Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

קובץ:Asdfghjkl.jpeg

2022-01-19T17:09:31Z

עידן365:

חדוא 2 - ארז שיינר

2021-12-04T10:11:15Z

עידן365: /* מבחנים לדוגמא של מתמטיקה */

[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2]]

אהבתם חדו"א 2? אז תעופו על [[חדוא 1 - ארז שיינר|חדו"א 1]]!

=מבחנים לדוגמא=
===מבחנים לדוגמא של מתמטיקה===
*[[מדיה:21Infi2TestAHamama.pdf|מועד א' החממה תשפ"א]]
*[[מדיה:21Infi2TestC.pdf|מועד ג' תשפ"א]]
*[[מדיה:21Infi2TestB.pdf|מועד ב' תשפ"א]]
*[[מדיה:21Infi2TestA.pdf|מועד א' תשפ"א]], [[מדיה:21Infi2TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:20Infi2TestB.pdf|מועד ב' תש"ף]]
*[[מדיה:20Infi2TestA.pdf|מועד א' תש"ף]], [[מדיה:20Infi2TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:19Infi2TestB.pdf|מועד ב' תשע"ט]]
*[[מדיה:19Infi2TestA.pdf|מועד א' תשע"ט]], [[מדיה:19Infi2TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:18Infi2TestB.pdf|מועד ב' תשע"ח]], [[מדיה:18Infi2TestBSol.pdf|פתרון חלקי]]
*[[מדיה:18Infi2TestA.pdf|מועד א' תשע"ח]], [[מדיה:18Infi2TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:17Infi2ExmpTest.pdf|מבחן דמה תשע"ז]]
*[[מדיה:17Infi2TestB.pdf|מועד ב' תשע"ז]]
*[[מדיה:17Infi2TestA.pdf|מועד א' תשע"ז]], [[מדיה:17Infi2TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:15infi2DumbTest.pdf|מבחן לדוגמא תשע"ה]], [[מדיה:15infi2DumbTestSol.pdf|פתרון חלקי]]
*[[מדיה:15infi2MoedC.pdf|מועד ג' תשע"ה]], [[מדיה:15infi2MoedCSol.pdf|פתרון חלקי]]
*[[מדיה:15infi2MoedBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשע"ה]]
*[[מדיה:15infi2MoedASol.pdf|פתרון מועד א' תשע"ה]]

===מבחנים לדוגמא של מדעי המחשב===
שימו לב שפונקציות בשתי משתנים אינן בחומר שלנו.
*[[מדיה:18CSInfi2TestA.pdf|מועד א' תשע"ח]]
**[[מדיה:18CSInfi2TestASol.pdf|פתרון מועד א' תשע"ח]]
*[[מדיה:_Infi2_16_Alef_Solutions.pdf|פתרון מועד א תשע"ו]]
*[[מדיה:16Infi2CSexmpTest.pdf|מבחן דמה תשע"ו]]
*[[מדיה:Infi2 16 Bet.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ו]]

===מבחנים לדוגמא של מבוא לאנליזה 2 למורים===
שימו לב שמדובר בקורס מבוא פחות מעמיק מהקורס שלנו.
*[[מבחנים בקורס אנליזה 2 למורים]]

===מבחנים לדוגמא של חדו"א 1 להנדסה===
שימו לב שאלות 2 ו6 תמיד רלוונטיות לקורס זה.
*[[83-112 חדו"א 1 להנדסה/נושאי הקורס|קישור למבחנים]]

=סרטוני ותקציר ההרצאות=

[https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-vOI1v8wP7J2QzKtGpV1e60 פלייליסט של כל הסרטונים]

==פרק 1 - האינטגרל הלא מסויים==
*הגדרה: F נקראת פונקציה קדומה של f בקטע A אם לכל נקודה בקטע מתקיים כי <math>F'=f</math>

*האינטגרל הלא מסויים <math>\int f(x)dx</math> מסמן פונקציה קדומה של f.

*תהי F קדומה של f, אזי קבוצת כל הקדומות של f שווה ל<math>\{F+c|c\in\mathbb{R}\}</math>

*אינטגרלים מיידיים ידועים לנו מנוסחאות הגזירה.

<videoflash>J5l9up_tcx8</videoflash>

===שיטות למציאת קדומה===
*תהיינה f,g פונקציות בעלות קדומות, אזי:
**<math>\int (cf) = c \int f</math>
**<math>\int (f+g) = \int f + \int g</math>

====אינטגרציה בחלקים====
<math>\int f'g = fg - \int fg'</math>

<videoflash>jo8JtA4Pj1c</videoflash>

====שיטת הההצבה====
<videoflash>1KW4tQQ05mU</videoflash>

====פונקציה רציונאלית====

*פולינום הוא פונקציה מהצורה <math>p(x)=a_n x^n +a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0</math>
*דרגת הפולינום היא n אם <math>a_n x^n</math> הוא המונום עם החזקה הגבוהה ביותר כך ש <math>a_n\neq 0</math>
*אפשר לומר שדרגת פולינום האפס היא מינוס אינסוף.

*פולינום נקרא פריק אם ניתן להציג אותו כמכפלה של פולינומים מדרגה 1 ומעלה, נעסוק בפולינומים ממשיים בלבד בהקשר זה.
*פולינום מדרגה 1 אינו פריק
*פולינום מדרגה 2 (פרבולה) פריק אם ורק אם יש לו שורש ממשי.
*כל פולינום מדרגה 3 ומעלה פריק.

*מציאת שורשים של פולינום ופירוקו -
**ננחש שורש ונבדוק שהוא אכן מאפס את הפולינום ע"י הצבה
**אם a שורש, נחלק את הפולינום ב<math>(x-a)</math>
**כך הלאה.

*הורדת דרגת המונה ע"י חילוק פולינומים
<videoflash>K5c-i9GIF4s</videoflash>

*שבר חלקי של גורם אי פריק לינארי <math>x+a</math> הוא ביטוי מהצורה <math>\frac{A}{(x+a)^k}</math>

*שבר חלקי של גורם אי פריק ריבועי <math>x^2+bx+c</math> (כך שאין לו שורשים ממשיים) הוא ביטוי מהצורה <math>\frac{Ax+B}{(x^2+bx+c)^k}</math>

*כל פונקציה רציונאלית בה דרגת המונה קטנה ממש מדרגת המכנה ניתן להציג באופן יחיד כסכום של שברים חלקיים (כפול קבוע).

*פירוק לשברים חלקיים
<videoflash>im1mjhXXFCo</videoflash>

*חישוב אינטגרל של כל שבר חלקי
**נסמן <math>I_n=\int \frac{1}{(1+t^2)^n} dt</math>
**אזי <math>I_{n+1}=\frac{t}{2n(1+t^2)^n} + \left(1-\frac{1}{2n}\right)I_n</math>
כאשר תנאי ההתחלה הוא <math>I_1=\arctan(t)</math>

<videoflash>cexA1w14A-I</videoflash>

====הצבות אוניברסאליות====
'''הצבות אוניברסאליות''' הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסוימת לצורה של [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|פונקציה רציונאלית]] אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעיה.

*[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הסבר על הצבות אוניברסאליות]]

==פרק 2 - האינטגרל המסויים==

===סכומי דרבו ואינטגרל עליון ותחתון===

====הגדרת סכומי דרבו, אינטגרביליות והאינטגרל המסוים====
*<math>P=\{a=x_0<x_1<...<x_n=b\}</math> היא חלוקה של הקטע <math>[a,b]</math>

*תהי f חסומה בקטע, ותהי P חלוקה של הקטע.
*נסמן
**<math>\displaystyle{M_k=\sup_{[x_{k-1},x_k]}(f)}</math>
**<math>\displaystyle{m_k=\inf_{[x_{k-1},x_k]}(f)}</math>
**<math>\Delta x_k= x_k-x_{k-1}</math>
*נגדיר
**סכום דרבו עליון <math>\displaystyle{\overline{S}(f,P)=\sum_{k=1}^nM_k\cdot \Delta x_k}</math>
**סכום דרבו תחתון <math>\displaystyle{\underline{S}(f,P)=\sum_{k=1}^nm_k\cdot \Delta x_k}</math>

*תהי f פונקציה חסומה בקטע.
*נסמן את קבוצת כל סכומי הדרבו העליונים על כל החלוקות של הקטע ב<math>\overline{X}</math>
*נסמן את קבוצת כל סכומי הדרבו התחתונים על כל החלוקות של הקטע ב<math>\underline{X}</math>
*נגדיר את האינטגרל העליון להיות <math>\displaystyle{\overline{\int_a^b}f=\inf (\overline{X})}</math>
*נגדיר את האינטגרל התחתון להיות <math>\displaystyle{\underline{\int_a^b}f=\sup (\underline{X})}</math>
*נגדיר שf אינטגרבילית בקטע אם <math>\displaystyle{\overline{\int_a^b}f=\underline{\int_a^b}f}</math>
*במקרה שf אינטגרבילית נגדיר את האינטגרל המסויים שלה להיות <math>\displaystyle{\int_a^bf=\overline{\int_a^b}f=\underline{\int_a^b}f}</math>

*דוגמא:
*פונקצית דיריכלה היא <math>D(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb{Q}\\0&x\not\in\mathbb{Q}\end{cases}</math>
*<math>\displaystyle{\overline{\int_0^1}D=1}</math>
*<math>\displaystyle{\underline{\int_0^1}D=0}</math>
*לכן פונקצית דיריכלה אינה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math>.

<videoflash>n5d8o3BWFy4</videoflash>

====תכונות של סכומי דרבו והאינטגרל המסוים====
*<math>m(b-a)\leq \underline{S}(f,P)\leq \overline{S}(f,P)\leq M(b-a)</math>
<videoflash>WKSBz0eNfZc</videoflash>

*נגדיר את פרמטר של חלוקה להיות אורך תת הקטע הגדול ביותר:
*<math>\lambda(P)=\max \Delta x_k</math>

*תהי חלוקה <math>P</math> ותהי העדנה שלה <math>R=P\cup \{a\}</math>
*<math>0\leq \overline{S}(f,P)-\overline{S}(f,R)\leq \lambda(P)(M-m)</math>
*<math>0\leq \underline{S}(f,R)-\underline{S}(f,P)\leq \lambda(P)(M-m)</math>

<videoflash>Df7ziRE4mzA</videoflash>

*<math>\underline{S}(f,P)\leq \underline{\int_a^b}f(x)dx\leq \overline{\int_a^b}f(x)dx\leq \overline{S}(f,R)</math>
<videoflash>pJ3xdPW7-7s</videoflash>

====התכנסות סכומי דרבו====

*התכנסות סכומי הדרבו העליונים לאינטגרל העליון
*תהי f פונקציה חסומה בקטע.
*תהי סדרת חלוקות של הקטע <math>P_n</math> כך ש <math>\lambda(P_n)\to 0</math>
*אזי <math>\displaystyle{\overline{S}(f,P_n)\to\overline{\int_a^b}f}</math>
*כמובן שבאופן דומה <math>\displaystyle{\underline{S}(f,P_n)\to\underline{\int_a^b}f}</math>
<videoflash>uu_FTfi2YG8</videoflash>

====פונקציות אינטגרביליות====

*פונקציה רציפה בקטע סגור אינטגרבילית בו
<videoflash>M8WAEvvzaoI</videoflash>

*תהי f אינטגרבילית בקטעים <math>[a,b],[b,c]</math> אזי:
**היא אינטגרבילית בקטע <math>[a,c]</math>
**מתקיים כי <math>\displaystyle{\int_a^c f = \int_a^bf+\int_b^cf}</math>

