Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

שיחה:88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעב

2012-09-17T10:34:53Z

Benron20: /* תודה!! */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== טעויות ==

5ב חסר מצא

10 חסר הפעולה שעליה אתם מדברים לא רשמתם אם כפל מטריצות או חיבור מטריצות

הכוונה היא לכפל מטריצות. [[משתמש:גילי|גילי]] 18:37, 1 באוגוסט 2012 (IDT)

== טעות נוספת? ==

בשאלה 3, אם m=0 אז ההגדרה לא מתאימה למה סביר שרציתם. צריך לכתוב Z כוכב.
או <math>\mathbb{N}</math>

צודק. [[משתמש:גילי|גילי]] 20:45, 4 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלות 9 11 ו- 12 ==

למה הכוונה כשאומרים <math>U_n : n \in \mathbb{N} </math> ? איזה קבוצה זה?
:אני משער שקבוצת המספרים k שבין 0 ל n המקיימים 1=(k,n).

אתה לא טועה :)

מה זה אומר <math>(k,n)=1</math>?

זה אומר שהמחלק המשותף המקסימלי שלהם שווה 1, במילים אחרות זה אומר שהם זרים (אין להם אף גורם ראשוני משותף) [[משתמש:גילי|גילי]] 11:06, 5 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 1 שאלה 6 ==

איך אני מתמודד עם קומטטיביות? אני צריך שa*b=b*a ואני לא מבין את המשמעות הקומבינטורית של זה?
אפשר עזרה או כיוון לפתרון?

תחשוב איך אתה מביע באופן כללי מבנה אלגברי מעל קבוצה בת חמישה איברים. כמה מבנים אלגברים כאלה קיימים? מה מיוחד במבנים אלגבריים קומוטטיבים מבחינת הפעולה? [[משתמש:גילי|גילי]] 20:47, 4 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה 7 תרגיל 1 ==

האם צריך להוכיח אסיוציאטיביות?

כמובן, זה חלק מהדרישות בהגדרת מונואיד. [[משתמש:גילי|גילי]] 23:07, 5 באוגוסט 2012 (IDT)

== למה יש שיעור השלמה ביום שישי? ==

זה במקום שיעור כלשהו?

== תרגיל 2 שאלה 1.5 ==

מה ההגדרה של An? בתודה מראש ג.--[[משתמש:ג.יפית|ג.יפית]] 12:27, 11 באוגוסט 2012 (IDT)

An היא חבורת התמורות הזוגיות ב Sn - התמורות שאם תכתבי אותן כמכפלה של חילופים, מספר החילופים יהיה זוגי. [[משתמש:גילי|גילי]] 09:46, 12 באוגוסט 2012 (IDT)

ג. יפית?!

== יש טעות בתרגיל 3 שאלה 1 ==

5 מופיע פעמיים בתמורה כאילו שני איבירם שונים הולכים ל5

נכון. זה אמור להיות 7 הולך לשתיים. [[משתמש:גילי|גילי]] 18:15, 13 באוגוסט 2012 (IDT)

::אם כבר בטעויות עסקינן, גם 10 מפוקפק טיפה. +3

יש טעות בתמורה בשאלה 3.1

נכון, בשאלה 10 עליכם להוכיח שאם <math>\phi</math> הוא הומומורפיזם ו <math>a\in ker\phi</math> אז לכל <math>g\in G</math> <math>gag^{-1}\in ker\phi</math> [[משתמש:גילי|גילי]] 20:57, 15 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 10 ==

מה הכוונה ב- 'G? זאת חבורה מיוחדת...?

לא, הכוונה בתרגיל היא ש <math>\phi</math> הוא הומומורפיזם בין שתי חבורות. אין משמעות מיוחדת לסימון <math>G'</math> בהקשר של תרגיל זה.
כמו שציינתי, המטרה היא להוכיח שאם <math>\phi</math> הוא הומומורפיזם ו <math>a\in ker\phi</math> אז לכל <math>g\in G</math> <math>gag^{-1}\in ker\phi</math> [[משתמש:גילי|גילי]] 20:59, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 6 סעיף ג' ==

בתרגיל 3 שאלה 6 סעיף ג':

האם הכוונה למחלקת הצמידות של האיבר ב - A או למחלקת הצמידות שלו ב - S4?

A היא תת חבורה של S4. אם היה מדובר על מחלקת הצמידות ב A של איבר ב A, אז ברור כי כל מחלקת הצמידות היתה מוכלת ב A.
לכן, באופן כללי, כששואלים אם מחלקת צמידות של איבר השייך לתת חבורה H של G מוכלת כולה בתוך H, הכוונה היא למחלקת הצמידות שלו ב G. [[משתמש:גילי|גילי]] 12:04, 17 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 11א' ==

בסעיף זה התבקשו להוכיח כי פונקציית הסימן היא הומומורפיזם של חבורות.
השאלה אם צריך להוכיח במפורש שהיא כפלית או שאפשר להסתמך על זה?

אם אנו נדרשים להוכיח שהיא כפלית, איך אנחנו מגדירים את הסימן: עם חילופי סדר או עם מכפלת חילופים?

ובהמשך לשאלה הזו, אם הגדרנו באחת מהדרכים ויותר נוח לי להשתמש בשנייה, האם אני צריך להראות את השקילות?

בתודה מראש, אופיר (:

1. ניתן להסתמך על התכונה ש sign(ab)=sign(a)sign(b.

2. אין צורך להראות את השקילות.

== ב7 אני צריך להוכיח שG חבורה? ==

או שאפר להסתמך על זה?

כן, יש להוכיח ש G חבורה. [[משתמש:גילי|גילי]] 08:41, 21 באוגוסט 2012 (IDT)

== מה התאים של גילי/אפי? ==

ועד איזה שעה ביום רביעי להגיש?

