Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

עץ

2025-03-03T06:12:26Z

Dan ben hanoch:

[[קובץ:עץ.jpg]]
*[[מדיה:אלגוריתם להצלחה במבחנים.pdf | אלגוריתם]]
*[[מדיה:אני עץ.pdf | אני עץ]]
*[[עץ-הסיכומים | סיכומים]]

עץ

2025-03-03T06:10:19Z

Dan ben hanoch:

*[[מדיה:אלגוריתם להצלחה במבחנים.pdf | אלגוריתם]]
*[[מדיה:אני עץ.pdf | אני עץ]]
*[[עץ-הסיכומים | סיכומים]]

קובץ:עץ.jpg

2025-03-03T06:09:43Z

Dan ben hanoch: Dan ben hanoch העלה גרסה חדשה של קובץ:עץ.jpg

מדליף

2025-03-02T07:38:16Z

Dan ben hanoch:

=קובץ pdf של המדליף=
לחץ [[מדיה:מדליף.pdf|כאן]]
=המדליף אונליין=
==התקנה==
overleaf הוא בשונה מLyX כלי אינטרקטיבי ולא דורש שום הורדה ,מה שהוא כן דורש זה חיבור ישיר לאינטרנט
==ליך,וורד או אוברליף==
בסעיף זה נערוך השוואה בין שלושתם:
===overleaf:===
---

יתרונות:

בoverleaf הנראות היא מקצועית ואפשר לערוך פרטים קטנים

מה שגם נוח זה שכל השינויים נשמרים אוטומטית ואין צורך לשמור ולחשוש מפני מחיקות

לי אישית זה תורם רבות כי מערכת החשמל אינה כלכך טובה בביתנו לכן יש לעיתים קרובות הפסקת חשמל וזה מה שעוזר לי לוודא ששום דבר לא נמחק

---

---

חסרונות:
* עברית יוצאת הפוך בעריכה
* אין עריכה על גב תצוגה מקדימה
* מסרבל ומייזע
---

מדליף

2025-03-02T07:38:07Z

Dan ben hanoch:

=קובץ pdf של המדליף=
לחץ [[מדיה:מדליף.pdf|כאן]]
=המדליף אונליין=
==התקנה==
overleaf הוא בשונה מLyX כלי אינטרקטיבי ולא דורש שום הורדה ,מה שהוא כן דורש זה חיבור ישיר לאינטרנט
==ליך,וורד או אוברליף==
בסעיף זה נערוך השוואה בין שלושתם:
===overleaf:===
---

יתרונות:

בoverleaf הנראות היא מקצועית ואפשר לערוך פרטים קטנים

מה שגם נוח זה שכל השינויים נשמרים אוטומטית ואין צורך לשמור ולחשוש מפני מחיקות

לי אישית זה תורם רבות כי מערכת החשמל אינה כלכך טובה בביתנו לכן יש לעיתים קרובות הפסקת חשמל וזה מה שעוזר לי לוודא ששום דבר לא נמחק
---

---

חסרונות:
* עברית יוצאת הפוך בעריכה
* אין עריכה על גב תצוגה מקדימה
* מסרבל ומייזע
---

מדליף

2025-03-02T07:37:53Z

Dan ben hanoch:

=קובץ pdf של המדליף=
לחץ [[מדיה:מדליף.pdf|כאן]]
=המדליף אונליין=
==התקנה==
overleaf הוא בשונה מLyX כלי אינטרקטיבי ולא דורש שום הורדה ,מה שהוא כן דורש זה חיבור ישיר לאינטרנט
==ליך,וורד או אוברליף==
בסעיף זה נערוך השוואה בין שלושתם:
===overleaf:===
---

יתרונות:

בoverleaf הנראות היא מקצועית ואפשר לערוך פרטים קטנים

מה שגם נוח זה שכל השינויים נשמרים אוטומטית ואין צורך לשמור ולחשוש מפני מחיקות

לי אישית זה תורם רבות כי מערכת החשמל אינה כלכך טובה בביתנו לכן יש לעיתים קרובות הפסקת חשמל וזה מה שעוזר לי לוודא ששום דבר לא נמחק
---
---
חסרונות:
* עברית יוצאת הפוך בעריכה
* אין עריכה על גב תצוגה מקדימה
* מסרבל ומייזע
---

מדליף

2025-03-02T07:37:33Z

Dan ben hanoch:

=קובץ pdf של המדליף=
לחץ [[מדיה:מדליף.pdf|כאן]]
=המדליף אונליין=
==התקנה==
overleaf הוא בשונה מLyX כלי אינטרקטיבי ולא דורש שום הורדה ,מה שהוא כן דורש זה חיבור ישיר לאינטרנט
==ליך,וורד או אוברליף==
בסעיף זה נערוך השוואה בין שלושתם:
===overleaf:===
---
יתרונות:

בoverleaf הנראות היא מקצועית ואפשר לערוך פרטים קטנים

מה שגם נוח זה שכל השינויים נשמרים אוטומטית ואין צורך לשמור ולחשוש מפני מחיקות

לי אישית זה תורם רבות כי מערכת החשמל אינה כלכך טובה בביתנו לכן יש לעיתים קרובות הפסקת חשמל וזה מה שעוזר לי לוודא ששום דבר לא נמחק
---
---
חסרונות:
* עברית יוצאת הפוך בעריכה
* אין עריכה על גב תצוגה מקדימה
* מסרבל ומייזע
---

מדליף

2025-03-02T07:37:16Z

Dan ben hanoch:

=קובץ pdf של המדליף=
לחץ [[מדיה:מדליף.pdf|כאן]]
=המדליף אונליין=
==התקנה==
overleaf הוא בשונה מLyX כלי אינטרקטיבי ולא דורש שום הורדה ,מה שהוא כן דורש זה חיבור ישיר לאינטרנט
==ליך,וורד או אוברליף==
בסעיף זה נערוך השוואה בין שלושתם:
===overleaf:===
--
יתרונות:

בoverleaf הנראות היא מקצועית ואפשר לערוך פרטים קטנים

מה שגם נוח זה שכל השינויים נשמרים אוטומטית ואין צורך לשמור ולחשוש מפני מחיקות

לי אישית זה תורם רבות כי מערכת החשמל אינה כלכך טובה בביתנו לכן יש לעיתים קרובות הפסקת חשמל וזה מה שעוזר לי לוודא ששום דבר לא נמחק
--
--
חסרונות:
* עברית יוצאת הפוך בעריכה
* אין עריכה על גב תצוגה מקדימה
* מסרבל ומייזע
--

מדליף

2025-03-02T07:36:42Z

Dan ben hanoch: /* overleaf: */

=קובץ pdf של המדליף=
לחץ [[מדיה:מדליף.pdf|כאן]]
=המדליף אונליין=
==התקנה==
overleaf הוא בשונה מLyX כלי אינטרקטיבי ולא דורש שום הורדה ,מה שהוא כן דורש זה חיבור ישיר לאינטרנט
==ליך,וורד או אוברליף==
בסעיף זה נערוך השוואה בין שלושתם:
===overleaf:===
יתרונות:

בoverleaf הנראות היא מקצועית ואפשר לערוך פרטים קטנים
מה שגם נוח זה שכל השינויים נשמרים אוטומטית ואין צורך לשמור ולחשוש מפני מחיקות
לי אישית זה תורם רבות כי מערכת החשמל אינה כלכך טובה בביתנו לכן יש לעיתים קרובות הפסקת חשמל וזה מה שעוזר לי לוודא ששום דבר לא נמחק

