Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

שיחה:88-320 פיזיקה למתמטיקאים תשעג סמסטר ב

2013-04-10T21:29:28Z

חופית: /* האם ההשלמה נחוצה? */ פסקה חדשה

=תרגיל 2=
הי ניר, יש לי שתי שאלות לגבי התרגיל:

1. שאלה 1א - למה הכוונה במושג "מערכת מרכז המסה"?

2. שאלה 2 - באיזה קצב נדבקים חלקיקי האבק אל החללית?

תודה מראש, ושבת שלום, גל.

שלום גל,

1. מערכת מרכז המסה היא מערכת קורדינטות הצמודה למרכז המסה

2. חשוב על שינוי אינפיניטיסימלי במסה של המערכת חללית+אבק כתוצאה מתוספת אלמנט מסת אבק <math>dm</math>

== האם ההשלמה נחוצה? ==

שלום,

בתרגול הראשון אמרת שסיימנו את החומר המתוכנן.

עם זאת, הועלתה השלמה. האם היא נחוצה לתרגיל?

תודה.

משתמש:חופית

2012-11-09T12:30:55Z

חופית:

סטודנטית שנה ג' למתמטיקה שימושית

שיחה:88-236 אינפי 4 תשעב סמסטר ב

2012-06-05T05:19:59Z

חופית: /* שאלה על תרגיל 9 */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגיל 2 ==

בשאלות 4 ו-5 יש מכפלה וקטורית של וקטורים ממעלה 2. זאת טעות?

: לא. כפי שנאמר בתרגול, אפשר לחשוב על כל וקטור ב-<math>\mathbb{R}^2</math> כוקטור ב-<math>\mathbb{R}^3</math> ע"י הוספת אפס ברכיב השלישי. --[[משתמש:Michael|Michael]] 16:39, 25 במרץ 2012 (IST)

== תרגיל 2 ==

בשאלה 6 אין שום מידע על f ו F מאיזה תחום לאיזה תחום, יכולות להיות כמה קומבינציות לשאלה זו.
אפשר יותר פרטים??

: אפשר. בשדה סקלרי הכוונה <math>f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}</math>, ובשדה וקטורי הכוונה <math>F: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n</math>
(<math>n</math> טבעי כלשהו) --[[משתמש:Michael|Michael]] 18:41, 2 באפריל 2012 (IDT)

fi שייך Ck
בשיעור , לרנר רשם
ש Ck אומגה זוהי קבוצת הפונקציות הסקלריות מאומגה הגזירות k פעמים
למה הכוונה
האם אנחנו לוקחים Nיות מאומגה ומקבלים סקלר? במה זה שונה משדה סקלרי?

תודה
אלון

: שדה סקלרי, בלי שום תיאור נוסף, הוא פשוט פונקציה <math>f: \Omega \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}</math>. כשאומרים על שדה סקלרי שהוא ממחלקה <math>C^k</math>, הכוונה היא שכל הנגזרות החלקיות שלו עד סדר קטן או שווה <math>k</math>, קיימות ורציפות.

: לא כל שדה סקלרי הוא <math>C^k</math>. --[[משתמש:Michael|Michael]] 18:10, 3 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 2 ==

איך אני קובע אם מערכת היא אורתוגונלית? אני אמור לבדוק אם h1 וh2 ניצבים אחד לשני לפי מ"פ בR2?
בסיכום יש תרשים ונוסחאות מעבר בין הבסיסים, הנוחסאות נכונות רק עבור u מטריצה אורתוגונלית?

: העובדה שe1 ו-e2 נתונים כבסיס אורתונורמלי מגדירה את המכפלה הפנימית במרחב הנתון.
: אז בעצם כל וקטור הנמצא בהצגה על ידי בסיס זה,
: אפשר לקבוע מה האורך שלו
: והאם הוא מאונך לוקטור אחר.

: הנוסחאות כפי שהן מופיעות בסיכום אכן נכונות רק עבור מטריצה אורתוגונלית. נוסחא עבור מקרה כללי יותר מופיע בסיכום חדש שנוסף.

== הגשת תרגילים השבוע (לתאריך ה15.5) ==
אני לומד בקבוצה של התיכוניסטים ביום שלישי בשבע, לאחר ששאלתי כמה אנשים שלומדים איתי בקבוצה וקיבלתי תשובות שונות,
צריך להגיש את תרגיל 6 '''וגם''' את תרגיל 7? או רק את תרגיל 6?

: יש לכם (לתיכוניסטים) פער קטן שהייתי שמח שתסגרו. רצוי מאוד את שניהם. --[[משתמש:Michael|Michael]] 23:28, 15 במאי 2012 (IDT)

== תרגיל 8 ==

אפשר להגיש את תרגיל 8 בשיעור השלמה שיהיה ביום שלישי?
תודה וערב טוב
: אם את/ה איתי, אפשר --[[משתמש:Michael|Michael]] 21:00, 21 במאי 2012 (IDT)

== שתי שאלות ==

1. בתרגיל 9, שאלה 2: מה המשמעות של אוריינטציה עבור אוסף נק' בודדות?

2. האם הבוחן הוא רק ע"פ חומר התרגול או גם לפי ההרצאה?

: 1. הנקודה ההתחלתית של העקומה מקבלת סימן מינוס, והנקודה הסופית מקבלת סימן פלוס.

: 2. הבוחן יהיה דומה לתרגולים. ניתן לחדד ולומר שיהיה דומה לבוחן לדוגמא

== שאלה על תרגיל 9 ==

בשאלה 4 , האם תטא בכוונה בין 0 ל2 פאי לא כולל?

שיחה:88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעא

2011-10-04T09:08:12Z

חופית: /* טעות בתשובה בתרגיל 2 */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=
[[שיחה:88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעא/ארכיון 1|ארכיון 1]]

=שאלות=

== תרגיל 4 שאלה 3 ==

1) הכוונה היא בנקודת שבת "של g" <math>x| g*x=x</math> או בנקודת שבת "של G" (איקסים כך שלכל g בG מתקיים g*x=x)?

2)סימטריות של הריבוע = סיבובים?
תודה
:1) לא נתונה g ספציפית, לכן הכוונה לנקודת שבת "של החבורה" (ליתר דיוק, של הפעולה), כלומר איבר x ב-X שנשאר במקום ע"י כל איברי g ב-G.
:2) סיבובים ושיקופים. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 08:16, 30 באוגוסט 2011 (IDT)
::תודה

== שאלה ==

ב Sn, טיפוסי המחזורים הבאים: (--)(---) ו- (---)(--) נחשבים טיפוסים שונים, או זהים? תודה!
:זהים: כי מחזורים זרים מתחלפים. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 10:39, 30 באוגוסט 2011 (IDT)
::תודה!

== תרגיל 4 - שאלת בונוס 2 ==

בשאלת הבונוס השניה בתרגיל 4, מה זה בדיוק [G,G] ו-[G,A]?

תודה מראש!;)
: אלו חבורות הקומוטטורים. אם G היא חבורה ו-A,B תת-חבורות שלה, אז <math>\ [A,B]</math> היא תת-החבורה של G הנוצרת על-ידי כל הקומוטטורים <math>\ [a,b] = aba^{-1}b^{-1}</math> עבור <math>\ a\in A, b\in B</math>. שימו לב שבאופן כללי, לא כל איבר של <math>\ [A,B]</math> הוא קומוטטור. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 13:36, 30 באוגוסט 2011 (IDT)

== בקשר לשאלה 11 ==

האם מתקיים ש exp(G)= lcm({ O(g)|g in G }) zzz? זה לפחות מתקיים בחבורה Sn? תודה!
:הטענה נכונה. בכל חבורה סופית האקספוננט הוא ה-lcm של סדרי כל האיברים (בפרט ב-Sn). נסו להוכיח זאת. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 08:42, 1 בספטמבר 2011 (IDT)
::צריך להוכיח זאת לצורך התרגיל? תודה.
:::לא, אתם יכולים פשוט להשתמש בזה. אני כן ממליץ (בלי קשר לתרגיל) לנסות להבין למה זה נכון. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 13:26, 1 בספטמבר 2011 (IDT)
::::תודה!

== כמה שאלות לגבי שאלה 6 ==

1. הכוונה (ב-ב.) היא שצריך להוכיח שקיים אפימורפיזם מZ^m לG, נכון?
2. אני יכול לטעון שקבוצה מסוימת יוצרת את Z^m בלי להוכיח את זה?
3. זה טריויאלי להשתמש בעובדה שניתן להגדיר הומומורפיזם ע"י שליחת יוצר בקבוצה אחת ליוצר בקבוצה אחרת?
תודה!
== שאלה 7 סעיף ב' ==

מה זה G' ?
: ('''לא מתרגל''') חבורה הנוצרת ע"י כל הקומוטטורים ב-G. למדנו זאת בחלק נרחב מהתרגול, קשה לי להאמין שלא נתקלת בזה.
: מקווה שעזרתי;)

== סיכומים (של סטודנטים) לקורס זה ==

שלום רב,

כפי שנעשה בקורסים האחרים באתר זה (כגון: [[88-236 תשעא סמסטר קיץ|אינפי 4]]), העליתי סיכומים של הקורס (שכתבו סטודנטים שלמדו בו) לדף השיחה שלי - ממש [[משתמש:Gordo6/סיכומים אלגברה מופשטת 1|כאן]] תוך הוספת הערה שאלו סיכומים שנכתבו על ידי הסטודנטים, ולכן כמובן שאין התחייבות של המרצים ו/או המתרגלים לתקינותם.

כמו כן - הוספתי לדף הראשי של הקורס הזה קישור לדף הסיכומים, ממש כפי שנעשה בקורסים האחרים. מקווה שזה בסדר. במידה וזה בעייתי, אין לי בעיה להסיר את הקישור המדובר בעקבות בקשה שלכם ו/או שאתם תסירו אותו.

תודה, [[משתמש:Gordo6|גל]].

== בקשה ==

מתרגלים יקרים, תוכלו להעלות את הפתרונות של תרגילי הבית? וגם אולי מבחנים? (זה חשוב כדי להתאמן למבחן).
תודה רבה!

::קיבלתם! :) הפתרונות נמצאים מתחת לתרגילים. עוד היום יעלו גם מבחנים של פרופסור מגרל משנים קודמות. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]]
:::תודה

== חבורות חופשיות ==

חבורות חופשיות זה בחומר למבחן? לא תרגלנו את הנושא והנושא מרגיש לא מובן, לכן נשמח אם לא נבחן עליו. תודה!

::המבחן כבר כתוב, וכולל את כל החומר שלמדתם. חבורה חופשית זה נושא גדול, ובמסגרת מה שהספקת בהרצאה - אין הרבה מה לתרגל. אני מציעה שתעברו על החומר במחברת ותנסו להבין את הרעיונות המרכזיים. --[[משתמש: לואי פולב|לואי]]

== שיעור חזרה מחר ==

איפה השיעור מחר? תודה מראש.

::זה מופיע בהודעות, בדף הראשי

== שיעור חזרה היום ==

הי לואי,
המזכירות שלחה עכשיו מייל לכולם שהתרגול בשעה 14, למרות שכתוב באתר שהוא בשעה 16. אז מתי הוא יהיה? גל.

::הי גל, בסוף הוא יהיה בשעה 14:00. ההודעה באתר תוקנה. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]].

== כמה שאלות על תרגילי הבית ==

בתרגיל 2 (http://math-wiki.com/images/5/56/Solution2abstractalgebra2011.pdf) שאלה 8,ג', למה הקוסט שיצא איזומורפי לX2? אני לא רואה למה זה קורה. לאן נעלם X1? כפי שאני רואה את זה זה שווה ל X1xX2 ולא איזומורפי לX2.

:: זה אכן איזומורפי ל-<math>X_2</math>. אנסה להבהיר את זה עם דוגמא. נתבונן ב- <math>G=\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2</math>, ותהי <math>H=\mathbb{Z}_4 \times \{0\}</math>. כעת נתבונן בקוסטים של <math>H</math>:
: <math>(0,0)+H=H</math>
:<math>(1,0)+H=H</math>
:...
:למעשה: <math>(a,0)+H=H</math>.
:כעת, מה קורה אם יש 1 במקום השני?
:<math>(0,1)+H= \mathbb{Z}_4 \times \{1\}</math>
:וקל לראות כי:
:<math>(a,1)+H=\mathbb{Z}_4 \times \{1\}</math>.
:לכן יש רק שני קוסטים, ואכן קבוצת המחלקות של <math>H</math> איזומורפית ל-<math>\mathbb{Z}_2</math>.
:אותו הדבר בדיוק קורה בתרגיל המדובר. נסו לחשוב מהו האיזומורפיזם המפורש שעושה את העבודה. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]]

בתרגיל 3 (http://math-wiki.com/images/a/a6/Solution3abstractalgebra2011.pdf) שאלת בונוס 2, מהו C_H(a)?

זהו המרכז (centralizer) של <math>a</math> ב- <math>H</math>.

ותוכלו להסביר את הפתרון? (למשל למה ידוע ש <math>|[a]_H|=[H:C_H(a)]</math>).
ידוע את זה לגבי כל חבורה, בפרט עבור <math>H</math>.

באופן כללי, אני אוכל לנסות לכתוב את הפתרון באתר באופן יותר ברור, אבל כאן זה לא המקום להסביר את כל השאלה הזאת (כי זאת, אחרי הכל, שאלת בונוס).

בשאלת בונוס 3 באותו תרגיל, איך הגעתם לסדרי יתר מחלקות הצמידות? וגם, למה הסדר של חבורה נורמלית צריך להיות סכום של איברים מהקבוצה הנ"ל '''ועוד אחד'''? איבר היחידה לא נמצא כבר בתוך המסלולים האחרים? לדוגמה אם אנחנו במסלול בגודל 12, איבר היחידה הוא לא אחד מהאיברים במסלול, כך שלא צריך להוסיף עוד אחד ולקבל 13?

:בתרגיל 4(http://math-wiki.com/images/3/39/Solution4abstractalgebra2011.pdf), שאלת בונוס 2, למה G/K אבלית <-> [G,G] מוכל בK? למה G=<A,x>?
תודה רבה!

:: זאת שאלה חשובה. טענה: תהי <math>G</math> חבורה כלשהי ותהי <math>N</math> תת חבורה נורמלית של <math>G</math>. אזי <math>G/N</math> אבלית אם ורק אם <math>G' \subseteq N</math>.
::הוכחה: נוכיח את הכיוון הלא טריוויאלי. נניח ש- <math>G/N</math> אבלית. צריך להוכיח כי<math>G' \subseteq N</math>. אז נניח בשלילה שלא. כלומר, קיים קומוטטור שלא שייך ל-<math>N</math>. זאת אומרת, קיימים <math>a,b \in G</math> כך ש- <math>[a,b]=aba^{-1}b^{-1} \notin N</math>. או.קיי. אבל <math>G/N</math> אבלית ולכן מתקיים לכל <math>a,b \in G</math>:
::<math>[aN,bN]=N</math>, אבל, <math>[aN,bN]=aNbNa^{-1}Nb^{-1}N=aba^{-1}b^{-1}N=N</math> ואז מקבלים ש-<math>aba^{-1}b^{-1} \in N</math>, בסתירה להנחה שלנו. לכן חבורת המנה היא אבלית אם ורק אם <math>N</math> מכילה את חבורת הקומוטטורים. --[[משתמש: לואי פולב|לואי]]
:::תודה על התשובות!

== [[מדיה: AAexam2004B.pdf|מבחן 2004 מועד ב]] שאלה 6א ==

השאלה היא: "בעזרת משפט ברנסייד מצא מספר ריבועים '''לא שקולים''' עד כדי סיבובים ושיקופים אם מותר לצבוע את הקודקודים בשני צבעים קבועים".
האם אפשר למצוע את מספר הריבועים השקולים (כפי שלמדנו לעשות בעזרת הלמה של ברנסייד), ואז לקחת את מספר כלל האפשרויות, לחסר ממנו את מספר הצביעות השקולות שמצאנו ולקבל את מספר הצביעות הלא שקולות?
תודה מראש, [[משתמש:gordo6|גל.]]

::לא, כי משפט ברנסייד בעצמו מספק את התשובה הדרושה. לפי משפט ברנסייד אנחנו מוצאים את מספר המסלולים של פעולת החבורה. בכל מסלול - איברי המסלול הם שקולים אחד לשני, מצד שני, שני איברים ממסלולים שונים - לא יהיו שקולים. לכן למצוא את מספר המסלולים משמע למצוא את מספר הצביעות '''השונות''', או את מספר הריבועים '''הלא שקולים''' (במקרה של השאלה הנ"ל). [[משתמש:לואי פולב|לואי]]

נ.ב. מצאתי עוד מבחנים נוספים של פרופ' מגרל שלא העלתם, אז העלתי אותם לדף המבחנים.
::נהדר, תודה! :) [[משתמש:לואי פולב|לואי]]

== שאלה ==

האם מתקיים <math>Un~=Z_\phi(n)</math> (הכוונה היא שחבורת ההפיכים של Zn איזו' לZ של פי (פונקצית אוילר) של n), לפחות אולי לn ראשוני? תודה!

::אני לא בטוחה שהבנתי את השאלה, אבל על פי '''ההגדרה''': חבורת אוילר <math>U_n</math> היא חבורת האיברים ההפיכים של <math>\mathbb{Z}_n</math>.

::האם זה עונה על השאלה?..--[[משתמש:לואי פולב|לואי]]

:::אני די בטוח שהשאלה פה היא האם חבורת אוילר מסדר n כלשהו איזו' לZ של פי של אן (כלומר לחבורת מודולו פי אן - כאשר פי אן היא פונקציית אוילר או במילים אחרות העוצמה של חבורת אוילר). התשובה לזה, כמובן, קשורה לשאלה האם חבורת אוילר היא ציקלית (שכן האיזו ששאלת עליו יקרה אם"ם היא ציקלית). עם זאת לא כל חבורת אוילר היא ציקלית - למשל U_20. עם זאת, חבורות אבליות הן אבליות ולכן ניתנות לפירוק למכפלה של חבורות ציקליות. מקווה שעזרתי, [[משתמש:gordo6|גל.]]

== שיעור חזרה עם המרצה ==

מתי ואיפה הוא יתקיים?
תודה!
:ראה מייל שפרופ' מגרל שלח לי לגבי זמן השיעור, מיקומו ומטרותיו. [[משתמש:gordo6|גל]].
"
השיעור יתקיים ביום ראשון ב 2 לאוקטובר בשעה 16:00
חדר המחלקה אחד מהאופציות אבל
יתכן שיהיה שינוי חדר באותו יום

אני מתכוון לדבר קצת על החומר -- לסכם כמה דברים
ואם יש לכם שאולות לגבי המשפטים
למשל אם משהו לא ברור בהוכחה

זאת המטרה של השיעור"

== שאלה - אוטומורפיזמים ב-Sn ==

ערב טוב,

האם אוטומורפיזם כלשהו על Sn שומר על סימן תמורה? כלומר:

<math>\forall f \in Aut(S_n), \alpha \in S_n : sign(\alpha) = sign(f(\alpha))</math>

תודה מראש!

::בהחלט! יש לא מעט אוטומורפיזמים כאלה.
קודם כל - אוטומורפיזם הזהות. או למשל: אוטומורפיזם ההצמדה (הוא שומר על מבנה המחזורים ולכן שומר גם על הסימן) --[[משתמש: לואי פולב| לואי]]
::: תודה, אך את זאת ידעתי כבר קודם. השאלה שלי הייתה האם '''כל''' אוטומורפיזם כללי הוא בהכרח שומר סימן, אלא אם כן התכוונת שכל אוטומורפיזם שומר סימן (והדוגמאות היו כדי להסביר).

::אז ככה, זה מה שאני יודעת: עבור <math>n \neq 2,6</math> מתקיים <math>Aut(S_n)=Inn(S_n)</math>, ז"א יש רק את האוטומורפיזמים של ההצמדה (ואז הם שומרים סימן). אבל אני לא ממש בטוחה מה קורה ב- <math>S_6</math>, לא קופץ לי לראש כרגע... שווה לבדוק :)--[[משתמש:לואי פולב|לואי]]
::: אשמח להוסיף כאן עוד שאלה שנתקלתי בה, (ובזמן שניסיתי להוכיח אותה עלה בראשי השאלה לגבי שמירת סימן), להוכיח שכל אוטומורפיזם על Sn שולח חילוף אל חילוף. יש לי עוד שאלה נוספת לגבי שאלה שמצאתי, אשמח אם אוכל לשאול אותך זאת
::: באי-מייל, מה האי-מייל שלך?

::זה רשום בדף המשתמש שלי :) --[[משתמש:לואי פולב|לואי]]
::: תודה מראש ;)

== טעות בתשובה בתרגיל 2 ==

בתרגיל 2 שאלה 2 א', חישבו את פי של 102=2*51. כתוב שפי של 51 זה 50 אבל 51=17*3 (לא ראשוני)
לכן התשובה בתרגיל צריכה להיות 32 ולא 50

[[משתמש:חופית|חופית]]

שיחה:88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעא

2011-10-04T09:07:48Z

חופית: /* טעות בתשובה בתרגיל 2 */ פסקה חדשה

משתמש:חופית

2011-07-02T08:32:45Z

חופית:

סטודנטית שנה א' למתמטיקה שימושית.

שיחת משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/24.5.11

2011-07-01T18:43:59Z

חופית: יצירת דף עם התוכן "אור, דבר ראשון תודה על כל ההרצאות ^^ דבר שני, במשפט 3, סעיף 2 בהוכחה כתוב שהטור הגזור מתכנס ב..."

אור,

דבר ראשון תודה על כל ההרצאות ^^

דבר שני, במשפט 3, סעיף 2

בהוכחה כתוב שהטור הגזור מתכנס במש בקטע x0-R,x0+R.. אבל זה לא נכון..

אתה יכול לתקן את זה?

[[משתמש:חופית|חופית]]

משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/15.5.11

2011-05-16T14:39:36Z

חופית: /* הוכחה */

==תרגיל ברוח מבחן==
נניח ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש על I וש-<math>f_n</math> חסומה ב-I לכל n. הוכיחו כי גם f חסומה ב-I והראו ע"י דוגמה שהתוצאה אינה נכונה אם <math>f_n\to f</math> נקודתית ב-I.
===פתרון===
אם <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I אז נוכל לקחת <math>\varepsilon=1</math> ולמצוא n מסויים כך שלכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f(x)-f_n(x)|<1</math> ונובע מאי-שיוויון המשולש כי לכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f(x)|-|f_n(x)|<1</math>. לכן <math>|f(x)|<|f_n(x)|+1</math>. נתון ש-<math>f_n</math> חסומה, נניח <math>|f_n(x)|\le M</math> אזי <math>\forall x\in I:\ |f(x)|<M+1</math>. {{משל}}

לגבי הדוגמה הנגדית, נגדיר <math>f_n(x)=\begin{cases}n&x\le\frac1n\\1/x&\text{else}\end{cases}</math> ב-<math>(0,1)</math>. אזי <math>f_n\to f</math> נקודתית וכל <math>f_n</math> חסומה ע"י n, אלא ש-<math>f(x)=\frac1x</math>, שבוודאי לא חסומה. {{משל}}

----

'''הגדרה:''' נתונה סדרת פונקציות <math>\{f_n\}</math> בקטע I. נאמר שהסדרה מקיימת את תנאי קושי במ"ש ב-I אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אז <math>|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon</math> ב-I.

==משפט 5==
סדרת פונקציות <math>\{f_n\}</math> בקטע I מתכנסת במ"ש ב-I אם"ם היא מקיימת תנאי קושי במידה שווה.
===הוכחה===
תחילה נניח שקיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)</math> במ"ש ונראה שתנאי קושי מתקיים. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הנתון ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I, קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>n_0</math> אז <math>|f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon2</math> לכל <math>x\in I</math>.

כעת אם <math>n>m>n_0</math> אז לכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f_m(x)|\le|f_n(x)-f(x)|+|f(x)-f_m(x)|<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math>.

לצד השני, נניח ש-<math>\{f_n\}</math> מקיימת תנאי קושי במ"ש ב-I. ניקח <math>x_0\in I</math> כלשהו ונעיר שסדרת המספרים <math>\{f_n(x_0)\}</math> היא סדרת קושי (כי עפ"י הנתון לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אז <math>|f_n(x_0)-f_m(x_0)|<\varepsilon</math> לפי משפט קושי מאינפי 1 קיים גבול <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)</math>. הדבר נכון לכל <math>x_0\in I</math> וכך נוצרת פונקציה גבולית <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)</math>. נותר להוכיח שההתכנסות במ"ש. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. עפ"י תנאי קושי יש <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>m>n>n_0</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f_m(x)|<\frac\varepsilon2</math> לכל <math>x\in I</math>. כעת נבחר <math>n>n_0</math> מסויים ועבור <math>x\in I</math> כלשהו נשאיף <math>m\to\infty</math> כלומר <math>|f_n(x)-f_m(x)|\lim_{m\to\infty}|f_n(x)-f_m(x)|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon</math> הדבר נכון לכל <math>n>n_0</math> ולכל <math>x\in I</math>. לכן הוכחנו ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I. {{משל}}

=טורי פונקציות=
נאמר שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מתכנס ל-<math>S(x)</math> במ"ש על I אם <math>S(x)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^Nf_n(x)</math> במ"ש על I.

'''הגדרה:''' הטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מקיים תנאי קושי במ"ש ב-I אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אז <math>\left|\sum_{k=m}^n f_k(x)\right|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math>.

==משפט 6==
הטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מתכנס במ"ש לכל I אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש ב-I.
===הוכחה===
לפי הגדרה <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש על I אם"ם סדרת הסכומים החלקיים <math>\{S_N(x)\}</math> מתכנס במ"ש על I. לפי משפט 5 זה קורה אם"ם <math>\{S_N(x)\}</math> קושי במ"ש על I, כלומר אם"ם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אזי <math>|S_n(x)-S_m(x)|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math>, שמתקיים אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \left|\sum_{k=m+1}^n f_k(x)\right|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math> וזה שקול לתנאי קושי להתכנסות הטור במ"ש על I. {{משל}}
==משפט 7 {{הערה|(מבחן ה-M של וירשטס, The Weierstrass M test)}}==
נניח שלכל n הפונקציה <math>f_n(x)</math> מוגדרת ב-I וחסומה שם: <math>|f_n(x)|\le M_n</math> לכל <math>x\in I</math>. עוד נניח שהסכום <math>\sum_{n=1}^\infty M_n</math> מתכנס ממש. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מתכנס במ"ש על I.
===הוכחה===
נסתמך על משפט 6 לומר שמספיק להוכיח שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> קושי במ"ש ב-I. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-<math>\sum_{n=1}^\infty M_n</math> מתכנס הוא טור קושי של מספרים. לכן קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אזי <math>\left|\sum_{k=m}^n M_k\right|<\varepsilon</math> או <math>\sum_{k=m}^n M_k<\varepsilon</math> (כי <math>M_k\ge0</math>). כעת אם <math>n>m>n_0</math> אז לכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>\left|\sum_{k=m}^n f_n\right|\le\left|\sum_{k=m}^n|M_k|\le\sum_{k=m}^n M_k<\varepsilon</math> ובזה קיימנו את תנאי קושי להתכנסות הטור <math>\sum f_n</math> במ"ש על I. {{משל}}

===מסקנה===
בתנאים של מבחן וירשטרס לכל <math>x\in I</math> <math>\sum f_n</math> מתכנס בהחלט.

====הוכחה====
נקח <math>x\in I</math> כלשהו. לפי נתון לכל k <math>|f_n(x)|\le M_k</math> נתון ש- <math>\sum M_n</math> מתכנס בהחלט. ע"פ מבחן ההשוואה <math>\sum |f_n|</math> מתכנס. {{משל}}

====דוגמה====
נוכיח שהטור ההנדסי <math>\sum_{n=0}^\infyt x^n</math> מתכנס נקודתית בקטע <math>(-1,1)</math> אבל לא במ"ש ונוכיח שאם <math>0<r<1</math> הטור מתכנס ב-<math>[-r,r]</math>. תשובה: כבר הוכחנו שאם <math>-1<x<1</math> אז <math>\sum_{n=0}^\infty x^n</math> מתכנס ל-<math>\frac1{1-x}</math>. ההתכנסות אינה במ"ש כי לכל סכום חלקי <math>S_N</math> חסומה בקטע <math>(-1,1)</math>. <math>|S_N(x)|\le\sum_{n=0}^\infty |x^n|\le\sum_{n=0}^\infty 1=\infty</math>. אם היה נכון ש-<math>S_N(x)\to\frac1{1-x}</math> במ"ש ב-<math>(-1,1)</math>. היינו מסיקים שהפונקציה <math>\frac1{1-x}</math> חסומה וזה אינו נכון. לכן ההתכנסות לא במ"ש. נותר להוכיח שאם <math>r\in(0,1)</math> אז <math>\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}</math> במ"ש על <math>[-r,r]</math>. ובכן בקטע <math>[-r,r]</math> מתקייים <math>|x^n|\le r^n=M_n</math> כאן <math>\sum_{n=0}^\infty M_n=\sum_{n=0}^\infty r^n=\frac1{1-r}</math>. כיוון שסכום החסמים מתכנס מבחן וירשטרס אומר ש-<math>\sum_{n=0}^\infty x^n</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[-r,r]</math>.

==משפט 8==
נניח ש-<math>S(x)=\sum_{n=0}^\infty f_n(x)</math> עם התכנסות במ"ש על I. אם עבור איזה <math>x_0\in I</math> כל <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0</math> אז גם S רציפה ב-<math><math>formula</math>x_0</math>.
===הוכחה===
לכל N הסכום החלקי <math>S_N(x)=\sum_{n=1}^N f_n(x)</math> סכום סופי של פונקציות רציפות ב-<math>x_0</math>.

מאינפי 1 ידוע ש-<math>S_N(x)</math> רציפה ב-<math>x_0</math> עבור כל N. נתון <math>S_N\to S</math> במ"ש על I.

לכן נובע ממשפט 2 ש-f רציפה ב-<math>x_0</math>. {{משל}}

===מסקנה===
בתנאים של משפט 8, אם כל <math>f_n</math> רציפה ב-I כולו אז גם f רציפה ב-I כולו.

==משפט 9==
נניח <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> במ"ש על <math>[a,b]</math>. עוד נניח שכל <math>f_n</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. אזי S אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> ו-<math>\int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty \int\limits_a^b f=\int\limits_a^b</math\sum_{n=1}^\infty f> בתנאי שהטור מתכנס במ"ש ב-<math>[a,b]</math>.
===הוכחה===
כרגיל נגדיר סכומים חלקיים <math>S_N</math> ונתון <math>S_n\to S</math> במ"ש על <math>[a,b]</math>.
לפי משפט 3 <math>\int\limits_a^b S=\lim_{N\to\infty}\int\limits_a^b S_N=\lim_{N\to\infty}\int\limits_a^b\sum_{n=1}^N f_n=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\int\limits_a^b f_n</math> כי לסכום סופי ידוע שהאינטגרל של הסכום הוא סכום האינטגרלים. מתאנו שקיים גבול <math>\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\int\limits_a^b f_n</math> לפי הגדרת סכום אינסופי הגבול הוא <math>\sum_{n=1}^\infty\int\limits_a^b f_n</math> והוכחנו שהוא שווה <math>\int\limits_a^b S</math>. {{משל}}

==משפט 10==
יהי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> טור של פונקציות רציפות ב-I. נניח:
* עבור <math>x_0\in I</math> אחד לפחות הטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מתכנס.
* <math>\sum_{n=1}^\infty f_n'</math> סכום של פונקציות רציפות שמתכנס במ"ש לפונקציה g על I.
אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש על I לפונקציה גזירה S ומתקיים <math>S'=g</math>. בפרט, בתנאים אלה <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)</math>.

===הוכחה===
בהרצאה הבאה

===דוגמה ממבחן===
לכל <math>x\in\mathbb R</math> נגדיר <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3}</math>. הוכיחו ש-f מוגדרת היטב (ז"א הטור מתכנס לכל <math>x\in\mathbb R</math>) ו-S בכלת נגזרת רציפה לכל <math>x\in\mathbb R</math>.
====פתרון====
בהרצאה הבאה

משתמש:אור שחף/133 - תרגול/3.4.11

2011-05-15T19:30:57Z

חופית: /* פתרון */

=שימושי האינטגרל=
==דוגמה 1==
חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה <math>y^2=4x</math> והישר <math>y=2x-4</math>.
===פתרון===
נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>.
* '''דרך 1:''' נסובב את מערכת הצירים ב-<math>90^\circ</math> ונקבל גרף (2). עתה נחשב את השטח בין <math>y^2=4x\implies x=\frac{y^2}4</math> וכן <math>y=2x-4\implies x=\frac12y+2</math>. קל לראות שהישר מעל הפרבולה, אבל גם אם לא כך אז הסימן של התוצאה יהא הפוך. לכן ניקח ערך מוחלט. שיעורי ה-y של נקודות החיתוך הם <math>-2,4</math> (לפי שיעורי ה-x) ולכן השטח הוא <math>\left|\int\limits_{-2}^4\left(\frac y2+2-\frac{y^2}4\right)\mathrm dy\right|=\left|\left[\frac{y^2}4+2y-\frac{y^3}{12}\right]_{y=-2}^4\right|=9</math>.
* '''דרך 2:''' נפרק לשלושה שטחים: השטח <math>S_1</math> בין <math>x=1</math> ל-4 ושני שטחים שווים <math>S_2=S_3</math> בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת. לפיכך השטח הכולל הוא <math>S_1+2S_2=\left|\int\limits_1^4\left(\sqrt{4x}-2x+4\right)\mathrm dx\right|+2\left|\int\limits_0^1\sqrt{4x}\mathrm dx\right|=9</math>

==דוגמה 2==
חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות <math>y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x},\ y=0,\ x=-1</math>.
===פתרון===
נקודות חיתוך:
* <math>y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x}\implies x=0</math>
* <math>y=2-\frac1{e^x},\ y=0\implies x=-\ln(2)</math>
* ברור כי ל-<math>y=e^x,\ y=0</math> אין נקודת חיתוך.
לכן השטח הוא <math>\left|\int\limits_{-1}^{-\ln(2)} e^x\mathrm dx\right|+\left|\int\limits_{-\ln(2)}^0\left(e^x-2+e^{-x}\right)\mathrm dx\right|=2-\ln(4)-\frac1e</math>.

==דוגמה 3==
מצאו נוסחה לחישוב נפח של פירמידה ישרה אשר גובהה h ובסיסה ריבוע שאורך צלעו a.
===פתרון===
<div style="float:right;margin-left:10px;">[[קובץ:חישוב שטח פירמידה.png|200px]]</div>
<div style="float:left;">[[קובץ:חישוב נפח פירמידה עם משולש.png|200px]]</div>
נבחר את מערכת הצירים כך שקודקוד הפירמידה עובר דרך ציר ה-y וציר ה-y מאונך לבסיסה. יוצא שציר ה-x מונח במישור על בסיס הפירמידה ומקביל/מאונך לצלעותיו. לכל קטע מהצורה <math>[0,y]</math> החתך הניצב לציר ה-y הוא ריבוע. נסמן ב-L את אורך הצלע של ריבוע זה.
מדמיון משושלים נקבל <math>\frac{L/2}{a/2}=\frac{h-y}h\implies L=\frac{h-y}h\cdot a</math> ולכן שטח חתך כזה הוא <math>S(L)=\left(\frac{h-y}h\cdot a\right)^2</math>. נזכור שהחתך נפרס לרוחב, כלומר המשתנה שלנו הוא y, וידוע שהוא רץ בין 0 ל-h. אם נקח לכל חתך כזה תיבה שבסיסה הוא החתך וגובהה שואף ל-0 ונחבר את נפחי התיבות נקבל את נפח הפירמידה. לכן הנפח הוא <math>\int\limits_0^h S(L)\mathrm dy=\int\limits_0^h\frac{(y-h)^2}{h^2}\cdot a^2\mathrm dy=\frac{a^2}{h^2}\left[\frac{(y-h)^3}3\right]_{y=0}^h=\frac{a^2h}3</math>.

==נפח גוף סיבוב==
נפח גוף סיבוב סביב ציר ה-x מתקבל ע"י הנוסחה <math>V=\int\limits_a^b\pi(f(x))^2\mathrm dx</math>.
===דוגמה 4===
חשבו את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הפרבולה <math>y^2=8x</math> סביב ציר ה-x, עד לישר <math>x=2</math>.
====פתרון====
<math>y^2=8x\implies y=\pm\sqrt{8x}</math>. מכיוון שעם סיבוב הרביע הראשון מתקבל הרביע הרביעי מספיק לחשב את נפח גוף הסיבוב של <math>\sqrt{8x}</math> בין 0 ל-2. לכן, לפי הנוסחה, <math>V=\int\limits_0^2\pi\left(\sqrt{8x}\right)^2\mathrm dx=8\pi\left[\frac{x^2}2\right]_{x=0}^2=16\pi</math>.

===דוגמה 5===
מצאו נוחה לחישוב נפח של כדור שרדיוסו r.
====פתרון====
ע"מ לחשב את הנוסחה נוכל לסובב את חציו העליון של עיגול. לפי נוסחת מעגל <math>x^2+y^2=r^2</math> ולכן בחצי המישור העליון <math>y=\sqrt{r^2-x^2}</math>. הנפח הוא <math>\int\limits_{-r}^r\pi\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^2\mathrm dx=\pi\int\limits_{-r}^r\left(r^2-x^2\right)\mathrm dx=\frac43\pi r^3</math>.

===דוגמה 6===
מצאו את נפח הגוף שנוצר כאשר מסובבים את התחום הכלוא בין הגרפים <math>f(x)=\frac12+x^2</math> ו-<math>g(x)=x</math> בקטע <math>[0,2]</math>.
====פתרון====
נמצא את שיעורי ה-x של נקודות החיתוך: <math>\frac12+x^2=x\implies x\not\in\mathbb R</math>, כלומר אין נקודות חיתוך. לפיכך הנפח הוא <math>\int\limits_0^2\pi\left((f(x))^2-(g(x))^2\right)\mathrm dx=\pi\int\limits_0^2\left(\left(x^2+\frac12\right)^2-x^2\right)\mathrm dx=\dots=\frac{69}{10}\pi</math>.

----

נפח גוף סיבוב המסתובב סביב ציר ה-y במקום ציר ה-x בקטע <math>[a,b]</math> נתון ע"י הנוסחה <math>V=2\pi\int\limits_a^b xf(x)\mathrm dx</math>.

===דוגמה 7===
חשבו הנפח הנוצר מסיבוב התחום הנקבע ע"י <math>y=\sqrt x,\ x=1,\ x=4</math> סביב ציר ה-y.
====פתרון====
לפי הנוסחה <math>V=2\pi\int\limits_1^4\sqrt x^3\mathrm dx=2\pi\left[\frac{x^{5/2}}{5/2}\right]_{x=1}^4=\frac{124}5\pi</math>.

