Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

שיחה:חשמל-תרגילים

2013-03-18T22:25:50Z

לב זלוטניק: /* תרגיל בית 2 שאלה 4 */

== תרגיל בית 2 ==

בשאלה 4 האם זה <math>1-\frac{r^2}{R^2}</math> או <math>\frac{1-r^2}{R^2}</math> ?

בשאלה 5 האם זה קליפה או משטח ממולא ?

שיחה:חשמל-תרגילים

2013-03-18T22:21:41Z

לב זלוטניק: תרגיל בית 2 שאלה 4

== תרגיל בית 2 שאלה 4 ==

האם זה <math>1-\frac{r^2}{R^2}</math> או <math>\frac{1-r^2}{R^2}</math> ? תודה מראש

שיחה:88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעב

2012-08-04T17:51:27Z

לב זלוטניק: /* שאלות 9 11 ו- 12 */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== טעויות ==

5ב חסר מצא

10 חסר הפעולה שעליה אתם מדברים לא רשמתם אם כפל מטריצות או חיבור מטריצות

הכוונה היא לכפל מטריצות. [[משתמש:גילי|גילי]] 18:37, 1 באוגוסט 2012 (IDT)

== טעות נוספת? ==

בשאלה 3, אם m=0 אז ההגדרה לא מתאימה למה סביר שרציתם. צריך לכתוב Z כוכב.
או <math>\mathbb{N}</math>

צודק. [[משתמש:גילי|גילי]] 20:45, 4 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלות 9 11 ו- 12 ==

למה הכוונה כשאומרים <math>U_n : n \in \mathbb{N} </math> ? איזה קבוצה זה?
:אני משער שקבוצת המספרים k שבין 0 ל n המקיימים 1=(k,n).

אתה לא טועה :)

מה זה אומר <math>(k,n)=1</math>?

== תרגיל 1 שאלה 6 ==

איך אני מתמודד עם קומטטיביות? אני צריך שa*b=b*a ואני לא מבין את המשמעות הקומבינטורית של זה?
אפשר עזרה או כיוון לפתרון?

תחשוב איך אתה מביע באופן כללי מבנה אלגברי מעל קבוצה בת חמישה איברים. כמה מבנים אלגברים כאלה קיימים? מה מיוחד במבנים אלגבריים קומוטטיבים מבחינת הפעולה? [[משתמש:גילי|גילי]] 20:47, 4 באוגוסט 2012 (IDT)

שיחה:88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעב

2012-08-01T18:48:46Z

לב זלוטניק: /* שאלות 9 11 ו- 12 */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== טעויות ==

5ב חסר מצא

10 חסר הפעולה שעליה אתם מדברים לא רשמתם אם כפל מטריצות או חיבור מטריצות

כל השאר בסדר :)

הכוונה היא לכפל מטריצות. [[משתמש:גילי|גילי]] 18:37, 1 באוגוסט 2012 (IDT)

== טעות נוספת? ==

בשאלה 3, אם m=0 אז ההגדרה לא מתאימה למה סביר שרציתם. צריך לכתוב Z כוכב.

== שאלות 9 11 ו- 12 ==

למה הכוונה כשאומרים <math>U_n : n \in \mathbb{N} </math> ? איזה קבוצה זה?

שיחה:88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/אינטגרלים

2012-05-20T19:54:22Z

לב זלוטניק: /* שאלה מעניינת */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגיל 1 שאלה 3 ==

<math>\int{max(x,x^2)dx}</math> הבנתי שמדבור בפונקציה מפוצלת, אך לא מובן לי האם מצופה מאיתנו לבחור את המקסימום בין <math>x</math> ל <math>x^2</math> בכל נקודה או המקסימום בין האינטרגל שלהם?

:פונקציה המקס בכל נקודה נותנת את המקסימום בין הערכים שהיא מקבלת. על פונקציה זו עושים אינטגרל --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== כדאי להוסיף ==

מצאתי את ההוכחה של התרגיל שהופיע בתרגול של מתן פתאל (ההוכחה שלי יצאה בלתי אפשרית מבחינת האורך, סתם עשיתי בה סיבוב והגעתי לאותה הדרך...) אז כדאי להוסיף אותה למערכי תרגול:
http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%9E%D7%A9%D7%AA%D7%9E%D7%A9:%D7%90%D7%95%D7%A8_%D7%A9%D7%97%D7%A3/133_-_%D7%94%D7%A8%D7%A6%D7%90%D7%94/15.3.11

(לכל מי שהוא לא מתן, זהו האינטגרל - <math>\sqrt {x^2+a^2}</math> )

:אתה יותר ממוזמן להוסיף את זה למערכי התרגול. תעשה קופי-פייסט למקור של הדף (באמצעות עריכה) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== הוכחה שפונ' אינטג' בכל R ==

כשהפונ' לא רציפה בא0 נק', חייבים לעבוד עם (ההגדרה או אפסילונים)?
:באיזה הקשר?

== שיטת ההצבה ==

היי,
מובן לי כיצד להשתמש בשיטה אך לא מובן לי כיצד היא נובעת מכלל השרשרת:
(f(g(x))'=f'g(x)+g'(x)
אודה להסבר עד כמה שניתן מפורט במסגרת זו
תודה :)

כלל שרשרת זה: <math>(f(g(x))'=f'(g(x))\cdot g'(x)</math>.

ניתן לרשום את הנגזרת גם ככה: <math>\frac{d}{dx} g(x)</math> אם נציב g(x)=t אז יצא לנו
<math>\frac{dt}{dx}</math>.

ע"פ כלל השרשרת, בעצם מה שיוצא לנו זה:

<math>\frac{d}{dx} f(t)=\frac{d}{dt}f(t) \cdot \frac{d}{dx}t</math> ולכן אחרי העברת אגפים מה שיוצא לנו

<math>\frac{df(t)}{\frac{d}{dt}f(t) \cdot \frac{d}{dx}t }= dx </math>.

אבל הביטוי באינטגרל הוא <math>\int f(g(x))dx</math> ולכן מציבים:
<math>g(x)=t,dx=\frac{df(t)}{\frac{d}{dt}f(t) \cdot \frac{d}{dx}t } </math>

מקווה שעזרתי :)

== אינטגרל לנגזרת ==

אין משפט שכל נגזרת היא אינטגרבילית בתחום הגדרתה, נכון?
:לא, יש נגזרות שאינן חסומות בכלל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שכחתי נגזרות טיפה.... ==

מה זה הנגזרת של ARCTAN והנגזרת של ARCSIN ומה הנגזרת של ההופכי טנקס
:יש את וולפרםאלפא, יש את ויקיפדיה...

== עוצמות ==

מה עוצמת קבוצת כל הפונ' הממשיות:

1)האינטגרביליות-רימן?

2)הרציפות?

3)רבמ"ש?

4)חסומות?

וכו' - אין לי יכולת אפילו לגשת לבעיה. (אבל אינטואיטיבית האינטגרביליות והחסומות תהיינה כנראה שתיים בחזקת אלף)
:מישהו?

::לא יודע --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

לגבי רציפות ורבמ"ש התשובה היא <math>\aleph</math>.

אני מאמין שחסומות זה <math>2^{\aleph}</math>.

ולגבי האינטגרביליות רימן באמת שאין לי שמץ של מושג.
:תודה, אופיר. תוכל להסביר? מפתיע שאין באינטרנט תשובה לשאלה כה בסיסית.

::אני אסביר לך מחר, אבל זה כולל את קש"ב וחשבון עוצמות.

== atan ==

<math>\int_{0}^{-1}\frac{1}{1+x^2}dx=arctan(-1)=\left\{\begin{matrix}
-\frac{\pi}{4} \\
\frac{3\pi}{4}
\end{matrix}\right.</math>

וולפראם אומר שהראשון. זה בגלל האי-רציפות באמצע? למה?
: הסבר: <math>\int_{0}^{-1}\frac{1}{1+x^2}dx=-\int_{-1}^0\frac{1}{1+x^2}dx=-arctan1</math> אבל מצד שני מתקיים <math>tan(-\frac{\pi}{4})=tan(\frac{3 \pi}{4})=-1</math>

::התשובה הנכונה היא: <math>-\frac{\pi}{4}</math> כי התמונה של הארקטנגנס היא <math>(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math>

:::לב, זה לא עזר. השורה הראשונה שגוייה, השורה השנייה היא לא נימוק. מישהו?

::::באיזה תחום זו הנגזרת של arctan? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

:::::אם נגדיר את פונק' ה<math>arctan</math> כך שהיא תחזיר ערכים במרווח <math>(\pi/2, 3 \pi/2)</math>, האם אתה טוען שהנגזרת שלה כבר לא תהיה <math>\frac{1}{1+x^2}</math>?

::::::לא חשוב, הסתדרתי לבד -- בכל תחום שנבחר, הארקטנגנס של 0 גם כן ישתנה בהתאם, כמובן (במקרה שציינתי הוא <math>\pi</math>), ולכן טריוויאלי להראות שתמיד תצא אותה תשובה, ללא תלות בהגדרתנו את ה<math>arctan</math>. (נובע ישירות מהיותה של טנגנס מחזורית)

== אינטגרל לנגזרת 2==

כל נגזרת חסומה היא אינטגרבילית בתחום הגדרתה?

:האמת שאני לא בטוח... השאלה היא אם ניתן ליצור נגזרת עם מספיק נקודות אי רציפות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== נפח סיבוב ==

כדי לחשב נפח סיבוב פונ׳ חח״ע סביב ציר ה-'''y''', צריך למצוא את הנפח של <math> y^{-1} </math> סביב ציר x?
:כן --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 3 שאלה 5 ==

את איזה מהתנאים לא מקיימת הפונ' 0?
:אופס, שכחתי נתון (: תודה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 3 שאלה 1 ==

סעיף ב'
הפונקציה גזירה ברציפות או פשוט גזירה?
:הוספתי ברציפות, אמנם אני לא בטוח שזה נחוץ, מטרת התרגיל אינה להתעסק באינטגרביליות של הנגזרת. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::פשוט בשביל להיות בטוח שהאורך קיים(זאת אומרת פונקציית האורך אינטגרבילית)
:::אני מבין, אבל ייתכן (לא חשבתי על זה לעומק) שבכל מקרה יהיה קיים קטע בו הנגזרת אינטגרבילית והאורך גדול. למשל בקטע בו הנגזרת רציפה ושואפת לאינסוף... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::::איך יכול להיות פונקציה בקטע סופי כלשהו השואפת לאינסוף שהיא רציפה?
:::::אחד חלקי איקס בקטע הפתוח בין אפס לאחד --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== אפשר הסבר מה זה פונקציה רציונלית כאילו ==

מה זה פונקציה שהיא לא רציונלית

:קראת את הדף על הצבות אוניברסאליות? זה מוגדר שם באופן מדוייק. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== בקשר להצבות באינטגרלים לא מסוימיים ==

לעיתים די קרובות מציבים באינטגרלים לא מסוימיים דברים כמו x=cos(t) אבל אני לא מבין איך זה נכון הרי cos(t) הוא חסום וx לא
כמובן שזו הייתה רק דוגמא אז באופן יותר כללי, למה מותר להציב באינטגרל לא מסוים משהו חסום במקום משהו לא חסום?
ובאופן כללי האם כל ההצבות חוקיות באינטגרלים לא מסוימים?

:שאלה טובה, מה שנקרא. מותר לבצע הצבות כאלה רק בתחומים בהם פונקציית ההצבה הפיכה (הרי משתמשים בנגזרת של הופכית). פרקטית, ייתכן וההצבה '''חוקית''' רק בתחום מסויים, אבל פונקציה התוצאה הינה פונקציה '''קדומה''' בכל התחום. כלומר, מספיק לגזור את התוצאה ולראות שהיא אכן קדומה, הדרך "לנחש" אותה פחות רלוונטית. זו גם הסיבה שאנחנו פחות שמים דגש על הנושא הזה, המטרה העיקרית של אינטגרלים היא למצוא פונקציה קדומה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1 שאלה 2 ==

לא הבנתי מה צריך להתקיים בעניין משפט ערך הביניים בהקשר לאינטגרלים? אמרנו את זה בתרגול?
תודה.
:לא למדנו על תכונת ערך הביניים של הנגזרת, זה נשאר בפתרונות משנים קודמות --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 2 א ==

בפתרונות לא הבנתי איך ניתן לקפוץ מכך שקיים i שמקיים את מה שכתוב שם, לכך שזה סכום מ i עד 2 בחזקת n? הרי אולי קיים k שלא מקיים את זה ואז זה לא נכון? מקוה שהשאלה מובנת... תודה.
:זה בעייה בשפה העברית. כאשר הוא כתב "קיים" הוא למעשה התכוון "מתקיים". זה נכון לכל i --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== הסבר סימון- הצבות אוניברסליות ==

שלום,

אפשר הסבר על משמעות הסימון בדף "הצבות אוניברסליות"?
הסימון שלא ברור לי הוא לדוג': אינטגרל של R
x , שורש a^2-x^2 שזאת ההצבה לx=asint (סורי טרם למדתי לכתוב בlatex) אפשר הסבר לסימון? איך זה נראה בפועל אינטגרל של מה? יש לי היכרות עם מקרים פרטיים של ההצבה ואשמח להבין את הסימון הכללי.
תודה.

מצ"ב קובץ הצבות אוניברסליות הנדון: http://math-wiki.com/images/e/e5/09Infi2Universal.pdf
:הסימון <math>R(x,y)</math> מכוון לפונקציה רציונאלית כפי שמוסבר בראש הדף. דוגמא:

::<math>R(x,sinx) = \frac{x^7sin^4x+xsinx+5}{sin^3x-x^3}</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מוזרות ==

<math>\frac{-arctan(1-\sqrt2 tan(x))+arctan(1+\sqrt2 tan(x))}{\sqrt2}</math> ,<math>\frac{arctan(\frac{tan(2x)}{\sqrt2})}{\sqrt2}</math> הן קדומות של <math>\frac{1}{cos^4(x)+sin^4(x)}</math> אבל הן לא נבדלות בקבוע. איך זה ייתכן? תודה.

:מי אמר שהן לא נבדלות בקבוע? בגלל שיש להן הצגה שונה? האם <math>cos^2+sin^2</math> לא נבדל בקבוע מקבוע? תציד במחשבון... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::בדקתי וראיתי שהם חופפים בתחומים מסוימים אבל לא נבדלים בקבוע.

:::הפונקציות רציפות למקוטעין. ייתכן שעל כל קטע רציפות הן נבדלות בקבוע? הרי ניתן להזיז את הקדומה בכל קטע, הרי אילו פונקציות קדומות רק בקטעי הרציפות --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 3 של השנה שעברה ==

http://math-wiki.com/images/e/e6/09Infi2sol3.pdf

1)איך המילה תרפיה קשורה לסוף פתרון 1א? הם מתכוונים לכך שהשרטוט הוא מעין ריפוי בעיסוק?

2) לדעתי x=-1 היא מקסימום, בניגוד למה שרשמו.

:אני לא רואה את הדברים האלה בשאלה 1a יכול להיות שהתבלבלת או שאני מפספס? בכל אופן, תרפיה בתרשים היא אכן סוג של ריפוי בעיסוק. אולם זה יותר כמו העיסוק של סריגת סוודר כאשר קר לך, מאשר סריגת סוודר כאשר אתה כועס על מישהו --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
:: 2א*.

:::כן, זו אכן נקודת מקסימום ולא מינימום, ובנוסף אפס הינה נקודת מינימום. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלות לתרגיל 4 ==

'''א.''' האם בשאלה אחת מותר להשתמש בעובדה, שהקו הקצר ביותר שמחבר שתי נקודות הוא קו ישר?

'''ב.''' לגבי שאלה 5: הפונקציה רציפה על כל הממשיים (או לפחות בקרן החיובית), נכון?

השאלה השנייה באמת דבילית, אנא התעלם ממנה ><

:א. לא, אי אפשר להשתמש בתכונה הגיאומטרית הזו, אני רוצה פתרון באמצעות אינטגרלים. באותה מידה הייתי יכול לנסח את השאלה עם נוסחאת האינטגרל של העקומה, אבל בחרתי להתחכם.

:ב. בשמחה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::איך בעצם מגדירים אורך עקומה מבחינה פורמלית?

:::האינטגרל של שורש של 1 ועוד הנגזרת בריבוע. מוגדר עבור פונקציות גזירות ברציפות --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::::אבל שאלת לגבי פונקציות רציפות, האם יש הגדרה אחרת?

:::::לא הפונקציות גזירות ברציפות, תסתכל (troll face) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

:::::: המשפט הקודם הוא דוגמה טובה לחשיבות הפיסוק.

'''ג.''' בשאלה 3ב', זה אמור להיות <math>(-lnx)^{\alpha}</math>, נכון?

== השערה נחמדה ==

תהי f פונ' חסומה בקטע <math>[a,b]</math>. אזי היא אינטגרבילית-רימן בקטע אםם קיים <math>I \in \mathbb{R}</math> כך שלכל <math>\epsilon >0</math> קיימת <math> \delta >0</math> כך שלכל חלוקה אינסופית <math>T=\left \{ x _i \right \}_{i=0}^\infty
</math> של <math>[a,b]</math> עם פרמטר <math>\lambda (T)<\delta</math>, לכל בחירת נקודות <math>\left \{ \xi _i \right \}_{i=0}^\infty </math> כך ש <math>\xi_i \in \Delta x_i</math>, מתקיים שאם הסכום מהצורה <math>\sum_{i=1}^{\infty} f(\xi _i)\Delta x_i</math> מתכנס, אז
<s>הוא </s>
מרחקו מ-I קטן מאפסילון.

*הערה: קבוצה <math>T=\left \{ x _i \right \}_{i=0}^\infty \subseteq [a,b]</math> תיקרא חלוקה אינסופית של הקטע <math>[a,b]</math> אם מתקיים <math>x_i < x_{i+1} \; \wedge \; x_0=a \; \lim_{n \to \infty }x_n=b</math>.

*וכמובן, <math>\lambda (T) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}max\left \{ \Delta x_i \right \}</math>

:תסתכל על פונקציה קבועה זו הפרכה. אולי התנאי היותר מתאים הוא שהטור שהצעת פשוט מתכנס למספר כלשהו. ואז זה יותר מתקרב בעצם להגדרה של אינטגרל רימן רגיל.
::האר עיניי; אני לא רואה מהי ההפרכה. הרי אגף ימין ברור, ולאגף שמאל תמיד נקבל <math>\sum_{i=1}^{\infty} f(\xi _i)\Delta x_i=\sum_{i=1}^{\infty} c\Delta x_i=c\sum_{i=1}^{\infty} \Delta x_i=c(b-a)</math> שמרחקו מ-I הוא זהותית 0.

:::ההפרכה הייתה כשאמרת שהסכום קטן מאפסילון, כי אחרת זו לא ממש הפרכה. זה משהו שנורא דומה לסכומי רימן רגילים, כאילו גבול של סכומי רימן כאלו.
::::התכוונתי למה שכתוב עכשיו -- כדי להכליל ישירות את ההגדרה. שאלתי את ד"ר שיין לפני כמה שיעורים, והוא פשוט אמר לי לנסות.

הוקפץ לפי בקשת ארז. (זאת בטח תהיה הוכחה ישירה, אני פשוט לא מצליח את הפרטים)

:אם הפונקציה אינטגרבילית רימן, ניקח את מספר סופי של נקודות מהחלוקה כך שהקטע הנותר כפול החסם של הפונקציה קטן מאפסילון חלקי שתיים. לפי האינטגרביליות החלוקה הסופית קרובה עד כדי אפסילון חלקי שתיים ולכן סכום הטור צריך להיות האינטגרל.

:אם היא אינה אינטגרבילית, יש לה אינטגרל עליון ותחתון שונים. אלה ישרו טורים המתכנסים לסכומים שונים באופן דומה.

:נראה לי... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::אז הדרישה שהפרמטר של החלוקה יהיה קטן מספיק הייתה מיותרת? אני לא רואה איפה היא נכנסה אצלך. בכל אופן, הכיוון הראשון משכנע.

:::סתם שאלה, מה ההגדרה הזו נותנת שההגדרה של רימן לא?

::::זה הגיוני שהדרישה על פרמטר החלוקה מיותרת. הרי יש תנאי לאינטגרביליות מהצורה- אם לכל אפסילון קיימת חלוקה יחידה T כך שההפרש בין סכום הדרבו העליון לתחתות על חלוקה זו הוא אפס. בגלל שאנחנו אומרים שכל הטורים מתכנסים זה אומר שההפרש בין העליון לתחתון שואף לאפס וזה מספיק.

::::אני מניח שיהיה אפשר לסתור באמצעות זה דברים, אני לא יודע אם משהו שאי אפשר להשתמש ברימן עבורו. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== נפחים ==

באילו תנאים על פונ' אינטג' f מוגדר נפחה סביב הציר y=x? איך מחשבים אותו?

מה לגבי ישר כללי?

:(אני חושב שלגבי כל ישר למעט הצירים זה מוגדר אםם f היא חח"ע, אבל זאת סתם אינטואיציה)

::נהוג להגדיר נפח עבור פונקציה רציפה, אבל מספיק שהפונקציה בריבוע תהא אינטגרבילית על מנת לחשב את הנוסחא: <math>\pi\int_a^bf^2</math>.

::לגבי הנפח סביב ישר כלשהו: סה"כ צריך להוריד את משוואת הישר מהפונקציה, זה "מפיל" את הפונקציה לציר x בדומה להוכחת משפט לגראנז'. אם רוצים סיבוב סביב ציר y צריך להסתכל על איקס כפונקציה של y. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
:::תודה.

== שאלה מעניינת ==

הוכח כי לכל n טבעי מתקיים:
<math>\int_{0}^{\infty} \frac{sin^{2n+1}x}{x}dx=\frac{1}{4^n}\begin{pmatrix}
2n\\
n
\end{pmatrix} \int_{0}^{\infty} \frac{sin x}{x}dx</math>
חשבתי על הוכחה עם אינדוקציה... אני לא בטוח אבל

שיחה:88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/אינטגרלים

2012-05-20T18:43:09Z

לב זלוטניק: /* שאלה מעניינת */ פסקה חדשה

שיחה:88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 4/פתרון

2012-05-17T21:04:39Z

לב זלוטניק:

אבל למה? ;_(

:למה מה?

:: למה העלת כל כך מוקדם?

שיחה:88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 4/פתרון

2012-05-17T20:36:56Z

לב זלוטניק: יצירת דף עם התוכן "אבל למה? ;_("

אבל למה? ;_(

שיחה:88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/כלליות

2012-05-15T20:23:36Z

לב זלוטניק: /* תרגיל 4 */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=
== למה לא לומדים כלום? ==

הקצב הוא בערך רבע ממה שהיה בסמסטר א'. זה ישאר ככה?
:כרגע אין תרגול. ואולי זה נראה לאט כי חקירת פונקציות נראית ברורה. בכל אופן נושאי הקורס מופיעים (פחות או יותר) במערך התרגול --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מי המתרגילים של הקורס הזה? ==

תודה
:כך נכתב באתר האוניברסיטה (פריא"ל ומידע אישי):
::בקבוצה של פרופ' אגרנובסקי: ארז שיינר ואורפז תורג'מן.
::בקבוצה של ד"ר שיין: ארז שיינר.
::בקבוצה של ד"ר הורוביץ: מתן פתאל.
:מקווה שעזרתי. [[משתמש:gordo6|גל]].

== שאלה 2.ב. עמ' 291 במיזלר ==

צ"ל:<math>\int \frac{dx}{e^{2x}+e^{x}-6}</math>. אפשר עזרה? פירקתי לשברים חלקיים ואין לי מושג מה הלאה
:הייתי מכפיל את המונה והמכנה ב-e^x, ואז מציב t=e^x. אחרי זה הייתי משתמש בשיטת פירוק לשברים חלקיים וממשיך כרגיל, ואז זה הרבה יותר קל. מקווה שעזרתי. [[משתמש:Gordo6|גל]].
תודה על העזרה... יצא תרגיל ארוך :P

== יש בסוף בוחן שבוע הבא? ==

לא הבנתי
:נבדוק את העניין --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה 2 תרגיל 1 ==

נניח <math>f(x)</math> פונקציה מוגדרת על הקטע <math>[a,c]</math>, וקיימת לה פונקציה קדומה בקטעים <math>[a,b];(b,c]</math>. הפונקציה הקדומה של <math>f(x)</math> זה לא: <math>F(x)=\begin{cases}
\int f(x_{1})dx_{1} & \text{ if } x_{1}\in [a,b] \\
\int f(x_{2})dx_{2} & \text{ if } x_{2}\in (b,c]
\end{cases}</math> ?
:באם אענה לך תשובה מלאה לעניין אסגיר את הפתרון לשאלה (לפחות כפי שעולה כרגע בעיני רוחי). ממליץ לבדוק את תכונות הפונקציה בנקודה x=b, והאם הן תתקיימנה לכל פונקציות ולכל קטע שנקח. האם תמיד תתקיים רציפות? האם תמיד תתקיים גזירות? אכוון אותך ואומר לך: מהו תנאי הכרחי לגזירות? מה יקרה אם הוא לא ייתקיים בנקודה מסויימת בקטע? באיזו נקודה זה לא ישפיע על הנתונים? (אם בכלל קיימת כזו). התשובה לשאלה שלך תלויה בתשובה לשאלות אלו. [[משתמש:gordo6|גל]].

== לאיזו קבוצה/ות האתר מיועד(בנושא אינפי 2)? ==

תיכוניסטים, מתמטיקאים, מדמ"ח וכו'...
:כולן--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה 3 ==

<math>formula</math>אם אני מבין נכון הפונקצייה שבתוך סימן האינטגרל מקבלת את הערך של X ל-X גדול מ-X בריבוע שזה מתקיים ל-X בין 0 ל-1 ושל X בריבוע כאשר X בריבוע גדול מ-X שזה מתקיים ל-X גדול מ-1 או קטן מ-0.
כדי לקבל פונקצייה שניגזרתה היא הפונקצייה הנ"ל צריך להגדיר שהיא תהיה שווה ל- X בריבוע חלקי 2 לכל X בקטע [0,1] ול-X בשלישית חלקי 3 לכל X שמחוץ לקטע זה.
לפונקצייה זו יש ניגזרת ימנית בנקודה X=1 השווה ל-X בריבוע וניגזרת שמאלית השווה ל-X לכן היא איננה גזירה בנקודה זו. לכן פונקצייה זו אינה יכולה להיות פונקצייה קדומה לפונקצייה הנ"ל.
האם נכון לומר שלפונקציה הנ"ל אין פונקצייה קדומה?
:דבר ראשון, אין זו שאלה בנושא אינטגרלים? מדוע היא בשאלות כלליות?
:שנית, אין כזה דבר "הנגזרת בנקודה אחת היא איקס בריבוע". נגזרת בנקודה היא מספר ממשי, או לא קיימת. ניתן לפי הגדרת הנגזרת (בעזרת גבולות) להוכיח שהפונקציה אינה גזירה אם זה מה שאתה חושב, או להוכיח שהיא כן גזירה (אם זה מה שאתה חושב) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== חובת הגשת תרגילים ==

יש חובת הגשה?
:לא--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::לאף אחד אין? גם לא למדעי המחשב?
:::אל תתחכמו, אני לא המתרגל שלכם (: --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== למתי צריך להגיש את התרגיל הראשון? ==

תודה
:שבוע הקרוב או הזה שאחריו --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== אינפי 1- מערכי תרגול סדרות ==

היי,
כאן שואלים על מערכי התרגול של אינפי 1, נכון?
במידה וכן, במערך התרגול הבא: http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_אינפי_1_סמסטר_א%27_תשעב/מערך_תרגול/סדרות/גבול
בתרגיל לגבי שלילת הגבול העוסק בסדרה (1-) בחזקת n: האם ניתן להימנע מההנחה כי L אי שלילי ע"י שימוש באי שוויון המשולש

::לא...פה זה אינפי 2 D:

::אבל אני אענה לך בכל זאת. הוכחת התרגיל נעשתה בשיטת ההוכחה בשלילה, כלומר - מניחים משהו ואז מראים שבכל מקרה תצא סתירה - כלומר שההנחה שגויה,וזה אומר שהיא לא נכונה.

::אפשר,אך הדרך שבה פתרו מקלה עלינו לפתור. --[[משתמש:Arielipi|Arielipi]] 10:27, 29 במרץ 2012 (IST)

:::אממ..אני לא חושבת שהבנת למה התכוונתי- אין לי בעיה עם העובדה שהניחו בשלילה. יש לי בעיה עם ההנחה הנוספת. ש L אי שלילי. אתה לא חושב שלהפעיל אי שוויון המשולש יותר פשוט מלהניח הנחה נוספת? לדעתי אם מתאפשר אז עדיף.

::::אי שיוויון המשולש ייתן לך ביטוי גדול יותר, אבל אתה מחפש ביטוי קטן יותר. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
:::::אויש נכון..תודה. אגב, איפה לשאול שאלות על המערכים מעתה והלאה?

::::::האמת שבהתחלה לא הבנתי, ואז הבנתי ולכן השורה השניה שכן מתייחסת למה ששאלת באמת. שאלות בנוגע למערכי תרגול באינפי 1: [[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב|כאן.]] אינפי 2: [[שיחה:88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|כאן.]] --[[משתמש:Arielipi|אריאל]]

== למה אין שיעורי בית? ==

אנחנו לא ניהיה מוכנים לבחנים!!!
:1. יש תרגילים בשנים קודמות, 2. יהיה תרגיל 2 בקרוב, ממילא רק מתחילים את החומר שעוקף את תרגיל 1. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::באמת נראה לך שיתנו בחנים על חומר שלא למדו?
:::אממ..... כן!!! בודאות ההיפך זה עושה להם טוב בלב
::::יין ישמח לבב אנוש, ונכשל ישמח לב אבן של מתרגל --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
:::::LOL, אני לא יודע מה מצחיק יותר: מה שארז כתב או חוסר ההיגיון שבתגובה "באמת...".
::::::השאלה מה קורה עם מתרגל עם לב אבן ששתה יין...
:::::::ההנחה היא שאם לא ציינת אז כלום לא קרה עם נכשלים, ולכן פשיטא שאם מתרגל הוא אנוש אז הוא ישמח.
::::::::אבל לכל בן אנוש לב רגיל, לכן החיתוך בין בני האדם והמתרגלים הוא קבוצה ריקה, לכן מתרגל לא ישמח
:::::::::לא נכון. לא כתוב בשום מקום שלכל מתרגל יש לב אבן, אלא רק שאם למתרגל יש לב אבן, אז...
:::::::::ובאותו אופן, אפילו אם היה כתוב זאת, עדיין טיעונך היה קורס, שכן לא טענו שרק בני אנוש שמחים עקב שתיית יין. לסיכום, אם עברת כבר סדנת לוגיקה, את/ה בבעיה :) [וגם אם לא]

== הוכחת משפט דארבו ==

הוכחנו אותו בכיתה? או שסתם צריך להכיר?

== בחנים ==

מתי ידעו את התאריכים של הבחנים?
צריך לדעת להיערך מראש, לתכנן את הלו"ז, לא יכולים להודיע לנו על הדקה האחרונה

קבעו את הבוחן ליום חמישי ה-3.5 אבל כעת רושמים שזה שבוע אחרי.
יש אפשרות לעשות את זה בכל זאת ביום חמישי הקרוב? שבוע הבא יום חמישי הוא ל"ג בעומר.
:אז מה אם זה ל"ג בעומר? זה בשעה שש בערב שאחרי יום המדורות. התאריך הזה נוח יותר למרבית התלמידים, ולכן הזזנו את הבוחן בשבוע --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== הבוחן הבא עלינו לטובה ==

מהם התרגולים עליהם יהיה הבוחן?
האם הנושא של אינטגרלים לא אמיתיים יהיה כלול בבוחן? ועוד נושאים שבאים אחרי האינטגרלים הלא אמיתיים?
מה מבנה הבוחן?

תודה רבה
:הכל כתוב בהודעות --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== חקירת פונקציות ==

בפונקציה זוגית/אי זוגית, האם ניתן לומר שהפרש אי זוגיות היא אי זוגית? איך 'מוכיחים' אי זוגיות? וכן להיפך לזוגיות.
תודה.
:הכלל הוא פשוט להוכחה והוא גם יענה לך על השאלה. כאשר אתה רוצה לקבוע (להוכיח) שפונקציה הינה זוגית (למשל) אתה מוכיח את ההגדרה- <math>\forall x:f(-x)=f(x)</math>. אתה רוצה לבדוק לגבי סכום? בדוק למה שווה <math>(f+g)(-x)</math>

[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:02, 7 במאי 2012 (IDT)

== הבוחן - דרך ניקוד ==

שלום ארז, היום אמרת לי שיש 10 שאלות וכל אחת היא 15 נקודות. האם צריך להגיע ל150 נקודות בשביל שזה ייחשב כ-100, או ליותר מ-100?
:[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%AA%D7%A2%D7%A8_%D7%A9%D7%9C_%D7%90%D7%95%D7%A7%D7%9D תערו של אוקאם] - ההסבר הפשוט ביותר הוא הנכון. יש 10 שאלות... מה היה הניקוד לכל שאלה אם פתרון של כל השאלות מקנה 100 נקודות? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
:: 10 (נכון רואים שלמדתי בסמסטר הקודם הרבה?)

== שרשור תלונות על השאלה הבלתי פתירה בבוחן ==

במקום שכל אחד יכתוב הודעה נפרדת, כאן יהיה המקום המסודר לבכות שזה לא הוגן, לקח לנו את כל הזמן והיה הדבר היחיד שמנע מאיתנו לענות על כל השאר נכון.
:למה אף אחד לא אמר כלום בזמן המבחן?? (: --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::לפחות אצלנו, לא היית נוכח פיזית רוב זמן הבחינה. ובהתחלה כשהיית, התעסקנו במה שאפשר לפתור ולא במה שלא.
וגם חשבנו שתגיד שזה פתיר וזה קל עד שראינו שWOLFRAM לא פתר את זה!!!!!!!,שיינר אני מציע כדי ליישב את העניין תתן לכל אחד 15 נקודות פקטור כי זה באמת לא הוגן זה לקח מאיתנו זמן ומחשבה והתיש אותנו נפשית.ושיינר איך היינו אמורים לדבר איתך כשהיית אצלנו 5 דקות והלכת?
:למה רק 15 ולא 150? (הפתרון האידאלי יהיה בוחן חוזר, של ארבע-חמש שאלות לפני התרגול הבא, אבל זה לא יקרה)
למה בוחן חוזר? לי מספיק הבוחן שעשיתי ואין לי כח לעוד בוחן ו15 נקודות על שאלה שאבדה...
שיינר לא אתה זה שאמר לי פעם שמרצים לא יודעים לפעמים לפתור שאלות שהם נותנים במבחן?

אני בעד שכל אחד יקבל קופסה עם פרלינים בתור פיצוי ו 15 נקודות

בכיינים. השאלה הייתה טעות, האינטגרל היה בכוונה קשה, אבל היה אמור להיות פונקציה אי זוגית ולכן אפס, ובמקום זאת שמתי פונקציה זוגית. לגבי החמש דקות שהייתי אצלכם... הן היו אחרי חצי בוחן. בקיצור, מי שבזבז זמן על לנסות לפתור שאלה קשה, סימן שהוא לא מבין את ההבדל בין שאלה קשה לקלה. על כן '''מגיעות לו''' פחות נקודות, זה בעצם היה בכוונה וזהו. שוקולד תקבלו בלי קשר --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== המועדים של שני הבחנים הבאים ==

האם נוכל לדעת מתי הם יתקיימו?

== הבוחן שהיה ==

תוכלו להעלות את הבוחן ופתרונו לאתר?
:כן --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::שאתה אומר כן, זה אומר שהסטודנטים יעשו את זה או שאתה?

== תרגיל 4 ==

בשאלה 1 לא נתון כלום על גזירות הפונקציה בקטע. לא ניתן להסיק כלום על אורך הקטע.

אינטגרל לא מסויים/דוגמאות

2012-04-30T20:58:23Z

לב זלוטניק: /* פתרון */

==1==
<math>\int \frac{1}{x} dx = ln|x|+c</math>

==2==

<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-5}}</math>

===פתרון===

'''השלמה לריבוע והצבה ראשונה:'''

הדבר הראשון שנעשה הוא התהליך של השלמה לריבוע, שבסופו נקבל כי:

<math>x^{2}-4x-5=(x-2)^{2}-9</math>

ולכן ההצבה הראשונה שנעשה תהא: <math>u=x-2</math>, וכמובן קל להבין כי <math>dx=du</math>.

<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-5}}=\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-9}}</math>

'''פונקציות טריגונומטריות היפרבוליות (הערה):'''

ניעזר בתכונות של <math>sinh(x)</math> ושל <math>cosh(x)</math>:

<math>(cosh(x))'=sinh(x)=\int cosh(x)dx</math>

וכן בזהות: <math>cosh^{2}(x)=sinh^{2}(x)+1</math>

'''הצבה שנייה:'''

נציב: <math>u=3cosh(t)\Rightarrow du=3sinh(t)dt</math>

<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-5}}=\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-9}}=\int \frac{3sinh(t)dt}{\sqrt{9cosh^{2}(t)-9}}=\int \frac{3sinh(t)dt}{3sinh(t)}=\int dt=t+C</math>

ולהחזיר את t לx, אני משאיר לכם (:

==3==

האינטגרל הבא לקוח מספר התרגילים של בועז צבאן (1.24, אם אינני טועה)

<math>\int \frac{sin^{2}(x)}{cos^{6}(x)}dx</math>

===פתרון===
<math>\int \frac{sin^{2}(x)}{cos^{6}(x)}dx=\begin{Bmatrix}
t=tanx\\
dt=\frac{dx}{cos^{2}(x)}
\end{Bmatrix}
=\begin{Bmatrix}
sin^{2}x=\frac{t^{2}}{t^{2}+1}\\
cos^{2}x=\frac{1}{t^{2}+1}
\end{Bmatrix}
=\int \frac{\frac{t^{2}}{t^{2}+1}}{\frac{1}{(t^2+1)^{2}}}dt=</math>

<math>\int \frac{sin^{2}(x)}{cos^{6}(x)}dx
=\int \frac{\frac{t^{2}}{t^{2}+1}}{\frac{1}{(t^2+1)^{2}}}dt=\int t^{2}(t^{2}+1)dt=\cdots =\frac{t^{5}}{5}+\frac{t^{3}}{3}+c</math>

:: יש טעות בהצבה של <math>cos^{2}x</math>, שכן <math>cos^{6}x=(cos^{2}x)^3=\frac{1}{(t^2+1)^3}</math>

::: אבל צריך לקחת בחשבון גם את הdt
:::: צודק. נראה לי שאם אני לא ראיתי את זה, גם אחרים לא יראו ;)

==4==

בדומה לאינטגרל הקודם, לקוח מבועז צבאן (1.27)

<math>\int \sqrt{2-x-x^{2}}dx</math>

===דרך א'===

'''א.''' ניתן להשתמש בהצבת אוילר, אבל אנחנו ננקוט בטקטיקה שונה.