חסרונות:
* עברית יוצאת הפוך בעריכה
* אין עריכה על גב תצוגה מקדימה
* מסרבל ומייזע

מדליף

2025-03-02T07:36:22Z

Dan ben hanoch: /* overleaf: */

=קובץ pdf של המדליף=
לחץ [[מדיה:מדליף.pdf|כאן]]
=המדליף אונליין=
==התקנה==
overleaf הוא בשונה מLyX כלי אינטרקטיבי ולא דורש שום הורדה ,מה שהוא כן דורש זה חיבור ישיר לאינטרנט
==ליך,וורד או אוברליף==
בסעיף זה נערוך השוואה בין שלושתם:
===overleaf:===
יתרונות:

בoverleaf הנראות היא מקצועית ואפשר לערוך פרטים קטנים
מה שגם נוח זה שכל השינויים נשמרים אוטומטית ואין צורך לשמור ולחשוש מפני מחיקות
לי אישית זה תורם רבות כי מערכת החשמל אינה כלכך טובה בביתנו לכן יש לעיתים קרובות הפסקת חשמל וזה מה שעוזר לי לוודא ששום דבר לא נמחק
חסרונות:
* עברית יוצאת הפוך בעריכה
* אין עריכה על גב תצוגה מקדימה
* מסרבל ומייזע

מדליף

2025-03-02T07:34:46Z

Dan ben hanoch:

מדליף

2025-03-02T07:34:03Z

Dan ben hanoch:

===קובץ pdf של המדליף===
לחץ [[מדיה:מדליף.pdf|כאן]]
===המדליף אונליין===
==התקנה==
overleaf הוא בשונה מLyX כלי אינטרקטיבי ולא דורש שום הורדה ,מה שהוא כן דורש זה חיבור ישיר לאינטרנט
==ליך,וורד או אוברליף==
בסעיף זה נערוך השוואה בין שלושתם:
=overleaf:=
*יתרונות*

מדליף

2025-03-02T07:31:32Z

Dan ben hanoch:

===קובץ pdf של המדליף===
לחץ [[מדיה:מדליף.pdf|כאן]]

מדליף

2025-03-02T07:30:55Z

Dan ben hanoch: יצירת דף עם התוכן "===קובץ pdf של המדליף==="

===קובץ pdf של המדליף===

קובץ:מדליף.pdf

2025-02-28T09:50:09Z

Dan ben hanoch: Dan ben hanoch העלה גרסה חדשה של קובץ:מדליף.pdf

קובץ:מדליף.pdf

2025-02-28T09:43:27Z

Dan ben hanoch:

קובץ:מדליך לוורד.pdf

2025-02-26T15:14:05Z

Dan ben hanoch:

קבוע אוילר מסקרוני

2025-02-26T13:11:42Z

Dan ben hanoch:

{{מפנה|קבוע אוילר|מספר אוילר}}
[[קובץ:Gamma-area.png|ממוזער|250px|השטח הכחול הכלוא בין גרף של <math>1/\lfloor x\rfloor</math> לגרף של <math>1/x</math> בקטע מ-1 עד אינסוף שווה לקבוע אוילר מסקרוני.]]
{{סימון מתמטי}}'''קבוע אוילר''', הידוע גם כ'''קבוע אוילר-מסקרוני''' או כ'''קבוע מסקרוני'''או כ'''קבוע אופיר''' הוא [[קבוע מתמטי]], שהשימוש העיקרי שלו הוא ב[[תורת המספרים]]. זהו קבוע חשוב במתמטיקה, המשמש בחישובים רבים המשפיעים על חיי היום יום. למשל, לחישוב של גידול אקספוננציאלי (כגון [[מחלת נגיף קורונה 2019|התפשטות נגיף הקורונה]]), או לחישוב של ריביות, בעיקר [[ריבית דריבית]], וכן לחישוב הסתברויות.

קבוע אוילר מסומן באות [[גמא]] (<math>\,\gamma</math>) ומוגדר על ידי ה[[גבול (מתמטיקה)|גבול]]:

:<math display="block">\gamma=\lim_{n\to\infty} 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n</math>

כלומר קבוע אוילר הוא ההפרש ה[[אסימפטוטה|אסימפטוטי]] בין [[הטור ההרמוני]] ל[[לוגריתם טבעי|לוגריתם הטבעי]]. הפרש זה מתכנס באופן טבעי מכיוון ש-<math>\ln n = \int_1^n \frac{1}{x}\,dx</math> ולכן סכום <math>\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}</math> הוא מן "גרסה בדידה" של הלוגריתם הטבעי. מכאן נובעת דרך תיאור נוספת של הקבוע: <math>\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx</math>, כאשר <math>\lfloor x\rfloor</math> הוא [[הערך השלם]] של x.

ערכו של הקבוע הוא בקירוב: <math>\,\gamma=0.577215664901532860\ldots</math> {{כ}}({{OEIS}}). עדיין לא ידוע אם קבוע אוילר [[מספר רציונלי|רציונלי]] או [[מספר אי רציונלי|אי רציונלי]].

== היסטוריה ==
הקבוע הוגדר לראשונה על ידי המתמטיקאי השווייצרי [[לאונרד אוילר]] במאמרו "De Progressionibus harmonicus observationes" אשר פורסם בשנת [[1735]]. אוילר השתמש בסימון C עבור הקבוע, וחישב בראשונה את ערכו בדיוק של 6 ספרות אחרי הנקודה. בשנת [[1761]] הוא הרחיב את החישוב, ופרסם אותו בדיוק של 16 ספרות אחרי הנקודה. בשנת [[1790]], הציע המתמטיקאי ה[[איטליה|איטלקי]] [[לורנצו מסקרוני]] את סימון הקבוע באות <math>\,\gamma</math> (גמא היוונית), וניסה להרחיב את ערכו של הקבוע עד ל-32 ספרות אחרי הנקודה, אם כי חישובים מאוחרים יותר גילו כי מסקרוני שגה בחישוב הספרה ה-20 אחרי הנקודה. המתמטיקאי ההודי [[סריניוואסה רמנוג'אן]] מצא טורים שונים המתכנסים ל-<math>\,\gamma</math>.

כפי שנאמר, לא ידוע האם קבוע אוילר הוא מספר רציונלי או לא. עם זאת, ניתוח [[שבר משולב]] מראה כי אם קבוע אוילר הוא רציונלי, הרי שהמכנה בשבר המגדיר אותו לא יהיה קטן מ-<math>10^{242080}</math>.

== תכונות ==
=== קיום הקבוע ===
ההוכחה שהסדרה
: <math display="block">a_n = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n</math>

מתכנסת לגבול סופי היא קלה מאוד, אך עדיין אינה טריוויאלית. ברור מן הגרף לעיל שזו [[סדרה מונוטונית]] עולה וחיובית ולכן מספיק להוכיח קיום חסם עליון. מספיק להראות ש-

:<math display="block">\lim_{n\to\infty}(a_n-1)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n</math>

קיים. קל לראות שלכל <math>k</math> שטח המלבן שרוחבו 1 וגובהו <math>\frac{1}{k}</math> קטן מהאינטגרל <math>\int_k^{k+1}\frac{dx}{x-1}</math>, ולכן מתקיים
<math display="block">\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\int_1^n\frac{1}{x} <0</math>.

