Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-17T15:17:23Z

תומר זוארץ: /* שאלות */

<math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - תרגיל 3

=שאלות=

=שאלה בפונקציות=

בהוכחת התכונות של חזקות של עוצמות, המרצה כתב <math>h(f,g)-> f\cup g</math> איך מוגדר איחוד של פונקציות?

==שאלה 7==
אפשר לקחת את <math>{p}(N) </math> הפרש קבוצה ריקה ככה שזאת הקבוצה שמכילה את כל הקבוצות של הסדרות העולות?

==שאלה כללית==
אם a מוכל בb.
אז a/b זה קבוצה ריקה?
:כן. אבל שים לב שהפרש קבוצות לא מוגדר בקבוצות אינסופיות.

==שאלה על עוצמות==
אם יש לי משוואה כזו:
<math>\left | A \right |+1=\aleph</math>
זה גורר ש <math>\left | A \right |=\aleph</math> ?

== שאלה בקשר ל 5 א==
האם צריך לפרט את האיחודים והחיתוכים של הקבוצות שבתוך העוצמות? אם כן מותר לי לומר ישירות ש B איחוד עם C משלים שווה ל C משלים או שצריך להסביר למה? אם צריך להסביר אשמח אם מישהו יוכל לעזור לי להסביר בצורה שתתקבל כחלק מהוכחה. תודה

'''תשובה'''

כן, צריך לפרט. הטענה שלך אינה טריוויאלית וצריך להוכיח אותה. (גרישה אושרוביץ')

===תשובה===
זה לא תמיד נכון, למשל לקבוצות סופיות, דוגמה:
<math>|C|=|\mathbb{Z^-}|</math>,<math>|B|=|\mathbb{N}|</math>
מתקיים <math>|B|=|C|=\aleph_0</math> כמו כן מתקיים גם<math>B\cap C=\phi</math>
אבל במקרה הזה B איחוד C משלים לא חייב ליהיות שווה C משלים, כי זה איחוד לא זר. אבל אני לא בטוח בתשובה שלי... אז אל תסתמך...
===התשובה שלך שגוייה===
יש טעות בדבריך המשלים של C במקרה זה הוא כל השלמים האי שליליים (או אם אני לוקח את המשלים מתוך R אז כל המספרים שאינם שלמים ושליליים) קבוצה זו בהכרח מכילה את B ולכן האיחוד בניהן יהיה שווה לC משלים...
הטענה הזו היא נכונה במאה אחוזים (א זה לא ברור אפשר לראות את זה לפי דאגרמות וון בשביל להבין את הנכונות) השאלה שלי אם אני צריך להסביר את השלב הזה... אשמח לתשובה של מתרגל

==שאלה 6א'==
האם אפשר להגיד שאם A מוכלת בB וA אינסופית אז יש פונקציה חח"ע מA לB?
ואז בהכרח B אינסופית
<כלומר B לא סופית>..
הסעיף הזה די טריוויאלי, אז באיזו דרך מצפים שנוכיח אותו?
:בערך כמו שאמרת, נראה לי.. (אני לא מתרגל).

'''תשובה'''

אפשר להוכיח ע"י הוכחה בשלילה. כלומר, להניח בשלילה כי B סופית ולמצוא סתירה. (גרישה אושרוביץ')

==שאלה 6ד'==
אפשר להשתמש בסעיף ג' כדי להוכיח? ואם לא- מה אם B קבוצה ריקה-לא נקבל שיש רק פונקציה אחת בקבוצת הפונקציות?

'''תשובה'''

כן. צריך להניח כי B קבוצה לא ריקה. (גרישה אושרוביץ')

==שאלה על עוצמות==
A|+|B|=|D|+|C|
נתון העוצמה של B שווה לעוצמה של C. האם העוצמה של D שווה לעוצמה של A?
לא בהכרח למשל א+1=א+2=א אבל 2לא שווה ל-1...

==שאלה 3==
אפשר להוכיח ע"י דוגמא? כי מבקשים להראות שקיימת, אז אם אני מראה שיש לפחות פונקציה אחת כזו זה מספיק?

===תשובה===
אתה צריך להוכיח שלכל |A|=|B| יש פונקציה חח"ע שהיא לא על, כלומר אם אתה נותן דוגמה עבור |A|=|B| כלשהם זה לא מספיק(אלא אם כן אתה מתכוון לתת דוגמה עבור כל |A|=|B| שזה כידוע לך בלתי אפשרי...) כלומר אם ברצונך להוכיח את המשפט אתה חייב לעשות את זה באופן כללי, אבל '''להפריך''' אתה יכול בעזרת דוגמה...
:: זאת את, ותודה רבה :)

==שאלה כללית==
מה העוצמה של חיבור של <math>\aleph_0</math> קבוצות כאשר כל קבוצה עוצמתה <math>\aleph</math>? (כולן זרות)
זה כמו א כפול אלף אפס שווה לאלף

==תכונות של חזקת עוצמות==
אחד המתרגלים יכול להעלות הוכחה לכל התכונות של חזקת עוצמות?

אומנם שי הוכיח את התכונות בהרצאה אך בצורה מאוד לא מפורטת...תודה!

==שאלה 9ב' *עדיין צריך עזרה בבקשה*==
האם מותר לי להגדיר פו' g מ-C ל-A בחזקת B (הפו' מB לA) ע"י כך ש(קראו לאט, הניסוח אולי מסובך) g(c) = Gc(b) a (הוספתי את הa כדי לתקן את הבעיות בעברית-אנגלית, הוא לא אמור להיות שם) כאשר Gc היא פו' מB לA ומוגדרת ע"י Gc(b) = b*c ? מותר לי להגדיר ככה את הפונקציות, או שאולי אסור להגדיר אותן ככה כי אז אני מניח שהקבוצה A היא קבוצת המכפלות של איברים מB ומC? תודה.

==איפה נמצא תרגיל 10א?==
:מה לא מספיק לך ב' ג' וד'?

==שאלה 3==

(האם מדובר בקבוצות אינסופיות), אם אני נותן דוג' נגדית של קבוצה סופית, האם זאת הפרכה או שצריך להראות גם בקבוצות אינסופיות

'''תשובה'''

לא הוגדר בשום מקום את גודל הקבוצות, לכן אתה רשאי להניח כל סוגי הקבוצות בדוגמא נגדית. (גרישה אושרוביץ')

==שאלה כללית==
כמה פונקציות יש מקבוצה ריקה לקבוצה לא ריקה?
:1 (זו [http://en.wikipedia.org/wiki/Empty_function הפונקציה הריקה]).

==שאלה 6,7==
בשאלה 6 א',ב' אפשר פשוט להגיד שהעוצמה של A קטנה או שווה לעוצמה של B ולכן בB צריכים ליהיות אינסוף איברים?מה זה סדרה עולה?

'''תשובה'''

* שאלה 6: לא, צריך להראות זאת במפורש, כלומר להוכיח ש-B לא יכולה להיות קב' סופית.
* שאלה 7: ראה תשובה למטה.
(גרישה אושרוביץ')

== שאלה==
האם <math>
|A \setminus B | = |A | - |A \cap B |
</math> נכון בעבור עוצמות?

מותר לי להשתמש בזה בלי לנמק?

===תשובה===
לא. זה כלל לא נכון לגבי עוצמות.
לא הגדרנו כלל את סימן המינוס בעוצמות (למעט עוצמות סופיות)
קח לדוגמא את <math>A=\mathbb{Q}</math> ו<math>B=\mathbb{N}</math>, אז לכאורה לפי הטענה שלך,
<math>|A \setminus B|=\aleph_0-\aleph_0=0</math>?[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 00:35, 16 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 5==
מה ההגדרה של הפרש עוצמות?

===תשובה===
לא הגדרנו הפרש עוצמות. בשאלה 5 מופיעה העוצמה של הפרש קבוצות. הפרש קבוצות הגדרנו. ההפרש כשלעצמו הוא קבוצה שיש לה עוצמה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 11:13, 16 באוגוסט 2010 (IDT)

'''מה זה הפרש קבוצות-a\b ?'''
:<math>A\setminus B=A-B=A\cap \overline B</math>

==שאלה 8==
איך יודעים מה ההבדל בין גדולה "סתם" לגדולה "ממש"?

'''תשובה:
'''
גדולה ממש זה גדולה ולא שווה. <math>|A|<|B|</math>
בתרגיל הנ"ל מבקשים קבוצה שעוצמת גדולה מעוצמת הרצף ובנוסף שלא תהיה שווה לה.

==צריך להוכיח?==
האם צריך להוכיח ש-<math>|A\setminus B|\le|A|</math> לכל שתי קבוצות A,B, או שזה נחשב טריוויאלי?

===תשובה===
זה נובע מכך ש<math>A \setminus B \subseteq A</math> ולכן זה די טריוויאלי. כעיקרון אפשר להעיר בקצרה ואין צורך ממש להוכיח את זה על מנת להשתמש בעובדה הזו אלא אם זה מה שאתם מתבקשים להוכיח. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 20:40, 15 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלות 4,6,7,8 ושאלה כללית על שאלות 1,3,5,9,10==
* בשאלה 4: לא הבנתי את הרמז, מה זה <math>1/n</math>? ומהו הישר הממשי?
* בשאלה 6-ד': מהי הקבוצה B? (אינסופית/סופית? האם היא יכולה להיות קבוצה ריקה?)
* בשאלה 7: מהי קבוצת כל הסדרות העולות של המספרים הטבעיים?
* בשאלה 8: מהי עוצמת הרצף?
* שאלה כללית: העוצמות הכלליות שיש בשאלות שבתרגיל זה הן אינסופיות או סופיות (כמו העוצמות בשאלות 1,3,5,9,10)

'''תשובה'''

* שאלה 4: הישר הממשי הוא דימוי הניתן לקבוצה <math>\R</math> שהיא קבוצת כל המספרים הממשיים. לדוגמא, ציר ה- x: <math>(-\infin,\infin)</math>
* שאלה 6: אם לא נתון אפיון של B, תבדוק את כל האפשרויות.
* שאלה 7: סדרות של מספרים טבעיים בהן איבר ה-n-י גדול מהאיבר ה- n-1. למשל: {...,1,2,3,4,5} או {...,10,20,40,80}
* שאלה 8: עוצמת הרצף היא העוצמה של המספרים הממשיים. עוצמת הרצף מסומנת באות <math>\aleph</math>.
* שאלה כללית: אם לא נאמר אחרת, עוצמה יכולה להיות כלשהי.
(גרישה אושרוביץ')

==תרגיל 4 שאלה 4==
מהו הישר הממשי? תודה, גל.
==שאלה 5==
בסעיף א', מתכוונים ל |a|-|b| = |a| - |c| במקום ל |a-b| = |a-c| לא? כי אין דבר כזה הפרש בין קבוצות (הפרש עם קו אנכי)..?
:<math>A-B=A\setminus B</math> לכל שתי קבוצות A,B. אלה שני סימונים שונים להפרש קבוצות.

'''תשובה'''

הכוונה ל- <math>|A\setminus B|=|A\setminus C|</math> (גרישה אושרוביץ')
==חיתוך==
אם ידוע לי ש-<math>A\setminus B=A\setminus C</math>
אני יכולה להסיק מזה שB=C?
:לא: <math>A=\{1,2\}\and B=\{1\}\and C=\{0,1\}\implies A\setminus B=\{1,2\}\setminus\{1\}=\{2\}=\{1,2\}\setminus\{0,1\}=A\setminus C</math>
::התבלבלתי זה היה אמור להיות שB וC מוכלים בA.. ואז אני חושבת שזה נכון. אבל תודה :)
:::אם <math>B,C\subseteq A</math> אז
:::<math>\begin{align}&A\setminus B=A\setminus C\\\implies&A\cap B'=A\cap C'\\\implies&A'\cup(A\cap B')=A'\cup(A\cap C')\\\implies&(A'\cup A)\cap(A'\cup B')=(A'\cup A)\cap(A'\cup C')\\\implies&(A\cap B)'=(A\cap C)'\\\implies&A\cap B=A\cap C\\\implies&B=C\qquad\Big(\text{because }B,C\subseteq A\Big)\\\blacksquare\end{align}</math>

תודה!

שיחת משתמש:Nimrod

2010-07-27T20:09:55Z

תומר זוארץ: /* אור תתקשר אליי דחוף 03-5344111!!!!! */

== בדידה: תרגיל 1, 4.ג' ==

צ"ל <math>A\cap \bigcup_{i=1}^n B_i = \bigcup_{i=1}^n (A\cap B_i)</math> ואח"כ אתה משתמש בזה פעמיים (כדי להראות ש: <math>\bigcup_{i=1}^n A_i \cap \bigcup_{j=1}^m B_j' = \bigcup_{i=1}^n(A_i \cap \bigcup_{j=1}^m B_j') = \bigcup_{i=1}^n \bigcup_{j=1}^m (A_i \cap B_j')</math>). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 19:01, 26 ביולי 2010 (IDT)

== לינארית: תרגיל 1, 2.8א ==

אתה רוצה להראות ש-<math>\frac{1}{a+b\sqrt{p}} \in \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math>. מתקיים: <math>\frac{1}{a+b\sqrt{p}} = \frac{a-b\sqrt{p}}{a^2-b^2 p}</math>. מכיוון ש-<math>a^2-b^2 p \in \mathbb{F}</math> הטענה נכונה. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 18:46, 27 ביולי 2010 (IDT)
:<math>\left(a^2-b^2 p\right)^{-1} \in \mathbb{F} \subset \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math> ולכן <math>\frac{a}{a^2-b^2 p} \in \mathbb{F} \and \frac{-b}{a^2-b^2 p} \in \mathbb{F}</math>. לפי הגדרת <math>\mathbb{F}[\sqrt{p}]</math> ולפי דיסטריביוטיביות (שאותה צ"ל, זה קל) נובע ש-<math> \frac{a-b\sqrt{p}}{a^2-b^2 p} \in \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math> ואז, לפי <math>x^2-y^2=(x+y)(x-y)</math> (צ"ל), <math>\frac{x}{x}=1</math> ואסוציאטיביות (צ"ל) מתקיים <math> \frac{a-b\sqrt{p}}{a^2-b^2 p} = \frac{1}{a+b\sqrt{p}} \in \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 19:44, 27 ביולי 2010 (IDT)
::בזכות תומר שמתי לב ש-p לא בהכרח שייך ל-F, חכו. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 20:07, 27 ביולי 2010 (IDT)
:::ברגע שמוכיחים סגירות נובע מכך: <math>a^2-b^2 p \in \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math>. ניסיתי להוכיח סגירות: <math>(a+b\sqrt{p})(c+d\sqrt{p})=^\text{(distributivity)}ac+bdp+ad\sqrt{p}+bc\sqrt{p}=^\text{(associativity)}(ac+bdp)+(ad+bc)\sqrt{p}</math>. בזכות הגדרת <math>\mathbb{F}[\sqrt{p}]</math>, נותר להוכיח ש-<math>ac+bdp \in \mathbb{F}</math>, אבל בגלל קיום איבר נגדי, איבר הופכי וסגירות החיבור והכפל ב-F, צריך להתקיים ש-p שייך ל-F. חכו רגע, או שטעיתי או שיש פה משהו מתוחכם שלא ראיתי. נ.ב. נמרוד, למה מחקת? -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 20:37, 27 ביולי 2010 (IDT)

בגלל שעדיף לא לציין מה שיש בו טעות אלה רק מה שנכון
:חשבתי שאולי תנסו למצוא טעות (ואולי נובע מכך שלכל תת-שדה של R כל הראשוניים שייכים לתת-שדה). בכל מקרה, רוב מה שכתבתי ישמש אותנו גם אם טעיתי. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:20, 27 ביולי 2010 (IDT)

שיחת משתמש:Nimrod

2010-07-27T19:23:46Z

תומר זוארץ: /* לינארית: תרגיל 1, 2.8א */

שיחת משתמש:Nimrod

2010-07-27T19:23:20Z

תומר זוארץ: /* לינארית: תרגיל 1, 2.8א */

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-07-27T16:50:57Z

תומר זוארץ: /* שאלות */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>
= הוראות =
כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על ''' [עריכה]''' (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

'''<nowiki>== כותרת לשאלה ==</nowiki>'''

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על '''שמירה''' למטה מימין

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע"א - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - יהיה בהמשך

=שאלות=

==קריטריון מקוצר לתת-שדה==

לפי הקריטריון צריך להוכיח שהקבוצה הנתונה היא תת-קבוצה של R וכל שני איברים המוכלים בה מהצורה <math>a+b\sqrt p</math> מקיימים <math>((a+b\sqrt p)(c+d\sqrt p)^{-1})\in \mathbb{F} [\sqrt p]</math> ועוד תנאי שאותו קל להוכיח, השאלה איך אפשר בכלל להוכיח שכפל בהופכי של מס' מסויים (המכפלה היא לא בין מספר והופכו אלא הופכי של מס' אחר) תקיים סגירות?
תודה מראש.

==שאלה 1.8ב'==

נתון לי ש-<math>a^2+1=0-->a=\sqrt (-1)</math> אז בגלל שנתון ששדה FxF עם אותן הגדרות כמו ב-C אז הוא מורכב מזוגות סדורים (a,b) כאשר הם שייכים ל-R. נתון לי ש-<math>a\in \mathbb{F}--->(a,a)\in \mathbb{F} \times \mathbb{F}</math> ולכן לא הגיוני ש-a יהיה שווה לאיבר שאינו ממשי, כי אז תהיה סתירה ו-FxF לא יהיה שדה. האם ההסבר מספיק ונכון?