<math>\int \sqrt{2-x-x^{2}}dx=\int \sqrt{1.5^{2}-(x+0.5)^{2}}dx=\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du</math>

הצבה ראשונה: <math>u=x+0.5\Rightarrow dx=du</math>

הצבה שנייה: <math>u=1.5sint\Rightarrow du=1.5costdt</math>

ואם נחזור לחישוב האינטגרל,

<math>\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=\int 1.5\sqrt{1-sin^{2}(t)} \cdot 1.5cos(t)dt=2.25\int cos^{2}(t)dt=2.25\int\frac{cos2t-1}{2}dt=2.25(\frac{sin2t}{4}-\frac{t}{2})+c </math>

ומכאן מעבירים את t לx.

===דרך ב'===

ההצבה הראשונה נשארת כפי שהייתה, אך הפעם לא נעשה הצבה שניה אלא נשתמש באינטגרציה בחלקים:

<math>\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=\int (u)'\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=u\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}+\int \frac{u^{2}du}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}</math>

כעת נוכל להבחין כי מתקיים:

<math>\int \frac{u^{2}du}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}=\int \frac{u^{2}-1.5^{2}+1.5^{2}}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}du=\int\frac{1.5^{2}}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}du-\int\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du </math>

כעת נביט רק על האינטגרל הראשון ונציב: <math>1.5v=u</math>

<math>\int\frac{1.5^{2}}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}du=1.5^{2}\int \frac{1.5dv}{1.5\sqrt{1-v^{2}}}=1.5^{2}arcsin(v)=2.25arcsin(\frac{2u}{3})+c </math>

אם נחזור לאינטגרל המקורי נקבל:

<math>\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=u\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}+2.25arcsin(\frac{2u}{3})-\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du </math>

<math>2\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=u\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}+2.25arcsin(\frac{2u}{3})+c</math>

וסיימנו (:

==5==

אינטגרל חביב שנלקח ממבחן בחדו"א בב"ג (של מדעי המחשב)

<math>\int \frac{dx}{x+\sqrt[n]{x}}</math> כאשר <math> n\in\mathbb{N}</math>.

===פתרון===

הכוונה היא עבור n>1, עבור n=1 תסתכלו בדוגמא הראשונה.

<math>\int \frac{dx}{x+\sqrt [n]{x}}=\begin{Bmatrix}
t^{n}=x\\
nt^{n-1}dt=dx
\end{Bmatrix}
=\int \frac{nt^{n-1}}{t^{n}+t}dt=n\int \frac{t^{n-2}}{t^{n-1}+1}dt=
\begin{Bmatrix}
k=t^{n-1}+1\\
dk=(n-1)t^{n-2}dt
\end{Bmatrix}=</math>

<math>\int \frac{dx}{x+\sqrt [n]{x}}=\frac{n}{n-1}\int \frac{dk}{k}=\frac{n}{n-1}ln|k|+c= \frac{n}{n-1}ln|x^{\frac {n-1}{n}}+1|+c</math>

==6==

<math>\int \frac{arctan(e^{x})}{e^{x}}dx</math>

===פתרון===

ניעזר באינטגרציה בחלקים.

<math>\int \frac{arctan(e^{x})}{e^{x}}dx=\int arctan(e^{x})e^{-x}dx=\begin{Bmatrix}
du=e^{-x}dx\Rightarrow u=-e^{-x}\\
v=arctan(e^{x})\Rightarrow dv=\frac{e^{x}dx}{1+e^{2x}}
\end{Bmatrix}
=-e^{-x}arctan(e^{x})+\int\frac{dx}{1+e^{2x}}</math>

פתאום זה נראה יותר אנושי, כעת נסתכל על האינטגרל שנותר:

<math>\int\frac{dx}{1+e^{2x}}=\begin{Bmatrix}
t=e^{2x}\\
dt=2tdx
\end{Bmatrix}=
\int \frac{dt}{2t(1+t)}=\int \frac{dt}{2t}-\int \frac{dt}{2t+2}=0.5(ln|2t|-ln|2t+2|+c)=0.5ln(2e^{2x})-0.5ln(2e^{2x}+2)+c</math>

כל שנותר הוא לאחד את התוצאות, ולקבל את התוצאה הסופית.

==7==

<math>\int \frac{\sqrt{x^{2}-16}}{x}dx</math>

===פתרון===

נעשה את ההצבה הבאה: <math>x=\frac{4}{cosu}\Rightarrow
dx=\frac{4sinu}{cos^{2}u}du</math>

<math>\int \frac{\sqrt{x^{2}-16}}{x}dx=\int \frac{\sqrt{\frac{16}{cos^{2}u}-16}}{\frac{4}{cosu}}\cdot \frac{4sinu}{cos^{2}u}du=\int 4tan^{2}udu=\int (4tan^{2}+4-4)udu=4tanu-4u+c</math>

תחזירו לx לבד, בכל מקרה אני עצלן ואף אחד לא יקרא את זה!

==8==

אחד קליל מהחוברת של בועז (:,

<math>\int \frac{dx}{x}ln\frac{1}{x}</math>

===פתרון===

<math>\int \frac{dx}{x}ln\frac{1}{x}=-\int \frac{lnx}{x}dx= -\frac{ln^{2}x}{2}+c</math>

==9==

<math>\int \frac{arcsinx}{x^{2}}dx</math>

===פתרון===

ראשית נפעיל אינטגרציה בחלקים כאשר: <math>v=arcsinx,du=\frac{dx}{x^{2}}</math>

<math>\int \frac{arcsinx}{x^{2}}dx=-\frac{arcsinx}{x}+\int \frac{dx}{x\sqrt{1-x^{2}}}</math>

כעת נחשב את האינטגרל השני שקיבלנו:

<math>\int \frac{dx}{x\sqrt{1-x^{2}}}=\begin{Bmatrix}
x=cosu\\
dx=sinudu
\end{Bmatrix}=
\int \frac{sinu}{cosu\sqrt{1-cos^{2}u}}du=\int \frac{du}{cosu}=</math>

וכעת ניעזר בהצבה האוניברסלית כדי למצוא את האינטגרל החדש:

<math>\int \frac{du}{cosu}=\int \frac{2}{1+t^{2}}\cdot \frac{1+t^{2}}{1-t^{2}}dt=\int \frac{2dt}{(1+t)(1-t)}=\int\frac{dt}{1-t}+\frac{dt}{1+t}=ln|1+t|-ln|1-t|+c=ln\frac{1+t}{1-t}+c</math>

כרגיל להחזיר ולהנות (:

==10==
<math>\int x^2\sqrt{a^2-x^2}dx</math>

הצבה <math>x=asin(t)</math>

==11==
<math>\int x^2\sqrt{a^2+x^2}dx</math>

הצבה היפרבולית <math>x=asinh(t)</math>.

[http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function נוסחאות לפונקציות היפרבוליות]

==12==
<math>\int \frac{sinx\cdot cosx}{\sqrt{asin^{2}x+bcos^{2}x}}dx</math>

===פתרון===

<math>\int \frac{sinx\cdot cosx}{\sqrt{asin^{2}x+bcos^{2}x}}dx=\int\frac{sinx\cdot cosx}{\sqrt{(a-b)sin^{2}x+b}}dx=\begin{Bmatrix}
t=sinx\\
dt=cosxdx
\end{Bmatrix}=
\int \frac{tdt}{\sqrt{(a-b)t^{2}+b}}=\begin{Bmatrix}
u=(a-b)t^{2}+b\\
du=2(a-b)tdt
\end{Bmatrix}= </math>

<math>\frac{1}{2a-2b}\int\frac{du}{\sqrt{u}}=\frac{1}{a-b}\sqrt{u}+c=\frac{1}{a-b}\sqrt{(a-b)t^{2}+b}+c=\frac{1}{a-b}\sqrt{(a-b)sin^{2}x+b}+c</math>

אינטגרל לא מסויים/דוגמאות

2012-04-30T17:54:52Z

לב זלוטניק: /* 3 */

==1==
<math>\int \frac{1}{x} dx = ln|x|+c</math>

==2==

<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-5}}</math>

===פתרון===

'''השלמה לריבוע והצבה ראשונה:'''

הדבר הראשון שנעשה הוא התהליך של השלמה לריבוע, שבסופו נקבל כי:

<math>x^{2}-4x-5=(x-2)^{2}-9</math>

ולכן ההצבה הראשונה שנעשה תהא: <math>u=x-2</math>, וכמובן קל להבין כי <math>dx=du</math>.

<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-5}}=\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-9}}</math>

'''פונקציות טריגונומטריות היפרבוליות (הערה):'''

ניעזר בתכונות של <math>sinh(x)</math> ושל <math>cosh(x)</math>:

<math>(cosh(x))'=sinh(x)=\int cosh(x)dx</math>

וכן בזהות: <math>cosh^{2}(x)=sinh^{2}(x)+1</math>

'''הצבה שנייה:'''

נציב: <math>u=3cosh(t)\Rightarrow du=3sinh(t)dt</math>

<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-5}}=\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-9}}=\int \frac{3sinh(t)dt}{\sqrt{9cosh^{2}(t)-9}}=\int \frac{3sinh(t)dt}{3sinh(t)}=\int dt=t+C</math>

ולהחזיר את t לx, אני משאיר לכם (:

==3==

האינטגרל הבא לקוח מספר התרגילים של בועז צבאן (1.24, אם אינני טועה)

<math>\int \frac{sin^{2}(x)}{cos^{6}(x)}dx</math>

===פתרון===
<math>\int \frac{sin^{2}(x)}{cos^{6}(x)}dx=\begin{Bmatrix}
t=tanx\\
dt=\frac{dx}{cos^{2}(x)}
\end{Bmatrix}
=\begin{Bmatrix}
sin^{2}x=\frac{t^{2}}{t^{2}+1}\\
cos^{2}x=\frac{1}{t^{2}+1}
\end{Bmatrix}
=\int \frac{\frac{t^{2}}{t^{2}+1}}{\frac{1}{(t^2+1)^{2}}}dt=</math>

<math>\int \frac{sin^{2}(x)}{cos^{6}(x)}dx
=\int \frac{\frac{t^{2}}{t^{2}+1}}{\frac{1}{(t^2+1)^{2}}}dt=\int t^{2}(t^{2}+1)dt=\cdots =\frac{t^{5}}{5}+\frac{t^{3}}{3}+c</math>

:: יש טעות בהצבה של <math>cos^{2}x</math>, שכן <math>cos^{6}x=(cos^{2}x)^3=\frac{1}{(t^2+1)^3}</math>

==4==

בדומה לאינטגרל הקודם, לקוח מבועז צבאן (1.27)

<math>\int \sqrt{2-x-x^{2}}dx</math>

===דרך א'===

'''א.''' ניתן להשתמש בהצבת אוילר, אבל אנחנו ננקוט בטקטיקה שונה.

<math>\int \sqrt{2-x-x^{2}}dx=\int \sqrt{1.5^{2}-(x+0.5)^{2}}dx=\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du</math>

הצבה ראשונה: <math>u=x+0.5\Rightarrow dx=du</math>

הצבה שנייה: <math>u=1.5sint\Rightarrow du=1.5costdt</math>

ואם נחזור לחישוב האינטגרל,

<math>\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=\int 1.5\sqrt{1-sin^{2}(t)} \cdot 1.5cos(t)dt=2.25\int cos^{2}(t)dt=2.25\int\frac{cos2t-1}{2}dt=2.25(\frac{sin2t}{4}-\frac{t}{2})+c </math>

ומכאן מעבירים את t לx.

===דרך ב'===

ההצבה הראשונה נשארת כפי שהייתה, אך הפעם לא נעשה הצבה שניה אלא נשתמש באינטגרציה בחלקים:

<math>\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=\int (u)'\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=u\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}+\int \frac{u^{2}du}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}</math>

כעת נוכל להבחין כי מתקיים:

<math>\int \frac{u^{2}du}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}=\int \frac{u^{2}-1.5^{2}+1.5^{2}}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}du=\int\frac{1.5^{2}}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}du-\int\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du </math>

כעת נביט רק על האינטגרל הראשון ונציב: <math>1.5v=u</math>

<math>\int\frac{1.5^{2}}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}du=1.5^{2}\int \frac{1.5dv}{1.5\sqrt{1-v^{2}}}=1.5^{2}arcsin(v)=2.25arcsin(\frac{2u}{3})+c </math>

אם נחזור לאינטגרל המקורי נקבל:

<math>\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=u\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}+2.25arcsin(\frac{2u}{3})-\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du </math>

<math>2\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=u\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}+2.25arcsin(\frac{2u}{3})+c</math>

וסיימנו (:

==5==

אינטגרל חביב שנלקח ממבחן בחדו"א בב"ג (של מדעי המחשב)

<math>\int \frac{dx}{x+\sqrt[n]{x}}</math> כאשר <math> n\in\mathbb{N}</math>.

===פתרון===

הכוונה היא עבור n>1, עבור n=1 תסתכלו בדוגמא הראשונה.

<math>\int \frac{dx}{x+\sqrt [n]{x}}=\begin{Bmatrix}
t^{n}=x\\
nt^{n-1}dt=dx
\end{Bmatrix}
=\int \frac{nt^{n-1}}{t^{n}+t}dt=n\int \frac{t^{n-2}}{t^{n-1}+1}dt=
\begin{Bmatrix}
k=t^{n-1}+1\\
dk=(n-1)t^{n-2}dt
\end{Bmatrix}=</math>

<math>\int \frac{dx}{x+\sqrt [n]{x}}=\frac{n}{n-1}\int \frac{dk}{k}=\frac{n}{n-1}ln|k|+c= \frac{n}{n-1}ln|x^{\frac {n-1}{n}}+1|+c</math>

==6==

<math>\int \frac{arctan(e^{x})}{e^{x}}dx</math>

===פתרון===

ניעזר באינטגרציה בחלקים.

<math>\int \frac{arctan(e^{x})}{e^{x}}dx=\int arctan(e^{x})e^{-x}dx=\begin{Bmatrix}
du=e^{-x}dx\Rightarrow u=-e^{-x}\\
v=arctan(e^{x})\Rightarrow dv=\frac{e^{x}dx}{1+e^{2x}}
\end{Bmatrix}
=-e^{-x}arctan(e^{x})+\int\frac{dx}{1+e^{2x}}</math>

פתאום זה נראה יותר אנושי, כעת נסתכל על האינטגרל שנותר:

<math>\int\frac{dx}{1+e^{2x}}=\begin{Bmatrix}
t=e^{2x}\\
dt=2tdx
\end{Bmatrix}=
\int \frac{dt}{2t(1+t)}=\int \frac{dt}{2t}-\int \frac{dt}{2t+2}=0.5(ln|2t|-ln|2t+2|+c)=0.5ln(2e^{2x})-0.5ln(2e^{2x}+2)+c</math>

כל שנותר הוא לאחד את התוצאות, ולקבל את התוצאה הסופית.

==7==

<math>\int \frac{\sqrt{x^{2}-16}}{x}dx</math>

===פתרון===

נעשה את ההצבה הבאה: <math>x=\frac{4}{cosu}\Rightarrow
dx=\frac{4sinu}{cos^{2}u}du</math>

<math>\int \frac{\sqrt{x^{2}-16}}{x}dx=\int \frac{\sqrt{\frac{16}{cos^{2}u}-16}}{\frac{4}{cosu}}\cdot \frac{4sinu}{cos^{2}u}du=\int 4tan^{2}udu=\int (4tan^{2}+4-4)udu=4tanu-4u+c</math>

תחזירו לx לבד, בכל מקרה אני עצלן ואף אחד לא יקרא את זה!

==8==

אחד קליל מהחוברת של בועז (:,

<math>\int \frac{dx}{x}ln\frac{1}{x}</math>

===פתרון===

<math>\int \frac{dx}{x}ln\frac{1}{x}=-\int \frac{lnx}{x}dx= -\frac{ln^{2}x}{2}+c</math>

==9==

<math>\int \frac{arcsinx}{x^{2}}dx</math>

===פתרון===

ראשית נפעיל אינטגרציה בחלקים כאשר: <math>v=arcsinx,du=\frac{dx}{x^{2}}</math>

<math>\int \frac{arcsinx}{x^{2}}dx=-\frac{arcsinx}{x}+\int \frac{dx}{x\sqrt{1-x^{2}}}</math>

כעת נחשב את האינטגרל השני שקיבלנו:

<math>\int \frac{dx}{x\sqrt{1-x^{2}}}=\begin{Bmatrix}
x=cosu\\
dx=sinudu
\end{Bmatrix}=
\int \frac{sinu}{cosu\sqrt{1-cos^{2}u}}du=\int \frac{du}{cosu}=</math>

וכעת ניעזר בהצבה האוניברסלית כדי למצוא את האינטגרל החדש:

<math>\int \frac{du}{cosu}=\int \frac{2}{1+t^{2}}\cdot \frac{1+t^{2}}{1-t^{2}}dt=\int \frac{2dt}{(1+t)(1-t)}=\int\frac{dt}{1-t}+\frac{dt}{1+t}=ln|1+t|-ln|1-t|+c=ln\frac{1+t}{1-t}+c</math>

כרגיל להחזיר ולהנות (:

==10==
<math>\int x^2\sqrt{a^2-x^2}dx</math>

הצבה <math>x=asin(t)</math>

==11==
<math>\int x^2\sqrt{a^2+x^2}dx</math>

הצבה היפרבולית <math>x=asinh(t)</math>.

[http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function נוסחאות לפונקציות היפרבוליות]

==12==
<math>\int \frac{sinx\cdot cosx}{\sqrt{asin^{2}x+bcos^{2}x}}dx</math>

===פתרון===

<math>\int \frac{sinx\cdot cosx}{\sqrt{asin^{2}x+bcos^{2}x}}dx=\int\frac{sinx\cdot cosx}{\sqrt{(a-b)sin^{2}x+b}}dx=\begin{Bmatrix}
t=sinx\\
dt=cosxdx
\end{Bmatrix}=
\int \frac{tdt}{\sqrt{(a-b)t^{2}+b}}=\begin{Bmatrix}
u=(a-b)t^{2}+b\\
du=2(a-b)tdt
\end{Bmatrix}= </math>

<math>\frac{1}{2a-2b}\int\frac{du}{\sqrt{u}}=\frac{1}{a-b}\sqrt{u}+c=\frac{1}{a-b}\sqrt{(a-b)t^{2}+b}+c=\frac{1}{a-b}\sqrt{(a-b)sin^{2}x+b}+c</math>

שיחה:88-151 שימושי מחשב תשעב סמסטר אביב/שאלות ותשובות

2012-04-20T19:38:30Z

לב זלוטניק: /* שאלה 3 תרגיל 1 */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=

'''[[88-151_שימושי_מחשב_במתמטיקה_תשעב_סמסטר_ב_שאלות_ותשובות_ארכיון| ארכיון 1]]''' - תרגילים 1-2.

=שאלות=

== באג במטלב? ==

במטר' A המפלצתית של תר' 2, אני כותב <math>A=A*10,000;</math> והוא מדפיס אותה בכל זאת! למה? איך אמנע את זה? (אני ממש לא מתכוון להדפיס את A)
: למה אתה כותב פסיק? האם התכוונת לנקודה עשרונית? --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 09:47, 17 באפריל 2012 (IDT)
:: אוקיי, כשלא כותבים פסיק זה עובד טוב. כתבתי כדי שיהיה לי קל לקרוא... מה מטלב חשב שרשמתי?
::: אתה כותב תוכנה וצריך להשתמש בכללי השפה שאתה כותב בה. אתה לא יכול להכניס רווחים, פסיקים ומקפים כדי שזה יראה "קריא יותר". משמעות של פסיק היא שרשור פקודות בשורה אחת. לדוגמא: if x<0, disp('imaginary'); end. ליותר פרטים ראה: help PUNCT. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 12:07, 17 באפריל 2012 (IDT)

== לגבי פונקציה שאני בונה ==

בניתי את הפונ' שבתרגיל 3 שאלה 1 (f1), והיא עובדת מצויין על מספר, אבל כשאני מפעיל אותו על וקטור הוא פשוט עושה את הפונקציה על האיבר הראשון בוקטור..
אני צריך להגדיר לו בפונקציה שאני בונה את העניין עם הוקטורים? (שאם מתקבל וקטור שהוא יעבור מספר מספר)
: השאלה כללית מדי. אפשר לשלוח לי את הקוד ואשתדל לעזור. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 14:28, 18 באפריל 2012 (IDT)
בסוף פשוט הייתי צריך להוסיף לולאת for אחת שפשוט מבצעת לי את אותה פעולה על כל איבר בוקטור.. די פשוט סתם הסתבכתי בהתחלה..

== תיקייה נוכחית ==

מה ההבדל בין ה current folder וה- Current Directory?
: באיזה הקשר השאלה? --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 14:29, 18 באפריל 2012 (IDT)
:: כללי על מטלב. יש הבדל? מה זה בדיוק ה-Current Directory?
::: איפה במטלב מצאת את זה. תכוון אותי קצת על מה השאלה. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:16, 18 באפריל 2012 (IDT)

== תר' 3 שאלה 1 ==

אפשר לעשות את המקרא והכותרות באשף עצמו, במקום פקודות?
: לא. צריך לעשות בפקודות כפי שלמדנו בתרגול. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 23:25, 18 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 2 ==

מזה משקלות??
באופן כללי לא הבנתי את השאלה
: [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%9E%D7%95%D7%A6%D7%A2_%D7%9E%D7%A9%D7%95%D7%A7%D7%9C%D7%9C ראה דוגמא כאן]. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 23:26, 18 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

מה משוואת האליפסה הכללית? אני לא מבין איך לעשות את התרגיל
: חיפוש בספרים, ב- wikipedia או ב- google יעזור למצוא תשובה לשאלתך. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:12, 19 באפריל 2012 (IDT)

אני עדיין לא מבין איזה וקטורים צריכים להציב כדי לקבל גרף של אליפסה ולא פונקציה טריגונומטרית

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

כתוב בהתחלת התרגיל שבמקרה של פלט גרפי יש להדפיס אותו.... יש צורך גם להדפיס את הcomet??
שכן הוא סתם נראה כמו מעגל
: אכן כתוב בתחילת התרגיל: "יש לכלול בפתרונות המוגשים גם פלט גרפי (אם קיים)". --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:09, 19 באפריל 2012 (IDT)
אבל מבחינת comet לא ניתן לראות מה הפונקציה ממש עושה ואין טעם בלהדפיס את הגרף
: למה? לא הבנתי מה בדיוק לא ניתן לראות. אפשר לראות גרף שהתקבל בסוף. נכון שלא ניתן לראות את האנימציה על ציור סטטי, אך אפשר להדפיס מספר גרפים כך מהם יהיה ברור מה בדיוק קורה. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 16:07, 20 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 1 ==

האם צריך לחשב את הערך של sin ברדיאנים או במעלות?

== לגבי התרגיל ==

לא הייתי בשיעור התרגול, ורציתי לדעת, האם חוץ מגרפים, כל התרגיל עוסק בחומר חדש?
אני כרגע עובר על המצגת, ורציתי לדעת, כדי לחשב סכומים, יש איזה פונקציה שצריך להשתמש בה (מכניסים איבר כללי נגיד ואת הגבולות של הסיגמה) שמחשבת לבד , או שצריך לעשות את זה ידני, עם לולאות? בשאלה 1 למשל , שאומרים N הוא נתון, הכוונה שהוא עובר כפרמטר לפונקציה? לכל עזרה תתקבל בברכה.
: אתה צריך לעבור גם על מצגות הקודמות ולבדוק איך מסכמים וקטורים ומטריצות ב- matlab.
: אתה לא חייב לכתוב את השאלה הראשונה כפונקציה, אך אם כן כתבת כפונקציה אז N הוא קלט. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 10:51, 20 באפריל 2012 (IDT)

== סכימה במטלאב ==

צריך לולאות? או שיש פונקציה לזה (שעושה סיגמה)?

== תר' 3 שאלה 4 ==

אם אני לא לוקח <math>\alpha,\beta = 1</math> אז לא נראה לי בכלל שאמורה לצאת אליפסה...

== תרגיל 3 שאלה 1 ==

האם מותר להשתמש בsum?
: אם לא כתוב שאסור להשתמש במשהו ספציפי, אז מותר. אסור להשתמש בדברים שלא למדנו כלל, כגון: עבודה עם מחרוזות, מערכי תאים, פתרונות סימבוליים (אנליטיים). --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 15:57, 20 באפריל 2012 (IDT)

== תר' 3 שאלה 1 ==

מותר להשתמש בפקודה fplot במקום plot? היא נוחה יותר אם כותבים פונקציות. (ובכל מקרה כשמתכנתים באמת במטלב משתמשים בה.)
: אם בשאלה כתוב שיש להשתמש ב- plot, יש להשתמש דווקא ב- plot ולא כל פונקציה אחרת. כשמתכנתים ב- matlab משתמשים במה שהכי מתאים לשאלה. fplot פונקציה נוחה אך קשה מאוד לקרוא לה אולטימטיבית לכל בעיה אפשרית. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 16:03, 20 באפריל 2012 (IDT)
:: כלומר, מכיוון שלא כתוב בשאלה להשתמש בplot, אקח זאת כאישור. במקרה הזה, אם בכל מקרה כתבתי את הפונקציות, נוח יותר להשתמש בfplot, וגם נכון יותר מכל דרך אחרת שאני רואה, שכוללת לולאה. (כי fplot רצה כקוד פנימי ולכן מהירה יותר.)
::: בשאלה 1 אתה בכל מקרה צריך לחשב את הסכום, לכן אני לא רואה שום סיבה לעשות את זה ע"י fplot. אבל אם אתה רוצה, אין בעיה. דרך אגב, זה לא שאתה חוסך בלולאות, אתה פשוט מעביר אותם לפונקציה שלא אתה כתבת. כמו כן, לא כל פונקציה שכתובה במטלב יעילה יותר ממה שאתה כותב. את שאלה 1 אפשר לעשות ללא לולאות כלל. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 16:45, 20 באפריל 2012 (IDT)

== תר' 3 שאלה 2 ==
לא למדנו על דרך להחזיר שני ערכים מפונק' (בכלל יש דרך?). אפשר להחזיר את <math>[I |v^{t}]</math> מהפונק?
: help function --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 16:45, 20 באפריל 2012 (IDT)

== למה יוצא לי קו ישר? ==

הפונקציה f2 בשאלה 1(סינוס בריבוע).
יוצא לי קו ישר כשאני שולח לפנוקציה ערכים בין 10 ל 1000, מה אני עושה לא בסדר?
: כיוון שאיני יודע מה אתה עושה, קשה לענות על שאלתך. זה לא אמור להיות קו ישר. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 19:26, 20 באפריל 2012 (IDT)

== שאלה 3 תרגיל 1 ==

אפשר לעשות את הפונקציות עם לולאה?

שיחה:88-151 שימושי מחשב תשעב סמסטר אביב/שאלות ותשובות

2012-04-20T11:14:14Z

לב זלוטניק: /* תרגיל 3 שאלה 4 */

מבחן אינפי 1 סמסטר א' מועד ב' תשע"ב

2012-04-20T08:11:34Z

לב זלוטניק: /* פתרון */

=שאלה 1=
צטטו והוכיחו את [[משפט לייבניץ]] על התכנסות טורים בעלי סימנים מתחלפים. אין צורך לצטט ולהוכיח את הטענה לגבי השארית.

=שאלה 2=
קבעו אם כל גבול קיים, ואם כן חשבו אותו.

א. <math>\lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{x}}</math>

ב.<math>\lim_{n \to \infty} n^{sin \frac{n \pi}{2}}</math>

===פתרון===

א.

<math>\lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{x}}=\lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{x}\frac{3x+2x^2}{3x+2x^2}}=\lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{3x+2x^2}(3+2x)}=e^3</math>

הערה: ניתן לפתור גם באמצעות לופיטל.

ב.

אין גבול, קל לראות שהחזקות חוזרות באופן מחזורי על 0,1 ומינוס 1, ולכן 0, אינסוף ואחד הם גבולות חלקיים '''שונים''' של הסדרה.

=שאלה 3=
קבעו אם כל טור מתכנס או מתבדר:

א. <math>\sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt[3]{ln n}}</math>

ב.<math>\sum_{n=1}^{\infty}( \sqrt{n} - \sqrt{n-1})^{\frac{3n+2}{n+6}}</math>

===פתרון===

א.

נפעיל את מבחן העיבוי לקבל שהטור חבר של

::<math>\sum 2^n\frac{1}{2^n\sqrt[3]{ln(2^n)}}=\sum \frac{1}{\sqrt[3]{n}\sqrt[3]{ln(2)}}</math>

וזה כמובן טור מתבדר כיוון ששליש קטן מאחד.

ב.

<math>\sum( \sqrt{n} - \sqrt{n-1})^{\frac{3n+2}{n+6}}=\sum \Big(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}\Big)^{3-\frac{16}{n+6}}</math>

וזה קטן או שווה לטור '''המתכנס''':

::<math>\sum \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}</math>

=שאלה 4=

א.

הוכיחו שאם <math>f(x)</math> מוגדרת ורציפה בכל <math>\mathbb{R}</math>, אז עבור כל
<math>x \in \mathbb{R}</math> מתקיים <math>\lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0</math>.

ב.

הוכיחו שההיפך של סעיף א' אינו נכון. ז.א. יתכן שלכל <math>x \in \mathbb{R}</math> מתקיים
<math>\lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0</math> ובכל זאת <math>f(x)</math> אינה רציפה בכל <math>x \in \mathbb{R}</math>.

===פתרון===
א.

לפי רציפות, ולפי הגדרת היינה לגבול, לכל סדרה <math>x_n\rightarrow x</math> מתקיים <math>f(x_n)\rightarrow f(x)</math>.

לכן, לכל סדרה <math>h_n\rightarrow 0</math> מתקיים <math>x+h_n\rightarrow x</math> ולכן <math>f(x+h_n)\rightarrow f(x)</math>. באופן דומה מקבלים <math>f(x-h_n)\rightarrow f(x)</math> וקיבלנו את הדרוש.

ב.

ניקח פונקציה קבועה למעט אי רציפות סליקה אחת. כיוון שהגבול קיים וסופי בכל נקודה, ההוכחה לעיל תקיפה פרט לשימוש בגבול במקום בערך בנקודה.

=שאלה 5=
הוכיחו שקיימים <math>\infty</math> מספרים <math>x \in \mathbb{R}</math> כך ש-<math>tan x= x</math>.

===פתרון===

בכל קטע מהצורה <math>(\frac{\pi}{2}+\pi k,\frac{\pi}{2}+\pi (k+1))</math> הפונקציה tan שואפת לאינסוף בקצה הימני של הקטע, ולמינוס אינסוף בקצה השמאלי.

הפונקציה x חסומה בכל קטע מהצורה הזו, ולכן קל להראות שהפונקציה <math>h(x)=tan(x)-x</math> מקבלת ערך שלילי קרוב לקצה השמאלי, וערך חיובי קרוב לקצה הימני ולפי [[משפט ערך הביניים]] מקבל אפס בקטע, כפי שרצינו.

=שאלה 6=
השתמשו בפיתוח טיילור של הפונקציה <math>ln(\frac{1+x}{1-x})</math> לחשב את <math>ln 2</math> עם טעות קטנה מ-<math>2 \times 10^{-4}</math>.

===פתרון===
.... -_-

מבחן אינפי 1 סמסטר א' מועד ב' תשע"ב

2012-04-19T21:25:14Z

לב זלוטניק: /* פתרון */

מבחן אינפי 1 סמסטר א' מועד ב' תשע"ב

2012-04-19T19:33:51Z

לב זלוטניק: יצירת דף עם התוכן "=שאלה 1= צטטו והוכיחו את משפט ליבניץ (או משפט ליפשיץ) על התכנסות טורים בעלי סימנים מתחלפים. א..."

=שאלה 1=
צטטו והוכיחו את משפט ליבניץ (או משפט ליפשיץ) על התכנסות טורים בעלי סימנים מתחלפים. אין צורך לצטט ולהוכיח את הטענה לגבי השארית.

=שאלה 2=
קבעו אם כל גבול קיים, ואם כן חשבו אותו.

א. <math>\lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{x}}</math>

ב.<math>\lim_{n \to \infty} n^{sin \frac{n \pi}{2}}</math>

=שאלה 3=
קבעו אם כל טור מתכנס או מתבדר:

א. <math>\sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt[3]{ln n}}</math>

ב.<math>\sum_{n=1}^{\infty}( \sqrt{n} - \sqrt{n-1})^{\frac{3n+2}{n+6}}</math>

=שאלה 4=
===סעיף א===
הוכיחו שאם <math>f(x)</math> מוגדרת ורציפה בכל <math>\mathbb{R}</math>, אז עבור כל
<math>x \in \mathbb{R}</math> מתקיים <math>\lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0</math>.
===סעיף ב===
הוכיחו שההיפך של סעיף א' אינו נכון. ז.א. יתכן שלכל <math>x \in \mathbb{R}</math> מתקיים
<math>\lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0</math> ובכל זאת <math>f(x)</math> אינה רציפה בכל <math>x \in \mathbb{R}</math>.

=שאלה 5=
הוכיחו שקיימים <math>\infty</math> מספרים <math>x \in \mathbb{R}</math> כך ש-<math>tan x= x</math>.

=שאלה 6=
השתמשו בפיתוח טיילור של הפונקציה <math>ln(\frac{1+x}{1-x})</math> לחשב את <math>ln 2</math> עם טעות קטנה מ-<math>2 \times 10^{-4}</math>.

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב

2012-04-19T19:12:20Z

לב זלוטניק: /* הודעות */

'''[[88-132 חשבון אינפיניטיסימלי 1]]'''

=קישורים=
'''<math>\ \Longleftarrow</math>'''[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב|שאלות ותשובות]]'''<math>\ \Longrightarrow</math>'''

'''[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/תרגילים|תרגילים למתמטיקאים]]'''

'''[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/תרגילים מדמח|תרגילים לתלמידי מדעי המחשב]]'''

'''[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול|מערכי התרגול]]'''

'''[[משפטים/אינפי|רשימת משפטים + הוכחות]]'''

'''[[מדיה:10TauInfi1Ex.pdf|תרגילי הבית מאוניברסיטת תל אביב תשע"א]]'''

==פתרונות מבחנים משנים קודמות==

[[פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א, |פתרון תשס"ב, מועד א(עמנואל)]]

[[פתרון אינפי 1, תשס"ג, מועד ב, |פתרון תשס"ג, מועד ב(עמנואל)]]

[[פתרון אינפי 1, תשנ"ט, מועד ב, |פתרון תשנ"ט, מועד ב(עמנואל,נעם)]]

::הוספתי דרך נוספת לפתרון של 1 א'. <s>מ</s>קודם העליתי דרך נוספת לפתרון שהיתה ממש לא נכונה. אני מקווה שהפעם אין טעויות --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:24, 16 בפברואר 2012 (IST)
:::הפעם זה בסדר -- מתמטית :)

[[פתרון אינפי 1, תש"נ |פתרון תש"נ, אין מועד (עמנואל)]]

[[אינפי 1, תשנ"ו מועד ב' - פתרון (זלצמן)|פתרון תשנ"ו, מועד ב']]

=הודעות=

*[[מבחן אינפי 1 סמסטר א' מועד ב' תשע"ב| מועד ב' למתמטיקאים]]

**[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/דמה1|מבחן דמה למתמטיקאים]], [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/דמה2|מבחן דמה נוסף]]

*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מתמטיקאים|מבחן מתמטיקאים מועד א' ופתרונו]]

*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמח|מבחן מדמ"ח מועד א' ופתרונו]]. מומלץ לתלמידי מתמטיקה לפתור את המבחן מבלי להציץ בתשובות על מנת להעריך את מצבם.

*[[מדיה:11Infi1Bohan4Children.pdf|ציוני בוחן 4 לתיכוניסטים]]

*[[מדיה:11Infi1CSBohan1.pdf|בוחן 1 לתלמידי מדעי המחשב]]
**[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 1|פתרון בוחן 1]]
*[[מדיה:11Infi1CSBohan2.pdf|בוחן 2 לתלמידי מדעי המחשב]]
**[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 2|פתרון בוחן 2]]


שיעורי חזרה ושעות קבלה לפני המבחן לקבוצות של מני ולואי:

שיעור חזרה (הקבוצה של מני) יום ראשון 19.2 10-12 בחדר מחלקה

שיעור חזרה (הקבוצה של לואי) יום שני 20.2 18-20 בחדר מחלקה

שעות קבלה: יום שלישי 21.2 10-12



ציוני תרגול סופיים[[מדיה: gradesinficorrected.pdf| כאן]] (שימו לב שהיו מספר טעויות בחישובי הציון הסופי, הקובץ תוקן והועלה מחדש)
::שימו לב: בקובץ מופיעים ארבעת ציוני הבחנים, ולאחריהם ציוני שלושת הבחנים הטובים. העמודה האחרונה מכילה את הציונים הסופיים שלכם כפי שהם יועברו למדור הבחינות. אי לכך, במידה וישנן טעויות בקובץ - נא עדכנו אותנו עד ליום ראשון הקרוב.

::'''תרגילים בדוקים''' בליניארית ובאינפי נמצאים בחדר צילום בקלסר השחור שכתוב עליו "ליניארית"


===רשימת משפטים שצריך ללמוד את ההוכחות שלהם לתלמידי '''מדעי המחשב'''===

[[מדיה:11Infi1CSThms.pdf|רשימת משפטים למבחן למדעי המחשב]]

===ציוני בוחן מעודכנים (מתמטיקאים, לא תלמידי תיכון)===
[[מדיה: gradesinfi1.pdf |ציוני בוחן ]]

::'''תרגילים בדוקים''' בליניארית ובאינפי נמצאים בחדר צילום בקלסר השחור שכתוב עליו "ליניארית"

===ציוני בוחן שלישי לתיכוניסטים===
[[מדיה:11Infi1TBohan3Grades.pdf|ציונים]]

===ציוני בוחן ראשון של מדעי המחשב===
[[מדיה:11Infi1CSBohan1Grades.xls|ציוני בוחן ראשון מדמ"ח]]

===ציוני בוחן שני של מדעי המחשב===
[[מדיה:11Infi1CSBohan12Grades.xls|ציוני בוחן שני מדמ"ח]]


ציוני בחנים (מתמטיקאים, לא תיכוניסטים) [[מדיה: grades-infi.pdf| כאן]]



שימו לב: הציון הסופי הוא סכום שלושת הציונים הטובים; כאשר אפשר להגיע ל-108 (36 נקודות לכל בוחן). עם זאת - 108 נחשב ל-100 בסופו של דבר =)



===חומר לבוחן הקרוב באינפי לתיכוניסטים===
הבוחן יכלול תרגילים 4,5,6

===ציוני תרגיל למדעי המחשב===
[http://math-wiki.com/images/2/2d/Infitargilim.xls קובץ הציונים.] מעודכן לתאריך 07/01/12. אם הגשתם את התרגיל לאחרונה, יכול להיות שהציון שלכם עדיין לא הוכנס לטבלה.