לפיכך הגבול קיים ו-<math>-1<\gamma-1 <0\implies 0<\gamma <1</math>.

=== הצגות אינטגרליות ===
ניתן לקבל את ערכו של הקבוע גם על פי ה[[אינטגרל]]ים הבאים:

:<math>\gamma = - \int_0^\infty { e^{-x} \ln(x) }\,dx </math>

::<math> = - \int_0^1 { \ln\ln\left (\frac{1}{x}\right ) }\,dx </math>

::<math> = \int_0^\infty {\left (\frac{1}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x} \right )e^{-x} }\,dx </math>

::<math> = \int_0^\infty { \frac{1}{x} \left ( \frac{1}{1+x}-e^{-x} \right ) }\,dx. </math>

אינטגרלים אחרים אשר מכילים את ערך <math> \gamma </math> הם:

:<math> \int_0^\infty { e^{-x^2} \ln(x) }\,dx = -1/4(\gamma+2 \ln2) \sqrt{\pi} </math>

:<math> \int_0^\infty { e^{-x} (\ln(x))^2 }\,dx = \gamma^2 +1/6 \pi^2 .</math>

ניתן לבטא את קבוע אוילר גם בעזרת [[אינטגרל כפול]]:

: <math> \gamma = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)} \, dx\,dy.
</math>

בדומה האינטגרל הכפול הבא שהוצג על ידי ג'. סונדאו (2005):

:<math> \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1+x\,y)\ln(x\,y)} \, dx\,dy. </math>

מראה כי ניתן להסתכל על <math>\ln \left ( \frac{4}{\pi} \right )</math> בתור "קבוע אוילר חילופי".

בשנת 1910, הציג ואקה את הסכום הבא:

:<math> \gamma = \sum_{m=1}^\infty (-1)^m \frac{ \left \lfloor \log_2 m \right \rfloor}{m} </math>

כאשר <math> \log_2 </math> הוא ה[[לוגריתם]] בבסיס 2 ו-<math> \left \lfloor \, \right \rfloor </math> היא [[פונקציית הערך השלם]].

ניתן לקבל את סדרתו של ואקה על ידי מניפולציה של אינטגרל Catalan.

:<math> \gamma = \int_0^1 \frac{1}{1+x} \sum_{n=1}^\infty x^{2^n-1} \, dx. </math>

==קשרים לפונקציות מיוחדות==
ניתן לבטא את קבוע אוילר גם כ[[טור (מתמטיקה)|טור אינסופי]] של איברים הכוללים ערכים של [[פונקציית זטא של רימן]] של מספרים שלמים וחיוביים:

:<math>\gamma = \sum_{m=2}^{\infty} \frac{(-1)^m\zeta(m)}{m} </math>

:<math>= \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) + \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1} \zeta(m+1)}{2^m (m+1)}. </math>

סדרות נוספות הקשורות לפונקציית זטא של רימן:

:<math> \gamma = \frac{3}{2}- \ln 2 - \sum_{m=2}^\infty (-1)^m\,\frac{m-1}{m} [\zeta(m)-1] </math>

::<math> = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2^n}{e^{2^n}} \sum_{m=0}^\infty \frac{2^{m \,n}}{(m+1)!} \sum_{t=0}^m \frac{1}{t+1} - n\, \ln2+ O \left ( \frac{1}{2^n\,e^{2^n}} \right ) \right ] </math>

::<math> = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2\,n-1}{2\,n} - \ln\,n + \sum_{k=2}^n \left ( \frac{1}{k} - \frac{\zeta(1-k)}{n^k} \right ) \right ]. </math>

כמו כן, ניתן לבטא את הקבוע על ידי [[פונקציית בטא]] (במונחים של פונקציות גמא):

:<math> \gamma = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{ \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(n+1)\, n^{1+1/n}}{\Gamma(2+n+\frac{1}{n})} - \frac{n^2}{n+1} \right ]. </math>

שני גבולות השווים בערכם לקבוע אוילר-מסקרוני הם הגבול האנטי-סימטרי:

:<math> \gamma = \lim_{s \to 1} \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n} \right ) </math>

והגבול

<math> \gamma = \lim_{x \to \infty} \left [ x - \Gamma \left ( \frac{1}{x} \right ) \right ] = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\, \sum_{k=1}^{n=1} \left ( \left \lceil \frac{n}{k} \right \rceil - \frac{n}{k} \right)</math>

סדרת זטא הרציונלית היא ביטוי קשור מאוד לנוסחה שהוצגה לעיל. אם נסיר מספר איברים מהסדרה לעיל, ניתן לקבל הערכה לגבול סדרה הקלאסי:

:<math>\gamma = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) -
\sum_{m=2}^\infty \frac{\zeta (m,n+1)}{m}</math>
כאשר <math>\zeta(s,k)^{}_{}</math> היא [[פונקציית הורביץ-זטא]]. הסכום במשוואה זה מערב [[מספרים הרמוניים]], המסומנים ב-<math>\,H_n</math>.
הרחבת מספר איברים בפונקציית הורביץ-זטא מביא אותנו למשוואה:

:<math>
H_n = \ln n + \gamma + \frac {1} {2n} - \frac {1} {12n^2} + \frac {1} {120n^4} - \varepsilon </math>, כאשר <math>0 < \varepsilon < \frac {1} {252n^6}.</math>

לבסוף, ניתן לחשב את הקבוע כנגזרת של [[פונקציית גמא]] של אוילר:
:<math>\gamma = -\Gamma'(1)^{}_{}.</math>

==<math>e^\gamma</math>==
הקבוע <math>\,e^\gamma</math> נחשב גם הוא לקבוע חשוב בתורת המספרים. מדי פעם, מסמנים קבוע זה גם ב<math>\ \gamma' </math> ומבטאים אותו בעזרת הגבול הבא, כאשר p<sub>n</sub> הוא ה[[מספר ראשוני|מספר הראשוני]] ה-n-י:

:<math>
e^\gamma = \lim_{n \to \infty} \frac {1} {\ln p_n} \prod_{i=1}^n \frac {p_i} {p_i - 1}
</math>
אשר מהווה ניסוח מחודש לשלישי מבין [[משפטי מרטן]]. הערך המספרי של <math>\,e^\gamma</math> הוא:
:<math>e^\gamma =1.78107241799019798523650410310717954916964521430343\dots</math>

מכפלות אינסופיות נוספות הקשורות לערך של קבוע זה הן:

:<math> \frac{e^{1+\gamma /2}}{\sqrt{2\,\pi}} = \prod_{n=1}^\infty e^{-1+1/(2\,n)}\,\left (1+\frac{1}{n} \right )^n </math>

:<math> \frac{e^{3+2\gamma}}{2\, \pi} = \prod_{n=1}^\infty e^{-2+2/n}\,\left (1+\frac{2}{n} \right )^n. </math>

שתי המכפלות הללו נובעות פונקציית G של בארנס. כמו כן:

:<math> e^{\gamma} = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/3} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/4} \cdots </math>

שהוצג על ידי [[ג'ונתן סונדאו]] על ידי שימוש ב[[פונקציה היפרגאומטרית|פונקציות היפר-גאומטריות]].

