{cos^3(x)}{3}</math>
***<math>c_2(x)=\int sin^2(x)cos(x)dx =\{t=sin(x)\}= \int t^2 dt = \frac{t^3}{3} = \frac{sin^3(x)}{3}</math>
**סה"כ הפתרון הפרטי הוא <math>y_p=(cos(x)-\frac{cos^3(x)}{3})cos(x) + \frac{sin^3(x)}{3}sin(x)</math>.

*דוגמא:
*שימו לב שיכלנו לפתור את השאלה הקודמת בדרך אחרת, קצרה יותר, עם טריק.
*מתקיים כי <math>sin^2(x)=\frac{1}{2} - \frac{1}{2}cos(2x)</math>.
*נמצא פתרון פרטי <math>y_{p_1}</math> למד"ר <math>y''+y=\frac{1}{2}</math> בשיטת הניחוש.
*נמצא פתרון פרטי <math>y_{p_2}</math> למד"ר <math>y''+y=-\frac{1}{2}cos(2x)</math> בשיטת הניחוש.
*לכן <math>y_p=y_{p_1}+y_{p_2}</math> הוא פתרון פרטי למד"ר <math>y''+y=sin^2(x)</math> מתוך לינאריות.

==הרצאה 8 פתרון מד"ר באמצעות טורי טיילור==
===שימוש בטורי טיילור===
*ננחש שהפתרון הוא טור חזקות, ואם אכן יש פתרון כזה, נמצא את המקדמים.
*גם אם לא נוכל למצוא נוסחא פשוטה לפונקציה, עדיין טור החזקות יכול לתת קירוב שלה.

*דוגמא: הזזת אינדקס של טור טיילור.
**הזיזו את האינדקס של הטור <math>\sum_{n=4}^\infty na_{2n+1}x^{n-2}</math> כך שהחזקה תהיה <math>k</math>.
**אנחנו רוצים להציב <math>k=n-2</math> ולכן <math>n=k+2</math>.
**כיוון ש<math>n</math> מתחיל מ4, נובע ש<math>k</math> יתחיל מ2.
**סה"כ נקבל כי <math>\sum_{n=4}^\infty na_{2n+1}x^{n-2}=\sum_{k=2}^\infty (k+2)a_{2k+5}x^k</math>.

*דוגמא מצאו את הפתרון הכללי למד"ר ההומוגנית <math>xy''-(x+2)y'+2y=0</math>.
*עבור <math>x\neq 0</math> מדובר במד"ר לינארית הומוגנית בעלת שני פתרונות בת"ל.

*ננחש כי קיים פתרון בצורת טור טיילור <math>y=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n</math>.
*שימו לב שאנו מניחים שהפונקציה מוגדרת באפס, ייתכן שנרצה לפתח טור טיילור סביב נקודות אחרות באופן כללי.

*נציב במשוואה ונקבל:
*<math>x\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2} -(x+2)\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}+2\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=0</math>
*<math>\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-1} -\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n} - \sum_{n=1}^\infty 2na_nx^{n-1}+\sum_{n=0}^\infty 2a_nx^n=0</math>
*<math>\sum_{k=1}^\infty (k+1)ka_{k+1}x^{k} -\sum_{k=1}^\infty ka_kx^{k} - \sum_{k=0}^\infty 2(k+1)a_{k+1}x^{k}+\sum_{k=0}^\infty 2a_kx^k=0</math>
*<math>-2a_1+2a_0+\sum_{k=1}^\infty \left((k^2-k-2)a_{k+1}-(k-2)a_k\right)x^k=0</math>
*לכן:
**<math>a_0=a_1</math>
**לכל <math>k\geq 1</math> מתקיים <math>(k^2-k-2)a_{k+1}-(k-2)a_k=0</math>.
***עבור <math>k=2</math> מקבלים <math>0=0</math>.
***עבור <math>k\neq 2</math> נחלק ב<math>k-2</math> ונקבל <math>(k+1)a_{k+1}=a_k</math>.

*סה"כ המשוואות שקיבלנו הן
**<math>a_1=a_0</math>
**<math>a_2=\frac{1}{2}a_1</math>
**<math>a_4=\frac{1}{4}a_3</math>
**<math>a_5=\frac{1}{5}a_4</math>
**וכן הלאה.

*נשים לב כי באופן כללי <math>a_0,a_3</math> חופשיים.
*עבור הבחירה <math>a_0=1,a_3=0</math> נקבל את הפתרון <math>y=\frac{1}{2}x^2+x+1</math>.
*עבור הבחירה <math>a_0=1,a_3=\frac{1}{3!}</math> נקבל את הפתרון <math>y=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n=e^x</math>.

*נבדוק שהפתרונות בת"ל:
**<math>W(x)=\left|\begin{pmatrix}e^x & \frac{1}{2}x^2+x+1\\ e^x & x+1\end{pmatrix}\right|=-\frac{e^xx^2}{2}</math>
**לכל <math>x\neq 0</math> הוורונסיקאן שונה מאפס ולכן הפתרונות בת"ל.
**שימו לב שהוורונסיקאן התאפס בנקודה אחת, אבל זה בסדר כי המד"ר היא לינארית עבור <math>x\neq 0</math>.
**אכן ב<math>x=0</math> משפט היחידות לא עובד, שני הפתרונות מקיימים <math>y(0)=1, y'(0)=1</math>.

*סה"כ הפתרון הכללי הינו <math>y=c_1e^x+c_2\left(\frac{1}{2}x^2+x+1\right)</math>

====מציאת פתרון פרטי====
*דוגמא - מצאו את הפתרון הכללי למד"ר <math>xy''-(x+2)y'+2y=x^3e^x</math>.
*ראשית נעביר את המד"ר לצורה סטנדרטית <math>y''-\frac{x+2}{x}y'+\frac{2}{x}y=x^2e^x</math>
*נשתמש בשיטת וריאצית המקדמים על הפתרון למד"ר ההומוגנית יחד עם כלל קרמר.
**נחפש פתרון מהצורה <math>y_p=c_1(x)e^x+c_2(x)\left(\frac{1}{2}x^2+x+1\right)</math>.
**כעת <math>c_1'=\frac{\left|\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}x^2+x+1 \\ x^2e^x & x+1\end{pmatrix}\right|}{W(x)}=x^2+2x+2</math>
**לכן <math>c_1(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2+2x</math>.
**כמו כן, <math>c_2'=\frac{\left|\begin{pmatrix} e^x & 0 \\ e^x & x^2e^x\end{pmatrix}\right|}{W(x)}=-2e^x</math>
**לכן <math>c_2(x)=-2e^x</math>.
*סה"כ הפתרון הפרטי הינו <math>y_p=\left(\frac{1}{3}x^3+x^2+2x\right)e^x-2e^x\left(\frac{1}{2}x^2+x+1\right) = e^x\left(\frac{1}{3}x^3-2\right)</math>
*לכן הפתרון הכללי הינו <math>y=c_1e^x+c_2\left(\frac{1}{2}x^2+x+1\right)+e^x\left(\frac{1}{3}x^3-2\right)</math>

==הרצאה 9 מערכות מד"ר==

===מערכת מד"ר לינארית מסדר ראשון עם מקדמים קבועים===
*לעיתים יש לנו מד"ר העוסקות במספר פונקציות שונות.
*נניח שיש לנו סיר מים מתבשל על הגז.
*A היא מסת המים בסיר, וB היא מסת המים שהתאדו אל המכסה.
*נניח שקצב התאדות המים מהסיר אל המכסה הוא <math>\alpha\cdot A</math> וקצב התעבות המים מהמכסה בחזרה לסיר הוא <math>\beta\cdot B</math>.
*לכן <math>\begin{cases}A'=\beta B - \alpha A \\ B' = \alpha A - \beta B\end{cases}</math>
*נסמן את שתי הפונקציות ב<math>y_1,y_2</math> ונניח כי <math>\alpha =1, \beta=2</math>.
*נקבל את המערכת <math>\vec{y}'=A\vec{y}</math> כלומר <math>\begin{pmatrix}y_1'\\y_2'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 1 &-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix} </math>

*נראה כיצד לכסון המטריצה A יעזור לנו לפתור את המערכת.
*במקרה בו A אינה לכסינה לא נטפל, אך אפשר לפתור אותו באופן כללי.
*עבור ו"ע מתקיים כי <math>A\vec{v}=\lambda \vec{v}</math>.
*כיוון שהוקטור <math>\vec{v}</math> הוא וקטור קבועים, <math>\left(\vec{v}e^{\lambda x}\right)'=\lambda\vec{v}e^{\lambda x} = A\left(\vec{v}e^{\lambda x}\right)</math>.
*כלומר, <math>\vec{y}=\vec{v}e^{\lambda x}</math> הוא פתרון למערכת.