===בוחן לתלמידי מתמטיקה (לא תיכוניסטים)===
הבוחן הקרוב באינפי יכלול שאלות מתרגילים 4-5 וכן הגדרות מההרצאה/תרגול שנלמדו עד לשבוע הנוכחי
(עד 8.12). הבוחן יתקיים ביום חמישי, 15/12/2011 ב- 18:00 בבנין 203 חדר 221.

===בוחן לתלמידי מדעי המחשב===
הבוחן לתמידי המחשב יתקיים ביום ראשון ה18.12.11 בשעות המחלקה (8:00-10:00). הבוחן יהיה על כל נושא הסדרות, ויכיל תרגילים משיעורי הבית עד כדי שינויים קלים. '''יש לקרוא את הפתרונות באתר''' ולא להסתמך על הפתרונות שלכם בלבד. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]





===למי שלא זוכר חוקי ln===

זכרו כי ln הוא סה"כ לוג בבסיס המספר הקבוע e. כמו כן, ניתן למצוא את חוקי הלוגריתמים באופן מסודר [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9C%D7%95%D7%92%D7%A8%D7%99%D7%AA%D7%9D כאן].

===למי שלא זוכר זהויות טריגונומטריות===
שיציץ היטב [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%96%D7%94%D7%95%D7%99%D7%95%D7%AA_%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%92%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%AA כאן].

===תרגילים בדוקים===
סטודנטים שמחפשים תרגילים בדוקים, יכולים אולי למצוא אותם בתא שלי (ניר שרייבר-112, בניין מתמטיקה).

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב

2012-04-19T19:11:58Z

לב זלוטניק: /* הודעות */

'''[[88-132 חשבון אינפיניטיסימלי 1]]'''

=קישורים=
'''<math>\ \Longleftarrow</math>'''[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב|שאלות ותשובות]]'''<math>\ \Longrightarrow</math>'''

'''[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/תרגילים|תרגילים למתמטיקאים]]'''

'''[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/תרגילים מדמח|תרגילים לתלמידי מדעי המחשב]]'''

'''[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול|מערכי התרגול]]'''

'''[[משפטים/אינפי|רשימת משפטים + הוכחות]]'''

'''[[מדיה:10TauInfi1Ex.pdf|תרגילי הבית מאוניברסיטת תל אביב תשע"א]]'''

==פתרונות מבחנים משנים קודמות==

[[פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א, |פתרון תשס"ב, מועד א(עמנואל)]]

[[פתרון אינפי 1, תשס"ג, מועד ב, |פתרון תשס"ג, מועד ב(עמנואל)]]

[[פתרון אינפי 1, תשנ"ט, מועד ב, |פתרון תשנ"ט, מועד ב(עמנואל,נעם)]]

::הוספתי דרך נוספת לפתרון של 1 א'. <s>מ</s>קודם העליתי דרך נוספת לפתרון שהיתה ממש לא נכונה. אני מקווה שהפעם אין טעויות --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:24, 16 בפברואר 2012 (IST)
:::הפעם זה בסדר -- מתמטית :)

[[פתרון אינפי 1, תש"נ |פתרון תש"נ, אין מועד (עמנואל)]]

[[אינפי 1, תשנ"ו מועד ב' - פתרון (זלצמן)|פתרון תשנ"ו, מועד ב']]

=הודעות=

*[[מבחן אינפי 1 סמסטר א' מועד ב' תשע"ב| מועד ב' למתמטיאים]]

**[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/דמה1|מבחן דמה למתמטיקאים]], [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/דמה2|מבחן דמה נוסף]]

*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מתמטיקאים|מבחן מתמטיקאים מועד א' ופתרונו]]

*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמח|מבחן מדמ"ח מועד א' ופתרונו]]. מומלץ לתלמידי מתמטיקה לפתור את המבחן מבלי להציץ בתשובות על מנת להעריך את מצבם.

*[[מדיה:11Infi1Bohan4Children.pdf|ציוני בוחן 4 לתיכוניסטים]]

*[[מדיה:11Infi1CSBohan1.pdf|בוחן 1 לתלמידי מדעי המחשב]]
**[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 1|פתרון בוחן 1]]
*[[מדיה:11Infi1CSBohan2.pdf|בוחן 2 לתלמידי מדעי המחשב]]
**[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 2|פתרון בוחן 2]]


שיעורי חזרה ושעות קבלה לפני המבחן לקבוצות של מני ולואי:

שיעור חזרה (הקבוצה של מני) יום ראשון 19.2 10-12 בחדר מחלקה

שיעור חזרה (הקבוצה של לואי) יום שני 20.2 18-20 בחדר מחלקה

שעות קבלה: יום שלישי 21.2 10-12



ציוני תרגול סופיים[[מדיה: gradesinficorrected.pdf| כאן]] (שימו לב שהיו מספר טעויות בחישובי הציון הסופי, הקובץ תוקן והועלה מחדש)
::שימו לב: בקובץ מופיעים ארבעת ציוני הבחנים, ולאחריהם ציוני שלושת הבחנים הטובים. העמודה האחרונה מכילה את הציונים הסופיים שלכם כפי שהם יועברו למדור הבחינות. אי לכך, במידה וישנן טעויות בקובץ - נא עדכנו אותנו עד ליום ראשון הקרוב.

::'''תרגילים בדוקים''' בליניארית ובאינפי נמצאים בחדר צילום בקלסר השחור שכתוב עליו "ליניארית"


===רשימת משפטים שצריך ללמוד את ההוכחות שלהם לתלמידי '''מדעי המחשב'''===

[[מדיה:11Infi1CSThms.pdf|רשימת משפטים למבחן למדעי המחשב]]

===ציוני בוחן מעודכנים (מתמטיקאים, לא תלמידי תיכון)===
[[מדיה: gradesinfi1.pdf |ציוני בוחן ]]

::'''תרגילים בדוקים''' בליניארית ובאינפי נמצאים בחדר צילום בקלסר השחור שכתוב עליו "ליניארית"

===ציוני בוחן שלישי לתיכוניסטים===
[[מדיה:11Infi1TBohan3Grades.pdf|ציונים]]

===ציוני בוחן ראשון של מדעי המחשב===
[[מדיה:11Infi1CSBohan1Grades.xls|ציוני בוחן ראשון מדמ"ח]]

===ציוני בוחן שני של מדעי המחשב===
[[מדיה:11Infi1CSBohan12Grades.xls|ציוני בוחן שני מדמ"ח]]


ציוני בחנים (מתמטיקאים, לא תיכוניסטים) [[מדיה: grades-infi.pdf| כאן]]



שימו לב: הציון הסופי הוא סכום שלושת הציונים הטובים; כאשר אפשר להגיע ל-108 (36 נקודות לכל בוחן). עם זאת - 108 נחשב ל-100 בסופו של דבר =)



===חומר לבוחן הקרוב באינפי לתיכוניסטים===
הבוחן יכלול תרגילים 4,5,6

===ציוני תרגיל למדעי המחשב===
[http://math-wiki.com/images/2/2d/Infitargilim.xls קובץ הציונים.] מעודכן לתאריך 07/01/12. אם הגשתם את התרגיל לאחרונה, יכול להיות שהציון שלכם עדיין לא הוכנס לטבלה.

===בוחן לתלמידי מתמטיקה (לא תיכוניסטים)===
הבוחן הקרוב באינפי יכלול שאלות מתרגילים 4-5 וכן הגדרות מההרצאה/תרגול שנלמדו עד לשבוע הנוכחי
(עד 8.12). הבוחן יתקיים ביום חמישי, 15/12/2011 ב- 18:00 בבנין 203 חדר 221.

===בוחן לתלמידי מדעי המחשב===
הבוחן לתמידי המחשב יתקיים ביום ראשון ה18.12.11 בשעות המחלקה (8:00-10:00). הבוחן יהיה על כל נושא הסדרות, ויכיל תרגילים משיעורי הבית עד כדי שינויים קלים. '''יש לקרוא את הפתרונות באתר''' ולא להסתמך על הפתרונות שלכם בלבד. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]





===למי שלא זוכר חוקי ln===

זכרו כי ln הוא סה"כ לוג בבסיס המספר הקבוע e. כמו כן, ניתן למצוא את חוקי הלוגריתמים באופן מסודר [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9C%D7%95%D7%92%D7%A8%D7%99%D7%AA%D7%9D כאן].

===למי שלא זוכר זהויות טריגונומטריות===
שיציץ היטב [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%96%D7%94%D7%95%D7%99%D7%95%D7%AA_%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%92%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%AA כאן].

===תרגילים בדוקים===
סטודנטים שמחפשים תרגילים בדוקים, יכולים אולי למצוא אותם בתא שלי (ניר שרייבר-112, בניין מתמטיקה).

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב

2012-04-19T19:11:30Z

לב זלוטניק: /* הודעות */

'''[[88-132 חשבון אינפיניטיסימלי 1]]'''

=קישורים=
'''<math>\ \Longleftarrow</math>'''[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב|שאלות ותשובות]]'''<math>\ \Longrightarrow</math>'''

'''[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/תרגילים|תרגילים למתמטיקאים]]'''

'''[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/תרגילים מדמח|תרגילים לתלמידי מדעי המחשב]]'''

'''[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול|מערכי התרגול]]'''

'''[[משפטים/אינפי|רשימת משפטים + הוכחות]]'''

'''[[מדיה:10TauInfi1Ex.pdf|תרגילי הבית מאוניברסיטת תל אביב תשע"א]]'''

==פתרונות מבחנים משנים קודמות==

[[פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א, |פתרון תשס"ב, מועד א(עמנואל)]]

[[פתרון אינפי 1, תשס"ג, מועד ב, |פתרון תשס"ג, מועד ב(עמנואל)]]

[[פתרון אינפי 1, תשנ"ט, מועד ב, |פתרון תשנ"ט, מועד ב(עמנואל,נעם)]]

::הוספתי דרך נוספת לפתרון של 1 א'. <s>מ</s>קודם העליתי דרך נוספת לפתרון שהיתה ממש לא נכונה. אני מקווה שהפעם אין טעויות --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:24, 16 בפברואר 2012 (IST)
:::הפעם זה בסדר -- מתמטית :)

[[פתרון אינפי 1, תש"נ |פתרון תש"נ, אין מועד (עמנואל)]]

[[אינפי 1, תשנ"ו מועד ב' - פתרון (זלצמן)|פתרון תשנ"ו, מועד ב']]

=הודעות=

*[[מבחן אינפי 1 סמסטר א' מועד ב' תשע"ב| מועד ב' למתמטי'אים]]

**[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/דמה1|מבחן דמה למתמטיקאים]], [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/דמה2|מבחן דמה נוסף]]

*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מתמטיקאים|מבחן מתמטיקאים מועד א' ופתרונו]]

*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמח|מבחן מדמ"ח מועד א' ופתרונו]]. מומלץ לתלמידי מתמטיקה לפתור את המבחן מבלי להציץ בתשובות על מנת להעריך את מצבם.

*[[מדיה:11Infi1Bohan4Children.pdf|ציוני בוחן 4 לתיכוניסטים]]

*[[מדיה:11Infi1CSBohan1.pdf|בוחן 1 לתלמידי מדעי המחשב]]
**[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 1|פתרון בוחן 1]]
*[[מדיה:11Infi1CSBohan2.pdf|בוחן 2 לתלמידי מדעי המחשב]]
**[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 2|פתרון בוחן 2]]


שיעורי חזרה ושעות קבלה לפני המבחן לקבוצות של מני ולואי:

שיעור חזרה (הקבוצה של מני) יום ראשון 19.2 10-12 בחדר מחלקה

שיעור חזרה (הקבוצה של לואי) יום שני 20.2 18-20 בחדר מחלקה

שעות קבלה: יום שלישי 21.2 10-12



ציוני תרגול סופיים[[מדיה: gradesinficorrected.pdf| כאן]] (שימו לב שהיו מספר טעויות בחישובי הציון הסופי, הקובץ תוקן והועלה מחדש)
::שימו לב: בקובץ מופיעים ארבעת ציוני הבחנים, ולאחריהם ציוני שלושת הבחנים הטובים. העמודה האחרונה מכילה את הציונים הסופיים שלכם כפי שהם יועברו למדור הבחינות. אי לכך, במידה וישנן טעויות בקובץ - נא עדכנו אותנו עד ליום ראשון הקרוב.

::'''תרגילים בדוקים''' בליניארית ובאינפי נמצאים בחדר צילום בקלסר השחור שכתוב עליו "ליניארית"


===רשימת משפטים שצריך ללמוד את ההוכחות שלהם לתלמידי '''מדעי המחשב'''===

[[מדיה:11Infi1CSThms.pdf|רשימת משפטים למבחן למדעי המחשב]]

===ציוני בוחן מעודכנים (מתמטיקאים, לא תלמידי תיכון)===
[[מדיה: gradesinfi1.pdf |ציוני בוחן ]]

::'''תרגילים בדוקים''' בליניארית ובאינפי נמצאים בחדר צילום בקלסר השחור שכתוב עליו "ליניארית"

===ציוני בוחן שלישי לתיכוניסטים===
[[מדיה:11Infi1TBohan3Grades.pdf|ציונים]]

===ציוני בוחן ראשון של מדעי המחשב===
[[מדיה:11Infi1CSBohan1Grades.xls|ציוני בוחן ראשון מדמ"ח]]

===ציוני בוחן שני של מדעי המחשב===
[[מדיה:11Infi1CSBohan12Grades.xls|ציוני בוחן שני מדמ"ח]]


ציוני בחנים (מתמטיקאים, לא תיכוניסטים) [[מדיה: grades-infi.pdf| כאן]]



שימו לב: הציון הסופי הוא סכום שלושת הציונים הטובים; כאשר אפשר להגיע ל-108 (36 נקודות לכל בוחן). עם זאת - 108 נחשב ל-100 בסופו של דבר =)



===חומר לבוחן הקרוב באינפי לתיכוניסטים===
הבוחן יכלול תרגילים 4,5,6

===ציוני תרגיל למדעי המחשב===
[http://math-wiki.com/images/2/2d/Infitargilim.xls קובץ הציונים.] מעודכן לתאריך 07/01/12. אם הגשתם את התרגיל לאחרונה, יכול להיות שהציון שלכם עדיין לא הוכנס לטבלה.

===בוחן לתלמידי מתמטיקה (לא תיכוניסטים)===
הבוחן הקרוב באינפי יכלול שאלות מתרגילים 4-5 וכן הגדרות מההרצאה/תרגול שנלמדו עד לשבוע הנוכחי
(עד 8.12). הבוחן יתקיים ביום חמישי, 15/12/2011 ב- 18:00 בבנין 203 חדר 221.

===בוחן לתלמידי מדעי המחשב===
הבוחן לתמידי המחשב יתקיים ביום ראשון ה18.12.11 בשעות המחלקה (8:00-10:00). הבוחן יהיה על כל נושא הסדרות, ויכיל תרגילים משיעורי הבית עד כדי שינויים קלים. '''יש לקרוא את הפתרונות באתר''' ולא להסתמך על הפתרונות שלכם בלבד. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]





===למי שלא זוכר חוקי ln===

זכרו כי ln הוא סה"כ לוג בבסיס המספר הקבוע e. כמו כן, ניתן למצוא את חוקי הלוגריתמים באופן מסודר [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9C%D7%95%D7%92%D7%A8%D7%99%D7%AA%D7%9D כאן].

===למי שלא זוכר זהויות טריגונומטריות===
שיציץ היטב [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%96%D7%94%D7%95%D7%99%D7%95%D7%AA_%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%92%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%AA כאן].

===תרגילים בדוקים===
סטודנטים שמחפשים תרגילים בדוקים, יכולים אולי למצוא אותם בתא שלי (ניר שרייבר-112, בניין מתמטיקה).

שיחה:88-151 שימושי מחשב תשעב סמסטר אביב/שאלות ותשובות

2012-04-19T09:19:37Z

לב זלוטניק: /* תרגיל 3 שאלה 4 */ פסקה חדשה

שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב

2012-04-11T11:22:03Z

לב זלוטניק: /* רציפות במש ועוד שאלה... */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 1| ארכיון 1]]

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 2| ארכיון 2]]

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 3| ארכיון 3]]

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 4| ארכיון 4]]

=שאלות=

== איך מוכיחים שאין טור שמתבדר הכי לאט ==

כלומר לכל טור חיובי <math>\sum a_n</math> שמתבדר קיים טור <math>\sum b_n</math> מתבדר כך ש: <math>\frac{b_n}{a_n}\to 0</math>
:בדומה למשפט רימן, ניתן "לדחוס" ו"לפזר" את האיברי הסדרה על מנת לקבל סדרה המתכנסת יותר מהר לאפס, שהטור עליה עדיין מתבדר. למשל אפשר את האיבר הראשון לחלק ל10 ולהפוך אותו לעשרה איברים, את האיבר הבא לחלק ב100 ולהפוך אותו למאה איברים וכן הלאה. (זה לא אלגוריתם מלא כמובן) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אבל הסדרה <math>a_n</math> לא בהכרח יורדת

== איך מוכיחים את מבחן ראבה ==

נראה לי לא הוכחנו אותו בכיתה
:לא חשבתי על זה האמת, זה פשוט משפט ידוע --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מבחן ==

מותר להשתמש במבחן במשפטים ממערכי התרגול/ התרגולים שלא הזכרנו בהרצאה?
לגבי המשפטים וההוכחות שבאתר, לא את כולם צריך לדעת נכון? בהרצאה אמרו פחות
:זו שאלה למרצים, והמשפטים הם לפי מה שהמרצים אמרו. המשפטים באתר לא קשורים לזה באופן ישיר, פשוט השתדלנו לשים גם את מה שחייבים להוכיח. אני חושב שהדבר היחיד במערכי התרגול שלא מההרצאה הוא מבחן ראבה, לא? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::יש משפטים על רציפות במ"ש למשל שאם פונקציה רציפה במ"ש בכמה קטעים אז היא רציפה באיחוד שלהם ואם אני לא טועה גם זה שמכך שהנגזרת חסומה

:::המשפטים האלה מההרצאה עד כמה שאני יודע. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== בקשר לגבולות של סדרות ==

אם יש לי סדרה An של חיוביים ומצאתי סדרה Bn>An ששואפת לאפס האם גם An תשאף ל-0 אם כן למה?

:חוק הסנדביץ. <math>0\leq a_n \leq b_n</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== חזרה על התרגילים ==

בתרגיל 3
שאלה 4 סעיפים א,ב,ג

האם יש קשר בין
an כלומר איברי הסדרה an1 an2.....

ל a אליו הוא שואף??
תודה

:לא, זה פשוט סימון לגבול. אפשר להחליף באות אחרת כמו L --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== גבול החסמים העליונים ==

האם מכך שידוע שגבול החסמים העליונים הוא מספר ממש נובע שהסדרה חסומה מלעיל?
:אני מניח שהכוונה לגבול החסמים העליונים כאשר מחסירים איברים מהסדרה. ברגע שיש חסם עליון ממשי החל משלב מסוים זה אומר שהסדרה חסומה על ידי המקסימום בין החסם העליון הזה לבין כל האיברים שנזרקו --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== פתרונות למבחנים ==

אם אני אכתוב את הפתרונות של מבחנים שונים עם Latex ב-Word, תעלו את קובץ הוורד של הפתרונות שלי לאתר?
:אם אתה כותב latex למה שלא תכתוב באתר? פתרונות באתר טובים בהרבה כיוון שקל לתקן אותם --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אני כותב בעזרת [http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php] והאתר משום מה תמיד כותב לי '''עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג)''', דוגמא:
<math>[a_n=S_{n-1} \Delta ^ 2]
</math>
הבעיה העיקרית היא לרדת שורה, כי אני יכול רק עם שורת הקוד <math>a _ n=S _ {n-1} \Delta ^ 2</math> ללא שימוש בתרגום ללייטקס, אבל זה עובד רק אם זאת שורה אחת, משום מה זה לא קורא את ה'\\'.

קראתי חלק מ-[http://en.wikipedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula] אבל לא מצאתי איך לתקן את השגיאה הזאת... ⊙_☉
מהו הקוד של ירידת שורה?
: (לא ארז) הקוד הוא \\ , אבל כמו שאמרת יש בעיה בו פה.
: איך עשית את ה'עיניים' בסמיילי?

::תרדו שורה באופן הפשוט ביותר- תפתחו נוסחא חדשה ותכתבו אותה למטה. סה"כ הויקי אינו מסמך לאטך, אלא הוא מאפשר לכתוב נוסחאות בודדות בלאטך. תקנתי למשל את הבעייה שהוצגה לעיל, הסלאש סוגר מרובע היה מיותר. יש כמה הבדלים קטנים מלאטך, אבל הם לא משמעותיים כפי שאתם יכולים לראות במערכי התרגול שכולם כתובים בפורמט ויקי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== איך מוכיחים שפונקציה קמורה רציפה? ==

כלומר אם מתקיים <math>\forall 0\leq t\leq 1,x,x_0 \colon f((1-t)x+t(x_0))\leq (1-t)f(x)+tf(x_0) </math>
:נניח בשלילה כי היא אינה רציפה, לכן לפי היינה יש לה גבולות שונים על סדרות שונות. בעזרתן תוכל לסתור את הקמירות --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
:ואם זו אי רציפות סליקה, אזי או שהערך בנקודה גבוה מהגבול וזו סתירה לקמירות, או שהוא נמוך ואז ערכים הקרובים אליו סותרים את הקמירות אם מותחים מהערך בנקודה קו לנקודות באיזור --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::אפשר להרחיב ? כלומר, איך מראים את זה בשימוש בנתונים הנ"ל ?

:::נביט שתי הסדרות השואפות לאותה נקודה, עליהן הפונקציה שואפת למקומות שונים. אחד המקומות גבוה מהשני. תיקח שתי נקודות מהסדרה הנמוכה שיש נקודה מהסדרה השנייה בניהן, אז הפונקציה תהיה מעל לקו העובר בין שתי הנקודות בנקודה השלישית, בסתירה. (תנסה לצייר את זה קודם, זה יעזור)--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מתי השיעורי חזרה? ==

תודה

<math>Sumx^2</math>

== תרגיל 12 שאלה 2 C ==

הפתרון לא מובן לי. כיצד מתקיים השוויון הבא:

<math>\frac{-1}{2\sqrt\frac{x+1}{x-1}}\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)^2\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}</math>
::יש שם טעות. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:27, 15 בפברואר 2012 (IST)

::::תודה רבה

== תרגיל 12 שאלה 3 a ==

שוב הפתרון לא מובן לי. כיצד מתקיים:

<math>2^{x^{e}}=e^{log2^{x^{e}}}</math>

זה לא אמור להיות:

<math>2^{x^{e}}=e^{ln2^{x^{e}}}</math>

::הסימון <math>\log(x)</math> משמש לעיתים (וגם בתרגיל זה) תחליף ל<math>\ln</math> כלומר ללוגריתם בבסיס <math>e</math> . לפעמים הוא משמש כלוגריתם בבסיס 10 (לא הפעם). אין טעות בפתרון במקרה זה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:32, 15 בפברואר 2012 (IST)

::::תודה רבה

== שיעורי חזרה ==

1)כדאי לתיכוניסטים להגיע לשיעורי החזרה של הבוגרים?

2)כדאי למי שיגיע ללואי להגיע גם למני?

'''הבהרה'''

שיעורי החזרה של לואי ומני מיועדים רק לסטודנטים שלנו ולא לתיכוניסטים (וזאת מכיוון שאנו רוצים למנוע קבוצות גדולות מדי)

יש להגיע רק לאחד מאיתנו, שכן אנחנו פותרים בדיוק את אותם התרגילים. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 14:22, 16 בפברואר 2012 (IST)

:אבל זה ממש נוח לנו.. שיעור החזרה שלנו נגמר בדיוק כששלך מתחיל :(

== מבנה המבחן ==

מה מבנה המבחן? כמה זמן הוא?

== אריתמטית של גבולות ==

אם סדרה אחת שואפת לאינסות והחארת לאפס, למה שואפת המנה שלהן?
לגבי טורים, האם טור מתבדר פחות טור מתכנס, מתבדר? מה לגבי ההיפך?
:: אם הסדרה ששואפת לאפס שואפת לאפס דרך ערכים חיוביים (מה שהיינו מגדירים בפונקציות שאיפה מימין) אז
המנה של השואפת לאפס חלקי זאת ששואפת לאינסוף (אני מתכוון לפלוס אינסוף) תשאף לאפס והמנה ההפוכה תשאף לאינסוף.

אם השאיפה לאפס היא דרך ערכים שליליים אז המנות ישאפו לאפס ולמינוס אינסוף בהתאמה.

יכול להיות מצב שאחת המנות לא תשאף לגבול. למשל: אינסוף חלקי סדרה ששואפת לאפס אבל נניח שמשנה סימן ואז הגבול של האינסוף חלקי הסדרה ששואפת לאפס לא יהיה קיים. כי יהיו שתי תתי סדרות ששואפת לפלוס אינסוף ולמינוס אינסוף.

טור מתבדר פחות מתכנס הוא בהכרח מתבדר. כי נניח בשלילה שהוא מתכנס אם נחבר לטור שחיסרנו שנתון שהוא מתכנס נקבל טור מתכנס בסתירה לכך שהטור שממנו חיסרנו היה מתבדר.

מתכנס פחות מתבדר גם כן מתבדר משיקולים דומים. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:06, 17 בפברואר 2012 (IST)
== ערכים של טורים ==

האם צריך לזכור למבחן ערכים של טורים מסויימים?(לכמה הטור שווה ) אם כן אלו ?(לדוגמה הטור ההרמוני המתחלף)

בפתרון של מבחן משנה שעברות כתוב: קל לראות ש bn+1/bn שואף לאינסוף ולכןbn שואף לאינסוף. למה?
מה מייצג הסימן f בחזקת -1. חשבתי שאחד חלקי הפונקציה אבל לפי פתרון המחבן משנה שעברה (שאלה 7) ניראה כאילו גוזרים אותה בתור הפונקציה ההפוכה לf
::עדיף לשאול 3 שאלות מנושאים שונים בנפרד ולא תחת נושא אחד. בכל מקרה:
לגבי השאלה הראשונה- לא. אין צורך.
לגבי השאלה השלישית- הסימון מייצג את הפונקציה ההפוכה.

שאלה שניה- <math>b_n>1</math> ולכן <math>b_{n+1}>b_{n+1}/b_n</math> לכן אם
<math>b_{n+1}/b_n</math> שואף לאינסוף אז כך גם <math>b_{n+1}</math> (ולכן גם <math>b_{n}</math>)
--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:07, 18 בפברואר 2012 (IST)

== נגזרת ורציפות ==

אם f גזירה פעמיים ב[a,b]
אז הנגזרת רציפה בקטע הסגור הזה?
::כן. באופן כללי גזירות בנקודה גורררת רציפות בנקודה. כמו כן גזירות ימנית (שמאלית) גוררת רציפות מימין (משמאל בהתאמה).--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:09, 18 בפברואר 2012 (IST)

== הגדרת החזקה - שיעור ראשון ==

איך מוכיחים ש <math>\sqrt[n]{x^m}=(\sqrt[n]{x})^m</math>?

:נניח שהם שונים, נעלה את שניהם בחזקת n ונקבל סתירה, לפי החוק <math>(a^n)^m=(a^m)^n</math> (אותו קל להוכיח) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::ציין אם זה נכון: בגלל ש<math>n,m</math> הם מספרים טבעיים, נקבל שכל אחד מהאגפים שווה לפי עקרון הכפל הקומבינטורי ל <math>a^{nm}</math>, ולכן לאחר ההנחה בשלילה נקבל
::<math>\sqrt[n]{x^m}\neq (\sqrt[n]{x})^m \Rightarrow {x^m}\neq ((\sqrt[n]{x})^m )^n\Rightarrow {x^m}\neq ((\sqrt[n]{x})^{mn}= ((\sqrt[n]{x})^n)^m=x^m</math> בסתירה.
:::כן. וזה נובע מכך שמספרים חיוביים שונים בחזקה חיובית נותנים תוצאה שונה, גם את זה קל להוכיח באינדוקציה - הגדול יהיה גדול יותר. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== היינה באינסןף ==

אם <math>\lim f(x)</math> באינסוף הוא L, זה אומר לפי היינה שגם <math>lim f(n^2-nln(n))=L</math>,נכון?
::נכון. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:58, 19 בפברואר 2012 (IST)

== מבחן תשנ"ט שאלה 2ג. ==

במבחן כתוב <math>\frac{1}{log\frac{1}{n}}</math> כאשר n מ-1 עד אינסוף. ב-1 הביטוי לא מוגדר.
::נכון. בימים אלה אנחנו חוגגים בר מצווה לטעות. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:36, 19 בפברואר 2012 (IST)
:::זאת תשובה ממש משעשעת :) (my work here is done!)

== גבולות ==

אם סדרה an שואפת למספר טבעי ממשי מ0 וסדרת bn שואפת ל0 דרך החיוביים. an/bn שואפת לאינסוף? או שבמנה חייב להיות מספר ממשי ולא משהו ששואף אליו?
:מה הכוונה למספר ממשי "מאפס"? כלומר מהצד שקרוב יותר לאפס? בכל מקרה הגבול הזה אכן יהיה אינסוף --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== דוגמה 2 לטורים חיוביים ==

יש [http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%9D/%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%A0%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%97%D7%99%D7%95%D7%91%D7%99%D7%99%D7%9D/%D7%93%D7%95%D7%92%D7%9E%D7%90%D7%95%D7%AA/2 טעות] במכנה כשמפתחים את המנה של אברים עוקבים.

:מוזמן לתקן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::תיקנתי.

== 0^0 ==

יש דוגמה לגבול מהצורה <math> 0^0</math> ששואף ל2?

:<math>2\cdot \Big(\frac{1}{n}\Big)^{\frac{1}{n}}</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::לא לזה התכוונתי... רציתי שכל הביטוי יהיה רק חזקה ומעריך, כלומר שהוא יהיה מהצורה <math> 0^0</math> בלבד. באותה המידה יכולת להוסיף 1.
:::<math>\Big(\frac{1}{n2^n}\Big)^{-\frac{1}{n}}</math> ככה? (: --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::::כן, תודה! פשוט להכניס את ה2 לבסיס... (<math>\Big(\frac{1}{2^n}\Big)^{\frac{1}{n}}</math> זאת דוגמה יפה יותר, כי אז הביטוי יהיה קבוע למרות הצורה <math> 0^0</math>)

== דוגמה 3 לטורים חיוביים ==

[[http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%9D/%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%A0%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%97%D7%99%D7%95%D7%91%D7%99%D7%99%D7%9D/%D7%93%D7%95%D7%92%D7%9E%D7%90%D7%95%D7%AA/3]] התכוונתם לרשום ש'''לפחות''' שני שלישים, כנראה. מה שכתוב כרגע נכון רק לn ששקול ל0 מודולו 3.

נוסף על כך, ההתקדמות קצת מהירה מדי (עבורי) שם - כדאי להוסיף הסבר מילולי נוסח

"נקטין את כל האיברים במכפלה שגדולים מ<math>\frac{n}{3}</math>, ומכיוון שיש לפחות <math>\frac{2}{3}n</math> כאלה נקבל ש

<math>n!=1*2*..*\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor
*(\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor +1)*...*n

\geq 1*2*..*\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor*(\frac{n}{3})^{(\frac{2}{3}n)}

\geq (\frac{n}{3})^{(\frac{2}{3}n)}</math>

ומכיוון ששני האגפים חיוביים ניתן להעלות בריבוע."
:(לא התייחסתם, אז הוספתי.)

== דוגמה 5 לטורים חיוביים ==

הוכחת האינדוקצייה נראית לי שגוייה. (מה שכתוב שם לא הגיוני)

צריך להיות פשוט <math>\frac{b_{n+1}}{b_1}=\frac{b_{n+1}}{b_n}\cdot \frac{b{n}}{b_1}\geq \frac{a_{{n+1}}}{a_n} \frac{b{n}}{b_1}\geq \frac{a_{{n+1}}}{a_n} \frac{a_{n}}{a_1}=\frac{a_{n+1}}{a_1}</math> (א"ש ראשון לפי הנתון, שני לפי הנחת האינ')
:תוקן --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== טעויות במדמ"ח 11 שאלה 4 ==

בסעיף ב' יש טעות טריגונומטרית, בסעיף ד' המעבר האחרון שגוי.

== שאלה 1 א במבחן שהיה ב-2008 ==

בשאלה כתוב הגבול של הסדרה <math>\lim_{n\to \infty }\sqrt{n-\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt[3]{n}}</math>. אפשר רמז לפתרון הגבול הזה?
::תכפילו ותחלקו ב <math>\sqrt{n-\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt[3]{n}}</math>.
--[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:17, 21 בפברואר 2012 (IST)
::ואז ?
::מצמצמים את המונה והמכנה בביטוי "הכי גדול" כלומר ב<math>\sqrt{n}</math> --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:40, 21 בפברואר 2012 (IST)

== פונקציות ==

איך באופן כללי לענות על שאלות רציפות? עם כל ההגדרות כמו שכתוב במערכי תרגול או שאפשר גם לכתוב איפה שאפשר ב"הגיון"?
:לפי הגדרות ולפי משפטים בלבד --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה ==

הוכיחו כי הטור
<math>Sigma a_n</math>
מתכנס בהחלט אם ורק אם קיים
C>0
כך שלכל סדרה
<math>(b_n)n=1...infinity</math>
המקיימת כי
<math>|b_n|<=1</math>
לכל
n in N
וכן
<math>lim b_n=0, n->infinity</math>
מתקיים כי
<math>Sigma a_n*b_n<=C</math>
n=1....infinity

נ"ב,אני משום מה לא מצליח לרדת שורה,למרות שאני לוחץ על אנטר
תודה

:השאלה הופיע בתרגילי הבית של תשע"א: [http://math-wiki.com/images/b/b9/10Infi1Targil7Sol.pdf ראה פתרון של תרגיל 8].

:בכיוון השני אתה יכול גם להראות שהסדרה <math>a_{n}</math> מקיימת את תנאי קושי, כך שבכל פעם תבחר סדרה מתאימה.

== שאלה ממערכי תרגול- פונקציות- קושי ==

היי ארז!
מצ"ב מערך תרגול http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%AA/%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94
בשאלת ההוכחה הראשונה של קושי בה צריך להוכיח שהגבול הוא שמונה, לאחר שעשינו מכנה משותף ופישטנו את הביטוי והשאפנו את איקס ל-2 מה מעיד על כך שצריך להגדיל את השבר?ו..איך מוצאים את הדלתא????

:אנחנו רוצים להגדיל את כל הביטוי, ולמצוא דלתא שמבטיח שאפילו אחרי שהגדלנו הביטוי יהיה קטן מאפסילון ללא תלות באיקס. על מנת להגדיל את הביטוי אנחנו צריכים להקטין את המכנה. על מנת להקטין את המכנה אנחנו צריכים למצוא מספר גדול מאפס שקטן תמיד מהמכנה. אנחנו בוחרים דלתא שנותן לנו מספר כזה.. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== בתרגיל להלן שיש לו קישור ==

לא ברור איך ידעת מאיפה להתחיל .. אפשר הסבר לאיך הגעת לנקודת ההתחלה מה רמז לך לזה?
תודה
http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%AA

:יש שם כמה תרגילים, הכוונה לראשון? כאשר אנחנו מקבלים סדרה שאנו רוצים להוכיח שהיא מתכנסת יש לנו מספר שיטות. האחת היא להראות מונוטוניות וחסימות, השנייה היא למצוא נוסחא מפורשת (קשה במקרה זה) ואחרת היא להראות תנאי קושי. אין דרך לדעת בוודאות מראש איזו שיטה עובדת, יש לנסות את כולם עד אשר מצליחים לפתור את התרגיל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::סורי שלא ציינתי זאת התכוונתי לתרגיל השני עם a1=אלפא b1=ביטא נ.ב- "לא קונה בלי תימני"

:::כמו בתרגילים אחרים, העצה היא להתחיל לרשום כמה איברים ראשונים של הסדרה. מהר מאד רואים שאחת עולה, השנייה יורדת, והשנייה גדולה מהראשונה. אחרי שרואים את זה ניגשים להוכיח במרץ --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== היינה- שאלה קטנטנה ==

היי, בקובץ המצורף http://math-wiki.com/images/7/7b/10Infi1Targil8Sol.pdf בשאלה 3.
השאלה פשוטה עקרונית. אבל מבחינת ההוכחה יכולתי לומר שמתקיים לכל סדרה לקחת בפרט סדרה כלשהי (נגיד 1 חלקי n ) ששואפת ל-0 להפעיל עליה את f ולומר שמדובר על מכפלה של אפסית בחסום ולכן הגבול אפס. אמת?
:לא מספיק להוכיח לסדרה מסויימת, חייבים להוכיח שזה מתקיים לכל סדרה. אחרת יכול להיות שעל הנקודות של 1 חלקי n קורה משהו אחד, ועל נקודות אחרות בסביבת אפס קורה משהו אחר --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== הוכחה של גבול ==

היי,
השאלה: הוכח שlimcosx=1 כאשר x שואף ל-0.
בוחרים סדרה כלשהי שמתכנסת ל-0 ואז מה ניתן לעשות?
תודה

:תלוי מאיפה השאלה בחומר. בהרצאה הוכחנו שקוסינוס וסינוס הן פונקציות רציפות, זה נובע ישירות מהגדרת הרציפות --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== לא הצלחתי שאלה במבחן מסוים... ==

http://www.studenteen.org/inf1_exam_zalcman_2009_a.pdf תרגיל 2 ג הוכחתי שזה מתכנס בתנאי לפי דריכלה אבל אין לי רעיון עם מתכנס בהחלט...
:זה לא מתכנס בהחלט. בלי הקוסינוס זה נכון לפי מבחן העיבוי, עם הקוסינוס ניתן להוכיח שקוסינוס בערך מוחלט גדול מקבוע מסויים לפחות כל פעם שנייה. הרי אם הוא קרוב לאפס, אחרי אחד הוא יתרחק ממנו. לכן זה גדול מקבוע כפול טור מתבדר ולכן מתבדר. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::לא הבנתי כל כך איך אני מוכיח שזה מתכנס בתנאי...
:::מבחן דיריכליי, הוא רשום במפורט במערכי תרגול. '''אבל''' להבנתי אסור לכם להשתמש בזה במבחן, וכנראה לא יהיה תרגיל כזה במבחן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== לא הצלחתי לסווג את הנקודות קיצון ==

http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef1a2e00a144.pdf שאלה 6 א את 0 הצלחתח בעזרת לופיטל אבל לא הצלחתי את PI/2+PK
::מדובר בסוג שני. מספיק להוכיח שהגבול השמאלי ב <math>\frac{\pi}{2}</math> אינו סופי. (אם הוא אינסופי או לא קיים בכל מקרה מדובר בסוג שני) וזה משליך גם על כל הנקודות האחרות. מספיק להוכיח שהגבול השמאלי של המונה אינו סופי. (למה?) נניח בשלילה שהגבול סופי אזי בהכרח הגבול בין 1 למינוס 1 (נובע מערכי סינוס). נניח שהגבול הוא a. כעת ניתן להפעיל arcsin על שני האפים שהיא פונקציה רציפה בתחום הגדרתה (משתמשים כאן ברעיון של שאלה 2 מתרגיל 10) וכמו כן לזכור ש arcsinsin t=t ונקבל ש
<math>\lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^-}tan x=arcsin a </math>
אבל arcsin a הוא מספר סופי ומצד שני ידוע ש <math>\lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^-}tan x=\infty </math>
וזו סתירה להנחה.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 01:08, 8 באפריל 2012 (IDT)

== מבחן נוסף... ==

http://www.studenteen.org/ חשבון אינפי 1 בחינות של שמואל קפלן קובץ 2 תרגיל 1 א

:אפשר להוכיח באינדוקציה ש<math>2^{n}>n^{3}</math> החל מn מסויים, מכאן תמשיך!
אופס קודם התבלבלתי תרגיל 1 ג
::ניתן להיפטר מarcsin ע"י הצבת <math>x=sint</math> ואז מקבלים גבול כש <math>t</math> שואף לאפס
מקבלים גבול מהצורה של 1 בחזקת אינסוף. אותו אפשר לפתור ע"י הטלת ln (בסוף צריך להפעיל e בחזקת התוצאה הזו כדי לקבל את הגבול המקורי) אחרי השלב של הln פותרים בעזרת לופיטל. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:36, 8 באפריל 2012 (IDT)

== אפשר רמז? ==

אם פונציה f
1.רציפה על [a,b] ,
2. קיימת נגזרת סופית בקטע ..(למיטב הבנתי הנגזרת חסומה..)
3. הפונקציה לא לינארית..(במה בדיוק זה עוזר לי?)
צ"ל שקיימת לפחות נק' אחת שבה הנגזרת יותר גדולה מהנגזרת בין a לb לפי לגראנג'..(כאילו
f(b) -f(a)/b-a< f'(c)
::ברגע שהפונקציה לא ליניארית אז לא יתכן ש <math> f(x)=f(a)+(x-a)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
לכל x.
כלומר בהכרח קיים <math>a<x<b</math> כך שבמקום שוויון יש אי שוויון.
אם למשל <math>f(x)</math> גדול מאגף ימין אז ניתן להסתכל בביטוי
<math> \frac{f(x)-f(a)}{x-a}</math> ולהסיק ש...
אם אי השוויון הוא בכיוון השני אז ניתן להתבונן ב <math> \frac{f(b)-f(x)}{b-x}</math> ולהסיק הדרוש. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:08, 8 באפריל 2012 (IDT)

תודה :-)

== מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים. ==

בהוכחת מבחן השורש לטורים חיוביים נעזרים במשפט עזר על אפייון הלימסופ, בו נאמר פחות או יותר-
תהי '''סדרה כלשהי''', אם קיים מספר כלשהו אשר גדול מהלימסופ של הסדרה, אזי קיימים לכל היותר מספר סופי של איברים..כמו כן קיים ניסוח גם למקרה ההפוך.
השאלה שלי היא, האם אין צורך לדרוש את הקיום הזה לכל סדרה חסומה?
::לא. זו דוגמא טובה לתנאי שמתקיים באופן ריק. אם למשל הסדרה לא חסומה מלעיל אז הגרירה: "אם קיים מספר כלשהו אשר גדול מהלימסופ של הסדרה, אזי קיימים לכל היותר מספר סופי של איברים.." היא בהכרח '''פסוק אמת''' כי הרישא היא שקרית (הלימסופ הוא אינסוף ולכן לא קיים מספר הגדול ממנו) ולכן לא משנה מה תוצאת הגרירה, הפסוק יהיה פסוק אמת. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 11:25, 9 באפריל 2012 (IDT)

== שאלה למבחן ==

אפשר להשתמש בעובדה שהטור <math>\forall \alpha \in (-1,0]: \sum_{n=1}^{\infty} n^{\alpha}</math> מתבדר

ושהטור <math>\forall \alpha \in (-\infty ,-1]: \sum_{n=1}^{\infty} n^{\alpha}</math> מתכנס? או שצריך להוכיח כל פעם?