==מופעים==
קבוע אוילר-מסקרוני מופיע, בנוסף למקומות אחרים, גם ב:
* אי-שוויון עבור [[פונקציית אוילר]].
* שיעור צמיחה של [[פונקציית המחלקים]].
* נוסחת כפל עבור [[פונקציית גמא]].
* חישוב של [[פונקציית דיגאמה]].
* ביטויים הכוללים את האינטגרל המעריכי.
* האיבר הראשון בפיתוח [[טור טיילור]] עבור פונקציית זטא של רימן.
* ביטוי למציאת קירוב של צפיפות [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]] בתחום מסוים.

==ראו גם==
* [[קבוע מייזל-מרטנס]]
* [[יחס הזהב]]

== לקריאה נוספת ==
{{ltr|
* Julian Havil, '''Gamma: Exploring Euler's Constant''', [[Princeton University Press]], 2017
* {{cite arXiv |last=Lagarias|first=Jeffery C.|date=2013|title=Euler's constant: Euler's Work and Modern Developements|eprint=1303.1856|class=math.NT}}
}}

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld|Euler-MascheroniConstant}}

{{בקרת זהויות}}

{{מיון רגיל:אוילר-מסקרוני, קבוע}}

[[קטגוריה:קבועים מתמטיים|אוילר]]
[[קטגוריה:בעיות פתוחות בתורת המספרים]]
[[קטגוריה:לאונרד אוילר]]

קבוע אוילר מסקרוני

2025-02-26T13:11:10Z

Dan ben hanoch: יצירת דף עם התוכן "{{מפנה|קבוע אוילר|מספר אוילר}} השטח הכחול הכלוא בין גרף של <math>1/\lfloor x\rfloor</math> לגרף של <math>1/x</math> בקטע מ-1 עד אינסוף שווה לקבוע אוילר מסקרוני. {{סימון מתמטי}}'''קבוע אוילר''', הידוע גם כ'''קבוע אוילר-מסקרוני''' או כ'''קבוע מסקרוני''' הוא קבוע מ..."

{{מפנה|קבוע אוילר|מספר אוילר}}
[[קובץ:Gamma-area.png|ממוזער|250px|השטח הכחול הכלוא בין גרף של <math>1/\lfloor x\rfloor</math> לגרף של <math>1/x</math> בקטע מ-1 עד אינסוף שווה לקבוע אוילר מסקרוני.]]
{{סימון מתמטי}}'''קבוע אוילר''', הידוע גם כ'''קבוע אוילר-מסקרוני''' או כ'''קבוע מסקרוני''' הוא [[קבוע מתמטי]], שהשימוש העיקרי שלו הוא ב[[תורת המספרים]]. זהו קבוע חשוב במתמטיקה, המשמש בחישובים רבים המשפיעים על חיי היום יום. למשל, לחישוב של גידול אקספוננציאלי (כגון [[מחלת נגיף קורונה 2019|התפשטות נגיף הקורונה]]), או לחישוב של ריביות, בעיקר [[ריבית דריבית]], וכן לחישוב הסתברויות.

קבוע אוילר מסומן באות [[גמא]] (<math>\,\gamma</math>) ומוגדר על ידי ה[[גבול (מתמטיקה)|גבול]]:

:<math display="block">\gamma=\lim_{n\to\infty} 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n</math>

כלומר קבוע אוילר הוא ההפרש ה[[אסימפטוטה|אסימפטוטי]] בין [[הטור ההרמוני]] ל[[לוגריתם טבעי|לוגריתם הטבעי]]. הפרש זה מתכנס באופן טבעי מכיוון ש-<math>\ln n = \int_1^n \frac{1}{x}\,dx</math> ולכן סכום <math>\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}</math> הוא מן "גרסה בדידה" של הלוגריתם הטבעי. מכאן נובעת דרך תיאור נוספת של הקבוע: <math>\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx</math>, כאשר <math>\lfloor x\rfloor</math> הוא [[הערך השלם]] של x.

ערכו של הקבוע הוא בקירוב: <math>\,\gamma=0.577215664901532860\ldots</math> {{כ}}({{OEIS}}). עדיין לא ידוע אם קבוע אוילר [[מספר רציונלי|רציונלי]] או [[מספר אי רציונלי|אי רציונלי]].

== היסטוריה ==
הקבוע הוגדר לראשונה על ידי המתמטיקאי השווייצרי [[לאונרד אוילר]] במאמרו "De Progressionibus harmonicus observationes" אשר פורסם בשנת [[1735]]. אוילר השתמש בסימון C עבור הקבוע, וחישב בראשונה את ערכו בדיוק של 6 ספרות אחרי הנקודה. בשנת [[1761]] הוא הרחיב את החישוב, ופרסם אותו בדיוק של 16 ספרות אחרי הנקודה. בשנת [[1790]], הציע המתמטיקאי ה[[איטליה|איטלקי]] [[לורנצו מסקרוני]] את סימון הקבוע באות <math>\,\gamma</math> (גמא היוונית), וניסה להרחיב את ערכו של הקבוע עד ל-32 ספרות אחרי הנקודה, אם כי חישובים מאוחרים יותר גילו כי מסקרוני שגה בחישוב הספרה ה-20 אחרי הנקודה. המתמטיקאי ההודי [[סריניוואסה רמנוג'אן]] מצא טורים שונים המתכנסים ל-<math>\,\gamma</math>.

כפי שנאמר, לא ידוע האם קבוע אוילר הוא מספר רציונלי או לא. עם זאת, ניתוח [[שבר משולב]] מראה כי אם קבוע אוילר הוא רציונלי, הרי שהמכנה בשבר המגדיר אותו לא יהיה קטן מ-<math>10^{242080}</math>.

== תכונות ==
=== קיום הקבוע ===
ההוכחה שהסדרה
: <math display="block">a_n = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n</math>

מתכנסת לגבול סופי היא קלה מאוד, אך עדיין אינה טריוויאלית. ברור מן הגרף לעיל שזו [[סדרה מונוטונית]] עולה וחיובית ולכן מספיק להוכיח קיום חסם עליון. מספיק להראות ש-

:<math display="block">\lim_{n\to\infty}(a_n-1)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n</math>

קיים. קל לראות שלכל <math>k</math> שטח המלבן שרוחבו 1 וגובהו <math>\frac{1}{k}</math> קטן מהאינטגרל <math>\int_k^{k+1}\frac{dx}{x-1}</math>, ולכן מתקיים
<math display="block">\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\int_1^n\frac{1}{x} <0</math>.

לפיכך הגבול קיים ו-<math>-1<\gamma-1 <0\implies 0<\gamma <1</math>.