התא שלי הוא תא מספר 11. אני לא בטוחה לגבי התא של אפי, אבל השם שלו כתוב עליו. ניתן להגיש עד סוף יום רביעי - העיקר שבחמישי בבוקר התרגילים יהיו בתא. [[משתמש:גילי|גילי]] 20:59, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

== עצמה ==

איך מוכיחים שיש חבורה מכל עוצמה? (ללא הנחת השערת הרצף המוכללת, שאיתה כנראה אפשר לקחת פונקציות של פונקציות של...R)

::(לא מתרגל) תסתכל על החבורה החופשית הנוצרת ע"י קבוצה מאותה העוצמה (נסמנה בa). מכיוון שאנחנו מוגבלים לאורך סופי של מילים, נקבל איחוד בן מנייה של קבוצות מעוצמה a, ולכן העוצמה של החבורה היא a.

הנקודה היחידה שצריך להוסיף היא שעבור כל עוצמה סופית - פשוט תיקח את החבורה הציקלית מאותו סדר. [[משתמש:גילי|גילי]] 21:02, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

== ב12.1 אני צריך להוכיח שG תת חבורה? ==

או שזה ידוע?

אני מניחה שהכוונה היא ל <math>G'</math>. ולא, אין צורך להוכיח שהיא תת חבורה, כי מעצם הגדרתה בתור תת החבורה הנוצרת ע"י קבוצת הקומוטטורים מתקבל שהיא תת חבורה. כמובן, את זה ניתן לציין. [[משתמש:גילי|גילי]] 12:21, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

== קוסטים ==

למה אם <math>H \leq G</math> ,
<math>a,b \in G</math>,

<math>ab^{-1} \in H </math> אז <math>aH=bH</math>?

שים לב שזה אם <math>a^{-1}b \in H </math> אז <math>aH=bH</math>. הנוסחה כמו שכתבת מתאימה למקרה של קוסטים ימניים.

כעת, לכל <math>h\in H</math> מתקיים <math>hH=H</math> כשההכלה <math>\subseteq</math> נובעת מהסגירות של <math>H</math> ואת ההכלה ההפוכה קל להוכיח : יהי <math>h_1\in H</math> אזי <math>h_1=h(h^{-1}h_1)\in hH</math>.

בפרט אם נתון <math>a^{-1}b \in H </math>, מתקיים <math>a^{-1}bH=H</math> ע"י כפל ב a משמאל נקבל, <math>bH=aH</math> כקבוצות. [[משתמש:גילי|גילי]] 12:34, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

== חבורת מנה ==

אם G/H היא חבורה אז <math>H\triangleleft G</math>?

G/H היא תמיד קבוצה. כשרוצים לבדוק אם G/H היא חבורה צריך להחליט מה הפעולה שמגדירים מעליה.

בהנחה שמנסים להגדיר פעולה כמו שהגדרתם בהרצאה, אז כן - G/H היא חבורה אמ"ם H היא תת חבורה נורמלית של G.

מעט יותר בפירוט, אם הפעולה <math>(aH)*(bH)=abH</math> מוגדרת היטב אז <math>H\triangleleft G</math>.

אכן, לכל <math>g\in G</math> ולכל <math>h\in H</math>

<math>hH=eH</math>

<math>g^{-1}H=g^{-1}H</math>

לכן, אם הפעולה מוגדרת היטב אז:

<math>hg^{-1}H=eg^{-1}H</math> <math>\Leftarrow</math> <math>ghg^{-1}H=H</math> <math>\Leftarrow</math> <math>ghg^{-1}\in H</math>

לכן, H ת"ח נורמלית של G.

(לחילופין יכולנו להגדיר את הפעולה כמו שהגדרנו בתרגול - כשהמכפלה של שני קוסטים היא מכפלתם בתור קבוצות. עבור H ת"ח נורמלית, ראינו כי מתקבלת אותה פעולה. גם במקרה זה, הפעולה מוגדרת היטב אמ"ם H ת"ח נורמלית . אם H ת"ח נורמלית, ראינו כי הפעולה מוגדרת היטב.
בכיוון השני, נניח כי לכל <math>a,b\in G</math> <math>(aH)(bH)</math> הוא קוסט.

אזי, לכל <math>g\in G</math> קיים <math>c\in G</math> כך ש <math>gHg^{-1}H=cH</math>.

בפרט, <math>gHg^{-1}e\subseteq cH</math>.

אבל <math>e=geg^{-1}e\in gHg^{-1}e\subseteq cH</math> לכן <math>c^{-1}\in H</math> ו <math>c\in H</math>. לכן, <math>cH=H</math> ובסה"כ <math>gHg^{-1}\subseteq H</math> <math>\Leftarrow</math> <math>H\triangleleft G</math>). [[משתמש:גילי|גילי]] 15:33, 29 באוגוסט 2012 (IDT)

==הטלה==
מהי, ומה הקשר שלה להטלה שאנחנו מכירים מלינארית?

אני מניחה שהכוונה היא להטלה ממכפלה ישרה של חבורות לאחד הגורמים במכפלה.
במקרה זה, עבור <math>G=G_1 \times G_2</math> הטלה לרכיב הראשון תהיה הפונקציה <math>\pi_1:G\rightarrow G_1</math> המוגדרת <math>\pi_1(g_1,g_2)=g_1</math>. באופן דומה מגדירים הטלה לרכיב השני, או הטלה ממכפלה קרטזית של יותר חבורות.

לגבי הקשר ללינארית, במובן מסויים אפשר להסתכל על ההטלה הנ"ל בתור הכללה של הטלה במרחבי מכפלה פנימית.
על הטלה של וקטור <math>v\in V</math> לתמ"ו <math>W\leq V</math> ניתן להסתכל באופן הבא:
W הוא תמ"ו של V, לכן קיים המשלים הניצב <math>W^{+}\leq V</math> ומתקיים <math>V=W_1\oplus W_2</math>. לפי תכונות הסכום הישר, v ניתן להצגה יחידה מהצורה <math>v=w_1+w_2</math> כש <math>w_1\in W</math> ו <math>w_2 \in W^{+}</math>. ומתקיים ההטלה של v על W היא <math>\pi_{W}(v)=w_1</math>.

המקרה של חבורות מכליל מקרה זה שכן, מרחבים וקטוריים הם בפרט חבורות חיבוריות.

