Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

חדוא 1 - ארז שיינר

2023-01-30T09:31:24Z

רגב991: /* הטור ההרמוני המוכלל */

[[88-132 חשבון אינפיניטיסימלי 1]]

אהבתם חדו"א 1? אז תעופו על [[חדוא 2 - ארז שיינר|חדו"א 2]]!

=תרגילי הכנה למבחן ופתרונותיהם=

*[[מדיה:22Calc1QnA.pdf| עשרות תרגילי הכנה למבחן עם פתרונות מלאים]]

=מבחנים ופתרונות=

===מערכי תרגול עם פתרונות===
*[[חשבון אינפיניטיסימלי 1 - מערך תרגול|מערכי תרגול]]

===מבחנים של מתמטיקה===
*[[מדיה:מועד_א_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|מבחן מועד א' החממה תשפ"א]], [[מדיה:Solמועד_א_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:מועד_ב_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|מבחן מועד ב' החממה תשפ"א]], [[מדיה:solמועד_ב_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:21HamamaExmpTest.pdf|פתרון מבחן לדוגמא החממה תשפ"א]]
*[[מדיה: Infi1 tihon 2019A.pdf |מבחן מועד א תשע"ט]], [[מדיה: Infi1 tihon 2019Asol.pdf |פתרון]]
*[[מדיה:17Infi1DumbTest.pdf|מבחן דמה תשע"ז]], [[מדיה:17Infi1DumbTestSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:17Infi1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ז]], [[מדיה:17Infi1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:17Infi1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ז]], [[מדיה:17Infi1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:Calc1_2016a_exam.pdf | מבחן מועד א' תשע"ו]], [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/Infi2_76aSol.pdf פתרון המרצה], [[מדיה:Calc1_2016a_sols.pdf | פתרון המתרגלים]], [[מדיה:Calc1_2016a_sols_erez.pdf | פתרון ארז שיינר]]
*[[מדיה:אינפי_1_-_מועד_א%27_תשעג.pdf|מבחן מועד א' תשע"ג]], [[מדיה:Infi1TashagMoedASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה: infi1Exams3.pdf | מבחן מועד ב' תשע"ג]], [[מדיה: infi1Exams3Sol.pdf | פתרון חלקי]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/דמה1|מבחן דמה למתמטיקאים תשע"ב]], [[מדיה:tashabfaketestAsol.pdf|פתרון]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/דמה2|מבחן דמה נוסף תשע"ב]], [[מדיה:tashabfaketestBsol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה: infi1Exams1.pdf | מועד מיוחד תשע"ב]], [[מדיה:tashabspecialtestsol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה: infi1Exams2.pdf | מועד א' תשע"ב]], [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מתמטיקאים|פתרון]]
*[[מבחן אינפי 1 סמסטר א' מועד ב' תשע"ב| מועד ב' למתמטיקאים תשע"ב כולל פתרון]]
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד א'|מבחן מועד א' החממה תשע"א פתרון]]
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד ב'|מבחן מועד ב' החממה תשע"א פתרון]]
*[[פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א, |פתרון תשס"ב, מועד א]]
*[[פתרון אינפי 1, תשס"ג, מועד ב, |פתרון תשס"ג, מועד ב]]
*[[פתרון אינפי 1, תשנ"ט, מועד ב, |פתרון תשנ"ט, מועד ב]]
*[[פתרון אינפי 1, תש"נ |פתרון תש"נ, אין מועד]]
*[[אינפי 1, תשנ"ו מועד ב' - פתרון (זלצמן)|פתרון תשנ"ו, מועד ב']]

===מבחנים של מדמ"ח===
*[[מדיה:21Infi1CSSummerA.pdf|מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א]]
*[[מדיה:21Infi1CSSummerB.pdf|מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א]]
*[[מדיה:infi1moedExmp2021CS.pdf|מבחן לדוגמא תשפ"א]], [[מדיה:infi1moedExmp2021CSSol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא תשפ"א]]
*[[מדיה:infi1moedA2021CS.pdf|מועד א' תשפ"א]], [[מדיה:infi1moedA2021CSSol.pdf|פתרון מועד א' תשפ"א]]
*[[מדיה:infi1moedB2021CS.pdf|מועד ב' תשפ"א]], [[מדיה:infi1moedB2021CSSol.pdf|פתרון מועד ב' תשפ"א]]
*[[מדיה:infi1moedC2021CS.pdf|מועד ג' תשפ"א]], [[מדיה:infi1moedC2021CSSol.pdf|פתרון מועד ג' תשפ"א]]
*[[מדיה:19CSInfi1dumbtest.pdf|מבחן לדוגמא תש"ף]], [[מדיה:19CSInfi1dumbtestSol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא תש"ף]]
*[[מדיה:19CSInfi1A.pdf|מבחן מועד א' תש"ף]], [[מדיה:19CSInfi1ASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תש"ף]]
*[[מדיה:16CSInfi1ASol.pdf|פתרון מבחן מועד ג' תשע"ז]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעג/פתרון מועד א - גרסת שנפס|מועד א' תשע"ג פתרונות בלבד]]
*[[מדיה:TashagInfiCsexmtest.pdf|מבחן דמה תשע"ג]], [[מדיה:TashagInfiCsexmtestSol.pdf|פתרון מבחן דמה תשע"ג]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמח|מבחן מדמ"ח מועד א' תשעב ופתרונו]].

===מבחנים של הנדסה===
*[[83-112 חדו"א 1 להנדסה/נושאי הקורס|מבחנים בחדו"א 1 של הנדסה]] - שאלות 2,6 אינן רלונטיות לקורס זה

===מבחנים של אנליזה למורים===
*[[מבחנים בקורס אנליזה 1 למורים]] - אמנם כלל השאלות רלוונטיות, אולם הרמה הכולל של המבחנים נמוכה יותר מקורס זה

=== הצעות פתרון למבחנים מהשנים תשע"ה-תשפ"ב (תיכוניסטים) ===
ע"י לירן מנצורי ויונתן סמידוברסקי
*[[מדיה:מבחן_תשפב_מועד_א_יונתן_סמידוברסקי.pdf| מבחן תשפ"ב מועד א']]
*[[מדיה:מבחן_תשפא_מועד_א.pdf| מבחן תשפ"א מועד א']] (XI)
*[[מדיה:מבחן_תשפא_מועד_א.pdf| מבחן תשפ"א מועד א']] (XI)
*[[מדיה:מבחן_תשעט_מועד_ב_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ט מועד ב']]
*[[מדיה:פתרון_תשעט_מועד_א_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf| מבחן תשע"ט מועד א']]
*[[מדיה:תשעח_מועד_ב_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf | מבחן תשע"ח מועד ב']]
*[[מדיה:תשעח_מועד_א_יונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ח מועד א']]
*[[מדיה:פתרון_תשעז_מועד_ב_לירן מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ז מועד ב']]
*[[מדיה:מבחן_תשעז_מועד_א_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ז מועד א']]
*[[מדיה:פתרון_מבחן_תשעו_מועד_ב_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ו מועד ב']]
*[[מדיה:פתרון_מבחן_תשעו_מועד_א_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ו מועד א']]
*[[מדיה:תיקון_תשעה_מועד_ב_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ה מועד ב']]
*[[מדיה:תשעה_מועד_א'_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ה מועד א']]

===מבחנים מאוניברסיטאות שונות===
*[[אינפי 1 - מבחנים מאוניברסיטאות שונות]]

=סרטוני ותקציר ההרצאות=

[https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-sR6S1JZDECwwzGk6Z4NXWe פלייליסט של כל הסרטונים]

[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hkSHBU2VSWetKIVS1oyDT2c פלייליסט ההרצאות של אינפי 1 למדמח תשפ"א]

==פרק 1 - מספרים וחסמים==

===קבוצות מספרים===

*הטבעיים <math>\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}</math>
*השלמים <math>\mathbb{Z}=\{0,-1,1,-2,2,...\}</math>
*הרציונאליים <math>\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{n}|p\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}\right\}</math>
*הממשיים <math>\mathbb{R}</math>, כל השברים העשרוניים כולל האינסופיים

*העשרה: בנייה של שדה הממשיים באמצעות [[חתכי דדקינד]]

<videoflash>iEux7Zo_7Iw</videoflash>

*לא קיים <math>x\in\mathbb{Q}</math> כך ש <math>x^2=2</math>.
*במילים פשוטות, <math>\sqrt{2}</math> אינו רציונאלי (בהמשך נוכיח שיש מספר ממשי כזה).

<videoflash>20KPM0pRTHc</videoflash>

===חזקות ולוגריתמים===
*לכל מספר ממשי <math>x\in\mathbb{R}</math> ולכל מספר טבעי <math>n\in\mathbb{N}</math> נגדיר <math>x^n=x\cdots x</math> כפל n פעמים
*לכל מספר ממשי אי שלילי <math>0\leq x\in\mathbb{R}</math> ולכל מספר טבעי <math>n\in\mathbb{N}</math> נגדיר <math>x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}</math> כלומר המספר האי שלילי שבחזקת n שווה לx.
*לכל מספר ממשי אי שלילי <math>0\leq x\in\mathbb{R}</math> ולכל זוג מספרים טבעיים <math>n,k\in\mathbb{N}</math> נגדיר <math>x^{\frac{n}{k}}=\sqrt[k]{x^n}</math>
*לכל מספר ממשי <math>x\in\mathbb{R}</math> נגדיר <math>x^0=1</math>

*מה לגבי חזקות ממשיות אי רציונליות?
*נגדיר אותן באמצעות גבול של חזקות רציונאליות

*לכל מספר ממשי <math>x\in\mathbb{R}</math> ולכל חזקה ממשית שלילית <math>-a<0</math> נגדיר <math>x^{-a}=\frac{1}{x^a}</math>

<videoflash>vHNsel0dKHk</videoflash>

*לכל <math>0<a\neq 1</math> נגדיר את <math>log_a(x)</math> להיות המספר שa בחזקתו שווה לx.
*חוקי לוגים:
**<math>log_a(x)+log_a(y)=log_a(xy)</math>
**<math>log_a(x)-log_a(y)=log_a\left(\frac{x}{y}\right)</math>
**<math>log_a(x^y)=y log_a(x)</math>
**<math>\log_a(x)=\frac{log_b(x)}{log_b(a)}</math>
**<math>log_a(x)=y</math> אם ורק אם <math>x=a^y</math>

===חסמים===

*תהי <math>A\subseteq \mathbb{R}</math> אזי:
**<math>M\in\mathbb{A}</math> נקרא '''המקסימום''' של A או '''האיבר הגדול ביותר''' של A אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים כי <math>a\leq M</math>
**<math>M\in\mathbb{R}</math> נקרא '''חסם מלעיל''' של A אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים כי <math>a\leq M</math>
**<math>m\in\mathbb{A}</math> נקרא '''המינימום''' של A או '''האיבר הקטן ביותר''' של A אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים כי <math>a\geq m</math>
**<math>m\in\mathbb{R}</math> נקרא '''חסם מלרע''' של A אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים כי <math>a\geq m</math>

*כמו כן:
**אם יש איבר קטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל של A הוא נקרא '''החסם העליון''' של A, או '''הסופרמום''' של A ומסומן <math>\sup(A)</math>
**אם יש איבר גדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע של A הוא נקרא '''החסם התחתון''' של A, או '''האינפימום''' של A ומסומן <math>\inf(A)</math>

<videoflash>WdKqIf8xGeY</videoflash>

*בשדה הממשיים לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל יש חסם עליון, ולכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלרע יש חסם תחתון.
*בשדה הרציונאליים זה לא נכון; לקבוצה <math>A=\{x\in\mathbb{Q}|x^2<2\}</math> אין מספר רציונאלי קטן ביותר מבין חסמי המלעיל שלה.

<videoflash>7cz-S6GWg3Y</videoflash>

*תהי <math>A\subseteq \mathbb{R}</math> ויהי <math>M\in\mathbb{R}</math> אזי:
**M הוא החסם העליון של A אם ורק אם M הוא חסם מלעיל של A ולכל מספר <math>M-\varepsilon<M</math> קיים מספר <math>a\in A</math> כך ש <math>a>M-\varepsilon</math>
**m הוא החסם התחתון של A אם ורק אם m הוא חסם מלרע של A ולכל מספר <math>m<m+\varepsilon</math> קיים מספר <math>a\in A</math> כך ש <math>a<m+\varepsilon</math>

*דוגמא: תהיינה <math>\emptyset\neq A,B\subseteq\mathbb{R}</math> חסומות מלעיל כך שA אינה מכילה חסמי מלעיל של B, אזי <math>\sup(A)\leq\sup(B)</math>

<videoflash>mVCNRtV7TP0</videoflash>

===שיטות הוכחה בסיסיות===

*[[שיטות הוכחה בסיסיות]]

*הוכחת טענות מכומתות - טענות 'לכל' וטענות 'קיים'

<videoflash>QIwz6eyrcuI</videoflash>

==פרק 2 - סדרות==

===הגדרת הגבול===

*הגדרת הגבול של סדרה:
*תהי סדרה ממשית <math>a_n</math> ויהי מספר ממשי <math>L\in\mathbb{R}</math>.
*<math>L</math> הינו גבול הסדרה <math>a_n</math> (מסומן <math>\lim a_n=L</math> או <math>a_n\to L</math>) אם:
**לכל סביבה של הגבול, קיים מקום בסדרה שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה הנתונה, כלומר:
**לכל מרחק <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום <math>K\in\mathbb{N}</math> כך שאחריו לכל <math>n>K</math> מתקיים כי <math>|a_n-L|<\varepsilon</math>

<videoflash>mMVBYUDmSA0</videoflash>

*נגדיר ש<math>a_n\to\infty</math> אם לכל <math>M>0</math> קיים <math>K\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>K</math> מתקיים כי <math>a_n>M</math>
*נגדיר ש<math>a_n\to -\infty</math> אם <math>-a_n\to\infty</math>

*טענה: תהי <math>a_n\to \infty</math> אזי <math>\frac{1}{a_n}\to 0</math>
*טענה: תהי <math>0\neq a_n\to 0</math> אזי <math>\frac{1}{|a_n|}\to\infty</math>

<videoflash>U5RUHjrHVGI</videoflash>

*אם <math>a_n\to L_1</math> וכן <math>a_n\to L_2</math> אזי <math>L_1=L_2</math>

<videoflash>YE52OP_xPDA</videoflash>

*סדרה המתכנסת לגבול סופי חסומה.

<videoflash>CZnYbF1Lm7k</videoflash>

*<math>a_n\to L \iff a_{n+1}\to L</math>
*בפרט, כל שינוי, תוספת או החסרה של מספר סופי של איברים לא משפיע על גבול הסדרה.