*פונקציה חסומה בקטע סופי, ורציפה פרט למספר סופי של נקודות, אינטגרבילית בו

<videoflash>XpI34f-g0V0</videoflash>

*לכל פונקציה אינטגרבילית בקטע <math>[a,b]</math> '''נגדיר''' כי:
**<math>\int_b^a f=-\int_a^b f</math>
**<math>\int_a^a f = 0</math>

*תרגיל: אם <math>f,g</math> אינטגרביליות ב<math>[a,b]</math> אזי <math>f+g</math> אינטגרבילית בקטע, וכך גם <math>cf</math> לכל קבוע <math>c\in\mathbb{R}</math>. כמו כן מתקיים כי:
**<math>\int_a^b (f+g) = \int_a^b f + \int_a^b g</math>
**<math>\int_a^b (cf) = c\cdot \int_a^b f</math>

===סכומי רימן===

*תהי f המוגדרת בקטע <math>[a,b]</math>
*תהי P חלוקה של הקטע
*תהי <math>C=\{c_1,...,c_n\}</math> קבוצת נקודות בתתי הקטעים <math>c_k\in[x_{k-1},x_k]</math>
*נגדיר את סכום הרימן <math>\displaystyle{S_R(f,P,C)=\sum_{k=1}^n f(c_k)\cdot \Delta x_k}</math>

*אומרים שf אינטגרבילית רימן בקטע אם קיים גודל סופי <math>S\in\mathbb{R}</math> כך ש:
**לכל סדרת חלוקות <math>P_n</math> המקיימת <math>\lambda(P_n)\to 0</math>
**ולכל סדרת בחירת נקודות <math>C_n</math> המתאימה לחלוקות
**מתקיים כי <math>S_R(f,P_n,C_n)\to S</math>
*במקרה שf אינטגרבילית רימן בקטע מסמנים <math>S=\int_a^bf</math>

*משפט: f אינטגרבילית רימן בקטע אם"ם f חסומה בקטע ואינטגרבילית (לפי דרבו)
*כמו כן, במקרה שהפונקציה אינטגרבילית, האינטגרל המסויים שווה לפי רימן ולפי דרבו.

<videoflash>gigeMtUkIEg</videoflash>

*משפט מאד שימושי:
**תהי פונקציה <math>f</math> הרציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> אזי:
**<math>a_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \to \int_0^1 f</math>

====אורך עקומה====
*<math>L=\int_a^b \sqrt{(f'(x))^2+1}dx</math>
<videoflash>wYbQTNZOrII</videoflash>

===אי שיוויון המשולש לאינטגרלים===
*<math>\left|\int_a^b f\right|\leq \int_a^b |f|</math>
<videoflash>34cLtMW88bQ</videoflash>

==פרק 3 - הקשר בין האינטגרל המסויים ללא מסויים==
כבר במאות ה4 וה3 לפנה"ס [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%95%D7%A7%D7%9C%D7%99%D7%93%D7%A1 אוקלידס] ו[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%9E%D7%93%D7%A1 ארכימדס] ידעו לחשב היקפים, שטחים ונפחים, אך רק במאה ה17 לספירה [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%99%D7%99%D7%96%D7%A7_%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%98%D7%95%D7%9F ניוטון] ו[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%92%D7%95%D7%98%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%93_%D7%95%D7%99%D7%9C%D7%94%D7%9C%D7%9D_%D7%9C%D7%99%D7%99%D7%91%D7%A0%D7%99%D7%A5 לייבניץ] המציאו את החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.

כלומר, ההבנה שיש קשר בין שטחים (האינטגרל המסויים) לבין פונקציות קדומות (אינטגרל לא מסוים) הגיעה כמעט 2000 שנה לאחר שכבר ידעו לחשב שטחים.

בפרק זה נוכיח את הקשר הזה שבין החשבון הדיפרנציאלי לאינטגרלי בעזרת '''המשפט היסודי של החדו"א'''.

===המשפט היסודי של החדו"א===
*עבור פונקציה אינטגרבילית, בנקודות בהן היא רציפה מתקיים כי <math>\displaystyle{S'(x)=\left(\int_a^x f(t)dt\right)' = f(x)}</math>
<videoflash>1BFHzzCBu38</videoflash>

===נוסחאת ניוטון לייבניץ===
*תהי f אינטגרבילית וF קדומה אזי <math>\displaystyle{\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)}</math>
<videoflash>0SWk8jqaFDY</videoflash>

===גרסא חלשה ופשוטה של המשפט היסודי===
*תהי <math>f</math> פונקציה רציפה בקטע <math>[a,b]</math> ותהי <math>S(x)=\int_a^x f(t)dt</math> פונקצית השטח שלה.
*אזי לכל <math>a<x_0<b</math> מתקיים כי <math>S'(x_0)=f(x_0)</math>

===הוכחה===
[[קובץ:ftcalculus.png|600px]]

*לפי [[משפט ערך הממוצע האינטגרלי]] לכל x בקטע קיימת c בקטע כך ש <math>f(c)=\frac{\int_{x_0}^x f(t)dt}{x-x_0}=\frac{S(x)-S(x_0)}{x-x_0}</math>

*לכן לכל סדרה <math>x_0>x_n \to x_0 </math> קיימת סדרת נקודות <math>x_0\leq c_n \leq x_n</math> כך ש <math>f(c_n)=\frac{S(x_n)-S(x_0)}{x_n-x_0}</math>

*לפי משפט הסנדביץ' <math>c_n \to x_0</math> וכיוון ש<math>f</math> רציפה, נובע כי <math>f(c_n)\to f(x_0)</math>

*לכן קיבלנו כי <math>lim_{x\to x_0^+}\frac{S(x)-S(x_0)}{x-x_0}=f(x_0)</math>

*ניתן להוכיח באופן דומה שזה גם הגבול השמאלי, ובסה"כ לפי הגדרת הנגזרת קיבלנו כי <math>S'(x_0)=f(x_0)</math>

===הגדרת המספר π, וחישוב היקף ושטח מעגל===
<videoflash>PaoWoULlBdo</videoflash>

===נפח גוף סיבוב===
*<math>\int_a^b \pi f^2(x)dx</math>
<videoflash>UDVDyGl8yok</videoflash>

==פרק 4 - אינטגרלים לא אמיתיים (מוכללים)==

===השופר של גבריאל===
<videoflash>LmfgR6pokXw</videoflash>

===הגדרת אינטגרלים לא אמיתיים===
*תהי f אינטגרבילית בקטע <math>[a,t]</math> לכל <math>t\geq a</math> אזי:
**<math>\int_a^\infty f(x)dx = \lim_{t\to\infty} \int_a^t f(x)dx</math>
*תהי f שאינה חסומה בקטע <math>[a,b]</math> ואינטגרבילית בקטע <math>[t,b]</math> לכל <math>a<t<b</math> אזי:
**<math>\int_a^b f(x)dx = \lim_{t\to a^+} \int_t^b f(x)dx</math>
<videoflash>QbObB9rYw4Q</videoflash>

*משפט:
**האינטגרל <math>\displaystyle{\int_0^1\frac{1}{x^\alpha}dx}</math> מתכנס אם ורק אם <math>\alpha<1</math>
**האינטגרל <math>\displaystyle{\int_1^\infty\frac{1}{x^\alpha}dx}</math> מתכנס אם ורק אם <math>\alpha>1</math>

*הערה: נניח <math>\int_a^\infty f(x)dx</math> מתכנס, האם <math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} f(x)= 0}</math>?
**בלי נתונים נוספים
**כאשר f רציפה
**כאשר f רציפה וחיובית
**כאשר נתון שלf יש גבול

===מבחני השוואה לאינטגרלים חיוביים===
*מבחן ההשוואה הראשון:
**תהיינה <math>f\geq g \geq 0</math> עבורן מוגדר אינטגרל לא אמיתי באותו הקטע עם אותה הנקודה הבעייתית אזי-
**אם <math>\int f</math> מתכנס בקטע, גם <math>\int g</math> מתכנס בקטע
*מבחן ההשוואה הגבולי:
**תהיינה <math>f,g\geq 0</math> עבורן מוגדר אינטגרל לא אמיתי באותו הקטע עם אותה הנקודה הבעייתית.
**נחשב בנוסף את הגבול בנקודה הבעייתית <math>\lim \frac{f}{g} =c</math>.
**אזי:
***אם <math>c=\infty</math>, אזי אם <math>\int f</math> מתכנס גם <math>\int g</math> מתכנס.
***אם <math>c=0</math> אזי אם <math>\int g</math> מתכנס גם <math>\int f</math> מתכנס.
***אם <math>0<c<\infty</math> אזי האינטגרלים חברים <math>\int f \sim \int g</math> כלומר שניהם מתכנסים או שניהם מתבדרים.

<videoflash>cCjIuWrjacE</videoflash>

===התכנסות בהחלט וקריטריון היינה===
*קריטריון היינה:
**אינטגרל לא אמיתי מקיים קריטריון היינה אם לכל שתי סדרות בקטע השואפות לנקודה הבעייתית מתקיים כי:
**<math>\int_{a_n}^{b_n} f(x)dx \to 0</math>

*אינטגרל לא אמיתי מתכנס אם"ם הוא מקיים את קריטריון היינה.

*פונקציה <math>f</math> עליה מוגדר אינטגרל לא אמיתי נקראת מתכנסת בהחלט בקטע אם <math>\int |f|</math> מתכנס בקטע.

*פונקציה מתכנסת בהחלט בקטע מתכנסת.
**<math>\left|\int_{a_n}^{b_n} f(x)dx\right| \leq \left|\int_{a_n}^{b_n} |f(x)|dx\right|\to 0</math>

<videoflash>bl5CxcggxNY</videoflash>

===מבחן דיריכלה===
*תהי פונקציה <math>f</math> אשר מקיימת 3 תנאים בקטע <math>[a,\infty)</math>
**<math>f</math> מונוטונית יורדת
**<math>\lim_{x\to\infty}f(x)=0</math>
**הנגזרת <math>f'</math> רציפה.
*תהי בנוסף פונקציה <math>g</math> אשר מקיימת 2 תנאים באותו הקטע:
**<math>g</math> רציפה.
**ל<math>g</math> יש קדומה <math>G</math> חסומה.
*אזי האינטגרל <math>\displaystyle{\int_a^\infty f(x)g(x)}dx</math> מתכנס.
<videoflash>wU73--emtSg</videoflash>

==פרק 5 - סדרות וטורי פונקציות==

===פונקצית הגבול===
<videoflash>4ageCd9gsmg</videoflash>

===העשרה - סוגי סכימה שונים===
<videoflash>54MQXVhM9vU</videoflash>

===התכנסות במ"ש===
*בדיקת התכנסות במ"ש:
**נחשב את פונקצית הגבול. בשלב זה x קבוע וn שואף לאינסוף.
**נחשב את סדרת החסמים <math>d_n=\sup_A |f(x)-f_n(x)|</math>. בשלב זה n קבוע, וx נע בקטע A.
**יש התכנסות במ"ש אם"ם <math>d_n\to 0</math>.
<videoflash>suuh6irjF7c</videoflash>