*בחזרה לדוגמא:
**הע"ע של <math>\begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 1 &-2\end{pmatrix}</math> הם <math>0,-3</math>.
**הו"ע המתאימים הם <math>\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}</math>
**הפתרון הכללי הוא <math>\vec{y}=c_1\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}e^0+c_2\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}e^{-3x}</math>
**כלומר <math>y_1=2c_1+c_2e^{-3x}</math> ו<math>y_2=c_1-c_2e^{-3x}</math>

*שימו לב שככל שעובר הזמן היחס בין המים בסיר למים על המכסה שואף להיות קבוע.
*שימו לב ש<math>c_1=\frac{y_1(0)+y_2(0)}{3}</math>, זה הגיוני כיוון שמסת המים אינה משתנה בתהליך.

====שתי מסות על קפיץ - מערכת מד"ר מסדר שני====
*נביט בשתי מסות המחוברות לשני צידי קפיץ.
*נניח כי <math>y_2<y_1</math> מודדות את מיקום המסות ביחס לנקודת האפס שלהן, וצד ימין הוא הכיוון החיובי בשתיהן.
*נניח כי כאשר כל אחת מהמסות במקום אפס, אזי הקפיץ במנוחה.
*נניח כי המסות זהות בגודלן, ושוות אחד.
*לכן מתקבלת מערכת המד"ר <math>\begin{cases}y_1''=-k(y_1-y_2) \\ y_2''=k(y_1-y_2)\end{cases}</math>
*שימו לב שכאשר הקפיץ מתוח הוא מושך את שתי המסות למרכז, כלומר את המסה הראשונה (הימנית) הוא מושך שמאלה (בכיוון השלילי), ואת המסה השנייה (השמאלית) הוא מושך ימינה (בכיוון החיובי)
*נסמן <math>A=\begin{pmatrix}-k & k \\ k & -k\end{pmatrix}</math>, ולכן <math>\vec{y}''=A\vec{y}</math>.

*הע"ע של A הינם <math>0,-2k</math>.
*עבור הו"ע <math>\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}</math> המתאים לע"ע <math>0</math> מתקיים כי <math>A\vec{v}=0</math>.
**לכן אם נבחר <math>f(t)</math> כך ש<math>f''=0</math>, ונבחר <math>\vec{y}=\vec{v}f(t)</math> אזי נקבל <math>\vec{y}''=0=A\vec{v}f(t)=A\vec{y}</math>.
**כלומר <math>\vec{y}=\vec{v}(c_1t+c_2)</math> הוא פתרון למערכת.
*עבור הו"ע <math>\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}</math> המתאים לע"ע <math>-2k</math> מתקיים כי <math>A\vec{v}=-2k\vec{v}</math>.
**לכן אם נבחר <math>f(t)</math> כך ש<math>f''=-2kf</math> ונבחר <math>\vec{y}=\vec{v}f(t)</math> אזי נקבל <math>\vec{y}''=-2k\vec{v}f(t)=A\vec{v}f(t)=A\vec{y}</math>.
**לכן <math>\vec{y}=\left(c_3cos\left(\sqrt{2k}t\right)+c_4sin\left(\sqrt{2k}t\right)\right)\vec{v}</math> הוא פתרון למשוואה.

*ביחד קיבלנו פתרון כללי <math>\vec{y}=(c_1t+c_2)\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+\left(c_3cos\left(\sqrt{2k}t\right)+c_4sin\left(\sqrt{2k}t\right)\right)\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} </math>
*תנאי ההתחלה הם המיקומים והמהירויות של כל אחת מהמסות.

====קשר בין מד"ר מסדר גבוה למערכת מד"ר מסדר ראשון====
*נביט במד"ר <math>f(x,y,y',...,y^{(n)})=0</math>.
*נסמן <math>y_1=y,y_2=y',...,y_n=y^{(n-1)}</math>.
*לכן המד"ר שקולה למערכת מסדר ראשון <math>\begin{cases}y_1'=y_2 \\ \vdots \\ y_{n-1}'=y_n \\ f(x,y_1,...,y_n,y_n')=0\end{cases}</math>.

*בפרט, המד"ר הלינארית <math>y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_0y=0</math> שקולה למערכת <math>\begin{cases}y_1'=y_2 \\ \vdots \\ y_{n-1}'=y_n \\ y_n'=-a_{n-1}y_{n}-...-a_0y_1\end{cases}</math>
*בכתיב מטריצות קיבלנו את המערכת <math>\vec{y}'=A\vec{y}</math> כאשר:
**<math>\vec{y}=\begin{pmatrix}y_1\\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}</math>
**<math>A=\begin{pmatrix}
& 1 \\
& & 1 \\
& & & \ddots \\
& & & & 1\\
-a_0 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1}
\end{pmatrix}</math>
*הפולינום האופייני של <math>A</math> הוא:
**<math>p_A(x)=\left|\begin{pmatrix}
x & -1 \\
& x & -1 \\
& & \ddots & \ddots \\
& & & x& -1\\
a_0 & a_1 & \cdots & a_{n-2} & x+a_{n-1}
\end{pmatrix}\right|</math>
**ניתן להוכיח באינדוקציה כי <math>p_A(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0</math>, בדיוק הפולינום האופייני של המד"ר המקורית, לא במפתיע.

==הרצאה 10 התמרת לפלס==
*התמרת לפלס היא העתקה לינארית בין מרחבי פונקציות.
*עבור הפונקציה <math>y(t)</math> המוגדרת בקטע <math>[0,\infty)</math> נגדיר את התמרת הלפלס <math>F(s)=\mathcal{L}(y)=\int_0^\infty e^{-st}y(t)dt</math>.
*שימו לב שנהוג לסמן את הפונקציה לפני ההתמרה עם המשתנים x או t, ולאחר ההתמרה נהוג להתמש במשתנה s.
*אם מתקיים כי <math>|y(t)|\leq Me^{at}</math> אזי ההתמרה מתכנסת לכל <math>s>a</math>.
**<math>\left|\int_0^\infty e^{-st}y(t)dt\right|\leq \int_0^\infty\left|e^{-st}y(t)\right|dt\leq \int_0^\infty Me^{(a-s)t}dt=\left[M\frac{e^{(a-s)t}}{a-s}\right]_0^\infty</math>
**הביטוי האחרון מתכנס לכל <math>s>a</math>.
*נניח כי כל הפונקציות שאנו עוסקים בהן חסומות על ידי אקספוננט באופן דומה.

*דוגמא - נחשב את ההתמרה של הפונקציה <math>1</math>.
**<math>\mathcal{L}(1)=\int_0^\infty e^{-st}dt = \left[\frac{e^{-st}}{-s}\right]_0^\infty = \frac{1}{s}</math>

*בויקיפדיה ניתן למצוא [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%AA%D7%9E%D7%A8%D7%AA_%D7%9C%D7%A4%D7%9C%D7%A1#%D7%98%D7%91%D7%9C%D7%AA_%D7%94%D7%AA%D7%9E%D7%A8%D7%95%D7%AA_%D7%9C%D7%A4%D7%9C%D7%A1 טבלה של התמרות לפלס שימושיות].
*שימו לב לשימוש בפונקצית המדרגה <math>u(t)=\begin{cases}1 & t\geq 0\\ 0 & t<0\end{cases}</math> שמאפסת את כל החלק השלילי של ציר הx.
**הפונקציה <math>u(t-a)</math> מאפסת את ציר הx בקטע <math>(-\infty,a)</math>.

===תכונות התמרת לפלס===
*יחידות:
**אם <math>y_1,y_2</math> רציפות, ו<math>\mathcal{L}(y_1)=\mathcal{L}(y_2)</math> אזי <math>y_1=y_2</math>.
*לינאריות:
**<math>\mathcal{L}(y_1+ay_2) = \mathcal{L}(y_1)+a\mathcal{L}(y_2)</math>
*התמרת הנגזרת הראשונה:
**<math>\mathcal{L}(y')=s\mathcal{L}(y)-y(0)</math>
*התמרת נגזרת כללית:
**<math>\mathcal{L}(y^{(n)})=s^n\mathcal{L}(y)-s^{n-1}y(0)-s^{n-2}y'(0)-...-y^{(n-1)}(0)</math>
*הזזה של המשתנה s:
**אם <math>F(s)=\mathcal{L}(y)</math> אזי <math>F(s-a)=\mathcal{L}(e^{at}y)</math>
*הזזה של המשתנה t:
**אם <math>F(s)=\mathcal{L}(y)</math> אזי <math>e^{-as}F(s)=\mathcal{L}(u(t-a)y(t-a))</math>
*תכונות נוספות:
**אם <math>F(s)=\mathcal{L}(y)</math> אזי <math>\mathcal{L}(ty)=-F'(s)</math>
**אם <math>F(s)=\mathcal{L}(y)</math> אזי <math>\mathcal{L}(ty')=-F(s)-sF'(s)</math>
**אם <math>F(s)=\mathcal{L}(y)</math> אזי <math>\mathcal{L}(ty'')=-2sF(s)-s^2F'(s)+y(0)</math>

*נוכיח חלק מהתכונות לעיל כעת ובהרצאה הבאה.
*נוכיח עבור y החסומה ע"י אקספוננט כי <math>\mathcal{L}(y')=sF(s)-y(0)</math>
**<math>\mathcal{L}(y')=\int_0^\infty e^{-st}y'(t)dt</math>
**נבצע אינטגרציה בחלקים
**<math>\int_0^\infty e^{-st}y'(t)dt=\left[e^{-st}y(t)\right]_0^\infty+s\int_0^\infty e^{-st}y(t)dt = -y(0)+sF(s)</math>

*כעת <math>\mathcal{L}(y'')=s\mathcal{L}(y')-y'(0) = s^2F(s)-sy(0)-y'(0)</math>.
*וכן הלאה, עבור נגזרות מסדר גבוה.