לעומת זאת, המקרה של חבורות אינו אנלוגי למקרה של מרחבים וקטוריים. בעוד שלתת מרחב וקטורי המשלים הניצב תמיד קיים ויחיד (ולכן, ניתן להגדיר היטל בצורה שתיארנו עכשיו) בחבורות זה לא המצב.

למשל, עבור החבורה <math>D_3</math> ותת החבורה <math>C_3</math>, לא קיימת תת חבורה <math>H\leq D_3</math> כך ש <math>D_3\cong C_3\times H</math>. [[משתמש:גילי|גילי]] 16:00, 29 באוגוסט 2012 (IDT)

== אפשר דוגמא להפרכה ל ==

http://www.math-wiki.com/images/c/c6/A_06.pdf שאלה 6 ג',הסתכלתי בפתרונות ואין הפרכה שמה..
:אם אני לא טועה זה היה בתרגילי הבית של שנה שעברה, תבדוק.

השאלה שאלה מצויינת. נפתור אותה בע"ה בשיעור החזרה. [[משתמש:גילי|גילי]] 15:08, 6 בספטמבר 2012 (IDT)

== משפט אוילר הראשון ==

מהו המשפט? חישוב פונקציית פי? או ההוכחה Un=Gr(Zn)q ?

לדעתי משפט אויילר הראשון הוא המשפט הקובע כי האיברים בחבורה <math>U_n</math> הם איברי <math>Z_n</math> הזרים ל <math>n</math>.
כמובן, אם אתה רוצה להיות בטוח שהכוונה היא למשפט זה, עדיף שתבדוק את הכותרת במחברת ההרצאה או שתשאל את פרופ' מגרלי. בהצלחה. [[משתמש:גילי|גילי]] 18:07, 9 בספטמבר 2012 (IDT)

== נורמליות ==

עבור H תת-חבורה, ההעתקה <math>gH \; \mapsto \; Hg</math> מוגדרת היטב אםם <math> H \triangleleft G</math>? (ברור שמאל גורר ימין)

נוכיח כי צד ימין גורר את צד שמאל:
נתון כי ההעתקה <math>gH \; \mapsto \; Hg</math> מוגדרת היטב. צ"ל <math>H\triangleleft G</math>.
יהיו <math>g\in G</math> ו <math>h\in H</math>. מ"ל: <math>ghg^{-1}\in H</math>.
אבל: <math>gH=ghH</math> ונתון כי ההעתקה <math>gH \; \mapsto \; Hg</math> מוגדרת היטב, לכן <math>Hg=Hgh</math>. נכפול מימין ב <math>g^{-1}</math> ונקבל <math>H=Hghg^{-1}</math>. לכן <math>ghg^{-1}\in H</math>. [[משתמש:גילי|גילי]] 17:57, 9 בספטמבר 2012 (IDT)

==תרגיל אתגר מההרצאה==
יהיו <math>H_2 \leq G</math>, <math>H_1 \leq G</math>.
צ"ל <math>[G:(H_1 \cap H_1)]\leq[G:(H_1)][G:(H_2)]</math> ע"י הגדרת פעולה מתאימה.

נסה להסתכל על הפעולה הטבעית רכיב רכיב של <math>G</math> על <math>G/H_1\times G/H_2</math>.
מה ניתן להגיד על הסדר של המסלול של <math>(H_1,H_2)</math>?
מה הקשר בינו לבין סדרי המסלולים של <math>H_1</math> ו <math>H_2</math> בפעולות הטבעית של <math>G</math> מעל <math>G/H_1</math> ומעל <math>G/H_2</math> בהתאמה? [[משתמש:גילי|גילי]] 18:02, 9 בספטמבר 2012 (IDT)

== קבוצה פורשת ==

נניח נתון לי שהחבורה G נוצרת ע"י האיברים <math>a_1, a_2, ... , a_n</math> ונניח גם ש - rank(G) = k עבור k<n כלשהו, כלומר <math>a_1, a_2, ... , a_n</math> יוצרים את החבורה אולם זו אינה קבוצה יוצרת מינימלית בגודלה. האם אני יכול להסיק מכך שיש איבר <math>a_i</math> בקבוצה הפורשת שלי שהוא מכפלה כלשהי של האיברים האחרים בקבוצה הפורשת (כמו באלגברה ליניארית)?

לא, למשל הדרגה של חבורת התמורות <math>S_n</math> היא 2. מצד שני ראינו שהיא נוצרת על ידי כל החילופים מהצורה <math>(1 i)</math> וברור כי חילוף כנ"ל לא ניתן להבעה בתור מכפלה של שאר החילופים מהצורה הנ"ל.

== אשמח לעזרה בשאלה הבאה ==

נתונה פעולה G טרנזיטיבית לא טריוויאלית הוכח ש בG קיימת <math>g\in G</math> כך ש <math>X_g =\varnothing</math>.

הצלחתי לא משנה שאלה נחמדה

== פתירוּת ==

הוכיחו: אם <math>N \triangleleft G</math> פתירה וגם <math>G/N</math> פתירה, אז G פתירה.

נניח <math> H/H \triangleleft \ldots G_r-1/H\triangleleft G_r/H=G/H </math> ו <math>1=H_1 \triangleleft H_2\ldots \triangleleft H</math>
שמקיימות את תנאי הפתירות

השתמשתי בכך שכל תת חבורה של G\H היא מהצורה שהזכרתי למעלה.