=== הצגות אינטגרליות ===
ניתן לקבל את ערכו של הקבוע גם על פי ה[[אינטגרל]]ים הבאים:

:<math>\gamma = - \int_0^\infty { e^{-x} \ln(x) }\,dx </math>

::<math> = - \int_0^1 { \ln\ln\left (\frac{1}{x}\right ) }\,dx </math>

::<math> = \int_0^\infty {\left (\frac{1}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x} \right )e^{-x} }\,dx </math>

::<math> = \int_0^\infty { \frac{1}{x} \left ( \frac{1}{1+x}-e^{-x} \right ) }\,dx. </math>

אינטגרלים אחרים אשר מכילים את ערך <math> \gamma </math> הם:

:<math> \int_0^\infty { e^{-x^2} \ln(x) }\,dx = -1/4(\gamma+2 \ln2) \sqrt{\pi} </math>

:<math> \int_0^\infty { e^{-x} (\ln(x))^2 }\,dx = \gamma^2 +1/6 \pi^2 .</math>

ניתן לבטא את קבוע אוילר גם בעזרת [[אינטגרל כפול]]:

: <math> \gamma = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)} \, dx\,dy.
</math>

בדומה האינטגרל הכפול הבא שהוצג על ידי ג'. סונדאו (2005):

:<math> \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1+x\,y)\ln(x\,y)} \, dx\,dy. </math>

מראה כי ניתן להסתכל על <math>\ln \left ( \frac{4}{\pi} \right )</math> בתור "קבוע אוילר חילופי".

בשנת 1910, הציג ואקה את הסכום הבא:

:<math> \gamma = \sum_{m=1}^\infty (-1)^m \frac{ \left \lfloor \log_2 m \right \rfloor}{m} </math>

כאשר <math> \log_2 </math> הוא ה[[לוגריתם]] בבסיס 2 ו-<math> \left \lfloor \, \right \rfloor </math> היא [[פונקציית הערך השלם]].

ניתן לקבל את סדרתו של ואקה על ידי מניפולציה של אינטגרל Catalan.

:<math> \gamma = \int_0^1 \frac{1}{1+x} \sum_{n=1}^\infty x^{2^n-1} \, dx. </math>

==קשרים לפונקציות מיוחדות==
ניתן לבטא את קבוע אוילר גם כ[[טור (מתמטיקה)|טור אינסופי]] של איברים הכוללים ערכים של [[פונקציית זטא של רימן]] של מספרים שלמים וחיוביים:

:<math>\gamma = \sum_{m=2}^{\infty} \frac{(-1)^m\zeta(m)}{m} </math>

:<math>= \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) + \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1} \zeta(m+1)}{2^m (m+1)}. </math>

סדרות נוספות הקשורות לפונקציית זטא של רימן:

:<math> \gamma = \frac{3}{2}- \ln 2 - \sum_{m=2}^\infty (-1)^m\,\frac{m-1}{m} [\zeta(m)-1] </math>

::<math> = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2^n}{e^{2^n}} \sum_{m=0}^\infty \frac{2^{m \,n}}{(m+1)!} \sum_{t=0}^m \frac{1}{t+1} - n\, \ln2+ O \left ( \frac{1}{2^n\,e^{2^n}} \right ) \right ] </math>

::<math> = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2\,n-1}{2\,n} - \ln\,n + \sum_{k=2}^n \left ( \frac{1}{k} - \frac{\zeta(1-k)}{n^k} \right ) \right ]. </math>

כמו כן, ניתן לבטא את הקבוע על ידי [[פונקציית בטא]] (במונחים של פונקציות גמא):

:<math> \gamma = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{ \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(n+1)\, n^{1+1/n}}{\Gamma(2+n+\frac{1}{n})} - \frac{n^2}{n+1} \right ]. </math>

שני גבולות השווים בערכם לקבוע אוילר-מסקרוני הם הגבול האנטי-סימטרי:

:<math> \gamma = \lim_{s \to 1} \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n} \right ) </math>

והגבול

<math> \gamma = \lim_{x \to \infty} \left [ x - \Gamma \left ( \frac{1}{x} \right ) \right ] = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\, \sum_{k=1}^{n=1} \left ( \left \lceil \frac{n}{k} \right \rceil - \frac{n}{k} \right)</math>

סדרת זטא הרציונלית היא ביטוי קשור מאוד לנוסחה שהוצגה לעיל. אם נסיר מספר איברים מהסדרה לעיל, ניתן לקבל הערכה לגבול סדרה הקלאסי:

:<math>\gamma = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) -
\sum_{m=2}^\infty \frac{\zeta (m,n+1)}{m}</math>
כאשר <math>\zeta(s,k)^{}_{}</math> היא [[פונקציית הורביץ-זטא]]. הסכום במשוואה זה מערב [[מספרים הרמוניים]], המסומנים ב-<math>\,H_n</math>.
הרחבת מספר איברים בפונקציית הורביץ-זטא מביא אותנו למשוואה:

:<math>
H_n = \ln n + \gamma + \frac {1} {2n} - \frac {1} {12n^2} + \frac {1} {120n^4} - \varepsilon </math>, כאשר <math>0 < \varepsilon < \frac {1} {252n^6}.</math>

לבסוף, ניתן לחשב את הקבוע כנגזרת של [[פונקציית גמא]] של אוילר:
:<math>\gamma = -\Gamma'(1)^{}_{}.</math>

==<math>e^\gamma</math>==
הקבוע <math>\,e^\gamma</math> נחשב גם הוא לקבוע חשוב בתורת המספרים. מדי פעם, מסמנים קבוע זה גם ב<math>\ \gamma' </math> ומבטאים אותו בעזרת הגבול הבא, כאשר p<sub>n</sub> הוא ה[[מספר ראשוני|מספר הראשוני]] ה-n-י:

:<math>
e^\gamma = \lim_{n \to \infty} \frac {1} {\ln p_n} \prod_{i=1}^n \frac {p_i} {p_i - 1}
</math>
אשר מהווה ניסוח מחודש לשלישי מבין [[משפטי מרטן]]. הערך המספרי של <math>\,e^\gamma</math> הוא:
:<math>e^\gamma =1.78107241799019798523650410310717954916964521430343\dots</math>

מכפלות אינסופיות נוספות הקשורות לערך של קבוע זה הן:

:<math> \frac{e^{1+\gamma /2}}{\sqrt{2\,\pi}} = \prod_{n=1}^\infty e^{-1+1/(2\,n)}\,\left (1+\frac{1}{n} \right )^n </math>

:<math> \frac{e^{3+2\gamma}}{2\, \pi} = \prod_{n=1}^\infty e^{-2+2/n}\,\left (1+\frac{2}{n} \right )^n. </math>

שתי המכפלות הללו נובעות פונקציית G של בארנס. כמו כן:

:<math> e^{\gamma} = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/3} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/4} \cdots </math>

שהוצג על ידי [[ג'ונתן סונדאו]] על ידי שימוש ב[[פונקציה היפרגאומטרית|פונקציות היפר-גאומטריות]].

==מופעים==
קבוע אוילר-מסקרוני מופיע, בנוסף למקומות אחרים, גם ב:
* אי-שוויון עבור [[פונקציית אוילר]].
* שיעור צמיחה של [[פונקציית המחלקים]].
* נוסחת כפל עבור [[פונקציית גמא]].
* חישוב של [[פונקציית דיגאמה]].
* ביטויים הכוללים את האינטגרל המעריכי.
* האיבר הראשון בפיתוח [[טור טיילור]] עבור פונקציית זטא של רימן.
* ביטוי למציאת קירוב של צפיפות [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]] בתחום מסוים.