==תרגיל 2.8א'==
בקושי דיברנו על תתי-שדות בכיתה, ואני לא מבין מה אנחנו צריכים לעשות ב-2.8א'.. זאת בעצם קבוצה שמכילה את שדה F ואת האיבר <math>\sqrt p</math> אז אני צריך להוכיח שהיא שדה? עם כל התכונות? או שאני יכול להסתמך על כך שאם <math>a,b\in \mathbb{F} </math> וגם <math> \mathbb{F} \subseteq \mathbb{R} </math> אזי <math> a,b \in \mathbb{R} \wedge \sqrt p \in \mathbb{R}</math>
ואז לכל איבר בקבוצה <math>\mathbb{F}[\sqrt p]</math> מתקיימות התכונות (כי הן מתקיימות גם ב-R).. ו-F בכל מקרה מקיים את התכונות כי F תת-שדה של R..? לא הבנתי כל כך ואשמח להכוונה..

===תשובה===
מה שתארת לא מספיק. העובדה שכל האיברים נמצאים בשדה רק אומר שזה '''תת-קבוצה''' ולא אומרת בהכרח שזה '''תת שדה'''. למשל השלמים הם תת קבוצה של הממשיים אך אינם תת שדה (כי למשל אין להם הופכי).

אפשר להשתמש בקריטריון המקוצר לבדיקת תת שדה שמצויין למעלה באותו עמוד.

--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:05, 26 ביולי 2010 (IDT)

==שאלה 1.7==
המרצה הזכיר שכל <math>P^n, P (prime), n\in \mathbb{N}</math> כאשר n פריק ו-P ראשוני (Prime) הוא שדה.. ועבור <math>7^2</math> יש 49 איברים, אם המערכת תניב אינסוף פתרונות, בהנחה שאף פיתרון לא חוזר על עצמו, יהיו 49 פתרונות שונים, נכון?
או שאוכל להשתמש ב-<math>\mathbb{Z}_7</math> שיש לו 7 פתרונות שונים עבור מקרה של אינסוף פתרונות, ולהגיע איכשהו ל-49 פתרונות.. המרצה אמר לי שעדיף להשתמש בזה בדרך מסויימת.. מתרגל יכול לתת כיוון?
תודה מראש, [[משתמש:תומר זוארץ|תומר זוארץ]] 15:43, 26 ביולי 2010 (IDT)

:לא הבנתי מהו השדה בדוגמא הראשונה ומה אלו הסימונים האלה. יש שדות בגדלים האלה, אני לא בטוח שלמדתם אותם. הכיוון השני אכן עדיף.

::לא למדנו את השדות האלו, אך גם לא למדנו איך להגיע מ-<math>\mathbb{Z}_7</math> לשדה עם 49 איברים.. אחד המתרגלים יכול לתת כיוון/רמז?
:::אתה מדבר עם אחד המתרגלים :) בכל אופן, אתה לא צריך להגיע לשדה עם 49 איברים בשביל למצוא מערכת משוואות עם 49 פתרונות, יש דרכים אחרות. כמו שאמרתי תנסה לעשות לבד כמה דוגמאות עם מספרים קטנים יותר. תיצור מערכות משוואות ותספור את הפתרונות. אם לא תצליח, אז תשאל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:36, 26 ביולי 2010 (IDT)

::::בעצם לכל מערכת משוואות שאפתור, יתקבל פתרון יחיד/אף פתרון/אינסוף פתרונות. אם אפתור מערכת מעל R, אני יכול לקבל פיתרון יחיד עבור x,y,z או אף פיתרון, או אינסוף פיתרונות, כי אינסוף מספרים שייכים ל-R שיקיימו מצב כמו x=x.. לכן, אם אפתור מעל <math>\mathbb{Z}_7</math> ואקבל מצב של אינסוף פיתרונות, כמו למקרה x=x בעצם, זה לא באמת אינסוף, אלה למערכת כזו יש 7 פתרונות, כמספר האיברים במודולו 7. לכן חשבתי אם אקבל מקרה של אינסוף פיתרונות מעל שדה ובו 49 איברים, יהיו לי 49 פתרונות שונים.. גם בהרצאה וגם בתרגול לא דיברנו על הקשר בין מס' המשוואות והנעלמים למס' הפתרונות, ואין לי מושג איזה פעולות עליי לבצע על <math>\mathbb{Z}_7</math> לדוגמא, כדי לקבל מצב כזה..
:::::האם פתרת מערכות משוואות לדוגמא וספרת את מספר הפתרונות? מעל נגיד Z_2

::::::אני יכול לקבל פיתרון יחיד, אף פיתרון או 2 פתרונות עבור מצב של אינסוף פתרונות..

:::::::זה לא נכון. תנסה מספר מערכות עם מספר שונה של משוואות ומספר שונה של נעלמים ותספור את הפתרונות.

תודה רבה, כבר הסתדרתי, זה כל כך פשוט איך לא חשבתי על זה קודם![[משתמש:תומר זוארץ|תומר זוארץ]] 23:38, 26 ביולי 2010 (IDT)

===רמז===
מועצת השבט התכנסה והחליטה לתת לכם מעין רמז מנחה: כמה אפשרויות יש לבחירת זוג סדור מתוך קבוצה בת 5 איברים? [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:48, 26 ביולי 2010 (IDT)

==שאלה 1.7 במשוואות ליניאריות==
אם אני רוצה למצוא מערכת בעלת 49 פתרונות בדיוק מספיק לומר כך:
<math>
\begin{cases} a_{1,1}x_1+\cdots +a_{1,49}x_{49}=b_1 \\ \vdots \\ a_{49,1}x_1+\cdots +a_{49,49}x_{49}=b_{49} \end{cases}
</math>
מעל <math>\mathbb{R}</math> ?

:למערכת זו יש 49 נעלמים לא 49 פתרונות. יכול להיות שיש לה פתרון יחיד, אינסוף פתרון או אין פתרונות כלל. זו אינה תשובה נכונה, תחשוב שוב.
::{{התנגשות}}למה אתה מתכוון "מספיק לומר"? שזה תקני מבחינת הבוחנים (שלא יורידו לך על ניסוח לא נכון, ואז אני מניח שכן)? שזה באמת יתן לך מערכת בעלת 49 פתרונות (ואז לא, אלא אם ידוע גם שבכל משוואה קיים לפחות מקדם לא חופשי אחד השונה מ-0 ואין שתי משוואות שקבוצת הפתרונות שלהן זהה)? -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 22:54, 25 ביולי 2010 (IDT)
:::למערכת משוואות ליניאריות מעל <math>\mathbb{R}</math> לעולם אין 49 פתרונות! ייתכנו אינסוף פתרונות, פיתרון אחד או אף לא פיתרון אחד. כנ"ל לגבי שדה המרוכבים. אתה צריך לפנות למערכות מעל שדות אחרים שנלמדו בקורס. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:29, 25 ביולי 2010 (IDT)

::::אתם מתכוונים שאני צריך לקחת שדה, שיש בו 49 איברים, כמו <math>Z_{49}</math> ואז ליצור מצב של אינסוף פתרונות, מה שמוביל אותי ל-49?''' '''ודרך אגב, אם המודולו הוא חזקה של מס' ראשוני, הוא גם שדה?

:::::בכל מקרה לא צריך לכתוב פה תשובות, רק שאלות :) אבל זו גם לא תשובה מדויקת. למדנו ש<math>\mathbb{Z}_p</math> שדה אם"ם p ראשוני. 49 אינו ראשוני.

::::::נכון אבל המרצה הזכיר משהו לגבי חזקות של מספרים ראשוניים..
::::::: אז תחשוב כיצד ניתן לפתור את התרגיל בהתחשב בידע הזה, או שתפתח את המחברת ותחפש מה המרצה הזכיר. זה לא מאד מסובך, אני ממליץ לנסות לחשב כמה דוגמאות

==שאלה 1.3 ב ==
לא הבנתי מה צריך להוכיח שם הרי מה שהם נתנו שם זה בדיוק תכונת הצימצום אז איך אמורים להראות שזה נובע מתכונת הצימצום..?

===תשובה===
שים לב להבדל בין הנוסח של סעיף אחד לסעיף א'. "מצא את ההבדלים"
:או בתשובה קצת יותר ברורה, אתה הופך את הביטוי בסעיף ב לביטוי שבסעיף א (באופן פשוט שהייתי רושם אותו כאן אבל נראה לי שהמתרגלים יכעסו אם אעשה זאת) ואז משתמש בתכונת הצמצום.

==שאלה חשובה וקצרה על 3.1 (לא אותו אחד שכתב את השאלות האחרות)==
איך אפשר להוכיח שהקבוצה עם התכונה הנתונה <math>a^2 +1 =0</math> היא לא שדה, אם בכלל לא הגדרנו מה זה "בריבוע"? אמורים להוכיח שקבוצה כלשהי היא לא שדה אם אחת מהתכונות של השדה (מוגדרות וכו') לא מתקיימת שם. אבל בתכונות האלה של השדה אין אזכור בכלל לאיבר בריבוע, אז איך אפשר להוכיח שהקבוצה היא לא שדה? תודה.

:בעצם <math>a^2=a\cdot a</math> ז"א, זה נובע מכפל, לכן זה לא משנה איך תכתוב את זה.. דרך טובה לפתור את השאלה הזאת, היא להניח ש-<math>F\times F</math> שדה, ואז להראות שכאשר אנו משתמשים באחת התכונות שלו, זה מוביל לסתירה..

::הכותב שמעליי צודק. לפי הגדרה <math>a^2=a\cdot a</math> כפי שהגדרנו בתרגיל כשפתרנו את השאלה עם סכום של סדרה הנדסית <math>S=1+q+q^2+...+q^n</math>.

==עוד שאלה על תרגיל 3.1,סעיף ב==
את רוב הדברים קל להוכיח, ההוכחה זהה בעצם להוכחה בסעיף הקודם, חוץ מהאיברים ההופכים לכפל: צריך להוכיח ש <math>a/(a^2+b^2)</math> ו<math>b-/(a^2+b^2)</math> שונים מ- i, כי הם צריכים להיות איברים של F ובגלל הסגירות של שדה המרוכבים, אני לא רואה סיבה שהם יהיה שונים מ- i. בנוסף ניסיתי ולא הצלחתי להתקרב להוכחה בנושא. יש אולי שגיאה בצורת החשיבה שלי?

===תשובה===
דבר ראשון אני לא מבין את הקישור לשדה המרוכבים ול-i, מדובר על שדה F כללי. הכפל והחיבור מוגדרים בצורה דומה לשדה המרוכבים (הנוסחאות רשומות מעל השאלה).

יש להוכיח שאם התכונה הספציפית בF מתקיימת אזי FxF עם הכפל והחיבור שמוגדרים למעלה אינו שדה.

==תרגיל 3.1,סעיף ב==
בסעיף ב צריך להוכיח שFxF הוא שדה אם הוא מקיים את התנאי, או רק להוכיח שהוא לא שדה אם התנאי לא מתקיים?

:תניח בשלילה ש-FxF שדה, ותשתמש בתכונה שלו <math>a^2+1=0</math> ואז כשתגיע לסתירה, בעצם ההנחה לא נכונה ו-FxF לא שדה..

===תשובה===
צריך רק להוכיח שהוא אינו שדה אם קיים a שכזה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:57, 24 ביולי 2010 (IDT)

==הגשת תרגיל 1==
שלום רב,

למתי צריך להגיש את תרגיל 1?

תודה רבה מראש.

:עוד לא התחלנו ללמוד, וכבר אתה רוצה להגיש תרגיל? :) נודיע לכם מחר בשיעור. (אגב, אם אתה רוצה לרדת שורה, תשאיר שורת רווח - ראה דף עזרה).

::1/8. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 16:01, 22 ביולי 2010 (IDT)

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-07-27T15:39:39Z

תומר זוארץ: /* שאלות */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>
= הוראות =
כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על ''' [עריכה]''' (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

'''<nowiki>== כותרת לשאלה ==</nowiki>'''

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על '''שמירה''' למטה מימין

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע"א - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - יהיה בהמשך

=שאלות=

==קריטריון מקוצר לתת-שדה==

לפי הקריטריון צריך להוכיח שהקבוצה הנתונה היא תת-קבוצה של R וכל שני איברים המוכלים בה מהצורה <math>a+b\sqrt p</math> מקיימים <math>((a+b\sqrt p)(c+d\sqrt p)^{-1})\in \mathbb{F} [\sqrt p]</math> ועוד תנאי שאותו קל להוכיח, השאלה איך אפשר בכלל להוכיח שכפל בהופכי של מס' מסויים (המכפלה היא לא בין מספר והופכו אלא הופכי של מס' אחר) תקיים סגירות?
תודה מראש.

==תרגיל 2.8א'==
בקושי דיברנו על תתי-שדות בכיתה, ואני לא מבין מה אנחנו צריכים לעשות ב-2.8א'.. זאת בעצם קבוצה שמכילה את שדה F ואת האיבר <math>\sqrt p</math> אז אני צריך להוכיח שהיא שדה? עם כל התכונות? או שאני יכול להסתמך על כך שאם <math>a,b\in \mathbb{F} </math> וגם <math> \mathbb{F} \subseteq \mathbb{R} </math> אזי <math> a,b \in \mathbb{R} \wedge \sqrt p \in \mathbb{R}</math>
ואז לכל איבר בקבוצה <math>\mathbb{F}[\sqrt p]</math> מתקיימות התכונות (כי הן מתקיימות גם ב-R).. ו-F בכל מקרה מקיים את התכונות כי F תת-שדה של R..? לא הבנתי כל כך ואשמח להכוונה..

===תשובה===
מה שתארת לא מספיק. העובדה שכל האיברים נמצאים בשדה רק אומר שזה '''תת-קבוצה''' ולא אומרת בהכרח שזה '''תת שדה'''. למשל השלמים הם תת קבוצה של הממשיים אך אינם תת שדה (כי למשל אין להם הופכי).

אפשר להשתמש בקריטריון המקוצר לבדיקת תת שדה שמצויין למעלה באותו עמוד.

--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:05, 26 ביולי 2010 (IDT)

==שאלה 1.7==
המרצה הזכיר שכל <math>P^n, P (prime), n\in \mathbb{N}</math> כאשר n פריק ו-P ראשוני (Prime) הוא שדה.. ועבור <math>7^2</math> יש 49 איברים, אם המערכת תניב אינסוף פתרונות, בהנחה שאף פיתרון לא חוזר על עצמו, יהיו 49 פתרונות שונים, נכון?
או שאוכל להשתמש ב-<math>\mathbb{Z}_7</math> שיש לו 7 פתרונות שונים עבור מקרה של אינסוף פתרונות, ולהגיע איכשהו ל-49 פתרונות.. המרצה אמר לי שעדיף להשתמש בזה בדרך מסויימת.. מתרגל יכול לתת כיוון?
תודה מראש, [[משתמש:תומר זוארץ|תומר זוארץ]] 15:43, 26 ביולי 2010 (IDT)

:לא הבנתי מהו השדה בדוגמא הראשונה ומה אלו הסימונים האלה. יש שדות בגדלים האלה, אני לא בטוח שלמדתם אותם. הכיוון השני אכן עדיף.

::לא למדנו את השדות האלו, אך גם לא למדנו איך להגיע מ-<math>\mathbb{Z}_7</math> לשדה עם 49 איברים.. אחד המתרגלים יכול לתת כיוון/רמז?
:::אתה מדבר עם אחד המתרגלים :) בכל אופן, אתה לא צריך להגיע לשדה עם 49 איברים בשביל למצוא מערכת משוואות עם 49 פתרונות, יש דרכים אחרות. כמו שאמרתי תנסה לעשות לבד כמה דוגמאות עם מספרים קטנים יותר. תיצור מערכות משוואות ותספור את הפתרונות. אם לא תצליח, אז תשאל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:36, 26 ביולי 2010 (IDT)

::::בעצם לכל מערכת משוואות שאפתור, יתקבל פתרון יחיד/אף פתרון/אינסוף פתרונות. אם אפתור מערכת מעל R, אני יכול לקבל פיתרון יחיד עבור x,y,z או אף פיתרון, או אינסוף פיתרונות, כי אינסוף מספרים שייכים ל-R שיקיימו מצב כמו x=x.. לכן, אם אפתור מעל <math>\mathbb{Z}_7</math> ואקבל מצב של אינסוף פיתרונות, כמו למקרה x=x בעצם, זה לא באמת אינסוף, אלה למערכת כזו יש 7 פתרונות, כמספר האיברים במודולו 7. לכן חשבתי אם אקבל מקרה של אינסוף פיתרונות מעל שדה ובו 49 איברים, יהיו לי 49 פתרונות שונים.. גם בהרצאה וגם בתרגול לא דיברנו על הקשר בין מס' המשוואות והנעלמים למס' הפתרונות, ואין לי מושג איזה פעולות עליי לבצע על <math>\mathbb{Z}_7</math> לדוגמא, כדי לקבל מצב כזה..
:::::האם פתרת מערכות משוואות לדוגמא וספרת את מספר הפתרונות? מעל נגיד Z_2

::::::אני יכול לקבל פיתרון יחיד, אף פיתרון או 2 פתרונות עבור מצב של אינסוף פתרונות..

:::::::זה לא נכון. תנסה מספר מערכות עם מספר שונה של משוואות ומספר שונה של נעלמים ותספור את הפתרונות.

