Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

הוכחת משפט אי השלימות הראשון של גדל

2024-03-25T08:41:23Z

יהודה שמחה:

חזרה ל[[משפטי אי השלימות של גדל (Gödel)]]

==הוכחת משפט האי-שלימות הראשון של גדל==
אוסף כל המשפטים בתאוריה הוא בן מנייה. על כן ניתן לתת לכל משפט בתאוריה מספר (הנקרא '''מספר גדל''') שאותו נסמן בסוגריים מרובעים. 
לדוגמא: אם <math>''3 > 5''</math> הוא המשפט השלישי בתאוריה אזי <math>[''3>5'']=3</math>. 
באופן דומה, נשתמש בסוגריים מסולסלים על מנת לחזור מהמספר אל המשפט. בדוגמא: <math>\{3\}=\,''\!3>5''</math>.

===הלמה של טרסקי (Diagonal lemma)===
לכל פרדיקט עם משתנה מספרי אחד <math>P(x)</math> קיים בתאוריה משפט <math>s</math> עבורו:
:<math>s\iff P([s])</math>

===הוכחה===
נגדיר פונקציה <math>f:\N\to\N\cup\{0\}</math> באופן הבא:
:אם <math>\{n\}=Q(x)</math> הוא נוסחא במשתנה מספרי יחיד אזי <math>f(n):=[Q(n)]</math>.
:אחרת <math>f(n):=0</math>.
*שימו לב כי <math>Q(n)</math> הוא הצבת <math>n</math> בנוסחא עם משתנה, ולכן גם מהווה נוסחא בתאוריה ולכן יש לו מספר גדל.
*כמו כן, שימו לב כי שיטה זו דומה לשיטת האלכסון של קנטור. בכל נוסחא אנו מציבים את מספר הגדל של הנוסחא.

דוגמא:
נניח כי המשפט השלישי בתאוריה הוא נוסחא מספרית <math>Q(x)=\,''\!x>2''</math>. במקרה זה <math>f(3)=[Q(3)]=[''3>2'']</math>.

נגדיר כעת את הנוסחא הבאה <math>B(x)=P(f(x))</math>.

'''טענה''':
<math>B([B])\iff P([B([B])])</math> לכל <math>x</math>.

====הוכחה====
כיוון אחד: נניח <math>B([B])</math>. לכן <math>P(f([B]))</math>. נשים לב כי <math>f([B])=[B([B])]</math>. נובע כי <math>P([B([B])])</math> כפי שרצינו.

כיוון שני: נניח <math>P([B([B])])</math>. מהעובדה כי <math>f([B])=[B([B])]</math> נובע כי <math>P(f([B]))</math> לכן לפי ההגדרה <math>B([B])</math>.

'''מסקנה''': המשפט <math>s=B([B])</math> מקיים:
:<math>s\iff P([s])</math>
כפי שרצינו.

===סיום הוכחת משפט האי-שלימות הראשון של גדל בעזרת הלמה של טרסקי===
שימו לב כי מתוך הלמה של טרסקי לא ניתן להגדיר את קבוצת כל המשפטים שהם 'אמת'. הרי אם היתה קבוצה כזו, אזי ניתן היה להגדיר נוסחא מספרית
:<math>=P(x)</math> "<math>\{x\}</math> אינו שייך לקבוצת המשפטים שהם 'אמת'".
לפי הלמה קיים משפט השקול לכך שאינו בקבוצת האמת, ולכן אם הוא אמת הוא אינו אמת, ואם הוא אינו אמת הוא אמת. (זו סתירה הדומה לפרדוקס של ראסל.)

לעומת זאת, מכיוון שאוסף כל הטקסטים בשפה הוא בן מנייה, בפרט אוסף ההוכחות הוא בין מנייה, ולכן ניתן להגדיר את קבוצת כל המשפטים שניתן להוכיח (הם פשוט השורה האחרונה של כל הוכחה תקינה). נגדיר את הנוסחא
:<math>=P(x)</math> "<math>\{x\}</math> אינו שייך לקבוצת המשפטים הניתנים להוכחה".
כעת לפי הלמה של טרסקי יש משפט השקול לכך שהוא אינו בקבוצת המשפטים הניתנים להוכחה. אם הוא היה שקר, סימן שהוא ניתן להוכחה ולכן הוא אמת וזו סתירה. אם הוא אמת, לעומת זאת, אין סתירה אך הוא אינו ניתן להוכחה.

מכאן המשפט נובע באופן ישיר: או שהתאוריה אינה שלימה (קיים משפט שלא ניתן להוכיחו או להפריכו) או שהיא אינה עקבית (היא מכילה סתירה).

אי-שוויון הממוצעים

2021-10-31T17:28:58Z

יהודה שמחה: הגהה, שיפוץ קודים מתמטיים

"נהוג לומר כי אם פותרים בעיה מסוימת אחת באופן מסוים אז זה תיחכום, ואם פותרים שתיים בעזרת אותו רעיון אז זו כבר '''שיטה'''."

(אסטרטגיות לפתרון בעיות מתמטיות, פרופ' [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%91%D7%A0%D7%95_%D7%90%D7%A8%D7%91%D7%9C בנו ארבל].)

<videoflash>v7tyKNPU-7I</videoflash>

=אי־שוויון הממוצעים=
יהיו מספרים חיוביים <math>0<a_1,\ldots,a_n\in\R</math> אזי:
:<math>\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n}}\le\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\le\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}</math>
כאשר משמאל מופיע הממוצע ההרמוני, במרכז הממוצע ההנדסי (גאומטרי) ומימין הממוצע החשבוני (אלגברי).

שיוויון מתקיים אם ורק אם כל המספרים שווים <math>a_1=\cdots=a_n</math>.

===טענת עזר===
ראשית, נוכיח את הטענה הבאה:
:יהיו <math>x_1,\ldots,x_n</math> ממשיים חיוביים המקיימים <math>x_1\cdots x_n=1</math>.
:אזי <math>x_1+\cdots+x_n\ge n</math>, ושיוויון מתקיים אם ורק אם כולם שווים 1.

עבור n=1 הטענה טריוויאלית.

יהי n עבורו הטענה נכונה, ונוכיח אותה עבור n+1.

יהיו <math>x_1\le\cdots\le x_{n+1}</math> ממשיים חיוביים המקיימים <math>x_1\cdots x_{n+1}=1</math>.

כיוון ש־<math>x_1</math> הוא המספר הקטן ביותר, ואילו <math>x_{n+1}</math> הוא המספר הגדול ביותר נובע כי <math>x_1\le1</math> ואילו <math>x_{n+1}\ge1</math>.

נסמן <math>x_1\cdot x_{n+1}=y_n</math>, אזי <math>x_2\cdots x_n\cdot y_n=1</math>, ולפי הנחת האינדוקציה מתקיים כי <math>x_2+\cdots+x_n+y_n\ge n</math> ושוויון אם"ם כולם שווים 1.

לכן אם נוכיח <math>x_1+\cdots+x_{n+1}\ge x_2+\cdots+x_n+x_1\cdot x_{n+1}+1</math>, נקבל <math>x_1+\cdots+x_{n+1}\ge n+1</math>.

כעת נוכיח את אי־השוויון הרצוי
:<math>x_1+\cdots+x_{n+1}\ge x_2+\cdots+x_n+x_1\cdot x_{n+1}+1</math>.
זה נכון אם"ם
:<math>x_1+x_{n+1}\ge x_1\cdot x_{n+1}+1</math>
זה שקול לאי־שוויון
:<math>(x_1-1)(x_{n+1}-1)\le0</math>
הוא נכון כיוון ש<math>x_1\le1</math> ואילו <math>x_{n+1}\ge1</math>.

כעת שוויון <math>x_1+\cdots+x_{n+1}=n+1</math> גורר כי <math>x_1+\cdots+x_{n+1}=x_2+\cdots+x_n+x_1\cdot x_{n+1}+1=n+1</math> ולכן <math>(x_1-1)(x_{n+1}-1)=0</math>.

לכן <math>x_{n+1}=1</math> או <math>x_1=1</math>.

אם <math>x_{n+1}=1</math> כיוון שהוא הגדול מבין המספרים ומכפלתם היא 1, נובע כי <math>x_1=\cdots=x_n=1</math>. באופן דומה אם <math>x_1=1</math> גם כל המספרים שווים 1.

===הוכחת אי־שיוויון הממוצעים===
נגדיר <math>x_i=\frac{a_i}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}</math> ונבחין כי:

:<math>x_1\cdots x_n=\frac{a_1}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}\cdots \frac{a_n}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}=1</math>

לכן לפי טענת העזר נקבל כי:

:<math>x_1+\cdots+x_n =\frac{a_1+\cdots+a_n}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}\ge n</math>

ולכן <math>\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\le\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}</math> ושוויון אם"ם <math>x_1=\cdots=x_n=1</math>.

כלומר שוויון אם"ם <math>a_1=\cdots=a_n=\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math>

כעת נציב את המספרים <math>\frac{1}{a_1},\ldots,\frac{1}{a_n}</math> ונקבל כי:

:<math>\sqrt[n]{\frac{1}{a_1}\cdots\frac{1}{a_n}}\le\frac{\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n}}{n}</math>

כלומר

:<math>\frac{n}{\frac{1}{a_1}\cdots\frac{1}{a_n}}\le\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math>

ושוויון אם"ם <math>\frac{1}{a_1}=\cdots=\frac{1}{a_n}</math>.

=משמעות הממוצעים=
נתון מלבן עם צלעות באורכים a,b. אנחנו רוצים למצוא 'ממוצע' של אורכי הצלעות, כלומר מספר אחד שיכול 'להחליף' את שניהם.

*אם חשוב לנו השטח, אנחנו בעצם מחפשים אורך x של צלע ריבוע ששטחו יהיה שווה לשטח המלבן. נקבל כמובן את '''הממוצע ההנדסי''' <math>x=\sqrt{ab}</math>.

*אם חשוב לנו ההיקף, אנחנו בעצם מחפשים אורך x של צלע ריבוע שהיקפו יהיה שווה להיקף המלבן. נקבל כמובן את '''הממוצע החשבוני''' <math>x=\frac{a+b}{2}</math>.

*ואם חשוב לנו השילוב בין השטח להיקף? בריבוע השטח חלקי ההיקף שווה לרבע הצלע. לכן אם רוצים לשמור על היחס בין השטח להיקף, אפשר לומר שהצלע 'הממוצעת' של המלבן היא 4 פעמים היחס בין השטח לבין ההיקף.

נקבל במקרה זה <math>x=4\cdot\frac{ab}{2(a+b)}=\frac{2ab}{a+b}=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}</math>, הוא '''הממוצע ההרמוני'''.

נדגים את הממוצע ההרמוני בדרך נוספת:

נניח שהיום נסעתי לעבודה במהירות a וחזרתי הבייתה במהירות b (היו פקקים), כיצד נגדיר את המהירות הממוצעת של הנסיעה?

ובכן, מהירות * זמן = דרך. נסמן את המרחק בין ביתי לעבודה בx, לכן נסעתי בדרך לעבודה במשך זמן של <math>\frac{x}{a}</math>, וחזרתי בזמן של <math>\frac{x}{b}</math>.

אם כך, המהירות הכוללת של הדרך הכפולה שעברתי היא <math>\frac{2x}{\frac{x}{a}+\frac{x}{b}}</math> וזה שוב הממוצע ההרמוני.

הערה: ניתן להכליל את כל הדוגמאות הללו עבור n מספרים.

=שימושים=
==דוגמאות גאומטריות==

===היקפי מלבן וריבוע בעלי שטח זהה===
יהיו מלבן וריבוע בעלי שטח זהה, אזי היקף המלבן גדול מהיקף הריבוע.

נסמן את שטח הצורות ב‏־s, ואת צלעות המלבן ב<math>a\ne b</math>.

אזי היקף המלבן הוא <math>2(a+b)</math> ואילו היקף הריבוע הוא <math>4\sqrt{s}</math>.

לפי אי־שוויון הממוצעים נקבל כי:
:<math>2(a+b)=4\frac{a+b}{2}>4\sqrt{ab}=4\sqrt{s}</math>

====הכללה למקרה ה־n־ממדי====
סכום הצלעות (פאות מממד 1) של תיבה תלת‏־ממדית היא <math>4(a+b+c)</math> ומתקיים כי
:<math>4(a+b+c)=12\cdot\frac{a+b+c}{3}>12\sqrt[3]{abc}</math>
ואילו <math>12\sqrt[3]{abc}</math> הוא סכום הצלעות של הקוביה התלת־ממדית בעלת אותו השטח כמו התיבה.

כעת עבור תיבה n־ממדית, סכום הצלעות הוא <math>2^{n-1}(a_1+\cdots+a_n)</math>,

אכן, צלע היא המעבר בציר i מ־0 ל־<math>a_i</math> כאשר כל שאר הצירים קבועים באחד הקצוות שלהם.

:<math>2^{n-1}(a_1+\cdots+a_n)=n2^{n-1}\cdot\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}>n2^{n-1}\cdot\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math>

אורך הצלע של הקוביה ה־n־מימדית בעלת שטח זהה לתיבה הוא <math>\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math>, וכמות הצלעות הינה <math>n2^{n-1}</math>.

לכן שוב קיבלנו שסכום הצלעות התיבה גדול מסכום צלעות הקוביה.

===היקפי ריבוע ומשולש בעלי שטח זהה===
יהיו משולש וריבוע בעלי שטח זהה, אזי היקף המשולש גדול מהיקף הריבוע.

נביט בבניית העזר הבאה:
[[קובץ:AM-GM-trangle-square.png|1000px]]

(נבנה באמצעות [https://www.geogebra.org/graphing גאוגברה].)

שטח המשולש זהה לשטח המלבן ושניהם שווים ל־<math>\frac{h\cdot a}{2}</math>.

היקף המשולש הוא <math>a+b+c</math> והיקף המלבן <math>2(h+\frac{a}{2})=2h+a</math>, שהוא כאמור גדול מהיקף הריבוע (או שווה לו במקרה <math>h=\frac{a}{2}</math>).

כעת צלעות המשלוש גדולות או שווה לגובה, ולפחות אחת מהן גדולה ממש (במקרה שמדובר במשולש ישר זוית, הגובה שווה לאחת הצלעות).

:<math>a+b+c>h+h+a=2h+a</math>

===המחשה גאומטרית לשלושת הממוצעים עבור 2 מספרים===
נביט בשרטוט הבא:
[[קובץ:AM-GM-geometric.png|1000px]]

(נבנה באמצעות [https://www.geogebra.org/graphing גאוגברה].)

נניח כי אורך הקטע AD הינו a ואורך הקטע DB הינו b.

הנקודה O הינה מרכז המעגל, שרדיוסו <math>\frac{a+b}{2}</math> הרי הוא הממוצע החשבוני.

נרים את הגובה CD.

נשים לב כי הזוית C היא ישרה כיוון שהיא מונחת על הקוטר, ולכן המשולשים ADC ו CDB דומים.

מכאן <math>\frac{CD}{DB}=\frac{CD}{AD}</math>.

לכן <math>CD^2=a\cdot b</math> וקיבלנו ש <math>CD=\sqrt{ab}</math> הרי הוא הממוצע ההנדסי.

לבסוף, נעביר גובה DF, ונקבל כי המשולשים CFD ו CDO דומים.

לכן <math>\frac{CF}{CD}=\frac{CD}{CO}</math>

ולכן <math>CF=\frac{CD^2}{CO}=\frac{ab}{\frac{a+b}{2}}=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}</math> הרי הוא הממוצע ההרמוני.

===משולש שווה צלעות===

יהי משולש בעל צלעות באורך a,b,c.

הוכיחו כי המשולש שווה צלעות אם ורק אם <math>\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} =3</math>.

ראשית, <math>\sqrt[3]{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a}}\leq \frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}}{3}</math> ושיוויון אם"ם כולם שווים.

לכן <math>\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq 3</math> ושיוויון רק אם <math>\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}=1</math>, כלומר <math>a=b=c</math>

==כלל המנה==

תהי סדרה חיובית <math>0<a_n</math> כך ש <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}\to L</math> אזי <math>\sqrt[n]{a_n}\to L</math>.

===הממוצע החשבוני===
תהי סדרה <math>a_n\to L</math> אזי <math>\frac{a_1+...+a_n}{n}\to L</math>.

כלומר הממוצע החשבוני של סדרה מתכנסת במובן הרחב, מתכנס לאותו הגבול.

הוכחה עבור <math>L\in \mathbb{R}</math>:

יהי <math>\varepsilon>0</math>.

קיים <math>n_1</math> כך שלכל <math>n>n_1</math> מתקיים כי <math>|a_n-L|<\frac{\varepsilon}{2}</math>

נסמן <math>M=|a_1-L|+...+|a_{n_1}-L|</math>.

אזי <math>\left|\frac{a_1+...+a_n}{n}-L\right| = \left|\frac{(a_1-L)+...+(a_n-L)}{n}\right|\leq \frac{M+(n-n_1)\frac{\varepsilon}{2}}{n}\leq\frac{M+n\frac{\varepsilon}{2}}{n}</math>

נבחר <math>n_2>n_1</math> כך שלכל <math>n>n_2</math> מתקיים כי <math>\frac{M}{n}<\frac{\varepsilon}{2}</math>.

סה"כ, לכל <math>n>n_2</math> מתקיים כי <math>\left|\frac{a_1+...+a_n}{n}-L\right|<\varepsilon</math> כפי שרצינו.

הוכחה עבור <math>L=\infty</math>:

יהי <math>M>0</math>.

קיים <math>n_1</math> כך שלכל <math>n>n_1</math> מתקיים כי <math>a_n>2M</math>.

נסמן <math>x=a_1+...+a_{n_1}</math>.

אזי <math>\frac{a_1+...+a_n}{n}> \frac{x+(n-n_1)2M}{n} = 2M + \frac{x-n_1}{n}</math>

נבחר <math>n_2>n_1</math> כך שלכל <math>n>n_2</math> מתקיים כי <math>\frac{x-n_1}{n}>-M</math>

וביחד נקבל כי לכל <math>n>n_2</math> מתקיים <math>\frac{a_1+...+a_n}{n}>M</math>

===הממוצע ההרמוני===
תהי סדרה <math>0< a_n\to L</math> אזי <math>\frac{n}{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}\to L</math>

כלומר הממוצע ההרמוני של סדרה מתכנסת במובן הרחב, מתכנס לאותו הגבול.

שימו לב שדרשנו שהסדרה חיובית, אחרת ייתכן צמצום שיוביל לאפס במכנה.

הוכחה עבור <math>0\neq L\in\mathbb{R}</math>:

<math>a_n\to L</math>, לכן <math>\frac{1}{a_n}\to \frac{1}{L}</math>.

לכן <math>\frac{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}{n}\to \frac{1}{L}</math>

ולכן <math>\frac{n}{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}\to L</math>

הוכחה עבור <math>L=0</math>:

<math>\frac{1}{a_n}\to \infty</math>

לכן <math>\frac{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}{n}\to \infty</math>

ולכן <math>\frac{n}{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}\to 0</math>

הוכחה עבור <math>L=\infty</math>:

<math>\frac{1}{a_n}\to 0</math>

לכן <math>0<\frac{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}{n}\to 0</math>

ולכן <math>\frac{n}{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}\to \infty</math>

===הממוצע ההנדסי===

לפי אי שיוויון הממוצעים, נובע כי אם <math>0<a_n\to L</math> אזי <math>\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\to L</math>

===הוכחת כלל המנה===
תהי סדרה חיובית <math>0<a_n</math> כך ש <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}\to L</math>.

נגדיר את הסדרה <math>b_n</math> ע"י <math>b_1=a_1</math> ולכל <math>n>1</math> מתקיים <math>b_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}</math>

לכן הממוצע ההנדסי של הסדרה <math>b_n</math> מקיים

:<math>\sqrt[n]{a_1\cdot\frac{a_2}{a_1}\cdot\frac{a_3}{a_2}\cdots\frac{a_n}{a_{n-1}}}\to L</math>

לכן בעצם <math>\sqrt[n]{a_n}\to L</math> כפי שרצינו.

==המספר e==

נוכיח כי הסדרה <math>a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math> מונוטונית עולה ממש.

נחשב (סתם ככה בלי תירוצים נוספים) ממוצע הנדסי וחשבוני בין n+1 המספרים החיוביים הבאים (כי מותר, אז למה לא).

:<math>x_1=(1+\frac{1}{n}),x_2=(1+\frac{1}{n}),...,x_n=(1+\frac{1}{n}),x_{n+1}=1</math>

לפי אי שיוויון הממוצעים (שהוא נכון תמיד, גם למספרים שבחרנו ככה באופן חסר אחריות), כיוון שלא מדובר במספרים שווים, הממוצע ההנדסי קטן ממש מהממוצע החשבוני:

:<math>\sqrt[n+1]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}<\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)+...+\left(1+\frac{1}{n}\right)+1}{n+1}=\frac{n+2}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}</math>

ולכן

:<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}</math>

נוכיח כי הסדרה <math>b_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math> מונוטונית יורדת ממש.

באופן דומה, נשווה בין הממוצע ההרמוני לממוצע ההנדסי של n+2 המספרים הבאים:

:<math>x_1=(1+\frac{1}{n}),x_2=(1+\frac{1}{n}),...,x_{n+1}=(1+\frac{1}{n}),x_{n+2}=1</math>

ונקבל:

:<math>\sqrt[n+2]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}}> \frac{n+2}{\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)} + ...+\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}+1 }</math>

:<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}> \left(\frac{n+2}{\frac{n+1}{1+\frac{1}{n}}+1}\right)^{n+2} = \left(\frac{n+2}{\frac{n+1}{\frac{n+1}{n}}+1}\right)^{n+2} =\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+2} =
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+2}</math>

לכן סה"כ לכל <math>n</math> מתקיים כי <math>a_1<a_n<b_n<b_1</math> ושתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.

'''נגדיר''' את המספר e להיות הגבול של הסדרה <math>a_n</math>.

לכן <math>b_n=a_n\left(1+\frac{1}{n}\right)\to e\cdot 1 = e</math>

ומתקיים לכל n כי <math>a_n<e<b_n</math>.

למשל עבור n=1 מקבלים כי <math>2<e<4</math>.

==אי שיוויון ברנולי==

יהי <math>\epsilon>-1</math>, אזי לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>\left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\cdot \epsilon</math>

אמנם לא מסובך במיוחד להוכיח את אי שיוויון ברנולי באינדוקציה, אנחנו נוכיח אותו באמצעות אי שיוויון הממוצעים.

למעשה באמצעות אי שיוויון הממוצעים, נוכיח גרסא רציונלית של אי השיוויון:
:אם <math>\frac{m}{n}\geq 1</math> אזי <math>\left(1+\epsilon\right)^{\frac{m}{n}}\geq 1 + \frac{m}{n}\cdot \epsilon</math>

ראשית, אם <math>1+\frac{m}{n}\cdot\epsilon <0</math> אי השיוויון ברור.

לכן נניח כי <math>1+\frac{m}{n}\cdot\epsilon\geq 0</math>.

לכן אי השיוויון שקול ל

:<math>1+\epsilon\geq \sqrt[m]{\left(1+\frac{m}{n}\epsilon\right)^n}</math>

כעת

:<math>\sqrt[m]{\left(1+\frac{m}{n}\epsilon\right)^n\cdot 1^{m-n}}\leq \frac{n\cdot (1+\frac{m}{n}\epsilon) + (m-n)}{m} = 1+\epsilon</math>

===שימוש באי שיוויון ברנולי===
יהי <math>a>1</math> אזי <math>a^n\to \infty</math>.

נסמן <math>a=1+\epsilon</math>, כאשר <math>\epsilon>0</math>.

לכן <math>a^n=(1+\epsilon)^n\geq 1+n\epsilon\to \infty</math>.

יהי <math>0<a<1</math> אזי <math>a^n\to 0</math>.

כיוון ש <math>0<a<1</math> נובע כי <math>\frac{1}{a}>1</math>.

לכן, <math>a^n = \frac{1}{\left(\frac{1}{a}\right)^n}\to \frac{1}{\infty}=0</math>

==אי שיוויון קושי-שוורץ==

===עבור <math>\mathbb{R}^n</math>===
לכל <math>a_1,...,a_n,b_1,...,b_n\in\mathbb{R}</math> מתקיים
:<math>|a_1b_1+...+a_nb_n|\leq \sqrt{a_1^2+...+a_n^2}\sqrt{b_1^2+...+b_n^2}</math>

קל לראות שמספיק להוכיח את הטענה למספרים אי שליליים, וכך נעשה.

ראשית, אם נציב את <math>x^2,y^2</math> באי שיוויון הממוצעים נקבל <math>xy\leq \frac{x^2+y^2}{2}</math>.

לכן,

:<math>\sum_{k=1}^n x_ky_k\leq \frac{\sum_{k=1}^nx_k^2 + \sum_{k=1}^ny_k^2}{2}</math>

כעת נציב <math>x_k=\frac{a_k}{\sqrt{a_1^2+...+a_n^2}}</math> ו<math>y_k=\frac{b_k}{\sqrt{b_1^2+...+b_n^2}}</math> לכל k ונקבל
:<math>\frac{\sum_{k=1}^n a_kb_k}{\sqrt{a_1^2+...+a_n^2}\sqrt{b_1^2+...+b_n^2}}\leq 1</math>

וזהו בדיוק אי שיוויון קושי שוורץ.

===עבור מכפלה פנימית ממשית===
האם אותה הוכחה מתרגמת עבור מכפלה פנימית '''ממשית''' כללית?

ובכן,
:<math>\langle v-w,v-w \rangle\geq 0</math>

ולכן
:<math>\langle v,w \rangle \leq \frac{\langle v,v \rangle + \langle w,w \rangle}{2}</math>

שזה אנלוגי לאי שיוויון הממוצעים.

נציב את הנרמול של הוקטורים, ונקבל:

:<math>\langle \frac{v}{||v||},\frac{w}{||w||} \rangle \leq 1</math>

ולכן <math>\langle v,w\rangle \leq ||v||\cdot ||w||</math>

ע"י הצבה של <math>-v</math>, נקבל

:<math>-\langle v,w\rangle \leq ||v||\cdot ||w||</math>

וביחד סה"כ קיבלנו את אי שיוויון קושי-שוורץ:

:<math>|\langle v,w\rangle| \leq ||v||\cdot ||w||</math>

===עבור מכפלה פנימית מרוכבת===

נתחיל מאי השיוויון
:<math>\langle v-w,v-w \rangle\geq 0</math>

אך הפעם נקבל

:<math>Re(\langle v,w \rangle) \leq \frac{\langle v,v \rangle + \langle w,w \rangle}{2}</math>

על ידי הצבת הוקטורים המנורמלים נקבל את אי השיוויון החלש יותר:

:<math>Re(\langle v,w \rangle)\leq ||v||\cdot ||w||</math>

נשים לב כי

:<math>Re(\langle v,\langle v,w \rangle w \rangle) = Re(\overline{\langle v,w \rangle}\langle v,w \rangle) = |\langle v,w \rangle|^2</math>

כיוון שהערך המוחלט הוא מספר ממשי.

לכן,
:<math>|\langle v,w \rangle|^2=Re(\langle v,\langle v,w \rangle w \rangle) \leq ||v||\cdot ||\langle v,w \rangle w|| = ||v||\cdot ||w|| \cdot |\langle v,w \rangle|</math>

ושוב קיבלנו את אי שיוויון קושי שוורץ, כפי שרצינו.

=ביבליוגרפיה=
*אסטרטגיות לפתרון בעיות מתמטיות, בנו ארבל.
*The Cauchy-Schwarz Master Class, J. Michael Steele.

משפט ההגדרה

2021-02-27T18:16:57Z

יהודה שמחה:

חזרה ל[[משפטים/לינארית|משפטים בלינארית]]

=משפט ההגדרה=
יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}</math> בסיס ל־<math>V</math>.

יהי <math>W</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים).

אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>T:V\to W</math> המקיימת:
:<math>\begin{align}T(\mathbf{v}_1)&=\mathbf{w}_1\\&\vdots\\T(\mathbf{v}_n)&=\mathbf{w}_n\end{align}</math>

=הוכחה=
יהי <math>\mathbf{v}\in V</math>. אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס <math>B</math>
:<math>\mathbf{v}=a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n</math>
לכן ניתן להגדיר היטב העתקה <math>T</math> על ידי
:<math>T(\mathbf{v})=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n</math>
קל מאד להראות כי <math>T</math> המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר <math>T(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i</math>).

נותר להוכיח כי <math>T</math> יחידה. אמנם, אם <math>S</math> העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר <math>S(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i</math>), מתקיים:
:<math>\begin{align}S(\mathbf{v})&=S(a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n)\\&=a_1S(\mathbf{v}_1)+\cdots+a_nS(\mathbf{v}_n)\\&=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n\\&=T(\mathbf{v})\end{align}</math>
ולכן <math>S=T</math>.

[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]

דוגמאות להוכחת התכנסות באמצעות קריטריון קושי

2021-01-25T18:30:15Z

יהודה שמחה:

===תרגיל 1===
'''תרגיל''': תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> עבורה <math>|a_n-a_{n-1}|<\frac{1}{2^n}</math>. הוכח כי <math>\{a_n\}</math> מתכנסת.

'''פתרון''': נוכיח כי <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.
:<math>\begin{align}|a_m-a_n|&=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}+\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\\&\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|\\&< \dfrac{1}{2^m}+\dfrac{1}{2^{m-1}}+\cdots+\dfrac{1}{2^{n+1}}=\dfrac{1}{2^{n+1}}\left[\dfrac{1}{2^{m-n-1}}+\cdots+1\right]\\&=\dfrac{1}{2^{n+1}}\left[\frac{1-\frac{1}{2^{m-n}}}{1-\frac12}\right]=\frac{1}{2^n}\left[1-\frac{1}{2^{m-n}}\right]=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m}\le\frac{1}{2^n}\to0\end{align}</math>

===תרגיל 2===
'''תרגיל''': תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> עבורה <math>|a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|</math>. הוכח כי <math>\{a_n\}</math> מתכנסת עבור <math>0<p<1</math>.

'''פתרון''': נוכיח כי <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

ראשית, נשים לב כי
:<math>|a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|\le p^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\le\cdots\le p^{n-1}|a_2-a_1|</math>
נסמן <math>d=|a_2-a_1|</math> ולכן סה"כ <math>|a_{n+1}-a_n|\le p^{n-1}d</math>.

כעת
:<math>\begin{align}|a_m-a_n|&=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}+\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\\&\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|\\&\le p^{m-2}d+\cdots+p^{n-1}d\\&=p^{n-1}d(p^{m-n-1}+\cdots+1)\\&=p^{n-1}d\left[\frac{1-p^{m-n-1}}{1-p}\right]\\&\le p^{n-1}\frac{d}{1-p}\to0\end{align}</math>

מכיוון ש־<math>p^n\to0</math> עבור <math>p<1</math>.

אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/1.8.12

2021-01-13T20:47:18Z

יהודה שמחה:

==פונקציה רציפה למקוטעין==
'''הגדרה:''' הפונקציה <math>f:[-\pi,\pi]\to\C</math> תקרא ''רציפה למקוטעין'' אם:
:#ל־<math>f</math> יש לכל היותר מספר סופי של נקודות אי־רציפות.
:#בכל נקודת אי־רציפות קיימים הגבולות החד־צדדיים. כלומר, אם <math>x_0</math> אי־רציפות אזי <math>\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x),\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)</math> קיימים במובן הצר.

{{פס|{{הערה|הערה: מובן שניתן לדבר גם על פונקציות רציפות למקוטעין בתחומים אחרים, אולם אנו לא נעסוק בהן.}}}}

===תכונות===
#סכום, הפרש או כפל של פונקציות רציפות למקוטעין גם היא רציפה למקוטעין.
#הכפלה של פונקציה רציפה למקוטעין בסקלר היא פונקציה רציפה למקוטעין.
לפיכך מתקיימים התנאים לתת־מרחב לינארי, כלומר קבוצת הפונקציות הרציפות למקוטעין הוא מרחב לינארי. נסמן מרחב זה ב־<math>E</math>. המכפלה הפנימית בו מוגדרת כ־<math>\displaystyle\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\overline{g(x)}dx</math>.

===משפט===
סדרת הפונקציות <math>\left\{\frac{1}{\sqrt2},\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x),\ldots\right\}</math> היא מערכת אורתונורמלית ב־<math>E</math>.

====הוכחה====
נראה כי מכפלה פנימית של כל זוג אברים שונים במערכת שווה ל־0, ושנורמה של כל אבר היא 1:
:<math>\begin{align}\left\langle\frac{1}{\sqrt2},\sin(nx)\right\rangle&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1}{\sqrt2}\sin(nx)dx=\left[-\frac{1}{\sqrt2\pi n}\cos(nx)\right]_{-\pi}^\pi=\frac{-1}{\sqrt2\pi n}\Big(\cos(n\pi)-\cos(n\pi)\Big)=0\\\left\langle\frac{1}{\sqrt2},\cos(nx)\right\rangle&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1}{\sqrt2}\cos(nx)dx=\left[\frac{1}{\sqrt2\pi n}\sin(nx)\right]_{-\pi}^\pi=\frac{1}{\sqrt2\pi n}\Big(\sin(n\pi)-\sin(n\pi)\Big)=0\\\bigl\langle\sin(mx),\cos(nx)\bigr\rangle&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\sin(mx)\cos(nx)dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{\sin((n+n)x)+\sin((m-n)x)}{2}dx\\&=-\frac{1}{2\pi}\left[\frac{\cos((m+n)x)}{m+n}+\frac{\cos((m-n)x)}{m-n}\right]_{-\pi}^\pi=0\end{align}</math>

הערה: נעזרנו בזהות <math>\sin(\alpha)\cos(\beta)=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2}</math>. דרך נוספת תהיה להשתמש פעמיים באינטגרציה בחלקים:
:<math>\int\sin(mx)\cos(nx)dx=\left[\dfrac{n\sin(mx)\sin(nx)-m\cos(mx)\cos(nx)}{1-m^2}\right]_{-\pi}^\pi=0</math>
עדיף לבדוק לפני ביצוע האינטגרציה אם מדובר בפונקציה זוגית או אי־זוגית.

באותו אופן ניתן להראות כי <math>\langle\sin(mx),\sin(nx)\rangle=\langle\cos(mx),\cos(nx)\rangle=0</math>.

עתה נראה שהנורמה של כל אבר היא 1:
:<math>\begin{align}\left\|\frac{1}{\sqrt2}\right\|^2&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{dx}{\sqrt{2}^2}=\frac{2\pi}{2\pi}=1\\\|\sin(nx)\|^2&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\sin(nx)^2dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1-\cos(2nx)}{2}dx=\frac{1}{\pi}\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin(2nx)}{4n}\right]_{-\pi}^\pi=1\\\|\cos(nx)\|^2&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\cos(nx)^2dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1+\cos(2nx)}{2}dx=1\end{align}</math>

==מערכת סגורה==
'''הגדרה:''' תהי <math>\{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\dots\}</math> מערכת אורתונורמלית אינסופית במרחב מ״פ <math>V</math>. המערכת תקרא ''סגורה'' ב־<math>V</math> אם
:<math>\forall\mathbf u\in V:\ \lim\limits_{n\to\infty}\left\|\mathbf u-\sum\limits_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k\right\|=0</math>

'''מסקנה''': ניתן להציג כל <math>f</math> בעזרת צירוף לינארי אינסופי של האברים השייכים למערכת האורתונורמלית האינסופית. נמצא את סדרת מקדמי פורייה עבור המערכת האורתונורמלית החדשה שהגדרנו.
:<math>\begin{align}1.&\mathbf e_1(x)=\frac{1}{\sqrt2}\\&a_0:=\langle f,\mathbf e_1\rangle\mathbf e_1=\left(\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\frac{1}{\sqrt2}dx\right)\frac{1}{\sqrt2}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)dx\\2.&\mathbf e_n=\sin(nx)\\&\langle f,\mathbf e_n\rangle\mathbf e_n=\underbrace{\left(\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx\right)}_{b_n}\sin(nx)\\3.&\mathbf e_n=\cos(nx)\\&\langle f,\mathbf e_n\rangle\mathbf e_n=\underbrace{\left(\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx\right)}_{a_n}\cos(nx)\end{align}</math>

לסיכום, ניתן לרשום את כל הטור בצורה הבאה:
:<math>\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big)\\\begin{cases}\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx,&n=0,1,2,\ldots\\\displaystyle b_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx,&n=1,2,\ldots\end{cases}</math>

==טור פורייה==
תהי <math>f\in E</math>. הטור שמצאנו נקרא טור פורייה של <math>f</math> ויסומן
:<math>\displaystyle f(x)\sim\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big)</math>

=== פונקציות זוגיות ואי־זוגיות ===
'''תכונות:'''
*מכפלה של פונקציות זוגיות היא זוגית.
*מכפלה של פונקציות אי־זוגיות היא זוגית.
*מכפלה של פונקציה זוגית ופונקציה אי־זוגית היא אי־זוגית.

====משפט====
תהי <math>f\in E</math>.
*אם <math>f</math> זוגית אז טור פורייה שלה הוא <math>\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)</math>. טור כזה נקרא "טור קוסינוסים".
*אם <math>f</math> אי־זוגית אז טור פורייה שלה הוא <math>\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\sin(nx)</math>. טור כזה נקרא "טור סינוסים".

====תרגיל====
מצא טור פורייה של <math>f(x)=\begin{cases}-2&:\!x<0\\1&:\!x\ge0\end{cases}</math> בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>.

=====פתרון=====
ראשית, נשים לב שהפונקציה אינה זוגית ואינה אי־זוגית. מתקיים
:<math>\begin{align}a_0&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^0 -2\,dx+\frac{1}{\pi}\int\limits_0^\pi dx=\frac{1}{\pi}[-2x]_{-\pi}^0+\frac{1}{\pi}[x]_0^\pi=-2+1=-1\\a_n&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx=0\\b_n&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx=\begin{cases}0&:\!n\in2\Z\\\dfrac{6}{\pi n}&:\!n\in2\Z+1\end{cases}\end{align}</math>
ולכן <math>f(x)\sim-\dfrac12+\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{6}{(2n-1)\pi}\sin((2n-1)x)</math>. נשים לב שזה עדיין לא טור סינוסים, בגלל האבר <math>-\frac12</math> שבהתחלה.

====תרגיל====
מצא טור פורייה של <math>f(x)=x</math> ב־<math>[-\pi,\pi]</math>.