<videoflash>nHaq8E0vGJA</videoflash>

*תהי סדרה<math>a_n</math> המתכנסת לגבול סופי והמקיימת לכל <math>n</math> כי <math>a<a_n</math> אזי <math>\lim a_n\geq a</math>

===שאיפה לאפס===

*תהי סדרה <math>a_n</math> ויהי <math>L\in\mathbb{R}</math> אזי <math>a_n\to L</math> אם ורק אם <math>|a_n-L|\to 0</math>
**בפרט <math>a_n\to 0</math> אם ורק אם <math>|a_n|\to 0</math>

*תהי <math>a_n\to 0</math> ותהי <math>b_n</math> חסומה, אזי <math>a_nb_n\to 0</math>

*תהיינה <math>a_n,b_n\to 0</math> אזי גם <math>a_n+b_n\to 0</math>

<videoflash>3QSMzWlG-yI</videoflash>

===משפטי סנדביץ'===

*משפט הסנדביץ' -
**תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי <math>a_n\leq b_n \leq c_n</math>
**כמו כן, יהי <math>L\in\mathbb{R}</math> כך ש <math>a_n,c_n\to L</math>
**אזי <math>b_n\to L</math>
*חצי סנדביץ'-
**תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי <math>a_n\leq b_n</math>
**כמו כן נתון כי <math>a_n\to\infty</math>
**אזי <math>b_n\to \infty</math>
*חצי סנדביץ' על הרצפה -
**תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי <math>|a_n|\leq b_n</math>
**כמו כן נתון כי <math>b_n\to 0</math>
**אזי <math>a_n\to 0</math>

<videoflash>AVvOiLm5COA</videoflash>

===מבוא לחשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)===
*תהיינה <math>b_n\to L_b\in \mathbb{R}</math>, <math>a_n\to L_a\in \mathbb{R}</math> אזי
**<math>a_n+b_n\to L_a+L_b</math>
**<math>a_n\cdot b_n \to L_a\cdot L_b</math>
**אם <math>L_b\neq 0</math> אזי <math>\frac{a_n}{b_n}\to\frac{L_a}{L_b}</math>

<videoflash>Hf14pSb3zDM</videoflash>

===אינדוקציה===

*משפט האינדוקציה המתמטית
*תהי סדרת טענות כך שמתקיימים שני התנאים הבאים:
**הטענה הראשונה נכונה.
**לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> אם הטענה הn מתקיימת אז גם הטענה הn+1 מתקיימת.
*אזי כל הטענות בסדרה נכונות

*אי שיוויון ברנולי: יהי <math>-1<x\in\mathbb{R}</math> אזי לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>(1+x)^n\geq 1+nx</math>

<videoflash>n6xkPhKmhQo</videoflash>

===חזקת אינסוף===

*תהי <math>0<a_n\to a</math> אזי:
**אם <math>a>1</math> מתקיים כי <math>(a_n)^n \to \infty</math>
**אם <math>a<1</math> מתקיים כי <math>(a_n)^n\to 0</math>
*שימו לב כי ייתכן ו<math>1<a_n\to 1</math>, כלומר איברי הסדרה גדולים מ1 אך גבולה הוא 1 ואז המשפט אינו תקף.

<videoflash>hFa7Nv5o05M</videoflash>

===כלל המנה===

*כלל המנה (הוכחה בסיכום הבא על [[אי-שוויון הממוצעים]]).
**תהי סדרה <math>a_n</math> המקיימת כי '''גבול''' המנה הוא <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to L</math> אזי:
***אם <math>1<L\leq\infty</math> מתקיים כי <math>|a_n|\to\infty</math>
***אם <math>0\leq L<1</math> מתקיים כי <math>a_n\to 0</math>
***מתקיים כי <math>\sqrt[n]{|a_n|}\to L</math>

*דוגמאות:
**<math>\frac{n}{2^n}\to 0</math>
**<math>\sqrt[n]{n}\to 1</math>
**עבור <math>a>0</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{a}\to 1</math>
**<math>\sqrt[n]{n!}\to \infty</math>

<videoflash>Shmc2BtEGBE</videoflash>

===חזקות של גבולות===

*יהי <math>0<a\in\mathbb{R}</math> ותהי <math>b_n\to 0</math> אזי <math>a^{b_n}\to 1</math>
**רעיון הוכחה: אם <math>a\geq 1</math> אזי <math>a^{-\frac{1}{m}}\leq a^{b_n}\leq a^{\frac{1}{m}}</math> והרי <math>\sqrt[m]{a}\to 1</math> לפי כלל המנה

*יהי <math>0<a\in\mathbb{R}</math> ותהי <math>b_n\to L\in \mathbb{R}</math> אזי <math>a^{b_n}\to a^L</math>
**רעיון הוכחה: <math>a^{b_n} = a^{b_n-L}\cdot a^L\to 1\cdot a^L</math>

*תהי <math>a_n\to 1</math> ותהי <math>b_n\to L\in\mathbb{R}</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to 1</math>
**רעיון הוכחה:<math>a_n^{[L]-1}\leq a_n^{b_n}\leq a_n^{[L]+1}</math> לפי חשבון גבולות (כפל) שני הצדדים שואפים ל1. (אם <math>a_n<1</math> אי השיוויון הפוך).

*תהי <math>a_n\to a>0</math> ותהי <math>b_n\to L\in\mathbb{R}</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to a^L</math>
**רעיון הוכחה: <math>a_n^{b_n}=\left(\frac{a_n}{a}\right)^{b_n} \cdot a^{b_n} \to 1\cdot a^L</math>

*תהי <math>0\leq a_n\to 0</math> ותהי <math>b_n\to L>0</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to 0</math>
**רעיון הוכחה: החל משלב מסויים <math>0\leq a_n^{b_n}\leq \frac{1}{m^{\frac{L}{2}}} </math>

===סדרות מונוטוניות והמספר e===
*כל סדרה מונוטונית הינה חסומה מתכנסת לגבול סופי, או שאינה חסומה ושואפת לגבול אינסופי.

*דוגמא: נביט בסדרה <math>a_1>0,\ a_{n+1}=a_n^2+a_n</math>
**כיוון ש <math>a_{n+1}-a_n=a_n^2\geq 0</math> מדובר בסדרה מונוטונית עולה.
**אם הסדרה חסומה:
***קיים לה גבול סופי <math>a_n\to L</math>
***נחשב את גבול שני צידי המשוואה <math>a_{n+1}=a_n^2+a_n</math>
***לכן <math>L=L^2+L</math> ולכן <math>L=0</math>
***אבל הסדרה עולה וחסומה מלמטה ע"י האיבר הראשון ולכן <math>L\geq a_1</math>
***כלומר <math>L=0<a_1\leq L</math> בסתירה.
**מכאן הסדרה אינה חסומה, וכיוון שהיא עולה <math>a_n\to\infty</math>

<videoflash>pTVTkSlxJdI</videoflash>

*[[המספר e]] (הוכחות בעזרת [[אי-שוויון הממוצעים]]).

<videoflash>v7tyKNPU-7I</videoflash>

*<math>2<e<4</math>.

<videoflash>6TohAEqQwsk</videoflash>

===תתי סדרות וגבולות חלקיים===
====הגדרת גבול חלקי====
*לכל סדרת מקומות <math>k_n\in\mathbb{N}</math> המקיימת לכל <math>n</math> כי <math>k_n<k_{n+1}</math> נגדיר כי <math>a_{k_n}</math> הינה תת סדרה של הסדרה <math>a_n</math>
*שימו לב כי מקומות תת הסדרה הם באותו הסדר כמו בסדרה המקורית, ואסור לחזור על איבר פעמיים.

*לדוגמא:
**נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math>
**אזי <math>a_{2n}=(-1)^{2n}=1</math> היא תת הסדרה של האיברים במקומות הזוגיים <math>k_n=2n</math>

*נגדיר ש<math>L</math> הוא גבול חלקי של הסדרה <math>a_n</math> אם קיימת תת סדרה <math>a_{k_n}</math> כך ש <math>a_{k_n}\to L</math>

*טענה - יהי <math>L</math> סופי או אינסופי, אזי:
**<math>a_n\to L</math> אם ורק אם לכל תת סדרה <math>a_{k_n}</math> מתקיים כי <math>a_{k_n}\to L</math>

<videoflash>rvdm2_7g-7I</videoflash>

====משפט בולצאנו-ויירשטראס====
*לכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית.

*משפט בולצאנו-ויירשטראס - לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת.

<videoflash>R491ZyCHhBs</videoflash>

====גבול עליון וגבול תחתון====

*תהי סדרה <math>a_n</math>
*נגדיר את הגבול העליון שלה (limsup):
**אם <math>a_n</math> אינה חסומה מלעיל אזי <math>\overline{\lim}a_n=\infty</math>
**אם <math>a_n</math> חסומה מלעיל ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את <math>\overline{\lim}a_n</math> להיות החסם העליון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה
**אחרת, נגדיר <math>\overline{\lim}a_n=-\infty</math>
*נגדיר את הגבול התחתון שלה (liminf):
**אם <math>a_n</math> אינה חסומה מלרע אזי <math>\underline{\lim}a_n=-\infty</math>
**אם <math>a_n</math> חסומה מלרע ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את <math>\underline{\lim}a_n</math> להיות החסם התחתון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה
**אחרת, נגדיר <math>\underline{\lim}a_n=\infty</math>

*לכל גבול חלקי L של הסדרה מתקיים כי:
*<math>\underline{\lim}a_n\leq L\leq \overline{\lim}a_n</math>

<videoflash>n71Zy87PbEE</videoflash>

*הגבול העליון והגבול התחתון הם גבולות חלקיים (כלומר יש תת סדרה ששואפת לגבול העליון, ויש תת סדרה ששואפת לגבול התחתון).

<videoflash>zF_5NdFJbAg</videoflash>

*לכל <math>-\infty\leq L\leq \infty</math> מתקיים כי <math>a_n \to L</math> אם ורק אם <math>\underline{\lim}a_n=\overline{\lim}a_n=L</math>

<videoflash>j4C_2yvKpN0</videoflash>

====תתי סדרות המכסות סדרה====

*אם ניתן לחלק סדרה למספר סופי של תתי סדרות המכסות את כולה, וכולן שואפות לאותו הגבול - אזי הסדרה כולה שואפת לגבול זה.
*ייתכן שניתן לחלק סדרה לאינסוף תתי סדרות שכולם שואפות לאותו הגבול, אך הסדרה לא תשאף לגבול זה.

<videoflash>Y0Jpalk44do</videoflash>

===כלל הe===

*תהי <math>0\neq a_n\to 0</math> אזי <math>(1+a_n)^{\frac{1}{a_n}}\to e</math>

<videoflash>y7yPjqyGOIg</videoflash>

*אם <math>a_n\to 1</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to e^{\lim b_n\cdot(a_n-1)}</math>
**<math>a_n^{b_n}=\left[\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\right]^{ b_n\cdot (a_n-1)}</math>.
**<math>\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\to e</math> בין אם <math>a_n-1</math> שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.
**שימו לב שאם <math>a_n=1</math>, אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק ב<math>a_n-1</math> ששווה אפס.

*דוגמא:
**<math>\lim\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n=e^{\lim n\cdot\left(\frac{n+1}{n-2}-1\right)}=e^{\lim\frac{3n}{n-2}}=e^3</math>

<videoflash>5V4EmQIdE90</videoflash>

===חשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)===

*אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
**חסומה כפול אפיסה = אפיסה
**חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
**<math>\infty+\infty=\infty</math>
**<math>\infty\cdot\infty=\infty</math>
**<math>\infty^\infty=\infty</math>
**<math>\frac{1}{0}\neq\infty</math>
**<math>\frac{1}{0^+}=\infty</math>
**<math>0^\infty = 0</math>
**אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
**יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
**אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
**אינסוף בחזקת מספר חיובי זה אינסוף
**סדרה השואפת לגבול גדול מאחד, בחזקת אינסוף זה אינסוף.
**סדרה השואפת לגבול בין מינוס אחד לאחד לא כולל, בחזקת אינסוף, זה אפס.

====המקרים הבעייתיים====
*המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
**<math>\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty</math>

===קריטריון קושי לסדרות===

*דוגמא: הסדרה <math>a_n=\sqrt{n}</math> מקיימת כי <math>a_{n+1}-a_n\to 0</math> אך היא אינה מתכנסת למספר סופי אלא שואפת לאינסוף.

*הגדרה: סדרה <math>a_n</math> מקיימת את '''קריטריון קושי''' (ונקראת '''סדרת קושי''') אם:
*לכל מרחק <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום <math>K\in\mathbb{N}</math> כך שאחריו לכל זוג מקומות <math>m>n>K</math> מתקיים כי <math>|a_m-a_n|<\varepsilon</math> (המרחק בין האיברים במקומות הללו קטן מאפסילון).

*משפט: בממשיים, סדרה מתכנסת לגבול סופי אם ורק אם היא סדרת קושי.

*תרגיל: תהי סדרה המקיימת לכל n כי <math>|a_{n+1}-a_n|<\frac{1}{2^n}</math> אזי היא מתכנסת למספר סופי.

<videoflash>S56cCgc9U38</videoflash>

==פרק 3 - טורים==
[https://youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-t4S3UxsuuifepjuWgbJ7_5 פלייליסט של כל טורים]
===מבוא והגדרה===
<videoflash>E3DLm1YxOko</videoflash>

*תהי סדרה <math>a_n</math>, נגדיר את '''סדרת הסכומים החלקיים''' (סס"ח בקיצור) של <math>a_n</math> ע"י
**<math>S_1=a_1</math>
**ולכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים <math>S_{n+1}=S_n+a_{n+1}</math>
*במילים אחרות, <math>S_n = \sum_{k=1}^n a_k</math>

*הגדרת הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math>
**אומרים כי <math>\sum_{k=1}^\infty a_k =L</math> אם <math>\lim S_n = L</math>
*אם לסס"ח יש גבול סופי אומרים כי הטור מתכנס, ואילו אם אין לה גבול סופי אומרים כי הטור מתבדר.
*שימו לב כי בעצם:
**<math>\sum_{k=1}^\infty a_k = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n a_k</math>

*אם הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס, אזי <math>a_n\to 0</math>
*הוכחה:
**<math>S_n,S_{n+1}\to L</math>
**לכן <math>a_{n+1}=S_{n+1}-S_n\to L-L=0</math>

*<math>\sum_{k=1}^\infty a_k = a_1 + \sum_{k=2}^\infty a_k</math>
*מסקנה: שינוי מספר סופי של איברי הטור לא משפיע על התכנסות, אבל '''כן משפיע''' על סכום הטור.

<videoflash>v-qwJWYvuNY</videoflash>

====חשבון טורים====

*אם הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס, ו<math>c\in\mathbb{R}</math> קבוע אזי
**<math>\sum_{k=1}^\infty c\cdot a_k = c\cdot \sum_{k=1}^\infty a_k</math>

*אם הטורים <math>\sum_{k=1}^\infty a_k,\ \sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנסים אזי
**<math>\sum_{k=1}^\infty (a_k+b_k) = \sum_{k=1}^\infty a_k + \sum_{k=1}^\infty b_k</math>

====הטור ההנדסי====
*הטור <math>\sum_{k=0}^\infty x^k</math> מתכנס אם ורק אם <math>|x|<1</math> וכאשר הוא מתכנס מתקיים כי:
**<math>\sum_{k=0}^\infty x^k = \frac{1}{1-x}</math> וכמו כן <math>\sum_{k=1}^\infty x^k = \frac{x}{1-x}</math>

<videoflash>suDMRh69Lgc</videoflash>

====טור מקל סלפי (טלסקופי)====

*חישוב <math>\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^2 -k}</math> על ידי הסס"ח הטלסקופי

*חישוב <math>\sum_{k=1}^\infty \ln\left(\frac{k}{k+1}\right)</math> על ידי הסס"ח הטלסקופי

<videoflash>uZHNxYO7S-Q</videoflash>

====העשרה על סוגי סכימה====

<videoflash>54MQXVhM9vU</videoflash>

===התכנסות בהחלט===
*משפט: אם טור הערכים המוחלטים <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math> מתכנס, אזי גם הטור המקורי <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס.

*הגדרה:
**הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> נקרא '''מתכנס בהחלט''' אם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס וגם <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math> מתכנס
**הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> נקרא '''מתכנס בתנאי''' אם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס אך <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math> מתבדר
**הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> נקרא '''מתבדר''' אם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתבדר וגם <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math> מתבדר

<videoflash>OFcOpUNprTo</videoflash>

*משפט: (הכללת אי שיוויון המשולש) יהי טור מתכנס בהחלט, אזי:
*<math>\left|\sum_{k=0}^\infty a_k\right|\leq \sum_{k=0}^\infty |a_k|</math>

*הוכחה:
*לפי אי שיוויון המשולש, לכל n סופי מתקיים כי
*<math>\left|\sum_{k=0}^n a_k\right|\leq \sum_{k=0}^n |a_k|</math>
*ולכן גם הגבול של הסדרה השמאלית קטן או שווה לגבול של הסדרה הימנית, וזו התוצאה שרצינו.