==ראו גם==
* [[קבוע מייזל-מרטנס]]
* [[יחס הזהב]]

== לקריאה נוספת ==
{{ltr|
* Julian Havil, '''Gamma: Exploring Euler's Constant''', [[Princeton University Press]], 2017
* {{cite arXiv |last=Lagarias|first=Jeffery C.|date=2013|title=Euler's constant: Euler's Work and Modern Developements|eprint=1303.1856|class=math.NT}}
}}

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld|Euler-MascheroniConstant}}

{{בקרת זהויות}}

{{מיון רגיל:אוילר-מסקרוני, קבוע}}

[[קטגוריה:קבועים מתמטיים|אוילר]]
[[קטגוריה:בעיות פתוחות בתורת המספרים]]
[[קטגוריה:לאונרד אוילר]]

קובץ:Gamma-area.png

2025-02-26T13:10:56Z

Dan ben hanoch:

שיחת משתמש:יונתן סמידוברסקי

2025-02-25T09:01:45Z

Dan ben hanoch: /* במערכי תרגול שגיאה */ פסקה חדשה

== במערכי תרגול שגיאה ==

במערכי תרגול של ליני 2 צריך להיות כתוב סימטרית ואינה 0

משתמש:יונתן סמידוברסקי

2025-02-25T08:59:47Z

Dan ben hanoch:

שלום יונתן

תבנית:Delete

2025-02-24T12:46:12Z

Dan ben hanoch:

בבקשה מנהלי מערכת מחקו את הדף הזה כי בטעות הוא נוצר

תבנית:Delete

2025-02-24T12:45:21Z

Dan ben hanoch: יצירת דף עם התוכן "חבל"

חבל

זה דף מחורבש אף פעם אל תנסו להכנס אליו הוא נוצר בגלל שרציתי למחוק דף ולא הצלחתי אז העברתי אותו לכתובת שאף אחד לא ידע

2025-02-24T12:44:58Z

Dan ben hanoch:

{{delete}}
אינפי לפיזיקאים
*[[מדיה:ממפיס 1 התשפה מועד א מבחן.pdf|ממפיס 1 תשפה מועד א]]
**[[מדיה:ממפיס 1 התשפה מועד א פתרון.pdf|הצעת פתרון]]

זה דף מחורבש אף פעם אל תנסו להכנס אליו הוא נוצר בגלל שרציתי למחוק דף ולא הצלחתי אז העברתי אותו לכתובת שאף אחד לא ידע

2025-02-24T12:42:40Z

Dan ben hanoch:

{{delete|דף זה נוצר כי לא ידעתי שיש אפשרות למחוק אני מקווה שתאפשר לי למחוק}}
אינפי לפיזיקאים
*[[מדיה:ממפיס 1 התשפה מועד א מבחן.pdf|ממפיס 1 תשפה מועד א]]
**[[מדיה:ממפיס 1 התשפה מועד א פתרון.pdf|הצעת פתרון]]

83-112 חדו"א 1 להנדסה/נושאי הקורס

2025-02-24T12:40:41Z

Dan ben hanoch: /* מבחנים מהעבר */

[[קטגוריה:מערכי לימוד]]
=מבחנים מהעבר=
*[[מדיה:ממפיס 1 התשפה מועד א מבחן.pdf|ממפיס 1 התשפה מועד א מבחן]]
*[[מדיה: BIU_Hedva1_15_A.pdf|מבחן מועד א תשע"ו]], [[מדיה:BIU_Hedva1_15_A_sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BIU_Hedva1_15_B.pdf|מבחן מועד ב תשע"ו]], [[מדיה:BIU_Hedva1_15_BSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BIU_Hedva1_15_C.pdf|מבחן מועד ג תשע"ו]], [[מדיה:BIU_Hedva1_15_CSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:88112test2016.pdf |מבחן דמה תשע"ו]], [[מדיה:BIU_Hedva1_15_Dema_Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BIU_Hedva1_15_Dugma.pdf|מבחן לדוגמה תשע"ו]], [[מדיה:BIU_Hedva1_15_Dugma_Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:17EngInfi1DumbTest.pdf|מבחן דמה תשע"ז]], [[מדיה:17EngInfi1DumbTestSol.pdf|פתרון עם תוספת של שאלות לא קשורות]]
*[[מדיה:17EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ז]], [[מדיה:17EngHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:17EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ז]], [[מדיה:17EngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:17EngHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' תשע"ז]], [[מדיה:17EngHedva1TestCSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:18Hedva1EngExmTest.pdf|מבחן דמה תשע"ח]], [[מדיה:18Hedva1EngExmTestSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:18EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ח]], [[מדיה:18EngHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:18EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ח]], [[מדיה:18EngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:18EngHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' תשע"ח]], [[מדיה:18EngHedva1TestCSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:19EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ט]], [[מדיה:19EngHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:19EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ט]], [[מדיה:19EngHedva1TestBRealSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:19AvivEngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר אביב תשע"ט]], [[מדיה:19AvivEngHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:19AvivEngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר אביב תשע"ט]], [[מדיה:19EngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:20EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תש"ף]], [[מדיה:20EngHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:20EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תש"ף]], [[מדיה:20EngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:21EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"א]], [[מדיה:21EngHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:21EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"א]], [[מדיה:21EngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:21EngHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' תשפ"א]], [[מדיה:21EngHedva1TestCSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:21AvivEngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר אביב תשפ"א]], [[מדיה:21AvivEngHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:21AvivEngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר אביב תשפ"א]], [[מדיה:21AvivEngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:22OdHedva1TestDumb.pdf|מבחן דמה אודיסאה תשפ"ב]], [[מדיה:22OdHedva1TestDumbSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:22OdHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' אודיסאה תשפ"ב]], [[מדיה:22OdHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:22OdHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' אודיסאה תשפ"ב]], [[מדיה:22OdHedva1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:22EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"ב]], [[מדיה:22EngHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:22EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"ב]], [[מדיה:22EngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:22EngHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' תשפ"ב]], [[מדיה:22EngHedva1TestCSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:22AvivEngHedva1TestQ.pdf|מבחן אמצע סמסטר אביב תשפ"ב]], [[מדיה:22AvivEngHedva1TestQSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:22AvivEngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א סמסטר אביב תשפ"ב]]
*[[מדיה:22AvivEngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב סמסטר אביב תשפ"ב]], [[מדיה:22AvivEngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:23EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"ג]], [[מדיה:23EngHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:23EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"ג]], [[מדיה:23EngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:23OdHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' אודיסאה תשפ"ג]], [[מדיה:23OdHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:23OdHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' אודיסאה תשפ"ג]], [[מדיה:23OdHedva1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:23OdHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' אודיסאה תשפ"ג]], [[מדיה:23OdHedva1TestCSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:23OdHedva1TestD.pdf|מבחן מועד ד' אודיסאה תשפ"ג]], [[מדיה:23OdHedva1TestDSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:24OdHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' אודיסאה תשפ"ד]], [[מדיה:24OdHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:24OdHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' אודיסאה תשפ"ד]],
*[[מדיה:24OdHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' אודיסאה תשפ"ד]],
*[[מדיה:24OdHedva1TestD.pdf|מבחן מועד ד' אודיסאה תשפ"ד]],

===בחנים===
*[[מדיה:21EngHedva1Quiz.pdf|בוחן סמסטר ב' תשפ"א]], [[מדיה:21EngHedva1QuizSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:22EngHedva1Quiz.pdf|בוחן סמסטר א' תשפ"ג]], [[מדיה:22EngHedva1QuizSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:22OdHedva1Quiz.pdf|בוחן סמסטר א' תשפ"ג אודיאסה]], [[מדיה:22OdHedva1QuizSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:22OdHedva1Quiz2.pdf|בוחן שני סמסטר א' תשפ"ג אודיאסה]], [[מדיה:22OdHedva1Quiz2Sol.pdf|פתרון]]