=====פתרון=====
<math>f</math> אי־זוגית ולכן נחשב לה טור סינוסים:
:<math>\begin{align}b_n&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi x\sin(nx)dx=\begin{bmatrix}u=x&u'=1\\v'=\sin(nx)&v=-\frac{\cos(nx)}{n}\end{bmatrix}\\&=\frac{2}{\pi}\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^\pi+\frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi\frac{\cos(nx)}{n}dx=\frac{2}{\pi}\frac{-\pi(-1)^n}{n}+\frac{2}{\pi}\left[\frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_0^\pi=\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}\end{align}</math>
כלומר <math>x\sim\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)</math>.

====תרגיל====
נתונה <math>f\in E[-\pi,\pi]</math>. לכל <math>a,b,c\in\C</math> נגדיר
:<math>G(a,b,c)=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi|f(x)+a+b\cos(x)+c\sin(x)|dx</math>
עבור אלה ערכי <math>a,b,c</math> מקבלת <math>G</math> את ערכה המינימלי?

=====פתרון=====
נשים לב כי <math>G(a,b,c)=\Big\|f(x)-{\color{#0000FF}(-a-b\cos(x)-c\sin(x))}\Big\|^2</math>. אם החלק הכחול הוא ההיטל האורתוגונלי של <math>f</math> אזי מובטח לנו כי <math>G(a,b,c)</math> מקבלת את ערכה המינימלי. נפתור זאת:
:<math>\begin{align}-a&=\frac{\langle f,1\rangle}{\|1\|^2}=\dfrac{\displaystyle\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)dx}{\displaystyle\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi dx}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)dx\\-b&=\frac{\langle f,\cos\rangle}{\|\cos\|^2}=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(x)dx\\-c&=\frac{\langle f,\sin\rangle}{\|\sin\|^2}=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(x)dx\end{align}</math>

----

נתייחס למרחב הלינארי <math>\ell_2</math> ולאבר <math>x=\left\{\dfrac{5^n-3^n}{7^n}\right\}_{n=1}^\infty</math>. מתקיים
:<math>\displaystyle\|x\|_2^2=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{5^n-3^n}{7^n}\right)^2=\sum_{n=1}^\infty\frac{25^n-2\cdot15^n+9^n}{49^n}=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{25}{49}\right)^n-2\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{15}{49}\right)^n+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac9{49}\right)^n</math>
אלה טורים הנדסיים והתוצאה היא <math>\frac{16}{85}</math>. לכן <math>\|x\|_2=\frac{4}{\sqrt{85}}</math>. {{משל}}

אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/1.8.12

2020-12-16T13:00:18Z

יהודה שמחה: הגהה, שיפוץ קודים מתמטיים

==פונקציה רציפה למקוטעין==
'''הגדרה:''' הפונקציה <math>f:[-\pi,\pi]\to\C</math> תקרא ''רציפה למקוטעין'' אם:
:#ל־<math>f</math> יש לכל היותר מספר סופי של נקודות אי־רציפות.
:#בכל נקודת אי־רציפות קיימים הגבולות החד־צדיים. כלומר, אם <math>x_0</math> אי־רציפות אזי <math>\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x),\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)</math> קיימים במובן הצר.

{{פס|{{הערה|הערה: מובן שניתן לדבר גם על פונקציות רציפות למקוטעין בתחומים אחרים, אולם אנו לא נעסוק בהן.}}}}

===תכונות===
#סכום, הפרש או כפל של פונקציות רציפות למקוטעין גם היא רציפה למקוטעין.
#הכפלה של פונקציה רציפה למקוטעין בסקלר היא פונקציה רציפה למקוטעין.
לפיכך מתקיימים התנאים לתת־מרחב לינארי, כלומר קבוצת הפונקציות הרציפות למקוטעין הוא מרחב לינארי. נסמן מרחב זה ב־<math>E</math>. המכפלה הפנימית בו מוגדרת כ־<math>\langle f,g\rangle=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx</math>.

=== משפט ===
סדרת הפונקציות <math>\left\{\frac1\sqrt2,\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x),\dots\right\}</math> היא מערכת אורתונורמלית ב־<math>E</math>.

==== הוכחה ====
נראה כי מכפלה פנימית של כל זוג איברים שונים במערכת שווה ל־0, ושנורמה של כל איבר היא 1:
{{left|<math>\begin{align}\left\langle\frac1\sqrt2,\sin(nx)\right\rangle&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac1\sqrt2\sin(nx)\mathrm dx=\left[-\frac1\pi\\frac1\sqrt2\frac1n\cos(nx)\right]_{x=-\pi}^\pi=\frac{-1}{\sqrt2\pi n}\Big(\cos(n\pi)-\cos(n\pi)\Big)=0\\\left\langle\frac1\sqrt2,\cos(nx)\right\rangle&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac1\sqrt2\cos(nx)\mathrm dx=\left[\frac1\pi\\frac1\sqrt2\frac1n\sin(nx)\right]_{x=-\pi}^\pi=\frac1{\sqrt2\pi n}\Big(\sin(n\pi)-\sin(n\pi)\Big)=0\\\left\langle\sin(mx),\cos(nx)\right\rangle&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\sin(mx)\cos(nx)\mathrm dx=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{\sin((n+n)x)+\sin((m-n)x)}2\mathrm dx=-\frac1{2\pi}\left[\frac{\cos((m+n)x)}{m+n}+\frac{\cos((m-n)x)}{m-n}\right]_{x=-\pi}^\pi=0\end{align}</math>}}

הערה: נעזרנו ב־<math>\sin(\alpha)\cos(\beta)=\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}2</math>
דרך נוספת תהיה להשתמש פעמיים באינטגרציה בחלקים: <math>\int\sin(mx)\cos(nx)\mathrm dx=\left[\frac{n\sin(mx)\sin(nx)-m\cos(mx)\cos(nx)}{1-m^2}\right]_{x=-\pi}^\pi=0</math>. עדיף לבדוק לפני ביצוע האינטגרציה אם מדובר בפונקציה זוגית או אי־זוגית.

באותו אופן ניתן להראות ש־<math>\langle\sin(mx),\sin(nx)\rangle=\langle\cos(mx),\cos(nx)\rangle=0</math>.

עתה נראה שהנומה של כל איבר היא 1:
{{left|<math>\begin{align}\left\|\frac1\sqrt2\right\|^2&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{\mathrm dx}{\sqrt2^2}=\frac{2\pi}{2\pi}=1\\\|sin(nx)\|^2&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\sin^2(nx)\mathrm dx=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1-\cos(2nx)}2\mathrm dx=\frac1\pi\left[\frac x2-\frac{\sin(2nx)}{4n}\right]_{x=-\pi}^\pi=1\\\|\cos(nx)\|^2&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\cos^2(nx)\mathrm dx=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1+\cos(2nx)}2\mathrm dx=1\end{align}</math>}}

== מערכת סגורה ==
'''הגדרה:''' תהי <math>\{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\dots\}</math> מערכת אורתונורמלית אינסופית במרחב מ״פ <math>V</math>. המערכת תקרא ''סגורה'' ב־<math>V</math> אם <math>\forall\mathbf u\in V:\ \lim_{n\to\infty}\left\|\mathbf u-\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k\right\|=0</math>.

'''מסקנה''': ניתן להציג כל <math>f</math> בעזרת צירוף לינארי אינסופי של האיברים השייכים למערכת האורתונורמלית האינסופית. נמצא את סדרת מקדמי פורייה עבור המערכת האורתונורמלית החדשה שהגדרנו.

{{left|<math>\begin{align}1.&\mathbf e_1(x)=\frac1\sqrt2\\&a_0:=\langle f,\mathbf e_1\rangle\mathbf e_1=\left(\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\frac1\sqrt2\mathrm dx\right)\frac1\sqrt2=\frac1{2\pi}\itn\limits_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm dx\\2.&\mathbf e_n=\sin(nx)\\&\langle f,\mathbf e_n\rangle\mathbf e_n=\left(\underbrace{\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\mathrm dx}_{b_n}\right)\sin(nx)\\3.\mathbf e_n=\cos(nx)\\&\langle f,\mathbf e_n\rangle\mathbf e_n=\left(\underbrace{\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\mathrm dx}_{a_n}\right)\cos(nx)\end{align}</math>}}

לסיכום, ניתן לרשום את כל הטור בצורה הבאה: <math>\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big)</math> כאשר <math>\begin{cases}a_n=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\mathrm dx,&n=0,1,2,\dots\\b_n=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\mathrm dx,&n=1,2,\dots\end{cases}</math>

== טור פורייה ==
תהי <math>f\in E</math>. הטור <math>\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big)</math> כאשר <math>\begin{cases}a_n=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\mathrm dx,&n=0,1,2,\dots\\b_n=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\mathrm dx,&n=1,2,\dots\end{cases}</math> נקרא טור פורייה של <math>f</math> ויסומן <math>f(x)\~{}\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big)</math>.

=== פונקציות זוגיות ואי־זוגיות ===
'''תכונות:'''
* מכפלה של פונקציות זוגיות היא זוגית.
* מכפלה של פונקציות אי־זוגיות היא זוגית.
* מכפלה של פונקציה זוגית ופונקציה אי־זוגית היא אי־זוגית.

==== משפט ====
תהי <math>f\in E</math>.
* אם <math>f</math> זוגית אז טור פורייה שלה הוא <math>\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)</math>. טור כזה נקרא "טור קוסינוסים".
* אם <math>f</math> אי־זוגית אז טור פורייה שלה הוא <math>\sum_{n=1}^\infty b_n\sin(nx)</math>. טור כזה נקרא "טור סינוסים".

==== תרגיל ====
מצא טור פורייה של <math>f(x)=\begin{cases}1,&x\ge0\\-2,&x<0\end{cases}</math> בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>.

===== פתרון =====
ראשית, נשים לב שהפונקציה אינה זוגית ואינה אי־זוגית. מתקיים{{left|<math>\begin{align}a_0&=\frac1\pi\int\limtis_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm dx=\frac1\pi\int\limtis_{-\pi}^0 -2\mathrm dx+\frac1\pi\int\limtis_0^\pi\mathrm dx=\frac1\pi[-2x]_{x=-\pi}^0+\frac1\pi[x]_{x=0}^\pi=-2+1=-1\\a_n&=\frac1\pi\int\limtis_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\mathrm dx=0\\b_n&=\frac1\pi\int\limtis_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\mathrm dx=\begin{cases}0,&n\in2\mathbb Z\\\frac6{\pi n},&n\in2\mathbb Z+1\end{cases}</math>}}
ולכן <math>f(x)\~{}-\frac12+\sum_{n=1}\frac6{(2n-1)\pi\sin((2n-1)x)</math>. נשים לב שזה עדיין לא טור סינוסים, בגלל האיבר <math>-\frac12</math> שבהתחלה.

==== תרגיל ====
מצא טור פורייה של <math>f(x)=x</math> ב־<math>[-\pi,\pi]</math>.

===== פתרון =====
<math>f</math> אי־זוגית ולכן נחשב לה טור סינוסים: <math>b_n=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi x\sin(nx)\mathrm dx=\begin{bmatrix}u=x&u'=1\\v'=\sin(nx)&v=-\frac{\cos(nx)}n\end{bmatrix}=2\left[-\frac{x\cos(nx)}n\right]_{x=0}^\pi+\frac2\pi\int\limits_0^\pi\frac{\cos(nx)}n\mathrm dx=\frac2\pi\left(\frac{-\pi(-1)^n}n+\left[\frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_{x=0}^\pi=\frac{2(-1)^{n+1}}n</math>, כלומר <math>x\~{}\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}n\sin(nx)</math>.

==== תרגיל ====
נתונה <math>f\in E[-\pi,\pi]</math>. לכל <math>a,b,c\in\mathbb C</math> נגדיר <math>G(a,b,c)=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi|f(x)+a+b\cos(x)+c\sin(x)|\mathrm dx</math>. עברו אילו ערכים של <math>a,b,c</math> מקבלת <math>G</math> את ערכה המינימלי?

===== פתרון =====
נשים לב ש־<math>G(a,b,c)=\|f(x)-{\color{Blue}(-a-b\cos(x)-c\sin(x))}\|^2</math>. אם החלק הכחול הוא ההיטל האורתוגנולי של <math>f</math> אז מובטח לנו ש־<math>G(a,b,c)</math> מקבל את ערכו המינימלי. נפתור זאת: {{left|<math>\begin{align}-a&=\frac{\langle f,1\rangle}{\|1\|^2}=\frac{\tfrac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm dx}{\tfrac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\mathrm dx}=\frac1{2\pi}\int\limtis_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm dx\\-b&=\frac{\langle f,\cos\rangle}{\|cos\|^2}=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(x)\mathrm dx\\-c&=\frac{\langle f,\sin\rangle}{\|\sin\|^2}=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(x)\mathrm dx\end{align}</math>}}

----

נתייחס למרחב הלינארי <math>\ell_2</math> ולאיבר <math>x=\left\{\frac{5^n-3^n}{7^n}\right\}_{n=1}^\infty</math>. מתקיים <math>\|x\|_2^2=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{5^n-3^n}{7^n}\right)^2=\sum_{n=1}^\infty\frac{25^n-2\cdot15^n+9^n}{49^n}=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{25}{49}\right)^n-2\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{15}{49}\right)^n+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac9{49}\right)^n</math> אלה טורים הנדסיים והתוצאה היא <math>\frac{16}{85}</math>. לכן, <math>\|x\|_2=\frac4\sqrt{85}</math>. {{משל}}

פולינום מינימלי

2018-09-02T14:24:15Z

יהודה שמחה:

[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
==הגדרה==
תהי <math>A</math> מטריצה ריבועית. אזי <math>m_A(x)</math> הפולינום המינימלי של <math>A</math> הוא הפולינום המתוקן מהדרגה הנמוכה ביותר המקיים
:<math>m_A(A)=0</math>
הערה: פולינום מתוקן הינו פולינום מהצורה <math>x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0</math> , כלומר המקדם של המונום בעל החזקה הגבוהה ביותר הנו 1.

==תכונות==
*לכל פולינום <math>f</math> עבורו <math>f(A)=0</math> מתקיים <math>m_A(x)|f(x)</math> . בפרט מ[[משפט קיילי-המילטון]] נובע כי הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני.
*לפולינום האופייני והפולינום המינימלי בדיוק אותם גורמים אי־פריקים. בפרט, השורשים של הפולינום המינימלי הם הערכים העצמיים של המטריצה.
**מסקנה: על־מנת לחשב את הפולינום המינימלי, נמצא את הפולינום המכיל את הגורמים האי־פריקים של הפולינום האופייני, בחזקות הכי נמוכות, המאפס את המטריצה

==תרגילים==
===א===
הוכח כי למטריצות דומות אותו פולינום מינימלי

'''הוכחה.'''

ראשית נשים לב לעובדה הבאה – יהי פולינום <math>f</math> ותהיינה מטריצות דומות <math>A,B</math> אזי גם המטריצות <math>f(A),f(B)</math> דומות.

אכן, נסמן <math>f(x)=a_nx^n+...+a_0</math> ונסמן <math>A=P^{-1}BP</math>. לכן:

::<math>f(A)=f(P^{-1}BP)=a_n(P^{-1}BP)^n+...+a_0I = a_nP^{-1}B^nP+...+a_0P^{-1}P = P^{-1}f(B)P</math>

מסקנה: נניח A,B מטריצות דומות, אזי לכל פולינום f מתקיים <math>f(A)=0</math> אם"ם <math>f(B)=0</math>.

אכן, המטריצה היחידה הדומה למטריצת האפס הינה מטריצת האפס עצמה. כיוון ש<math>f(A),f(B)</math> דומות, המסקנה נובעת.

בסה"כ, כיוון שהפולינומים המאפסים מטריצות דומות הם אותם פולינומים, בפרט המינימלי המתוקן מבינהם הוא אותו אחד.

===ב===
תהי A ריבועית כך שהפולינום המינמלי שלה הינו

:<math>m_A(x)=(x-1)^2</math>

יהא <math>f(x)=x^2+4x+3</math>, הוכח כי המטריצה <math>f(A)</math> הפיכה.

'''פתרון.'''

<math>f(A)=A^2+4A+3I = (A-I)^2+6A+2I = 6A+2I</math>

כעת, נוכיח כי <math>|f(A)|\neq 0</math> ולכן המטריצה הפיכה.

נניח בשלילה כי <math>|f(A)|= 0</math> לכן <math>|6A+2I|=0</math> ולכן <math>|A-\frac{-2}{6}I|=0</math>

אם כן, <math>\frac{-2}{6}</math> הוא ע"ע של המטריצה A, אבל הוא אינו שורש של הפולינום המינימלי הנתון, בסתירה.

===ג===
תהי A מטריצה אידמפוטנטית, כלומר <math>A^2=A</math>

1. מהן האפשרויות לפולינום המינימלי של A ולע"ע של A?

2. הוכח כי הפולינום האופייני של A מתפרק לגורמים לינאריים

3. מהן האפשרויות עבור <math>tr(A)</math>?

'''פתרון.'''

1. השיוויון <math>A^2=A</math> שקול לכך שהפולינום <math>f(x)=x^2-x=x(x-1)</math> מאפס את המטריצה A.

כיוון שהפולינום המינימלי מחלק כל פולינום המאפס את המטריצה, האפשרויות לפולינום המינימלי הן:

:<math>f_2=x</math>

:<math>f_1=x-1</math>

:<math>f_3=x(x-1)</math>

בהתאם הע"ע לכן יכולים להיות 0, 1 או שניהם יחד.

2. כיוון שהגורמים האי פריקים של הפולינום האופייני מופיעים בפולינום המינימלי, ומכיוון שהפולינום המינימלי כאן מכיל רק גורמים לינאריים, הפולינום האופייני חייב להתפרק לגורמים לינאריים.

3. כיוון שהפולינום האופייני מתפרק לגורמים לינאריים, המטריצה ניתנת לשילוש. כיוון שלמטריצות דומות אותו trace, נובע שהtrace של מטריצה ניתנת לשילוש הוא סכום הע"ע כולל חזרות (הרי הם מופיעים על האלכסון של הצורה המשולשית).

ביחד, האפשרויות לtrace הן כל מספר טבעי בין 0 לבין n, כתלות בריבוי האלגברי של הע"ע 1. קל למצוא דוגמאות שכל ערך כזה אכן מתקבל.

===ד===
מצא את הפולינום המינימלי של המטריצה <math>A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}</math>

'''פתרון.'''

<math>p_A(x) = (x-1)^2(x-2)</math>

לכן שתי האפשרויות היחידות לפולינום המינימלי הן:

::<math>(x-1)(x-2)</math>

::<math>(x-1)^2(x-2)</math>

נציב את המטריצה באופציה הראשונה (מדרגה נמוכה יותר) לגלות שאכן פולינום זה מאפס את המטריצה ולכן

::<math>m_A(x)=(x-1)(x-2)</math>

===ה===
הוכח כי הפולינום המינימלי של מטריצת הבלוקים <math>A\oplus B = \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix}</math> הוא המכפלה המשותפת המינימלית של הפולינומים <math>lcm(m_A(x),m_B(x))</math>

'''הוכחה.'''

ראשית נשים לב כי לכל פולינום f מתקיים:

::<math>f(A\oplus B)= f(A)\oplus f(B)</math> (זה תרגיל קל בכפל מטריצות בלוקים).

לכן, אם <math>f(A\oplus B)=0</math> אזי <math>f(A)=0</math> וגם <math>f(B)=0</math>.

לכן, <math>m_A(x)|f(x)</math> וגם <math>m_B(x)|f(x)</math>, כלומר f הוא כפולה משותפת של <math>m_A(x),m_B(x)</math>.

בכיוון ההפוך, כל כפולה משותפת של הפולינומים המינימליים תאפס את מטריצת הבלוקים.

ביחד, הפולינומים המאפסים את מטריצת הבלוקים הם בדיוק הכפולות המשותפות של הפולינומים המינימליים, ואנו מחפשים את המינימלי מבין כל הכפולות המשותפות.

משפט ההגדרה

2018-09-02T14:22:17Z

יהודה שמחה:

חזרה ל[[משפטים/לינארית|משפטים בלינארית]]

=משפט ההגדרה=
יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{v_1,\ldots,v_n\}</math> בסיס ל־<math>V</math> . יהי <math>W</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>w_1,\ldots,w_n</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים)

אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>T:V\to W</math> המקיימת:
:<math>\begin{align}Tv_1&=w_1\\&\vdots\\Tv_n&=w_n\end{align}</math>

=הוכחה=
יהי <math>v\in V</math> אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס <math>B</math>
:<math>v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n</math>
לכן, ניתן להגדיר היטב העתקה <math>T</math> על ידי
:<math>Tv=a_1w_1+\cdots+a_nw_n</math>
קל מאד להראות כי <math>T</math> המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר <math>Tv_i=w_i</math>).

נותר להוכיח כי <math>T</math> יחידה. אמנם, אם <math>S</math> העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר <math>Sv_i=w_i</math>), מתקיים:
:<math>\forall v\in V:Sv=S(a_1v_1+\cdots+a_nv_n)=a_1Sv_1+\cdots+a_nSv_n=a_1w_1+\cdots+a_nw_n=Tv</math>
ולכן <math>S=T</math> .

[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]

הפולינום האופייני

2018-09-02T14:19:10Z

יהודה שמחה:

[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
==הגדרה==
תהי <math>A</math> מטריצה ריבועית, אזי '''הפולינום האופייני''' שלה מוגדר להיות:
:<math>f_A(x):=|xI-A|</math>
קל לוודא שזה אכן פולינום במשתנה <math>x</math> .

==קשר בין פולינום אופייני לע"ע==
כל התנאים הבאים שקולים:
*<math>x</math> הנו [[וקטור עצמי|ע"ע]] של המטריצה <math>A</math>
לפי ההגדרה:
*קיים <math>v\ne0</math> וגם <math>Av=xv</math>
מעבר אגפים:
*קיים <math>v\ne0</math> וגם <math>Av-xv=0</math>
(דיסטריבוטיביות של כפל מטריצות:)
*קיים <math>v\ne0</math> וגם <math>(A-xI)v=0</math>
לפי ההגדרה:
*קיים פתרון לא־טריוויאלי במרחב האפס <math>N(A-xI)</math>
משפט מלינארית 1:
*המטריצה <math>A-xI</math> '''אינה''' הפיכה
משפט מלינארית 1:
*<math>|A-xI|=0</math>
לפי הגדרה:
*<math>f_A(x)=0</math>

===משפט===
<math>x</math> הנו [[וקטור עצמי|ע"ע]] של <math>A</math> אם"ם <math>x</math> הנו שורש של הפולינום האופייני של <math>A</math> .

משפט קיילי-המילטון

2018-09-02T14:17:10Z

יהודה שמחה:

תהי <math>A</math> מטריצה ריבועית, ויהי <math>p_A(x)</math> [[הפולינום האופייני]] של <math>A</math> . אזי:
:<math>p_A(A)=0</math>

[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]

מרחבי המטריצה

2018-09-02T14:16:42Z

יהודה שמחה:

[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
תהי מטריצה <math>A\in\Bbb{F}^{m\times n}</math> . מגדירים שלושה מרחבים עיקריים:
*'''מרחב השורות''' של <math>A</math> . זהו המרחב הנפרש על ידי שורות המטריצה. נסמן <math>R(A)=\text{span}\{R_1(A),\ldots,R_m(A)\}\sube\Bbb{F}^n</math>
*'''מרחב העמודות''' של <math>A</math> . זהו המרחב הנפרש על ידי עמודות המטריצה. נסמן <math>C(A)=\text{span}\{C_1(A),\ldots,C_n(A)\}\sube\Bbb{F}^m</math>
*'''מרחב האפס''' של <math>A</math> . זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>Ax=0</math> . נסמן <math>N(A)=\{x\in\Bbb{F}^n|Ax=0\}\sube\Bbb{F}^n</math>

הגדרה: '''דרגת''' המטריצה <math>A</math> שווה למספר השורות בצורה המדורגת שלה השונות מאפס. מסומן <math>\text{rank}A</math> .

משפט: <math>\text{rank}A=\dim R(A)=\dim C(A)=n-\dim N(A)</math> . אלה שווים למספר המשתנים התלויים, וממד מרחב האפס שווה למספר המשתנים החופשיים.

'''דוגמא.''' מצא בסיס למרחב האפס של המטריצה <math>\begin{pmatrix}1&0&1&1\\2&1&1&2\\1&1&0&1\end{pmatrix}</math>

ראשית, נדרג קנונית את המטריצה לקבלת
:<math>\begin{pmatrix}1&0&1&1\\0&1&-1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}</math>
לפיכך המשתנה השלישי והרביעי הם חופשיים, נציב במקומם פרמטרים <math>t,s</math> והפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(-t-s,t,t,s)</math> . תמיד ניתן לפרק את הפתרון הכללי לסכום של וקטורים קבועים כפול הסקלרים שהם הפרמטרים: <math>t(-1,1,1,0)+s(-1,0,0,1)</math> . וקטורים קבועים אלה תמיד מהווים בסיס למרחב הפתרונות:
*אנו רואים שכל פתרון הוא צירוף לינארי של הוקטורים הללו עם הסקלרים שהם הפרמטרים (במקרה זה <math>t,s</math>)
*וקטורים אלה תמיד בת"ל, שכן אם יש צירוף לינארי שלהם שמתאפס, מכיוון שהפרמטרים תמיד מופיעים לבדם בעמודה של המשתנה שלהם, הם חייבים להיות אפס
לכן הבסיס למרחב האפס הנו <math>\bigl\{(-1,0,0,1),(-1,1,1,0)\bigr\}</math>

===אלגוריתם למציאת '''שלושת''' מרחבי המטריצה===
#דרג את המטריצה (ניתן גם לדרג קנונית אך לא חובה)
#'''השורות השונות מאפס''' מהוות בסיס למרחב השורה
#'''העמודות במטריצה המקורית''' המהוות עמודות ציר (כלומר יש אבר פותח בעמודה בצורה הקנונית), מהוות בסיס למרחב העמודה
#הצב פרמטרים במקום המשתנים החופשיים
#מצא את הפתרון הכללי
#פרק את הפתרון הכללי לצירוף לינארי של וקטורים קבועים כפול הפרמטרים
#'''הוקטורים הקבועים''' מהווים בסיס למרחב האפס

'''שימו לב:''' בהנתן מרחב כלשהו (פולינומים, מטריצות, פונקציות) ניתן לבצע את החישובים על מרחב הקואורדינטות. כפי שראינו בשיעור שעבר, מציאת בסיס למרחבים רבים שקולה למציאת בסיס למרחב האפס של מטריצה מסוימת.

===סיכום בנושא ממדי מרחבים המטריצה והדרגה===
תהי <math>A</math> מטריצה. המספרים הבאים שווים (זה נובע מהחומר שלמדנו עד עכשיו):
*דרגת המטריצה
*ממד מרחב העמודות
*ממד מרחב השורות
*מספר השורות השונות מאפס בצורה הקנונית
*מספר האברים הפותחים
*מספר עמודות הציר
*מספר המשתנים התלויים

המספרים הבאים שווים:
*מספר המשתנים החופשיים
*ממד מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית

מכיוון שמספר המשתנים החופשיים ועוד מספר המשתנים התלויים שווה לסך כל המשתנים, וזהו מספר העמודות במטריצה, נובע שדרגת המטריצה ועוד ממד מרחב הפתרונות שווים למספר העמודות מ.

'''תרגיל.'''
הוכח כי לכל מטריצה <math>A\in\R^{m\times n}</math> מתקיים <math>\R^n=R(A)\oplus N(A)</math>

'''פתרון.'''
מכיוון שהרגע ראינו כי סכום הממדים מקיים <math>\dim R(A)+\dim N(A)=n</math> לפי משפט הממדים מספיק להוכיח שהחיתוך בינהם הנו אפס.

נניח שקיים <math>v</math> השייך למרחב הפתרונות וגם למרחב השורות. מכיוון שהוא שייך למרחב השורות, ניתן להפעיל פעולות שורה על המטריצה כך שאחת משורותיה תהפוך להיות <math>v</math> , בלי הגבלת הכלליות תהא זו השורה הראשונה.

מכיוון ש־<math>v</math> במרחב הפתרונות של <math>A</math> , הוא גם במרחב הפתרונות של המטריצה לאחרת פעולות השורה <math>B</math> , ומתקיים <math>Bv=0</math> . אבל האבר הראשון במכפלה שווה <math>0=R_1(A)v=v^tv</math> וכפי שלמדנו זהו סכום ריבועים שמתאפס ולכן <math>v=0</math> כפי שרצינו.

משפט הדרגה

2018-09-02T14:09:41Z

יהודה שמחה:

חזרה ל[[משפטים/לינארית|משפטים בלינארית]]

=משפט הדרגה=
יהיו <math>V,W</math> מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית <math>T:V\to W</math> . אזי מתקיים:
:<math>\dim(\ker T)+\dim(\Im T)=\dim(V)</math>

=הוכחה=
נסמן את הבסיס לגרעין ב־<math>\{v_1,\ldots,v_k\}</math> .

נשלים את הבסיס הזה לבסיס ל־<math>V</math> , נסמנו <math>\{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p\}</math> .

נוכיח כי <math>E=\{Tu_1,\ldots,Tu_p\}</math> בסיס לתמונה, ומכאן נסיק בקלות את המשפט.

===E פורש את ImT===
כיוון שכל וקטור ב־<math>V</math> הנו צירוף לינארי של אברי הבסיס, <math>T</math> שולחת כל וקטור לצירוף לינארי של תמונות אברי הבסיס.

לכן, באופן כללי, בהנתן בסיס ל־<math>V</math> התמונות של אברי הבסיס '''פורשות''' (אך לא בהכרח בסיס) לתמונה של <math>T</math> .

כלומר <math>\Im T=\text{span}\{Tv_1,\ldots,Tv_k,Tu_1,\ldots,Tu_p\}</math> .

ברור כי <math>Tv_1=\cdots=Tv_k=0</math> (הרי בחרנו את <math>v_1,\ldots,v_k</math> להיות בסיס לגרעין).

לכן מתקיים <math>\Im T=\text{span}\{Tu_1,\ldots,Tu_p\}</math> .

===E בת"ל===
ניקח צירוף לינארי מתאפס של אברי <math>E</math> :
:<math>a_1Tu_1+\cdots+a_pTu_p=0</math>
לכן
:<math>T(a_1u_1+\cdots+a_pu_p)=0</math>
לכן
:<math>a_1u_1+\cdots+a_pu_p\in\ker T</math>
ולכן קיים צירוף לינארי של אברי הבסיס לגרעין עבורו
:<math>a_1u_1+\cdots+a_pu_p=b_1v_1+\cdots+b_kv_k</math>
נעביר אגף לקבל צירוף לינארי מתאפס של אברי הבסיס של <math>V</math> , ולכן כל המקדמים הם 0.

לכן <math>E</math> בת"ל.

===ספירת ממדים וסיכום===
הוכחנו אפוא, כי <math>E</math> הנו בסיס לתמונה, ולכן יש לנו בסיסים וממדים לכל תת־המרחבים המעורבים בעניין.
:<math>\dim(V)=k+p=\dim(\ker T)+\dim(\Im T)</math>

[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]

שדה סופי

2018-09-02T14:01:25Z

יהודה שמחה:

'''שדה סופי''' הוא – למה כבר אפשר לצפות – [[שדה]] [[קבוצה סופית|סופי]], כלומר, שדה שיש בו מספר סופי של אברים.

הדוגמא המוכרת ביותר הם השדות מסדר ראשוני, <math>\Z_p</math> , אבל יש גם שדות סופיים אחרים.

כמו ב[[חבורה|חבורות]], ה"סדר" של השדה הוא מספר האברים שלו. וכמו בחבורות, הסדר הוא הפרמטר החשוב ביותר בתאור השדה. למעשה, הרבה יותר מבחבורות: כל שני שדות סופיים מאותו סדר הם [[איזומורפיזם|איזומורפיים]].

==סדרים אפשריים==
ה[[מאפיין]] של שדה סופי הוא מספר ראשוני <math>p</math> . השדה מכיל [[תת-שדה ראשוני]] שהוא איזומורפי ל־<math>\Z_p</math> . השדה הוא [[מרחב וקטורי]] מעל תת־השדה הזה, ומכיוון שיש לו [[ממד]] סופי, הוא איזומורפי *בתור מרחב וקטורי* ל־<math>\Z_p^n</math> (התאור הזה קובע את פעולת החיבור, ולכן גם את המבנה כחבורה חיבורית, אבל לא את פעולת הכפל). מכאן שהגודל של שדה סופי הוא חזקה של ראשוני <math>p</math> .

==קיום==
לכל חזקת ראשוני <math>q=p^n</math> קיים שדה מסדר <math>q</math> .

'''הוכחה'''. נתבונן בפולינום <math>x^{q}-x</math> מעל השדה הראשוני <math>F=\Z_p</math> . יהי <math>K</math> [[שדה מפצל]] של הפולינום הזה. נתבונן בתת־הקבוצה <math>K_0=\{a\in K:a^q=a\}</math> . קל לראות שהיא סגורה לכפל; והיא סגורה לחיבור בשל [[אוטומורפיזם פרובניוס]]. לכן זהו תת־שדה. יש בו בדיוק <math>q</math> אברים, בגלל צירוף הסיבות הבאות:
#מספר ה[[שורש של פולינום|שורשים]] של הפולינום אינו יכול לעבור את המעלה;
#הפולינום [[פולינום ספרבילי|ספרבילי]] ולכן אין לו שורשים חוזרים;
#הפולינום מתפצל ב־<math>K_0</math> מכיוון שהוא מתפצל ב־<math>K</math> .

כדי לבנות באופן מפורש שדה מסדר <math>q=p^n</math> , יש להכיר [[פולינום אי-פריק]] <math>f\in F[x]</math> מ[[מעלה]] <math>n</math> . במקרה זה, [[חוג מנה|חוג המנה]] <math>F[x]/F[x]f(x)</math> הוא שדה מכיוון ש־<math>F[x]f(x)</math> [[אידיאל מקסימלי]].

==יחידות==

העובדה שמכל סדר <math>q</math> יש לכל היותר שדה אחד נובעת מיחידות [[שדה פיצול|שדה הפיצול]] (טענה זו אינה בחומר לקורס "מבנים אלגבריים").

[[קטגוריה:תורת גלואה]]
[[קטגוריה:89214]]

התאמת גלואה

2018-09-02T13:56:28Z

יהודה שמחה:

התאמת גלואה היא הלב של תורת גלואה ועליה מושתתות הרבה תוצאות חשובות. ההתאמה מתבטאת במשפט היסודי של תורת גלואה הקובע כי יש התאמה בין שדות ביניים של הרחבת גלואה ובין תתי החבורות של חבורת גלואה שלה.

==המשפט היסודי של תורת גלואה==
'''משפט:''' תהי <math>E/F</math> הרחבת גלואה מממד סופי ותהי <math>G=\text{Gal}(E/F)</math> אזי קיימת התאמה חח"ע ועל בין:
:א. תת־שדות <math>F\sube K\sube E</math>
:ב. תת־חבורות <math>H\le G</math>
ההתאמה שולחת חבורה <math>H</math> אל השדה <math>E^H=\bigl\{a\in E:\sigma a=a~\forall\sigma\in H\bigr\}</math> ותת־שדה <math>F\sube K\sube E</math> אל החבורה <math>\text{Gal}(E/K)</math> (פונקציות אלו הפוכות זו לזו). בנוסף, ההתאמה מקיימת:
:1. <math>|H|=[E:E^H]</math>
:2. <math>[E^H:F]=[G:H]</math>
:3. <math>H_1\sube H_2</math> אם ורק אם <math>E^{H_1}\supe E^{H_2}</math> (אין טעות; כוון ההכלה מתהפך)
:4. <math>H</math> נורמלית ב-<math>G</math> אם ורק אם <math>E^H/F</math> נורמלית אם ורק אם <math>E^H/F</math> גלואה. במקרה זה <math>\text{Gal}(E^H/F)\cong G/H</math> . האיזומורפיזם נתון ע"י שליחת קוסט <math>\sigma H</math> אל <math>\sigma|_{E^H}</math> .

'''הערה:''' קיים אנלוג של המשפט הנ"ל גם להרחבות גלואה אינסופיות.

==חישוב בידיים של ההתאמה==
נניח כי <math>E/F</math> הרחבת גלואה מממד סופי ומצאנו את חבורת גלואה <math>G=\text{Gal}(E/F)</math> .

בהינתן שדה <math>F\sube K\sube E</math> קל למצוא את תת החבורה המתאימה לו <math>H=\text{Gal}(E/K)</math> ע"י בדיקה אילו מאברי <math>G</math> מייצבים את <math>K</math> . בפרט, אם <math>K=F[a_1,\ldots,a_n]</math> מספיק לבדוק אילו מאברי <math>G</math> מייצבים את <math>a_1,\ldots,a_n</math> .

לעומת זאת, בהינתן תת־חבורה <math>H\le G</math> לא תמיד ברור מהו תת־השדה המתאים לה <math>K=E^H</math> .

ראשית, נשים לב שהתנאי <math>a\in E^H</math> אומר <math>\sigma a=a</math> לכל <math>\sigma\in H</math> . היות וכל <math>\sigma\in H</math> היא העתקה לינארית מעל <math>F</math> , התנאים <math>\{\sigma a=a\}_{\sigma\in H}</math> שקולים למשוואות לינאריות מעל <math>F</math> . בסיס למרחב הפתרונות יהיה בסיס ל־<math>E^H</math> מעל <math>F</math> .

שימו לב שכדי לתרגם משוואה מהצורה <math>\sigma a=a</math> למשוואה לינארית מעל <math>F</math> יש לבחור בסיס ל־<math>E</math> כמרחב וקטורי מעל <math>F</math> . (הנעלמים יהיו הסקלרים אותם נכפיל באברי הבסיס.)

השיטה הנ"ל אמנם תמיד עובדת, אך בדרך כלל אורכת זמן לביצוע. לכן, אם אפשר עדיף לנסות למצוא אברים <math>a_1,\ldots,a_n\in E^H</math> ולקוות שהם יוצרים את <math>E^H</math> מעל <math>F</math> . כעת יש שתי שאלות: איך נמצא את האברים ואיך נדע שהם יוצרים את <math>E^H</math> .