===דוגמאות===

*דוגמא - נמצא את ההתמרה של האקספוננט
*נציב בנוסחא <math>\mathcal{L}(y')=s\mathcal{L}(y)-y(0)</math> את <math>y=e^{ax}</math>
*<math>\mathcal{L}(ae^{ax})=s\mathcal{L}(e^{ax})-1</math>
*סה"כ נקבל כי <math>\mathcal{L}(e^{ax})=\frac{1}{s-a}</math>

*דוגמא - נמצא פתרון למד"ר <math>y'=ry</math>.
*נבצע התמרת לפלס:
**<math>0=\mathcal{L}(y'-ry)=sF(s)-y(0)-rF(s)</math>
**<math>F(s)=\frac{y(0)}{s-r}</math>
**לכן <math>y=y(0)e^{rt}</math>

*דוגמא - נמצא את ההתמרה של סינוס וקוסינוס
*נסמן <math>F(s)=\mathcal{L}(\sin(ax))</math>, <math>G(s)=\mathcal{L}(\cos(ax))</math>
*נציב בנוסחא <math>\mathcal{L}(y')=s\mathcal{L}(y)-y(0)</math>:
**נציב <math>y=\sin(ax)</math> ונקבל <math>\mathcal{L}(a\cos(ax))=s\mathcal{L}(\sin(ax))-0</math> כלומר <math>aG(s)=sF(s)</math>
**נציב <math>y=\cos(ax)</math> ונקבל <math>\mathcal{L}(-a\sin(ax))=s\mathcal{L}(\cos(ax))-1</math> כלומר <math>-aF(s)=sG(s)-1</math>
*נקבל סה"כ כי
**<math>\mathcal{L}(sin(ax))=F(s)=\frac{a}{s^2+a^2}</math>
**<math>\mathcal{L}(cos(ax))=G(s)=\frac{s}{s^2+a^2}</math>

==הרצאה 11 - המשך התמרת לפלס==

*נוכיח כי <math>\mathcal{L}(e^{at}y(t)) = F(s-a)</math>
**<math>\mathcal{L}(e^{at}y(t))=\int_0^\infty e^{-st}e^{at}y(t)dt = \int_0^\infty e^{-(s-a)t}y(t)dt=F(s-a)</math>

*נפתור את המד"ר <math>y''-2y'+2y=0</math> עם תנאי ההתחלה <math>y(0)=0,y'(0)=1</math>.
*שימו לב שכבר למדנו איך לפתור מד"ר זו - למצוא פתרון כללי ולהציב תנאי ההתחלה.
*התמרת לפלס עשוייה לחסוך לנו קצת זמן.
*נבצע התמרת לפלס:
**<math>s^2F(s)-sy(0)-y'(0)-2(sF(s)-y(0))+F(s)=0</math>
**<math>F(s)=\frac{1}{s^2-2s+2} = \frac{1}{(s-1)^2+1}</math>
*ידוע ש<math>G(s)=\frac{1}{s^2+1}</math> הינה ההתמרה של <math>sin(t)</math>.
*לכן <math>F(s)=G(s-1)</math> הינה ההתמרה של <math>e^tsin(t)</math>, וזהו פתרון המד"ר.

*נוכיח כי אם <math>F(s)=\mathcal{L}(y)</math> אזי <math>\mathcal{L}(ty)=-F'(s)</math>
*<math>F(s)=\int_0^\infty e^{-st}y(t)dt</math>.
*נגזור את שני הצדדים לפי <math>s</math> ונקבל כי
**<math>F'(s)=\frac{\partial}{\partial s} \int_0^\infty e^{-st}y(t)dt=\int_0^\infty -te^{-st}y(t)dt=-\mathcal{L}(ty)</math>
**את העובדה שגזרנו בתוך האינטגרל לא נצדיק כאן, היא נכונה עבור פונקציות שחסומות על ידי אקספוננט.

*לכן, <math>\mathcal{L}(ty') = -\frac{\partial}{\partial s}\mathcal{L}(y') = -\frac{\partial}{\partial s}(sF(s)-y(0)) = -F(s)-sF'(s)</math>
*כמו כן, <math>\mathcal{L}(ty'') = -\frac{\partial}{\partial s}\mathcal{L}(y'') = -\frac{\partial}{\partial s}(s^2F(s)-sy(0)-y'(0)) = -(2sF(s)+s^2F'(s)-y(0))</math>

*דוגמא - נחשב את <math>\mathcal{L}(t^n)</math>.
**ידוע כי <math>\mathcal{L}(1)=\frac{1}{s}</math>
**לכן <math>\mathcal{L}(t)=-\frac{\partial}{\partial s}\mathcal{L}(1)= \frac{1}{s^2}</math>
**לכן <math>\mathcal{L}(t^2)=-\frac{\partial}{\partial s}\mathcal{L}(t)= \frac{2}{s^3}</math>
**לכן <math>\mathcal{L}(t^3)=-\frac{\partial}{\partial s}\mathcal{L}(t^2)= \frac{3!}{s^4}</math>
**ובאופן כללי <math>\mathcal{L}(t^n)=\frac{n!}{s^{n+1}}</math>

===דוגמא===
*נפתור את המד"ר <math>xy''-(x+2)y'+2y=0</math>.
*נבצע התמרת לפלס:
**<math>\mathcal{L}(xy''-(x+2)y'+2y)=\mathcal{L}(xy'')-\mathcal{L}(xy')-2\mathcal{L}(y')+2\mathcal{L}(y)=</math>
**<math>=-2sF(s)-s^2F'(s)+y(0)+F(s)+sF'(s)-2sF(s)+2y(0)+2F(s)</math>
**לכן קבלנו את המשוואה <math>(s-s^2)F'(s)+(3-4s)F(s)=-3y(0)</math>

*קיבלנו מד"ר לינארית.
*לצורך הנוחות, נחליף זמנית את הסימון ונפתור את <math>y'+\frac{3-4x}{x-x^2}y=\frac{-3y_0}{x-x^2}</math>
**נסמן <math>P(x)=\frac{3-4x}{x-x^2}=\frac{3}{x}+\frac{1}{x-1}</math>, ו<math>Q(x)=\frac{-3y_0}{x-x^2}</math>
**לכן <math>e^{-\int P(x)}=\frac{1}{x^3(x-1)}</math>.
**כמו כן <math>\int Q(x)e^{\int P(x)} = \int \frac{-3y_0}{x-x^2}x^3(x-1) = \int 3y_0x^2=y_0x^3</math>
**סה"כ הפתרון למד"ר הלינארית הוא <math>y=\frac{1}{x^3(x-1)}\left(y_0x^3+C\right)=\frac{y_0}{x-1}+\frac{C}{x^3(x-1)}</math>

*נחזור לסימון התמרת הלפלס:
**<math>F(s)=\frac{y(0)}{s-1}+\frac{C}{s^3(s-1)}=\frac{y(0)+C}{s-1} - C\left(\frac{1}{s}+\frac{1}{s^2}+\frac{1}{s^3}\right)</math>

*נבצע התמרה הפוכה על מנת לקבל את הפתרון למשוואה המקורית:
**<math>y=\mathcal{L}^{-1}(F(s))=(y(0)+C)e^x - C(1+x+\frac{1}{2}x^2)</math>

===דוגמא===

*נמצא פתרון למד"ר <math>ty''+2y'+ty=0</math> המקיים <math>y(0)=1</math>.
**נבצע התמרת לפלס <math>-2sF(s)-s^2F'(s)+1+2sF(s)-2-F'(s)=0</math>.
**לכן <math>F'(s)=-\frac{1}{1+s^2}</math>
**לכן <math>\mathcal{L}(ty)=\frac{1}{1+s^2}</math>
**לכן <math>ty=sin(t)</math>
**לכן <math>y=\frac{sin(t)}{t}</math>

*הערות:
**הפונקציה שקיבלנו רציפה אם נגדיר אותה ב0 להיות 1, ואכן מקיימת את תנאי ההתחלה.
**מצאנו רק פתרון אחד, כיוון שלפתרון השני <math>\frac{cos(t)}{t}</math> אין התמרת לפלס (האינטגרל לא מתכנס באיזור 0).