:רק תיקון קל, הטור מתכנס אם <math>\alpha<-1</math>.
:: תיקנתי...

:::עקרונית כן, תשאל בזמן המבחן. אם אומרים שלא, אז תוכיח באמצעות מבחן העיבוי (קלי קלות) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::::קל לראות ש... - [http://knowyourmeme.com/photos/230191-wtf-is-this-shit בודאי!]
::::: נו לאן הגענו ששואלים שאלה ועונים עליה עם מימי ?
תודה בכל מקרה ארז :-)

== רציפות במש ==

x*logx היא רציפה במש? נראה לי שלא אבל לא הצלחתי למצוא סדרות שיפריכו לי
::יש את הדוגמא הזו במערכי התרגול בנושא רציפות במ"ש. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 15:18, 10 באפריל 2012 (IDT)

== האם סביר שיהיה שאלה על נקודות הצטברות במבחן? ==

ואם כן...
מה עושים עם זה :
תהי A קבוצת נקודות ממשיות. נקרא נקודה פנימית של A לנקודה a שייכת ל A עבורה יש סביבת אפסילון מוכלת(עבור אפסילון>0 כלשהו) המוכלת כולה ב- A.
הוכיחו כי אם B היא קבוצה המכילה את כל נקודות ההצטברות שלה, אזי הקבוצה המשלימה שלB (שהיא R/B ) אינה מכילה אף נקודת הצטברות שאינה נקודה פנימית של R/B .
::אני בספק אם תהיה שאלה בנושא. אבל, בהנחה שנקודות הצטברות נלמדו בהרצאה אני מניח שהסיכוי הוא לא אפס. איך אפשר להוכיח? ניתן להוכיח אפילו יותר- שבתנאי השאלה R\B אינה מכילה אף נקודה שאינה נקודה פנימית של R\B (בלי קשר אם הנקודה היא נק' הצטברות). נניח בשלילה שקיימת נקודה x השייכת לR\B וגם שx אינה נק' פנימית של R\B.
x אינה נק' פנימית של R\B ולכן משלילת ההגדרה של נק' פנימית נקבל שכל סביבת אפסילון של x לא מוכלת ב R\B. זה שקול לכך שהחיתוך של כל סביבת אפסילון של x עם B אינו ריק. כמו כן מכיון שx שייכת ל R\B
אז לכל אפסילון > 0 בחיתוך הנ"ל שאינו ריק קיימת נקודה השונה מx. לכן עפ"י ההגדרה (או אחת השקולות)
x נקודת הצטברות של B אבל הקבוצה B מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה, ומכאן x שייכת לB בסתירה לכך ש x שייכת לR\B.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 15:32, 10 באפריל 2012 (IDT)

== רציפות במש ועוד שאלה... ==

להוכיח או להפריך שxcosx רציפה במש(אני די בטוח שזה הפרכה) ולהוכיח ש:הטור an מתכנס בהחלט אם ורק אם לכל סדרה bn המתכנסת ל0 הטור anbn מתכנס
הצלחתי את הכיוון של אם an מתכנס בהחלט אבל לא הצלחתי את השני טנקס!!!
וגם x*sin(1/sinx) למצוא נקודות אי רציפות:מצאתי שx=pi*k זה נקודות האי רציפות ומצאתי ש0 זה נקודת אי רציות סליקה אבל בקשר לשאר הנקודות אני לא יודע

לגבי <math>xcosx</math> אתה בוחר שתי סדרות <math>x_n , y_n</math> כך שהפרשן מתכנס ל-0, אבל <math>f(x_n)-f(y_n)</math> לא מתכנס ל-0.

לגבי הנקודות אי רציפות אני מזכיר שאם אחד הגבולות החד צדדים הוא אינסוף, זה נקודת אי רציפות מהסוג השני.
אם שני הגבולות החד צדדיים שווים, אבל בנקודה הזאת הפוקנציה לא מוגדרת, זה נקודת אי רציפות סליקה.

לגבי הטורים: מניחים שלכל סדרה <math>b_n</math> שמתכנסת ל-0 הטור <math>\sum a_n b_n</math> מתכנס, ואז אתה בוחר בחכמה את הסדרה <math>b_n</math> בצורה כזו שאתה מגיע ישירות מהטור <math>\sum a_n b_n</math> לטור <math>\sum |a_n|</math> . מקווה שעזרתי :-)

שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב

2012-04-11T11:21:13Z

לב זלוטניק: /* רציפות במש ועוד שאלה... */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 1| ארכיון 1]]

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 2| ארכיון 2]]

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 3| ארכיון 3]]

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 4| ארכיון 4]]

=שאלות=

== איך מוכיחים שאין טור שמתבדר הכי לאט ==

כלומר לכל טור חיובי <math>\sum a_n</math> שמתבדר קיים טור <math>\sum b_n</math> מתבדר כך ש: <math>\frac{b_n}{a_n}\to 0</math>
:בדומה למשפט רימן, ניתן "לדחוס" ו"לפזר" את האיברי הסדרה על מנת לקבל סדרה המתכנסת יותר מהר לאפס, שהטור עליה עדיין מתבדר. למשל אפשר את האיבר הראשון לחלק ל10 ולהפוך אותו לעשרה איברים, את האיבר הבא לחלק ב100 ולהפוך אותו למאה איברים וכן הלאה. (זה לא אלגוריתם מלא כמובן) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אבל הסדרה <math>a_n</math> לא בהכרח יורדת

== איך מוכיחים את מבחן ראבה ==

נראה לי לא הוכחנו אותו בכיתה
:לא חשבתי על זה האמת, זה פשוט משפט ידוע --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מבחן ==

מותר להשתמש במבחן במשפטים ממערכי התרגול/ התרגולים שלא הזכרנו בהרצאה?
לגבי המשפטים וההוכחות שבאתר, לא את כולם צריך לדעת נכון? בהרצאה אמרו פחות
:זו שאלה למרצים, והמשפטים הם לפי מה שהמרצים אמרו. המשפטים באתר לא קשורים לזה באופן ישיר, פשוט השתדלנו לשים גם את מה שחייבים להוכיח. אני חושב שהדבר היחיד במערכי התרגול שלא מההרצאה הוא מבחן ראבה, לא? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::יש משפטים על רציפות במ"ש למשל שאם פונקציה רציפה במ"ש בכמה קטעים אז היא רציפה באיחוד שלהם ואם אני לא טועה גם זה שמכך שהנגזרת חסומה

:::המשפטים האלה מההרצאה עד כמה שאני יודע. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== בקשר לגבולות של סדרות ==

אם יש לי סדרה An של חיוביים ומצאתי סדרה Bn>An ששואפת לאפס האם גם An תשאף ל-0 אם כן למה?

:חוק הסנדביץ. <math>0\leq a_n \leq b_n</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== חזרה על התרגילים ==

בתרגיל 3
שאלה 4 סעיפים א,ב,ג

האם יש קשר בין
an כלומר איברי הסדרה an1 an2.....

ל a אליו הוא שואף??
תודה

:לא, זה פשוט סימון לגבול. אפשר להחליף באות אחרת כמו L --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== גבול החסמים העליונים ==

האם מכך שידוע שגבול החסמים העליונים הוא מספר ממש נובע שהסדרה חסומה מלעיל?
:אני מניח שהכוונה לגבול החסמים העליונים כאשר מחסירים איברים מהסדרה. ברגע שיש חסם עליון ממשי החל משלב מסוים זה אומר שהסדרה חסומה על ידי המקסימום בין החסם העליון הזה לבין כל האיברים שנזרקו --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== פתרונות למבחנים ==

אם אני אכתוב את הפתרונות של מבחנים שונים עם Latex ב-Word, תעלו את קובץ הוורד של הפתרונות שלי לאתר?
:אם אתה כותב latex למה שלא תכתוב באתר? פתרונות באתר טובים בהרבה כיוון שקל לתקן אותם --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אני כותב בעזרת [http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php] והאתר משום מה תמיד כותב לי '''עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג)''', דוגמא:
<math>[a_n=S_{n-1} \Delta ^ 2]
</math>
הבעיה העיקרית היא לרדת שורה, כי אני יכול רק עם שורת הקוד <math>a _ n=S _ {n-1} \Delta ^ 2</math> ללא שימוש בתרגום ללייטקס, אבל זה עובד רק אם זאת שורה אחת, משום מה זה לא קורא את ה'\\'.

קראתי חלק מ-[http://en.wikipedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula] אבל לא מצאתי איך לתקן את השגיאה הזאת... ⊙_☉
מהו הקוד של ירידת שורה?
: (לא ארז) הקוד הוא \\ , אבל כמו שאמרת יש בעיה בו פה.
: איך עשית את ה'עיניים' בסמיילי?

::תרדו שורה באופן הפשוט ביותר- תפתחו נוסחא חדשה ותכתבו אותה למטה. סה"כ הויקי אינו מסמך לאטך, אלא הוא מאפשר לכתוב נוסחאות בודדות בלאטך. תקנתי למשל את הבעייה שהוצגה לעיל, הסלאש סוגר מרובע היה מיותר. יש כמה הבדלים קטנים מלאטך, אבל הם לא משמעותיים כפי שאתם יכולים לראות במערכי התרגול שכולם כתובים בפורמט ויקי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== איך מוכיחים שפונקציה קמורה רציפה? ==

כלומר אם מתקיים <math>\forall 0\leq t\leq 1,x,x_0 \colon f((1-t)x+t(x_0))\leq (1-t)f(x)+tf(x_0) </math>
:נניח בשלילה כי היא אינה רציפה, לכן לפי היינה יש לה גבולות שונים על סדרות שונות. בעזרתן תוכל לסתור את הקמירות --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
:ואם זו אי רציפות סליקה, אזי או שהערך בנקודה גבוה מהגבול וזו סתירה לקמירות, או שהוא נמוך ואז ערכים הקרובים אליו סותרים את הקמירות אם מותחים מהערך בנקודה קו לנקודות באיזור --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::אפשר להרחיב ? כלומר, איך מראים את זה בשימוש בנתונים הנ"ל ?

:::נביט שתי הסדרות השואפות לאותה נקודה, עליהן הפונקציה שואפת למקומות שונים. אחד המקומות גבוה מהשני. תיקח שתי נקודות מהסדרה הנמוכה שיש נקודה מהסדרה השנייה בניהן, אז הפונקציה תהיה מעל לקו העובר בין שתי הנקודות בנקודה השלישית, בסתירה. (תנסה לצייר את זה קודם, זה יעזור)--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מתי השיעורי חזרה? ==

תודה

<math>Sumx^2</math>

== תרגיל 12 שאלה 2 C ==

הפתרון לא מובן לי. כיצד מתקיים השוויון הבא:

<math>\frac{-1}{2\sqrt\frac{x+1}{x-1}}\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)^2\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}</math>
::יש שם טעות. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:27, 15 בפברואר 2012 (IST)

::::תודה רבה

== תרגיל 12 שאלה 3 a ==

שוב הפתרון לא מובן לי. כיצד מתקיים:

<math>2^{x^{e}}=e^{log2^{x^{e}}}</math>

זה לא אמור להיות:

<math>2^{x^{e}}=e^{ln2^{x^{e}}}</math>

::הסימון <math>\log(x)</math> משמש לעיתים (וגם בתרגיל זה) תחליף ל<math>\ln</math> כלומר ללוגריתם בבסיס <math>e</math> . לפעמים הוא משמש כלוגריתם בבסיס 10 (לא הפעם). אין טעות בפתרון במקרה זה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:32, 15 בפברואר 2012 (IST)

::::תודה רבה

== שיעורי חזרה ==

1)כדאי לתיכוניסטים להגיע לשיעורי החזרה של הבוגרים?

2)כדאי למי שיגיע ללואי להגיע גם למני?

'''הבהרה'''

שיעורי החזרה של לואי ומני מיועדים רק לסטודנטים שלנו ולא לתיכוניסטים (וזאת מכיוון שאנו רוצים למנוע קבוצות גדולות מדי)

יש להגיע רק לאחד מאיתנו, שכן אנחנו פותרים בדיוק את אותם התרגילים. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 14:22, 16 בפברואר 2012 (IST)

:אבל זה ממש נוח לנו.. שיעור החזרה שלנו נגמר בדיוק כששלך מתחיל :(

== מבנה המבחן ==

מה מבנה המבחן? כמה זמן הוא?

== אריתמטית של גבולות ==

אם סדרה אחת שואפת לאינסות והחארת לאפס, למה שואפת המנה שלהן?
לגבי טורים, האם טור מתבדר פחות טור מתכנס, מתבדר? מה לגבי ההיפך?
:: אם הסדרה ששואפת לאפס שואפת לאפס דרך ערכים חיוביים (מה שהיינו מגדירים בפונקציות שאיפה מימין) אז
המנה של השואפת לאפס חלקי זאת ששואפת לאינסוף (אני מתכוון לפלוס אינסוף) תשאף לאפס והמנה ההפוכה תשאף לאינסוף.

אם השאיפה לאפס היא דרך ערכים שליליים אז המנות ישאפו לאפס ולמינוס אינסוף בהתאמה.

יכול להיות מצב שאחת המנות לא תשאף לגבול. למשל: אינסוף חלקי סדרה ששואפת לאפס אבל נניח שמשנה סימן ואז הגבול של האינסוף חלקי הסדרה ששואפת לאפס לא יהיה קיים. כי יהיו שתי תתי סדרות ששואפת לפלוס אינסוף ולמינוס אינסוף.

טור מתבדר פחות מתכנס הוא בהכרח מתבדר. כי נניח בשלילה שהוא מתכנס אם נחבר לטור שחיסרנו שנתון שהוא מתכנס נקבל טור מתכנס בסתירה לכך שהטור שממנו חיסרנו היה מתבדר.

מתכנס פחות מתבדר גם כן מתבדר משיקולים דומים. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:06, 17 בפברואר 2012 (IST)
== ערכים של טורים ==

האם צריך לזכור למבחן ערכים של טורים מסויימים?(לכמה הטור שווה ) אם כן אלו ?(לדוגמה הטור ההרמוני המתחלף)

בפתרון של מבחן משנה שעברות כתוב: קל לראות ש bn+1/bn שואף לאינסוף ולכןbn שואף לאינסוף. למה?
מה מייצג הסימן f בחזקת -1. חשבתי שאחד חלקי הפונקציה אבל לפי פתרון המחבן משנה שעברה (שאלה 7) ניראה כאילו גוזרים אותה בתור הפונקציה ההפוכה לf
::עדיף לשאול 3 שאלות מנושאים שונים בנפרד ולא תחת נושא אחד. בכל מקרה:
לגבי השאלה הראשונה- לא. אין צורך.
לגבי השאלה השלישית- הסימון מייצג את הפונקציה ההפוכה.

שאלה שניה- <math>b_n>1</math> ולכן <math>b_{n+1}>b_{n+1}/b_n</math> לכן אם
<math>b_{n+1}/b_n</math> שואף לאינסוף אז כך גם <math>b_{n+1}</math> (ולכן גם <math>b_{n}</math>)
--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:07, 18 בפברואר 2012 (IST)

== נגזרת ורציפות ==

אם f גזירה פעמיים ב[a,b]
אז הנגזרת רציפה בקטע הסגור הזה?
::כן. באופן כללי גזירות בנקודה גורררת רציפות בנקודה. כמו כן גזירות ימנית (שמאלית) גוררת רציפות מימין (משמאל בהתאמה).--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:09, 18 בפברואר 2012 (IST)

== הגדרת החזקה - שיעור ראשון ==

איך מוכיחים ש <math>\sqrt[n]{x^m}=(\sqrt[n]{x})^m</math>?

:נניח שהם שונים, נעלה את שניהם בחזקת n ונקבל סתירה, לפי החוק <math>(a^n)^m=(a^m)^n</math> (אותו קל להוכיח) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::ציין אם זה נכון: בגלל ש<math>n,m</math> הם מספרים טבעיים, נקבל שכל אחד מהאגפים שווה לפי עקרון הכפל הקומבינטורי ל <math>a^{nm}</math>, ולכן לאחר ההנחה בשלילה נקבל
::<math>\sqrt[n]{x^m}\neq (\sqrt[n]{x})^m \Rightarrow {x^m}\neq ((\sqrt[n]{x})^m )^n\Rightarrow {x^m}\neq ((\sqrt[n]{x})^{mn}= ((\sqrt[n]{x})^n)^m=x^m</math> בסתירה.
:::כן. וזה נובע מכך שמספרים חיוביים שונים בחזקה חיובית נותנים תוצאה שונה, גם את זה קל להוכיח באינדוקציה - הגדול יהיה גדול יותר. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== היינה באינסןף ==

אם <math>\lim f(x)</math> באינסוף הוא L, זה אומר לפי היינה שגם <math>lim f(n^2-nln(n))=L</math>,נכון?
::נכון. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:58, 19 בפברואר 2012 (IST)

== מבחן תשנ"ט שאלה 2ג. ==

במבחן כתוב <math>\frac{1}{log\frac{1}{n}}</math> כאשר n מ-1 עד אינסוף. ב-1 הביטוי לא מוגדר.
::נכון. בימים אלה אנחנו חוגגים בר מצווה לטעות. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:36, 19 בפברואר 2012 (IST)
:::זאת תשובה ממש משעשעת :) (my work here is done!)

== גבולות ==

אם סדרה an שואפת למספר טבעי ממשי מ0 וסדרת bn שואפת ל0 דרך החיוביים. an/bn שואפת לאינסוף? או שבמנה חייב להיות מספר ממשי ולא משהו ששואף אליו?
:מה הכוונה למספר ממשי "מאפס"? כלומר מהצד שקרוב יותר לאפס? בכל מקרה הגבול הזה אכן יהיה אינסוף --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== דוגמה 2 לטורים חיוביים ==

יש [http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%9D/%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%A0%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%97%D7%99%D7%95%D7%91%D7%99%D7%99%D7%9D/%D7%93%D7%95%D7%92%D7%9E%D7%90%D7%95%D7%AA/2 טעות] במכנה כשמפתחים את המנה של אברים עוקבים.

:מוזמן לתקן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::תיקנתי.

== 0^0 ==

יש דוגמה לגבול מהצורה <math> 0^0</math> ששואף ל2?

:<math>2\cdot \Big(\frac{1}{n}\Big)^{\frac{1}{n}}</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::לא לזה התכוונתי... רציתי שכל הביטוי יהיה רק חזקה ומעריך, כלומר שהוא יהיה מהצורה <math> 0^0</math> בלבד. באותה המידה יכולת להוסיף 1.
:::<math>\Big(\frac{1}{n2^n}\Big)^{-\frac{1}{n}}</math> ככה? (: --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::::כן, תודה! פשוט להכניס את ה2 לבסיס... (<math>\Big(\frac{1}{2^n}\Big)^{\frac{1}{n}}</math> זאת דוגמה יפה יותר, כי אז הביטוי יהיה קבוע למרות הצורה <math> 0^0</math>)

== דוגמה 3 לטורים חיוביים ==

[[http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%9D/%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%A0%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%97%D7%99%D7%95%D7%91%D7%99%D7%99%D7%9D/%D7%93%D7%95%D7%92%D7%9E%D7%90%D7%95%D7%AA/3]] התכוונתם לרשום ש'''לפחות''' שני שלישים, כנראה. מה שכתוב כרגע נכון רק לn ששקול ל0 מודולו 3.

נוסף על כך, ההתקדמות קצת מהירה מדי (עבורי) שם - כדאי להוסיף הסבר מילולי נוסח

"נקטין את כל האיברים במכפלה שגדולים מ<math>\frac{n}{3}</math>, ומכיוון שיש לפחות <math>\frac{2}{3}n</math> כאלה נקבל ש

<math>n!=1*2*..*\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor
*(\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor +1)*...*n

\geq 1*2*..*\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor*(\frac{n}{3})^{(\frac{2}{3}n)}

\geq (\frac{n}{3})^{(\frac{2}{3}n)}</math>

ומכיוון ששני האגפים חיוביים ניתן להעלות בריבוע."
:(לא התייחסתם, אז הוספתי.)

== דוגמה 5 לטורים חיוביים ==

הוכחת האינדוקצייה נראית לי שגוייה. (מה שכתוב שם לא הגיוני)

צריך להיות פשוט <math>\frac{b_{n+1}}{b_1}=\frac{b_{n+1}}{b_n}\cdot \frac{b{n}}{b_1}\geq \frac{a_{{n+1}}}{a_n} \frac{b{n}}{b_1}\geq \frac{a_{{n+1}}}{a_n} \frac{a_{n}}{a_1}=\frac{a_{n+1}}{a_1}</math> (א"ש ראשון לפי הנתון, שני לפי הנחת האינ')
:תוקן --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== טעויות במדמ"ח 11 שאלה 4 ==

בסעיף ב' יש טעות טריגונומטרית, בסעיף ד' המעבר האחרון שגוי.

== שאלה 1 א במבחן שהיה ב-2008 ==

בשאלה כתוב הגבול של הסדרה <math>\lim_{n\to \infty }\sqrt{n-\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt[3]{n}}</math>. אפשר רמז לפתרון הגבול הזה?
::תכפילו ותחלקו ב <math>\sqrt{n-\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt[3]{n}}</math>.
--[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:17, 21 בפברואר 2012 (IST)
::ואז ?
::מצמצמים את המונה והמכנה בביטוי "הכי גדול" כלומר ב<math>\sqrt{n}</math> --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:40, 21 בפברואר 2012 (IST)

== פונקציות ==

איך באופן כללי לענות על שאלות רציפות? עם כל ההגדרות כמו שכתוב במערכי תרגול או שאפשר גם לכתוב איפה שאפשר ב"הגיון"?
:לפי הגדרות ולפי משפטים בלבד --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה ==

הוכיחו כי הטור
<math>Sigma a_n</math>
מתכנס בהחלט אם ורק אם קיים
C>0
כך שלכל סדרה
<math>(b_n)n=1...infinity</math>
המקיימת כי
<math>|b_n|<=1</math>
לכל
n in N
וכן
<math>lim b_n=0, n->infinity</math>
מתקיים כי
<math>Sigma a_n*b_n<=C</math>
n=1....infinity

נ"ב,אני משום מה לא מצליח לרדת שורה,למרות שאני לוחץ על אנטר
תודה

:השאלה הופיע בתרגילי הבית של תשע"א: [http://math-wiki.com/images/b/b9/10Infi1Targil7Sol.pdf ראה פתרון של תרגיל 8].

:בכיוון השני אתה יכול גם להראות שהסדרה <math>a_{n}</math> מקיימת את תנאי קושי, כך שבכל פעם תבחר סדרה מתאימה.

== שאלה ממערכי תרגול- פונקציות- קושי ==

היי ארז!
מצ"ב מערך תרגול http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%AA/%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94
בשאלת ההוכחה הראשונה של קושי בה צריך להוכיח שהגבול הוא שמונה, לאחר שעשינו מכנה משותף ופישטנו את הביטוי והשאפנו את איקס ל-2 מה מעיד על כך שצריך להגדיל את השבר?ו..איך מוצאים את הדלתא????

:אנחנו רוצים להגדיל את כל הביטוי, ולמצוא דלתא שמבטיח שאפילו אחרי שהגדלנו הביטוי יהיה קטן מאפסילון ללא תלות באיקס. על מנת להגדיל את הביטוי אנחנו צריכים להקטין את המכנה. על מנת להקטין את המכנה אנחנו צריכים למצוא מספר גדול מאפס שקטן תמיד מהמכנה. אנחנו בוחרים דלתא שנותן לנו מספר כזה.. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== בתרגיל להלן שיש לו קישור ==

לא ברור איך ידעת מאיפה להתחיל .. אפשר הסבר לאיך הגעת לנקודת ההתחלה מה רמז לך לזה?
תודה
http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%AA

:יש שם כמה תרגילים, הכוונה לראשון? כאשר אנחנו מקבלים סדרה שאנו רוצים להוכיח שהיא מתכנסת יש לנו מספר שיטות. האחת היא להראות מונוטוניות וחסימות, השנייה היא למצוא נוסחא מפורשת (קשה במקרה זה) ואחרת היא להראות תנאי קושי. אין דרך לדעת בוודאות מראש איזו שיטה עובדת, יש לנסות את כולם עד אשר מצליחים לפתור את התרגיל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::סורי שלא ציינתי זאת התכוונתי לתרגיל השני עם a1=אלפא b1=ביטא נ.ב- "לא קונה בלי תימני"

:::כמו בתרגילים אחרים, העצה היא להתחיל לרשום כמה איברים ראשונים של הסדרה. מהר מאד רואים שאחת עולה, השנייה יורדת, והשנייה גדולה מהראשונה. אחרי שרואים את זה ניגשים להוכיח במרץ --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== היינה- שאלה קטנטנה ==

היי, בקובץ המצורף http://math-wiki.com/images/7/7b/10Infi1Targil8Sol.pdf בשאלה 3.
השאלה פשוטה עקרונית. אבל מבחינת ההוכחה יכולתי לומר שמתקיים לכל סדרה לקחת בפרט סדרה כלשהי (נגיד 1 חלקי n ) ששואפת ל-0 להפעיל עליה את f ולומר שמדובר על מכפלה של אפסית בחסום ולכן הגבול אפס. אמת?
:לא מספיק להוכיח לסדרה מסויימת, חייבים להוכיח שזה מתקיים לכל סדרה. אחרת יכול להיות שעל הנקודות של 1 חלקי n קורה משהו אחד, ועל נקודות אחרות בסביבת אפס קורה משהו אחר --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== הוכחה של גבול ==

היי,
השאלה: הוכח שlimcosx=1 כאשר x שואף ל-0.
בוחרים סדרה כלשהי שמתכנסת ל-0 ואז מה ניתן לעשות?
תודה

:תלוי מאיפה השאלה בחומר. בהרצאה הוכחנו שקוסינוס וסינוס הן פונקציות רציפות, זה נובע ישירות מהגדרת הרציפות --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== לא הצלחתי שאלה במבחן מסוים... ==

http://www.studenteen.org/inf1_exam_zalcman_2009_a.pdf תרגיל 2 ג הוכחתי שזה מתכנס בתנאי לפי דריכלה אבל אין לי רעיון עם מתכנס בהחלט...
:זה לא מתכנס בהחלט. בלי הקוסינוס זה נכון לפי מבחן העיבוי, עם הקוסינוס ניתן להוכיח שקוסינוס בערך מוחלט גדול מקבוע מסויים לפחות כל פעם שנייה. הרי אם הוא קרוב לאפס, אחרי אחד הוא יתרחק ממנו. לכן זה גדול מקבוע כפול טור מתבדר ולכן מתבדר. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::לא הבנתי כל כך איך אני מוכיח שזה מתכנס בתנאי...
:::מבחן דיריכליי, הוא רשום במפורט במערכי תרגול. '''אבל''' להבנתי אסור לכם להשתמש בזה במבחן, וכנראה לא יהיה תרגיל כזה במבחן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== לא הצלחתי לסווג את הנקודות קיצון ==

http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef1a2e00a144.pdf שאלה 6 א את 0 הצלחתח בעזרת לופיטל אבל לא הצלחתי את PI/2+PK
::מדובר בסוג שני. מספיק להוכיח שהגבול השמאלי ב <math>\frac{\pi}{2}</math> אינו סופי. (אם הוא אינסופי או לא קיים בכל מקרה מדובר בסוג שני) וזה משליך גם על כל הנקודות האחרות. מספיק להוכיח שהגבול השמאלי של המונה אינו סופי. (למה?) נניח בשלילה שהגבול סופי אזי בהכרח הגבול בין 1 למינוס 1 (נובע מערכי סינוס). נניח שהגבול הוא a. כעת ניתן להפעיל arcsin על שני האפים שהיא פונקציה רציפה בתחום הגדרתה (משתמשים כאן ברעיון של שאלה 2 מתרגיל 10) וכמו כן לזכור ש arcsinsin t=t ונקבל ש
<math>\lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^-}tan x=arcsin a </math>
אבל arcsin a הוא מספר סופי ומצד שני ידוע ש <math>\lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^-}tan x=\infty </math>
וזו סתירה להנחה.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 01:08, 8 באפריל 2012 (IDT)

== מבחן נוסף... ==

http://www.studenteen.org/ חשבון אינפי 1 בחינות של שמואל קפלן קובץ 2 תרגיל 1 א

:אפשר להוכיח באינדוקציה ש<math>2^{n}>n^{3}</math> החל מn מסויים, מכאן תמשיך!
אופס קודם התבלבלתי תרגיל 1 ג
::ניתן להיפטר מarcsin ע"י הצבת <math>x=sint</math> ואז מקבלים גבול כש <math>t</math> שואף לאפס
מקבלים גבול מהצורה של 1 בחזקת אינסוף. אותו אפשר לפתור ע"י הטלת ln (בסוף צריך להפעיל e בחזקת התוצאה הזו כדי לקבל את הגבול המקורי) אחרי השלב של הln פותרים בעזרת לופיטל. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:36, 8 באפריל 2012 (IDT)

== אפשר רמז? ==

אם פונציה f
1.רציפה על [a,b] ,
2. קיימת נגזרת סופית בקטע ..(למיטב הבנתי הנגזרת חסומה..)
3. הפונקציה לא לינארית..(במה בדיוק זה עוזר לי?)
צ"ל שקיימת לפחות נק' אחת שבה הנגזרת יותר גדולה מהנגזרת בין a לb לפי לגראנג'..(כאילו
f(b) -f(a)/b-a< f'(c)
::ברגע שהפונקציה לא ליניארית אז לא יתכן ש <math> f(x)=f(a)+(x-a)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
לכל x.
כלומר בהכרח קיים <math>a<x<b</math> כך שבמקום שוויון יש אי שוויון.
אם למשל <math>f(x)</math> גדול מאגף ימין אז ניתן להסתכל בביטוי
<math> \frac{f(x)-f(a)}{x-a}</math> ולהסיק ש...
אם אי השוויון הוא בכיוון השני אז ניתן להתבונן ב <math> \frac{f(b)-f(x)}{b-x}</math> ולהסיק הדרוש. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:08, 8 באפריל 2012 (IDT)

תודה :-)

== מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים. ==

בהוכחת מבחן השורש לטורים חיוביים נעזרים במשפט עזר על אפייון הלימסופ, בו נאמר פחות או יותר-
תהי '''סדרה כלשהי''', אם קיים מספר כלשהו אשר גדול מהלימסופ של הסדרה, אזי קיימים לכל היותר מספר סופי של איברים..כמו כן קיים ניסוח גם למקרה ההפוך.
השאלה שלי היא, האם אין צורך לדרוש את הקיום הזה לכל סדרה חסומה?
::לא. זו דוגמא טובה לתנאי שמתקיים באופן ריק. אם למשל הסדרה לא חסומה מלעיל אז הגרירה: "אם קיים מספר כלשהו אשר גדול מהלימסופ של הסדרה, אזי קיימים לכל היותר מספר סופי של איברים.." היא בהכרח '''פסוק אמת''' כי הרישא היא שקרית (הלימסופ הוא אינסוף ולכן לא קיים מספר הגדול ממנו) ולכן לא משנה מה תוצאת הגרירה, הפסוק יהיה פסוק אמת. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 11:25, 9 באפריל 2012 (IDT)

== שאלה למבחן ==

אפשר להשתמש בעובדה שהטור <math>\forall \alpha \in (-1,0]: \sum_{n=1}^{\infty} n^{\alpha}</math> מתבדר

ושהטור <math>\forall \alpha \in (-\infty ,-1]: \sum_{n=1}^{\infty} n^{\alpha}</math> מתכנס? או שצריך להוכיח כל פעם?

:רק תיקון קל, הטור מתכנס אם <math>\alpha<-1</math>.
:: תיקנתי...

:::עקרונית כן, תשאל בזמן המבחן. אם אומרים שלא, אז תוכיח באמצעות מבחן העיבוי (קלי קלות) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::::קל לראות ש... - [http://knowyourmeme.com/photos/230191-wtf-is-this-shit בודאי!]
::::: נו לאן הגענו ששואלים שאלה ועונים עליה עם מימי ?
תודה בכל מקרה ארז :-)

== רציפות במש ==

x*logx היא רציפה במש? נראה לי שלא אבל לא הצלחתי למצוא סדרות שיפריכו לי
::יש את הדוגמא הזו במערכי התרגול בנושא רציפות במ"ש. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 15:18, 10 באפריל 2012 (IDT)

== האם סביר שיהיה שאלה על נקודות הצטברות במבחן? ==

ואם כן...
מה עושים עם זה :
תהי A קבוצת נקודות ממשיות. נקרא נקודה פנימית של A לנקודה a שייכת ל A עבורה יש סביבת אפסילון מוכלת(עבור אפסילון>0 כלשהו) המוכלת כולה ב- A.
הוכיחו כי אם B היא קבוצה המכילה את כל נקודות ההצטברות שלה, אזי הקבוצה המשלימה שלB (שהיא R/B ) אינה מכילה אף נקודת הצטברות שאינה נקודה פנימית של R/B .
::אני בספק אם תהיה שאלה בנושא. אבל, בהנחה שנקודות הצטברות נלמדו בהרצאה אני מניח שהסיכוי הוא לא אפס. איך אפשר להוכיח? ניתן להוכיח אפילו יותר- שבתנאי השאלה R\B אינה מכילה אף נקודה שאינה נקודה פנימית של R\B (בלי קשר אם הנקודה היא נק' הצטברות). נניח בשלילה שקיימת נקודה x השייכת לR\B וגם שx אינה נק' פנימית של R\B.
x אינה נק' פנימית של R\B ולכן משלילת ההגדרה של נק' פנימית נקבל שכל סביבת אפסילון של x לא מוכלת ב R\B. זה שקול לכך שהחיתוך של כל סביבת אפסילון של x עם B אינו ריק. כמו כן מכיון שx שייכת ל R\B
אז לכל אפסילון > 0 בחיתוך הנ"ל שאינו ריק קיימת נקודה השונה מx. לכן עפ"י ההגדרה (או אחת השקולות)
x נקודת הצטברות של B אבל הקבוצה B מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה, ומכאן x שייכת לB בסתירה לכך ש x שייכת לR\B.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 15:32, 10 באפריל 2012 (IDT)

== רציפות במש ועוד שאלה... ==

להוכיח או להפריך שxcosx רציפה במש(אני די בטוח שזה הפרכה) ולהוכיח ש:הטור an מתכנס בהחלט אם ורק אם לכל סדרה bn המתכנסת ל0 הטור anbn מתכנס
הצלחתי את הכיוון של אם an מתכנס בהחלט אבל לא הצלחתי את השני טנקס!!!
וגם x*sin(1/sinx) למצוא נקודות אי רציפות:מצאתי שx=pi*k זה נקודות האי רציפות ומצאתי ש0 זה נקודת אי רציות סליקה אבל בקשר לשאר הנקודות אני לא יודע

לגבי <math>xcosx</math> אתה בוחר שתי סדרות <math>x_n , y_n</math> כך שהפרשן מתכנס ל-0, אבל <math>f(x_n)-f(y_n)</math> לא מתכנס ל-0.

לגבי הנקודות אי רציפות אני מזכיר שאם אחד הגבולות החד צדדים הוא אינסוף, זה נקודת אי רציפות מהסוג השני.
אם שני הגבולות החד צדדיים שווים, אבל בנקודה הזאת הפוקנציה לא מוגדרת, זה נקודת אי רציפות סליקה.