===דוגמה 8===
חשב את נפח התחום שמתחת ל-<math>y=x^2</math> בקטע <math>[0,2]</math> המסתובב סביב ציר ה-x.
====פתרון====
<math>\int\limits_0^2\pi x^4\mathrm dx=\frac{32}5\pi</math>.

משתמש:אור שחף/133 - תרגול/3.4.11

2011-05-15T19:12:29Z

חופית: /* דוגמה 1 */

=שימושי האינטגרל=
==דוגמה 1==
חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה <math>y^2=4x</math> והישר <math>y=2x-4</math>.
===פתרון===
נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>.
* '''דרך 1:''' נסובב את מערכת הצירים ב-<math>90^\circ</math> ונקבל גרף (2). עתה נחשב את השטח בין <math>y^2=4x\implies x=\frac{y^2}4</math> וכן <math>y=2x-4\implies x=\frac12y+2</math>. קל לראות שהישר מעל הפרבולה, אבל גם אם לא כך אז הסימן של התוצאה יהא הפוך. לכן ניקח ערך מוחלט. שיעורי ה-y של נקודות החיתוך הם <math>-2,4</math> (לפי שיעורי ה-x) ולכן השטח הוא <math>\left|\int\limits_{-2}^4\left(\frac y2+2-\frac{y^2}4\right)\mathrm dy\right|=\left|\left[\frac{y^2}4+2y-\frac{y^3}{12}\right]_{y=-2}^4\right|=9</math>.
* '''דרך 2:''' נפרק לשלושה שטחים: השטח <math>S_1</math> בין <math>x=1</math> ל-4 ושני שטחים שווים <math>S_2=S_3</math> בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת. לפיכך השטח הכולל הוא <math>S_1+2S_2=\left|\int\limits_1^4\left(\sqrt{4x}-2x+4\right)\mathrm dx\right|+2\left|\int\limits_0^1\sqrt{4x}\mathrm dx\right|=9</math>

==דוגמה 2==
חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות <math>y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x},\ y=0,\ x=-1</math>.
===פתרון===
נקודות חיתוך:
* <math>y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x}\implies x=0</math>
* <math>y=2-\frac1{e^x},\ y=0\implies x=-\ln(2)</math>
* ברור כי ל-<math>y=e^x,\ y=0</math> אין נקודת חיתוך.
לכן השטח הוא <math>\left|\int\limits_{-1}^{-\ln(2)} e^x\mathrm dx\right|+\left|\int\limits_{-\ln(2)}^0\left(e^x-2+e^{-x}\right)\mathrm dx\right|=2-\ln(4)-\frac1e</math>.

==דוגמה 3==
מצאו נוסחה לחישוב נפח של פירמידה ישרה אשר גובהה h ובסיסה ריבוע שאורך צלעו a.
===פתרון===
<div style="float:right;margin-left:10px;">[[קובץ:חישוב שטח פירמידה.png|200px]]</div>
<div style="float:left;">[[קובץ:חישוב נפח פירמידה עם משולש.png|200px]]</div>
נבחר את מערכת הצירים כך שקודקוד הפירמידה עובר דרך ציר ה-y וציר ה-y מאונך לבסיסה. יוצא שציר ה-x מונח במישור על בסיס הפירמידה ומקביל/מאונך לצלעותיו. לכל קטע מהצורה <math>[0,y]</math> החתך הניצב לציר ה-y הוא ריבוע. נסמן ב-L את אורך הצלע של ריבוע זה.
מדמיון משושלים נקבל <math>\frac{L/2}{a/2}=\frac{h-y}h\implies L=\frac{h-y}h\cdot a</math> ולכן שטח חתך כזה הוא <math>S(L)=\left(\frac{h-y}h\cdot a\right)^2</math>. נזכור שהחתך נפרס לרוחב, כלומר השמתנה שלנו הוא y, וידוע שהוא רץ בין 0 ל-h. אם נקח לכל חתך כזה תיבה שבסיסה הוא החתך וגובהה שואף ל-0 ונחבר את נפחי התיבות נקבל את נפח הפירמידה. לכן הנפח הוא <math>\int\limits_0^h S(L)\mathrm dy=\int\limits_0^h\frac{(y-h)^2}{h^2}\cdot a^2\mathrm dy=\frac{a^2}{h^2}\left[\frac{(y-h)^3}3\right]_{y=0}^h=\frac{a^2h}3</math>.

==נפח גוף סיבוב==
נפח גוף סיבוב סביב ציר ה-x מתקבל ע"י הנוסחה <math>V=\int\limits_a^b\pi(f(x))^2\mathrm dx</math>.
===דוגמה 4===
חשבו את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הפרבולה <math>y^2=8x</math> סביב ציר ה-x, עד לישר <math>x=2</math>.
====פתרון====
<math>y^2=8x\implies y=\pm\sqrt{8x}</math>. מכיוון שעם סיבוב הרביע הראשון מתקבל הרביע הרביעי מספיק לחשב את נפח גוף הסיבוב של <math>\sqrt{8x}</math> בין 0 ל-2. לכן, לפי הנוסחה, <math>V=\int\limits_0^2\pi\left(\sqrt{8x}\right)^2\mathrm dx=8\pi\left[\frac{x^2}2\right]_{x=0}^2=16\pi</math>.

===דוגמה 5===
מצאו נוחה לחישוב נפח של כדור שרדיוסו r.
====פתרון====
ע"מ לחשב את הנוסחה נוכל לסובב את חציו העליון של עיגול. לפי נוסחת מעגל <math>x^2+y^2=r^2</math> ולכן בחצי המישור העליון <math>y=\sqrt{r^2-x^2}</math>. הנפח הוא <math>\int\limits_{-r}^r\pi\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^2\mathrm dx=\pi\int\limits_{-r}^r\left(r^2-x^2\right)\mathrm dx=\frac43\pi r^3</math>.

===דוגמה 6===
מצאו את נפח הגוף שנוצר כאשר מסובבים את התחום הכלוא בין הגרפים <math>f(x)=\frac12+x^2</math> ו-<math>g(x)=x</math> בקטע <math>[0,2]</math>.
====פתרון====
נמצא את שיעורי ה-x של נקודות החיתוך: <math>\frac12+x^2=x\implies x\not\in\mathbb R</math>, כלומר אין נקודות חיתוך. לפיכך הנפח הוא <math>\int\limits_0^2\pi\left((f(x))^2-(g(x))^2\right)\mathrm dx=\pi\int\limits_0^2\left(\left(x^2+\frac12\right)^2-x^2\right)\mathrm dx=\dots=\frac{69}{10}\pi</math>.

----

נפח גוף סיבוב המסתובב סביב ציר ה-y במקום ציר ה-x בקטע <math>[a,b]</math> נתון ע"י הנוסחה <math>V=2\pi\int\limits_a^b xf(x)\mathrm dx</math>.

===דוגמה 7===
חשבו הנפח הנוצר מסיבוב התחום הנקבע ע"י <math>y=\sqrt x,\ x=1,\ x=4</math> סביב ציר ה-y.
====פתרון====
לפי הנוסחה <math>V=2\pi\int\limits_1^4\sqrt x^3\mathrm dx=2\pi\left[\frac{x^{5/2}}{5/2}\right]_{x=1}^4=\frac{124}5\pi</math>.

===דוגמה 8===
חשב את נפח התחום שמתחת ל-<math>y=x^2</math> בקטע <math>[0,2]</math> המסתובב סביב ציר ה-x.
====פתרון====
<math>\int\limits_0^2\pi x^4\mathrm dx=\frac{32}5\pi</math>.

משתמש:אור שחף/133 - תרגול/3.4.11

2011-05-15T19:11:13Z

חופית: ביטול גרסה 10552 של 87.68.51.111 (שיחה)

=שימושי האינטגרל=
==דוגמה 1==
חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה <math>y=4x</math> והישר <math>y=2x-4</math>.
===פתרון===
נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>.
* '''דרך 1:''' נסובב את מערכת הצירים ב-<math>90^\circ</math> ונקבל גרף (2). עתה נחשב את השטח בין <math>y^2=4x\implies x=\frac{y^2}4</math> וכן <math>y=2x-4\implies x=\frac12y+2</math>. קל לראות שהישר מעל הפרבולה, אבל גם אם לא כך אז הסימן של התוצאה יהא הפוך. לכן ניקח ערך מוחלט. שיעורי ה-y של נקודות החיתוך הם <math>-2,4</math> (לפי שיעורי ה-x) ולכן השטח הוא <math>\left|\int\limits_{-2}^4\left(\frac y2+2-\frac{y^2}4\right)\mathrm dy\right|=\left|\left[\frac{y^2}4+2y-\frac{y^3}{12}\right]_{y=-2}^4\right|=9</math>.
* '''דרך 2:''' נפרק לשלושה שטחים: השטח <math>S_1</math> בין <math>x=1</math> ל-4 ושני שטחים שווים <math>S_2=S_3</math> בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת. לפיכך השטח הכולל הוא <math>S_1+2S_2=\left|\int\limits_1^4\left(\sqrt{4x}-2x+4\right)\mathrm dx\right|+2\left|\int\limits_0^1\sqrt{4x}\mathrm dx\right|=9</math>

==דוגמה 2==
חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות <math>y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x},\ y=0,\ x=-1</math>.
===פתרון===
נקודות חיתוך:
* <math>y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x}\implies x=0</math>
* <math>y=2-\frac1{e^x},\ y=0\implies x=-\ln(2)</math>
* ברור כי ל-<math>y=e^x,\ y=0</math> אין נקודת חיתוך.
לכן השטח הוא <math>\left|\int\limits_{-1}^{-\ln(2)} e^x\mathrm dx\right|+\left|\int\limits_{-\ln(2)}^0\left(e^x-2+e^{-x}\right)\mathrm dx\right|=2-\ln(4)-\frac1e</math>.

==דוגמה 3==
מצאו נוסחה לחישוב נפח של פירמידה ישרה אשר גובהה h ובסיסה ריבוע שאורך צלעו a.
===פתרון===
<div style="float:right;margin-left:10px;">[[קובץ:חישוב שטח פירמידה.png|200px]]</div>
<div style="float:left;">[[קובץ:חישוב נפח פירמידה עם משולש.png|200px]]</div>
נבחר את מערכת הצירים כך שקודקוד הפירמידה עובר דרך ציר ה-y וציר ה-y מאונך לבסיסה. יוצא שציר ה-x מונח במישור על בסיס הפירמידה ומקביל/מאונך לצלעותיו. לכל קטע מהצורה <math>[0,y]</math> החתך הניצב לציר ה-y הוא ריבוע. נסמן ב-L את אורך הצלע של ריבוע זה.
מדמיון משושלים נקבל <math>\frac{L/2}{a/2}=\frac{h-y}h\implies L=\frac{h-y}h\cdot a</math> ולכן שטח חתך כזה הוא <math>S(L)=\left(\frac{h-y}h\cdot a\right)^2</math>. נזכור שהחתך נפרס לרוחב, כלומר השמתנה שלנו הוא y, וידוע שהוא רץ בין 0 ל-h. אם נקח לכל חתך כזה תיבה שבסיסה הוא החתך וגובהה שואף ל-0 ונחבר את נפחי התיבות נקבל את נפח הפירמידה. לכן הנפח הוא <math>\int\limits_0^h S(L)\mathrm dy=\int\limits_0^h\frac{(y-h)^2}{h^2}\cdot a^2\mathrm dy=\frac{a^2}{h^2}\left[\frac{(y-h)^3}3\right]_{y=0}^h=\frac{a^2h}3</math>.

==נפח גוף סיבוב==
נפח גוף סיבוב סביב ציר ה-x מתקבל ע"י הנוסחה <math>V=\int\limits_a^b\pi(f(x))^2\mathrm dx</math>.
===דוגמה 4===
חשבו את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הפרבולה <math>y^2=8x</math> סביב ציר ה-x, עד לישר <math>x=2</math>.
====פתרון====
<math>y^2=8x\implies y=\pm\sqrt{8x}</math>. מכיוון שעם סיבוב הרביע הראשון מתקבל הרביע הרביעי מספיק לחשב את נפח גוף הסיבוב של <math>\sqrt{8x}</math> בין 0 ל-2. לכן, לפי הנוסחה, <math>V=\int\limits_0^2\pi\left(\sqrt{8x}\right)^2\mathrm dx=8\pi\left[\frac{x^2}2\right]_{x=0}^2=16\pi</math>.

===דוגמה 5===
מצאו נוחה לחישוב נפח של כדור שרדיוסו r.
====פתרון====
ע"מ לחשב את הנוסחה נוכל לסובב את חציו העליון של עיגול. לפי נוסחת מעגל <math>x^2+y^2=r^2</math> ולכן בחצי המישור העליון <math>y=\sqrt{r^2-x^2}</math>. הנפח הוא <math>\int\limits_{-r}^r\pi\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^2\mathrm dx=\pi\int\limits_{-r}^r\left(r^2-x^2\right)\mathrm dx=\frac43\pi r^3</math>.

===דוגמה 6===
מצאו את נפח הגוף שנוצר כאשר מסובבים את התחום הכלוא בין הגרפים <math>f(x)=\frac12+x^2</math> ו-<math>g(x)=x</math> בקטע <math>[0,2]</math>.
====פתרון====
נמצא את שיעורי ה-x של נקודות החיתוך: <math>\frac12+x^2=x\implies x\not\in\mathbb R</math>, כלומר אין נקודות חיתוך. לפיכך הנפח הוא <math>\int\limits_0^2\pi\left((f(x))^2-(g(x))^2\right)\mathrm dx=\pi\int\limits_0^2\left(\left(x^2+\frac12\right)^2-x^2\right)\mathrm dx=\dots=\frac{69}{10}\pi</math>.

----

נפח גוף סיבוב המסתובב סביב ציר ה-y במקום ציר ה-x בקטע <math>[a,b]</math> נתון ע"י הנוסחה <math>V=2\pi\int\limits_a^b xf(x)\mathrm dx</math>.

===דוגמה 7===
חשבו הנפח הנוצר מסיבוב התחום הנקבע ע"י <math>y=\sqrt x,\ x=1,\ x=4</math> סביב ציר ה-y.
====פתרון====
לפי הנוסחה <math>V=2\pi\int\limits_1^4\sqrt x^3\mathrm dx=2\pi\left[\frac{x^{5/2}}{5/2}\right]_{x=1}^4=\frac{124}5\pi</math>.

===דוגמה 8===
חשב את נפח התחום שמתחת ל-<math>y=x^2</math> בקטע <math>[0,2]</math> המסתובב סביב ציר ה-x.
====פתרון====
<math>\int\limits_0^2\pi x^4\mathrm dx=\frac{32}5\pi</math>.

משתמש:אור שחף/133 - תרגול/6.3.11

2011-05-14T11:28:06Z

חופית: /* דוגמה 1 {{הערה|(שיטת פירוק)}} */

=שיטות פרמיטיביות לחישוב שטחים=
'''המטרה:''' לחשב שטח מתחת לכל עקומה (כמעט).

==דוגמה 1==
חשב את השטח הכלוא בין ציר ה-x לעקומה במקרים הבאים:

# <math>\int\limits_0^5 |x-3|\mathrm dx</math><br/> פתרון: נשים לב להגדרת <math>|x-3|</math> לפיה האינטגרל שווה ל-<math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx+\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx</math>. גרף (1) מספיק לחשב את השטחים I ו-II. נעשה זאת לפי שטח משולש: עבור I - <math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx=\frac{3\cdot3}2=4.5</math> ועבור II - <math>\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx=\frac{2\cdot2}2=2</math> ולכן השטח הכולל הוא 6.5. {{משל}}<br />''הערה:'' אם התחום היה, למשל, <math>[4,5]</math> היינו יכולים לחשב לפי שטח טרפז.
# <math>\int\limits_0^{10} \sqrt{10x-x^2}\mathrm dx</math>. פתרון: נבדוק מהו גרף הפונקציה. נסמן <math>y=\sqrt{10x-x^2}\implies y^2=10x-x^2\implies (x-5)^2+y^2=5^2</math>. קיבלנו מעגל - גרף (2). מסימטריות המעגל אפשר לקחת חצי משטח המעגל. <math>\int\limits_0^{10}\sqrt{10x-x^2}\mathrm dx=\frac{25\pi}2</math> {{משל}}
# <math>\int\limits_a^b\sqrt\frac{4-x^2}2\mathrm dx</math>, כאשר a,b הם גבולות העקומה. פתרון: נסמן <math>y=\sqrt\frac{4-x^2}2\implies \left(\frac y\sqrt2\right)^2+\left(\frac x2\right)^2=0</math>. זוהי אליפסה שמרכזה ב-<math>(0,0)</math>. נסמן <math>a=2,\ b=\sqrt2</math> ולפי נוסחה לשטח אליפסה (<math>\pi a b</math>) נקבל <math>2\sqrt2\pi</math>. האינטגרל הוא מחצית השטח, כלומר <math>\sqrt2\pi</math>. {{משל}}

=האינטגרל הלא מסויים=
'''המטרה:''' להגדיר אינטגרל דרך פונקציה קדומה: <math>F(x)=\int f(x)\mathrm dx</math> ולכן אפשר להשתמש בכיוון השני של טבלת הגזירה. למשל, <math>\frac{\mathrm d\ln(x)}{\mathrm dx}=\frac1x</math> ולכן <math>\int\frac{\mathrm dx}x=\ln|x|+c</math>

==דוגמה 1 {{הערה|(שיטת פירוק)}}==
חשב <math>\int\frac{2x^4}{1+x^2}\mathrm dx</math>.
===פתרון===
זה שווה ל-{{left|<math>\begin{align}2\int\frac{x^4-1+1}{1+x^2}\mathrm dx&=2\int\left(\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2+1}+\frac1{x^2+1}\right)\mathrm dx\\&=2\int(x^2-1)\mathrm dx+2\int\frac{\mathrm dx}{1+x^2}\\&=2\frac{x^3}3-2x+2\arcsin(x)+c\end{align}</math>}}
{{משל}}

'''באופן כללי:''' נבדוק מה מאפס את המונה ומה מאפס את המכנה (במקרה הזה לא מתאפס ב-<math>\mathbb R</math>). אם מצטמצם ננסה חילוק פולינומים, אחרת נחפש להציג כקבוע ועוד שארית. דוגמה נוספת: <math>\int\frac{x^2}{x^2+1}\mathrm dx=\int\frac{x^2+1-1}{x^2+1}\mathrm dx</math>.

==דוגמה 2==
חשב <math>I=\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)\cos^2(x)}</math>.
===פתרון===
'''דרך א:''' מתקיים <math>I=4\int\frac{\mathrm dx}{\Big(2\sin(x)\cos(x)\Big)^2}=4\int\frac{\mathrm dx}{(\sin(2x))^2}</math>. זהו אינטגרל לא פשוט ולכן ננסה את '''דרך ב:''' {{left|<math>\begin{align}I&=\int\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin^2(x)\cos^2(x)}\mathrm dx\\&=\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)}+\int\frac{\mathrm dx}{\cos^2(x)}\\&=\tan(x)-\cot(x)+c\end{align}</math>}}
{{משל}}

ניתן לבדוק זאת ע"י גזירת הפונקציה הקדומה, אבל כמובן שההוכחה הזו מספיקה.

----

'''שיטת ההצבה:''' <math>\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x))+c</math>

==דוגמה 3==
חשב <math>\int\sin^5(x)\cos(x)\mathrm dx</math>.
===פתרון===
נציב <math>y=\sin(x)</math> ולכן <math>\mathrm dy=\cos(x)\mathrm dx</math>. אזי האינטגרל הוא: <math>\int y^5\mathrm dy=\frac{y^6}6+c=\frac{\sin^6(x)}6+c</math>. {{משל}}



----

'''אינטגרציה בחלקים:''' <math>\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx</math>.

==דוגמה 4==
חשב את האינטגרלים הבאים:
<ol>
<li><math>\int xe^x\mathrm dx</math>
===פתרון===
לפי אינטגרציה בחלקים, נגדיר <math>f(x)=x\ \and\ g(x)=e^x</math>. לכן האינטגרל שווה ל-<math>xe^x-\int1e^x\mathrm dx=xe^x-e^x+c</math>. {{משל}}

'''מסקנה:''' לכל פולינום ממעלה <math>n\in\mathbb N</math> כפול פונקציה g שמקיימת (עבור <math>m\in\mathbb N</math> כלשהו) <math>g^{(m)}(x)=g(x)</math> נעשה אינטגרציה בחלקים n פעמים ונקבל את הפתרון</li>
<li><math>\int\ln(x)\mathrm dx</math>
===פתרון===
נסמן <math>f(x)=\ln(x)\ \and\ g(x)=x</math> ואז <math>x\ln(x)-\int\frac{\mathrm dx}x=x\ln(x)-x+c</math>. {{משל}}</li>
<li><math>\int\sin(x)e^x\mathrm dx</math>
===פתרון===
<math>f(x)=\sin(x)\ \and\ g(x)=e^x</math> ואז <math>\sin(x)e^x-\int\cos(x)e^x\mathrm dx</math>. ולפי אינטגרציה שנייה: <math>\sin(x)e^x-\cos(x)e^x-\int\sin(x)e^x\mathrm dx</math> ולכן <math>\int\sin(x)e^x\mathrm dx=\frac12\left(\sin(x)e^x-\cos(x)e^x\right)+c</math>. {{משל}}

'''מסקנה:''' במקרה של-f,g יש מספר סופי של נגזרות שונות, נשתמש בשיטה זו.</li>
</ol>

==דוגמה 5==
<math>\int\frac{3^x}\sqrt{1-9^x}\mathrm dx</math>.
===פתרון===
בשיטת ההצבה, <math>y=3^x\implies\mathrm dy=\ln(3)\cdot3^x\mathrm dx</math> והאינטגרל הנ"ל שווה ל-<math>\frac1{\ln(3)}\int\frac{\mathrm dy}\sqrt{1-y^2}=\frac1{\ln(3)}\arcsin(3^x)+c</math>. {{משל}}

משתמש:אור שחף/133 - תרגול/6.3.11

2011-05-14T11:22:53Z

חופית: /* דוגמה 1 */

=שיטות פרמיטיביות לחישוב שטחים=
'''המטרה:''' לחשב שטח מתחת לכל עקומה (כמעט).

==דוגמה 1==
חשב את השטח הכלוא בין ציר ה-x לעקומה במקרים הבאים:

# <math>\int\limits_0^5 |x-3|\mathrm dx</math><br/> פתרון: נשים לב להגדרת <math>|x-3|</math> לפיה האינטגרל שווה ל-<math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx+\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx</math>. גרף (1) מספיק לחשב את השטחים I ו-II. נעשה זאת לפי שטח משולש: עבור I - <math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx=\frac{3\cdot3}2=4.5</math> ועבור II - <math>\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx=\frac{2\cdot2}2=2</math> ולכן השטח הכולל הוא 6.5. {{משל}}<br />''הערה:'' אם התחום היה, למשל, <math>[4,5]</math> היינו יכולים לחשב לפי שטח טרפז.
# <math>\int\limits_0^{10} \sqrt{10x-x^2}\mathrm dx</math>. פתרון: נבדוק מהו גרף הפונקציה. נסמן <math>y=\sqrt{10x-x^2}\implies y^2=10x-x^2\implies (x-5)^2+y^2=5^2</math>. קיבלנו מעגל - גרף (2). מסימטריות המעגל אפשר לקחת חצי משטח המעגל. <math>\int\limits_0^{10}\sqrt{10x-x^2}\mathrm dx=\frac{25\pi}2</math> {{משל}}
# <math>\int\limits_a^b\sqrt\frac{4-x^2}2\mathrm dx</math>, כאשר a,b הם גבולות העקומה. פתרון: נסמן <math>y=\sqrt\frac{4-x^2}2\implies \left(\frac y\sqrt2\right)^2+\left(\frac x2\right)^2=0</math>. זוהי אליפסה שמרכזה ב-<math>(0,0)</math>. נסמן <math>a=2,\ b=\sqrt2</math> ולפי נוסחה לשטח אליפסה (<math>\pi a b</math>) נקבל <math>2\sqrt2\pi</math>. האינטגרל הוא מחצית השטח, כלומר <math>\sqrt2\pi</math>. {{משל}}

=האינטגרל הלא מסויים=
'''המטרה:''' להגדיר אינטגרל דרך פונקציה קדומה: <math>F(x)=\int f(x)\mathrm dx</math> ולכן אפשר להשתמש בכיוון השני של טבלת הגזירה. למשל, <math>\frac{\mathrm d\ln(x)}{\mathrm dx}=\frac1x</math> ולכן <math>\int\frac{\mathrm dx}x=\ln|x|+c</math>

==דוגמה 1 {{הערה|(שיטת פירוק)}}==
חשב <math>\int\frac{2x^4}{1+x^2}\mathrm dx</math>.
===פתרון===
זה שווה ל-{{left|<math>\begin{align}2\int\frac{x^4-1+1}{1+x^2}\mathrm dx&=2\int\left(\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2+1}+\frac1{x^2+1}\right)\mathrm dx\\&=2\int(x^2-1)\mathrm dx+2\int\frac{\mathrm dx}{1+x^2}\\&=2\frac{x^3}3-2x+2\arcsin(x)+c\end{align}</math>}}
{{משל}}

'''באופן כללי:''' נבדוק מה מאפס את המונה ומה מאפס את המכנה (במקרה הזה לא מתאפס ב-<math>\mathbb R</math>). אם מצטמצם ננסה חילוק פולינומים, אחרת נחפס להציג כקבוע ועוד שארית. דוגמה נוספת: <math>\int\frac{x^2}{x^2+1}\mathrm dx=\int\frac{x^2+1-1}{x^2+1}\mathrm dx</math>.

==דוגמה 2==
חשב <math>I=\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)\cos^2(x)}</math>.
===פתרון===
'''דרך א:''' מתקיים <math>I=4\int\frac{\mathrm dx}{\Big(2\sin(x)\cos(x)\Big)^2}=4\int\frac{\mathrm dx}{(\sin(2x))^2}</math>. זהו אינטגרל לא פשוט ולכן ננסה את '''דרך ב:''' {{left|<math>\begin{align}I&=\int\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin^2(x)\cos^2(x)}\mathrm dx\\&=\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)}+\int\frac{\mathrm dx}{\cos^2(x)}\\&=\tan(x)-\cot(x)+c\end{align}</math>}}
{{משל}}

ניתן לבדוק זאת ע"י גזירת הפונקציה הקדומה, אבל כמובן שההוכחה הזו מספיקה.

----

'''שיטת ההצבה:''' <math>\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x))+c</math>

==דוגמה 3==
חשב <math>\int\sin^5(x)\cos(x)\mathrm dx</math>.
===פתרון===
נציב <math>y=\sin(x)</math> ולכן <math>\mathrm dy=\cos(x)\mathrm dx</math>. אזי האינטגרל הוא: <math>\int y^5\mathrm dy=\frac{y^6}6+c=\frac{\sin^6(x)}6+c</math>. {{משל}}



----

'''אינטגרציה בחלקים:''' <math>\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx</math>.

==דוגמה 4==
חשב את האינטגרלים הבאים:
<ol>
<li><math>\int xe^x\mathrm dx</math>
===פתרון===
לפי אינטגרציה בחלקים, נגדיר <math>f(x)=x\ \and\ g(x)=e^x</math>. לכן האינטגרל שווה ל-<math>xe^x-\int1e^x\mathrm dx=xe^x-e^x+c</math>. {{משל}}

'''מסקנה:''' לכל פולינום ממעלה <math>n\in\mathbb N</math> כפול פונקציה g שמקיימת (עבור <math>m\in\mathbb N</math> כלשהו) <math>g^{(m)}(x)=g(x)</math> נעשה אינטגרציה בחלקים n פעמים ונקבל את הפתרון</li>
<li><math>\int\ln(x)\mathrm dx</math>
===פתרון===
נסמן <math>f(x)=\ln(x)\ \and\ g(x)=x</math> ואז <math>x\ln(x)-\int\frac{\mathrm dx}x=x\ln(x)-x+c</math>. {{משל}}</li>
<li><math>\int\sin(x)e^x\mathrm dx</math>
===פתרון===
<math>f(x)=\sin(x)\ \and\ g(x)=e^x</math> ואז <math>\sin(x)e^x-\int\cos(x)e^x\mathrm dx</math>. ולפי אינטגרציה שנייה: <math>\sin(x)e^x-\cos(x)e^x-\int\sin(x)e^x\mathrm dx</math> ולכן <math>\int\sin(x)e^x\mathrm dx=\frac12\left(\sin(x)e^x-\cos(x)e^x\right)+c</math>. {{משל}}

'''מסקנה:''' במקרה של-f,g יש מספר סופי של נגזרות שונות, נשתמש בשיטה זו.</li>
</ol>

==דוגמה 5==
<math>\int\frac{3^x}\sqrt{1-9^x}\mathrm dx</math>.
===פתרון===
בשיטת ההצבה, <math>y=3^x\implies\mathrm dy=\ln(3)\cdot3^x\mathrm dx</math> והאינטגרל הנ"ל שווה ל-<math>\frac1{\ln(3)}\int\frac{\mathrm dy}\sqrt{1-y^2}=\frac1{\ln(3)}\arcsin(3^x)+c</math>. {{משל}}

משתמש:אור שחף/133 - תרגול/6.3.11

2011-05-14T11:20:20Z

חופית: /* דוגמה 1 */

=שיטות פרמיטיביות לחישוב שטחים=
'''המטרה:''' לחשב שטח מתחת לכל עקומה (כמעט).

==דוגמה 1==
חשב את השטח הכלוא בין ציר ה-x לעקומה במקרים הבאים:

# <math>\int\limits_0^5 |x-3|\mathrm dx</math><br/> פתרון: נשים לב להגדרת <math>|x-3|</math> לפיה האינטגרל שווה ל-<math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx+\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx</math>. גרף (1) מספיק לחשב את השטחים I ו-II. נעשה זאת לפי שטח משולש: עבור I - <math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx=\frac{3\cdot3}2=4.5</math> ועבור II - <math>\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx=\frac{2\cdot2}2=2</math> ולכן השטח הכולל הוא 6.5. {{משל}}<br />''הערה:'' אם התחום היה, למשל, <math>[4,5]</math> היינו יכולים לחשב לפי שטח טרפז.
# <math>\int\limits_0^{10} \sqrt{10x-x^2}\mathrm dx</math>. פתרון: נבדוק מהו גרף הפונקציה. נסמן <math>y=\sqrt{10x-x^2}\implies y^2=10x-x^2\implies (x-5)^2+y^2=5^2</math>. קיבלנו מעגל - גרף (2). מסימטריות המעגל אפשר לקחת חצי משטח המעגל. <math>\int\limits_0^{10}\sqrt{10x-x^2}\mathrm dx=\frac{25\pi}2</math> {{משל}}
# <math>\int\limits_a^b\sqrt\frac{4-x^2}2\mathrm dx</math>, כאשר a,b הם גבולות העקומה. פתרון: נסמן <math>y=\sqrt\frac{4-x^2}2\implies \left(\frac y\sqrt2\right)^2+\left(\frac x2\right)^2</math>. זוהי אליפסה שמרכזה ב-<math>(0,0)</math>. נסמן <math>a=2,\ b=\sqrt2</math> ולפי נוסחה לשטח אליפסה (<math>\pi a b</math>) נקבל <math>2\sqrt2\pi</math>. האינטגרל הוא מחצית השטח, כלומר <math>\sqrt2\pi</math>. {{משל}}

=האינטגרל הלא מסויים=
'''המטרה:''' להגדיר אינטגרל דרך פונקציה קדומה: <math>F(x)=\int f(x)\mathrm dx</math> ולכן אפשר להשתמש בכיוון השני של טבלת הגזירה. למשל, <math>\frac{\mathrm d\ln(x)}{\mathrm dx}=\frac1x</math> ולכן <math>\int\frac{\mathrm dx}x=\ln|x|+c</math>

==דוגמה 1 {{הערה|(שיטת פירוק)}}==
חשב <math>\int\frac{2x^4}{1+x^2}\mathrm dx</math>.
===פתרון===
זה שווה ל-{{left|<math>\begin{align}2\int\frac{x^4-1+1}{1+x^2}\mathrm dx&=2\int\left(\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2+1}+\frac1{x^2+1}\right)\mathrm dx\\&=2\int(x^2-1)\mathrm dx+2\int\frac{\mathrm dx}{1+x^2}\\&=2\frac{x^3}3-2x+2\arcsin(x)+c\end{align}</math>}}
{{משל}}

'''באופן כללי:''' נבדוק מה מאפס את המונה ומה מאפס את המכנה (במקרה הזה לא מתאפס ב-<math>\mathbb R</math>). אם מצטמצם ננסה חילוק פולינומים, אחרת נחפס להציג כקבוע ועוד שארית. דוגמה נוספת: <math>\int\frac{x^2}{x^2+1}\mathrm dx=\int\frac{x^2+1-1}{x^2+1}\mathrm dx</math>.

==דוגמה 2==
חשב <math>I=\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)\cos^2(x)}</math>.
===פתרון===
'''דרך א:''' מתקיים <math>I=4\int\frac{\mathrm dx}{\Big(2\sin(x)\cos(x)\Big)^2}=4\int\frac{\mathrm dx}{(\sin(2x))^2}</math>. זהו אינטגרל לא פשוט ולכן ננסה את '''דרך ב:''' {{left|<math>\begin{align}I&=\int\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin^2(x)\cos^2(x)}\mathrm dx\\&=\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)}+\int\frac{\mathrm dx}{\cos^2(x)}\\&=\tan(x)-\cot(x)+c\end{align}</math>}}
{{משל}}

ניתן לבדוק זאת ע"י גזירת הפונקציה הקדומה, אבל כמובן שההוכחה הזו מספיקה.

----

'''שיטת ההצבה:''' <math>\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x))+c</math>

==דוגמה 3==
חשב <math>\int\sin^5(x)\cos(x)\mathrm dx</math>.
===פתרון===
נציב <math>y=\sin(x)</math> ולכן <math>\mathrm dy=\cos(x)\mathrm dx</math>. אזי האינטגרל הוא: <math>\int y^5\mathrm dy=\frac{y^6}6+c=\frac{\sin^6(x)}6+c</math>. {{משל}}



----

'''אינטגרציה בחלקים:''' <math>\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx</math>.

==דוגמה 4==
חשב את האינטגרלים הבאים:
<ol>
<li><math>\int xe^x\mathrm dx</math>
===פתרון===
לפי אינטגרציה בחלקים, נגדיר <math>f(x)=x\ \and\ g(x)=e^x</math>. לכן האינטגרל שווה ל-<math>xe^x-\int1e^x\mathrm dx=xe^x-e^x+c</math>. {{משל}}

'''מסקנה:''' לכל פולינום ממעלה <math>n\in\mathbb N</math> כפול פונקציה g שמקיימת (עבור <math>m\in\mathbb N</math> כלשהו) <math>g^{(m)}(x)=g(x)</math> נעשה אינטגרציה בחלקים n פעמים ונקבל את הפתרון</li>
<li><math>\int\ln(x)\mathrm dx</math>
===פתרון===
נסמן <math>f(x)=\ln(x)\ \and\ g(x)=x</math> ואז <math>x\ln(x)-\int\frac{\mathrm dx}x=x\ln(x)-x+c</math>. {{משל}}</li>
<li><math>\int\sin(x)e^x\mathrm dx</math>
===פתרון===
<math>f(x)=\sin(x)\ \and\ g(x)=e^x</math> ואז <math>\sin(x)e^x-\int\cos(x)e^x\mathrm dx</math>. ולפי אינטגרציה שנייה: <math>\sin(x)e^x-\cos(x)e^x-\int\sin(x)e^x\mathrm dx</math> ולכן <math>\int\sin(x)e^x\mathrm dx=\frac12\left(\sin(x)e^x-\cos(x)e^x\right)+c</math>. {{משל}}

'''מסקנה:''' במקרה של-f,g יש מספר סופי של נגזרות שונות, נשתמש בשיטה זו.</li>
</ol>

==דוגמה 5==
<math>\int\frac{3^x}\sqrt{1-9^x}\mathrm dx</math>.
===פתרון===
בשיטת ההצבה, <math>y=3^x\implies\mathrm dy=\ln(3)\cdot3^x\mathrm dx</math> והאינטגרל הנ"ל שווה ל-<math>\frac1{\ln(3)}\int\frac{\mathrm dy}\sqrt{1-y^2}=\frac1{\ln(3)}\arcsin(3^x)+c</math>. {{משל}}

משתמש:אור שחף/133 - תרגול/27.2.11

2011-05-14T11:00:37Z

חופית: /* פתרון */

=אינטגרל לפי רימן=
'''הגדרה:''' יהי <math>[a,b]</math> קטע סגור. נסמן את <math>T_{[a,b]}</math> כחלוקה <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> ונקרא ל-T חלוקה. נסמן <math>\Delta x_i=x_i-x_{i-1}</math> כאשר <math>i\in\{1,2,\dots,n\}</math>.

'''הגדרה:''' תהי f פונקציה המוגדרת ב-<math>[a,b]</math> ותהי T חלוקה של הקטע. עבור כל תת קטע <math>[x_{i-1},x_i]</math> נבחר נקודה <math>\alpha_i\in[x_{i-1},x_i]</math> ונבנה סכום מהצורה <math>\sigma=\sum_{i=1}^n f(\alpha_i)\Delta x_i</math>. סכום זה נקרא סכום רימן של f והוא תלוי ב-<math>\Delta x_i</math> וב-<math>\alpha_i</math>.

'''הגדרה:''' פרמטר החלוקה של T מוגדר כ-<math>\lambda(T)=\max_{i=1}^n\Delta x_i</math>.

'''הגדרה:''' תהי <math>\{T_n\}</math> סדרת חלוקות של הקטע <math>[a,b]</math>. נאמר כי <math>T_n</math> נורמלית אם <math>\lim_{n\to\infty}\lambda(T_n)=0</math>.

'''הגדרה:''' נאמר כי סכומי רימן שואפים לגבול I כאשר <math>\lambda(T)\to0</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת <math>\delta>0</math> כך שלכל חלוקה T עבורה <math>\lambda(T)<\delta</math> מתקיים <math>|\sigma-I|<\varepsilon</math>.

==דוגמה 1==
נמצא פונקציה לא אינטגרבילית. דוגמה קלאסית לכך היא פונקצית דיריכלה - לכל חלוקה נורמלית שנבחר תהיה נקודה רציונלית ונקודה אי-רציונלית בתת קטע <math>[x_{i-1},x_i]</math> של <math>[a,b]</math> ולכן סכום רימן יכול להיות כל ערך בין 0 ל-<math>1(b-a)</math> (כולל).