אז נקח את

<math>H_1\ldots G_r-1 \triangleleft G_r</math>

וזה עובד ממשפט האיזו השלישי

== תודה!! ==

אני בטוח שאני מדבר בשם כולם- רק רציתי להודות לך גילי
את מתרגלת מעולה-העברת לנו המון חומר בצורה ברורה
ואין ספק שעזרת לנו מאוד! באמת תודה רבה ושנה טובה לכולם

וואו, ממש תודה :-)
איך היה המבחן? [[משתמש:גילי|גילי]] 17:15, 14 בספטמבר 2012 (IDT)

לא היה קשה מדיי, כמו שאמרת לנו שאם נעבור טוב על הרצאות, תרגולים ושיעורי בית נהיה מוכנים

שיחה:88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעב

2012-09-13T17:50:08Z

Benron20: /* תודה!! */ פסקה חדשה

שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא

2011-09-10T17:41:53Z

Benron20: /* מספר קורס */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=
[[שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/ארכיון 1|ארכיון 1]]

[[שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/ארכיון 2|ארכיון 2]]

=שאלות=

== מבחן תש"ע מועד א' שאלה 3 סעיף ב ==

מספר התמורות של 1..n כך שאף מספר זוגי לא במקומו. נראה לי שהתשובה לשאלה נקטעה באמצע מכיוון שהתשובה מכילה רק את עוצמת כל האיחודים של תמורות של מספרים זוגיים שכן נמצאים במקומם. צריך להוריד את כל האיחודים ממספר התמורות האפשרויות, נכון ?
ולא מופיעה תשובה לסעיף ג' שאני גם לא בטוח לגבי הפתרון שלה.הוכחה קומבינטורית: מספר תתי הקבוצות מגודל זוגי (מקבוצה בגודל זוגי) שוות למספר תתי הקבוצות מגודל אי זוגי (מקבוצה בגודל זוגי).

:לא ברורה לי השאלה הראשונה לגמרי, אבל אני לא רואה שהתשובה שם קטועה. יש שם את סכום האפשרויות לכל הקבוצות, פחות סכום האפשרויות לחיתוך של שתיים, ועוד סכום האפשרויות לחיתוך של שלוש וכן הלאה. בדיוק לפי נוסחאת ההכלה וההדחה.

:אני לא רואה מה הוכחה במה שרשמת. למה שיהיה שיוויון בין שני הדברים האלה? האם מספר תתי הקבוצות מגודל 3 מקבוצה בגודל 100 שווה לתתי הקבוצות מגודל 2 מקבוצה מגודל 3? בוודאי שלא... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה תרגיל 7 ==

מישהו יכול בבקשה להסביר לי למה לחלק 10k כדורים שונים בk תאים שונים זה k בחזקת 10k ולא הפוך (זאת אומרת 10k בחזקת k)
ובנוסף לזה מה ההבדל בין תאים זהים לתאים שונים?
:מכיוון שלכל כדור יש k אפשרויות לבחור תא. לכן כופלים את מספר התאים בעצמו בחזקת מספר הכדורים.
:כאשר התאים שונים, אם הכנסת 2 כדורים לראשון וכדור לשני קיבלת מצד שונה מאשר מישהו שהכניס 2 כדורים לשני וכדור לראשון. אם התאים זהים אין הבדל בין מצבים אלו. (למשל כאשר אתה מנסה לפתור בעייה קומבינטורית של חלוקת אנשים לקופאיות. לא מעניין אותך לאיזה קופאית הם הולכים, אלא רק מעניין אותך שהתורים יתפזרו באופן אחיד). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מועד א' 2008 שאלה 6,7 ==

דבר ראשון - למה בשאלה 7 במבחן הציפור במקום ה-(2,3) הפוכה? זה אמור לרמוז לנו משהו? (וכן, ניסינו להפוך את המסך).

דבר שני (רציני הפעם... סוג של) - מה היא F בשאלה 6 באותו מבחן? ניסינו לבדוק בפתרונות אבל גם שם ה-F לא כתובה.

בתודה מראש, ג.יפית (שנורא מתעניינת במתמטיקה בדידה)

:היי ג. יפית, כמדומני שרשום שם שF הינה קבוצת כל היחסים מA לB. תנסי, זה כדאי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== אפשר אולי קצת עזרה בשאלה 6 בתרגיל 7 ==

במקרה שמספר האנשים יותר גדול מהמקומות בספסל ברור לי למה אין אפשרות כזאת בגלל שאתה רוצה שהחזרות יהיו אסורות ואם תנסה לסדר תקבל ששני אנשים ישבו אחד על השני וזה אסור
אבל איך מסבירים את זה מתמטית?
בנוסף אם אפשר כיוון לשאלה 7
:מה הכוונה אחד יישב על השני? זה בדיוק יחס שאינו חד ערכי בין כסאות לבין האנשים שיושבים עליהם. בכיוון ההפוך, זו פונקציה שאינה חח"ע בין האנשים לבין הכסאות עליהם הם ישובים. ניתן להגדיר באחת הדרכים הללו ולהוכיח שהיא לא תתכן (עקרון שובך היונים, למשל).

:בקשר לשאלה 7- מבלי לפתור אותה בעצמי, זה נשמע כמו הכלה והדחה. בכמה מקרים התא הראשון יהיה גדול מהתא השני. בכמה מקרים התא הראשון יהיה גדול מהשני וגם השלישי יהיה גדול מהשני? וכדומה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

:הרבה פעמים מגדירים ש k over n כאשר n גדול מ k הוא 0.

== מבחן שנת 2007 מועד ב' ==

בסעיף ג' של שאלה 6 באותו מבחן יש סימן של + בתוך O שאני מזהה מלינארית, אך לא מבין מה משמעותו בבדידה.

עריכה: לא משנה, בשאלה 1 במבחן שנת 2007 מועד א' מצאתי שמשמעותו ההפרש הסימטרי.

== תרגיל 7 שאלה 8 ו- 10 ==

שאלה 8 - לבחור k שלמים מתוך n מספרים כך שלא יהיו בינהם מספרים עוקבים. תשובה n+1-k מעל k.
אני לא מצליח להבין למה זאת התשובה ?
שאלה 10 - לחלק k שקלים לn ילדים כאשר לא אכפת לנו כמה שקלים כל ילד יקבל. שוב התשובה היא n+1-k מעל k. ושוב אני לא מבין אותה :)
אני מבין שאין חשיבות לסדר אבל זה לא מסתדר לי בראש.