לגבי הטורים: מניחים שלכל סדרה <math>b_n</math> שמתכנסת ל-0 הטור <math>\sum a_n b_n</math> מתכנס, ואז אתה בוחר בחכמה את הסדרה <math>b_n</math> בצורה כזו שכשאתה מגיע ישירות מהטור <math>\sum a_n b_n</math> לטור <math>\sum |a_n|</math> . מקווה שעזרתי :-)

שיחה:88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/אינטגרלים

2012-04-10T21:18:16Z

לב זלוטניק: /* atan */

שיחה:88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/אינטגרלים

2012-04-10T21:14:57Z

לב זלוטניק: /* atan */

שיחה:88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/אינטגרלים

2012-04-10T21:13:08Z

לב זלוטניק: /* atan */

שיחה:88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/אינטגרלים

2012-04-10T21:08:48Z

לב זלוטניק: /* atan */

שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב

2012-04-09T22:18:47Z

לב זלוטניק: /* שאלה למבחן */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 1| ארכיון 1]]

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 2| ארכיון 2]]

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 3| ארכיון 3]]

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 4| ארכיון 4]]

=שאלות=

== איך מוכיחים שאין טור שמתבדר הכי לאט ==

כלומר לכל טור חיובי <math>\sum a_n</math> שמתבדר קיים טור <math>\sum b_n</math> מתבדר כך ש: <math>\frac{b_n}{a_n}\to 0</math>
:בדומה למשפט רימן, ניתן "לדחוס" ו"לפזר" את האיברי הסדרה על מנת לקבל סדרה המתכנסת יותר מהר לאפס, שהטור עליה עדיין מתבדר. למשל אפשר את האיבר הראשון לחלק ל10 ולהפוך אותו לעשרה איברים, את האיבר הבא לחלק ב100 ולהפוך אותו למאה איברים וכן הלאה. (זה לא אלגוריתם מלא כמובן) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אבל הסדרה <math>a_n</math> לא בהכרח יורדת

== איך מוכיחים את מבחן ראבה ==

נראה לי לא הוכחנו אותו בכיתה
:לא חשבתי על זה האמת, זה פשוט משפט ידוע --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מבחן ==

מותר להשתמש במבחן במשפטים ממערכי התרגול/ התרגולים שלא הזכרנו בהרצאה?
לגבי המשפטים וההוכחות שבאתר, לא את כולם צריך לדעת נכון? בהרצאה אמרו פחות
:זו שאלה למרצים, והמשפטים הם לפי מה שהמרצים אמרו. המשפטים באתר לא קשורים לזה באופן ישיר, פשוט השתדלנו לשים גם את מה שחייבים להוכיח. אני חושב שהדבר היחיד במערכי התרגול שלא מההרצאה הוא מבחן ראבה, לא? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::יש משפטים על רציפות במ"ש למשל שאם פונקציה רציפה במ"ש בכמה קטעים אז היא רציפה באיחוד שלהם ואם אני לא טועה גם זה שמכך שהנגזרת חסומה

:::המשפטים האלה מההרצאה עד כמה שאני יודע. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== בקשר לגבולות של סדרות ==

אם יש לי סדרה An של חיוביים ומצאתי סדרה Bn>An ששואפת לאפס האם גם An תשאף ל-0 אם כן למה?

:חוק הסנדביץ. <math>0\leq a_n \leq b_n</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== חזרה על התרגילים ==

בתרגיל 3
שאלה 4 סעיפים א,ב,ג

האם יש קשר בין
an כלומר איברי הסדרה an1 an2.....

ל a אליו הוא שואף??
תודה

:לא, זה פשוט סימון לגבול. אפשר להחליף באות אחרת כמו L --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== גבול החסמים העליונים ==

האם מכך שידוע שגבול החסמים העליונים הוא מספר ממש נובע שהסדרה חסומה מלעיל?
:אני מניח שהכוונה לגבול החסמים העליונים כאשר מחסירים איברים מהסדרה. ברגע שיש חסם עליון ממשי החל משלב מסוים זה אומר שהסדרה חסומה על ידי המקסימום בין החסם העליון הזה לבין כל האיברים שנזרקו --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== פתרונות למבחנים ==

אם אני אכתוב את הפתרונות של מבחנים שונים עם Latex ב-Word, תעלו את קובץ הוורד של הפתרונות שלי לאתר?
:אם אתה כותב latex למה שלא תכתוב באתר? פתרונות באתר טובים בהרבה כיוון שקל לתקן אותם --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אני כותב בעזרת [http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php] והאתר משום מה תמיד כותב לי '''עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג)''', דוגמא:
<math>[a_n=S_{n-1} \Delta ^ 2]
</math>
הבעיה העיקרית היא לרדת שורה, כי אני יכול רק עם שורת הקוד <math>a _ n=S _ {n-1} \Delta ^ 2</math> ללא שימוש בתרגום ללייטקס, אבל זה עובד רק אם זאת שורה אחת, משום מה זה לא קורא את ה'\\'.

קראתי חלק מ-[http://en.wikipedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula] אבל לא מצאתי איך לתקן את השגיאה הזאת... ⊙_☉
מהו הקוד של ירידת שורה?
: (לא ארז) הקוד הוא \\ , אבל כמו שאמרת יש בעיה בו פה.
: איך עשית את ה'עיניים' בסמיילי?

::תרדו שורה באופן הפשוט ביותר- תפתחו נוסחא חדשה ותכתבו אותה למטה. סה"כ הויקי אינו מסמך לאטך, אלא הוא מאפשר לכתוב נוסחאות בודדות בלאטך. תקנתי למשל את הבעייה שהוצגה לעיל, הסלאש סוגר מרובע היה מיותר. יש כמה הבדלים קטנים מלאטך, אבל הם לא משמעותיים כפי שאתם יכולים לראות במערכי התרגול שכולם כתובים בפורמט ויקי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== איך מוכיחים שפונקציה קמורה רציפה? ==

כלומר אם מתקיים <math>\forall 0\leq t\leq 1,x,x_0 \colon f((1-t)x+t(x_0))\leq (1-t)f(x)+tf(x_0) </math>
:נניח בשלילה כי היא אינה רציפה, לכן לפי היינה יש לה גבולות שונים על סדרות שונות. בעזרתן תוכל לסתור את הקמירות --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
:ואם זו אי רציפות סליקה, אזי או שהערך בנקודה גבוה מהגבול וזו סתירה לקמירות, או שהוא נמוך ואז ערכים הקרובים אליו סותרים את הקמירות אם מותחים מהערך בנקודה קו לנקודות באיזור --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אפשר להרחיב ? כלומר, איך מראים את זה בשימוש בנתונים הנ"ל ?

== מתי השיעורי חזרה? ==

תודה

<math>Sumx^2</math>

== תרגיל 12 שאלה 2 C ==

הפתרון לא מובן לי. כיצד מתקיים השוויון הבא:

<math>\frac{-1}{2\sqrt\frac{x+1}{x-1}}\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)^2\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}</math>
::יש שם טעות. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:27, 15 בפברואר 2012 (IST)

::::תודה רבה

== תרגיל 12 שאלה 3 a ==

שוב הפתרון לא מובן לי. כיצד מתקיים:

<math>2^{x^{e}}=e^{log2^{x^{e}}}</math>

זה לא אמור להיות:

<math>2^{x^{e}}=e^{ln2^{x^{e}}}</math>

::הסימון <math>\log(x)</math> משמש לעיתים (וגם בתרגיל זה) תחליף ל<math>\ln</math> כלומר ללוגריתם בבסיס <math>e</math> . לפעמים הוא משמש כלוגריתם בבסיס 10 (לא הפעם). אין טעות בפתרון במקרה זה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:32, 15 בפברואר 2012 (IST)

::::תודה רבה

== שיעורי חזרה ==

1)כדאי לתיכוניסטים להגיע לשיעורי החזרה של הבוגרים?

2)כדאי למי שיגיע ללואי להגיע גם למני?

'''הבהרה'''

שיעורי החזרה של לואי ומני מיועדים רק לסטודנטים שלנו ולא לתיכוניסטים (וזאת מכיוון שאנו רוצים למנוע קבוצות גדולות מדי)

יש להגיע רק לאחד מאיתנו, שכן אנחנו פותרים בדיוק את אותם התרגילים. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 14:22, 16 בפברואר 2012 (IST)

:אבל זה ממש נוח לנו.. שיעור החזרה שלנו נגמר בדיוק כששלך מתחיל :(

== מבנה המבחן ==

מה מבנה המבחן? כמה זמן הוא?

== אריתמטית של גבולות ==

אם סדרה אחת שואפת לאינסות והחארת לאפס, למה שואפת המנה שלהן?
לגבי טורים, האם טור מתבדר פחות טור מתכנס, מתבדר? מה לגבי ההיפך?
:: אם הסדרה ששואפת לאפס שואפת לאפס דרך ערכים חיוביים (מה שהיינו מגדירים בפונקציות שאיפה מימין) אז
המנה של השואפת לאפס חלקי זאת ששואפת לאינסוף (אני מתכוון לפלוס אינסוף) תשאף לאפס והמנה ההפוכה תשאף לאינסוף.

אם השאיפה לאפס היא דרך ערכים שליליים אז המנות ישאפו לאפס ולמינוס אינסוף בהתאמה.

יכול להיות מצב שאחת המנות לא תשאף לגבול. למשל: אינסוף חלקי סדרה ששואפת לאפס אבל נניח שמשנה סימן ואז הגבול של האינסוף חלקי הסדרה ששואפת לאפס לא יהיה קיים. כי יהיו שתי תתי סדרות ששואפת לפלוס אינסוף ולמינוס אינסוף.

טור מתבדר פחות מתכנס הוא בהכרח מתבדר. כי נניח בשלילה שהוא מתכנס אם נחבר לטור שחיסרנו שנתון שהוא מתכנס נקבל טור מתכנס בסתירה לכך שהטור שממנו חיסרנו היה מתבדר.

מתכנס פחות מתבדר גם כן מתבדר משיקולים דומים. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:06, 17 בפברואר 2012 (IST)
== ערכים של טורים ==

האם צריך לזכור למבחן ערכים של טורים מסויימים?(לכמה הטור שווה ) אם כן אלו ?(לדוגמה הטור ההרמוני המתחלף)

בפתרון של מבחן משנה שעברות כתוב: קל לראות ש bn+1/bn שואף לאינסוף ולכןbn שואף לאינסוף. למה?
מה מייצג הסימן f בחזקת -1. חשבתי שאחד חלקי הפונקציה אבל לפי פתרון המחבן משנה שעברה (שאלה 7) ניראה כאילו גוזרים אותה בתור הפונקציה ההפוכה לf
::עדיף לשאול 3 שאלות מנושאים שונים בנפרד ולא תחת נושא אחד. בכל מקרה:
לגבי השאלה הראשונה- לא. אין צורך.
לגבי השאלה השלישית- הסימון מייצג את הפונקציה ההפוכה.

שאלה שניה- <math>b_n>1</math> ולכן <math>b_{n+1}>b_{n+1}/b_n</math> לכן אם
<math>b_{n+1}/b_n</math> שואף לאינסוף אז כך גם <math>b_{n+1}</math> (ולכן גם <math>b_{n}</math>)
--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:07, 18 בפברואר 2012 (IST)

== נגזרת ורציפות ==

אם f גזירה פעמיים ב[a,b]
אז הנגזרת רציפה בקטע הסגור הזה?
::כן. באופן כללי גזירות בנקודה גורררת רציפות בנקודה. כמו כן גזירות ימנית (שמאלית) גוררת רציפות מימין (משמאל בהתאמה).--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:09, 18 בפברואר 2012 (IST)

== הגדרת החזקה - שיעור ראשון ==

איך מוכיחים ש <math>\sqrt[n]{x^m}=(\sqrt[n]{x})^m</math>?

:נניח שהם שונים, נעלה את שניהם בחזקת n ונקבל סתירה, לפי החוק <math>(a^n)^m=(a^m)^n</math> (אותו קל להוכיח) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::ציין אם זה נכון: בגלל ש<math>n,m</math> הם מספרים טבעיים, נקבל שכל אחד מהאגפים שווה לפי עקרון הכפל הקומבינטורי ל <math>a^{nm}</math>, ולכן לאחר ההנחה בשלילה נקבל
::<math>\sqrt[n]{x^m}\neq (\sqrt[n]{x})^m \Rightarrow {x^m}\neq ((\sqrt[n]{x})^m )^n\Rightarrow {x^m}\neq ((\sqrt[n]{x})^{mn}= ((\sqrt[n]{x})^n)^m=x^m</math> בסתירה.
:::כן. וזה נובע מכך שמספרים חיוביים שונים בחזקה חיובית נותנים תוצאה שונה, גם את זה קל להוכיח באינדוקציה - הגדול יהיה גדול יותר. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== היינה באינסןף ==

אם <math>\lim f(x)</math> באינסוף הוא L, זה אומר לפי היינה שגם <math>lim f(n^2-nln(n))=L</math>,נכון?
::נכון. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:58, 19 בפברואר 2012 (IST)

== מבחן תשנ"ט שאלה 2ג. ==

במבחן כתוב <math>\frac{1}{log\frac{1}{n}}</math> כאשר n מ-1 עד אינסוף. ב-1 הביטוי לא מוגדר.
::נכון. בימים אלה אנחנו חוגגים בר מצווה לטעות. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:36, 19 בפברואר 2012 (IST)
:::זאת תשובה ממש משעשעת :) (my work here is done!)

== גבולות ==

אם סדרה an שואפת למספר טבעי ממשי מ0 וסדרת bn שואפת ל0 דרך החיוביים. an/bn שואפת לאינסוף? או שבמנה חייב להיות מספר ממשי ולא משהו ששואף אליו?
:מה הכוונה למספר ממשי "מאפס"? כלומר מהצד שקרוב יותר לאפס? בכל מקרה הגבול הזה אכן יהיה אינסוף --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== דוגמה 2 לטורים חיוביים ==

יש [http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%9D/%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%A0%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%97%D7%99%D7%95%D7%91%D7%99%D7%99%D7%9D/%D7%93%D7%95%D7%92%D7%9E%D7%90%D7%95%D7%AA/2 טעות] במכנה כשמפתחים את המנה של אברים עוקבים.

:מוזמן לתקן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::תיקנתי.

== 0^0 ==

יש דוגמה לגבול מהצורה <math> 0^0</math> ששואף ל2?

:<math>2\cdot \Big(\frac{1}{n}\Big)^{\frac{1}{n}}</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::לא לזה התכוונתי... רציתי שכל הביטוי יהיה רק חזקה ומעריך, כלומר שהוא יהיה מהצורה <math> 0^0</math> בלבד. באותה המידה יכולת להוסיף 1.
:::<math>\Big(\frac{1}{n2^n}\Big)^{-\frac{1}{n}}</math> ככה? (: --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::::כן, תודה! פשוט להכניס את ה2 לבסיס... (<math>\Big(\frac{1}{2^n}\Big)^{\frac{1}{n}}</math> זאת דוגמה יפה יותר, כי אז הביטוי יהיה קבוע למרות הצורה <math> 0^0</math>)

== דוגמה 3 לטורים חיוביים ==

[[http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%9D/%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%A0%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%97%D7%99%D7%95%D7%91%D7%99%D7%99%D7%9D/%D7%93%D7%95%D7%92%D7%9E%D7%90%D7%95%D7%AA/3]] התכוונתם לרשום ש'''לפחות''' שני שלישים, כנראה. מה שכתוב כרגע נכון רק לn ששקול ל0 מודולו 3.

נוסף על כך, ההתקדמות קצת מהירה מדי (עבורי) שם - כדאי להוסיף הסבר מילולי נוסח

"נקטין את כל האיברים במכפלה שגדולים מ<math>\frac{n}{3}</math>, ומכיוון שיש לפחות <math>\frac{2}{3}n</math> כאלה נקבל ש

<math>n!=1*2*..*\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor
*(\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor +1)*...*n

\geq 1*2*..*\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor*(\frac{n}{3})^{(\frac{2}{3}n)}

\geq (\frac{n}{3})^{(\frac{2}{3}n)}</math>

ומכיוון ששני האגפים חיוביים ניתן להעלות בריבוע."
:(לא התייחסתם, אז הוספתי.)

== דוגמה 5 לטורים חיוביים ==

הוכחת האינדוקצייה נראית לי שגוייה. (מה שכתוב שם לא הגיוני)

צריך להיות פשוט <math>\frac{b_{n+1}}{b_1}=\frac{b_{n+1}}{b_n}\cdot \frac{b{n}}{b_1}\geq \frac{a_{{n+1}}}{a_n} \frac{b{n}}{b_1}\geq \frac{a_{{n+1}}}{a_n} \frac{a_{n}}{a_1}=\frac{a_{n+1}}{a_1}</math> (א"ש ראשון לפי הנתון, שני לפי הנחת האינ')
:תוקן --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== טעויות במדמ"ח 11 שאלה 4 ==

בסעיף ב' יש טעות טריגונומטרית, בסעיף ד' המעבר האחרון שגוי.

== שאלה 1 א במבחן שהיה ב-2008 ==

בשאלה כתוב הגבול של הסדרה <math>\lim_{n\to \infty }\sqrt{n-\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt[3]{n}}</math>. אפשר רמז לפתרון הגבול הזה?
::תכפילו ותחלקו ב <math>\sqrt{n-\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt[3]{n}}</math>.
--[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:17, 21 בפברואר 2012 (IST)
::ואז ?
::מצמצמים את המונה והמכנה בביטוי "הכי גדול" כלומר ב<math>\sqrt{n}</math> --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:40, 21 בפברואר 2012 (IST)

== פונקציות ==

איך באופן כללי לענות על שאלות רציפות? עם כל ההגדרות כמו שכתוב במערכי תרגול או שאפשר גם לכתוב איפה שאפשר ב"הגיון"?
:לפי הגדרות ולפי משפטים בלבד --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה ==

הוכיחו כי הטור
<math>Sigma a_n</math>
מתכנס בהחלט אם ורק אם קיים
C>0
כך שלכל סדרה
<math>(b_n)n=1...infinity</math>
המקיימת כי
<math>|b_n|<=1</math>
לכל
n in N
וכן
<math>lim b_n=0, n->infinity</math>
מתקיים כי
<math>Sigma a_n*b_n<=C</math>
n=1....infinity

נ"ב,אני משום מה לא מצליח לרדת שורה,למרות שאני לוחץ על אנטר
תודה

:השאלה הופיע בתרגילי הבית של תשע"א: [http://math-wiki.com/images/b/b9/10Infi1Targil7Sol.pdf ראה פתרון של תרגיל 8].

:בכיוון השני אתה יכול גם להראות שהסדרה <math>a_{n}</math> מקיימת את תנאי קושי, כך שבכל פעם תבחר סדרה מתאימה.

== שאלה ממערכי תרגול- פונקציות- קושי ==

היי ארז!
מצ"ב מערך תרגול http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%AA/%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94
בשאלת ההוכחה הראשונה של קושי בה צריך להוכיח שהגבול הוא שמונה, לאחר שעשינו מכנה משותף ופישטנו את הביטוי והשאפנו את איקס ל-2 מה מעיד על כך שצריך להגדיל את השבר?ו..איך מוצאים את הדלתא????

:אנחנו רוצים להגדיל את כל הביטוי, ולמצוא דלתא שמבטיח שאפילו אחרי שהגדלנו הביטוי יהיה קטן מאפסילון ללא תלות באיקס. על מנת להגדיל את הביטוי אנחנו צריכים להקטין את המכנה. על מנת להקטין את המכנה אנחנו צריכים למצוא מספר גדול מאפס שקטן תמיד מהמכנה. אנחנו בוחרים דלתא שנותן לנו מספר כזה.. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== בתרגיל להלן שיש לו קישור ==

לא ברור איך ידעת מאיפה להתחיל .. אפשר הסבר לאיך הגעת לנקודת ההתחלה מה רמז לך לזה?
תודה
http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%AA

:יש שם כמה תרגילים, הכוונה לראשון? כאשר אנחנו מקבלים סדרה שאנו רוצים להוכיח שהיא מתכנסת יש לנו מספר שיטות. האחת היא להראות מונוטוניות וחסימות, השנייה היא למצוא נוסחא מפורשת (קשה במקרה זה) ואחרת היא להראות תנאי קושי. אין דרך לדעת בוודאות מראש איזו שיטה עובדת, יש לנסות את כולם עד אשר מצליחים לפתור את התרגיל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::סורי שלא ציינתי זאת התכוונתי לתרגיל השני עם a1=אלפא b1=ביטא נ.ב- "לא קונה בלי תימני"

:::כמו בתרגילים אחרים, העצה היא להתחיל לרשום כמה איברים ראשונים של הסדרה. מהר מאד רואים שאחת עולה, השנייה יורדת, והשנייה גדולה מהראשונה. אחרי שרואים את זה ניגשים להוכיח במרץ --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== היינה- שאלה קטנטנה ==

היי, בקובץ המצורף http://math-wiki.com/images/7/7b/10Infi1Targil8Sol.pdf בשאלה 3.
השאלה פשוטה עקרונית. אבל מבחינת ההוכחה יכולתי לומר שמתקיים לכל סדרה לקחת בפרט סדרה כלשהי (נגיד 1 חלקי n ) ששואפת ל-0 להפעיל עליה את f ולומר שמדובר על מכפלה של אפסית בחסום ולכן הגבול אפס. אמת?
:לא מספיק להוכיח לסדרה מסויימת, חייבים להוכיח שזה מתקיים לכל סדרה. אחרת יכול להיות שעל הנקודות של 1 חלקי n קורה משהו אחד, ועל נקודות אחרות בסביבת אפס קורה משהו אחר --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== הוכחה של גבול ==

היי,
השאלה: הוכח שlimcosx=1 כאשר x שואף ל-0.
בוחרים סדרה כלשהי שמתכנסת ל-0 ואז מה ניתן לעשות?
תודה

:תלוי מאיפה השאלה בחומר. בהרצאה הוכחנו שקוסינוס וסינוס הן פונקציות רציפות, זה נובע ישירות מהגדרת הרציפות --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== לא הצלחתי שאלה במבחן מסוים... ==

http://www.studenteen.org/inf1_exam_zalcman_2009_a.pdf תרגיל 2 ג הוכחתי שזה מתכנס בתנאי לפי דריכלה אבל אין לי רעיון עם מתכנס בהחלט...
:זה לא מתכנס בהחלט. בלי הקוסינוס זה נכון לפי מבחן העיבוי, עם הקוסינוס ניתן להוכיח שקוסינוס בערך מוחלט גדול מקבוע מסויים לפחות כל פעם שנייה. הרי אם הוא קרוב לאפס, אחרי אחד הוא יתרחק ממנו. לכן זה גדול מקבוע כפול טור מתבדר ולכן מתבדר. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::לא הבנתי כל כך איך אני מוכיח שזה מתכנס בתנאי...
:::מבחן דיריכליי, הוא רשום במפורט במערכי תרגול. '''אבל''' להבנתי אסור לכם להשתמש בזה במבחן, וכנראה לא יהיה תרגיל כזה במבחן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== לא הצלחתי לסווג את הנקודות קיצון ==

http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef1a2e00a144.pdf שאלה 6 א את 0 הצלחתח בעזרת לופיטל אבל לא הצלחתי את PI/2+PK
::מדובר בסוג שני. מספיק להוכיח שהגבול השמאלי ב <math>\frac{\pi}{2}</math> אינו סופי. (אם הוא אינסופי או לא קיים בכל מקרה מדובר בסוג שני) וזה משליך גם על כל הנקודות האחרות. מספיק להוכיח שהגבול השמאלי של המונה אינו סופי. (למה?) נניח בשלילה שהגבול סופי אזי בהכרח הגבול בין 1 למינוס 1 (נובע מערכי סינוס). נניח שהגבול הוא a. כעת ניתן להפעיל arcsin על שני האפים שהיא פונקציה רציפה בתחום הגדרתה (משתמשים כאן ברעיון של שאלה 2 מתרגיל 10) וכמו כן לזכור ש arcsinsin t=t ונקבל ש
<math>\lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^-}tan x=arcsin a </math>
אבל arcsin a הוא מספר סופי ומצד שני ידוע ש <math>\lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^-}tan x=\infty </math>
וזו סתירה להנחה.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 01:08, 8 באפריל 2012 (IDT)

== מבחן נוסף... ==

http://www.studenteen.org/ חשבון אינפי 1 בחינות של שמואל קפלן קובץ 2 תרגיל 1 א

:אפשר להוכיח באינדוקציה ש<math>2^{n}>n^{3}</math> החל מn מסויים, מכאן תמשיך!
אופס קודם התבלבלתי תרגיל 1 ג
::ניתן להיפטר מarcsin ע"י הצבת <math>x=sint</math> ואז מקבלים גבול כש <math>t</math> שואף לאפס
מקבלים גבול מהצורה של 1 בחזקת אינסוף. אותו אפשר לפתור ע"י הטלת ln (בסוף צריך להפעיל e בחזקת התוצאה הזו כדי לקבל את הגבול המקורי) אחרי השלב של הln פותרים בעזרת לופיטל. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:36, 8 באפריל 2012 (IDT)

== אפשר רמז? ==

אם פונציה f
1.רציפה על [a,b] ,
2. קיימת נגזרת סופית בקטע ..(למיטב הבנתי הנגזרת חסומה..)
3. הפונקציה לא לינארית..(במה בדיוק זה עוזר לי?)
צ"ל שקיימת לפחות נק' אחת שבה הנגזרת יותר גדולה מהנגזרת בין a לb לפי לגראנג'..(כאילו
f(b) -f(a)/b-a< f'(c)
::ברגע שהפונקציה לא ליניארית אז לא יתכן ש <math> f(x)=f(a)+(x-a)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
לכל x.
כלומר בהכרח קיים <math>a<x<b</math> כך שבמקום שוויון יש אי שוויון.
אם למשל <math>f(x)</math> גדול מאגף ימין אז ניתן להסתכל בביטוי
<math> \frac{f(x)-f(a)}{x-a}</math> ולהסיק ש...
אם אי השוויון הוא בכיוון השני אז ניתן להתבונן ב <math> \frac{f(b)-f(x)}{b-x}</math> ולהסיק הדרוש. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:08, 8 באפריל 2012 (IDT)

תודה :-)

== מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים. ==

בהוכחת מבחן השורש לטורים חיוביים נעזרים במשפט עזר על אפייון הלימסופ, בו נאמר פחות או יותר-
תהי '''סדרה כלשהי''', אם קיים מספר כלשהו אשר גדול מהלימסופ של הסדרה, אזי קיימים לכל היותר מספר סופי של איברים..כמו כן קיים ניסוח גם למקרה ההפוך.
השאלה שלי היא, האם אין צורך לדרוש את הקיום הזה לכל סדרה חסומה?
::לא. זו דוגמא טובה לתנאי שמתקיים באופן ריק. אם למשל הסדרה לא חסומה מלעיל אז הגרירה: "אם קיים מספר כלשהו אשר גדול מהלימסופ של הסדרה, אזי קיימים לכל היותר מספר סופי של איברים.." היא בהכרח '''פסוק אמת''' כי הרישא היא שקרית (הלימסופ הוא אינסוף ולכן לא קיים מספר הגדול ממנו) ולכן לא משנה מה תוצאת הגרירה, הפסוק יהיה פסוק אמת. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 11:25, 9 באפריל 2012 (IDT)

== שאלה למבחן ==

אפשר להשתמש בעובדה שהטור <math>\forall \alpha \in (-1,0]: \sum_{n=1}^{\infty} n^{\alpha}</math> מתבדר

ושהטור <math>\forall \alpha \in (-\infty ,-1]: \sum_{n=1}^{\infty} n^{\alpha}</math> מתכנס? או שצריך להוכיח כל פעם?

:רק תיקון קל, הטור מתכנס אם <math>\alpha<-1</math>.
:: תיקנתי...

:::עקרונית כן, תשאל בזמן המבחן. אם אומרים שלא, אז תוכיח באמצעות מבחן העיבוי (קלי קלות) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::::קל לראות ש... - [http://knowyourmeme.com/photos/230191-wtf-is-this-shit בודאי!]
::::: נו לאן הגענו ששואלים שאלה ועונים עליה עם מימי ?
תודה בכל מקרה ארז :-)

שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב

2012-04-09T17:53:45Z

לב זלוטניק: /* שאלה למבחן */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 1| ארכיון 1]]

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 2| ארכיון 2]]

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 3| ארכיון 3]]

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 4| ארכיון 4]]

=שאלות=

== איך מוכיחים שאין טור שמתבדר הכי לאט ==

כלומר לכל טור חיובי <math>\sum a_n</math> שמתבדר קיים טור <math>\sum b_n</math> מתבדר כך ש: <math>\frac{b_n}{a_n}\to 0</math>
:בדומה למשפט רימן, ניתן "לדחוס" ו"לפזר" את האיברי הסדרה על מנת לקבל סדרה המתכנסת יותר מהר לאפס, שהטור עליה עדיין מתבדר. למשל אפשר את האיבר הראשון לחלק ל10 ולהפוך אותו לעשרה איברים, את האיבר הבא לחלק ב100 ולהפוך אותו למאה איברים וכן הלאה. (זה לא אלגוריתם מלא כמובן) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אבל הסדרה <math>a_n</math> לא בהכרח יורדת

== איך מוכיחים את מבחן ראבה ==

נראה לי לא הוכחנו אותו בכיתה
:לא חשבתי על זה האמת, זה פשוט משפט ידוע --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מבחן ==

מותר להשתמש במבחן במשפטים ממערכי התרגול/ התרגולים שלא הזכרנו בהרצאה?
לגבי המשפטים וההוכחות שבאתר, לא את כולם צריך לדעת נכון? בהרצאה אמרו פחות
:זו שאלה למרצים, והמשפטים הם לפי מה שהמרצים אמרו. המשפטים באתר לא קשורים לזה באופן ישיר, פשוט השתדלנו לשים גם את מה שחייבים להוכיח. אני חושב שהדבר היחיד במערכי התרגול שלא מההרצאה הוא מבחן ראבה, לא? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::יש משפטים על רציפות במ"ש למשל שאם פונקציה רציפה במ"ש בכמה קטעים אז היא רציפה באיחוד שלהם ואם אני לא טועה גם זה שמכך שהנגזרת חסומה

:::המשפטים האלה מההרצאה עד כמה שאני יודע. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== בקשר לגבולות של סדרות ==

אם יש לי סדרה An של חיוביים ומצאתי סדרה Bn>An ששואפת לאפס האם גם An תשאף ל-0 אם כן למה?

:חוק הסנדביץ. <math>0\leq a_n \leq b_n</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== חזרה על התרגילים ==

בתרגיל 3
שאלה 4 סעיפים א,ב,ג

האם יש קשר בין
an כלומר איברי הסדרה an1 an2.....

ל a אליו הוא שואף??
תודה

:לא, זה פשוט סימון לגבול. אפשר להחליף באות אחרת כמו L --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== גבול החסמים העליונים ==

האם מכך שידוע שגבול החסמים העליונים הוא מספר ממש נובע שהסדרה חסומה מלעיל?
:אני מניח שהכוונה לגבול החסמים העליונים כאשר מחסירים איברים מהסדרה. ברגע שיש חסם עליון ממשי החל משלב מסוים זה אומר שהסדרה חסומה על ידי המקסימום בין החסם העליון הזה לבין כל האיברים שנזרקו --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== פתרונות למבחנים ==

אם אני אכתוב את הפתרונות של מבחנים שונים עם Latex ב-Word, תעלו את קובץ הוורד של הפתרונות שלי לאתר?
:אם אתה כותב latex למה שלא תכתוב באתר? פתרונות באתר טובים בהרבה כיוון שקל לתקן אותם --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אני כותב בעזרת [http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php] והאתר משום מה תמיד כותב לי '''עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג)''', דוגמא:
<math>[a_n=S_{n-1} \Delta ^ 2]
</math>
הבעיה העיקרית היא לרדת שורה, כי אני יכול רק עם שורת הקוד <math>a _ n=S _ {n-1} \Delta ^ 2</math> ללא שימוש בתרגום ללייטקס, אבל זה עובד רק אם זאת שורה אחת, משום מה זה לא קורא את ה'\\'.

קראתי חלק מ-[http://en.wikipedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula] אבל לא מצאתי איך לתקן את השגיאה הזאת... ⊙_☉
מהו הקוד של ירידת שורה?
: (לא ארז) הקוד הוא \\ , אבל כמו שאמרת יש בעיה בו פה.
: איך עשית את ה'עיניים' בסמיילי?

::תרדו שורה באופן הפשוט ביותר- תפתחו נוסחא חדשה ותכתבו אותה למטה. סה"כ הויקי אינו מסמך לאטך, אלא הוא מאפשר לכתוב נוסחאות בודדות בלאטך. תקנתי למשל את הבעייה שהוצגה לעיל, הסלאש סוגר מרובע היה מיותר. יש כמה הבדלים קטנים מלאטך, אבל הם לא משמעותיים כפי שאתם יכולים לראות במערכי התרגול שכולם כתובים בפורמט ויקי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== איך מוכיחים שפונקציה קמורה רציפה? ==

כלומר אם מתקיים <math>\forall 0\leq t\leq 1,x,x_0 \colon f((1-t)x+t(x_0))\leq (1-t)f(x)+tf(x_0) </math>
:נניח בשלילה כי היא אינה רציפה, לכן לפי היינה יש לה גבולות שונים על סדרות שונות. בעזרתן תוכל לסתור את הקמירות --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
:ואם זו אי רציפות סליקה, אזי או שהערך בנקודה גבוה מהגבול וזו סתירה לקמירות, או שהוא נמוך ואז ערכים הקרובים אליו סותרים את הקמירות אם מותחים מהערך בנקודה קו לנקודות באיזור --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מתי השיעורי חזרה? ==

תודה

<math>Sumx^2</math>

== תרגיל 12 שאלה 2 C ==

הפתרון לא מובן לי. כיצד מתקיים השוויון הבא:

<math>\frac{-1}{2\sqrt\frac{x+1}{x-1}}\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)^2\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}</math>
::יש שם טעות. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:27, 15 בפברואר 2012 (IST)

::::תודה רבה

== תרגיל 12 שאלה 3 a ==

שוב הפתרון לא מובן לי. כיצד מתקיים:

<math>2^{x^{e}}=e^{log2^{x^{e}}}</math>

זה לא אמור להיות:

<math>2^{x^{e}}=e^{ln2^{x^{e}}}</math>

::הסימון <math>\log(x)</math> משמש לעיתים (וגם בתרגיל זה) תחליף ל<math>\ln</math> כלומר ללוגריתם בבסיס <math>e</math> . לפעמים הוא משמש כלוגריתם בבסיס 10 (לא הפעם). אין טעות בפתרון במקרה זה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:32, 15 בפברואר 2012 (IST)

::::תודה רבה

== שיעורי חזרה ==

1)כדאי לתיכוניסטים להגיע לשיעורי החזרה של הבוגרים?

2)כדאי למי שיגיע ללואי להגיע גם למני?

'''הבהרה'''

שיעורי החזרה של לואי ומני מיועדים רק לסטודנטים שלנו ולא לתיכוניסטים (וזאת מכיוון שאנו רוצים למנוע קבוצות גדולות מדי)

יש להגיע רק לאחד מאיתנו, שכן אנחנו פותרים בדיוק את אותם התרגילים. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 14:22, 16 בפברואר 2012 (IST)

:אבל זה ממש נוח לנו.. שיעור החזרה שלנו נגמר בדיוק כששלך מתחיל :(

== מבנה המבחן ==

מה מבנה המבחן? כמה זמן הוא?

== אריתמטית של גבולות ==

אם סדרה אחת שואפת לאינסות והחארת לאפס, למה שואפת המנה שלהן?
לגבי טורים, האם טור מתבדר פחות טור מתכנס, מתבדר? מה לגבי ההיפך?
:: אם הסדרה ששואפת לאפס שואפת לאפס דרך ערכים חיוביים (מה שהיינו מגדירים בפונקציות שאיפה מימין) אז
המנה של השואפת לאפס חלקי זאת ששואפת לאינסוף (אני מתכוון לפלוס אינסוף) תשאף לאפס והמנה ההפוכה תשאף לאינסוף.

אם השאיפה לאפס היא דרך ערכים שליליים אז המנות ישאפו לאפס ולמינוס אינסוף בהתאמה.

יכול להיות מצב שאחת המנות לא תשאף לגבול. למשל: אינסוף חלקי סדרה ששואפת לאפס אבל נניח שמשנה סימן ואז הגבול של האינסוף חלקי הסדרה ששואפת לאפס לא יהיה קיים. כי יהיו שתי תתי סדרות ששואפת לפלוס אינסוף ולמינוס אינסוף.

טור מתבדר פחות מתכנס הוא בהכרח מתבדר. כי נניח בשלילה שהוא מתכנס אם נחבר לטור שחיסרנו שנתון שהוא מתכנס נקבל טור מתכנס בסתירה לכך שהטור שממנו חיסרנו היה מתבדר.

מתכנס פחות מתבדר גם כן מתבדר משיקולים דומים. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:06, 17 בפברואר 2012 (IST)
== ערכים של טורים ==

האם צריך לזכור למבחן ערכים של טורים מסויימים?(לכמה הטור שווה ) אם כן אלו ?(לדוגמה הטור ההרמוני המתחלף)

בפתרון של מבחן משנה שעברות כתוב: קל לראות ש bn+1/bn שואף לאינסוף ולכןbn שואף לאינסוף. למה?
מה מייצג הסימן f בחזקת -1. חשבתי שאחד חלקי הפונקציה אבל לפי פתרון המחבן משנה שעברה (שאלה 7) ניראה כאילו גוזרים אותה בתור הפונקציה ההפוכה לf
::עדיף לשאול 3 שאלות מנושאים שונים בנפרד ולא תחת נושא אחד. בכל מקרה:
לגבי השאלה הראשונה- לא. אין צורך.
לגבי השאלה השלישית- הסימון מייצג את הפונקציה ההפוכה.

שאלה שניה- <math>b_n>1</math> ולכן <math>b_{n+1}>b_{n+1}/b_n</math> לכן אם
<math>b_{n+1}/b_n</math> שואף לאינסוף אז כך גם <math>b_{n+1}</math> (ולכן גם <math>b_{n}</math>)
--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:07, 18 בפברואר 2012 (IST)

== נגזרת ורציפות ==

אם f גזירה פעמיים ב[a,b]
אז הנגזרת רציפה בקטע הסגור הזה?
::כן. באופן כללי גזירות בנקודה גורררת רציפות בנקודה. כמו כן גזירות ימנית (שמאלית) גוררת רציפות מימין (משמאל בהתאמה).--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:09, 18 בפברואר 2012 (IST)

== הגדרת החזקה - שיעור ראשון ==

איך מוכיחים ש <math>\sqrt[n]{x^m}=(\sqrt[n]{x})^m</math>?