==דוגמה 2==
קבע אינטגרביליות של f בקטע <math>[0,1]</math> כאשר <math>f(x)=\begin{cases}2&0\le x<\tfrac13\\0&\tfrac13\le x<\tfrac23\\1&\tfrac23\le x\le1\end{cases}</math>.

===פתרון===
נוכיח אינטגרביליות לפי רימן. תהי <math>\varepsilon>0</math> נתונה. צריך להוכיח כי קיימת <math>\delta>0</math> כך שלכל חלוקה T, עבורה <math>\lambda(T)<\delta</math> מתקיים <math>|\sigma-I|<\varepsilon</math>. נצייר את הפונקציה:

גרף (1)

אינטואיטיבית, מהגרף ניתן לראות שהשטח מתחת ל-f הוא <math>2\cdot\tfrac13+0\cdot\tfrac13+1\cdot\tfrac13=1</math>, כלומר אנו ננסה להוכיח ש-<math>I=1</math>:

נסמן ב-T את החלוקה <math>\left\{0,\tfrac13,\tfrac23,1\right\}</math> של <math>[0,1]</math>. נבחר <math>T_\delta=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> העדנה של T המקיימת <math>\lambda(T_\delta)<\delta</math> ונבנה את סכום רימן באופן הבא:
תהי <math>x_i:=\max\left\{x\in T_\delta:\ x<\tfrac13\right\}</math> ותהי <math>x_j:=\max\left\{x\in T_\delta:\ x<\tfrac23\right\}</math>. עבור <math>x_0\le c_1\le x_1\le\dots\le c_n\le x_n</math>, סכומי רימן הם
{{left|<math>\begin{array}{l l l}\sigma&=&\displaystyle\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k
\\&=&\ 2(x_1-\underbrace{x_0}_{=0})+\dots+2(x_i-x_{i-1})
\\&&+0(\underbrace{x_{i+1}}_{=1/3}-x_i)+\dots+0(x_j-x_{j-1})
\\&&+1(\underbrace{x_{j+1}}_{=2/3}-x_j)+\dots+1(\underbrace{x_n}_{=1}-x_{n-1})\\&=&2x_i+1-x_j\end{array}</math>}}

נשים לב כי <math>x_{i+1}-x_i,x_{j+1}-x_j<\delta</math> ולכן <math>2x_i>\frac23-2\delta</math> ו-<math>1-x_j<\delta+\frac13</math>. כמו כן, לפי הגדרת <math>x_i,x_j</math>, מתקיים <math>2x_i<\frac23</math> ו-<math>1-x_j>\frac13</math>. מכאן ש-<math>\frac23-2\delta+\frac13<\sigma<\frac23+\delta+\frac13</math>. נזכיר כי חשדנו ש-<math>I=1</math> ולכן נבדוק מהו <math>\sigma-1</math>:
<math>-2\delta+1<\sigma<1+\delta</math> ולכן <math>|\sigma-1|<2\delta</math>. נבחר <math>\delta=\frac\varepsilon2</math> ונקבל את הדרוש. לסיכום, ערך האינטגרל הוא 1 ובוודאי ש-f אינטגרבילית. {{משל}}

==דוגמה 3==
חשב את הגבול <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(1+\frac1n\right)\left(1+\frac2n\right)\dots\left(1+\frac nn\right)}</math>.
===פתרון===
נתבונן בסדרה <math>\left\{1+\frac in\right\}_{i=0}^n</math>. כאשר <math>n\to\infty</math>, קל לראות שמדובר בקטע <math>[1,2]</math>. לפי חוקי לוגריתמים אפשר לרשום: <math>\lim_{n\to\infty} \ln\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n\left(1+\frac in\right)}=\lim_{n\to\infty} \frac1n \ln \prod_{i=1}^n\left(1+\frac in\right)=\lim_{n\to\infty}\frac1n \sum_{i=1}^n\ln\left(1+\frac in\right)</math>. ברור כי ln אינטגרבילית ב-<math>(1,2]</math> ולכן נבחר חלוקה שעבורה <math>\Delta x=\frac1n</math>, ואז <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n \sum_{i=0}^n \ln\left(1+\frac in\right)=\lim_{n\to\infty}\frac1n \sum_{i=1}^n \ln\left(1+\frac in\right)=\int\limits_1^2\ln(x)\mathrm dx</math>.

'''הערה:''' את האינטגרל הזה נלמד לפתור בשיעור הבא.

----

משפט: אם <math>f(x)\ge g(x)</math> ו-f ו-g אינטגרביליות אז <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>.

==דוגמה 4==
קבע האם האינטגרל הנתון בעל ערך חיובי או שלילי: <math>\int\limits_{-3}^{-1}\frac{x^4}{\sqrt{2-x}}\mathrm dx</math>.
===פתרון===
נסמן <math>f(x)=\frac{x^4}{\sqrt{2-x}}</math> קל לראות ש-f חיובית בקטע <math>[-3,-1]</math> ולכן <math>\int\limits_{-3}^{-1}f\ge\int\limits_{-3}^{-1} 0\mathrm dx=0(-1-(-3))=0</math>, כלומר אי-שלילי. נעיר ש-<math>x=0</math> (שהיא הנקודה המאפסת היחידה של f ב-<math>\mathbb R</math>) אינה בקטע ולכן התוצאה '''חיובית'''. {{משל}}

==דוגמה 5==
נוכיח כי <math>\int\limits_1^4\sqrt{1+x^2}\mathrm dx\ge7.5</math>.
===פתרון===
נתון כי <math>1\le x\le4</math> ולכן <math>1\le x^2\le16</math>. מכאן ש-<math>\sqrt2\le\sqrt{1+x^2}\le\sqrt{17}</math> חיובית. נפעיל אינטגרל (צריכים רק את צד שמאל) ונקבל <math>\int\limits_1^4 f\ge\int\limits_1^4\sqrt2\mathrm dx=\left[\sqrt2x\right]_{x=1}^4=\sqrt2\cdot4-\sqrt2=3\sqrt2</math>. התוצאה קטנה מ-7.5 ולכן נחפש חסם אחר: <math>1+x^2>x^2\implies\sqrt{1+x^2}>\sqrt{x^2}=|x|</math>, לכן <math>\int\limits_1^4 f>\int\limits_1^4|x|\mathrm dx=\int\limits_1^4 x\mathrm dx=\left[\frac{x^2}2\right]_{x=1}^4=7.5</math>. {{משל}}

==דוגמה 6==
הוכח כי <math>\frac2{\sqrt[4]e}\le\int\limits_0^2 e^{x^2-x}\mathrm dx\le2e^2</math>
===פתרון===
ננסה למצוא קבועים המקיימים <math>m\le e^{x^2-x}\le M</math> (כי אינטגרל של קבוע אנו יודעים לפתור).
נמצא מינימום ומקסימום. נסמן <math>f(x)=e^{x^2-x}</math> ואז <math>f'(x)=(2x-1)e^{x^2-x}</math> ולכן נקודה החשודה כקיצון היא <math>x=\frac12</math>: <math>f''(x)>0</math> ולפיכך היא מינימום. לפי וירשטרס נחפש גם בקצוות: <math>f(2)=e^{4-2}=e^2</math> (מקסימום) וכן <math>f(0)=e^0=1</math>. לכן <math>e^{-\frac14}\le f(x)\le e^2</math>. לפיכך <math>e^{-\frac14}\int\limits_0^2\mathrm dx\le \int\limits_0^2 f(x)\mathrm dx\le e^2\int\limits_0^2\mathrm dx</math> ונקבל בדיוק את מה שרשום. {{משל}}

שיחת משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/3.5.11

2011-05-13T13:55:27Z

חופית: /* 3 בדוגמה */

==3 בדוגמה==
היי אור, למה הכוונה ב"3" הזה שנמצא בדוגמה?
למה הוא שייך? זה שורש שלישי או שהערך מוחלט בחזקת שלוש?
[[משתמש:חופית|חופית]] 17:33, 10 במאי 2011 (IDT)
:על איזה 3 את מדברת? זה שב-<math>\sqrt{|x-\pi|}^3</math>? אם כן אז הכוונה ל-<math>\left(\sqrt{|x-\pi|}\right)^3=\sqrt{|x-\pi|^3}</math> (ולא ל-<math>\sqrt[3]{|x-\pi|}</math>). [[משתמש:אור שחף|אור שחף]]<sup>[[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]]</sup> 15:12, 11 במאי 2011 (IDT)
::כן, תודה [[משתמש:חופית|חופית]] 16:55, 13 במאי 2011 (IDT)

משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.3.11

2011-05-12T15:49:52Z

חופית: /* מבוא לאינטגרציה נומרית */

=יישומים של אינטגרציה {{הערה|(המשך)}}=
<ol start="5">
<li>שטח הפנים של גוף סיבוב (ללא הבסיסים): נחלק את הקטע <math>[a,b]</math> לתתי קטעים <math>[x_{k-1},x_k]</math> עבור כמה k-ים. שטח הפנים הוא <math>2\pi rS</math> (כאשר r רדיוס הבסיס הגדול יותר של הקונוס הנוצר בקטע=<math>f(x_k)</math> וכן <math>S=\sqrt{1+f'(x_k)^2}\Delta x_k</math>. לפי זה שטח המעטפת כולו מקורב ע"י הסכום <math>\sum_{k=1}^n2\pi f(x_k)\sqrt{1+f'(x_k)^2}\Delta x_k</math>. כאשר <math>\lambda(P)\to0</math> ביטוי זה שואף לאינטגרל <math>\int\limits_a^b2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> והוא שטח המעטפת לגוף הסיבוב הנוצר ע"י סיבוב <math>y=f(x)</math> בין a ל-b סביב ציר ה-x.

==דוגמה==
נחשב את שטח המעטפת (=שטח הפנים) של כדור בעל רדיוס r: מתקיים <math>f'(x)=-\frac x{r^2-x^2}</math>. השטח הוא {{left|<math>\begin{align}\int\limits_{-r}^r 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx&=\int\limits_{-r}^r2\pi\sqrt{r^2-x^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}\mathrm dx\\&=\int\limits_{-r}^r2\pi\sqrt{r^2-x^2+x^2}\mathrm dx\\&=2\pi[rx]_{x=-r}^r\\&=4\pi r^2\end{align}</math>}}

נשים לב כי שטח עיגול הוא <math>\pi r^2</math> והיקפו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\pi r^2=2\pi r</math> כמו כן נפח כדור הוא <math>\frac43\pi r^3</math> ושטחו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\frac43\pi r^3=4\pi r^2</math>. הסבר גרף 1. מכאן שתוספת השטח <math>\Delta A</math> בערך שווה ל-<math>2\pi r\Delta r</math>, ז"א <math>\frac{\Delta A}{\Delta r}\approx\frac{2\pi r\Delta r}{\Delta r}=2\pi r</math>. בגבול <math>\Delta r\to0</math> זה מדויק: <math>\frac{\Delta A}{\Delta r}=2\pi r</math>.
לעומת זאת, עבור ריבוע גרף 2 ההיקף הוא <math>4a</math> והשטח - <math>a^2</math> - ההיקף אינו נגזרת השטח. אבל גרף 3 היקף: <math>8a</math>, שטח: <math>4a^2</math> ושוב ההיקף הוא נגזרת השטח.

נחשב שטח פנים של כדור ללא אינטגרל: גרף 4 עפ"י שיוויון משולשים <math>\frac ra=\frac{\Delta x}S</math> ולכן <math>rS=a\Delta x</math> אותה חתיכת הגרף 'S' מסתובבת ליצור שטח <math>2\pi r S=2\pi a\Delta x</math>. ז"א בכל מקום שנבנה שטח ע"י סיבוב קטע באורך <math>\Delta x</math> יווצר שטח באורך <math>2\pi a\Delta x</math>. כעת אם נסכם על כל הקטעים לאורך הקטע <math>[-a,a]</math> נבנה שטח כולל <math>2\pi a\sum\Delta x=2\pi a(2a)=4\pi a^2</math>, כפי שציפינו.
</li>
<li>בפיזיקה, כאשר כוח <math>\vec F</math> קבוע פועל בקטע באורך s אומרים שהוא עשה עבודה <math>W=\vec Fs</math>.כעת נחשב את העבודה שנעשית ע"י כוח משתנה <math>F(x)</math> לאורך הקטע <math>x\in[a,b]</math> בציר הזמן. נעשה חלוקה <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math>. בכל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math>, <math>F(x)</math> תקבל מקסימום <math>M_k</math> ומינימום <math>m_k</math> ולכן העבודה הנעשית ע"י F בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> (נקרא לה <math>W_k</math>) מקיימת <math>m_k\Delta x_k\le W_k\le M_k\Delta x</math>. בסה"כ העבודה לאורך הקטע היא <math>W=\sum_{k=1}^n W_k</math> כאשר <math>\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k\le W\le\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math>. יש כאן <math>\underline S(F,P)\le W\le \overline S(F,P)</math> וכאשר <math>\lambda(P)\to0</math> זה שואף לגבול אחד <math>W=\int\limits_a^b F(x)\mathrm dx</math>.
</li>
<li>החוק השני של ניוטון אומר <math>F=ma</math> ואם מדובר בחלקיק או אדם שהולך בקו ישר (על ציר ה-x) אז התנועה שלו מתוארת ע"י הפונקציה <math>x=x(t)</math> (לכל t נקודה בזמן). לפיכך מהירותו היא <math>v(t)=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}</math> ותאוצתו <math>a(t)=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}</math>. לפי ניוטון <math>F=ma=m\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}=m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}</math>. לפי כלל השרשרת אפשר לכתוב <math>\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}</math> ולכן <math>F=m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}v</math>. לכן העבודה שנעשית ע"י <math>F(x)</math> בין a ל-b היא {{left|<math>\begin{align}W&=\int\limits_a^b F(x)\mathrm dx\\&=\int\limits_a^b m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}v\mathrm dx\\&=\left[\frac{mv^2}2\right]_{x=a}^b\end{align}</math>}} ז"א העבודה שווה לשינוי באינרגיה הקינטית.

''הסבר לנוסחה'': <math>\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}</math>. כאן מניחים ש-<math>x(t)=x</math> ו-<math>v(x)=v</math>. בזה נוצרת פונקציה מרוכבת <math>v(x(t))</math>. למדנו את כלל השרשרת <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}v(x(t))=v'(x(t))x'(t)</math> כלומר <math>\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}</math>.
</li>
</ol>

=מבוא לאינטגרציה נומרית=
נביא כאן 4 שיטות לקירוב של אינטגרל מסוים:
# אינטגרציה בעזרת פיתוח טיילור. לדוגמה, נחשב <math>\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx</math> בדיוק של <math>10^{-6}</math>: כבר למדנו פיתוח טיילור לפונקציה <math>e^t</math>: <math>e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\dots+\frac{t^n}{n!}+R_n(t)</math> כאשר <math>R_n(t)=\frac{f^{(n+1)}(c)t^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{e^ct^{n+1}}{(n+1)!}</math> לאיזה c בין 0 ל-t. נציב <math>t=x^2</math>: <math>e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\dots+\frac{x^{2n}}{n!}+R_n\left(x^2\right)</math>. לכן <math>\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx=\int\limits_0^1 P_n\left(x^2\right)\mathrm dx+\int\limits_0^1 R_n\left(x^2\right)\mathrm dx</math>. אנו זקוקים ל-n כך ש-<math>\left|\int\limits_0^1 R_n\left(x^2\right)\mathrm dx\right|=\left|\int\limits_0^1\frac{e^cx^{2n+2}}{(n+1)!}\right|<10^{-6}</math>. לכל <math>x\in[0,1]</math> מתקיים <math>e^0\le e^c\le e^1<3</math> ולכן השארית חסומה ע"י <math>3\left|\int\limits_0^1\frac{x^{2n+2}}{(n+1)!}\mathrm dx\right|=\frac3{(2n+3)(n+1)!}</math>. אכן, עבור <math>n=7</math> זה מספיק קטן. לפי זה {{left|<math>\begin{align}\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx&\approx\int\limits_0^1\left(1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\frac{x^8}{4!}+\frac{x^{10}}{5!}+\frac{x^{12}}{6!}+\frac{x^{14}}{7!}\right)\mathrm dx\\&=\dots\\&\approx1.4626501\end{align}</math>}} השיטה הזאת לא תמיד מועילה כי <ol><li>לא כל פונקציה גזירה אינסוף פעמים כדי שנוכל לחשב <math>P_n(x)</math> ל-n כלשהו.</li><li>יש פונקציות בעלות אינסוף נגזרות שפשוט לא מקורבות היטב ע"י פיתוח טיילור, ובפרט על קטע ארוך.</li><li>יש פונקציות שקשה לחשב את פיתוח טיילור שלהן כי הוא תלוי בנגזרת מסדר גבוה.</li></ol>
# קירוב ע"פ סכומי רימן. נניח ש-f רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נקח <math>n\in\mathbb N</math> כלשהו ונעשה חלוקה שווה של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> כאשר לכל k נגדיר <math>h=\frac{b-a}n=x_k-x_{k-1}</math> (כאשר h הוא אורך הפסיעה בין שתי נקודות החלוקה). הקירוב לאינטגרל נתון ע"י סכום רימן <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k=h\sum_{k-1}^n f(x_k)</math>. כעת נניח ש-f בעלת נגזרת רציפה <math>f'</math> ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את סדר גודל הטעות בקירוב הנ"ל: <math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x_k)\mathrm dx</math>. בתוך הקטע הקטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> נסתמך על משפט לגראנז' לומר <math>f'(c)=\frac{f(x)-f(x_k)}{x-x_k}</math> עבור c בין x ל-<math>x_k</math>. נעביר אגף לומר <math>f(x)=f(x_k)+f'(c)(x-x_k)</math> ולכן <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x_k)\mathrm dx+\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx=f(x_k)(x_k-x_{k-1})+R_k</math>. <math>f(x_k)h</math> היא התרומה של קטע זה לסכום רימן. האינטגרל <math>R_k</math> = הטעות. כעת, אם נסמן <math>M=\max_{x\in[a,b]} |f'(x)|</math> נוכל להסיק {{left|<math>\begin{align}|R_k|&=\left|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx\right|\\&\le\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} |f'(c)|(x-x_k)\mathrm dx\\&\le\frac{nMh^2}2\\&=\frac{b-a}{2h}Mh^2\\&=\frac{b-a}2 Mh\end{align}</math>}}

משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/8.5.11

2011-05-12T15:01:16Z

חופית: /* הוכחה */

=התכנסות במידה שווה {{הערה|(המשך)}}=

'''תזכורת:''' תהי <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בקטע I כך שלכל <math>x\in I</math> קיים הגבול <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math> (כלומר, הפונקציה הגבולית מוגדרת בכל I). הגדרנו ש-<math>f_n\to f</math> במידה שווה ב-I אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>n_0</math> אז <math>|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math>.

==הערה==
אם <math>f_n\to f</math> במ"ש על I אז לכל <math>x\in I</math> ברור שמתקיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math>, כלומר התכנסות במ"ש גוררת התכנסות נקודתית. ההיפך אינו נכון.

==משפט 1==
יהיו קבוצת הפונקציות <math>\{f_n\}</math> והפונקציה f מוגדרות בקטע I. אז התנאים הבאים שקולים:
* <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math> במ"ש ב-I
* <math>\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math>
===הוכחה===
ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני: אם נגדיר לכל n את <math>a_n=\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|</math> אז יש להוכיח כי <math>\lim_{n\to\infty} a_n=0</math>. אבל אם <math>\varepsilon>0</math> ידוע כי קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>|f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon2</math> לכל <math>x\in I</math>. נובע מיד שאם <math>n>n_0</math> אז <math>0\le a_n=\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon</math> ולכן <math>\forall n>n_0:\ |a_n-0|<\varepsilon</math> והוכחנו <math>a_n\to0</math>, כדרוש.

לצד השני יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. ידוע כי קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math> ולכן <math>\forall n>n_0:\ |f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math> עבור <math>x\in I</math>. {{משל}}

==דוגמה==
[[קובץ:גרף חזקות שונות של x.png|ממוזער|300px|ימין]]

בקטע <math>[0,1)</math> ברור כי <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math>.

נראה כי ההתכנסות נקודתית ולא במ"ש: <math>\forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in[0,1)}|x^n-0|=1\ne0</math>. {{משל}}

נעיר כי בקטע <math>[0,r]</math> עבור <math>r<1</math> דווקא '''יש''' התכנסות במ"ש: <math>\forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in[0,r]}|x^n-0|=r^n</math> ולכן <math>\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}r^n=0</math>, כדרוש. {{משל}}

==משפט 2==
נניח ש-<math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)</math> במ"ש ב-I. עוד נניח שעבור איזה <math>x_0\in I</math> כל <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0</math>. אזי גם f רציפה ב-<math>x_0</math>.
===הוכחה===
יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I ולכן קיים n טבעי מסויים כך שלכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon3</math>. <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0</math> ולכן קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|x-x_0|<\delta</math> אז <math>|f_n(x)-f_n(x_0)|<\frac\varepsilon3</math> נובע שאם <math>|x-x_0|<\delta</math> אז <math>|f(x)-f(x_0)|\le|f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(x_0)|+|f_n(x_0)-f(x_0)|<\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3=\varepsilon</math>. {{משל}}

===מסקנה===
בתנאים של משפט 2, אם כל <math>f_n</math> רציפה בקטע I כולו, אז גם f רציפה ב-I כולו.
===דוגמה===
בקטע <math>[0,1]</math> ברור כי <math>\lim_{n\to\infty}x^n=\begin{cases}0&0\le x<1\\1&x=1\end{cases}</math>. כאן כל <math>x^n</math> רציפה ב-<math>[0,1]</math> ואילו הפונקציה הגבולית לא רציפה. זה אינו סותר את משפט 2 כי כבר ראינו שההתכנסות אינה במ"ש.

==משפט 3==
נניח שלכל n <math>f_n</math> מוגדרת ואינטגרבילית ב-<math>I=[a,b]</math> ונניח שקיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)</math> במ"ש ב-I. אזי f אינטגרבילית ב-I ומתקיים <math>\int\limits_a^b f=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n</math>.

===הוכחה===
לא נוכיח שבתנאים הללו f אינטגרבילית (בד"כ זה יתקיים אוטומטית אם כל ה-<math>f_n</math> רציפות למקוטעין), ונסתפק בהוכחה לכך ש-<math>\int\limits_a^b f=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n</math>. שקול להוכיח ש-<math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f-\int\limits_a^b f_n=0</math>. ובכן יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש על I <math>\exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>n_0:\ \sup_{x\in[a,b]}|f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon{b-a}</math>. נובע שלכל <math>n>n_0</math> <math>\left|\int\limits_a^b(f-f_n)\right|\le\int\limits_a^b|f-f_n|\le(b-a)\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<(b-a)\frac\varepsilon{b-a}=\varepsilon</math>. מכאן נובע ש-<math>\lim_{n\to\infty}\left|\int\limits_a^b (f-f_n)\right|=0</math>. {{משל}}
===דוגמה===
[[קובץ:פונקציה בין n ל-0.png|300px|ימין]]
משמאל נתונה הפונקציה <math>f_n</math> עבור <math>n\in\mathbb N</math> כלשהו.

נוכיח כי <math>\forall x\in[0,1]:\ \lim_{n\to\infty}f_n(x)=0</math>: עבור <math>x=0</math> לכל n <math>f_n(0)=0</math> ולכן <math>\lim_{n\to\infty} f_n(0)=0</math>. אם <math>x\in(0,1]</math> אז קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך ש-<math>\frac2{n_0}<x</math> ולכן לכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\frac2n<\frac2{n_0}<x</math>, מה שגורר כי <math>f_n(x)=0</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math> ונובע ש-<math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0</math>. בזה הוכחנו את הטענה ש-<math>0=\lim_{n\to\infty}f_n(x)</math> נקודתית ב-<math>[0,1]</math>. {{משל}} נעיר שההתכנסות "מאוד" לא במ"ש כי <math>\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-0|=n\to\infty</math>.

נוכיח כי <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n\ne\int\limits_0^1 0\mathrm dx</math> (כאשר <math>f(x)=0</math> היא הפונקציה הגבולית): לכל n {{left|<math>\int\limits_0^1 f_n=</math> השטח מתחת לגרף <math>=\frac12\cdot n\cdot\frac2n=1\ne0</math>}} {{משל}}

השערה סבירה אבל מאוד לא נכונה: אם <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I אז <math>f_n'\to f'</math> ב-I. דוגמה נגדית: נגדיר <math>f_n(x)=\frac{\sin\left(n^2x\right)}n</math>.
* נוכיח ש-<math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0</math> במ"ש בכל <math>\mathbb R</math>: <math>\forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{\sin\left(n^2x\right)}n-0\right|=\sup_{x\in\mathbb R}\frac{\left|\sin\left(n^2x\right)\right|}n=\frac1n\to0</math>.
* נוכיח <math>f_n'\not\to0'=0</math>: לכל n ולכל <math>x\in\mathbb R</math> מתקיים <math>f_n'(x)=n\cos\left(n^2x\right)</math> ועבור <math>x\in\mathbb R</math> כלשהו <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(x)=\lim_{n\to\infty} n\cos\left(n^2x\right)</math> שאינו קיים. {{משל}}

==משפט 4==
תהי <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות <math>f_n'</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נניח שהסדרה <math>\{f_n\}</math> מתכנסת בנקודה אחת (לפחות) <math>x_0\in[a,b]</math> והסדרה <math>\{f_n'\}</math> מתכנסת במ"ש ל-g ב-<math>[a,b]</math>. אזי <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math> קיים לכל <math>x\in[a,b]</math> ומגדיר פונקציה גבולית f שהיא גזירה ב-<math>[a,b]</math>. יתר על כן <math>\forall x\in[a,b]:\ f'(x)=g(x)</math>.

===הוכחה===
נקח <math>x\in[a,b]</math> כלשהו. לכל n הפונקציה <math>f_n'</math> רציפה (נתון) ונוכל להפעיל את המשפט היסודי לומר <math>f_n(x)-f_n(x_0)=\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. נעביר אגף: <math>f_n(x)=f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. כעת נתון שקיים <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)</math>, נקרא לו <math>\alpha</math>. יתר על כן נתון ש-<math>\lim_{n\to\infty} f_n'(t)=g(t)</math> במ"ש ב-<math>[a,b]</math> וכל שכן <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(t)=g(t)</math> במ"ש בתת הקטע בין <math>x_0</math> ל-x. נסיק ממשפט 3 ש-<math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_{x_0}^x f_n'=\int\limits_{x_0}^x g</math> נובע שלכל <math>x\in[a,b]</math> קיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\left(f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'\right)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g</math> והוכחנו את קיום הפונקציה הגבולית f. נותר להוכיח שהיא גזירה וש-<math>\forall x\in[a,b]:\ f'(x)=g(x)</math>. לפי הנתון כל <math>f_n'</math> רציפה ו-<math>g(t)=\lim_{n\to\infty} f_n'(t)</math> במ"ש על <math>[a,b]</math>. לכן משפט 2 נותן ש-<math>g</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> וכיוון שלכל <math>x\in[a,b]</math> מתקיים <math>f(x)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g</math> החלק הראשון של המשפט היסודי נותן <math>f'=g</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. {{משל}}

משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/3.5.11

2011-05-10T16:26:47Z

חופית: /* דוגמאות */

{{הערה|את רשימת המשפטים לאינטגרלים לא אמיתיים מסוג II לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-3.5.11. [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.5.11#continue|חלק זה]] מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.}}

=אינטגרל לא אמיתי, סוג II {{הערה|(המשך)}}=
==דוגמה==
<math>\int\limits_0^{2\pi}\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{|x-\pi|}^3}\mathrm dx</math> - מתכנס או מתבדר?

נסמן <math>f(x)=\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{|x-\pi|}^3}</math>. לפונקציה יש נקודת אי רציפות סליקה באפס כי <math>\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\sin(x)}x\cdot\frac x\sqrt x\cdot\frac1{\sqrt{|x-\pi|}^3}=1\cdot0\cdot\frac1{\sqrt \pi^3}=0</math>. כמו כן יש סינגולריות רק ב-<math>\pi</math> ונרשום: <math>I_1:=\int\limits_0^\pi f\ \and\ I_2:=\int\limits_\pi^{2\pi} f</math>.

f אי-שלילית בקטע <math>[0,\pi]</math>. לכן נגדיר <math>g(x):=\frac1\sqrt{x-\pi}</math> ונחשב <math>\lim_{x\to\pi^-}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\pi^-}\frac{\sin(x)}{\sqrt x(\pi-x)}=\frac1\sqrt\pi\lim_{x\to\pi^-}\frac{\sin(x)}{\pi-x}=\frac1\sqrt\pi\lim_{x\to\pi^-}\frac{\cos(x)}{-1}=\frac1\sqrt\pi\in\mathbb R</math> ולכן <math>I_1</math> מתכנס אם <math>\int\limits_0^\pi g</math> מתכנס, מה שאכן מתקיים: <math>\int\limits_0^\pi g=\int\limits_0^\pi(\pi-x)^{-1/2}\mathrm dx=\left[-2\sqrt{\pi-x}\right]_{x=0}^\pi=2\sqrt\pi</math>. באותו אופן אפשר להוכיח התכנסות <math>I_2</math> (השוואה עם <math>\frac{-1}\sqrt{x-\pi}</math>). מכאן שאינטגרל הנתון מתכנס. {{משל}}

{{כותרת נושא|סדרות וטורים של פונקציות|נושא שני}}

'''הגדרה:''' תהי <math>\{f_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרת פונקציות המוגדרות כולן בקטע <math>I</math>. לכל <math>x_0\in I</math> נקבל סדרת מספרים <math>\{f_n(x_0)\}_{n=1}^\infty</math> ואפשר לדון ב-<math>\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)</math>. נגדיר את "תחום ההתכנסות" <math>J\subseteq I</math> של הסדרה כ-<math>J:=\left\{x\in I:\lim_{n\to\infty}f_n(x)\in\mathbb R\right\}</math>. כמו כן מוגדרת "פונקציה גבולית" <math>f:J\to\mathbb R</math> כך ש-<math>f=\lim_{n\to\infty}f_n</math>.

יש 2 נקודות מבט בהן ניתן להסתכל על סדרת פונקציות:
# סדרת פונקציות <math>\{f_n\}_{n=1}^\infty</math> היא פשוט אינסוף סדרות של מספרים <math>\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty</math>, עם <math>x\in I</math> לכל סדרה. זהו מבט נקודתי.
# סדרת פונקציות היא, כשמה, סדרה של פונקציות ששואפות לפונקציה חדשה - הפונקציה הגבולית. זהו מבט פונקציונלי.

'''הגדרה:''' נניח שיש לנו סדרת פונקציות <math>\{u_n\}_{n=1}^\infty</math> על I. אפשר לבנות טור <math>\sum_{n=1}^\infty u_n(x)</math> כאשר התכנסות הטור נקבעת עפ"י הסכומים החלקיים <math>S_N(x)=\sum_{n=1}^N u_n(x)</math> וה-<math>\{S_N\}_{N=1}^\infty</math> סדרת פונקציות על I. תחום ההתכנסות ל-<math>S_N</math>, לפי ההגדרה, <math>J=\left\{x\in I:\lim_{N\to\infty}S_N(x)=\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\in\mathbb R\right\}</math>. כמו כן הפונקציה הגבולית של הסדרה היא <math>S(x)=\lim_{N\to\infty}S_N(x)</math>.
==דוגמאות==
# <math>\forall n\in\mathbb N:\ f_n(x)=x^n</math>. זאת סדרת פונקציות על <math>\mathbb R</math> ומתקיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}x^n=\begin{cases}0&|x|<1\\1&x=1\\\text{undefined}&\text{else}\end{cases}</math>. לפיכך תחום ההתכנסות הוא הקטע <math>J=(-1,1]</math>. נשים לב כי יש לפונקציה הגבולית נקודת אי-רציפות ב-<math>x=1</math> אעפ"י שכל ה-<math>f_n</math> רציפות בנקודה זו.
# נחשב את הפונקציה הגבולית עבור <math>f_n(x)=\frac{n^2x}{1+(nx)^2}</math>. עבור <math>x=0</math> מתקיים <math>\forall n:\ f_n(0)=0</math>. עבור <math>x\ne0</math> נקבל <math>\lim_{n\to\infty}\frac{n^2x}{1+(nx)^2}=\lim\frac x{\frac1{n^2}+x^2}=\frac1x</math>. לכן הפונקציה הגבולית היא <math>f(x)=\begin{cases}0&x=0\\\frac1x&x\ne0\end{cases}</math>.
# הטור הנדסי <math>\sum_{n=0}^\infty x^n</math> שווה ל-<math>\begin{cases}\frac1{1-x}&|x|<1\\\text{undefined}&\text{else}\end{cases}</math>. תחום ההתכנסות הוא <math>(-1,1)</math>.
# נבדוק למה שווה הטור <math>\sum_{n=1}^\infty nx^n</math> עבור <math>|x|<1</math>:{{left|<math>\begin{align}\sum_{n=1}^\infty nx^n&=\left(x+x^2+x^3+\dots\right)+\left(x^2+x^3+\dots\right)+\left(x^3+\dots\right)+\dots\\&=\frac x{1-x}+\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^3}{1-x}+\dots\\&=\frac x{1-x}\sum_{n=0}^\infty x^n\\&=\frac x{(1-x)^2}\end{align}</math>}} {{משל}}<br/>''גישה אחרת (מבט פונקציונלי):'' נגדיר <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac1{1-x}</math>. אם יש צדק בעולם <math>S'(x)=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}</math> ולכן <math>\sum_{n=1}^\infty nx^n=x\cdot S'(x)=x\cdot\frac1{(1-x)^2}</math>, אלא שאנו זקוקים למשפט כדי להצדיק את גזירת הטור איבר-איבר אינסוף פעמים (כלומר משפט האומר ש-<math>\left(\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\right)'=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)</math>), ועוד לא הוכחנו כזה דבר (אך נעיר שזה נכון).
# נגדיר <math>f_n(x)=\frac{\sin\left(n^2x\right)}n</math>. לכן הפונקציה הגבולית היא <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}\sin\left(n^2x\right)\frac1n=0</math>. אם יש צדק בעולם אז <math>f_n(x)\to0\implies f_n'(x)\to0'=0</math>, אלא שצדק נמצא בחלל ובפרט <math>f_n'(x)=n\cos\left(n^2x\right)</math> ולכן <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(x)</math> לא קיים לאף <math>x\in\mathbb R</math>.
# נתבונן בטור <math>S(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}</math> ונוכיח כי <math>\forall x\in\mathbb R:\ S(x)=e^x</math>. נעשה זאת באמצעות טורי טיילור: <math>e^x=P_N(x)+R_N(x)</math> וכבר הראנו בקורס אינפי 1 ש-<math>\forall x\in\mathbb R:\ P_N(x)=\sum_{n=0}^N\frac{x^n}{n!}\ \and\ R_N(x)=\frac{f^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}x^{N+1}=\frac{e^c}{(N+1)!}x^{N+1}</math> עבור c כלשהו בין 0 ל-x. כעת הטור הנתון מקיים <math>S(x)=\lim_{N\to\infty}P_N(x)=\lim_{N\to\infty} e^x-R_N(x)</math>. כדי להראות ש-<math>S(x)=e^x</math> נותר להוכיח ש-<math>\lim_{N\to\infty}R_N(x)=0</math>. ובכן נקח <math>x\in\mathbb R</math> כרצונינו ונשים לב כי לכל N כך ש-<math>x<N\in\mathbb N</math> מתקיים <math>0\le|R_N(x)|\le\frac{e^{|x|}|x|^{N+1}}{(N+1)!}=e^{|x|}\frac{|x|}1\frac{|x|}2\frac{|x|}3\cdots\frac{|x|}{\lfloor x\rfloor}\frac{|x|}{\lfloor x\rfloor+1}\cdots\frac{|x|}{\lfloor x\rfloor+(N+1-\lfloor x\rfloor)}\to0</math><br/> וכך הוכחנו בעזרת המבט הנקודתי. {{משל}} עתה ננסה להוכיח גם מנקודת מבט פונקציונלית: <math>S(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots</math> ולכן <math>S'(x)=0+1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots=S(x)</math>. נגדיר <math>f(x)=S(x)\cdot e^{-x}</math> ולכן <math>f'(x)=S'(x)e^{-x}+S(x)\left(-e^{-x}\right)=S(x)e^{-x}-S(x)e^{-x}=0</math> ומכאן ש-f פונקציה קבועה. נסמן <math>c=f(x)</math> ונובע ש-<math>S(x)=f(x)e^x=ce^x</math>. מהגדרת S נובע כי <math>S(0)=1</math> ז"א <math>1=S(0)=ce^0=c</math>, ולכן <math>S(x)=e^x</math> ובפרט <math>e=e^1=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}</math>. ו"הוכחנו" את הטענה (לצערנו גזרנו טור אינסופי איבר-איבר, אבל כאמור, אין לנו משפט שאומר שזה נכון).

----

'''טענה:''' e אינו רציונלי.

'''הוכחה:''' נניח בשלילה ש-e רצינלי ונסמן <math>e=\frac pq</math> עבור <math>p,q\in\mathbb N</math>. לכן <math>q!e=(q-1)!p\in\mathbb N</math>, אבל <math>q!e=\underbrace{q!+q!+\frac{q!}{2!}+\frac{q!}{3!}+\dots+\frac{q!}{q!}}_{\in\mathbb N}+\underbrace{\frac1{q+1}+\frac1{(q+1)(q+2)}+\dots}_{<\sum_{n=1}^\infty\frac1{q^n}=\frac1{q-1}<1}</math>, כלומר <math>q!e</math> הוא מספר טבעי השווה למספר טבעי ועוד מספר לא שלם, בסתירה. {{משל}}

=התכנסות במידה שווה=

'''הגדרה:''' תהי <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בקטע I כך שלכל <math>x\in I</math> קיים הגבול <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math>. ניתן שתי הגדרות שקולות לשאיפה של <math>f_n</math> ל-f במידה שווה ב-I:
* לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>n_0</math> אז <math>|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math>.
* <math>\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I} |f(x)-f_n(x)|=0</math>.

שיחת משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/3.5.11

2011-05-10T14:33:52Z

חופית: יצירת דף עם התוכן "היי אור, למה הכוונה ב"3" הזה שנמצא בדוגמה? למה הוא שייך? זה שורש שלישי או שהערך מוחלט בחזקת של..."