תודה רבה, כבר הסתדרתי, זה כל כך פשוט איך לא חשבתי על זה קודם![[משתמש:תומר זוארץ|תומר זוארץ]] 23:38, 26 ביולי 2010 (IDT)

===רמז===
מועצת השבט התכנסה והחליטה לתת לכם מעין רמז מנחה: כמה אפשרויות יש לבחירת זוג סדור מתוך קבוצה בת 5 איברים? [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:48, 26 ביולי 2010 (IDT)

==שאלה 1.7 במשוואות ליניאריות==
אם אני רוצה למצוא מערכת בעלת 49 פתרונות בדיוק מספיק לומר כך:
<math>
\begin{cases} a_{1,1}x_1+\cdots +a_{1,49}x_{49}=b_1 \\ \vdots \\ a_{49,1}x_1+\cdots +a_{49,49}x_{49}=b_{49} \end{cases}
</math>
מעל <math>\mathbb{R}</math> ?

:למערכת זו יש 49 נעלמים לא 49 פתרונות. יכול להיות שיש לה פתרון יחיד, אינסוף פתרון או אין פתרונות כלל. זו אינה תשובה נכונה, תחשוב שוב.
::{{התנגשות}}למה אתה מתכוון "מספיק לומר"? שזה תקני מבחינת הבוחנים (שלא יורידו לך על ניסוח לא נכון, ואז אני מניח שכן)? שזה באמת יתן לך מערכת בעלת 49 פתרונות (ואז לא, אלא אם ידוע גם שבכל משוואה קיים לפחות מקדם לא חופשי אחד השונה מ-0 ואין שתי משוואות שקבוצת הפתרונות שלהן זהה)? -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 22:54, 25 ביולי 2010 (IDT)
:::למערכת משוואות ליניאריות מעל <math>\mathbb{R}</math> לעולם אין 49 פתרונות! ייתכנו אינסוף פתרונות, פיתרון אחד או אף לא פיתרון אחד. כנ"ל לגבי שדה המרוכבים. אתה צריך לפנות למערכות מעל שדות אחרים שנלמדו בקורס. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:29, 25 ביולי 2010 (IDT)

::::אתם מתכוונים שאני צריך לקחת שדה, שיש בו 49 איברים, כמו <math>Z_{49}</math> ואז ליצור מצב של אינסוף פתרונות, מה שמוביל אותי ל-49?''' '''ודרך אגב, אם המודולו הוא חזקה של מס' ראשוני, הוא גם שדה?

:::::בכל מקרה לא צריך לכתוב פה תשובות, רק שאלות :) אבל זו גם לא תשובה מדויקת. למדנו ש<math>\mathbb{Z}_p</math> שדה אם"ם p ראשוני. 49 אינו ראשוני.

::::::נכון אבל המרצה הזכיר משהו לגבי חזקות של מספרים ראשוניים..
::::::: אז תחשוב כיצד ניתן לפתור את התרגיל בהתחשב בידע הזה, או שתפתח את המחברת ותחפש מה המרצה הזכיר. זה לא מאד מסובך, אני ממליץ לנסות לחשב כמה דוגמאות

==שאלה 1.3 ב ==
לא הבנתי מה צריך להוכיח שם הרי מה שהם נתנו שם זה בדיוק תכונת הצימצום אז איך אמורים להראות שזה נובע מתכונת הצימצום..?

===תשובה===
שים לב להבדל בין הנוסח של סעיף אחד לסעיף א'. "מצא את ההבדלים"
:או בתשובה קצת יותר ברורה, אתה הופך את הביטוי בסעיף ב לביטוי שבסעיף א (באופן פשוט שהייתי רושם אותו כאן אבל נראה לי שהמתרגלים יכעסו אם אעשה זאת) ואז משתמש בתכונת הצמצום.

==שאלה חשובה וקצרה על 3.1 (לא אותו אחד שכתב את השאלות האחרות)==
איך אפשר להוכיח שהקבוצה עם התכונה הנתונה <math>a^2 +1 =0</math> היא לא שדה, אם בכלל לא הגדרנו מה זה "בריבוע"? אמורים להוכיח שקבוצה כלשהי היא לא שדה אם אחת מהתכונות של השדה (מוגדרות וכו') לא מתקיימת שם. אבל בתכונות האלה של השדה אין אזכור בכלל לאיבר בריבוע, אז איך אפשר להוכיח שהקבוצה היא לא שדה? תודה.

:בעצם <math>a^2=a\cdot a</math> ז"א, זה נובע מכפל, לכן זה לא משנה איך תכתוב את זה.. דרך טובה לפתור את השאלה הזאת, היא להניח ש-<math>F\times F</math> שדה, ואז להראות שכאשר אנו משתמשים באחת התכונות שלו, זה מוביל לסתירה..

::הכותב שמעליי צודק. לפי הגדרה <math>a^2=a\cdot a</math> כפי שהגדרנו בתרגיל כשפתרנו את השאלה עם סכום של סדרה הנדסית <math>S=1+q+q^2+...+q^n</math>.

==עוד שאלה על תרגיל 3.1,סעיף ב==
את רוב הדברים קל להוכיח, ההוכחה זהה בעצם להוכחה בסעיף הקודם, חוץ מהאיברים ההופכים לכפל: צריך להוכיח ש <math>a/(a^2+b^2)</math> ו<math>b-/(a^2+b^2)</math> שונים מ- i, כי הם צריכים להיות איברים של F ובגלל הסגירות של שדה המרוכבים, אני לא רואה סיבה שהם יהיה שונים מ- i. בנוסף ניסיתי ולא הצלחתי להתקרב להוכחה בנושא. יש אולי שגיאה בצורת החשיבה שלי?

===תשובה===
דבר ראשון אני לא מבין את הקישור לשדה המרוכבים ול-i, מדובר על שדה F כללי. הכפל והחיבור מוגדרים בצורה דומה לשדה המרוכבים (הנוסחאות רשומות מעל השאלה).

יש להוכיח שאם התכונה הספציפית בF מתקיימת אזי FxF עם הכפל והחיבור שמוגדרים למעלה אינו שדה.

==תרגיל 3.1,סעיף ב==
בסעיף ב צריך להוכיח שFxF הוא שדה אם הוא מקיים את התנאי, או רק להוכיח שהוא לא שדה אם התנאי לא מתקיים?

:תניח בשלילה ש-FxF שדה, ותשתמש בתכונה שלו <math>a^2+1=0</math> ואז כשתגיע לסתירה, בעצם ההנחה לא נכונה ו-FxF לא שדה..

===תשובה===
צריך רק להוכיח שהוא אינו שדה אם קיים a שכזה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:57, 24 ביולי 2010 (IDT)

==הגשת תרגיל 1==
שלום רב,

למתי צריך להגיש את תרגיל 1?

תודה רבה מראש.

:עוד לא התחלנו ללמוד, וכבר אתה רוצה להגיש תרגיל? :) נודיע לכם מחר בשיעור. (אגב, אם אתה רוצה לרדת שורה, תשאיר שורת רווח - ראה דף עזרה).

::1/8. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 16:01, 22 ביולי 2010 (IDT)

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-07-26T20:38:07Z

תומר זוארץ: /* שאלה 1.7 */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>
= הוראות =
כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על ''' [עריכה]''' (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

'''<nowiki>== כותרת לשאלה ==</nowiki>'''

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על '''שמירה''' למטה מימין

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע"א - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - יהיה בהמשך

=שאלות=
==תרגיל 2.8א'==
בקושי דיברנו על תתי-שדות בכיתה, ואני לא מבין מה אנחנו צריכים לעשות ב-2.8א'.. זאת בעצם קבוצה שמכילה את שדה F ואת האיבר <math>\sqrt p</math> אז אני צריך להוכיח שהיא שדה? עם כל התכונות? או שאני יכול להסתמך על כך שאם <math>a,b\in \mathbb{F} </math> וגם <math> \mathbb{F} \subseteq \mathbb{R} </math> אזי <math> a,b \in \mathbb{R} \wedge \sqrt p \in \mathbb{R}</math>
ואז לכל איבר בקבוצה <math>\mathbb{F}[\sqrt p]</math> מתקיימות התכונות (כי הן מתקיימות גם ב-R).. ו-F בכל מקרה מקיים את התכונות כי F תת-שדה של R..? לא הבנתי כל כך ואשמח להכוונה..

===תשובה===
מה שתארת לא מספיק. העובדה שכל האיברים נמצאים בשדה רק אומר שזה '''תת-קבוצה''' ולא אומרת בהכרח שזה '''תת שדה'''. למשל השלמים הם תת קבוצה של הממשיים אך אינם תת שדה (כי למשל אין להם הופכי).

אפשר להשתמש בקריטריון המקוצר לבדיקת תת שדה שמצויין למעלה באותו עמוד.

--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:05, 26 ביולי 2010 (IDT)

==שאלה 1.7==
המרצה הזכיר שכל <math>P^n, P (prime), n\in \mathbb{N}</math> כאשר n פריק ו-P ראשוני (Prime) הוא שדה.. ועבור <math>7^2</math> יש 49 איברים, אם המערכת תניב אינסוף פתרונות, בהנחה שאף פיתרון לא חוזר על עצמו, יהיו 49 פתרונות שונים, נכון?
או שאוכל להשתמש ב-<math>\mathbb{Z}_7</math> שיש לו 7 פתרונות שונים עבור מקרה של אינסוף פתרונות, ולהגיע איכשהו ל-49 פתרונות.. המרצה אמר לי שעדיף להשתמש בזה בדרך מסויימת.. מתרגל יכול לתת כיוון?
תודה מראש, [[משתמש:תומר זוארץ|תומר זוארץ]] 15:43, 26 ביולי 2010 (IDT)

:לא הבנתי מהו השדה בדוגמא הראשונה ומה אלו הסימונים האלה. יש שדות בגדלים האלה, אני לא בטוח שלמדתם אותם. הכיוון השני אכן עדיף.

::לא למדנו את השדות האלו, אך גם לא למדנו איך להגיע מ-<math>\mathbb{Z}_7</math> לשדה עם 49 איברים.. אחד המתרגלים יכול לתת כיוון/רמז?
:::אתה מדבר עם אחד המתרגלים :) בכל אופן, אתה לא צריך להגיע לשדה עם 49 איברים בשביל למצוא מערכת משוואות עם 49 פתרונות, יש דרכים אחרות. כמו שאמרתי תנסה לעשות לבד כמה דוגמאות עם מספרים קטנים יותר. תיצור מערכות משוואות ותספור את הפתרונות. אם לא תצליח, אז תשאל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:36, 26 ביולי 2010 (IDT)

::::בעצם לכל מערכת משוואות שאפתור, יתקבל פתרון יחיד/אף פתרון/אינסוף פתרונות. אם אפתור מערכת מעל R, אני יכול לקבל פיתרון יחיד עבור x,y,z או אף פיתרון, או אינסוף פיתרונות, כי אינסוף מספרים שייכים ל-R שיקיימו מצב כמו x=x.. לכן, אם אפתור מעל <math>\mathbb{Z}_7</math> ואקבל מצב של אינסוף פיתרונות, כמו למקרה x=x בעצם, זה לא באמת אינסוף, אלה למערכת כזו יש 7 פתרונות, כמספר האיברים במודולו 7. לכן חשבתי אם אקבל מקרה של אינסוף פיתרונות מעל שדה ובו 49 איברים, יהיו לי 49 פתרונות שונים.. גם בהרצאה וגם בתרגול לא דיברנו על הקשר בין מס' המשוואות והנעלמים למס' הפתרונות, ואין לי מושג איזה פעולות עליי לבצע על <math>\mathbb{Z}_7</math> לדוגמא, כדי לקבל מצב כזה..
:::::האם פתרת מערכות משוואות לדוגמא וספרת את מספר הפתרונות? מעל נגיד Z_2

::::::אני יכול לקבל פיתרון יחיד, אף פיתרון או 2 פתרונות עבור מצב של אינסוף פתרונות..

:::::::זה לא נכון. תנסה מספר מערכות עם מספר שונה של משוואות ומספר שונה של נעלמים ותספור את הפתרונות.

תודה רבה, כבר הסתדרתי, זה כל כך פשוט איך לא חשבתי על זה קודם![[משתמש:תומר זוארץ|תומר זוארץ]] 23:38, 26 ביולי 2010 (IDT)

===רמז===
מועצת השבט התכנסה והחליטה לתת לכם מעין רמז מנחה: כמה אפשרויות יש לבחירת זוג סדור מתוך קבוצה בת 5 איברים? [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:48, 26 ביולי 2010 (IDT)

==שאלה 1.7 במשוואות ליניאריות==
אם אני רוצה למצוא מערכת בעלת 49 פתרונות בדיוק מספיק לומר כך:
<math>
\begin{cases} a_{1,1}x_1+\cdots +a_{1,49}x_{49}=b_1 \\ \vdots \\ a_{49,1}x_1+\cdots +a_{49,49}x_{49}=b_{49} \end{cases}
</math>
מעל <math>\mathbb{R}</math> ?

:למערכת זו יש 49 נעלמים לא 49 פתרונות. יכול להיות שיש לה פתרון יחיד, אינסוף פתרון או אין פתרונות כלל. זו אינה תשובה נכונה, תחשוב שוב.
::{{התנגשות}}למה אתה מתכוון "מספיק לומר"? שזה תקני מבחינת הבוחנים (שלא יורידו לך על ניסוח לא נכון, ואז אני מניח שכן)? שזה באמת יתן לך מערכת בעלת 49 פתרונות (ואז לא, אלא אם ידוע גם שבכל משוואה קיים לפחות מקדם לא חופשי אחד השונה מ-0 ואין שתי משוואות שקבוצת הפתרונות שלהן זהה)? -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 22:54, 25 ביולי 2010 (IDT)
:::למערכת משוואות ליניאריות מעל <math>\mathbb{R}</math> לעולם אין 49 פתרונות! ייתכנו אינסוף פתרונות, פיתרון אחד או אף לא פיתרון אחד. כנ"ל לגבי שדה המרוכבים. אתה צריך לפנות למערכות מעל שדות אחרים שנלמדו בקורס. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:29, 25 ביולי 2010 (IDT)

::::אתם מתכוונים שאני צריך לקחת שדה, שיש בו 49 איברים, כמו <math>Z_{49}</math> ואז ליצור מצב של אינסוף פתרונות, מה שמוביל אותי ל-49?''' '''ודרך אגב, אם המודולו הוא חזקה של מס' ראשוני, הוא גם שדה?

:::::בכל מקרה לא צריך לכתוב פה תשובות, רק שאלות :) אבל זו גם לא תשובה מדויקת. למדנו ש<math>\mathbb{Z}_p</math> שדה אם"ם p ראשוני. 49 אינו ראשוני.

::::::נכון אבל המרצה הזכיר משהו לגבי חזקות של מספרים ראשוניים..
::::::: אז תחשוב כיצד ניתן לפתור את התרגיל בהתחשב בידע הזה, או שתפתח את המחברת ותחפש מה המרצה הזכיר. זה לא מאד מסובך, אני ממליץ לנסות לחשב כמה דוגמאות

==שאלה 1.3 ב ==
לא הבנתי מה צריך להוכיח שם הרי מה שהם נתנו שם זה בדיוק תכונת הצימצום אז איך אמורים להראות שזה נובע מתכונת הצימצום..?

===תשובה===
שים לב להבדל בין הנוסח של סעיף אחד לסעיף א'. "מצא את ההבדלים"
:או בתשובה קצת יותר ברורה, אתה הופך את הביטוי בסעיף ב לביטוי שבסעיף א (באופן פשוט שהייתי רושם אותו כאן אבל נראה לי שהמתרגלים יכעסו אם אעשה זאת) ואז משתמש בתכונת הצמצום.

==שאלה חשובה וקצרה על 3.1 (לא אותו אחד שכתב את השאלות האחרות)==
איך אפשר להוכיח שהקבוצה עם התכונה הנתונה <math>a^2 +1 =0</math> היא לא שדה, אם בכלל לא הגדרנו מה זה "בריבוע"? אמורים להוכיח שקבוצה כלשהי היא לא שדה אם אחת מהתכונות של השדה (מוגדרות וכו') לא מתקיימת שם. אבל בתכונות האלה של השדה אין אזכור בכלל לאיבר בריבוע, אז איך אפשר להוכיח שהקבוצה היא לא שדה? תודה.

:בעצם <math>a^2=a\cdot a</math> ז"א, זה נובע מכפל, לכן זה לא משנה איך תכתוב את זה.. דרך טובה לפתור את השאלה הזאת, היא להניח ש-<math>F\times F</math> שדה, ואז להראות שכאשר אנו משתמשים באחת התכונות שלו, זה מוביל לסתירה..

::הכותב שמעליי צודק. לפי הגדרה <math>a^2=a\cdot a</math> כפי שהגדרנו בתרגיל כשפתרנו את השאלה עם סכום של סדרה הנדסית <math>S=1+q+q^2+...+q^n</math>.

==עוד שאלה על תרגיל 3.1,סעיף ב==
את רוב הדברים קל להוכיח, ההוכחה זהה בעצם להוכחה בסעיף הקודם, חוץ מהאיברים ההופכים לכפל: צריך להוכיח ש <math>a/(a^2+b^2)</math> ו<math>b-/(a^2+b^2)</math> שונים מ- i, כי הם צריכים להיות איברים של F ובגלל הסגירות של שדה המרוכבים, אני לא רואה סיבה שהם יהיה שונים מ- i. בנוסף ניסיתי ולא הצלחתי להתקרב להוכחה בנושא. יש אולי שגיאה בצורת החשיבה שלי?