===מבחני התכנסות לטורים חיוביים===

====הקדמה והטור ההרמוני====
*הגדרה: טור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> נקרא טור חיובי אם לכל n מתקיים כי <math>a_n\geq 0</math>.
*סדרת הסכומים החלקיים של טור חיובי היא מונוטונית עולה, לכן הטור מתכנס אם ורק אם היא חסומה.

*לסס"ח של הטור ההרמוני <math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}</math> יש תת סדרה ששואפת לאינסוף, ולכן הטור מתבדר:
**<math>\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}\geq \frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}</math>
**<math>S_1 =1\geq \frac{1}{2}</math>
**<math>S_2 =1+\frac{1}{2}\geq 2\cdot \frac{1}{2}</math>
**<math>S_4 =1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\geq 3\cdot \frac{1}{2}</math>
**...
**באופן כללי <math>S_{2^{n-1}}\geq n\cdot \frac{1}{2}\to\infty</math>

<videoflash>M3B6018c-4g</videoflash>

====מבחני ההשוואה====

*מבחן ההשוואה הראשון-
*תהיינה סדרות כך ש <math>0\leq a_n\leq b_n</math> לכל n. אזי:
** אם הטור הגדול יותר <math>\sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנס בוודאי הטור הקטן יותר <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס.
** נובע מכך לוגית שאם הטור הקטן מתבדר, הטור הגדול מתבדר.

*דוגמא:
**<math>\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n^2-n}</math>
**ראינו שהטור החיובי <math>\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^2-k}</math> מתכנס ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון גם הטור החיובי <math>\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}</math> מתכנס

*מבחן ההשוואה הגבולי-
*תהיינה סדרות <math>0\leq a_n,b_n</math> כך ש <math>\frac{a_n}{b_n}\to c</math> אזי:
** אם <math>c=\infty</math> אזי <math>a_n>b_n</math> החל משלב מסויים, ולכן אם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס גם <math>\sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנס
** אם <math>c=0</math> אזי <math>a_n<b_n</math> החל משלב מסויים, ולכן אם <math>\sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנס גם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס
** אחרת, <math>0<c\in\mathbb{R}</math> והטורים '''חברים''' <math>\sum_{k=1}^\infty a_k ~ \sum_{k=1}^\infty b_k</math>, כלומר <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס אם ורק אם <math>\sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנס

*דוגמא:
**<math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\left(\sqrt[k]{k!}\right)^2} \sim \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}</math>

<videoflash>DDOups05oms</videoflash>

====מבחני השורש והמנה====

*יהי טור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math>

*מבחן המנה -
**אם <math>\overline{\lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1</math> אזי הטור '''מתכנס בהחלט'''
**אם <math>\underline{\lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1</math> אזי <math>a_n\not\to 0</math> ולכן הטור '''מתבדר'''

*מבחן השורש -
**אם <math>\overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}<1</math> אזי הטור '''מתכנס בהחלט'''
**אם <math>\overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}>1</math> אזי <math>a_n\not\to 0</math> ולכן הטור '''מתבדר'''

*שימו לב - במבחן השורש לוקחים את הגבול העליון בשני המקרים, ובמבחן המנה צריך שהעליון יהיה קטן מאחד, או התחתון גדול מאחד. זו לא טעות...

<videoflash>Y7k-a29_03g</videoflash>

====מבחן העיבוי====

*מבחן העיבוי-
**תהי <math>0\leq a_n</math> סדרה '''מונוטונית''' יורדת אזי הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס אם ורק אם <math>\sum_{k=1}^\infty 2^k \cdot a_{(2^k)}</math> מתכנס

*הוכחה:
** ראשית, נוכיח באינדוקציה כי <math>\sum_{k=1}^n 2^{k-1}a_{2^k} \leq \sum_{k=2}^{2^n} a_k</math> כלומר
**<math> a_2 + 2\cdot a_4 +4\cdot a_8+... = a_2 + a_4 + a_4 +a_8 + a_8 + a_8 + a_8 + ... \leq a_2 + a_3 + a_4 +a_5 + a_6 +a_7 +a _8 +...</math>
**כעת נוכיח באינדוקציה כי <math>\sum_{k=0}^{n-1} 2^k a_{2^k}\geq \sum_{k=1}^{2^n-1}a_k</math>
*סה"כ אם הטור האחד מתכנס, הסס"ח של השני חסומה ולכן גם השני מתכנס.

<videoflash>UozGPSlW8fM</videoflash>

=====הטור ההרמוני המוכלל=====

*הטור <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^a}</math> מתכנס אם ורק אם <math>a>1</math>

*דוגמאות:

*<math>\sum_{k=2}^\infty\frac{1}{k\cdot\ln(k)}</math>

*<math>\sum_{k=2}^\infty\frac{1}{\ln(k!)}</math>

*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|עוד דוגמאות]]

===מבחני התכנסות לטורים כלליים===

====מבחן דיריכלה====

*תהי סדרה <math>a_n\to 0</math> סדרה '''מונוטונית''' יורדת לאפס
*תהי סדרה <math>b_n</math> כך ש'''הסס"ח''' שלה חסומה, כלומר קיים <math>M>0</math> כך שלכל n מתקיים <math>|S_n|=\left|\sum_{k=1}^nb_k\right|<M</math>
*אזי הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_kb_k</math> מתכנס.

*דוגמאות:
**<math>\sum\frac{\sin(n)}{n}</math>
**<math>\sum\frac{|\sin(n)|}{n}</math>

<videoflash>m5kFinYjG8A</videoflash>

*הוכחה:
*נסמן ב<math>D_n</math> את סדרת הסכומים החלקיים של הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_kb_k</math> וב<math>S_n</math> את סדרת הסכומים החלקיים של <math>b_n</math>.
*יהיו <math>m>n\in\mathbb{N}</math>
**<math>D_m-D_n = \sum_{k=n+1}^m a_kb_k = \sum_{k=n+1}^m a_k(S_k -S_{k-1}) = \sum_{k=n+1}^m a_kS_k - \sum_{k=n}^{m-1} a_{k+1}S_k = a_mS_m -a_{n+1}S_n + \sum_{k=n+1}^{m-1} S_k(a_k-a_{k+1})</math>
**<math>|D_m-D_n|\leq |a_m||S_m| + |a_{n+1}| |S_n| +\sum_{k=n+1}^{m-1} |S_k||a_k-a_{k+1}|</math>
**כעת נשתמש בעובדה כי <math>|S_n|<M</math> לכל n, <math>a_n</math> סדרה חיובית, וכן <math>a_n - a_{n+1}\geq 0</math> לכל n.
**<math>|D_m-D_n|\leq M\left(a_m + a_{n+1} +\sum_{k=n+1}^{m-1} a_k-a_{k+1}\right)= 2Ma_{n+1}\to 0</math>
*לכן <math>D_n</math> סדרת קושי ולכן מתכנסת לגבול סופי, כלומר הטור מתכנס.

<videoflash>Ou3ixbIVfYI</videoflash>

====מבחן לייבניץ====

*תהי <math>a_n\to 0</math> סדרה '''מונוטונית''' יורדת לאפס. אזי:
** הטור <math>\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}a_k</math> מתכנס.
**<math>\left|\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}a_k\right|\leq a_1</math>.

*הוכחה:
**כיוןן שהסס"ח של <math>(-1)^{n+1}</math> חסומה הטור מתכנס לפי מבחן דיריכלה.
**נסמן ב<math>S_n</math> את הסס"ח של הטור <math>\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}a_k</math>.
**כיוון שהסדרה <math>a_n</math> יורדת, ניתן להוכיח באינדוקציה כי:
***<math>S_{2n}\geq 0</math>
***<math>S_{2n-1}\leq a_1</math>

<videoflash>nJU3b5zvURQ</videoflash>

===סיכום בדיקת התכנסות 🖖===

*כיצד נבחן אם הטור <math>\sum a_n</math> מתכנס בהחלט, בתנאי או מתבדר?

#אם ניתן להראות כי <math>a_n\not\to 0</math> הטור מתבדר
# נבצע מבחני ספוק 🖖
##אם לפי מבחני ההשוואה (הראשון או הגבולי) הטור <math>\sum |a_n|</math> אינו מתכנס, אז אין התכנסות בהחלט, נעבר לבדוק התכנסות בתנאי.
##אם במבחן המנה או השורש הגבול גדול מ1 הטור מתבדר, אם קטן מ1 הטור מתכנס בהחלט ואם שווה ל1 צריך לנסות משהו אחר.
##אם במבחן העיבוי הטור <math>\sum |a_n|</math> אינו מתכנס, אז אין התכנסות בהחלט, נעבר לבדוק התכנסות בתנאי.
#אם לא מצאנו התכנסות בהחלט, נבצע מבחנים על טורים כלליים בשביל לבדוק התכנסות בתנאי
##מבחן לייבניץ
##מבחן דיריכלה
##עבודה ישירה על סדרת הסכומים החלקיים (טור טלסקופי למשל)

===סכום האיברים החיוביים, וסכום האיברים השליליים===
*תהי סדרה <math>a_n</math> ונגדיר את:
**<math>a_n^+=\begin{cases}a_n & a_n\geq 0\\ 0 & a_n<0\end{cases}</math>
**<math>a_n^-=\begin{cases}0 & a_n\geq 0\\ -a_n & a_n<0\end{cases}</math>

*<math>a_n=a_n^+-a_n^-</math>
*<math>|a_n|=a_n^++a_n^-</math>

*הטור <math>\sum a_k</math> מתכנס בהחלט אם ורק אם הטורים <math>\sum a_k^+, \sum a_k^-</math> מתכנסים שניהם.
*אם הטור <math>\sum a_k</math> מתכנס בתנאי אזי הטורים <math>\sum a_k^+, \sum a_k^-</math> מתבדרים שניהם ושואפים לאינסוף.

*כפי שהוכחנו בעבר בדרך שונה, אם הטור מתכנס בהחלט נובע ש<math>\sum a_k^+, \sum a_k^-</math> מתכנסים שניהם, וביחד עם העובדה ש<math>a_n=a_n^+-a_n^-</math> נובע שהטור מתכנס.

<videoflash>XEl8ZykrNcw</videoflash>

===שינוי סדר הסכימה===

*תהי <math>f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}</math> פונקציה הפיכה ותהי סדרה <math>a_n</math> אז נאמר ש<math>p_n=a_{f(n)}</math> היא שינוי סדר של הסדרה <math>a_n</math>.

*תרגיל - אם <math>a_n\to L</math> גם שינוי הסדר מקיים <math>p_n\to L</math>

*דוגמא:
**<math>a_n=1,-1,1,-1,...</math>
**<math>f(n)=1,3,2,5,7,4,9,11,6,...</math>
**<math>p_n=a_{f(n)}=1,1,-1,1,1,-1,...</math>

*בדוגמא האחרונה:
*נסמן ב<math>S_n</math> את הסס"ח של <math>a_n</math> ומתקיים כי:
**<math>S_n=1,0,1,0,...</math>
*נסמן ב<math>D_n</math> את הסס"ח של שינוי הסדר <math>p_n</math>, מתקיים כי:
**<math>D_n =1,2,1,2,3,2,3,4,3,...</math>
*שינוי הסדר אמנם הותיר את הטור מתבדר, אך הפך את סדרת הסכומים החלקיים מחסומה לשואפת לאינסוף.

<videoflash>ASXMi-rBCv0</videoflash>

====משפט רימן====
*משפט רימן - יהי טור מתכנס בתנאי <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> אזי לכל <math>-\infty\leq S \leq \infty</math> קיים שינוי סדר כך ש <math>\sum_{k=1}^\infty p_k=S</math>
*כלומר, אם הטור מתכנס בתנאי, ניתן לגרום לו להתכנס לכל ערך שנרצה (ואף לשאוף לפלוס או מינוס אינסוף), על ידי שינוי סדר איברי הסדרה.

<videoflash>e_tBsPs5vq4</videoflash>

====שינוי סדר הסכימה של טור מתכנס בהחלט====
*יהי טור מתכנס בהחלט <math>\sum_{k=1}^\infty a_k =S</math> אזי לכל שינוי סדר <math>p_n</math> מתקיים כי <math>\sum_{k=1}^\infty p_k=S</math>
*כלומר, שינוי סדר איברי הסדרה אינו משפיע על סכום הטור.

<videoflash>GG76LdzRvKo</videoflash>

==פרק 4 - פונקציות ורציפות==
===מבוא לגבולות===

<videoflash>OMJWXoSIlX0</videoflash>

*מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית, חילוק פולינומים).
**<math>\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}</math>
**<math>\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+5x+3}{3x^2-100}</math>
**<math>\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+1}-x</math>
**<math>\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+x+1}-x</math>
**<math>\lim_{x\to\infty}x^2-x</math>

===הגדרת הגבול לפי קושי===

* <math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם לכל סביבה של L בציר y קיימת סביבה של <math>x_0</math> בציר x, כך שלכל ערכי x בסביבה של <math>x_0</math> פרט אולי ל<math>x_0</math> עצמו, ערכי ציר y כלומר <math>f(x)</math> נמצאים בסביבה של L בציר y.

*דוגמאות:
**<math>\lim_{x\to 3} 2x+1=7</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל x המקיים <math>0\neq |x-3|<\delta</math> מתקיים <math>|2x+1-7|<\varepsilon </math>
**<math>\lim_{x\to 2^-}\frac{1-x}{\sqrt{2-x}}=-\infty</math> אם לכל <math>M>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל x המקיים <math>2-\delta<x<2</math> מתקיים כי <math>\frac{1-x}{\sqrt{2-x}}<-M</math>
**<math>y=a</math> אסימפטוטה אופקית מימין של <math>f(x)</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>K>0</math> כך שלכל x המקיים <math>x>K</math> מתקיים כי <math>|f(x)-a|<\varepsilon</math>

<videoflash>YTA4sI56t1Y</videoflash>

===הגדרת הגבול לפי היינה===

*<math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס <math>x_0\neq a_n\to x_0</math> סדרת המספרים על ציר y מקיימת <math>f(a_n)\to L</math>
*<math>\lim_{x\to x_0^+}f(x)=L</math> אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס <math>x_0< a_n\to x_0</math> סדרת המספרים על ציר y מקיימת <math>f(a_n)\to L</math>
*<math>\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L</math> אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס <math>x_0> a_n\to x_0</math> סדרת המספרים על ציר y מקיימת <math>f(a_n)\to L</math>

הגדרה זו שקולה להגדרה של קושי, כלומר הגבול שווה לL לפי קושי אם ורק אם הוא שווה לL לפי היינה.

*מרבית כללי האריתמטיקה המורחבות נובעים "בחינם" עבור פונקציות

*<math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם ורק אם <math>\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L</math>

<videoflash>KKFyEBxM9yo</videoflash>

===הפונקציות הטריגונומטריות===
*הגדרת סינוס וקוסינוס ע"י מעגל היחידה.
**<math>sin^2(x)+cos^2(x)=1</math>
**<math>sin(-x)=-sin(x),cos(-x)=cos(x)</math>
**<math>sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a),cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)</math>
**<math>sin(2x)=2sin(x)cos(x),cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)</math>

<videoflash>gnUkKM9PgPQ</videoflash>

*[[קובץ:Sin(x)_over_x.png|400px|link=https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%A9%D7%9C_sin(x)/x]]
**עבור זוית <math>0<x<\frac{\pi}{2}</math> שטח המשולש חסום בשטח הגזרה (משולש פיצה עם הקשה) שחסום בשטח המשולש:
**<math>S_{\triangle AOB}<S_{\bigcirc AOB}<S_{\triangle AOD}</math>
**<math>\frac{sin(x)}{2}<\frac{x}{2}<\frac{tan(x)}{2}</math>
***כיוון ש<math>0<sin(x)<x</math> בתחום <math>(0,\frac{\pi}{2})</math>, נובע לפי סנדוויץ' ש<math>\lim_{x\to 0^+}sin(x)=0</math>.
***כיוון שמדובר בפונקציה אי זוגית, נובע שזה גם הגבול משני הצדדים.
***כעת בתחום <math>(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math> הקוסינוס חיובית ולכן <math>cos(x)=\sqrt{1-sin^2(x)}</math> ונובע כי <math>\lim_{x\to 0}cos(x)=1</math>.
**נחלק את אי השיוויון הטריגונומטרי בסינוס ונקבל:
**<math>1<\frac{x}{sin(x)}<\frac{1}{cos(x)}</math>
**לפי כלל הסנדביץ <math>\lim_{x\to 0^+}\frac{sin(x)}{x}=1</math>
**כיוון שמדובר בפונקציה זוגית, נובע שהגבול משני הצדדים שווה 1.