תשובה לשאלה השנייה נובעת מהטענה הבאה:

'''טענה:''' <math>E^H=F[a_1,\ldots,a_n]</math> אם ורק אם <math>H</math> מייצבת את <math>a_1,\ldots,a_n</math> וגם <math>[F[a_1,\ldots,a_n]:F]\ge[G:H]</math> .

'''הוכחה:''' תרגיל בעזרת המשפט היסודי של תורת גלואה.

לשאלה הראשונה אין תשובה פורמלית (חוץ מלפתור משוואות). לפעמים ברור שאברים הם ב־<math>E^H</math> והם גם מספיקים כדי ליצור את כולו. להלן שתי דוגמאות:
:1. אם <math>\sigma</math> הוא צמצום של הצמוד המרוכב, אז כל מספר ממשי ב־<math>E</math> נמצא ב־<math>E^\sigma</math> .
:2. נניח כי <math>E</math> שדה פיצול של <math>f</math> מעל <math>F</math> ויהיו <math>a_1,\ldots,a_k\in E</math> השורשים של <math>f</math> . אזי ניתן לחשוב על אברי <math>G</math> כתמורות ב־<math>S_k</math> (המתאימות לתמורות על השורשים <math>a_1,\ldots,a_k</math>). נשים לב שאם <math>\sigma\in H</math> היא מכפלה של מחזורים זרים שאחד מהם הוא <math>(n_1,\ldots,n_r)</math> אז <math>\sum\limits_{i=1}^ra_{n_i},~\prod\limits_{i=1}^ra_{n_i}\in E^{<\sigma>}</math> .
:3. באותן הנחות כמו ב־2, אם האינדקס <math>n</math> לא מופיע בייצוג של <math>\sigma\in H</math> כמכפלת מחזורים זרים, אז <math>\sigma a_n=a_n</math> .

'''דוגמא:''' נניח כי <math>E=\Q[\sqrt[4]{2},i],~F=\Q</math> . ההרחבה <math>E/F</math> חבורת גלואה ונוצרת ע"י שתי העתקות <math>\sigma,\alpha</math> הנתונות ע"י:
:<math>\begin{align}\sigma(i)&=-i,~\sigma(\sqrt[4]{2})=\sqrt[4]{2}\\\alpha(i)&=i,~\alpha(\sqrt[4]{2})=i\sqrt[4]{2}\end{align}</math>
האברים <math>\sigma,\alpha</math> מקיימים את היחסים <math>\alpha^4=\sigma^2=id,\alpha\sigma=\alpha^-1\sigma</math> (עם עוד קצת נימוקים זה מספיק כדי להראות כי <math>\text{Gal}(E/F)\cong D_4</math>). בדקו שהחבורה <math><\sigma\alpha></math> מכילה שני אברים.

כדי למצוא את <math>E^{<\sigma\alpha>}</math> נזכר כי <math>E</math> שדה פיצול של <math>x^4-2</math> ושורשי הפולינום הם <math>\sqrt[4]{2},i\sqrt[4]{2},-\sqrt[4]{2},-i\sqrt[4]{2}</math> נסמן אותם ב־<math>a_1,a_2,a_3,a_4</math> בהתאמה. כעת, התמורה המתאימה ל־<math>\sigma\alpha</math> היא <math>(1,4)(2,3)</math> . לכן <math>b=a_1+a_4\in E^H</math> .

נבדוק האם <math>\Q[b]=E^H</math> . מתקיים <math>b=\sqrt[4]{2}-i\sqrt[4]{2}=(1-i)\sqrt[4]{2}=\rho_8^3\sqrt[4]{8}</math> באשר
<math>\rho_8=e^{\frac{2\pi}{8}i}</math> . לכן <math>b</math> שורש של <math>x^4+8</math> (במובן מסוים <math>b=\sqrt[4]{-8}</math> אם כי הניסוח הזה לא אומר באיזה שורש מדובר). נשאיר את זה כתרגיל לבדוק שמדובר בפולינום אי פריק (רמז: הציבו <math>x=2y^{-1}</math>). לכן ההרחבה <math>\Q[b]/\Q</math> היא ממעלה 4. אבל <math>[E^{<\sigma\alpha>}:\Q]=[G:<\sigma\alpha>]=4</math> ולכן <math>E^{<\sigma\alpha>}=\Q[\rho_8^3\sqrt[4]{8}]</math> .

'''דוגמא:''' בסימונים של הדוגמא הקודמת, מהו <math>E^{<\sigma\alpha^2>}</math>?

תשובה: התמורה המתאימה ל־<math>\sigma^2\alpha</math> היא <math>(1,3)</math> . לכן <math>i\sqrt[4]{2}=a_2\in E^{<\sigma\alpha^2>}</math> . אותם שיקולי ממד מהדוגמא הקודמת יראו כי <math>E^{<\sigma\alpha^2>}=\Q[i\sqrt[4]{2}]</math> .

==בסיסים נורמליים ואיך להשתמש בהם==
בקרוב... אלא אם אחד הסטודנטים מתנדב לכתוב בעצמו את הערך הזה.

[[קטגוריה:תורת גלואה]]

משפט המימדים

2018-09-02T13:38:35Z

יהודה שמחה:

חזרה ל[[משפטים/לינארית|משפטים בלינארית]]

=משפט הממדים=
יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>U,W</math> תת־מרחבים של <math>V</math> . אזי:
:<math>\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)</math>

=הוכחה=
נסמן את הבסיס ל־<math>U\cap W</math> ב־<math>\{v_1,\ldots,v_k\}</math> .

כיון ש־<math>U\cap W\sube U,W</math> , ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס ל־<math>U</math> ובאופן דומה לבסיס ל־<math>W</math> .

נסמן את הבסיסים <math>\{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p\},\{v_1,\ldots,v_k,w_1,\ldots,w_m\}</math> .

נסמן את איחוד הבסיסים <math>B=\{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p,w_1,\ldots,w_m\}</math> , ונוכיח כי <math>B</math> הנו בסיס ל־<math>U+W</math> .

===B פורש את U+W===
יהי <math>u+w\in U+W</math> . אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים
:<math>u+w=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1v_1+\cdots+c_kv_k+d_1w_1+\cdots+d_mw_m</math>
ברור אם כך כי <math>u+w\in\text{span}(B)</math>

===B בת"ל===
ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של אברי <math>B</math> :
:<math>a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1w_1+\cdots+c_mw_m=0</math>
נסמן <math>v=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p=-c_1w_1-\cdots-c_mw_m</math>

ברור משני אגפי המשוואה כי <math>v\in U\and v\in W</math> ולכן <math>v\in U\cap W</math>

לכן ל־<math>v</math> יש הצגה כצירוף לינארי של אברי הבסיס לחיתוך, <math>v=d_1v_1+\cdots+d_kv_k</math> .

כמו כן, ל־<math>v</math> יש הצגה '''יחידה''' כצירוף לינארי של אברי הבסיס של <math>U</math> ולכן מתקיים:
:<math>v=d_1v_1+\cdots+d_kv_k+0\cdot u_1+\cdots+0\cdot u_p=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p</math>
ולכן <math>b_1=\cdots=b_p=0</math> .

כעת קיבלנו כי <math>a_1v_1+\cdots+a_kv_k+c_1w_1+\cdots+c_mu_m=0</math> ,

אבל זה צירוף לינארי של אברי הבסיס של <math>W</math> ולכן הוא טריוויאלי.

מכאן שהצירוף הלינארי היחיד המתאפס של אברי <math>B</math> הנו הטריוויאלי ולכן <math>B</math> בת"ל.

===ספירת ממדים וסיכום===
מצאנו אפוא, בסיסים לכל תת־המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת:
:<math>\dim(U+W)=k+p+m=k+p+k+m-k=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)</math>

[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]

88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד ב'

2018-08-29T11:59:53Z

יהודה שמחה:

[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
=המבחן של פרופ' זלצמן=
==שאלה 1==
תהי סדרה <math>a_n</math> , ותהי <math>E</math> קבוצות הגבולות החלקיים שלה. הוכח/הפרך: <math>E</math> סגורה

===הוכחה===
על־מנת להוכיח כי <math>E</math> סגורה, יש להוכיח שהיא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. כלומר, אם <math>r</math> היא נקודת הצטברות של <math>E</math> אזי היא גם גבול חלקי של <math>E</math> .

נניח <math>r</math> נקודת הצטברות של <math>E</math> , לכן לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים גבול חלקי הקרוב ל־<math>r</math> עד כדי <math>\varepsilon</math> , ולכל גבול חלקי כזה קיימת תת-סדרה המתכנסת אליו.

לכן, עבור <math>\frac1n</math> קיימת תת-סדרה המתכנסת למספר הקרוב ל־<math>r</math> עד כדי <math>\frac1n</math> . לכן קיים בסדרה הזו מקום אשר החל ממנו והלאה כל האיברים קרובים ל־<math>r</math> עד כדי <math>\frac2n</math> (המרחק בין גבול תת־הסדרה לבין <math>r</math> ועוד מרחק בין איברי תת־הסדרה לגבול תת־הסדרה). נבחר איברים כאלה מתת־הסדרות, ובלבד שכל איבר יהיה אחרי האיבר הקודם. כך בנינו סדרה שאיבריה קרובים מרחק <math>\frac2n</math> מ־<math>r</math> ולכן היא ודאי מתכנסת ל־<math>r</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

==שאלה 2==
בדוק התכנסות של הטורים הבאים:

===א===
<math>\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\tan\left(\frac1n\right)</math>

נבדוק התכנסות בהחלט, נוכיח שהטור חבר של הטור ההרמוני:

<math>\lim_{n\to\infty}\frac{\tan\left(\frac1n\right)}{\frac1n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\left(\frac1n\right)}{\frac1n\cdot\cos\left(\frac1n\right)}=1</math>

ולכן הוא אינו מתכנס בהחלט.

קל לראות כי <math>\tan</math> מונוטונית באזור <math>0</math> (נגזרתה חיובית בלבד), וכמו כן <math>\tan(0)=0</math> והיא רציפה שם ולכן סה"כ יש לנו סדרה המתכנסת מונוטונית ל־<math>0</math> ולפי משפט לייבניץ הטור כולו '''מתכנס בתנאי'''.

===ב===
<math>\sum_{n=1}^\infty(-1)^ne^\frac{1}{\log(n)}</math>

קל לראות כי <math>e^\frac{1}{\log(n)}\to1</math> ולכן הטור '''מתבדר'''.

===ג===
<math>\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\cos\big(\log(n)\big)}{n\log(n)^3}</math>

בערך מוחלט זה קטן מ־<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n\log(n)^3}</math> . זו סדרה מונוטונית יורדת ולכן ניתן להפעיל את מבחן העיבוי לקבל את הטור
<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{2^n\log(2^n)^3}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3\log(2)^3}</math> שהוא כמובן מתכנס, ולכן כל הטור '''מתכנס בהחלט'''.

==שאלה 3==
ציטוט משפטים – תשובות במחברת ההרצאה

==שאלה 4==
זהה וסווג נקודות אי־רציפות:
===א===
<math>(x^2-1)\sin\left(\frac1{x^3-x^2}\right)</math>

נקודות אי־הרציפות הן כאשר המכנה מתאפס, כלומר <math>0,1</math> . ב־<math>0^+</math> , <math>\frac{1}{x^3-x^2}\to -\infty</math> . מכיון שזו פונקציה רציפה ששואפת לאינסוף, הסינוס מקבל עליה אינסוף מחזורים ולכן אין לו גבול. <math>x^2-1\to -1</math> ולכן סה"כ יש לנו פונקציה עם גבול סופי שונה מ־<math>0</math> גבול פונקציה ללא גבול ולכן לא קיים הגבול החד־צדדי ולכן נקודת אי־הרציפות <math>0</math> הנה '''ממין שני'''.

בנקודה <math>1</math> אנחנו מקבלים פונקציה ששואפת ל־<math>0</math> כפול חסומה' ולכן סה"כ יש שאיפה ל־<math>0</math> וזו נקודת אי־רציפות סליקה.

===ב===
<math>f(x)=\big\lfloor|x|\big\rfloor</math>

נניח ש[x] הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל־<math>x</math> . אזי עבור <math>|x|<1</math> מתקיים <math>f(x)=0</math> ולכן שם הפונקציה רציפה. עבור <math>1<|x|<2</math> מתקיים <math>f(x)=1</math> ולכן <math>x=\pm 1</math> הנן נקודות אי־רציפות ממין ראשון (הגבול הוא <math>1</math> מצד אחד ו־<math>0</math> מהצד השני). באופן דומה לכל <math>n</math> טבעי מתקיים ש<math>\pm n</math> הן נקודות אי-רציפות מ'''מין ראשון'''.

===ג===
<math>\tan\left(\frac{1}{\log(x^2)}\right)</math>

ב־<math>0</math> , הלוגריתם שואף ל־<math>-\infty</math> ולכן <math>\frac{1}{\log(x^2)}\to 0</math> ולכן הגבול כולו הוא <math>0</math> וזו נקודת אי־רציפות '''סליקה'''.

ב־<math>\pm1</math> הלוגריתם שואף ל־<math>0</math> ולכן מצד אחד <math>\frac{1}{\log}</math> שואף לאינסוף באופן רציף, ולכן הטנגנס עושה אינסוף מחזורים ולכן לא קיים הגבול החד־צדדי ולכן אלה נקודות אי־רציפות מ'''מין שני'''.

במקומות בהם <math>\frac{1}{\log(x^2)}=\frac{\pi}{2}+\pi k</math> הטנגנס לא מוגדר ושואף לאינסוף ולכן אלו נקודות אי־רציפות מ'''מין שני'''. נקודות אלה הן מהצורה <math>\sqrt{e^\frac{1}{\frac{\pi}{2}+\pi k}}</math>

==שאלה 5==
האם הפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים הנתונים?

===א===
<math>e^{-|\tan(x)|}</math> בקטע <math>\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)</math>

הפונקציה רציפה בכל הקטע ובקצות הקטע <math>|\tan(x)|\to\infty</math> ולכן סה"כ הגבולות הם <math>0</math> כלומר סופיים ולכן הפונקציה '''רציפה במ"ש'''.

===ב===
<math>\log\big(2+\cos(x)\big)</math> בכל הממשיים.

<math>2+\cos(x)</math> רציפה במ"ש בכל הממשיים, ומקבלת ערכים בקטע <math>[1,3]</math> . בקטע הזו <math>\log</math> רציפה במ"ש ולכן סה"כ יש לנו הרכבה של רציפות במ"ש ולכן הפונקציה '''רציפה במ"ש'''.

===ג===
<math>\cos\big(\log(x)\big)</math> בקטע <math>(0,\infty)</math>

ניקח שתי סדרות ששואפות ל־<math>0</math> , אבל הפונקציה עליהן תהיה קבועה. על האחת <math>1</math> ועל השניה <math>-1</math>, וזה יסתור רציפות במ"ש. <math>y_n=e^{-2\pi n-\pi}</math>, <math>x_n=e^{-2\pi n}</math>

==שאלה 6==
נגזרות

==שאלה 7==
תהי <math>f</math> גזירה בקטע <math>(a,b)</math> ותהי נקודה <math>x_0\in (a,b)</math>

===א===
הוכח שאם קיים הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)=L</math> אזי מתקיים <math>f'(x_0)=L</math> .

לפי הגדרה <math>f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math> . ברור כי <math>\lim\limits_{x\to x_0}(x-x_0)=0</math> ומכיון ש־ <math>f</math> רציפה אזי גם <math>\lim\limits_{x\to x_0}\big[f(x)-f(x_0)\big]=0</math> . לכן אם יש גבול לנגזרת של המונה חלקי הנגזרת של המכנה אז הוא שווה לגבול המקורי לפי לופיטל.

נגזור את המונה והמכנה לקבל <math>\frac{f'(x)}{1}\to L</math> ולכן קיבלנו את מה שרצינו.

===ב===
מצא פונקציה כנ"ל כך שלא קיים הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)</math>

כפי שראינו בכיתה, נשתמש בפונקציה <math>f(x)=\begin{cases}x^2\sin\left(\frac1x\right)&:x\ne0\\0&:x=0\end{cases}</math> . ברור שהיא גזירה בכל מקום פרט ל־ <math>0</math> , נוכיח שהיא גם גזירה ב־<math>0</math> .
:<math>f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}x\sin\left(\frac1x\right)=0</math>
לכן ערך הנגזרת ב־<math>0</math> הוא <math>0</math> . מהו גבול הנגזרת ב־<math>x_0=0</math>?

הנגזרת בנקודות השונות מאפס שווה ל־<math>2x\sin\left(\frac1x\right)-\cos\left(\frac1x\right)</math> . לכן גבולה ב־<math>0</math> לא קיים (<math>0</math> ועוד משהו לא קיים) כפי שרצינו.

==שאלה 8==
תהי פונקציה גזירה ורציפה במ"ש ב־<math>(-1,1)</math> . הוכח/הפרך: <math>f'</math> חסומה על כל תת־קטע סגור של <math>(-1,1)</math> .

===הפרכה===
למעשה אנו '''חייבים''' נגזרת שאינה רציפה כמו בשאלה 7 סעיף ב', אחרת פונקציה רציפה על קטע סגור חסומה בו. נביט בפונקציה
:<math>f(x)=\begin{cases}x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)&:x\ne0\\0&:x=0\end{cases}</math>
היא גזירה כמו שראינו בשאלה קודמת. הנגזרת הנה <math>2x\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)-\frac2x\cos\left(\frac{1}{x^2}\right)</math> . נביט בסדרה השואפת לאפס <math>x_n=\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}</math> עליה מקבלים <math>f'(x_n)=-2\sqrt{2\pi n}\to-\infty</math> ולכן הנגזרת אינה חסומה בקטע הסגור <math>[-0.5,0.5]</math> .

88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד ב'

2018-08-28T08:29:22Z

יהודה שמחה:

[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
=המבחן של פרופ' זלצמן=
==שאלה 1==
תהי סדרה <math>a_n</math> , ותהי <math>E</math> קבוצות הגבולות החלקיים שלה. הוכח/הפרך: <math>E</math> סגורה

===הוכחה===
על־מנת להוכיח כי <math>E</math> סגורה, יש להוכיח שהיא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. כלומר, אם <math>r</math> היא נקודת הצטברות של <math>E</math> אזי היא גם גבול חלקי של <math>E</math> .

נניח <math>r</math> נקודת הצטברות של <math>E</math> , לכן לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים גבול חלקי הקרוב ל־<math>r</math> עד כדי <math>\varepsilon</math> , ולכל גבול חלקי כזה קיימת תת-סדרה המתכנסת אליו.

לכן, עבור <math>\frac1n</math> קיימת תת-סדרה המתכנסת למספר הקרוב ל־<math>r</math> עד כדי <math>\frac1n</math> . לכן קיים בסדרה הזו מקום אשר החל ממנו והלאה כל האיברים קרובים ל־<math>r</math> עד כדי <math>\frac2n</math> (המרחק בין גבול תת־הסדרה לבין <math>r</math> ועוד מרחק בין איברי תת־הסדרה לגבול תת־הסדרה). נבחר איברים כאלה מתת־הסדרות, ובלבד שכל איבר יהיה אחרי האיבר הקודם. כך בנינו סדרה שאיבריה קרובים מרחק <math>\frac2n</math> מ־<math>r</math> ולכן היא ודאי מתכנסת ל־<math>r</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

==שאלה 2==
בדוק התכנסות של הטורים הבאים:

===א===
<math>\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\tan\left(\frac1n\right)</math>

נבדוק התכנסות בהחלט, נוכיח שהטור חבר של הטור ההרמוני:

<math>\lim_{n\to\infty}\frac{\tan\left(\frac1n\right)}{\frac1n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\left(\frac1n\right)}{\frac1n\cdot\cos\left(\frac1n\right)}=1</math>

ולכן הוא אינו מתכנס בהחלט.

קל לראות כי <math>\tan</math> מונוטונית באזור <math>0</math> (נגזרתה חיובית בלבד), וכמו כן <math>\tan(0)=0</math> והיא רציפה שם ולכן סה"כ יש לנו סדרה המתכנסת מונוטונית ל־<math>0</math> ולפי משפט לייבניץ הטור כולו '''מתכנס בתנאי'''.

===ב===
<math>\sum_{n=1}^\infty(-1)^ne^\frac{1}{\log(n)}</math>

קל לראות כי <math>e^\frac{1}{\log(n)}\to1</math> ולכן הטור '''מתבדר'''.

===ג===
<math>\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\cos\big(\log(n)\big)}{n\log(n)^3}</math>

בערך מוחלט זה קטן מ־<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n\log(n)^3}</math> . זו סדרה מונוטונית יורדת ולכן ניתן להפעיל את מבחן העיבוי לקבל את הטור
<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{2^n\log(2^n)^3}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3\log(2)^3}</math> שהוא כמובן מתכנס, ולכן כל הטור '''מתכנס בהחלט'''.

==שאלה 3==
ציטוט משפטים – תשובות במחברת ההרצאה

==שאלה 4==
זהה וסווג נקודות אי־רציפות:
===א===
<math>(x^2-1)\cdot\sin\left(\frac1{x^3-x^2}\right)</math>

נקודות אי-הרציפות הן כאשר המכנה מתאפס, כלומר <math>0</math> ו- <math>1</math>. ב- <math>0^+</math> , <math>\frac1{x^3-x^2}\to -\infty</math>. מכיון שזו פונקציה רציפה ששואפת לאינסוף, הסינוס מקבל עליה אינסוף מחזורים ולכן אין לו גבול. <math>x^2-1\to -1</math> ולכן סה"כ יש לנו פונקציה עם גבול סופי שונה מ- <math>0</math> גבול פונקציה ללא גבול ולכן לא קיים הגבול החד-צדדי ולכן נקודת האי-רציפות <math>0</math> הנה '''ממין שני'''.

בנקודה <math>1</math> אנחנו מקבלים פונקציה ששואפת ל- <math>0</math> כפול חסומה' ולכן סה"כ יש שאיפה ל- <math>0</math> וזו נקודת אי-רציפות סליקה.

===ב===
<math>f(x)=\big\lfloor|x|\big\rfloor</math>

נניח ש[x] הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל- <math>x</math> . אזי עבור <math>|x|<1</math> מתקיים <math>f(x)=0</math> ולכן שם הפונקציה רציפה. עבור <math>1<|x|<2</math> מתקיים <math>f(x)=1</math> ולכן <math>x=\pm 1</math> הנן נקודות אי-רציפות ממין ראשון (הגבול הוא <math>1</math> מצד אחד ו- <math>0</math> מהצד השני). באופן דומה לכל <math>n</math> טבעי מתקיים ש<math>\pm n</math> הן נקודות אי-רציפות מ'''מין ראשון'''.

===ג===
<math>\tan\left(\frac1{\log(x^2)}\right)</math>

ב- <math>0</math> , ה- <math>\log</math> הולך ל- <math>-\infty</math> ולכן <math>\frac1{\log(x^2)}\to 0</math> ולכן הגבול כולו הוא <math>0</math> וזו נקודת אי-רציפות '''סליקה'''.

ב- <math>\pm 1</math> הלוג הולך ל- <math>0</math> ולכן מצד אחד <math>\frac1{\log}</math> שואף לאינסוף באופן רציף, ולכן ה- <math>\tan</math> עושה אינסוף מחזורים ולכן לא קיים הגבול החד-צדדי ולכן אלה נקודות אי-רציפות מ'''מין שני'''.

במקומות בהם <math>\frac1{\log(x^2)}=\frac{\pi}{2}+\pi k</math> הtan לא מוגדר ושואף לאינסוף ולכן אלו נקודות אי-רציפות מ'''מין שני'''. נקודות אלה הן מהצורה <math>\sqrt{e^\frac1{\frac{\pi}{2}+\pi k}}</math>

==שאלה 5==
האם הפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים הנתונים?

===א===
<math>e^{-|\tan(x)|}</math> בקטע <math>\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)</math>

הפונקציה רציפה בכל הקטע ובקצות הקטע <math>|\tan(x)|\to\infty</math> ולכן סה"כ הגבולות הם <math>0</math> כלומר סופיים ולכן הפונקציה '''רציפה במ"ש'''.

===ב===
<math>\log\big(2+\cos(x)\big)</math> בכל הממשיים.

<math>2+\cos(x)</math> רציפה במ"ש בכל הממשיים, ומקבלת ערכים בקטע <math>[1,3]</math>. בקטע הזו <math>\log</math> רציפה במ"ש ולכן סה"כ יש לנו הרכבה של רציפות במ"ש ולכן הפונקציה '''רציפה במ"ש'''.

===ג===
<math>\cos\big(\log(x)\big)</math> בקטע <math>(0,\infty)</math>

ניקח שתי סדרות ששואפות ל- <math>0</math>, אבל הפונקציה עליהן תהיה קבועה. על האחת <math>1</math> ועל השניה <math>-1</math>, וזה יסתור רציפות במ"ש. <math>y_n=e^{-2\pi n-\pi}</math>, <math>x_n=e^{-2\pi n}</math>

==שאלה 6==
נגזרות

==שאלה 7==
תהי <math>f</math> גזירה בקטע <math>(a,b)</math> ותהי נקודה <math>x_0\in (a,b)</math>

===א===
הוכח שאם קיים הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)=L</math> אזי מתקיים <math>f'(x_0)=L</math> .

לפי הגדרה <math>f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math> . ברור ש<math>\lim\limits_{x\to x_0}(x-x_0)=0</math> ומכיון ש- <math>f</math> רציפה אזי גם <math>\lim\limits_{x\to x_0}\big[f(x)-f(x_0)\big]=0</math> . לכן אם יש גבול לנגזרת של המונה חלקי הנגזרת של המכנה אז הוא שווה לגבול המקורי לפי לופיטל.

נגזור את המונה והמכנה לקבל <math>\frac{f'(x)}{1}\to L</math> ולכן קיבלנו את מה שרצינו.

===ב===
מצא פונקציה כנ"ל כך שלא קיים הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)</math>

כפי שראינו בכיתה, נשתמש בפונקציה <math>f(x)=x^2\cdot\sin\left(\frac1{x}\right)</math>, כאשר אנחנו מגדירים <math>f(0)=0</math> . ברור שהיא גזירה בכל מקום פרט ל- <math>0</math>, נוכיח שהיא גם גזירה ב- <math>0</math> . <math>f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}x\cdot\sin\left(\frac1{x}\right)=0</math>.

לכן ערך הנגזרת ב- <math>0</math> הוא <math>0</math> . מהו גבול הנגזרת ב<math>x_0=0</math>?

הנגזרת בנקודות השונות מאפס שווה ל<math>2x\cdot\sin\left(\frac1{x}\right)-\cos\left(\frac1{x}\right)</math>. לכן גבולה ב- <math>0</math> לא קיים (<math>0</math> ועוד משהו לא קיים) כפי שרצינו.

==שאלה 8==
תהי פונקציה גזירה ורציפה במ"ש ב- <math>(-1,1)</math>, הוכח/הפרך: <math>f'</math> חסומה על כל תת-קטע סגור של <math>(-1,1)</math> .

===הפרכה===
למעשה אנו '''חייבים''' נגזרת שאינה רציפה כמו בשאלה 7 סעיף ב', אחרת פונקציה רציפה על קטע סגור חסומה בו. נביט בפונקציה <math>f(x)=x^2\cdot\sin\left(\frac1{x^2}\right)</math>, <math>f(0)=0</math>. היא גזירה כמו שראינו בשאלה קודמת. הנגזרת הנה <math>2x\cdot\sin\left(\frac1{x^2}\right)-2\frac1{x}\cos\left(\frac1{x^2}\right)</math>. נביט בסדרה השואפת לאפס <math>x_n=\frac1{\sqrt{2\pi n}}</math> עליה מקבלים <math>f'(x_n)=-2\sqrt{2\pi n}\to -\infty</math> ולכן הנגזרת אינה חסומה בקטע הסגור <math>[-0.5,0.5]</math> .

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות

2018-03-22T20:40:56Z

יהודה שמחה:

[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול|חזרה לרשימת הנושאים]]
*[[גבול פונקציה|הגדרת הגבול של פונקציה לפי קושי ולפי היינה]]
*[[רציפות|הגדרת רציפות ומיון סוגי אי רציפות]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות/ערך הביניים|משפט ערך הביניים]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות/רציפות במ"ש|רציפות במ"ש]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות/גזירות|גזירות]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות/משפט קושי|משפט קושי]]
*[[כלל לופיטל]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות/טיילור|פולינום טיילור]]

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מתמטיקאים

2017-12-18T22:16:22Z

יהודה שמחה:

[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]

==שאלה 1==
צטטו והוכיחו את [[הלמה של קנטור]]

==שאלה 2==
א. חשבו את הגבול
:<math>\lim_{x\to0}\left[\frac1x-\frac{1}{\sin(x)}\right]</math>

ב. קבעו האם הגבול קיים:
:<math>\lim_{n\to\infty}\sum_{k=n}^{2n}\frac1k</math>

===פתרון===
א.
:<math>\frac1x-\frac{1}{\sin(x)}=\frac{\sin(x)-x}{x\sin(x)}</math>
כיון שהמונה והמכנה שואפים ל-0, ניתן להפעיל את כלל לופיטל. אם הגבול קיים לאחר גזירת המונה והמכנה בנפרד אז הוא שווה לגבול המקורי וסיימנו.
:<math>\frac{\cos(x)-1}{\sin(x)+x\cos(x)}</math>
שוב, המונה והמכנה שואפים לאפס ולכן ניתן להפעיל את כלל לופיטל.
:<math>\frac{-\sin(x)}{\cos(x)+\cos(x)-x\sin(x)}</math>
כעת המונה שואף לאפס ואילו המכנה שואף לשתיים ולכן סה"כ הגבול הוא 0.

ב. נסמן את אברי הסדרה
:<math>a_n=\sum_{k=n}^{2n}\frac1k</math>
קל לראות כי
:<math>a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac1k\le\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k}-\frac1k\le0</math>
ולכן הסדרה '''מונוטונית''' יורדת ו'''חסומה''' מלרע על-ידי <math>0</math> ולכן מתכנסת.

==שאלה 3==
קבעו לגבי כל טור האם הוא מתכנס בהחלט/בתנאי/מתבדר:

א. <math>\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{n+\cdots+n^n}{n^{n+2}}</math>

ב. <math>\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{2n+\sqrt n}</math>

===פתרון===
א. <math>{\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{n+\cdots+n^n}{n^{n+2}}}=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{n\cdot\frac{n^n-1}{n-1}}{n^{n+2}}=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{n^n-1}{n^{n+1}(n-1)}=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n(n-1)}-\dfrac{1}{n^{n+1}(n-1)}</math>

ואלה שני טורים מתכנסים ולכן סה"כ הטור מתכנס בהחלט.

ב.כיון שהקוסינוס מקבל את הערכים <math>1,0,-1</math> במחזוריות הידועה, טור זה בעצם שווה לטור
:<math>\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n+1}}{2(2n)+\sqrt{2n}}</math>
קל לראות שזהו טור שאינו מתכנס בהחלט כיון שהוא חבר של הטור ההרמוני, אבל כן מתכנס בתנאי לפי משפט לייבניץ.

==שאלה 4==
תהי <math>f</math> מוגדרת על כל הממשיים, רציפה ב- <math>0</math> ומקיימת <math>f(x+y)=f(x)+f(y)</math> לכל זוג מספרים <math>x,y\in\R</math>.

הוכיחו כי <math>f</math> רציפה על כל הממשיים.

===פתרון===
*ראשית נבחין כי <math>f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)</math> ולכן <math>f(0)=0</math>
*כעת, נחשב את גבול הפונקציה בנקודה כללית לפי היינה:
*תהי <math>x_o\ne x_n\to x_0</math>, אזי <math>\lim f(x_n)=\lim f(x_n-x_0+x_0)=\lim f(x_n-x_0)+f(x_0)</math>
*כיון שהפונקציה רציפה ב- <math>0</math> וכיון ש- <math>0\ne x_n-x_0\to 0</math>, מתקיים <math>\lim f(x_n-x_0)=0</math>
*ביחד <math>\lim f(x_n) = f(x_0)</math>, ולכן לפי היינה מתקיים <math>\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)</math> ולכן הפונקציה רציפה.

==שאלה 5==
מצאו פולינום <math>p(x)</math> כך שלכל <math>x\in [0,1]</math> מתקיים <math>\Big|\cos(x)-p(x)\Big|<10^{-4}</math>

===פתרון===
קלי קלות באמצעות טיילור.

מי מתנדב לתרום את התשובה המלאה?
אני!
לפי [[http://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%9D_%D7%98%D7%99%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%A8 פונקציה זו]] ניתן לראות שבסה"כ צריך לגזור כמה פעמים (אם כי זה היה טריקי ונאלצתי לכתת חיפושיי באינטרנט). ע"פ פיתוח טיילור הפולינום של קוסינוס זה מה שמופיע וזה מספיק בשביל לקיים את התנאי הדרוש.
אני צודק ארז או שזה לא מספיק?\\
אז ככה: ניקח את <math>a=0</math> ואז כל סינוס מתאפס ובעצם מה שנשאר זה הנוסחה הבאה:
<math>(-1)^i*x^(2i)/(2i)!</math>
כי קוסינוס אפס תמיד שווה אחד, ואז מה שקובע זה מספר הגזירה לסימן.עכשיו רק נותר למצוא את ה-I שיביא את השארית הרצויה, והוא שלוש(שימו לב שהתחלתי מאפס)
<math>\Bigg|\cos(x)-1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}+\frac{x^6}{6!}\Bigg|<\frac1{10^4} </math>

==שאלה 6==
תהי <math>f</math> פונקציה מוגדרת וגזירה על כל הממשיים, ונניח כי קיים הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}f'(x)>0</math>.

הוכיחו כי <math>f</math> אינה חסומה מלעיל.

===פתרון===
*נסמן <math>\lim\limits_{x\to\infty}f'(x)=L>0</math> . לכן קיים <math>M</math> כך שלכל <math>x>M</math> מתקיים <math>f'(x)>\frac{L}{2}>0</math> .
*לכן, החל מ-<math>M</math> הנגזרת חיובית ממש ולכן הפונקציה מונוטונית עולה.
*נניח בשלילה כי הפונקציה <math>f</math> חסומה, לכן היא מונוטונית וחסומה ולכן מתכנסת למספר ממשי אשר נסמנו <math>K</math> .
*לפי הגדרת הגבול, קיים <math>M'</math> כך שלכל <math>x>M'</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-K\Big|<\frac{k}{2}</math> .
*לכן ביחד לכל זוג <math>x,y>M'</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|< K</math>
*ניקח <math>x>M,M'</math> אזי לכל <math>h>0</math> לפי משפט '''לגראנז'''' קיים <math>x<c<x+h</math> עבורו
:<math>f'(c)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>
*כעת, מתקיים <math>f'(c)>\frac{L}{2}</math> , אבל מצד שני <math>\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\le\dfrac{K}{h}</math> ולכן עבור <math>h</math> גדול מספיק נקבל סתירה.

כלל לופיטל

2017-09-28T22:57:44Z

יהודה שמחה: /* הוכחה */

=כלל לופיטל=
תהיינה שתי פונקציות <math>f,g</math> . ותהי נקודה <math>x_0\in\R</math> או <math>x_0=\pm\infty</math> כך ש-
:<math>\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L</math>
:<math>\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=M</math>
נראה כיצד ניתן להעזר בכלל לופיטל על מנת לחשב גבולות במקרים בהם משפטי האריתמטיקה הרגילים נכשלים.

==מקרה ראשון <math>\frac{0}{0}</math> או <math>\frac{\infty}{\infty}</math>==
נניח <math>M=L=0</math> '''או''' <math>M=L=\pm\infty</math>

אזי אם הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'}{g'}</math> קיים, הוא שווה לגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f}{g}</math>

===דוגמא 1===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x}</math> .

זהו מקרה של <math>\frac{\infty}{\infty}</math> . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac1{x}}{1}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0</math>

===דוגמא 2===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(x+1)}{x}</math> .

זהו מקרה של <math>\frac{0}{0}</math> . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
:<math>\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(x+1)}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{x+1}}{1}=1</math>

===דוגמא 3===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos(x)}{x-\dfrac{\pi}{2}}</math> .

זהו מקרה של <math>\frac{0}{0}</math> . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
:<math>\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{-\sin(x)}{1}=-1</math>

==מקרה שני <math>0\cdot\infty</math>==
נניח <math>L=0\ ,\ M=\infty</math> ועלינו לחשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f\cdot g</math> .

במקרה זה, אנו מעבירים את הביטוי לצורה של שבר מהמקרה הראשון.

===דוגמא 4===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\Big[x\ln(x)\Big]</math> .

זהו מקרה של <math>-\infty\cdot0</math> . נעביר את הביטוי לצורה של שבר (באמצעות כלל האוזן), ונפעיל את כלל לופיטל:
:<math>\lim\limits_{x\to0}\Big[x\ln(x)\Big]=\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}=</math>
נגזור מונה ומכנה ונקבל
:<math>=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to0}-x=0</math>
'''שימו לב''': כלל לופיטל לא מוכרח להצליח. למשל במקרה זה, אם היינו מעבירים את הלוגריתם למכנה בתרגיל זה ומפעילים כלל לופיטל, לא היינו מתקדמים. נסו ותהנו.

===דוגמא 5===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[e^x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)\Big]</math> .

זהו מקרה של <math>\infty\cdot0</math> . נעביר את הביטוי לצורה של שבר, ונפעיל את כלל לופיטל:
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[e^x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)\Big]=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)}{e^{-x}}=</math>
נגזור מונה ומכנה ונקבל
:<math>=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{-\frac{1}{x^2}\cdot\cos\left(\tfrac{1}{x}\right)}{-e^{-x}}</math>

כעת, אין אנו רוצים לגזור ביטויים מסובכים. אנו יודעים כי <math>\lim\limits_{x\to\infty}\cos\left(\tfrac{1}{x}\right)=1</math> , לכן נותר רק לחשב את הגבול
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2}</math>
זהו מקרה של <math>\frac{\infty}{\infty}</math> , לכן נפעיל כלל לופיטל (פעמיים):
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{2x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{2}=\infty</math>
אם נחבר את כל התוצאות יחדיו, נקבל כי
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[e^x\sin(\tfrac1{x})\Big]=\infty</math>

==מקרה שלישי <math>0^0</math> או <math>1^\infty</math> או <math>\infty^0</math>==
במקרה זה עלינו לחשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f^g</math> .