היי אור, למה הכוונה ב"3" הזה שנמצא בדוגמה?
למה הוא שייך? זה שורש שלישי או שהערך מוחלט בחזקת שלוש?
[[משתמש:חופית|חופית]] 17:33, 10 במאי 2011 (IDT)

משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/5.4.11

2011-05-05T17:00:51Z

חופית: /* דוגמאות חישוב */

=אינטגרל לא אמיתי, סוג I {{הערה|(המשך)}}=
==דוגמאות חישוב==
# נחשב <math>\int\limits_1^\infty xe^{-x}\mathrm dx</math>:{{left|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R xe^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}\left[x'\cdot(-x)e^{-x}\right]_{x=1}^R-\int\limits_1^R -e^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}-Re^{-R}+e^{-1}-[e^x]_{x=1}^R\\&=\frac2e\end{align}</math>}}דרך קיצור:{{left|<math>\int=[-xe^{-x}]_{x=1}^\infty+\int\limits_1^\infty -e^{-x}\mathrm dx=e^{-1}-[e^{-x}]_{x=1}^\infty=\frac2e</math>}} {{משל}}
# <math>\int\limits_1^\infty \frac x{1+x^4}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=x^2</math> ואז כאשר <math>x=1</math> נקבל <math>y=1</math> וכאשר <math>x\to\infty</math> נקבל <math>y\to\infty</math> ולכן <math>\int=\int\limits_1^\infty\frac{0.5\mathrm dy}{1+y^2}\mathrm dy=\left[\frac12\arctan(y)\right]_{y=1}^\infty=...</math>. {{משל}}
# עבור <math>p>0</math> נחשב <math>\int\limits_1^\infty \frac{\mathrm dx}{x^p}</math>: אם <math>p=1</math> זה <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}x=[\ln|x|]_{x=1}^\infty=\infty</math>, כלומר מתבדר. עבור <math>p\ne1</math> נקבל <math>\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_1^\infty=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{-p+1}}{-p+1}-\frac1{-p+1}=\begin{cases}\frac1{p-1}&p>1\\\infty&p<1\end{cases}</math>, כלומר האינטגרל מתכנס <math>p>1\ \iff</math>. הערה: עבור <math>p<1</math> מתקבל <math>\frac1{x^p}>\frac1x</math> בקטע <math>(1,\infty)</math>. לכן מבין הפונקציות <math>\frac1{x^p}</math>, הפונקציה המינימלית שעבורה האינטגרל על <math>[1,\infty)</math> מתבדר היא <math>\frac1x</math>. אבל יש פונקציה מסדר גודל יותר קטן מ-<math>\frac1x</math> שעבורן האינטגרל מתבדר, למשל <math>\int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{x\ln(x)}=\int\limits_2^\infty\frac{1/x}{\ln(x)}\mathrm dx=[\ln(\ln(x))]_{x=2}^\infty=\infty</math>. "קל לבדוק" שעבור <math>p>0</math> האינטגרל <math>\int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^p}</math> מתכנס אם"ם <math>p>1</math>. {{משל}}
# נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב-<math>[1,\infty)</math> ונניח ש-<math>\int\limits_1^\infty f=\infty</math>. נוכיח כי קיימת פונקציה g אי-שלילית ורציפה ב-<math>[1,\infty)</math> מסדר גודל יותר קטן מ-f, ז"א <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\infty</math>, ועדיין <math>\int\limits_1^\infty g(x)\mathrm dx=\infty</math>. ובכן נגדיר <math>F(x)=\int\limits_1^x f</math> אז כמובן ש-<math>F'(x)=f(x)</math> ולפי הנתון <math>\lim_{x\to\infty}F(x)=\int\limits_1^\infty f=\infty</math> נגדיר <math>g(x)=\frac {f(x)}{F(x)}</math> ולכן <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac {f(x)}{f(x)/F(x)}=\lim_{x\to\infty}F(x)=\infty</math> ז"א g מסדר גודל קטן מ-f. כעת <math>\int\limits_1^\infty g=\int\limits_1^\infty\frac{f(x)}{F(x)}\mathrm dx=\int\limits_1^\infty \frac{F'(x)}{F(x)}\mathrm dx=[\ln(F(x))]_{x=1}^\infty=\infty</math>. {{משל}}
# נניח ש-f אי-שלילית ורציפה ב-<math>(1,\infty)</math> ו-<math>\int\limits_1^\infty f</math> מתכנס. נוכיח שקיימת g אי-שלילת מסדר גודל גדול מ-f כך ש-<math>\int\limits_1^\infty g</math> מתכנס.<br/>בנייה: נגדיר <math>F(x)=\int\limits_1^x f</math> לכן <math>F'=f</math> לכן <math>\lim_{x\to\infty}F(x)=\int\limits_1^\infty f</math> קיים ושווה ל-L. אם נגדיר <math>g(x)=2F(x)f(x)</math> אז g מסדר גודל כמו של f וזה לא עוזר, לכן יש להגדיר <math>F(x)=\int\limits_x^\infty f</math> אז <math>F'=-f</math> וכיוון שהאינטגרל של f מתכנס, <math>\lim_{x\to\infty} F(x)=0</math>. נגדיר <math>g:x\mapsto\frac{f(x)}\sqrt{F(x)}</math> חילקנו את f בפונקציה ששואפת ל-0 באינסוף, ולכן g מסדר גודל יותר גדול מ-f. יתר על כן{{left|<math>\begin{align}\int\limits_1^\infty g=&\int\limits_1^\infty\frac{f(x)}\sqrt{F(x)}\mathrm dx\\&=\int\limits_1^\infty\frac{-F'(x)}\sqrt{F(x)}\mathrm dx\\&=\left[-2\sqrt{F(x)}\right]_{x=1}^\infty\\&=2\sqrt{F(1)}\\&=2\sqrt{\int\limits_1^\infty f}\end{align}</math>}} {{משל}}
# <math>\int\limits_0^\infty \cos(x)\mathrm dx=[\sin(x)]_{x=0}^\infty\not\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\}</math>, כלומר האינטגרל מתבדר לחלוטין. {{משל}}
# נתבונן באינטגרל <math>\int\limits_0^\infty \frac{\sin(x)}x\mathrm dx</math> - מתכנס או מתבדר? נוכיח שמתכנס בעזרת משפט לייבניץ על טורים. נבחר N טבעי ונבטא את האינטגרל החלקי (כאשר <math>\mbox{sinc}(x)=\frac{\sin(x)}x</math>): <math>\int\limits_0^{N\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^N \int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx</math>. נסמן <math>\forall k\in\{1,\dots,N\}:\ a_k:=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx</math>. טענה: המספרים <math>a_k</math> מקיימים <ul><li><math>(-1)^{k+1}a_k>0</math></li><li><math>|a_1|>|a_2|>|a_3|>\dots</math> (ולכן הטור שמתפתח הוא טור לייבניץ).</li></ul>הוכחה:<ul><li>אם k אי-זוגי אז <math>\frac{\sin(x)}x\ge0</math> בקטע <math>[(k-1)\pi,k\pi]</math> ואם k זוגי אז <math>\frac{\sin(x)}x\le0</math> בקטע. לכן הטענה הראשונה מתקיימת.</li><li>לכל k טבעי <math>|a_k|=\left|\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{|\sin(x)|}x\mathrm dx</math> כי <math>\mbox{sinc}(x)</math> בעלת סימן קבוע ב-<math>[(k-1)\pi,k\pi]</math>. נציב <math>t=x+\pi</math> על מנת לקבל <math>|a_k|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{|\sin(t-\pi)|}{t-\pi}\mathrm dt</math> ומכיוון ש-<math>\sin(t-\pi)=-\sin(t)</math> זה שווה ל-<math>|a_k|=\int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin(t)|}{t-\pi}\mathrm dt</math> ואילו <math>|a_{k+1}|=\int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin(x)|}x\mathrm dx</math>, ומכיוון ש-<math>x-\pi<x\implies\forall x>\pi:\ \frac{|\sin(x)|}{x-\pi}>\frac{|\sin(x)|}x</math> הטענה השנייה מתקיימת.</li></ul>נותר לנו לבדוק ש-<math>\lim_{k\to\infty} |a_k|=0</math>. ואכן <math>|a_k|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi} \frac{|\sin(x)|}x\mathrm dx\le\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\mathrm dx}x=\ln\left|\frac{k\pi}{(k-1)\pi}\right|\to\ln|1|=0</math>. לסיכום <math>\int\limits_0^{N\pi}=\sum_{k=1}^N a_k</math> וה-<math>a_k</math> יוצרים טור לייבניץ. ע"פ משפט ליבניץ הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס, נאמר ל-L. טענה: <math>\int\limits_0^\infty \mbox{sinc}(x)\mathrm dx=L</math>. הוכחה: יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הנתון קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\left|\sum_{k=1}^n a_k-L\right|<\frac\varepsilon2</math>. כמו כן <math>a_k\to0</math> ולכן קיים <math>n_1\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_1</math> מתקיים <math>|a_k|<\frac\varepsilon2</math>. אם <math>R\pi>\pi\cdot\max\{n_1,n_0\}</math> אזי {{left|<math>\begin{align}\left|\int\limits_0^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx-L\right|&=\left|\int\limits_0^{\lfloor R\rfloor\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx+\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx-L\right|\\&=\left|\sum_{k=1}^{\lfloor R\rfloor} a_k-L+\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right|\\&\le\left|\sum_{k=1}^{\lfloor R\rfloor} a_k-L\right|+\left|\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right|\\&\le\frac\varepsilon2+a_{\lfloor R\rfloor+1}\\&<\varepsilon\end{align}</math>}} {{משל}}

==משפט 1==
נניח שהפונקציות f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות בקטע <math>[a,\infty)</math> ו-c מספר קבוע. אזי הפונקציה <math>f+cg</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,\infty)</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^\infty (f+cg)=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g</math>.
===הוכחה===
לפי הגדרה <math>\int\limits_a^\infty f+cg=\lim_{R\to\infty} \int\limits_a^R f+cg=\lim_{R\to\infty} \int\limits_a^R f+c\int\limits_a^R g=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g</math>. {{משל}}
==משפט 2==
תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math> ויהי <math>b>a</math>. אזי האינטגרל <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_b^\infty f</math> מתכנס, ואם כן <math>\int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f</math>. ההוכחה פשוטה מדי.

==משפט 3==
# תהי f מוגדרת ועולה בקטע <math>[a,\infty)</math>. אזי <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים אם"ם <math>\sup_x f(x)<\infty</math>, ואם כן <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\sup_{x>a} f(x)</math>.
# תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math>. עוד נניח ש-<math>f(x)\ge0</math> בקטע זה, אזי <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^R f</math> חסומים מלעיל.
===הוכחות===
# נניח <math>\sup_{x>a} f(x)=m\in\mathbb R</math>. טענה: <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים ושווה ל-m. הוכחה: לפי אפיון החסם העליון, אם <math>\varepsilon>0</math> אזי קיים <math>x_0\in[a,\infty)</math> כך ש-<math>m-\varepsilon<f(x_0)\le m<m+\varepsilon</math> לכן עבור כל <math>x>x_0</math> מתקיים (מכיוון ש-f עולה) <math>m-\varepsilon<f(x_0)\le f(x)\le m<m+\varepsilon</math>. בפרט, לכל <math>x>x_0</math> מתקיים <math>|f(x)-m|<\varepsilon</math> ולכן <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=m</math> ואם <math>\sup_{x>a} f(x)=\infty</math> (לא חסום) אז לכל <math>n\in\mathbb N</math> קיים <math>x_0</math> כך ש-<math>f(x_0)>n</math>. כעת, אם <math>x>x_0</math> אז <math>f(x)\ge f(x_0)>n</math>. נובע ש-<math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty</math> ואין גבול במובן הצר. {{משל}}
# לכל <math>R>a</math> נגדיר <math>F(R)=\int\limits_a^R f</math>. כיוון ש-<math>f(x)\ge0</math> לכל <math>x\ge a</math>, <math>F(R)</math> עולה עם R. האינטגרל הלא אמיתי מקיים <math>\int\limits_a^\infty f=\lim_{R\to\infty}\int\limits_a^R f=\lim_{R\to\infty} F(R)</math> וראינו בסעיף 1 שהגבול של <math>F(R)</math> קיים אם"ם <math>F(R)</math> חסומה מלעיל, ז"א אם"ם <math>\int\limits_a^R f</math> חסום מלעיל כאשר <math>R\to\infty</math>. {{משל}}
===מסקנה===
מתוך ההוכחה ראינו שאם האינטגרל הלא אמיתי של פונקציה אינטגרבילית מקומית אי-שלילית מתבדר אז הוא מתכנס במובן הרחב ל-<math>\infty</math>.

משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/3.4.11

2011-05-05T08:48:36Z

חופית: /* מבוא לאינטגרציה נומרית {{הערה|(המשך)}} */

=מבוא לאינטגרציה נומרית {{הערה|(המשך)}}=
בהרצאה הקודמת הצגנו את כלל סימפסון לקירוב האינטגרל המסויים והראנו שהטעות בחישוב בקטע <math>[a,b]</math> חסומה ע"י <math>\max_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right|\frac{h^4(b-a)}{45}</math> כאשר h המרחק בין שתי נקודות סמוכות בחלוקה שבחרנו. ניתן גישה אחרת למציאת הטעות, שהיא יותר קצרה ונותנת ערך יותר קטן לחסם של הטעות, אבל היא פחות אינטואיטיבית:

ע"י נירמול מספיק לחשב בקירוב <math>\int\limits_{-h}^h f\approx\frac h3(f(-h)+4f(0)+f(h))</math> כאשר f גזירה 4 פעמים בסביבת 0. נגדיר פונקציה חדשה <math>G(h):=\int\limits_{-h}^h f-\frac h3(f(-h)+4f(0)+f(h))</math>. G מוגדרת ורציפה בסביבה של 0 וגם (לפי הצבה) <math>G(0)=0</math>. עבור F קדומה ל-f מתקיים (לפי המשפט היסודי){{left|<math>\begin{align}\frac\mathrm d{\mathrm dh}G(h)&=\frac\mathrm d{\mathrm dh}\left(F(h)-F(-h)-\frac h3(f(-h)+4f(0)+f(h))\right)\\&=f(h)+f(-h)-\frac13(f(-h)+4f(0)+f(h))-\frac h3(-f'(-h)+f'(h))\end{align}</math>}}
לכן <math>\lim_{h\to0}G'(h)=f(0)+f(0)-\frac13(f(0)+4f(0)+f(0))-0=2f(0)-\frac63f(0)=0</math>. ע"פ הלמה השנייה בהרצאה הקודמת <math>G'(0)</math> קיים ושווה ל-0. נגזור שוב את G ונקבל <math>\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dh^2}G(h)=\frac13(f'(h)-f'(-h))-\frac h3(f''(-h)+f''(h))</math>. מכאן ש-<math>\lim_{h\to0}G''(h)=\frac13(f'(0)-f'(0))-0=0=G''(0)</math>. נמשיך לגזור פעמיים נוספות ונקבל <math>G'''(0)=G^{(4)}(0)=0</math> וגם <math>G^{(4)}(h)=-\frac13(-f'''(-h)+f'''(h))-\frac h3(f^{(4)}(-h)+f^{(4)}(h))</math>. עתה:
{|
{{=|l=\frac{G(h)}{h^5}
|r=\frac{G(h)-G(0)}{h^5-0^5}
}}
{{=|r=\frac{G'(h_1)}{5h_1^4}
|c=לפי משפט קושי קיים <math>h_1\in(0,h)</math> עבורו:
}}
{{=|r=\frac{G'(h_1)-G'(0)}{5h_1^4-5\cdot0^4}
}}
{{=|r=\frac{G''(h_2)}{20h_2^3}
|c=קיים <math>h_2\in(0,h_1)</math> עבורו:
}}
{{=|r=\frac{G'''(h_3)}{60h_3^2}
|c=קיים <math>h_3\in(0,h_2)</math> עבורו:
}}
{{=|r=\frac{G^{(4)}(h_4)}{120h_4}
|c=קיים <math>h_4\in(0,h_3)</math> עבורו:
}}
|}
כעת נגדיר <math>M:=\max_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right|</math>. לפי משפט לגראנז' קיים <math>c\in(-h,h)</math> כך ש-<math>\frac{f^{(3)}(h)-f^{(3)}(-h)}{2h}=f^{(4)}(c)</math> ולכן <math>\left|f^{(3)}(h)-f^{(3)}(-h)\right|\le2hM</math>. מכל זה נובע {{left|<math>\begin{align}\left|G^{(4)}(h_4)\right|&\le\left|-\frac13\left(f^{(3)}(-h_4)+f^{(3)}(h_4)\right)\right|+\left|\frac{h_4}3\left(f^{(4)}(-h_4)+f^{(4)}(h_4)\right)\right|\\&\le\frac{2h_4}3M+\frac{h_4}32M\\&=\frac43Mh_4\end{align}</math>}}
עתה <math>\left|\frac{G(h)}{h^5}\right|=\left|\frac{G^{(4)}(h_4)}{120h_4}\right|\le\frac1{120h_4}\frac43Mh_4=\frac M{90}</math> וקיבלנו ש-<math>|G(h)|\le\frac{Mh^5}{90}</math>, כלומר הטעות בכל קטע מהסוג <math>[x_{k-1},x_{k+1}]</math> חסומה ע"י <math>\frac{Mh^5}{90}</math>. ב-<math>[a,b]</math> יש <math>\frac n2=\frac{(b-a)}{2h}</math> ולפיכך הטעות חסומה ע"י <math>\frac{b-a}{2h}\cdot\frac{Mh^5}{90}=\frac{Mh^4}{180}(b-a)</math>. {{משל}}
===דוגמה===
נקרב <math>\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}x=\ln(2)\approx0.69314718</math>. נבחר <math>h=\frac14</math>. נציב:
{{left|<math>\begin{array}{l|l}\underline x&\underline{1/x}\\1&1\\1.25&4/5\\1.5&2/3\\1.75&4/7\\2&1/2\end{array}</math>}}
* הקירוב לפי סכום רימן הוא <math>\sum_{k=0}^4f(x_k)h=\frac14\left(1+\frac45+\frac23+\frac47+\frac12\right)\approx\underline{0.6}34523809</math>.
* כעת נעשה קירוב בשיטת הטרפזים: {{left|<math>\frac{f(x_0)+f(x_4)}2h+h\sum_{k=1}^3f(x_k)=\frac18\left(1+\frac12\right)+\frac14\left(\frac45+\frac23+\frac47\right)\approx\underline{0.69}7023792</math>}}
* ולפי סימפסון: {{left|<math>\begin{array}{l}\displaystyle\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{1}f(x_{2k})+f(x_4)\right)\\=\frac1{12}\left(1+4\frac45+2\frac23+4\frac47+\frac12\right)\\\approx\underline{0.693}253968\end{array}</math>}} נחשב את סדר הגודל של הטעות בקירוב סימפסון: {{left|<math>f'(x)=-x^{-2}\implies f''(x)=2x^{-3}\implies f^{(3)}(x)=-6x^{-4}\implies f^{(4)}(x)=24x^{-5}</math>}} ולכן <math>M=\max_{x\in[1,2]}\left|24x^{-5}\right|=24</math> והטעות R בקירוב מקיימת <math>|R|\le\frac{Mh^4}{180}(2-1)=\frac1{1920}<5.21\cdot10^{-4}</math>

=אינטגרל לא אמיתי, סוג I=
עד עתה הגדרנו אינטגרלים מסויימים רק עבור פונקציות חסומות בקטעים סופיים. אם הפונקציה לא חסומה ו/או הקטע לא חסום עדיין ניתן להגדיר "אינטגרל לא אמיתי" (improper integral).

אינטגרלים של קטעים אינסופיים מהסוג <math>\int\limits_{-\infty}^b f,\ \int\limits_a^\infty f,\ \int\limits_{-\infty}^\infty f</math>.

'''הגדרה''': תהי f פונקציה מוגדרת בקטע מהסוג <math>[a,\infty)</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית (locally integrable) בקטע זה אם לכל <math>b>a</math> f אינטגרבילית בקטע <math>[a,b]</math>.

למשל, אם f רציפה למקוטעין אז היא אינטגרבילית מקומית.

'''הגדרה:''' תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math> נגדיר <math>\int\limits_a^\infty f:=\lim_{R\to\infty}\int\limits_a^R f</math>. אם הגבול קיים נאמר שהאינטגרל מתכנס, אחרת הוא מתבדר.

אינטגביליות מקומית מוגדרת באופן דומה עבור קטע מהצורה <math>(-\infty,b]</math> ואם f אינטגרבילית מקומית שם נגדיר <math>\int\limits_{-\infty}^b f:=\lim_{R\to-\infty}\int\limits_R^b f</math>.

עבור f מוגדרת בכל <math>\mathbb R</math> נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי, ואם כן נגדיר <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> עבור <math>a\in\mathbb R</math> כרצוננו עבורו שני האינטגרלים באגף ימין מתכנסים.

==דוגמאות==
# <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}</math>. נחשב: {{left|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R\frac{\mathrm dx}{x^2}\\&=\lim_{R\to\infty}\left[-\frac1x\right]_{x=1}^R\\&=\lim_{R\to\infty}\left(-\frac1R+1\right)\\&=1\end{align}</math>}} ניתן גם לכתוב בקיצור: <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}=\left[-\frac1x\right]_{x=1}^\infty=0-(-1)=1</math>.
# <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}x=[\ln|x|]_{x=1}^\infty=\ln(\infty)-0=\infty</math>, כלומר האינטגרל מתבדר (אך מתכנס במובן הרחב).
# שאלה מארה"ב מלפני הרבה שנים: חצוצרה אינסופית תתקבל מסיבוב הגרף <math>y=\frac1x</math> סביב ציר ה-x ב-<math>[1,\infty)</math>. איך צובעים אותו מבפנים?<br/>'''פתרון''': לכאורה זה בלתי אפשרי, כי שטח הפנים של החצוצרה הוא <math>\pi\int\limits_1^\infty\frac2x\sqrt{1+\left(-\frac1{x^2}\right)^2}\mathrm dx>\pi\int\limits_1^\infty\frac2x\mathrm dx=\infty</math>, כלומר אין מספיק צבע בעולם. אך מכיוון שכמות הצבע נמדדת ביחידות נפח ולא שטח, ומכיוון שהנפח בתוך החצוצרה הוא <math>\pi\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}=\pi</math>, יספיקו לנו <math>\pi</math> יחידות מעוקבות של צבע ואפילו ישאר לנו עודף.

----

'''שאלה:''' האם התכנסות האינטגרל <math>\int\limits_1^\infty f</math> גוררת ש-<math>\lim_{x\to\infty} f(x)=0</math> (בדומה לטורים)?

'''תשובה:''' לא. נגדיר פונקציה f שהגרף שלה הוא
[[קובץ:גרף פונקצית משולשים.png|600px]]
אזי {{left|<math>\int\limits_0^\infty f=</math> השטח שמתחת לגרף <math>=\lim_{n\to\infty}\frac12\left(1+\frac12+\frac14+\frac18+\dots+\frac1{2^n}\right)=\frac22=1</math>}}
כלומר האינטגרל מתכנס, אבל <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> לא קיים.

משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.3.11

2011-05-05T08:29:44Z

חופית: /* שלב ג */

=מבוא לאינטגרציה נומרית {{הערה|(המשך)}}=
<ol start="3">
<li>שיטת הטרפזים: נעשה חלוקה שווה של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>, כאשר <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n=h</math>. חלוקת הקטע <math>[a,b]</math> משרה חלוקת הגרף <math>y=f(x)</math>. נחבר את הנקודות האלה בגרף ע"י קווים ישרים, וכך ניצור איחוד של n טרפזים (במקום מלבנים בשיטה של סכומי רימן), והשטח הכולל של הטרפזים הוא קירוב של האינטגרל. לטרפז שמעל <math>[x_{k-1},x_k]</math> יש רוחב h ושני גבהים <math>f(x_{k-1}),\ f(x_k)</math>. לכן שטח אותו טרפז הוא <math>\frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h</math>, והקירוב לאינטגרל הוא {{left|<math>\begin{align}\sum_{k=1}^n \frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h&=h\left(\frac{f(x_0)}2+\frac{f(x_1)}2+\dots+\frac{f(x_n)}2\right)\\&=\left(\frac{f(x_0)}2+\frac{f(x_n)}2\right)h+h\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k)\end{align}</math>}}
נותר לחשב את סדר הגודל של הטעות. נסמן לכל פונקציה g <math>I(g)=\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} g(x)\mathrm dx</math> וכן <math>T(g)</math> הקירוב של g ע"י טרפז. עתה נתמקד באחד הקטעים <math>[x_{k-1},x_k]</math> ונעריך את הטעות בו, השווה ל-<math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x)\mathrm dx-\frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h=I(f)-T(f)</math>. נשים לב כי אם f לינארית בקטע אז הטעות היא 0.

כעת נניח ש-f בעלת שתי נגזרות רציפות ב-<math>[a,b]</math> ונסמן <math>M=\max_{x\in[a,b]} |f''(x)|</math>. נפתח את f לפיתוח טיילור סביב הנקודה <math>x_{k-1}</math>: <math>f(x)=\underbrace{f(x_{k-1})+f'(x_{k-1})(x-x_{k-1})}_{P(x)}+\underbrace{\frac{f''(c)}2 (x-x_{k-1})^2}_{R(x)}</math>, כאשר P הוא הפיתוח הלינארי של f ו-R השארית ממנו.

לסיכום, עד כה הראינו כי <math>I(f)=I(P)+I(R)</math> ו-<math>T(f)=T(P)+T(R)</math>. לכן השארית <math>I(f)-T(f)</math> היא <math>I(P)-T(P)+I(R)-T(R)</math>, ומכיוון ש-P לינארית <math>I(P)-T(P)=0</math>, כלומר השארית היא <math>I(R)-T(R)</math>. נחשב: {{left|<math>\begin{align}|I(R)|&=\left|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \frac{f''(c)}2 (x-x_k)^2\mathrm dx\right|\\&\le\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \frac{|f''(c)|}2 (x-x_k)^2\mathrm dx\\&\le\frac M2\left[\frac{(x-x_{k-1})^3}3\right]_{x=x_{x-1}}^{x_k}\\&=\frac M2\frac{(x_k-x_{k-1})^3}3\\&=\frac {Mh^3}6\end{align}</math>}}
וכן {{left|<math>\begin{align}T(R)&=\frac{\frac{f''(c)}2 (x_{k}-x_{k-1})^2+\frac{f''(c)}2 h^2}2h\\&=\frac{f''(c)(x_k-x_{k-1})^2}4h^3\\&\le\frac{Mh^3}4\end{align}</math>}}
בסה"כ הטעות בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> חסומה ע"י <math>\frac{Mh^3}4+\frac {Mh^3}6</math>. יש n קטעים כאלה, לכן <math>|I(f)-T(f)|\le\frac {5Mh^3}{12}n=\frac {5Mh^2}{12}(b-a)</math>.
</li><li>כלל סימפסון (Simpson's Role): שוב נקרב את <math>\int\limits_a^b f</math> בעזרת חלוקה שווה <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b,\ h=\frac{b-a}n</math>, אלא שהפעם נדרוש ש-n זוגי. הקירוב של סימפסון הוא <math>S(f)=\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)</math>. למעשה, סימפסון מקרב <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_{k+1}} f</math> ע"י <math>\frac
h3\Big(f(x_{k-1})+4f(x_k)+f(x_{k+1})\Big)</math>

לפני ההוכחה נציג שתי למות להשכלה כללית (באינפי):
<ul><li>נניח ש-f אינטגרבילית ואי-זוגית בקטע סימטרי <math>[-R,R]</math> אזי <math>\int\limits_{-R}^R f=0</math>.
===הוכחה===
נסמן <math>I_1=\int\limits_{-R}^0 f\ \and\ I_2=\int\limits_0^R f</math> ולכן <math>I_1+I_2=\int\limits_{-R}^R f</math>. ב-<math>I_1</math> נציב <math>t=-x\implies \mathrm dt=-\mathrm dx</math> ונקבל <math>I_1=\int\limits_{-(-R)}^{-0} f(-t)(-\mathrm dt)=-\left(-\int\limits_0^R -f(t)\mathrm dt\right)=-I_2</math>. {{משל}}</li>
<li>נניח ש-f רציפה בסביבה של <math>x_0</math> וגזירה בסביבה מנוקבת של <math>x_0</math>. עוד נניח שקיים <math>\lim_{x\to x_0}f'(x)=L</math>. אזי <math>f'(x_0)</math> קיים ושווה ל-L.
===הוכחה===
לפי ההגדרה, אם f גזירה ב-<math>x_0</math> אזי <math>f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>, ולפי משפט לגראנז' זה שווה ל-<math>\lim_{x\to x_0} f'(c)</math> עבור <math>c</math> כלשהו בין <math>x</math> ל-<math>x_0</math>. לכן, כאשר <math>x\to x_0</math> גם <math>c\to x_0</math> ונקבל <math>L=\lim_{c\to x_0} f'(c)=\lim_{x\to x_0} f'(c)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math>. {{משל}}
</li></ul>

נחזור לכלל סימפסון.
==שלב א==
נניח ש-<math>h>0</math> ו-<math>p(x)</math> פולינום ממעלה 3 או פחות. נוכיח ש-<math>\int\limits_{-h}^h p=\frac h3\Big(p(-h)+4p(0)+p(h)\Big)\implies I(p)=S(p)</math> (כאשר לכל f אינטגרבילית ב-<math>[-h,h]</math> הגדרנו <math>I(f)=\int\limits_{-h}^h f</math>).
===הוכחה===
לכל פולינום ממעלה 3 (או פחות) <math>p(x)=\sum_{k=0}^3 \alpha_kx^k</math> מתקיים {{left|<math>\begin{align}I(p)&=\sum_{k=0}^3 \int\limits_{-h}^h \alpha_kx^k\mathrm dx\\&=\sum_{k=0}^3 \left[\alpha_k\frac{x^{k+1}}{k+1}\right]_{x=-h}^h\\&=2h\alpha_0+0+\frac23h^3\alpha_2+0\\&=\frac h3\left(6\alpha_0+2h^2\alpha_2\right)\\&=\frac h3\Big(\left(\alpha_0-h\alpha_1+h^2\alpha_2-h^3\alpha_3\right)+4\alpha_0+\left(\alpha_0+h\alpha_1+h^2\alpha_2+h^3\alpha_3\right)\Big)\\&=S(p)\end{align}</math>}}
==שלב ב==
נניח ש-f בעלת 4 נגזרות רציפות בקטע <math>[-h,h]</math> ונסמן <math>M=\max_{x\in[-h,h]}\left|f^{(4)}(x)\right|</math>. נעריך את הטעות: <math>\int\limits_{-h}^h f-\frac h3\Big(f(-h)+4f(0)+f(h)\Big)=I(f)-S(f)</math>. לצורך זה נשתמש בפיתוח טיילור של f סביב 0 מסדר 3, <math>f(x)=P_3(x)+R_3(x)</math>. לכן <math>I(f)-S(f)=\underbrace{I(P_3)-S(P_3)}_0+I(R_3)-S(R_3)</math>. כזכור <math>R_3(x)=\frac{f^{(4)}(c)x^4}{4!}</math>. נעריך: {{left|<math>\begin{align}|I(R_3)|&=\left|\int\limits_{-h}^h\frac{f^{(4)}(c)x^4}{4!}\mathrm dx\right|\\&\le\frac M{4!}\int\limits_{-h}^h\left|x^4\right|\mathrm dx\\&=\frac M{24}\left[\frac{x^5}5\right]_{x=-h}^h\\&=\frac{Mh^5}{60}\end{align}</math>}}
{{left|<math>\begin{align}|S(R_3)|&=\left|\frac h3(R_3(-h)+4R_3(0)+R_3(h))\right|\\&=\frac h3\left|\frac{f^{(4)}(c_1)}{4!}h^4+\frac{f^{(4)}(c_2)}{4!}h^4\right|\\&\le\frac M{36}\cdot h^5\end{align}</math>}}
מכל זה, יוצא ש: <math>|I(f)-S(f)|=|I(R_3)-S(R_3)|\le\frac M{36}h^5+\frac M{60}h^5=\frac 2{45}Mh^5</math>.
==שלב ג==
נוכיח כי לכל k שעבורו <math>1\le k\le n-1</math> מתקיים <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f-\frac n3\left(f(x_{k-1})+4f(x_k)+f(x_{k+1})\right)=I(f)-S(f)</math>
===הוכחה===
באינטגרל <math>I(f)</math> נציב <math>t=x-x_k</math> כדי לקבל <math>I(f)=\int\limits_{x_{k-1}-x_k}^{x_{k+1}-x_k}f(t+x_k)\mathrm dt=\int\limits_{-h}^h f(t+x_k)\mathrm dt</math>. ניצור פונקציה <math>g:t\mapsto f(t+x_k)</math> ונבנה <math>S(g)</math> ב-<math>[-h,h]</math> כמו שעשינו בשלב ב: {{left|<math>\begin{align}S(g)&=\frac h3\Big(g(-h)+4g(0)+g(h)\Big)\\&=\frac h3\Big(f(x_k-h)+4f(x_k)+f(x_k+h)\Big)\\&=\frac h3\Big(f(x_{k-1})+4f(x_k)+f(x_{k+1})\Big)\\&=S(f)\end{align}</math>}}
כמו כן, מכיוון ש-<math>g(x)=f(x+x_k)</math> מתקיים <math>M=\max_{x\in[-h,h]}\left|g^{(4)}(x)\right|=\max_{x\in[x_{k-1},x_{k+1}]}\left|f^{(4)}(x)\right|</math>, ומכל זה נובע <math>I_{[x_{k-1},x_{k+1}]}(f)-S_{[x_{k-1},x_{k+1}]}(f)=I_{[-h,h]}(g)-S_{[-h,h]}(g)\le\frac2{45}Mh^5</math>.

==סיכום==
מצאנו שעל כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_{k+1}]</math> הטעות בקירוב סימפסון חסומה ע"י <math>\frac2{45}Mh^5</math>. יש <math>\frac n2</math> קטעים כאלה, ומכיוון ש-<math>h=\frac{b-a}n\implies n=\frac{b-a}h</math> הטעות חסומה ע"י <math>\frac2{45}Mh^5\frac{b-a}{2h}=\frac{Mh^4(b-a)}{45}</math>.

''הערה:'' ניתן להוכיח כי הטעות חסומה גם ע"י <math>\frac{Mh^4(b-a)}{180}</math>.
</li>
</ol>

משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.3.11

2011-05-05T06:39:49Z

חופית: /* מבוא לאינטגרציה נומרית {{הערה|(המשך)}} */

=מבוא לאינטגרציה נומרית {{הערה|(המשך)}}=
<ol start="3">
<li>שיטת הטרפזים: נעשה חלוקה שווה של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>, כאשר <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n=h</math>. חלוקת הקטע <math>[a,b]</math> משרה חלוקת הגרף <math>y=f(x)</math>. נחבר את הנקודות האלה בגרף ע"י קווים ישרים, וכך ניצור איחוד של n טרפזים (במקום מלבנים בשיטה של סכומי רימן), והשטח הכולל של הטרפזים הוא קירוב של האינטגרל. לטרפז שמעל <math>[x_{k-1},x_k]</math> יש רוחב h ושני גבהים <math>f(x_{k-1}),\ f(x_k)</math>. לכן שטח אותו טרפז הוא <math>\frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h</math>, והקירוב לאינטגרל הוא {{left|<math>\begin{align}\sum_{k=1}^n \frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h&=h\left(\frac{f(x_0)}2+\frac{f(x_1)}2+\dots+\frac{f(x_n)}2\right)\\&=\left(\frac{f(x_0)}2+\frac{f(x_n)}2\right)h+h\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k)\end{align}</math>}}
נותר לחשב את סדר הגודל של הטעות. נסמן לכל פונקציה g <math>I(g)=\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} g(x)\mathrm dx</math> וכן <math>T(g)</math> הקירוב של g ע"י טרפז. עתה נתמקד באחד הקטעים <math>[x_{k-1},x_k]</math> ונעריך את הטעות בו, השווה ל-<math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x)\mathrm dx-\frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h=I(f)-T(f)</math>. נשים לב כי אם f לינארית בקטע אז הטעות היא 0.

כעת נניח ש-f בעלת שתי נגזרות רציפות ב-<math>[a,b]</math> ונסמן <math>M=\max_{x\in[a,b]} |f''(x)|</math>. נפתח את f לפיתוח טיילור סביב הנקודה <math>x_{k-1}</math>: <math>f(x)=\underbrace{f(x_{k-1})+f'(x_{k-1})(x-x_{k-1})}_{P(x)}+\underbrace{\frac{f''(c)}2 (x-x_{k-1})^2}_{R(x)}</math>, כאשר P הוא הפיתוח הלינארי של f ו-R השארית ממנו.