*ראינו ש<math>\lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=1</math>.
*שימו לב ש<math>\lim_{x\to\infty}\frac{sin(x)}{x}=0</math>, כיוון שמדובר בחסומה חלקי שואפת לאינסוף.

<videoflash>YIU0hc8xe7I</videoflash>

===רציפות===

*רציפות.
*הגדרה:
*פונקציה f נקראית רציפה בקטע <math>[a,b]</math> אם f רציפה בכל נקודה בקטע <math>(a,b)</math> ובנוסף <math>\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)</math> וגם <math>\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)</math>

*טענה: אם f רציפה ב<math>x_0</math> אזי לכל סדרה <math>x_n\to x_0</math> (גם אם אינה שונה מ<math>x_0</math>) מתקיים כי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math>.

<videoflash>9y7T2Nmpv24</videoflash>

<videoflash>76vmO8IBYKQ</videoflash>

*גבול של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות.
**<math>f(x)=\frac{x}{x}, g(x)=0</math> מתקיים כי <math>\lim_{x\to 0}f(x)=1,\lim_{x\to 2}g(x)=0</math> אבל <math>\lim_{x\to 2}f(g(x))\neq 1</math>.

*הרכבת רציפות: תהי f רציפה ב<math>x_0</math> ותהי g רציפה ב<math>f(x_0)</math>. אזי <math>g\circ f</math> רציפה ב<math>x_0</math>.
**הוכחה:
**תהי סדרה <math>x_0\neq x_n\to x_0</math> אזי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math>
**לפי הטענה הקודמת, <math>g(f(x_n))\to g(f(x_0))</math>.

<videoflash>FA_XRcitd64</videoflash>

*פונקציות הפיכות (הוכחות והגדרות מדוייקות בבדידה).
**פונקציה <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל
**הפונקציה ההופכית היא <math>f^{-1}:[c,d]\to[a,b]</math> ומתקיים כי <math>f(x)=y</math> אם"ם <math>x=f^{-1}(y)</math>

*טענה: אם <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>, אזי <math>f^{-1}:[c,d]\to[a,b]</math> רציפה בקטע <math>[c,d]</math>.
**הוכחה:
**תהי <math>y_0\neq y_n\to y_0</math>, צ"ל ש <math>f^{-1}(y_n)\to f^{-1}(y_0)</math>
**יהי גבול חלקי <math>x_n=f^{-1}(y_n)\to L</math>.
**אזי <math>f(x_n)=y_n\to y_0</math>.
**מצד שני, לפי רציפות הפונקציה f מתקיים <math>f(x_n)\to f(L)</math>.
**לכן <math>f(L)=y_0</math> ולכן <math>L=f^{-1}(y_0)</math>.

<videoflash>qjSueXDanYs</videoflash>

===אי רציפות===

*מיון אי רציפות.
**רציפות - הגבול בנקודה שווה לערך בנקודה.
**סליקה - הגבול קיים וסופי בנקודה, אך שונה מהערך בנקודה או שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה.
**קפיצתית (מין ראשון) - הגבולות החד צדדיים קיימים סופיים ושונים בנקודה.
**עיקרית (מין שני) - אחד הגבולות החד צדדיים אינו קיים או שאינו סופי.

<videoflash>3zwjxNNr5tc</videoflash>

==פרק 5 - גזירות==

<videoflash>7FYVQ_fGyNE</videoflash>

===הגדרת הנגזרת===
*<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>
*<math>\displaystyle{\lim{h\to 0}} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\{h=x-x_0\} = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>
**הסבר לגבי שיטת ההצבה בה השתמשנו לעיל:
**נניח כי <math>\lim{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0)</math> ונוכיח כי <math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math>, והוכחה דומה בכיוון ההפוך.
**תהי <math>x_0\neq x_n\to x_0</math> נגדיר את הסדרה <math>0\neq h_n=x_n-x_0\to 0</math>.
**כיוון ש<math>\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}\to f'(x_0)</math> נובע כי <math>\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}\to f'(x_0)</math>.
*אם f גזירה בנקודה, היא רציפה בנקודה:
**צ"ל <math>\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)</math>
**לפי אריתמטיקה של גבולות זה שקול ל <math>\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=0</math>
**לפי עקרון win (קיצור של wouldn't it be nice?) מתקיים כי <math>\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0)=f'(x_0)\cdot 0 = 0</math>
*פונקציה הערך המוחלט אינה גזירה באפס
**<math>(|x|)'(0) = \lim_{h\to 0}\frac{|h|-|0|}{h}=\lim\frac{|h|}{h}</math> וגבול זה אינו קיים, כיוון שהגבולות החד צדדים שונים.
**ניתן לשים לב גם ש<math>|x|=\sqrt{x^2}</math>, וכמו כן נראה בהמשך כי<math>\sqrt{x}</math> אינה גזירה באפס.

<videoflash>nukvxlHm2kQ</videoflash>

===הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות===
*טריגו:
**<math>\lim_{h\to 0}\frac{1-cos(h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin^2(h)}{h(1+cos(h))}=\lim_{h\to 0}sin(h)\cdot \frac{sin(h)}{h}\cdot \frac{1}{1+cos(h)}=0\cdot 1 \cdot \frac{1}{2}=0</math>
**<math>(sin(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x)cos(h)+sin(h)cos(x)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}sin(x)\cdot \frac{cos(h)-1}{h} + cos(x)\cdot \frac{sin(h)}{h}=cos(x)</math>
**באופן דומה <math>(cos(x))'=-sin(x)</math>
*לוג:
**<math>\lim_{h\to 0}\frac{log(1+h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot log(1+h)=\lim_{h\to 0}log\left(\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}\right)=log(e)
</math>
***המעבר האחרון נובע מהעובדה שפונקצית הלוג רציפה.
***(בפרט נובע כי <math>\lim_{x\to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=1</math>.)
**<math>(log(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{log(x+h)-log(x)}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{log\left(\frac{x+h}{x}\right)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{x}\cdot\frac{log\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}=\frac{log(e)}{x}</math>
***בפרט נובע כי <math>(ln(x))' = \frac{1}{x}</math>
*אקספוננט:
**<math>\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} = \{t=a^h-1, h=log_a(1+t)\} = \lim_{t\to 0} \frac{t}{log_a(1+t)} = \frac{1}{log_a(e)} = \frac{1}{\frac{ln(e)}{ln(a)}}=ln(a)</math>
**<math>(a^x)' = \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}= \lim_{h\to 0}a^x\cdot \frac{a^h-1}{h}=a^x\cdot ln(a)</math>
***בפרט נובע כי <math>(e^x)'=e^x</math>.

<videoflash>pBYSLhpsz9g</videoflash>

<videoflash>NkPt_CFvuhY</videoflash>

*ישר:
**<math>(x)'=\displaystyle{\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)-x}{h} = 1}</math>

===חוקי הגזירה===

*תהיינה f,g גזירות ב<math>x_0</math> אזי:
**<math>(cf)'(x_0)=cf'(x_0)</math>
**<math>(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)</math>
**<math>(f\cdot g)'(x_0) = f'(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g'(x_0)</math>

<videoflash>iiF0siIWius</videoflash>

תהי g גזירה ב<math>x_0</math> ותהי f הגזירה ב<math>g(x_0)</math>:
*<math>(f\circ g)'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(g(x))-f(g(x_0))}{x-x_0}</math>
*תהי סדרה <math>x_0\neq x_n\to x_0</math>.
*רוצים לומר ש<math>\frac{f(g(x_n))-f(g(x_0))}{x_n-x_0}= \frac{f(g(x_n))-f(g(x_0))}{g(x_n)-g(x_0)}\cdot \frac{g(x_n)-g(x_0)}{x_n-x_0}\to f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)</math>.
*אמנם <math>g(x_n)\to g(x_0)</math> בגלל שהרציפות נובעת מהגזירות, אבל לא ידוע ש<math>g(x_n)\neq g(x_0)</math> ובמקרה זה אנחנו כופלים ומחלקים באפס.
*אם יש תת סדרה <math>a_n</math> של <math>x_n</math> עבורה <math>g(a_n)=g(x_0)</math> אזי <math>\frac{g(a_n)-g(x_0)}{a_n-x_0}=0</math> ולכן <math>g'(x_0)=0</math>.
*לכן <math>f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)=0</math>.
*כמו כן, <math>\frac{f(g(a_n))-f(g(x_0))}{a_n-x_0}=0</math>.
*לכן בכל מקרה קיבלנו כי <math>\frac{f(g(x_n))-f(g(x_0))}{x_n-x_0}\to f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)</math>
*סה"כ <math>(f\circ g)'(x_0)=f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)</math>.

<videoflash>uMPXs9PwxZ4</videoflash>

===נגזרת של חזקה===
*עבור <math>x>0</math> מתקיים <math>(x^\alpha)'=(e^{ln\left(x^\alpha\right)})' = (e^{\alpha\cdot ln(x)})' = e^{\alpha\cdot ln(x)}\cdot \frac{\alpha}{x} = x^\alpha \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha-1}</math>

*עבור חזקות בהן הביטוי מוגדר, <math>(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}</math> גם עבור <math>x\leq 0</math> (לפי תכונות של פונקציות זוגיות ואי זוגיות, ובאפס לפי חישוב ישיר).

*חזקה:
**<math>(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}</math> לכל <math>\alpha\in \mathbb{R}</math>, הוכחה בהמשך.
*בפרט:
**<math>(1)'=0</math>
**<math>(\frac{1}{x})' = (x^{-1})'=-\frac{1}{x^2}</math>
**<math>(\sqrt{x})'=(x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}</math>
** עבור <math>x>0</math> מתקיים <math>(\sqrt[3]{x})'=(x^{\frac{1}{3}})'=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}</math> וכיוון שהפונקציה אי זוגית נובע שהנגזרת שווה לביטוי הזה גם לשאר ערכי x.

<videoflash>UQnqIRrf12E</videoflash>

*דוגמא: חישוב הנגזרת של <math>x^x</math>

===נגזרת מנה===
תהיינה f,g גזירות בנקודה x כך ש <math>g(x)\neq 0</math>:
*נזכור כי <math>(\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}</math>
*אזי בנקודה x מתקיים: <math>\left(\frac{f}{g}\right)'=\left(f\cdot \frac{1}{g}\right)' = f'\cdot \frac{1}{g} + f\cdot \frac{-g'}{g^2} = \frac{f'g-g'f}{g^2}</math>

<videoflash>Iag0TdjdFnM</videoflash>

===פונקציות הופכיות ונגזרתן===

*טענה: תהי <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> הפיכה ורציפה. ונניח כי היא גזירה בנק' <math>a<x_0<b</math> כך ש <math>f'(x_0)\neq 0</math>.
:אזי <math>f^{-1}</math> גזירה בנק' <math>f(x_0)</math> ומתקיים כי
:<math>(f^{-1})'(f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)}</math> או בנוסח אחר-
:<math>(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}</math>
**הוכחה:
**<math>(f^{-1})'(f(x_0)) = \lim_{y\to f(x_0)}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(f(x_0))}{y-f(x_0)}</math>
**תהי <math>f(x_0)\neq y_n\to f(x_0)</math> ונסמן <math>x_n=f^{-1}(y_n)</math>.
**אזי מתוך רציפות וחח"ע נובע כי <math>x_0\neq x_n\to f^{-1}(f(x_0))=x_0</math>
**<math>\frac{f^{-1}(y_n)-f^{-1}(f(x_0))}{y_n-f(x_0)} = \frac{x_n-x_0}{f(x_n)-f(x_0)} \to \frac{1}{f'(x_0)}</math>

*דוגמא חשובה:
*<math>tan:(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\to\mathbb{R}</math> הפיכה וההופכית שלה נקראית <math>arctan</math>.
*<math>tan^2(x)+1 = \frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}+1 = \frac{1}{cos^2(x)}</math>
*<math>arctan'(x) = \frac{1}{\frac{1}{cos^2(arctan(x))}} = \frac{1}{tan^2(arctan(x))+1}=\frac{1}{1+x^2}</math>

*הנגזרות של <math>arcsin,arccos</math>

<videoflash>n9WMYrhb-6I</videoflash>

<videoflash>sryeJtePu_U</videoflash>

==פרק 6 - חקירה==

===משפט ערך הביניים===
*תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> כאשר <math>a<b\in\mathbb{R}</math>.
*עוד נניח כי <math>f(a)\leq 0</math> וכן <math>f(b)\geq 0</math>.
*אזי קיימת נקודה <math>c\in[a,b]</math> כך ש <math>f(c)=0</math>

*תהי f רציפה ב<math>[0,1]</math> כך ש<math>f(1)=2</math>, הוכיחו שקיימת נק' <math>c\in [0,1]</math> עבורה <math>f(c)=\frac{1}{c}</math>
**נעביר אגף ונביט בפונקציה <math>h(x)=f(x)-\frac{1}{x}</math> שצריך למצוא שורש שלה.
**<math>h(1)>0</math>.
**<math>\lim_{x\to 0^+}h(x)=f(0)-\infty=-\infty</math> ולכן קיימת נקודה <math>0<d<1</math> עבורה <math>h(d)<0</math>.
**לפי משפט ערך הביניים בקטע <math>[d,1]</math> קיימת נק' המאפסת את הפונקציה h.

<videoflash>WdKVN6R0NfU</videoflash>

<videoflash>pZXEn6KWtMY</videoflash>

===משפטי ויירשטראס===
*פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - חסומה.
*פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - מקבלת מינימום ומקסימום.

<videoflash>FPlpOmNQiAE</videoflash>

===משפט פרמה===
*אם פונקציה גזירה בנק' קיצון מקומי, הנגזרת שווה שם לאפס.
*ההפך אינו נכון, ייתכן שהנגזרת תתאפס אך בנקודה לא יהיה קיצון ואף לא פיתול.

<videoflash>Vlsum5uohMo</videoflash>

===משפט רול===
**תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> כך ש <math>f(a)=f(b)</math> אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>f'(c)=0</math>
*כלומר, פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח, שמקבלת את אותו ערך בקצוות - הנגזרת שלה מתאפסת בנקודה כלשהי בקטע הפתוח.

*לפולינום מדרגה n יש לכל היותר n שורשים שונים.

<videoflash>hmdp_jj9fx0</videoflash>

===משפט לגראנז' ותחומי עלייה וירידה===

*פונקציה f נקראת עולה בתחום A אם לכל <math>x_1<x_2\in A</math> מתקיים כי <math>f(x_1)\leq f(x_2)</math>
*פונקציה f נקראת יורדת בתחום A אם לכל <math>x_1<x_2\in A</math> מתקיים כי <math>f(x_1)\geq f(x_2)</math>

*תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
*כלומר קיימת נקודה בה השיפוע שווה לשיפוע המיתר בין שתי הנקודות בקצוות הקטע.

*תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> אזי f עולה בקטע <math>[a,b]</math> אם ורק אם <math>f'(x)\geq 0</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>
*כמו כן, באותם תנאים, אם <math>f'(x)\geq 0</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אזי <math>f(a)<f(b)</math> או שהפונקציה קבועה ב<math>[a,b]</math> ונגזרתה שווה אפס בקטע <math>(a,b)</math>

<videoflash>3DXDneBUnK8</videoflash>

*דוגמא
*יהי <math>a\in\mathbb{R}</math> מצאו כמה פתרונות יש למשוואה <math>sin(x)=x+a</math>

<videoflash>zX9XkY_mdDQ</videoflash>

===משפט קושי (לגראנז' המוכלל)===

*תהיינה f,g רציפות ב<math>[a,b]</math> וגזירות ב<math>(a,b)</math> כך ש<math>g'\neq 0</math> בקטע <math>(a,b)</math>.
*אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}</math>

*הוכחת משפט לגראנז' המוכלל, שמוכיח גם את משפט לגראנז' עצמו כמקרה פרטי.
**ראשית, כיוון ש<math>g'(x)\neq 0</math> בקטע <math>(a,b)</math> נובע לפי רול כי <math>g(a)\neq g(b)</math> ולכן מותר לחלק בהפרש ביניהם.
**<math>h(x)=f(x)-f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))</math>
**<math>h(a)=h(b)=0</math> ולכן לפי רול קיימת נק' <math>c\in (a,b)</math> עבורה <math>h'(c)=0</math> וזה מה שרצינו להוכיח.
**(שימו לב שמותר לחלק ב<math>g'(c)</math>.)
**עבור <math>g(x)=x</math> נקבל את משפט לאגראנז' הרגיל.

<videoflash>PTtcansFGJQ</videoflash>

===[[כלל לופיטל]]===
*תהיינה פונקציות כך ש <math>f,g\to 0</math> או <math>f,g\to \infty</math> ונניח כי <math>\frac{f'}{g'}\to L</math> אזי גם <math>\frac{f}{g}\to L</math>

<videoflash>PaDFSrtsOE4</videoflash>

====משפט סדרי הגודל====

*לכל <math>0<a,b</math> מתקיים כי:

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x^a}{(e^x)^b} =0} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x^a}{\ln^b(x)} =\infty} </math>

====דוגמאות נוספות====

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to 1} \frac{\ln(x)}{\sin(\pi x)} =-\frac{1}{\pi}} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x}{sin(x)+2+x} =1} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} xe^{\frac{1}{x}} =\infty} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \sqrt[x]{x} =1} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} x\ln(x) =0} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} x^x =1} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x}+\ln(x) =\infty} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \left(\sin(x)\right)^{\tan^2(x)} =\frac{1}{\sqrt{e}}} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to(-\infty)} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} =-1} </math>

====הוכחת כלל לופיטל בשני המקרים====

<videoflash>bqLDkGRLUYI</videoflash>

<videoflash>0RjBoccpjo8</videoflash>

אהבתם חדו"א 1? אז תעופו על [[חדוא 2 - ארז שיינר|חדו"א 2]]!

משפט ז'ורדן

2022-12-08T10:06:58Z

רגב991: /* תכונות של מטריצת ז'ורדן */

==בלוק ז'ורדן==
בלוק ז'ורדן הינו מטריצה ריבועית מהצורה
::<math>J_n(\lambda):=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots &\vdots \\\vdots & \ddots & \ddots &\lambda & 1\\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda \end{pmatrix}</math>

לדוגמא,

::<math>J_3(0)=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>, <math>J_3(2)=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}</math>

נזכר בסימון של סכום ישר של מטריצות, לדוגמא:
<math>J_1(2)\oplus J_2(0)\oplus J_2(2)= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix}</math>

==משפט ז'ורדן==
תהי A מטריצה ריבועית, כך ש[[הפולינום האופייני]] שלה מתפרק לגורמים לינאריים. אזי A דומה למטריצה אלכסונית בלוקים, כאשר כל בלוקיה הם בצורת ז'ורדן.
בנוסף, צורה זו יחידה עד כדי סדר הבלוקים.

==תכונות של מטריצת ז'ורדן==
תהי מטריצה <math>A</math> הניתנת לז'ירדון. אזי:
*כמות בלוקי הז'ורדן בצורת הז'ורדן המתאימים לע"ע מסויים, היא הריבוי הגיאומטרי של אותו ע"ע.
*גודל בלוק הז'ורדן המקסימלי של ע"ע מסויים הוא החזקה של הגורם הלינארי המתאים לו בפולינום המינימלי.

'''דוגמא'''

מהן צורת הז'ורדן האפשריות עבור מטריצה בעלת פולינום אופייני <math>f_A(x)=(x-1)^4(x-2)^3</math> ופולינום מינימלי
<math>m_A(x)=(x-1)^2(x-2)^3</math>

'''תשובה'''

*<math>J_2(1)\oplus J_2(1) \oplus J_3(2)</math>
*<math>J_2(1)\oplus J_1(1) \oplus J_1(1) \oplus J_3(2)</math>

'''דוגמא'''

הוכיחו כי כל מטריצה דומה למשוחלפת של עצמה.

'''דוגמא'''

הוכיחו כל כל שתי מטריצות מרוכבות ריבועיות מסדר 3 בעלות אותו הפולינום האופייני ואותו הפולינום המינימלי דומות

'''דוגמא'''

הוכיחו/הפריכו: מטריצות מרוכבות בעלות אותו פולינום אופייני, אותו פולינום מינימלי ואותו ריבוי גיאומטרי עבור כל ערך עצמי הן דומות

'''הפרכה'''

*<math>J_3(0)\oplus J_3(0) \oplus J_1(0)</math>
*<math>J_3(0)\oplus J_2(0) \oplus J_2(0)</math>

'''דוגמא'''

תהיינה שתי מטריצות משולשיות עליונות עם אותו מספר קבוע על האלכסון, כך שכל הקבועים באלכסון המשני גדולים ממש מאפס. הוכיחו כי הן דומות.

==הוכחה ומציאת מטריצה מז'רדנת==

[[מדיה:JordanAll.pdf|סיכום בנושא משפט ז'ורדן על ידי דר' בועז צבאן]]

[[מדיה:זרדון מטריצה.pdf|סיכום הכללים, האלגוריתם ודוגמאות על ידי גיא בלשר]] - [[משתמש:גיא|גיא]]

==אלגוריתם לז'ירדון מטריצה==

תהי A מטריצה כך שהפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים.

*נמצא את הפולינום המינימלי של המטריצה A. נסמן את הערכים העצמיים של המטריצה ב <math>\lambda_1,...,\lambda_n</math>

*עבור כל ע"ע <math>\lambda</math> נמצא בסיס מז'רדן עבור המרחב העצמי המוכלל <math>K_\lambda</math> באופן הבא:

:*נסמן ב k את החזקה של הגורם האי פריק <math>(x-\lambda)</math> בפולינום המינימלי

:*נמצא בסיס ל <math>V_\lambda\cap C([A-\lambda I]^{k-1})</math> באופן הבא:

::*נביט במטריצה <math>(A-\lambda I)^{k-1}</math> ונבחר עמודות <math>C_{i_1}([A-\lambda I]^{k-1}),...,C_{i_p}([A-\lambda I]^{k-1})</math> המהוות בסיס למרחב העמודות <math>C([A-\lambda I]^{k-1})</math>

::*נפתור את מערכת המשוואות <math>x_1(A-\lambda I)C_{i_1}([A-\lambda I]^{k-1}) + ... + x_p(A-\lambda I)C_{i_p}([A-\lambda I]^{k-1})=0</math>

::*לכל וקטור <math>x=(x_1,...,x_n)</math> בבסיס למרחב הפתרונות למערכת נסמן <math>u_x=x_1e_{i_1}+...+x_pe_{i_p}</math>. '''הערה''': שימו לב כי תמיד מתקיים <math>C_i(A)=Ae_i</math> כאשר <math>e_i</math> הוקטור ה-i בבסיס הסטנדרטי.

::*עבור כל וקטור x בבסיס למרחב הפתרונות נוסיף את כל הוקטורים במסלול <math>(A-\lambda I)^{k-1}u_x, (A-\lambda I)^{k-2}u_x,...,(A-\lambda I)u_x,u_x</math> לבסיס בסדר משמאל לימין.

:*באופן דומה נמצא בסיס עבור <math>V_\lambda\cap C([A-\lambda I]^{k-2})</math> ונוסיף ממנו איברים לבסיס שמצאנו עד כה ובלבד שלא תיווצר תלות לינארית.

:*נמשיך בתהליך עבור <math>V_\lambda\cap C([A-\lambda I]^{k-3}),...,V_\lambda</math> עד שיהיו לנו וקטורים בבסיס כמספר הריבוי האלגברי של <math>\lambda</math>.

*נאחד את הבסיסים המז'רדנים למרחבים המוכללים לכדי בסיס B למרחב כולו, זהו הבסיס המז'רדן של המטריצה

*נשים את איברי הבסיס B בעמודות מטריצה P. מתקיים כי <math>J=P^{-1}AP</math> הינה צורת הז'ורדן של המטריצה A.

==דוגמאות==

===ז'ירדון של מטריצה ניליפוטנטית===
מצאו בסיס מז'רדן למטריצה הבאה:

:<math>A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 0 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{pmatrix}</math>

*ראשית, נחשב את הפולינום האופייני <math>p_A(x)=x^5</math>, כלומר זוהי מטריצה ניליפוטנטית

*שנית, נמצא את הפולינום המינימלי <math>m_A(x)=x^3</math>, בפרט המטריצה ניליפוטנטית מסדר 3

*כעת נמצא בסיס ל <math>C(A^{3-1})</math> מהצורה <math>A^2v_1,A^2v_2,...,A^2v_k</math> באופן הבא:
**נבחר עמודות של המטריצה <math>A^2</math> המהוות בסיס ל- <math>C(A^2)</math>
**כל עמודה i שבחרנו ניתן להציג כ- <math>A^2e_i</math>

:<math>A^2=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & -1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{pmatrix}</math>

לכן בסיס למרחב העמודות הינו <math>A^2e_1</math>

*כעת המסלול <math>A^2e_1,Ae_1,e_1</math> הוא חלק של הבסיס המז'רדן '''משמאל לימין'''. שימו לב שסדר הוקטורים בבסיס המז'רדן חשוב מאד.

*השלב הבא הוא להשלים את הבסיס שמצאנו (<math>A^2e_1</math>) לבסיס למרחב <math>N(A)\cap C(A^{3-2})=N(A)\cap C(A)</math> מהצורה <math>Av_1,Av_2,...,Av_p</math> באופן הבא:
**נבחר בסיס <math>u_1,...,u_r</math> למרחב העמודות <math>C(A)</math>
**נפתור את המערכת <math>A(a_1u_1+...+a_ru_r)</math> על מנת למצוא בסיס ל <math>N(A)\cap C(A)</math>
**נשמיט וקטורים על מנת שלא תהא תלות לינארית בבסיס שבחרנו עד כה

בדוגמא שלנו, העמודה הראשונה, השנייה והחמישית מהוות בסיס למרחב העמודות של A:

:<math>u_1= (0,0,0,1,0)</math>

:<math>u_2= (1,0,-1,0,0)</math>

:<math>u_3= (-1,1,1,0,0)</math>

כעת נפתור את המערכת <math>a_1Au_1+a_2Au_2+a_3Au_3=0</math>, זהו בדיוק מרחב האפס של המטריצה שעמודותיה הן <math>Au_1,Au_2,Au_3</math>:

:<math>N \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\

\end{pmatrix} = span\{(0,1,0),(-1,0,1)\}</math>

כיוון שאלו המקדמים <math>a_1,a_2,a_3</math> אנו מקבלים את בסיס ל <math>N(A)\cap C(A)</math>:

:<math>\{u_2,u_3-u_1\}=\{Ae_2,A(e_5-e_1)\}</math>

'''הערה''': שימו לב ש<math>u3=Ae_5</math> כיוון שזו העמודה '''החמישית'''

כיוון ש <math>Ae_2=A^2e_1</math> אנו משמטים איבר זה ונשארים עם <math>A(e_5-e_1)</math>

*המסלול <math>A(e_5-e_1),e_5-e_1</math> משלים לנו את הבסיס המז'רדן.

====סיכום====
הבסיס המז'רדן הינו

:<math>A^2e_1,Ae_1,e_1,A(e_5-e_1),e_5-e_1</math>

נסמן בP את המטריצה שעמודותיה הן איברי הבסיס

:<math>P=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\

\end{pmatrix}</math>

אזי (לא במפתיע) מתקיימת המשוואה הבאה:

:<math>P^{-1}AP=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{pmatrix}</math>

כלומר זו צורת הז'ורדן של המטריצה A.

===ז'ירדון של מטריצה עם ע"ע יחיד===

מצאו בסיס מז'רדן למטריצה הבאה:

:<math>A=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 2 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\
\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 2.5 & 2 \\

\end{pmatrix}</math>

*ראשית נמצא את הפולינום האופייני <math>p_A(x)=(x-2)^6</math>, כלומר 2 הינו הערך העצמי היחיד

*לפי משפט קיילי המילטון <math>(A-2I)^6=0</math> ולכן <math>A-2I</math> ניליפוטנטית.

*נמצא לה צורת ז'ורדן <math>J=P^{-1}(A-2I)P = P^{-1}AP - P^{-1}2IP = P^{-1}AP-2I</math>

*לכן צורת הז'ורדן של המטריצה A הינה <math>J+2I</math>, כאשר הבסיס המז'רדן הוא אותו בסיס המז'רדן את <math>A-2I</math>.

:<math>A-2I=\begin{pmatrix}
0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 2.5 & 0 \\

\end{pmatrix}</math>

*כעת <math>(A-2I)^2=0</math>, לכן נמצא בסיס ל<math>C(A-2I)</math>

*העמודה הראשונה, השנייה והחמישית פורסות את מרחב העמודות של המטריצה ולכן הבסיס הינו <math>(A-2I)e_1,(A-2I)e_2,(A-2I)e_5</math>

*בסיס זה מייצר שלושה מסלולים מאורך שתים, ולכן מצאנו מיד בסיס מז'רדן:

:<math>(A-2I)e_1,e_1,(A-2I)e_2,e_2,(A-2I)e_5,e_5</math>

:<math>P=\begin{pmatrix}
0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 & 2.5 & 0 \\

\end{pmatrix}</math>

ושוב, הפלא ופלא, מתקיים:

:<math>P^{-1}AP=\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\

\end{pmatrix}</math>

88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 3

2022-09-16T13:05:37Z

רגב991: /* תרגיילים נוספים */

'''[[מתמטיקה בדידה - מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]'''

==יחסי סדר==
'''הגדרה:''' יחס R על A נקרא '''אנטי-סימטרי''' אם מתקיים <math>\forall x,y\in A:[(x,y)\in R]\and[(y,x)\in R] \rightarrow (x=y)</math>

כלומר, אם <math>x\neq y</math> אז לא יכול להיות שמתקיים היחס בין x לבין y '''וגם''' היחס בין y לx.

'''הגדרה:''' יחס R על A נקרא '''יחס סדר חלקי''' אם R רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי

דוגמאות ליחסי סדר חלקי:
*היחס 'קטן-שווה' על המספרים
*היחס 'מוכל-שווה' על הקבוצות
*היחס 'מחלק את ' על הטבעיים

'''הגדרה.''' דיאגרמת הסה Hasse הינה דיאגרמה של יחס סדר חלקי על קבוצה. כל איבר המקושר לאיבר מתחתיו 'גדול' ממנו ביחס. נצייר את דיאגרמת הסה ליחס הכלה על קבוצת החזקה של הקבוצה <math>A=\{1,2,3\}</math>.