כאשר <math>L=M=0</math> '''או''' <math>L=1\ ,\ M=\infty</math> '''או''' <math>L=\infty\ ,\ M=0</math> .

בכל אחד מהמקרים נשתמש בדרך הבאה-

ראשית נבחין כי <math>f^g=e^{\ln(f^g)}=e^{g\cdot\ln(f)}</math> ,

שנית, נחשב את הגבול <math>K=\lim\limits_{x\to x_0}\Big[g\cdot\ln(f)\Big]</math> .

לבסוף, קיבלנו כי מתקיים
:<math>\lim\limits_{x\to x_0}f^g=e^K</math>

===דוגמא 6===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}\sqrt[x]{x}</math> .

ראשית, נשים לב כי בעצם מדובר בגבול
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}x^\frac{1}{x}</math>
זהו המקרה של <math>\infty^0</math> .

כעת,
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}x^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to\infty}e^\tfrac{\ln(x)}{x}=e^0=1</math>
(הרי חישבו כבר בדוגמא 1 כי <math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0</math>).

==מקרה רביעי <math>\infty-\infty</math>==
במקרה זה עלינו לחשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}\big[f-g\big]</math> כאשר <math>L=M=\infty</math> .

במקרה זה נבצע '''מכנה משותף''' או שנוציא '''גורם משותף''' בהתאם לתרגיל, על-מנת לעבור למקרה הראשון או השני של כלל לופיטל.

===דוגמא 7===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to1}\left[\frac{1}{x-1}-\frac{1}{\ln(x)}\right]</math> .

זהו המקרה של <math>\infty-\infty</math> נבצע מכנה משותף ונקבל
:<math>\lim\limits_{x\to1}\left[\frac{1}{x-1}-\frac{1}{\ln(x)}\right]=\lim\limits_{x\to1}\left[\frac{\ln(x)-x+1}{(x-1)\ln(x)}\right]</math>
זהו המקרה של <math>\frac{0}{0}</math> , נגזור מונה ומכנה ונקבל:
:<math>=\lim\limits_{x\to1}\left[\frac{\frac{1}{x}-1}{\ln(x)+\frac{x-1}{x}}\right]=\lim\limits_{x\to1}\left[\frac{1-x}{x\cdot\ln(x)+x-1}\right]</math>
שוב נגזור מונה ומכנה ונקבל
:<math>=\lim\limits_{x\to1}\left[\frac{-1}{\ln(x)+1+1}\right]=-\frac12</math>

===דוגמא 8===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[x-\ln(x)\Big]</math> .

זהו המקרה של <math>\infty-\infty</math> נוציא גורם משותף ונקבל
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[x-\ln(x)\Big]=\lim\limits_{x\to\infty}\left[x\left(1-\frac{\ln(x)}{x}\right)\right]=\infty\cdot(1-0)=\infty</math>
(שוב השתמשנו בדוגמא 1).

==מקרה חמישי - כלל לופיטל כחלק מתרגיל גדול יותר==
בסעיף זה אנו מעוניינים להדגיש כי יש להשתמש בכלל לופיטל בתבונה, אחרת נתקל בנגזרות מסובכות למדי. או במילים פשוטות - '''לא לגזור כמו חמור!'''

מספר עקרונות שמוטב לזכור:
*לעתים כללי אריתמטיקה פשוטים יעזרו לנו לחשב את הגבול ללא גזירה כמו '''כפל בצמוד''' או '''הוצאת חזקה משמעותית'''.
*כל ביטוי שאנו יודעים את גבול (אפילו אם הגבול אינו קיים) אינו צריך להשתתף בגזירה.
*מוטב להפריד את הפונקציה למספר ביטויים ולחשב לכל אחד מהם גבול בנפרד. בדוגמא נראה שבחירה חכמה תהפוך תרגיל בלתי-אפשרי עם לופיטל, לפתיר בקלות.

ראו עקרון זה בדוגמא הבאה:

===דוגמא 9===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin^3(x)\ln(x+1)\cos(x)}{x^2\arctan^2(x)}</math> .

נפריד אותו לחלקים באופן הבא:
:<math>\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin^3(x)\ln(x+1)\cos(x)}{x^2\arctan^2(x)}=\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac{\sin(x)}{x}\right)^3\cdot\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(x+1)}{x}\cdot\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac{x}{\arctan(x)}\right)^2\cdot\lim\limits_{x\to0}\cos(x)</math>

במקרה זה, קל לראות שכל אחד מהגבולות הפנימיים שווה אחד (אם נפעיל את כלל לופיטל, כמובן), ולכן הגבול כולו שווה 1.

שימו לב שהפרדנו לפונקציות שונות, חלקנו וכפלנו באותו הביטוי, והוצאנו חזקות החוצה.

===דוגמא 10===
תרגיל: יהא <math>n>1</math> . נניח <math>f(x)</math> גזירה <math>n+1</math> פעמים ומקיימת <math>f(0)=f'(0)=\cdots=f^{(n-1)}(0)=0,f^{(n)}(0)=5</math>

חשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{\sin^n(2x)}</math>

פתרון: נגדיר <math>g(x)</math> ואז <math>g(x)=\dfrac{f(x)}{x^n}</math> רציפה וב-0 נגדיר להיות

<math>g(0):=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x^n}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f'(x)}{nx^{n-1}}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f^{(2)}(x)}{n(n-1)x^{n-2}}=\cdots=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f^{(n)}(x)}{n!}=\frac{5}{n!}</math>

כעת <math>\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{\sin^n(2x)}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{g(x)x^n}{\sin^n(2x)}=\lim\limits_{x\to 0}g(x)\Big(\dfrac12\cdot\dfrac{2x}{\sin(2x)}\Big)^n=\dfrac{g(0)}{2^n}</math>

=משפט לופיטל והוכחתו=
נניח כי <math>\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}g(x)=0</math> ונניח עוד כי <math>f,g</math> גזירות בסביבה ימנית של a ומתקיים <math>\lim\limits_{x\to a^+}=\frac{f'(x)}{g'(x)}=L</math> אז מתקיים <math>\lim\limits_{x\to a^+}=\frac{f(x)}{g(x)}=L</math>

==הוכחה==
נוכל לבנות <math>\tilde{f},\tilde{g}</math> רציפות שמקיימות
<math>\tilde{f}=\begin{cases}f(x)&:x\ne a\\0&:x=a\end{cases}\quad\tilde{g}=\begin{cases}g(x)&:x\ne a\\0&:x=a\end{cases}</math>

הגבול של מנתם ב-<math>a</math> יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1, לשם נוחות נמשיך לקרוא להם <math>f,g</math> . על-פי משפט ערך הבינים של קושי עבור כל <math>x</math> בסביבה הימנית של <math>a</math> שבה <math>f,g</math> מוגדרות נוכל לבחור <math>a<c(x)<x</math> עבורה
:<math>\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\dfrac{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)}</math>
ולכן נקבל <math>\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)}=\lim\limits_{c\to a^+}\dfrac{f'(c)}{g'(c)}</math> .

כרצוי השוויון האחרון נובע מכך ש-<math>a<c(x)<x</math> וממשפט הסנדוויץ'.

הערה: המשפט נכון גם עבור המקרים: השאיפה היא באינסוף (<math>a=\infty</math>) או שהפונקציות שואפות לאינסוף לא בהכרח לאפס (<math>\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}g(x)=\infty</math>)
או שהגבול של הנגזרות קיים במובן הרחב (<math>L=\infty</math>)

[[קטגוריה:אינפי]]

כלל לופיטל

2017-09-28T22:55:47Z

יהודה שמחה: /* דוגמא 10 */

=כלל לופיטל=
תהיינה שתי פונקציות <math>f,g</math> . ותהי נקודה <math>x_0\in\R</math> או <math>x_0=\pm\infty</math> כך ש-
:<math>\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L</math>
:<math>\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=M</math>
נראה כיצד ניתן להעזר בכלל לופיטל על מנת לחשב גבולות במקרים בהם משפטי האריתמטיקה הרגילים נכשלים.

==מקרה ראשון <math>\frac{0}{0}</math> או <math>\frac{\infty}{\infty}</math>==
נניח <math>M=L=0</math> '''או''' <math>M=L=\pm\infty</math>

אזי אם הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'}{g'}</math> קיים, הוא שווה לגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f}{g}</math>

===דוגמא 1===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x}</math> .

זהו מקרה של <math>\frac{\infty}{\infty}</math> . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac1{x}}{1}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0</math>

===דוגמא 2===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(x+1)}{x}</math> .

זהו מקרה של <math>\frac{0}{0}</math> . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
:<math>\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(x+1)}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{x+1}}{1}=1</math>

===דוגמא 3===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos(x)}{x-\dfrac{\pi}{2}}</math> .

זהו מקרה של <math>\frac{0}{0}</math> . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
:<math>\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{-\sin(x)}{1}=-1</math>

==מקרה שני <math>0\cdot\infty</math>==
נניח <math>L=0\ ,\ M=\infty</math> ועלינו לחשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f\cdot g</math> .

במקרה זה, אנו מעבירים את הביטוי לצורה של שבר מהמקרה הראשון.

===דוגמא 4===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\Big[x\ln(x)\Big]</math> .

זהו מקרה של <math>-\infty\cdot0</math> . נעביר את הביטוי לצורה של שבר (באמצעות כלל האוזן), ונפעיל את כלל לופיטל:
:<math>\lim\limits_{x\to0}\Big[x\ln(x)\Big]=\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}=</math>
נגזור מונה ומכנה ונקבל
:<math>=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to0}-x=0</math>
'''שימו לב''': כלל לופיטל לא מוכרח להצליח. למשל במקרה זה, אם היינו מעבירים את הלוגריתם למכנה בתרגיל זה ומפעילים כלל לופיטל, לא היינו מתקדמים. נסו ותהנו.

===דוגמא 5===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[e^x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)\Big]</math> .

זהו מקרה של <math>\infty\cdot0</math> . נעביר את הביטוי לצורה של שבר, ונפעיל את כלל לופיטל:
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[e^x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)\Big]=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)}{e^{-x}}=</math>
נגזור מונה ומכנה ונקבל
:<math>=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{-\frac{1}{x^2}\cdot\cos\left(\tfrac{1}{x}\right)}{-e^{-x}}</math>

כעת, אין אנו רוצים לגזור ביטויים מסובכים. אנו יודעים כי <math>\lim\limits_{x\to\infty}\cos\left(\tfrac{1}{x}\right)=1</math> , לכן נותר רק לחשב את הגבול
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2}</math>
זהו מקרה של <math>\frac{\infty}{\infty}</math> , לכן נפעיל כלל לופיטל (פעמיים):
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{2x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{2}=\infty</math>
אם נחבר את כל התוצאות יחדיו, נקבל כי
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[e^x\sin(\tfrac1{x})\Big]=\infty</math>

==מקרה שלישי <math>0^0</math> או <math>1^\infty</math> או <math>\infty^0</math>==
במקרה זה עלינו לחשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f^g</math> .

כאשר <math>L=M=0</math> '''או''' <math>L=1\ ,\ M=\infty</math> '''או''' <math>L=\infty\ ,\ M=0</math> .

בכל אחד מהמקרים נשתמש בדרך הבאה-

ראשית נבחין כי <math>f^g=e^{\ln(f^g)}=e^{g\cdot\ln(f)}</math> ,

שנית, נחשב את הגבול <math>K=\lim\limits_{x\to x_0}\Big[g\cdot\ln(f)\Big]</math> .

לבסוף, קיבלנו כי מתקיים
:<math>\lim\limits_{x\to x_0}f^g=e^K</math>

===דוגמא 6===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}\sqrt[x]{x}</math> .

ראשית, נשים לב כי בעצם מדובר בגבול
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}x^\frac{1}{x}</math>
זהו המקרה של <math>\infty^0</math> .

כעת,
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}x^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to\infty}e^\tfrac{\ln(x)}{x}=e^0=1</math>
(הרי חישבו כבר בדוגמא 1 כי <math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0</math>).

==מקרה רביעי <math>\infty-\infty</math>==
במקרה זה עלינו לחשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}\big[f-g\big]</math> כאשר <math>L=M=\infty</math> .

במקרה זה נבצע '''מכנה משותף''' או שנוציא '''גורם משותף''' בהתאם לתרגיל, על-מנת לעבור למקרה הראשון או השני של כלל לופיטל.

===דוגמא 7===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to1}\left[\frac{1}{x-1}-\frac{1}{\ln(x)}\right]</math> .

זהו המקרה של <math>\infty-\infty</math> נבצע מכנה משותף ונקבל
:<math>\lim\limits_{x\to1}\left[\frac{1}{x-1}-\frac{1}{\ln(x)}\right]=\lim\limits_{x\to1}\left[\frac{\ln(x)-x+1}{(x-1)\ln(x)}\right]</math>
זהו המקרה של <math>\frac{0}{0}</math> , נגזור מונה ומכנה ונקבל:
:<math>=\lim\limits_{x\to1}\left[\frac{\frac{1}{x}-1}{\ln(x)+\frac{x-1}{x}}\right]=\lim\limits_{x\to1}\left[\frac{1-x}{x\cdot\ln(x)+x-1}\right]</math>
שוב נגזור מונה ומכנה ונקבל
:<math>=\lim\limits_{x\to1}\left[\frac{-1}{\ln(x)+1+1}\right]=-\frac12</math>

===דוגמא 8===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[x-\ln(x)\Big]</math> .

זהו המקרה של <math>\infty-\infty</math> נוציא גורם משותף ונקבל
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[x-\ln(x)\Big]=\lim\limits_{x\to\infty}\left[x\left(1-\frac{\ln(x)}{x}\right)\right]=\infty\cdot(1-0)=\infty</math>
(שוב השתמשנו בדוגמא 1).

==מקרה חמישי - כלל לופיטל כחלק מתרגיל גדול יותר==
בסעיף זה אנו מעוניינים להדגיש כי יש להשתמש בכלל לופיטל בתבונה, אחרת נתקל בנגזרות מסובכות למדי. או במילים פשוטות - '''לא לגזור כמו חמור!'''

מספר עקרונות שמוטב לזכור:
*לעתים כללי אריתמטיקה פשוטים יעזרו לנו לחשב את הגבול ללא גזירה כמו '''כפל בצמוד''' או '''הוצאת חזקה משמעותית'''.
*כל ביטוי שאנו יודעים את גבול (אפילו אם הגבול אינו קיים) אינו צריך להשתתף בגזירה.
*מוטב להפריד את הפונקציה למספר ביטויים ולחשב לכל אחד מהם גבול בנפרד. בדוגמא נראה שבחירה חכמה תהפוך תרגיל בלתי-אפשרי עם לופיטל, לפתיר בקלות.

ראו עקרון זה בדוגמא הבאה:

===דוגמא 9===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin^3(x)\ln(x+1)\cos(x)}{x^2\arctan^2(x)}</math> .

נפריד אותו לחלקים באופן הבא:
:<math>\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin^3(x)\ln(x+1)\cos(x)}{x^2\arctan^2(x)}=\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac{\sin(x)}{x}\right)^3\cdot\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(x+1)}{x}\cdot\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac{x}{\arctan(x)}\right)^2\cdot\lim\limits_{x\to0}\cos(x)</math>

במקרה זה, קל לראות שכל אחד מהגבולות הפנימיים שווה אחד (אם נפעיל את כלל לופיטל, כמובן), ולכן הגבול כולו שווה 1.

שימו לב שהפרדנו לפונקציות שונות, חלקנו וכפלנו באותו הביטוי, והוצאנו חזקות החוצה.

===דוגמא 10===
תרגיל: יהא <math>n>1</math> . נניח <math>f(x)</math> גזירה <math>n+1</math> פעמים ומקיימת <math>f(0)=f'(0)=\cdots=f^{(n-1)}(0)=0,f^{(n)}(0)=5</math>

חשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{\sin^n(2x)}</math>

פתרון: נגדיר <math>g(x)</math> ואז <math>g(x)=\dfrac{f(x)}{x^n}</math> רציפה וב-0 נגדיר להיות

<math>g(0):=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x^n}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f'(x)}{nx^{n-1}}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f^{(2)}(x)}{n(n-1)x^{n-2}}=\cdots=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f^{(n)}(x)}{n!}=\frac{5}{n!}</math>

כעת <math>\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{\sin^n(2x)}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{g(x)x^n}{\sin^n(2x)}=\lim\limits_{x\to 0}g(x)\Big(\dfrac12\cdot\dfrac{2x}{\sin(2x)}\Big)^n=\dfrac{g(0)}{2^n}</math>

=משפט לופיטל והוכחתו=
נניח כי <math>\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}g(x)=0</math> ונניח עוד כי <math>f,g</math> גזירות בסביבה ימנית של a ומתקיים <math>\lim\limits_{x\to a^+}=\frac{f'(x)}{g'(x)}=L</math> אז מתקיים <math>\lim\limits_{x\to a^+}=\frac{f(x)}{g(x)}=L</math>

==הוכחה==
נוכל לבנות <math>\tilde{f},\tilde{g}</math> רציפות שמקיימות
<math>\tilde{f}=\begin{cases}f(x)&:x\ne a\\0&:x=a\end{cases}\quad\tilde{g}=\begin{cases}g(x)&:x\ne a\\0&:x=a\end{cases}</math>

הגבול של מנתם ב-<math>a</math> יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1, לשם נוחות נמשיך לקרוא להם <math>f,g</math> . על-פי משפט ערך הבינים של קושי עבור כל <math>x</math> בסביבה הימנית של <math>a</math> שבה <math>f,g</math> מוגדרות נוכל לבחור <math>a<c(x)<x</math> עבורה
:<math>\dfrac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\dfrac{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)}</math>
ולכן נקבל <math>\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)}=\lim\limits_{c\to a^+}\dfrac{f'(c)}{g'(c)}</math> .

כרצוי השוויון האחרון נובע מכך ש- <math>a<c(x)<x</math> וממשפט הסנדוויץ'.

הערה: המשפט נכון גם עבור המקרים: השאיפה היא באינסוף (<math>a=\infty</math>) או שהפונקציות שואפות לאינסוף לא בהכרח לאפס (<math>\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}g(x)=\infty</math>)
או שהגבול של הנגזרות קיים במובן הרחב (<math>L=\infty</math>)

[[קטגוריה:אינפי]]

כלל לופיטל

2017-09-28T22:53:26Z

יהודה שמחה: /* דוגמא 9 */

=כלל לופיטל=
תהיינה שתי פונקציות <math>f,g</math> . ותהי נקודה <math>x_0\in\R</math> או <math>x_0=\pm\infty</math> כך ש-
:<math>\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L</math>
:<math>\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=M</math>
נראה כיצד ניתן להעזר בכלל לופיטל על מנת לחשב גבולות במקרים בהם משפטי האריתמטיקה הרגילים נכשלים.

==מקרה ראשון <math>\frac{0}{0}</math> או <math>\frac{\infty}{\infty}</math>==
נניח <math>M=L=0</math> '''או''' <math>M=L=\pm\infty</math>

אזי אם הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'}{g'}</math> קיים, הוא שווה לגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f}{g}</math>

===דוגמא 1===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x}</math> .

זהו מקרה של <math>\frac{\infty}{\infty}</math> . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac1{x}}{1}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0</math>

===דוגמא 2===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(x+1)}{x}</math> .

זהו מקרה של <math>\frac{0}{0}</math> . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
:<math>\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(x+1)}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{x+1}}{1}=1</math>

===דוגמא 3===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos(x)}{x-\dfrac{\pi}{2}}</math> .

זהו מקרה של <math>\frac{0}{0}</math> . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
:<math>\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{-\sin(x)}{1}=-1</math>

==מקרה שני <math>0\cdot\infty</math>==
נניח <math>L=0\ ,\ M=\infty</math> ועלינו לחשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f\cdot g</math> .

במקרה זה, אנו מעבירים את הביטוי לצורה של שבר מהמקרה הראשון.

===דוגמא 4===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\Big[x\ln(x)\Big]</math> .

זהו מקרה של <math>-\infty\cdot0</math> . נעביר את הביטוי לצורה של שבר (באמצעות כלל האוזן), ונפעיל את כלל לופיטל:
:<math>\lim\limits_{x\to0}\Big[x\ln(x)\Big]=\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}=</math>
נגזור מונה ומכנה ונקבל
:<math>=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to0}-x=0</math>
'''שימו לב''': כלל לופיטל לא מוכרח להצליח. למשל במקרה זה, אם היינו מעבירים את הלוגריתם למכנה בתרגיל זה ומפעילים כלל לופיטל, לא היינו מתקדמים. נסו ותהנו.

===דוגמא 5===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[e^x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)\Big]</math> .

זהו מקרה של <math>\infty\cdot0</math> . נעביר את הביטוי לצורה של שבר, ונפעיל את כלל לופיטל:
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[e^x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)\Big]=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)}{e^{-x}}=</math>
נגזור מונה ומכנה ונקבל
:<math>=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{-\frac{1}{x^2}\cdot\cos\left(\tfrac{1}{x}\right)}{-e^{-x}}</math>

כעת, אין אנו רוצים לגזור ביטויים מסובכים. אנו יודעים כי <math>\lim\limits_{x\to\infty}\cos\left(\tfrac{1}{x}\right)=1</math> , לכן נותר רק לחשב את הגבול
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2}</math>
זהו מקרה של <math>\frac{\infty}{\infty}</math> , לכן נפעיל כלל לופיטל (פעמיים):
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{2x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{2}=\infty</math>
אם נחבר את כל התוצאות יחדיו, נקבל כי
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[e^x\sin(\tfrac1{x})\Big]=\infty</math>

==מקרה שלישי <math>0^0</math> או <math>1^\infty</math> או <math>\infty^0</math>==
במקרה זה עלינו לחשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f^g</math> .

כאשר <math>L=M=0</math> '''או''' <math>L=1\ ,\ M=\infty</math> '''או''' <math>L=\infty\ ,\ M=0</math> .

בכל אחד מהמקרים נשתמש בדרך הבאה-

ראשית נבחין כי <math>f^g=e^{\ln(f^g)}=e^{g\cdot\ln(f)}</math> ,

שנית, נחשב את הגבול <math>K=\lim\limits_{x\to x_0}\Big[g\cdot\ln(f)\Big]</math> .

לבסוף, קיבלנו כי מתקיים
:<math>\lim\limits_{x\to x_0}f^g=e^K</math>

===דוגמא 6===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}\sqrt[x]{x}</math> .

ראשית, נשים לב כי בעצם מדובר בגבול
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}x^\frac{1}{x}</math>
זהו המקרה של <math>\infty^0</math> .

כעת,
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}x^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to\infty}e^\tfrac{\ln(x)}{x}=e^0=1</math>
(הרי חישבו כבר בדוגמא 1 כי <math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0</math>).

==מקרה רביעי <math>\infty-\infty</math>==
במקרה זה עלינו לחשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}\big[f-g\big]</math> כאשר <math>L=M=\infty</math> .

במקרה זה נבצע '''מכנה משותף''' או שנוציא '''גורם משותף''' בהתאם לתרגיל, על-מנת לעבור למקרה הראשון או השני של כלל לופיטל.

===דוגמא 7===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to1}\left[\frac{1}{x-1}-\frac{1}{\ln(x)}\right]</math> .

זהו המקרה של <math>\infty-\infty</math> נבצע מכנה משותף ונקבל
:<math>\lim\limits_{x\to1}\left[\frac{1}{x-1}-\frac{1}{\ln(x)}\right]=\lim\limits_{x\to1}\left[\frac{\ln(x)-x+1}{(x-1)\ln(x)}\right]</math>
זהו המקרה של <math>\frac{0}{0}</math> , נגזור מונה ומכנה ונקבל:
:<math>=\lim\limits_{x\to1}\left[\frac{\frac{1}{x}-1}{\ln(x)+\frac{x-1}{x}}\right]=\lim\limits_{x\to1}\left[\frac{1-x}{x\cdot\ln(x)+x-1}\right]</math>
שוב נגזור מונה ומכנה ונקבל
:<math>=\lim\limits_{x\to1}\left[\frac{-1}{\ln(x)+1+1}\right]=-\frac12</math>

===דוגמא 8===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[x-\ln(x)\Big]</math> .

זהו המקרה של <math>\infty-\infty</math> נוציא גורם משותף ונקבל
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[x-\ln(x)\Big]=\lim\limits_{x\to\infty}\left[x\left(1-\frac{\ln(x)}{x}\right)\right]=\infty\cdot(1-0)=\infty</math>
(שוב השתמשנו בדוגמא 1).

==מקרה חמישי - כלל לופיטל כחלק מתרגיל גדול יותר==
בסעיף זה אנו מעוניינים להדגיש כי יש להשתמש בכלל לופיטל בתבונה, אחרת נתקל בנגזרות מסובכות למדי. או במילים פשוטות - '''לא לגזור כמו חמור!'''

מספר עקרונות שמוטב לזכור:
*לעתים כללי אריתמטיקה פשוטים יעזרו לנו לחשב את הגבול ללא גזירה כמו '''כפל בצמוד''' או '''הוצאת חזקה משמעותית'''.
*כל ביטוי שאנו יודעים את גבול (אפילו אם הגבול אינו קיים) אינו צריך להשתתף בגזירה.
*מוטב להפריד את הפונקציה למספר ביטויים ולחשב לכל אחד מהם גבול בנפרד. בדוגמא נראה שבחירה חכמה תהפוך תרגיל בלתי-אפשרי עם לופיטל, לפתיר בקלות.

ראו עקרון זה בדוגמא הבאה:

===דוגמא 9===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin^3(x)\ln(x+1)\cos(x)}{x^2\arctan^2(x)}</math> .

נפריד אותו לחלקים באופן הבא:
:<math>\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin^3(x)\ln(x+1)\cos(x)}{x^2\arctan^2(x)}=\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac{\sin(x)}{x}\right)^3\cdot\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(x+1)}{x}\cdot\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac{x}{\arctan(x)}\right)^2\cdot\lim\limits_{x\to0}\cos(x)</math>

במקרה זה, קל לראות שכל אחד מהגבולות הפנימיים שווה אחד (אם נפעיל את כלל לופיטל, כמובן), ולכן הגבול כולו שווה 1.

שימו לב שהפרדנו לפונקציות שונות, חלקנו וכפלנו באותו הביטוי, והוצאנו חזקות החוצה.

===דוגמא 10===
תרגיל: יהא <math>n>1</math> . נניח <math>f(x)</math> גזירה <math>n+1</math> פעמים ומקיימת <math>f(0)=f'(0)=\cdots=f^{(n-1)}(0)=0,f^{(n)}(0)=5</math>

חשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{\sin^n(2x)}</math>

פתרון: נגדיר <math>g(x)</math> ואז <math>g(x)=\frac{f(x)}{x^n}</math> רציפה וב- <math>0</math> נגדיר להיות

<math>g(0):=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^n}=\lim\limits_{x\to0}\frac{f'(x)}{nx^{n-1}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{f^{(2)}(x)}{n(n-1)x^{n-2}}=\dots=\lim\limits_{x\to0}\frac{f^{(n)}(x)}{n!}=\frac{5}{n!}</math>

כעת <math>\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{\sin^n(2x)}=\lim\limits_{x\to0}\frac{g(x)x^n}{\sin^n(2x)}=\lim\limits_{x\to 0}g(x)\Big(\frac1{2}\cdot\frac{2x}{\sin(2x)}\Big)^n=g(0)\frac{1}{2^n}</math>

=משפט לופיטל והוכחתו=
נניח כי <math>\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}g(x)=0</math> ונניח עוד כי <math>f,g</math> גזירות בסביבה ימנית של a ומתקיים <math>\lim\limits_{x\to a^+}=\frac{f'(x)}{g'(x)}=L</math> אז מתקיים <math>\lim\limits_{x\to a^+}=\frac{f(x)}{g(x)}=L</math>

==הוכחה==
נוכל לבנות <math>\tilde{f},\tilde{g}</math> רציפות שמקיימות
<math>\tilde{f}=\begin{cases}f(x)&:x\ne a\\0&:x=a\end{cases}\quad\tilde{g}=\begin{cases}g(x)&:x\ne a\\0&:x=a\end{cases}</math>

הגבול של מנתם ב-<math>a</math> יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1, לשם נוחות נמשיך לקרוא להם <math>f,g</math> . על-פי משפט ערך הבינים של קושי עבור כל <math>x</math> בסביבה הימנית של <math>a</math> שבה <math>f,g</math> מוגדרות נוכל לבחור <math>a<c(x)<x</math> עבורה
:<math>\dfrac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\dfrac{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)}</math>
ולכן נקבל <math>\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)}=\lim\limits_{c\to a^+}\dfrac{f'(c)}{g'(c)}</math> .

כרצוי השוויון האחרון נובע מכך ש- <math>a<c(x)<x</math> וממשפט הסנדוויץ'.

הערה: המשפט נכון גם עבור המקרים: השאיפה היא באינסוף (<math>a=\infty</math>) או שהפונקציות שואפות לאינסוף לא בהכרח לאפס (<math>\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}g(x)=\infty</math>)
או שהגבול של הנגזרות קיים במובן הרחב (<math>L=\infty</math>)

[[קטגוריה:אינפי]]

כלל לופיטל

2017-09-14T15:42:03Z

יהודה שמחה: /* הוכחה */

=כלל לופיטל=
תהיינה שתי פונקציות <math>f,g</math> . ותהי נקודה <math>x_0\in\R</math> או <math>x_0=\pm\infty</math> כך ש-
:<math>\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L</math>
:<math>\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=M</math>
נראה כיצד ניתן להעזר בכלל לופיטל על מנת לחשב גבולות במקרים בהם משפטי האריתמטיקה הרגילים נכשלים.

==מקרה ראשון <math>\frac{0}{0}</math> או <math>\frac{\infty}{\infty}</math>==
נניח <math>M=L=0</math> '''או''' <math>M=L=\pm\infty</math>

אזי אם הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'}{g'}</math> קיים, הוא שווה לגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f}{g}</math>

===דוגמא 1===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x}</math> .

זהו מקרה של <math>\frac{\infty}{\infty}</math> . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac1{x}}{1}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0</math>

===דוגמא 2===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(x+1)}{x}</math> .

זהו מקרה של <math>\frac{0}{0}</math> . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
:<math>\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(x+1)}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{x+1}}{1}=1</math>

===דוגמא 3===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos(x)}{x-\dfrac{\pi}{2}}</math> .

זהו מקרה של <math>\frac{0}{0}</math> . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
:<math>\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{-\sin(x)}{1}=-1</math>

==מקרה שני <math>0\cdot\infty</math>==
נניח <math>L=0\ ,\ M=\infty</math> ועלינו לחשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f\cdot g</math> .

במקרה זה, אנו מעבירים את הביטוי לצורה של שבר מהמקרה הראשון.

===דוגמא 4===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\Big[x\ln(x)\Big]</math> .

זהו מקרה של <math>-\infty\cdot0</math> . נעביר את הביטוי לצורה של שבר (באמצעות כלל האוזן), ונפעיל את כלל לופיטל:
:<math>\lim\limits_{x\to0}\Big[x\ln(x)\Big]=\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}=</math>
נגזור מונה ומכנה ונקבל
:<math>=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to0}-x=0</math>
'''שימו לב''': כלל לופיטל לא מוכרח להצליח. למשל במקרה זה, אם היינו מעבירים את הלוגריתם למכנה בתרגיל זה ומפעילים כלל לופיטל, לא היינו מתקדמים. נסו ותהנו.

===דוגמא 5===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[e^x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)\Big]</math> .

זהו מקרה של <math>\infty\cdot0</math> . נעביר את הביטוי לצורה של שבר, ונפעיל את כלל לופיטל:
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[e^x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)\Big]=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)}{e^{-x}}=</math>
נגזור מונה ומכנה ונקבל
:<math>=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{-\frac{1}{x^2}\cdot\cos\left(\tfrac{1}{x}\right)}{-e^{-x}}</math>

כעת, אין אנו רוצים לגזור ביטויים מסובכים. אנו יודעים כי <math>\lim\limits_{x\to\infty}\cos\left(\tfrac{1}{x}\right)=1</math> , לכן נותר רק לחשב את הגבול
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2}</math>
זהו מקרה של <math>\frac{\infty}{\infty}</math> , לכן נפעיל כלל לופיטל (פעמיים):
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{2x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{2}=\infty</math>
אם נחבר את כל התוצאות יחדיו, נקבל כי
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[e^x\sin(\tfrac1{x})\Big]=\infty</math>

==מקרה שלישי <math>0^0</math> או <math>1^\infty</math> או <math>\infty^0</math>==
במקרה זה עלינו לחשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f^g</math> .

כאשר <math>L=M=0</math> '''או''' <math>L=1\ ,\ M=\infty</math> '''או''' <math>L=\infty\ ,\ M=0</math> .

בכל אחד מהמקרים נשתמש בדרך הבאה-

ראשית נבחין כי <math>f^g=e^{\ln(f^g)}=e^{g\cdot\ln(f)}</math> ,

שנית, נחשב את הגבול <math>K=\lim\limits_{x\to x_0}\Big[g\cdot\ln(f)\Big]</math> .

לבסוף, קיבלנו כי מתקיים
:<math>\lim\limits_{x\to x_0}f^g=e^K</math>

===דוגמא 6===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}\sqrt[x]{x}</math> .

ראשית, נשים לב כי בעצם מדובר בגבול
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}x^\frac{1}{x}</math>
זהו המקרה של <math>\infty^0</math> .

כעת,
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}x^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to\infty}e^\tfrac{\ln(x)}{x}=e^0=1</math>
(הרי חישבו כבר בדוגמא 1 כי <math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0</math>).

==מקרה רביעי <math>\infty-\infty</math>==
במקרה זה עלינו לחשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}\big[f-g\big]</math> כאשר <math>L=M=\infty</math> .

במקרה זה נבצע '''מכנה משותף''' או שנוציא '''גורם משותף''' בהתאם לתרגיל, על-מנת לעבור למקרה הראשון או השני של כלל לופיטל.

===דוגמא 7===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to1}\left[\frac{1}{x-1}-\frac{1}{\ln(x)}\right]</math> .

זהו המקרה של <math>\infty-\infty</math> נבצע מכנה משותף ונקבל
:<math>\lim\limits_{x\to1}\left[\frac{1}{x-1}-\frac{1}{\ln(x)}\right]=\lim\limits_{x\to1}\left[\frac{\ln(x)-x+1}{(x-1)\ln(x)}\right]</math>
זהו המקרה של <math>\frac{0}{0}</math> , נגזור מונה ומכנה ונקבל:
:<math>=\lim\limits_{x\to1}\left[\frac{\frac{1}{x}-1}{\ln(x)+\frac{x-1}{x}}\right]=\lim\limits_{x\to1}\left[\frac{1-x}{x\cdot\ln(x)+x-1}\right]</math>
שוב נגזור מונה ומכנה ונקבל
:<math>=\lim\limits_{x\to1}\left[\frac{-1}{\ln(x)+1+1}\right]=-\frac12</math>

===דוגמא 8===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[x-\ln(x)\Big]</math> .

זהו המקרה של <math>\infty-\infty</math> נוציא גורם משותף ונקבל
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[x-\ln(x)\Big]=\lim\limits_{x\to\infty}\left[x\left(1-\frac{\ln(x)}{x}\right)\right]=\infty\cdot(1-0)=\infty</math>
(שוב השתמשנו בדוגמא 1).

==מקרה חמישי - כלל לופיטל כחלק מתרגיל גדול יותר==
בסעיף זה אנו מעוניינים להדגיש כי יש להשתמש בכלל לופיטל בתבונה, אחרת נתקל בנגזרות מסובכות למדי. או במילים פשוטות - '''לא לגזור כמו חמור!'''

מספר עקרונות שמוטב לזכור:
*לעתים כללי אריתמטיקה פשוטים יעזרו לנו לחשב את הגבול ללא גזירה כמו '''כפל בצמוד''' או '''הוצאת חזקה משמעותית'''.
*כל ביטוי שאנו יודעים את גבול (אפילו אם הגבול אינו קיים) אינו צריך להשתתף בגזירה.
*מוטב להפריד את הפונקציה למספר ביטויים ולחשב לכל אחד מהם גבול בנפרד. בדוגמא נראה שבחירה חכמה תהפוך תרגיל בלתי-אפשרי עם לופיטל, לפתיר בקלות.

ראו עקרון זה בדוגמא הבאה:

===דוגמא 9===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\left[\frac{\sin^3(x)\cdot\ln(x+1)\cdot\cos(x)}{x^2\cdot\arctan^2(x)}\right]</math> .

נפריד אותו לחלקים באופן הבא:
:<math>\lim\limits_{x\to0}\left[\frac{\sin^3(x)\cdot\ln(x+1)\cdot\cos(x)}{x^2\cdot\arctan^2(x)}\right]=\lim\limits_{x\to0}\left[\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^3\right]\cdot\lim\limits_{x\to0}\left[\frac{\ln(x+1)}{x}\right]\cdot\lim\limits_{x\to0}\left[\left(\frac{x}{\arctan(x)}\right)^2\right]\cdot\lim\limits_{x\to0}\cos(x)</math>

במקרה זה, קל לראות שכל אחד מהגבולות הפנימיים שווה אחד (אם נפעיל את כלל לופיטל, כמובן), ולכן הגבול כולו שווה 1.

שימו לב שהפרדנו לפונקציות שונות, חלקנו וכפלנו באותו הביטוי, והוצאנו חזקות החוצה.