לסיכום, עד כה הראינו כי <math>I(f)=I(P)+I(R)</math> ו-<math>T(f)=T(P)+T(R)</math>. לכן השארית <math>I(f)-T(f)</math> היא <math>I(P)-T(P)+I(R)-T(R)</math>, ומכיוון ש-P לינארית <math>I(P)-T(P)=0</math>, כלומר השארית היא <math>I(R)-T(R)</math>. נחשב: {{left|<math>\begin{align}|I(R)|&=\left|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \frac{f''(c)}2 (x-x_k)^2\mathrm dx\right|\\&\le\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \frac{|f''(c)|}2 (x-x_k)^2\mathrm dx\\&\le\frac M2\left[\frac{(x-x_{k-1})^3}3\right]_{x=x_{x-1}}^{x_k}\\&=\frac M2\frac{(x_k-x_{k-1})^3}3\\&=\frac {Mh^3}6\end{align}</math>}}
וכן {{left|<math>\begin{align}T(R)&=\frac{\frac{f''(c)}2 (x_{k}-x_{k-1})^2+\frac{f''(c)}2 h^2}2h\\&=\frac{f''(c)(x_k-x_{k-1})^2}4h^3\\&\le\frac{Mh^3}4\end{align}</math>}}
בסה"כ הטעות בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> חסומה ע"י <math>\frac{Mh^3}4+\frac {Mh^3}6</math>. יש n קטעים כאלה, לכן <math>|I(f)-T(f)|\le\frac {5Mh^3}{12}n=\frac {5Mh^2}{12}(b-a)</math>.
</li><li>כלל סימפסון (Simpson's Role): שוב נקרב את <math>\int\limits_a^b f</math> בעזרת חלוקה שווה <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b,\ h=\frac{b-a}n</math>, אלא שהפעם נדרוש ש-n זוגי. הקירוב של סימפסון הוא <math>S(f)=\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)</math>. למעשה, סימפסון מקרב <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_{k+1}} f</math> ע"י <math>\frac
h3\Big(f(x_{k-1})+4f(x_k)+f(x_{k+1})\Big)</math>

לפני ההוכחה נציג שתי למות להשכלה כללית (באינפי):
<ul><li>נניח ש-f אינטגרבילית ואי-זוגית בקטע סימטרי <math>[-R,R]</math> אזי <math>\int\limits_{-R}^R f=0</math>.
===הוכחה===
נסמן <math>I_1=\int\limits_{-R}^0 f\ \and\ I_2=\int\limits_0^R f</math> ולכן <math>I_1+I_2=\int\limits_{-R}^R f</math>. ב-<math>I_1</math> נציב <math>t=-x\implies \mathrm dt=-\mathrm dx</math> ונקבל <math>I_1=\int\limits_{-(-R)}^{-0} f(-t)(-\mathrm dt)=-\left(-\int\limits_0^R -f(t)\mathrm dt\right)=-I_2</math>. {{משל}}</li>
<li>נניח ש-f רציפה בסביבה של <math>x_0</math> וגזירה בסביבה מנוקבת של <math>x_0</math>. עוד נניח שקיים <math>\lim_{x\to x_0}f'(x)=L</math>. אזי <math>f'(x_0)</math> קיים ושווה ל-L.
===הוכחה===
לפי ההגדרה, אם f גזירה ב-<math>x_0</math> אזי <math>f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>, ולפי משפט לגראנז' זה שווה ל-<math>\lim_{x\to x_0} f'(c)</math> עבור <math>c</math> כלשהו בין <math>x</math> ל-<math>x_0</math>. לכן, כאשר <math>x\to x_0</math> גם <math>c\to x_0</math> ונקבל <math>L=\lim_{c\to x_0} f'(c)=\lim_{x\to x_0} f'(c)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math>. {{משל}}
</li></ul>

נחזור לכלל סימפסון.
==שלב א==
נניח ש-<math>h>0</math> ו-<math>p(x)</math> פולינום ממעלה 3 או פחות. נוכיח ש-<math>\int\limits_{-h}^h p=\frac h3\Big(p(-h)+4p(0)+p(h)\Big)\implies I(p)=S(p)</math> (כאשר לכל f אינטגרבילית ב-<math>[-h,h]</math> הגדרנו <math>I(f)=\int\limits_{-h}^h f</math>).
===הוכחה===
לכל פולינום ממעלה 3 (או פחות) <math>p(x)=\sum_{k=0}^3 \alpha_kx^k</math> מתקיים {{left|<math>\begin{align}I(p)&=\sum_{k=0}^3 \int\limits_{-h}^h \alpha_kx^k\mathrm dx\\&=\sum_{k=0}^3 \left[\alpha_k\frac{x^{k+1}}{k+1}\right]_{x=-h}^h\\&=2h\alpha_0+0+\frac23h^3\alpha_2+0\\&=\frac h3\left(6\alpha_0+2h^2\alpha_2\right)\\&=\frac h3\Big(\left(\alpha_0-h\alpha_1+h^2\alpha_2-h^3\alpha_3\right)+4\alpha_0+\left(\alpha_0+h\alpha_1+h^2\alpha_2+h^3\alpha_3\right)\Big)\\&=S(p)\end{align}</math>}}
==שלב ב==
נניח ש-f בעלת 4 נגזרות רציפות בקטע <math>[-h,h]</math> ונסמן <math>M=\max_{x\in[-h,h]}\left|f^{(4)}(x)\right|</math>. נעריך את הטעות: <math>\int\limits_{-h}^h f-\frac h3\Big(f(-h)+4f(0)+f(h)\Big)=I(f)-S(f)</math>. לצורך זה נשתמש בפיתוח טיילור של f סביב 0 מסדר 3, <math>f(x)=P_3(x)+R_3(x)</math>. לכן <math>I(f)-S(f)=\underbrace{I(P_3)-S(P_3)}_0+I(R_3)-S(R_3)</math>. כזכור <math>R_3(x)=\frac{f^{(4)}(c)x^4}{4!}</math>. נעריך: {{left|<math>\begin{align}|I(R_3)|&=\left|\int\limits_{-h}^h\frac{f^{(4)}(c)x^4}{4!}\mathrm dx\right|\\&\le\frac M{4!}\int\limits_{-h}^h\left|x^4\right|\mathrm dx\\&=\frac M{24}\left[\frac{x^5}5\right]_{x=-h}^h\\&=\frac{Mh^5}{60}\end{align}</math>}}
{{left|<math>\begin{align}|S(R_3)|&=\left|\frac h3(R_3(-h)+4R_3(0)+R_3(h))\right|\\&=\frac h3\left|\frac{f^{(4)}(c_1)}{4!}h^4+\frac{f^{(4)}(c_2)}{4!}h^4\right|\\&\le\frac M{36}\cdot h^5\end{align}</math>}}
מכל זה, יוצא ש: <math>|I(f)-S(f)|=|I(R_3)-S(R_3)|\le\frac M{36}h^5+\frac M{60}h^5=\frac 2{45}Mh^5</math>.
==שלב ג==
נוכיח כי לכל k שעבורו <math>1\le k\le n-1</math> מתקיים <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f-\frac n3\left(f(x_{k-1}+4f(x_k)+f(x_{k+1})\right)=I(f)-S(f)</math>
===הוכחה===
באינטגרל <math>I(f)</math> נציב <math>t=x-x_k</math> כדי לקבל <math>I(f)=\int\limits_{x_{k-1}-x_k}^{x_{k+1}-x_k}f(t+x_k)\mathrm dt=\int\limits_{-h}^h f(t+x_k)\mathrm dt</math>. ניצור פונקציה <math>g:t\mapsto f(t+x_k)</math> ונבנה <math>S(g)</math> ב-<math>[-h,h]</math> כמו שעשינו בשלב ב: {{left|<math>\begin{align}S(g)&=\frac h3\Big(g(-h)+4g(0)+g(h)\Big)\\&=\frac h3\Big(f(x_k-h)+4f(x_k)+f(x_k+h)\Big)\\&=\frac h3\Big(f(x_{k-1})+4f(x_k)+f(x_{k+1})\Big)\\&=S(f)\end{align}</math>}}
כמו כן, מכיוון ש-<math>g(x)=f(x+x_k)</math> מתקיים <math>M=\max_{x\in[-h,h]}\left|g^{(4)}(x)\right|=\max_{x\in[x_{k-1},x_{k+1}]}\left|f^{(4)}(x)\right|</math>, ומכל זה נובע <math>I_{[x_{k-1},x_{k+1}]}(f)-S_{[x_{k-1},x_{k+1}]}(f)=I_{[-h,h]}(g)-S_{[-h,h]}(g)\le\frac2{45}Mh^5</math>.

==סיכום==
מצאנו שעל כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_{k+1}]</math> הטעות בקירוב סימפסון חסומה ע"י <math>\frac2{45}Mh^5</math>. יש <math>\frac n2</math> קטעים כאלה, ומכיוון ש-<math>h=\frac{b-a}n\implies n=\frac{b-a}h</math> הטעות חסומה ע"י <math>\frac2{45}Mh^5\frac{b-a}{2h}=\frac{Mh^4(b-a)}{45}</math>.

''הערה:'' ניתן להוכיח כי הטעות חסומה גם ע"י <math>\frac{Mh^4(b-a)}{180}</math>.
</li>
</ol>

משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.3.11

2011-05-05T06:19:23Z

חופית: /* מבוא לאינטגרציה נומרית {{הערה|(המשך)}} */

=מבוא לאינטגרציה נומרית {{הערה|(המשך)}}=
<ol start="3">
<li>שיטת הטרפזים: נעשה חלוקה שווה של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>, כאשר <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n=h</math>. חלוקת הקטע <math>[a,b]</math> משרה חלוקת הגרף <math>y=f(x)</math>. נחבר את הנקודות האלה בגרף ע"י קווים ישרים, וכך ניצור איחוד של n טרפזים (במקום מלבנים בשיטה של סכומי רימן), והשטח הכולל של הטרפזים הוא קירוב של האינטגרל. לטרפז שמעל <math>[x_{k-1},x_k]</math> יש רוחב h ושני גבהים <math>f(x_{k-1}),\ f(x_k)</math>. לכן שטח אותו טרפז הוא <math>\frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h</math>, והקירוב לאינטגרל הוא {{left|<math>\begin{align}\sum_{k=1}^n \frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h&=h\left(\frac{f(x_0)}2+\frac{f(x_1)}2+\dots+\frac{f(x_n)}2\right)\\&=\left(\frac{f(x_0)}2+\frac{f(x_n)}2\right)h+h\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k)\end{align}</math>}}
נותר לחשב את סדר הגודל של הטעות. נסמן לכל פונקציה g <math>I(g)=\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} g(x)\mathrm dx</math> וכן <math>T(g)</math> הקירוב של g ע"י טרפז. עתה נתמקד באחד הקטעים <math>[x_{k-1},x_k]</math> ונעריך את הטעות בו, השווה ל-<math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x)\mathrm dx-\frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h=I(f)-T(f)</math>. נשים לב כי אם f לינארית בקטע אז הטעות היא 0.

כעת נניח ש-f בעלת שתי נגזרות רציפות ב-<math>[a,b]</math> ונסמן <math>M=\max_{x\in[a,b]} |f''(x)|</math>. נפתח את f לפיתוח טיילור סביב הנקודה <math>x_{k-1}</math>: <math>f(x)=\underbrace{f(x_{k-1})+f'(x_{k-1})(x-x_{k-1})}_{P(x)}+\underbrace{\frac{f''(c)}2 (x-x_{k-1})^2}_{R(x)}</math>, כאשר P הוא הפיתוח הלינארי של f ו-R השארית ממנו.

לסיכום, עד כה הראינו כי <math>I(f)=I(P)+I(R)</math> ו-<math>T(f)=T(P)+T(R)</math>. לכן השארית <math>I(f)-T(f)</math> היא <math>I(P)-T(P)+I(R)-T(R)</math>, ומכיוון ש-P לינארית <math>I(P)-T(P)=0</math>, כלומר השארית היא <math>I(R)-T(R)</math>. נחשב: {{left|<math>\begin{align}|I(R)|&=\left|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \frac{f''(c)}2 (x-x_k)^2\mathrm dx\right|\\&\le\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \frac{|f''(c)|}2 (x-x_k)^2\mathrm dx\\&\le\frac M2\left[\frac{(x-x_{k-1})^3}3\right]_{x=x_{x-1}}^{x_k}\\&=\frac M2\frac{(x_k-x_{k-1})^3}3\\&=\frac {Mh^3}6\end{align}</math>}}
וכן {{left|<math>\begin{align}T(R)&=\frac{\frac{f''(c)}2 (x_{k}-x_{k-1})^2+\frac{f''(c)}2 h^2}2h\\&=\frac{f''(c)(x_k-x_{k-1})^2}4h^3\\&\le\frac{Mh^3}4\end{align}</math>}}
בסה"כ הטעות בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> חסומה ע"י <math>\frac{Mh^3}4+\frac {Mh^3}6</math>. יש n קטעים כאלה, לכן <math>|I(f)-T(f)|\le\frac {5Mh^3}{12}n=\frac {5Mh^2}{12}(b-a)</math>.
</li><li>כלל סימפסון (Simpson's Role): שוב נקרב את <math>\int\limits_a^b f</math> בעזרת חלוקה שווה <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b,\ h=\frac{b-a}n</math>, אלא שהפעם נדרוש ש-n זוגי. הקירוב של סימפסון הוא <math>S(f)=\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)</math>. למעשה, סימפסון מקרב <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_{k+1}} f</math> ע"י <math>\frac
h3\Big(f(x_{k-1}+4f(x_k)+f(x_{k+1})\Big)</math>

לפני ההוכחה נציג שתי למות להשכלה כללית (באינפי):
<ul><li>נניח ש-f אינטגרבילית ואי-זוגית בקטע סימטרי <math>[-R,R]</math> אזי <math>\int\limits_{-R}^R f=0</math>.
===הוכחה===
נסמן <math>I_1=\int\limits_{-R}^0 f\ \and\ I_2=\int\limits_0^R f</math> ולכן <math>I_1+I_2=\int\limits_{-R}^R f</math>. ב-<math>I_1</math> נציב <math>t=-x\implies \mathrm dt=-\mathrm dx</math> ונקבל <math>I_1=\int\limits_{-(-R)}^{-0} f(-t)(-\mathrm dt)=-\left(-\int\limits_0^R -f(t)\mathrm dt\right)=-I_2</math>. {{משל}}</li>
<li>נניח ש-f רציפה בסביבה של <math>x_0</math> וגזירה בסביבה מנוקבת של <math>x_0</math>. עוד נניח שקיים <math>\lim_{x\to x_0}f'(x)=L</math>. אזי <math>f'(x_0)</math> קיים ושווה ל-L.
===הוכחה===
לפי ההגדרה, אם f גזירה ב-<math>x_0</math> אזי <math>f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>, ולפי משפט לגראנז' זה שווה ל-<math>\lim_{x\to x_0} f'(c)</math> עבור <math>c</math> כלשהו בין <math>x</math> ל-<math>x_0</math>. לכן, כאשר <math>x\to x_0</math> גם <math>c\to x_0</math> ונקבל <math>L=\lim_{c\to x_0} f'(c)=\lim_{x\to x_0} f'(c)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math>. {{משל}}
</li></ul>

נחזור לכלל סימפסון.
==שלב א==
נניח ש-<math>h>0</math> ו-<math>p(x)</math> פולינום ממעלה 3 או פחות. נוכיח ש-<math>\int\limits_{-h}^h p=\frac h3\Big(p(-h)+4p(0)+p(h)\Big)\implies I(p)=S(p)</math> (כאשר לכל f אינטגרבילית ב-<math>[-h,h]</math> הגדרנו <math>I(f)=\int\limits_{-h}^h f</math>).
===הוכחה===
לכל פולינום ממעלה 3 (או פחות) <math>p(x)=\sum_{k=0}^3 \alpha_kx^k</math> מתקיים {{left|<math>\begin{align}I(p)&=\sum_{k=0}^3 \int\limits_{-h}^h \alpha_kx^k\mathrm dx\\&=\sum_{k=0}^3 \left[\alpha_k\frac{x^{k+1}}{k+1}\right]_{x=-h}^h\\&=2h\alpha_0+0+\frac23h^3\alpha_2+0\\&=\frac h3\left(6\alpha_0+2h^2\alpha_2\right)\\&=\frac h3\Big(\left(\alpha_0-h\alpha_1+h^2\alpha_2-h^3\alpha_3\right)+4\alpha_0+\left(\alpha_0+h\alpha_1+h^2\alpha_2+h^3\alpha_3\right)\Big)\\&=S(p)\end{align}</math>}}
==שלב ב==
נניח ש-f בעלת 4 נגזרות רציפות בקטע <math>[-h,h]</math> ונסמן <math>M=\max_{x\in[-h,h]}\left|f^{(4)}(x)\right|</math>. נעריך את הטעות: <math>\int\limits_{-h}^h f-\frac h3\Big(f(-h)+4f(0)+f(h)\Big)=I(f)-S(f)</math>. לצורך זה נשתמש בפיתוח טיילור של f סביב 0 מסדר 3, <math>f(x)=P_3(x)+R_3(x)</math>. לכן <math>I(f)-S(f)=\underbrace{I(P_3)-S(P_3)}_0+I(R_3)-S(R_3)</math>. כזכור <math>R_3(x)=\frac{f^{(4)}(c)x^4}{4!}</math>. נעריך: {{left|<math>\begin{align}|I(R_3)|&=\left|\int\limits_{-h}^h\frac{f^{(4)}(c)x^4}{4!}\mathrm dx\right|\\&\le\frac M{4!}\int\limits_{-h}^h\left|x^4\right|\mathrm dx\\&=\frac M{24}\left[\frac{x^5}5\right]_{x=-h}^h\\&=\frac{Mh^5}{60}\end{align}</math>}}
{{left|<math>\begin{align}|S(R_3)|&=\left|\frac h3(R_3(-h)+4R_3(0)+R_3(h))\right|\\&=\frac h3\left|\frac{f^{(4)}(c_1)}{4!}h^4+\frac{f^{(4)}(c_2)}{4!}h^4\right|\\&\le\frac M{36}\cdot h^5\end{align}</math>}}
מכל זה, יוצא ש: <math>|I(f)-S(f)|=|I(R_3)-S(R_3)|\le\frac M{36}h^5+\frac M{60}h^5=\frac 2{45}Mh^5</math>.
==שלב ג==
נוכיח כי לכל k שעבורו <math>1\le k\le n-1</math> מתקיים <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f-\frac n3\left(f(x_{k-1}+4f(x_k)+f(x_{k+1})\right)=I(f)-S(f)</math>
===הוכחה===
באינטגרל <math>I(f)</math> נציב <math>t=x-x_k</math> כדי לקבל <math>I(f)=\int\limits_{x_{k-1}-x_k}^{x_{k+1}-x_k}f(t+x_k)\mathrm dt=\int\limits_{-h}^h f(t+x_k)\mathrm dt</math>. ניצור פונקציה <math>g:t\mapsto f(t+x_k)</math> ונבנה <math>S(g)</math> ב-<math>[-h,h]</math> כמו שעשינו בשלב ב: {{left|<math>\begin{align}S(g)&=\frac h3\Big(g(-h)+4g(0)+g(h)\Big)\\&=\frac h3\Big(f(x_k-h)+4f(x_k)+f(x_k+h)\Big)\\&=\frac h3\Big(f(x_{k-1})+4f(x_k)+f(x_{k+1})\Big)\\&=S(f)\end{align}</math>}}
כמו כן, מכיוון ש-<math>g(x)=f(x+x_k)</math> מתקיים <math>M=\max_{x\in[-h,h]}\left|g^{(4)}(x)\right|=\max_{x\in[x_{k-1},x_{k+1}]}\left|f^{(4)}(x)\right|</math>, ומכל זה נובע <math>I_{[x_{k-1},x_{k+1}]}(f)-S_{[x_{k-1},x_{k+1}]}(f)=I_{[-h,h]}(g)-S_{[-h,h]}(g)\le\frac2{45}Mh^5</math>.

==סיכום==
מצאנו שעל כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_{k+1}]</math> הטעות בקירוב סימפסון חסומה ע"י <math>\frac2{45}Mh^5</math>. יש <math>\frac n2</math> קטעים כאלה, ומכיוון ש-<math>h=\frac{b-a}n\implies n=\frac{b-a}h</math> הטעות חסומה ע"י <math>\frac2{45}Mh^5\frac{b-a}{2h}=\frac{Mh^4(b-a)}{45}</math>.

''הערה:'' ניתן להוכיח כי הטעות חסומה גם ע"י <math>\frac{Mh^4(b-a)}{180}</math>.
</li>
</ol>

משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.3.11

2011-05-02T18:38:58Z

חופית: /* מבוא לאינטגרציה נומרית */

=יישומים של אינטגרציה {{הערה|(המשך)}}=
<ol start="5">
<li>שטח הפנים של גוף סיבוב (ללא הבסיסים): נחלק את הקטע <math>[a,b]</math> לתתי קטעים <math>[x_{k-1},x_k]</math> עבור כמה k-ים. שטח הפנים הוא <math>2\pi rS</math> (כאשר r רדיוס הבסיס הגדול יותר של הקונוס הנוצר בקטע=<math>f(x_k)</math> וכן <math>S=\sqrt{1+f'(x_k)^2}\Delta x_k</math>. לפי זה שטח המעטפת כולו מקורב ע"י הסכום <math>\sum_{k=1}^n2\pi f(x_k)\sqrt{1+f'(x_k)^2}\Delta x_k</math>. כאשר <math>\lambda(P)\to0</math> ביטוי זה שואף לאינטגרל <math>\int\limits_a^b2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> והוא שטח המעטפת לגוף הסיבוב הנוצר ע"י סיבוב <math>y=f(x)</math> בין a ל-b סביב ציר ה-x.

==דוגמה==
נחשב את שטח המעטפת (=שטח הפנים) של כדור בעל רדיוס r: מתקיים <math>f'(x)=-\frac x{r^2-x^2}</math>. השטח הוא {{left|<math>\begin{align}\int\limits_{-r}^r 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx&=\int\limits_{-r}^r2\pi\sqrt{r^2-x^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}\mathrm dx\\&=\int\limits_{-r}^r2\pi\sqrt{r^2-x^2+x^2}\mathrm dx\\&=2\pi[rx]_{x=-r}^r\\&=4\pi r^2\end{align}</math>}}

נשים לב כי שטח עיגול הוא <math>\pi r^2</math> והיקפו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\pi r^2=2\pi r</math> כמו כן נפח כדור הוא <math>\frac43\pi r^3</math> ושטחו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\frac43\pi r^3=4\pi r^2</math>. הסבר גרף 1. מכאן שתוספת השטח <math>\Delta A</math> בערך שווה ל-<math>2\pi r\Delta r</math>, ז"א <math>\frac{\Delta A}{\Delta r}\approx\frac{2\pi r\Delta r}{\Delta r}=2\pi r</math>. בגבול <math>\Delta r\to0</math> זה מדויק: <math>\frac{\Delta A}{\Delta r}=2\pi r</math>.
לעומת זאת, עבור ריבוע גרף 2 ההיקף הוא <math>4a</math> והשטח - <math>a^2</math> - ההיקף אינו נגזרת השטח. אבל גרף 3 היקף: <math>8a</math>, שטח: <math>4a^2</math> ושוב ההיקף הוא נגזרת השטח.

נחשב שטח פנים של כדור ללא אינטגרל: גרף 4 עפ"י שיוויון משולשים <math>\frac ra=\frac{\Delta x}S</math> ולכן <math>rS=a\Delta x</math> אותה חתיכת הגרף 'S' מסתובבת ליצור שטח <math>2\pi r S=2\pi a\Delta x</math>. ז"א בכל מקום שנבנה שטח ע"י סיבוב קטע באורך <math>\Delta x</math> יווצר שטח באורך <math>2\pi a\Delta x</math>. כעת אם נסכם על כל הקטעים לאורך הקטע <math>[-a,a]</math> נבנה שטח כולל <math>2\pi a\sum\Delta x=2\pi a(2a)=4\pi a^2</math>, כפי שציפינו.
</li>
<li>בפיזיקה, כאשר כוח <math>\vec F</math> קבוע פועל בקטע באורך s אומרים שהוא עשה עבודה <math>W=\vec Fs</math>.כעת נחשב את העבודה שנעשית ע"י כוח משתנה <math>F(x)</math> לאורך הקטע <math>x\in[a,b]</math> בציר הזמן. נעשה חלוקה <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math>. בכל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math>, <math>F(x)</math> תקבל מקסימום <math>M_k</math> ומינימום <math>m_k</math> ולכן העבודה הנעשית ע"י F בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> (נקרא לה <math>W_k</math>) מקיימת <math>m_k\Delta x_k\le W_k\le M_k\Delta x</math>. בסה"כ העבודה לאורך הקטע היא <math>W=\sum_{k=1}^n W_k</math> כאשר <math>\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k\le W\le\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math>. יש כאן <math>\underline S(F,P)\le W\le \overline S(F,P)</math> וכאשר <math>\lambda(P)\to0</math> זה שואף לגבול אחד <math>W=\int\limits_a^b F(x)\mathrm dx</math>.
</li>
<li>החוק השני של ניוטון אומר <math>F=ma</math> ואם מדובר בחלקיק או אדם שהולך בקו ישר (על ציר ה-x) אז התנועה שלו מתוארת ע"י הפונקציה <math>x=x(t)</math> (לכל t נקודה בזמן). לפיכך מהירותו היא <math>v(t)=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}</math> ותאוצתו <math>a(t)=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}</math>. לפי ניוטון <math>F=ma=m\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}=m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}</math>. לפי כלל השרשרת אפשר לכתוב <math>\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}</math> ולכן <math>F=m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}v</math>. לכן העבודה שנעשית ע"י <math>F(x)</math> בין a ל-b היא {{left|<math>\begin{align}W&=\int\limits_a^b F(x)\mathrm dx\\&=\int\limits_a^b m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}v\mathrm dx\\&=\left[\frac{mv^2}2\right]_{x=a}^b\end{align}</math>}} ז"א העבודה שווה לשינוי באינרגיה הקינטית.

''הסבר לנוסחה'': <math>\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}</math>. כאן מניחים ש-<math>x(t)=x</math> ו-<math>v(x)=v</math>. בזה נוצרת פונקציה מרוכבת <math>v(x(t))</math>. למדנו את כלל השרשרת <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}v(x(t))=v'(x(t))x'(t)</math> כלומר <math>\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}</math>.
</li>
</ol>

=מבוא לאינטגרציה נומרית=
נביא כאן 4 שיטות לקירוב של אינטגרל מסוים:
# אינטגרציה בעזרת פיתוח טיילור. לדוגמה, נחשב <math>\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx</math> בדיוק של <math>10^{-6}</math>: כבר למדנו פיתוח טיילור לפונקציה <math>e^t</math>: <math>e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\dots+\frac{t^n}{n!}+R_n(t)</math> כאשר <math>R_n(t)=\frac{f^{(n+1)}(c)t^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{e^ct^{n+1}}{(n+1)!}</math> לאיזה c בין 0 ל-t. נציב <math>t=x^2</math>: <math>e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\dots+\frac{x^{2n}}{n!}+R_n\left(x^2\right)</math>. לכן <math>\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx=\int\limits_0^1 P_n\left(x^2\right)\mathrm dx+\int\limits_0^1 R_n\left(x^2\right)\mathrm dx</math>. אנו זקוקים ל-n כך ש-<math>\left|\int\limits_0^1 R_n\left(x^2\right)\mathrm dx\right|=\left|\frac{e^cx^{2n+2}}{(n+1)!}\right|<10^{-6}</math>. לכל <math>x\in[0,1]</math> מתקיים <math>e^0\le e^c\le e^1<3</math> ולכן השארית חסומה ע"י <math>3\left|\int\limits_0^1\frac{x^{2n+2}}{(n+1)!}\mathrm dx\right|=\frac3{(2n+3)(n+1)!}</math>. אכן, עבור <math>n=7</math> זה מספיק קטן. לפי זה {{left|<math>\begin{align}\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx&\approx\int\limits_0^1\left(1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\frac{x^8}{4!}+\frac{x^{10}}{5!}+\frac{x^{12}}{6!}+\frac{x^{14}}{7!}\right)\mathrm dx\\&=\dots\\&\approx1.4626369\end{align}</math>}} השיטה הזאת לא תמיד מועילה כי <ol><li>לא כל פונקציה גזירה אינסוף פעמים כדי שנוכל לחשב <math>P_n(x)</math> ל-n כלשהו.</li><li>יש פונקציות בעלות אינסוף נגזרות שפשוט לא מקורבות היטב ע"י פיתוח טיילור, ובפרט על קטע ארוך.</li><li>יש פונקציות שקשה לחשב את פיתוח טיילור שלהן כי הוא תלוי בנגזרת מסדר גבוה.</li></ol>
# קירוב ע"פ סכומי רימן. נניח ש-f רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נקח <math>n\in\mathbb N</math> כלשהו ונעשה חלוקה שווה של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> כאשר לכל k נגדיר <math>h=\frac{b-a}n=x_k-x_{k-1}</math> (כאשר h הוא אורך הפסיעה בין שתי נקודות החלוקה). הקירוב לאינטגרל נתון ע"י סכום רימן <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k=h\sum_{k-1}^n f(x_k)</math>. כעת נניח ש-f בעלת נגזרת רציפה <math>f'</math> ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את סדר גודל הטעות בקירוב הנ"ל: <math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x_k)\mathrm dx</math>. בתוך הקטע הקטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> נסתמך על משפט לגראנז' לומר <math>f'(c)=\frac{f(x)-f(x_k)}{x-x_k}</math> עבור c בין x ל-<math>x_k</math>. נעביר אגף לומר <math>f(x)=f(x_k)+f'(c)(x-x_k)</math> ולכן <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x_k)\mathrm dx+\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx=f(x_k)(x_k-x_{k-1})+R_k</math>. <math>f(x_k)h</math> היא התרומה של קטע זה לסכום רימן. האינטגרל <math>R_k</math> = הטעות. כעת, אם נסמן <math>M=\max_{x\in[a,b]} |f'(x)|</math> נוכל להסיק {{left|<math>\begin{align}|R_k|&=\left|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx\right|\\&\le\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} |f'(c)|(x-x_k)\mathrm dx\\&\le\frac{nMh^2}2\\&=\frac{b-a}{2h}Mh^2\\&=\frac{b-a}2 Mh\end{align}</math>}}

שיחה:שימושי מחשב תשע"א

2011-04-24T10:18:57Z

חופית: /* שיטת ניוטון רפסון */

{{הוראות דף שיחה}}

'''שימו לב:'''
# דף שיחה זה לא מנוהל בידי המתרגלים של הקורס, אלא בידי סטודנטים בקורס, ומיועד כפורום סטודנטים בו הסטודנטים יענו אחד לשני על שאלותיהם. השימוש בו באחריות הסטודנטים בלבד.
# יש לפרסם שאלות חדשות ב'''תחתית העמוד''' בלבד.

== תרגול 2 שאלה 3 :) ==

בתרגיל 2 מישהו יוכל להעתיק לי לכאן את הפתרון של תרגיל 3 במיופד ? זה לא מצליח להיפתח לי ..
:מצורף הפתרון שלי. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]

DIGITS:=10000:
p:=PI: c:=0:
for i from 1 to 9998 do
d:=floor(100*p):
if d=0 or d=111 or d=222 or d=333 or d=444 or d=555 or d=666 or d=777 or d=888 or d=999 then c:=c+1: end_if:
p:=10*p-floor(10*p);
end_for:
c

תודה!

== שיטת ניוטון רפסון ==

מישהו יכול להסביר איך משתמשים בקובץ newt2 שבאתר? זה פשוט לא עובד לי..

תודה מראש

עובד להעתיק לכאן דברים מהמיופאד ^^

<math>\left\{\left[x = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right],\left[x = - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right],\left[x = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right],\left[x = - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right],\left[x = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right],\left[x = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right],\left[x = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right],\left[x = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right]\right\}</math>

[[משתמש:חופית|חופית]] 13:16, 24 באפריל 2011 (IDT)

שיחה:שימושי מחשב תשע"א

2011-04-24T10:17:22Z

חופית: /* שיטת ניוטון רפסון */

{{הוראות דף שיחה}}

'''שימו לב:'''
# דף שיחה זה לא מנוהל בידי המתרגלים של הקורס, אלא בידי סטודנטים בקורס, ומיועד כפורום סטודנטים בו הסטודנטים יענו אחד לשני על שאלותיהם. השימוש בו באחריות הסטודנטים בלבד.
# יש לפרסם שאלות חדשות ב'''תחתית העמוד''' בלבד.

== תרגול 2 שאלה 3 :) ==

בתרגיל 2 מישהו יוכל להעתיק לי לכאן את הפתרון של תרגיל 3 במיופד ? זה לא מצליח להיפתח לי ..
:מצורף הפתרון שלי. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]

DIGITS:=10000:
p:=PI: c:=0:
for i from 1 to 9998 do
d:=floor(100*p):
if d=0 or d=111 or d=222 or d=333 or d=444 or d=555 or d=666 or d=777 or d=888 or d=999 then c:=c+1: end_if:
p:=10*p-floor(10*p);
end_for:
c

תודה!

== שיטת ניוטון רפסון ==

מישהו יכול להסביר איך משתמשים בקובץ newt2 שבאתר? זה פשוט לא עובד לי..

תודה מראש

עובד להעתיק מכאן דברים למיופד ^^

<math>\left\{\left[x = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right],\left[x = - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right],\left[x = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right],\left[x = - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right],\left[x = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right],\left[x = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right],\left[x = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right],\left[x = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right]\right\}</math>

[[משתמש:חופית|חופית]] 13:16, 24 באפריל 2011 (IDT)

שיחה:שימושי מחשב תשע"א

2011-04-24T10:16:50Z

חופית:

{{הוראות דף שיחה}}

'''שימו לב:'''
# דף שיחה זה לא מנוהל בידי המתרגלים של הקורס, אלא בידי סטודנטים בקורס, ומיועד כפורום סטודנטים בו הסטודנטים יענו אחד לשני על שאלותיהם. השימוש בו באחריות הסטודנטים בלבד.
# יש לפרסם שאלות חדשות ב'''תחתית העמוד''' בלבד.

== תרגול 2 שאלה 3 :) ==

בתרגיל 2 מישהו יוכל להעתיק לי לכאן את הפתרון של תרגיל 3 במיופד ? זה לא מצליח להיפתח לי ..
:מצורף הפתרון שלי. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]

DIGITS:=10000:
p:=PI: c:=0:
for i from 1 to 9998 do
d:=floor(100*p):
if d=0 or d=111 or d=222 or d=333 or d=444 or d=555 or d=666 or d=777 or d=888 or d=999 then c:=c+1: end_if:
p:=10*p-floor(10*p);
end_for:
c

תודה!

== שיטת ניוטון רפסון ==

מישהו יכול להסביר איך משתמשים בקובץ newt2 שבאתר? זה פשוט לא עובד לי..

תודה מראש

עובד להעתיק מכאן דברים למיופד ^^

<math>\left\{\left[x = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right],\left[x = - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right],\left[x = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right],\left[x = - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right],\left[x = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right],\left[x = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right],\left[x = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right],\left[x = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right]\right\}</math>

[[משתמש:חופית|חופית]] 13:16, 24 באפריל 2011 (IDT)

שיחה:שימושי מחשב תשע"א

2011-04-24T10:15:47Z

חופית: /* שיטת ניוטון רפסון */

שיחה:שימושי מחשב תשע"א

2011-04-24T10:15:29Z

חופית:

{{הוראות דף שיחה}}

'''שימו לב:'''
# דף שיחה זה לא מנוהל בידי המתרגלים של הקורס, אלא בידי סטודנטים בקורס, ומיועד כפורום סטודנטים בו הסטודנטים יענו אחד לשני על שאלותיהם. השימוש בו באחריות הסטודנטים בלבד.
# יש לפרסם שאלות חדשות ב'''תחתית העמוד''' בלבד.

== תרגול 2 שאלה 3 :) ==

בתרגיל 2 מישהו יוכל להעתיק לי לכאן את הפתרון של תרגיל 3 במיופד ? זה לא מצליח להיפתח לי ..
:מצורף הפתרון שלי. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]

DIGITS:=10000:
p:=PI: c:=0:
for i from 1 to 9998 do
d:=floor(100*p):
if d=0 or d=111 or d=222 or d=333 or d=444 or d=555 or d=666 or d=777 or d=888 or d=999 then c:=c+1: end_if:
p:=10*p-floor(10*p);
end_for:
c

תודה!

== שיטת ניוטון רפסון ==

מישהו יכול להסביר איך משתמשים בקובץ newt2 שבאתר? זה פשוט לא עובד לי..

תודה מראש

ווווו עובד להעתיק מכאן דברים למיופד ^^

<math>\left\{\left[x = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right],\left[x = - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right],\left[x = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right],\left[x = - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right],\left[x = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right],\left[x = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right],\left[x = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right],\left[x = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}},y = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{6}}\right]\right\}</math>

משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/10.4.11

2011-04-20T15:36:01Z

חופית: /* הוכחה */

=אינטגרל לא אמיתי {{הערה|(המשך)}}=
==משפט 4 {{הערה|(מבחן ההשוואה)}}==
נניח ש-<math>\forall x\in[a,\infty):\ 0\le f(x)\le g(x)</math> ונניח ש-f,g אינטגרביליות מקומית ב-<math>[a,\infty)</math>. אזי:
# אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס.
# אם <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתבדר אז <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתבדר.
===הוכחה===
# עפ"י משפט 3 מתקיים <math>\int\limits_a^\infty f=\sup_{R>a}\int\limits_a^R f\le\sup_{R>a}\int\limits_a^R g=\int\limits_a^\infty g</math>, כלומר <math>\int\limits_a^\infty f\le\int\limits_a^\infty g</math>. כעת, אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז הוא קטן מ-<math>\infty</math>, ולכן <math>\int\limits_a^\infty f<\infty</math> ומתכנס. {{משל}}
# הוכחה טריוויאלית בדרך השלילה, בעזרת סעיף 1. {{משל}}

==משפט 5 {{הערה|(מבחן ההשוואה הגבולי)}}==
נניח ש-f ו-g אינטגרביליות מקומית ואי-שליליות ב-<math>[a,\infty)</math>. עוד נניח שקיים <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L\in\mathbb R</math>. אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math>.
===הוכחה===
כיוון ש-<math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L</math> קיים <math>x_0>a</math> כך שלכל <math>x\ge x_0</math> מתקיים <math>\frac{f(x)}{g(x)}<L+1</math>, ז"א <math>0\le f(x)\le(L+1)g(x)</math>. נתון ש-g אינטגרבילית ב-<math>[a,\infty)</math>, ולכן, לפי משפט 2, היא אינטגרבילית ב-<math>[x_0,\infty)</math>. לפי משפט 1 גם <math>(L+1)g</math> אינטגרבילית ב-<math>[x_0,\infty)</math>. נובע מכך, יחד עם משפט 4, ש-f אינטגרבילית בקטע <math>[x_0,\infty)</math> ולפי משפט 2 היא אינטגרבילית ב-<math>[a,\infty)</math>. {{משל}}

===מסקנה===
בתנאים הנ"ל, אם מתקיים גם ש-<math>L\ne0</math> אז <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_a^\infty f</math>.
====הוכחה====
לפי משפט 5 אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math>. נותר להוכיח את הכיוון השני. מכיוון ש-<math>L>0</math> מתקיים <math>\lim_{x\to\infty}\frac{g(x)}{f(x)}=\frac1L\in\mathbb R</math> ולכן, שוב לפי משפט 5, אפשר להסיק ש-<math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אם <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס. {{משל}}

===דוגמאות===
עבור כל אחד מהאינטגרלים הבאים נבדוק אם הוא מתכנס או מתבדר.
<ol>
<li><math>\int\limits_0^\infty \frac{3x^3-50x^2+5x}{4x^4+2x^2+5}\mathrm dx</math>:
====פתרון====
כידוע, עבור x גדול החזקות הגדולות קובעות את סדר הגודל של הביטוי. לכן עבור <math>x\to\infty</math> הפונקציה בסדר גודל <math>\frac{3x^3}{4x^4}=\frac34\cdot\frac1x</math>. נגדיר <math>f(x)=\frac{3x^3-50x^2+5x}{4x^4+2x^2+5}</math> וכן <math>g(x)=\frac1x</math>. אזי <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^4-50x^3+5x^2}{4x^4+2x^2+5}=\frac34>0</math>. לכן האינטגרל מתבדר. {{משל}}
</li>
<li>
<math>\int\limits2^\infty\frac{x^2+x\ln(x)+3}{x^3\ln(x)+x^2+5}\mathrm dx</math>:
====פתרון====
נגדיר <math>f(x)=\frac{x^2+x\ln(x)+3}{x^3\ln(x)+x^2+5}</math> וכן <math>g(x)=\frac1{x\ln(x)}</math>. מתקיים <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3\ln(x)+x^2\ln^2(x)+3x\ln(x)}{x^3\ln(x)+x^2+5}=1>0</math>. אבל <math>\int\limits_2^\infty g=[\ln(\ln(x))]_{x=2}^\infty=\infty</math>, כלומר מתבדר. לכן גם האינטגרל הנתון מתבדר. {{משל}}
</li>
<li>
<math>\int\limits_0^\infty x^{50}e^{-x}\mathrm dx</math>:
====פתרון====
נחשב את <math>\lim_{x\to\infty}\frac{x^{50}e^{-x}}{1/x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{52}}{e^x}</math>: נפעיל את כלל לופיטל 52 פעמים ונקבל <math>\lim_{x\to\infty}\frac{52!}{e^x}=0</math>. לכן אם <math>\int\limits_0^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}</math> מתכנס (מה שאכן מתקיים) אז האינטגרל הנתון מתכנס. {{משל}}
</li>
</ol>

==משפט 6 {{הערה|(המבחן האינטגרלי לטורים)}}==
נניח ש-f פונקציה יורדת, אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[k,\infty)</math> (עבור <math>k\in\mathbb N</math> כלשהו). אזי <math>\int\limits_k^\infty f\in\mathbb R\iff\sum_{n=k}^\infty f(n)\in\mathbb R</math>.
===הוכחה===
נזכר בהגדרת דרבו של האינטגרל. <math>\sum_{n=k}^{N-1} f(n)</math> הוא סכום עליון של <math>\int\limits_k^N f</math> ו-<math>\sum_{n=k+1}^N f(n)</math> הוא סכום תחתון. נסיק ש-<math>\sum_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum_{n=k}^{N-1} f(n)</math>. כעת אם נתון ש-<math>\sum_{n=k}^\infty f(n)</math> מתכנס אז הסכומים החלקיים <math>\sum_{n=k}^{N-1} f(n)</math> חסומים מלעיל, ומכאן נובע שהאינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_k^N f</math> חסומים מלעיל. נשאיף <math>N\to\infty</math> ומכיוון ש-<math>f(x)\ge0</math> האינטגרל <math>\int\limits_k^\infty f</math> מתכנס. מאידך, אם נתון כי <math>\int\limits_k^\infty f</math> אז האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_k^N f</math> חסומים מלעיל, לכן הסכומים החלקיים <math>\sum_{n=k+1}^N f(n)</math> חסומים מלעיל ומכיוון ש-<math>f(x)\ge0</math> נובע ש-<math>\sum_{n=k+1}^\infty f(n)</math> מתכנס <math>\sum_{n=k}^\infty f(n)\Longleftarrow</math> מתכנס. {{משל}}
===מסקנה===
בהוכחה הראינו שבתנאים הללו מתקיים <math>\sum_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum_{n=k}^{N-1} f(n)</math>.
===דוגמאות===
<ol>
<li>
<math>\sum_{n=5}^\infty \frac1{n\ln(n)\ln(\ln(n))}</math> - מתכנס או מתבדר?
====פתרון====
נגדיר <math>f(x)=\frac1{x\ln(x)\ln(\ln(x))}</math>, אזי f יורדת, אינטגרבילית מקומית ואי-שלילית ב-<math>[30,\infty)</math>. עפ"י משפט 6 התכנסות הטור שקולה להתכנסות האינטגרל <math>\int\limits_{30}^\infty f</math>, שמתבדר: <math>\int=[\ln(\ln(\ln(x)))]_{x=30}^\infty=\infty</math> (אם כי ההתכנסות איטית מאוד). {{משל}}
</li><li>ידוע לנו ש-<math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6</math>. אם נקח, למשל, <math>\sum_{n=1}^{10^6}\frac1{n^2}</math>, מהו סדר הגודל של השארית R?
====פתרון====
נחסום את השארית מלעיל ומלרע בעזרת המסקנה למשפט 6. נגדיר <math>f(x)=\frac1{x^2}</math> אזי <math>R=\frac{\pi^2}6-\sum_{n=1}^{10^6}\frac1{n^2}=\sum_{n=10^6+1}^\infty</math>. מתקיים <math>\sum_{n=10^6+1}^\infty\le\int\limits_{10^6}^\infty f=\left[\frac{-1}x\right]_{x=10^6}^\infty=10^{-6}</math>. כמו כן <math>\int\limits_{10^6+1}^\infty f\le\sum_{n=10^6+1}^\infty f(n)</math> ולכן <math>\sum_{n=10^6+1}^\infty f(n)\ge\left[\frac{-1}x\right]_{x=10^6+1}^\infty=\frac1{10^6+1}</math>.