*אם סדרה מתכנסת במ"ש בקטע, וכל הפונקציות בסדרה רציפות בנק' מסויימת, גם פונקצית הגבול רציפה באותה נקודה.
<videoflash>IpE97-gLUuU</videoflash>

====אינטגרציה וגזירה איבר איבר====
*סדרת פונקציות אינטגרביליות המתכנסת במ"ש, מתכנסת לפונקציה אינטגרבילית.
*כמו כן, במקרה זה, סדרת שטחי הפונקציות מתכנסת לשטח פונקצית הגבול.
*עבור טור פונקציות אינטגרביליות המתכנס במ"ש מתקיים כי:
**<math>\int_a^b \left(\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\right) dx = \sum_{n=1}^\infty \int_a^b f_n(x)dx</math>
<videoflash>vtD_RQRQE74</videoflash>

*דוגמא: סדרת פונקציות גזירות המתכנסת במ"ש לפונקצית גבול שאינה גזירה
**<math>f_n(x)=\sqrt{x^2 +\frac{1}{n}}\rightrightarrows |x|</math>
*סדרת פונקציות המתכנסת בנקודה, שנגזרותיה רציפות ומתכנסות במ"ש בA מקיימת בA:
**<math>f_n\to f</math> וגם <math>f'_n\to f'</math>
*טור פונקציות המתכנס בנקודה, שנגזרותיו רציפות וטור הנגזרות מתכנס במ"ש בA מקיים בA:
**<math>\left(\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\right)' = \sum_{n=1}^\infty f'_n(x)</math>
<videoflash>fLqrKPT2xVw</videoflash>

====מבחן הM של ויירשטראס====
*תהי סדרת פונקציות החסומה בערך מוחלט ע"י סדרת מספרים בקטע A:
**<math>|f_n(x)|\leq M_n</math>
*אזי אם טור המספרים <math>\sum_{n=1}^\infty M_n</math> מתכנס, טור הפונקציות <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מתכנס במ"ש בקטע A.

<videoflash>Cle9N3p4_UY</videoflash>

==פרק 6 - טורי טיילור וקירובים==
===פולינום טיילור===
*הקדמה
<videoflash>0bqTszhCIV8</videoflash>

*פולינום טיילור
**<math>P_n(f,a)(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k</math>
*שארית טיילור
**<math>R_n(f,a,x) = f(x)-P_n(f,a)(x)</math>

*שארית טיילור בצורת לגראנז'
*תהי f הגזירה n+1 פעמים בסביבה של a ותהי נקודה בסביבה זו. אזי קיימת נקודה c בין a לx כך שהשארית מקיימת:
**<math>R_n(f,a,x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>

<videoflash>bk5tm-vAR7c</videoflash>

*הוכחת שארית טיילור בצורת לגראנז'
**נפעיל את משפט קושי על הפונקציות <math>h(t)=R_n(f,t,x)</math> ו<math>g(t)=(x-t)^{n+1}</math> בקטע שבין a ל x.

<videoflash>pMV8RuYl06M</videoflash>

*שארית פיאנו
*תהי <math>f</math> הגזירה <math>n</math> פעמים בסביבה של <math>a</math>. אזי:
**<math>R_n(f,a,x)=o\left((x-a)^n\right)</math>
**כלומר
**<math>\lim_{x\to a} \frac{R_n(f,a,x)}{(x-a)^n} = 0</math>

<videoflash>KRxKnDA_m4Q</videoflash>

===טורי חזקות/טיילור/מקלורן===
*הגדרת טורי חזקות <math>\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty a_n (x-a)^n}</math>

====רדיוס התכנסות====
*הגדרת רדיוס התכנסות <math>R=\frac{1}{\overline{\lim} \sqrt[n]{|a_n|}}</math>
*אם הגבול של המנה קיים במובן הרחב, אזי <math>R=\lim \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|</math>

*רדיוס ההתכנסות אומר לנו על תחום ההתכנסות:
**אם <math>R=\infty</math> אזי הטור מתכנס בהחלט בכל הממשיים.
**אם <math>R=0</math> הטור מתכנס רק עבור <math>x=a</math>.
**אם <math>0<R<\infty</math> אזי
***הטור מתכנס בהחלט בתחום <math>\left(a-R,a+R\right)</math>.
***הטור מתבדר כאשר <math>|x-a|>R</math>.
***את שני הקצוות <math>x=a\pm R</math> צריך להציב, ולבחון את התכנסות טורי המספרים שנקבל באמצעות מבחני התכנסות.
**כאשר <math>0<R</math> אזי לכל <math>0<r<R</math> מתקיים כי הטור מתכנס '''במ"ש''' בתחום <math>[a-r,a+r]</math>

<videoflash>HgyjO0-wdmE</videoflash>

*דוגמא לחישוב תחומי ההתכנסות של טורי החזקות
**<math>\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{4^n}{n}x^{2n}}</math>
**<math>\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{4^n}{n}(x+2)^{2n}}</math>

*עבור טור חזקות מהצורה <math>\sum a_n (x-a)^{b_n}</math> מתקיים כי רדיוס ההתכנסות הינו <math>R=\frac{1}{\overline{\lim} \sqrt[b_n]{|a_n|}}</math>

<videoflash>SjQGanyldmk</videoflash>

====פיתוח טורי טיילור====

*גזירה ואינטגרציה איבר איבר של טורי חזקות

*יהי טור חזקות בעל רדיוס התכנסות <math>R>0</math>
*<math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n</math>
*אזי לכל x המקיים <math>|x-a|<R</math> מתקיים כי:
**<math>f'(x)=\sum_{n=1}^\infty n\cdot a_n(x-a)^{n-1}</math>
**<math>\int_a^xf=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-a)^{n+1}</math>

<videoflash>DARWl_gkXQ8</videoflash>

*פיתוח טורי טיילור באמצעות גזירה ואינטגרציה
**<math>e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...</math>
**<math>ln(1+x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+... </math>
**<math>arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...</math>

<videoflash>hMnl-4WAA_U</videoflash>

====יחידות וקיום טור טיילור====

*עבור פונקציה הגזירה אינסוף פעמים בסביבת הנקודה a טור הטיילור הוא:
**<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n</math>

*אם פונקציה שווה לטור חזקות בעל רדיוס התכנסות חיובי בקטע, אזי זה טור הטיילור שלה.

*ייתכן שפונקציה גזירה אינסוף פעמיים בכל הממשיים, טור הטיילור שלה בעל רדיוס התכנסות חיובי, ועדיין אינו מתכנס אליה פרט לנקודה סביבה פיתחנו.
*דוגמא:
**<math>f(x)=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x^2}} & x\neq 0 \\ 0 & x=0\end{cases}</math>
**מתקיים כי <math>f^{(n)}(0)=0</math> לכל n.
**לכן טור הטיילור של הפונקציה הוא טור אפסים, אבל הפונקציה אינה שווה לאפס פרט לנקודה <math>x=0</math>.

<videoflash>1fDkXTPctkI</videoflash>

====טורי הטיילור של סינוס וקוסינוס, ואקספוננט של מספר מרוכב ====
*<math>\sin(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...</math>
*<math>\cos(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...</math>

*נוכיח כי <math>e^{it}=cis(t)</math>
**<math>e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math>
**'''נגדיר''' את e בחזקת מרוכב באמצעות טור הטיילור, ונציב:
**<math>e^{i\cdot t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(i\cdot t)^n}{n!}</math>
**נפריד לסכום האיברים במקומות הזוגיים והאי זוגיים.
**<math>e^{i\cdot t}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(i\cdot t)^{2n}}{(2n)!}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(i\cdot t)^{2n+1}}{(2n+1)!}=</math>
**<math>=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}t^{2n} + i\cdot\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}t^{2n+1}=\cos(t)+i\cdot \sin(t)</math>
*זה מוביל לזהות אוילר המפורסמת <math>e^{i\pi}+1=0</math>

<videoflash>KEnspLE5278</videoflash>

[[פונקצית האקספוננט|למידע נוסף על האקספוננט]]

====משפט אבל על התכנסות בקצה התחום====

*יהי טור <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n (x-a)^n</math> עם רדיוס התכנסות <math>0<R<\infty</math>.
*אם <math>f(a+R)</math> מתכנס אזי <math>\displaystyle{\lim_{x\to (a+R)^-}f(x)=f(a+R)}</math>
*אם <math>f(a-R)</math> מתכנס אזי <math>\displaystyle{\lim_{x\to (a-R)^+}f(x)=f(a-R)}</math>
<videoflash>Yi6Q-e1hAWY</videoflash>

====קירובים והערכות שגיאה====
=====שיטות הערכות שגיאה - לגראנז', לייבניץ, חסימה על ידי טור הנדסי=====
*יהי טור <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>
**קירוב מסדר k לטור הוא <math>\sum_{n=0}^{k-1} a_n</math>, זהו סכום k האיברים הראשונים.
**השגיאה עבור קירוב זה היא כמובן <math>R_k=\sum_{n=k}^\infty a_n</math>

*אם מדובר בטור לייבניץ, השגיאה מקיימת <math>|R_k|\leq |a_k|</math> לפי מבחן לייבניץ להתכנסות טורים.

*אם הטור חסום ע"י טור הנדסי אזי השגיאה מקיימת:
**<math>|R_k|\leq \sum_{n=k}^\infty c\cdot q^n = c(\sum_{n=0}^\infty q^n - \sum_{n=0}^{k-1}q^n) = c(\frac{1}{1-q} - \frac{1-q^k}{1-q})=\frac{c\cdot q^k}{1-q} </math>

*בסרטון נקרב את המספרים הבאים:
**<math>ln(2)</math>
**<math>\pi</math>
**<math>e</math>
**<math>\int_0^1 e^{-x^2}dx</math>

<videoflash>7Zf4L75o_I8</videoflash>

=====טור הטיילור של ההופכית של סינוס, וקירוב מהיר של π=====
*נביט בפונקציה <math>f(x)=\sqrt{1+x}</math>
*נוכיח באינדוקציה כי הנגזרת מסדר n הינה:
*<math>f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n+1}(2n)!}{(2n-1)n!4^n}(1+x)^{-\frac{2n-1}{2}}</math>
**עבור n=1 אכן מתקיים כי <math>f'(x)=\frac{2}{4}(1+x)^{-\frac{1}{2}}</math>
**יהי n עבורו הטענה נכונה, צ"ל כי <math>f^{(n+1)}(x)=\frac{(-1)^{n+2}(2n+2)!}{(2n+1)(n+1)!4^{n+1}}(1+x)^{-\frac{2n+1}{2}}</math>
**צ"ל <math>f^{(n+1)}(x)=\frac{(-1)^{n+2}(2n)!(2n+1)(2n+2)}{(2n+1)n!(n+1)4^n\cdot 4}(1+x)^{-\frac{2n+1}{2}}
=\frac{(-1)^{n+2}(2n)!}{n!4^n\cdot 2}(1+x)^{-\frac{2n+1}{2}}</math>
**אכן בעזרת הנחת האינדוקציה <math>f^{(n+1)}(x)=\left(f^{(n)}\right)'(x)=\left(\frac{(-1)^{n+1}(2n)!}{(2n-1)n!4^n}(1+x)^{-\frac{2n-1}{2}}\right)'=\frac{(-1)^{n+2}(2n)!}{n!4^n\cdot 2}(1+x)^{-\frac{2n+1}{2}}</math>

*לכן טור המקלורן של <math>f(x)=\sqrt{1+x}</math> הינו <math>\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}(2n)!}{(2n-1)(n!)^24^n}x^n}</math>
*על מנת להוכיח שהוא שווה לפונקציה, צ"ל שהשגיאה שואפת לאפס.
*יהי <math>-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}</math>, נוכיח שהשגיאה עבורו שואפת לאפס.
*<math>\left|R_{n-1}(f,0,x)\right| = \frac{(2n)!}{(2n-1)(n!)^24^n}\frac{1}{(1+c)^{\frac{2n-1}{2}}}|x|^n
\leq \frac{(2n)!}{(2n-1)(n!)^24^n}\frac{1}{(1-|x|)^{\frac{2n-1}{2}}}|x|^n</math>
*נחשב את גבול המנה של הביטוי שקיבלנו:
**<math>\frac{(2n+2)!}{(2n+1)((n+1)!)^24^{n+1}}\frac{|x|^{n+1}}{(1-|x|)^{\frac{2n+1}{2}}}\cdot
\frac{(2n-1)(n!)^24^n}{(2n)!}\frac{(1-|x|)^{\frac{2n-1}{2}}}{|x|^n}=</math>
**<math>=\frac{(2n-1)(2n+2)}{4(n+1)^2}\frac{|x|}{1-|x|}\to \frac{|x|}{1-|x|} < \frac{|x|}{1-\frac{1}{2}}=2|x|<1</math>
*לכן לפי מבחן המנה השגיאה שואפת לאפס בתחום זה, וטור המקלורן מתכנס לפונקציה בתחום זה.