===דוגמא 10===
תרגיל: יהא <math>n>1</math> . נניח <math>f(x)</math> גזירה <math>n+1</math> פעמים ומקיימת <math>f(0)=f'(0)=\cdots=f^{(n-1)}(0)=0,f^{(n)}(0)=5</math>

חשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{\sin^n(2x)}</math>

פתרון: נגדיר <math>g(x)</math> ואז <math>g(x)=\frac{f(x)}{x^n}</math> רציפה וב- <math>0</math> נגדיר להיות

<math>g(0):=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^n}=\lim\limits_{x\to0}\frac{f'(x)}{nx^{n-1}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{f^{(2)}(x)}{n(n-1)x^{n-2}}=\dots=\lim\limits_{x\to0}\frac{f^{(n)}(x)}{n!}=\frac{5}{n!}</math>

כעת <math>\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{\sin^n(2x)}=\lim\limits_{x\to0}\frac{g(x)x^n}{\sin^n(2x)}=\lim\limits_{x\to 0}g(x)\Big(\frac1{2}\cdot\frac{2x}{\sin(2x)}\Big)^n=g(0)\frac{1}{2^n}</math>

=משפט לופיטל והוכחתו=
נניח כי <math>\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}g(x)=0</math> ונניח עוד כי <math>f,g</math> גזירות בסביבה ימנית של a ומתקיים <math>\lim\limits_{x\to a^+}=\frac{f'(x)}{g'(x)}=L</math> אז מתקיים <math>\lim\limits_{x\to a^+}=\frac{f(x)}{g(x)}=L</math>

==הוכחה==
נוכל לבנות <math>\tilde{f},\tilde{g}</math> רציפות שמקיימות
<math>\tilde{f}=\begin{cases}f(x)&:x\ne a\\0&:x=a\end{cases}\quad\tilde{g}=\begin{cases}g(x)&:x\ne a\\0&:x=a\end{cases}</math>

הגבול של מנתם ב-<math>a</math> יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1, לשם נוחות נמשיך לקרוא להם <math>f,g</math> . על-פי משפט ערך הבינים של קושי עבור כל <math>x</math> בסביבה הימנית של <math>a</math> שבה <math>f,g</math> מוגדרות נוכל לבחור <math>a<c(x)<x</math> עבורה
:<math>\dfrac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\dfrac{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)}</math>
ולכן נקבל <math>\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)}=\lim\limits_{c\to a^+}\dfrac{f'(c)}{g'(c)}</math> .

כרצוי השוויון האחרון נובע מכך ש- <math>a<c(x)<x</math> וממשפט הסנדוויץ'.

הערה: המשפט נכון גם עבור המקרים: השאיפה היא באינסוף (<math>a=\infty</math>) או שהפונקציות שואפות לאינסוף לא בהכרח לאפס (<math>\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}g(x)=\infty</math>)
או שהגבול של הנגזרות קיים במובן הרחב (<math>L=\infty</math>)

[[קטגוריה:אינפי]]

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מתמטיקאים

2017-09-14T15:36:43Z

יהודה שמחה: /* שאלה 6 */

[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]

==שאלה 1==
צטטו והוכיחו את [[הלמה של קנטור]]

==שאלה 2==
א. חשבו את הגבול
:<math>\lim_{x\to 0}\bigg[\frac1{x}-\frac1{\sin(x)}\bigg]</math>

ב. קבעו האם הגבול קיים:
:<math>\lim_{n\to\infty}\sum_{k=n}^{2n}\frac1{k}</math>

===פתרון===
א.
:<math>\frac1{x}-\frac1{\sin(x)}=\frac{\sin(x)-x}{x\cdot\sin(x)}</math>
כיון שהמונה והמכנה שואפים ל- <math>0</math>, ניתן להפעיל את כלל לופיטל. אם הגבול קיים לאחר גזירת המונה והמכנה בנפרד אז הוא שווה לגבול המקורי וסיימנו.
:<math>\frac{\cos(x)-1}{\sin(x)+x\cdot\cos(x)}</math>
שוב, המונה והמכנה שואפים לאפס ולכן ניתן להפעיל את כלל לופיטל.
:<math>\frac{-\sin(x)}{\cos(x)+\cos(x)-x\cdot\sin(x)}</math>
כעת המונה שואף לאפס ואילו המכנה שואף לשתיים ולכן סה"כ הגבול הוא אפס.

ב. 
נסמן את איברי הסדרה ב-
:<math>a_n=\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}</math>
קל לראות כי
:<math>a_{n+1}-a_n=\frac1{2k+1}+\frac1{2k+2}-\frac1{k}\le \frac1{2k}+\frac1{2k}-\frac1{k}\le 0</math>
ולכן הסדרה '''מונוטונית''' יורדת ו'''חסומה''' מלרע על-ידי <math>0</math> ולכן מתכנסת.

==שאלה 3==
קבעו לגבי כל טור האם הוא מתכנס בהחלט/בתנאי/מתבדר:

א. <math>\sum\frac{n+n^2+\cdots+n^n}{n^{n+2}}</math>

ב. <math>\sum\frac{\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{2n+\sqrt{n}}</math>

===פתרון===
א. <math>{\sum\frac{n+n^2+\cdots+n^n}{n^{n+2}}}=\sum\frac{n\cdot\frac{1-n^n}{1-n}}{n^{n+2}}=\sum\frac{1-n^n}{(1-n)n^{n+1}}=\sum\frac1{(1-n)n^{n+1}}-\frac1{(1-n)n}</math>

ואלה שני טורים מתכנסים ולכן סה"כ הטור מתכנס בהחלט.

ב.כיון שהקוסינוס מקבל את הערכים <math>1,0,-1</math> במחזוריות הידועה, טור זה בעצם שווה לטור
:<math>\sum\frac{(-1)^{n+1}}{2(2n)+\sqrt{2n}}</math>

קל לראות שזהו טור שאינו מתכנס בהחלט כיון שהוא חבר של הטור ההרמוני, אבל כן מתכנס בתנאי לפי משפט לייבניץ'.

==שאלה 4==
תהי <math>f</math> מוגדרת על כל הממשיים, רציפה ב- <math>0</math> ומקיימת <math>f(x+y)=f(x)+f(y)</math> לכל זוג מספרים <math>x,y\in\R</math>.

הוכיחו כי <math>f</math> רציפה על כל הממשיים.

===פתרון===
*ראשית נבחין כי <math>f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)</math> ולכן <math>f(0)=0</math>
*כעת, נחשב את גבול הפונקציה בנקודה כללית לפי היינה:
*תהי <math>x_o\ne x_n\to x_0</math>, אזי <math>\lim f(x_n)=\lim f(x_n-x_0+x_0)=\lim f(x_n-x_0)+f(x_0)</math>
*כיון שהפונקציה רציפה ב- <math>0</math> וכיון ש- <math>0\ne x_n-x_0\to 0</math>, מתקיים <math>\lim f(x_n-x_0)=0</math>
*ביחד <math>\lim f(x_n) = f(x_0)</math>, ולכן לפי היינה מתקיים <math>\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)</math> ולכן הפונקציה רציפה.

==שאלה 5==
מצאו פולינום <math>p(x)</math> כך שלכל <math>x\in [0,1]</math> מתקיים <math>\Big|\cos(x)-p(x)\Big|<10^{-4}</math>

===פתרון===
קלי קלות באמצעות טיילור.

מי מתנדב לתרום את התשובה המלאה?
אני!
לפי [[http://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%9D_%D7%98%D7%99%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%A8 פונקציה זו]] ניתן לראות שבסה"כ צריך לגזור כמה פעמים (אם כי זה היה טריקי ונאלצתי לכתת חיפושיי באינטרנט). ע"פ פיתוח טיילור הפולינום של קוסינוס זה מה שמופיע וזה מספיק בשביל לקיים את התנאי הדרוש.
אני צודק ארז או שזה לא מספיק?\\
אז ככה: ניקח את <math>a=0</math> ואז כל סינוס מתאפס ובעצם מה שנשאר זה הנוסחה הבאה:
<math>(-1)^i*x^(2i)/(2i)!</math>
כי קוסינוס אפס תמיד שווה אחד, ואז מה שקובע זה מספר הגזירה לסימן.עכשיו רק נותר למצוא את ה-I שיביא את השארית הרצויה, והוא שלוש(שימו לב שהתחלתי מאפס)
<math>\Bigg|\cos(x)-1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}+\frac{x^6}{6!}\Bigg|<\frac1{10^4} </math>

==שאלה 6==
תהי <math>f</math> פונקציה מוגדרת וגזירה על כל הממשיים, ונניח כי קיים הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}f'(x)>0</math>.

הוכיחו כי <math>f</math> אינה חסומה מלעיל.

===פתרון===
*נסמן <math>\lim\limits_{x\to\infty}f'(x)=L>0</math> . לכן קיים <math>M</math> כך שלכל <math>x>M</math> מתקיים <math>f'(x)>\frac{L}{2}>0</math> .
*לכן, החל מ-<math>M</math> הנגזרת חיובית ממש ולכן הפונקציה מונוטונית עולה.
*נניח בשלילה כי הפונקציה <math>f</math> חסומה, לכן היא מונוטונית וחסומה ולכן מתכנסת למספר ממשי אשר נסמנו <math>K</math> .
*לפי הגדרת הגבול, קיים <math>M'</math> כך שלכל <math>x>M'</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-K\Big|<\frac{k}{2}</math> .
*לכן ביחד לכל זוג <math>x,y>M'</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|< K</math>
*ניקח <math>x>M,M'</math> אזי לכל <math>h>0</math> לפי משפט '''לגראנז'''' קיים <math>x<c<x+h</math> עבורו
:<math>f'(c)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>
*כעת, מתקיים <math>f'(c)>\frac{L}{2}</math> , אבל מצד שני <math>\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\le\dfrac{K}{h}</math> ולכן עבור <math>h</math> גדול מספיק נקבל סתירה.

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמח

2017-06-19T19:46:44Z

יהודה שמחה:

[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
==שאלה 1==
א. הוכח כי כל סדרה מתכנסת חסומה.

ב. הוכח/הפרך: אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L</math> אזי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=L</math> .

===פתרון===
א. כיון שהסדרה מתכנסת, קיים מקום בסדרה <math>n_1</math> כך שלכל <math>n>n_1</math> מתקיים <math>|a_n-L|<1</math> ולכן <math>L-1<a_n<L+1</math> . סה"כ:
:<math>\forall\ n:\min\{a_1,\ldots,a_{n_1},L-1\}<a_n<\max\{a_1,\ldots,a_{n_1},L+1\}</math>

ב. '''הפרכה''': ניקח סדרה אשר במקומות הזוגיים שלה שווה <math>n</math> , ובמקומות האי-זוגיים <math>n^2</math> :
:<math>a_n=1,1,2,4,3,9,4,16,\ldots</math>

קל לראות כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1</math> , אבל לא קיים הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}</math> .

'''הפרכה נוספת''': ניקח את הסדרה הבאה
:<math>a_n=1,3,1,3,1,3,\ldots</math>
מתקיים
:<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac13,3,\frac13,3,\frac13,3,\ldots</math>

ולכן לא מתכנס. אבל <math>\sqrt[n]3\to1</math> וכמובן גם <math>\sqrt[n]1\to1</math> ולכן סה"כ <math>\sqrt[n]{a_n}\to1</math> .

==שאלה 2==
נניח כי <math>f</math> פונקציה רציפה ב- <math>[0,\infty)</math> , גזירה ב- <math>(0,\infty)</math> . בנוסף נתון כי <math>f(0)=0</math> והנגזרת <math>f'</math> מונוטונית עולה ב- <math>(0,\infty)</math> .

א. הוכיחו כי <math>f'(x)\ge\frac{f(x)}{x}</math> ב- <math>(0,\infty)</math> .

ב. הוכיחו כי הפונקציה <math>g(x)=\frac{f(x)}{x}</math> מונוטונית עולה ב- <math>(0,\infty)</math> .

===פתרון===
א. יהי <math>x>0</math>. נפעיל את משפט לגראנז' על הפונקציה <math>f</math> בקטע <math>[0,x]</math> . לכן קיימת נקודה <math>0<c<x</math> כך ש:
:<math>f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}</math>
אבל מתוך מונוטוניות הנגזרת, אנו מקבלים:
:<math>f'(x)\ge f'(c)=\dfrac{f(x)}{x}</math>
כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

ב. נוכיח כי הנגזרת חיובית ולכן הפונקציה מונוטונית עולה
:<math>g'(x)=\dfrac{x\cdot f'(x)-f(x)}{x^2}</math>

כיון שהמכנה חיובי תמיד, סימן הנגזרת נקבע על-ידי המונה. אבל לפי סעיף א':
:<math>x\cdot f'(x)-f(x)\ge x\cdot\dfrac{f(x)}{x}-f(x)=0</math>

==שאלה 3==
קבעו האם קיים הגבול ואם כן מצאו אותו:

א. <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1^n+2^n+\cdots+2012^n}</math>

ב. <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n</math> , כאשר <math>a_1=1\ ,\ a_{n+1}=\sin(a_n)</math>

ג. <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[\sin\big(\sqrt{x-a}\big)-\sin\big(\sqrt{x}\big)\Big]</math>

ד. <math>\lim\limits_{x\to1}\left[\dfrac1{x-1}-\dfrac1{\ln(x)}\right]</math>

===פתרון===
א. נפעיל את משפט הסנדוויץ':
:<math>2012=\sqrt[n]{2012^n}\le\sqrt[n]{1^n+2^n+\cdots+2012^n}\le\sqrt[n]{2012^n+2012^n+\cdots+2012^n}=\sqrt[n]{2012\cdot2012^n}\to2012</math>

ב. ידוע כי עבור ערכים חיוביים <math>\sin(x)<x</math> ולכן קל להוכיח באינדוקציה כי זו סדרה מונוטונית יורדת וחסומה מלרע על-ידי <math>0</math> , ולכן מתכנסת.

<math>L=\sin(L)</math> ולכן <math>L=0</math> .

אכן, אם היה פתרון אחר למשוואה <math>x-\sin(x)=0</math> הקטן מ- <math>1</math> , אזי הנגזרת הייתה צריכה להתאפס בין <math>0</math> ל- <math>1</math> (לפי רול) וקל לוודא כי זה לא קורה.

ג. כפי שראינו בכיתה, ניתן להוכיח בעזרת לגראנז' כי <math>\Big|\sin(x)-\sin(y)\Big|\le|x-y|</math> לכן,

:<math>\bigg|\sin\big(\sqrt{x-a}\big)-\sin\big(\sqrt{x}\big)\bigg|\le\Big|\sqrt{x-a}-\sqrt{x}\Big|=\left|\dfrac{-a}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x}}\right|\to 0</math>

ד.
:<math>\dfrac1{x-1}-\dfrac1{\ln(x)}=\dfrac{\ln(x)-x+1}{(x-1)\ln(x)}</math>
נגזור את המונה ואת המכנה לקבלת:
:<math>\dfrac{\frac1x-1}{\ln(x)+\frac{x-1}{x}}=\dfrac{1-x}{x\ln(x)+x-1}</math>
שוב נגזור את המונה ואת המכנה לקבלת:
:<math>-\dfrac1{\ln(x)+1+1}\to-\frac12</math>
ולכן לפי כלל לופיטל, זה גם הגבול המקורי.

==שאלה 4==
תהי <math>f(x)=x^2\sin\left(\frac1x\right)</math>

א. האם <math>f</math> רציפה במ"ש בתחום <math>(0,\infty)</math>?

ב. האם <math>f'</math> רציפה במ"ש בתחום <math>(0,\infty)</math>?

ג. הוכח/הפרך: אם <math>g</math> גזירה ורציפה במ"ש ב- <math>(0,\infty)</math> אזי נגזרתה <math>g'</math> חסומה ב- <math>(0,\infty)</math>

===פתרון===
א. 
נבחן את הנגזרת בקטע:

<math>f'(x)=2x\cdot\sin\left(\frac1x\right)-\cos\left(\frac1x\right)</math> . כיון שגבולה באינסוף סופי והיא רציפה בכל נקודה בקטע, היא חסומה בקטע <math>[1,\infty)</math>.

כמו כן קל לראות כי היא חסומה בקטע <math>(0,1)</math> (אף על פי שאין לה גבול בנקודה אפס).

בסה"כ הנגזרת חסומה ולכן לפי משפט הפונקציה <math>f</math> רציפה במ"ש בקטע.

ב. 
ניקח את שתי הסדרות <math>x_n=\dfrac1{2\pi n}</math>, ו- <math>y_n=\dfrac1{\frac{\pi}{2}+2\pi n}</math> . קל לוודא כי:

:<math>|x_n-y_n|\to0</math>

:<math>\Big|f'(x_n)-f'(y_n)\Big|\to1</math>

ולכן <math>f'</math> אינה רציפה במ"ש בקטע.

ג. 
;הפרכה
<math>f(x)=\sqrt{x}</math> רציפה במ"ש בקטע כיון שב-0 יש לה גבול סופי ובאינסופי נגזרתה חסומה. אולם הנגזרת שלה <math>f'(x)=\dfrac1{2\sqrt{x}}</math> אינה חסומה בסביבת <math>0</math>.

הפרכה נוספת:

<math>x\cdot\sin\left(\tfrac1x\right)</math> בעלת גבולות סופיים בשני קצוות הקטע, ולכן רציפה שם במ"ש. קל לוודא כי נגזרתה אינה חסומה בקטע.

==שאלה 5==
עבור כל אחד מהטורים הבאים קבעו: מתבדר/ מתכנס בהחלט/ מתכנס בתנאי:

א. <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\sin\Big(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\Big)</math>

ב. <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\dfrac{n+1}{n^\sqrt{n}}</math>

ג. <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\cos^2\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}</math>

ד. <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n^n}{(n!)^2}</math>

===פתרון===
א.

<math>\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac1{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}</math>

לכן קל לוודא לפי מבחן ההשוואה הגבולי כי הטורים
:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\sin\Big(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\Big)\ ,\ \sum_{n=1}^\infty\dfrac1{\sqrt{n}}</math>
חברים, ולכן הטור אינו מתכנס בהחלט.

כיון שסינוס רציפה, מונוטונית באזור <math>0</math>, ושואפת שמה ל- <math>0</math>, מקבלים כי הטור כולו מתכנס בתנאי לפי מבחן לייבניץ.

ב. 
ברור שהחל מ- <math>n=9</math> מתקיים <math>\sqrt{n}\ge3</math> ולכן
:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{n+1}{n^\sqrt{n}}\le\sum_{n=1}^\infty\dfrac{n+1}{n^3}=\sum_{n=1}^\infty\left[\dfrac1{n^2}+\dfrac1{n^3}\right]</math>
ולכן הטור מתכנס בהחלט.

ג. 
בכל מקום זוגי <math>\cos^2\left(\frac{n\pi}{2}\right)=1</math> ובכל מקום אי-זוגי זה שווה 0 לכן הטור הוא בעצם הטור המתבדר
:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{2n}</math> .

ד. 
נפעיל את מבחן המנה לקבלת:
:<math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{(n+1)^{n+1}(n!)^2}{n^n\big((n+1)!\big)^2}=\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n\cdot\dfrac1{n+1}\to e\cdot0=0</math>
ולכן הטור מתכנס בהחלט.

רציפות

2017-06-19T19:31:02Z

יהודה שמחה:

[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות|חזרה לפונקציות]]

==רציפות==
<videoflash>OvCi6W1BOh8</videoflash>

אנו מעוניינים להגדיר את המושג האינטואיטיבי של רציפות. כיון שיש לנו את מושג הגבול (הגובה אליו הפונקציה שואפת בנקודה מסוימת), נרצה באופן טבעי כי ערך הפונקציה יהיה שווה לגבול שלה בנקודה.
;הגדרה
תהי <math>f</math> פונקציה. אומרים כי <math>f</math> '''רציפה בנקודה''' <math>a</math> אם ערכה בנקודה שווה לגבול שלה בנקודה
:<math>\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)</math>

'''שימו לב''' כי הגדרת הרציפות הנה נקודתית. נהוג לומר על פונקציה שהיא רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה בקטע.

;משפט
תהיינה <math>f,g</math> פונקציות רציפות. אזי פונקצית המנה <math>\dfrac{f}{g}</math> רציפה בדיוק בנקודות בהן <math>g\ne0</math> .

;משפט (הרכבה של רציפות)
תהי <math>g</math> פונקציה רציפה בנקודה <math>L</math> . תהי <math>f</math> פונקציה המקיימת <math>\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L</math> אזי
:<math>g(f(x))</math> רציפה בנקודה <math>x_0</math>

;דוגמא
תהיינה <math>f,g</math> פונקציות רציפות. הוכח כי פונקציה המקסימום המוגדרת על-ידי
:<math>\max(f,g)(x):=\max\Big\{f(x),g(x)\Big\}</math>
רציפה.

;הוכחה
קל להוכיח כי פונקצית הערך המוחלט הנה פונקציה רציפה. עוד קל לראות כי
:<math>\max(f,g)=\dfrac{f+g}{2}+\dfrac{|f-g|}{2}</math>
אכן, בנקודה בה <math>f(x)>g(x)</math> מקבלים <math>\max(f,g)(x)=f(x)</math> , ולהפך.

אם כך, פונקצית המקסימום הנה סכום, כפל בקבוע, ו'''הרכבה''' של פונקציות רציפות ולכן רציפה.

==אי-רציפות==
<videoflash>UmJuPo5QnaU</videoflash>

פונקציה אינה רציפה בנקודה <math>x_0</math> אם"ם אחד לפחות מבין התנאים הבאים מתקיים:
#הגבול של הפונקציה בנקודה <math>x_0</math> אינו קיים במובן הצר
#הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה <math>x_0</math>
#הגבול קיים במובן הצר, הפונקציה מוגדרת, אך ערך הפונקציה שונה מהגבול בנקודה <math>x_0</math>

אנו מחלקים את נקודות אי-הרציפות לשלושה מקרים:

===אי-רציפות סליקה===
אומרים כי ל-<math>f</math> קיימת '''נקודת אי-רציפות סליקה''' בנקודה <math>x_0</math> אם היא אינה רציפה בנקודה אך הגבול שלה בנקודה קיים במובן הצר.

במקרה זה ניתן '''לתקן''' את הפונקציה בנקודה על-מנת לקבל פונקציה רציפה בנקודה. נגיד <math>g</math> על-ידי:

:<math>g(x)=\begin{cases}f(x)&:x\ne x_0\\\lim\limits_{x\to x_0}f(x)&:x=x_0\end{cases}</math>

קל להוכיח כי <math>g</math> רציפה בנקודה <math>x_0</math> .

===אי-רציפות ממין ראשון===
אומרים כי ל-<math>f</math> קיימת '''נקודת אי-רציפות ממין ראשון''' בנקודה <math>x_0</math> אם הגבולות החד-צדדיים שלה בנקודה '''קיימים במובן הצר ושונים'''.

במקרה זה ניתן לחלק את הפונקציה לשתי פונקציה שאחת רציפה מימין בנקודה והשניה רציפה משמאל בנקודה.

===אי-רציפות ממין שני===
כל נקודת אי-רציפות אחרת מסווגת כ'''אי-רציפות ממין שני'''. זה עשוי לקרות אם הפונקציה אינה חסומה באף סביבה של הנקודה, או פשוט כאשר לא קיים אחד הגבולות הצדדים.

לדוגמא: <math>\sin\left(\tfrac1x\right)</math> ב-0.

==תרגילים==
;תרגיל
תהי <math>f</math> פונקציה רציפה. מצא וסווג את נקודות אי-הרציפות של
:<math>g(x):=\frac{f(x)}{|f(x)|}</math>

;פתרון
כיון שזו חלוקה של פונקציות רציפות (ההרכבה של הערך המוחלט על פונקציה רציפה גם נותנת פונקציה רציפה), אזי <math>g</math> רציפה בכל נקודה בה <math>f\ne0</math> .

עוד נשים לב כי <math>g(x)=\begin{cases}1&:f(x)>0\\-1&:f(x)<0\end{cases}</math> .

בנקודה בה <math>f=0</math> :
*אם בסביבה מנוקבת כלשהי של הנקודה הפונקציה <math>f>0</math> , זוהי נקודת אי-רציפות סליקה (שכן הגבול בה הוא אחד).
*אם בסביבה מנוקבת כלשהי של הנקודה הפונקציה <math>f<0</math> , זוהי נקודת אי-רציפות סליקה.
*אם קיימת סביבה ימנית בה הפונקציה <math>f>0</math> , וקיימת סביבה שמאלית בה הפונקציה <math>f<0</math> (ולהפך) זוהי נקודת אי-רציפות ממין ראשון (גבול חד-צדדי שווה 1, והשני 1-).
*כל מצב אחר (באחד הצדדים לפחות, בכל סביבה, יש אינסוף אפסים או אינסוף שינויי סימן), זוהי נקודת אי רציפות מהמין השני שכן אין גבול ל-<math>g</math> בנקודה.

;דוגמא
לפונקציה <math>\dfrac{\sin(x)}{|\sin(x)|}</math> יש נקודות אי-רציפות ממין ראשון בכל כפולה שלמה של <math>\pi</math> .

תרגיל
<math>f(x)=e^{-\frac1{\sin(x^2)}}</math>

;פתרון
כיון שזו הרכבה, של חלוקה, של הרכבה, של פונקציות רציפות, הפונקציה רציפה כאשר כל הפונקציות מוגדרות ומכנה החלוקה שונה מ-0. על כן נקודות אי-הרציפות הן מהצורה:

<math>\pm\sqrt{\pi k}</math>

נחלק את נקודות אי-הרציפות לשניים: <math>k=0</math> וכל השאר.

כאשר <math>k=0</math> , מתקיים כי <math>\lim\limits_{x\to0}\dfrac1{\sin(x^2)}=\infty</math> כיון שהסינוס '''תמיד חיובי''' באזור זה (הרי <math>x^2>0</math>). ולכן סה"כ:
:<math>\lim\limits_{x\to0}e^{-\frac1{\sin(x^2)}}=0</math>
ולכן '''אפס''' היא נקודת אי-רציפות '''סליקה'''.

בשאר הנקודות, הסינוס חיובי מצד אחד, ושלילי מהצד השני ולכן בצד אחד הפונקציה אינה חסומה, והן נקודות אי-רציפות מ'''מין שני'''.

משפט בולצאנו-ויירשטראס

2017-06-19T06:54:43Z

יהודה שמחה:

==משפט בולצאנו-ויירשטראס לסדרות==
לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת

==הוכחה==
ראשית, נזכר ב'''למה של קנטור'''. יהי <math>\{I_n\}</math> אוסף של קטעים סגורים <math>I_n=[a_n,b_n]</math> כך שכל אחד מוכל בקודמו (כלומר <math>a_n</math> מונוטונית לא-יורדת, ו- <math>b_n</math> מונוטונית לא-עולה). עוד נניח כי אורך הקטעים שואף ל- <math>0</math> , כלומר <math>\lim\limits_{n\to\infty}\Big[b_n-a_n\Big]=0</math> .

אזי קיימת נקודה יחידה השייכת '''לכל''' הקטעים. (מתקיים באופן טבעי שנקודה זו שווה לגבול הסדרות <math>a_n,b_n</math>)

נביט כעת בסדרה חסומה <math>-M\le a_n\le M</math> (זכרו, הסדרה לא חייבת להיות בכל הקטע הזה, רק לא לצאת ממנו). כיון שבסדרה ישנם אינסוף אברים, הקטע <math>I_1:=[-M,M]</math> מכיל אינסוף אברים מהסדרה.

נביט כעת בשני חצאי הקטע <math>[-M,0],[0,M]</math> . '''בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף אברים מהסדרה''' (וזה עיקר הרעיון של ההוכחה). נסמן את חצי הקטע הזה <math>I_2</math> . נחצה את הקטע הזה לשניים, ונבחר חצי שמכיל אינסוף אברים.

אם כך, קיבלנו סדרה של קטעים <math>I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots</math> המקיימת את התכונות הבאות:

*כל קטע מכיל אינסוף אברים מהסדרה <math>a_n</math>

*כל קטע מוכל בקודמו

*אורך כל קטע הוא חצי קודמו. כיון שאורך הקטע הראשון הנו <math>2M</math> אורך הקטע <math>I_n</math> שווה <math>\dfrac{M}{2^{n-2}}</math> . ברור שאורך הקטעים שואף ל-0

לפי הלמה של קנטור, מתקיים כי יש נקודה המוכל '''בכל''' הקטעים הללו, נקרא לה <math>L</math> . נוכיח כי <math>L</math> הנה גבול חלקי של <math>a_n</math> ובכך נסיים את ההוכחה (שכן ההגדרה של גבול חלקי הנו קיום תת-סדרה השואפת אליו).

*יהי <math>\varepsilon>0</math> . רוצים להוכיח כי בסביבת <math>\varepsilon</math> של <math>L</math> ישנם אינסוף אברים מהסדרה.
*כיון שאורך הקטעים שבנינו שואפים ל-0, יש קטע שאורכו קטן מ- <math>\dfrac{\varepsilon}{2}</math> .
*לפי ההגדרה של <math>L</math> מהלמה של קנטור, <math>L</math> מוכל בכל הקטעים שבנינו ובפרט בקטע הקטן הזה.
*לכן בודאי הקטע הקטן מוכל בסביבת <math>\varepsilon</math> של <math>L</math> .
*אבל אחת התכונות של הקטעים שבנינו היא שהם מכילים אינסוף אברים מהסדרה ולכן קיימים אינסוף אברים מהסדרה בסביבת <math>\varepsilon</math> של <math>L</math> .
<math>\blacksquare</math>

[[קטגוריה:אינפי]]

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 2

2017-06-19T05:32:00Z

יהודה שמחה:

[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
[[מדיה:11Infi1CSBohan2.pdf|בוחן 2 לתלמידי מדעי המחשב]]

==1==
תנאי הכרחי להתכנסות הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> הוא התכנסות הסדרה <math>a_n\to0</math> . תנאי זה הכרחי אבל אינו מספיק.

טור מתכנס בתנאי הנו טור המתכנס, אבל אינו מתכנס בהחלט.

==2==
===א===
ברור כי <math>\max\{a_n,b_n\}\ge a_n</math> ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים הטור מתבדר.

===ב===
כיון שהטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת ל-0. לכן

<math>\dfrac{|a_n\cdot b_n|}{|b_n|}=|a_n|\to0</math>

ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty|a_n\cdot b_n|</math> מתכנס, כלומר הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot b_n</math> מתכנס בהחלט.

===ג===
הוכחה:

כיון שהטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן הסדרה <math>\dfrac1{a_n}</math> לא חסומה או לא-מוגדרת ובכל מקרה אינה שואפת ל-0 ולכן הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{a_n}</math> מתבדר.

===ד===
הפרכה:

<math>a_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}</math> מתכנס לפי לייבניץ, אבל <math>a_n^2=\dfrac1n</math> מתבדר.

==3==
===א===
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/7|פתרון]]

===ב===
<math>2^n+(-1)^n2^n\le2\cdot2^n</math>

ולכן סה"כ הטור קטן מהטור ההנדסי המתכנס

<math>2\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\dfrac23\right)^n</math>

ולכן מתכנס.

===ג===
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/8|פתרון]]

===ד===
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/4|פתרון]]

===ה===
נפעיל את מבחן המנה:

<math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}</math>

נכפיל בצמוד של המונה למעלה ולמטה לקבל:

<math>
\begin{align}
\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}=\frac{4-2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2\sqrt{2+\cdots}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=\frac{2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=\\\\
\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}\le \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt2}<1
\end{align}
</math>

ולכן הטור מתכנס.

==4==
===א===
מתכונות פונקציות הקוסינוס ניתן לראות שאנו מקבלים סכום של טורים בעלי סדרה השואפת מונוטונית ל-0 עם סימנים מתחלפים ולכן מתכנס לפי לייבניץ.

ידוע שהטור אינו מתכנס בהחלט, ולכן סה"כ הטור '''מתכנס בתנאי'''.

===ב===
הטור מתבדר שכן סכום אבריו השליליים מתכנס בעוד סכום אבריו החיוביים מתבדר.

===ג===
הטור מתכנס בהחלט לפי מבחן ההשוואה הראשון עם הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{n^2}</math> .

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 1

2017-06-19T05:24:03Z

יהודה שמחה:

[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
[[מדיה:11Infi1CSBohan1.pdf|בוחן 1 לתלמידי מדעי המחשב]]

==1==
<math>L</math> הנו גבול הסדרה <math>a_n</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום בסדרה <math>N</math> כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|a_n-L|<\varepsilon</math> .

<math>L</math> '''אינו''' גבול הסדרה <math>a_n</math> אם '''קיים''' <math>\varepsilon>0</math> כך ש'''לכל''' מקום <math>N</math> בסדרה '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש- <math>|a_n-L|\ge\varepsilon</math> .

==2==
משיעורי הבית

==3==
משיעורי הבית

==4==
כיון שהאבר הראשון חיובי, ושאר האברים הם ריבועים, קל לראות כי כל הסדרה חיובית. לכן
:<math>a_{n+1}<a_n\iff a_n^2<a_{n-1}^2\iff a_n<a_{n-1}</math>
ניתן על כן להוכיח באינדוקציה כי מונוטוניות הסדרה נקבעת על-ידי הזוג הראשון. כאשר <math>c>1</math> הסדרה מונוטונית עולה, כאשר <math>c=1</math> קל לראות שהסדרה קבועה, וכאשר <math>0<c<1</math> הסדרה מונוטונית יורדת.

כאשר הסדרה מונוטונית קבועה, היא קבוע <math>1</math> ולכן זהו גבולה.

כאשר הסדרה מונוטונית יורדת היא חסומה מלרע על-ידי <math>0</math> ולכן מתכנסת (מונוטונית וחסומה). נמצא את גבולה:

נסמן <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L</math> ולכן <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=L</math> ולכן:
:<math>L^2=L</math>
כלומר <math>L=1</math> או <math>L=0</math> . כיון שאנו עוסקים במקרה בו <math>c<1</math> והסדרה מונוטונית יורדת, <math>L=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\le c<1</math> ולכן <math>L=0</math> .

באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית עולה, אם היא הייתה מתכנסת גבולה היה גדול מ-1 בסתירה.

==5==
משיעורי הבית

==6==

===א===
חסומה כפול שואפת ל-0 לכן שואף ל-0

===ב===
<math>\sqrt[n]{9^{n+1}-3^{2n}}=\sqrt[n]{9\cdot9^n-9^{n}}=\sqrt[n]{9^n\cdot8}=9\sqrt[n]8\to9</math>

===ג===
<math>L=\frac{L^2}{2}+\frac12</math> ולכן <math>L=1</math>

===ד===
<math>\left(1+\frac{3n}{n^2+1}\right)^n=\left(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\right)^{n\cdot\frac{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}=\left(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\right)^{\left(\frac{n}{3}+\frac1{3n}\right)\cdot{\frac{n}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}}\to e^3</math>

===ה===
לפי משפט אם הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=L</math> קיים, אזי מתקיים <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L</math> (בכיוון ההפוך זה לא נכון)

לכן מספיק לחשב את הגבול הראשון, במקרה זה:

<math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\big(2(n+1)\big)!(n!)^2}{\big((n+1)!\big)^2(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^2}=\frac{4n+2}{n+1}\to 4</math>

משפטים/אינפי

2017-06-19T05:18:09Z

יהודה שמחה:

חזרה ל[[משפטים]]

ראו [[:קטגוריה:אינפי]], ובנוסף:
*[[מבחן השורש של קושי|מבחן קושי לטורים חיוביים]]
*[[טור מתכנס בהחלט|טור המתכנס בהחלט - מתכנס]]
*[[משפט קנטור על רציפות במידה שווה|משפט קנטור לגבי פונקציות רציפות בקטע סגור]]
*[[פונקציה רציפה במידה שווה|פונקציה בעלת נגזרת חסומה רציפה במ"ש]]
*[[המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי| משפט ניוטון-לייבניץ]]

פונקציה רציפה במידה שווה

2017-06-19T05:16:22Z

יהודה שמחה:

פונקציה ממשית היא '''רציפה במידה שווה''' בקטע <math>I</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>x,y\in I</math> אם <math>|x-y|<\delta</math> אז <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|<\varepsilon</math> . תכונה זו גוררת [[פונקציה רציפה|רציפות]] של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך-כלל היא חזקה יותר.

==משפט==
פונקציה בעלת נגזרת חסומה בקטע, רציפה במ"ש באותו קטע

===הוכחה===
תהי <math>f</math> בעלת נגזרת חסומה בקטע <math>A</math> . נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות <math>x_n,y_n</math> בקטע המקיימות
:<math>|x_n-y_n|\to 0</math>
:<math>\Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|\not\to 0</math>
לכן קיימת תת-סדרה כך ש-
:<math>\Big|f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})\Big|\to a\ne 0</math>
(זוהי תת-הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה 0 סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).

נובע מכאן כי הסדרה
:<math>\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math>
אינה חסומה.

אבל לפי משפט לגראנז', קיימות נקודות <math>c_{n_k}</math> בין <math>x_{n_k},y_{n_k}</math> כך ש-
:<math>f'(c_{n_k})=\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math>
ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.

[[קטגוריה:אינפי]]

גבול פונקציה

2017-06-16T01:35:52Z

יהודה שמחה:

[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות|חזרה לפונקציות]]

כאשר למדנו גבולות של סדרות, היה רק כיוון אחד להתקדמות הסדרה - האינדקס שאף לאינסוף דרך הטבעיים. כאשר מדובר על פונקציה, <math>x</math> יכול לשאוף לכל מספר ממשי וגם לפלוס ומינוס אינסוף. בנוסף הוא עשוי לשאוף אליהם דרך מספרים רציונאליים, אי רציונאליים או גם וגם. עלינו להתאים את הגדרת הגבול של פונקציה בהתאם.

==גבול פונקציה לפי קושי==
<videoflash>Jp5FqgylIak</videoflash>

;הגדרה.
<math>L</math> נקרא '''הגבול של <math>f</math> בנקודה <math>a</math>''' אם <math>f</math> מוגדרת בסביבה מנוקבת של <math>a</math> וגם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>0<|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-L\Big|<\varepsilon</math> .

(הערה: סביבה מנוקבת של <math>a</math> הנה סביבה של <math>a</math> שמוציאים ממנה את <math>a</math> .)

הסבר ההגדרה: לכל מרחק על ציר <math>y</math> שנבחר (אפסילון) יש מרחק על ציר <math>x</math> (דלתא) כך שאם הנקודות על ציר <math>x</math> קרובות מספיק ל-<math>a</math> אזי הפונקציה עליהן קרובה מספיק ל-<math>L</math> .

;תרגיל.
הוכח לפי ההגדרה כי <math>\lim\limits_{x\to2}\dfrac{(x+2)(x+4)}{x+1}=8</math>

;פתרון
יהי <math>\varepsilon>0</math> . צריך להוכיח כי קיים <math>\delta>0</math> , כך שאם <math>0<|x-2|<\delta</math> אזי מתקיים
<math>\left|\dfrac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right|<\varepsilon</math>

נפתח את הביטוי:
:<math>\left|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right|=\left|\frac{x^2+6x+8-8x-8}{x+1}\right|=\left|\frac{x^2-2x}{x+1}\right|=\left|\frac{x(x-2)}{x+1}\right|</math>
אנו רואים כי כאשר <math>x\to2</math> המונה שואף ל-0 והמכנה ל-3. נרצה, אם כך, לחסום את המכנה מלמטה על-ידי קבוע גדול מ-0, כך נוכל להקטין את המכנה, ולהגדיל את הביטוי.