לסיכום, השארית מקיימת <math>\frac1{10^6+1}\le R\le\frac1{10^6}</math>.
</li></ol>

----

פיתחנו כמה משפטים על התכנסות <math>\int\limits_a^\infty f</math> עבור f אי-שלילית. עתה נחזור לפונקציה כללית f שאינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math>.

'''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בקטע <math>[a,\infty)</math>. נאמר ש-f מקיימת את תנאי קושי עבור <math>x\to\infty</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>x_0>a</math> כך שאם <math>x_2\ge x_1>x_0</math> אז <math>|f(x_2)-f(x_1)|<\varepsilon</math>.
==משפט 7==
תהי f מוגדרת בקטע <math>[a,\infty)</math>. <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים ממש אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע.
===הוכחה===
תחילה נניח שקיים <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=L\in\mathbb R</math> ונאמת את תנאי קושי. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי ההגדרה קיים <math>b>a</math> כך שאם <math>x>b</math> אז <math>|f(x)-L|<\frac\varepsilon2</math>. מכאן נובע שאם <math>x_2\ge x_1>b</math> אז <math>|f(x_2)-f(x_1)|\le|f(x_2)-L|+|L-f(x_1)|\le\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math> ולכן מתקיים תנאי קושי.

מצד שני, אם f מקיימת את תנאי קושי, אז קיים <math>b>a</math> כך שלכל <math>x_2\ge x_1>b</math> מתקיים <math>|f(x_2)-f(x_1)|<1</math>. נקבע <math>x_1=b+1</math> ונובע שלכל <math>x_2>b+1</math> מתקיים <math>|f(x_2)-f(b+1)|<1</math>. לכן אם <math>x_2>b+1</math> אז <math>|f(x_2)|-|f(b+1)|\le\Big||f(x_2)|-|f(b+1)|\Big|\le|f(x_2)-f(b+1)|<1</math> ומכאן ש-<math>|f(x_2)|<|f(b+1)|+1</math>. לכן f חסומה בקטע <math>[b+1,\infty)</math> ולכן <math>\{f(b+1),\ f(b+2),\ f(b+3),\ \dots\}</math> סדרה חסומה. יש לה תת סדרה מתכנסת <math>\{f(b+n_k)\}_{k\in\mathbb N}</math> כך ש-<math>\lim_{k\to\infty} f(b+n_k)</math> קיים ונאמר שהוא <math>L\in\mathbb R</math>. טענה: <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים ושווה ל-L. הוכחה: <math>\lim_{k\to\infty} f(b+n_k)=L</math> ולכן עבור <math>\varepsilon>0</math> נתון קיים <math>k_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>k\ge k_0</math> אז <math>|f(b+n_k)-L|<\frac\varepsilon2</math>. כמו כן, עפ"י תנאי קושי יש מספר <math>c>a</math> כך שאם <math>x_2>x_1>c</math> אז <math>|f(x_2)-f(x_1)|<\frac\varepsilon2</math>. עתה נגדיר <math>d:=\max\{b+n_{k_0},c\}</math> ולכן <math>|f(x)-L|\le|f(x)-f(d)|+|f(d)-L|<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math>. {{משל}}

שיחת משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/5.4.11

2011-04-20T14:40:50Z

חופית: יצירת דף עם התוכן "היי אור, היה לך חסר חצי באינטגרל כלשהו אז הוספתי ~~~~"

היי אור, היה לך חסר חצי באינטגרל כלשהו אז הוספתי [[משתמש:חופית|חופית]] 17:40, 20 באפריל 2011 (IDT)

משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/5.4.11

2011-04-20T14:40:18Z

חופית: /* דוגמאות חישוב */

=אינטגרל לא אמיתי {{הערה|(המשך)}}=
==דוגמאות חישוב==
# נחשב <math>\int\limits_1^\infty xe^{-x}\mathrm dx</math>:{{left|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R xe^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}\left[x'\cdot(-x)e^{-x}\right]_{x=1}^R-\int\limits_1^R -e^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}-Re^{-R}+e^{-1}-[e^x]_{x=1}^R\\&=\frac2e\end{align}</math>}}דרך קיצור:{{left|<math>\int=[-xe^{-x}]_{x=1}^\infty+\int\limits_1^\infty -e^{-x}\mathrm dx=e^{-1}-[e^{-x}]_{x=1}^\infty=\frac2e</math>}} {{משל}}
# <math>\int\limits_1^\infty \frac x{1+x^4}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=x^2</math> ואז כאשר <math>x=1</math> נקבל <math>y=1</math> וכאשר <math>x\to\infty</math> נקבל <math>y\to\infty</math> ולכן <math>\int=\int\limits_1^\infty\frac{0.5\mathrm dy}{1+y^2}\mathrm dy=\left[\frac12\arctan(y)\right]_{y=1}^\infty=...</math>. {{משל}}
# עבור <math>p>0</math> נחשב <math>\int\limits_1^\infty \frac{\mathrm dx}{x^p}</math>: אם <math>p=1</math> זה <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}x=[\ln|x|]_{x=1}^\infty=\infty</math>, כלומר מתבדר. עבור <math>p\ne1</math> נקבל <math>\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_1^\infty=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{-p+1}}{-p+1}-\frac1{-p+1}=\begin{cases}\frac1{p-1}&p>1\\\infty&p<1\end{cases}</math>, כלומר האינטגרל מתכנס <math>p>1\ \iff</math>. הערה: עבור <math>p<1</math> מתקבל <math>\frac1{x^p}>\frac1x</math> בקטע <math>(1,\infty)</math>. לכן מבין הפונקציות <math>\frac1{x^p}</math>, הפונקציה המינימלית שעבורה האינטגרל על <math>[1,\infty)</math> מתבדר היא <math>\frac1x</math>. אבל יש פונקציה מסדר גודל יותר קטן מ-<math>\frac1x</math> שעבורן האינטגרל מתבדר, למשל <math>\int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{x\ln(x)}=\int\limits_2^\infty\frac{1/x}{\ln(x)}\mathrm dx=[\ln(\ln(x))]_{x=2}^\infty=\infty</math>. "קל לבדוק" שעבור <math>p>0</math> האינטגרל <math>\int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^p}</math> מתכנס אם"ם <math>p>1</math>. {{משל}}
# נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב-<math>[1,\infty)</math> ונניח ש-<math>\int\limits_1^\infty f=\infty</math>. נוכיח כי קיימת פונקציה g אי-שלילית ורציפה ב-<math>[1,\infty)</math> מסדר גודל יותר קטן מ-f, ז"א <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\infty</math>, ועדיין <math>\int\limits_1^\infty g(x)\mathrm dx=\infty</math>. ובכן נגדיר <math>F(x)=\int\limits_1^x f</math> אז כמובן ש-<math>F'(x)=f(x)</math> ולפי הנתון <math>\lim_{x\to\infty}F(x)=\int\limits_1^\infty f=\infty</math> נגדיר <math>g(x)=\frac {f(x)}{F(x)}</math> ולכן <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac {f(x)}{f(x)/F(x)}=\lim_{x\to\infty}F(x)=\infty</math> ז"א g מסדר גודל קטן מ-f. כעת <math>\int\limits_1^\infty g=\int\limits_1^\infty\frac{f(x)}{F(x)}\mathrm dx=\int\limits_1^\infty \frac{F'(x)}{F(x)}\mathrm dx=[\ln(F(x))]_{x=1}^\infty=\infty</math>. {{משל}}
# נניח ש-f אי-שלילית ורציפה ב-<math>(1,\infty)</math> ו-<math>\int\limits_1^\infty f</math> מתכנס. נוכיח שקיימת g אי-שלילת מסדר גודל גדול מ-f כך ש-<math>\int\limits_1^\infty g</math> מתכנס.<br/>בנייה: נגדיר <math>F(x)=\int\limits_1^x f</math> לכן <math>F'=f</math> לכן <math>\lim_{x\to\infty}F(x)=\int\limits_1^\infty f</math> קיים ושווה ל-L. אם נגדיר <math>g(x)=2F(x)f(x)</math> אז g מסדר גודל כמו של f וזה לא עוזר, לכן יש להגדיר <math>F(x)=\int\limits_x^\infty f</math> אז <math>F'=-f</math> וכיוון שהאינטגרל של f מתכנס, <math>\lim_{x\to\infty} F(x)=0</math>. נגדיר <math>g:x\mapsto\frac{f(x)}\sqrt{F(x)}</math> חילקנו את f בפונקציה ששואפת ל-0 באינסוף, ולכן g מסדר גודל יותר גדול מ-f. יתר על כן{{left|<math>\begin{align}\int\limits_1^\infty g=&\int\limits_1^\infty\frac{f(x)}\sqrt{F(x)}\mathrm dx\\&=\int\limits_1^\infty\frac{-F'(x)}\sqrt{F(x)}\mathrm dx\\&=\left[-2\sqrt{F(x)}\right]_{x=1}^\infty\\&=2\sqrt{F(1)}\\&=2\sqrt{\int\limits_1^\infty f}\end{align}</math>}} {{משל}}
# <math>\int\limits_0^\infty \cos(x)\mathrm dx=[\sin(x)]_{x=0}^\infty\not\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\}</math>, כלומר האינטגרל מתבדר לחלוטין. {{משל}}
# נתבונן באינטגרל <math>\int\limits_0^\infty \frac{\sin(x)}x\mathrm dx</math> - מתכנס או מתבדר? נוכיח שמתכנס בעזרת משפט לייבניץ על טורים. נבחר N טבעי ונבטא את האינטגרל החלקי (כאשר <math>\mbox{sinc}(x)=\frac{\sin(x)}x</math>): <math>\int\limits_0^{N\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^N \int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx</math>. נסמן <math>\forall k\in\{1,\dots,N\}:\ a_k:=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx</math>. טענה: המספרים <math>a_k</math> מקיימים <ul><li><math>(-1)^{k+1}a_k>0</math></li><li><math>|a_1|>|a_2|>|a_3|>\dots</math> (ולכן הטור שמתפתח הוא טור לייבניץ).</li></ul>הוכחה:<ul><li>אם k אי-זוגי אז <math>\frac{\sin(x)}x\ge0</math> בקטע <math>[(k-1)\pi,k\pi]</math> ואם k זוגי אז <math>\frac{\sin(x)}x\le0</math> בקטע. לכן הטענה הראשונה מתקיימת.</li><li>לכל k טבעי <math>|a_k|=\left|\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{|\sin(x)|}x\mathrm dx</math> כי <math>\mbox{sinc}(x)</math> בעלת סימן קבוע ב-<math>[(k-1)\pi,k\pi]</math>. נציב <math>t=x+\pi</math> על מנת לקבל <math>|a_k|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{|\sin(t-\pi)|}{t-\pi}\mathrm dx</math> ומכיוון ש-<math>\sin(t-\pi)=-\sin(t)</math> זה שווה ל-<math>|a_k|=\int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin(t)|}{t-\pi}\mathrm dt</math> ואילו <math>|a_{k+1}|=\int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin(x)|}x\mathrm dx</math>, ומכיוון ש-<math>x-\pi<x\implies\forall x>\pi:\ \frac{|\sin(x)|}{x-\pi}>\frac{|\sin(x)|}x</math> הטענה השנייה מתקיימת.</li></ul>נותר לנו לבדוק ש-<math>\lim_{k\to\infty} |a_k|=0</math>. ואכן <math>|a_k|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi} \frac{|\sin(x)|}x\mathrm dx\le\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\mathrm dx}x=\ln\left|\frac{k\pi}{(k-1)\pi}\right|\to\ln|1|=0</math>. לסיכום <math>\int\limits_0^{N\pi}=\sum_{k=1}^N a_k</math> וה-<math>a_k</math> יוצרים טור לייבניץ. ע"פ משפט ליבניץ הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס, נאמר ל-L. טענה: <math>\int\limits_0^\infty \mbox{sinc}(x)\mathrm dx=L</math>. הוכחה: יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הנתון קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\left|\sum_{k=1}^n a_k-L\right|<\frac\varepsilon2</math>. כמו כן <math>a_k\to0</math> ולכן קיים <math>n_1\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_1</math> מתקיים <math>|a_k|<\frac\varepsilon2</math>. אם <math>R\pi>\pi\cdot\max\{n_1,n_0\}</math> אזי {{left|<math>\begin{align}\left|\int\limits_0^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx-L\right|&=\left|\int\limits_0^{\lfloor R\rfloor\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx+\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx-L\right|\\&=\left|\sum_{k=1}^{\lfloor R\rfloor} a_k-L+\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right|\\&\le\left|\sum_{k=1}^{\lfloor R\rfloor} a_k-L\right|+\left|\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right|\\&\le\frac\varepsilon2+a_{\lfloor R\rfloor+1}\\&<\varepsilon\end{align}</math>}} {{משל}}

==משפט 1==
נניח שהפונקציות f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות בקטע <math>[a,\infty)</math> ו-c מספר קבוע. אזי הפונקציה <math>f+cg</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,\infty)</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^\infty (f+cg)=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g</math>.
===הוכחה===
לפי הגדרה <math>\int\limits_a^\infty f+cg=\lim_{R\to\infty} \int\limits_a^R f+cg=\lim_{R\to\infty} \int\limits_a^R f+c\int\limits_a^R g=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g</math>. {{משל}}
==משפט 2==
תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math> ויהי <math>b>a</math>. אזי האינטגרל <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_b^\infty f</math> מתכנס, ואם כן <math>\int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f</math>. ההוכחה פשוטה מדי.

==משפט 3==
# תהי f מוגדרת ועולה בקטע <math>[a,\infty)</math>. אזי <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים אם"ם <math>\sup_x f(x)<\infty</math>, ואם כן <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\sup_{x>a} f(x)</math>.
# תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math>. עוד נניח ש-<math>f(x)\ge0</math> בקטע זה, אזי <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^R f</math> חסומים מלעיל.
===הוכחות===
# נניח <math>\sup_{x>a} f(x)=m\in\mathbb R</math>. טענה: <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים ושווה ל-m. הוכחה: לפי אפיון החסם העליון, אם <math>\varepsilon>0</math> אזי קיים <math>x_0\in[a,\infty)</math> כך ש-<math>m-\varepsilon<f(x_0)\le m<m+\varepsilon</math> לכן עבור כל <math>x>x_0</math> מתקיים (מכיוון ש-f עולה) <math>m-\varepsilon<f(x_0)\le f(x)\le m<m+\varepsilon</math>. בפרט, לכל <math>x>x_0</math> מתקיים <math>|f(x)-m|<\varepsilon</math> ולכן <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=m</math> ואם <math>\sup_{x>a} f(x)=\infty</math> (לא חסום) אז לכל <math>n\in\mathbb N</math> קיים <math>x_0</math> כך ש-<math>f(x_0)>n</math>. כעת, אם <math>x>x_0</math> אז <math>f(x)\ge f(x_0)>n</math>. נובע ש-<math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty</math> ואין גבול במובן הצר. {{משל}}
# לכל <math>R>a</math> נגדיר <math>F(R)=\int\limits_a^R f</math>. כיוון ש-<math>f(x)\ge0</math> לכל <math>x\ge a</math>, <math>F(R)</math> עולה עם R. האינטגרל הלא אמיתי מקיים <math>\int\limits_a^\infty f=\lim_{R\to\infty}\int\limits_a^R f=\lim_{R\to\infty} F(R)</math> וראינו בסעיף 1 שהגבול של <math>F(R)</math> קיים אם"ם <math>F(R)</math> חסומה מלעיל, ז"א אם"ם <math>\int\limits_a^R f</math> חסום מלעיל כאשר <math>R\to\infty</math>. {{משל}}
===מסקנה===
מתוך ההוכחה ראינו שאם האינטגרל הלא אמיתי של פונקציה אינטגרבילית מקומית אי-שלילית מתבדר אז הוא מתכנס במובן הרחב ל-<math>\infty</math>.

שיחת משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.3.11

2011-04-20T14:03:44Z

חופית: הוספת משפט

היה חסר לך משפט בחישוב אורך הגרף , לכן הוספתי אותו לאחר (גרף 5).
[[משתמש:חופית|חופית]] 17:03, 20 באפריל 2011 (IDT)

משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.3.11

2011-04-20T14:01:49Z

חופית: /* דוגמאות */

=האינטגרל המסויים {{הערה|(המשך)}}=
==דוגמאות==
<ol>
<li><math>\int\limits_0^2 x^2e^{x^3}\mathrm dx</math>.
* שיטה א - נתעלם מהגבולות עד למציאת הפונקציה הקדומה: נציב <math>t=x^3\implies\frac{\mathrm dt}3=\mathrm dx</math>. לכן <math>\int=\int\frac{e^t}3\mathrm dt=\left[\frac{e^t}3\right]_{x=0}^2=\left[\frac{e^{x^3}}3\right]_{x=0}^2=\frac{e^8-1}3</math>. {{משל}}
* דרך ב - נחליף את הגבולות במהלך החישוב: <math>t=x^3\implies t|_{x=0}=0,\ t|_{x=2}=8</math> ולכן <math>\int=\int\limits_0^8\frac{e^t}3\mathrm dt=\left[\frac{e^t}3\right]_{t=0}^8=\frac{e^8-1}3</math>. {{משל}}
</li>
<li>נחשב שטח עיגול בעל רדיוס r. <math>x^2+y^2=r^2\implies y=\sqrt{r^2-x^2}</math>. לכן השטח הוא <math>S=2\int\limits_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}\ \mathrm dx</math>. נציב <math>x=r\sin(\theta)</math> ואז {{left|<math>\begin{align}S&=2\int\limits_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\sqrt{r^2-r^2\sin^2(\theta)}\ r\cos(\theta)\mathrm d\theta\\&=2\int\limits_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}r^2\cos^2(\theta)\mathrm d\theta\\&=2r^2\int\limits_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\frac{\cos(2\theta)+1}2\mathrm d\theta\\&=2r^2\left[\frac{\frac12\sin(2\theta)+\theta}2\right]_{\theta=-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\\&=2r^2\left(\frac14\cdot0+\frac\pi4-\frac14\cdot0+\frac\pi4\right)\\&=\pi r^2\end{align}</math>}} {{משל}} ''הערה:'' כאשר החלפנו את גבולות האינטגרציה בהצגה <math>x=r\sin(\theta)</math> היינו צריכים לבחור <math>\theta</math> כך ש-<math>x=r</math>, אבל עבור מעגל שרדיוסו r מתחלק ב-4 עם שארית 1 היינו יכולים לבחור גם <math>\theta=\frac{r\pi}2</math> כי אז <math>x=r\sin(\theta)=r\sin\left(\frac{r\pi}2\right)=r</math>, ועבור <math>x=-r</math> יכולנו לבחור <math>-\frac{r\pi}2</math>. אם כן היינו מוצאים {{left|<math>\begin{align}S&=\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2 \sqrt{r^2-r^2\sin^2(\theta)}\ r\cos(\theta)\mathrm d\theta\\&=2\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2r^2\cos^2(\theta)\mathrm d\theta\\&=2r^2\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2\frac{1+\cos(2\theta)}2\mathrm d\theta\\&=r\pi r^2\end{align}</math>}}הטעות נובעת מכך שקבענו ש-<math>\sqrt{r^2-r^2\sin^2(\theta)}=\sqrt{r^2\cos^2(\theta)}=r\cos(\theta)</math>, מה שנכון רק כאשר <math>\cos(\theta)\ge0</math>. הטווח של האינטגרציה היה <math>\left[-\frac{r\pi}2,\frac{r\pi}2\right]</math>, שכולל תחומים בהם <math>\cos(\theta)<0</math>. בתחומים אלה צריך לבחור <math>\sqrt{r^2\cos^2(\theta)}=-r\cos(\theta)</math> ולחלק את הקטע <math>\left[-\frac{r\pi}2,\frac{r\pi}2\right]</math> לתחומים שונים לפי הסימן של <math>\cos(\theta)</math>.
</li>
</ol>

=יישומים של אינטגרציה=
<ol>
<li>אם בקטע <math>[a,b]</math> מתקיים <math>f(x)\le g(x)</math> כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא <math>\int\limits_a^b(g(x)-f(x))\mathrm dx</math>.</li>
<li>נפח של גוף סיבוב גרף (1). נסובב את השטח מתחת לגרף <math>y=f(x)</math> בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור <math>f(x)=c</math> קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו - <math>\pi c^2(b-a)</math>. כעת נניח ש-<math>f(x)\ge0</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. ובכן: נקח חלוקה כלשהי P של <math>[a,b]</math>, <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל <math>[x_{k-1},x_k]</math> מסתובב סביב ציר ה-x. עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום <math>M_k</math> ומינימום <math>m_k</math> בקטע זה. נסמן ב-<math>V_k</math> הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרף של f. אז מתקיים <math>\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V_k\le\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})</math>. יוצא שהנפח בסה"כ הוא <math>V=\sum_{k=1}^n V_k</math> ומתקיים <math>\sum_{k=1}^n\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V\le\sum_{k=1}^n\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})</math>. נעיר שהסכום בצד ימין הוא בדיוק <math>\overline S(\pi f^2,P)</math> ובצד שמאל <math>\underline S(\pi f^2,P)</math> עבור חלוקה P. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math> וכיוון ש-f רציפה גם <math>\pi f^2</math> רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול: <math>\int\limits_a^b \pi f^2=V</math>.
==דוגמאות==
# נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: {{left|<math>\begin{align}V&=\pi\int\limits_{-r}^r f^2\\&=\pi\int\limits_{-r}^r \left(r^2-x^2\right)\mathrm dx\\&=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}3\right]_{x=-r}^r\\&=2\pi\left(r^3-\frac{r^3}3\right)\\&=\frac43\pi r^3\end{align}</math>}} {{משל}}
# נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4) <math>y=\frac rhx+0</math>. לפי זה הנפח הוא {{left|<math>\begin{align}V&=\pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\left[\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h\\&=\frac{\pi r^2h}3\end{align}</math>}}כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים. {{משל}}
</li>
<li>תהא f מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל <math>n\in\mathbb N</math> נגדיר חלוקה <math>P_n</math> של הקטע לקטעים שווים <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. כאשר <math>\forall k:\ x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n</math>. הממוצע של f בנקודות החלוקה הוא <math>\frac1n\sum_{k=1}^n f(x_k)</math>. לפי בחירת <math>P_n</math>, לכל k מתקיים <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n\implies\frac1n=\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}</math> ונובע: <math>\sum_{k=1}^n\frac1n f(x_k)=\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}=\frac1{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> (כאשר <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> הוא סכום רימן). נשאיף <math>n\to\infty</math> ומכיוון שבמקרה כזה <math>\lambda(P_n)\to0</math> מצאנו שהממוצע של f שואף ל-<math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית, גם אם היא לא רציפה. ''גישה אחרת (אינטואיטיבית):'' אם <math>f(x)\ge0</math> רציפה אז <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math> הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.</li>
<li>אורך הגרף: עבור פונקציה f רציפה ב-<math>[a,b]</math> נעשה חלוקה <math>P_n</math> של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות <math>q_0,q_1,\dots,q_n</math>, כאשר לכל k <math>q_k=(x_k,f(x_k))</math>. קירוב סביר לאורך הגרף נתון ע"י <math>L(P)=\sum_{k=1}^n d(q_{k-1},q_k)</math>, כאשר <math>d(A,B)</math> הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-<math>\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}</math>. לכן L אורך הגרף מקיים שלכל <math>\forall n:\ L(P_n)\le L</math> ואפשר להגדיר את L ע"י <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. לפי זה L תמיד מוגדר <math>0<L\le\infty</math>.<br />דוגמה: נגדיר <math>f(x)=x\sin\left(\frac1x\right)</math>. היא רציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> אבל אורך הגרף הוא <math>\infty</math>.<br />גרף (5).

נניח שf'(x) רציפה ב[a,b] . ניקח חלוקה P כלשהי . כבר ראינו ש-{{left|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k\end{align}</math>}}(ע"פ משפט לגראנז' יש <math>c_k</math> כאלה כך ש-<math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math> והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. היה נתון ש-<math>f'(x)</math> רציפה ולכן גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה, וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ \mathrm dx</math>. השערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. נוכיח זאת: נגדיר <math>I=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> וכן <math>L=\sup_n L(P_n)</math> ונניח <math>L<\infty</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0<L-L(Q)<\frac\varepsilon2</math>. אם {{ltr|Q'}} עידון של Q אז <math>L(Q)\le L(Q')\le L</math> ולכן <math>0\le L-L(Q')<\frac\varepsilon2</math>. כעת נתון ש-<math>f'</math> רציפה ולכן <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. לפיכך קיימת <math>\delta>0</math> כך שאם P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> ואם S סכום רימן כלשהו הבנוי על P אז <math>|I-S|<\frac\varepsilon2</math>. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של Q כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. כבר למדנו ש-<math>L(P)</math> הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק <math>|I-L|=|I-S+S-L|=|I-S+L(P)-L|\le|I-S|+|L(P)-L|<\varepsilon</math> ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-<math>\varepsilon</math> ומכאן נובע שהם שווים. {{משל}}</li>
</ol>

שיחת משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/8.3.11

2011-04-17T21:07:07Z

חופית: /* טעות */

==טעות==
ב"שברים חלקיים" בדוגמאות הראשונות, בדוגמה 2 זה dx ולא d(x+5)

הייתי מתקנת אבל אני לא מבינה שם כלום ><"
:<math>\mathrm dx=\mathrm d(x+5)</math>. פשוט במקום להציב <math>y=x+5</math> (ואז <math>\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac\mathrm d{\mathrm dx}(x+5)=1\implies\mathrm dx=\mathrm d(x+5)</math>) לא השתמשתי באות חדשה (y, למשל), אלא כתבתי <math>x+5</math>. מה דעתך, כדאי להדגיש את זה? [[משתמש:אור שחף|אור שחף]]<sup>[[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]]</sup> 18:34, 16 באפריל 2011 (IDT)
:: אני חושבת שכן, בכלל לא ידעתי שאפשר לעשות דבר כזה.. תודה ^^
::[[משתמש:חופית|חופית]] 00:07, 18 באפריל 2011 (IDT)

שיחת משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/8.3.11

2011-04-17T21:05:33Z

חופית: /* טעות */

שיחת משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/8.3.11

2011-04-15T17:02:44Z

חופית:

ב"שברים חלקיים" בדוגמאות הראשונות, בדוגמה 2 זה dx ולא d(x+5)

הייתי מתקנת אבל אני לא מבינה שם כלום ><"

שיחת משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/8.3.11

2011-04-15T17:01:46Z

חופית: תיקון טעות

ב"שברים חלקיים" בדוגמאות, בדוגמה 2 זה dx ולא d(x+5)

משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/8.3.11

2011-04-14T18:59:04Z

חופית: /* דוגמאות */

=שיטות אינטגרציה=
==דוגמאות==
בכל אחת מהדוגמאות הבאות נסמן את האינטגרל שיש לחשב כ-<math>\int</math>.
# <math>\int=\int\frac{\mathrm dx}{1+e^{2x}}</math>: נציב <math>t=e^x\implies\frac{\mathrm dt}t=\mathrm dx</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac1{1+t^2}\cdot\frac{\mathrm dt}t\\&=\int\left(\frac{-t}{1+t^2}+\frac1t\right)\mathrm dt\\&=-\frac12\ln\left(1+t^2\right)+\ln|t|+c\\&=-\frac12\ln\left(1+e^{2x}\right)+x+c\end{align}</math>}}{{משל}}<br />דרך אחרת: <math>\int=\int\frac{e^{-x}}{e^{-x}+e^x}\mathrm dx</math>, נציב <math>t=e^{-x}\implies-\mathrm dt=e^{-x}\mathrm dx</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{-\mathrm dt}{t+1/t}\\&=\int\frac{-t}{1+t^2}\mathrm dt\\&=-\frac12\ln\left(1+t^2\right)+c\\&=-\frac12\ln\left(1+e^{-2x}\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}
#<math>\int\frac{e^x}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נגדיר <math>t=e^x</math> ולכן <math>\int=\int\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\arctan(t)+c=\arctan\left(e^x\right)+c</math> {{משל}}
# <math>\int\frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נגדיר <math>t=1+e^{2x}\implies\mathrm dt=2e^{2x}\mathrm dx</math> ואז <math>\int=\int\frac{\mathrm dt/2}{1+t^2}=\frac12\ln|t|+c=\frac12\ln\left(1+e^{2x}\right)+c</math> {{משל}}
# <math>\int\frac{e^{3x}}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=e^x\implies\mathrm dy=e^x\mathrm dx</math> לקבל {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{y^2}{1+y^2}\mathrm dy\\&=\int\left(\frac{y^2+1}{y^2+1}-\frac1{1+y^2}\right)\mathrm dy\\&=y-\arctan(y)+c\\&=e^x-\arctan\left(e^x\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}
# <math>\int\frac{\mathrm dx}\sqrt{x-x^2}</math>: <math>t=\sqrt{1-x}\implies x=1-t^2\implies\mathrm dx=-2t\mathrm dt</math>. לפיכך {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt x\sqrt{1-x}}\\&=\int\frac{-2t\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}t}\\&=-2\arcsin(t)+c\\&=-2\arcsin\left(\sqrt{1-x}\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}
# <math>\int\sec(x)\mathrm dx=\int\frac{\cos(x)}{\cos^2(x)}\mathrm dx=\int\frac{\cos(x)}{1-\sin^2(x)}\mathrm dx</math>: <math>y=\sin(x)\implies\mathrm dy=\cos(x)\mathrm dx</math> ומכאן נובע {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{\mathrm dy}{1-y^2}\\&=\int\frac{\mathrm dy}{(1-y)(1+y)}\\&=\int\left(\frac{1/2}{1-y}+\frac{1/2}{1+y}\right)\mathrm dy\\&=-\frac12\ln|1-y|+\frac12\ln|1+y|+c\\&=\frac12\ln\left(\frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)}\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}
# <math>\int\frac\sqrt{x-1}{x^2\sqrt{x+1}}\mathrm dx</math>: אם <math>t=\frac1x=\implies\mathrm dt=-\frac{\mathrm dx}{x^2}</math> אז {{left|<math>\begin{align}\int&=-\int\frac\sqrt{\frac1t-1}\sqrt{\frac1t+1}\mathrm dt\\&=-\int\frac\sqrt{1-t}\sqrt{1+t}\mathrm dt\\&=\int\frac{t-1}\sqrt{1-t^2}\mathrm dt\\&=\int\frac{t\mathrm dt}\sqrt{1-t^2}-\int\frac{\mathrm dt}\sqrt{1-t^2}\end{align}</math>}}נציב <math>y=1-t^2\implies\frac{\mathrm dy}{-2}=t\mathrm dt</math> ואז {{left|<math>\begin{align}\int&=-\int\frac{\mathrm dy/2}{y^{1/2}}-\arcsin(t)\\&=-y^{1/2}-\arcsin(t)+c\\&=-\sqrt{1-\frac1{x^2}}-\arcsin\left(\frac1x\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}
# נתון <math>a>0</math> קבוע וצריך למצוא נוסחת נסיגה ל-<math>I_n=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+a^2\right)^n}</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math>. ברור כי <math>I_1=\int\frac{\mathrm dx}{x^2+a^2}=\frac1a\arctan\left(\frac xa\right)+c</math>. כעת <math>\forall 1<n\in\mathbb N:\ I_n=\int\frac{x'\mathrm dx}{\left(x^2+a^2\right)^n}</math>. לפיכך {{left|<math>\begin{align}I_n&=\frac x{\left(x^2+a^2\right)^n}-\int(-n)\left(x^2+a^2\right)^{-n-1}2x\cdot x\mathrm dx\\&=\frac x{\left(x^2+a^2\right)^n}+2n\int\frac{x^2+a^2-a^2}{\left(x^2+a^2\right)^{n+1}}\mathrm dx\\&=\frac x{\left(x^2+a^2\right)^n}+2n\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+a^2\right)^n}-2na^2\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+a^2\right)^{n+1}}\\&=\frac x{\left(x^2+a^2\right)^n}+2nI_n-2na^2I_{n+1}\end{align}</math>}} לכן <math>I_{n+1}=\frac x{2na^2\left(x^2+a^2\right)^n}+\frac{2n-1}{2na^2}I_n</math>. {{משל}} למשל, עבור <math>a=2</math> נחשב <math>I_3</math>: <math>I_2=\frac x{8\left(x^2+4\right)}+\frac18I_1</math> וכן <math>I_3=\frac x{16\left(x^2+4\right)^2}+\frac3{16}I_2</math>. לבסוף: <math>I_3=\frac x{16\left(x^2+4\right)^2}+\frac3{16}\left(\frac x{8\left(x^2+4\right)}+\frac18\cdot\frac12\arctan\left(\frac x2\right)\right)+c</math> {{משל}}

==שברים חלקיים==
נפתח שיטה לביצוע אינטגרציה של פונקציה רציונלית כלשהי <math>\frac pq</math> (<math>p,q</math> פולינומים). כבר ראינו [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/6.3.11#partial_fraction_example|דוגמה פרטית]] של השיטה, כאשר פירקנו פונקציה רציונלית לסכום של פונקציות רציונליות פשוטות, וזה יסוד השיטה.