:נניח שהם שונים, נעלה את שניהם בחזקת n ונקבל סתירה, לפי החוק <math>(a^n)^m=(a^m)^n</math> (אותו קל להוכיח) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::ציין אם זה נכון: בגלל ש<math>n,m</math> הם מספרים טבעיים, נקבל שכל אחד מהאגפים שווה לפי עקרון הכפל הקומבינטורי ל <math>a^{nm}</math>, ולכן לאחר ההנחה בשלילה נקבל
::<math>\sqrt[n]{x^m}\neq (\sqrt[n]{x})^m \Rightarrow {x^m}\neq ((\sqrt[n]{x})^m )^n\Rightarrow {x^m}\neq ((\sqrt[n]{x})^{mn}= ((\sqrt[n]{x})^n)^m=x^m</math> בסתירה.
:::כן. וזה נובע מכך שמספרים חיוביים שונים בחזקה חיובית נותנים תוצאה שונה, גם את זה קל להוכיח באינדוקציה - הגדול יהיה גדול יותר. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== היינה באינסןף ==

אם <math>\lim f(x)</math> באינסוף הוא L, זה אומר לפי היינה שגם <math>lim f(n^2-nln(n))=L</math>,נכון?
::נכון. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:58, 19 בפברואר 2012 (IST)

== מבחן תשנ"ט שאלה 2ג. ==

במבחן כתוב <math>\frac{1}{log\frac{1}{n}}</math> כאשר n מ-1 עד אינסוף. ב-1 הביטוי לא מוגדר.
::נכון. בימים אלה אנחנו חוגגים בר מצווה לטעות. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:36, 19 בפברואר 2012 (IST)
:::זאת תשובה ממש משעשעת :) (my work here is done!)

== גבולות ==

אם סדרה an שואפת למספר טבעי ממשי מ0 וסדרת bn שואפת ל0 דרך החיוביים. an/bn שואפת לאינסוף? או שבמנה חייב להיות מספר ממשי ולא משהו ששואף אליו?
:מה הכוונה למספר ממשי "מאפס"? כלומר מהצד שקרוב יותר לאפס? בכל מקרה הגבול הזה אכן יהיה אינסוף --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== דוגמה 2 לטורים חיוביים ==

יש [http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%9D/%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%A0%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%97%D7%99%D7%95%D7%91%D7%99%D7%99%D7%9D/%D7%93%D7%95%D7%92%D7%9E%D7%90%D7%95%D7%AA/2 טעות] במכנה כשמפתחים את המנה של אברים עוקבים.

:מוזמן לתקן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::תיקנתי.

== 0^0 ==

יש דוגמה לגבול מהצורה <math> 0^0</math> ששואף ל2?

:<math>2\cdot \Big(\frac{1}{n}\Big)^{\frac{1}{n}}</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::לא לזה התכוונתי... רציתי שכל הביטוי יהיה רק חזקה ומעריך, כלומר שהוא יהיה מהצורה <math> 0^0</math> בלבד. באותה המידה יכולת להוסיף 1.
:::<math>\Big(\frac{1}{n2^n}\Big)^{-\frac{1}{n}}</math> ככה? (: --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::::כן, תודה! פשוט להכניס את ה2 לבסיס... (<math>\Big(\frac{1}{2^n}\Big)^{\frac{1}{n}}</math> זאת דוגמה יפה יותר, כי אז הביטוי יהיה קבוע למרות הצורה <math> 0^0</math>)

== דוגמה 3 לטורים חיוביים ==

[[http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%9D/%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%A0%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%97%D7%99%D7%95%D7%91%D7%99%D7%99%D7%9D/%D7%93%D7%95%D7%92%D7%9E%D7%90%D7%95%D7%AA/3]] התכוונתם לרשום ש'''לפחות''' שני שלישים, כנראה. מה שכתוב כרגע נכון רק לn ששקול ל0 מודולו 3.

נוסף על כך, ההתקדמות קצת מהירה מדי (עבורי) שם - כדאי להוסיף הסבר מילולי נוסח

"נקטין את כל האיברים במכפלה שגדולים מ<math>\frac{n}{3}</math>, ומכיוון שיש לפחות <math>\frac{2}{3}n</math> כאלה נקבל ש

<math>n!=1*2*..*\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor
*(\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor +1)*...*n

\geq 1*2*..*\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor*(\frac{n}{3})^{(\frac{2}{3}n)}

\geq (\frac{n}{3})^{(\frac{2}{3}n)}</math>

ומכיוון ששני האגפים חיוביים ניתן להעלות בריבוע."
:(לא התייחסתם, אז הוספתי.)

== דוגמה 5 לטורים חיוביים ==

הוכחת האינדוקצייה נראית לי שגוייה. (מה שכתוב שם לא הגיוני)

צריך להיות פשוט <math>\frac{b_{n+1}}{b_1}=\frac{b_{n+1}}{b_n}\cdot \frac{b{n}}{b_1}\geq \frac{a_{{n+1}}}{a_n} \frac{b{n}}{b_1}\geq \frac{a_{{n+1}}}{a_n} \frac{a_{n}}{a_1}=\frac{a_{n+1}}{a_1}</math> (א"ש ראשון לפי הנתון, שני לפי הנחת האינ')
:תוקן --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== טעויות במדמ"ח 11 שאלה 4 ==

בסעיף ב' יש טעות טריגונומטרית, בסעיף ד' המעבר האחרון שגוי.

== שאלה 1 א במבחן שהיה ב-2008 ==

בשאלה כתוב הגבול של הסדרה <math>\lim_{n\to \infty }\sqrt{n-\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt[3]{n}}</math>. אפשר רמז לפתרון הגבול הזה?
::תכפילו ותחלקו ב <math>\sqrt{n-\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt[3]{n}}</math>.
--[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:17, 21 בפברואר 2012 (IST)
::ואז ?
::מצמצמים את המונה והמכנה בביטוי "הכי גדול" כלומר ב<math>\sqrt{n}</math> --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:40, 21 בפברואר 2012 (IST)

== פונקציות ==

איך באופן כללי לענות על שאלות רציפות? עם כל ההגדרות כמו שכתוב במערכי תרגול או שאפשר גם לכתוב איפה שאפשר ב"הגיון"?
:לפי הגדרות ולפי משפטים בלבד --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה ==

הוכיחו כי הטור
<math>Sigma a_n</math>
מתכנס בהחלט אם ורק אם קיים
C>0
כך שלכל סדרה
<math>(b_n)n=1...infinity</math>
המקיימת כי
<math>|b_n|<=1</math>
לכל
n in N
וכן
<math>lim b_n=0, n->infinity</math>
מתקיים כי
<math>Sigma a_n*b_n<=C</math>
n=1....infinity

נ"ב,אני משום מה לא מצליח לרדת שורה,למרות שאני לוחץ על אנטר
תודה

:השאלה הופיע בתרגילי הבית של תשע"א: [http://math-wiki.com/images/b/b9/10Infi1Targil7Sol.pdf ראה פתרון של תרגיל 8].

:בכיוון השני אתה יכול גם להראות שהסדרה <math>a_{n}</math> מקיימת את תנאי קושי, כך שבכל פעם תבחר סדרה מתאימה.

== שאלה ממערכי תרגול- פונקציות- קושי ==

היי ארז!
מצ"ב מערך תרגול http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%AA/%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94
בשאלת ההוכחה הראשונה של קושי בה צריך להוכיח שהגבול הוא שמונה, לאחר שעשינו מכנה משותף ופישטנו את הביטוי והשאפנו את איקס ל-2 מה מעיד על כך שצריך להגדיל את השבר?ו..איך מוצאים את הדלתא????

:אנחנו רוצים להגדיל את כל הביטוי, ולמצוא דלתא שמבטיח שאפילו אחרי שהגדלנו הביטוי יהיה קטן מאפסילון ללא תלות באיקס. על מנת להגדיל את הביטוי אנחנו צריכים להקטין את המכנה. על מנת להקטין את המכנה אנחנו צריכים למצוא מספר גדול מאפס שקטן תמיד מהמכנה. אנחנו בוחרים דלתא שנותן לנו מספר כזה.. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== בתרגיל להלן שיש לו קישור ==

לא ברור איך ידעת מאיפה להתחיל .. אפשר הסבר לאיך הגעת לנקודת ההתחלה מה רמז לך לזה?
תודה
http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%AA

:יש שם כמה תרגילים, הכוונה לראשון? כאשר אנחנו מקבלים סדרה שאנו רוצים להוכיח שהיא מתכנסת יש לנו מספר שיטות. האחת היא להראות מונוטוניות וחסימות, השנייה היא למצוא נוסחא מפורשת (קשה במקרה זה) ואחרת היא להראות תנאי קושי. אין דרך לדעת בוודאות מראש איזו שיטה עובדת, יש לנסות את כולם עד אשר מצליחים לפתור את התרגיל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::סורי שלא ציינתי זאת התכוונתי לתרגיל השני עם a1=אלפא b1=ביטא נ.ב- "לא קונה בלי תימני"

:::כמו בתרגילים אחרים, העצה היא להתחיל לרשום כמה איברים ראשונים של הסדרה. מהר מאד רואים שאחת עולה, השנייה יורדת, והשנייה גדולה מהראשונה. אחרי שרואים את זה ניגשים להוכיח במרץ --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== היינה- שאלה קטנטנה ==

היי, בקובץ המצורף http://math-wiki.com/images/7/7b/10Infi1Targil8Sol.pdf בשאלה 3.
השאלה פשוטה עקרונית. אבל מבחינת ההוכחה יכולתי לומר שמתקיים לכל סדרה לקחת בפרט סדרה כלשהי (נגיד 1 חלקי n ) ששואפת ל-0 להפעיל עליה את f ולומר שמדובר על מכפלה של אפסית בחסום ולכן הגבול אפס. אמת?
:לא מספיק להוכיח לסדרה מסויימת, חייבים להוכיח שזה מתקיים לכל סדרה. אחרת יכול להיות שעל הנקודות של 1 חלקי n קורה משהו אחד, ועל נקודות אחרות בסביבת אפס קורה משהו אחר --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== הוכחה של גבול ==

היי,
השאלה: הוכח שlimcosx=1 כאשר x שואף ל-0.
בוחרים סדרה כלשהי שמתכנסת ל-0 ואז מה ניתן לעשות?
תודה

:תלוי מאיפה השאלה בחומר. בהרצאה הוכחנו שקוסינוס וסינוס הן פונקציות רציפות, זה נובע ישירות מהגדרת הרציפות --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== לא הצלחתי שאלה במבחן מסוים... ==

http://www.studenteen.org/inf1_exam_zalcman_2009_a.pdf תרגיל 2 ג הוכחתי שזה מתכנס בתנאי לפי דריכלה אבל אין לי רעיון עם מתכנס בהחלט...
:זה לא מתכנס בהחלט. בלי הקוסינוס זה נכון לפי מבחן העיבוי, עם הקוסינוס ניתן להוכיח שקוסינוס בערך מוחלט גדול מקבוע מסויים לפחות כל פעם שנייה. הרי אם הוא קרוב לאפס, אחרי אחד הוא יתרחק ממנו. לכן זה גדול מקבוע כפול טור מתבדר ולכן מתבדר. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::לא הבנתי כל כך איך אני מוכיח שזה מתכנס בתנאי...
:::מבחן דיריכליי, הוא רשום במפורט במערכי תרגול. '''אבל''' להבנתי אסור לכם להשתמש בזה במבחן, וכנראה לא יהיה תרגיל כזה במבחן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== לא הצלחתי לסווג את הנקודות קיצון ==

http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef1a2e00a144.pdf שאלה 6 א את 0 הצלחתח בעזרת לופיטל אבל לא הצלחתי את PI/2+PK
::מדובר בסוג שני. מספיק להוכיח שהגבול השמאלי ב <math>\frac{\pi}{2}</math> אינו סופי. (אם הוא אינסופי או לא קיים בכל מקרה מדובר בסוג שני) וזה משליך גם על כל הנקודות האחרות. מספיק להוכיח שהגבול השמאלי של המונה אינו סופי. (למה?) נניח בשלילה שהגבול סופי אזי בהכרח הגבול בין 1 למינוס 1 (נובע מערכי סינוס). נניח שהגבול הוא a. כעת ניתן להפעיל arcsin על שני האפים שהיא פונקציה רציפה בתחום הגדרתה (משתמשים כאן ברעיון של שאלה 2 מתרגיל 10) וכמו כן לזכור ש arcsinsin t=t ונקבל ש
<math>\lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^-}tan x=arcsin a </math>
אבל arcsin a הוא מספר סופי ומצד שני ידוע ש <math>\lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^-}tan x=\infty </math>
וזו סתירה להנחה.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 01:08, 8 באפריל 2012 (IDT)

== מבחן נוסף... ==

http://www.studenteen.org/ חשבון אינפי 1 בחינות של שמואל קפלן קובץ 2 תרגיל 1 א

:אפשר להוכיח באינדוקציה ש<math>2^{n}>n^{3}</math> החל מn מסויים, מכאן תמשיך!
אופס קודם התבלבלתי תרגיל 1 ג
::ניתן להיפטר מarcsin ע"י הצבת <math>x=sint</math> ואז מקבלים גבול כש <math>t</math> שואף לאפס
מקבלים גבול מהצורה של 1 בחזקת אינסוף. אותו אפשר לפתור ע"י הטלת ln (בסוף צריך להפעיל e בחזקת התוצאה הזו כדי לקבל את הגבול המקורי) אחרי השלב של הln פותרים בעזרת לופיטל. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:36, 8 באפריל 2012 (IDT)

== אפשר רמז? ==

אם פונציה f
1.רציפה על [a,b] ,
2. קיימת נגזרת סופית בקטע ..(למיטב הבנתי הנגזרת חסומה..)
3. הפונקציה לא לינארית..(במה בדיוק זה עוזר לי?)
צ"ל שקיימת לפחות נק' אחת שבה הנגזרת יותר גדולה מהנגזרת בין a לb לפי לגראנג'..(כאילו
f(b) -f(a)/b-a< f'(c)
::ברגע שהפונקציה לא ליניארית אז לא יתכן ש <math> f(x)=f(a)+(x-a)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
לכל x.
כלומר בהכרח קיים <math>a<x<b</math> כך שבמקום שוויון יש אי שוויון.
אם למשל <math>f(x)</math> גדול מאגף ימין אז ניתן להסתכל בביטוי
<math> \frac{f(x)-f(a)}{x-a}</math> ולהסיק ש...
אם אי השוויון הוא בכיוון השני אז ניתן להתבונן ב <math> \frac{f(b)-f(x)}{b-x}</math> ולהסיק הדרוש. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:08, 8 באפריל 2012 (IDT)

תודה :-)

== מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים. ==

בהוכחת מבחן השורש לטורים חיוביים נעזרים במשפט עזר על אפייון הלימסופ, בו נאמר פחות או יותר-
תהי '''סדרה כלשהי''', אם קיים מספר כלשהו אשר גדול מהלימסופ של הסדרה, אזי קיימים לכל היותר מספר סופי של איברים..כמו כן קיים ניסוח גם למקרה ההפוך.
השאלה שלי היא, האם אין צורך לדרוש את הקיום הזה לכל סדרה חסומה?
::לא. זו דוגמא טובה לתנאי שמתקיים באופן ריק. אם למשל הסדרה לא חסומה מלעיל אז הגרירה: "אם קיים מספר כלשהו אשר גדול מהלימסופ של הסדרה, אזי קיימים לכל היותר מספר סופי של איברים.." היא בהכרח '''פסוק אמת''' כי הרישא היא שקרית (הלימסופ הוא אינסוף ולכן לא קיים מספר הגדול ממנו) ולכן לא משנה מה תוצאת הגרירה, הפסוק יהיה פסוק אמת. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 11:25, 9 באפריל 2012 (IDT)

== שאלה למבחן ==

אפשר להשתמש בעובדה שהטור <math>\forall \alpha \in (-1,0]: \sum_{n=1}^{\infty} n^{\alpha}</math> מתבדר

ושהטור <math>\forall \alpha \in (-\infty ,-1]: \sum_{n=1}^{\infty} n^{\alpha}</math> מתכנס? או שצריך להוכיח כל פעם?

:רק תיקון קל, הטור מתכנס אם <math>\alpha<-1</math>.
:: תיקנתי...

שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב

2012-04-09T17:53:19Z

לב זלוטניק: /* שאלה למבחן */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 1| ארכיון 1]]

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 2| ארכיון 2]]

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 3| ארכיון 3]]

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 4| ארכיון 4]]

=שאלות=

== איך מוכיחים שאין טור שמתבדר הכי לאט ==

כלומר לכל טור חיובי <math>\sum a_n</math> שמתבדר קיים טור <math>\sum b_n</math> מתבדר כך ש: <math>\frac{b_n}{a_n}\to 0</math>
:בדומה למשפט רימן, ניתן "לדחוס" ו"לפזר" את האיברי הסדרה על מנת לקבל סדרה המתכנסת יותר מהר לאפס, שהטור עליה עדיין מתבדר. למשל אפשר את האיבר הראשון לחלק ל10 ולהפוך אותו לעשרה איברים, את האיבר הבא לחלק ב100 ולהפוך אותו למאה איברים וכן הלאה. (זה לא אלגוריתם מלא כמובן) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אבל הסדרה <math>a_n</math> לא בהכרח יורדת

== איך מוכיחים את מבחן ראבה ==

נראה לי לא הוכחנו אותו בכיתה
:לא חשבתי על זה האמת, זה פשוט משפט ידוע --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מבחן ==

מותר להשתמש במבחן במשפטים ממערכי התרגול/ התרגולים שלא הזכרנו בהרצאה?
לגבי המשפטים וההוכחות שבאתר, לא את כולם צריך לדעת נכון? בהרצאה אמרו פחות
:זו שאלה למרצים, והמשפטים הם לפי מה שהמרצים אמרו. המשפטים באתר לא קשורים לזה באופן ישיר, פשוט השתדלנו לשים גם את מה שחייבים להוכיח. אני חושב שהדבר היחיד במערכי התרגול שלא מההרצאה הוא מבחן ראבה, לא? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::יש משפטים על רציפות במ"ש למשל שאם פונקציה רציפה במ"ש בכמה קטעים אז היא רציפה באיחוד שלהם ואם אני לא טועה גם זה שמכך שהנגזרת חסומה

:::המשפטים האלה מההרצאה עד כמה שאני יודע. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== בקשר לגבולות של סדרות ==

אם יש לי סדרה An של חיוביים ומצאתי סדרה Bn>An ששואפת לאפס האם גם An תשאף ל-0 אם כן למה?

:חוק הסנדביץ. <math>0\leq a_n \leq b_n</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== חזרה על התרגילים ==

בתרגיל 3
שאלה 4 סעיפים א,ב,ג

האם יש קשר בין
an כלומר איברי הסדרה an1 an2.....

ל a אליו הוא שואף??
תודה

:לא, זה פשוט סימון לגבול. אפשר להחליף באות אחרת כמו L --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== גבול החסמים העליונים ==

האם מכך שידוע שגבול החסמים העליונים הוא מספר ממש נובע שהסדרה חסומה מלעיל?
:אני מניח שהכוונה לגבול החסמים העליונים כאשר מחסירים איברים מהסדרה. ברגע שיש חסם עליון ממשי החל משלב מסוים זה אומר שהסדרה חסומה על ידי המקסימום בין החסם העליון הזה לבין כל האיברים שנזרקו --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== פתרונות למבחנים ==

אם אני אכתוב את הפתרונות של מבחנים שונים עם Latex ב-Word, תעלו את קובץ הוורד של הפתרונות שלי לאתר?
:אם אתה כותב latex למה שלא תכתוב באתר? פתרונות באתר טובים בהרבה כיוון שקל לתקן אותם --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אני כותב בעזרת [http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php] והאתר משום מה תמיד כותב לי '''עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג)''', דוגמא:
<math>[a_n=S_{n-1} \Delta ^ 2]
</math>
הבעיה העיקרית היא לרדת שורה, כי אני יכול רק עם שורת הקוד <math>a _ n=S _ {n-1} \Delta ^ 2</math> ללא שימוש בתרגום ללייטקס, אבל זה עובד רק אם זאת שורה אחת, משום מה זה לא קורא את ה'\\'.

קראתי חלק מ-[http://en.wikipedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula] אבל לא מצאתי איך לתקן את השגיאה הזאת... ⊙_☉
מהו הקוד של ירידת שורה?
: (לא ארז) הקוד הוא \\ , אבל כמו שאמרת יש בעיה בו פה.
: איך עשית את ה'עיניים' בסמיילי?

::תרדו שורה באופן הפשוט ביותר- תפתחו נוסחא חדשה ותכתבו אותה למטה. סה"כ הויקי אינו מסמך לאטך, אלא הוא מאפשר לכתוב נוסחאות בודדות בלאטך. תקנתי למשל את הבעייה שהוצגה לעיל, הסלאש סוגר מרובע היה מיותר. יש כמה הבדלים קטנים מלאטך, אבל הם לא משמעותיים כפי שאתם יכולים לראות במערכי התרגול שכולם כתובים בפורמט ויקי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== איך מוכיחים שפונקציה קמורה רציפה? ==

כלומר אם מתקיים <math>\forall 0\leq t\leq 1,x,x_0 \colon f((1-t)x+t(x_0))\leq (1-t)f(x)+tf(x_0) </math>
:נניח בשלילה כי היא אינה רציפה, לכן לפי היינה יש לה גבולות שונים על סדרות שונות. בעזרתן תוכל לסתור את הקמירות --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
:ואם זו אי רציפות סליקה, אזי או שהערך בנקודה גבוה מהגבול וזו סתירה לקמירות, או שהוא נמוך ואז ערכים הקרובים אליו סותרים את הקמירות אם מותחים מהערך בנקודה קו לנקודות באיזור --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מתי השיעורי חזרה? ==

תודה

<math>Sumx^2</math>

== תרגיל 12 שאלה 2 C ==

הפתרון לא מובן לי. כיצד מתקיים השוויון הבא:

<math>\frac{-1}{2\sqrt\frac{x+1}{x-1}}\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)^2\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}</math>
::יש שם טעות. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:27, 15 בפברואר 2012 (IST)

::::תודה רבה

== תרגיל 12 שאלה 3 a ==

שוב הפתרון לא מובן לי. כיצד מתקיים:

<math>2^{x^{e}}=e^{log2^{x^{e}}}</math>

זה לא אמור להיות:

<math>2^{x^{e}}=e^{ln2^{x^{e}}}</math>

::הסימון <math>\log(x)</math> משמש לעיתים (וגם בתרגיל זה) תחליף ל<math>\ln</math> כלומר ללוגריתם בבסיס <math>e</math> . לפעמים הוא משמש כלוגריתם בבסיס 10 (לא הפעם). אין טעות בפתרון במקרה זה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:32, 15 בפברואר 2012 (IST)

::::תודה רבה

== שיעורי חזרה ==

1)כדאי לתיכוניסטים להגיע לשיעורי החזרה של הבוגרים?

2)כדאי למי שיגיע ללואי להגיע גם למני?

'''הבהרה'''

שיעורי החזרה של לואי ומני מיועדים רק לסטודנטים שלנו ולא לתיכוניסטים (וזאת מכיוון שאנו רוצים למנוע קבוצות גדולות מדי)

יש להגיע רק לאחד מאיתנו, שכן אנחנו פותרים בדיוק את אותם התרגילים. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 14:22, 16 בפברואר 2012 (IST)

:אבל זה ממש נוח לנו.. שיעור החזרה שלנו נגמר בדיוק כששלך מתחיל :(

== מבנה המבחן ==

מה מבנה המבחן? כמה זמן הוא?

== אריתמטית של גבולות ==

אם סדרה אחת שואפת לאינסות והחארת לאפס, למה שואפת המנה שלהן?
לגבי טורים, האם טור מתבדר פחות טור מתכנס, מתבדר? מה לגבי ההיפך?
:: אם הסדרה ששואפת לאפס שואפת לאפס דרך ערכים חיוביים (מה שהיינו מגדירים בפונקציות שאיפה מימין) אז
המנה של השואפת לאפס חלקי זאת ששואפת לאינסוף (אני מתכוון לפלוס אינסוף) תשאף לאפס והמנה ההפוכה תשאף לאינסוף.

אם השאיפה לאפס היא דרך ערכים שליליים אז המנות ישאפו לאפס ולמינוס אינסוף בהתאמה.

יכול להיות מצב שאחת המנות לא תשאף לגבול. למשל: אינסוף חלקי סדרה ששואפת לאפס אבל נניח שמשנה סימן ואז הגבול של האינסוף חלקי הסדרה ששואפת לאפס לא יהיה קיים. כי יהיו שתי תתי סדרות ששואפת לפלוס אינסוף ולמינוס אינסוף.

טור מתבדר פחות מתכנס הוא בהכרח מתבדר. כי נניח בשלילה שהוא מתכנס אם נחבר לטור שחיסרנו שנתון שהוא מתכנס נקבל טור מתכנס בסתירה לכך שהטור שממנו חיסרנו היה מתבדר.

מתכנס פחות מתבדר גם כן מתבדר משיקולים דומים. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:06, 17 בפברואר 2012 (IST)
== ערכים של טורים ==

האם צריך לזכור למבחן ערכים של טורים מסויימים?(לכמה הטור שווה ) אם כן אלו ?(לדוגמה הטור ההרמוני המתחלף)

בפתרון של מבחן משנה שעברות כתוב: קל לראות ש bn+1/bn שואף לאינסוף ולכןbn שואף לאינסוף. למה?
מה מייצג הסימן f בחזקת -1. חשבתי שאחד חלקי הפונקציה אבל לפי פתרון המחבן משנה שעברה (שאלה 7) ניראה כאילו גוזרים אותה בתור הפונקציה ההפוכה לf
::עדיף לשאול 3 שאלות מנושאים שונים בנפרד ולא תחת נושא אחד. בכל מקרה:
לגבי השאלה הראשונה- לא. אין צורך.
לגבי השאלה השלישית- הסימון מייצג את הפונקציה ההפוכה.

שאלה שניה- <math>b_n>1</math> ולכן <math>b_{n+1}>b_{n+1}/b_n</math> לכן אם
<math>b_{n+1}/b_n</math> שואף לאינסוף אז כך גם <math>b_{n+1}</math> (ולכן גם <math>b_{n}</math>)
--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:07, 18 בפברואר 2012 (IST)

== נגזרת ורציפות ==

אם f גזירה פעמיים ב[a,b]
אז הנגזרת רציפה בקטע הסגור הזה?
::כן. באופן כללי גזירות בנקודה גורררת רציפות בנקודה. כמו כן גזירות ימנית (שמאלית) גוררת רציפות מימין (משמאל בהתאמה).--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:09, 18 בפברואר 2012 (IST)

== הגדרת החזקה - שיעור ראשון ==

איך מוכיחים ש <math>\sqrt[n]{x^m}=(\sqrt[n]{x})^m</math>?

:נניח שהם שונים, נעלה את שניהם בחזקת n ונקבל סתירה, לפי החוק <math>(a^n)^m=(a^m)^n</math> (אותו קל להוכיח) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::ציין אם זה נכון: בגלל ש<math>n,m</math> הם מספרים טבעיים, נקבל שכל אחד מהאגפים שווה לפי עקרון הכפל הקומבינטורי ל <math>a^{nm}</math>, ולכן לאחר ההנחה בשלילה נקבל
::<math>\sqrt[n]{x^m}\neq (\sqrt[n]{x})^m \Rightarrow {x^m}\neq ((\sqrt[n]{x})^m )^n\Rightarrow {x^m}\neq ((\sqrt[n]{x})^{mn}= ((\sqrt[n]{x})^n)^m=x^m</math> בסתירה.
:::כן. וזה נובע מכך שמספרים חיוביים שונים בחזקה חיובית נותנים תוצאה שונה, גם את זה קל להוכיח באינדוקציה - הגדול יהיה גדול יותר. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== היינה באינסןף ==

אם <math>\lim f(x)</math> באינסוף הוא L, זה אומר לפי היינה שגם <math>lim f(n^2-nln(n))=L</math>,נכון?
::נכון. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:58, 19 בפברואר 2012 (IST)

== מבחן תשנ"ט שאלה 2ג. ==

במבחן כתוב <math>\frac{1}{log\frac{1}{n}}</math> כאשר n מ-1 עד אינסוף. ב-1 הביטוי לא מוגדר.
::נכון. בימים אלה אנחנו חוגגים בר מצווה לטעות. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:36, 19 בפברואר 2012 (IST)
:::זאת תשובה ממש משעשעת :) (my work here is done!)

== גבולות ==

אם סדרה an שואפת למספר טבעי ממשי מ0 וסדרת bn שואפת ל0 דרך החיוביים. an/bn שואפת לאינסוף? או שבמנה חייב להיות מספר ממשי ולא משהו ששואף אליו?
:מה הכוונה למספר ממשי "מאפס"? כלומר מהצד שקרוב יותר לאפס? בכל מקרה הגבול הזה אכן יהיה אינסוף --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== דוגמה 2 לטורים חיוביים ==

יש [http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%9D/%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%A0%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%97%D7%99%D7%95%D7%91%D7%99%D7%99%D7%9D/%D7%93%D7%95%D7%92%D7%9E%D7%90%D7%95%D7%AA/2 טעות] במכנה כשמפתחים את המנה של אברים עוקבים.

:מוזמן לתקן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::תיקנתי.

== 0^0 ==

יש דוגמה לגבול מהצורה <math> 0^0</math> ששואף ל2?

:<math>2\cdot \Big(\frac{1}{n}\Big)^{\frac{1}{n}}</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::לא לזה התכוונתי... רציתי שכל הביטוי יהיה רק חזקה ומעריך, כלומר שהוא יהיה מהצורה <math> 0^0</math> בלבד. באותה המידה יכולת להוסיף 1.
:::<math>\Big(\frac{1}{n2^n}\Big)^{-\frac{1}{n}}</math> ככה? (: --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::::כן, תודה! פשוט להכניס את ה2 לבסיס... (<math>\Big(\frac{1}{2^n}\Big)^{\frac{1}{n}}</math> זאת דוגמה יפה יותר, כי אז הביטוי יהיה קבוע למרות הצורה <math> 0^0</math>)

== דוגמה 3 לטורים חיוביים ==

[[http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%9D/%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%A0%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%97%D7%99%D7%95%D7%91%D7%99%D7%99%D7%9D/%D7%93%D7%95%D7%92%D7%9E%D7%90%D7%95%D7%AA/3]] התכוונתם לרשום ש'''לפחות''' שני שלישים, כנראה. מה שכתוב כרגע נכון רק לn ששקול ל0 מודולו 3.

נוסף על כך, ההתקדמות קצת מהירה מדי (עבורי) שם - כדאי להוסיף הסבר מילולי נוסח

"נקטין את כל האיברים במכפלה שגדולים מ<math>\frac{n}{3}</math>, ומכיוון שיש לפחות <math>\frac{2}{3}n</math> כאלה נקבל ש

<math>n!=1*2*..*\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor
*(\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor +1)*...*n

\geq 1*2*..*\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor*(\frac{n}{3})^{(\frac{2}{3}n)}

\geq (\frac{n}{3})^{(\frac{2}{3}n)}</math>

ומכיוון ששני האגפים חיוביים ניתן להעלות בריבוע."
:(לא התייחסתם, אז הוספתי.)

== דוגמה 5 לטורים חיוביים ==

הוכחת האינדוקצייה נראית לי שגוייה. (מה שכתוב שם לא הגיוני)

צריך להיות פשוט <math>\frac{b_{n+1}}{b_1}=\frac{b_{n+1}}{b_n}\cdot \frac{b{n}}{b_1}\geq \frac{a_{{n+1}}}{a_n} \frac{b{n}}{b_1}\geq \frac{a_{{n+1}}}{a_n} \frac{a_{n}}{a_1}=\frac{a_{n+1}}{a_1}</math> (א"ש ראשון לפי הנתון, שני לפי הנחת האינ')
:תוקן --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== טעויות במדמ"ח 11 שאלה 4 ==

בסעיף ב' יש טעות טריגונומטרית, בסעיף ד' המעבר האחרון שגוי.

== שאלה 1 א במבחן שהיה ב-2008 ==

בשאלה כתוב הגבול של הסדרה <math>\lim_{n\to \infty }\sqrt{n-\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt[3]{n}}</math>. אפשר רמז לפתרון הגבול הזה?
::תכפילו ותחלקו ב <math>\sqrt{n-\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt[3]{n}}</math>.
--[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:17, 21 בפברואר 2012 (IST)
::ואז ?
::מצמצמים את המונה והמכנה בביטוי "הכי גדול" כלומר ב<math>\sqrt{n}</math> --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:40, 21 בפברואר 2012 (IST)

== פונקציות ==

איך באופן כללי לענות על שאלות רציפות? עם כל ההגדרות כמו שכתוב במערכי תרגול או שאפשר גם לכתוב איפה שאפשר ב"הגיון"?
:לפי הגדרות ולפי משפטים בלבד --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה ==

הוכיחו כי הטור
<math>Sigma a_n</math>
מתכנס בהחלט אם ורק אם קיים
C>0
כך שלכל סדרה
<math>(b_n)n=1...infinity</math>
המקיימת כי
<math>|b_n|<=1</math>
לכל
n in N
וכן
<math>lim b_n=0, n->infinity</math>
מתקיים כי
<math>Sigma a_n*b_n<=C</math>
n=1....infinity

נ"ב,אני משום מה לא מצליח לרדת שורה,למרות שאני לוחץ על אנטר
תודה

:השאלה הופיע בתרגילי הבית של תשע"א: [http://math-wiki.com/images/b/b9/10Infi1Targil7Sol.pdf ראה פתרון של תרגיל 8].

:בכיוון השני אתה יכול גם להראות שהסדרה <math>a_{n}</math> מקיימת את תנאי קושי, כך שבכל פעם תבחר סדרה מתאימה.

== שאלה ממערכי תרגול- פונקציות- קושי ==

היי ארז!
מצ"ב מערך תרגול http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%AA/%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94
בשאלת ההוכחה הראשונה של קושי בה צריך להוכיח שהגבול הוא שמונה, לאחר שעשינו מכנה משותף ופישטנו את הביטוי והשאפנו את איקס ל-2 מה מעיד על כך שצריך להגדיל את השבר?ו..איך מוצאים את הדלתא????

:אנחנו רוצים להגדיל את כל הביטוי, ולמצוא דלתא שמבטיח שאפילו אחרי שהגדלנו הביטוי יהיה קטן מאפסילון ללא תלות באיקס. על מנת להגדיל את הביטוי אנחנו צריכים להקטין את המכנה. על מנת להקטין את המכנה אנחנו צריכים למצוא מספר גדול מאפס שקטן תמיד מהמכנה. אנחנו בוחרים דלתא שנותן לנו מספר כזה.. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== בתרגיל להלן שיש לו קישור ==

לא ברור איך ידעת מאיפה להתחיל .. אפשר הסבר לאיך הגעת לנקודת ההתחלה מה רמז לך לזה?
תודה
http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%AA

:יש שם כמה תרגילים, הכוונה לראשון? כאשר אנחנו מקבלים סדרה שאנו רוצים להוכיח שהיא מתכנסת יש לנו מספר שיטות. האחת היא להראות מונוטוניות וחסימות, השנייה היא למצוא נוסחא מפורשת (קשה במקרה זה) ואחרת היא להראות תנאי קושי. אין דרך לדעת בוודאות מראש איזו שיטה עובדת, יש לנסות את כולם עד אשר מצליחים לפתור את התרגיל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::סורי שלא ציינתי זאת התכוונתי לתרגיל השני עם a1=אלפא b1=ביטא נ.ב- "לא קונה בלי תימני"

:::כמו בתרגילים אחרים, העצה היא להתחיל לרשום כמה איברים ראשונים של הסדרה. מהר מאד רואים שאחת עולה, השנייה יורדת, והשנייה גדולה מהראשונה. אחרי שרואים את זה ניגשים להוכיח במרץ --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== היינה- שאלה קטנטנה ==

היי, בקובץ המצורף http://math-wiki.com/images/7/7b/10Infi1Targil8Sol.pdf בשאלה 3.
השאלה פשוטה עקרונית. אבל מבחינת ההוכחה יכולתי לומר שמתקיים לכל סדרה לקחת בפרט סדרה כלשהי (נגיד 1 חלקי n ) ששואפת ל-0 להפעיל עליה את f ולומר שמדובר על מכפלה של אפסית בחסום ולכן הגבול אפס. אמת?
:לא מספיק להוכיח לסדרה מסויימת, חייבים להוכיח שזה מתקיים לכל סדרה. אחרת יכול להיות שעל הנקודות של 1 חלקי n קורה משהו אחד, ועל נקודות אחרות בסביבת אפס קורה משהו אחר --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== הוכחה של גבול ==

היי,
השאלה: הוכח שlimcosx=1 כאשר x שואף ל-0.
בוחרים סדרה כלשהי שמתכנסת ל-0 ואז מה ניתן לעשות?
תודה

:תלוי מאיפה השאלה בחומר. בהרצאה הוכחנו שקוסינוס וסינוס הן פונקציות רציפות, זה נובע ישירות מהגדרת הרציפות --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== לא הצלחתי שאלה במבחן מסוים... ==

http://www.studenteen.org/inf1_exam_zalcman_2009_a.pdf תרגיל 2 ג הוכחתי שזה מתכנס בתנאי לפי דריכלה אבל אין לי רעיון עם מתכנס בהחלט...
:זה לא מתכנס בהחלט. בלי הקוסינוס זה נכון לפי מבחן העיבוי, עם הקוסינוס ניתן להוכיח שקוסינוס בערך מוחלט גדול מקבוע מסויים לפחות כל פעם שנייה. הרי אם הוא קרוב לאפס, אחרי אחד הוא יתרחק ממנו. לכן זה גדול מקבוע כפול טור מתבדר ולכן מתבדר. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::לא הבנתי כל כך איך אני מוכיח שזה מתכנס בתנאי...
:::מבחן דיריכליי, הוא רשום במפורט במערכי תרגול. '''אבל''' להבנתי אסור לכם להשתמש בזה במבחן, וכנראה לא יהיה תרגיל כזה במבחן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== לא הצלחתי לסווג את הנקודות קיצון ==

http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef1a2e00a144.pdf שאלה 6 א את 0 הצלחתח בעזרת לופיטל אבל לא הצלחתי את PI/2+PK
::מדובר בסוג שני. מספיק להוכיח שהגבול השמאלי ב <math>\frac{\pi}{2}</math> אינו סופי. (אם הוא אינסופי או לא קיים בכל מקרה מדובר בסוג שני) וזה משליך גם על כל הנקודות האחרות. מספיק להוכיח שהגבול השמאלי של המונה אינו סופי. (למה?) נניח בשלילה שהגבול סופי אזי בהכרח הגבול בין 1 למינוס 1 (נובע מערכי סינוס). נניח שהגבול הוא a. כעת ניתן להפעיל arcsin על שני האפים שהיא פונקציה רציפה בתחום הגדרתה (משתמשים כאן ברעיון של שאלה 2 מתרגיל 10) וכמו כן לזכור ש arcsinsin t=t ונקבל ש
<math>\lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^-}tan x=arcsin a </math>
אבל arcsin a הוא מספר סופי ומצד שני ידוע ש <math>\lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^-}tan x=\infty </math>
וזו סתירה להנחה.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 01:08, 8 באפריל 2012 (IDT)

== מבחן נוסף... ==

http://www.studenteen.org/ חשבון אינפי 1 בחינות של שמואל קפלן קובץ 2 תרגיל 1 א

:אפשר להוכיח באינדוקציה ש<math>2^{n}>n^{3}</math> החל מn מסויים, מכאן תמשיך!
אופס קודם התבלבלתי תרגיל 1 ג
::ניתן להיפטר מarcsin ע"י הצבת <math>x=sint</math> ואז מקבלים גבול כש <math>t</math> שואף לאפס
מקבלים גבול מהצורה של 1 בחזקת אינסוף. אותו אפשר לפתור ע"י הטלת ln (בסוף צריך להפעיל e בחזקת התוצאה הזו כדי לקבל את הגבול המקורי) אחרי השלב של הln פותרים בעזרת לופיטל. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:36, 8 באפריל 2012 (IDT)

== אפשר רמז? ==

אם פונציה f
1.רציפה על [a,b] ,
2. קיימת נגזרת סופית בקטע ..(למיטב הבנתי הנגזרת חסומה..)
3. הפונקציה לא לינארית..(במה בדיוק זה עוזר לי?)
צ"ל שקיימת לפחות נק' אחת שבה הנגזרת יותר גדולה מהנגזרת בין a לb לפי לגראנג'..(כאילו
f(b) -f(a)/b-a< f'(c)
::ברגע שהפונקציה לא ליניארית אז לא יתכן ש <math> f(x)=f(a)+(x-a)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
לכל x.
כלומר בהכרח קיים <math>a<x<b</math> כך שבמקום שוויון יש אי שוויון.
אם למשל <math>f(x)</math> גדול מאגף ימין אז ניתן להסתכל בביטוי
<math> \frac{f(x)-f(a)}{x-a}</math> ולהסיק ש...
אם אי השוויון הוא בכיוון השני אז ניתן להתבונן ב <math> \frac{f(b)-f(x)}{b-x}</math> ולהסיק הדרוש. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:08, 8 באפריל 2012 (IDT)

תודה :-)

== מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים. ==

בהוכחת מבחן השורש לטורים חיוביים נעזרים במשפט עזר על אפייון הלימסופ, בו נאמר פחות או יותר-
תהי '''סדרה כלשהי''', אם קיים מספר כלשהו אשר גדול מהלימסופ של הסדרה, אזי קיימים לכל היותר מספר סופי של איברים..כמו כן קיים ניסוח גם למקרה ההפוך.
השאלה שלי היא, האם אין צורך לדרוש את הקיום הזה לכל סדרה חסומה?
::לא. זו דוגמא טובה לתנאי שמתקיים באופן ריק. אם למשל הסדרה לא חסומה מלעיל אז הגרירה: "אם קיים מספר כלשהו אשר גדול מהלימסופ של הסדרה, אזי קיימים לכל היותר מספר סופי של איברים.." היא בהכרח '''פסוק אמת''' כי הרישא היא שקרית (הלימסופ הוא אינסוף ולכן לא קיים מספר הגדול ממנו) ולכן לא משנה מה תוצאת הגרירה, הפסוק יהיה פסוק אמת. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 11:25, 9 באפריל 2012 (IDT)

== שאלה למבחן ==

אפשר להשתמש בעובדה שהטור <math>\forall \alpha \in (-1,0]: \sum_{n=1}^{\infty} n^{\alpha}</math> מתבדר

ושהטור <math>\forall \alpha \in (-\infty ,-1]: \sum_{n=1}^{\infty} n^{\alpha}</math> מתכנס? או שצריך להוכיח כל פעם?