:שים לב, זו לא אותה תשובה בשתי השאלות, באחת זה מינוס k ובשנייה פלוס. בשאלה עם השקלים, היא שקולה לבחירת k ילדים עם חזרות ולא ממשמעות לסדר (אם בחרתי ילד ספציפי 3 פעמים יש לו שלושה שקלים, וזה לא משנה מתי הוא קיבל אותם). לגבי השאלה עם המספרים העוקבים, אני לא בטוח איך אפשר להגיע ישירות לנוסחא. אני הייתי מנסה הכלה והדחה על מנת לפתור את התרגיל, אבל ייתכן ואני מפספס משהו. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

הבנתי לגבי הילדים והשקלים, תודה. ומצאתי פתרון עם הסבר טוב לגבי העוקבים - http://math-wiki.com/images/9/94/10BdidaTargil5Sol.pdf. פתרון לשאלה 6.

אני הסתכלתי על זה בדרך טיפה שונה: לקחתי שני מספרים קיצוניים 1-,n+2 ואמרתי שיש k+2 מספרים עכשיו וסכום k+1 ההפרשים באמצע הגדולים שווים 2 הוא n+3 לכן זה שקול למשוואה של k+1 אי שליליים שסכומם (n+3-2(k+1 ויוצאת אותה תשובה.

אתה יכול להסביר קצת יותר ? לא הבנתי.

== תרגיל 5 משנה שעברה שאלה 4 ==

סעיף ד'. להבדיל מהסעיף הקודם, מכפילים את האיחודים בין A1 לA2 ב2. וגך גם עבור שאר האיחודים. לא הצלחתי להבין בשביל מה.
:כמדומני שיש שם טעות בסימונים. אבל בכל מקרה, ההבדל מהסעיף הקודם הוא שכעת אתה לא רוצה בדיוק את האיחוד, אלא את האיחוד ללא החיתוכים (הרי אתה לא רוצה מספר שמתחלק גם ב3 וגם ב4). הורדת החיתוכים היא בדיוק ההבדל בנוסחא (שים לב גם שהאיחוד המשולש נכפל ב3). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== השיעור חזרה מחר ==

האם הוא יעלה לאתר?
:לא, זה יהיה שאלות ותשובות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה כללית על יחס סדר חלקי ואנטי -סימטריות ==

נתונה לי קבוצה A={1,2,3} האם R הזה הוא יחס סדר חלקיR={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)}p ? האם ה-איבר (1,2) עושה את היחס אנטי סימטרי וטרנזטיבי? והאם כל יחס שאינו סימטרי הוא אנטיסימטרי? תודה

:כן זה יחס סדר חלקי. האיבר (1,2) לבדו לא "עושה" את זה. לא כל יחס שאינו סימטרי הינו אנטי סימטרי למשל <math>R=\{(1,1)(1,2)(2,1),(1,3)\}</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== האם אפשר לקבל פתרונות לתרגיל 3? ==

תודה

== מבחנים, חידות ==

אפשר בבקשה לקבל רשימה עם מבחנים של אפי ושל שי שלא נמצאים במאגר מבחנים פה?

ואפשר בבקשה גם רשימה של כל החידות שהיו? כי חיפשתי ומצאתי רק את הראשונה.. :\

:אין לי מבחנים אחרים, ולא פורסמו חידות אחרות לכלל התלמידים --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מבחן תש"ע מועד א שאלה 6 סעיף א ==

"נתונים n כדורים זהים שחורים וכדור לבן אחד ו n+1 קופסאות שונות.כ'''ל קופסא יכולה להכיל לכל היותר כדור אחד'''. בכמה דרכים ניתן למקם '''כדור אחד או יותר'''."
* השאלה סותרת את עצמה ? לגבי כמות הכדורים בקופסא אני מתכוון.
*התשובה כוללת שתיים בחזקת אן ועוד אחד (בתור פורמולה זה התחרבש שלי) למה יש כל פעם שתי אפשרויות ? אם כדור נמצא בקופסא או לא ?

אני אשמח להסבר לגבי השאלה והתשובה.

:אני אסביר קודם את השאלה, אם עדיין לא תבין אסביר גם את התשובה. הכוונה היא לסדר כדור אחד בין הקופסאות, שני כדורים בין הקופסאות וכולה. כלומר, אתה לא חייב לסדר את '''כל''' הכדורים, זו הכוונה והיא אינה סותרת את התנאי שאם בחרת לסדר את כל הכדורים, כל אחד מהם יהיה בקופסא נפרדת. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::אז לכל כדור יש שתי אופציות, להיות בקופסא או לא להיות בה ?

:::כן, וגם זו שאלה איפה הכדור הלבן נמצא (או שהוא לא נמצא בכלל) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מבחן תש"ע מועד א 3 סעיף ג' ==

זאת השאלה הקומבינטורית שהתכוונתי אליה בכיתה.
<math>sigma(0-n) C(2n,2k)= sigma(1-n) C(2n,2k-1)</math>
אין לשאלה תשובה במבחנים. ניחוש שלי: קשור לתת קבוצות בגודל זוגי ותת קבוצות בגודל אי זוגי.
:אני חושב שהכוונה היא זו: <math>0=((-1)+(+1))^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}{2n \choose k}(-1)^k(1)^{2n-k}=\sum_{k=0}^n{2n \choose 2k}-\sum_{k=1}^n{2n \choose 2k-1}</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::לא הבנתי את המעבר מהשלב הראשון לשני. תודה.

:::מימין או משמאל? מימין הסכום על כל המספרים זה הסכום על הזוגיים והאי זוגיים בנפרד, כאשר האי זוגיים הם במינוס בגלל המינוס אחד בחזקת k. מצד שמאל, מתקיים שאחד ועוד מינוס אחד שווה אפס, ואפס בחזקת כל דבר זה אפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::::לא הבנתי מימין. לאן נעלם ה2k איך הם נהפכו לk? יש איזה מעבר ביניים אולי ? כי אני מבין את הבינום (נראה לי) אבל המעבר הזה עדיין לא מובן לי.