נסתמך ללא הוכחה על משפט מאלגברה: כל פונקציה רציונלית <math>\frac pq</math>
כך ש-<math>\deg(p)<\deg(q)</math> ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים: <math>\frac A{\left(x-x_0\right)^n}+\frac{Bx+C}{\left(x^2+bx+c\right)^k}</math>, כאשר <math>A,B,C,x_0\in\mathbb R</math> קבועים ולמכנה <math>\left(x^2+bx+c\right)^k</math> אין שורשים ממשיים (כלומר <math>b^2-4c<0</math>).
האינטגרציה של השבר הראשון קלה: <math>\int\frac{A\mathrm dx}{\left(x-x_0\right)^n}=\frac{A\left(x-x_0\right)^{-n+1}}{-n+1}+?</math>. לשבר השני יותר קשה למצוא אינטגרל. ניתן כמה דוגמאות:
{{left|1=<span></span>
# <math>\begin{align}\int\frac{\mathrm dx}{x^2+6x+10}&=\int\frac{\mathrm dx}{x^2+6x+3^2+1}\\&=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x+3\right)^2+1}\\&=\arctan(x+3)+?\end{align}</math>
# <math>\begin{align}\int\frac{5x+2}{x^2+10x+34}\mathrm dx&=\int\frac{5x+2}{\left(x+5\right)^2+9}\mathrm dx\\&=\int\frac{5(x+5)-23}{\left(x+5\right)^2+9}\mathrm d(x+5)\\&=\frac52\ln\left(\left(x+5\right)^2+9\right)-\frac{23}3\arctan\left(\frac{x+5}3\right)+?\\&=\frac52\ln\left(x^2+10x+34\right)-\frac{23}3\arctan\left(\frac{x+5}3\right)+?\end{align}</math>
# <math>\int=\int\frac{6x-5}{\left(x^2+4x+8\right)^3}\mathrm dx=\int\frac{6x-5}{\left(\left(x+2\right)^2+4\right)^3}\mathrm dx</math><div dir="rtl" align="right">נציב <math>t=x+2</math> ואז <math>\mathrm dt=\mathrm dx</math>:</div><math>\int=\int\frac{6t-17}{\left(t^2+4\right)^3}\mathrm dt=\int\frac{6t\mathrm dt}{\left(t^2+4\right)^3}-17\int\frac{\mathrm dt}{\left(t^2+4\right)^3}</math><div dir="rtl" align="right">נציב <math>y=t^2+4\implies\mathrm dy=2t\mathrm dt</math> ונסמן <math>I_n=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+4\right)^n}</math>:</div><math>\int=\int\frac{3\mathrm dy}{y^3}-17I_3=-\frac3{2y^2}-17I_3=-\frac32\cdot\frac1{\left(x^2+4x+8\right)^2}-17I_3</math><div dir="rtl" align="right">כאשר <math>I_3</math> הוא בדיוק אותו <math>I_3</math> שמצאנו בסעיף 8 בדוגמאות מקודם.</div>
}}
באופן כללי נהפוך את השבר ל-<math>\frac{Bx}{\left(\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}4\right)^k}+\frac C{\left(\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}4\right)^k}</math>. את האינטגרל של השבר השמאלי (זה שבמונהו יש <math>Bx</math>) נחשב ע"י הצבת <math>y=\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}4</math>, ואת השבר הימני לפי סעיף 8 בדוגמאות הנ"ל.

עתה נשאר לנו ללמוד את השיטה לפירוק פונקציה נתונה לסכום של שברים חלקיים. נעזר במשפט היסודי של האלגברה: אם <math>p(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k\in\mathbb R_n[x]</math> אז קיים לו פירוק <math>p(x)=(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)</math> (כאשר <math>\forall i:\ x_i\in\mathbb C</math>). חלק מה-<math>x_i</math>-ים יכולים להיות ממשיים, אבל בכל אופן מספר השורשים הלא ממשיים יהא זוגי. למשל: {{left|<math>\begin{align}\Big(x-(a+bi)\Big)\Big(x-(a-bi)\Big)&=x^2-(a+bi+a-bi)x+(a+bi)(a-bi)\\&=x^2-2ax+\left(a^2+b^2\right)\\&\in\mathbb R_2[x]\end{align}</math>}}
כעת, בהינתן האינטגרל <math>\int\frac{p(x)}{q(x)}\mathrm dx</math> כאשר <math>\deg(p)<\deg(q)</math> נפרק את <math>q(x)</math> ל-<math>\left(x^2+bx+c\right)^k</math> ו-<math>\left(x-x_0\right)^n</math> כנ"ל, נמצא <math>A,B,C</math> כנזכר למעלה ונחשב את האינטגרל.

===דוגמאות===
# <math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2-1}=\int\frac{\mathrm dx}{(x-1)(x+1)}=\int\left(\frac A{x-1}+\frac B{x+1}\right)\mathrm dx</math>. A ו-B מקיימים {{left|<math>\begin{align}A(x+1)+B(x-1)=1&\implies x(A+B)+(A-B)=1\\&\implies\begin{cases}A+B=0\\A-B=1\end{cases}\\&\implies A=\frac12\ \and\ B=-\frac12\end{align}</math>}} ונקבל <math>\int=\frac12\ln|x-1|-\frac12\ln|x+1|+c</math>
# <math>\int\frac{\mathrm dx}{1-x^4}</math>: האינטגרנד שווה ל-<math>\frac{-\mathrm dx}{(x-1)(x+1)(x^2+1)}=\frac A{x-1}+\frac B{x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+1}</math>. נמצא את A,B,C,D: מתקיים <math>-1=A(x+1)\left(x^2+1\right)+B(x-1)\left(x^2+1\right)+(Cx+D)\left(x^2-1\right)</math>.<br />נציב <math>x=1</math> ואז <math>-1=A\cdot2\cdot2\implies A=-\frac14</math>.<br />נציב <math>x=-1</math>: <math>-1=B\cdot(-2)\cdot2\implies B=\frac14</math>.<br />נציב <math>x=0</math> ונקבל <math>-1=A-B-D\implies D=\frac12</math>.<br /> לבסוף נציב <math>x=2</math> ואז <math>-1=-15\cdot\frac14+5\cdot\frac14+\left(\frac12+2C\right)3\implies C=0</math>.<br /> לפיכך {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\left(\frac{-1/4}{x-1}+\frac{1/4}{x+1}+\frac{1/2}{x^2+1}\right)\mathrm dx\\&=-\frac14\ln|x-1|+\frac14\ln|x+1|+\frac12\arctan(x)+c\end{align}</math>}}

שיחת משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/6.3.11

2011-04-14T18:25:15Z

חופית:

היי אור, בדוגמאות של שיטת ההצבה בדוגמה 9, התשובה הסופית צריכה להיות
sqrt(1-x^2) ולא אחד חלקי הביטוי, בשתי הדרכים

תודה ^^

שיחת משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/6.3.11

2011-04-14T18:24:23Z

חופית: יצירת דף עם התוכן "היי אור, בדוגמאות של שיטת ההצבה בדוגמה 9, התשובה הסופית צריכה להיות sqrt(1-x^2) ולא אחד חלקי הבי..."

משתמש:חופית

2011-01-18T09:37:38Z

חופית:

סטודנטית שנה א' למתמטיקה שימושית

לומדת אצל דוקטור שמחה הורוביץ ודוקטור בועז צבאן.

שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא

2011-01-18T09:36:37Z

חופית: /* בקשה ממי שלומד אצל דוקטור הורוביץ */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=

*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 1| ארכיון 1]]
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 2| ארכיון 2]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 3| ארכיון 3]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 4| ארכיון 4]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 45| ארכיון 5]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 6| ארכיון 6]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 7| ארכיון 7]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 8| ארכיון 8]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 9| ארכיון 9]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 10| ארכיון 10]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 11| ארכיון 11]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 12| ארכיון 12]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 13| ארכיון 13]]

=שאלות=

== תרגיל 12 שאלה 4 ==

האם אפשר להתייחס לlog בתור ln?
:אצל זלצמן log אם"ם ln --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:41, 3 בינואר 2011 (IST)
::(מישהו אחר) - אז רק כדי לוודא, בשאלה 4, האם ה-log שם הוא ln? אני לא סטודנט של זלצמן (תיכוניסט), מה שרלוונטי לי כרגע האם בשאלה זה ln או log10, כי אני עדיין לא סגור על זה.
:::'''רק ln''' --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:23, 5 בינואר 2011 (IST)

== לגבי הפתרון של תרגיל 10, שאלה 7, ג' ==

השאלה שהייתה בשיעורים (לא במבחן):

נכון, לפי היינה הגבול לא קיים, אבל זה יכול להיות גם סוג ראשון - גבולות חד צדדיים קיימים ושונים. צריך לבדוק את האפשרות הזו, לא? אני מפספספת משהו?

:לא קיים גבול חד צדדי, הרציונאלים זה לא "צד". גבול חד צדדי ימני זה אם לכל הסדרות <math>x_0<x_n\rightarrow x_0</math> מתקיים <math>f(x_n)\rightarrow L</math> אז הגבול החד צדדי הימני הוא L. זה ממש לא המצב פה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 00:42, 5 בינואר 2011 (IST)

::אז בעצם במהלך הבדיקה, הוכחת שיש גבול חד צדדי שלא קיים?
:::שני הגבולות החד צדדיים לא קיימים. רק צריך להחליף שם בפתרון את <math>x_n\neq x_0</math> ב<math>x_n>x_0</math> (או קטן) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:57, 5 בינואר 2011 (IST)

== הוכחת רציפות במידה שווה ==

בתרגיל 11, באילו משפטים שמשמשים להוכחת או שלילת רציפות במידה שווה מותר להשתמש? אפשר לקבל רשימה של המשפטים האלו? (וראיתי כבר את הערך בויקיפדיה - האם מותר להשתמש בכל המשפטים שכתובים שם?)

עוד דבר, רק לוודא - אם צריך להוכיח רציפות במידה שווה בקטע פתוח, אז אפשר להוכיח רציפות בקטע אחר, סגור - שמכיל אותו, ואז היא רציפה במידה שווה בקטע הגדול, ולכן גם בקטן, נכון?

===תשובה===
תלוי מה למדתם בהרצאה ובתרגיל שלכם.

וכן, אם יש רציפות במ"ש על A אז יש רציפות במ"ש בכל קטע המוכל בA. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:19, 5 בינואר 2011 (IST)

:תודה. אבל לא למדנו שום דבר שימושי לזה... רק שאם פונקציה רציפה בקטע סגור אז היא רציפה במידה שווה, ואת ההגדרה.

להוכחה:
* המשפט הראשון בתרגיל, שניתן להכליל אותו כך: תהי פונקציה רציפה בקטע A (גם לא סופי). אם יש לה גבולות סופיים בקצות הקטע (גם אם קצה הקטע הוא אינסוף) אזי היא רציפה במ"ש בקטע.
* פונקציה מחזורית שרציפה על כל הממשיים - רציפה במ"ש בכל הממשיים.
* הרכבה של רציפות במ"ש הינה רציפה במ"ש. (יש לשים לב שהפונקציה החיצונית רציפה במ"ש על התמונה של הפנימית, למעשה).
* סכום של רציפות במ"A הינה רציפה במ"ש (אבל כפל לא - x^2=xx).
* תהי f פונקציה רציפה. אם הנגזרת של f חסומה בקטע אזי f רציפה בו במ"ש

לשלילה:
*אם קיים <math>\epsilon > 0</math> וקיימות שתי סדרות <math>x_n,y_n \in A</math> המקיימות: <math>|x_n-y_n|\rightarrow 0</math> וגם <math>\forall n: |f(x_n)-f(y_n)|\geq \epsilon</math> אזי הפונקציה f אינה רציפה במ"ש בקטע A.
*אם פונקציה אינה חסומה בקטע '''סופי''' אזי היא אינה רציפה בו במ"ש.
*אם פונקציה אינה רציפה או אינה מוגדרת בקטע היא אינה רציפה בו במ"ש.

::תודה רבה! חשבתי שאסור להשתמש במשפט עם הנגזרת החסומה, כי עוד לא למדנו אותו. הוא מאוד שימושי! הוא לא אם ורק אם? כלומר, הנגזרת של פונקציה רציפה במידה שווה היא לא בהכרח חסומה?
:::שוב, אני לא יודע עם מי אתה לומד. אסור עקרונית להשתמש בנגזרת כרגע אצלנו כי לא למדנו את זה, אבל אני אלמד בראשון וזה יהיה בחומר למבחן של זלצמן. בקשר לשאלה השנייה - לא, זה לא אםם, קח כדוגמא נגדית את שורש איקס בקטע (0,1). ההפרש בין ערכי הפונקציה אמנם קטן, אבל השיפוע של הפונקציה באיזור 0 שואף לאינסוף (אפילו שיש לה גבול סופי) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 03:01, 6 בינואר 2011 (IST)

::::אה, נכון. טוב אז באילו משפטים מותר למי שלומד אצלך להשתמש?
:::::כל מה שאמרתי פרט לנגזרת. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 11:13, 6 בינואר 2011 (IST)

::::::טוב, תודה רבה

== שאלה (קשור לרציפות) ==

זה נכון שלכל פונקציה רציפה בקטע, לדוגמה (אינסוף,a) כך שהפונקציה לא שואפת לאינסוף בגבולות (גם כשאיקס שואף לאינסוף אז הפונקציה רק שואפת למספר סופי וכו') אז לכל סדרה x_n מתקיים ש f(x_n) חסומה ( ולכן קיימת ת"ס x_n_k כך ש f(x_n_k) מתכנסת)? ואם זה נכון, צריך להוכיח את זה?
תודה

:מה זה כו'? במתמטיקה מדייקים, לא אומרים וכו'. אם הפונקציה חסומה (וזה לא נובע בהכרח מזה שהיא לא מתכנסת לאינסוף) אז מה שרשמת נכון. כמו כן, אין לזה קשר לרציפות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:21, 5 בינואר 2011 (IST)
::אם מתקיימים התנאים בשאלה 1 תרגיל 11, זה נכון?????
:::איך זה יעזור שם למצוא תת סדרה מתכנסת? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:14, 5 בינואר 2011 (IST)
::::הוכחנו בהרצאה בעזרת ת"ס מתכנס שפונקציה היא רציפה במ"ש כאשר נתון שהיא רציפה בקטע הסגור [a,b]. חשבתי להשתמש בהוכחה דומה מאוד לזאת שעשינו בכיתה רק בהתאמה לתנאי השאלה הנתונה, ולכן אם אני לא טועה, אז תנאי השאלה צריכים להביא לת"ס מתכנסת ובכך לפתרון נכון של השאלה.
:::::המממ... אני לא בטוח לגבי הכיוון הזה, לצערי אני לא מכיר את ההוכחה שציינת. אני מנחש שהרעיון שם הוא שx_n_k עצמה מתכנסת, ומכיוון שפה התחום הינו אינסופי זה לא יעזור. תנסה להבין מה העובדה שהפונקציה מתכנסת באינסוף אומר על ההפרשים בציר הy. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:39, 5 בינואר 2011 (IST)
::::::שהם סופיים? אבל אני לא מצליח להגיע מזה לשום דבר.
:::::::מה הכוונה בהפרשים סופיים? כל מספר ממשי הוא סופי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:33, 8 בינואר 2011 (IST)

== תרגיל 12 ==

ארז, איך כותבים את הפונקציה arctanx לפי Cosx ןsinx??
תודה!
:אי אפשר. זה ההופכית של tg. כלומר: <math>arctg(tg(x))=x</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 01:39, 7 בינואר 2011 (IST)

== מחזוריות ==

יש דרך קלה להוכיח שפונקציה היא מחזורית?
תודה
:להראות שקיים a כך ש <math>\forall x: f(x+a)=f(x)</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:38, 7 בינואר 2011 (IST)
::תודה רבה

== תרגיל 12 שאלה 2 ==

האם מותר להגיד ש
<math>lim(cos(h)-1)/h=0</math>

כשh שואף ל0

:כן.

== תרגילים 11 ו12 ==

ארז,
מתי יוחזרו תרגילים 11 ו12 שהגשנו?

:בשיעור חזרה שיהיה, אם הם יחזרו עד אז. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:13, 12 בינואר 2011 (IST)

== שאלה בסדרות ==

משפט- תהי an סדרה. אזי an שואפת לa אם"ם לכל תת סדרה ank של an יש תת סדרה ankj המתכנסת לa.

השאלה היא: מדוע לו מסתפקים בלהגיד רק תת סדרה, אלא תת סדרה של תת סדרה.

:כי אחרת זו הייתה שאלה טריוויאלית מכיוון שסדרה הינה תת סדרה של עצמה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 10:30, 14 בינואר 2011 (IST)

== תרגיל 13 ==

התלמידים של ד"ר אפי צריכים להגיש את תרגיל 13?

== הבוחן ==

יש סיכוי שהבוחן יקח פחות חלק מהציון למי שהיו לו הפרשים גדולים בין הבוחן לתרגילים? היו 10 תרגילים להגשה שבכל אחד בערך 7 שאלות (7*10=70), ובבוחן היו רק 3 שאלות...
:אבל הבוחן היה בלי חומר פתוח (: --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:44, 15 בינואר 2011 (IST)

== יש סיכוי שנקבל לקראת המבחן סילבוס של הקורס? ==

זה יעזור להרבה מאוד אנשים!
תודה מראש.

== כמה בקשות והערה ==

שלום,
תוכל בבקשה להעלות את הפתרון לתרגיל 12 (ואם אפשר, אולי גם ל13)- זה חשוב מאוד לקראת המבחן ויעזור מאוד!
ואם אפשר בבקשה, גם מבחנים ופתרונות נוספים?

כמו כן, בכותרת תרגיל 13 כתוב "תרגיל 1", זה לא חשוב אבל שתדע.
תודה רבה מראש!!

:נעלה את הפתרונות ל12 ו13. כתוב תרגיל אחד באינפי 2, כי זה היה תרגיל 1 של שנה שעברה באינפי 2, תודה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:00, 16 בינואר 2011 (IST)

===הערה נוספת===
בתרגיל 12 שאלה 3 c, נעלם לכן המינוס בתוצאה, וגם ה- (x-1)^2 "קפץ" מהמכנה למונה, או שאני טועה?

== תרגיל 12 שאלה 7 ==

מה זה אומר קירובים לינאריים- הכוונה היא לפונקציית ישר שמסביב לנקודה קרובה לפונקציה (אפשר פשוט למצוא ישר עם השיפוע בנקודה בעזרת הנגזרת ולהציב את הנקודה של החיתוך עם הפונקציה) או לקירוב לערך arctan(1.01) בהנחה שאנחנו לא יודעים אותו? (ואז צריך להשתמש במשפט לגרנז')? תודה
:קירוב לינארי הכוונה לישר הקרוב בדיוק כפי שרשום בנוסחאת תזכורת לקירוב לינארי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:19, 16 בינואר 2011 (IST)
::אבל בסעיף ב', לא הבנתי איך אפשר לדעת מהי הפונקציה פה (כלומר ה-2.01 יכל להיות קבוע, וה1.01 משתנה, יכול להיות הפוך, יכול להיות ששניהם משתנים ויכול להיות ששניהם קבועים). ואיך זה שכאשר x=1 אפשר ישר לדעת שבבסיס של הפונקציה יש x+1 ובמעריך x?
:::בוחרים את מה שעובד כך שx יהיה קרוב לx_0. יש לך הצעה אחרת? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 01:13, 18 בינואר 2011 (IST)

== שאלה על הוכחה מההרצאה ==

אני מקווה שזה בסדר שאני שואל את זה פה. לא הבנתי כמה הוכחות שמשתמשות באותו עקרון מההרצאה, ולכן אשמח להבין את העקרון מכיוון שהוא נמצא בהרבה הוכחות. לדוגמה במשפט בולצנו ויישטראס. צ"ל שלסדרה חסומה יש ת"ס מתכנסת. תחילה נחלקת את הקטע [c1,d1] שהסדרה חסומה בו לחצאים כך שבכל חצי יש אינסוף איברים (אני מקצר קצת), ונרצה להשתמש בלמה של קנטור. נקבל שרשרת
<math>[c1,d1] < [c2,d2] ...</math> כך ש <math>d_n-c_n=(d1-c1)/(2^n-1)</math>, עד לפה הבנתי. כעת נבנה סדרה באופן אינדוקטיבי n1<n2<n3.. של טבעיים כך ש <math>a_{n_k} \in [ck,dk]</math>.
בקטע [c1,d1] נבחר an שרירותי, ויהי n1=m. נניח שבנינו n1<..<nk . צריך למצוא את nk+1. אבל בקטע [ck+1,dk+1] יש אינסוף an ים, לכן יש שם am כך ש m>nk. יהי nk+1=m. אז קיבלנו ת"ס }ank} כך ש <math>a_{n_k+1} \in [ck+1,dk+1]</math> לכל K. לפי הלמה של קנטור..
לא הבנתי את הקטע עם ה m וה-am. אפשר קצת הסבר על זה? תודה

:הרי יש בקטע אינסוף איברים מהסדרה, אבל לא כל איברי הסדרה. לכן m הוא האיבר הבא בסדרה שהוא אחד מהאינסוף איברים האלה. תמיד יגיע אחד כזה, אבל לא ברור בדיוק מתי (יכול להיות שיעברו 1000 איברים בין לבין, למשל). יותר מובן? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 01:15, 18 בינואר 2011 (IST)

== בקשה ממי שלומד אצל דוקטור הורוביץ ==

האם מישהו יכול לכתוב כאן את משפט 6 בטורים? (מבחן ההשוואה הגבולי)

הוא כתוב לי בצורה ממש מבולגנת..
תודה מראש!!

משתמש:חופית

2010-12-23T18:49:04Z

חופית:

סטודנטית שנה א' למתמטיקה שימושית
:לומדת אצל דוקטור שמחה הורוביץ ודוקטור בועז צבאן

משתמש:חופית

2010-12-23T18:48:45Z

חופית: דף חדש: סטודנטית שנה א' למתמטיקה שימושית לומדת אצל דוקטור שמחה הורוביץ ודוקטור בועז צבאן

סטודנטית שנה א' למתמטיקה שימושית
לומדת אצל דוקטור שמחה הורוביץ ודוקטור בועז צבאן

בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-09-03T09:18:21Z

חופית: /* פתרונות למבחנים */

<math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - תרגיל 3

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 4| ארכיון 4]]''' - תרגיל 4

=שאלות=

==פתרונות למבחנים==
האם אפשר להעלות פתרונות לשאלות 2 ו3 במבחן של 2009 מועד ב'?

ואולי גם את הפתרונות של שאר המבחנים שמצויים באתר?

תודה מראש

==שאלה 4 במבחן תשס"ח מועד ב==
אפשר אולי רמז לשאלה?
<br> תודה

==עזרה/האם הפתרון שלי נכון במבחן 2009 ב' שאלה 6==
אני יכול להגיד ככה? יהי a,b שייך לA, יש 2 אפשרויות, aRb או aR'b, יהי c שייך לA, אם bRc אז aRc, אם bR'c אז aR'c וכך הלאה, ולכן אם x "נמצא ביחס" R כלומר קיים y כך של yRc אזי aRc ולכן c שייך ל [a]R ולכן <math>A/R = {[a]_R}</math>? תודה!

==פרטים לגבי המבחן שנשלחו במייל==

הבחינה בקורס "מתמטיקה בדידה" תתקיים ביום ראשון 5/9/2010, לכל הקבוצות.

חדרי הבחינה:

8819508 של ד"ר אפי כהן ב- 605/101, 605/102

8819511 של ד"ר שי סרוסי ב- 605/103, 605/104

בהצלחה.
:אם אני בקבוצה של אפי, איך אני יודע אם אני ב101 או 102? או שזה לא משנה?

'''באיזו שעה המבחן?'''
: 16:00

==קצת סדר במושגים (חלוקה מחלקת שקילות וכו')==
אז ככה: נניח ש <math>A={1,2,3,4,5,6}</math>. חלוקה של A זה נגיד A1=1,2, A2=3,4,5, A3=6. קוראים לזה חלוקה, נכון?
ואז מחלקת שקילות זה אחד מהקבוצות Ai, נכון? כלומר A1, A2, A3 הן כולן מחלקות שקילות?
ואז איך קוראים לקבוצה <math>[a]R</math>? ואיך קוראים לקבוצה <math>A/R</math>? וגם מה הקבוצה האחרונה אומרת? תודה!

==שאלה שאני לא בטוח שאתם יכולים לענות עליה, אבל שווה את הנסיון...==
קודם כל, ידוע כבר מתי ואיפה יתקיים המבחן?
ודבר נוסף, מכיוון שיש ביום ראשון לימודים ולא הצלחתי לתפוס את (מלי?) המזכירה של הקורס, ידוע לכם על דרך שבה אני אוכל לקבל אישור יציאה מבית הספר ביום ראשון ובכלל? תודה רבה!
:המבחן בשעה 16:00. אם אתה רוצה תוכל להוציא אישור על שעת המבחן דרך האתר למידע האישי של האוניברסיטה או להביא את הדף מהחוברת שקיבלנו בכנס ביוני אשר מתייחס לתאריכי המבחנים. (אינני מתרגל)
::תודה רבה, אתה יכול להביא קישור או להסביר איך להגיע לאתר?
:::תכתוב בגוגל "מערכת מידע אישי בר אילן", תמצא את האתר המתאים, תלחץ על מידע לסטודנט, מידע כללי, מועד בחינה ומיקומה, קורס 88-195 כאשר שתי הספרות האחרונות הן 08 עבור אפי, 11 עבור שי.
::באתר כתוב שהבחינה בשלוש וחצי, זה השתנה ל4? תודה!

==שאלה לגבי המבחן ביום ראשון==
מישהו יכול לרשום את המבנה של המבחן , שאלות פתוחות, או אמריקאיות וכו"...

==שאלה==
צריך לעשות נוסחת נסיגה למספר תת הקבוצות של 1 עד N שמכילות 2 מספרים עוקבים. האם זה נכון להגיד שבגלל שמספר תת הקבוצות שלא מכילות שני מספרים עוקבים (כמו בשאלה שבאלגוריתם שפירסמתם) היא <math>f(n)=f(n-1)+f(n-2)</math> אז מספר תת הקבוצות שכן מכילות היא
<math>f(n)=f(n)-(f(n-1)+f(n-2))</math>? זה נראה נכון, כי f(n) הוא המספר הכולל, פחות התת קבוצות שלא מכילות, אך גם משהו בזה נראה לא נכון, כי עם מצמצמים את הFN זה יוצא ש <math>f(n-1) = -f(n-2)</math>. יש פה טעות? תודה!

===תשובה===
אני לא כל כך מבין מה אתה מנסה לעשות. אם הגעת למסקנה שמשוואת ההפרשים היא <math>f(n)=f(n-1)+f(n-2)</math> אז מכיוון שהיא הומוגנית אתה צריך לעבור ישר למשוואה האופיינית <math>p(x)=x^2-x-1=0</math>, למצוא לה פיתרונות (כולל ריבוב, אע"פ שפה אין כאלו) <math>x_1,x_2</math>.
לאחר-מכן, לכתוב <math>f(n)=a x_1^n+b x_2^n</math> ואחרי שמציבים את שני ערכי ההתחלה מקבלים את ערכי <math>a</math> ו<math>b</math> ובא לציון גואל. [[משתמש:Adam Chapman begin_of_the_skype_highlighting end_of_the_skype_highlighting|Adam Chapman]] 18:22, 2 בספטמבר 2010 (IDT)
:מה? לא, לא הבנת אותי נכון. אני לא צריך לפתור את נוסחת הנסיגה. אני צריך למצוא נוסחת נסיגה חדשה, נוסחת נסיגה למספר תת הקבוצות ש-כן- מכילות שני מספרים עוקבים. אז אני שואל אם אפשר להשתמש בנוסחה לתת הקבוצות ש-לא- מכילות שני מספרים עוקבים, שאותה אני יודע, ע"י <math>f(n)=f(n)-[the-solution-to-the-other-question]</math> כלומר <math>f(n)=f(n)-f(n-1)-f(n-2)</math>. האם אפשר לעשות את זה? אם לא, יש דרך אחרת לפתור את השאלה בעזרת הפתרון לשאלה הקודמת בלי לפתור את השאלה הזאת מחדש אם נוסחת נסיגה בהתעלמות מהפתרון הקודם? תודה!

==מועד א' 2009, שאלה 3.ב.==
התשובה הסופית המוצגת בפתרון השאלה היא סיגמא כלשהיא. האם ככה מותר לסיים את התרגיל או שתמיד צריך לכתוב את המספר לאחר חישוב הסיגמא?
'''בנוסף''', יש מצב שתעלו פתרונות (או לפחות תשובות סופיות) לשאלות לדוגמא בנוסחאות נסיגה?
:אם המרצה רוצה שתגיאו לביטוי נכון (בעזרת סכום פורמלי) שאם מחשבים אותו אז מגיעים לתשובה, אך הוא איננו במיוחד מעוניין ביכולת השימוש שלכם במחשבון, אז הוא יציין זאת במבחן, או בטופס המבחן או בעל-פה כשהוא יתייצב לענות על שאלות.

==אלגוריתם נוסחאות נסיגה==
למה בסוף עמוד 2 אומרים ש-<math>n \not= 0</math>?

תודה מראש.

===תשובה===
אין חשיבות מיוחדת לזה. אתה יכול למחוק את זה בטיפקס. מה שחשוב זה שהביוטי <math>n a+b=0</math> נכון לכל <math>n \in \mathbb{N}</math>. אם תיקח כל שני מספרים שונים ותציב אז תקבל שתי משוואות שמהן תוכל להסיק בקלות ש<math>a=0</math> וגם ש<math>b=0</math>. זה העיקר.
:אז בעצם זהו סתם קיצור דרך. תודה! והכוונה היא ש-<math>n \in \mathbb{N}</math> כולל 0?
::זה תלוי בתנאי הרקורסיה. אם הוא מנוסח כ<math>f(n)=a_1 f(n-1)+\dots</math> אז מניחים ש<math>n>k</math> כש<math>k</math> זה מספר הערכים הראשונים הנתונים. אם תנאי הרקורסיה מנוסח <math>f(n+k)=\dots</math> אז מניחים פשוט ש<math>n</math> שלם אי-שלילי. העניין הוא פשוט שבנקודה הספציפית ששאלת עליה אין חשיבות לעניין האי-שוויון של <math>n</math> לאפס.

==ציוני התרגילים==
שלום,אפשר לדעת מתי יועלו הציונים של התרגילים?

===תשובה===
אין לי מושג מתי יועלו הציונים, אך התרגילים שלכם נמצאים בדוקים בחדר הצילום של המחלקה בתיקייה של בדידה.

==מבחן==
האם אתם יכולים לכוון על נושא מרכזי שיהיה במבחן, כמו שבאלגברה לינארית אמרו שתהיינה הרבה שאלות על העתקות לינאריות וכל הכלול בזה?

וכמה זמן המבחן?

תודה.

===תשובה===
בשונה מליניארית, אין בבדידה תחום מרכזי שסביבו ינועו השאלות. בבדידה למדנו קבוצות, יחסים, פונקציות, עוצמות, קומבינטוריקה ונוסחאות נסיגה ועל הכל תישאלו בבחינה.

==הלמה של צורן==
את המשפט עצמו אני מבין פחות או יותר. אבל קשה לי להבין איך משתמשים בלמה של צורן ומתי יודעים שצריך להשתמש בה (ואני חושב שעוד הרבה תלמידים יסכימו איתי).

אפשר להעלות דף הסבר או דוגמאות לשימושים שלה?

תודה מראש.

===תשובה===
בלמה של צורן משתמשים כשרוצים להוכיח כי קיים בקבוצה מסויימת איבר מקסמילי לפי יחס חלקי מסויים. ישנן דוגמאות לשאלות שעל מנת לפתור אותן יש להיעזר בלמה של צורן, בכל אחד מהמבחנים לדוגמא (בקטגוריית רלוונטיים) שמופיעים באתר. לחלקן יש אף פיתרון באתר. כעיקרון האלגוריתם הוא די פשוט וחוזר על עצמו משאלה לשאלה. אני ממליץ שתעברו על אחד מהפיתרונות של המבחנים לדוגמא בשאלה על למה של צורן ותראו איך האלגוריתם נראה.

==[[מדיה:10BdidaTargil5Sol.pdf|פתרון תרגיל 5]]==
בפתרון תרגיל 5 לא מופיע פתרון שאלה 7, ובמקומו יש פתרון לשאלות 7,8,9 אחרות (שלא מופיעות בתרגיל עצמו).

===תשובה===
צודק. פאדיחות...
בכל-אופן הפיתרון של שאלה 7 הוא כדלקמן (לפחות אלגוריתמית):

1) יש להגדיר קבוצה <math>T=\{A \subseteq E : \forall_{a,b \in A} a \cap b=\emptyset\}</math>.

2) להוכיח בעזרת הלמה של צורן שיש ב<math>T</math> איבר מקסימלי.

3) להראות כי האיבר המקסימלי מקיים את התנאי השני בשאלה (לדעתי זה נוח להשתמש בהנחה בשלילה)

==עזרה במבחן השני (2009 מועד ב') תרגיל 3 (אין לו פתרון)==
התחלתי לפתור בדרך הבאה: מספר הדרכים לשים 20 כדורים ב5 תאים הוא כמו מספר הפתרונות האי שליליים לx1+x2+x3+x4+x5=20 ולכן מספר האפשרויות הכולל הוא 5-1 מתוך 20+5-1 כלומר 4 מתוך 24 (אני לא יודע איך לעשות את הסימן של ה4 מתחת ל24). כעת Ai= התא הi הוא עם 3 כדורים. מספר האפשרויות בשביל Ai הוא 3 מתוך 20 (נכון?). חיתוך של 2 Aים הוא (נראה לי), 6 מתוך 20 כפול 3 מתוך 6 (כי בוחרים 6 כדורים מתוך ה20, בוחרים 3 מתוכם, שמים אותם באחד התאים ואת השאר בתא השני). וככה הלאה עד חיתוך של 5 Aים. הבעיה היא, שכבר בחיתוך של 2 Aים, מספר האפשרויות יוצא הרבה הרבה יותר ממספר האפשרויות הכולל! (700 אלף לעומת 10000 בערך), שזה לא הגיוני! אפשר עזרה? תודה!

===תשובה===
אתה מחשב לא נכון את החיתוך של Ai עם Aj. הגודל של החיתוך הוא 2 מתוך 16 (שמים 3 בi ו3 בj ואז מחלקים 14 ל3 תאים). חיתוך של כל שלוש קבוצות כנ"ל הוא מגודל 1 מתוך 12 וחיתוך של ארבע הוא מגודל 0 מתוך 8. אין חיתוך של חמש. בעזרת הכלה-הדחה מגיעים לפיתרון מדוייק. אני ממליץ שתנסה לפתור שוב את השאלה.
:ממש לא הבנתי למה חיתוך של 2 קבוצות הוא 2 מתוך 16, אפשר הסבר? תודה!

::מה המשמעות של חיתוך של <math>A_i</math> עם <math>A_j</math>? החיתוך הוא כל הפתרונות האי-שליליים של <math>x_1+\dots+x_5=20</math> כאשר <math>x_i=x_j=3</math>. לכל פיתרון כזה מתאים באופן חח"ע ועל פיתרון למערכת <math>y_1+y_2+y_3=14</math> (מפחיתים את <math>x_i+x_j=6</math> משני האגפים בהתאמה). לכן הגודל של <math>A_i \bigcap A_j</math> הוא 2 מתוך 16. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:33, 2 בספטמבר 2010 (IDT)
:::לא חשבתי על זה ככה, תודה!

==תרגולים 4-5==
מתי יעלו הציונים של תרגולים אלו? תודה מראש.

==מבחן מועד ב' 2009==
אפשר בבקשה את הפתרונות הסופיים של תרגילים 2 ו-3 כי הם לא נמצאים בדף הפתרונות... תודה ;)

==רקורסיה==
אתם יכולים להעלות את האלגוריתם? זה ממש יעזור, ואם אפשר תוסיפו קצת הסברים ודוגמאות, הנושא קצת לא מובן, תודה!
:מצטרף לבקשה!
::עכשיו יש[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:07, 1 בספטמבר 2010 (IDT)
:::תודה אדם

==מבחן 1 שאלה 4 ב'==
הסתכלתי בפתרון, מה זה לפי ק.ש.ב? תודה!
: משפט קנטור שרדר ברנשטיין

==נוסחאות נסיגה==
כשיש נוסחת נסיגה (למשל כמו בתרגילים לדוגמה של נוסחאות נסיגה, תרגיל I, שאלה 1 א', אז f(0) שווה 0 או 1? צריך בכלל לשים את f(0) או שמתחילים מf(1)? תודה!

===תשובה===
המילה הריקה מקיימת את התנאי באופן ריק, משום שאינה מכילה אפסים כלל, ולכן <math>f(0)=1</math>. בקשר לאיזה אינדקס פותח את הסידרה, זה תלוי באסכולה. אצלנו הגדרנו לכם שזה מתחיל מ0 ולא מ1. (זה מתקשר בעקיפין לדיון האם 0 הוא טבעי). [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:09, 1 בספטמבר 2010 (IDT)
:תודה!

==שיעור חזרה==
מתי ואיפה יהיה שיעור החזרה מחרתיים? תודה רבה.
:הפרטים כעת מופיעים. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:10, 1 בספטמבר 2010 (IDT)

אני לא מוצא איפה כתוב מתי ואיפה השיעור חזרה, אתם יכולים לפרט איפה ומתי הוא יתקיים?

:פרטים מופיעים בעמוד הראשי.

==פתרונות==
תעלו בבקשה את הפתרונות של תרגילים 4 ו5.

==n קטן מדי==
חלק מהשאלות דורשות שמספר הטלות הקוביה/העוצמה של קבוצה/... יהיה גדול ממספר כלשהו כדי שמספר האפשרויות המבוקש יהיה גדול מ-0. למשל, ב-3ב' n צריך להיות לפחות 3.

אם התשובה הסופית מתאפסת במקרה ש-n קטן מדי, צריך לציין בסיפור של ההוכחה (אם השתמשנו בכזה) שאנחנו מניחים ש-n גדול מספיק, ולהסביר למה התשובה נכונה גם אם לא?

'''תשובה'''

במקרה של 3ב' זה מספיק טריוויאלי ואין צורך להסביר. אפשר לציין שהתשובה נכונה עבור n גדול או שווה ל- 3.

במקרים שהמגבלות על n לא נובעים ישירות מניסוח השאלה, צריך להסביר.

==שאלה בנוגע להגשת התרגיל==
האם כמו בלינארית גם כאן הציון של התרגילים יקבע לפי ה4 הכי טובים ?
בדף הקורס של לינארית כתוב שבכלל לא חייבים להגיש את תרגיל 5.
האם זה נכון גם לגבי בדידה?
:אני לא מתרגלת, אבל רק שתדע שבלינארית לא חייבים להגיש את תרגיל 5 בדיוק כמו שלא חייבים להגיש את 4, 3, 2, או 1. פשוט סופרים רק את ארבעת הציונים הגבוהים מבין החמישה.

'''תשובה'''

יש חובת הגשה של ארבעה תרגילים מתוך חמישה.
אם הוגשו 5 תרגילים, ניקח את ארבעת הציונים הטובים.
(גרישה אושרוביץ')

==שאלה 7==
האם e היא קבוצה סדורה חלקית?

'''תשובה'''

רק אם תגדיר עליה את יחס סדר חלקי.

==תרגיל נוסף מהתירגול==
בתירגול פתרנו תרגיל כזה: בקורס יש 2n סטודנטים. רוצים לחלק אותם לזוגות. כמה זוגות יתכנו?

פתרון: נסדר אותם בשורה - סה"כ <math>(2n)!</math> תמורות. צריך לבטל שני מקרים:

# אין סדר בין הזוגות - <math>n!</math> אפשרויות.
# אין סדר בתוך הזוגות - <math>(2!)^n</math> אפשרויות. '''למה??'''

תשובה סופית: <math>(2n)!\over n!(2!)^n</math>

'''ואני לא הבנתי למה צריך לחלק באפשרויות שצריך לבטל, ולא פשוט להפחית אותן? כלומר שהתשובה תהיה זו: <math>(2n)!-n!-(2!)^n</math>. הרי אם יש מספר אפשרויות, וצריך לבטל חלק, אז אינטואיטיבית אמורים להפחית!'''