:רק תיקון קל, הטור מתכנס אם <math>\alpha<-1</math>.

שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב

2012-04-09T15:11:16Z

לב זלוטניק: /* שאלה למבחן */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 1| ארכיון 1]]

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 2| ארכיון 2]]

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 3| ארכיון 3]]

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 4| ארכיון 4]]

=שאלות=

== איך מוכיחים שאין טור שמתבדר הכי לאט ==

כלומר לכל טור חיובי <math>\sum a_n</math> שמתבדר קיים טור <math>\sum b_n</math> מתבדר כך ש: <math>\frac{b_n}{a_n}\to 0</math>
:בדומה למשפט רימן, ניתן "לדחוס" ו"לפזר" את האיברי הסדרה על מנת לקבל סדרה המתכנסת יותר מהר לאפס, שהטור עליה עדיין מתבדר. למשל אפשר את האיבר הראשון לחלק ל10 ולהפוך אותו לעשרה איברים, את האיבר הבא לחלק ב100 ולהפוך אותו למאה איברים וכן הלאה. (זה לא אלגוריתם מלא כמובן) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אבל הסדרה <math>a_n</math> לא בהכרח יורדת

== איך מוכיחים את מבחן ראבה ==

נראה לי לא הוכחנו אותו בכיתה
:לא חשבתי על זה האמת, זה פשוט משפט ידוע --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מבחן ==

מותר להשתמש במבחן במשפטים ממערכי התרגול/ התרגולים שלא הזכרנו בהרצאה?
לגבי המשפטים וההוכחות שבאתר, לא את כולם צריך לדעת נכון? בהרצאה אמרו פחות
:זו שאלה למרצים, והמשפטים הם לפי מה שהמרצים אמרו. המשפטים באתר לא קשורים לזה באופן ישיר, פשוט השתדלנו לשים גם את מה שחייבים להוכיח. אני חושב שהדבר היחיד במערכי התרגול שלא מההרצאה הוא מבחן ראבה, לא? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::יש משפטים על רציפות במ"ש למשל שאם פונקציה רציפה במ"ש בכמה קטעים אז היא רציפה באיחוד שלהם ואם אני לא טועה גם זה שמכך שהנגזרת חסומה

:::המשפטים האלה מההרצאה עד כמה שאני יודע. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== בקשר לגבולות של סדרות ==

אם יש לי סדרה An של חיוביים ומצאתי סדרה Bn>An ששואפת לאפס האם גם An תשאף ל-0 אם כן למה?

:חוק הסנדביץ. <math>0\leq a_n \leq b_n</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== חזרה על התרגילים ==

בתרגיל 3
שאלה 4 סעיפים א,ב,ג

האם יש קשר בין
an כלומר איברי הסדרה an1 an2.....

ל a אליו הוא שואף??
תודה

:לא, זה פשוט סימון לגבול. אפשר להחליף באות אחרת כמו L --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== גבול החסמים העליונים ==

האם מכך שידוע שגבול החסמים העליונים הוא מספר ממש נובע שהסדרה חסומה מלעיל?
:אני מניח שהכוונה לגבול החסמים העליונים כאשר מחסירים איברים מהסדרה. ברגע שיש חסם עליון ממשי החל משלב מסוים זה אומר שהסדרה חסומה על ידי המקסימום בין החסם העליון הזה לבין כל האיברים שנזרקו --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== פתרונות למבחנים ==

אם אני אכתוב את הפתרונות של מבחנים שונים עם Latex ב-Word, תעלו את קובץ הוורד של הפתרונות שלי לאתר?
:אם אתה כותב latex למה שלא תכתוב באתר? פתרונות באתר טובים בהרבה כיוון שקל לתקן אותם --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אני כותב בעזרת [http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php] והאתר משום מה תמיד כותב לי '''עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג)''', דוגמא:
<math>[a_n=S_{n-1} \Delta ^ 2]
</math>
הבעיה העיקרית היא לרדת שורה, כי אני יכול רק עם שורת הקוד <math>a _ n=S _ {n-1} \Delta ^ 2</math> ללא שימוש בתרגום ללייטקס, אבל זה עובד רק אם זאת שורה אחת, משום מה זה לא קורא את ה'\\'.

קראתי חלק מ-[http://en.wikipedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula] אבל לא מצאתי איך לתקן את השגיאה הזאת... ⊙_☉
מהו הקוד של ירידת שורה?
: (לא ארז) הקוד הוא \\ , אבל כמו שאמרת יש בעיה בו פה.
: איך עשית את ה'עיניים' בסמיילי?

::תרדו שורה באופן הפשוט ביותר- תפתחו נוסחא חדשה ותכתבו אותה למטה. סה"כ הויקי אינו מסמך לאטך, אלא הוא מאפשר לכתוב נוסחאות בודדות בלאטך. תקנתי למשל את הבעייה שהוצגה לעיל, הסלאש סוגר מרובע היה מיותר. יש כמה הבדלים קטנים מלאטך, אבל הם לא משמעותיים כפי שאתם יכולים לראות במערכי התרגול שכולם כתובים בפורמט ויקי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== איך מוכיחים שפונקציה קמורה רציפה? ==

כלומר אם מתקיים <math>\forall 0\leq t\leq 1,x,x_0 \colon f((1-t)x+t(x_0))\leq (1-t)f(x)+tf(x_0) </math>
:נניח בשלילה כי היא אינה רציפה, לכן לפי היינה יש לה גבולות שונים על סדרות שונות. בעזרתן תוכל לסתור את הקמירות --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
:ואם זו אי רציפות סליקה, אזי או שהערך בנקודה גבוה מהגבול וזו סתירה לקמירות, או שהוא נמוך ואז ערכים הקרובים אליו סותרים את הקמירות אם מותחים מהערך בנקודה קו לנקודות באיזור --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מתי השיעורי חזרה? ==

תודה

<math>Sumx^2</math>

== תרגיל 12 שאלה 2 C ==

הפתרון לא מובן לי. כיצד מתקיים השוויון הבא:

<math>\frac{-1}{2\sqrt\frac{x+1}{x-1}}\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)^2\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}</math>
::יש שם טעות. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:27, 15 בפברואר 2012 (IST)

::::תודה רבה

== תרגיל 12 שאלה 3 a ==

שוב הפתרון לא מובן לי. כיצד מתקיים:

<math>2^{x^{e}}=e^{log2^{x^{e}}}</math>

זה לא אמור להיות:

<math>2^{x^{e}}=e^{ln2^{x^{e}}}</math>

::הסימון <math>\log(x)</math> משמש לעיתים (וגם בתרגיל זה) תחליף ל<math>\ln</math> כלומר ללוגריתם בבסיס <math>e</math> . לפעמים הוא משמש כלוגריתם בבסיס 10 (לא הפעם). אין טעות בפתרון במקרה זה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:32, 15 בפברואר 2012 (IST)

::::תודה רבה

== שיעורי חזרה ==

1)כדאי לתיכוניסטים להגיע לשיעורי החזרה של הבוגרים?

2)כדאי למי שיגיע ללואי להגיע גם למני?

'''הבהרה'''

שיעורי החזרה של לואי ומני מיועדים רק לסטודנטים שלנו ולא לתיכוניסטים (וזאת מכיוון שאנו רוצים למנוע קבוצות גדולות מדי)

יש להגיע רק לאחד מאיתנו, שכן אנחנו פותרים בדיוק את אותם התרגילים. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 14:22, 16 בפברואר 2012 (IST)

:אבל זה ממש נוח לנו.. שיעור החזרה שלנו נגמר בדיוק כששלך מתחיל :(

== מבנה המבחן ==

מה מבנה המבחן? כמה זמן הוא?

== אריתמטית של גבולות ==

אם סדרה אחת שואפת לאינסות והחארת לאפס, למה שואפת המנה שלהן?
לגבי טורים, האם טור מתבדר פחות טור מתכנס, מתבדר? מה לגבי ההיפך?
:: אם הסדרה ששואפת לאפס שואפת לאפס דרך ערכים חיוביים (מה שהיינו מגדירים בפונקציות שאיפה מימין) אז
המנה של השואפת לאפס חלקי זאת ששואפת לאינסוף (אני מתכוון לפלוס אינסוף) תשאף לאפס והמנה ההפוכה תשאף לאינסוף.

אם השאיפה לאפס היא דרך ערכים שליליים אז המנות ישאפו לאפס ולמינוס אינסוף בהתאמה.

יכול להיות מצב שאחת המנות לא תשאף לגבול. למשל: אינסוף חלקי סדרה ששואפת לאפס אבל נניח שמשנה סימן ואז הגבול של האינסוף חלקי הסדרה ששואפת לאפס לא יהיה קיים. כי יהיו שתי תתי סדרות ששואפת לפלוס אינסוף ולמינוס אינסוף.

טור מתבדר פחות מתכנס הוא בהכרח מתבדר. כי נניח בשלילה שהוא מתכנס אם נחבר לטור שחיסרנו שנתון שהוא מתכנס נקבל טור מתכנס בסתירה לכך שהטור שממנו חיסרנו היה מתבדר.

מתכנס פחות מתבדר גם כן מתבדר משיקולים דומים. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:06, 17 בפברואר 2012 (IST)
== ערכים של טורים ==

האם צריך לזכור למבחן ערכים של טורים מסויימים?(לכמה הטור שווה ) אם כן אלו ?(לדוגמה הטור ההרמוני המתחלף)

בפתרון של מבחן משנה שעברות כתוב: קל לראות ש bn+1/bn שואף לאינסוף ולכןbn שואף לאינסוף. למה?
מה מייצג הסימן f בחזקת -1. חשבתי שאחד חלקי הפונקציה אבל לפי פתרון המחבן משנה שעברה (שאלה 7) ניראה כאילו גוזרים אותה בתור הפונקציה ההפוכה לf
::עדיף לשאול 3 שאלות מנושאים שונים בנפרד ולא תחת נושא אחד. בכל מקרה:
לגבי השאלה הראשונה- לא. אין צורך.
לגבי השאלה השלישית- הסימון מייצג את הפונקציה ההפוכה.

שאלה שניה- <math>b_n>1</math> ולכן <math>b_{n+1}>b_{n+1}/b_n</math> לכן אם
<math>b_{n+1}/b_n</math> שואף לאינסוף אז כך גם <math>b_{n+1}</math> (ולכן גם <math>b_{n}</math>)
--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:07, 18 בפברואר 2012 (IST)

== נגזרת ורציפות ==

אם f גזירה פעמיים ב[a,b]
אז הנגזרת רציפה בקטע הסגור הזה?
::כן. באופן כללי גזירות בנקודה גורררת רציפות בנקודה. כמו כן גזירות ימנית (שמאלית) גוררת רציפות מימין (משמאל בהתאמה).--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:09, 18 בפברואר 2012 (IST)

== הגדרת החזקה - שיעור ראשון ==

איך מוכיחים ש <math>\sqrt[n]{x^m}=(\sqrt[n]{x})^m</math>?

:נניח שהם שונים, נעלה את שניהם בחזקת n ונקבל סתירה, לפי החוק <math>(a^n)^m=(a^m)^n</math> (אותו קל להוכיח) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::ציין אם זה נכון: בגלל ש<math>n,m</math> הם מספרים טבעיים, נקבל שכל אחד מהאגפים שווה לפי עקרון הכפל הקומבינטורי ל <math>a^{nm}</math>, ולכן לאחר ההנחה בשלילה נקבל
::<math>\sqrt[n]{x^m}\neq (\sqrt[n]{x})^m \Rightarrow {x^m}\neq ((\sqrt[n]{x})^m )^n\Rightarrow {x^m}\neq ((\sqrt[n]{x})^{mn}= ((\sqrt[n]{x})^n)^m=x^m</math> בסתירה.
:::כן. וזה נובע מכך שמספרים חיוביים שונים בחזקה חיובית נותנים תוצאה שונה, גם את זה קל להוכיח באינדוקציה - הגדול יהיה גדול יותר. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== היינה באינסןף ==

אם <math>\lim f(x)</math> באינסוף הוא L, זה אומר לפי היינה שגם <math>lim f(n^2-nln(n))=L</math>,נכון?
::נכון. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:58, 19 בפברואר 2012 (IST)

== מבחן תשנ"ט שאלה 2ג. ==

במבחן כתוב <math>\frac{1}{log\frac{1}{n}}</math> כאשר n מ-1 עד אינסוף. ב-1 הביטוי לא מוגדר.
::נכון. בימים אלה אנחנו חוגגים בר מצווה לטעות. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:36, 19 בפברואר 2012 (IST)
:::זאת תשובה ממש משעשעת :) (my work here is done!)

== גבולות ==

אם סדרה an שואפת למספר טבעי ממשי מ0 וסדרת bn שואפת ל0 דרך החיוביים. an/bn שואפת לאינסוף? או שבמנה חייב להיות מספר ממשי ולא משהו ששואף אליו?
:מה הכוונה למספר ממשי "מאפס"? כלומר מהצד שקרוב יותר לאפס? בכל מקרה הגבול הזה אכן יהיה אינסוף --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== דוגמה 2 לטורים חיוביים ==

יש [http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%9D/%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%A0%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%97%D7%99%D7%95%D7%91%D7%99%D7%99%D7%9D/%D7%93%D7%95%D7%92%D7%9E%D7%90%D7%95%D7%AA/2 טעות] במכנה כשמפתחים את המנה של אברים עוקבים.

:מוזמן לתקן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::תיקנתי.

== 0^0 ==

יש דוגמה לגבול מהצורה <math> 0^0</math> ששואף ל2?

:<math>2\cdot \Big(\frac{1}{n}\Big)^{\frac{1}{n}}</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::לא לזה התכוונתי... רציתי שכל הביטוי יהיה רק חזקה ומעריך, כלומר שהוא יהיה מהצורה <math> 0^0</math> בלבד. באותה המידה יכולת להוסיף 1.
:::<math>\Big(\frac{1}{n2^n}\Big)^{-\frac{1}{n}}</math> ככה? (: --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::::כן, תודה! פשוט להכניס את ה2 לבסיס... (<math>\Big(\frac{1}{2^n}\Big)^{\frac{1}{n}}</math> זאת דוגמה יפה יותר, כי אז הביטוי יהיה קבוע למרות הצורה <math> 0^0</math>)

== דוגמה 3 לטורים חיוביים ==

[[http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%9D/%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%A0%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%97%D7%99%D7%95%D7%91%D7%99%D7%99%D7%9D/%D7%93%D7%95%D7%92%D7%9E%D7%90%D7%95%D7%AA/3]] התכוונתם לרשום ש'''לפחות''' שני שלישים, כנראה. מה שכתוב כרגע נכון רק לn ששקול ל0 מודולו 3.

נוסף על כך, ההתקדמות קצת מהירה מדי (עבורי) שם - כדאי להוסיף הסבר מילולי נוסח

"נקטין את כל האיברים במכפלה שגדולים מ<math>\frac{n}{3}</math>, ומכיוון שיש לפחות <math>\frac{2}{3}n</math> כאלה נקבל ש

<math>n!=1*2*..*\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor
*(\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor +1)*...*n

\geq 1*2*..*\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor*(\frac{n}{3})^{(\frac{2}{3}n)}

\geq (\frac{n}{3})^{(\frac{2}{3}n)}</math>

ומכיוון ששני האגפים חיוביים ניתן להעלות בריבוע."
:(לא התייחסתם, אז הוספתי.)

== דוגמה 5 לטורים חיוביים ==

הוכחת האינדוקצייה נראית לי שגוייה. (מה שכתוב שם לא הגיוני)

צריך להיות פשוט <math>\frac{b_{n+1}}{b_1}=\frac{b_{n+1}}{b_n}\cdot \frac{b{n}}{b_1}\geq \frac{a_{{n+1}}}{a_n} \frac{b{n}}{b_1}\geq \frac{a_{{n+1}}}{a_n} \frac{a_{n}}{a_1}=\frac{a_{n+1}}{a_1}</math> (א"ש ראשון לפי הנתון, שני לפי הנחת האינ')
:תוקן --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== טעויות במדמ"ח 11 שאלה 4 ==

בסעיף ב' יש טעות טריגונומטרית, בסעיף ד' המעבר האחרון שגוי.

== שאלה 1 א במבחן שהיה ב-2008 ==

בשאלה כתוב הגבול של הסדרה <math>\lim_{n\to \infty }\sqrt{n-\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt[3]{n}}</math>. אפשר רמז לפתרון הגבול הזה?
::תכפילו ותחלקו ב <math>\sqrt{n-\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt[3]{n}}</math>.
--[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:17, 21 בפברואר 2012 (IST)
::ואז ?
::מצמצמים את המונה והמכנה בביטוי "הכי גדול" כלומר ב<math>\sqrt{n}</math> --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:40, 21 בפברואר 2012 (IST)

== פונקציות ==

איך באופן כללי לענות על שאלות רציפות? עם כל ההגדרות כמו שכתוב במערכי תרגול או שאפשר גם לכתוב איפה שאפשר ב"הגיון"?
:לפי הגדרות ולפי משפטים בלבד --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה ==

הוכיחו כי הטור
<math>Sigma a_n</math>
מתכנס בהחלט אם ורק אם קיים
C>0
כך שלכל סדרה
<math>(b_n)n=1...infinity</math>
המקיימת כי
<math>|b_n|<=1</math>
לכל
n in N
וכן
<math>lim b_n=0, n->infinity</math>
מתקיים כי
<math>Sigma a_n*b_n<=C</math>
n=1....infinity

נ"ב,אני משום מה לא מצליח לרדת שורה,למרות שאני לוחץ על אנטר
תודה

:השאלה הופיע בתרגילי הבית של תשע"א: [http://math-wiki.com/images/b/b9/10Infi1Targil7Sol.pdf ראה פתרון של תרגיל 8].

:בכיוון השני אתה יכול גם להראות שהסדרה <math>a_{n}</math> מקיימת את תנאי קושי, כך שבכל פעם תבחר סדרה מתאימה.

== שאלה ממערכי תרגול- פונקציות- קושי ==

היי ארז!
מצ"ב מערך תרגול http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%AA/%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94
בשאלת ההוכחה הראשונה של קושי בה צריך להוכיח שהגבול הוא שמונה, לאחר שעשינו מכנה משותף ופישטנו את הביטוי והשאפנו את איקס ל-2 מה מעיד על כך שצריך להגדיל את השבר?ו..איך מוצאים את הדלתא????

:אנחנו רוצים להגדיל את כל הביטוי, ולמצוא דלתא שמבטיח שאפילו אחרי שהגדלנו הביטוי יהיה קטן מאפסילון ללא תלות באיקס. על מנת להגדיל את הביטוי אנחנו צריכים להקטין את המכנה. על מנת להקטין את המכנה אנחנו צריכים למצוא מספר גדול מאפס שקטן תמיד מהמכנה. אנחנו בוחרים דלתא שנותן לנו מספר כזה.. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== בתרגיל להלן שיש לו קישור ==

לא ברור איך ידעת מאיפה להתחיל .. אפשר הסבר לאיך הגעת לנקודת ההתחלה מה רמז לך לזה?
תודה
http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%AA

:יש שם כמה תרגילים, הכוונה לראשון? כאשר אנחנו מקבלים סדרה שאנו רוצים להוכיח שהיא מתכנסת יש לנו מספר שיטות. האחת היא להראות מונוטוניות וחסימות, השנייה היא למצוא נוסחא מפורשת (קשה במקרה זה) ואחרת היא להראות תנאי קושי. אין דרך לדעת בוודאות מראש איזו שיטה עובדת, יש לנסות את כולם עד אשר מצליחים לפתור את התרגיל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::סורי שלא ציינתי זאת התכוונתי לתרגיל השני עם a1=אלפא b1=ביטא נ.ב- "לא קונה בלי תימני"

:::כמו בתרגילים אחרים, העצה היא להתחיל לרשום כמה איברים ראשונים של הסדרה. מהר מאד רואים שאחת עולה, השנייה יורדת, והשנייה גדולה מהראשונה. אחרי שרואים את זה ניגשים להוכיח במרץ --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== היינה- שאלה קטנטנה ==

היי, בקובץ המצורף http://math-wiki.com/images/7/7b/10Infi1Targil8Sol.pdf בשאלה 3.
השאלה פשוטה עקרונית. אבל מבחינת ההוכחה יכולתי לומר שמתקיים לכל סדרה לקחת בפרט סדרה כלשהי (נגיד 1 חלקי n ) ששואפת ל-0 להפעיל עליה את f ולומר שמדובר על מכפלה של אפסית בחסום ולכן הגבול אפס. אמת?
:לא מספיק להוכיח לסדרה מסויימת, חייבים להוכיח שזה מתקיים לכל סדרה. אחרת יכול להיות שעל הנקודות של 1 חלקי n קורה משהו אחד, ועל נקודות אחרות בסביבת אפס קורה משהו אחר --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== הוכחה של גבול ==

היי,
השאלה: הוכח שlimcosx=1 כאשר x שואף ל-0.
בוחרים סדרה כלשהי שמתכנסת ל-0 ואז מה ניתן לעשות?
תודה

:תלוי מאיפה השאלה בחומר. בהרצאה הוכחנו שקוסינוס וסינוס הן פונקציות רציפות, זה נובע ישירות מהגדרת הרציפות --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== לא הצלחתי שאלה במבחן מסוים... ==

http://www.studenteen.org/inf1_exam_zalcman_2009_a.pdf תרגיל 2 ג הוכחתי שזה מתכנס בתנאי לפי דריכלה אבל אין לי רעיון עם מתכנס בהחלט...
:זה לא מתכנס בהחלט. בלי הקוסינוס זה נכון לפי מבחן העיבוי, עם הקוסינוס ניתן להוכיח שקוסינוס בערך מוחלט גדול מקבוע מסויים לפחות כל פעם שנייה. הרי אם הוא קרוב לאפס, אחרי אחד הוא יתרחק ממנו. לכן זה גדול מקבוע כפול טור מתבדר ולכן מתבדר. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::לא הבנתי כל כך איך אני מוכיח שזה מתכנס בתנאי...
:::מבחן דיריכליי, הוא רשום במפורט במערכי תרגול. '''אבל''' להבנתי אסור לכם להשתמש בזה במבחן, וכנראה לא יהיה תרגיל כזה במבחן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== לא הצלחתי לסווג את הנקודות קיצון ==

http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef1a2e00a144.pdf שאלה 6 א את 0 הצלחתח בעזרת לופיטל אבל לא הצלחתי את PI/2+PK
::מדובר בסוג שני. מספיק להוכיח שהגבול השמאלי ב <math>\frac{\pi}{2}</math> אינו סופי. (אם הוא אינסופי או לא קיים בכל מקרה מדובר בסוג שני) וזה משליך גם על כל הנקודות האחרות. מספיק להוכיח שהגבול השמאלי של המונה אינו סופי. (למה?) נניח בשלילה שהגבול סופי אזי בהכרח הגבול בין 1 למינוס 1 (נובע מערכי סינוס). נניח שהגבול הוא a. כעת ניתן להפעיל arcsin על שני האפים שהיא פונקציה רציפה בתחום הגדרתה (משתמשים כאן ברעיון של שאלה 2 מתרגיל 10) וכמו כן לזכור ש arcsinsin t=t ונקבל ש
<math>\lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^-}tan x=arcsin a </math>
אבל arcsin a הוא מספר סופי ומצד שני ידוע ש <math>\lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^-}tan x=\infty </math>
וזו סתירה להנחה.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 01:08, 8 באפריל 2012 (IDT)

== מבחן נוסף... ==

http://www.studenteen.org/ חשבון אינפי 1 בחינות של שמואל קפלן קובץ 2 תרגיל 1 א

:אפשר להוכיח באינדוקציה ש<math>2^{n}>n^{3}</math> החל מn מסויים, מכאן תמשיך!
אופס קודם התבלבלתי תרגיל 1 ג
::ניתן להיפטר מarcsin ע"י הצבת <math>x=sint</math> ואז מקבלים גבול כש <math>t</math> שואף לאפס
מקבלים גבול מהצורה של 1 בחזקת אינסוף. אותו אפשר לפתור ע"י הטלת ln (בסוף צריך להפעיל e בחזקת התוצאה הזו כדי לקבל את הגבול המקורי) אחרי השלב של הln פותרים בעזרת לופיטל. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:36, 8 באפריל 2012 (IDT)

== אפשר רמז? ==

אם פונציה f
1.רציפה על [a,b] ,
2. קיימת נגזרת סופית בקטע ..(למיטב הבנתי הנגזרת חסומה..)
3. הפונקציה לא לינארית..(במה בדיוק זה עוזר לי?)
צ"ל שקיימת לפחות נק' אחת שבה הנגזרת יותר גדולה מהנגזרת בין a לb לפי לגראנג'..(כאילו
f(b) -f(a)/b-a< f'(c)
::ברגע שהפונקציה לא ליניארית אז לא יתכן ש <math> f(x)=f(a)+(x-a)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
לכל x.
כלומר בהכרח קיים <math>a<x<b</math> כך שבמקום שוויון יש אי שוויון.
אם למשל <math>f(x)</math> גדול מאגף ימין אז ניתן להסתכל בביטוי
<math> \frac{f(x)-f(a)}{x-a}</math> ולהסיק ש...
אם אי השוויון הוא בכיוון השני אז ניתן להתבונן ב <math> \frac{f(b)-f(x)}{b-x}</math> ולהסיק הדרוש. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:08, 8 באפריל 2012 (IDT)

תודה :-)

== מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים. ==

בהוכחת מבחן השורש לטורים חיוביים נעזרים במשפט עזר על אפייון הלימסופ, בו נאמר פחות או יותר-
תהי '''סדרה כלשהי''', אם קיים מספר כלשהו אשר גדול מהלימסופ של הסדרה, אזי קיימים לכל היותר מספר סופי של איברים..כמו כן קיים ניסוח גם למקרה ההפוך.
השאלה שלי היא, האם אין צורך לדרוש את הקיום הזה לכל סדרה חסומה?
::לא. זו דוגמא טובה לתנאי שמתקיים באופן ריק. אם למשל הסדרה לא חסומה מלעיל אז הגרירה: "אם קיים מספר כלשהו אשר גדול מהלימסופ של הסדרה, אזי קיימים לכל היותר מספר סופי של איברים.." היא בהכרח '''פסוק אמת''' כי הרישא היא שקרית (הלימסופ הוא אינסוף ולכן לא קיים מספר הגדול ממנו) ולכן לא משנה מה תוצאת הגרירה, הפסוק יהיה פסוק אמת. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 11:25, 9 באפריל 2012 (IDT)

== שאלה למבחן ==

אפשר להשתמש בעובדה שהטור <math>\forall \alpha \in (-2,0]: \sum_{n=1}^{\infty} n^{\alpha}</math> מתבדר

ושהטור <math>\forall \alpha \in (-\infty ,2]: \sum_{n=1}^{\infty} n^{\alpha}</math> מתכנס? או שצריך להוכיח כל פעם?

שיחה:88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/כלליות

2012-04-06T16:11:25Z

לב זלוטניק: /* למה אין שיעורי בית? */

שיחה:88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים

2012-04-06T16:08:30Z

לב זלוטניק: יצירת דף עם התוכן "מתי תרגיל 2?"

מתי תרגיל 2?

תמורה

2012-04-05T13:38:40Z

לב זלוטניק:

תמורה היא פונקציה המשמשת לחישוב דטרמיננטה של מטריצה.
הסימן נראה כך: <math>\sigma</math>

תמורה אומרת, תביא לי מספר ואני אתן לך מספר אחר.

בדטרמיננטות היא נותנת מספר שהוא אינדקס העמודה, כלומר אם יש לנו מטריצה שלוש על שלוש, והתמורה על אחד נותנת שתיים, אז עבור שורה אחת, יהיה לנו את האיבר השני, כלומר :<math>a_{12}</math>

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 5 (18/3/12)

2012-04-05T11:52:43Z

לב זלוטניק: /* הרצאות 5+6+7 (18+20+25/3/12) */

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|חזרה להרצאות]]

== הרצאות 5+6+7 (18+20+25/3/12) ==

<big><big>הפעם אין צורך שאני יעלה את ההרצאות במלואן כי מצאתי את החומר באתר, אבל בשביל הנוחות אתן קישורים:</big></big>

חלקים 1-3 : האינטגרל לפי דרבו

[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11 |חלק 1]]

[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.2.11 |חלק 2]]

[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.2.11 |חלק 3]] חלקים 3-4 : האינטגרל לפי רימן

משפט 1: יהיו <math>g(x),f(x)</math> מוגדרות ואינטגרביליות ב- <math>[a,b]</math> ו- <math>c \in \mathbb{R}</math> קבוע. אז הפונקציות <math>f \pm g</math> אינטגרביליות ב- <math>[a,b]</math> ומתקיים:

1) <math>\int_{a}^{b}\left [ f(x) \pm g(x) \right ]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx \pm \int_{a}^{b}g(x)dx</math>

2) <math>\int_{a}^{b}cf(x)dx=c\int_{a}^{b}f(x)dx</math>

3) אם <math>f(x)\leq g(x)</math> אז <math>\int_{a}^{b}f(x)dx\leq \int_{a}^{b}g(x)dx</math>

4) <math>\left |\int_{a}^{b}f(x)dx \right |\leq \int_{a}^{b}\left |f(x) \right |dx</math>

5) אם <math>\left |f(x) \right |\leq M</math> ב- <math>[a,b]</math> מתקיים: <math>\left |\int_{a}^{b}f(x)dx \right |\leq M(b-a)</math>

6) <math>\int_{a}^{b}cdx=c(b-a)</math>

משפט 2 (המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי- משפט ניוטון-לייבניץ):
תהי <math>f(x)</math> מוגדרת חסימה ואינטגרבילית בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר:
<math>\forall x \in [a,b]: A(x):= \int_{a}^{x} f(t)dt</math>.אזי:

א) <math>A(x)</math> רציפה ב- <math>[a,b]</math>.

ב) אם <math>f(x_{0})</math> רציפה עבור <math>x_{0}</math>, אזי <math>A(x)</math> גזירה שם ומתקיים <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.

ג) אם <math>f(x)</math> רציפה בכל <math>[a,b]</math>, ו-F פונקציה קדומה ל-f,אז מתקיימת נוסחת ניוטון לייבניץ: <math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.

[[הוכחה למשפט היסודי של החשבון האינטגרלי|הוכחה(לב זלוטניק)]]

משפט 3 אינטגרל מסויים בחלקים:
<math>\int_{a}^{b} f(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} f'(x)g(x)dx</math>

את ההוכחות אני יעלה במועד מאוחר יותר!

'''למקרה שיש טעות או שחסר חומר, תוכלו לפנות אליי דרך פייסבוק (שם המשתמש: Nimrod Sherer)'''

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 1/פתרון

2012-04-03T19:49:53Z

לב זלוטניק:

לאן הגענו שסטודנטים פותרים לעצמם את שיעורי הבית?
:לאן הגענו שסטודנטים פותרים את שיעורי הבית?
::לאן הגענו שסטודנטים פותרים שיעורי?

שיחה:88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/אינטגרלים

2012-04-01T09:34:28Z

לב זלוטניק: /* שיטת ההצבה */

המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי

2012-03-31T15:06:44Z

לב זלוטניק: /* סעיף א' */

[[קטגוריה:אינפי]]
== המשפט ==
תהי <math>f(x)</math> מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. נגדיר גם: <math>\forall x \in [a,b]: A(x):= \int_{a}^{x} f(t)dt</math> . אזי מתקיים:

א) <math>A(x)</math> רציפה.

ב)לכל <math>x_{0} \in [a,b]</math> שבו <math>f(x_{0})</math> רציפה, <math>A(x)</math> גזירה ו- <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.

ג) אם <math>f(x)</math> רציפה בכל <math>[a,b]</math>, ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: <math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.

== הוכחה ==
=== סעיף א'===
נקח <math>x \in [a,b]</math> כלשהו ו-<math>\Delta x</math> "קטן" כך ש-<math>x+\Delta x \in [a,b]</math>. לפי הגדרה:<math>A(x+\Delta x)=\int_{a}^{x+\Delta x} f(t)dt </math> ולכן

<math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt</math>.
נתון ש-f חסומה, נגיד <math>f(x) \leq M </math>.

לכן מתקיים <math>|A(x+\Delta x)-A(x)|=|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt| \leq M|\Delta x|</math>.

כעת נשאיף את <math>\Delta x \to 0</math>, אגף ימין שואף ל-0 .
לכן:

<math>\lim_{\Delta x \to 0}|A(x+\Delta x)-A(x)|=0</math> ומכך נובע ש:

<math>\lim_{\Delta x \to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0</math> ולכן מתקיים תנאי הרציפות,

<math>\lim_{\Delta x \to 0}A(x+ \Delta x)= A(x)</math>.

<math>\blacksquare </math>

=== סעיף ב'===
כאן מניחים ש- <math>f(t)</math> רציפה בנקודה <math>x_{0} \in [a,b]</math> כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי <math>A'(x_{0})</math> קיימת ושווה ל- <math>f(x_{0})</math>. נחזור לפונקציה <math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt</math>.
בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר <math>\Delta x \to 0</math> , מתקיים בהכרח:

<math>\frac{A(x_{0}+\Delta x)-A(x_{0})}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt \to f(x_{0})</math>

'''טענה''' נוכיח כי
<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt=f(x_{0})</math> .

נעיר קודם כל כי מתקיים ע"פ סעיף 6 במשפט 1: <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})dt=f(x_{0}) \Delta x </math>
ולכן <math>\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})=f(x_{0})</math>.

כעת נראה כי הביטוי מתאפס:
<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt=0</math>

יהי <math>\epsilon >0</math>. כיוון ש-f רציפה, קיים <math>\delta >0</math> כך שאם <math>|t-x_{0}|< \delta</math> אז <math>|f(t)-f(x_{0})|<0</math>.כעת נניח <math>|\Delta x|<\delta</math>, לכן לכל t כזה: <math>|t-x_{0}| \leq |\Delta x|< \delta </math> כך ש-<math>|f(t)-f(x_{0})|< \epsilon</math>.

מכאן ש-
<math>|\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} [f(t)-f(x_{0})]dt| \leq \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} |f(t)-f(x_{0})|dt<\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt</math>

אבל <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt=|\Delta x| \epsilon</math> ולכן

<math>|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(t)-f(x_{0})dt| < \frac{1}{|\Delta x|} \cdot \epsilon |\Delta x|=\epsilon </math>.

ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, מכאן נובע <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.

<math>\blacksquare</math>

===סעיף ג' ===

ידוע כי <math>f</math> רציפה על כל <math>[a,b]</math>, ולכן ע"פ סעיף ב', <math>A(x)</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>. נתון גם כי <math>F</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>, ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים <math>F(x)=A(x)+c</math> עבור c כלשהו.

לכן: <math>F(b)-F(a)=[A(b)+c]-[A(a)+c]=A(b)-A(a)=\int_{a}^{b} f(x)dx- \int_{a}^{a} f(x)dx=</math>

<math>=\int_{a}^{b} f(x)dx-0=\int_{a}^{b} f(x)dx</math>

ולכן בסך הכל :<math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.

<math>\blacksquare</math>

המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי

2012-03-29T19:00:25Z

לב זלוטניק: /* סעיף ב' */

[[קטגוריה:אינפי]]
== המשפט ==
תהי <math>f(x)</math> מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. נגדיר גם: <math>\forall x \in [a,b]: A(x):= \int_{a}^{x} f(t)dt</math> . אזי מתקיים:

א) <math>A(x)</math> רציפה.