*הוכחנו שבתחום <math>\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)</math> מתקיים
*<math>\sqrt{1+x} = \displaystyle{\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}(2n)!}{(2n-1)(n!)^24^n}x^n} = 1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{8}-...</math>
*נגזור ונקבל שבקטע מתקיים
*<math>\frac{1}{2\sqrt{1+x}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}(2n)!n}{(2n-1)(n!)^24^n}x^{n-1}</math>
*נבצע הזזת אינדקסים <math>k=n-1</math> ונקבל
*<math>\frac{1}{2\sqrt{1+x}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k+2}(2k+2)!(k+1)}{(2k+1)((k+1)!)^24^{k+1}}x^k</math>
*<math>\frac{(-1)^{k+2}(2k+2)!(k+1)}{(2k+1)((k+1)!)^24^{k+1}}=\frac{(-1)^{k}(2k)!(2k+1)(2k+2)(k+1)}{(2k+1)(k!)^2(k+1)^24^k\cdot 4}</math>
*סה"כ בתחום זה נקבל
*<math>\frac{1}{\sqrt{1+x}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(2n)!}{(n!)^24^n}x^n</math>
*נציב <math>-x</math> ונקבל באותו תחום <math>\frac{1}{\sqrt{1-x}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{(n!)^24^n}x^n</math>

*הערה - טורי הטיילור שפיתחנו כאן מתכנסים בעצם לפונקציות שלהן בתחום בין מינוס אחד לאחד, אך ההוכחה של זה מורכבת יותר ולא נחוצה לנו כרגע.

*כעת נציב <math>x^2</math> ונקבל שבתחום <math>\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)</math> מתקיים
*<math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{(n!)^24^n}x^{2n}</math>
*נבצע אינטגרציה מ0 עד x ונקבל
*<math>\arcsin(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{(2n+1)(n!)^24^n}x^{2n+1}=x+\frac{x^3}{6}+...</math>
*נציב <math>x=\frac{1}{2}</math> שנמצא בתחום ונקבל:
*<math>\frac{\pi}{6}=\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{(2n+1)(n!)^24^n}\frac{1}{2^{2n+1}}</math>
*ולכן
:::<math>\pi =\sum_{n=0}^\infty \frac{3(2n)!}{(2n+1)(n!)^2(16)^n}</math>

*כעת המנה של הסדרה <math>a_n=\frac{(2n)!}{(n!)^24^n}</math> היא
**<math>\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^24^{n+1}}\cdot\frac{(n!)^24^n}{(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(2(n+1))^2}<1</math>
*לכן מדובר בסדרה יורדת שכל איבריה קטנים או שווים ל<math>a_0=1</math>
*לכן <math>\frac{3(2n)!}{(2n+1)(n!)^2(16)^n} = \frac{(2n)!}{(n!)^24^n}\cdot\frac{3}{(2n+1)4^n}\leq \frac{3}{(2n+1)4^n}</math>
*לכן בקירוב <math>\pi</math> ע"י k האיברים הראשונים נקבל שגיאה:
**<math>|R_k|=\sum_{n=k}^\infty \frac{3(2n)!}{(2n+1)(n!)^2(16)^n} \leq \sum_{n=k}^\infty \frac{3}{(2n+1)4^n}\leq</math>
**<math>\leq\frac{3}{(2k+1)}\sum_{n=k}\frac{1}{4^n} = \frac{3}{(2k+1)}\frac{\frac{1}{4^k}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{(2k+1)4^{k-1}}</math>

*למשל, קירוב של 6 האיברים הראשונים יספק שגיאה קטנה מ<math>10^{-4}</math> כלומר רמת דיוק של 4 ספרות אחרי הנקודה העשרונית, לפחות.
*<math>\pi\approx 3+\frac{3\cdot 2!}{3\cdot (1!)^2 \cdot 16}+\frac{3\cdot 4!}{5\cdot (2!)^2 \cdot 16^2}+
\frac{3\cdot 6!}{7\cdot (3!)^2 \cdot 16^3}+\frac{3\cdot 8!}{9\cdot (4!)^2 \cdot 16^4}+\frac{3\cdot 10!}{11\cdot (5!)^2 \cdot 16^5} </math>

אהבתם חדו"א 2? אז תעופו על [[חדוא 1 - ארז שיינר|חדו"א 1]]!

קובץ:21Infi2TestAHamama.pdf

2021-12-04T10:04:38Z

עידן365:

חדוא 2 - ארז שיינר

2021-12-04T10:03:48Z

עידן365: /* מבחנים לדוגמא של מתמטיקה */

[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2]]

אהבתם חדו"א 2? אז תעופו על [[חדוא 1 - ארז שיינר|חדו"א 1]]!

=מבחנים לדוגמא=
===מבחנים לדוגמא של מתמטיקה===
*[[מדיה:21Infi2TestAHahamama.pdf|מועד א' החממה תשפ"א]]
*[[מדיה:21Infi2TestC.pdf|מועד ג' תשפ"א]]
*[[מדיה:21Infi2TestB.pdf|מועד ב' תשפ"א]]
*[[מדיה:21Infi2TestA.pdf|מועד א' תשפ"א]], [[מדיה:21Infi2TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:20Infi2TestB.pdf|מועד ב' תש"ף]]
*[[מדיה:20Infi2TestA.pdf|מועד א' תש"ף]], [[מדיה:20Infi2TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:19Infi2TestB.pdf|מועד ב' תשע"ט]]
*[[מדיה:19Infi2TestA.pdf|מועד א' תשע"ט]], [[מדיה:19Infi2TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:18Infi2TestB.pdf|מועד ב' תשע"ח]], [[מדיה:18Infi2TestBSol.pdf|פתרון חלקי]]
*[[מדיה:18Infi2TestA.pdf|מועד א' תשע"ח]], [[מדיה:18Infi2TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:17Infi2ExmpTest.pdf|מבחן דמה תשע"ז]]
*[[מדיה:17Infi2TestB.pdf|מועד ב' תשע"ז]]
*[[מדיה:17Infi2TestA.pdf|מועד א' תשע"ז]], [[מדיה:17Infi2TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:15infi2DumbTest.pdf|מבחן לדוגמא תשע"ה]], [[מדיה:15infi2DumbTestSol.pdf|פתרון חלקי]]
*[[מדיה:15infi2MoedC.pdf|מועד ג' תשע"ה]], [[מדיה:15infi2MoedCSol.pdf|פתרון חלקי]]
*[[מדיה:15infi2MoedBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשע"ה]]
*[[מדיה:15infi2MoedASol.pdf|פתרון מועד א' תשע"ה]]

===מבחנים לדוגמא של מדעי המחשב===
שימו לב שפונקציות בשתי משתנים אינן בחומר שלנו.
*[[מדיה:18CSInfi2TestA.pdf|מועד א' תשע"ח]]
**[[מדיה:18CSInfi2TestASol.pdf|פתרון מועד א' תשע"ח]]
*[[מדיה:_Infi2_16_Alef_Solutions.pdf|פתרון מועד א תשע"ו]]
*[[מדיה:16Infi2CSexmpTest.pdf|מבחן דמה תשע"ו]]
*[[מדיה:Infi2 16 Bet.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ו]]

===מבחנים לדוגמא של מבוא לאנליזה 2 למורים===
שימו לב שמדובר בקורס מבוא פחות מעמיק מהקורס שלנו.
*[[מבחנים בקורס אנליזה 2 למורים]]

===מבחנים לדוגמא של חדו"א 1 להנדסה===
שימו לב שאלות 2 ו6 תמיד רלוונטיות לקורס זה.
*[[83-112 חדו"א 1 להנדסה/נושאי הקורס|קישור למבחנים]]

=סרטוני ותקציר ההרצאות=

[https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-vOI1v8wP7J2QzKtGpV1e60 פלייליסט של כל הסרטונים]

==פרק 1 - האינטגרל הלא מסויים==
*הגדרה: F נקראת פונקציה קדומה של f בקטע A אם לכל נקודה בקטע מתקיים כי <math>F'=f</math>

*האינטגרל הלא מסויים <math>\int f(x)dx</math> מסמן פונקציה קדומה של f.

*תהי F קדומה של f, אזי קבוצת כל הקדומות של f שווה ל<math>\{F+c|c\in\mathbb{R}\}</math>

*אינטגרלים מיידיים ידועים לנו מנוסחאות הגזירה.

<videoflash>J5l9up_tcx8</videoflash>

===שיטות למציאת קדומה===
*תהיינה f,g פונקציות בעלות קדומות, אזי:
**<math>\int (cf) = c \int f</math>
**<math>\int (f+g) = \int f + \int g</math>

====אינטגרציה בחלקים====
<math>\int f'g = fg - \int fg'</math>

<videoflash>jo8JtA4Pj1c</videoflash>

====שיטת הההצבה====
<videoflash>1KW4tQQ05mU</videoflash>

====פונקציה רציונאלית====

*פולינום הוא פונקציה מהצורה <math>p(x)=a_n x^n +a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0</math>
*דרגת הפולינום היא n אם <math>a_n x^n</math> הוא המונום עם החזקה הגבוהה ביותר כך ש <math>a_n\neq 0</math>
*אפשר לומר שדרגת פולינום האפס היא מינוס אינסוף.

*פולינום נקרא פריק אם ניתן להציג אותו כמכפלה של פולינומים מדרגה 1 ומעלה, נעסוק בפולינומים ממשיים בלבד בהקשר זה.
*פולינום מדרגה 1 אינו פריק
*פולינום מדרגה 2 (פרבולה) פריק אם ורק אם יש לו שורש ממשי.
*כל פולינום מדרגה 3 ומעלה פריק.

*מציאת שורשים של פולינום ופירוקו -
**ננחש שורש ונבדוק שהוא אכן מאפס את הפולינום ע"י הצבה
**אם a שורש, נחלק את הפולינום ב<math>(x-a)</math>
**כך הלאה.