כאשר <math>\delta<1</math> , עבור <math>0<|x-2|<\delta<1</math> מתקיים <math>2<x+1</math> ולכן:
:<math>\left|\dfrac{x(x-2)}{x+1}\right|<\dfrac{|x(x-2)|}{2}</math>
כמו כן, מתקיים <math>x<3</math> ולכן:
:<math>\left|\dfrac{x(x-2)}{x+1}\right|<\dfrac{3|x-2|}{2}<\dfrac32\delta</math>
לסיכום, קיים דלתא כך ש- <math>\delta<1</math> וגם <math>\delta<\dfrac23\varepsilon</math> עבורו מתקיים:
:<math>\left|\dfrac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right|<\dfrac32\delta=\varepsilon</math>

==גבול פונקציה לפי היינה==
<videoflash>wb7n_n5F8iU</videoflash>

בהגדרת קושי לגבול פונקציה הכללנו את הרעיון של גבול של סדרה, אך לא השתמשנו בו. בהגדרת הגבול לפי היינה נסתמך על הגדרת הגבול של סדרה.

'''הגדרה.''' 
<math>L</math> נקרא '''הגבול של <math>f</math> בנקודה <math>a</math>''' אם <math>f</math> מוגדרת בסביבה מנוקבת של <math>a</math> וגם לכל סדרה <math>x_n</math> המקיימת את שני התנאים הבאים:
*<math>\forall n:x_n\ne a</math>
*<math>\lim_{n\to\infty}x_n=a</math> (כאשר זהו גבול של סדרות)

מתקיים כי הסדרה <math>f(x_n)</math> שואפת ל- <math>L</math> (שוב, גבול של סדרות).

'''תרגיל.'''

הוכח כי <math>\lim\limits_{x\to x_0}ax^k=ax_0^k</math>

'''פתרון.'''
לכל סדרה <math>x_0\ne x_n\to x_0</math> מתקיים לפי אריתמטיקת גבולות של סדרות כי
:<math>ax^k=a\cdot x\cdots x\to a\cdot x_0\cdots x_0=ax_0^k</math>

'''מסקנה.''' קל להראות כי לכל פולינום p מתקיים <math>\lim\limits_{x\to x_0}p(x)=p(x_0)</math>

'''תרגיל.'''

הוכח כי לא קיים הגבול <math>\lim\limits_{x\to 0}\sin(e^{\frac{1}{x}})</math>

'''הוכחה.''' נראה כי קיימות סדרות
:<math>0\ne x_k,y_k\to 0</math>

כך ש-
:<math>\lim f(x_k)\ne\lim f(y_k)</math>

נזכר בעובדה שלכל מספר שלם k מתקיים:
:<math>\sin\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)=1</math>

:<math>\sin\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right)=-1</math>
נרצה סדרה המקיימת
:<math>e^\frac{1}{x_k}=\frac{\pi}{2}+2\pi k</math>
ולכן ניקח
:<math>x_k=\frac{1}{\ln\Big(\frac{\pi}{2}+2\pi k\Big)}</math>
באופן דומה ניקח
:<math>y_k=\frac{1}{\ln\Big(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\Big)}</math>
ואז נקבל
:<math>\lim f(x_k)=1\ne -1=\lim f(y_k)</math>

==גבולות ידועים==
:<math>\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1</math>

:<math>\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x}=0</math>

:<math>\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}=\frac{1}{2}</math>

:<math>\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1</math>

==דוגמאות==
חשב את הגבולות הבאים:
*<math>\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}</math>
'''פתרון''':
:<math>\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}\cdot\frac{x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x}\frac{x}{\sin(x)}=0\cdot 1=0</math>

*<math>\lim_{x\to 0}\frac{5x^2+2x}{3x^3+2x^2+x}</math>
'''פתרון''':
:<math>\lim_{x\to 0}\frac{5x^2+2x}{3x^3+2x^2+x}=\lim_{x\to 0}\frac{x(5x+2)}{x(3x^2+2x+1)}=\lim_{x\to 0}\frac{5x+2}{3x^2+2x+1}=2</math>

'''הערה''': שימו לב שכאשר המשתנה שואף לאפס, החזקה המשמעותית היא דווקא '''הנמוכה''' בניגוד לכאשר המשתנה שואף לאינסוף.

*<math>\lim_{x\to\infty}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)</math>
'''פתרון''': נבצע הצבה <math>y=\frac{1}{x}</math> ולכן זה בעצם שווה לגבול
:<math>\lim_{x\to\infty}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)=\lim_{y\to 0^+}\frac{\sin(y)}{y}=1</math>

*<math>\lim_{x\to 0}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)</math>
'''פתרון''': שואפת לאפס כפול חסומה, לכן הגבול הנו <math>0</math> .

*<math>f(x)=\begin{cases}x^2 & x\in\Q \\ 0 & x\notin\Q\end{cases}</math>

הראנו בסרטון על הגדרת הגבול לפי סדרות (לעיל) כי גבול פונקציה זו קיים אך ורק בנקודה <math>0</math> וערכו שם הוא <math>0</math> .

מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון 1

2017-05-18T18:46:15Z

יהודה שמחה:

==1==
*<math>x^2+2x+1\le0</math>
נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס.

לפי נוסחא נקבל פתרון יחיד <math>x=-1</math> .

המקדם של <math>x^2</math> חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב- <math>x=-1</math> וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף <math>x</math>).

פתרון: <math>x=-1</math>

*<math>(1-x)(x+6)>0</math>
נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב- <math>x=1,-6</math> .

אם נפתח סוגריים נקבל <math>-x^2-5x+6</math> והמקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כאשר <math>x<-6</math> או <math>x>1</math> ,
וערכים חיוביים כאשר <math>-6<x<1</math> .

פתרון: <math>-6<x<1</math>

*<math>-3x^2+6x-1\ge0</math>
נבדוק מתי מתאפס. לפי נוסחא נקבל <math>x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36-12}}{-6}=1\pm\dfrac{\sqrt6}{3}</math>

המקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.

פתרון: <math>1-\dfrac{\sqrt6}{3}\le x\le1+\dfrac{\sqrt6}{3}</math>

*<math>x^2(x^2-1)(x^2+1)\le0</math>
נפרק לשלושה ביטויים: <math>x^2,x^2+1,x^2-1</math> ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.

<math>x^2+1</math> : ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה <math>x^2=-1</math> אין פתרון ממשי)

<math>x^2-1</math> : מתאפס ב- <math>x=\pm1</math> . הביטוי שלילי ביניהם וחיובי כאשר <math>x<-1</math> או <math>x>1</math>

<math>x^2</math> : מתאפס ב-0 וחיובי אחרת.

קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:

<math>x<-1</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה גם חיובית

<math>-1<x<0</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית

<math>0<x<1</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית

<math>1<x</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית

בנקודות <math>x=0,\pm1</math> הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי-השוויון.

פתרון: <math>-1\le x\le1</math>

*<math>(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots(x-n)>0</math>
כאשר <math>n\in\N</math> . שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של <math>n</math> .

השאלה היא מתי מכפלה של <math>n</math> גורמים היא חיובית. התשובה היא כאשר מספר הגורמים השליליים הוא זוגי. כאשר <math>x</math> מספר שלם בין 1 ל-<math>n</math> , הביטוי מתאפס ולכן זה איננו פתרון.

לכן אנחנו מתעניינים בתחומים <math>x<1,1<x<2,\ldots,n<x</math> . בתחום האחרון <math>n<x</math> כל הגורמים חיוביים ולכן תחום זה הוא תמיד פתרון. נחלק למקרים:

<math>n</math> זוגי: אם <math>x<1</math> כל הגורמים שליליים ולכן המכפלה כולה חיובית (כי <math>n</math> זוגי) ולכן זה פתרון. נשארנו עם התחומים מהצורה <math>k<x<k+1</math> עבור <math>1\le k\le n-1</math> . אם <math>k</math> זוגי אז יש עוד מספר זוגי של תחומים כאלה אחריו (כי <math>n</math> זוגי) ולכן המכפלה חיובית. אחרת, יש מספר אי-זוגי של גורמים שליליים ולכן המכפלה שלילית.

לכן התשובה עבור <math>n</math> זוגי היא:
:<math>x<1,2<x<3,4<x<6,\ldots,2k<x<2k+1,\ldots,n-2<x<n-1,n<x</math>

עבור <math>n</math> אי-זוגי נפתור בצורה דומה ונקבל:
:<math>1<x<2,3<x<4,\ldots,2k-1<x<2k,\ldots,n-2<x<n-1,n<x</math>

*<math>|x|\le7</math>
נחלק למקרים: אם <math>x\ge0</math> נקבל את אי-השוויון <math>|x|\le7</math> ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם <math>0\le x\le7</math>

אם <math>x<0</math> נקבל <math>x\ge-7</math> וסה"כ הפתרונות הם <math>-7\le x<0</math>

נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון
:<math>-7\le x\le7</math>

*<math>|2x-1|<7</math>
נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב- <math>x=\tfrac12</math> לכן נתבונן במקרים:

<math>x\ge\tfrac12</math> : אי-השוויון הוא <math>2x-1<7</math> לכן <math>x<4</math> . התשובה היא <math>\tfrac12\le x<4</math>

<math>x<\tfrac12</math> : אי-השוויון הוא <math>-2x+1<7</math> לכן <math>x>-3</math> . התשובה היא <math>-3<x<\tfrac12</math> . נאחד את הפתרונות ונקבל:

פתרון: <math>-3<x<4</math>

*<math>(x-1)|x-1|>1</math>
נחלק למקרים:

<math>x>1</math> : אי-השוויון הוא <math>(x-1)(x-1)>1</math> . נפשט ונקבל <math>x(x-2)>0</math> . ביטוי זה חיובי כאשר <math>x<0</math> או <math>x>2</math> (בדקו!). לכן הפתרון הוא <math>x>2</math>

<math>x<1</math> : אי-השוויון הוא <math>-(x-1)(x-1)>1</math> . נפשט ונקבל <math>(x-1)^2<-1</math> . הביטוי משמאל תמיד חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון.

פתרון: <math>x>2</math>

*<math>\frac{|x|}{x}>1</math>
נשים לב שלביטוי אין ערך ב- <math>x=0</math> . אם <math>x>0</math> נקבל <math>\dfrac{x}{x}>1</math> וזה לא יתכן. אם <math>x<0</math> נקבל <math>\dfrac{-x}{x}>1</math> וגם זה לא יתכן.

פתרון: אף <math>x</math> לא מקיים את אי-השוויון

*<math>|x-1|>|x^2-1|</math>
הביטוי בערך המוחלט הימני חיובי עבור <math>x<-1</math> או <math>x>1</math> .

<math>x\le-1</math> : נקבל אי-שוויון <math>-(x-1)>x^2-1</math> . נפשט ונקבל <math>x^2+x-2<0</math> והפתרון של זה הוא <math>-2<x<1</math> . סה"כ: <math>-2<x\le-1</math>

<math>-1<x\le1</math> : נקבל אי-שוויון <math>-(x-1)>-(x^2-1)</math> ואחרי פישוט: <math>x^2-x>0</math> . הפתרון הוא <math>x<0</math> או <math>x>1</math> לכן סה"כ: <math>-1<x<0</math> .

<math>x>1</math> : נקבל <math>x-1>x^2-1</math> . נפשט ונקבל <math>x(x-1)<0</math> והפתרון הוא <math>0<x<1</math> . לכן במקרה זה אין פתרון.

פתרון: <math>-2<x<0</math>

*<math>|x^2-4x-3|+|x-1|+|x-2|>2x</math>
הביטוי הריבועי מתאפס ב- <math>x=2\pm\sqrt7</math> . נחלק למקרים:

<math>x\le2-\sqrt7</math> : <math>x<0</math> או <math>x>8</math> לכן סה"כ <math>x\le2-\sqrt7</math>

<math>2-\sqrt7<x\le1</math>: <math>-\sqrt6<x<\sqrt6</math> . לכן סה"כ: <math>2-\sqrt7<x\le1</math>

<math>1<x\le2</math> : <math>1-\sqrt5<x<1+\sqrt5</math> . לכן סה"כ: <math>1<x\le2</math>

<math>2<x\le2+\sqrt7</math> : <math>0<x<4</math> . לכן סה"כ: <math>2<x<4</math>

<math>x>2+\sqrt7</math> : <math>x<2-\sqrt{10}</math> או <math>x>2+\sqrt{10}</math> . לכן סה"כ: <math>x>2+\sqrt{10}</math>

פתרון: <math>x<4</math> או <math>x>2+\sqrt{10}</math>

==2==
נגדיר שתי פונקציות
:<math>\begin{align}
f(x)&=\begin{cases}x^2&x>0\\0&x=0\\-x^2&x<0\end{cases}\\\\g(x)&=\begin{cases}x-1&x>1\\|x|+x&x\le1\end{cases}
\end{align}</math>

מצא עבור אילו ערכי <math>x</math> מתקיימים אי-השוויונות הבאים:
*<math>g(x)\le0</math>

נפריד למקרים:

<math>x<0</math> : במקרה זה אי-השוויון הוא <math>-x + x\le0</math> והוא תמיד מתקיים

<math>0\le x\le1</math> : אי-השוויון הוא <math>x+x\le0</math> והוא מתקיים עבור <math>x\le0</math> לכן הפתרון הוא <math>x=0</math>

<math>x>1</math> : אי-השוויון הוא <math>x-1\le0</math> לכן הפתרון הוא <math>x\le1</math> ולכן אין פתרון

פתרון: <math>x\le0</math>

*<math>f(x+1)>0</math>
<math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2&x>-1\\0&x=-1\\-(x+1)^2&x<-1\end{cases}</math>

נפריד למקרים:

<math>x>-1</math> : אי-השוויון הוא <math>(x+1)^2>0</math> וריבוע של מספר הוא תמיד אי שלילי לכן זה מתקיים לכל <math>x>-1</math>

<math>x=-1</math> : ערך הפונקציה הוא 0 ולכן זה לא פתרון

<math>x<-1</math> : אי-השוויון הוא <math>-(x+1)^2>0</math> וזה לא מתקיים לאף ערך בתחום

פתרון: <math>x>-1</math>

*<math>g\big(f(x)\big)\ge0</math>
נשים לב שמתקיים: <math>g(x)\ge0</math> לכל <math>x</math> :

<math>x<0</math> : <math>g(x)=0</math>

<math>0\le x\le1</math> : <math>g(x)=2x\ge0</math>

<math>x>1</math> : <math>g(x)=x-1\ge0</math>

לכן גם מתקיים <math>g\big(f(x)\big)\ge0</math> לכל <math>x</math>

*<math>f(x+1)+g(x-1)>x</math>

::<math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2&x>-1\\0&x=-1\\-(x+1)^2&x<-1\end{cases}</math>
::<math>g(x-1)=\begin{cases}x-2&x>2\\2x-2&1\le x\le2\\0&x<1\end{cases}</math>

<math>x<-1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=-(x+1)^2>x</math> . הפתרון הוא <math>-\dfrac{3+\sqrt5}{2}<x<-1</math>

<math>x=-1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=0>-1</math> לכן זה פתרון.

<math>-1<x<1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2>x</math> . נכון לכל <math>x</math> .

<math>1\le x\le2</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2+2x-2>x</math> . כל התחום הוא פתרון

<math>x>2</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2+x-2>x</math> . גם כאן כל התחום הוא פתרון

פתרון: <math>x>-\dfrac{3+\sqrt5}{2}</math>

*<math>|g(x^2)-f(x)|<x</math>
::<math>g(x^2)=\begin{cases}x^2-1&x<-1\or1<x\\2x^2&-1\le x\le1\end{cases}</math>

<math>x<-1</math> : <math>|g(x^2)-f(x)|=|x^2-1+x^2|=|2x^2-1|<x</math> .

כיון שאנחנו בתחום <math>x<-1</math> נקבל שהביטוי תמיד חיובי ולכן ניתן להשמיט את הערך המוחלט ולקבל: <math>2x^2-1<x</math> .

לאי-שוויון זה אין פתרון בתחום <math>-1\le x<0</math> . נקבל <math>|2x^2+x^2|=|3x^2|=3x^2<x</math> ואין לזה פתרון בתחום <math>x=0</math> . נציב ונקבל שזה לא פתרון

<math>0<x\le1</math> : נקבל <math>|2x^2-x^2|=x^2<x</math> והפתרון הוא <math>0<x<1</math>

<math>x>1</math> : נקבל <math>|x^2-1-x^2|=1<x</math> והפתרון הוא כל התחום

פתרון: <math>0<x<1</math> או <math>x>1</math>

שדה

2017-03-09T21:47:01Z

יהודה שמחה:

[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]

קבוצה <math>\mathbb{F}</math> עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור <math>(\mathbb{F},\cdot,+)</math> נקראת '''שדה''' אם מתקיימות התכונות הבאות:

1. '''סגירות'''
:<math>\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b\in\mathbb{F},a\cdot b\in\mathbb{F}</math>
:(שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)
2. '''קומוטאטיביות/חילופיות'''
:<math>\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b=b+a,a\cdot b = b\cdot a</math>
3. '''אסוציאטיביות'''
:<math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)</math>
4. '''קיום אברים נייטרליים'''
:קיימים אברים שנסמנם 1,0 המקיימים
:<math>\forall a\in\mathbb{F}:1\cdot a=a\cdot1=a,a+0=0+a=a</math>
:בנוסף מתקיים <math>0\ne1</math>
5. '''קיום אבר נגדי לחיבור-'''
:לכל אבר <math>a</math> קיים אבר שנסמנו <math>(-a)</math> כך שמתקיים <math>a+(-a)=0</math> .
:לצורך קיצור הכתיבה נסמן <math>a+(-a)=a-a</math> (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי)
6. '''קיום איבר הופכי לכפל'''
:לכל אבר <math>a\ne0</math> קיים אבר שנסמנו <math>a^{-1}</math> כך שמתקיים <math>a\cdot a^{-1} = 1</math> .
:שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הנה <math>a\cdot b^{-1}=\dfrac{a}{b}</math> .
7. '''דיסטריבוטיביות/פילוג'''
:<math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}:a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c</math>
:שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור.

מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון 1

2017-02-16T22:05:14Z

יהודה שמחה:

==1==
*<math>x^2+2x+1\le0</math>
נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס.

לפי נוסחא נקבל פתרון יחיד <math>x=-1</math> .

המקדם של <math>x^2</math> חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב- <math>x=-1</math> וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף <math>x</math>).

פתרון: <math>x=-1</math>

*<math>(1-x)(x+6)>0</math>
נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב- <math>x=1,-6</math> .

אם נפתח סוגריים נקבל <math>-x^2-5x+6</math> והמקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כאשר <math>x<-6</math> או <math>x>1</math> ,
וערכים חיוביים כאשר <math>-6<x<1</math> .

פתרון: <math>-6<x<1</math>

*<math>-3x^2+6x-1\ge0</math>
נבדוק מתי מתאפס. לפי נוסחא נקבל <math>x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36-12}}{-6}=1\pm\dfrac{\sqrt6}{3}</math>

המקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.

פתרון: <math>1-\dfrac{\sqrt6}{3}\le x\le1+\dfrac{\sqrt6}{3}</math>

*<math>x^2(x^2-1)(x^2+1)\le0</math>
נפרק לשלושה ביטויים: <math>x^2,x^2+1,x^2-1</math> ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.

<math>x^2+1</math> : ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה <math>x^2=-1</math> אין פתרון ממשי)

<math>x^2-1</math> : מתאפס ב- <math>x=\pm1</math> . הביטוי שלילי ביניהם וחיובי כאשר <math>x<-1</math> או <math>x>1</math>

<math>x^2</math> : מתאפס ב-0 וחיובי אחרת.

קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:

<math>x<-1</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה גם חיובית

<math>-1<x<0</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית

<math>0<x<1</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית

<math>1<x</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית

בנקודות <math>x=0,\pm1</math> הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי-השוויון.

פתרון: <math>-1\le x\le1</math>

*<math>(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots(x-n)>0</math>
כאשר <math>n\in\N</math> . שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של <math>n</math> .

השאלה היא מתי מכפלה של <math>n</math> גורמים היא חיובית. התשובה היא כאשר מספר הגורמים השליליים הוא זוגי. כאשר <math>x</math> מספר שלם בין 1 ל-<math>n</math> , הביטוי מתאפס ולכן זה איננו פתרון.

לכן אנחנו מתעניינים בתחומים <math>x<1,1<x<2,\ldots,n<x</math> . בתחום האחרון <math>n<x</math> כל הגורמים חיוביים ולכן תחום זה הוא תמיד פתרון. נחלק למקרים:

<math>n</math> זוגי: אם <math>x<1</math> כל הגורמים שליליים ולכן המכפלה כולה חיובית (כי <math>n</math> זוגי) ולכן זה פתרון. נשארנו עם התחומים מהצורה <math>k<x<k+1</math> עבור <math>1\le k\le n-1</math> . אם <math>k</math> זוגי אז יש עוד מספר זוגי של תחומים כאלה אחריו (כי <math>n</math> זוגי) ולכן המכפלה חיובית. אחרת, יש מספר אי-זוגי של גורמים שליליים ולכן המכפלה שלילית.

לכן התשובה עבור <math>n</math> זוגי היא:
:<math>x<1,2<x<3,4<x<6,\ldots,2k<x<2k+1,\ldots,n-2<x<n-1,n<x</math>

עבור <math>n</math> אי-זוגי נפתור בצורה דומה ונקבל:
:<math>1<x<2,3<x<4,\ldots,2k-1<x<2k,\ldots,n-2<x<n-1,n<x</math>

*<math>|x|\le7</math>
נחלק למקרים: אם <math>x\ge0</math> נקבל את אי-השוויון <math>|x|\le7</math> ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם <math>0\le x\le7</math>

אם <math>x<0</math> נקבל <math>x\ge-7</math> וסה"כ הפתרונות הם <math>-7\le x<0</math>

נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון
:<math>-7\le x\le7</math>

*<math>|2x-1|<7</math>
נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב- <math>x=\tfrac12</math> לכן נתבונן במקרים:

<math>x\ge\tfrac12</math> : אי-השוויון הוא <math>2x-1<7</math> לכן <math>x<4</math> . התשובה היא <math>\tfrac12\le x<4</math>

<math>x<\tfrac12</math> : אי-השוויון הוא <math>-2x+1<7</math> לכן <math>x>-3</math> . התשובה היא <math>-3<x<\tfrac12</math> . נאחד את הפתרונות ונקבל:

פתרון: <math>-3<x<4</math>

*<math>(x-1)|x-1|>1</math>
נחלק למקרים:

<math>x>1</math> : אי-השוויון הוא <math>(x-1)(x-1)>1</math> . נפשט ונקבל <math>x(x-2)>0</math> . ביטוי זה חיובי כאשר <math>x<0</math> או <math>x>2</math> (בדקו!). לכן הפתרון הוא <math>x>2</math>

<math>x<1</math> : אי-השוויון הוא <math>-(x-1)(x-1)>1</math> . נפשט ונקבל <math>(x-1)^2<-1</math> . הביטוי משמאל תמיד חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון.

פתרון: <math>x>2</math>

*<math>\frac{|x|}{x}>1</math>
נשים לב שלביטוי אין ערך ב- <math>x=0</math> . אם <math>x>0</math> נקבל <math>\dfrac{x}{x}>1</math> וזה לא יתכן. אם <math>x<0</math> נקבל <math>\dfrac{-x}{x}>1</math> וגם זה לא יתכן.

פתרון: אף <math>x</math> לא מקיים את אי-השוויון

*<math>|x-1|>|x^2-1|</math>
הביטוי בערך המוחלט הימני חיובי עבור <math>x<-1</math> או <math>x>1</math> .

<math>x\le-1</math> : נקבל אי-שוויון <math>-(x-1)>x^2-1</math> . נפשט ונקבל <math>x^2+x-2<0</math> והפתרון של זה הוא <math>-2<x<1</math> . סה"כ: <math>-2<x\le-1</math>

<math>-1<x\le1</math> : נקבל אי-שוויון <math>-(x-1)>-(x^2-1)</math> ואחרי פישוט: <math>x^2-x>0</math> . הפתרון הוא <math>x<0</math> או <math>x>1</math> לכן סה"כ: <math>-1<x<0</math> .

<math>x>1</math> : נקבל <math>x-1>x^2-1</math> . נפשט ונקבל <math>x(x-1)<0</math> והפתרון הוא <math>0<x<1</math> . לכן במקרה זה אין פתרון.

פתרון: <math>-2<x<0</math>

*<math>|x^2-4x-3|+|x-1|+|x-2|>2x</math>
הביטוי הריבועי מתאפס ב- <math>2\pm\sqrt7</math> . נחלק למקרים:

<math>x\le2-\sqrt7</math> : <math>x<0</math> או <math>x>8</math> לכן סה"כ <math>x\le2-\sqrt7</math>

<math>2-\sqrt7<x\le1</math>: <math>-\sqrt6<x<\sqrt6</math> . לכן סה"כ: <math>2-\sqrt7<x\le1</math>

<math>1<x\le2</math> : <math>1-\sqrt5<x<1+\sqrt5</math> . לכן סה"כ: <math>1<x\le2</math>

<math>2<x\le2+\sqrt7</math> : <math>0<x<4</math> . לכן סה"כ: <math>2<x<4</math>

<math>x>2+\sqrt7</math> : <math>x<2-\sqrt{10}</math> או <math>x>2+\sqrt{10}</math> . לכן סה"כ: <math>x>2+\sqrt{10}</math>

פתרון: <math>x<4</math> או <math>x>2+\sqrt{10}</math>

==2==
נגדיר שתי פונקציות
:<math>\begin{align}
f(x)&=\begin{cases}x^2&x>0\\0&x=0\\-x^2&x<0\end{cases}\\\\g(x)&=\begin{cases}x-1&x>1\\|x|+x&x\le1\end{cases}
\end{align}</math>

מצא עבור אילו ערכי <math>x</math> מתקיימים אי-השוויונות הבאים:
*<math>g(x)\le0</math>

נפריד למקרים:

<math>x<0</math> : במקרה זה אי השוויון הוא <math>-x + x <=0</math> והוא תמיד מתקיים

<math>0 \leq x \leq 1</math> : אי השוויון הוא <math>x+x<=0</math> והוא מתקיים עבור <math>x<=0</math> לכן הפתרון הוא <math>x=0</math>

<math>1 < x</math> : אי השוויון הוא <math>x-1\leq 0</math> לכן הפתרון הוא <math>x\leq 1</math> ולכן אין פתרון

פתרון: <math>x \leq 0</math>

* <math>f(x+1)>0</math>
<math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2 & x>-1 \\ 0 & x=-1 \\ -(x+1)^2 & x<-1\end{cases}</math>

נפריד למקרים:

<math>x>-1</math> : אי השוויון הוא <math>(x+1)^2 > 0</math> וריבוע של מספר הוא תמיד אי שלילי לכן זה מתקיים לכל <math>x>-1</math>

<math>x=-1</math> : ערך הפונקציה הוא 0 ולכן זה לא פתרון

<math>x<-1</math> : אי השוויון הוא <math>-(x+1)^2 > 0</math> וזה לא מתקיים לאף ערך בתחום

פתרון: <math>x > -1</math>

* <math>g\big(f(x)\Big) \geq 0</math>
נשים לב שמתקיים: <math>g(x) \geq 0</math> לכל x:

<math>x<0</math> : <math>g(x)=0</math>

<math>0 \leq x \leq 1</math> : <math>g(x) = 2x \geq 0</math>

<math>x > 1</math> : <math>g(x) = x-1 \geq 0</math>

לכן גם מתקיים <math>g(f(x)) \geq 0 </math> לכל x

* <math>f(x+1) +g(x-1) > x</math>

::<math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2 & x>-1 \\ 0 & x=-1 \\ -(x+1)^2 & x<-1\end{cases}</math>

::<math>g(x-1)=\begin{cases}x-2 & x>2 \\ 2x-2 & 1 \leq x \leq 2 \\ 0 & x < 1\end{cases}</math>

<math>x<-1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=-(x+1)^2>x</math> . הפתרון הוא <math>{-3-\sqrt{5} \over 2} < x< -1</math>

<math>x=-1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=0>-1</math> לכן זה פיתרון.

<math>-1 < x < 1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1) = (x+1)^2>x</math> . נכון לכל x.

<math>1 \leq x \leq 2</math> : <math>f(x+1) + g(x-1) = (x+1)^2+2x-2 > x</math> . כל התחום הוא פתרון

<math>2<x</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2+x-2>x</math> . גם כאן כל התחום הוא פתרון

פתרון: <math>{-3-\sqrt{5} \over 2} < x </math>

*<math>|g(x^2)-f(x)| < x</math>
::<math>g(x^2)=\begin{cases}x^2-1 & x<-1 \vee 1<x \\ 2x^2 & -1 \leq x \leq 1 \end{cases}</math>

<math>x<-1</math> : <math>|g(x^2)-f(x)|=|x^2-1+x^2|=|2x^2-1|<x</math> . בגלל שאנחנו בתחום <math>x<-1</math> נקבל שהביטוי בערך המוחלט תמיד חיובי ולכן ניתן להשמיט את הערך המוחלט ולקבל: <math>2x^2-1<x</math> . לאי שוויון זה אין פתרון בתחום

<math>-1 \leq x < 0</math> : נקבל <math>|2x^2+x^2|=|3x^2|=3x^2<x</math> ואין לזה פתרון בתחום

<math>x = 0</math> : נציב ונקבל שזה לא פתרון

<math>0 < x \leq 1 </math> : נקבל <math>|2x^2-x^2|=x^2<x</math> והפתרון הוא <math>0<x<1</math>

<math>1<x</math> : נקבל <math>|x^2-1-x^2|=1<x</math> והפתרון הוא כל התחום

פתרון: <math>0 < x < 1 </math> או <math>1 < x</math>

מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון 1

2017-02-16T18:04:03Z

יהודה שמחה:

==1==
*<math>x^2+2x+1\le0</math>
נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס: <math>x^2+2x+1=0</math> .

לפי נוסחא נקבל פתרון יחיד <math>x=-1</math> .

המקדם של <math>x^2</math> חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב- <math>x=-1</math> וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף <math>x</math>).

פתרון: <math>x=-1</math>

*<math>(1-x)(x+6)>0</math>
נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב- <math>x=1,-6</math> .

אם נפתח סוגריים נקבל <math>-x^2-5x+6</math> והמקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כאשר <math>x<-6</math> או <math>x>1</math> ,
וערכים חיוביים כאשר <math>-6<x<1</math> .

פתרון: <math>-6<x<1</math>

*<math>-3x^2+6x-1\ge0</math>
נבדוק מתי מתאפס. לפי נוסחא נקבל <math>x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36-12}}{-6}=1\pm\dfrac{\sqrt6}{3}</math>

המקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.

פתרון: <math>1-\dfrac{\sqrt6}{3}\le x\le1+\dfrac{\sqrt6}{3}</math>

*<math>(x^2+1)(x^2-1)x^2 \leq 0</math>
נפרק לשלושה ביטויים: <math>x^2+1</math> , <math>x^2-1</math> , <math>x^2</math> , ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.

<math>x^2+1</math> : ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה <math>x^2=-1</math> אין פתרון ממשי)

<math>x^2-1</math> : מתאפס ב<math>x= \pm 1</math>. הביטוי שלילי ביניהם וחיובי ב<math>x<-1</math> או <math>x>1</math>

<math>x^2</math> : מתאפס ב0 וחיובי אחרת.

קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:

<math>x<-1</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה גם חיובית

<math>-1<x<0</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית

<math>0<x<1</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית

<math>1<x</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית

בנקודות <math>x=0 , \pm 1</math> הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי השוויון.

פתרון: <math>-1 \leq x \leq 1</math>

*<math>(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots (x-n)>0</math>
כאשר <math>n\in\mathbb{N}</math>. שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של n.

השאלה היא מתי מכפלה של n גורמים היא חיובית. התשובה היא כאשר מספר הגורמים השליליים הוא זוגי. כאשר x מספר שלם בין 1 לn, הביטוי מתאפס ולכן זה לא פיתרון.

לכן אנחנו מתעניינים בתחומים <math>x < 1 , 1<x<2 , ... , n<x</math>. בתחום האחרון, <math>n<x</math> , כל הגורמים חיוביים ולכן תחום זה הוא תמיד פתרון. נחלק למקרים:

n זוגי: אם x קטן מ1, כל הגורמים שליליים ולכן המכפלה כולה חיובית (כי n זוגי) ולכן זה פתרון. נשארנו עם התחומים מהצורה <math>i<x<i+1</math> עבור i בין 1 לn-1. אם i זוגי אז יש עוד מספר זוגי של תחומים כאלה אחריו (כי n זוגי) ולכן המכפלה חיובית. אחרת, יש מספר אי זוגי של גורמים שליליים ולכן המכפלה שלילית.

לכן התשובה עבור n זוגי היא: <math>x<1 , 2<x<3 , 4<x<6 , ... , 2i < x < 2i+1 , ... , n-2 < x < n-1 , n<x</math>

עבור n אי זוגי נפתור בצורה דומה ונקבל: <math>1<x<2 , 3<x<4 , ... < 2i-1<x<2i , ... , n-2 < x < n-1, n < x</math>

*<math>|x|\leq 7</math>
נחלק למקרים: אם <math>x \geq 0</math> נקבל את אי השוויון <math>|x|\leq 7</math> ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם <math>0 \leq x \leq 7</math>

אם <math>x<0</math> נקבל <math>-x \le 7</math> , לכן <math>x \geq -7</math> וסה"כ הפתרונות הם <math>-7 \leq x < 0</math>

נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון

פתרון: <math>-7 \leq x \leq 7</math>

*<math>|2x-1|<7</math>
נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב<math>1 /over 2</math> לכן נתבונן במקרים:

<math>x \geq {1 \over 2}</math> : אי השוויון הוא <math>2x-1<7</math> לכן <math>2x<8</math> ו<math>x<4</math>. התשובה היא <math>{1 \over 2} \leq x < 4</math>

<math>x < {1 \over 2}</math> : אי השוויון הוא <math>-2x+1<7</math> לכן <math>-2x<6</math> לכן <math>x>-3</math>. התשובה היא <math>-3 <x < {1 \over 2}</math>. נאחד את הפתרונות ונקבל:

פתרון: <math>-3 < x < 4</math>

*<math>(x-1)|x-1| > 1</math>
נחלק למקרים:

<math>x>1</math> : אי השוויון הוא <math>(x-1)(x-1) > 1</math>. נפשט ונקבל <math>x^2-2x > 0</math>. ביטוי זה חיובי עבור <math>x<0</math> או <math>x > 2</math> (בדקו!). לכן הפתרון הוא <math>x>2</math>

<math>x<1</math> : אי השוויון הוא <math>-(x-1)(x-1)>1</math>. נפשט ונקבל <math>-x^2 +2x -2 > 0</math> ביטוי זה אף פעם לא חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון.

פתרון: <math>x>2</math>

*<math>\frac{|x|}{x} > 1</math>
נשים לב שלביטוי אין ערך ב<math>x=0</math>. אם <math>x>0</math> נקבל <math>{x\over x} > 1</math> וזה לא יתכן. אם <math>x<0</math> נקבל <math>{-x \over x} >1</math> וגם זה לא יתכן.

פתרון: אף x לא מקיים את אי השוויון

*<math>|x-1|>|x^2-1|</math>
הביטוי בערך המוחלט הימני חיובי עבור <math>x<-1</math> או <math>x>1</math>.

<math>x \leq -1</math> : נקבל אי שוויון <math>-(x-1) > x^2 - 1</math> . נפשט ונקבל <math>x^2 +x -2 < 0</math> והפתרון של זה הוא <math>-2 < x < 1</math> . סה"כ: <math>-2 < x \leq -1</math>

<math>-1 < x \leq 1</math> : נקבל אי שוויון <math>-(x-1) > -(x^2-1)</math> ואחרי פישוט: <math>x^2 -x > 0</math> . הפתרון הוא <math>x<0</math> או <math>x > 1</math> לכן סה"כ: <math>-1 < x < 0</math> .

<math>x > 1</math> : נקבל <math>x-1 > x^2 - 1</math> . נפשט: <math>x^2 -x < 0</math> והפתרון הוא <math>0 < x < 1</math> . לכן במקרה זה אין פתרון.