==הרצאה 12 - הדלתא של דירק==

===הדלתא של דירק===
*נתחיל ונאמר כי ישנן מספר גישות אל הדלתא של דירק, אנחנו נציג גישה אחת שרלוונטית אלינו.
*הדלתא של דירק '''אינה פונקציה''', אלא מייצגת תהליך.
*למרות האמור, אנחנו נתייחס לתוצאה הסופית של התהליך, כאילו היה מדובר בפונקציה ממש.

*מטרה עיקרית: 'פונקצית הדלתא' מקיימת את התכונה <math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x)dx=f(0)</math> לכל פונקציה <math>f(x)</math> הרציפה ב<math>0</math>.
*כמו כן, <math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)dx=\{t=x-a\}=\int_{-\infty}^\infty f(t+a)\delta(t)dt=f(a)</math> לכל פונקציה הרציפה בa.

*בצורה מדוייקת יותר, נביט בסדרת הפונקציות <math>\delta_n(x)=\begin{cases}n & 0\leq x \leq \frac{1}{n}\\ 0 & x< 0 \vee x>\frac{1}{n}\end{cases}</math>
*כאשר <math>n\to\infty</math> לכל <math>x\neq 0</math> מתקיים כי <math>\delta_n(x)\to 0</math> ועבור <math>x=0</math> מקבלים כי <math>\delta_n(x)\to \infty</math>.
*לכל <math>n</math> מתקיים כי <math>\int_{-\infty}^\infty \delta_n(x)dx=1</math>.
*עקרונית הסדרה מייצגת פונקציות בעלות שטח אחד, ההולך ומתרכז בנקודה אפס.
*עבור <math>f(x)</math> הרציפה בסביבה של <math>0</math> מתקיים כי:
**<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta_n(x)dx=\int_0^{\frac{1}{n}}nf(x)dx</math>
**לפי משפט ערך הממוצע האינטגרלי <math>\int_0^{\frac{1}{n}}nf(x)dx=nf(c_n)\cdot \frac{1}{n}=f(c_n)\to f(0)</math>

*נגדיר את <math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x)dx=\lim_{n\to \infty}\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta_n(x)dx</math>
*נשים לב כי לפי גישה זו <math>\int_{-\infty}^0f(x)\delta(x)dx=0</math> ו<math>\int_0^\infty f(x)\delta(x)dx =f(0)</math>.

*נחשב את התמרת הלפלס של הדלתא של דירק:
*לכל <math>a\geq 0</math> מתקיים <math>\mathcal{L}(\delta(t-a))=\int_0^\infty e^{-st}\delta(t-a)dt=e^{-sa}</math>
*בפרט <math>\mathcal{L}(\delta(t))=1</math>

===תגובת הלם===

*נביט במערכת של מסה המחוברת לקפיץ, המתחילה במנוחה.
*נניח שברגע <math>t=a</math> מישהו נתן 'פליק' למסה.
*הדרך שלנו לבטא כוח נקודתי שכזה היא הדלתא של דירק, המכונה גם 'פונקצית הלם'.
*כלומר הכוח החיצוני על המערכת הוא <math>\delta(t-a)</math>, בנוסף לכוח המופעל על ידי הקפיץ.
*למעשה אנו מעוניינים בפתרון למד"ר <math>y''+ky=\delta(t-a)</math>
*באופן דומה להגדרת האינטגרל, ניתן לחשוב על הפתרון כגבול הפתרונות למערכות המקורבות <math>y''+ky=\delta_n(t-a)</math>.
*על מנת שיהיה פתרון למד"ר עלינו לבחור הפעם סדרה של פונקציות גזירות ב<math>[0,\infty)</math> כמו <math>\delta_n(x)=\begin{cases}ne^{-nx} & x\geq 0 \\ 0 & x<0\end{cases}</math>

*נוכיח כעת את הנוסחא <math>e^{-sa}\mathcal{L}(y(t))=\mathcal{L}(u(t-a)y(t-a))</math> עבור <math>a>0</math>:
**<math>\mathcal{L}(u(t-a)y(t-a))=\int_0^\infty e^{-st}u(t-a)y(t-a)dt = \int_a^\infty e^{-st}y(t-a)dt=</math>
**נבצע את ההצבה <math>x=t-a</math> ונקבל:
**<math>=\int_0^\infty e^{-s(x+a)}y(x)dx =e^{-sa}\int_0^\infty e^{-sx}y(x)dx=e^{-sa}\mathcal{L}(y(t))</math>.

*נפתור את המערכת עם התמרת לפלס:
**<math>\mathcal{L}(y''+ky)=s^2F(s)-sy(0)-y'(0)+kF(s)=e^{-sa}</math>.
**כיוון שהמערכת התחילה במנוחה, <math>y(0)=y'(0)=0</math>.
**לכן <math>F(s)=\frac{e^{-sa}}{s^2+k}</math>.
**ולכן <math>y=u(t-a)\frac{sin(\sqrt{k}(t-a))}{\sqrt{k}}</math>.
**(הרי <math>\mathcal{L}(sin(\sqrt{k}t))=\frac{\sqrt{k}}{s^2+k}</math>).

*אכן, עד רגע <math>t=a</math> המערכת במנוחה <math>y=0</math>.
*לאחר מכן, אנו מקבלים את הפתרון המקיים <math>y(a)=0,y'(a)=1</math>.
*כלומר ה'הלם' תפקד במקרה זה כמו תנאי התחלה על המהירות - זה בדיוק ה'פליק' שהכנו במסה.

*נפתור את המערכת <math>y''+ky=\delta(x-\frac{2\pi}{\sqrt{k}})</math> עם תנאי ההתחלה <math>y(0)=0,y'(0)=-1</math>.
**נפעיל התמרת לפלס <math>s^2F(s)-sy(0)-y'(0)+kF(s)=e^{-\frac{2\pi}{\sqrt{k}}s}</math>
**לכן <math>F(s)=\frac{e^{-\frac{2\pi}{\sqrt{k}}s}-1}{s^2+k}</math>
**לכן <math>y(t)=\frac{1}{\sqrt{k}}\left(u(t-\frac{2\pi}{\sqrt{k}})sin(\sqrt{k}(t-\frac{2\pi}{\sqrt{k}}))-sin(\sqrt{k}t)\right)</math>
**לכן <math>y(t)=\frac{u(t-\frac{2\pi}{\sqrt{k}})-1}{\sqrt{k}}sin(\sqrt{k}t)</math>
**כלומר בזמן <math>t=\frac{2\pi}{\sqrt{k}}</math> ההלם עוצר את התנועה במערכת, והפתרון מתאפס.

*דוגמא - נפתור את המד"ר <math>y'''-y=\delta(t-1)</math> עבור תנאי ההתחלה <math>y(0)=y'(0)=y''(0)=0</math>.
**נבצע התמרת לפלס ונקבל כי <math>s^3F(s)-F(s)=e^{-s}</math>.
**לכן <math>F(s)=\frac{e^{-s}}{s^3-1}=e^{-s}\frac{1}{3}\left(\frac{1}{s-1}-\frac{s+2}{s^2+s+1}\right)</math>
**ראשית נמצא את ההתמרה ההפוכה <math>\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1}{s-1}-\frac{s+2}{s^2+s+1}\right)</math>:
***<math>\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1}{s-1}\right)=e^t</math>
***<math>\frac{s+2}{s^2+s+1}=\frac{s+2}{\left(s+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}=\frac{s+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}{\left(s+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}</math>
***<math>\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{s+\frac{1}{2}}{\left(s+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\right)=e^{-\frac{t}{2}}cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)</math>
***<math>\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{3}{2}\frac{1}{\left(s+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\right)
=\mathcal{L}^{-1}\left(
\sqrt{3}\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}
{\left(s+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}
\right)
=\sqrt{3}e^{-\frac{t}{2}}sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)
</math>
***לכן <math>\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1}{s-1}-\frac{s+2}{s^2+s+1}\right)=e^t-e^{-\frac{t}{2}}cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)-\sqrt{3}e^{-\frac{t}{2}}sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)</math>
**ולכן סה"כ הפתרון למד"ר הינו <math>
y=\frac{u(t-1)}{3}\left[
e^{t-1}-e^{-\frac{t-1}{2}}cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}(t-1)\right)-
\sqrt{3}e^{-\frac{t-1}{2}}sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}(t-1)\right)
\right]</math>

==הרצאה 13 - משוואת אוילר==

*משוואת אוילר הומוגנית היא משוואה מהצורה:
**<math>a_nx^ny^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}+...+a_0y=0</math>

*נסמן את פונקצית האקפוננט <math>\exp(t)=e^t</math>
*נפתור את המד"ר ל<math>x>0</math>
*נגדיר <math>u=y\circ \exp</math> כלומר <math>u(t)=y(e^t)</math>.
*נקבל כי
**<math>u'(t)=e^ty'(e^t)</math>
**<math>u''(t)=e^{2t}y''(e^t)+e^ty'(e^t) = e^{2t}y''(e^t)+u'(t)</math>
**<math>u'''(t)=e^{3t}y'''(e^t) + 2e^{2t}y''(e^t)+u''(t) = e^{3t}y'''(e^t)+2(u''(t)-u'(t))+u''(t)</math>
**באופן כללי ניתן להוכיח באינדוקציה כי <math>u^{(m)}(t)=e^{mt}y^{(m)}(e^t)+\sum_{k=1}^{m-1} b_ku^{(k)}(t)</math> עבור קבועים כלשהם.