'''הגדרה:''' יהי R יחס על A, אזי '''היחס ההופכי''' מוגדר להיות <math>R^{-1}=\{(y,x)|(x,y)\in R\}</math>

====תרגיל====

הוכח שאם R יחס סדר חלקי, גם ההופכי שלו יחס סדר חלקי

=====פתרון=====
*רפלקסיביות: לכל איבר a מתקיים <math>(a,a)\in R</math> ולכן <math>(a,a)\in R^{-1}</math>
*טרנזיטיביות: נניח <math>(x,y),(y,z)\in R^{-1}</math> לכן מתקיים <math>(y,x),(z,y)\in R</math> לכן לפי הטרנזיטיביות של R מתקיים <math>(z,x)\in R</math> ולכן <math>(x,z)\in R^{-1}</math>.
*אנטי-סימטריות: אם x ביחס לy וגם y ביחס לx הדבר נכון באופן זהה לR ולהופכי שלו, ולכן x=y.

==איברים מיוחדים==

'''הגדרות.''' יהיו A קבוצה וR יחס סדר חלקי על הקבוצה:
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''מינמלי''' ביחס לR אם <math>\forall y\in A:(y,x)\in R \rightarrow y=x</math>. כלומר, אין איבר 'קטן' מx. לא חייב להתקיים ש-x ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''מקסימלי''' ביחס לR אם <math>\forall y\in A:(x,y)\in R \rightarrow y=x</math>. כלומר, אין איבר 'גדול' מx. לא חייב להתקיים ש-x ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''איבר קטן ביותר/מינימום''' ביחס לR אם <math>\forall y\in A:(x,y)\in R</math>. כלומר, x 'קטן' מכל האיברים. x חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. (דוגמא: הקבוצה הריקה תחת יחס הכלה)
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''איבר גדול ביותר/מקסימום''' ביחס לR אם <math>\forall y\in A:(y,x)\in R</math>. כלומר, x 'גדול' מכל האיברים. x חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. (דוגמא: הקבוצה B תחת יחס ההכלה על קבוצת החזקה של B)

מינוח/סימון: עבור קבוצה A נסמן לעיתים יחס סדר ב <math>\leq</math>. לא להתבלבל עם ה"קטן שווה" ה"רגיל"!. אם A קבוצה ו <math>leq</math> יחס סדר עליה, נסמן <math>(A,\leq)</math> ונקרא ל A קבוצה סדורה חלקית. עוד נאמר במקרה זה כי איבר x קטן שווה מאיבר y אם מתקיים <math>x\leq y</math>

הערה: קל להוכיח מתוך תכונת האנטי-סימטריות שאם קיים איבר מינימום הוא יחיד (למרות שהוא לא חייב להיות קיים), ונכון הדבר לגבי המקסימום.

הערה: מינימום <math>\leftarrow</math> מינימלי, וכן מקסימום <math>\leftarrow</math> מקסימלי, ולא להיפך!

====דוגמא====

נביט בקבוצה <math>A=\{1,2,3,4,5\}</math> ונגדיר עליה יחס סדר חלקי:

<math>R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(2,4),(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)\}</math>

(הזוגיים 'גדולים' מכל אי הזוגיים ומהזוגיים הקטנים מהם)

*5,3,1 הינם איברים מינימליים שכן אין איבר שקטן מאף אחד מהם. הם אינם מינימום כי אף אחד מהם לא קטן מכל האיברים האחרים.
*4 הינו מקסימום של הקבוצה, הוא בוודאי מקסימלי
*2 קטן מחלק מהאיברים וגדול מאחרים לכן הוא כלום.

==== תרגיל ====
תהא <math>(A,\leq)</math> קבוצה סדורה. הוכיחו/הפריכו: אם x מיני' יחיד אזי הוא איבר קטן ביותר

==== תרגיל ====
תהא <math>(A,\leq)</math> קבוצה סדורה. הוכיחו/הפריכו: אם x מינימאלי יחיד ו y מקסימאלי יחיד אזי <math>x\leq y</math>

==== תרגיל ====
תהא <math>(A,\leq)</math> קבוצה סדורה סופית לא ריקה. הוכיחו: קיים איבר מינימאלי.

=====פתרון=====
באינדוקציה על גודל הקבוצה <math>|A|=n</math>. עבור <math>n=1</math> האיבר מינימאלי.
נניח נכונות עבור <math>|A|=n-1</math> ותהא <math>|A|=n</math>. קיים <math>a\in A</math>, ונתבונן בקבוצה הסדורה <math>(A\smallsetminus \{a\},\leq )</math>, שם יש מינימאלי שנסמנו <math>b</math>.

נחזור כעת ל-<math>A</math>. נחלק למקרים:

אם <math>a\not \leq b</math> אז <math>b</math> מינימאלי גם ב-<math>A</math> (תרגיל לסטודנטים).

אם <math>a\leq b</math> אז <math>a</math> מינימאלי ב-<math>A</math>. כי אם מישהו שונה ממנו מתחתיו אז גם מתחת <math>b</math> (טרנזיטיביות) וכיון ש-<math>b</math> מינימאלי ב-<math>A\smallsetminus \{a\}</math> נקבל שזה <math>b</math> בסתירה לכך ש- <math>a\leq b\land a\neq b</math>.

===הגדרה===

יהי R יחס סדר חלקי על A. אם לכל שני איברים a,b בA מתקיים <math>[(a,b)\in R]\or[(b,a)\in R]</math> אזי R נקרא '''יחס סדר קווי/לינארי'''.

====תרגיל====
יהא <math>(A,\leq)</math> קבוצה סדורה קווית. הוכיחו כי אם x מינמאלי אז x קטן ביותר.

==חסמים==

'''הגדרות.''' יהיו A קבוצה, B קבוצה המוכלת בה וR יחס סדר חלקי:
*חסם מלעיל של B הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(y,x)\in R </math>
*חסם מלרע של B הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(x,y)\in R </math>
*החסם העליון (סופרמום) של B הינו המינימום של קבוצת חסמי המלעיל (אם קיים). מסומן <math>sup(B)</math>
*החסם התחתון (אינפימום) של B הינו המקסימום של קבוצת חסמי המלרע (אם קיים). מסומן <math>inf(B)</math>

====דוגמא.====

נשוב לדוגמא הקודמת. נביט בתת הקבוצה המכילה את המספרים האי זוגיים בלבד <math>B=\{1,3,5\}</math>. קבוצת חסמי המלעיל של B הינה <math>\{2,4\}</math>. המינימום של קבוצה זו הוא 2 ולכן הוא החסם העליון של B. אין חסם מלרע ל-B ולכן בוודאי אין לה חסם תחתון.

====דוגמא====
נביט במספרים הממשיים ובתת הקבוצה של כל המספרים עם מספר סופי של ספרות ששווים לספרות הראשונות של שורש 2. <math>B=\{1,1.4,1.41,1.414,1.4142,...\}</math>. חסמי המלעיל של הקבוצה הינם כל המספרים שגדולים או שווים לשורש 2 ואילו שורש 2 הוא החסם העליון של הקבוצה.

שימו לב, אם נביט בקבוצה B כתת קבוצה של המספרים הרציונאליים, חסמי המלעיל שלה יהיו כל האיברים הגדולים משורש 2 אך מכיוון ששורש 2 אינו רציונאלי, אין לB חסם עליון.

====דוגמא (בהרצאה בד"כ)====
נביט בקבוצת הטבעיים, ובתת קבוצה סופית שלה B. נביט ביחס "מחלק את". הסופרמום של B הוא המכפלה המשותפת המינימלית (lcm), והאינפימום הוא המחלק המשותף המקסימלי(gcd).

למשל <math>sup\{12,33,10\}=lcm(12,33,10)=3\cdot 4 \cdot 11 \cdot 5, inf\{12,33,10\}=gcd(12,33,10)=1</math>

====דוגמא (בהרצאה בד"כ)====
עבור <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> אוסף תתי קבוצות של A. החסם העליון שלה ב <math>(P(A),\subseteq)</math> הוא
<math>\cup _{i\in I} A_i </math> והחסם התחתון (אם זה אוסף לא ריק) שלהם הוא<math>\cap_{i\in I}A_i</math>

==== תרגיל====
מצאו <math>X\subseteq P(\mathbb{N})</math> כך שבקבוצה הסדורה <math>(X,\subseteq)</math> קיים B שאין לו חסם עליון.

==== תרגיל====
עבור <math>X\subseteq P(\mathbb{N})</math>, נסתכל בקבוצה הסדורה <math>(X,\subseteq)</math> וב <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> אוסף תתי קבוצות של <math>\mathbb{N}</math>.

הוכיחו/הפריכו: אם <math>\cup_{i\in I}A_i \not\in X</math> אזי ל <math>\{A_i\mid i\in I\}</math> אין חסם עליון.

=== יחס סדר מילוני ===

יהיו <math>(A,\leq),(B,\preceq)</math> שתי קבוצות סדורות חלקית.

על <math>A\times B</math> ניתן להגדיר את '''היחס המילוני''' <math>R</math> ע"י

<math>(a_1,b_1)R(a_2,b_2)\iff (a_1 < a_2) \lor (a_1 = a_2 \land b_1 \preceq b_2)</math>

==== דוגמא ====
נסתכל על <math>\mathbb{N}\times \mathbb{N}</math> עם הסדר המילוני.

נגדיר <math>B = \{(1,x) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>sup(B)=(2,1),inf(B)=(1,1)</math>

נגדיר <math>B = \{(x,1) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>inf(B)=(1,1)</math> ו sup לא קיים.

*שימו לב ש <math>(1,1)</math> הוא איבר קטן ביותר

=== מכפלה של יחסי סדר ===

יהיו <math>(A,\leq),(B,\preceq)</math> שתי קבוצות סדורות חלקית.

על <math>A\times B</math> ניתן להגדיר את היחס <math>R</math> הבא:

<math>(a_1,b_1)R(a_2,b_2)\iff (a_1 \leq a_2) \land ( b_1 \preceq b_2)</math>

זהו יחס סדר:

הוכחה:

1. רפקלסיביות: לכל <math>a,b</math> מתקיים כי <math>a\leq a, b\preceq b</math> ולכן <math>(a,b)R(a,b)</math>

2. אנטי סימטריות: אם <math>(a,b)R(a1,b1)</math> וגם <math>(a1,b1)R(a,b) </math> אז <math>a\leq a1, b\preceq b1</math> וגם <math>a1\leq a, b1 \preceq b</math>, כיוון שאלו יחס סדר נקבל כי <math>a=a1,b=b1</math>

3. טרנז' - תרגיל

==== דוגמה ====
נסתכל על <math>\mathbb{N}\times \mathbb{N}</math> אם הסדר המוגדר לעיל.

נגדיר <math>B = \{(1,x) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>inf(B)=(1,1)</math> ו sup לא קיים

נגדיר <math>B = \{(x,1) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>inf(B)=(1,1)</math> ו sup לא קיים.

*שימו לב ש <math>(1,1)</math> הוא איבר קטן ביותר.

==== תרגיל ====
נסתכל על <math>\mathbb{N}\times \mathbb{Z}</math> ותתי הקבוצות
*<math>B_1 = \{(4,-x) | x\in \mathbb{N} \}</math>
*<math>B_2 = \{(4,x) | x\in \mathbb{N} \}</math>
*<math>B_3 = \{(x,4) | x\in \mathbb{N} \}</math>

#מצאו, אם קיימים, sup ו inf לקבוצות <math>B_2,B_3</math> כאשר <math>(\mathbb{N},\leq)</math> ו <math>(\mathbb{Z},\leq)</math> ו <math>\mathbb{N}\times \mathbb{Z}</math> עם יחס המכפלה
#מצאו, אם קיימים, sup ו inf לקבוצות <math>B_1,B_2</math> כאשר <math>(\mathbb{N},|)</math> ו <math>(\mathbb{Z},\leq)</math> ו <math>\mathbb{N}\times \mathbb{Z}</math> עם היחס המילוני

==== תרגיל ====
נסתכל על <math>\mathbb{N}\times (0,1]</math> ותתי הקבוצה <math>B = \{(4,\frac{1}{n+1}) | n\in \mathbb{N} \}</math>

מצאו, אם קיימים, sup ו inf לקבוצות <math>B</math> כאשר <math>(\mathbb{N},|)</math> ו <math>(0,1],\leq)</math> ו <math>\mathbb{N}\times (0,1]</math> עם היחס המילוני

==== תרגיל ====
יהיו <math>(A,\leq),(B,\preceq)</math> שני יחסי סדר משווים

הוכיחו/הפריכו:
#יחס המכפלה על <math>A\times B</math> הוא משווה.
#היחס המילוני על <math>A\times B</math> הוא משווה.

==== תרגיל ====
#תנו דוגמה לקסח <math>\left(A,\leq\right)</math> לא סופי המקיים כי: <math>\left\{ B\subseteq A\mid\,\exists\inf B\right\} =\left\{ B\subseteq A\mid\,\exists\sup B\right\}</math> .
#תנו דוגמה לקסח <math>\left(A,\leq\right)</math> המקיים כי: <math>\left\{ B\subseteq A\mid\,\exists\sup B\right\}=\emptyset</math> .

==תרגילים נוספים==

===תרגיל ממבחן===

הגדרה: תת קבוצה A של המספרים הממשיים נקראת 'מגניבה' אם לכל x,y בA כך ש-x שונה מ-y מתקיים שההפרש x-y אינו רציונאלי.

תהי B קבוצה מגניבה מקסימלית ביחס להכלה, הוכח שלכל מספר ממשי שאינו שייך לB קיים איבר בB כך שההפרש בינהם הוא רציונאלי.

'''הוכחה.'''

נניח בשלילה שקיים איבר ממשי r שאינו בB, ולכל איבר b ב-B ההפרש r-b אינו רציונאלי. לכן אם נוסיף את r ל-B נקבל קבוצה מגניבה המכילה ממש את B (ולא שווה לה) בסתירה למקסימאליות של B.

===תרגיל===

נביט בQ אוסף השברים המצומצמים. נביט בR היחס המוגדר על ידי <math>(\frac{m_1}{n_1},\frac{m_2}{n_2})</math> אם <math>(m_1\leq m_2)\and(n_1\leq n_2)</math>. הוכיחו/הפריכו: R הינו יחס סדר חלקי.

'''פתרון.'''

נבדוק את תכונות היחס:
*רפלקסיביות - ברור.
*אנטי-סימטריות - אם <math>(m_1\leq m_2)\and(n_1\leq n_2)</math> וגם <math>(m_1\geq m_2)\and(n_1\geq n_2)</math> אזי <math>(m_1= m_2)\and(n_1= n_2)</math> ולכן שני השברים המצומצמים שווים.
*טרנזיטיביות - נובעת מהטרנזיטיביות של המונים והמכנים בנפרד.

לכן R הינו יחס סדר חלקי.

שאלה: מה היה קורה אילו לא דרשנו שברים מצומצמים?

=== תרגיל (ממבחן קיץ תשעה מועד ב) ===
תהא <math>X</math> קבוצת כל הסדרות הבינאריות (סדרה בינארית היא <math>a_1a_2a_3\dots</math> כאשר <math>a_n\in \{0,1\}</math>). נגדיר יחס <math>R</math> על <math>X</math> כך:
עבור <math>a=a_1a_2\dots ,b=b_1b_2\dots \in X</math>

<math>aRb \iff \; \forall n\; a_n-b_n \neq (-1)^n</math>

א. הוכיחו ש <math>R</math> יחס סדר על <math>X</math>

ב. קבעו האם <math>R</math> יחס סדר '''מלא''' על <math>X</math>

ג. מצאו (אם קיימים) איבר קטן וגדול ביותר ב <math>X</math> (ביחס ל <math>R</math>)

==== פתרון ====

דרך שקולה לתאר את היחס שמפשטת את השאלה היא כך

<math>aRb \iff \big( \forall k \; a_{2k}=1 \Rightarrow b_{2k}=1, \; a_{2k-1}=0\Rightarrow b_{2k-1}=0\big)</math>

כלומר במיקומים הזוגיים, אם a שווה 1 אז זה גורר ש b שווה 1

ובמיקומים האי זוגיים, אם a שווה 0 אז זה גורר ש b שווה 0

א. תרגיל לבד!