= קבצי PDF של שיעורי הבית שנמצאים במודל (לשעבר XI)=
שימו לב שבתרגלי ה XI יש חלקים שמוגרלים רנדומית ולכן קבצי ה PDF לא יראו אחד לאחד כמו התרגילים ב XI (התבנית תהיה זהה, המספרים לא בהכרח)

*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex1.pdf|תרגיל 1]]
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex2.pdf|תרגיל 2]]
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex3.pdf|תרגיל 3]]
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex4.pdf|תרגיל 4]]
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex5.pdf|תרגיל 5]]
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex6.pdf|תרגיל 6]]
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex7.pdf|תרגיל 7]]
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex8.pdf|תרגיל 8]]
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex9.pdf|תרגיל 9]]
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex10.pdf|תרגיל 10]]
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex11.pdf|תרגיל 11]]
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex12.pdf|תרגיל 12]]

=נושאי ההרצאות=

[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hltzlnH9FvT-1NICRjcASiu פלייליסט של ההרצאות תשפ"א]

==הרצאות 1-2 חסמים==
פרק 1 ב[[חדוא 1 - ארז שיינר|קישור הבא]] (https://calc1.math-wiki.com)

== הרצאות 3-7 סדרות==
פרק 2 ב[[חדוא 1 - ארז שיינר|קישור הבא]] (https://calc1.math-wiki.com), הטיפול בתתי סדרות יהיה חלקי יותר בקורס הזה.

*הרצאה 3 - הגדרת הגבול במובן הצר והרחב
*הרצאה 4 - תכונות של הגדרת הגבול ומבוא לחשבון גבולות
*הרצאה 5 - כלים לחישוב גבולות
*הרצאה 6 - חשבון גבולות מורחב
*הרצאה 7 - סדרות מונוטוניות והמספר e

==הרצאות 8-10 פונקציות==
פרק 4 ב[[חדוא 1 - ארז שיינר|קישור הבא]] (https://calc1.math-wiki.com)

*הרצאה 8 - הגדרות הגבול של פונקציה לפי קושי ולפי היינה
*הרצאה 9 - הפונקציות הטריגונומטריות
*הרצאה 10 - רציפות, אי רציפות, גבול של הרכבה

==הרצאות 11-13 גזירות==
פרק 5 ב[[חדוא 1 - ארז שיינר|קישור הבא]] (https://calc1.math-wiki.com)

*הרצאה 11 - הגדרת הנגזרת ונגזרת של פונקציות אלמנטריות
*הרצאה 12 - נוסחאות הגזירה
*הרצאה 13 - נגזרת ההופכית

==הרצאות 14-17 חקירה==
פרק 6 ב[[חדוא 1 - ארז שיינר|קישור הבא]] (https://calc1.math-wiki.com)

*הרצאה 14 - משפט ערך הביניים
*הרצאה 15 - ויירשטראס, פרמה, רול, לגראנז', קושי
*הרצאה 16 - הוכחת משפט קושי, קשר בין הנגזרת למונוטוניות
*הרצאה 17 - כלל לופיטל

==הרצאה 18 פולינום טיילור==
פרק 6 ב[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/שיינר/תקציר הרצאות|קישור הבא]] (https://calc2.math-wiki.com)

*פולינום טיילור ושארית לגראנז' בלבד

==הרצאה 19 הקדמה לאינטגרלים==
פרק 3 ב[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/שיינר/תקציר הרצאות|קישור הבא]] (https://calc2.math-wiki.com)

*אינטגרל מסוים ולא מסויים, המשפט היסודי של החדו"א

==הרצאות 20-21 שיטות אינטגרציה==
פרק 1 ב[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/שיינר/תקציר הרצאות|קישור הבא]] (https://calc2.math-wiki.com)

==הרצאה 22 סכומי רימן==
פרק 2 ב[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/שיינר/תקציר הרצאות|קישור הבא]] (https://calc2.math-wiki.com)

*עבור פונקציה רציפה סכומי הרימן מתכנסים לאינטגרל המסויים
*אורך עקומה, נפח גוף סיבוב

==הרצאות 23-24 אינטגרל לא אמיתי==
פרק 4 ב[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/שיינר/תקציר הרצאות|קישור הבא]] (https://calc2.math-wiki.com)

*הגדרה ומבחני השוואה לאינטגרלים לא אמיתיים

חדוא 1 - ארז שיינר

2025-02-24T12:39:02Z

Dan ben hanoch: /* מבחנים של הנדסה/פיזיקה */

[[88-132 חשבון אינפיניטיסימלי 1]]

אהבתם חדו"א 1? אז תעופו על [[חדוא 2 - ארז שיינר|חדו"א 2]]!
[[עץ|סיכומים של עץ(הו הו הו הו הו)]]

=תרגילי הכנה למבחן ופתרונותיהם=

*[[מדיה:22Calc1QnA.pdf| עשרות תרגילי הכנה למבחן עם פתרונות מלאים]]

=מבחנים ופתרונות=

===מערכי תרגול עם פתרונות===
*[[חשבון אינפיניטיסימלי 1 - מערך תרגול|מערכי תרגול]]

===מבחנים של מתמטיקה===
*[[מדיה:מבחן_ללא_פתרון_אינפי_1_בועז_צבאן_התשפה_מועד_א.pdf |מבחן תשפ"ה אינפי בועז צבאן מועד א]] ו[[מדיה:מבחן_2025_אינפי_בועז_צבאן_מועד_א.pdf |פתרונו על ידי פרופסור בועז צבאן]]
*[[מדיה:מועד_א_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|מבחן מועד א' החממה תשפ"א]], [[מדיה:Solמועד_א_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:מועד_ב_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|מבחן מועד ב' החממה תשפ"א]], [[מדיה:solמועד_ב_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:21HamamaExmpTest.pdf|פתרון מבחן לדוגמא החממה תשפ"א]]
*[[מדיה: Infi1 tihon 2019A.pdf |מבחן מועד א תשע"ט]], [[מדיה: Infi1 tihon 2019Asol.pdf |פתרון]]
*[[מדיה:17Infi1DumbTest.pdf|מבחן דמה תשע"ז]], [[מדיה:17Infi1DumbTestSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:17Infi1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ז]], [[מדיה:17Infi1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:17Infi1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ז]], [[מדיה:17Infi1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:Calc1_2016a_exam.pdf | מבחן מועד א' תשע"ו]], [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/Infi2_76aSol.pdf פתרון המרצה], [[מדיה:Calc1_2016a_sols.pdf | פתרון המתרגלים]], [[מדיה:Calc1_2016a_sols_erez.pdf | פתרון ארז שיינר]]
*[[מדיה:אינפי_1_-_מועד_א%27_תשעג.pdf|מבחן מועד א' תשע"ג]], [[מדיה:Infi1TashagMoedASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה: infi1Exams3.pdf | מבחן מועד ב' תשע"ג]], [[מדיה: infi1Exams3Sol.pdf | פתרון חלקי]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/דמה1|מבחן דמה למתמטיקאים תשע"ב]], [[מדיה:tashabfaketestAsol.pdf|פתרון]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/דמה2|מבחן דמה נוסף תשע"ב]], [[מדיה:tashabfaketestBsol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה: infi1Exams1.pdf | מועד מיוחד תשע"ב]], [[מדיה:tashabspecialtestsol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה: infi1Exams2.pdf | מועד א' תשע"ב]], [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מתמטיקאים|פתרון]]
*[[מבחן אינפי 1 סמסטר א' מועד ב' תשע"ב| מועד ב' למתמטיקאים תשע"ב כולל פתרון]]
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד א'|מבחן מועד א' החממה תשע"א פתרון]]
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד ב'|מבחן מועד ב' החממה תשע"א פתרון]]
*[[פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א, |פתרון תשס"ב, מועד א]]
*[[פתרון אינפי 1, תשס"ג, מועד ב, |פתרון תשס"ג, מועד ב]]
*[[פתרון אינפי 1, תשנ"ט, מועד ב, |פתרון תשנ"ט, מועד ב]]
*[[פתרון אינפי 1, תש"נ |פתרון תש"נ, אין מועד]]
*[[אינפי 1, תשנ"ו מועד ב' - פתרון (זלצמן)|פתרון תשנ"ו, מועד ב']]