*הורדת דרגת המונה ע"י חילוק פולינומים
<videoflash>K5c-i9GIF4s</videoflash>

*שבר חלקי של גורם אי פריק לינארי <math>x+a</math> הוא ביטוי מהצורה <math>\frac{A}{(x+a)^k}</math>

*שבר חלקי של גורם אי פריק ריבועי <math>x^2+bx+c</math> (כך שאין לו שורשים ממשיים) הוא ביטוי מהצורה <math>\frac{Ax+B}{(x^2+bx+c)^k}</math>

*כל פונקציה רציונאלית בה דרגת המונה קטנה ממש מדרגת המכנה ניתן להציג באופן יחיד כסכום של שברים חלקיים (כפול קבוע).

*פירוק לשברים חלקיים
<videoflash>im1mjhXXFCo</videoflash>

*חישוב אינטגרל של כל שבר חלקי
**נסמן <math>I_n=\int \frac{1}{(1+t^2)^n} dt</math>
**אזי <math>I_{n+1}=\frac{t}{2n(1+t^2)^n} + \left(1-\frac{1}{2n}\right)I_n</math>
כאשר תנאי ההתחלה הוא <math>I_1=\arctan(t)</math>

<videoflash>cexA1w14A-I</videoflash>

====הצבות אוניברסאליות====
'''הצבות אוניברסאליות''' הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסוימת לצורה של [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|פונקציה רציונאלית]] אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעיה.

*[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הסבר על הצבות אוניברסאליות]]

==פרק 2 - האינטגרל המסויים==

===סכומי דרבו ואינטגרל עליון ותחתון===

====הגדרת סכומי דרבו, אינטגרביליות והאינטגרל המסוים====
*<math>P=\{a=x_0<x_1<...<x_n=b\}</math> היא חלוקה של הקטע <math>[a,b]</math>

*תהי f חסומה בקטע, ותהי P חלוקה של הקטע.
*נסמן
**<math>\displaystyle{M_k=\sup_{[x_{k-1},x_k]}(f)}</math>
**<math>\displaystyle{m_k=\inf_{[x_{k-1},x_k]}(f)}</math>
**<math>\Delta x_k= x_k-x_{k-1}</math>
*נגדיר
**סכום דרבו עליון <math>\displaystyle{\overline{S}(f,P)=\sum_{k=1}^nM_k\cdot \Delta x_k}</math>
**סכום דרבו תחתון <math>\displaystyle{\underline{S}(f,P)=\sum_{k=1}^nm_k\cdot \Delta x_k}</math>

*תהי f פונקציה חסומה בקטע.
*נסמן את קבוצת כל סכומי הדרבו העליונים על כל החלוקות של הקטע ב<math>\overline{X}</math>
*נסמן את קבוצת כל סכומי הדרבו התחתונים על כל החלוקות של הקטע ב<math>\underline{X}</math>
*נגדיר את האינטגרל העליון להיות <math>\displaystyle{\overline{\int_a^b}f=\inf (\overline{X})}</math>
*נגדיר את האינטגרל התחתון להיות <math>\displaystyle{\underline{\int_a^b}f=\sup (\underline{X})}</math>
*נגדיר שf אינטגרבילית בקטע אם <math>\displaystyle{\overline{\int_a^b}f=\underline{\int_a^b}f}</math>
*במקרה שf אינטגרבילית נגדיר את האינטגרל המסויים שלה להיות <math>\displaystyle{\int_a^bf=\overline{\int_a^b}f=\underline{\int_a^b}f}</math>

*דוגמא:
*פונקצית דיריכלה היא <math>D(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb{Q}\\0&x\not\in\mathbb{Q}\end{cases}</math>
*<math>\displaystyle{\overline{\int_0^1}D=1}</math>
*<math>\displaystyle{\underline{\int_0^1}D=0}</math>
*לכן פונקצית דיריכלה אינה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math>.

<videoflash>n5d8o3BWFy4</videoflash>

====תכונות של סכומי דרבו והאינטגרל המסוים====
*<math>m(b-a)\leq \underline{S}(f,P)\leq \overline{S}(f,P)\leq M(b-a)</math>
<videoflash>WKSBz0eNfZc</videoflash>

*נגדיר את פרמטר של חלוקה להיות אורך תת הקטע הגדול ביותר:
*<math>\lambda(P)=\max \Delta x_k</math>

*תהי חלוקה <math>P</math> ותהי העדנה שלה <math>R=P\cup \{a\}</math>
*<math>0\leq \overline{S}(f,P)-\overline{S}(f,R)\leq \lambda(P)(M-m)</math>
*<math>0\leq \underline{S}(f,R)-\underline{S}(f,P)\leq \lambda(P)(M-m)</math>

<videoflash>Df7ziRE4mzA</videoflash>

*<math>\underline{S}(f,P)\leq \underline{\int_a^b}f(x)dx\leq \overline{\int_a^b}f(x)dx\leq \overline{S}(f,R)</math>
<videoflash>pJ3xdPW7-7s</videoflash>

====התכנסות סכומי דרבו====

*התכנסות סכומי הדרבו העליונים לאינטגרל העליון
*תהי f פונקציה חסומה בקטע.
*תהי סדרת חלוקות של הקטע <math>P_n</math> כך ש <math>\lambda(P_n)\to 0</math>
*אזי <math>\displaystyle{\overline{S}(f,P_n)\to\overline{\int_a^b}f}</math>
*כמובן שבאופן דומה <math>\displaystyle{\underline{S}(f,P_n)\to\underline{\int_a^b}f}</math>
<videoflash>uu_FTfi2YG8</videoflash>

====פונקציות אינטגרביליות====

*פונקציה רציפה בקטע סגור אינטגרבילית בו
<videoflash>M8WAEvvzaoI</videoflash>

*תהי f אינטגרבילית בקטעים <math>[a,b],[b,c]</math> אזי:
**היא אינטגרבילית בקטע <math>[a,c]</math>
**מתקיים כי <math>\displaystyle{\int_a^c f = \int_a^bf+\int_b^cf}</math>

*פונקציה חסומה בקטע סופי, ורציפה פרט למספר סופי של נקודות, אינטגרבילית בו

<videoflash>XpI34f-g0V0</videoflash>

*לכל פונקציה אינטגרבילית בקטע <math>[a,b]</math> '''נגדיר''' כי:
**<math>\int_b^a f=-\int_a^b f</math>
**<math>\int_a^a f = 0</math>

*תרגיל: אם <math>f,g</math> אינטגרביליות ב<math>[a,b]</math> אזי <math>f+g</math> אינטגרבילית בקטע, וכך גם <math>cf</math> לכל קבוע <math>c\in\mathbb{R}</math>. כמו כן מתקיים כי:
**<math>\int_a^b (f+g) = \int_a^b f + \int_a^b g</math>
**<math>\int_a^b (cf) = c\cdot \int_a^b f</math>

===סכומי רימן===

*תהי f המוגדרת בקטע <math>[a,b]</math>
*תהי P חלוקה של הקטע
*תהי <math>C=\{c_1,...,c_n\}</math> קבוצת נקודות בתתי הקטעים <math>c_k\in[x_{k-1},x_k]</math>
*נגדיר את סכום הרימן <math>\displaystyle{S_R(f,P,C)=\sum_{k=1}^n f(c_k)\cdot \Delta x_k}</math>

*אומרים שf אינטגרבילית רימן בקטע אם קיים גודל סופי <math>S\in\mathbb{R}</math> כך ש:
**לכל סדרת חלוקות <math>P_n</math> המקיימת <math>\lambda(P_n)\to 0</math>
**ולכל סדרת בחירת נקודות <math>C_n</math> המתאימה לחלוקות
**מתקיים כי <math>S_R(f,P_n,C_n)\to S</math>
*במקרה שf אינטגרבילית רימן בקטע מסמנים <math>S=\int_a^bf</math>

*משפט: f אינטגרבילית רימן בקטע אם"ם f חסומה בקטע ואינטגרבילית (לפי דרבו)
*כמו כן, במקרה שהפונקציה אינטגרבילית, האינטגרל המסויים שווה לפי רימן ולפי דרבו.

<videoflash>gigeMtUkIEg</videoflash>

*משפט מאד שימושי:
**תהי פונקציה <math>f</math> הרציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> אזי:
**<math>a_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \to \int_0^1 f</math>

====אורך עקומה====
*<math>L=\int_a^b \sqrt{(f'(x))^2+1}dx</math>
<videoflash>wYbQTNZOrII</videoflash>

===אי שיוויון המשולש לאינטגרלים===
*<math>\left|\int_a^b f\right|\leq \int_a^b |f|</math>
<videoflash>34cLtMW88bQ</videoflash>

==פרק 3 - הקשר בין האינטגרל המסויים ללא מסויים==
כבר במאות ה4 וה3 לפנה"ס [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%95%D7%A7%D7%9C%D7%99%D7%93%D7%A1 אוקלידס] ו[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%9E%D7%93%D7%A1 ארכימדס] ידעו לחשב היקפים, שטחים ונפחים, אך רק במאה ה17 לספירה [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%99%D7%99%D7%96%D7%A7_%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%98%D7%95%D7%9F ניוטון] ו[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%92%D7%95%D7%98%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%93_%D7%95%D7%99%D7%9C%D7%94%D7%9C%D7%9D_%D7%9C%D7%99%D7%99%D7%91%D7%A0%D7%99%D7%A5 לייבניץ] המציאו את החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.

כלומר, ההבנה שיש קשר בין שטחים (האינטגרל המסויים) לבין פונקציות קדומות (אינטגרל לא מסוים) הגיעה כמעט 2000 שנה לאחר שכבר ידעו לחשב שטחים.

בפרק זה נוכיח את הקשר הזה שבין החשבון הדיפרנציאלי לאינטגרלי בעזרת '''המשפט היסודי של החדו"א'''.