ב. לא סדר מלא, למשל <math>a=000\dots, b=111\dots </math> לא מתייחסים זה לזה.

ג. קימיים, <math>M=010101\dots</math> הינו איבר הגדול ביותר כי לכל <math>a</math> מתקים <math>aRM</math>

<math>m=101010\dots</math> הינו איבר קטן ביותר כי לכל <math>a</math> מתקים <math>mRa</math>

=== תרגיל (מבוחן תשעג)===
יהא <math>A</math> קבוצה. נגדיר <math>O</math>
להיות קבוצת כל יחסי הסדר החלקיים על <math>A</math>, סדורה ע"י הכלה. (כלומר הזוג <math>(O,\subseteq)</math> - במילים אחרות, חושבים על <math>O</math> עם יחס הסדר החלקי "הכלה")

1. יהא <math>R\subseteq A\times A</math> יחס סדר על <math>A</math> הוכיחו: אם<math>R\subseteq A\times A</math> יחס סדר משווה עליה. אז <math>R</math> איבר מקסימלי ב <math>O</math>

2.הוכיח: אם ב <math>A</math> לפחות 2 איברים אז ב <math>(O,\subseteq)</math> אין איברים גדול ביותר

3. הוכיחו/הפריכו: לכל קבוצה לא ריקה <math>B\subseteq\mathbb{O}</math> קיים <math>\inf</math>

4. הוכיחו/הפריכו: לכל קבוצה לא ריקה <math>B\subseteq\mathbb{O}</math> קיים <math>\sup</math>

==== פתרון====
יהא <math>R\subseteq A\times A</math> יחס סדר על <math>A</math> ונניח כי הוא משווה. נוכיח כי הוא איבר מקסמאלית ב <math>O</math>. יהי <math>S\in O</math> יחס סדר חלקי על <math>A</math> המקיים <math>R\subseteq S</math> צ"ל <math>R=S</math>

נניח בשלילה כי <math>R</math> מוכל ממש ב <math>S</math>

אזי קיים <math>(a,b)\in S\land(a,b)\notin R</math>. כיוון ש <math>R</math> יחס מלא אזי מתקיים <math>(b,a)\in R</math>
כיוןן ש <math>R\subseteq S</math> נובע כי <math>(b,a)\in S</math>

מכיוון ש <math>S</math> יחס סדר חלקי (בפרט אנטי סימטרי) אזי <math>a=b</math> (כי גם (<math>a,b)\in S</math>)
אזי קיבלנו כי ּ<math>(a,a)=(a,b)\notin R</math> סתירה לכך ש <math>R</math> יחס סדר מלא ובפרט רפלקסיבי.

=== תרגיל ===
נגדיר <math>X=\left\{ 1,2,3,\dots,10\right\}</math> . עוד נגדיר <math>\mathbb{O}</math> להיות קבוצת כל יחסי השקילות על <math>X</math>.נגדיר יחס <math>\preceq</math> מעל <math>\mathbb{O}</math> על ידי הכלל <math>R_{1}\preceq R_{2}\iff\left(\left|X/R_{1}\right|<\left|X/R_{1}\right|\right)\lor\left(R_{1}=R_{2}\right)</math> כאשר <math>\left|X/R_{1}\right|</math> פירושו מספר האיברים בקבוצת המנה של היחס <math>R_{1}</math>.

1. הוכיחו: כי <math>\preceq</math> הוא יחס סדר על <math>\mathbb{O}</math>.

2. הוכיחו/הפריכו: זהו יחס סדר קווי

3. מצאו, אם קיימים, איבר קטן ביותר ב<math>\left(\mathbb{O},\preceq\right)</math> ואיבר גדול ביותר ב <math>\left(\mathbb{O},\preceq\right)</math>

=== תרגיל ===
תהא <math>A=\left\{ \left(a_{1},a_{2},a_{3}\right):\,a_{1},a_{2},a_{3}\in\mathbb{N}\right\} =\mathbb{N}^{3}</math>. נגדיר יחס סדר (אין צורך להוכיח)<math>\leq</math> על A כך <math>\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)\leq\left(b_{1},b_{2},b_{3}\right)\iff\forall i\in\left\{ 1,2,3\right\} :\,a_{i}\leq b_{i}</math>

#מצאו <math>m\in A</math> איבר קטן ביותר, אם קיים.
#מצאו איברים מינמאלים ב <math>A\backslash\left\{ m\right\}</math> , אם קיימים.

88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 2

2022-09-16T12:29:16Z

רגב991: /* תרגיל */

'''[[מתמטיקה בדידה - מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]'''

==מכפלה קרטזית==
הגדרה: '''המכפלה הקרטזית''' של שתי קבוצות A וB הינה אוסף כל ה'''זוגות הסדורים''' - <math>A\times B = \{(a,b)|a\in A \and b\in B\}</math>. ההבדל בין זוג סדור לבין קבוצה המכילה זוג איברים היא שהאיברים יכולים להיות שווים בזוג סדור, והסדר שלהם מהותי. כלומר שני האיברים הבאים שונים <math>(1,2),(2,1)</math> והאיבר הבא הינו זוג חוקי <math>(1,1)</math>.

ניתן להכליל את ההגדרה לעיל לn-יה סדורה - כלומר n איברים מסודרים.

דוגמא: <math>A=\{1,2,3\}</math> ו<math>B=\{a,b\}</math> אזי מתקיים <math>A\times B =\{(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b)\}</math>

ניתן להגדיר זוגות סדורים באמצעות הגדרת הקבוצות בלבד, כפי שנראה בתרגיל הבא:

===תרגיל (בשיעורי הבית בד"כ)===
הוכח/הפרך:

1. <math>[(a=c)\and(b=d)]\iff \{\{a\},b\}=\{\{c\},d\}</math>

2. <math>[(a=c)\and(b=d)]\iff \{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}</math>

====פתרון====

1. הפרכה ע"י הדוגמא הנגדית <math>a=2,b=\{3\},c=3,d=\{2\}</math>

2.

הוכחה: הכיוון משמאל לימין הוא ברור. מימין לשמאל, נניח והקבוצות שוות אזי <math>\{a\}=\{c\}</math> או ש <math>\{a\}=\{c,d\}</math>.

במקרה הראשון, נובע a=c ובמקרה השני נובע a=c=d, כך או כך a=c. כעת, <math>\{a,b\}=\{c,b\}=\{c\}</math> או <math>\{c,b\}=\{c,d\}</math> ונובע משניהם ש b=d.

לכן, ניתן להגדיר זוג סדור על ידי קבוצות בלבד (באופן דומה לכך שכל המתמטיקה פחות או יותר נבנת על קבוצות בלבד).

===תרגיל===
הוכיחו או הפריכו:

א. לכל קבוצות A,B,C מתקיים <math>A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C)</math>

ב. לכל קבוצות <math>A,B,C,D</math> מתקיים: <math>(A\times B)\cup (C\times D)=(A\cup C)\times (B\cup D)</math>

====פתרון====
א. הוכחה: <math>(x,y)\in A\times(B\cap C) \iff (x\in A) \and [(y\in B)\and (y\in C)] \iff [(x\in A)\and(y\in B)] \and [(x\in A)\and(y\in C)] \iff (x,y)\in[(A\times B)\cap(A\times C)]</math>

ב. הפרכה: אפשר פשוט לקחת <math>A=\{1\},B=\{2\},C=\{3\},D=\{4\}</math>. אפשר גם לקחת <math>A=B=[0,1],C=D=[1,2]</math>, ולהראות את המלבנים המתאימים שיוצאים בשני הצדדים - זה אולי יותר ממחיש את המכפלה.

==יחסים כתת קבוצה של הזוגות הסדורים==
הגדרה: יהיו A,B קבוצות, <math>R\subseteq A\times B</math> יקרא יחס (מ A ל -B).
הרעיון שעומד בבסיסו של יחס הוא האפשרות "לקשר" בין איברי A ל B.
דוגמא: <math>A=\{1,2,3\},B=\{0,2,6\}</math> ונביט בתת הקבוצה <math>R\subseteq A\times B</math> הבאה: <math>R=\{(1,2),(1,6),(2,2),(2,6),(3,6)\}</math>. מה מיוחד בזוגות אלה?

זוגות אלה הינן כל זוגות האיברים (a,b) כך ש <math>a\leq b</math>. (כלומר הגדרנו את היחס המייצג "קטן שווה")

הערה: יחס לא חייב לייצג חוקיות מסוימת למשל גם הקבוצה <math>S=\{(1,2),(1,6),(2,0),(2,2)\}</math> היא יחס. גם <math>\emptyset</math> היא יחס. וגם <math>A\times B</math> הוא יחס.

סימון: אם זוג מסוים, (a,b), נמצא בקבוצת היחס R נהוג לסמן aRb. (אם יש משמעות ליחס כמו לעיל ניתן גם לסמן פשוט <math>a\leq b</math>.

דוגמא: נביט בקבוצת האנשים A. נגדיר את יחס "בן של" על ידי קבוצת הזוגות הסדורים <math>R\subseteq A\times A</math> כך ש <math>(x,y)\in R</math> אם"ם x הוא בן של y. שימו לב שיש משמעות לכיוון היחס, שכן יש הבדל בין העובדה שאני הבן של מישהו לבין העובדה שהוא הבן שלי.

===תכונות של יחסים על קבוצה===
הגדרה: יחס R על קבוצה A פירושו <math>R\subseteq A\times A</math>

תהי קבוצה A ויחס R עליה אזי
#R נקרא '''רפלקסיבי''' אם כל איבר מקיים את היחס עם עצמו ( מתקיים <math>\forall a\in A:(a,a)\in R</math>)
#R נקרא '''סימטרי''' אם aRb גורר שגם bRa (מתקיים <math>\forall a,b\in A:[(a,b)\in R \rightarrow (b,a)\in R]</math>)
#R נקרא '''טרנזיטיבי''' אם יחס בין ראשון לשני, ויחס בין השני לשלישי גורר יחס בין הראשון לשלישי (מתקיים <math>\forall a,b,c\in A:[((a,b)\in R) \and ((b,c)\in R) \rightarrow ((a,c)\in R)]</math>)
#R נקרא '''אנטי סימטרי (חלש)''' אם aRb וגם bRa גורר כי a=b (מתקיים <math>\forall a,b\in A:[(a,b)\in R \and (b,a)\in R \rightarrow a=b]</math>)

דוגמאות:
*יחס 'שיוויון' הינו רפלקסיבי, סימטרי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי.
*יחס 'קטן שווה' הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי סימטרי.
*יחס 'קטן ממש' הינו טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי.
*יחס 'שיוויון מודולו n' הינו רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי.
*יחס 'הכלה' הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי.
*יחס 'a מחלק את b' (על הטבעיים) הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי.
*יחס 'a מחלק את b' (על השלמים) הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי.
*יחס 'אדם x שמע על אדם y' הינו רפלקסיבי.
==== תרגיל (חשוב)====
מצאו יחסים על הקבוצה <math>\{1,2,3\}</math> עם התכונות הבאות:
* יחס רפלקסיבי
*יחס סימטרי
*יחס אנטי סימטרי
*יחס טרנזיטיבי
*יחס סימטרי ואנטי סימטרי
*יחס טרנזיטיבי וסימטרי
* יחס רפלקסיבי, סימטרי ולא טרנזיטיבי
*עוד לבקשת הקהל

==== תרגיל ====
לכל <math>x</math> ממשי, נגדיר את הערך התחתון שלו <math>\lfloor x\rfloor</math> להיות המספר השלם הגדול ביותר <math>z</math> המקיים <math>z\leq x</math>. למשל <math>\lfloor2.3\rfloor=2</math> למשל <math>\lfloor\pi\rfloor=3</math> למשל <math>\lfloor-2.3\rfloor=-3</math>.

נגדיר <math>R=\left\{ \left(x,\lfloor x\rfloor\right)\,\mid x\in\mathbb{R}\right\}</math> שהוא יחס על <math>\mathbb{R}</math>. קבעו האם הוא רפלקסיבי/סימטרי/אנטי-סימטרי/טרנזיטיבי.

==יחסי שקילות==
הגדרה: תהא A קבוצה ו-R יחס עליה. R יקרא יחס שקילות אם הוא
#רפלקסיבי
#סימטרי
#טרנזיטיבי

דוגמא: תהא <math>A=\{1,2,3,4,5,6\}</math>. נגדיר תת הקבוצות <math>A_1=\{1,3\},A_2=\{2,4,5\},A_3=\{6\}</math>

נגדיר יחס R על A כך <math>\exist 1\leq i \leq 3 : x,y\in A_i \Leftrightarrow xRy</math>

טענה R יחס שקילות

הוכחה:

1. רפלקסיביות - נניח <math>x\in A</math> לכן x שייך ל <math>A_i</math> עבור i מסוים (שכן האיחוד שלהן שווה לA) ולכן <math>(x,x)\in R</math>.

2. סימטריות - נניח <math>(x,y)\in R</math> אזי <math>x,y\in A_i</math> עבור i מסוים, מכיוון שאין משמעות לסדר שייכות לקבוצה, נובע שגם <math>(y,x)\in R</math>.

3. טרנזיטיביות - נניח <math>[(x,y)\in R] \and [(y,z)\in R]</math> אזי קיימים i,j כך ש <math>x,y\in Aֹ_i</math> וגם <math>y,z\in A_j</math>. לכן <math>y\in A_i\cap A_j</math>. מכיוון שהחיתוך בין תתי הקבוצות הוא ריק מוכרח להיות ש<math>A_i=A_j</math> ולכן <math>x,y,z\in A_i</math> ולכן <math>(x,z)\in R</math> כפי שרצינו.

הגדרה: תהא A קבוצה. '''חלוקה''' של A היא חלוקה של A לקבוצות זרות. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות <math>\{A_i\}_{i\in I}</math>
כך ש:
* <math>\forall i\in I: A_i \neq \emptyset </math>
* <math>\cup _{i\in I} A_i =A </math> כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה
* הן '''זרות''' זו לו = החיתוך בין כל שתי תתי קבוצות הוא ריק (<math>\forall i\not= j\in I : A_i\cap A_j = \phi </math>)

כפי שראינו בדוגמה הקודמת חלוקה של A מגדירה יחס שקילות (אמנם זה "רק" דוגמא אבל ניתן להוכיח את המקרה הכללי באותו אופן).

'''הערה:''' אפשר להציג את היחס על <math>P(X)</math> שמוגדר ע"י <math>A\sim B\iff A\cap S=B\cap S </math> (כאשר S ת"ק קבועה), אם כי זה נעשה בשיעורי הבית. מוזמנים לקחת קבוצות S,X קונקרטיות ולתאר בצורה מדויקת איך היחס נראה ("איך היחס נראה" זה לא שאלה מוגדרת היטב - הכוונה שתוודאו שאתם יודעים להסביר לעצמכם מה הולך שמה).
בנוסף, חשבו מה קורה ביחסים:
# <math>A\sim B\iff A\cup S=B\cup S </math>
# <math>A\sim B\iff A\triangle S=B\triangle S </math>

====תרגיל====
נגדיר על <math>\mathbb{R}</math> ארבעה יחסים <math>Q,R,S,T</math> באופן הבא: לכל <math>x,y\in \mathbb{R}</math>:

<math>xQy\iff x-y=17</math>

<math>xRy\iff x-y\in \mathbb{N}\cup \{0\}</math>

<math>xSy\iff x-y\in 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}</math>.

<math>xTy\iff x-y\in \mathbb{Z}</math>.

בדקו עבור כל אחד מהם האם הוא יחס שקילות.

=====פתרון=====

<math>Q</math> לא כיון שלא רפלקסיבי, שהרי לכל <math>x\in \mathbb{R}</math> (ובפרט קיים לפחות אחד) <math>x-x=0\neq 17</math>.

<math>R</math> אמנם רפלקסיבי, אך לא סימטרי.

<math>S</math> לא טרנזיטיבי: <math>2S6\land 6S3</math> אבל לא נכון ש-<math>2S3</math>.