:::::זה מה שהסברתי - תסתכל על זה משמאל לכיוון ימין. יש לך סכום על 2n מספרים. פיצלתי אותו לשני סכום של n מספרים - הזוגיים והאי זוגיים. הזוגיים מסומנים ב2k והאי זוגיים ב2k-1. בקיצור, שים לב שמשמאל יש 2n מחוברים וגם מימין יש סה"כ 2n מחוברים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

עכשיו הבנתי ! תודה.

== מועד ב' 2010 ==

בשאלה 5 סעיף ג' מבקשים למצוא מס ת"ק שאינם מכילים את {1,2} אז מספיק למצוא את מספר (ת"ק שאינם מכילים את {1} איחוד עם ת"ק שאינם מכילים את {2}) ?? כי בפתרון לא עושים ככה וגם התשובה לא יוצאת אותו דבר (השוותי ביניהם במחשבון) אם מה שאמרתי לא נכון אז אפשר הסבר גם למה?

:למה זה לא מה שהם עושים בפתרון? זה בדיוק מה שעושים בפתרון. פשוט לפי הכלה והדחה עוצמת האיחוד היא סכום העוצמות פחות עוצמת החיתוך... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::בפתרון הם לוקחים 3 אפשרויות 1-ש{1} מוכל ו{2} לא. 2-ש{2} מוכל ו{1} לא ו3-ש{1,2} לא מוכל. אבל למה כזה ארוך מספיק למצוא ת"ק שבהן {1} מוכל איחוד עם ת"ק שבהן {2} מוכל. לפי הדרך שלי לא יוצאת אותה תשובה כמו הדרך של הפתרון.

:::אולי תרשום את הדרך שלך? כמו שאמרתי, חישוב האיחוד נעשה עם הכלה והדחה. בלי לראות את הדרך אני לא יכול לדעת מה הטעות... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::::אמרתי לך אני אמרתי שמס' ת"ק של {1,....n} בגודל K שאינם מכילות את {1,2} זה בעצם מס'(ת"ק שאינן מכילות את {1} איחוד עם ת"ק שאינן מכילות את {2})

:::::עד פה נכון. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== עוצמות. מבחן תשס"ט שאלה 4 סעיף ג ==

אני לא מבין משהו שחוזר בהרבה מאוד שאלות. a<b אלה שתי עוצמות של קבוצות.
למה a^b = 2^b ?
בתשובה רשום שהוכחנו משפט כזה בכיתה כאשר איי גדולה מאחד ובי גדולה מאיי ובי עוצמה אינסופית הנל נכון.
לא מצאתי את המשפט הזה בהרצאות.
:[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 7#תכונות האריתמטיקה|הוכחה כאן]] --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

בעע פספסתי את זה, תודה.

== אפשר הוכחה לכך שכל יחס שקילות מחלק את הקב' למחלקות שקילות ==

אם אנחנו מחלקים קבוצה לתתי קבוצות זרות, היחס שמקשר בין איברי אותה קבוצה הינו יחס שקילויות. האם הכיוון ההפוך גם נכון? כלומר, האם כל יחס שקילויות מחלק קבוצה לתתי קבוצות זרות שאיחודן נותן את הקבוצה כולה.
התשובה איפוא היא כן, יחס שקילויות מחלק קבוצה לתתי קבוצות כאלה (תרגיל קל). ניסיתי להוכיח ונתקעתי.

:תגדיר את תתי הקבוצות בתור מחלקות השקילות - מחלקת שקילות של איבר x הינה אוסף כל האיברים שהם ביחס ל-x. כעת, אם נביט בשני מחלקות שקילות של x,y נגלה שהן שוות או זרות. לכן אוסף כל מחלקות השקילות השונות הוא חלוקה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מערך תרגיל 7 ==

תרגיל. הוכח שעוצמת קבוצת החזקה של A תמיד גדולה מעוצמתה של A

הוכחה. קל להראות שקיימת העתקה חח"ע ועל בין '''אוסף הפונקציה''' [http://math-wiki.com/images/math/e/4/3/e4369d72e8e1e9c7123028dd815b3c6b.png] (כל קבוצה חלקית אומרת בעצם על כל איבר של A אם הוא שייך (1) או לא שייך (0). למשל '''הפונקציה''' המתאימה לקבוצה הריקה היא פונקצית האפס, והפונקציה המתאימה לקבוצה כולה היא הפונקציה 1).פונקציה זו עומדת בתנאי התרגיל לעיל ולכן עוצמתה גדולה מעוצמת A אבל זהה לעוצמה של קבוצת החזקה, כפי שרצינו.

אשמח להבהרה :
* אוסף הפונקציות - הכוונה כל הפונקציות האפשריות מאיי לקבוצה 0,1 ?

::כן, אוסף כל הפונקציות שמקורן בA ותמונתן בקבוצה 0,1.

* אוסף הפונקציות שקול לP(A) ? זתאמרת העוצמה שלה שתיים בחזקת איי ? ובגלל זה היא גדולה יותר מהעוצמה של איי ?

::אוסף הפונקציות מעוצמה גדולה יותר לפי התרגיל הראשון באותו דף (שכן עוצמת הקבוצה 0,1 הינה 2). הוא שקול לP(A) לפי ההתאמה החח"ע ועל המתוארת שם --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תירגול 5 שנה שעברה שאלה 3 ==

לא הבנתי את ניסוח השאלה. מה הכוונה בלי הגבלות ? מה בלי הגבלות?
:ההגבלות הן בסעיפים הבאים... השאלה היא כמה אפשרויות יש להטלת קובייה n פעמים --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מספר יחסי שקילות על קבוצה ==

אני ראיתי תרגיל עם קבוצה מגודל 4 איברים והאם יש לה 18 יחסי שקילות.
ומצאתי 15 יחסי שקילות יש יחסים שלא מצאתי?
יש נוסחא לכזה דבר ?
:שאלה טובה. מזל ששמנו אותה בתרגיל הבית השני שאלה שלוש... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

:כן, זה 15. (באופן די מפתיע הנוסחא הרקורסיבית היא הפשוטה ביותר כשיש בה סיגמא ומקדמים בינומיילים, נקרא גם 'מספרי בל')... אני תוהה האם אפשר למצוא לזה נוסחא פשוטה יותר(לחישוב).