===תשובה===
דבר ראשון אני לא מבין את הקישור לשדה המרוכבים ול-i, מדובר על שדה F כללי. הכפל והחיבור מוגדרים בצורה דומה לשדה המרוכבים (הנוסחאות רשומות מעל השאלה).

יש להוכיח שאם התכונה הספציפית בF מתקיימת אזי FxF עם הכפל והחיבור שמוגדרים למעלה אינו שדה.

==תרגיל 3.1,סעיף ב==
בסעיף ב צריך להוכיח שFxF הוא שדה אם הוא מקיים את התנאי, או רק להוכיח שהוא לא שדה אם התנאי לא מתקיים?

:תניח בשלילה ש-FxF שדה, ותשתמש בתכונה שלו <math>a^2+1=0</math> ואז כשתגיע לסתירה, בעצם ההנחה לא נכונה ו-FxF לא שדה..

===תשובה===
צריך רק להוכיח שהוא אינו שדה אם קיים a שכזה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:57, 24 ביולי 2010 (IDT)

==הגשת תרגיל 1==
שלום רב,

למתי צריך להגיש את תרגיל 1?

תודה רבה מראש.

:עוד לא התחלנו ללמוד, וכבר אתה רוצה להגיש תרגיל? :) נודיע לכם מחר בשיעור. (אגב, אם אתה רוצה לרדת שורה, תשאיר שורת רווח - ראה דף עזרה).

::1/8. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 16:01, 22 ביולי 2010 (IDT)

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-07-26T16:03:53Z

תומר זוארץ: /* שאלה 1.7 */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>
= הוראות =
כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על ''' [עריכה]''' (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

'''<nowiki>== כותרת לשאלה ==</nowiki>'''

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על '''שמירה''' למטה מימין

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע"א - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - יהיה בהמשך

=שאלות=
==תרגיל 2.8א'==
בקושי דיברנו על תתי-שדות בכיתה, ואני לא מבין מה אנחנו צריכים לעשות ב-2.8א'.. זאת בעצם קבוצה שמכילה את שדה F ואת האיבר <math>\sqrt p</math> אז אני צריך להוכיח שהיא שדה? עם כל התכונות? או שאני יכול להסתמך על כך שאם <math>a,b\in \mathbb{F} </math> וגם <math> \mathbb{F} \subseteq \mathbb{R} </math> אזי <math> a,b \in \mathbb{R} \wedge \sqrt p \in \mathbb{R}</math>
ואז לכל איבר בקבוצה <math>\mathbb{F}[\sqrt p]</math> מתקיימות התכונות (כי הן מתקיימות גם ב-R).. ו-F בכל מקרה מקיים את התכונות כי F תת-שדה של R..? לא הבנתי כל כך ואשמח להכוונה..

===תשובה===
מה שתארת לא מספיק. העובדה שכל האיברים נמצאים בשדה רק אומר שזה '''תת-קבוצה''' ולא אומרת בהכרח שזה '''תת שדה'''. למשל השלמים הם תת קבוצה של הממשיים אך אינם תת שדה (כי למשל אין להם הופכי).

אפשר להשתמש בקריטריון המקוצר לבדיקת תת שדה שמצויין למעלה באותו עמוד.

--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:05, 26 ביולי 2010 (IDT)

==שאלה 1.7==
המרצה הזכיר שכל <math>P^n, P (prime), n\in \mathbb{N}</math> כאשר n פריק ו-P ראשוני (Prime) הוא שדה.. ועבור <math>7^2</math> יש 49 איברים, אם המערכת תניב אינסוף פתרונות, בהנחה שאף פיתרון לא חוזר על עצמו, יהיו 49 פתרונות שונים, נכון?
או שאוכל להשתמש ב-<math>\mathbb{Z}_7</math> שיש לו 7 פתרונות שונים עבור מקרה של אינסוף פתרונות, ולהגיע איכשהו ל-49 פתרונות.. המרצה אמר לי שעדיף להשתמש בזה בדרך מסויימת.. מתרגל יכול לתת כיוון?
תודה מראש, [[משתמש:תומר זוארץ|תומר זוארץ]] 15:43, 26 ביולי 2010 (IDT)

:לא הבנתי מהו השדה בדוגמא הראשונה ומה אלו הסימונים האלה. יש שדות בגדלים האלה, אני לא בטוח שלמדתם אותם. הכיוון השני אכן עדיף.

::לא למדנו את השדות האלו, אך גם לא למדנו איך להגיע מ-<math>\mathbb{Z}_7</math> לשדה עם 49 איברים.. אחד המתרגלים יכול לתת כיוון/רמז?
:::אתה מדבר עם אחד המתרגלים :) בכל אופן, אתה לא צריך להגיע לשדה עם 49 איברים בשביל למצוא מערכת משוואות עם 49 פתרונות, יש דרכים אחרות. כמו שאמרתי תנסה לעשות לבד כמה דוגמאות עם מספרים קטנים יותר. תיצור מערכות משוואות ותספור את הפתרונות. אם לא תצליח, אז תשאל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:36, 26 ביולי 2010 (IDT)

::::בעצם לכל מערכת משוואות שאפתור, יתקבל פתרון יחיד/אף פתרון/אינסוף פתרונות. אם אפתור מערכת מעל R, אני יכול לקבל פיתרון יחיד עבור x,y,z או אף פיתרון, או אינסוף פיתרונות, כי אינסוף מספרים שייכים ל-R שיקיימו מצב כמו x=x.. לכן, אם אפתור מעל <math>\mathbb{Z}_7</math> ואקבל מצב של אינסוף פיתרונות, כמו למקרה x=x בעצם, זה לא באמת אינסוף, אלה למערכת כזו יש 7 פתרונות, כמספר האיברים במודולו 7. לכן חשבתי אם אקבל מקרה של אינסוף פיתרונות מעל שדה ובו 49 איברים, יהיו לי 49 פתרונות שונים.. גם בהרצאה וגם בתרגול לא דיברנו על הקשר בין מס' המשוואות והנעלמים למס' הפתרונות, ואין לי מושג איזה פעולות עליי לבצע על <math>\mathbb{Z}_7</math> לדוגמא, כדי לקבל מצב כזה..
:::::האם פתרת מערכות משוואות לדוגמא וספרת את מספר הפתרונות? מעל נגיד Z_2

אני יכול לקבל פיתרון יחיד, אף פיתרון או 2 פתרונות עבור מצב של אינסוף פתרונות..

==שאלה 1.7 במשוואות ליניאריות==
אם אני רוצה למצוא מערכת בעלת 49 פתרונות בדיוק מספיק לומר כך:
<math>
\begin{cases} a_{1,1}x_1+\cdots +a_{1,49}x_{49}=b_1 \\ \vdots \\ a_{49,1}x_1+\cdots +a_{49,49}x_{49}=b_{49} \end{cases}
</math>
מעל <math>\mathbb{R}</math> ?

:למערכת זו יש 49 נעלמים לא 49 פתרונות. יכול להיות שיש לה פתרון יחיד, אינסוף פתרון או אין פתרונות כלל. זו אינה תשובה נכונה, תחשוב שוב.
::{{התנגשות}}למה אתה מתכוון "מספיק לומר"? שזה תקני מבחינת הבוחנים (שלא יורידו לך על ניסוח לא נכון, ואז אני מניח שכן)? שזה באמת יתן לך מערכת בעלת 49 פתרונות (ואז לא, אלא אם ידוע גם שבכל משוואה קיים לפחות מקדם לא חופשי אחד השונה מ-0 ואין שתי משוואות שקבוצת הפתרונות שלהן זהה)? -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 22:54, 25 ביולי 2010 (IDT)
:::למערכת משוואות ליניאריות מעל <math>\mathbb{R}</math> לעולם אין 49 פתרונות! ייתכנו אינסוף פתרונות, פיתרון אחד או אף לא פיתרון אחד. כנ"ל לגבי שדה המרוכבים. אתה צריך לפנות למערכות מעל שדות אחרים שנלמדו בקורס. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:29, 25 ביולי 2010 (IDT)

::::אתם מתכוונים שאני צריך לקחת שדה, שיש בו 49 איברים, כמו <math>Z_{49}</math> ואז ליצור מצב של אינסוף פתרונות, מה שמוביל אותי ל-49?''' '''ודרך אגב, אם המודולו הוא חזקה של מס' ראשוני, הוא גם שדה?

:::::בכל מקרה לא צריך לכתוב פה תשובות, רק שאלות :) אבל זו גם לא תשובה מדויקת. למדנו ש<math>\mathbb{Z}_p</math> שדה אם"ם p ראשוני. 49 אינו ראשוני.

::::::נכון אבל המרצה הזכיר משהו לגבי חזקות של מספרים ראשוניים..
::::::: אז תחשוב כיצד ניתן לפתור את התרגיל בהתחשב בידע הזה, או שתפתח את המחברת ותחפש מה המרצה הזכיר. זה לא מאד מסובך, אני ממליץ לנסות לחשב כמה דוגמאות

==שאלה 1.3 ב ==
לא הבנתי מה צריך להוכיח שם הרי מה שהם נתנו שם זה בדיוק תכונת הצימצום אז איך אמורים להראות שזה נובע מתכונת הצימצום..?

===תשובה===
שים לב להבדל בין הנוסח של סעיף אחד לסעיף א'. "מצא את ההבדלים"
:או בתשובה קצת יותר ברורה, אתה הופך את הביטוי בסעיף ב לביטוי שבסעיף א (באופן פשוט שהייתי רושם אותו כאן אבל נראה לי שהמתרגלים יכעסו אם אעשה זאת) ואז משתמש בתכונת הצמצום.

==שאלה חשובה וקצרה על 3.1 (לא אותו אחד שכתב את השאלות האחרות)==
איך אפשר להוכיח שהקבוצה עם התכונה הנתונה <math>a^2 +1 =0</math> היא לא שדה, אם בכלל לא הגדרנו מה זה "בריבוע"? אמורים להוכיח שקבוצה כלשהי היא לא שדה אם אחת מהתכונות של השדה (מוגדרות וכו') לא מתקיימת שם. אבל בתכונות האלה של השדה אין אזכור בכלל לאיבר בריבוע, אז איך אפשר להוכיח שהקבוצה היא לא שדה? תודה.

:בעצם <math>a^2=a\cdot a</math> ז"א, זה נובע מכפל, לכן זה לא משנה איך תכתוב את זה.. דרך טובה לפתור את השאלה הזאת, היא להניח ש-<math>F\times F</math> שדה, ואז להראות שכאשר אנו משתמשים באחת התכונות שלו, זה מוביל לסתירה..

::הכותב שמעליי צודק. לפי הגדרה <math>a^2=a\cdot a</math> כפי שהגדרנו בתרגיל כשפתרנו את השאלה עם סכום של סדרה הנדסית <math>S=1+q+q^2+...+q^n</math>.

==עוד שאלה על תרגיל 3.1,סעיף ב==
את רוב הדברים קל להוכיח, ההוכחה זהה בעצם להוכחה בסעיף הקודם, חוץ מהאיברים ההופכים לכפל: צריך להוכיח ש <math>a/(a^2+b^2)</math> ו<math>b-/(a^2+b^2)</math> שונים מ- i, כי הם צריכים להיות איברים של F ובגלל הסגירות של שדה המרוכבים, אני לא רואה סיבה שהם יהיה שונים מ- i. בנוסף ניסיתי ולא הצלחתי להתקרב להוכחה בנושא. יש אולי שגיאה בצורת החשיבה שלי?

===תשובה===
דבר ראשון אני לא מבין את הקישור לשדה המרוכבים ול-i, מדובר על שדה F כללי. הכפל והחיבור מוגדרים בצורה דומה לשדה המרוכבים (הנוסחאות רשומות מעל השאלה).

יש להוכיח שאם התכונה הספציפית בF מתקיימת אזי FxF עם הכפל והחיבור שמוגדרים למעלה אינו שדה.

==תרגיל 3.1,סעיף ב==
בסעיף ב צריך להוכיח שFxF הוא שדה אם הוא מקיים את התנאי, או רק להוכיח שהוא לא שדה אם התנאי לא מתקיים?

:תניח בשלילה ש-FxF שדה, ותשתמש בתכונה שלו <math>a^2+1=0</math> ואז כשתגיע לסתירה, בעצם ההנחה לא נכונה ו-FxF לא שדה..

===תשובה===
צריך רק להוכיח שהוא אינו שדה אם קיים a שכזה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:57, 24 ביולי 2010 (IDT)

==הגשת תרגיל 1==
שלום רב,

למתי צריך להגיש את תרגיל 1?

תודה רבה מראש.

:עוד לא התחלנו ללמוד, וכבר אתה רוצה להגיש תרגיל? :) נודיע לכם מחר בשיעור. (אגב, אם אתה רוצה לרדת שורה, תשאיר שורת רווח - ראה דף עזרה).

::1/8. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 16:01, 22 ביולי 2010 (IDT)

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-07-26T15:31:35Z

תומר זוארץ: /* שאלה 1.7 */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>
= הוראות =
כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על ''' [עריכה]''' (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

'''<nowiki>== כותרת לשאלה ==</nowiki>'''

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על '''שמירה''' למטה מימין

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע"א - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - יהיה בהמשך

=שאלות=
==תרגיל 2.8א'==
בקושי דיברנו על תתי-שדות בכיתה, ואני לא מבין מה אנחנו צריכים לעשות ב-2.8א'.. זאת בעצם קבוצה שמכילה את שדה F ואת האיבר <math>\sqrt p</math> אז אני צריך להוכיח שהיא שדה? עם כל התכונות? או שאני יכול להסתמך על כך שאם <math>a,b\in \mathbb{F} </math> וגם <math> \mathbb{F} \subseteq \mathbb{R} </math> אזי <math> a,b \in \mathbb{R} \wedge \sqrt p \in \mathbb{R}</math>
ואז לכל איבר בקבוצה <math>\mathbb{F}[\sqrt p]</math> מתקיימות התכונות (כי הן מתקיימות גם ב-R).. ו-F בכל מקרה מקיים את התכונות כי F תת-שדה של R..? לא הבנתי כל כך ואשמח להכוונה..

===תשובה===
מה שתארת לא מספיק. העובדה שכל האיברים נמצאים בשדה רק אומר שזה '''תת-קבוצה''' ולא אומרת בהכרח שזה '''תת שדה'''. למשל השלמים הם תת קבוצה של הממשיים אך אינם תת שדה (כי למשל אין להם הופכי).

אפשר להשתמש בקריטריון המקוצר לבדיקת תת שדה שמצויין למעלה באותו עמוד.

--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:05, 26 ביולי 2010 (IDT)

==שאלה 1.7==
המרצה הזכיר שכל <math>P^n, P (prime), n\in \mathbb{N}</math> כאשר n פריק ו-P ראשוני (Prime) הוא שדה.. ועבור <math>7^2</math> יש 49 איברים, אם המערכת תניב אינסוף פתרונות, בהנחה שאף פיתרון לא חוזר על עצמו, יהיו 49 פתרונות שונים, נכון?
או שאוכל להשתמש ב-<math>\mathbb{Z}_7</math> שיש לו 7 פתרונות שונים עבור מקרה של אינסוף פתרונות, ולהגיע איכשהו ל-49 פתרונות.. המרצה אמר לי שעדיף להשתמש בזה בדרך מסויימת.. מתרגל יכול לתת כיוון?
תודה מראש, [[משתמש:תומר זוארץ|תומר זוארץ]] 15:43, 26 ביולי 2010 (IDT)

:לא הבנתי מהו השדה בדוגמא הראשונה ומה אלו הסימונים האלה. יש שדות בגדלים האלה, אני לא בטוח שלמדתם אותם. הכיוון השני אכן עדיף.

::לא למדנו את השדות האלו, אך גם לא למדנו איך להגיע מ-<math>\mathbb{Z}_7</math> לשדה עם 49 איברים.. אחד המתרגלים יכול לתת כיוון/רמז?
:::אתה מדבר עם אחד המתרגלים :) בכל אופן, אתה לא צריך להגיע לשדה עם 49 איברים בשביל למצוא מערכת משוואות עם 49 פתרונות, יש דרכים אחרות. כמו שאמרתי תנסה לעשות לבד כמה דוגמאות עם מספרים קטנים יותר. תיצור מערכות משוואות ותספור את הפתרונות. אם לא תצליח, אז תשאל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:36, 26 ביולי 2010 (IDT)

בעצם לכל מערכת משוואות שאפתור, יתקבל פתרון יחיד/אף פתרון/אינסוף פתרונות.
אם אפתור מערכת מעל R, אני יכול לקבל פיתרון יחיד עבור x,y,z או אף פיתרון, או אינסוף פיתרונות, כי אינסוף מספרים שייכים ל-R שיקיימו מצב כמו x=x..
לכן, אם אפתור מעל <math>\mathbb{Z}_7</math> ואקבל מצב של אינסוף פיתרונות, כמו למקרה x=x בעצם, זה לא באמת אינסוף, אלה למערכת כזו יש 7 פתרונות, כמספר האיברים במודולו 7.
לכן חשבתי אם אקבל מקרה של אינסוף פיתרונות מעל שדה ובו 49 איברים, יהיו לי 49 פתרונות שונים..
גם בהרצאה וגם בתרגול לא דיברנו על הקשר בין מס' המשוואות והנעלמים למס' הפתרונות, ואין לי מושג איזה פעולות עליי לבצע על <math>\mathbb{Z}_7</math> לדוגמא, כדי לקבל מצב כזה..