===המשפט היסודי של החדו"א===
*עבור פונקציה אינטגרבילית, בנקודות בהן היא רציפה מתקיים כי <math>\displaystyle{S'(x)=\left(\int_a^x f(t)dt\right)' = f(x)}</math>
<videoflash>1BFHzzCBu38</videoflash>

===נוסחאת ניוטון לייבניץ===
*תהי f אינטגרבילית וF קדומה אזי <math>\displaystyle{\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)}</math>
<videoflash>0SWk8jqaFDY</videoflash>

===גרסא חלשה ופשוטה של המשפט היסודי===
*תהי <math>f</math> פונקציה רציפה בקטע <math>[a,b]</math> ותהי <math>S(x)=\int_a^x f(t)dt</math> פונקצית השטח שלה.
*אזי לכל <math>a<x_0<b</math> מתקיים כי <math>S'(x_0)=f(x_0)</math>

===הוכחה===
[[קובץ:ftcalculus.png|600px]]

*לפי [[משפט ערך הממוצע האינטגרלי]] לכל x בקטע קיימת c בקטע כך ש <math>f(c)=\frac{\int_{x_0}^x f(t)dt}{x-x_0}=\frac{S(x)-S(x_0)}{x-x_0}</math>

*לכן לכל סדרה <math>x_0>x_n \to x_0 </math> קיימת סדרת נקודות <math>x_0\leq c_n \leq x_n</math> כך ש <math>f(c_n)=\frac{S(x_n)-S(x_0)}{x_n-x_0}</math>

*לפי משפט הסנדביץ' <math>c_n \to x_0</math> וכיוון ש<math>f</math> רציפה, נובע כי <math>f(c_n)\to f(x_0)</math>

*לכן קיבלנו כי <math>lim_{x\to x_0^+}\frac{S(x)-S(x_0)}{x-x_0}=f(x_0)</math>

*ניתן להוכיח באופן דומה שזה גם הגבול השמאלי, ובסה"כ לפי הגדרת הנגזרת קיבלנו כי <math>S'(x_0)=f(x_0)</math>

===הגדרת המספר π, וחישוב היקף ושטח מעגל===
<videoflash>PaoWoULlBdo</videoflash>

===נפח גוף סיבוב===
*<math>\int_a^b \pi f^2(x)dx</math>
<videoflash>UDVDyGl8yok</videoflash>

==פרק 4 - אינטגרלים לא אמיתיים (מוכללים)==

===השופר של גבריאל===
<videoflash>LmfgR6pokXw</videoflash>

===הגדרת אינטגרלים לא אמיתיים===
*תהי f אינטגרבילית בקטע <math>[a,t]</math> לכל <math>t\geq a</math> אזי:
**<math>\int_a^\infty f(x)dx = \lim_{t\to\infty} \int_a^t f(x)dx</math>
*תהי f שאינה חסומה בקטע <math>[a,b]</math> ואינטגרבילית בקטע <math>[t,b]</math> לכל <math>a<t<b</math> אזי:
**<math>\int_a^b f(x)dx = \lim_{t\to a^+} \int_t^b f(x)dx</math>
<videoflash>QbObB9rYw4Q</videoflash>

*משפט:
**האינטגרל <math>\displaystyle{\int_0^1\frac{1}{x^\alpha}dx}</math> מתכנס אם ורק אם <math>\alpha<1</math>
**האינטגרל <math>\displaystyle{\int_1^\infty\frac{1}{x^\alpha}dx}</math> מתכנס אם ורק אם <math>\alpha>1</math>

*הערה: נניח <math>\int_a^\infty f(x)dx</math> מתכנס, האם <math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} f(x)= 0}</math>?
**בלי נתונים נוספים
**כאשר f רציפה
**כאשר f רציפה וחיובית
**כאשר נתון שלf יש גבול

===מבחני השוואה לאינטגרלים חיוביים===
*מבחן ההשוואה הראשון:
**תהיינה <math>f\geq g \geq 0</math> עבורן מוגדר אינטגרל לא אמיתי באותו הקטע עם אותה הנקודה הבעייתית אזי-
**אם <math>\int f</math> מתכנס בקטע, גם <math>\int g</math> מתכנס בקטע
*מבחן ההשוואה הגבולי:
**תהיינה <math>f,g\geq 0</math> עבורן מוגדר אינטגרל לא אמיתי באותו הקטע עם אותה הנקודה הבעייתית.
**נחשב בנוסף את הגבול בנקודה הבעייתית <math>\lim \frac{f}{g} =c</math>.
**אזי:
***אם <math>c=\infty</math>, אזי אם <math>\int f</math> מתכנס גם <math>\int g</math> מתכנס.
***אם <math>c=0</math> אזי אם <math>\int g</math> מתכנס גם <math>\int f</math> מתכנס.
***אם <math>0<c<\infty</math> אזי האינטגרלים חברים <math>\int f \sim \int g</math> כלומר שניהם מתכנסים או שניהם מתבדרים.

<videoflash>cCjIuWrjacE</videoflash>

===התכנסות בהחלט וקריטריון היינה===
*קריטריון היינה:
**אינטגרל לא אמיתי מקיים קריטריון היינה אם לכל שתי סדרות בקטע השואפות לנקודה הבעייתית מתקיים כי:
**<math>\int_{a_n}^{b_n} f(x)dx \to 0</math>

*אינטגרל לא אמיתי מתכנס אם"ם הוא מקיים את קריטריון היינה.

*פונקציה <math>f</math> עליה מוגדר אינטגרל לא אמיתי נקראת מתכנסת בהחלט בקטע אם <math>\int |f|</math> מתכנס בקטע.

*פונקציה מתכנסת בהחלט בקטע מתכנסת.
**<math>\left|\int_{a_n}^{b_n} f(x)dx\right| \leq \left|\int_{a_n}^{b_n} |f(x)|dx\right|\to 0</math>

<videoflash>bl5CxcggxNY</videoflash>

===מבחן דיריכלה===
*תהי פונקציה <math>f</math> אשר מקיימת 3 תנאים בקטע <math>[a,\infty)</math>
**<math>f</math> מונוטונית יורדת
**<math>\lim_{x\to\infty}f(x)=0</math>
**הנגזרת <math>f'</math> רציפה.
*תהי בנוסף פונקציה <math>g</math> אשר מקיימת 2 תנאים באותו הקטע:
**<math>g</math> רציפה.
**ל<math>g</math> יש קדומה <math>G</math> חסומה.
*אזי האינטגרל <math>\displaystyle{\int_a^\infty f(x)g(x)}dx</math> מתכנס.
<videoflash>wU73--emtSg</videoflash>

==פרק 5 - סדרות וטורי פונקציות==

===פונקצית הגבול===
<videoflash>4ageCd9gsmg</videoflash>

===העשרה - סוגי סכימה שונים===
<videoflash>54MQXVhM9vU</videoflash>

===התכנסות במ"ש===
*בדיקת התכנסות במ"ש:
**נחשב את פונקצית הגבול. בשלב זה x קבוע וn שואף לאינסוף.
**נחשב את סדרת החסמים <math>d_n=\sup_A |f(x)-f_n(x)|</math>. בשלב זה n קבוע, וx נע בקטע A.
**יש התכנסות במ"ש אם"ם <math>d_n\to 0</math>.
<videoflash>suuh6irjF7c</videoflash>

*אם סדרה מתכנסת במ"ש בקטע, וכל הפונקציות בסדרה רציפות בנק' מסויימת, גם פונקצית הגבול רציפה באותה נקודה.
<videoflash>IpE97-gLUuU</videoflash>

====אינטגרציה וגזירה איבר איבר====
*סדרת פונקציות אינטגרביליות המתכנסת במ"ש, מתכנסת לפונקציה אינטגרבילית.
*כמו כן, במקרה זה, סדרת שטחי הפונקציות מתכנסת לשטח פונקצית הגבול.
*עבור טור פונקציות אינטגרביליות המתכנס במ"ש מתקיים כי:
**<math>\int_a^b \left(\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\right) dx = \sum_{n=1}^\infty \int_a^b f_n(x)dx</math>
<videoflash>vtD_RQRQE74</videoflash>

*דוגמא: סדרת פונקציות גזירות המתכנסת במ"ש לפונקצית גבול שאינה גזירה
**<math>f_n(x)=\sqrt{x^2 +\frac{1}{n}}\rightrightarrows |x|</math>
*סדרת פונקציות המתכנסת בנקודה, שנגזרותיה רציפות ומתכנסות במ"ש בA מקיימת בA:
**<math>f_n\to f</math> וגם <math>f'_n\to f'</math>
*טור פונקציות המתכנס בנקודה, שנגזרותיו רציפות וטור הנגזרות מתכנס במ"ש בA מקיים בA:
**<math>\left(\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\right)' = \sum_{n=1}^\infty f'_n(x)</math>
<videoflash>fLqrKPT2xVw</videoflash>

====מבחן הM של ויירשטראס====
*תהי סדרת פונקציות החסומה בערך מוחלט ע"י סדרת מספרים בקטע A:
**<math>|f_n(x)|\leq M_n</math>
*אזי אם טור המספרים <math>\sum_{n=1}^\infty M_n</math> מתכנס, טור הפונקציות <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מתכנס במ"ש בקטע A.

<videoflash>Cle9N3p4_UY</videoflash>

==פרק 6 - טורי טיילור וקירובים==
===פולינום טיילור===
*הקדמה
<videoflash>0bqTszhCIV8</videoflash>

*פולינום טיילור
**<math>P_n(f,a)(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k</math>
*שארית טיילור
**<math>R_n(f,a,x) = f(x)-P_n(f,a)(x)</math>

*שארית טיילור בצורת לגראנז'
*תהי f הגזירה n+1 פעמים בסביבה של a ותהי נקודה בסביבה זו. אזי קיימת נקודה c בין a לx כך שהשארית מקיימת:
**<math>R_n(f,a,x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>

<videoflash>bk5tm-vAR7c</videoflash>

*הוכחת שארית טיילור בצורת לגראנז'
**נפעיל את משפט קושי על הפונקציות <math>h(t)=R_n(f,t,x)</math> ו<math>g(t)=(x-t)^{n+1}</math> בקטע שבין a ל x.

<videoflash>pMV8RuYl06M</videoflash>

*שארית פיאנו
*תהי <math>f</math> הגזירה <math>n</math> פעמים בסביבה של <math>a</math>. אזי:
**<math>R_n(f,a,x)=o\left((x-a)^n\right)</math>
**כלומר
**<math>\lim_{x\to a} \frac{R_n(f,a,x)}{(x-a)^n} = 0</math>

<videoflash>KRxKnDA_m4Q</videoflash>

===טורי חזקות/טיילור/מקלורן===
*הגדרת טורי חזקות <math>\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty a_n (x-a)^n}</math>

====רדיוס התכנסות====
*הגדרת רדיוס התכנסות <math>R=\frac{1}{\overline{\lim} \sqrt[n]{|a_n|}}</math>
*אם הגבול של המנה קיים במובן הרחב, אזי <math>R=\lim \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|</math>

*רדיוס ההתכנסות אומר לנו על תחום ההתכנסות:
**אם <math>R=\infty</math> אזי הטור מתכנס בהחלט בכל הממשיים.
**אם <math>R=0</math> הטור מתכנס רק עבור <math>x=a</math>.
**אם <math>0<R<\infty</math> אזי
***הטור מתכנס בהחלט בתחום <math>\left(a-R,a+R\right)</math>.
***הטור מתבדר כאשר <math>|x-a|>R</math>.
***את שני הקצוות <math>x=a\pm R</math> צריך להציב, ולבחון את התכנסות טורי המספרים שנקבל באמצעות מבחני התכנסות.
**כאשר <math>0<R</math> אזי לכל <math>0<r<R</math> מתקיים כי הטור מתכנס '''במ"ש''' בתחום <math>[a-r,a+r]</math>

<videoflash>HgyjO0-wdmE</videoflash>

*דוגמא לחישוב תחומי ההתכנסות של טורי החזקות
**<math>\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{4^n}{n}x^{2n}}</math>
**<math>\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{4^n}{n}(x+2)^{2n}}</math>

*עבור טור חזקות מהצורה <math>\sum a_n (x-a)^{b_n}</math> מתקיים כי רדיוס ההתכנסות הינו <math>R=\frac{1}{\overline{\lim} \sqrt[b_n]{|a_n|}}</math>

<videoflash>SjQGanyldmk</videoflash>

====פיתוח טורי טיילור====

*גזירה ואינטגרציה איבר איבר של טורי חזקות

*יהי טור חזקות בעל רדיוס התכנסות <math>R>0</math>
*<math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n</math>
*אזי לכל x המקיים <math>|x-a|<R</math> מתקיים כי:
**<math>f'(x)=\sum_{n=1}^\infty n\cdot a_n(x-a)^{n-1}</math>
**<math>\int_a^xf=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-a)^{n+1}</math>

<videoflash>DARWl_gkXQ8</videoflash>

*פיתוח טורי טיילור באמצעות גזירה ואינטגרציה
**<math>e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...</math>
**<math>ln(1+x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+... </math>
**<math>arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...</math>

<videoflash>hMnl-4WAA_U</videoflash>

====יחידות וקיום טור טיילור====

*עבור פונקציה הגזירה אינסוף פעמים בסביבת הנקודה a טור הטיילור הוא:
**<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n</math>

*אם פונקציה שווה לטור חזקות בעל רדיוס התכנסות חיובי בקטע, אזי זה טור הטיילור שלה.