<math>T</math> כן יחס שקילות:

רפלקסיביות: יהי <math>x\in \mathbb{R}</math>, אז <math>x-x=0\in \mathbb{Z}</math>.

סימטריות: <math>xTy\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z} :x-y=a \Rightarrow y-x=-a\in \mathbb{Z} \Rightarrow yTx</math>.

טרנזיטיביות: <math>xTy\land yTz\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z}: x-y=a \land \exists b\in \mathbb{Z}: y-z=b\\ \Rightarrow x-z=x-y+y-z=a+b\in \mathbb{Z}</math>.

===מחלקות שקילות וקבוצת המנה===
הגדרה:

יהא R יחס שקילות על A אזי

# לכל <math>x\in A</math> מוגדרת '''מחלקת השקילות של x ''' להיות <math>\bar{x}=[x]_R:=\{y\in A | (x,y)\in R\} </math>
# ''' קבוצת המנה ''' מוגדרת <math>A/R := \{ [x]_R | x\in A\} </math>

למשל, בדוגמא הראשונה <math>A_1,A_2,A_3</math> הן מחלקות השקילות. קבוצת המנה היא <math>A/R=\{A_1,A_2,A_3\}</math>

משפט: יהא R יחס שקילות על A אזי
# לכל <math>x,y\in A</math> מתקיים <math>[x]=[y]</math> או <math>[x]\cap [y] =\phi </math> (כלומר מחלקות השקילות זרות)
# <math>A=\bigcup_{[x]\in A/R}[x]</math> כלומר (איחוד מחלקות השקילות תתן את כל A)
הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של A

מסקנה:
תהא A קבוצה אזי יש התאמה {<math>R</math> יחס שקילות על A }
<math>\leftrightarrow</math> {חלוקות של A}

חידוד: מהותו העיקרית של יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים (כמו שיוויון) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת.
====תרגיל====
כמה יחסי שקילות שונים יש על <math>A=\{1,2,3\}</math>? פתרון: נספור לפי חלוקות ונגלה כי התשובה היא 5.
====תרגיל====
תהי <math>A=\{1,2,3\}</math> קבוצה. השלם את היחסים הבאים מעליה על מנת שיקיימו את התכונות הנדרשות בשאלה (השלם - כלומר הוסף זוגות סדורים '''הכרחיים'''):
*השלם את <math>R=\{(1,2)\}</math> להיות יחס סימטרי וטרנזיטיבי. האם אחרי ההשלמה קיבלת יחס שקילות?
*השלם את הקבוצה הריקה ליחס שקילות. איך קוראים ליחס שקיבלת? מהן מחלקות השקילות?

=====פתרון=====
1. <math>R=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\}</math> זה אינו יחס שקילות מכיוון שאינו רפלקסיבי - (3,3) חסר.

2. <math>R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}</math>. זהו יחס השיוויון, מחלקות השקילות שלו הינן [1],[2],[3].

====תרגיל====
ראינו לעיל יחס <math>T\subseteq \mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> (המוגדר ע"י שההפרש שייך לשלמים) והראינו שהוא יחס שקילות. הוכיחו:

א. <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}\Rightarrow [x]_T\subseteq \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math>.

ב. אם <math>x,y\in [0,1)</math> שונים אז <math>[x]_T\neq [y]_T</math>.

ג. <math>\forall x\in \mathbb{R} \exists y\in [0,1): [x]_T=[y]_T</math>.

=====פתרון=====
א. יהי <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math> ונניח בשלילה שקיים <math>q\in \mathbb{Q}\cap [x]_T</math>. נקבל שקיים <math>a\in \mathbb{Z}</math> כך ש <math>x-q=a</math> ולכן <math>x=a+q\in \mathbb{Q}</math> בסתירה (סגירות הרציונאליים).

ב. יהיו <math>x\neq y</math>. בה"כ <math>x>y</math>, ולכן <math>x-y>0</math>. מאידך, כיון ששניהם בין 0 ל-1 נקבל <math>x-y<1</math>, ולכן ההפרש בהכרח לא שלם, ולכן הם לא שקולים.

ג. כל מספר כשמחסרים ממנו את הערך השלם התחתון שלו מקבלים משהו בין 0 ל-1, והם שקולים כי ההפרש הוא הערך השלם התחתון, שהוא, מהגדרתו, מספר שלם.

====תרגיל====

על <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> נגדיר יחס <math>\sim</math> לפי זה שלכל <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math>:

<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2</math>.

הוכיחו שזהו יחס שקילות ('''חשוב להדגיש איך בודקים יחס שקילות על זוגות סדורים!!!'''). מהי, מבחינה גיאומטרית מחלקת השקילות של <math>(0,1)</math>? ומהי, מבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה?

=====פתרון=====

מעגל עם רדיוס 1 מסביב לראשית. קבוצת המנה - אוסף המעגלים מסביב לראשית (כלומר: קבוצה של קבוצות של זוגות סדורים שהם הנק' על כל מעגל לפי הרדיוס שלו).

==== תרגיל ====
תהא <math>A</math> קבוצה ותהא <math>S\subseteq A</math> ת"ק שלה. נגדיר יחס <math>\sim</math> על <math>P(A)</math>
ע"י הכלל <math>B_1\sim B_2 \iff B_1 \cup S=B_2\cup S</math>

* הוכיחו כי זהו יחס שקילות.
* עבור <math>S=\{1,7,9,10\},A=\{1,2,\dots 10\}</math> מצאו את מספר האיברים ב <math>P(A)/\sim</math>

=====פתרון=====
* יש לבדוק פשוט שהתכונות של יחס שקילות מתקיימות לפי הגדרת היחס הנתון.
* נשים לב ששתי קבוצות ב-(P(A שקולות זו לזו אם ורק אם הן נבדלות זו מזו רק באיברים השייכים ל-S (אפשר להוכיח), כלומר: אם ההפרש הסימטרי שלהן מוכל ב-S. לכן, אם אנו רוצים לספור מחלקות שקילות (שונות), עלינו לספור כמה אפשרויות יש לחלק של ההפרש הסימטרי שאינו מוכל ב-S (החלק שמוכל אינו משפיע). כיוון שחלק זה יכול להיות כל תת קבוצה של המשלים של S (ביחס ל-A), וכיוון שבמשלים זה יש 6 איברים, נקבל שישנן 6^2 אפשרויות, ולכן זהו מספר מחלקות השקילות, כלומר: גודל קבוצת המנה.

===דוגמא חשובה - הגדרת הרציונאליים ===
נביט בקבוצת המכפלה הקרטזית של השלמים עם עצמם <math>\mathbb{Z}\times \mathbb{N} </math>. נסתכל על ההתאמה <math>(a,b)\leftrightarrow\frac{a}{b}</math> האם תחת ההתאמה הזו ניתן להגדיר את הרציונאליים באמצעות המכפלה הקרטזית לעיל בלבד?

תשובה: לא. למשל, <math>\frac{2}{6}=\frac{1}{3}</math> ואילו <math>(2,6)\neq (1,3)</math>. כלומר, המכפלה הקרטזית מכילה חזרות מיותרות לעומת הרציונאליים.

נרצה איפוא, להגדיר יחס שקילות על הזוגות הסדורים של מספרים שלמים כך שכל שני שברים שקולים יהיו ביחס. שימו לב שאנו מגדירים יחס על קבוצת זוגות סדורים, ולכן האיברים ביחס הינם זוגות סדורים של זוגות סדורים. נגדיר
<math>R</math> על <math>\mathbb{Z}\times \mathbb{N} </math> ע"י

<math>(x,y)R(z,w) \iff xw=zy</math> (כלומר אם מתקיים עבור השברים <math>\frac{x}{y}=\frac{z}{w}</math>)

נוכיח רק טרנזיטיביות:
נניח <math>(x,y)R(z,w), (z,w)R(a,b) </math>
אזי <math> xw=zy, zb=aw </math> (צ"ל <math> xb=ay </math>)

כייון ש <math> w \not=0 </math> נקבל כי <math>x=\frac{zy}{w}</math> ולכן <math>xb=\frac{zby}{w}=\frac{awy}{w}=ay</math> כנדרש.

ומי שלא רוצה להשתמש בחילוק (אבל כן מתיר לצמצם משיוויון איבר שנמצא בשני הצדדים, כי ניתן להשתכנע בכך מהגדרת כפל על טבעיים): נשים לב שמתקיים: <math>xwb=zyb=yaw</math>, ולכן נקבל <math>xb=ay</math> כנדרש.

מסקנה: הרציונאלים הם קבוצת המנה של <<math>\mathbb{Z}\times \mathbb{N} </math> והיחס שהגדרנו לעיל. למעשה, מאחורי כל שבר עומדת הקבוצה האינסופית של כל השברים השקולים לו, ופשוט אנחנו בוחרים לייצג קבוצה זו על ידי אחד השברים שבה באופן שרירותי (או באופן מסוים - בחירת השבר המצומצם).

===שאלה ממבחן===
א. תהי A קבוצה לא ריקה ותהי <math>\{R_i\}_{i\in I}</math> משפחה של יחסי שקילות על A. הוכיחו כי החיתוך הכללי <math>R=\cap_{i\in I}R_i</math> הינו יחס שקילויות על A.

ב. נסמן <math>R_n=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}:n|(x-y)\}</math>. מהם <math>R_1,R_2,R=\cap_{n\in\mathbb{N}}R_n</math>? מהן קבוצות המנה <math>\mathbb{Z}/R,\mathbb{Z}/R_1,\mathbb{Z}/R_2</math>?

====פתרון====
א. רפלקסיביות: מאחר ו <math>\forall a\in A\forall i\in I : (a,a)\in R_i</math> נובע ש <math>\forall a\in A: (a,a)\in R</math>.

סימטריות: נניח <math>(x,y)\in R</math> לכן <math>\forall i\in I:(x,y)\in R_i</math> ולכן נובע מסמטריות היחסים ש <math>\forall i\in I:(y,x)\in R_i</math> ולכן <math>(y,x)\in R</math>.

טרנזיטיביות: ממש אותו דבר...

ב. <math>R_1</math> הינו אוסף כל הזוגות הסדורים מעל השלמים, שכן אחד מחלק כל מספר ולכן כל הפרש.

<math>R_2</math> הינו אוסף כל הזוגות בהם שני הצדדים זוגיים או שני הצדדים אי זוגיים, שכן ההפרש בינהם חייב להיות זוגי.

R הינו אוסף הזוגות שההפרש בינהם מתחלק בכל המספרים הטבעיים. רק הפרש אפס יכול להתחלק בכל מספר, ולכן R הינו אוסף הזוגות מהצורה (q,q) עבור q מספר שלם. (יחס השיוויון.)

<math>\mathbb{Z}/R_1</math> הינו אוסף מחלקות השקילות של היחס המכיל את כל הזוגות. יש בו רק מחלקת שקילות אחת המכילה את כל המספרים השלמים.

<math>\mathbb{Z}/R_2</math> מכיל שתי קבוצות, קבוצת הזוגיים וקבוצת האי זוגיים שכן בין כל הזוגיים יש את היחס, ובין כל האי זוגיים ולא בין לבין כמובן (הרי זה יחס שקילויות כפי שקל להוכיח).

<math>\mathbb{Z}/R</math> הינו אוסף כל הקבוצות המכילות איבר שלם בודד.

==תירגול נוסף==
=== תרגיל ===
היחסים הבאים הם יחסים על קבוצת הממשיים. קבעו האם היחסים הבאים הם רפלקסיבים? האם הם סימטרים? האם הם אנטי-סימטריים? האם הם טרנזיטיבים?
* <math>\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{R\times R}\,|\,x+y=0\right\} </math>
* <math>\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{R\times R}\,|\,x+y=1\right\} </math>

==== תרגיל ====
עבור כל אחד מהיחסים מתרגיל קודם. קבעו האם הוא יחס סדר? האם הוא יחס שקילות? האם הוא חלוקה של הממשיים?

עבור כל אחד מיחסי השקילות של סעיף קודם - מצאו את מחלקת השקילות של האיברים <math>0,\pi, 100</math>

עבור כל אחד מיחסי השקילות של סעיף קודם - תארו את קבוצת המנה.

=== תרגיל ===
היחסים הבאים הם יחסים על קבוצת הטבעיים. קבעו האם היחסים הבאים הם רפלקסיבים? האם הם סימטרים? האם הם אנטי-סימטריים? האם הם רפלקסיבים?
* <math>\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{N\times N}\,|\,x+y=1\right\} </math>
* <math>\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{N\times N}\,|\,x+y=2\right\} </math>
* <math>\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{N\times N}\,|\,x+y=3\right\} </math>

=== תרגיל ===
ראינו שניתן להגדיר את <math>\mathbb{Q}</math> כקבוצת מנה של יחס שקילות. הוכיחו כי ניתן להגדיר חיבור וכפל של מספר רציונאליים כמו שאנחנו רגילים.

=== תרגיל ===
מצאו קבוצה ויחס שקילות כך שניתן לזהות את המספרים השלמים <math>\mathbb{Z}</math> עם קבוצת המנה המתקבלת (התבססו על קיומה של קבוצת הטבעיים בלבד).

הוכיחו כי ניתן להגדיר חיבור וכפל של מספר שלמים כמו שאנחנו רגילים.

=== תרגיל ===
מצאו קבוצה ויחס שקילות כך שניתן לזהות את המספרים המשיים <math>\mathbb{R}</math> עם קבוצת המנה המתקבלת (התבססו על קיומה של קבוצת הרציונאליים בלבד).

הוכיחו כי ניתן להגדיר חיבור וכפל של מספר שלמים כמו שאנחנו רגילים.

=== תרגיל ===
עבור היחס מודלו <math>n</math> על קבוצת השלמים <math>\mathbb{Z}</math>, נסמן את קבוצת המנה ב <math>\mathbb{Z}_n</math>

הוכיחו כי ניתן להגדיר חיבור וכפל של איברים ב <math>\mathbb{Z}_n</math> ע"י <math>[a]+[b]=[a+b], [a][b]=[ab]</math>. חיבור זה נקרא חיבור מודלו n וכפל זה נקראה כפל מודלו n.

===תרגיל===

על <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> נגדיר את היחסים הבאים: (היחסים יסומנו ב <math>\sim</math>)

*<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1=x_2^2+y_2</math>.
*<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1=x_2</math>.
*<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff y_1=y_2</math>.
*<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff |x_1|=|x_2|</math>.
*<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff |y_1|=|y_2|</math>.
*<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff |x_1|+|y_1|=|x_2|+|y_2|</math>.
*<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2-y_1=x_2^2-y_2</math>.
*<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2-y_1^2=x_2^2-y_2^2</math>.
*<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff 5x_1^2-y_1=5x_2^2-y_2</math>.

הוכיחו שאלו יחס שקילות. מהי, מבחינה גיאומטרית מחלקת השקילות של <math>(0,1)</math>? ומהי, מבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה?

=== תרגיל ===
תהא <math>X</math> קבוצה. היחסים הבאים הם יחסים על קבוצת החזקה <math>P(X)</math>. קבעו האם היחסים הבאים הם רפלקסיבים? האם הם סימטרים? האם הם אנטי-סימטריים? האם הם טרנזיטיביים?

* <math>\left\{ \left(A,B\right)\,|\, A=B\right\} </math>
* <math>\left\{ \left(A,B\right)\,|\, A\subseteq B\right\} </math>
* <math>\left\{ \left(A,B\right)\,|\, A\cap B=B\right\} </math>
* <math>\left\{ \left(A,B\right)\,|\, A\cap B=\emptyset\right\} </math>
* <math>\left\{ \left(A,B\right)\,|\, A^c=B\right\} </math>

==== תרגיל ====
בכל אחד מהיחסים שהופיעו קודם, קבעו האם הוא יחס שקילות. במידה והוא יחס שקילות, מצאו את החלוקה שהוא משרה.