משפט המימדים

2018-08-30T07:56:55Z

540414454: /* B בת"ל */

חזרה ל[[משפטים/לינארית|משפטים בלינארית]]

=משפט המימדים=
יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>U,W</math> תתי-מרחב של <math>V</math> . אזי:

:<math>\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)</math>

=הוכחה=
נסמן את הבסיס ל- <math>U\cap W</math> ב- <math>\{v_1,v_2,\dots,v_k\}</math> .

כיון ש- <math>U\cap W\subseteq U,W</math> , ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס ל- <math>U</math> ובאופן דומה לבסיס ל- <math>W</math> .

נסמן את הבסיסים ב- <math>\{v_1,\dots,v_k,u_1,\dots,u_p\},\{v_1,\dots,v_k,w_1,\dots,w_m\}</math> .

נסמן את איחוד הבסיסים ב- <math>B=\{v_1,\dots,v_k,u_1,\dots,u_p,w_1,\dots,w_m\}</math> , ונוכיח כי <math>B</math> הנו בסיס ל- <math>U+W</math> .

===<math>B</math> פורש את <math>U+W</math>===
יהי <math>u+w\in U+W</math> . אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים, <math>u+w=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1v_1+\cdots+c_kv_k+d_1w_1+\cdots+d_mw_m</math>.

ברור אם כך כי <math>u+w\in span(B)</math>

===<math>B</math> בת"ל===
ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של איברי B:

:<math>a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p+c_1w_1+...+c_mw_m=0</math>.

נסמן <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p=-c_1w_1-...-c_mw_m</math>

ברור משני אגפי המשוואה כי <math>v\in U \and v\in W</math> ולכן <math>v\in U\cap W</math>

לכן ל-v יש הצגה כצירוף לינארי של איברי הבסיס לחיתוך, <math>v=d_1v_1+...+d_kv_k</math>.

כמו כן, ל-v יש הצגה '''יחידה''' כצירוף לינארי של איברי הבסיס של U ולכן מתקיים:

::<math>v=d_1v_1+...+d_kv_k+0\cdot u_1+...+0\cdot u_p = a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p</math>

ולכן <math>b_1=b_2=...=b_p=0</math>.

כעת קיבלנו כי <math>a_1v_1+...+a_kv_k+c_1w_1+...+c_mu_m=0</math>,

אבל זה צירוף לינארי של איברי הבסיס של W ולכן הוא טריוויאלי.

מכאן שהצירוף הלינארי היחיד שמתאפס של איברי B הינו הטריוויאלי ולכן B בת"ל.

===ספירת מימדים וסיכום===

מצאנו, איפוא, בסיסים לכל תתי המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת:

<math>dim(U+W)=k+p+m=k+p+k+m-k=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)</math>

[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]

Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

משפט המימדים