*נסמן את האופרטור המתאים למד"ר:
**<math>H=a_n x^n D^n +...+a_0 I</math>
**לכן <math>Hy\circ\exp (t)=a_n e^{nt}y^{(n)}(e^t)+...+a_0y(e^t)</math>
**לפי הפיתוח לעיל, זה שווה ל<math>c_nu^{(n)}(t)+...+c_0u(t)=0</math> עבור קבועים כלשהם.
*נסמן את האופרטור המתאים למד"ר זו ב<math>K=c_nD^n+...+c_0I</math>
**סה"כ הוכחנו כי <math>Hy\circ\exp=K(y\circ\exp)</math>

*את הגרעין של <math>K</math> אנחנו יודעים למצוא כיוון שזו מד"ר לינארית הומוגנית עם מקדמים קבועים.
*אם <math>u</math> פתרון למד"ר המתאים ל<math>K</math> אז עבור <math>y=u\circ \ln</math> מתקיים כי <math>K(y\circ\exp)=0</math>
*לכן <math>Hy\circ \exp =0</math> ולכן <math>Hy=0</math> בחיוביים, שהרי זו התמונה של <math>\exp</math>.

*אבל איך נמצא את הפתרונות ל<math>Ku=0</math>? צריך למצוא את הפולינום האופייני.
*עבור <math>y=x^r</math> נקבל כי <math>Hy\circ\exp=K(y\circ\exp)=K(e^{rt})=c_nr^n e^{rt}+...+c_0 e^{rt}</math>
*אם נחלק ב<math>e^{rt}</math> נקבל את הפולינום האופייני של המד"ר <math>Ku=0</math>, זו נקראת '''המשוואה האינדנציאלית''' של משוואת האוילר המקורית.
*במילים פשוטות, על מנת לחשב את המשוואה האינדנציאלית:
**נציב <math>x^r</math> במשוואת האוילר
**נציב <math>x=e^t</math> ונחלק ב<math>e^{rt}</math> (או בעצם נחלק מראש ב<math>x^r</math> שזה שקול)

*השורשים של המשוואה האינדנציאלית נותנים לנו את הפתרונות לגרעין של <math>K</math>, נרכיב אותם על <math>ln(x)</math> ונקבל את הפתרונות למשוואת האוילר.

*סה"כ אם r שורש ממשי מריבוי k של המשוואה האינדנציאלית אזי:
**<math>u(t)=t^me^{rt}</math> פתרון של המד"ר <math>c_nu^{(n)}(t)+...+c_0u(t)=0</math> לכל <math>0\leq m\leq k-1</math>.
**ולכן <math>y(x)=u(ln(x))=ln^m(x)x^r</math> פתרון של משוואת אוילר המקורית, לכל <math>0\leq m\leq k-1</math>.
*אם <math>r=a\pm bi</math> זוג שורשים מרוכבים צמודים מריבוי k כל אחד אזי:
**<math>u(t)=t^me^{at}cos(bt),t^me^{at}sin(bt)</math> פתרונות של המד"ר <math>c_nu^{(n)}(t)+...+c_0u(t)=0</math>, לכל <math>0\leq m\leq k-1</math>.
**לכן <math>y(x)=ln^m(x)x^acos(bln(x)),ln^m(x)x^asin(bln(x))</math> פתרונות של משוואת אוילר המקורית, לכל <math>0\leq m\leq k-1</math>.

*דוגמא:
**<math>x^3y'''-x^2y''+2xy'-2y=0</math>
**נציב <math>y=x^r</math> ונקבל את המשוואה האינדנציאלית <math>r(r-1)(r-2)-r(r-1)+2r-2=0</math>.
**לכן <math>r(r-1)(r-2)-(r-2)(r-1)=0</math>.
**כלומר <math>(r-2)(r-1)(r-1)=0</math>.
**לכן הפתרון הכללי הינו <math>y=c_1x^2+c_2x+x_3xln(x)</math>

*דוגמא:
**<math>xy''+y'+\frac{y}{x}=0</math>
**נעביר לצורה של משוואת אוילר <math>x^2y''+xy'+y=0</math>.
**המשוואה האינדנציאלית היא <math>r(r-1)+r+1=0</math>.
**כלומר <math>r^2+1=0</math>.
**לכן הפתרון הכללי הינו <math>y=c_1sin(ln(x))+c_2cos(ln(x))</math>

*דוגמא:
**מצאו פתרון כלשהו למד"ר <math>x^2y''-2xy'+2y=x^3e^x</math>
**ראשית נמצא את הפתרונות למד"ר ההומוגנית, שהיא משוואת אוילר.
**לאחר מכן נמצא פתרון פרטי באמצעות וריאצית המקדמים.

קובץ:23BSMorimBdidaTestD.pdf

2025-12-17T12:33:35Z

ארז שיינר:

קובץ:23BSMorimBdidaTestC.pdf

2025-12-17T12:33:20Z

ארז שיינר:

קובץ:23BSMorimBdidaTestB.pdf

2025-12-17T12:32:54Z

ארז שיינר:

2025-09-18T17:15:42Z

ארז שיינר:

ברוכים הבאים למיני קורס בלמידה עצמית מודרכת בחדו"א

חומר הקורס מופיע בדף [[חדוא 1 - ארז שיינר]], וכאן יופיעו קישורים לחלק מן החומר בהתאם למפגשים.

=חומר עזר=
*[https://youtube.com/live/Uo99QxEidnk?feature=share הרצאות המיני קורס המוקלטות]

*[[חדוא 1 - ארז שיינר|תקציר הקורס, סרטוני הקורס ומבחנים עם פתרונות]]

*[[חשבון אינפיניטיסימלי 1 - מערך תרגול|מערכי תרגול]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעג/תרגילים|תרגילים עם פתרונות]]
*[[מדיה:10TauInfi1Ex.pdf|תרגילי הבית מאוניברסיטת תל אביב תשע"א]]
*[[88-132 חשבון אינפיניטיסימלי 1|דף הקורס לחומר עזר נוסף]]

=מפגש ראשון - מבוא=

סרטון לצפייה לפני המפגש הראשון:

*[https://youtu.be/WdKqIf8xGeY?si=4CCRuBU65w6BZxg6 הרצאה 4]

חדו"א היא ראשי תיבות של חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי.

הדיפרנציאלי הוא הנגזרות, והאינטגרלי הם גדלים גאומטריים כמו היקף, שטח ונפח.

אבן הבניין הבסיסית של החדו"א היא הגבול, עוד מימי אוקלידס לדוגמא טענות 1 ו2 בספר ה12 של היסודות של אוקלידס.

אמרנו שהרעיון הבסיסי בחדו"א הוא מושג הגבול, והחלון הראשון שלנו להצצה לרעיון הגבול הוא חסמים הדוקים - חסם עליון וחסם תחתון.

===חומר צפייה חובה לקראת המפגש הבא===

*[https://youtu.be/mMVBYUDmSA0?si=t2Fc1hTiXANBYc2q הרצאה 8]
*[https://youtu.be/U5RUHjrHVGI?si=FJIMYTG233OHG0IC הרצאה 9]

===חומר צפייה רשות לקראת המפגש הבא===

*[https://youtu.be/iEux7Zo_7Iw?si=y53KfckgBGzdfYnE הרצאה 1]
*[https://youtu.be/20KPM0pRTHc?si=ucuifZsldMbHP5SG הרצאה 2]
*[https://youtu.be/vHNsel0dKHk?si=VedsSp26Ra3vwBgx הרצאה 3]
*[https://youtu.be/7cz-S6GWg3Y?si=oFhCcEBQd-uSw0bw הרצאה 5]
*[https://youtu.be/mVCNRtV7TP0?si=P-IPmZg2AMNoNjRA הרצאה 6]
*[https://youtu.be/QIwz6eyrcuI?si=qu7aMwEXM8PE6Y6Q הרצאה 7]

=מפגש שני - גבול של סדרה=

אמנם בחדו"א חוקרים בעיקר פונקציות, אך לסדרות יש תפקיד חשוב בפני עצמן וכן ניתן לבנות גבולות של פונקציות בעזרתן.