==שאלה 1.7 במשוואות ליניאריות==
אם אני רוצה למצוא מערכת בעלת 49 פתרונות בדיוק מספיק לומר כך:
<math>
\begin{cases} a_{1,1}x_1+\cdots +a_{1,49}x_{49}=b_1 \\ \vdots \\ a_{49,1}x_1+\cdots +a_{49,49}x_{49}=b_{49} \end{cases}
</math>
מעל <math>\mathbb{R}</math> ?

:למערכת זו יש 49 נעלמים לא 49 פתרונות. יכול להיות שיש לה פתרון יחיד, אינסוף פתרון או אין פתרונות כלל. זו אינה תשובה נכונה, תחשוב שוב.
::{{התנגשות}}למה אתה מתכוון "מספיק לומר"? שזה תקני מבחינת הבוחנים (שלא יורידו לך על ניסוח לא נכון, ואז אני מניח שכן)? שזה באמת יתן לך מערכת בעלת 49 פתרונות (ואז לא, אלא אם ידוע גם שבכל משוואה קיים לפחות מקדם לא חופשי אחד השונה מ-0 ואין שתי משוואות שקבוצת הפתרונות שלהן זהה)? -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 22:54, 25 ביולי 2010 (IDT)
:::למערכת משוואות ליניאריות מעל <math>\mathbb{R}</math> לעולם אין 49 פתרונות! ייתכנו אינסוף פתרונות, פיתרון אחד או אף לא פיתרון אחד. כנ"ל לגבי שדה המרוכבים. אתה צריך לפנות למערכות מעל שדות אחרים שנלמדו בקורס. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:29, 25 ביולי 2010 (IDT)

::::אתם מתכוונים שאני צריך לקחת שדה, שיש בו 49 איברים, כמו <math>Z_{49}</math> ואז ליצור מצב של אינסוף פתרונות, מה שמוביל אותי ל-49?''' '''ודרך אגב, אם המודולו הוא חזקה של מס' ראשוני, הוא גם שדה?

:::::בכל מקרה לא צריך לכתוב פה תשובות, רק שאלות :) אבל זו גם לא תשובה מדויקת. למדנו ש<math>\mathbb{Z}_p</math> שדה אם"ם p ראשוני. 49 אינו ראשוני.

::::::נכון אבל המרצה הזכיר משהו לגבי חזקות של מספרים ראשוניים..
::::::: אז תחשוב כיצד ניתן לפתור את התרגיל בהתחשב בידע הזה, או שתפתח את המחברת ותחפש מה המרצה הזכיר. זה לא מאד מסובך, אני ממליץ לנסות לחשב כמה דוגמאות

==שאלה 1.3 ב ==
לא הבנתי מה צריך להוכיח שם הרי מה שהם נתנו שם זה בדיוק תכונת הצימצום אז איך אמורים להראות שזה נובע מתכונת הצימצום..?

===תשובה===
שים לב להבדל בין הנוסח של סעיף אחד לסעיף א'. "מצא את ההבדלים"
:או בתשובה קצת יותר ברורה, אתה הופך את הביטוי בסעיף ב לביטוי שבסעיף א (באופן פשוט שהייתי רושם אותו כאן אבל נראה לי שהמתרגלים יכעסו אם אעשה זאת) ואז משתמש בתכונת הצמצום.

==שאלה חשובה וקצרה על 3.1 (לא אותו אחד שכתב את השאלות האחרות)==
איך אפשר להוכיח שהקבוצה עם התכונה הנתונה <math>a^2 +1 =0</math> היא לא שדה, אם בכלל לא הגדרנו מה זה "בריבוע"? אמורים להוכיח שקבוצה כלשהי היא לא שדה אם אחת מהתכונות של השדה (מוגדרות וכו') לא מתקיימת שם. אבל בתכונות האלה של השדה אין אזכור בכלל לאיבר בריבוע, אז איך אפשר להוכיח שהקבוצה היא לא שדה? תודה.

:בעצם <math>a^2=a\cdot a</math> ז"א, זה נובע מכפל, לכן זה לא משנה איך תכתוב את זה.. דרך טובה לפתור את השאלה הזאת, היא להניח ש-<math>F\times F</math> שדה, ואז להראות שכאשר אנו משתמשים באחת התכונות שלו, זה מוביל לסתירה..

::הכותב שמעליי צודק. לפי הגדרה <math>a^2=a\cdot a</math> כפי שהגדרנו בתרגיל כשפתרנו את השאלה עם סכום של סדרה הנדסית <math>S=1+q+q^2+...+q^n</math>.

==עוד שאלה על תרגיל 3.1,סעיף ב==
את רוב הדברים קל להוכיח, ההוכחה זהה בעצם להוכחה בסעיף הקודם, חוץ מהאיברים ההופכים לכפל: צריך להוכיח ש <math>a/(a^2+b^2)</math> ו<math>b-/(a^2+b^2)</math> שונים מ- i, כי הם צריכים להיות איברים של F ובגלל הסגירות של שדה המרוכבים, אני לא רואה סיבה שהם יהיה שונים מ- i. בנוסף ניסיתי ולא הצלחתי להתקרב להוכחה בנושא. יש אולי שגיאה בצורת החשיבה שלי?

===תשובה===
דבר ראשון אני לא מבין את הקישור לשדה המרוכבים ול-i, מדובר על שדה F כללי. הכפל והחיבור מוגדרים בצורה דומה לשדה המרוכבים (הנוסחאות רשומות מעל השאלה).

יש להוכיח שאם התכונה הספציפית בF מתקיימת אזי FxF עם הכפל והחיבור שמוגדרים למעלה אינו שדה.

==תרגיל 3.1,סעיף ב==
בסעיף ב צריך להוכיח שFxF הוא שדה אם הוא מקיים את התנאי, או רק להוכיח שהוא לא שדה אם התנאי לא מתקיים?

:תניח בשלילה ש-FxF שדה, ותשתמש בתכונה שלו <math>a^2+1=0</math> ואז כשתגיע לסתירה, בעצם ההנחה לא נכונה ו-FxF לא שדה..

===תשובה===
צריך רק להוכיח שהוא אינו שדה אם קיים a שכזה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:57, 24 ביולי 2010 (IDT)

==הגשת תרגיל 1==
שלום רב,

למתי צריך להגיש את תרגיל 1?

תודה רבה מראש.

:עוד לא התחלנו ללמוד, וכבר אתה רוצה להגיש תרגיל? :) נודיע לכם מחר בשיעור. (אגב, אם אתה רוצה לרדת שורה, תשאיר שורת רווח - ראה דף עזרה).

::1/8. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 16:01, 22 ביולי 2010 (IDT)

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-07-26T14:56:22Z

תומר זוארץ: /* שאלות */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>
= הוראות =
כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על ''' [עריכה]''' (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

'''<nowiki>== כותרת לשאלה ==</nowiki>'''

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על '''שמירה''' למטה מימין

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע"א - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - יהיה בהמשך

=שאלות=

בקושי דיברנו על תתי-שדות בכיתה, ואני לא מבין מה אנחנו צריכים לעשות ב-2.8א'.. זאת בעצם קבוצה שמכילה את שדה F ואת האיבר <math>\sqrt p</math> אז אני צריך להוכיח שהיא שדה? עם כל התכונות? או שאני יכול להסתמך על כך שאם <math>a,b\in \mathbb{F} and \mathbb{F} \subseteq \mathbb{R} ==> a,b \in \mathbb{R} \wedge \sqrt p \in \mathbb{R} (p Prime)</math>
ואז לכל איבר בקבוצה <math>\mathbb{F}[\sqrt p]</math> מתקיימות התכונות (כי הן מתקיימות גם ב-R).. ו-F בכל מקרה מקיים את התכונות כי F תת-שדה של R..? לא הבנתי כל כך ואשמח להכוונה..

==שאלה 1.7==
המרצה הזכיר שכל <math>P^n, P (prime), n\in \mathbb{N}</math> כאשר n פריק ו-P ראשוני (Prime) הוא שדה.. ועבור <math>7^2</math> יש 49 איברים, אם המערכת תניב אינסוף פתרונות, בהנחה שאף פיתרון לא חוזר על עצמו, יהיו 49 פתרונות שונים, נכון?
או שאוכל להשתמש ב-<math>\mathbb{Z}_7</math> שיש לו 7 פתרונות שונים עבור מקרה של אינסוף פתרונות, ולהגיע איכשהו ל-49 פתרונות.. המרצה אמר לי שעדיף להשתמש בזה בדרך מסויימת.. מתרגל יכול לתת כיוון?
תודה מראש, [[משתמש:תומר זוארץ|תומר זוארץ]] 15:43, 26 ביולי 2010 (IDT)

:לא הבנתי מהו השדה בדוגמא הראשונה ומה אלו הסימונים האלה. יש שדות בגדלים האלה, אני לא בטוח שלמדתם אותם. הכיוון השני אכן עדיף.

::לא למדנו את השדות האלו, אך גם לא למדנו איך להגיע מ-<math>\mathbb{Z}_7</math> לשדה עם 49 איברים.. אחד המתרגלים יכול לתת כיוון/רמז?
:::אתה מדבר עם אחד המתרגלים :) בכל אופן, אתה לא צריך להגיע לשדה עם 49 איברים בשביל למצוא מערכת משוואות עם 49 פתרונות, יש דרכים אחרות. כמו שאמרתי תנסה לעשות לבד כמה דוגמאות עם מספרים קטנים יותר. תיצור מערכות משוואות ותספור את הפתרונות. אם לא תצליח, אז תשאל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:36, 26 ביולי 2010 (IDT)

==שאלה 1.7 במשוואות ליניאריות==
אם אני רוצה למצוא מערכת בעלת 49 פתרונות בדיוק מספיק לומר כך:
<math>
\begin{cases} a_{1,1}x_1+\cdots +a_{1,49}x_{49}=b_1 \\ \vdots \\ a_{49,1}x_1+\cdots +a_{49,49}x_{49}=b_{49} \end{cases}
</math>
מעל <math>\mathbb{R}</math> ?

:למערכת זו יש 49 נעלמים לא 49 פתרונות. יכול להיות שיש לה פתרון יחיד, אינסוף פתרון או אין פתרונות כלל. זו אינה תשובה נכונה, תחשוב שוב.
::{{התנגשות}}למה אתה מתכוון "מספיק לומר"? שזה תקני מבחינת הבוחנים (שלא יורידו לך על ניסוח לא נכון, ואז אני מניח שכן)? שזה באמת יתן לך מערכת בעלת 49 פתרונות (ואז לא, אלא אם ידוע גם שבכל משוואה קיים לפחות מקדם לא חופשי אחד השונה מ-0 ואין שתי משוואות שקבוצת הפתרונות שלהן זהה)? -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 22:54, 25 ביולי 2010 (IDT)
:::למערכת משוואות ליניאריות מעל <math>\mathbb{R}</math> לעולם אין 49 פתרונות! ייתכנו אינסוף פתרונות, פיתרון אחד או אף לא פיתרון אחד. כנ"ל לגבי שדה המרוכבים. אתה צריך לפנות למערכות מעל שדות אחרים שנלמדו בקורס. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:29, 25 ביולי 2010 (IDT)

::::אתם מתכוונים שאני צריך לקחת שדה, שיש בו 49 איברים, כמו <math>Z_{49}</math> ואז ליצור מצב של אינסוף פתרונות, מה שמוביל אותי ל-49?''' '''ודרך אגב, אם המודולו הוא חזקה של מס' ראשוני, הוא גם שדה?

:::::בכל מקרה לא צריך לכתוב פה תשובות, רק שאלות :) אבל זו גם לא תשובה מדויקת. למדנו ש<math>\mathbb{Z}_p</math> שדה אם"ם p ראשוני. 49 אינו ראשוני.

::::::נכון אבל המרצה הזכיר משהו לגבי חזקות של מספרים ראשוניים..
::::::: אז תחשוב כיצד ניתן לפתור את התרגיל בהתחשב בידע הזה, או שתפתח את המחברת ותחפש מה המרצה הזכיר. זה לא מאד מסובך, אני ממליץ לנסות לחשב כמה דוגמאות

==שאלה 1.3 ב ==
לא הבנתי מה צריך להוכיח שם הרי מה שהם נתנו שם זה בדיוק תכונת הצימצום אז איך אמורים להראות שזה נובע מתכונת הצימצום..?

===תשובה===
שים לב להבדל בין הנוסח של סעיף אחד לסעיף א'. "מצא את ההבדלים"
:או בתשובה קצת יותר ברורה, אתה הופך את הביטוי בסעיף ב לביטוי שבסעיף א (באופן פשוט שהייתי רושם אותו כאן אבל נראה לי שהמתרגלים יכעסו אם אעשה זאת) ואז משתמש בתכונת הצמצום.

==שאלה חשובה וקצרה על 3.1 (לא אותו אחד שכתב את השאלות האחרות)==
איך אפשר להוכיח שהקבוצה עם התכונה הנתונה <math>a^2 +1 =0</math> היא לא שדה, אם בכלל לא הגדרנו מה זה "בריבוע"? אמורים להוכיח שקבוצה כלשהי היא לא שדה אם אחת מהתכונות של השדה (מוגדרות וכו') לא מתקיימת שם. אבל בתכונות האלה של השדה אין אזכור בכלל לאיבר בריבוע, אז איך אפשר להוכיח שהקבוצה היא לא שדה? תודה.

:בעצם <math>a^2=a\cdot a</math> ז"א, זה נובע מכפל, לכן זה לא משנה איך תכתוב את זה.. דרך טובה לפתור את השאלה הזאת, היא להניח ש-<math>F\times F</math> שדה, ואז להראות שכאשר אנו משתמשים באחת התכונות שלו, זה מוביל לסתירה..

::הכותב שמעליי צודק. לפי הגדרה <math>a^2=a\cdot a</math> כפי שהגדרנו בתרגיל כשפתרנו את השאלה עם סכום של סדרה הנדסית <math>S=1+q+q^2+...+q^n</math>.

==עוד שאלה על תרגיל 3.1,סעיף ב==
את רוב הדברים קל להוכיח, ההוכחה זהה בעצם להוכחה בסעיף הקודם, חוץ מהאיברים ההופכים לכפל: צריך להוכיח ש <math>a/(a^2+b^2)</math> ו<math>b-/(a^2+b^2)</math> שונים מ- i, כי הם צריכים להיות איברים של F ובגלל הסגירות של שדה המרוכבים, אני לא רואה סיבה שהם יהיה שונים מ- i. בנוסף ניסיתי ולא הצלחתי להתקרב להוכחה בנושא. יש אולי שגיאה בצורת החשיבה שלי?

===תשובה===
דבר ראשון אני לא מבין את הקישור לשדה המרוכבים ול-i, מדובר על שדה F כללי. הכפל והחיבור מוגדרים בצורה דומה לשדה המרוכבים (הנוסחאות רשומות מעל השאלה).

יש להוכיח שאם התכונה הספציפית בF מתקיימת אזי FxF עם הכפל והחיבור שמוגדרים למעלה אינו שדה.

==תרגיל 3.1,סעיף ב==
בסעיף ב צריך להוכיח שFxF הוא שדה אם הוא מקיים את התנאי, או רק להוכיח שהוא לא שדה אם התנאי לא מתקיים?

:תניח בשלילה ש-FxF שדה, ותשתמש בתכונה שלו <math>a^2+1=0</math> ואז כשתגיע לסתירה, בעצם ההנחה לא נכונה ו-FxF לא שדה..

===תשובה===
צריך רק להוכיח שהוא אינו שדה אם קיים a שכזה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:57, 24 ביולי 2010 (IDT)

==הגשת תרגיל 1==
שלום רב,

למתי צריך להגיש את תרגיל 1?

תודה רבה מראש.

:עוד לא התחלנו ללמוד, וכבר אתה רוצה להגיש תרגיל? :) נודיע לכם מחר בשיעור. (אגב, אם אתה רוצה לרדת שורה, תשאיר שורת רווח - ראה דף עזרה).