*ייתכן שפונקציה גזירה אינסוף פעמיים בכל הממשיים, טור הטיילור שלה בעל רדיוס התכנסות חיובי, ועדיין אינו מתכנס אליה פרט לנקודה סביבה פיתחנו.
*דוגמא:
**<math>f(x)=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x^2}} & x\neq 0 \\ 0 & x=0\end{cases}</math>
**מתקיים כי <math>f^{(n)}(0)=0</math> לכל n.
**לכן טור הטיילור של הפונקציה הוא טור אפסים, אבל הפונקציה אינה שווה לאפס פרט לנקודה <math>x=0</math>.

<videoflash>1fDkXTPctkI</videoflash>

====טורי הטיילור של סינוס וקוסינוס, ואקספוננט של מספר מרוכב ====
*<math>\sin(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...</math>
*<math>\cos(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...</math>

*נוכיח כי <math>e^{it}=cis(t)</math>
**<math>e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math>
**'''נגדיר''' את e בחזקת מרוכב באמצעות טור הטיילור, ונציב:
**<math>e^{i\cdot t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(i\cdot t)^n}{n!}</math>
**נפריד לסכום האיברים במקומות הזוגיים והאי זוגיים.
**<math>e^{i\cdot t}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(i\cdot t)^{2n}}{(2n)!}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(i\cdot t)^{2n+1}}{(2n+1)!}=</math>
**<math>=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}t^{2n} + i\cdot\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}t^{2n+1}=\cos(t)+i\cdot \sin(t)</math>
*זה מוביל לזהות אוילר המפורסמת <math>e^{i\pi}+1=0</math>

<videoflash>KEnspLE5278</videoflash>

[[פונקצית האקספוננט|למידע נוסף על האקספוננט]]

====משפט אבל על התכנסות בקצה התחום====

*יהי טור <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n (x-a)^n</math> עם רדיוס התכנסות <math>0<R<\infty</math>.
*אם <math>f(a+R)</math> מתכנס אזי <math>\displaystyle{\lim_{x\to (a+R)^-}f(x)=f(a+R)}</math>
*אם <math>f(a-R)</math> מתכנס אזי <math>\displaystyle{\lim_{x\to (a-R)^+}f(x)=f(a-R)}</math>
<videoflash>Yi6Q-e1hAWY</videoflash>

====קירובים והערכות שגיאה====
=====שיטות הערכות שגיאה - לגראנז', לייבניץ, חסימה על ידי טור הנדסי=====
*יהי טור <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>
**קירוב מסדר k לטור הוא <math>\sum_{n=0}^{k-1} a_n</math>, זהו סכום k האיברים הראשונים.
**השגיאה עבור קירוב זה היא כמובן <math>R_k=\sum_{n=k}^\infty a_n</math>

*אם מדובר בטור לייבניץ, השגיאה מקיימת <math>|R_k|\leq |a_k|</math> לפי מבחן לייבניץ להתכנסות טורים.

*אם הטור חסום ע"י טור הנדסי אזי השגיאה מקיימת:
**<math>|R_k|\leq \sum_{n=k}^\infty c\cdot q^n = c(\sum_{n=0}^\infty q^n - \sum_{n=0}^{k-1}q^n) = c(\frac{1}{1-q} - \frac{1-q^k}{1-q})=\frac{c\cdot q^k}{1-q} </math>

*בסרטון נקרב את המספרים הבאים:
**<math>ln(2)</math>
**<math>\pi</math>
**<math>e</math>
**<math>\int_0^1 e^{-x^2}dx</math>

<videoflash>7Zf4L75o_I8</videoflash>

=====טור הטיילור של ההופכית של סינוס, וקירוב מהיר של π=====
*נביט בפונקציה <math>f(x)=\sqrt{1+x}</math>
*נוכיח באינדוקציה כי הנגזרת מסדר n הינה:
*<math>f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n+1}(2n)!}{(2n-1)n!4^n}(1+x)^{-\frac{2n-1}{2}}</math>
**עבור n=1 אכן מתקיים כי <math>f'(x)=\frac{2}{4}(1+x)^{-\frac{1}{2}}</math>
**יהי n עבורו הטענה נכונה, צ"ל כי <math>f^{(n+1)}(x)=\frac{(-1)^{n+2}(2n+2)!}{(2n+1)(n+1)!4^{n+1}}(1+x)^{-\frac{2n+1}{2}}</math>
**צ"ל <math>f^{(n+1)}(x)=\frac{(-1)^{n+2}(2n)!(2n+1)(2n+2)}{(2n+1)n!(n+1)4^n\cdot 4}(1+x)^{-\frac{2n+1}{2}}
=\frac{(-1)^{n+2}(2n)!}{n!4^n\cdot 2}(1+x)^{-\frac{2n+1}{2}}</math>
**אכן בעזרת הנחת האינדוקציה <math>f^{(n+1)}(x)=\left(f^{(n)}\right)'(x)=\left(\frac{(-1)^{n+1}(2n)!}{(2n-1)n!4^n}(1+x)^{-\frac{2n-1}{2}}\right)'=\frac{(-1)^{n+2}(2n)!}{n!4^n\cdot 2}(1+x)^{-\frac{2n+1}{2}}</math>

*לכן טור המקלורן של <math>f(x)=\sqrt{1+x}</math> הינו <math>\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}(2n)!}{(2n-1)(n!)^24^n}x^n}</math>
*על מנת להוכיח שהוא שווה לפונקציה, צ"ל שהשגיאה שואפת לאפס.
*יהי <math>-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}</math>, נוכיח שהשגיאה עבורו שואפת לאפס.
*<math>\left|R_{n-1}(f,0,x)\right| = \frac{(2n)!}{(2n-1)(n!)^24^n}\frac{1}{(1+c)^{\frac{2n-1}{2}}}|x|^n
\leq \frac{(2n)!}{(2n-1)(n!)^24^n}\frac{1}{(1-|x|)^{\frac{2n-1}{2}}}|x|^n</math>
*נחשב את גבול המנה של הביטוי שקיבלנו:
**<math>\frac{(2n+2)!}{(2n+1)((n+1)!)^24^{n+1}}\frac{|x|^{n+1}}{(1-|x|)^{\frac{2n+1}{2}}}\cdot
\frac{(2n-1)(n!)^24^n}{(2n)!}\frac{(1-|x|)^{\frac{2n-1}{2}}}{|x|^n}=</math>
**<math>=\frac{(2n-1)(2n+2)}{4(n+1)^2}\frac{|x|}{1-|x|}\to \frac{|x|}{1-|x|} < \frac{|x|}{1-\frac{1}{2}}=2|x|<1</math>
*לכן לפי מבחן המנה השגיאה שואפת לאפס בתחום זה, וטור המקלורן מתכנס לפונקציה בתחום זה.

*הוכחנו שבתחום <math>\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)</math> מתקיים
*<math>\sqrt{1+x} = \displaystyle{\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}(2n)!}{(2n-1)(n!)^24^n}x^n} = 1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{8}-...</math>
*נגזור ונקבל שבקטע מתקיים
*<math>\frac{1}{2\sqrt{1+x}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}(2n)!n}{(2n-1)(n!)^24^n}x^{n-1}</math>
*נבצע הזזת אינדקסים <math>k=n-1</math> ונקבל
*<math>\frac{1}{2\sqrt{1+x}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k+2}(2k+2)!(k+1)}{(2k+1)((k+1)!)^24^{k+1}}x^k</math>
*<math>\frac{(-1)^{k+2}(2k+2)!(k+1)}{(2k+1)((k+1)!)^24^{k+1}}=\frac{(-1)^{k}(2k)!(2k+1)(2k+2)(k+1)}{(2k+1)(k!)^2(k+1)^24^k\cdot 4}</math>
*סה"כ בתחום זה נקבל
*<math>\frac{1}{\sqrt{1+x}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(2n)!}{(n!)^24^n}x^n</math>
*נציב <math>-x</math> ונקבל באותו תחום <math>\frac{1}{\sqrt{1-x}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{(n!)^24^n}x^n</math>

*הערה - טורי הטיילור שפיתחנו כאן מתכנסים בעצם לפונקציות שלהן בתחום בין מינוס אחד לאחד, אך ההוכחה של זה מורכבת יותר ולא נחוצה לנו כרגע.

*כעת נציב <math>x^2</math> ונקבל שבתחום <math>\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)</math> מתקיים
*<math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{(n!)^24^n}x^{2n}</math>
*נבצע אינטגרציה מ0 עד x ונקבל
*<math>\arcsin(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{(2n+1)(n!)^24^n}x^{2n+1}=x+\frac{x^3}{6}+...</math>
*נציב <math>x=\frac{1}{2}</math> שנמצא בתחום ונקבל:
*<math>\frac{\pi}{6}=\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{(2n+1)(n!)^24^n}\frac{1}{2^{2n+1}}</math>
*ולכן
:::<math>\pi =\sum_{n=0}^\infty \frac{3(2n)!}{(2n+1)(n!)^2(16)^n}</math>

*כעת המנה של הסדרה <math>a_n=\frac{(2n)!}{(n!)^24^n}</math> היא
**<math>\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^24^{n+1}}\cdot\frac{(n!)^24^n}{(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(2(n+1))^2}<1</math>
*לכן מדובר בסדרה יורדת שכל איבריה קטנים או שווים ל<math>a_0=1</math>
*לכן <math>\frac{3(2n)!}{(2n+1)(n!)^2(16)^n} = \frac{(2n)!}{(n!)^24^n}\cdot\frac{3}{(2n+1)4^n}\leq \frac{3}{(2n+1)4^n}</math>
*לכן בקירוב <math>\pi</math> ע"י k האיברים הראשונים נקבל שגיאה:
**<math>|R_k|=\sum_{n=k}^\infty \frac{3(2n)!}{(2n+1)(n!)^2(16)^n} \leq \sum_{n=k}^\infty \frac{3}{(2n+1)4^n}\leq</math>
**<math>\leq\frac{3}{(2k+1)}\sum_{n=k}\frac{1}{4^n} = \frac{3}{(2k+1)}\frac{\frac{1}{4^k}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{(2k+1)4^{k-1}}</math>

*למשל, קירוב של 6 האיברים הראשונים יספק שגיאה קטנה מ<math>10^{-4}</math> כלומר רמת דיוק של 4 ספרות אחרי הנקודה העשרונית, לפחות.
*<math>\pi\approx 3+\frac{3\cdot 2!}{3\cdot (1!)^2 \cdot 16}+\frac{3\cdot 4!}{5\cdot (2!)^2 \cdot 16^2}+
\frac{3\cdot 6!}{7\cdot (3!)^2 \cdot 16^3}+\frac{3\cdot 8!}{9\cdot (4!)^2 \cdot 16^4}+\frac{3\cdot 10!}{11\cdot (5!)^2 \cdot 16^5} </math>

אהבתם חדו"א 2? אז תעופו על [[חדוא 1 - ארז שיינר|חדו"א 1]]!