נדבר על הגדרת הגבול של סדרה, ואילו שאלות מעניינות אותנו לגבי גבולות של סדרות.

===חומר צפייה חובה לקראת המפגש הבא===
*[https://youtu.be/n6xkPhKmhQo?si=t_m6OT4c-h2HJKuA הרצאה 16]
*[https://youtu.be/hFa7Nv5o05M?si=6I9JmGUYR5esAtBu הרצאה 17]
*[https://youtu.be/pTVTkSlxJdI?si=Q3LljBQTpl3KAoZn הרצאה 19]

===חומר צפייה רשות לקראת המפגש הבא===

*[https://youtu.be/YE52OP_xPDA?si=BOwN8Nc_OXt2XOFc הרצאה 10]
*[https://youtu.be/CZnYbF1Lm7k?si=qRFW_GpmYIcWgVuD הרצאה 11]
*[https://youtu.be/nHaq8E0vGJA?si=lN_ot7JtIIy9aAyw הרצאה 12]
*[https://youtu.be/3QSMzWlG-yI?si=NYb5YBjUFJEO1auM הרצאה 13]
*[https://youtu.be/AVvOiLm5COA?si=jpUcdb2fDeoS8L_r הרצאה 14]
*[https://youtu.be/Hf14pSb3zDM?si=sx7mDduYZTImXzH1 הרצאה 15]

=מפגש שלישי - חשבון גבולות וסדרות מונוטוניות=

נלמד על המקרים הבעייתיים בחשבון גבולות, על שיטת WIN - wouldn't it be nice, כלל לופיטל ושיטות נוספות לחישוב גבולות.

לאחר מכן נלמד על מציאת גבול של סדרות הנתונות בעזרת נוסחת נסיגה.

===תרגול===
שאלות מספר 5 מה[[83-112 חדו"א 1 להנדסה/נושאי הקורס|קישור הבא]]

===חומר צפייה חובה לקראת המפגש הבא===

*[https://youtu.be/v7tyKNPU-7I?si=Fq0EjPzhzPY1Jex2 הרצאה 20]
*[https://youtu.be/E3DLm1YxOko?si=dyOkeUgR8jFzcUzH הרצאה 31]

===חומר צפייה רשות לקראת המפגש הבא===

*[https://youtu.be/Shmc2BtEGBE?si=2C2tbjwH_sjB9h1x הרצאה 18]
*[https://youtu.be/6TohAEqQwsk?si=0PMOXW3XMjDIIJo9 הרצאה 21]
*[https://youtu.be/rvdm2_7g-7I?si=QZLAP8QSByMitlnF הרצאה 22]
*[https://youtu.be/R491ZyCHhBs?si=PKeiAr8v-AgU55oS הרצאה 23]
*[https://youtu.be/n71Zy87PbEE?si=vcsJVMSoIe_TCDy0 הרצאה 24]
*[https://youtu.be/zF_5NdFJbAg?si=JGOZkjxqgAWq1UwL הרצאה 25]
*[https://youtu.be/j4C_2yvKpN0?si=KBxh5VaKVdNM3DeZ הרצאה 26]
*[https://youtu.be/Y0Jpalk44do?si=AQm-7rCn9XlvKjh3 הרצאה 27]
*[https://youtu.be/y7yPjqyGOIg?si=j3UjPRaJbvc-c1q5 הרצאה 28]
*[https://youtu.be/5V4EmQIdE90?si=8WxYKb9jM13akE3x הרצאה 29]
*[https://youtu.be/S56cCgc9U38?si=jC32fY7SDou6aYsL הרצאה 30]

=מפגש רביעי - קבוע אוילר, מבוא לטורים =

את קבוע אוילר, המספר e, אפשר לפגוש בהרבה דרכים שונות, הרלוונטית ביותר בחדו"א היא גזירת האקספוננט.

כיוון שזה לא מופיע בסרטונים, בשיעור נציג את תרגיל הריבית דה ריבית, או הסיכוי להצליח לפחות פעם אחד ב100 הגרלות עם סיכוי מאית להצלחה.

נסביר כיצד המונוטוניות והחסימות מאפשרות לדבר על גבול של סדרה מבלי למצוא אותו.

כמו כן נציג טורים וטורי טיילור על קצת המזלג

===חומר צפייה חובה לקראת המפגש הבא===

*[https://youtu.be/OMJWXoSIlX0?si=o79qMvB8nmTvPFy6 הרצאה 48]
*[https://youtu.be/YTA4sI56t1Y?si=iy3vmM9lafq8v3WT הרצאה 49]
*[https://youtu.be/KKFyEBxM9yo?si=RFsKR7XqDLCWKYU3 הרצאה 50]

===חומר צפייה רשות לקראת המפגש הבא===

*[https://youtu.be/v-qwJWYvuNY?si=K33NjSDcRgxIWz8P הרצאה 32]
*[https://youtu.be/suDMRh69Lgc?si=D1lFmjXB-BSC2XoZ הרצאה 33]
*[https://youtu.be/uZHNxYO7S-Q?si=bXQrkbAoxDTB4deZ הרצאה 34]
*[https://youtu.be/54MQXVhM9vU?si=btnNW-64p3kR-4xY הרצאה 35]
*[https://youtu.be/OFcOpUNprTo?si=231qYQa1rqBzHWzx הרצאה 36]
*[https://youtu.be/M3B6018c-4g?si=LdGFk1liyhX5FbYs הרצאה 37]
*[https://youtu.be/DDOups05oms?si=UtSpknwCv-TgFa_m הרצאה 38]
*[https://youtu.be/Y7k-a29_03g?si=XOF1IA4oXILdUm4G הרצאה 39]
*[https://youtu.be/UozGPSlW8fM?si=gLm_4TTUozR3zrFI הרצאה 40]
*[https://youtu.be/m5kFinYjG8A?si=zr0s19qvGGUyCC76 הרצאה 41]
*[https://youtu.be/Ou3ixbIVfYI?si=u355X8XLl_CZWLYd הרצאה 42]
*[https://youtu.be/nJU3b5zvURQ?si=xCOD0Z6MHcKooLLU הרצאה 43]
*[https://youtu.be/XEl8ZykrNcw?si=Kpo8tKzv0VsCYANJ הרצאה 44]
*[https://youtu.be/ASXMi-rBCv0?si=4xH0eMwCW-q3ZwFn הרצאה 45]
*[https://youtu.be/e_tBsPs5vq4?si=U80rRO8N2nqkjvHh הרצאה 46]
*[https://youtu.be/GG76LdzRvKo?si=F7HDtz4c92EoKfyM הרצאה 47]

=מפגש חמישי - פונקציות, רציפות וגזירות =

רציפות היא העמידה ביעד, וגזירות היא הדמיון לקו ישר הנקרא 'משיק'.

נראה כיצד אפשר לבצע קירוב לפונקציה בעזרת המשיק, וכיצד תכונת הגזירות נראית בפונקציות בשני משתנים.

===חומר צפייה חובה לקראת המפגש הבא===

*[https://youtu.be/gnUkKM9PgPQ?si=aVC4vp0WOfIGYMZv הרצאה 51]
*[https://youtu.be/YIU0hc8xe7I?si=-KY-UvwquThnnzsT הרצאה 52]
*[https://youtu.be/9y7T2Nmpv24?si=VdKsQBgdZuzSy91k הרצאה 53]

===חומר צפייה רשות לקראת המפגש הבא===

*[https://youtu.be/76vmO8IBYKQ?si=miEIjyzpMn05c96G הרצאה 54]
*[https://youtu.be/FA_XRcitd64?si=J_-Nc-fcoLNe0_dH הרצאה 55]
*[https://youtu.be/qjSueXDanYs?si=jcT0SCc_el_OqIwP הרצאה 56]
*[https://youtu.be/3zwjxNNr5tc?si=XOrwJjPIZerSpEhb הרצאה 57]
*[https://youtu.be/7FYVQ_fGyNE?si=Bj-ngp6TIr2TeOR- הרצאה 58]
*[https://youtu.be/nukvxlHm2kQ?si=qupjo5gnfkR-65E8 הרצאה 59]
*[https://youtu.be/WdKVN6R0NfU?si=_zam1nTtt5Mj7Fct הרצאה 68]

=מפגש שישי - פונקציות, רציפות וגזירות=

===חומר צפייה חובה לקראת המפגש הבא===

===חומר צפייה רשות לקראת המפגש הבא===

*[https://youtu.be/pBYSLhpsz9g?si=8MQgr1Zr2LOyfcx_ הרצאה 60]
*[https://youtu.be/NkPt_CFvuhY?si=lbsXjbM3J70EksNv הרצאה 61]
*[https://youtu.be/iiF0siIWius?si=h3_tjdFp7Ik98ZvG הרצאה 62]
*[https://youtu.be/uMPXs9PwxZ4?si=w_q76agJ6uvl5NLP הרצאה 63]
*[https://youtu.be/UQnqIRrf12E?si=gXO3Y0EvnBat6zNl הרצאה 64]
*[https://youtu.be/Iag0TdjdFnM?si=MG0wq0gULh3e3MKx הרצאה 65]
*[https://youtu.be/n9WMYrhb-6I?si=J4zFEeYdFEstM2bi הרצאה 66]
*[https://youtu.be/sryeJtePu_U?si=LoW4TJhdyIoJUXBG הרצאה 67]

=מפגש שביעי - חקירת פונקציות=

נציג שאלות של חקירת פונקציות - מספר פתרונות למשוואה, הוכחת אי שיוויון, מציאת חסמים.