::1/8. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 16:01, 22 ביולי 2010 (IDT)

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-07-26T14:30:57Z

תומר זוארץ: /* שאלה 1.7 */

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-07-26T12:43:09Z

תומר זוארץ: /* שאלות */

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-07-25T21:20:50Z

תומר זוארץ: /* שאלה 1.7 במשוואות ליניאריות */

בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-07-25T21:08:50Z

תומר זוארץ: /* שאלה 10 */

<math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>
= הוראות =
כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על ''' [עריכה]''' (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

'''<nowiki>== כותרת לשאלה ==</nowiki>'''

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על '''שמירה''' למטה מימין

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע"א - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - יהיה בהמשך

=שאלות=

==שאלה 10==
[[קובץ:Wolframalpha-20100725115213592.gif|שמאל|ממוזער|590px|<math>\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:|x|,|y|\le 1\} \setminus \{(x,y)\in \mathbb{R}^2:x^2+y^2\le 1\}</math>]]
מישהו יכול לתת לי כיוון כללי איך צריך לפתור את השאלה הזאת,להסביר אותה..?
:נראה לי שהכוונה היא פשוט למצוא 2 קבוצות מסוימות A ו B שהמכפלה הקרטזית שלהם תיצור את הקבוצות שבסעיפים.
::ככה שהX יהיה שייך לA וY לB?
:::בסעיף א' נגיד, (נראה לי, אני לא בטוח לגמרי) התשובה היא ש A היא כל הXים וB היא כל הYים. (או A הוא הקו (1,1) וגם B הוא הקו (1,1).) תקנו אותי אם אני טועה בבקשה!
::::כמו שאמר זה שמעליי, צריך למצוא 2 קבוצות A ו-B שהמכפלה הקרטזית שלהן תהיה שווה לקבוצה הנתונה.
::::לדוגמא סעיף א': <math>A\times B=\{(x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}| x^2+y^2\le1 \}</math> אז בעצם זה שפת המעגל הקנוני רדיוסו 1 וכל פנים המעגל. לכן (0,1) יקיים וגם (1,0) יקיים, אך מכך נובע ש-<math>1\in A\wedge 1\in B</math> אז גם (1,1) אמור לקיים אך הוא לא, אז לא קיימים A ו-B עבורם מתקיים: <math>A\times B=\{(x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}| x^2+y^2\le1 \}</math> [[משתמש:תומר זוארץ|תומר זוארץ]] 20:49, 25 ביולי 2010 (IDT)
::::{{התנגשות}} במישור הקרטזי הדו-מימדי, במכפלה <math>A \times B</math> איברי A יוצרים את שיעורי ה-x ואיברי B יוצרים את שיעורי ה-y, ולכן המכפלה יוצרת מלבן (אם <math>|A|,|B| > 1</math>) או קטע (<math>|A| = 1 \veebar |B| = 1</math>) או נקודה (<math>|A| = |B| = 1</math>) (או כמה מלבנים/קטעים/נקודות, אם האיברים ב-A או (מכליל) B לא יוצרים רצף על ציר המספרים, כלומר קיים איבר y כך שעבור <math>S=A \veebar S=B</math> מתקיים: <math>x,z \in S \and x<y<z</math> אבל <math>y\not\in S</math>) לכל <math>A,B\not= \empty</math>. הקבוצה הנתונה בסעיף א' היא עיגול היחידה. זה אמור לתת לך רעיון איך לפתור את זה. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 20:57, 25 ביולי 2010 (IDT)
:::::אבל תומר, מי אמר שהיחס חייב להיות בהכרח טרנזיטיבי?!?
::::::זה לא סתם יחס - זו המכפלה עצמה, והיא טרנזיטיבית. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 23:25, 25 ביולי 2010 (IDT)
זה לא משנה אם היא טרנזיטיבית או לא, ברגע ש-<math> (0,1)\in A\times B \wedge (1,0)\in A\times B ==> 0\in A \wedge 1\in B \wedge 1\in A \wedge 0\in B ==> (1,1)\in A\times B</math>
[[משתמש:תומר זוארץ|תומר זוארץ]] 00:08, 26 ביולי 2010 (IDT)

==יחס שקילות וחלוקה==
הנושא הזה לא כל כך ברור לי, האם מישהו יכול להסביר איך חלוקה יוצרת יחס ?
והיחס פועל בתוך <math>{Ai}</math> או בתוך כל קבוצה <math>A</math> ?
תודה מראש, חופית
:אם את מחלקת קבוצה נתונה לאוסף תת-קבוצות זרות כשהאיחוד של כולן נותן את הקבוצה המקורית אז החלוקה הזו משרה יחס שקילות. מהו יחס השקילות שהיא משרה? יחס השקילות שהחלוקה משרה הוא שכל שני איברים שקולים אם ורק אם הם שייכים לאותה תת-קבוצה בחלוקה. דוגמא: ניקח את הקבוצה <math>A=\{1,2,3,4\}</math> ונביט בחלוקה <math>A_1=\{1\}</math>, <math>A_2=\{2,3\}</math>, <math>A_3=\{4\}</math>. יחס השקילות שהחלוקה משרה הוא <math>R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2,3),(3,2)\}</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:04, 25 ביולי 2010 (IDT)

==שאלה 8- נתונים *לא נפתר-עזרה בבקשה*==
בשאלה 8 מגדירים חוג מעל X. האם זו הגדרה של משהו שנלמד או הגדרה שרירותית כלשהי שהמציאו בשביל התרגיל? כלומר האם כל הנתונים באמת רלוונטיים לתרגיל עצמו? אני הצלחתי אותו כשהשתמשתי רק בנתונים שמופיעים בסעיף א' ו- ג'. (וגם את א' לא הייתי בטוח אם לכתוב כאן...)
:חוג זה אכן אובייקט ש(למיטב ידיעתי) לא למדתם בכיתה (לא בהרצאה ולא בתרגיל). לכן ההגדרה המדוייקת שלו מופיעה בשאלה (אובייקט שנלמד בכיתה, כמו למשל קבוצת החזקה, לא מוגדר במלואו בתרגיל). זה חלק מהתרגיל, שתתרגלו קריאת הגדרות של אובייקטים חדשים שלא הכרתם קודם ופיתרון בעיות הקשורות באובייקטים האלה ע"י שימוש נכון בהגדרת האובייקט. זה גם נכון שעל אף שאנחנו נותנים לכם את ההגדרה המלאה והמדוייקת של האובייקט, זה לא אומר שבכל אחת מן התכונות חייבים להשתמש כדי להוכיח את מה שאתם נדרשים בשאלה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:13, 23 ביולי 2010 (IDT)
::מישהו יכול להסביר איך בכלל לפתור את שאלה 8?
::
::מצטרף לשאלה, שאלה 8 היא השאלה היחידה שעדיין לא הצלחתי לפתור. אני פשוט לא יודע איך להוכיח את מה שצריך להוכיח בעזרת הנתונים. אפשר רמז? תודה רבה. (ערכתי את הנושא כך שידעו שצריך פה עזרה).
:::יש לך קבוצה <math>R</math> שאיבריה הם כשלעצמם קבוצות, ונתון שלכל שני איברים<math>A,B \in R</math> מתקיים <math>A \bigcup B \in R</math> וגם ש<math>A \setminus B \in R</math> ואתה צריך להוכיח ש<math>A \bigcap B \in R</math>. אני יכול לנסות להסביר לך מה הן ההגדרות של חיתוך, איחוד והפחתת קבוצות אבל אני לא יכול לפתור לך את שיעורי הבית. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:17, 25 ביולי 2010 (IDT)

==ה- R בשאלה 10==
האם ה- R בשאלה 10 הוא קבוצת הממשיים?

:ה-R בשאלה 10 הוא אכן המספרים הממשיים, כיוון ש:
:א. גם בשאלה 6 ה-R של הממשיים מופיע ללא קו.
:ב. לא יכול להיות ש-R הוא יחס מ-A ל-B וגם <math>A,B\subseteq R</math>

:: בשאלה 10 R הוא אכן קבוצת הממשיים (או שדה הממשיים, למי שרוצה קצת להיזכר בחומר של אלגברה ליניארית). זה נכון שכעיקרון הוא צריך להיות מסומן ב<math>\mathbb{R}</math>, אך כנראה שבפורמט הספציפי שבו נכתבה השאלה היה קושי לסמנו כך ולכן הוא נשאר פשוט R. איתכם הסליחה על הבלבול בסימנים. בכל-זאת, אתם מתבקשים להקפיד על הסימון של קבוצת הממשיים כ<math>\mathbb{R}</math> ולא כפשוט R, כדי שגם אנחנו נבין את מה שאתם כותבים יותר טוב. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:23, 23 ביולי 2010 (IDT)

==שאלה כלילת- מכפלה קרטזית בקבוצה ריקה==
כאשר כופלים קבוצה כלשהי שאינה קבוצה ריקה במכפלה קרטזית בקבוצה ריקה האם הקבוצה המתקבלת היא קבוצה ריקה?

תשובה לעצמי: כן

==שאלות 7(ו,ז), 8, 9 ו10==
אני לא יודע איך פותרים את שאלות 7(ו,ז), 8, 9 ו10. כשהיה צריך לעשות הוכחות עם חיתוך,איחוד והפרש של קבוצות, הצלחתי, אבל אני פשוט לא יודע איך "לטפל" בשאלות עם קבוצת חזקה וכו'. עזרה בבקשה!
: השאלה היא האם אתה יודע מה היא ההגדרה של קבוצה החזקה, משום שברגע שאתה מבין היטב מה היא ההגדרה אז מכאן ואילך לא אמורות להיות בעיות, במיוחד אם אתה שולט היטב כבר בחיתוך\איחוד. בו נראה - קבוצה החזקה של <math>A</math> היא קבוצת כל תת-הקבוצות של <math>A</math>, דהיינו <math>x \in P(A)</math> אם ורק אם <math>x \subseteq A</math>. במילים, איבר שייך לקבוצת החזקה של <math>A</math> אם ורק אם הוא תת-קבוצה של <math>A</math>. המלצה שלי היא שתנסה לנסח את השאלות שאתה מתבקש לענות עליהן כתרגיל בלי להשתמש במונח\סימן של קבוצת החזקה אלא בהגדרה שעומדת מאחוריה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 15:30, 23 ביולי 2010 (IDT)

==שאלה 9==
אם אני צריכה להוכיח שמשהו מוכל ממש במשהו אחר, והוכחתי שזה מול או שווה, ובנוסף, מצאתי דוגמא לכך שזה שווה. זה נחשב הוכחה או הפרכה?
:נראה לי שהכוונה ב"מוכל ממש" (גם לפי הסימן) היא שקבוצה אחת מוכלת בקבוצה שנייה אבל לא שווה לה. לכן את צריכה להוכיח שקבוצה אחת מוכלת בשנייה, וגם להוכיח שהיא לא שווה לה. אם תוכיחי את זה, זאת תהיה הוכחה (לא הפרכה). את יכולה להסביר איך הצלחת להוכיח את ההכלה בשאלה 9? תודה
::אכן זו הכוונה. אם מצאת מקרה של שוויון אזי הדבר מהווה הפרכה, כי הרי אסור שזה יהיה שווה. במקרה כזה את אפילו לא צריכה להראות שזה מוכל או שווה, אלא פשוט לתת את מקרה השוויון כדוגמה נגדית ולומר שמשום כך הטענה לא מתקיימת...

==הוכחה==
האם חובה להוכיח ש-<math>\overline{\bigcup_{i \in I} A_i } = \bigcap_{i \in I} \overline{A_i}</math> ולהיפך (עם חיתוך במקום איחוד) במבחנים ובש"ב? תודה, אור שחף - [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 19:33, 20 ביולי 2010 (UTC)
:אור, זה בעצם חוקי דה-מורגן שלכל <math>(A_i\cup A_{i+1})^c = A_i^c\cap A_{i+1}^c</math> רק באופן כללי וגורף <math>\forall i\in I </math>, באיחוד מלא. בחוקי דה-מורגן אפשר להשתמש ללא הוכחה.. אך עדיין אני לא בטוח ב-100%.. חוקי דה-מורגן באיחוד מלא..
::הבעיה היא לא '''איך''', אלא '''האם'''. הוכחה שלמה יכולה להיות די ארוכה (עם אינדוקציה, למשל, ומה שרשמת), ואני לא אכתוב את כל זה סתם. בינתיים אני משאיר את זה בלי הוכחה, אם מישהו יודע שצריך להוכיח - שיגיב. תודה, [[אור שחף]] - [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 12:02, 21 ביולי 2010 (UTC)

:חברים שלי הלכו לשעות הקבלה של המרצה שי סרוסי והוא הסביר שצריך להוכיח את זה באינדוקציה(גם אני עשיתי כמוך וחברים שלי הראו לו את ההוכחה הזאת)
::כן, אבל השאלה היא לא איך להוכיח את זה (במקרה כזה מוכיחים כמובן באינדוקציה, זו הדרך הכי טריוויאלית שיש) אלא האם יש צורך להוכיח את זה כל פעם מחדש. האם מישהו שאל את המתרגל שלו ויכול לענות על השאלה?
:::שים לב כתבתי שהוא אמר ש'''צריך''' כלומר חייב להוכיח את זה כל פעם מחדש עפ"י דבריו.
::::אוקי. בכל אופן - האם אחד מהמתרגלים יכול להבהיר נקודה זו?

== שאלה 4 ==
בסעיף ג' הניסוח של השאלה לא ברור לי. צריך להוכיח שהאיחוד של כל הקבוצות Ai פחות החיתוך של כל הקבוצות Bj שווה למה?
תודה מראש, דניאל.
:שווה ל-<math>\begin{align} \bigcup_{i=1}^n \big((A_i - B_1) \cup (A_i - B_2) \cup (A_i - B_3) \cup \dots \cup (A_i - B_m)\big) \\ = \big((A_1 - B_1) \cup (A_1 - B_2) \cup \dots \cup (A_1 - B_m)\big) \cup \big((A_2 - B_1) \cup \dots \cup (A_2 - B_m)\big) \cup \dots \cup \big((A_n - B_1) \cup \dots \cup (A_n - B_m)\big) \end{align}</math>
:'''אור שחף''' - [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 18:19, 20 ביולי 2010 (UTC)

== שאלה 3 ==
מי הצליח להוכיח את שאלה 3ב.?
:אני, ואל תצפה להוכחה פשוטה. אחרי שהוכחתי את זה בדרך המסובכת, [http://www.google.co.il/#hl=iw&source=hp&q=%22symmetric+difference%22+associative+proof&meta=&aq=f&aqi=&aql=&oq=&gs_rfai=&fp=1&cad=b חיפשתי בגוגל] הוכחות יותר טובות, אבל כל האתרים מוכיחים את זה בצורה דומה. נ.ב. כדאי לכתוב שאלות חדשות בראש העמוד, ככה כולם עשו עד עכשיו (ולכן, אם תכתוב שאלה בתחתית אף אחד לא יראה אותה). '''אור שחף''' - [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 15:45, 20 ביולי 2010 (UTC)

==תרגיל 6==
האם אני צריכה להוכיח שהקבוצות שבחרתי Bi מקיימות את התנאים הדרושים? תודה, חן.
:כן. תמיד בתשובות במתמטיקה יש לנמק, לא מספיק לתת תשובה סופית

==תרגיל 1.ב==
בתרגיל 1, סעיף ב, האם צריך להוכיח ש-<math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}</math>? ובמבחנים? תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]] 11:26, 20 ביולי 2010 (UTC)
: אור, אני לא מתרגל ו/או מרצה בקורס זה (אלא תלמיד סה"כ) ולכן אל תיקח את התשובה שלי כתשובה שאתה יכול להסתמך עליה. עם זאת, נראה לי שהדבר טרוויאלי ונובע ישירות מההגדרה של קבוצות אלו, ולכן אין צורך להוכיח את זה במבחן, אלא רק לציין שהדבר מתקיים אם אתה צריך לעשות בו שימוש.

==תרגיל 1,שאלה 6==
לא הצלחתי להבין מה מבקשים בשאלה 6, מה זאת אומרת "הצג..."?
:אני חושב שאת/ה צריך/ה לת דוגמה. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]] 11:26, 20 ביולי 2010 (UTC)

==קבוצות מוכלות זו בזו==
שלום לכולם,
האם נכון לומר שבמידה וקבוצה <math>A</math> מוכלת בקבוצה <math>B</math> אז <math>\mathcal{P}(A)</math> תהיה מוכלת ב-<math>\mathcal{P}(B)</math>?
תודה שוב, גל.
===תשובה===
תחשוב על ההגדרות ועל מה זה אומר ש-X שייך ל- <math>\mathcal{P}(A)</math> והאם בהכרח הוא שייך ל <math>\mathcal{P}(B)</math>
====חידוד השאלה בנושא זה====
לא כל כך הבנתי את התשובה שלך. כמובן שלפני שאני שולח כאן אני מסתכל על הגדרות, ולכן אחדד את שאלתי (יש לי תחושה שלא הובנתי נכון): נניח שנתון לי ש-<math>X</math> כלשהו שייך לקבוצה <math>A</math> ושאותה קבוצה <math>A</math> מוכלת בקבוצה <math>B</math> כלשהי. לכן האיבר <math>X</math> הינו איבר גם בקבוצה <math>B</math>. משום כך {X} הוא איבר ב- <math>P(A)</math> וגם ב- <math>P(B)</math>. האם מכאן אני יכול לקבוע שהקבוצה <math>P(A)</math> מוכלת בקבוצה <math>P(B)</math> (נראה לי שהתשובה היא כן אבל אני רוצה להיות בטוח)? והאם אני יכול להשתמש בזה בהוכחות בלי צורך להוכיח את זה כל פעם מחדש (או פשוט לומר ישירות שמכיוון שמתקיים <math>A \subset \ B</math> אז <math>P(A) \subset \ P(B)</math>)?
תודה, גל.

:אנחנו מכוונים אותך להגדרות לא כי אנחנו חושבים שלא קראת לבד קודם, אלא כי חשוב לדעת להוכיח מתמטיקה במדויק לפי ההגדרות. מתי אנחנו יודעים שA מוכלת בB לפי הגדרה? אם אתה רוצה לטעון ש<math>P(A) \subset \ P(B)</math> תוכיח את זה במדויק לפי ההגדרה.

:מה שעשית למעלה הוא הסבר עם דוגמא אבל לא הוכחה שלימה.--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 11:57, 20 ביולי 2010 (UTC)

::ברור לי גם שעליי להוסיף להוכחה את העובדה שב- <math>P(B)</math> יש איבר שאין אותו ב- <math>P(A)</math>. וסליחה על השאלה הקצת טיפשית, מה עליי להוסיף בכדי שהדבר ייחשב להוכחה שלמה?