מבחנים בבדידה

2021-06-29T14:53:49Z

עידן365:

==מבחני בר-אילן==
=== מתמטיקה===
* מועד ב קיץ 2020 [[מדיה:20BdidaTestB.pdf|מועד ב' קיץ תש"פ]], [[מדיה:20BdidaTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' קיץ תש"פ]]
* מועד א קיץ 2020 [[מדיה:20BdidaTestA.pdf|מועד א' קיץ תש"פ]], [[מדיה:20BdidaTestASol.pdf|פתרון מועד א' קיץ תש"פ]]
* מועד ב קיץ 2019 [[מדיה:19BdidaTestB.pdf|מועד ב' תשע"ט]], [[מדיה:19BdidaTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשע"ט]]
* מועד א קיץ 2019 [[מדיה:19BdidaTestA.pdf|מועד א' תשע"ט]], [[מדיה:19BdidaTestASol.pdf|פתרון מועד א' תשע"ט]]
* מועד ב קיץ 2018 [[מדיה:18BdidaTestB.pdf|מועד ב' תשע"ח]], [[מדיה:18BdidaTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשע"ח]]
* מועד א קיץ 2018 [[מדיה:18BdidaTestA.pdf|מועד א' תשע"ח]], [[מדיה:18BdidaTestASol.pdf|פתרון מועד א' תשע"ח]]
*מועד א' קיץ 2017 [[מדיה:17BdidaTestA.pdf|מועד א']] ו[[מדיה:17BdidaTestASol.pdf|פתרונו]]
* מועד ב' קיץ 2017 [[מדיה:17BdidaTestB.pdf|מועד ב']], [[מדיה:17BdidaTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשעז]]
*מועד א' חורף 2017 [[מדיה:88195_test_77a.pdf|מועד א' חורף תשעז]]
*מועד ב' קיץ 2016 [[מדיה:DMtest2016B.pdf|מבחן מועד ב קיץ תשע"ו]]
*מועד א' קיץ 2016 [[מדיה:16BdidaTestA.pdf|מועד א']] ו[[מדיה:16BdidaTestASol.pdf|פתרונו]]
*מועד ב' קיץ 2015 [[מדיה:DMtest2015B.pdf|מבחן מועד ב קיץ תשע"ה]]
*מועד א' קיץ 2015 [[מדיה:DMtest2015.pdf|מבחן מועד א קיץ תשע"ה]]
*מועד א' חורף 2015 [[מדיה:88195_test_75a_150201.pdf|מבחן מועד א חורף תשע"ה]], [[מדיה:88195_test_75a_sol_150220.pdf|פתרון מבחן מועד א חורף תשע"ה]]
*מועד ב' חורף 2015: בחינת סיום (מועד ב'): [[מדיה:88195_test_75b_150201.pdf|מבחן מועד ב חורף תשע"ה]], [[מדיה:88195_test_75b_sol_150401.pdf|פתרון מבחן מועד ב חורף תשע"ה]]
*מועד ב' קיץ 2014 [[מדיה:DMtestB2014.pdf|מבחן מועד ב קיץ תשע"ד]],[[מדיה:DMtestBsol2014.pdf|פתרון מבחן מועד ב קיץ תשע"ד]]
*מועד א׳ 2014 [[מדיה:14BdidaTestA.pdf|מבחן מועד א תשע"ד]],[[מדיה:14BdidaTestAsol.pdf|פתרון מבחן מועד א תשע"ד]]
*מועד א׳ 2013[[מדיה:mivh11anmoesaatim.pdf | מבחן מועד א כולל פתרון]]
*מועד ב׳ 2013[[מדיה:mivh11anmoedb11m.pdf | מבחן מועד ב כולל פתרון]]
*מועד א' 2012 [[מדיה:s2012a.pdf|מועד א' + פתרון]]
*מועד ב' 2012 [[מדיה:s2012b.pdf|מועד ב' + פתרון]]
*מועד א, 2011 [[מדיה:11BdidaTestASol.pdf|פתרון]]
*מועד ב, 2011 [[מדיה:11BdidaTestBSol.pdf|פתרון]]
*מועד א, 2010 [[מדיה:10BdidaTestASol.pdf|פתרון]]
*מועד ב, 2010 [[מדיה:10BdidaTestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2009.pdf|מועד א, 2009]], [[מדיה:BdidaExamMoedA2009Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2009.pdf|מועד ב, 2009]],[[מדיה:BdidaExamMoedB2009Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2008.pdf|מועד א, 2008]],[[מדיה:BdidaExamMoedA2008Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2008.pdf|מועד ב, 2008]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2007.pdf|מועד א, 2007]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2007.pdf|מועד ב, 2007]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2006.pdf|מועד א, 2006]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2005.pdf|מועד א, 2005]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2005.pdf|מועד ב, 2005]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2004.pdf|מועד א, 2004]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2004.pdf|מועד ב, 2004]]

*[[מדיה:20DmRandSol.pdf|פתרונות למספר שאלות אקראיות]]

=== מתמטיקה בדידה מדעי המחשב ===
תשעז:
*[[מדיה:BdidaCS17ExamB.pdf|מבחן מועד ב תשעז]],
*[[מדיה:BdidaCS17ExamA.pdf|מבחן מועד א תשעז]], [[מדיה:BdidaCS17ExamASol.pdf|פתרון מועד א]]
*[[מדיה:BdidaCS17DemoExam.pdf|מבחן לדוגמא קיץ תשעז]]

88-195 מתמטיקה בדידה

2021-06-29T14:51:59Z

עידן365:

הקורס '''מתמטיקה בדידה''' מציג את מושגי היסוד במתמטיקה הדרושים לשאר הקורסים במתמטיקה. זהו מפגש ראשוני עם מושגי יסוד במתמטיקה בדידה ועם שיטות מניה (סופיות ואינסופיות). נושאי הקורס: לוגיקה בסיסית, קבוצות ופעולות עליהן, יחסים ויחסי סדר, פונקציות, עוצמות, הלמה של צורן, מבוא לקומבינטוריקה, מבוא לתורת הגרפים.

== חומר עזר ==

* [[סרטונים:מתמטיקה בדידה|הרצאות מצולמות]]
* [[מתמטיקה בדידה - מערך תרגול|מערכי תרגול]]

* [[מבחנים בבדידה|מבחנים משנים קודמות]]
* [[בחנים בבדידה|בחנים משנים קודמות]]
* [[מדיה:10BdidaTargilBook.pdf|חוברת מאת משה ירדן]]
* [[מדיה:recur2.pdf|אלגוריתם לפתרון נוסחאות נסיגה]]
* [[מדיה:recur.pdf|שאלות לדוגמא בנוסחאות נסיגה]]
* [[מתמטיקה בדידה - מערך הרצאה|מערכי הרצאה]]

== מועדי לימוד ==
* [[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשפא|סמסטר קיץ תשפ״א]]
* [[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף|סמסטר קיץ תש"ף]]
* [[88-195 בדידה סמסטר א תש"פ|סמסטר חורף תש"פ]]
* [[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשעט|סמסטר קיץ תשע"ט]]
* [[88-195 בדידה סמסטר א תשע"ט|סמסטר חורף תשע"ט]]
* [[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשעח|סמסטר קיץ תשע"ח]]
* [[88-195 בדידה סמסטר א תשע"ח|סמסטר חורף תשע"ח]]
* [[89-198 בדידה למדמח קיץ תשעז|מדמח קיץ תשע"ז]]
* [[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשעז|סמסטר קיץ תשע"ז]]
* [[88-195 בדידה סמסטר א תשע"ז|סמסטר חורף תשע"ז]]
* [[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשעו|סמסטר קיץ תשע"ו]]
* [[88-195 בדידה סמסטר א תשע"ו|סמסטר חורף תשע"ו]]
* [[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשעה|סמסטר קיץ תשע"ה]]
* [[88-195 בדידה סמסטר א תשע"ה|סמסטר חורף תשע"ה]]
* [[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשעד|סמסטר קיץ תשעד]]
* [[88-195 בדידה תשעד סמסטר חורף|סמסטר חורף תשע"ד]]
* [[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשעג|סמסטר קיץ תשעג]]
* [[88-195 בדידה תשעג סמסטר חורף|סמסטר חורף תשע"ג]]
* [[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשעב|סמסטר קיץ תשעב]]
* [[88-195 בדידה תשעב סמסטר חורף|סמסטר חורף תשע"ב]]
* [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא|סמסטר קיץ תשע"א]]
* [[בדידה לתיכוניסטים תש"ע|סמסטר קיץ תש"ע]]

88-112 אלגברה לינארית 1

2021-06-29T14:50:06Z

עידן365:

בקורס '''אלגברה לינארית 1''' לומדים מערכות משוואות ליניאריות, מרחבים וקטורים, העתקות לינאריות ומטריצות.

==חומר עזר==
* [[אלגברה לינארית - ארז שיינר|סרטונים ותקציר הקורס]]
* [[מדיה: linear.pdf|חוברת הקורס אלגברה לינארית של ד"ר בועז צבאן]]
* [[אלגברה לינארית 1 - מערך תרגול|מערכי תרגול]]
* [[מדיה: 10Linear1Gauss.pdf|אלגוריתם לדירוג גאוס]]
* [[מדיה:10Linear1Coor.pdf|הסבר על קואורדינטות, מטריצת מעבר ומטריצה מייצגת + דוגמאות]]
* [[מדיה:11Linear1DefOri.pdf|סיכום משפטים והגדרות ע"י אורי אלברטון (אוניברסיטת תל אביב)]]
* [[מדיה:11Linear1ForOri.pdf|נוסחאון ע"י אורי אלברטון (אוניברסיטת תל אביב)]]
* [[מדיה:שטייניץ.pdf|הוכחה ללמת ההחלפה של שטייניץ]]
* [[אלגברה לינארית 1/מבחנים|מבחנים לדוגמא]]

* [[אלגברה לינארית 1/הוכחות - דרגת שורות שווה דרגת עמודות|הוכחה שדרגת השורות שווה לדרגת העמודות]]

== מועדי לימוד ==
* [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשפא|קורס קיץ תשפ״א]]
* [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף|קורס קיץ תש"ף]]
* [[88-112 תשף סמסטר א|חורף תש"ף]]
* [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעט|קורס קיץ תשע"ט]]
* [[88-112 תשעט סמסטר א|חורף תשע"ט]]
* [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעח|קורס קיץ תשע"ח]]
* [[88-112 תשעח סמסטר א|חורף תשע"ח]]
* [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעז|קורס קיץ תשע"ז]]
* [[88-112 תשעז סמסטר א|חורף תשע"ז]]
* [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעו|קורס קיץ תשע"ו]]
* [[88-112 תשעו סמסטר א|חורף תשע"ו]]
* [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעה|קורס קיץ תשע"ה]]
* [[88-112 לינארית 1 חורף תשעה|חורף תשע"ה]]
* [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעד|קורס קיץ תשע"ד]]
* [[88-112 לינארית 1 חורף תשעד|חורף תשע"ד]]
* [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעג|קורס קיץ תשע"ג]]
* [[88-112 לינארית 1 חורף תשעג|חורף תשע"ג]]
* [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב|קורס קיץ תשע"ב]]
* [[88-112 לינארית 1 סמסטר א תשעב|סמסטר א תשע"ב]]
* [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא|קורס קיץ תשע"א]]
* [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע|קורס קיץ תש"ע]]