===תרגול===
שאלות מספר 3 מה[[83-112 חדו"א 1 להנדסה/נושאי הקורס|קישור הבא]]

===חומר צפייה חובה לקראת המפגש הבא===
הרצאות 71-74 מתוך [https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-sR6S1JZDECwwzGk6Z4NXWe הפלייליסט של כל הסרטונים]

*[https://youtu.be/Vlsum5uohMo?si=_hi91G3v0AdNidwe הרצאה 71]
*[https://youtu.be/hmdp_jj9fx0?si=U587IT7I8lnDDokO הרצאה 72]
*[https://youtu.be/3DXDneBUnK8?si=ldGyv-HsLN_EoCzB הרצאה 73]
*[https://youtu.be/zX9XkY_mdDQ?si=nbpWu3Nj2RSHFXde הרצאה 74]

===חומר צפייה רשות לקראת המפגש הבא===
הרצאות 69-70,75-78 מתוך [https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-sR6S1JZDECwwzGk6Z4NXWe הפלייליסט של כל הסרטונים]

*[https://youtu.be/pZXEn6KWtMY?si=HM0tVP79fF4bpeL- הרצאה 69]
*[https://youtu.be/FPlpOmNQiAE?si=8Dk45pvErefnN0HG הרצאה 70]
*[https://youtu.be/PTtcansFGJQ?si=fF8-6oDD_0RwZrxb הרצאה 75]
*[https://youtu.be/PaDFSrtsOE4?si=GdT8ErEBQSm7NBur הרצאה 76]
*[https://youtu.be/bqLDkGRLUYI?si=xwmusjfVrOqO6MDh הרצאה 77]
*[https://youtu.be/0RjBoccpjo8?si=N1Qv6AUYMOGWPH2m הרצאה 78]

=מפגש שמיני - משפטי חקירה=

נסקור את משפטי החקירה שעוזרים לנו לבצע חקירת פונקציות.

מיני קורס ללמידה עצמית בחדוא

2025-09-18T17:09:42Z

ארז שיינר:

ברוכים הבאים למיני קורס בלמידה עצמית מודרכת בחדו"א

חומר הקורס מופיע בדף [[חדוא 1 - ארז שיינר]], וכאן יופיעו קישורים לחלק מן החומר בהתאם למפגשים.

=חומר עזר=
*[https://youtube.com/live/Uo99QxEidnk?feature=share הרצאות המיני קורס המוקלטות]

*[[חדוא 1 - ארז שיינר|תקציר הקורס, סרטוני הקורס ומבחנים עם פתרונות]]

*[[חשבון אינפיניטיסימלי 1 - מערך תרגול|מערכי תרגול]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעג/תרגילים|תרגילים עם פתרונות]]
*[[מדיה:10TauInfi1Ex.pdf|תרגילי הבית מאוניברסיטת תל אביב תשע"א]]
*[[88-132 חשבון אינפיניטיסימלי 1|דף הקורס לחומר עזר נוסף]]

=מפגש ראשון - מבוא=

סרטון לצפייה לפני המפגש הראשון:

*[https://youtu.be/WdKqIf8xGeY?si=4CCRuBU65w6BZxg6 הרצאה 4]

חדו"א היא ראשי תיבות של חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי.

הדיפרנציאלי הוא הנגזרות, והאינטגרלי הם גדלים גאומטריים כמו היקף, שטח ונפח.

אבן הבניין הבסיסית של החדו"א היא הגבול, עוד מימי אוקלידס לדוגמא טענות 1 ו2 בספר ה12 של היסודות של אוקלידס.

אמרנו שהרעיון הבסיסי בחדו"א הוא מושג הגבול, והחלון הראשון שלנו להצצה לרעיון הגבול הוא חסמים הדוקים - חסם עליון וחסם תחתון.

===חומר צפייה חובה לקראת המפגש הבא===

*[https://youtu.be/mMVBYUDmSA0?si=t2Fc1hTiXANBYc2q הרצאה 8]
*[https://youtu.be/U5RUHjrHVGI?si=FJIMYTG233OHG0IC הרצאה 9]

===חומר צפייה רשות לקראת המפגש הבא===

*[https://youtu.be/iEux7Zo_7Iw?si=y53KfckgBGzdfYnE הרצאה 1]
*[https://youtu.be/20KPM0pRTHc?si=ucuifZsldMbHP5SG הרצאה 2]
*[https://youtu.be/vHNsel0dKHk?si=VedsSp26Ra3vwBgx הרצאה 3]
*[https://youtu.be/7cz-S6GWg3Y?si=oFhCcEBQd-uSw0bw הרצאה 5]
*[https://youtu.be/mVCNRtV7TP0?si=P-IPmZg2AMNoNjRA הרצאה 6]
*[https://youtu.be/QIwz6eyrcuI?si=qu7aMwEXM8PE6Y6Q הרצאה 7]

=מפגש שני - גבול של סדרה=

אמנם בחדו"א חוקרים בעיקר פונקציות, אך לסדרות יש תפקיד חשוב בפני עצמן וכן ניתן לבנות גבולות של פונקציות בעזרתן.

נדבר על הגדרת הגבול של סדרה, ואילו שאלות מעניינות אותנו לגבי גבולות של סדרות.

===חומר צפייה חובה לקראת המפגש הבא===
*[https://youtu.be/n6xkPhKmhQo?si=t_m6OT4c-h2HJKuA הרצאה 16]
*[https://youtu.be/hFa7Nv5o05M?si=6I9JmGUYR5esAtBu הרצאה 17]
*[https://youtu.be/pTVTkSlxJdI?si=Q3LljBQTpl3KAoZn הרצאה 19]

===חומר צפייה רשות לקראת המפגש הבא===

*[https://youtu.be/YE52OP_xPDA?si=BOwN8Nc_OXt2XOFc הרצאה 10]
*[https://youtu.be/CZnYbF1Lm7k?si=qRFW_GpmYIcWgVuD הרצאה 11]
*[https://youtu.be/nHaq8E0vGJA?si=lN_ot7JtIIy9aAyw הרצאה 12]
*[https://youtu.be/3QSMzWlG-yI?si=NYb5YBjUFJEO1auM הרצאה 13]
*[https://youtu.be/AVvOiLm5COA?si=jpUcdb2fDeoS8L_r הרצאה 14]
*[https://youtu.be/Hf14pSb3zDM?si=sx7mDduYZTImXzH1 הרצאה 15]

=מפגש שלישי - חשבון גבולות וסדרות מונוטוניות=

נלמד על המקרים הבעייתיים בחשבון גבולות, על שיטת WIN - wouldn't it be nice, כלל לופיטל ושיטות נוספות לחישוב גבולות.

לאחר מכן נלמד על מציאת גבול של סדרות הנתונות בעזרת נוסחת נסיגה.

===תרגול===
שאלות מספר 5 מה[[83-112 חדו"א 1 להנדסה/נושאי הקורס|קישור הבא]]

===חומר צפייה חובה לקראת המפגש הבא===

*[https://youtu.be/v7tyKNPU-7I?si=Fq0EjPzhzPY1Jex2 הרצאה 20]
*[https://youtu.be/E3DLm1YxOko?si=dyOkeUgR8jFzcUzH הרצאה 31]

===חומר צפייה רשות לקראת המפגש הבא===

*[https://youtu.be/Shmc2BtEGBE?si=2C2tbjwH_sjB9h1x הרצאה 18]
*[https://youtu.be/6TohAEqQwsk?si=0PMOXW3XMjDIIJo9 הרצאה 21]
*[https://youtu.be/rvdm2_7g-7I?si=QZLAP8QSByMitlnF הרצאה 22]
*[https://youtu.be/R491ZyCHhBs?si=PKeiAr8v-AgU55oS הרצאה 23]
*[https://youtu.be/n71Zy87PbEE?si=vcsJVMSoIe_TCDy0 הרצאה 24]
*[https://youtu.be/zF_5NdFJbAg?si=JGOZkjxqgAWq1UwL הרצאה 25]
*[https://youtu.be/j4C_2yvKpN0?si=KBxh5VaKVdNM3DeZ הרצאה 26]
*[https://youtu.be/Y0Jpalk44do?si=AQm-7rCn9XlvKjh3 הרצאה 27]
*[https://youtu.be/y7yPjqyGOIg?si=j3UjPRaJbvc-c1q5 הרצאה 28]
*[https://youtu.be/5V4EmQIdE90?si=8WxYKb9jM13akE3x הרצאה 29]
*[https://youtu.be/S56cCgc9U38?si=jC32fY7SDou6aYsL הרצאה 30]

=מפגש רביעי - קבוע אוילר, מבוא לטורים =

את קבוע אוילר, המספר e, אפשר לפגוש בהרבה דרכים שונות, הרלוונטית ביותר בחדו"א היא גזירת האקספוננט.