:{{התנגשות}} הוכחה: תהי קבוצה X כך ש-<math>X \in \mathcal{P}(A)</math>. לפיכך <math>X \in \left\{S|S \subseteq A\right\}</math>. מתקיים <math>A \subseteq B</math> ולכן <math>\left\{S|S \subseteq A\right\} \subseteq \left\{S|S \subseteq B\right\} \Rightarrow \left\{X\right\} \subseteq \left\{S|S \subseteq B\right\} = \mathcal{P}(B)</math> ולבסוף: <math>X \in \mathcal{P}(B)</math>. מכאן נובעת הטענה המתבקשת, מש"ל. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]] 12:10, 20 ביולי 2010 (UTC)

:: עכשיו הבנתי. האם אני צריך להציג את זה בכל מקום שאני מסתמך על כך או שלא? תודה גל.
::: אתה מתכוון במבחנים ובתרגילים? אני מנחש שלא, אבל עדיף לשאול את המרצים ב-google groups. '''אור שחף''' - [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 12:24, 20 ביולי 2010 (UTC):
:::: שאלתי את המתרגלת שלי והיא אמרה שלא צריך...

==תרגיל 1==
שלום רב, היום העלתם את התרגיל הראשון, אך לא כתבתם תאריך הגשה. מתי צריך להגיש אותו?
תודה, גל.

:שלום גל, לפי מה שידוע לי צריך להגיש ביום רביעי 28.7. אלה.

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-07-25T21:03:57Z

תומר זוארץ: /* שאלה 1.7 במשוואות ליניאריות */

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-07-25T19:32:05Z

תומר זוארץ: /* שאלות */

בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-07-25T17:49:23Z

תומר זוארץ: /* שאלה 10 */

<math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>
= הוראות =
כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על ''' [עריכה]''' (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

'''<nowiki>== כותרת לשאלה ==</nowiki>'''

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על '''שמירה''' למטה מימין

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע"א - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - יהיה בהמשך

=שאלות=

==שאלה 10==
מישהו יכול לתת לי כיוון כללי איך צריך לפתור את השאלה הזאת,להסביר אותה..?
::נראה לי שהכוונה היא פשוט למצוא 2 קבוצות מסוימות A ו B שהמכפלה הקרטזית שלהם תיצור את הקבוצות שבסעיפים.
::ככה שהX יהיה שייך לA וY לB?
::::בסעיף א' נגיד, (נראה לי, אני לא בטוח לגמרי) התשובה היא ש A היא כל הXים וB היא כל הYים. (או A הוא הקו (1,1) וגם B הוא הקו (1,1).) תקנו אותי אם אני טועה בבקשה!
כמו שאמר זה שמעליי, צריך למצוא 2 קבוצות A ו-B שהמכפלה הקרטזית שלהן תהיה שווה לקבוצה הנתונה.
לדוגמא סעיף א':
<math>
A\times B=\{(x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}| x^2+y^2\le1 \}
</math>
אז בעצם זה שפת המעגל הקנוני שרדיוסו 1 וכל פנים המעגל. לכן (0,1) יקיים וגם (1,0) יקיים, אך מכך נובע ש-
<math>
1\in A\wedge 1\in B
</math>
אז גם (1,1) אמור לקיים אך הוא לא, אז לא קיימים A ו-B עבורם מתקיים:
<math>
A\times B=\{(x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}| x^2+y^2\le1 \}
</math>
[[משתמש:תומר זוארץ|תומר זוארץ]] 20:49, 25 ביולי 2010 (IDT)

==יחס שקילות וחלוקה==
הנושא הזה לא כל כך ברור לי, האם מישהו יכול להסביר איך חלוקה יוצרת יחס ?
והיחס פועל בתוך <math>{Ai}</math> או בתוך כל קבוצה <math>A</math> ?
תודה מראש, חופית

==שאלה 8- נתונים *לא נפתר-עזרה בבקשה*==
בשאלה 8 מגדירים חוג מעל X. האם זו הגדרה של משהו שנלמד או הגדרה שרירותית כלשהי שהמציאו בשביל התרגיל? כלומר האם כל הנתונים באמת רלוונטיים לתרגיל עצמו? אני הצלחתי אותו כשהשתמשתי רק בנתונים שמופיעים בסעיף א' ו- ג'. (וגם את א' לא הייתי בטוח אם לכתוב כאן...)
:חוג זה אכן אובייקט ש(למיטב ידיעתי) לא למדתם בכיתה (לא בהרצאה ולא בתרגיל). לכן ההגדרה המדוייקת שלו מופיעה בשאלה (אובייקט שנלמד בכיתה, כמו למשל קבוצת החזקה, לא מוגדר במלואו בתרגיל). זה חלק מהתרגיל, שתתרגלו קריאת הגדרות של אובייקטים חדשים שלא הכרתם קודם ופיתרון בעיות הקשורות באובייקטים האלה ע"י שימוש נכון בהגדרת האובייקט. זה גם נכון שעל אף שאנחנו נותנים לכם את ההגדרה המלאה והמדוייקת של האובייקט, זה לא אומר שבכל אחת מן התכונות חייבים להשתמש כדי להוכיח את מה שאתם נדרשים בשאלה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:13, 23 ביולי 2010 (IDT)
::מישהו יכול להסביר איך בכלל לפתור את שאלה 8?
::
::מצטרף לשאלה, שאלה 8 היא השאלה היחידה שעדיין לא הצלחתי לפתור. אני פשוט לא יודע איך להוכיח את מה שצריך להוכיח בעזרת הנתונים. אפשר רמז? תודה רבה. (ערכתי את הנושא כך שידעו שצריך פה עזרה).

==ה- R בשאלה 10==
האם ה- R בשאלה 10 הוא קבוצת הממשיים?

:ה-R בשאלה 10 הוא אכן המספרים הממשיים, כיוון ש:
:א. גם בשאלה 6 ה-R של הממשיים מופיע ללא קו.
:ב. לא יכול להיות ש-R הוא יחס מ-A ל-B וגם <math>A,B\subseteq R</math>

:: בשאלה 10 R הוא אכן קבוצת הממשיים (או שדה הממשיים, למי שרוצה קצת להיזכר בחומר של אלגברה ליניארית). זה נכון שכעיקרון הוא צריך להיות מסומן ב<math>\mathbb{R}</math>, אך כנראה שבפורמט הספציפי שבו נכתבה השאלה היה קושי לסמנו כך ולכן הוא נשאר פשוט R. איתכם הסליחה על הבלבול בסימנים. בכל-זאת, אתם מתבקשים להקפיד על הסימון של קבוצת הממשיים כ<math>\mathbb{R}</math> ולא כפשוט R, כדי שגם אנחנו נבין את מה שאתם כותבים יותר טוב. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:23, 23 ביולי 2010 (IDT)

==שאלה כלילת- מכפלה קרטזית בקבוצה ריקה==
כאשר כופלים קבוצה כלשהי שאינה קבוצה ריקה במכפלה קרטזית בקבוצה ריקה האם הקבוצה המתקבלת היא קבוצה ריקה?

תשובה לעצמי: כן

==שאלות 7(ו,ז), 8, 9 ו10==
אני לא יודע איך פותרים את שאלות 7(ו,ז), 8, 9 ו10. כשהיה צריך לעשות הוכחות עם חיתוך,איחוד והפרש של קבוצות, הצלחתי, אבל אני פשוט לא יודע איך "לטפל" בשאלות עם קבוצת חזקה וכו'. עזרה בבקשה!
: השאלה היא האם אתה יודע מה היא ההגדרה של קבוצה החזקה, משום שברגע שאתה מבין היטב מה היא ההגדרה אז מכאן ואילך לא אמורות להיות בעיות, במיוחד אם אתה שולט היטב כבר בחיתוך\איחוד. בו נראה - קבוצה החזקה של <math>A</math> היא קבוצת כל תת-הקבוצות של <math>A</math>, דהיינו <math>x \in P(A)</math> אם ורק אם <math>x \subseteq A</math>. במילים, איבר שייך לקבוצת החזקה של <math>A</math> אם ורק אם הוא תת-קבוצה של <math>A</math>. המלצה שלי היא שתנסה לנסח את השאלות שאתה מתבקש לענות עליהן כתרגיל בלי להשתמש במונח\סימן של קבוצת החזקה אלא בהגדרה שעומדת מאחוריה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 15:30, 23 ביולי 2010 (IDT)

==שאלה 9==
אם אני צריכה להוכיח שמשהו מוכל ממש במשהו אחר, והוכחתי שזה מול או שווה, ובנוסף, מצאתי דוגמא לכך שזה שווה. זה נחשב הוכחה או הפרכה?
:נראה לי שהכוונה ב"מוכל ממש" (גם לפי הסימן) היא שקבוצה אחת מוכלת בקבוצה שנייה אבל לא שווה לה. לכן את צריכה להוכיח שקבוצה אחת מוכלת בשנייה, וגם להוכיח שהיא לא שווה לה. אם תוכיחי את זה, זאת תהיה הוכחה (לא הפרכה). את יכולה להסביר איך הצלחת להוכיח את ההכלה בשאלה 9? תודה
::אכן זו הכוונה. אם מצאת מקרה של שוויון אזי הדבר מהווה הפרכה, כי הרי אסור שזה יהיה שווה. במקרה כזה את אפילו לא צריכה להראות שזה מוכל או שווה, אלא פשוט לתת את מקרה השוויון כדוגמה נגדית ולומר שמשום כך הטענה לא מתקיימת...

==הוכחה==
האם חובה להוכיח ש-<math>\overline{\bigcup_{i \in I} A_i } = \bigcap_{i \in I} \overline{A_i}</math> ולהיפך (עם חיתוך במקום איחוד) במבחנים ובש"ב? תודה, אור שחף - [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 19:33, 20 ביולי 2010 (UTC)
:אור, זה בעצם חוקי דה-מורגן שלכל <math>(A_i\cup A_{i+1})^c = A_i^c\cap A_{i+1}^c</math> רק באופן כללי וגורף <math>\forall i\in I </math>, באיחוד מלא. בחוקי דה-מורגן אפשר להשתמש ללא הוכחה.. אך עדיין אני לא בטוח ב-100%.. חוקי דה-מורגן באיחוד מלא..
::הבעיה היא לא '''איך''', אלא '''האם'''. הוכחה שלמה יכולה להיות די ארוכה (עם אינדוקציה, למשל, ומה שרשמת), ואני לא אכתוב את כל זה סתם. בינתיים אני משאיר את זה בלי הוכחה, אם מישהו יודע שצריך להוכיח - שיגיב. תודה, [[אור שחף]] - [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 12:02, 21 ביולי 2010 (UTC)

:חברים שלי הלכו לשעות הקבלה של המרצה שי סרוסי והוא הסביר שצריך להוכיח את זה באינדוקציה(גם אני עשיתי כמוך וחברים שלי הראו לו את ההוכחה הזאת)
::כן, אבל השאלה היא לא איך להוכיח את זה (במקרה כזה מוכיחים כמובן באינדוקציה, זו הדרך הכי טריוויאלית שיש) אלא האם יש צורך להוכיח את זה כל פעם מחדש. האם מישהו שאל את המתרגל שלו ויכול לענות על השאלה?
:::שים לב כתבתי שהוא אמר ש'''צריך''' כלומר חייב להוכיח את זה כל פעם מחדש עפ"י דבריו.
::::אוקי. בכל אופן - האם אחד מהמתרגלים יכול להבהיר נקודה זו?

== שאלה 4 ==
בסעיף ג' הניסוח של השאלה לא ברור לי. צריך להוכיח שהאיחוד של כל הקבוצות Ai פחות החיתוך של כל הקבוצות Bj שווה למה?
תודה מראש, דניאל.
:שווה ל-<math>\begin{align} \bigcup_{i=1}^n \big((A_i - B_1) \cup (A_i - B_2) \cup (A_i - B_3) \cup \dots \cup (A_i - B_m)\big) \\ = \big((A_1 - B_1) \cup (A_1 - B_2) \cup \dots \cup (A_1 - B_m)\big) \cup \big((A_2 - B_1) \cup \dots \cup (A_2 - B_m)\big) \cup \dots \cup \big((A_n - B_1) \cup \dots \cup (A_n - B_m)\big) \end{align}</math>
:'''אור שחף''' - [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 18:19, 20 ביולי 2010 (UTC)

== שאלה 3 ==
מי הצליח להוכיח את שאלה 3ב.?
:אני, ואל תצפה להוכחה פשוטה. אחרי שהוכחתי את זה בדרך המסובכת, [http://www.google.co.il/#hl=iw&source=hp&q=%22symmetric+difference%22+associative+proof&meta=&aq=f&aqi=&aql=&oq=&gs_rfai=&fp=1&cad=b חיפשתי בגוגל] הוכחות יותר טובות, אבל כל האתרים מוכיחים את זה בצורה דומה. נ.ב. כדאי לכתוב שאלות חדשות בראש העמוד, ככה כולם עשו עד עכשיו (ולכן, אם תכתוב שאלה בתחתית אף אחד לא יראה אותה). '''אור שחף''' - [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 15:45, 20 ביולי 2010 (UTC)

==תרגיל 6==
האם אני צריכה להוכיח שהקבוצות שבחרתי Bi מקיימות את התנאים הדרושים? תודה, חן.
:כן. תמיד בתשובות במתמטיקה יש לנמק, לא מספיק לתת תשובה סופית

==תרגיל 1.ב==
בתרגיל 1, סעיף ב, האם צריך להוכיח ש-<math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}</math>? ובמבחנים? תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]] 11:26, 20 ביולי 2010 (UTC)
: אור, אני לא מתרגל ו/או מרצה בקורס זה (אלא תלמיד סה"כ) ולכן אל תיקח את התשובה שלי כתשובה שאתה יכול להסתמך עליה. עם זאת, נראה לי שהדבר טרוויאלי ונובע ישירות מההגדרה של קבוצות אלו, ולכן אין צורך להוכיח את זה במבחן, אלא רק לציין שהדבר מתקיים אם אתה צריך לעשות בו שימוש.

==תרגיל 1,שאלה 6==
לא הצלחתי להבין מה מבקשים בשאלה 6, מה זאת אומרת "הצג..."?
:אני חושב שאת/ה צריך/ה לת דוגמה. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]] 11:26, 20 ביולי 2010 (UTC)

==קבוצות מוכלות זו בזו==
שלום לכולם,
האם נכון לומר שבמידה וקבוצה <math>A</math> מוכלת בקבוצה <math>B</math> אז <math>\mathcal{P}(A)</math> תהיה מוכלת ב-<math>\mathcal{P}(B)</math>?
תודה שוב, גל.
===תשובה===
תחשוב על ההגדרות ועל מה זה אומר ש-X שייך ל- <math>\mathcal{P}(A)</math> והאם בהכרח הוא שייך ל <math>\mathcal{P}(B)</math>
====חידוד השאלה בנושא זה====
לא כל כך הבנתי את התשובה שלך. כמובן שלפני שאני שולח כאן אני מסתכל על הגדרות, ולכן אחדד את שאלתי (יש לי תחושה שלא הובנתי נכון): נניח שנתון לי ש-<math>X</math> כלשהו שייך לקבוצה <math>A</math> ושאותה קבוצה <math>A</math> מוכלת בקבוצה <math>B</math> כלשהי. לכן האיבר <math>X</math> הינו איבר גם בקבוצה <math>B</math>. משום כך {X} הוא איבר ב- <math>P(A)</math> וגם ב- <math>P(B)</math>. האם מכאן אני יכול לקבוע שהקבוצה <math>P(A)</math> מוכלת בקבוצה <math>P(B)</math> (נראה לי שהתשובה היא כן אבל אני רוצה להיות בטוח)? והאם אני יכול להשתמש בזה בהוכחות בלי צורך להוכיח את זה כל פעם מחדש (או פשוט לומר ישירות שמכיוון שמתקיים <math>A \subset \ B</math> אז <math>P(A) \subset \ P(B)</math>)?
תודה, גל.

:אנחנו מכוונים אותך להגדרות לא כי אנחנו חושבים שלא קראת לבד קודם, אלא כי חשוב לדעת להוכיח מתמטיקה במדויק לפי ההגדרות. מתי אנחנו יודעים שA מוכלת בB לפי הגדרה? אם אתה רוצה לטעון ש<math>P(A) \subset \ P(B)</math> תוכיח את זה במדויק לפי ההגדרה.

:מה שעשית למעלה הוא הסבר עם דוגמא אבל לא הוכחה שלימה.--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 11:57, 20 ביולי 2010 (UTC)

::ברור לי גם שעליי להוסיף להוכחה את העובדה שב- <math>P(B)</math> יש איבר שאין אותו ב- <math>P(A)</math>. וסליחה על השאלה הקצת טיפשית, מה עליי להוסיף בכדי שהדבר ייחשב להוכחה שלמה?

:{{התנגשות}} הוכחה: תהי קבוצה X כך ש-<math>X \in \mathcal{P}(A)</math>. לפיכך <math>X \in \left\{S|S \subseteq A\right\}</math>. מתקיים <math>A \subseteq B</math> ולכן <math>\left\{S|S \subseteq A\right\} \subseteq \left\{S|S \subseteq B\right\} \Rightarrow \left\{X\right\} \subseteq \left\{S|S \subseteq B\right\} = \mathcal{P}(B)</math> ולבסוף: <math>X \in \mathcal{P}(B)</math>. מכאן נובעת הטענה המתבקשת, מש"ל. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]] 12:10, 20 ביולי 2010 (UTC)

:: עכשיו הבנתי. האם אני צריך להציג את זה בכל מקום שאני מסתמך על כך או שלא? תודה גל.
::: אתה מתכוון במבחנים ובתרגילים? אני מנחש שלא, אבל עדיף לשאול את המרצים ב-google groups. '''אור שחף''' - [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 12:24, 20 ביולי 2010 (UTC):
:::: שאלתי את המתרגלת שלי והיא אמרה שלא צריך...