פתרון: <math>-2 < x < 0</math>

*<math>|x^2-4x-3| + |x-1| + |x-2| > 2x</math>
הביטוי הריבועי מתאפס ב <math>2 \pm \sqrt{7}</math> . נחלק למקרים:

<math>x \leq 2-\sqrt{7}</math> : <math>x < 0</math> או <math>x > 8</math> לכן סה"כ <math>x \leq 2 - \sqrt{7}</math>

<math>2-\sqrt{7} < x \leq 1</math>: <math>-\sqrt{6} < x < \sqrt{6}</math> . לכן סה"כ: <math>2-\sqrt{7}<x\leq 1</math>

<math>1 < x \leq 2</math> : <math>1-\sqrt{5}<x<1+\sqrt{5}</math> . לכן סה"כ: <math>1 < x \leq 2</math>

<math>2 < x \leq 2 + \sqrt{7}</math> : <math>0<x<4</math> . לכן סה"כ: <math>2 < x < 4</math>

<math>x > 2+\sqrt{7}</math> : <math>x<2-\sqrt{10}</math> או <math>x>2+\sqrt{10}</math> . לכן סה"כ: <math>x>2+\sqrt{10}</math>

פתרון: <math>x<4</math> או <math>x>2+\sqrt{10}</math>

==2==

נגדיר שתי פונקציות

::<math>f(x)=\begin{cases}x^2 & x>0 \\ 0 & x=0 \\ -x^2 & x<0\end{cases}</math>

::<math>g(x)=\begin{cases}x-1 & x>1 \\ |x|+x & x \leq 1\end{cases}</math>

מצא עבור אילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:

* <math>g(x)\leq 0</math>
נפריד למקרים:

<math>x<0</math> : במקרה זה אי השוויון הוא <math>-x + x <=0</math> והוא תמיד מתקיים

<math>0 \leq x \leq 1</math> : אי השוויון הוא <math>x+x<=0</math> והוא מתקיים עבור <math>x<=0</math> לכן הפתרון הוא <math>x=0</math>

<math>1 < x</math> : אי השוויון הוא <math>x-1\leq 0</math> לכן הפתרון הוא <math>x\leq 1</math> ולכן אין פתרון

פתרון: <math>x \leq 0</math>

* <math>f(x+1)>0</math>
<math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2 & x>-1 \\ 0 & x=-1 \\ -(x+1)^2 & x<-1\end{cases}</math>

נפריד למקרים:

<math>x>-1</math> : אי השוויון הוא <math>(x+1)^2 > 0</math> וריבוע של מספר הוא תמיד אי שלילי לכן זה מתקיים לכל <math>x>-1</math>

<math>x=-1</math> : ערך הפונקציה הוא 0 ולכן זה לא פתרון

<math>x<-1</math> : אי השוויון הוא <math>-(x+1)^2 > 0</math> וזה לא מתקיים לאף ערך בתחום

פתרון: <math>x > -1</math>

* <math>g\big(f(x)\Big) \geq 0</math>
נשים לב שמתקיים: <math>g(x) \geq 0</math> לכל x:

<math>x<0</math> : <math>g(x)=0</math>

<math>0 \leq x \leq 1</math> : <math>g(x) = 2x \geq 0</math>

<math>x > 1</math> : <math>g(x) = x-1 \geq 0</math>

לכן גם מתקיים <math>g(f(x)) \geq 0 </math> לכל x

* <math>f(x+1) +g(x-1) > x</math>

::<math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2 & x>-1 \\ 0 & x=-1 \\ -(x+1)^2 & x<-1\end{cases}</math>

::<math>g(x-1)=\begin{cases}x-2 & x>2 \\ 2x-2 & 1 \leq x \leq 2 \\ 0 & x < 1\end{cases}</math>

<math>x<-1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=-(x+1)^2>x</math> . הפתרון הוא <math>{-3-\sqrt{5} \over 2} < x< -1</math>

<math>x=-1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=0>-1</math> לכן זה פיתרון.

<math>-1 < x < 1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1) = (x+1)^2>x</math> . נכון לכל x.

<math>1 \leq x \leq 2</math> : <math>f(x+1) + g(x-1) = (x+1)^2+2x-2 > x</math> . כל התחום הוא פתרון

<math>2<x</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2+x-2>x</math> . גם כאן כל התחום הוא פתרון

פתרון: <math>{-3-\sqrt{5} \over 2} < x </math>

*<math>|g(x^2)-f(x)| < x</math>
::<math>g(x^2)=\begin{cases}x^2-1 & x<-1 \vee 1<x \\ 2x^2 & -1 \leq x \leq 1 \end{cases}</math>

<math>x<-1</math> : <math>|g(x^2)-f(x)|=|x^2-1+x^2|=|2x^2-1|<x</math> . בגלל שאנחנו בתחום <math>x<-1</math> נקבל שהביטוי בערך המוחלט תמיד חיובי ולכן ניתן להשמיט את הערך המוחלט ולקבל: <math>2x^2-1<x</math> . לאי שוויון זה אין פתרון בתחום

<math>-1 \leq x < 0</math> : נקבל <math>|2x^2+x^2|=|3x^2|=3x^2<x</math> ואין לזה פתרון בתחום

<math>x = 0</math> : נציב ונקבל שזה לא פתרון

<math>0 < x \leq 1 </math> : נקבל <math>|2x^2-x^2|=x^2<x</math> והפתרון הוא <math>0<x<1</math>

<math>1<x</math> : נקבל <math>|x^2-1-x^2|=1<x</math> והפתרון הוא כל התחום

פתרון: <math>0 < x < 1 </math> או <math>1 < x</math>

מכינה למתמטיקה קיץ תשעג/תרגילים

2017-02-16T17:57:56Z

יהודה שמחה:

[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעג|חזרה לדף הקורס]]

==תרגיל 1==
;[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1|תרגיל 1 - אי-שוויונות]]
;[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון 1|פתרון 1]]

==תרגיל 2==
;[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/2|תרגיל 2 - אי-שוויונות טריגונומטריים, מרוכבים]]
;[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/2/פתרון 2|פתרון 2]]

==תרגיל 3==
;[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/3|תרגיל 3 - מרוכבים, גאומטריה אנליטית]]
;[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/3/פתרון 3|פתרון 3]]

==תרגיל 4==
;[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/4|תרגיל 4 - אינדוקציה]]
;[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/4/פתרון 4|פתרון 4]]

==תרגיל 5==
;[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/5|תרגיל 5 - נגזרות]]
;[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/5/פתרון 5|פתרון 5]]

==תרגיל 6==
;[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/6|תרגיל 6 - אינטגרלים]]

מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון דוגמא 1

2017-02-16T17:55:30Z

יהודה שמחה:

[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1|חזרה לתרגיל]]

;דוגמא.
מצא עבור אילו ערכי <math>x</math> מתקיים אי-השוויון הבא:
*<math>|x^2-1|+|x-2|>4x+5</math>

;פתרון.
על-מנת לפתור את אי-השוויון נחלק את האפשרויות של המשתנה <math>x</math> למקרים שונים בהם אנחנו יודעים עבור כל אחד מהביטויים בתוך ערך מוחלט אם הוא חיובי או שלילי.

בכל אחד מהמקרים שנקבל, נוכל לדעת האם אפשר להסיר את הערך המוחלט או להחליף אותו בסימן מינוס.

===חלוקה למקרים===
ראשית, נבדוק עבור כל אחד מהביטויים מתחת לערך המוחלט, בנפרד, מתי הם שליליים ומתי הם חיוביים:

*<math>x^2-1\ge0</math>

אם ורק אם:

<math>x\ge1</math> '''או''' <math>x\le-1</math>

*<math>x-2\ge0</math>

אם ורק אם:

<math>x\ge2</math>

ביחד אנו מקבלים את המקרים הבאים:
*עבור <math>x\ge2</math>

מתקיים <math>x^2-1\ge0</math> '''וגם''' <math>x-2\ge0</math>

*עבור <math>1\le x<2</math> '''או''' <math>x\le-1</math>

מתקיים <math>x^2-1\ge0</math> '''וגם''' <math>x-2<0</math>

*עבור <math>-1<x<1</math>

מתקיים <math>x^2-1<0</math> '''וגם''' <math>x-2<0</math>

===פתרון אי-השוויון בכל אחד מן המקרים===
נבדוק עבור אילו ערכי <math>x</math> מתוך כל אחד מהמקרים לעיל מתקיים אי-השוויון.

*עבור <math>x\ge2</math> אי-השוויון נראה כך:
:<math>\begin{align}x^2-1+x-2>4x+5\\x^2-3x-8>0\end{align}</math>

נמצא מהם ערכי <math>x</math> ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון:

:<math>\begin{cases}x\ge2\\x^2-3x-8>0\end{cases}</math>

ערכי <math>x</math> אשר מקיימים את שתי אי-השוויונות לעיל הם

:<math>x>\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}</math>

לכן ערכי <math>x</math> אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם אינם''' מקיימים את אי-השוויון הם

:<math>2\le x\le\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}</math>

כלומר, בתוך התחום בו אנו עוסקים כעת, אנו יודעים '''בדיוק''' מתי מתקיים אי-השוויון ומתי אינו מתקיים. נמשיך אל התחומים הבאים:

*עבור <math>1\le x<2</math> '''או''' <math>x\le-1</math> אי-השוויון נראה כך:
:<math>\begin{align}x^2-1-(x-2)>4x+5\\x^2-5x-4>0\end{align}</math>

מסתבר שערכי <math>x</math> ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון הם:

:<math>x\le-1</math>

ואילו ערכי <math>x</math> שנמצאים בתחום ואינם מקיימים את אי-השוויון הם:

:<math>1\le x<2</math>

נסיים במקרה הנותר:

*עבור <math>-1<x<1</math> אי-השוויון נראה כך:
:<math>\begin{align}-x^2+1-x+2>4x+5\\x^2+5x+2<0\end{align}</math>

ערכי <math>x</math> אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון הם:

:<math>-1<x<\dfrac{\sqrt{17}-5}{2}</math>

ואילו ערכי <math>x</math> בתחום שאינם מקיימים את אי-השוויון הנם:

:<math>\dfrac{\sqrt{17}-5}{2}\le x<1</math>

===סיכום התוצאות===
אי-השוויון מתקיים עבור ערכי <math>x</math> הבאים:

*<math>\begin{align}x&>\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}\\x&<\dfrac{\sqrt{17}-5}{2}\end{align}</math>

מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1

2017-02-16T17:40:20Z

יהודה שמחה:

==דוגמא==
מצא עבור אלו ערכי <math>x</math> מתקיים אי-השוויון הבא:

*<math>|x^2-1|+|x-2|>4x+5</math>

'''[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון דוגמא 1|פתרון]]'''

==1==
מצא עבור אלו ערכי <math>x</math> מתקיימים אי-השוויונות הבאים

*<math>x^2+2x+1\le0</math>

*<math>(1-x)(x+6)>0</math>

*<math>-3x^2+6x-1\ge0</math>

*<math>(x^2+1)(x^2-1)x^2\le0</math>

*<math>(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots (x-n)>0</math>
כאשר <math>n\in\N</math> . שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של <math>n</math> .

*<math>|x|\le7</math>

*<math>|2x-1|<7</math>

*<math>(x-1)|x-1|>1</math>

*<math>\frac{|x|}{x}>1</math>

*<math>|x-1|>|x^2-1|</math>

*<math>|x^2-4x-3|+|x-1|+|x-2|>2x</math>

==2==
נגדיר שתי פונקציות

:<math>f(x)=\begin{cases}x^2 & x>0\\0&x=0\\-x^2&x<0\end{cases}</math>

:<math>g(x)=\begin{cases}x-1&x>1\\|x|+x&x\le1\end{cases}</math>

מצא עבור אלו ערכי <math>x</math> מתקיימים אי-השוויונות הבאים:

*<math>g(x)\le0</math>

*<math>f(x+1)>0</math>

*<math>g\big(f(x)\big)\ge 0</math>

*<math>f(x+1)+g(x-1)>x</math>

*<math>|g(x^2)-f(x)|<x</math>

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/חסמים

2017-02-16T17:34:54Z

יהודה שמחה:

[[חשבון אינפיניטיסימלי 1 - מערך תרגול|חזרה לרשימת הנושאים]]
=חסמים=
'''הגדרה:''' תהי <math>U</math> סדורה ותהי תת-קבוצה <math>A\subseteq U</math> , אזי:
*<math>M\in U</math> נקרא '''חסם מלעיל''' של <math>A</math> אם <math>\forall a\in A:a\le M</math>
*<math>m\in U</math> נקרא '''חסם מלרע''' של <math>A</math> אם <math>\forall a\in A:a\ge m</math>
*חסם מלעיל של <math>A</math> נקרא '''מקסימום''' אם הוא שייך לקבוצה <math>A</math>
*חסם מלרע של <math>A</math> נקרא '''מינימום''' אם הוא שייך לקבוצה <math>A</math>
*חסם מלעיל של <math>A</math> נקרא '''החסם העליון''' של <math>A</math> אם אין ל- <math>A</math> חסם מלעיל קטן ממש ממנו. (כלומר, החסם העליון הוא המינימום מבין קבוצת חסמי המלעיל, אם כזה קיים.)
*חסם מלרע של <math>A</math> נקרא '''החסם התחתון''' של <math>A</math> אם אין ל- <math>A</math> חסם מלרע גדול ממש ממנו. (כלומר, החסם התחתון הוא המקסימום מבין קבוצת חסמי המלרע, אם כזה קיים.)

שימו לב לשלילות הבאות:
*<math>M</math> אינו חסם מלעיל אם"ם קיים אבר <math>a>M</math>
*<math>m</math> אינו חסם מלרע אם"ם קיים אבר <math>a<m</math>
*<math>M</math> אינו חסם עליון אם"ם הוא אינו חסם מלעיל או שקיים חסם מלעיל הקטן ממש ממנו.
*<math>m</math> אינו חסם תחתון אם"ם הוא אינו חסם מלרע או שקיים חסם מלרע הגדול ממש ממנו.

'''אקסיומת השלימות של המספרים הממשיים''' - לכל <math>A\subseteq\R</math> חסומה מלעיל (מלרע) קיים חסם עליון (תחתון).

ניתן לראות ששדה הרציונאליים אינו שלם. נגדיר קבוצה של כל המספרים הרציונאליים אשר בריבוע קטנים משתים (כלומר המספרים שקטנים מ- <math>\sqrt2</math>). לכל חסם מלעיל של הקבוצה, יש חסם מלעיל הקרוב יותר ל- <math>\sqrt2</math> הקטן ממנו (שכן <math>\sqrt2</math> עצמו אינו רציונאלי ולכן לא יכול להוות חסם מלעיל). לכן אין אף חסם עליון לקבוצה החסומה מלעיל שבנינו.

;משפט.
תהי <math>A\subseteq\R</math> חסומה מלעיל אזי:
*<math>M</math> חסם עליון של <math>A</math> '''אם"ם''' <math>M</math> חסם מלעיל של <math>A</math> וגם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש- <math>a>M-\varepsilon</math>
*<math>m</math> חסם תחתון של <math>A</math> '''אם"ם''' <math>m</math> חסם מלרע של <math>A</math> וגם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש- <math>a<m+\varepsilon</math>

'''במילים:''' <math>M</math> חסם עליון אם הוא חסם מלעיל וגם אין חסם מלעיל הקטן ממנו. כלומר, כל מספר הקטן ממנו אינו חסם מלעיל. כלומר, אם נקטין את <math>M</math> בגודל כלשהו שאינו 0 נקבל מספר שאינו חסם מלעיל. מספר אינו חסם מלעיל אם"ם יש אבר בקבוצה הגדול ממנו. (ניסוח דומה עבור החסם התחתון.)

;הוכחה.
נניח <math>M</math> חסם עליון. מתוך ההגדרה של חסם עליון נובע בפרט ש- <math>M</math> חסם מלעיל. נותר להוכיח כי
:<math>\forall\varepsilon>0,\exists a\in A:a>M-\varepsilon</math>
נניח בשלילה כי קיים <math>\varepsilon>0</math> כל שלכל האברים <math>a\in A</math> מתקיים <math>a\le M-\varepsilon</math> .

לכן, לפי ההגדרה <math>M-\varepsilon</math> הוא חסם מלעיל של הקבוצה. מכיון שאפסילון גדול מ-0, <math>M-\varepsilon</math> הוא חסם מלעיל קטן ממש מהחסם העליון <math>M</math> , בסתירה לכך שהוא חסם המלעיל הקטן ביותר.

;תרגיל.
תהי <math>A=\left\{\dfrac1{n^2}+2(-1)^n\Big|n\in\N\right\}</math> מצא חסם עליון, חסם עליון, מינימום ומקסימום (אם הם קיימים).

ראשית, נביט במספר אברים מהקבוצה על מנת לקבל הערכה כלשהי: <math>A=\left\{-1,2\dfrac14,-1\dfrac89,2\dfrac1{16},\ldots\right\}</math>

אנחנו מעריכים כי שתים ורבע הוא מקסימום (ולכן גם חסם עליון, הרי מקסימום הנו תמיד חסם עליון אם הוא קיים), ואנו מעריכים כי 2- הנו חסם תחתון שאינו בקבוצה ולכן אין מינימום. נוכיח את כל זה.

*נוכיח כי שתים ורבע חסם מלעיל (ואז מכיוון שהוא בקבוצה הוא מקסימום ולכן חסם עליון). צ"ל שכל אבר בקבוצה קטן או שווה לו, ולכן צ"ל שלכל <math>n</math> טבעי מתקיים
:<math>\dfrac1{n^2}+2(-1)^n\le2+\dfrac14</math>

עבור <math>n=1</math> זה ברור. אם <math>n\ge2</math> ניתן לומר
:<math>\dfrac1{n^2}+2(-1)^n\le\dfrac1{n^2}+2\le2+\dfrac14</math>
*כעת נוכיח כי מינוס שתים הינו חסם מלרע, כלומר לכל n טבעי מתקיים:
:<math>\dfrac1{n^2}+2(-1)^n>-2</math>
אבל
:<math>\dfrac1{n^2}+2(-1)^n\ge\dfrac1{n^2}-2>-2</math>

*כעת נוכיח כי בנוסף, לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים אבר <math>a</math> בקבוצה כך ש- <math>a<-2+\varepsilon</math> .

יהי <math>\varepsilon>0</math> , צ"ל <math>n</math> טבעי כך ש:
:<math>\dfrac1{n^2}+2(-1)^n<-2+\varepsilon</math>

מכיון שצריך להראות ש'''קיים''' <math>n</math> טבעי אחד כזה, מספיק בפרט למצוא אחד כזה אי-זוגי. לכן ננסה למצוא
:<math>\begin{align}\dfrac1{(2k+1)^2}+2(-1)^{2k+1}<-2+\varepsilon\\\dfrac1{(2k+1)^2}-2<-2+\varepsilon\\2k+1>\sqrt{\dfrac1{\varepsilon}}\end{align}</math>

תמיד ניתן למצוא <math>k</math> טבעי כזה אחרת קבוצת הטבעיים הייתה חסומה, משל.

לכן הוכחנו כי <math>\sqrt2</math> הנו חסם תחתון. נותר להוכיח כי לא קיים מינימום

*נוכיח כי החסם התחתון <math>\sqrt2</math> אינו שייך לקבוצה ולכן לא קיים מינימום (אחרת הוא היה חסם תחתון). כלומר, נוכיח כי לא קיים <math>n</math> טבעי כך ש:
:<math>\dfrac1{n^2}+2(-1)^n=-2</math>

אבל כבר הראינו שאברי הקבוצה גדולים ממש ולא שווים ל-2-.

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/חסמים

2017-02-16T12:32:18Z

יהודה שמחה:

[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול|חזרה לרשימת הנושאים]]
=חסמים=
'''הגדרה:''' תהי <math>U</math> סדורה ותהי תת-קבוצה <math>A\subseteq U</math> , אזי:
*<math>M\in U</math> נקרא '''חסם מלעיל''' של <math>A</math> אם <math>\forall a\in A:a\le M</math>
*<math>m\in U</math> נקרא '''חסם מלרע''' של <math>A</math> אם <math>\forall a\in A:a\ge m</math>
*חסם מלעיל של <math>A</math> נקרא '''מקסימום''' אם הוא שייך לקבוצה <math>A</math>
*חסם מלרע של <math>A</math> נקרא '''מינימום''' אם הוא שייך לקבוצה <math>A</math>
*חסם מלעיל של <math>A</math> נקרא '''החסם העליון''' של <math>A</math> אם אין ל- <math>A</math> חסם מלעיל קטן ממש ממנו. (כלומר, החסם העליון הוא המינימום מבין קבוצת חסמי המלעיל, אם כזה קיים.)
*חסם מלרע של <math>A</math> נקרא '''החסם התחתון''' של <math>A</math> אם אין ל- <math>A</math> חסם מלרע גדול ממש ממנו. (כלומר, החסם התחתון הוא המקסימום מבין קבוצת חסמי המלרע, אם כזה קיים.)

שימו לב לשלילות הבאות:
*<math>M</math> אינו חסם מלעיל אם"ם קיים אבר <math>a>M</math>
*<math>m</math> אינו חסם מלרע אם"ם קיים אבר <math>a<m</math>
*<math>M</math> אינו חסם עליון אם"ם הוא אינו חסם מלעיל או שקיים חסם מלעיל הקטן ממש ממנו.
*<math>m</math> אינו חסם תחתון אם"ם הוא אינו חסם מלרע או שקיים חסם מלרע הגדול ממש ממנו.

'''אקסיומת השלימות של המספרים הממשיים''' - לכל <math>A\subseteq\R</math> חסומה מלעיל (מלרע) קיים חסם עליון (תחתון).

ניתן לראות ששדה הרציונאליים אינו שלם. נגדיר קבוצה של כל המספרים הרציונאליים אשר בריבוע קטנים משתים (כלומר המספרים שקטנים מ- <math>\sqrt2</math>). לכל חסם מלעיל של הקבוצה, יש חסם מלעיל הקרוב יותר ל- <math>\sqrt2</math> הקטן ממנו (שכן <math>\sqrt2</math> עצמו אינו רציונאלי ולכן לא יכול להוות חסם מלעיל). לכן אין אף חסם עליון לקבוצה החסומה מלעיל שבנינו.

;משפט.
תהי <math>A\subseteq\R</math> חסומה מלעיל אזי:
*<math>M</math> חסם עליון של <math>A</math> '''אם"ם''' <math>M</math> חסם מלעיל של <math>A</math> וגם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש- <math>a>M-\varepsilon</math>
*<math>m</math> חסם תחתון של <math>A</math> '''אם"ם''' <math>m</math> חסם מלרע של <math>A</math> וגם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש- <math>a<m+\varepsilon</math>

'''במילים:''' <math>M</math> חסם עליון אם הוא חסם מלעיל וגם אין חסם מלעיל הקטן ממנו. כלומר, כל מספר הקטן ממנו אינו חסם מלעיל. כלומר, אם נקטין את <math>M</math> בגודל כלשהו שאינו 0 נקבל מספר שאינו חסם מלעיל. מספר אינו חסם מלעיל אם"ם יש אבר בקבוצה הגדול ממנו. (ניסוח דומה עבור החסם התחתון.)

;הוכחה.
נניח <math>M</math> חסם עליון. מתוך ההגדרה של חסם עליון נובע בפרט ש- <math>M</math> חסם מלעיל. נותר להוכיח כי
:<math>\forall\varepsilon>0,\exists a\in A:a>M-\varepsilon</math>
נניח בשלילה כי קיים <math>\varepsilon>0</math> כל שלכל האברים <math>a\in A</math> מתקיים <math>a\le M-\varepsilon</math> .

לכן, לפי ההגדרה <math>M-\varepsilon</math> הוא חסם מלעיל של הקבוצה. מכיון שאפסילון גדול מ-0, <math>M-\varepsilon</math> הוא חסם מלעיל קטן ממש מהחסם העליון <math>M</math> , בסתירה לכך שהוא חסם המלעיל הקטן ביותר.

;תרגיל.
תהי <math>A=\left\{\dfrac1{n^2}+2(-1)^n\Big|n\in\N\right\}</math> מצא חסם עליון, חסם עליון, מינימום ומקסימום (אם הם קיימים).

ראשית, נביט במספר אברים מהקבוצה על מנת לקבל הערכה כלשהי: <math>A=\left\{-1,2\dfrac14,-1\dfrac89,2\dfrac1{16},\ldots\right\}</math>

אנחנו מעריכים כי שתים ורבע הוא מקסימום (ולכן גם חסם עליון, הרי מקסימום הנו תמיד חסם עליון אם הוא קיים), ואנו מעריכים כי 2- הנו חסם תחתון שאינו בקבוצה ולכן אין מינימום. נוכיח את כל זה.

*נוכיח כי שתים ורבע חסם מלעיל (ואז מכיוון שהוא בקבוצה הוא מקסימום ולכן חסם עליון). צ"ל שכל אבר בקבוצה קטן או שווה לו, ולכן צ"ל שלכל <math>n</math> טבעי מתקיים
:<math>\dfrac1{n^2}+2(-1)^n\le2+\dfrac14</math>

עבור <math>n=1</math> זה ברור. אם <math>n\ge2</math> ניתן לומר
:<math>\dfrac1{n^2}+2(-1)^n\le\dfrac1{n^2}+2\le2+\dfrac14</math>
*כעת נוכיח כי מינוס שתים הינו חסם מלרע, כלומר לכל n טבעי מתקיים:
:<math>\dfrac1{n^2}+2(-1)^n>-2</math>
אבל
:<math>\dfrac1{n^2}+2(-1)^n\ge\dfrac1{n^2}-2>-2</math>

*כעת נוכיח כי בנוסף, לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים אבר <math>a</math> בקבוצה כך ש- <math>a<-2+\varepsilon</math> .

יהי <math>\varepsilon>0</math> , צ"ל <math>n</math> טבעי כך ש:
:<math>\dfrac1{n^2}+2(-1)^n<-2+\varepsilon</math>

מכיון שצריך להראות ש'''קיים''' <math>n</math> טבעי אחד כזה, מספיק בפרט למצוא אחד כזה אי-זוגי. לכן ננסה למצוא
:<math>\begin{align}\dfrac1{(2k+1)^2}+2(-1)^{2k+1}<-2+\varepsilon\\\dfrac1{(2k+1)^2}-2<-2+\varepsilon\\2k+1>\sqrt{\dfrac1{\varepsilon}}\end{align}</math>

תמיד ניתן למצוא <math>k</math> טבעי כזה אחרת קבוצת הטבעיים הייתה חסומה, משל.

לכן הוכחנו כי <math>\sqrt2</math> הנו חסם תחתון. נותר להוכיח כי לא קיים מינימום

*נוכיח כי החסם התחתון <math>\sqrt2</math> אינו שייך לקבוצה ולכן לא קיים מינימום (אחרת הוא היה חסם תחתון). כלומר, נוכיח כי לא קיים <math>n</math> טבעי כך ש:
:<math>\dfrac1{n^2}+2(-1)^n=-2</math>

אבל כבר הראינו שאברי הקבוצה גדולים ממש ולא שווים ל-2-.

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/תתי סדרות

2017-02-16T12:15:33Z

יהודה שמחה:

[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות|חזרה לסדרות]]

==תתי-סדרות==
תת-סדרה מתקבלת מסדרה ע"י השמטת מספר כלשהו של אברים (לא בהכרח סופי). נגדיר זאת במדויק:

;הגדרה.
תהי סדרה ממשית <math>a_n</math> ותהי סדרה '''עולה ממש''' של מספרים טבעיים <math>n_k</math> (כלומר <math>n_1<n_2<n_3<\cdots</math>). אזי <math>a_{n_k}</math> הנה תת-סדרה של <math>a_n</math> .

הערה: שימו לב שמכיון שההגדרה המדויקת של סדרה הנה פונקציה, תת-סדרה הנה הרכבה של פונקציית הסדרה על פונקציה המשמיטה אברים מהסדרה (בפרט, את כל האברים שבין <math>n_k</math> לבין <math>n_{k+1}</math> לכל <math>k</math>).

'''דוגמא.''' נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math> ובסדרת המספרים הטבעיים <math>n_k=2k</math> אזי <math>a_{n_k}=(-1)^{2k}=1</math> הנה תת-סדרה של הסדרה המקורית.

'''דוגמא.''' נביט בסדרה <math>a_1,a_2,a_3,\ldots</math> אזי תת-סדרה אחת שלה תהא <math>a_1,a_3,a_{15},a_{85},\ldots</math>

;הגדרה.
תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי <math>L</math> נקרא '''גבול חלקי''' של הסדרה אם קיימת לה תת-סדרה <math>a_{n_k}\to L</math> .

;משפט.
תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי <math>L</math> '''גבול חלקי''' שלה אם"ם '''לכל''' <math>\varepsilon>0</math> ו'''לכל''' <math>N\in\N</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש- <math>|a_n-L|<\varepsilon</math> .

במילים, '''קיימים''' אינסוף אברים מהסדרה הקרובים לגבול כרצוננו, אך לא '''כל''' האברים חייבים להתקרב לגבול כרצוננו (אחרת הוא היה גבול מלא ולא חלקי).

;משפט.
סדרה מתכנסת לגבול <math>L</math> אם"ם כל תתי-הסדרות שלה מתכנסות לגבול <math>L</math> .

'''מסקנה.''' אם לסדרה קיימת תת-סדרה המתכנסת לגבול <math>K</math> וקיימת תת-סדרה שאינה מתכנסת לגבול <math>K</math> אזי הסדרה המקורית אינה מתכנסת.

;משפט בולצאנו ויירשטראס.
לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת.

'''[[משפטים/אינפי/בולצאנו-ויירשטראס|הוכחה]]'''. (בהוכחה מוזכרת גם הלמה של קנטור.)

;משפט.
תהי <math>a_n</math> סדרה המתכנסת לגבול <math>L</math> . אזי כל תת-סדרה שלה מתכנסת לגבול <math>L</math> .

;הוכחה.
לפי הגדרת הגבול, לכל <math>\varepsilon</math> יש מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה אברי הסדרה קרובים לגבול עד כדי <math>\varepsilon</math> . כיון שאברי תת-הסדרה נלקחים מהסדרה המקורית ללא שינוי סדר הקדימות, גם אבריה קרובים לגבול עד כדי <math>\varepsilon</math> החל ממקום מסוים והלאה. (שימו לב שהמקום הזה מגיע יותר מהר מאשר בסדרה המקורית כיון שאולי זרקנו אברים בדרך.)

;תרגיל.
מצא את '''כל''' הגבולות החלקיים של הסדרה <math>a_n=(-1)^n\left(5-\dfrac4{2^n}\right)</math>

;פתרון
נביט בתת הסדרה המורכבת מהאברים הזוגיים <math>a_{2k}=\left(5-\dfrac4{2^{2k}}\right)\to5-0=5</math>

באופן דומה סדרת האי-זוגיים שואפת ל- <math>-5</math> . האם <math>\pm5</math> הם הגבולות החלקיים היחידים של הסדרה?

נניח בשלילה שהיה גבול חלקי אחר. לפי ההגדרה, קיימת תת-סדרה השואפת אליו. בהכרח היו בתת-סדרה זו אינסוף אברים זוגיים '''או''' אינסוף אברים אי-זוגיים. נביט בתת-הסדרה המורכבת מאינסוף אברים אילו בתוך תת-הסדרה. מצד אחד הם שואפים ל- <math>\pm5</math> כי הם מהווים תת-סדרה של האברים הזוגיים או האי-זוגיים, אבל מצד שני הם שואפים לגבול החלקי האחר מכיון שהם מהווים תת-סדרה של תת-הסדרה המתכנסת אליו, בסתירה.

;דוגמא.
לסדרה הבאה, אינסוף גבולות חלקיים:
:<math>1,1,\dfrac12,1,\dfrac12,\dfrac13,1,\dfrac12,\dfrac13,\dfrac14,\ldots</math>

;תרגיל.

מצא סדרה שקבוצת הגבולות החלקיים שלה מהווה את כל המספרים הממשיים.

;פתרון
נסדר את קבוצת המספרים הרציונאליים <math>\Q</math> . כיון שבכל סביב של מספר ממשי ישנו מספר רציונאלי, ניתן לבנות סדרת מספרים רציונאליים השואפת אליו. בנוסף, ברור כי יש תתי-סדרות השואפות לפלוס ומינוס אינסוף.

בכוונה לא ניסחנו את הפתרון באופן פורמלי ומדויק, עשו את זה בעצמכם כתרגיל.

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות

2017-02-16T12:07:51Z

יהודה שמחה:

[[חשבון אינפיניטיסימלי 1 - מערך תרגול|חזרה לרשימת הנושאים]]

*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/גבול|הגדרת הסדרה וגבול הסדרה (במובן הרגיל ובמובן הרחב)]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/מונוטוניות|סדרות מונוטוניות ונוסחאות נסיגה]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/e|המספר e]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/תתי סדרות|תתי-סדרות]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/גבול עליון ותחתון|גבול עליון וגבול תחתון]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/קושי|סדרות קושי]]

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/גבול עליון ותחתון

2017-02-16T12:04:54Z

יהודה שמחה:

[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות|חזרה לסדרות]]

==גבול עליון וגבול תחתון==
למדנו על [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/חסמים|חסמים]] על-מנת לחסום את הקבוצה באופן אידיאלי, כלומר למצוא את "קצות" הקבוצה. היינו רוצים למצוא הגדרה דומה עבור סדרות. השיטה התמימה היא להביט בחסמים של קבוצת אברי הסדרה, אך מהדוגמא הקלה הבאה נראה כי החסמים של קבוצת אברי הסדרה לא אומרים שום דבר על הסדרה:

<math>100,-100,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,\ldots</math>

החסמים הם פלוס מינוס מאה, אך אין קשר בין מספרים אלה להתנהגות הסדרה באינסוף.

;הגדרה.
נגדיר
:<math>\begin{align}
b_1&=\sup\{a_1,a_2,a_3,a_4,\ldots\}\\
b_2&=\sup\{a_2,a_3,a_4,\ldots\}\\b_3&=\sup\{a_3,a_4,\ldots\}\\&\vdots\\b_k&=\sup\{a_k,a_{k+1},a_{k+2},\ldots\}
\end{align}</math>

כלומר, אנו לוקחים את החסם העליון של '''קבוצת''' אברי הסדרה, אבל כל פעם אנחנו זורקים את האבר הבא מהסדרה. באופן טבעי, החסם העליון לא יגדל לאחר שנזרוק אבר.

אם כך, סדרת החסמים <math>b_k</math> מונוטונית יורדת ולכן שואפת למספר כלשהו או למינוס אינסוף. אם הסדרה חסומה, לפי תרגיל מתקיים <math>\lim\limits_{k\to\infty}b_k=\inf\{b_1,b_2,b_3,\ldots\}</math>

'''נגדיר''' את '''הגבול העליון''' של הסדרה <math>a_n</math> להיות

<math>\displaystyle\limsup_{n\to\infty}a_n:=\lim_{k\to\infty}b_k</math>

במילים בלתי-מדויקות, הגבול העליון הוא החסם העליון "באינסוף".

באופן דומה, '''הגבול התחתון''' הנו גבול החסמים התחתונים של קבוצות אברי הסדרה.

;העשרה
סדרה הנה פונקציה <math>a_n=a(n)</math> מהטבעיים לקבוצה <math>A</math> , כלומר יחס חד ערכי ושלם <math>a\subseteq\N\times A</math> . אם כך, אנו מגדירים
<math>b_k:=\sup\Big[im\big[a\cap(\N-\{1,2,\ldots,k-1\})\times A\big]\Big]</math>

;דוגמאות.
*נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math> . נבנה את סדרת החסמים <math>b_k</math> :
:<math>b_1=\sup\{-1,1\}=1</math>
:<math>b_2=\sup\{-1,1\}=1</math>
::::<math>\vdots</math>

ולכן הגבול העליון הנו <math>\limsup_{n\to\infty}a_n:=\lim\limits_{i\to\infty}b_i=1</math>

נביט כעת בסדרת החסמים <math>c_i</math> :

:<math>c_1=\inf\{-1,1\}=-1</math>
:<math>c_2=\inf\{-1,1\}=-1</math>
::::<math>\vdots</math>

ולכן הגבול התחתון הנו <math>\liminf_{n\to\infty}a_n:=\lim\limits_{i\to\infty}c_i=-1</math>

*נביט בסדרה <math>a_n=\frac{1}{n}</math> .

:<math>b_1=\sup\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=1</math>

:<math>b_2=\sup\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=\frac{1}{2}</math>

:<math>b_3=\sup\left\{\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=\frac{1}{3}</math>

::::<math>\vdots</math>

:<math>b_i=\frac{1}{i}</math>

ולכן הגבול העליון הנו <math>\lim\limits_{i\to\infty}b_i=0</math>

:<math>c_1=\inf\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=0</math>

:<math>c_2=\inf\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=0</math>

:<math>c_3=\inf\left\{\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=0</math>

::::<math>\vdots</math>

:<math>c_i=0</math>

ולכן הגבול התחתון הנו <math>\lim\limits_{i\to\infty}c_i=0</math>

==הקשר בין גבול עליון וגבול תחתון להתכנסות סדרות ותתי סדרות==
'''משפט.''' לכל סדרה יש תת-סדרה המתכנסת לגבול העליון שלה, ותת סדרה המתכנסת לגבול התחתון שלה.

לכן הגבול העליון הוא מקסימום מקבוצת הגבולות החלקיים, והגבול התחתון הוא מינימום מקבוצת הגבולות החלקיים.

'''משפט.''' גבול סדרה שווה L אם"ם הגבול העליון של הסדרה שווה לגבול התחתון של הסדרה שווה ל-L.

'''תרגיל.'''

יהיו <math>a_n,b_n</math> סדרות כך ש- <math>\forall n:a_n\le b_n</math> . הוכח/הפרך:

1. <math>\limsup_{n\to\infty}a_n\le\limsup_{n\to\infty}b_n</math>

2. <math>\limsup_{n\to\infty}a_n\le\liminf_{n\to\infty}b_n</math>

3. <math>\liminf_{n\to\infty}a_n\le\liminf_{n\to\infty}b_n</math>

;פתרון
1. הוכחה:

*לפי המשפט קיימת תת סדרה המתכנסת לגבול העליון <math>a_{n_k}\to\limsup_{n\to\infty}a_n</math>
*לפי הנתון <math>a_{n_k}\le b_{n_k}</math>
*לתת הסדרה <math>b_{n_k}</math> קיימת תת-סדרה השואפת לגבול העליון <math>b_{n_{k_j}}\to\limsup_{n\to\infty}b_{n_k}</math>
*כל תת סדרה של סדרה מתכנסת שואפת לגבול הסדרה, ולכן <math>a_{n_{k_j}}\to\limsup_{n\to\infty}a_n</math>
*מכיון ש <math>b_{n_{k_j}}</math> תת-סדרה של <math>b_n</math> אזי הגבול שלה הוא גבול חלקי של <math>b_n</math> .
**כלומר, <math>\limsup_{n\to\infty}b_{n_k}</math> הנו גבול חלקי של <math>b_n</math> .
*הגבול החלקי העליון של סדרה הוא הגבול החלקי הכי גדול שלה, ולכן מתקיים <math>\limsup_{n\to\infty}b_{n_k}\le\limsup_{n\to\infty}b_n</math>
*כמו כן, כיון ש- <math>a_{n_{k_j}}\le b_{n_{k_j}}</math> , הגבולות מקיימים את אותו היחס:
<math>\limsup_{n\to\infty}a_n\le\limsup_{n\to\infty}b_{n_k}</math>

ביחד אנו מקבלים <math>\limsup_{n\to\infty}a_n\le\limsup_{n\to\infty}b_n</math>

2. הפרכה פשוטה: <math>a_n=(-1)^n</math>

3. הוכחה:

ידוע מתרגילי הבית כי <math>\liminf_{n\to\infty}a_n=-\limsup_{n\to\infty}{(-a_n)}</math>

לכן, לפי סעיף א',

:<math>\limsup_{n\to\infty}(-a_n)\ge\limsup_{n\to\infty}(-b_n)</math>
:<math>-\limsup_{n\to\infty}(-a_n)\le-\limsup_{n\to\infty}(-b_n)</math>
:<math>\liminf_{n\to\infty}(-a_n)\le\liminf_{n\to\infty}(-b_n)</math>

'''תרגיל.'''