כיוון שזה לא מופיע בסרטונים, בשיעור נציג את תרגיל הריבית דה ריבית, או הסיכוי להצליח לפחות פעם אחד ב100 הגרלות עם סיכוי מאית להצלחה.

נסביר כיצד המונוטוניות והחסימות מאפשרות לדבר על גבול של סדרה מבלי למצוא אותו.

כמו כן נציג טורים וטורי טיילור על קצת המזלג

===חומר צפייה חובה לקראת המפגש הבא===

*[https://youtu.be/OMJWXoSIlX0?si=o79qMvB8nmTvPFy6 הרצאה 48]
*[https://youtu.be/YTA4sI56t1Y?si=iy3vmM9lafq8v3WT הרצאה 49]
*[https://youtu.be/KKFyEBxM9yo?si=RFsKR7XqDLCWKYU3 הרצאה 50]

===חומר צפייה רשות לקראת המפגש הבא===

*[https://youtu.be/v-qwJWYvuNY?si=K33NjSDcRgxIWz8P הרצאה 32]
*[https://youtu.be/suDMRh69Lgc?si=D1lFmjXB-BSC2XoZ הרצאה 33]
*[https://youtu.be/uZHNxYO7S-Q?si=bXQrkbAoxDTB4deZ הרצאה 34]
*[https://youtu.be/54MQXVhM9vU?si=btnNW-64p3kR-4xY הרצאה 35]
*[https://youtu.be/OFcOpUNprTo?si=231qYQa1rqBzHWzx הרצאה 36]
*[https://youtu.be/M3B6018c-4g?si=LdGFk1liyhX5FbYs הרצאה 37]
*[https://youtu.be/DDOups05oms?si=UtSpknwCv-TgFa_m הרצאה 38]
*[https://youtu.be/Y7k-a29_03g?si=XOF1IA4oXILdUm4G הרצאה 39]
*[https://youtu.be/UozGPSlW8fM?si=gLm_4TTUozR3zrFI הרצאה 40]
*[https://youtu.be/m5kFinYjG8A?si=zr0s19qvGGUyCC76 הרצאה 41]
*[https://youtu.be/Ou3ixbIVfYI?si=u355X8XLl_CZWLYd הרצאה 42]
*[https://youtu.be/nJU3b5zvURQ?si=xCOD0Z6MHcKooLLU הרצאה 43]
*[https://youtu.be/XEl8ZykrNcw?si=Kpo8tKzv0VsCYANJ הרצאה 44]
*[https://youtu.be/ASXMi-rBCv0?si=4xH0eMwCW-q3ZwFn הרצאה 45]
*[https://youtu.be/e_tBsPs5vq4?si=U80rRO8N2nqkjvHh הרצאה 46]
*[https://youtu.be/GG76LdzRvKo?si=F7HDtz4c92EoKfyM הרצאה 47]

=מפגש חמישי - פונקציות, רציפות וגזירות =

כל מספר ממשי הוא בעצם סכום של אינסוף מספרים.

רציפות היא העמידה ביעד, וגזירות היא הדמיון לקו ישר הנקרא 'משיק'.

נראה כיצד אפשר לבצע קירוב לפונקציה בעזרת המשיק, וכיצד תכונת הגזירות נראית בפונקציות בשני משתנים.

===חומר צפייה חובה לקראת המפגש הבא===

*[https://youtu.be/gnUkKM9PgPQ?si=aVC4vp0WOfIGYMZv הרצאה 51]
*[https://youtu.be/YIU0hc8xe7I?si=-KY-UvwquThnnzsT הרצאה 52]
*[https://youtu.be/9y7T2Nmpv24?si=VdKsQBgdZuzSy91k הרצאה 53]

===חומר צפייה רשות לקראת המפגש הבא===

*[https://youtu.be/76vmO8IBYKQ?si=miEIjyzpMn05c96G הרצאה 54]
*[https://youtu.be/FA_XRcitd64?si=J_-Nc-fcoLNe0_dH הרצאה 55]
*[https://youtu.be/qjSueXDanYs?si=jcT0SCc_el_OqIwP הרצאה 56]
*[https://youtu.be/3zwjxNNr5tc?si=XOrwJjPIZerSpEhb הרצאה 57]

=מפגש שישי - פונקציות, רציפות וגזירות=

===חומר צפייה חובה לקראת המפגש הבא===
הרצאות 58-59,68 מתוך [https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-sR6S1JZDECwwzGk6Z4NXWe הפלייליסט של כל הסרטונים]

*[https://youtu.be/7FYVQ_fGyNE?si=Bj-ngp6TIr2TeOR- הרצאה 58]
*[https://youtu.be/nukvxlHm2kQ?si=qupjo5gnfkR-65E8 הרצאה 59]
*[https://youtu.be/WdKVN6R0NfU?si=_zam1nTtt5Mj7Fct הרצאה 68]

===חומר צפייה רשות לקראת המפגש הבא===
הרצאות 60-67 מתוך [https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-sR6S1JZDECwwzGk6Z4NXWe הפלייליסט של כל הסרטונים]

*[https://youtu.be/pBYSLhpsz9g?si=8MQgr1Zr2LOyfcx_ הרצאה 60]
*[https://youtu.be/NkPt_CFvuhY?si=lbsXjbM3J70EksNv הרצאה 61]
*[https://youtu.be/iiF0siIWius?si=h3_tjdFp7Ik98ZvG הרצאה 62]
*[https://youtu.be/uMPXs9PwxZ4?si=w_q76agJ6uvl5NLP הרצאה 63]
*[https://youtu.be/UQnqIRrf12E?si=gXO3Y0EvnBat6zNl הרצאה 64]
*[https://youtu.be/Iag0TdjdFnM?si=MG0wq0gULh3e3MKx הרצאה 65]
*[https://youtu.be/n9WMYrhb-6I?si=J4zFEeYdFEstM2bi הרצאה 66]
*[https://youtu.be/sryeJtePu_U?si=LoW4TJhdyIoJUXBG הרצאה 67]

=מפגש שביעי - חקירת פונקציות=

נציג שאלות של חקירת פונקציות - מספר פתרונות למשוואה, הוכחת אי שיוויון, מציאת חסמים.

===תרגול===
שאלות מספר 3 מה[[83-112 חדו"א 1 להנדסה/נושאי הקורס|קישור הבא]]

===חומר צפייה חובה לקראת המפגש הבא===
הרצאות 71-74 מתוך [https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-sR6S1JZDECwwzGk6Z4NXWe הפלייליסט של כל הסרטונים]

*[https://youtu.be/Vlsum5uohMo?si=_hi91G3v0AdNidwe הרצאה 71]
*[https://youtu.be/hmdp_jj9fx0?si=U587IT7I8lnDDokO הרצאה 72]
*[https://youtu.be/3DXDneBUnK8?si=ldGyv-HsLN_EoCzB הרצאה 73]
*[https://youtu.be/zX9XkY_mdDQ?si=nbpWu3Nj2RSHFXde הרצאה 74]

===חומר צפייה רשות לקראת המפגש הבא===
הרצאות 69-70,75-78 מתוך [https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-sR6S1JZDECwwzGk6Z4NXWe הפלייליסט של כל הסרטונים]

*[https://youtu.be/pZXEn6KWtMY?si=HM0tVP79fF4bpeL- הרצאה 69]
*[https://youtu.be/FPlpOmNQiAE?si=8Dk45pvErefnN0HG הרצאה 70]
*[https://youtu.be/PTtcansFGJQ?si=fF8-6oDD_0RwZrxb הרצאה 75]
*[https://youtu.be/PaDFSrtsOE4?si=GdT8ErEBQSm7NBur הרצאה 76]
*[https://youtu.be/bqLDkGRLUYI?si=xwmusjfVrOqO6MDh הרצאה 77]
*[https://youtu.be/0RjBoccpjo8?si=N1Qv6AUYMOGWPH2m הרצאה 78]

=מפגש שמיני - משפטי חקירה=

נסקור את משפטי החקירה שעוזרים לנו לבצע חקירת פונקציות.