ב)לכל <math>x_{0} \in [a,b]</math> שבו <math>f(x_{0})</math> רציפה, <math>A(x)</math> גזירה ו- <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.

ג) אם <math>f(x)</math> רציפה בכל <math>[a,b]</math>, ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: <math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.

== הוכחה ==
=== סעיף א'===
נקח <math>x \in [a,b]</math> כלשהו ו-<math>\Delta x</math> "קטן" כך ש-<math>x+\Delta x \in [a,b]</math>. לפי הגדרה:<math>A(x+\Delta x)=\int_{a}^{x+\Delta x} f(t)dt </math> ולכן

<math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt</math>.
נתון ש-f חסומה, נגיד <math>|f(x)| \leq M </math>.

לכן מתקיים <math>|A(x+\Delta x)-A(x)|=|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt| \leq M|\Delta x|</math>.

כעת נשאיף את <math>\Delta x \to 0</math>, אגף ימין שואף ל-0 .
לכן:

<math>\lim_{\Delta x \to 0}|A(x+\Delta x)-A(x)|=0</math> ומכך נובע ש:

<math>\lim_{\Delta x \to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0</math> ולכן מתקיים תנאי הרציפות,

<math>\lim_{\Delta x \to 0}A(x+ \Delta x)= A(x)</math>.

<math>\blacksquare </math>

=== סעיף ב'===
כאן מניחים ש- <math>f(t)</math> רציפה בנקודה <math>x_{0} \in [a,b]</math> כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי <math>A'(x_{0})</math> קיימת ושווה ל- <math>f(x_{0})</math>. נחזור לפונקציה <math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt</math>.
בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר <math>\Delta x \to 0</math> , מתקיים בהכרח:

<math>\frac{A(x_{0}+\Delta x)-A(x_{0})}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt \to f(x_{0})</math>

'''טענה''' נוכיח כי
<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt=f(x_{0})</math> .

נעיר קודם כל כי מתקיים ע"פ סעיף 6 במשפט 1: <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})dt=f(x_{0}) \Delta x </math>
ולכן <math>\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})=f(x_{0})</math>.

כעת נראה כי הביטוי מתאפס:
<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt=0</math>

יהי <math>\epsilon >0</math>. כיוון ש-f רציפה, קיים <math>\delta >0</math> כך שאם <math>|t-x_{0}|< \delta</math> אז <math>|f(t)-f(x_{0})|<0</math>.כעת נניח <math>|\Delta x|<\delta</math>, לכן לכל t כזה: <math>|t-x_{0}| \leq |\Delta x|< \delta </math> כך ש-<math>|f(t)-f(x_{0})|< \epsilon</math>.

מכאן ש-
<math>|\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} [f(t)-f(x_{0})]dt| \leq \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} |f(t)-f(x_{0})|dt<\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt</math>

אבל <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt=|\Delta x| \epsilon</math> ולכן

<math>|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(t)-f(x_{0})dt| < \frac{1}{|\Delta x|} \cdot \epsilon |\Delta x|=\epsilon </math>.

ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, מכאן נובע <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.

<math>\blacksquare</math>

===סעיף ג' ===

ידוע כי <math>f</math> רציפה על כל <math>[a,b]</math>, ולכן ע"פ סעיף ב', <math>A(x)</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>. נתון גם כי <math>F</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>, ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים <math>F(x)=A(x)+c</math> עבור c כלשהו.

לכן: <math>F(b)-F(a)=[A(b)+c]-[A(a)+c]=A(b)-A(a)=\int_{a}^{b} f(x)dx- \int_{a}^{a} f(x)dx=</math>

<math>=\int_{a}^{b} f(x)dx-0=\int_{a}^{b} f(x)dx</math>

ולכן בסך הכל :<math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.

<math>\blacksquare</math>

המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי

2012-03-29T18:59:28Z

לב זלוטניק: /* סעיף ב' */

[[קטגוריה:אינפי]]
== המשפט ==
תהי <math>f(x)</math> מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. נגדיר גם: <math>\forall x \in [a,b]: A(x):= \int_{a}^{x} f(t)dt</math> . אזי מתקיים:

א) <math>A(x)</math> רציפה.

ב)לכל <math>x_{0} \in [a,b]</math> שבו <math>f(x_{0})</math> רציפה, <math>A(x)</math> גזירה ו- <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.

ג) אם <math>f(x)</math> רציפה בכל <math>[a,b]</math>, ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: <math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.

== הוכחה ==
=== סעיף א'===
נקח <math>x \in [a,b]</math> כלשהו ו-<math>\Delta x</math> "קטן" כך ש-<math>x+\Delta x \in [a,b]</math>. לפי הגדרה:<math>A(x+\Delta x)=\int_{a}^{x+\Delta x} f(t)dt </math> ולכן

<math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt</math>.
נתון ש-f חסומה, נגיד <math>|f(x)| \leq M </math>.

לכן מתקיים <math>|A(x+\Delta x)-A(x)|=|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt| \leq M|\Delta x|</math>.

כעת נשאיף את <math>\Delta x \to 0</math>, אגף ימין שואף ל-0 .
לכן:

<math>\lim_{\Delta x \to 0}|A(x+\Delta x)-A(x)|=0</math> ומכך נובע ש:

<math>\lim_{\Delta x \to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0</math> ולכן מתקיים תנאי הרציפות,

<math>\lim_{\Delta x \to 0}A(x+ \Delta x)= A(x)</math>.

<math>\blacksquare </math>

=== סעיף ב'===
כאן מניחים ש- <math>f(t)</math> רציפה בנקודה <math>x_{0} \in [a,b]</math> כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי <math>A'(x_{0})</math> קיימת ושווה ל- <math>f(x_{0})</math>. נחזור לפונקציה <math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt</math>.
בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר <math>\Delta x \to 0</math> , מתקיים בהכרח:

<math>\frac{A(x_{0}+\Delta x)-A(x_{0})}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt \to f(x_{0})</math>

'''טענה''' נוכיח כי
<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt=f(x_{0})</math> .

נעיר קודם כל כי מתקיים ע"פ סעיף 6 במשפט 1: <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})dt=f(x_{0}) \Delta x </math>
ולכן <math>\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})=f(x_{0})</math>.

כעת נראה כי הביטוי מתאפס:
<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt=0</math>

יהי <math>\epsilon >0</math>. כיוון ש-f רציפה, קיים <math>\delta >0</math> כך שאם <math>|t-x_{0}|< \delta</math> אז <math>|f(t)-f(x_{0})|<0</math>.כעת נניח <math>|\Delta x|<\delta</math>, לכן לכל t כזה: <math>|t-x_{0}| \leq |\Delta x|< \delta </math> כך ש-<math>|f(t)-f(x_{0})|< \epsilon</math>.

מכאן ש-
<math>|\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} [f(t)-f(x_{0})]dt|<\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} |f(t)-f(x_{0})|dt<\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt</math>

אבל <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt=|\Delta x| \epsilon</math> ולכן

<math>|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(t)-f(x_{0})dt| \leq \frac{1}{|\Delta x|} \cdot \epsilon |\Delta x|=\epsilon </math>.

ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, מכאן נובע <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.

<math>\blacksquare</math>

===סעיף ג' ===

ידוע כי <math>f</math> רציפה על כל <math>[a,b]</math>, ולכן ע"פ סעיף ב', <math>A(x)</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>. נתון גם כי <math>F</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>, ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים <math>F(x)=A(x)+c</math> עבור c כלשהו.

לכן: <math>F(b)-F(a)=[A(b)+c]-[A(a)+c]=A(b)-A(a)=\int_{a}^{b} f(x)dx- \int_{a}^{a} f(x)dx=</math>

<math>=\int_{a}^{b} f(x)dx-0=\int_{a}^{b} f(x)dx</math>

ולכן בסך הכל :<math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.

<math>\blacksquare</math>

המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי

2012-03-29T16:10:03Z

לב זלוטניק: /* סעיף ב' */

[[קטגוריה:אינפי]]
== המשפט ==
תהי <math>f(x)</math> מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. נגדיר גם: <math>\forall x \in [a,b]: A(x):= \int_{a}^{x} f(t)dt</math> . אזי מתקיים:

א) <math>A(x)</math> רציפה.

ב)לכל <math>x_{0} \in [a,b]</math> שבו <math>f(x_{0})</math> רציפה, <math>A(x)</math> גזירה ו- <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.

ג) אם <math>f(x)</math> רציפה בכל <math>[a,b]</math>, ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: <math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.

== הוכחה ==
=== סעיף א'===
נקח <math>x \in [a,b]</math> כלשהו ו-<math>\Delta x</math> "קטן" כך ש-<math>x+\Delta x \in [a,b]</math>. לפי הגדרה:<math>A(x+\Delta x)=\int_{a}^{x+\Delta x} f(t)dt </math> ולכן

<math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt</math>.
נתון ש-f חסומה, נגיד <math>|f(x)| \leq M </math>.

לכן מתקיים <math>|A(x+\Delta x)-A(x)|=|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt| \leq M|\Delta x|</math>.

כעת נשאיף את <math>\Delta x \to 0</math>, אגף ימין שואף ל-0 .
לכן:

<math>\lim_{\Delta x \to 0}|A(x+\Delta x)-A(x)|=0</math> ומכך נובע ש:

<math>\lim_{\Delta x \to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0</math> ולכן מתקיים תנאי הרציפות,

<math>\lim_{\Delta x \to 0}A(x+ \Delta x)= A(x)</math>.

<math>\blacksquare </math>

=== סעיף ב'===
כאן מניחים ש- <math>f(t)</math> רציפה בנקודה <math>x_{0} \in [a,b]</math> כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי <math>A'(x_{0})</math> קיימת ושווה ל- <math>f(x_{0})</math>. נחזור לפונקציה <math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt</math>.
בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר <math>\Delta x \to 0</math> , מתקיים בהכרח:

<math>\frac{A(x_{0}+\Delta x)-A(x_{0})}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt \to f(x_{0})</math>

'''טענה''' נוכיח כי
<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt=f(x_{0})</math> .

נעיר קודם כל כי מתקיים ע"פ סעיף 6 במשפט 1: <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})dt=f(x_{0}) \Delta x </math>
ולכן <math>\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})=f(x_{0})</math>.

כעת נראה כי הביטוי מתאפס:
<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt=0</math>

יהי <math>\epsilon >0</math>. כיוון ש-f רציפה, קיים <math>\delta >0</math> כך שאם <math>|t-x_{0}|< \delta</math> אז <math>|f(t)-f(x_{0})|<0</math>.כעת נניח <math>|\Delta x|<\delta</math>, לכן לכל t כזה: <math>|t-x_{0}| \leq |\Delta x|< \delta </math> כך ש-<math>|f(t)-f(x_{0})|< \epsilon</math>.

מכאן ש-
<math>|\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} [f(t)-f(x_{0})]dt|<\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} |f(t)-f(x_{0})|dt<\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt</math>

אבל <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt=|\Delta x| \epsilon</math> ולכן

<math>|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(t)-f(x_{0})dt|<\frac{1}{|\Delta x|} \cdot \epsilon |\Delta x|=\epsilon </math>.

ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, מכאן נובע <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.

<math>\blacksquare</math>

===סעיף ג' ===

ידוע כי <math>f</math> רציפה על כל <math>[a,b]</math>, ולכן ע"פ סעיף ב', <math>A(x)</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>. נתון גם כי <math>F</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>, ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים <math>F(x)=A(x)+c</math> עבור c כלשהו.

לכן: <math>F(b)-F(a)=[A(b)+c]-[A(a)+c]=A(b)-A(a)=\int_{a}^{b} f(x)dx- \int_{a}^{a} f(x)dx=</math>

<math>=\int_{a}^{b} f(x)dx-0=\int_{a}^{b} f(x)dx</math>

ולכן בסך הכל :<math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.

<math>\blacksquare</math>

משפטים/אינפי

2012-03-29T12:12:11Z

לב זלוטניק:

חזרה ל[[משפטים]]

ראו [[:קטגוריה:אינפי]], ובנוסף:
*[[משפטים/אינפי/מבחן השורש של קושי|מבחן קושי לטורים חיוביים]]
*[[משפטים/אינפי/התכנסות בהחלט|טור המתכנס בהחלט - מתכנס]]
*[[משפטים/אינפי/קנטור|משפט קנטור לגבי פונקציות רציפות בקטע סגור]]
*[[משפטים/אינפי/נגזרת חסומה רציפות במש|פונקציה בעלת נגזרת חסומה רציפה במ"ש]]
*[[המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי| משפט ניוטון-לייבניץ]]

המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי

2012-03-29T12:09:05Z

לב זלוטניק: /* סעיף ב' */

== המשפט ==
תהי <math>f(x)</math> מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. נגדיר גם: <math>\forall x \in [a,b]: A(x):= \int_{a}^{x} f(t)dt</math> . אזי מתקיים:

א) <math>A(x)</math> רציפה.

ב)לכל <math>x_{0} \in [a,b]</math> שבו <math>f(x_{0})</math> רציפה, <math>A(x)</math> גזירה ו- <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.

ג) אם <math>f(x)</math> רציפה בכל <math>[a,b]</math>, ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: <math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.

== הוכחה ==
=== סעיף א'===
נקח <math>x \in [a,b]</math> כלשהו ו-<math>\Delta x</math> "קטן" כך ש-<math>x+\Delta x \in [a,b]</math>. לפי הגדרה:<math>A(x+\Delta x)=\int_{a}^{x+\Delta x} f(t)dt </math> ולכן

<math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt</math>.
נתון ש-f חסומה, נגיד <math>|f(x)| \leq M </math>.

לכן מתקיים <math>|A(x+\Delta x)-A(x)|=|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt| \leq M|\Delta x|</math>.

כעת נשאיף את <math>\Delta x \to 0</math>, אגף ימין שואף ל-0 .
לכן:

<math>\lim_{\Delta x \to 0}|A(x+\Delta x)-A(x)|=0</math> ומכך נובע ש:

<math>\lim_{\Delta x \to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0</math> ולכן מתקיים תנאי הרציפות,

<math>\lim_{\Delta x \to 0}A(x+ \Delta x)= A(x)</math>.

<math>\blacksquare </math>

=== סעיף ב'===
כאן מניחים ש- <math>f(t)</math> רציפה בנקודה <math>x_{0} \in [a,b]</math> כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי <math>A'(x_{0})</math> קיימת ושווה ל- <math>f(x_{0})</math>. נחזור לפונקציה <math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt</math>.
בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר <math>\Delta x \to 0</math> , מתקיים בהכרח:

<math>\frac{A(x_{0}+\Delta x)-A(x_{0})}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt \to f(x_{0})</math>

'''טענה''' נוכיח כי
<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt=f(x_{0})</math> .

נעיר קודם כל כי מתקיים ע"פ סעיף 6 במשפט 1: <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})dt=f(x_{0}) \Delta x </math>
ולכן <math>\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})=f(x_{0})</math>.

כעת נראה כי הביטוי מתאפס:
<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt=0</math>

יהי <math>\epsilon >0</math>. כיוון ש-f רציפה, קיים <math>\delta >0</math> כך שאם <math>|t-x_{0}|< \delta</math> אז <math>|f(t)-f(x_{0})|<0</math>.כעת נניח <math>|\Delta x|<\delta</math>, לכן לכל t כזה: <math>|t-x_{0}| \leq |\Delta x|< \delta </math> כך ש-<math>|f(t)-f(x_{0})|< \epsilon</math>.

מכאן ש-
<math>|\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} [f(t)-f(x_{0})]dt|<\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt</math>

אבל <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt=|\Delta x| \epsilon</math> ולכן

<math>|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(t)-f(x_{0})dt|<\frac{1}{|\Delta x|} \cdot \epsilon |\Delta x|=\epsilon </math>.

ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, מכאן נובע <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.

<math>\blacksquare</math>

===סעיף ג' ===

ידוע כי <math>f</math> רציפה על כל <math>[a,b]</math>, ולכן ע"פ סעיף ב', <math>A(x)</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>. נתון גם כי <math>F</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>, ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים <math>F(x)=A(x)+c</math> עבור c כלשהו.

לכן: <math>F(b)-F(a)=[A(b)+c]-[A(a)+c]=A(b)-A(a)=\int_{a}^{b} f(x)dx- \int_{a}^{a} f(x)dx=</math>

<math>=\int_{a}^{b} f(x)dx-0=\int_{a}^{b} f(x)dx</math>

ולכן בסך הכל :<math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.

<math>\blacksquare</math>

המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי

2012-03-29T11:53:06Z

לב זלוטניק: /* סעיף ב' */

== המשפט ==
תהי <math>f(x)</math> מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. נגדיר גם: <math>\forall x \in [a,b]: A(x):= \int_{a}^{x} f(t)dt</math> . אזי מתקיים:

א) <math>A(x)</math> רציפה.

ב)לכל <math>x_{0} \in [a,b]</math> שבו <math>f(x_{0})</math> רציפה, <math>A(x)</math> גזירה ו- <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.

ג) אם <math>f(x)</math> רציפה בכל <math>[a,b]</math>, ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: <math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.

== הוכחה ==
=== סעיף א'===
נקח <math>x \in [a,b]</math> כלשהו ו-<math>\Delta x</math> "קטן" כך ש-<math>x+\Delta x \in [a,b]</math>. לפי הגדרה:<math>A(x+\Delta x)=\int_{a}^{x+\Delta x} f(t)dt </math> ולכן

<math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt</math>.
נתון ש-f חסומה, נגיד <math>|f(x)| \leq M </math>.

לכן מתקיים <math>|A(x+\Delta x)-A(x)|=|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt| \leq M|\Delta x|</math>.

כעת נשאיף את <math>\Delta x \to 0</math>, אגף ימין שואף ל-0 .
לכן:

<math>\lim_{\Delta x \to 0}|A(x+\Delta x)-A(x)|=0</math> ומכך נובע ש:

<math>\lim_{\Delta x \to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0</math> ולכן מתקיים תנאי הרציפות,

<math>\lim_{\Delta x \to 0}A(x+ \Delta x)= A(x)</math>.

<math>\blacksquare </math>

=== סעיף ב'===
כאן מניחים ש- <math>f(t)</math> רציפה בנקודה <math>x_{0} \in [a,b]</math> כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי <math>A'(x_{0})</math> קיימת ושווה ל- <math>f(x_{0})</math>. נחזור לפונקציה <math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt</math>.
בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר <math>\Delta x \to 0</math> , מתקיים בהכרח:

<math>\frac{A(x_{0}+\Delta x)-A(x_{0})}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt \to f(x_{0})</math>

'''טענה''' נוכיח כי
<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt=f(x_{0})</math> .

נעיר קודם כל כי מתקיים ע"פ סעיף 6 במשפט 1: <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})dt=f(x_{0}) \Delta x </math>
ולכן <math>\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})=f(x_{0})</math>.

כעת נראה כי הביטוי מתאפס:
<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt=0</math>

יהי <math>\epsilon >0</math>. אזי קיים <math>\delta >0</math> כך שאם <math>|\Delta x|< \delta</math>

כיוון שהפונקציה רציפה, מתקיים:

<math>|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt|<M |\Delta x| \frac{1}{|\Delta x|}=M</math>

ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, מכאן נובע <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.

<math>\blacksquare</math>

===סעיף ג' ===

ידוע כי <math>f</math> רציפה על כל <math>[a,b]</math>, ולכן ע"פ סעיף ב', <math>A(x)</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>. נתון גם כי <math>F</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>, ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים <math>F(x)=A(x)+c</math> עבור c כלשהו.

לכן: <math>F(b)-F(a)=[A(b)+c]-[A(a)+c]=A(b)-A(a)=\int_{a}^{b} f(x)dx- \int_{a}^{a} f(x)dx=</math>

<math>=\int_{a}^{b} f(x)dx-0=\int_{a}^{b} f(x)dx</math>

ולכן בסך הכל :<math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.

<math>\blacksquare</math>

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 5 (18/3/12)

2012-03-28T20:23:23Z

לב זלוטניק: /* הרצאות 5+6+7 (18+20+25/3/12) */

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|חזרה להרצאות]]

== הרצאות 5+6+7 (18+20+25/3/12) ==

<big><big>הפעם אין צורך שאני יעלה את ההרצאות במלואן כי מצאתי את החומר באתר, אבל בשביל הנוחות אתן קישורים:</big></big>

חלקים 1-3 : האינטגרל לפי דרבו

[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11 |חלק 1]]

[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.2.11 |חלק 2]]

[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.2.11 |חלק 3]] חלקים 3-4 : האינטגרל לפי רימן

[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.3.11 |חלק 4]]

משפט 1: יהיו <math>g(x),f(x)</math> מוגדרות ואינטגרביליות ב- <math>[a,b]</math> ו- <math>c \in \mathbb{R}</math> קבוע. אז הפונקציות <math>f \pm g</math> אינטגרביליות ב- <math>[a,b]</math> ומתקיים:

1) <math>\int_{a}^{b}\left [ f(x) \pm g(x) \right ]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx \pm \int_{a}^{b}g(x)dx</math>

2) <math>\int_{a}^{b}cf(x)dx=c\int_{a}^{b}f(x)dx</math>

3) אם <math>f(x)\leq g(x)</math> אז <math>\int_{a}^{b}f(x)dx\leq \int_{a}^{b}g(x)dx</math>

4) <math>\left |\int_{a}^{b}f(x)dx \right |\leq \int_{a}^{b}\left |f(x) \right |dx</math>

5) אם <math>\left |f(x) \right |\leq M</math> ב- <math>[a,b]</math> מתקיים: <math>\left |\int_{a}^{b}f(x)dx \right |\leq M(b-a)</math>

6) <math>\int_{a}^{b}cdx=c(b-a)</math>

משפט 2 (המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי- משפט ניוטון-לייבניץ):
תהי <math>f(x)</math> מוגדרת חסימה ואינטגרבילית בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר:
<math>\forall x \in [a,b]: A(x):= \int_{a}^{x} f(t)dt</math>.אזי:

א) <math>A(x)</math> רציפה ב- <math>[a,b]</math>.

ב) אם <math>f(x_{0})</math> רציפה עבור <math>x_{0}</math>, אזי <math>A(x)</math> גזירה שם ומתקיים <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.

ג) אם <math>f(x)</math> רציפה בכל <math>[a,b]</math>, ו-F פונקציה קדומה ל-f,אז מתקיימת נוסחת ניוטון לייבניץ: <math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.

[[הוכחה למשפט היסודי של החשבון האינטגרלי|הוכחה(לב זלוטניק)]]

משפט 3 אינטגרל מסויים בחלקים:
<math>\int_{a}^{b} f(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} f'(x)g(x)dx</math>

את ההוכחות אני יעלה במועד מאוחר יותר!

'''למקרה שיש טעות או שחסר חומר, תוכלו לפנות אליי דרך פייסבוק (שם המשתמש: Nimrod Sherer)'''

המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי

2012-03-28T12:30:19Z

לב זלוטניק: /* סעיף ב' */

== המשפט ==
תהי <math>f(x)</math> מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. נגדיר גם: <math>\forall x \in [a,b]: A(x):= \int_{a}^{x} f(t)dt</math> . אזי מתקיים:

א) <math>A(x)</math> רציפה.

ב)לכל <math>x_{0} \in [a,b]</math> שבו <math>f(x_{0})</math> רציפה, <math>A(x)</math> גזירה ו- <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.

ג) אם <math>f(x)</math> רציפה בכל <math>[a,b]</math>, ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: <math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.

== הוכחה ==
=== סעיף א'===
נקח <math>x \in [a,b]</math> כלשהו ו-<math>\Delta x</math> "קטן" כך ש-<math>x+\Delta x \in [a,b]</math>. לפי הגדרה:<math>A(x+\Delta x)=\int_{a}^{x+\Delta x} f(t)dt </math> ולכן

<math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt</math>.
נתון ש-f חסומה, נגיד <math>|f(x)| \leq M </math>.

לכן מתקיים <math>|A(x+\Delta x)-A(x)|=|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt| \leq M|\Delta x|</math>.

כעת נשאיף את <math>\Delta x \to 0</math>, אגף ימין שואף ל-0 .
לכן:

<math>\lim_{\Delta x \to 0}|A(x+\Delta x)-A(x)|=0</math> ומכך נובע ש:

<math>\lim_{\Delta x \to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0</math> ולכן מתקיים תנאי הרציפות,

<math>\lim_{\Delta x \to 0}A(x+ \Delta x)= A(x)</math>.

<math>\blacksquare </math>

=== סעיף ב'===
כאן מניחים ש- <math>f(t)</math> רציפה בנקודה <math>x_{0} \in [a,b]</math> כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי <math>A'(x_{0})</math> קיימת ושווה ל- <math>f(x_{0})</math>. נחזור לפונקציה <math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt</math>.
בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר <math>\Delta x \to 0</math> , מתקיים בהכרח:

<math>\frac{A(x_{0}+\Delta x)-A(x_{0})}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt \to f(x_{0})</math>

'''טענה''' נוכיח כי
<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt=f(x_{0})</math> .

נעיר קודם כל כי מתקיים ע"פ סעיף 6 במשפט 1: <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})dt=f(x_{0}) \Delta x </math>
ולכן <math>\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})=f(x_{0})</math>.

כעת נראה כי הביטוי מתאפס:
<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt=0</math>

יהי <math>\epsilon >0</math>. אזי קיים <math>\delta >0</math> כך שאם <math>|\Delta x|< \delta</math>
אז <math>|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt|< \epsilon</math>

כיוון שהפונקציה חסומה ואינטגרבילית, נסמן את החסם העליון M ונגיד ע"פ סעיף 5 במשפט 1:

<math>|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt|<M |\Delta x| \frac{1}{|\Delta x|}=M</math>

ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, מכאן נובע <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.

<math>\blacksquare</math>

===סעיף ג' ===

ידוע כי <math>f</math> רציפה על כל <math>[a,b]</math>, ולכן ע"פ סעיף ב', <math>A(x)</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>. נתון גם כי <math>F</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>, ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים <math>F(x)=A(x)+c</math> עבור c כלשהו.

לכן: <math>F(b)-F(a)=[A(b)+c]-[A(a)+c]=A(b)-A(a)=\int_{a}^{b} f(x)dx- \int_{a}^{a} f(x)dx=</math>

<math>=\int_{a}^{b} f(x)dx-0=\int_{a}^{b} f(x)dx</math>

ולכן בסך הכל :<math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.

<math>\blacksquare</math>

המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי

2012-03-28T12:19:04Z

לב זלוטניק: /* סעיף ב' */

== המשפט ==
תהי <math>f(x)</math> מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. נגדיר גם: <math>\forall x \in [a,b]: A(x):= \int_{a}^{x} f(t)dt</math> . אזי מתקיים:

א) <math>A(x)</math> רציפה.

ב)לכל <math>x_{0} \in [a,b]</math> שבו <math>f(x_{0})</math> רציפה, <math>A(x)</math> גזירה ו- <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.

ג) אם <math>f(x)</math> רציפה בכל <math>[a,b]</math>, ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: <math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.

== הוכחה ==
=== סעיף א'===
נקח <math>x \in [a,b]</math> כלשהו ו-<math>\Delta x</math> "קטן" כך ש-<math>x+\Delta x \in [a,b]</math>. לפי הגדרה:<math>A(x+\Delta x)=\int_{a}^{x+\Delta x} f(t)dt </math> ולכן

<math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt</math>.
נתון ש-f חסומה, נגיד <math>|f(x)| \leq M </math>.

לכן מתקיים <math>|A(x+\Delta x)-A(x)|=|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt| \leq M|\Delta x|</math>.

כעת נשאיף את <math>\Delta x \to 0</math>, אגף ימין שואף ל-0 .
לכן:

<math>\lim_{\Delta x \to 0}|A(x+\Delta x)-A(x)|=0</math> ומכך נובע ש:

<math>\lim_{\Delta x \to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0</math> ולכן מתקיים תנאי הרציפות,

<math>\lim_{\Delta x \to 0}A(x+ \Delta x)= A(x)</math>.

<math>\blacksquare </math>

=== סעיף ב'===
כאן מניחים ש- <math>f(t)</math> רציפה בנקודה <math>x_{0} \in [a,b]</math> כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי <math>A'(x_{0})</math> קיימת ושווה ל- <math>f(x_{0})</math>. נחזור לפונקציה <math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt</math>.
בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר <math>\Delta x \to 0</math> , מתקיים בהכרח:

<math>\frac{A(x_{0}+\Delta x)-A(x_{0})}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt \to f(x_{0})</math>

'''טענה''' נוכיח כי
<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt=f(x_{0})</math> .

נעיר קודם כל כי מתקיים: <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})dt=f(x_{0}) \Delta x </math>
ולכן <math>\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})=f(x_{0})</math>.

כעת נראה כי הביטוי מתאפס:
<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt=0</math>

יהי <math>\epsilon >0</math>. אזי קיים <math>\delta >0</math> כך שאם <math>|\Delta x|< \delta</math>
אז <math>|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt|< \epsilon</math>

כיוון שהפונקציה חסומה ואינטגרבילית, נסמן את החסם העליון M ונגיד ע"פ סעיף 5 במשפט 1:

<math>|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt|<M |\Delta x| \frac{1}{|\Delta x|}=M</math>

ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, מכאן נובע <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.

<math>\blacksquare</math>

===סעיף ג' ===

ידוע כי <math>f</math> רציפה על כל <math>[a,b]</math>, ולכן ע"פ סעיף ב', <math>A(x)</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>. נתון גם כי <math>F</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>, ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים <math>F(x)=A(x)+c</math> עבור c כלשהו.

לכן: <math>F(b)-F(a)=[A(b)+c]-[A(a)+c]=A(b)-A(a)=\int_{a}^{b} f(x)dx- \int_{a}^{a} f(x)dx=</math>

<math>=\int_{a}^{b} f(x)dx-0=\int_{a}^{b} f(x)dx</math>

ולכן בסך הכל :<math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.

<math>\blacksquare</math>

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 5 (18/3/12)

2012-03-28T12:17:41Z

לב זלוטניק: /* הרצאות 5+6+7 (18+20+25/3/12) */

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|חזרה להרצאות]]

== הרצאות 5+6+7 (18+20+25/3/12) ==

<big><big>הפעם אין צורך שאני יעלה את ההרצאות במלואן כי מצאתי את החומר באתר, אבל בשביל הנוחות אתן קישורים:</big></big>

חלקים 1-3 : האינטגרל לפי דרבו

[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11 |חלק 1]]

[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.2.11 |חלק 2]]

[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.2.11 |חלק 3]] חלקים 3-4 : האינטגרל לפי רימן

[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.3.11 |חלק 4]]

משפט 1: יהיו <math>g(x),f(x)</math> מוגדרות ואינטגרביליות ב- <math>[a,b]</math> ו- <math>c \in \mathbb{R}</math> קבוע. אז הפונקציות <math>f \pm g</math> אינטגרביליות ב- <math>[a,b]</math> ומתקיים:

1) <math>\int_{a}^{b}\left [ f(x) \pm g(x) \right ]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx \pm \int_{a}^{b}g(x)dx</math>

2) <math>\int_{a}^{b}cf(x)dx=c\int_{a}^{b}f(x)dx</math>

3) אם <math>f(x)\leq g(x)</math> אז <math>\int_{a}^{b}f(x)dx\leq \int_{a}^{b}g(x)dx</math>

4) <math>\left |\int_{a}^{b}f(x)dx \right |\leq \int_{a}^{b}\left |f(x) \right |dx</math>

5) אם <math>\left |f(x) \right |\leq M</math> ב- <math>[a,b]</math> מתקיים: <math>\left |\int_{a}^{b}f(x)dx \right |\leq M(b-a)</math>

6) <math>\int_{a}^{b}cdx=c(b-a)</math>

משפט 2 (המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי- משפט ניוטון-לייבניץ):
תהי <math>f(x)</math> מוגדרת חסימה ואינטגרבילית בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר:
<math>\forall x \in [a,b]: A(x):= \int_{a}^{x} f(t)dt</math>.אזי:

א) <math>A(x)</math> רציפה ב- <math>[a,b]</math>.

ב) אם <math>f(x_{0})</math> רציפה עבור <math>x_{0}</math>, אזי <math>A(x)</math> גזירה שם ומתקיים <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.

ג) אם <math>f(x)</math> רציפה בכל <math>[a,b]</math>, ו-F פונקציה קדומה ל-f,אז מתקיימת נוסחת ניוטון לייבניץ: <math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.

[[הוכחה למשפט היסודי של החשבון האינטגרלי|הוכחה(לב זלוטניק)]]

את ההוכחות אני יעלה במועד מאוחר יותר!

'''למקרה שיש טעות או שחסר חומר, תוכלו לפנות אליי דרך פייסבוק (שם המשתמש: Nimrod Sherer)'''

המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי

2012-03-28T12:09:54Z

לב זלוטניק: /* הוכחה */

== המשפט ==
תהי <math>f(x)</math> מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. נגדיר גם: <math>\forall x \in [a,b]: A(x):= \int_{a}^{x} f(t)dt</math> . אזי מתקיים:

א) <math>A(x)</math> רציפה.

ב)לכל <math>x_{0} \in [a,b]</math> שבו <math>f(x_{0})</math> רציפה, <math>A(x)</math> גזירה ו- <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.

ג) אם <math>f(x)</math> רציפה בכל <math>[a,b]</math>, ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: <math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.

== הוכחה ==
=== סעיף א'===
נקח <math>x \in [a,b]</math> כלשהו ו-<math>\Delta x</math> "קטן" כך ש-<math>x+\Delta x \in [a,b]</math>. לפי הגדרה:<math>A(x+\Delta x)=\int_{a}^{x+\Delta x} f(t)dt </math> ולכן

<math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt</math>.
נתון ש-f חסומה, נגיד <math>|f(x)| \leq M </math>.

לכן מתקיים <math>|A(x+\Delta x)-A(x)|=|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt| \leq M|\Delta x|</math>.

כעת נשאיף את <math>\Delta x \to 0</math>, אגף ימין שואף ל-0 .
לכן:

<math>\lim_{\Delta x \to 0}|A(x+\Delta x)-A(x)|=0</math> ומכך נובע ש:

<math>\lim_{\Delta x \to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0</math> ולכן מתקיים תנאי הרציפות,

<math>\lim_{\Delta x \to 0}A(x+ \Delta x)= A(x)</math>.

<math>\blacksquare </math>

=== סעיף ב'===
כאן מניחים ש- <math>f(t)</math> רציפה בנקודה <math>x_{0} \in [a,b]</math> כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי <math>A'(x_{0})</math> קיימת ושווה ל- <math>f(x_{0})</math>. נחזור לפונקציה <math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt</math>.
בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר <math>\Delta x \to 0</math> , מתקיים בהכרח:

<math>\frac{A(x_{0}+\Delta x)-A(x_{0})}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt \to f(x_{0})</math>

'''טענה''' נוכיח כי
<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt=f(x_{0})</math> .

נעיר קודם כל כי מתקיים: <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})dt=f(x_{0}) \Delta x </math>
ולכן <math>\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})=f(x_{0})</math>.

כעת נראה כי הביטוי מתאפס:
<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt=0</math>

יהי <math>\epsilon >0</math>. אזי קיים <math>\delta >0</math> כך שאם <math>|\Delta x|< \delta</math>
אז <math>|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt|< \epsilon</math>

כיוון שהפונקציה חסומה ואינטגרבילית, נסמן את החסם העליון M ונגיד לכן:

<math>|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt|<M |\Delta x| \frac{1}{|\Delta x|}=M</math>

ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, מכאן נובע <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.

<math>\blacksquare</math>

===סעיף ג' ===

ידוע כי <math>f</math> רציפה על כל <math>[a,b]</math>, ולכן ע"פ סעיף ב', <math>A(x)</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>. נתון גם כי <math>F</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>, ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים <math>F(x)=A(x)+c</math> עבור c כלשהו.

לכן: <math>F(b)-F(a)=[A(b)+c]-[A(a)+c]=A(b)-A(a)=\int_{a}^{b} f(x)dx- \int_{a}^{a} f(x)dx=</math>

<math>=\int_{a}^{b} f(x)dx-0=\int_{a}^{b} f(x)dx</math>

ולכן בסך הכל :<math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.

<math>\blacksquare</math>

המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי

2012-03-28T11:57:09Z

לב זלוטניק: /* סעיף ב' */

== המשפט ==
תהי <math>f(x)</math> מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. נגדיר גם: <math>\forall x \in [a,b]: A(x):= \int_{a}^{x} f(t)dt</math> . אזי מתקיים:

א) <math>A(x)</math> רציפה.

ב)לכל <math>x_{0} \in [a,b]</math> שבו <math>f(x_{0})</math> רציפה, <math>A(x)</math> גזירה ו- <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.

ג) אם <math>f(x)</math> רציפה בכל <math>[a,b]</math>, ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: <math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.

== הוכחה ==
=== סעיף א'===
נקח <math>x \in [a,b]</math> כלשהו ו-<math>\Delta x</math> "קטן" כך ש-<math>x+\Delta x \in [a,b]</math>. לפי הגדרה:<math>A(x+\Delta x)=\int_{a}^{x+\Delta x} f(t)dt </math> ולכן

<math>А(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt</math>.
נתון ש-f חסומה, נגיד <math>|f(x)| \leq M </math>.

לכן מתקיים <math>|A(x+\Delta x)-A(x)|=|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt| \leq M|\Delta x|</math>.

כעת נשאיף את <math>\Delta x \to 0</math>, אגף ימין שואף ל-0 .
לכן:

<math>\lim_{\Delta x \to 0}|A(x+\Delta x)-A(x)|=0</math> ומכך נובע ש:

<math>\lim_{\Delta x \to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0</math> ולכן מתקיים תנאי הרציפות,

<math>\lim_{\Delta x \to 0}A(x+ \Delta x)= A(x)</math>.

<math>\blacksquare </math>

=== סעיף ב'===
כאן מניחים ש- <math>f(t)</math> רציפה בנקודה <math>x_{0} \in [a,b]</math> כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי <math>A'(x_{0})</math> קיימת ושווה ל- <math>f(x_{0})</math>. נחזור לפונקציה <math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt</math>.
בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר <math>\Delta x \to 0</math> , מתקיים בהכרח:

<math>\frac{A(x_{0}+\Delta x)-A(x_{0})}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt \to f(x_{0})</math>

'''טענה''' נוכיח כי
<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt=f(x_{0})</math> .

נעיר קודם כל כי מתקיים: <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})dt=f(x_{0}) \Delta x </math>
ולכן <math>\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})=f(x_{0})</math>.

כעת נראה כי הביטוי מתאפס:
<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt=0</math>

יהי <math>\epsilon >0</math>. אזי קיים <math>\delta >0</math> כך שאם <math>|\Delta x|< \delta</math>
אז <math>|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt|< \epsilon</math>

כיוון שהפונקציה חסומה ואינטגרבילית, נסמן את החסם העליון M ונגיד לכן:

<math>|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt|<M |\Delta x| \frac{1}{|\Delta x|}=M</math>

ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, מכאן נובע <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.

<math>\blacksquare</math>

המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי

2012-03-28T11:46:54Z

לב זלוטניק: /* סעיף א' */