== לגבי הבוחן ==

אפשר לפרסם את התשובה לשאלה הראשונה בבוחן, תורת הקבוצות עם הוכח/הפרך?

===תשובה===
א. הוכחה:

*ידוע כי <math>A\cup C \subseteq B</math> נובע בקלות ש <math>A\subseteq B</math> ולכן <math>A\cap B = A</math>. לכן <math>A\subseteq C^C</math> ולכן <math>\forall a\in A : a\notin C</math> ולכן <math>A\cap C = \phi</math>

ב. הוכחה:

*נניח <math>C\subseteq A</math> לכן <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C) = (A\cap B)\cup C</math>

*נניח <math>(A\cap B)\cup C = A\cap(B\cup C)</math> קל לראות כי <math>C\subseteq (A\cap B)\cup C = A\cap(B\cup C) \subseteq A</math>

==שאלה ==
אשמח לקבל הסבר על איך פותרים את התרגיל 2 ג במבחן http://math-wiki.com/images/b/b7/BdidaExamMoedA2005.pdf..

:ראה שאלות מעליך... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== בתרגיל 4 , שאלה 5 ==

?אני לא בטוח למה הם התכוונו שם- האם זו דוגמא טובה
f(1,{1})={{{1}}}
והאם אפשר ניסוח של התמונה של הפונקציה במילים?

תודה

:בדוגמא שלך יש סוגריים מסולסלים מיותרים. במילים, <math>f(x,U)</math> הינו אוסף כל תתי הקבוצות של U המכילות את x. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מה זה אומר A-B כA,B קבוצות? ==

אם זה הפרש, למה לא רשמו A/B?
:איך אני יכול לדעת מבלי מראה מקום? אם אני אמור להסיק את זה באופן כללי, סימן שזה סימון דיי ברור וזו הסיבה שלפעמים מסמנים הפרש במינוס --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::שאלה 3 http://www.math-wiki.com/images/7/77/BdidaExamMoedB2008.pdf

:::לדעתי זה אכן הפרש. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

תודה רבה :)

== מועד ב' שנת 2008 שאלה 6 ==

אפשר כיוון/עזרה/עצם/משהו? אין לי מושג מה קורה פה חוץ משג הכי נראה לי אבל אני לא מבין למה הסדר לא חשוב
:יש לך 10 צעדים סה"כ, מתוכם 5 בכיוון ימין ו5 בכיוון למעלה. יש לך רעיון כמה דרכים יש לסדר את זה? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מועד א' 2008 שאלה 2 ==

http://www.math-wiki.com/images/9/95/BdidaExamMoedA2008Sol.pdf

לא הבנתי למה הורידו רק 6K, ולא בדקו מה קורה עבור מקרים אחרים, כשמחסרים 7K וכד'

:עשינו את השאלה הזו בדיוק ביום שני. אם אתה מחלק 6 לקוביה מסויימת (אחרי האחד שכבר יש לה) אז קיבלת תוצאה לא חוקית. את האחדות הנותרות אתה מחלק בין '''כל''' הקוביות, ולכן הקוביה הספציפית שיש לה כבר 7 יכולה לקבל 8, 9, 10 ועוד. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:52, 7 בספטמבר 2011 (IDT)

::אז פה: http://www.math-wiki.com/images/7/77/BdidaExamMoedB2008.pdf בשאלה 2 אני עושה אותו דבר רק עם 101K?

:::כן. אתה צריך לחלק 75*20 בין 20 תלמידים כך שלכל אחד יכול להיות כל ציון בין 0 ל100. כל האפשרויות בהן מישהו קיבל 101 אינן חוקיות לכן אתה מגדיר את A_i להיות כל האפשרויות בהן התלמיד ה-i יקבל '''לפחות''' 101 נקודות (ואולי יותר). שזה אומר לחלק את הנקודות הנותרות בין כל 20 התלמידים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

תודה רבה :)

== יחסי שקילות.. ==

האם יש נוסחא לחישוב מספר יחסי השקילות על קבוצה? לדוגמא מעוצמה 4.?
למדנו את הנוסחא לחישוב יחסים בכללי..
:ייתכן. הייתי קורא את תרגילי הבית ו/או את השאלות והתשובות --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

עוד שאלה.. הקבוצה הריקה מוכלת משמ בקבוצה הריקה? זה נובע מלוגיקה לא?
:אני לא בטוח מה ההגדרה של מוכל ממש. אבל הקבוצה הריקה מוכלת בעצמה ושווה לעצמה אז אני בספק... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::לא חייבים להיות בספק. מצד האחד הקבוצה הריקה באגף ימין מוכלת בזאת שבאגף שמאל, וגם זאת שבאגף שמאל מוכלת בזאת שבאגף ימין, יש הכלה דו כיוונית משמע שיוויון, ולכן זאת לא הכלה ממש.
:::זה שיש שיוויון בין הקבוצה הריקה לעצמה זה דיי ברור. השאלה היא האם הכלה ממש מוגדרת על פי אי שיוויון, או על פי איבר ששייך לאחת ולא שייך לאחרת. וכמו שאמרתי, אני לא בטוח מה ההגדרה ולכן אני לא קופץ למסקנות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::::הכלה ממש מוגדרת על פי אי שוויון. בכל מקרה, שתי ההגדרות האלה שקולות, ולפי שתיהן אין הכלה ממש

== קומבינטוריקה ==

בכמה אופנים ניתן להכניס 12 כדורים שונים לתוך 3 תאים שונים כך שבכל תא יהיו 4 כדורים, אבל שני כדורים מסויימים לא יהיו באותו התא?

:תבחר שני תאים (6 אפשרויות) שים את שני הכדורים המסויימים בשני התאים (2 דרכים) ואז תבחר 3 מתוך ה10 הנותרים, ועוד 3 מה7 הנותרים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

זה בעצם מקדם מולטינומי, כמו שהיה במבחן רק שפה זה בלי חזרות.