==תרגיל 1==
שלום רב, היום העלתם את התרגיל הראשון, אך לא כתבתם תאריך הגשה. מתי צריך להגיש אותו?
תודה, גל.

:שלום גל, לפי מה שידוע לי צריך להגיש ביום רביעי 28.7. אלה.

בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-07-25T17:48:40Z

תומר זוארץ: /* שאלה 10 */

<math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>
= הוראות =
כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על ''' [עריכה]''' (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

'''<nowiki>== כותרת לשאלה ==</nowiki>'''

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על '''שמירה''' למטה מימין

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע"א - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - יהיה בהמשך

=שאלות=

==שאלה 10==
מישהו יכול לתת לי כיוון כללי איך צריך לפתור את השאלה הזאת,להסביר אותה..?
::נראה לי שהכוונה היא פשוט למצוא 2 קבוצות מסוימות A ו B שהמכפלה הקרטזית שלהם תיצור את הקבוצות שבסעיפים.
::ככה שהX יהיה שייך לA וY לB?
::::בסעיף א' נגיד, (נראה לי, אני לא בטוח לגמרי) התשובה היא ש A היא כל הXים וB היא כל הYים. (או A הוא הקו (1,1) וגם B הוא הקו (1,1).) תקנו אותי אם אני טועה בבקשה!
כמו שאמר זה שמעליי, צריך למצוא 2 קבוצות A ו-B שהמכפלה הקרטזית שלהן תהיה שווה לקבוצה הנתונה.
לדוגמא סעיף א':
<math>
A\times B=\{(x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}| x^2+y^2\le1 \}
</math>
אז בעצם זה שפת המעגל הקנוני שרדיוסו 1 וכל פנים המעגל. לכן (0,1) יקיים וגם (1,0) יקיים, אך מכך נובע ש-
<math>
1\in A\wedge 1\in B
</math>
אז גם (1,1) אמור לקיים אך הוא לא, אז לא קיימים A ו-B עבורם מתקיים:
<math>
A\times B=\{(x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}| x^2+y^2\le1 \}
</math>

==יחס שקילות וחלוקה==
הנושא הזה לא כל כך ברור לי, האם מישהו יכול להסביר איך חלוקה יוצרת יחס ?
והיחס פועל בתוך <math>{Ai}</math> או בתוך כל קבוצה <math>A</math> ?
תודה מראש, חופית

==שאלה 8- נתונים *לא נפתר-עזרה בבקשה*==
בשאלה 8 מגדירים חוג מעל X. האם זו הגדרה של משהו שנלמד או הגדרה שרירותית כלשהי שהמציאו בשביל התרגיל? כלומר האם כל הנתונים באמת רלוונטיים לתרגיל עצמו? אני הצלחתי אותו כשהשתמשתי רק בנתונים שמופיעים בסעיף א' ו- ג'. (וגם את א' לא הייתי בטוח אם לכתוב כאן...)
:חוג זה אכן אובייקט ש(למיטב ידיעתי) לא למדתם בכיתה (לא בהרצאה ולא בתרגיל). לכן ההגדרה המדוייקת שלו מופיעה בשאלה (אובייקט שנלמד בכיתה, כמו למשל קבוצת החזקה, לא מוגדר במלואו בתרגיל). זה חלק מהתרגיל, שתתרגלו קריאת הגדרות של אובייקטים חדשים שלא הכרתם קודם ופיתרון בעיות הקשורות באובייקטים האלה ע"י שימוש נכון בהגדרת האובייקט. זה גם נכון שעל אף שאנחנו נותנים לכם את ההגדרה המלאה והמדוייקת של האובייקט, זה לא אומר שבכל אחת מן התכונות חייבים להשתמש כדי להוכיח את מה שאתם נדרשים בשאלה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:13, 23 ביולי 2010 (IDT)
::מישהו יכול להסביר איך בכלל לפתור את שאלה 8?
::
::מצטרף לשאלה, שאלה 8 היא השאלה היחידה שעדיין לא הצלחתי לפתור. אני פשוט לא יודע איך להוכיח את מה שצריך להוכיח בעזרת הנתונים. אפשר רמז? תודה רבה. (ערכתי את הנושא כך שידעו שצריך פה עזרה).

==ה- R בשאלה 10==
האם ה- R בשאלה 10 הוא קבוצת הממשיים?

:ה-R בשאלה 10 הוא אכן המספרים הממשיים, כיוון ש:
:א. גם בשאלה 6 ה-R של הממשיים מופיע ללא קו.
:ב. לא יכול להיות ש-R הוא יחס מ-A ל-B וגם <math>A,B\subseteq R</math>

:: בשאלה 10 R הוא אכן קבוצת הממשיים (או שדה הממשיים, למי שרוצה קצת להיזכר בחומר של אלגברה ליניארית). זה נכון שכעיקרון הוא צריך להיות מסומן ב<math>\mathbb{R}</math>, אך כנראה שבפורמט הספציפי שבו נכתבה השאלה היה קושי לסמנו כך ולכן הוא נשאר פשוט R. איתכם הסליחה על הבלבול בסימנים. בכל-זאת, אתם מתבקשים להקפיד על הסימון של קבוצת הממשיים כ<math>\mathbb{R}</math> ולא כפשוט R, כדי שגם אנחנו נבין את מה שאתם כותבים יותר טוב. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:23, 23 ביולי 2010 (IDT)

==שאלה כלילת- מכפלה קרטזית בקבוצה ריקה==
כאשר כופלים קבוצה כלשהי שאינה קבוצה ריקה במכפלה קרטזית בקבוצה ריקה האם הקבוצה המתקבלת היא קבוצה ריקה?

תשובה לעצמי: כן

==שאלות 7(ו,ז), 8, 9 ו10==
אני לא יודע איך פותרים את שאלות 7(ו,ז), 8, 9 ו10. כשהיה צריך לעשות הוכחות עם חיתוך,איחוד והפרש של קבוצות, הצלחתי, אבל אני פשוט לא יודע איך "לטפל" בשאלות עם קבוצת חזקה וכו'. עזרה בבקשה!
: השאלה היא האם אתה יודע מה היא ההגדרה של קבוצה החזקה, משום שברגע שאתה מבין היטב מה היא ההגדרה אז מכאן ואילך לא אמורות להיות בעיות, במיוחד אם אתה שולט היטב כבר בחיתוך\איחוד. בו נראה - קבוצה החזקה של <math>A</math> היא קבוצת כל תת-הקבוצות של <math>A</math>, דהיינו <math>x \in P(A)</math> אם ורק אם <math>x \subseteq A</math>. במילים, איבר שייך לקבוצת החזקה של <math>A</math> אם ורק אם הוא תת-קבוצה של <math>A</math>. המלצה שלי היא שתנסה לנסח את השאלות שאתה מתבקש לענות עליהן כתרגיל בלי להשתמש במונח\סימן של קבוצת החזקה אלא בהגדרה שעומדת מאחוריה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 15:30, 23 ביולי 2010 (IDT)

==שאלה 9==
אם אני צריכה להוכיח שמשהו מוכל ממש במשהו אחר, והוכחתי שזה מול או שווה, ובנוסף, מצאתי דוגמא לכך שזה שווה. זה נחשב הוכחה או הפרכה?
:נראה לי שהכוונה ב"מוכל ממש" (גם לפי הסימן) היא שקבוצה אחת מוכלת בקבוצה שנייה אבל לא שווה לה. לכן את צריכה להוכיח שקבוצה אחת מוכלת בשנייה, וגם להוכיח שהיא לא שווה לה. אם תוכיחי את זה, זאת תהיה הוכחה (לא הפרכה). את יכולה להסביר איך הצלחת להוכיח את ההכלה בשאלה 9? תודה
::אכן זו הכוונה. אם מצאת מקרה של שוויון אזי הדבר מהווה הפרכה, כי הרי אסור שזה יהיה שווה. במקרה כזה את אפילו לא צריכה להראות שזה מוכל או שווה, אלא פשוט לתת את מקרה השוויון כדוגמה נגדית ולומר שמשום כך הטענה לא מתקיימת...

==הוכחה==
האם חובה להוכיח ש-<math>\overline{\bigcup_{i \in I} A_i } = \bigcap_{i \in I} \overline{A_i}</math> ולהיפך (עם חיתוך במקום איחוד) במבחנים ובש"ב? תודה, אור שחף - [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 19:33, 20 ביולי 2010 (UTC)
:אור, זה בעצם חוקי דה-מורגן שלכל <math>(A_i\cup A_{i+1})^c = A_i^c\cap A_{i+1}^c</math> רק באופן כללי וגורף <math>\forall i\in I </math>, באיחוד מלא. בחוקי דה-מורגן אפשר להשתמש ללא הוכחה.. אך עדיין אני לא בטוח ב-100%.. חוקי דה-מורגן באיחוד מלא..
::הבעיה היא לא '''איך''', אלא '''האם'''. הוכחה שלמה יכולה להיות די ארוכה (עם אינדוקציה, למשל, ומה שרשמת), ואני לא אכתוב את כל זה סתם. בינתיים אני משאיר את זה בלי הוכחה, אם מישהו יודע שצריך להוכיח - שיגיב. תודה, [[אור שחף]] - [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 12:02, 21 ביולי 2010 (UTC)

:חברים שלי הלכו לשעות הקבלה של המרצה שי סרוסי והוא הסביר שצריך להוכיח את זה באינדוקציה(גם אני עשיתי כמוך וחברים שלי הראו לו את ההוכחה הזאת)
::כן, אבל השאלה היא לא איך להוכיח את זה (במקרה כזה מוכיחים כמובן באינדוקציה, זו הדרך הכי טריוויאלית שיש) אלא האם יש צורך להוכיח את זה כל פעם מחדש. האם מישהו שאל את המתרגל שלו ויכול לענות על השאלה?
:::שים לב כתבתי שהוא אמר ש'''צריך''' כלומר חייב להוכיח את זה כל פעם מחדש עפ"י דבריו.
::::אוקי. בכל אופן - האם אחד מהמתרגלים יכול להבהיר נקודה זו?

== שאלה 4 ==
בסעיף ג' הניסוח של השאלה לא ברור לי. צריך להוכיח שהאיחוד של כל הקבוצות Ai פחות החיתוך של כל הקבוצות Bj שווה למה?
תודה מראש, דניאל.
:שווה ל-<math>\begin{align} \bigcup_{i=1}^n \big((A_i - B_1) \cup (A_i - B_2) \cup (A_i - B_3) \cup \dots \cup (A_i - B_m)\big) \\ = \big((A_1 - B_1) \cup (A_1 - B_2) \cup \dots \cup (A_1 - B_m)\big) \cup \big((A_2 - B_1) \cup \dots \cup (A_2 - B_m)\big) \cup \dots \cup \big((A_n - B_1) \cup \dots \cup (A_n - B_m)\big) \end{align}</math>
:'''אור שחף''' - [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 18:19, 20 ביולי 2010 (UTC)

== שאלה 3 ==
מי הצליח להוכיח את שאלה 3ב.?
:אני, ואל תצפה להוכחה פשוטה. אחרי שהוכחתי את זה בדרך המסובכת, [http://www.google.co.il/#hl=iw&source=hp&q=%22symmetric+difference%22+associative+proof&meta=&aq=f&aqi=&aql=&oq=&gs_rfai=&fp=1&cad=b חיפשתי בגוגל] הוכחות יותר טובות, אבל כל האתרים מוכיחים את זה בצורה דומה. נ.ב. כדאי לכתוב שאלות חדשות בראש העמוד, ככה כולם עשו עד עכשיו (ולכן, אם תכתוב שאלה בתחתית אף אחד לא יראה אותה). '''אור שחף''' - [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 15:45, 20 ביולי 2010 (UTC)

==תרגיל 6==
האם אני צריכה להוכיח שהקבוצות שבחרתי Bi מקיימות את התנאים הדרושים? תודה, חן.
:כן. תמיד בתשובות במתמטיקה יש לנמק, לא מספיק לתת תשובה סופית

==תרגיל 1.ב==
בתרגיל 1, סעיף ב, האם צריך להוכיח ש-<math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}</math>? ובמבחנים? תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]] 11:26, 20 ביולי 2010 (UTC)
: אור, אני לא מתרגל ו/או מרצה בקורס זה (אלא תלמיד סה"כ) ולכן אל תיקח את התשובה שלי כתשובה שאתה יכול להסתמך עליה. עם זאת, נראה לי שהדבר טרוויאלי ונובע ישירות מההגדרה של קבוצות אלו, ולכן אין צורך להוכיח את זה במבחן, אלא רק לציין שהדבר מתקיים אם אתה צריך לעשות בו שימוש.

==תרגיל 1,שאלה 6==
לא הצלחתי להבין מה מבקשים בשאלה 6, מה זאת אומרת "הצג..."?
:אני חושב שאת/ה צריך/ה לת דוגמה. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]] 11:26, 20 ביולי 2010 (UTC)

==קבוצות מוכלות זו בזו==
שלום לכולם,
האם נכון לומר שבמידה וקבוצה <math>A</math> מוכלת בקבוצה <math>B</math> אז <math>\mathcal{P}(A)</math> תהיה מוכלת ב-<math>\mathcal{P}(B)</math>?
תודה שוב, גל.
===תשובה===
תחשוב על ההגדרות ועל מה זה אומר ש-X שייך ל- <math>\mathcal{P}(A)</math> והאם בהכרח הוא שייך ל <math>\mathcal{P}(B)</math>
====חידוד השאלה בנושא זה====
לא כל כך הבנתי את התשובה שלך. כמובן שלפני שאני שולח כאן אני מסתכל על הגדרות, ולכן אחדד את שאלתי (יש לי תחושה שלא הובנתי נכון): נניח שנתון לי ש-<math>X</math> כלשהו שייך לקבוצה <math>A</math> ושאותה קבוצה <math>A</math> מוכלת בקבוצה <math>B</math> כלשהי. לכן האיבר <math>X</math> הינו איבר גם בקבוצה <math>B</math>. משום כך {X} הוא איבר ב- <math>P(A)</math> וגם ב- <math>P(B)</math>. האם מכאן אני יכול לקבוע שהקבוצה <math>P(A)</math> מוכלת בקבוצה <math>P(B)</math> (נראה לי שהתשובה היא כן אבל אני רוצה להיות בטוח)? והאם אני יכול להשתמש בזה בהוכחות בלי צורך להוכיח את זה כל פעם מחדש (או פשוט לומר ישירות שמכיוון שמתקיים <math>A \subset \ B</math> אז <math>P(A) \subset \ P(B)</math>)?
תודה, גל.

:אנחנו מכוונים אותך להגדרות לא כי אנחנו חושבים שלא קראת לבד קודם, אלא כי חשוב לדעת להוכיח מתמטיקה במדויק לפי ההגדרות. מתי אנחנו יודעים שA מוכלת בB לפי הגדרה? אם אתה רוצה לטעון ש<math>P(A) \subset \ P(B)</math> תוכיח את זה במדויק לפי ההגדרה.

:מה שעשית למעלה הוא הסבר עם דוגמא אבל לא הוכחה שלימה.--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 11:57, 20 ביולי 2010 (UTC)

::ברור לי גם שעליי להוסיף להוכחה את העובדה שב- <math>P(B)</math> יש איבר שאין אותו ב- <math>P(A)</math>. וסליחה על השאלה הקצת טיפשית, מה עליי להוסיף בכדי שהדבר ייחשב להוכחה שלמה?

:{{התנגשות}} הוכחה: תהי קבוצה X כך ש-<math>X \in \mathcal{P}(A)</math>. לפיכך <math>X \in \left\{S|S \subseteq A\right\}</math>. מתקיים <math>A \subseteq B</math> ולכן <math>\left\{S|S \subseteq A\right\} \subseteq \left\{S|S \subseteq B\right\} \Rightarrow \left\{X\right\} \subseteq \left\{S|S \subseteq B\right\} = \mathcal{P}(B)</math> ולבסוף: <math>X \in \mathcal{P}(B)</math>. מכאן נובעת הטענה המתבקשת, מש"ל. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]] 12:10, 20 ביולי 2010 (UTC)

:: עכשיו הבנתי. האם אני צריך להציג את זה בכל מקום שאני מסתמך על כך או שלא? תודה גל.
::: אתה מתכוון במבחנים ובתרגילים? אני מנחש שלא, אבל עדיף לשאול את המרצים ב-google groups. '''אור שחף''' - [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 12:24, 20 ביולי 2010 (UTC):
:::: שאלתי את המתרגלת שלי והיא אמרה שלא צריך...

==תרגיל 1==
שלום רב, היום העלתם את התרגיל הראשון, אך לא כתבתם תאריך הגשה. מתי צריך להגיש אותו?
תודה, גל.

:שלום גל, לפי מה שידוע לי צריך להגיש ביום רביעי 28.7. אלה.

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-07-25T17:29:45Z

תומר זוארץ: /* שאלה חשובה וקצרה על 3.1 (לא אותו אחד שכתב את השאלות האחרות) */