תהי <math>a_n</math> סדרה חסומה המקיימת
:<math>\lim\limits_{n\to\infty}|a_{n+1}-a_n|=0</math>
הוכח כי קבוצת הגבולות החלקיים של <math>a_n</math> שווה ל- <math>\Big[\liminf_{n\to\infty}a_n,\limsup a_n\Big]</math>

;הוכחה
*נסמן את קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה <math>a_n</math> ב-A.

*כיון שהגבול החלקי העליון הוא גבול חלקי (לפי משפט) וכך גם לגבי הגבול החלקי התחתון, מתקיים <math>\limsup_{n\to\infty}a_n,\liminf_{n\to\infty}a_n\in A</math>

*כיון שהגבול החלקי העליון הוא הגבול החלקי הגדול ביותר, והגבול החלקי התחתון הוא הגבול החלקי הקטן ולכן אם <math>x\in A</math> אזי בהכרח <math>x\in\Big[\liminf a_n,\limsup a_n\Big]</math>.

*נניח בשלילה כי קיימת נקודה <math>c\in\Big(\liminf a_n,\limsup a_n\Big)</math> ש'''אינה''' גבול חלקי של הסדרה

*אזי קיימת סביבת אפסילון של c, '''המוכלת ממש בקטע''', בה יש מספר סופי בלבד של איברים מהסדרה

*נזרוק מספר סופי של איברים מהסדרה כך שבסביבת האפסילון של c לא יהיו איברים כלל. הגבולות החלקיים לא ישתנו כמובן.

*כיוון שהגבול החלקי התחתון הוא בפרט גבול חלקי, יש אינסוף איברים בסדרה הקרובים אליו כרצוננו. בפרט יש אינסוף איברים הקטנים מ <math>c-\epsilon</math> וכמו כן יש אינסוף איברים הגדולים מ<math>c+\epsilon</math>

*כיוון שנתון <math>\lim|a_{n+1}-a_n|=0</math> קיים <math>n_{2\epsilon}</math> כך שלכל <math>n>n_{2\epsilon}</math> מתקיים <math>|a_{n+1}-a_n|<2\epsilon</math>

*ניקח שני איברים <math>a_m,a_{m+k}</math> האחד נמצא מימין לסביבת האפסילון של c והשני נמצא משמאל. עוד נקבע כי <math>m>n_{2\epsilon}</math> (זה מותר כיוון שיש אינסוף איברים כאלה לפי הטענות הקודמות)

*נוציא מבין <math>a_m,a_{m+1},a_{m+2},...,a_{m+k}</math> זוג עוקב שהאחד נמצא מימין לסביבת האפסילון של c והשני משמאל

*המרחק בין שני איברי הזוג העוקב הזה גדול מ-<math>2\epsilon</math> בסתירה.


'''תרגיל.'''


תהיינה <math>a_n,b_n</math> סדרות חסומות. הוכיחו כי:

::<math>\liminf a_n + \limsup b_n \leq \limsup (a_n+b_n) \leq \limsup a_n + \limsup b_n</math>

'''הוכחה.'''

הצד הימני של אי השיוויון:

*קיימת לסדרה <math>a_n+b_n</math> תת סדרה <math>a_{n_k}+b_{n_k}</math> המתכנסת לגבול החלקי העליון <math>\lim a_{n_k}+b_{b_k} = \limsup a_n+b_n</math>

*(שימו לב שתת הסדרה <math>a_{n_k}</math> לא בהכרח מתכנסת.)

*תת הסדרה <math>a_{n_k}</math> חסומה, ולכן יש לה תת סדרה מתכנסת <math>a_{n_{k_j}}</math>.

*כיוון שתת הסדרה <math>a_{n_k}+b_{n_k}</math> מתכנסת, כל תת סדרה שלה מתכנסת לאותו הגבול. לכן <math>\lim a_{n_{k_j}} + b_{n_{k_j}} = \limsup a_n+b_n</math>

*ביחד, אנו מקבלים כי <math>\lim b_{n_{k_j}} = \limsup a_n+b_n - \lim a_{n_{k_j}}</math> (אריתמטיקה של גבולות של סדרות מתכנסות).

*כלומר, הראנו כי תת הסדרה <math>b_{n_{k_j}}</math> מתכנס.

*ברור שכל גבול חלקי קטן או שווה לגבול העליון, ולכן <math>\lim b_{n_{k_j}} \leq \limsup b_n</math> וכמו כן <math>\lim a_{n_{k_j}}\leq \limsup a_n</math>

*ביחד מקבלים <math>\limsup a_n+b_n=\lim a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}\leq \limsup a_n + \limsup b_n</math>, כפי שרצינו.

הצד השמאלי של אי השיוויון:

*קיימת תת סדרה <math>b_{n_k}</math> השואפת לגבול העליון של הסדרה <math>b_n</math>, כלומר <math>\lim b_{n_k}=\limsup b_n</math>

*תת הסדרה המקבילה <math>a_{n_k}</math> אמנם לא בהכרח מתכנסת, אך כיוון שהיא חסומה, יש לה תת סדרה מתכנסת <math>a_{n_{k_j}}</math>

*ברור שכל גבול חלקי גדול או שווה לגבול החלקי התחתון, ולכן <math>\liminf a_n \leq \lim a_{n_{k_j}}</math>

*כמו כן, כיוון שהסדרה <math>b_{n_k}</math> מתכנסת, כל תת סדרה שלה מתכנסת לאותו הגבול. כלומר <math>\lim b_{n_{k_j}} = \lim b_{n_k} = \limsup b_n</math>

*ביחד מקבלים כי <math>\liminf a_n + \limsup b_n = \liminf a_n + \lim b_{n_{k_j}} \leq \lim a_{n_{k_j}} + \lim b_{n_{k_j}} = \lim a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}</math>

*ברור שכל גבול חלקי קטן או שווה לגבול החלקי העליון, ולכן <math>\lim a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}\leq \limsup a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}</math>. לכן הוכחנו את הצד השמאלי של אי השיוויון.

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/גבול עליון ותחתון

2017-02-16T01:35:06Z

יהודה שמחה:

[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות|חזרה לסדרות]]

==גבול עליון וגבול תחתון==
למדנו על [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/חסמים|חסמים]] על-מנת לחסום את הקבוצה באופן אידיאלי, כלומר למצוא את "קצות" הקבוצה. היינו רוצים למצוא הגדרה דומה עבור סדרות. השיטה התמימה היא להביט בחסמים של קבוצת אברי הסדרה, אך מהדוגמא הקלה הבאה נראה כי החסמים של קבוצת אברי הסדרה לא אומרים שום דבר על הסדרה:

<math>100,-100,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,\ldots</math>

החסמים הם פלוס מינוס מאה, אך אין קשר בין מספרים אלה להתנהגות הסדרה באינסוף.

;הגדרה.
נגדיר
:<math>\begin{align}
b_1&=\sup\{a_1,a_2,a_3,a_4,\ldots\}\\
b_2&=\sup\{a_2,a_3,a_4,\ldots\}\\b_3&=\sup\{a_3,a_4,\ldots\}\\&\vdots\\b_k&=\sup\{a_k,a_{k+1},a_{k+2},\ldots\}
\end{align}</math>

כלומר, אנו לוקחים את החסם העליון של '''קבוצת''' אברי הסדרה, אבל כל פעם אנחנו זורקים את האבר הבא מהסדרה. באופן טבעי, החסם העליון לא יגדל לאחר שנזרוק אבר.

אם כך, סדרת החסמים <math>b_k</math> מונוטונית יורדת ולכן שואפת למספר כלשהו או למינוס אינסוף. אם הסדרה חסומה, לפי תרגיל מתקיים <math>\lim\limits_{k\to\infty}b_k=\inf\{b_1,b_2,b_3,\ldots\}</math>

'''נגדיר''' את '''הגבול העליון''' של הסדרה <math>a_n</math> להיות

<math>\displaystyle\limsup_{n\to\infty}a_n:=\lim_{k\to\infty}b_k</math>

במילים בלתי-מדויקות, הגבול העליון הוא החסם העליון "באינסוף".

באופן דומה, '''הגבול התחתון''' הנו גבול החסמים התחתונים של קבוצות אברי הסדרה.

;העשרה
סדרה הנה פונקציה <math>a_n=a(n)</math> מהטבעיים לקבוצה A, כלומר יחס חד ערכי ושלם <math>a\subseteq\N\times A</math> . אם כך, אנו מגדירים
<math>b_i:=\sup\Big[im \big[a\cap(\N-\{1,2,\ldots,i-1\})\times A\big]\Big] </math>

'''דוגמאות.'''

*נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math>. נבנה את סדרת החסמים <math>b_i</math> :

:<math>b_1=\sup\{-1,1\}=1</math>
:<math>b_2=\sup\{-1,1\}=1</math>
::::<math>\vdots</math>

ולכן הגבול העליון הנו <math>\limsup_{n\to\infty}a_n:=\lim\limits_{i\to\infty}b_i=1</math>

נביט כעת בסדרת החסמים <math>c_i</math> :

:<math>c_1=\inf\{-1,1\}=-1</math>
:<math>c_2=\inf\{-1,1\}=-1</math>
::::<math>\vdots</math>

ולכן הגבול התחתון הנו <math>\liminf_{n\to\infty}a_n:=\lim\limits_{i\to\infty}c_i=-1</math>

*נביט בסדרה <math>a_n=\frac{1}{n}</math> .

:<math>b_1=\sup\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=1</math>

:<math>b_2=\sup\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=\frac{1}{2}</math>

:<math>b_3=\sup\left\{\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=\frac{1}{3}</math>

::::<math>\vdots</math>

:<math>b_i=\frac{1}{i}</math>

ולכן הגבול העליון הנו <math>\lim\limits_{i\to\infty}b_i=0</math>

:<math>c_1=\inf\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=0</math>

:<math>c_2=\inf\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=0</math>

:<math>c_3=\inf\left\{\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=0</math>

::::<math>\vdots</math>

:<math>c_i=0</math>

ולכן הגבול התחתון הנו <math>\lim\limits_{i\to\infty}c_i=0</math>

==הקשר בין גבול עליון וגבול תחתון להתכנסות סדרות ותתי סדרות==
'''משפט.''' לכל סדרה יש תת-סדרה המתכנסת לגבול העליון שלה, ותת סדרה המתכנסת לגבול התחתון שלה.

לכן הגבול העליון הוא מקסימום מקבוצת הגבולות החלקיים, והגבול התחתון הוא מינימום מקבוצת הגבולות החלקיים.

'''משפט.''' גבול סדרה שווה L אם"ם הגבול העליון של הסדרה שווה לגבול התחתון של הסדרה שווה ל-L.

'''תרגיל.'''

יהיו <math>a_n,b_n</math> סדרות כך ש- <math>\forall n:a_n\le b_n</math> . הוכח/הפרך:

1. <math>\limsup_{n\to\infty}a_n\le\limsup_{n\to\infty}b_n</math>

2. <math>\limsup_{n\to\infty}a_n\le\liminf_{n\to\infty}b_n</math>

3. <math>\liminf_{n\to\infty}a_n\le\liminf_{n\to\infty}b_n</math>

;פתרון
1. הוכחה:

*לפי המשפט קיימת תת סדרה המתכנסת לגבול העליון <math>a_{n_k}\to\limsup_{n\to\infty}a_n</math>
*לפי הנתון <math>a_{n_k}\le b_{n_k}</math>
*לתת הסדרה <math>b_{n_k}</math> קיימת תת-סדרה השואפת לגבול העליון <math>b_{n_{k_j}}\to\limsup_{n\to\infty}b_{n_k}</math>
*כל תת סדרה של סדרה מתכנסת שואפת לגבול הסדרה, ולכן <math>a_{n_{k_j}}\to\limsup_{n\to\infty}a_n</math>
*מכיון ש <math>b_{n_{k_j}}</math> תת-סדרה של <math>b_n</math> אזי הגבול שלה הוא גבול חלקי של <math>b_n</math> .
**כלומר, <math>\limsup_{n\to\infty}b_{n_k}</math> הנו גבול חלקי של <math>b_n</math> .
*הגבול החלקי העליון של סדרה הוא הגבול החלקי הכי גדול שלה, ולכן מתקיים <math>\limsup_{n\to\infty}b_{n_k}\le\limsup_{n\to\infty}b_n</math>
*כמו כן, כיון ש- <math>a_{n_{k_j}}\le b_{n_{k_j}}</math> , הגבולות מקיימים את אותו היחס:
<math>\limsup_{n\to\infty}a_n\le\limsup_{n\to\infty}b_{n_k}</math>

ביחד אנו מקבלים <math>\limsup_{n\to\infty}a_n\le\limsup_{n\to\infty}b_n</math>

2. הפרכה פשוטה: <math>a_n=(-1)^n</math>

3. הוכחה:

ידוע מתרגילי הבית כי <math>\liminf_{n\to\infty}a_n=-\limsup_{n\to\infty}{(-a_n)}</math>

לכן, לפי סעיף א',

:<math>\limsup_{n\to\infty}(-a_n)\ge\limsup_{n\to\infty}(-b_n)</math>
:<math>-\limsup_{n\to\infty}(-a_n)\le-\limsup_{n\to\infty}(-b_n)</math>
:<math>\liminf_{n\to\infty}(-a_n)\le\liminf_{n\to\infty}(-b_n)</math>

'''תרגיל.'''

תהי <math>a_n</math> סדרה חסומה המקיימת
:<math>\lim\limits_{n\to\infty}|a_{n+1}-a_n|=0</math>
הוכח כי קבוצת הגבולות החלקיים של <math>a_n</math> שווה ל- <math>\Big[\liminf_{n\to\infty}a_n,\limsup a_n\Big]</math>

;הוכחה
*נסמן את קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה <math>a_n</math> ב-A.

*כיון שהגבול החלקי העליון הוא גבול חלקי (לפי משפט) וכך גם לגבי הגבול החלקי התחתון, מתקיים <math>\limsup_{n\to\infty}a_n,\liminf_{n\to\infty}a_n\in A</math>

*כיון שהגבול החלקי העליון הוא הגבול החלקי הגדול ביותר, והגבול החלקי התחתון הוא הגבול החלקי הקטן ולכן אם <math>x\in A</math> אזי בהכרח <math>x\in\Big[\liminf a_n,\limsup a_n\Big]</math>.

*נניח בשלילה כי קיימת נקודה <math>c\in\Big(\liminf a_n,\limsup a_n\Big)</math> ש'''אינה''' גבול חלקי של הסדרה

*אזי קיימת סביבת אפסילון של c, '''המוכלת ממש בקטע''', בה יש מספר סופי בלבד של איברים מהסדרה

*נזרוק מספר סופי של איברים מהסדרה כך שבסביבת האפסילון של c לא יהיו איברים כלל. הגבולות החלקיים לא ישתנו כמובן.

*כיוון שהגבול החלקי התחתון הוא בפרט גבול חלקי, יש אינסוף איברים בסדרה הקרובים אליו כרצוננו. בפרט יש אינסוף איברים הקטנים מ <math>c-\epsilon</math> וכמו כן יש אינסוף איברים הגדולים מ<math>c+\epsilon</math>

*כיוון שנתון <math>\lim|a_{n+1}-a_n|=0</math> קיים <math>n_{2\epsilon}</math> כך שלכל <math>n>n_{2\epsilon}</math> מתקיים <math>|a_{n+1}-a_n|<2\epsilon</math>

*ניקח שני איברים <math>a_m,a_{m+k}</math> האחד נמצא מימין לסביבת האפסילון של c והשני נמצא משמאל. עוד נקבע כי <math>m>n_{2\epsilon}</math> (זה מותר כיוון שיש אינסוף איברים כאלה לפי הטענות הקודמות)

*נוציא מבין <math>a_m,a_{m+1},a_{m+2},...,a_{m+k}</math> זוג עוקב שהאחד נמצא מימין לסביבת האפסילון של c והשני משמאל

*המרחק בין שני איברי הזוג העוקב הזה גדול מ-<math>2\epsilon</math> בסתירה.


'''תרגיל.'''


תהיינה <math>a_n,b_n</math> סדרות חסומות. הוכיחו כי:

::<math>\liminf a_n + \limsup b_n \leq \limsup (a_n+b_n) \leq \limsup a_n + \limsup b_n</math>

'''הוכחה.'''

הצד הימני של אי השיוויון:

*קיימת לסדרה <math>a_n+b_n</math> תת סדרה <math>a_{n_k}+b_{n_k}</math> המתכנסת לגבול החלקי העליון <math>\lim a_{n_k}+b_{b_k} = \limsup a_n+b_n</math>

*(שימו לב שתת הסדרה <math>a_{n_k}</math> לא בהכרח מתכנסת.)

*תת הסדרה <math>a_{n_k}</math> חסומה, ולכן יש לה תת סדרה מתכנסת <math>a_{n_{k_j}}</math>.

*כיוון שתת הסדרה <math>a_{n_k}+b_{n_k}</math> מתכנסת, כל תת סדרה שלה מתכנסת לאותו הגבול. לכן <math>\lim a_{n_{k_j}} + b_{n_{k_j}} = \limsup a_n+b_n</math>

*ביחד, אנו מקבלים כי <math>\lim b_{n_{k_j}} = \limsup a_n+b_n - \lim a_{n_{k_j}}</math> (אריתמטיקה של גבולות של סדרות מתכנסות).

*כלומר, הראנו כי תת הסדרה <math>b_{n_{k_j}}</math> מתכנס.

*ברור שכל גבול חלקי קטן או שווה לגבול העליון, ולכן <math>\lim b_{n_{k_j}} \leq \limsup b_n</math> וכמו כן <math>\lim a_{n_{k_j}}\leq \limsup a_n</math>

*ביחד מקבלים <math>\limsup a_n+b_n=\lim a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}\leq \limsup a_n + \limsup b_n</math>, כפי שרצינו.

הצד השמאלי של אי השיוויון:

*קיימת תת סדרה <math>b_{n_k}</math> השואפת לגבול העליון של הסדרה <math>b_n</math>, כלומר <math>\lim b_{n_k}=\limsup b_n</math>

*תת הסדרה המקבילה <math>a_{n_k}</math> אמנם לא בהכרח מתכנסת, אך כיוון שהיא חסומה, יש לה תת סדרה מתכנסת <math>a_{n_{k_j}}</math>

*ברור שכל גבול חלקי גדול או שווה לגבול החלקי התחתון, ולכן <math>\liminf a_n \leq \lim a_{n_{k_j}}</math>

*כמו כן, כיוון שהסדרה <math>b_{n_k}</math> מתכנסת, כל תת סדרה שלה מתכנסת לאותו הגבול. כלומר <math>\lim b_{n_{k_j}} = \lim b_{n_k} = \limsup b_n</math>

*ביחד מקבלים כי <math>\liminf a_n + \limsup b_n = \liminf a_n + \lim b_{n_{k_j}} \leq \lim a_{n_{k_j}} + \lim b_{n_{k_j}} = \lim a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}</math>

*ברור שכל גבול חלקי קטן או שווה לגבול החלקי העליון, ולכן <math>\lim a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}\leq \limsup a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}</math>. לכן הוכחנו את הצד השמאלי של אי השיוויון.

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/קושי

2017-02-16T01:27:47Z

יהודה שמחה:

[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות|חזרה לסדרות]]

==סדרות קושי==
הגדרת התכנסות סדרה עד כה הסתמכה על קיום נקודת גבול <math>L</math> . אולם למדנו כי יש סדרות המתקרבות לנקודה שאינה שייכת לשדה, כמו <math>\sqrt2</math> בשדה הרציונאלים. סדרה המתכנסות לשורש שתיים מעל הממשיים, בהכרח אינה מתכנסת מעל הרציונאלים.

נגדיר אפוא תכונה של סדרה השקולה מבחינת התנהגות להתכנסות, אך אינה דורשת קיום של נקודת גבול בשדה. עקרונית, נדרוש שאברי הסדרה יתקרבו זה לזה, ולא לנקודת עוגן מסוימת הלא היא נקודת הגבול.

;הגדרה.
סדרה <math>a_n</math> נקראת '''סדרת קושי''' אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>N_\varepsilon\in\N</math> כך שלכל <math>m>n>N_\varepsilon</math> מתקיים <math>|a_m-a_n|<\varepsilon</math>

במילים, אם לכל מרחק <math>\varepsilon</math> קיים מקום בסדרה כך שהחל ממנו ומעלה המרחק בין '''כל שני אברים''' שואף ל-0, אזי הסדרה הנה סדרת קושי.

;משפט.
מעל שדה הממשיים סדרה מתכנסת אם"ם היא סדרת קושי.

ברור ממשפט זה, יחד עם הדוגמא של סדרה השואפת ל- <math>\sqrt2</math> , שהמשפט אינו תקף מעל שדה הרציונאליים.

;תרגיל.
תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש- <math>|a_n-a_{n-1}|<\dfrac1{2^n}</math> . הוכח כי <math>\{a_n\}</math> מתכנסת.

;פתרון
נוכיח כי <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

לפי הנתון
:<math>\begin{align}
|a_m-a_n|&=\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+\cdots+a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\Big|\\
&\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+2}-a_{n+1}|+|a_{n+1}-a_n|\\
&<\dfrac1{2^m}+\dfrac1{2^{m-1}}+\cdots+\dfrac1{2^{n+1}}=\dfrac1{2^{n+1}}\left[\frac1{2^{m-n-1}}+\cdots+1\right]\\
&=\dfrac1{2^{n+1}}\left[\dfrac{1-\frac1{2^{m-n}}}{1-\frac12}\right]=\frac1{2^n}\left[1-\frac1{2^{m-n}}\right]=\frac1{2^n}-\dfrac1{2^m}\le\dfrac1{2^n}\to0
\end{align}</math>

;תרגיל.
תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש- <math>|a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|</math> עבור <math>0<p<1</math> . הוכח כי <math>\{a_n\}</math> מתכנסת.

;פתרון
נוכיח כי <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

ראשית, נשים לב כי <math>|a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|\le p^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\le\cdots\le p^{n-1}|a_2-a_1|</math> .

נסמן <math>d=|a_2-a_1|</math> ולכן סה"כ <math>|a_{n+1}-a_n|\le p^{n-1}d</math>

כעת,

<math>\begin{align}
|a_m-a_n|&=\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+\cdots+a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\Big|\\
&\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+2}-a_{n+1}|+|a_{n+1}-a_n|\\
&\le p^{m-2}d+\cdots+p^{n-1}d=p^{n-1}d(p^{m-n-1}+\cdots+1)=p^{n-1}d\left(\dfrac{1-p^{m-n-1}}{1-p}\right)\le p^{n-1}\dfrac{d}{1-p}\to0
\end{align}</math>

(לפי מה שהראינו)

מכיון ש- <math>p^n\to0</math> עבור <math>p<1</math> .

;תרגיל.
תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על-ידי כלל הנסיגה

<math>a_{n+1}=a_n+\frac{1}{(n+1)^2}</math>

הוכח כי הסדרה מתכנסת.

;הוכחה
נוכיח כי זוהי סדרת קושי ולכן מתכנסת. יהי <math>\varepsilon>0</math> . צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו המרחק בין כל שני אברים קטן מ- <math>\varepsilon</math> . נביט במרחק בין שני אברים כלשהם:

<math>\begin{align}
|a_m-a_n|&=\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\Big|\\
&\le|a_m-a_{m-1}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|=\dfrac1{m^2}+\cdots+\dfrac1{(n+1)^2}\\&\le\dfrac1{m(m-1)}+\cdots+\frac1{(n+1)n}\\
&=\dfrac1{m-1}-\dfrac1m+\dfrac1{m-2}-\dfrac1{m-1}+\cdots+\dfrac1n-\dfrac1{n+1}=\dfrac1n-\dfrac1m\le\dfrac1n\end{align}</math>

נעזרנו בנוסחא <math>\dfrac1{k(k-1)}=\dfrac1{k-1}-\dfrac1k</math>

וכרגיל, עבור <math>N_\varepsilon>\dfrac1{\varepsilon}</math> אנו מקבלים את מה שצריך לכל <math>m>n>N_\varepsilon</math>

;תרגיל.
תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על-ידי כלל הנסיגה

<math>a_{n+1}=a_n+\dfrac1{n+1}</math>

הוכח כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\infty</math> (כלומר הסדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף).

;הוכחה
דבר ראשון, טריוויאלי להוכיח כי הסדרה הנה מונוטונית עולה שכן <math>a_{n+1}-a_n=\dfrac1{n+1}>0</math> .

לכן, כפי שלמדנו, מספיק להוכיח כי הסדרה אינה מתכנסת. לצורך זה, מספיק להוכיח שהיא אינה סדרת קושי.

ניקח <math>\varepsilon=\tfrac12</math>. יהי <math>N\in\N</math> מקום כלשהו בסדרה, ויהי <math>n>N</math> . ניקח <math>m=2n</math> . מתקיים:

<math>\begin{align}|a_{2n}-a_n|&=\Big|a_{2n}-a_{2n-1}+a_{2n-1}-\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\Big|\\
&=\frac1{2n}+\cdots+\frac1{n+1}\ge\frac1{2n}+\cdots+\frac1{2n}=\frac{n}{2n}=\frac12\end{align}</math>

ולכן מתקיימת '''שלילת''' ההגדרה של קושי והסדרה הנ"ל אינה מתכנסת.

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/קושי

2017-02-15T22:51:30Z

יהודה שמחה:

[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות|חזרה לסדרות]]

==סדרות קושי==
הגדרת התכנסות סדרה עד כה הסתמכה על קיום נקודת גבול <math>L</math> . אולם למדנו כי יש סדרות המתקרבות לנקודה שאינה שייכת לשדה, כמו <math>\sqrt2</math> בשדה הרציונאלים. סדרה המתכנסות לשורש שתיים מעל הממשיים, בהכרח אינה מתכנסת מעל הרציונאלים.

נגדיר אפוא תכונה של סדרה השקולה מבחינת התנהגות להתכנסות, אך אינה דורשת קיום של נקודת גבול בשדה. עקרונית, נדרוש שאברי הסדרה יתקרבו זה לזה, ולא לנקודת עוגן מסוימת הלא היא נקודת הגבול.

;הגדרה.
סדרה <math>a_n</math> נקראת '''סדרת קושי''' אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>N_\varepsilon\in\N</math> כך שלכל <math>m,n>N_\varepsilon</math> מתקיים <math>|a_m-a_n|<\varepsilon</math>

במילים, אם לכל מרחק <math>\varepsilon</math> קיים מקום בסדרה כך שהחל ממנו ומעלה המרחק בין '''כל שני אברים''' שואף ל-0, אזי הסדרה הנה סדרת קושי.

;משפט.
מעל שדה הממשיים סדרה מתכנסת אם"ם היא סדרת קושי.

ברור ממשפט זה, יחד עם הדוגמא של סדרה השואפת ל- <math>\sqrt2</math> , שהמשפט אינו תקף מעל שדה הרציונאליים.

;תרגיל.
תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש- <math>|a_n-a_{n-1}|<\dfrac1{2^n}</math> . הוכח כי <math>\{a_n\}</math> מתכנסת.

;פתרון
נוכיח כי <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

לפי הנתון
:<math>\begin{align}
|a_m-a_n|&=\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+\cdots+a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\Big|\\
&\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+2}-a_{n+1}|+|a_{n+1}-a_n|\\
&<\dfrac1{2^m}+\dfrac1{2^{m-1}}+\cdots+\dfrac1{2^{n+1}}=\dfrac1{2^{n+1}}\left[\frac1{2^{m-n-1}}+\cdots+1\right]\\
&=\dfrac1{2^{n+1}}\left[\dfrac{1-\frac1{2^{m-n}}}{1-\frac12}\right]=\frac1{2^n}\left[1-\frac1{2^{m-n}}\right]=\frac1{2^n}-\dfrac1{2^m}\le\dfrac1{2^n}\to0
\end{align}</math>

'''תרגיל.'''

תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש- <math>|a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|</math> עבור <math>0<p<1</math> . הוכח ש- <math>\{a_n\}</math> מתכנסת.

;פתרון
נוכיח ש- <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

דבר ראשון, נשים לב ש- <math>|a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|\le p^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\le\cdots\le p^{n-1}|a_2-a_1|</math> . נסמן <math>d=|a_2-a_1|</math> ולכן סה"כ <math>|a_{n+1}-a_n|\le p^{n-1}d</math>

כעת,

<math>|a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\le</math>

<math>\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|\leq</math>

<math>\le p^{m-2}d+\cdots+p^{n-1}d=p^{n-1}d(p^{m-n-1}+\cdots+1)=p^{n-1}d\left(\frac{1-p^{m-n-1}}{1-p}\right)\le p^{n-1}\frac{d}{1-p}\to0</math> (לפי מה שהראינו)

מכיון ש- <math>p^n\to0</math> עבור p<1.

'''תרגיל.'''

תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על-ידי כלל הנסיגה

<math>a_{n+1}=a_n+\frac{1}{(n+1)^2}</math>

הוכח כי הסדרה מתכנסת.

;הוכחה
נוכיח כי זוהי סדרת קושי ולכן מתכנסת. יהי <math>\epsilon>0</math> כלשהו. צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו המרחק בין כל שני אברים קטן מ- <math>\epsilon</math> . נביט במרחק בין שני אברים כלשהם:

<math>|a_m-a_n|=\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-\cdots+a_{n+1}-a_n\Big|\le</math>

לפי אי-שוויון המשולש זה קטן או שווה ל:

<math>|a_m-a_{m-1}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|=\frac{1}{m^2}+\cdots+\frac{1}{(n+1)^2}\le</math>

<math>\le\frac{1}{m(m-1)}+\cdots+\frac{1}{(n+1)n}=</math>

כעת נעזר בנוסחא שקל להוכיחה: <math>\frac{1}{m(m-1)}=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}</math>

<math>=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}+\frac{1}{m-2}-\frac{1}{m-1}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\le\frac{1}{n}</math>

וכרגיל, עבור <math>N_\epsilon>\frac{1}{\epsilon}</math> אנו מקבלים את מה שצריך לכל <math>m>n>N_\epsilon</math>

'''תרגיל.'''

תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה

:<math>a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n+1}</math>

הוכח כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\infty</math> (כלומר הסדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף).

;הוכחה
דבר ראשון, טריוויאלי להוכיח כי הסדרה הנה מונוטונית עולה שכן <math>a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}>0</math>.

לכן, כפי שלמדנו, מספיק להוכיח כי הסדרה אינה מתכנסת. לצורך זה, מספיק להוכיח שהיא אינה סדרת קושי.

ניקח <math>\epsilon=\frac{1}{2}</math>. יהי <math>N\in\N</math> מקום כלשהו בסדרה, ויהי <math>n>N</math> . ניקח <math>m=2n</math> . מתקיים,

<math>|a_{2n}-a_n|=\Big|a_{2n}-a_{2n-1}+a_{2n-1}-a_{2n-2}+a_{2n-2}-\cdots+a_{n+1}-a_n\Big|=</math>

<math>=\frac{1}{2n}+\cdots+\frac{1}{n+1}\ge\frac{1}{2n}+\cdots+\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}</math>

ולכן מתקיימת '''שלילת''' ההגדרה של קושי והסדרה הנ"ל אינה מתכנסת.

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/רימן

2017-02-15T22:21:43Z

יהודה שמחה:

למשפט רימאן 2 חלקים:

;א.
יהי <math>\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n</math> טור '''מתכנס בהחלט''' ומתכנס ל- <math>S</math> , אזי לכל סדרה <math>b_n</math> הנוצרת משינוי מיקום אברי <math>a_n</math> , הטור <math>\displaystyle\sum_{n=0}^\infty b_n</math> גם הוא מתכנס בהחלט וגם הוא מתכנס ל- <math>S</math> .

;ב.
יהי <math>\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n</math> טור '''מתכנס בתנאי''', אזי לכל <math>p\in\R</math> ול- <math>p=\pm\infty</math> קיימת סדרה <math>b_n</math> הנוצרת משינוי מיקום אברי <math>a_n</math> כך שמתקיים: <math>\displaystyle\sum_{n=0}^\infty b_n=p</math>

הערה: סדרה <math>b_n</math> נוצרת משינוי מיקום אברי <math>a_n</math> אם ורק אם קיים <math>\sigma:\N\to\N</math> חד-חד-ערכית ועל כך ש- <math>\forall n\in\N:a_{\sigma(n)}=b_n

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים כלליים

2017-02-15T22:15:26Z

יהודה שמחה:

[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים|חזרה לטורים]]
==התכנסות בהחלט==
;הגדרה.

יהי <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור. אזי אומרים כי הטור '''מתכנס בהחלט''' אם טור הערכים המוחלטים שלו <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty|a_n|</math> מתכנס.

טור מתכנס '''בתנאי''' אם הוא מתכנס, אבל '''לא''' מתכנס בהחלט.

;דוגמא.
הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n}</math> '''אינו''' מתכנס בהחלט, כיון שטור הערכים המוחלטים <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n</math> מתבדר.

;משפט.
טור מתכנס בהחלט, מתכנס. כלומר אם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty|a_n|</math> מתכנס <math>\Leftarrow</math> גם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס. (ההפך לא נכון בהכרח.)

;סקיצה של ההוכחה.
אם הטור מתכנס בהחלט, אזי סכום האברים החיוביים בלבד של הטור המקורי מתכנס (לפי מבחן ההשוואה הראשון, שכן סכום החיוביים בלבד קטן מסכום כל הערכים המוחלטים). באופן דומה סכום האברים השליליים של הטור המקורי מתכנס (שכן הוא מינוס של טור חיובי המתכנס לפי מבחן ההשואה הראשון). ביחד, סכום החיוביים פחות סכום השליליים מתכנס ושווה לסכום הטור.

שימו לב כי זו אינה הוכחה מלאה, יש לדייק בטיעונים.

==מבחני התכנסות כלליים==
עד כה למדנו את מבחני ההתכנסות לטורים חיוביים. כעת נלמד על מבחני התכנסות נוספים, שאינם דורשים כי כל איברי הסדרה יהיו חיוביים.

===מבחן לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים===
תהי <math>a_n</math> סדרה חיובית מונוטונית יורדת השואפת ל-0. אזי הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n</math> מתכנס.

;דוגמאות.
הטורים הבאים מתכנסים לפי מבחן לייבניץ:

:<math>\displaystyle\begin{align}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n}\\
\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\\
\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{\ln(n)}\\
\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\sin\left(\tfrac1n\right)\end{align}</math>

===מבחן דיריכלה - סדרה מונוטונית כפול סדרה עם טור חסום===
תהי <math>a_n</math> סדרה חיובית מונוטונית יורדת השואפת ל-0. תהי <math>b_n</math> כך שסדרת הסכומים החלקיים שלה חסומה:
:<math>\exist M\forall N:|S_N|=\left|\sum_{n=1}^Nb_n\right|<M</math>

אזי <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot b_n</math> מתכנס.

;דוגמא.
ראשית נוכיח כי הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\sin(n)</math> חסום (כלומר סדרת הסכומים החלקיים שלו חסומה).

נבחן את סדרת הסכומים החלקיים:
:<math>S_n=\sin(1)+\cdots+\sin(n)</math>
נכפול את שני הצדדים בקבוע <math>2\sin(1)</math> לקבל
:<math>2\sin(1)S_n=2\sin(1)\sin(1)+2\sin(2)\sin(1)+\cdots+2\sin(n)\sin(1)</math>

נפעיל את הזהות הטריגונומטרית <math>2\sin(\alpha)\sin(\beta)=\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)</math> :
:<math>2\sin(1)S_n=\cos(0)-\cos(2)+\cos(1)-\cos(3)+\cos(2)-\cos(4)+\cdots+\cos(n-1)-\cos(n+1)</math>

זהו טור טלסקופי, ולאחר צמצום אנו נשארים עם
:<math>2\sin(1)S_n=\cos(0)+\cos(1)-\cos(n)-\cos(n+1)</math>

ולכן <math>|S_n|=\left|\dfrac{\cos(0)+\cos(1)-\cos(n)-\cos(n+1)}{2\sin(1)}\right|\le\dfrac2{\sin(1)}</math>

כלומר סדרת הסכומים החלקיים אכן חסומה.

כעת, נובע בקלות ממבחן דיריכלה כי הטורים הבאים '''מתכנסים''':
:<math>\begin{align}\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(n)}{n}\\\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(n)}{\sqrt n}\\\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(n)}{\ln(n)}\end{align}</math>

;תרגיל.
בדוק את התכנסות הטורים הבאים:
:<math>\begin{align}\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin^2(n)}{n}\\\sum_{n=1}^\infty\frac{|\sin(n)|}{n}\end{align}</math>

;פתרון.
נביט בזהות הטריגונומטרית <math>2\sin^2(\alpha)=1-\cos(2\alpha)</math> . לכן
:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin^2(n)}{n}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1-\cos(2n)}{2n}</math>

ניתן באמצעות מבחן דיריכלה, באופן דומה לתרגיל הקודם, להוכיח כי <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(2n)}{2n}</math> מתכנס. נניח בשלילה כי הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin^2(n)}{n}</math> מתכנס, ונקבל כי הטור

:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{2n}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin^2(n)}{n}+\frac{\cos(2n)}{2n}</math>

הוא סכום טורים מתכנסים ולכן מתכנס וזו סתירה, כיון שאנו יודעים שטור זה מתבדר.

כעת, נשים לב כי <math>|\sin(n)|\ge\sin^2(n)</math> ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון גם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{|\sin(n)|}{n}</math> מתבדר.

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/13

2017-02-15T19:56:53Z

יהודה שמחה:

[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]]
*<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left[\sqrt[n]e-1\right]</math>

כיון ש- <math>\left(1+\dfrac1n\right)^n\to e^-</math> מתקיים כי <math>\left(1+\dfrac1n\right)^n<e</math>

ולכן

<math>\sqrt[n]{\left(1+\dfrac1n\right)^n}-1<\sqrt[n]e-1</math>

אבל

<math>\sqrt[n]{\left(1+\dfrac1n\right)^n}-1=\dfrac1n</math>

קיבלנו שהטור גדול מטור שמתבדר ולכן מתבדר ע"פ מבחן ההשוואה הראשון.