תודה מראש, ואשמח להסבר כללי לגבי עניין החילוק באפשרויות שרוצים לבטל, לא רק לגבי התרגיל הזה.

=============================================================================
'''תשובה'''

מפחיתים מ'''מספר האפשרויות''' את '''מספר האפשרויות'''. במקרה הזה, <math>(2!)^n</math> וגם <math>n!</math> הם לא מספר האפשרויות אלה מספר הפעמים שספרנו אותן אפשרויות. כלומר, ב- <math>(2n)!</math> הסידורים ספרנו <math>n!</math> פעמים את אותן זוגות בדיוק. לדוגמא: נניח כי יש 4 אנשים {a,b,c,d}, אזי הסידורים abcd ו- cdab זהים, כי בחרנו אותן זוגות. יתרה מכך, גם הסידורים bacd, badc, cdba, dcab זהים. זה אומר שצריך לבטל את הסדר של אנשים בתוך הזוגות שנבחרו. מקווה שעזרתי. באופן כללי, אני מציע להשתמש יותר בשעות הקבלה של המתרגלים.

:אם כך, '''מחלקים''' מספר אפשרויות במספר הפעמים שספרנו אותן. '''מפחיתים''' מספר אפשרויות ממספר אפשרויות אחר. תודה רבה, הבנתי!
:מה עם השאלה הראשונה? (לגבי ביטול מספר 2, כשאין סדר בתוך הזוגות)

:... גם הסידורים bacd, badc, cdba, dcab זהים. זה אומר שצריך לבטל את הסדר של אנשים בתוך הזוגות שנבחרו...
לא חשוב איך מסודרים האנשים בתוך הזוג שנבחר. לא חשוב אם לסדר אותם ab או ba - זה יישאר אותו זוג, אך ב- <math>(2n)!</math> ספרנו את כל האפשרויות.

==============================================================================

:הייתה פה תשובה לשאלה שלי ומשום מה היא נמחקה! אז לגביה, לא הבנתי למה בכלל משתמשים בנוסחה של <math>n \choose k</math>.
::כי את בוחרת אנשים זוגות מתוך 2 אנשים, (יש רק אפשרות אחת כזו). בפעם הראשונה התבלבלתי בסימון, זה היה צריך להיות <math>P(n,k)</math> ולא <math>C(n,k)</math>. מחקתי כי הניסוח לא היה מפורט ומדויק.

:::תודה על התשובה המהירה. לא הבנתי מה זה "בוחרת אנשים זוגות", למה מתוך 2 אנשים, ומה ההבדל בין <math>P(n,k)</math> ל- <math>C(n,k)</math>.
::::התכוונתי "זוגות אנשים" ולא "אנשים זוגות", מתוך 2 כי בכל זוג יש 2 אנשים, וההבדל בין <math>P(n,k)</math> ל- <math>C(n,k)</math> הוא ש-<math>P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!},\ C(n,k)={n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math>.
:::::הבנתי את ההבדל בין C ל-P. אבל מהן התשובות לשאלות שלי? (כמו שאמרת, הניסוח קודם לא היה ממש מובן..). ושוב תודה רבה!

==צריך לפרט?==
צריך לפרט למה:
# <math>\forall k,n\in\mathbb N\cup\{0\}\ \and\ 0\le k\le n:\ {n\choose k}\in\mathbb N\setminus\{0\}</math>?
# מספר המספרים מ-1 עד n שמחלקים את <math>2^k</math> ללא שארית אבל לא את <math>2^{k+1}</math> הוא <math>\left\lfloor\frac n{2^k}\right\rfloor-\left\lfloor\frac n{2^{k+1}}\right\rfloor</math>?
# מספר המספרים מ-r עד n שמחלקים את <math>2^k</math> ללא שארית הוא <math>\left\lfloor\frac n{2^k}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{r-1}{2^k}\right\rfloor</math>?
# החזקה השלמה הגדולה ביותר של 2 שנמצאת בין 1 ל-n (למשל, עבור n=10 חזקה זו היא <math>2^3=8</math>, עבור n=16 - <math>2^4=16</math> וכו') היא <math>2^{\lfloor\log_2(n)\rfloor}</math>?

או שזה מספיק טריוויאלי? תודה

'''תשובה'''

1, 4 - לא.
2, 3 - כן, בקצרה.

==תרגיל מהתירגול==
בתירגול פתרנו תרגיל כזה: מהו מספר האפשרויות לסידור 11 אנשים במעגל? תשובה: n!/n (כלומר !(n-1)). לא הבנתי למה, ובכיתה לא כתבנו הסבר, רק ציור שמראה את ההבדל בין סידורם בקו לסידורם במעגל (את ההבדל הזה הבנתי).

אפשר הסבר איך פותרים את התרגיל? תודה מראש!

:מספר הדרכים לסדר n אנשים אחד אחרי השני (בקו) הוא n! - כי יש n אפשרויות לבחירת האדם הראשון, n-1 לשני וכן הלאה. כעת, במעגל אין משמעות לראשון ולאחרון, אלא רק מי נמצא אחרי מי. לכן, בהנתן סידור מסוים של האנשים במעגל, יש n אפשרויות לבחור מי יהיה הראשון. כלומר כל אפשרות למעגל מופיעה n פעמים בסידור קו ישר (כל פעם בוחרים מישהו אחר להיות הראשון).

:לכן סה"כ מספר המעגלים הוא מספר הקוים חלקי n שווה ל n!/n

::תודה רבה!

==שאלה כללית==
אם אני מטיל קוביה n פעמים. האם נכון לומר שמס' האפשרויות להופעת 2 מס' שונים לפחות פעם אחת הוא 6 בחזקת n פחות 4 בחזקת n?

==שאלה 6==
אם אני בונה כלל נסיגה אז מה צריך להיות המשתנה? K או N?

==מהי הנוסחא למספר פתרונות המשוואה==
אשמח אם מישהו יוכל לתת את הנוסחא למציאת מספר פתרוות של משוואה- כמו שלמדנו בכיתה ודוגמא קצרה שתסביר כי לא הבנתי איך הנוסחא
עובדת. תודה :)

===תשובה===
הנוסחה היא:<math>{n+k-1 \choose n}</math> כאשר n הוא המס' הקבוע(בצד ימין בד"כ) ו-k הוא מס' המשתנים. למשל: מצא את מס' הפתרונות האי שליליים של המשוואה a+b+c=10 כלומר n=10,k=3 אז מספר הפתרונות יהיה <math>{12 \choose 10}</math>. כאשר מבקשים רק חיוביים(בלי ה-0) אז הנוסחה היא: <math>{n-1\choose k-1}</math>

==שאלה 4.ב.==
אפשר רמז בנוגע למתחלק ב7?

==שאלה 3.ב.==
הטלנו n פעמים אז איך יצאו 3 ערכים?

'''תשובה'''

דוגמא:ניקח n=10. הסדרות להלן מכילות בדיוק3 איברים שונים (כל אחד מהן)
{1,2,2,6,1,2,6,6,2,1} או {3,4,3,3,5,5,5,5,3,4}
:רגע... זה סדרות או קבוצות? (לפי השאלה זה אמור להיות סדרות, לא? ופה כתבת קבוצות..)

:: סדרות. גם את סדרות אפשר לכתוב בסוגריים מסולסלות.

==שאלה 2==
זה בסדר להוכיח באינדוקציה?

'''תשובה'''

מותר. אבל עדיף אם תתנסה בדרך אלגוברית ו/או קומבינאטורית.

==שאלה כללית==
אם שואלים אותי מה מספר האפשרויות למשהו ואני מחלק למקרים. בסוף אני צריך לכפול את כל האפשרויות מכל המקרים כדי לקבל את מס' האפשרויות למשה (הכללי)?

'''תשובה'''

רק אם המקרים הללו זרים בזוגית. אחרת משפט הסכום לא תקף וצריך להשתמש בעקרון הכלה והדחה.

==שאלה 4ד'==
אפשר עזרה לגבי התשובה? האם התשובה צריכה להיות A איחוד B איחוד C (כאשר כל אחת מהקבוצות הן מספר שמתחלק ב3 4 ו5 בהתאמה בין 1 ל1000) או A איחוד B איחוד C פחות (A חיתוך B) פחות (A חיתוך C) פחות (A חיתוך B חיתוך C) פחות (A חיתוך B חיתוך C)?
במילים אחרות, האם יכול לצאת מצב שיוצא 2 קבוצות מתוך האיחוד ביחד ואז זה לא טוב ואני צריך להוריד את האפשרויות האלה, או שבאיחוד כבר הורדנו אותן? תודה

==מס' שאלות==
2.) איך יתכן שזה ייתקיים עבור n=0?
3.)מה הכוונה ב"מהן מספר האפשרויות"? אפשרויות למה?
4.) מה זה ריבועים שלמים?
:: 2- כי 0 עצרת זה 1, תחשב וזה יוצא נכון. 3- כמה אפשרויות לתוצאות יכולות לצאת. כמה תוצאות שונות יכולות לקרות. 4- ריבוע של מספר שלם, כלומר 1,4,9 וכו'

==שאלה 3==
לא כתבתם למה התכוונתם, האם הסדר משנה או לא? כלומר, האם כשמטילים את הקובייה פעמיים למשל, כשיוצא 5 ראשון ואחר כך 6, וכשיוצא 6 ראשון ואחר כך 5, האם התוצאות האלה שונות או לא? תודה.

'''תשובה'''

ראה למטה.

==שאלה 3, למה אתם מתכוונים?==
מה זה אומר ב-ב', "שהתקבלו עבור בדיוק 3 ערכים שונים"? אני לא מבין את המשפט (מבחינה תחבירית) למה התכוונתם? וחוץ מזה, אפשר רמז לגבי הפתרון? תודה רבה.

'''תשובה'''

מהו מספר אפשרויות לקבל ב-n הטלות בדיוק 3 ערכים שונים. למשל, רק מספרים {1,2,3} או {2,4,6}.

'''המשך שאלה'''
האם יש חשיבות לסדר? למשל עבור 4 הטלות והמספרים {1,2,3}, האם יש הבדל בין (1,2,3,1) ל- (1,1,2,3)? הניסוח של השאלה באמת ממש לא מובן...

'''תשובה'''

מטילים אותה קוביה פעם אחר פעם. הגדרת השאלה מניחה את הסדר. אפשר לנסח את השאלה כך: מטילים n קוביות '''שונות'''...



== כותרת ==

בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-09-03T09:17:22Z

חופית: /* שאלות */

<math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - תרגיל 3

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 4| ארכיון 4]]''' - תרגיל 4

=שאלות=

==פתרונות למבחנים==
האם אפשר להעלות פתרונות לשאלות 2 ו3 במבחן של 2009 מועד ב'?
ואולי גם את הפתרונות של שאר המבחנים שמצויים באתר?
תודה מראש

==שאלה 4 במבחן תשס"ח מועד ב==
אפשר אולי רמז לשאלה?
<br> תודה

==עזרה/האם הפתרון שלי נכון במבחן 2009 ב' שאלה 6==
אני יכול להגיד ככה? יהי a,b שייך לA, יש 2 אפשרויות, aRb או aR'b, יהי c שייך לA, אם bRc אז aRc, אם bR'c אז aR'c וכך הלאה, ולכן אם x "נמצא ביחס" R כלומר קיים y כך של yRc אזי aRc ולכן c שייך ל [a]R ולכן <math>A/R = {[a]_R}</math>? תודה!

==פרטים לגבי המבחן שנשלחו במייל==

הבחינה בקורס "מתמטיקה בדידה" תתקיים ביום ראשון 5/9/2010, לכל הקבוצות.

חדרי הבחינה:

8819508 של ד"ר אפי כהן ב- 605/101, 605/102

8819511 של ד"ר שי סרוסי ב- 605/103, 605/104

בהצלחה.
:אם אני בקבוצה של אפי, איך אני יודע אם אני ב101 או 102? או שזה לא משנה?

'''באיזו שעה המבחן?'''
: 16:00

==קצת סדר במושגים (חלוקה מחלקת שקילות וכו')==
אז ככה: נניח ש <math>A={1,2,3,4,5,6}</math>. חלוקה של A זה נגיד A1=1,2, A2=3,4,5, A3=6. קוראים לזה חלוקה, נכון?
ואז מחלקת שקילות זה אחד מהקבוצות Ai, נכון? כלומר A1, A2, A3 הן כולן מחלקות שקילות?
ואז איך קוראים לקבוצה <math>[a]R</math>? ואיך קוראים לקבוצה <math>A/R</math>? וגם מה הקבוצה האחרונה אומרת? תודה!

==שאלה שאני לא בטוח שאתם יכולים לענות עליה, אבל שווה את הנסיון...==
קודם כל, ידוע כבר מתי ואיפה יתקיים המבחן?
ודבר נוסף, מכיוון שיש ביום ראשון לימודים ולא הצלחתי לתפוס את (מלי?) המזכירה של הקורס, ידוע לכם על דרך שבה אני אוכל לקבל אישור יציאה מבית הספר ביום ראשון ובכלל? תודה רבה!
:המבחן בשעה 16:00. אם אתה רוצה תוכל להוציא אישור על שעת המבחן דרך האתר למידע האישי של האוניברסיטה או להביא את הדף מהחוברת שקיבלנו בכנס ביוני אשר מתייחס לתאריכי המבחנים. (אינני מתרגל)
::תודה רבה, אתה יכול להביא קישור או להסביר איך להגיע לאתר?
:::תכתוב בגוגל "מערכת מידע אישי בר אילן", תמצא את האתר המתאים, תלחץ על מידע לסטודנט, מידע כללי, מועד בחינה ומיקומה, קורס 88-195 כאשר שתי הספרות האחרונות הן 08 עבור אפי, 11 עבור שי.
::באתר כתוב שהבחינה בשלוש וחצי, זה השתנה ל4? תודה!

==שאלה לגבי המבחן ביום ראשון==
מישהו יכול לרשום את המבנה של המבחן , שאלות פתוחות, או אמריקאיות וכו"...

==שאלה==
צריך לעשות נוסחת נסיגה למספר תת הקבוצות של 1 עד N שמכילות 2 מספרים עוקבים. האם זה נכון להגיד שבגלל שמספר תת הקבוצות שלא מכילות שני מספרים עוקבים (כמו בשאלה שבאלגוריתם שפירסמתם) היא <math>f(n)=f(n-1)+f(n-2)</math> אז מספר תת הקבוצות שכן מכילות היא
<math>f(n)=f(n)-(f(n-1)+f(n-2))</math>? זה נראה נכון, כי f(n) הוא המספר הכולל, פחות התת קבוצות שלא מכילות, אך גם משהו בזה נראה לא נכון, כי עם מצמצמים את הFN זה יוצא ש <math>f(n-1) = -f(n-2)</math>. יש פה טעות? תודה!

===תשובה===
אני לא כל כך מבין מה אתה מנסה לעשות. אם הגעת למסקנה שמשוואת ההפרשים היא <math>f(n)=f(n-1)+f(n-2)</math> אז מכיוון שהיא הומוגנית אתה צריך לעבור ישר למשוואה האופיינית <math>p(x)=x^2-x-1=0</math>, למצוא לה פיתרונות (כולל ריבוב, אע"פ שפה אין כאלו) <math>x_1,x_2</math>.
לאחר-מכן, לכתוב <math>f(n)=a x_1^n+b x_2^n</math> ואחרי שמציבים את שני ערכי ההתחלה מקבלים את ערכי <math>a</math> ו<math>b</math> ובא לציון גואל. [[משתמש:Adam Chapman begin_of_the_skype_highlighting end_of_the_skype_highlighting|Adam Chapman]] 18:22, 2 בספטמבר 2010 (IDT)
:מה? לא, לא הבנת אותי נכון. אני לא צריך לפתור את נוסחת הנסיגה. אני צריך למצוא נוסחת נסיגה חדשה, נוסחת נסיגה למספר תת הקבוצות ש-כן- מכילות שני מספרים עוקבים. אז אני שואל אם אפשר להשתמש בנוסחה לתת הקבוצות ש-לא- מכילות שני מספרים עוקבים, שאותה אני יודע, ע"י <math>f(n)=f(n)-[the-solution-to-the-other-question]</math> כלומר <math>f(n)=f(n)-f(n-1)-f(n-2)</math>. האם אפשר לעשות את זה? אם לא, יש דרך אחרת לפתור את השאלה בעזרת הפתרון לשאלה הקודמת בלי לפתור את השאלה הזאת מחדש אם נוסחת נסיגה בהתעלמות מהפתרון הקודם? תודה!

==מועד א' 2009, שאלה 3.ב.==
התשובה הסופית המוצגת בפתרון השאלה היא סיגמא כלשהיא. האם ככה מותר לסיים את התרגיל או שתמיד צריך לכתוב את המספר לאחר חישוב הסיגמא?
'''בנוסף''', יש מצב שתעלו פתרונות (או לפחות תשובות סופיות) לשאלות לדוגמא בנוסחאות נסיגה?
:אם המרצה רוצה שתגיאו לביטוי נכון (בעזרת סכום פורמלי) שאם מחשבים אותו אז מגיעים לתשובה, אך הוא איננו במיוחד מעוניין ביכולת השימוש שלכם במחשבון, אז הוא יציין זאת במבחן, או בטופס המבחן או בעל-פה כשהוא יתייצב לענות על שאלות.

==אלגוריתם נוסחאות נסיגה==
למה בסוף עמוד 2 אומרים ש-<math>n \not= 0</math>?

תודה מראש.

===תשובה===
אין חשיבות מיוחדת לזה. אתה יכול למחוק את זה בטיפקס. מה שחשוב זה שהביוטי <math>n a+b=0</math> נכון לכל <math>n \in \mathbb{N}</math>. אם תיקח כל שני מספרים שונים ותציב אז תקבל שתי משוואות שמהן תוכל להסיק בקלות ש<math>a=0</math> וגם ש<math>b=0</math>. זה העיקר.
:אז בעצם זהו סתם קיצור דרך. תודה! והכוונה היא ש-<math>n \in \mathbb{N}</math> כולל 0?
::זה תלוי בתנאי הרקורסיה. אם הוא מנוסח כ<math>f(n)=a_1 f(n-1)+\dots</math> אז מניחים ש<math>n>k</math> כש<math>k</math> זה מספר הערכים הראשונים הנתונים. אם תנאי הרקורסיה מנוסח <math>f(n+k)=\dots</math> אז מניחים פשוט ש<math>n</math> שלם אי-שלילי. העניין הוא פשוט שבנקודה הספציפית ששאלת עליה אין חשיבות לעניין האי-שוויון של <math>n</math> לאפס.

==ציוני התרגילים==
שלום,אפשר לדעת מתי יועלו הציונים של התרגילים?

===תשובה===
אין לי מושג מתי יועלו הציונים, אך התרגילים שלכם נמצאים בדוקים בחדר הצילום של המחלקה בתיקייה של בדידה.

==מבחן==
האם אתם יכולים לכוון על נושא מרכזי שיהיה במבחן, כמו שבאלגברה לינארית אמרו שתהיינה הרבה שאלות על העתקות לינאריות וכל הכלול בזה?

וכמה זמן המבחן?

תודה.

===תשובה===
בשונה מליניארית, אין בבדידה תחום מרכזי שסביבו ינועו השאלות. בבדידה למדנו קבוצות, יחסים, פונקציות, עוצמות, קומבינטוריקה ונוסחאות נסיגה ועל הכל תישאלו בבחינה.

==הלמה של צורן==
את המשפט עצמו אני מבין פחות או יותר. אבל קשה לי להבין איך משתמשים בלמה של צורן ומתי יודעים שצריך להשתמש בה (ואני חושב שעוד הרבה תלמידים יסכימו איתי).

אפשר להעלות דף הסבר או דוגמאות לשימושים שלה?

תודה מראש.

===תשובה===
בלמה של צורן משתמשים כשרוצים להוכיח כי קיים בקבוצה מסויימת איבר מקסמילי לפי יחס חלקי מסויים. ישנן דוגמאות לשאלות שעל מנת לפתור אותן יש להיעזר בלמה של צורן, בכל אחד מהמבחנים לדוגמא (בקטגוריית רלוונטיים) שמופיעים באתר. לחלקן יש אף פיתרון באתר. כעיקרון האלגוריתם הוא די פשוט וחוזר על עצמו משאלה לשאלה. אני ממליץ שתעברו על אחד מהפיתרונות של המבחנים לדוגמא בשאלה על למה של צורן ותראו איך האלגוריתם נראה.

==[[מדיה:10BdidaTargil5Sol.pdf|פתרון תרגיל 5]]==
בפתרון תרגיל 5 לא מופיע פתרון שאלה 7, ובמקומו יש פתרון לשאלות 7,8,9 אחרות (שלא מופיעות בתרגיל עצמו).

===תשובה===
צודק. פאדיחות...
בכל-אופן הפיתרון של שאלה 7 הוא כדלקמן (לפחות אלגוריתמית):

1) יש להגדיר קבוצה <math>T=\{A \subseteq E : \forall_{a,b \in A} a \cap b=\emptyset\}</math>.

2) להוכיח בעזרת הלמה של צורן שיש ב<math>T</math> איבר מקסימלי.

3) להראות כי האיבר המקסימלי מקיים את התנאי השני בשאלה (לדעתי זה נוח להשתמש בהנחה בשלילה)

==עזרה במבחן השני (2009 מועד ב') תרגיל 3 (אין לו פתרון)==
התחלתי לפתור בדרך הבאה: מספר הדרכים לשים 20 כדורים ב5 תאים הוא כמו מספר הפתרונות האי שליליים לx1+x2+x3+x4+x5=20 ולכן מספר האפשרויות הכולל הוא 5-1 מתוך 20+5-1 כלומר 4 מתוך 24 (אני לא יודע איך לעשות את הסימן של ה4 מתחת ל24). כעת Ai= התא הi הוא עם 3 כדורים. מספר האפשרויות בשביל Ai הוא 3 מתוך 20 (נכון?). חיתוך של 2 Aים הוא (נראה לי), 6 מתוך 20 כפול 3 מתוך 6 (כי בוחרים 6 כדורים מתוך ה20, בוחרים 3 מתוכם, שמים אותם באחד התאים ואת השאר בתא השני). וככה הלאה עד חיתוך של 5 Aים. הבעיה היא, שכבר בחיתוך של 2 Aים, מספר האפשרויות יוצא הרבה הרבה יותר ממספר האפשרויות הכולל! (700 אלף לעומת 10000 בערך), שזה לא הגיוני! אפשר עזרה? תודה!

===תשובה===
אתה מחשב לא נכון את החיתוך של Ai עם Aj. הגודל של החיתוך הוא 2 מתוך 16 (שמים 3 בi ו3 בj ואז מחלקים 14 ל3 תאים). חיתוך של כל שלוש קבוצות כנ"ל הוא מגודל 1 מתוך 12 וחיתוך של ארבע הוא מגודל 0 מתוך 8. אין חיתוך של חמש. בעזרת הכלה-הדחה מגיעים לפיתרון מדוייק. אני ממליץ שתנסה לפתור שוב את השאלה.
:ממש לא הבנתי למה חיתוך של 2 קבוצות הוא 2 מתוך 16, אפשר הסבר? תודה!

::מה המשמעות של חיתוך של <math>A_i</math> עם <math>A_j</math>? החיתוך הוא כל הפתרונות האי-שליליים של <math>x_1+\dots+x_5=20</math> כאשר <math>x_i=x_j=3</math>. לכל פיתרון כזה מתאים באופן חח"ע ועל פיתרון למערכת <math>y_1+y_2+y_3=14</math> (מפחיתים את <math>x_i+x_j=6</math> משני האגפים בהתאמה). לכן הגודל של <math>A_i \bigcap A_j</math> הוא 2 מתוך 16. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:33, 2 בספטמבר 2010 (IDT)
:::לא חשבתי על זה ככה, תודה!

==תרגולים 4-5==
מתי יעלו הציונים של תרגולים אלו? תודה מראש.

==מבחן מועד ב' 2009==
אפשר בבקשה את הפתרונות הסופיים של תרגילים 2 ו-3 כי הם לא נמצאים בדף הפתרונות... תודה ;)

==רקורסיה==
אתם יכולים להעלות את האלגוריתם? זה ממש יעזור, ואם אפשר תוסיפו קצת הסברים ודוגמאות, הנושא קצת לא מובן, תודה!
:מצטרף לבקשה!
::עכשיו יש[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:07, 1 בספטמבר 2010 (IDT)
:::תודה אדם

==מבחן 1 שאלה 4 ב'==
הסתכלתי בפתרון, מה זה לפי ק.ש.ב? תודה!
: משפט קנטור שרדר ברנשטיין

==נוסחאות נסיגה==
כשיש נוסחת נסיגה (למשל כמו בתרגילים לדוגמה של נוסחאות נסיגה, תרגיל I, שאלה 1 א', אז f(0) שווה 0 או 1? צריך בכלל לשים את f(0) או שמתחילים מf(1)? תודה!

===תשובה===
המילה הריקה מקיימת את התנאי באופן ריק, משום שאינה מכילה אפסים כלל, ולכן <math>f(0)=1</math>. בקשר לאיזה אינדקס פותח את הסידרה, זה תלוי באסכולה. אצלנו הגדרנו לכם שזה מתחיל מ0 ולא מ1. (זה מתקשר בעקיפין לדיון האם 0 הוא טבעי). [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:09, 1 בספטמבר 2010 (IDT)
:תודה!

==שיעור חזרה==
מתי ואיפה יהיה שיעור החזרה מחרתיים? תודה רבה.
:הפרטים כעת מופיעים. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:10, 1 בספטמבר 2010 (IDT)

אני לא מוצא איפה כתוב מתי ואיפה השיעור חזרה, אתם יכולים לפרט איפה ומתי הוא יתקיים?

:פרטים מופיעים בעמוד הראשי.

==פתרונות==
תעלו בבקשה את הפתרונות של תרגילים 4 ו5.

==n קטן מדי==
חלק מהשאלות דורשות שמספר הטלות הקוביה/העוצמה של קבוצה/... יהיה גדול ממספר כלשהו כדי שמספר האפשרויות המבוקש יהיה גדול מ-0. למשל, ב-3ב' n צריך להיות לפחות 3.

אם התשובה הסופית מתאפסת במקרה ש-n קטן מדי, צריך לציין בסיפור של ההוכחה (אם השתמשנו בכזה) שאנחנו מניחים ש-n גדול מספיק, ולהסביר למה התשובה נכונה גם אם לא?

'''תשובה'''

במקרה של 3ב' זה מספיק טריוויאלי ואין צורך להסביר. אפשר לציין שהתשובה נכונה עבור n גדול או שווה ל- 3.

במקרים שהמגבלות על n לא נובעים ישירות מניסוח השאלה, צריך להסביר.

==שאלה בנוגע להגשת התרגיל==
האם כמו בלינארית גם כאן הציון של התרגילים יקבע לפי ה4 הכי טובים ?
בדף הקורס של לינארית כתוב שבכלל לא חייבים להגיש את תרגיל 5.
האם זה נכון גם לגבי בדידה?
:אני לא מתרגלת, אבל רק שתדע שבלינארית לא חייבים להגיש את תרגיל 5 בדיוק כמו שלא חייבים להגיש את 4, 3, 2, או 1. פשוט סופרים רק את ארבעת הציונים הגבוהים מבין החמישה.

'''תשובה'''

יש חובת הגשה של ארבעה תרגילים מתוך חמישה.
אם הוגשו 5 תרגילים, ניקח את ארבעת הציונים הטובים.
(גרישה אושרוביץ')

==שאלה 7==
האם e היא קבוצה סדורה חלקית?

'''תשובה'''

רק אם תגדיר עליה את יחס סדר חלקי.

==תרגיל נוסף מהתירגול==
בתירגול פתרנו תרגיל כזה: בקורס יש 2n סטודנטים. רוצים לחלק אותם לזוגות. כמה זוגות יתכנו?

פתרון: נסדר אותם בשורה - סה"כ <math>(2n)!</math> תמורות. צריך לבטל שני מקרים:

# אין סדר בין הזוגות - <math>n!</math> אפשרויות.
# אין סדר בתוך הזוגות - <math>(2!)^n</math> אפשרויות. '''למה??'''

תשובה סופית: <math>(2n)!\over n!(2!)^n</math>

'''ואני לא הבנתי למה צריך לחלק באפשרויות שצריך לבטל, ולא פשוט להפחית אותן? כלומר שהתשובה תהיה זו: <math>(2n)!-n!-(2!)^n</math>. הרי אם יש מספר אפשרויות, וצריך לבטל חלק, אז אינטואיטיבית אמורים להפחית!'''

תודה מראש, ואשמח להסבר כללי לגבי עניין החילוק באפשרויות שרוצים לבטל, לא רק לגבי התרגיל הזה.

=============================================================================
'''תשובה'''

מפחיתים מ'''מספר האפשרויות''' את '''מספר האפשרויות'''. במקרה הזה, <math>(2!)^n</math> וגם <math>n!</math> הם לא מספר האפשרויות אלה מספר הפעמים שספרנו אותן אפשרויות. כלומר, ב- <math>(2n)!</math> הסידורים ספרנו <math>n!</math> פעמים את אותן זוגות בדיוק. לדוגמא: נניח כי יש 4 אנשים {a,b,c,d}, אזי הסידורים abcd ו- cdab זהים, כי בחרנו אותן זוגות. יתרה מכך, גם הסידורים bacd, badc, cdba, dcab זהים. זה אומר שצריך לבטל את הסדר של אנשים בתוך הזוגות שנבחרו. מקווה שעזרתי. באופן כללי, אני מציע להשתמש יותר בשעות הקבלה של המתרגלים.

:אם כך, '''מחלקים''' מספר אפשרויות במספר הפעמים שספרנו אותן. '''מפחיתים''' מספר אפשרויות ממספר אפשרויות אחר. תודה רבה, הבנתי!
:מה עם השאלה הראשונה? (לגבי ביטול מספר 2, כשאין סדר בתוך הזוגות)

:... גם הסידורים bacd, badc, cdba, dcab זהים. זה אומר שצריך לבטל את הסדר של אנשים בתוך הזוגות שנבחרו...
לא חשוב איך מסודרים האנשים בתוך הזוג שנבחר. לא חשוב אם לסדר אותם ab או ba - זה יישאר אותו זוג, אך ב- <math>(2n)!</math> ספרנו את כל האפשרויות.

==============================================================================

:הייתה פה תשובה לשאלה שלי ומשום מה היא נמחקה! אז לגביה, לא הבנתי למה בכלל משתמשים בנוסחה של <math>n \choose k</math>.
::כי את בוחרת אנשים זוגות מתוך 2 אנשים, (יש רק אפשרות אחת כזו). בפעם הראשונה התבלבלתי בסימון, זה היה צריך להיות <math>P(n,k)</math> ולא <math>C(n,k)</math>. מחקתי כי הניסוח לא היה מפורט ומדויק.

:::תודה על התשובה המהירה. לא הבנתי מה זה "בוחרת אנשים זוגות", למה מתוך 2 אנשים, ומה ההבדל בין <math>P(n,k)</math> ל- <math>C(n,k)</math>.
::::התכוונתי "זוגות אנשים" ולא "אנשים זוגות", מתוך 2 כי בכל זוג יש 2 אנשים, וההבדל בין <math>P(n,k)</math> ל- <math>C(n,k)</math> הוא ש-<math>P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!},\ C(n,k)={n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math>.
:::::הבנתי את ההבדל בין C ל-P. אבל מהן התשובות לשאלות שלי? (כמו שאמרת, הניסוח קודם לא היה ממש מובן..). ושוב תודה רבה!

==צריך לפרט?==
צריך לפרט למה:
# <math>\forall k,n\in\mathbb N\cup\{0\}\ \and\ 0\le k\le n:\ {n\choose k}\in\mathbb N\setminus\{0\}</math>?
# מספר המספרים מ-1 עד n שמחלקים את <math>2^k</math> ללא שארית אבל לא את <math>2^{k+1}</math> הוא <math>\left\lfloor\frac n{2^k}\right\rfloor-\left\lfloor\frac n{2^{k+1}}\right\rfloor</math>?
# מספר המספרים מ-r עד n שמחלקים את <math>2^k</math> ללא שארית הוא <math>\left\lfloor\frac n{2^k}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{r-1}{2^k}\right\rfloor</math>?
# החזקה השלמה הגדולה ביותר של 2 שנמצאת בין 1 ל-n (למשל, עבור n=10 חזקה זו היא <math>2^3=8</math>, עבור n=16 - <math>2^4=16</math> וכו') היא <math>2^{\lfloor\log_2(n)\rfloor}</math>?

או שזה מספיק טריוויאלי? תודה

'''תשובה'''

1, 4 - לא.
2, 3 - כן, בקצרה.

==תרגיל מהתירגול==
בתירגול פתרנו תרגיל כזה: מהו מספר האפשרויות לסידור 11 אנשים במעגל? תשובה: n!/n (כלומר !(n-1)). לא הבנתי למה, ובכיתה לא כתבנו הסבר, רק ציור שמראה את ההבדל בין סידורם בקו לסידורם במעגל (את ההבדל הזה הבנתי).

אפשר הסבר איך פותרים את התרגיל? תודה מראש!

:מספר הדרכים לסדר n אנשים אחד אחרי השני (בקו) הוא n! - כי יש n אפשרויות לבחירת האדם הראשון, n-1 לשני וכן הלאה. כעת, במעגל אין משמעות לראשון ולאחרון, אלא רק מי נמצא אחרי מי. לכן, בהנתן סידור מסוים של האנשים במעגל, יש n אפשרויות לבחור מי יהיה הראשון. כלומר כל אפשרות למעגל מופיעה n פעמים בסידור קו ישר (כל פעם בוחרים מישהו אחר להיות הראשון).

:לכן סה"כ מספר המעגלים הוא מספר הקוים חלקי n שווה ל n!/n

::תודה רבה!

==שאלה כללית==
אם אני מטיל קוביה n פעמים. האם נכון לומר שמס' האפשרויות להופעת 2 מס' שונים לפחות פעם אחת הוא 6 בחזקת n פחות 4 בחזקת n?

==שאלה 6==
אם אני בונה כלל נסיגה אז מה צריך להיות המשתנה? K או N?

==מהי הנוסחא למספר פתרונות המשוואה==
אשמח אם מישהו יוכל לתת את הנוסחא למציאת מספר פתרוות של משוואה- כמו שלמדנו בכיתה ודוגמא קצרה שתסביר כי לא הבנתי איך הנוסחא
עובדת. תודה :)

===תשובה===
הנוסחה היא:<math>{n+k-1 \choose n}</math> כאשר n הוא המס' הקבוע(בצד ימין בד"כ) ו-k הוא מס' המשתנים. למשל: מצא את מס' הפתרונות האי שליליים של המשוואה a+b+c=10 כלומר n=10,k=3 אז מספר הפתרונות יהיה <math>{12 \choose 10}</math>. כאשר מבקשים רק חיוביים(בלי ה-0) אז הנוסחה היא: <math>{n-1\choose k-1}</math>

==שאלה 4.ב.==
אפשר רמז בנוגע למתחלק ב7?

==שאלה 3.ב.==
הטלנו n פעמים אז איך יצאו 3 ערכים?

'''תשובה'''

דוגמא:ניקח n=10. הסדרות להלן מכילות בדיוק3 איברים שונים (כל אחד מהן)
{1,2,2,6,1,2,6,6,2,1} או {3,4,3,3,5,5,5,5,3,4}
:רגע... זה סדרות או קבוצות? (לפי השאלה זה אמור להיות סדרות, לא? ופה כתבת קבוצות..)

:: סדרות. גם את סדרות אפשר לכתוב בסוגריים מסולסלות.

==שאלה 2==
זה בסדר להוכיח באינדוקציה?

'''תשובה'''

מותר. אבל עדיף אם תתנסה בדרך אלגוברית ו/או קומבינאטורית.

==שאלה כללית==
אם שואלים אותי מה מספר האפשרויות למשהו ואני מחלק למקרים. בסוף אני צריך לכפול את כל האפשרויות מכל המקרים כדי לקבל את מס' האפשרויות למשה (הכללי)?

'''תשובה'''

רק אם המקרים הללו זרים בזוגית. אחרת משפט הסכום לא תקף וצריך להשתמש בעקרון הכלה והדחה.

==שאלה 4ד'==
אפשר עזרה לגבי התשובה? האם התשובה צריכה להיות A איחוד B איחוד C (כאשר כל אחת מהקבוצות הן מספר שמתחלק ב3 4 ו5 בהתאמה בין 1 ל1000) או A איחוד B איחוד C פחות (A חיתוך B) פחות (A חיתוך C) פחות (A חיתוך B חיתוך C) פחות (A חיתוך B חיתוך C)?
במילים אחרות, האם יכול לצאת מצב שיוצא 2 קבוצות מתוך האיחוד ביחד ואז זה לא טוב ואני צריך להוריד את האפשרויות האלה, או שבאיחוד כבר הורדנו אותן? תודה

==מס' שאלות==
2.) איך יתכן שזה ייתקיים עבור n=0?
3.)מה הכוונה ב"מהן מספר האפשרויות"? אפשרויות למה?
4.) מה זה ריבועים שלמים?
:: 2- כי 0 עצרת זה 1, תחשב וזה יוצא נכון. 3- כמה אפשרויות לתוצאות יכולות לצאת. כמה תוצאות שונות יכולות לקרות. 4- ריבוע של מספר שלם, כלומר 1,4,9 וכו'

==שאלה 3==
לא כתבתם למה התכוונתם, האם הסדר משנה או לא? כלומר, האם כשמטילים את הקובייה פעמיים למשל, כשיוצא 5 ראשון ואחר כך 6, וכשיוצא 6 ראשון ואחר כך 5, האם התוצאות האלה שונות או לא? תודה.

'''תשובה'''

ראה למטה.

==שאלה 3, למה אתם מתכוונים?==
מה זה אומר ב-ב', "שהתקבלו עבור בדיוק 3 ערכים שונים"? אני לא מבין את המשפט (מבחינה תחבירית) למה התכוונתם? וחוץ מזה, אפשר רמז לגבי הפתרון? תודה רבה.

'''תשובה'''

מהו מספר אפשרויות לקבל ב-n הטלות בדיוק 3 ערכים שונים. למשל, רק מספרים {1,2,3} או {2,4,6}.

'''המשך שאלה'''
האם יש חשיבות לסדר? למשל עבור 4 הטלות והמספרים {1,2,3}, האם יש הבדל בין (1,2,3,1) ל- (1,1,2,3)? הניסוח של השאלה באמת ממש לא מובן...

'''תשובה'''

מטילים אותה קוביה פעם אחר פעם. הגדרת השאלה מניחה את הסדר. אפשר לנסח את השאלה כך: מטילים n קוביות '''שונות'''...



== כותרת ==