== איחוד ==

<math>\bigcup P(\mathbb{N})=?</math>
:זה האיחוד הכללי על קבוצת החזקה של הטבעיים? איחוד כללי על קבוצת חזקה הוא הקבוצה עצמה, ובמקרה זה הטבעיים --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== 10 בחורים רוקדים במעגל. ==

רוצים להגדיל את המעגל ולהכניס אליו 4 בחורות. בכמה דרכים ניתן לעשות זאת אם אין להעמיד 2 בחורות זו ליד זו?
:הכלה והדחה על כך ששתי בחורות מסויימות יהיו צמודות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מועד ב 2009 שאלה 7 ==

[http://math-wiki.com/images/c/c8/BdidaExamMoedB2009Sol.pdf]

א. סידור m כדורים לבנים וn כדורים שחורים כך שאף שני כדורים שחורים לא יהיו סמוכים. האם התשובה היא אן ועוד אם מעל אן?

:m+1 over n+1. זה מאוד פשוט אם אתה מייצג אורכים של רצפים של כדורים לבנים ע"י משתנים שסכומם שווה m (כמות הכדורים הלבנים)

הוכחתי את סעיף ב' עם קומבינטוריקה :
ב.1 אנחנו כל פעם בוחרים איבר K כלשהו ועוד 2 איברים ולכן אנחנו מגיעים לגודל קבוצה S?
ב.2. אנחנו בוחרים 2 איברים מתוך הקבוצה והשלישי כבר נבחור או שנבחור 2 איברים כאשר השלישי יבחר מתוך קבוצה קטנה יותר?
ב.3 צריך להוכיח באינדוקציה ? כי לא הצלחתי.

מי שיודע או שיש לו תשובה אחרת שישווה איתי בבקשה.

== שאלה דחוף ==

אם נגדיר יחס שקילות S על Z כך ש:
(k,m)שייך לS אם"ם k-m מתחלק ב5
כמה מחלקות שקילות לS??????..
: יש 5 מחלקות
ומהן?????????
:כל מחלקה מתאימה לשארית חלוקה ב-5 (i+5Z היא המחלקה ה-i). קבוצת המנה היא השדה Z5.

זה לא נכון כי שארית החלוקה בכלל לא שייכת ליחס רק אלו שהפרשם מתחלק בחמש שייכים ליחס
אשמח אם תוכל להגיד לי אם אני טועה ולמה!?!!?!?!???!
:זה כן נכון. ההפרש מתחלק ב-5 אם ורק אם יש אותה שארית חלוקה בחמש.

== מס' מחלקות שקילות ==

צריך למצוא את מספר מחלקות השקילות של יחס השקילות המוגדר ע"י: (a1,a2,a3)=(b1,b2,b3) כאשר הקבוצה של a1,a2,a3 שווה לקב' של b1,b2,b3. האיברים מגיעים מהקב' A*A*A כאשר עוצמת A היא n. אפשר עזרה?
:זו שאלה קומבינטורית על כמות השלשות השקולות. מספר השלשות כולו (העולם) הינו n בשלישית. יש לחלק את זה במספר השלשות השקולות. או שזה שלושה איברים שונים (ואז זה מספר הדרכים לסדר אותם), או שזה שני איברים שונים ואחד חוזר פעמיים, או שזה אותו איבר 3 פעמים. סופרים, מחסרים, מחלקים ומה שצריך עד אשר מגיעים לפתרון --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

:או שאני טועה או שזה פשוט מספר תתי הקבוצות בגודל 3 של A + מספר תתי הקבוצות בגודל 2 + מספר תתי הקבוצות בגודל 1.

== למה קבוצת המנה היא Q? ==

במערך תירגול 6 באמצע(לא הצלחתי להעתיק טוב) מתחת לטענה שעוצמת Z שווה לעוצמת ZxZ יש הוכחה שעוצמת Z שווה לעוצמת Q אבל בהוכחה כתוב שקבוצת המנה(שמוגדרת שם) היא בעצם Q אבל הרי 1/3 ו2/6 הם באותה מחלקת שקילות ולכן רק אחד מהם יהיה בקבוצת המנה ואז זה לא Q אני צודק?
:הם באותה מחלקת שקילות, זה נכון, אבל הם אותו מספר (ב-Q).

== תרגיל 7 שאלה 5ג ==

כתוב שמה שאין פתרון, אבל כאשר n=2 ניתן להכניס כדור אחד צבעוני ושני לבנים בכל תא, וזה דוגמא למקרה שבו התרגיל מתקיים. לא כ"כ הבנתי איך הגיעו לכך שאין פתרון, אפשר הסבר?
:איך שתים יצא לך שווה לאחד? רשום שצריך מספר שווה של לבנים וצבעוניים בכל תא --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== האם הרכבת יחסים והרכבת פונקציות אילו שני דברים שונים כלומר ==

הגדרת הרכבת יחסים RS אומר שקיים b כך R{a,b} ו-S{b,c} כך RS={a,c{
ובפונקציות זה הפוך? SR שתי פונקציות שקיים b כך R{a,b} ו-S{b,c} אבל עדיין ההרכבה תתן SR={a,c

תודה
:בשניהם זה אותו הדבר עקרונית, לעיתים יש מי שמסמן הפוך. הסימון הנהוג יותר (לדעתי) הוא <math>f\circ g (x) = f(g(x))</math> כלומר <math>(a,c)\in R\circ S \iff \exists b:(a,b)\in S \and (b,c)\in R</math>

== דוג' לשרשרת שאינה בת מניה? ==
כל קבוצה סדורה בסדר מלא שאינה בת מנייה:
*הממשיים (יחס קטן שווה)
*כל קטע סופי בממשיים (יחס קטן שווה)
*אוסף הקטעים מהצורה <math>n\in\mathbb{N},(n,\infty)\subseteq\mathbb{R}</math> (ביחס הכלה). זו דוגמא לשרשרת ללא חסם מלרע פרט לקבוצה הריקה.

== מספר קורס ==

מהו מספר הקורס
:: 88-195-11 (אצל אפי לפחות..)