===מבחנים של מדמ"ח===
*[[מדיה:2489132TestA.pdf|מועד א' סמסטר ב' תשפ"ד]]
*[[מדיה:21Infi1CSSummerA.pdf|מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21Infi1CSSummerASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:21Infi1CSSummerB.pdf|מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21Infi1CSSummerBSol.pdf|פתרון חלקי]]
*[[מדיה:infi1moedExmp2021CS.pdf|מבחן לדוגמא תשפ"א]], [[מדיה:infi1moedExmp2021CSSol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא תשפ"א]]
*[[מדיה:infi1moedA2021CS.pdf|מועד א' תשפ"א]], [[מדיה:infi1moedA2021CSSol.pdf|פתרון מועד א' תשפ"א]]
*[[מדיה:infi1moedB2021CS.pdf|מועד ב' תשפ"א]], [[מדיה:infi1moedB2021CSSol.pdf|פתרון מועד ב' תשפ"א]]
*[[מדיה:infi1moedC2021CS.pdf|מועד ג' תשפ"א]], [[מדיה:infi1moedC2021CSSol.pdf|פתרון מועד ג' תשפ"א]]
*[[מדיה:19CSInfi1dumbtest.pdf|מבחן לדוגמא תש"ף]], [[מדיה:19CSInfi1dumbtestSol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא תש"ף]]
*[[מדיה:19CSInfi1A.pdf|מבחן מועד א' תש"ף]], [[מדיה:19CSInfi1ASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תש"ף]]
*[[מדיה:16CSInfi1ASol.pdf|פתרון מבחן מועד ג' תשע"ז]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעג/פתרון מועד א - גרסת שנפס|מועד א' תשע"ג פתרונות בלבד]]
*[[מדיה:TashagInfiCsexmtest.pdf|מבחן דמה תשע"ג]], [[מדיה:TashagInfiCsexmtestSol.pdf|פתרון מבחן דמה תשע"ג]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמח|מבחן מדמ"ח מועד א' תשעב ופתרונו]].

===מבחנים של הנדסה===
*[[83-112 חדו"א 1 להנדסה/נושאי הקורס|מבחנים בחדו"א 1 של הנדסה]] - שאלות 2,6 אינן רלונטיות לקורס זה

===מבחנים של אנליזה למורים===
*[[מבחנים בקורס אנליזה 1 למורים]] - אמנם כלל השאלות רלוונטיות, אולם הרמה הכולל של המבחנים נמוכה יותר מקורס זה

=== הצעות פתרון למבחנים מהשנים תשע"ה-תשפ"ב (תיכוניסטים) ===
ע"י לירן מנצורי ויונתן סמידוברסקי
*[[מדיה:מבחן_תשפב_מועד_א_יונתן_סמידוברסקי.pdf| מבחן תשפ"ב מועד א']]
*[[מדיה:מבחן_תשפא_מועד_א.pdf| מבחן תשפ"א מועד א']] (XI)
*[[מדיה:מבחן_תשפא_מועד_א.pdf| מבחן תשפ"א מועד א']] (XI)
*[[מדיה:מבחן_תשעט_מועד_ב_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ט מועד ב']]
*[[מדיה:פתרון_תשעט_מועד_א_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf| מבחן תשע"ט מועד א']]
*[[מדיה:תשעח_מועד_ב_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf | מבחן תשע"ח מועד ב']]
*[[מדיה:תשעח_מועד_א_יונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ח מועד א']]
*[[מדיה:פתרון_תשעז_מועד_ב_לירן מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ז מועד ב']]
*[[מדיה:מבחן_תשעז_מועד_א_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ז מועד א']]
*[[מדיה:פתרון_מבחן_תשעו_מועד_ב_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ו מועד ב']]
*[[מדיה:פתרון_מבחן_תשעו_מועד_א_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ו מועד א']]
*[[מדיה:תיקון_תשעה_מועד_ב_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ה מועד ב']]
*[[מדיה:תשעה_מועד_א'_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ה מועד א']]

===מבחנים מאוניברסיטאות שונות===
*[[אינפי 1 - מבחנים מאוניברסיטאות שונות]]

=סרטוני ותקציר ההרצאות=

[https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-sR6S1JZDECwwzGk6Z4NXWe פלייליסט של כל הסרטונים]

[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hkSHBU2VSWetKIVS1oyDT2c פלייליסט ההרצאות של אינפי 1 למדמח תשפ"א]

==פרק 1 - מספרים וחסמים==

===קבוצות מספרים===

*הטבעיים <math>\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}</math>
*השלמים <math>\mathbb{Z}=\{0,-1,1,-2,2,...\}</math>
*הרציונאליים <math>\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{n}|p\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}\right\}</math>
*הממשיים <math>\mathbb{R}</math>, כל השברים העשרוניים כולל האינסופיים

*העשרה: בנייה של שדה הממשיים באמצעות [[חתכי דדקינד]]

<videoflash>iEux7Zo_7Iw</videoflash>

*לא קיים <math>x\in\mathbb{Q}</math> כך ש <math>x^2=2</math>.
*במילים פשוטות, <math>\sqrt{2}</math> אינו רציונאלי (בהמשך נוכיח שיש מספר ממשי כזה).

<videoflash>20KPM0pRTHc</videoflash>

===חזקות ולוגריתמים===
*לכל מספר ממשי <math>x\in\mathbb{R}</math> ולכל מספר טבעי <math>n\in\mathbb{N}</math> נגדיר <math>x^n=x\cdots x</math> כפל n פעמים
*לכל מספר ממשי אי שלילי <math>0\leq x\in\mathbb{R}</math> ולכל מספר טבעי <math>n\in\mathbb{N}</math> נגדיר <math>x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}</math> כלומר המספר האי שלילי שבחזקת n שווה לx.
*לכל מספר ממשי אי שלילי <math>0\leq x\in\mathbb{R}</math> ולכל זוג מספרים טבעיים <math>n,k\in\mathbb{N}</math> נגדיר <math>x^{\frac{n}{k}}=\sqrt[k]{x^n}</math>
*לכל מספר ממשי <math>x\in\mathbb{R}</math> נגדיר <math>x^0=1</math>

*מה לגבי חזקות ממשיות אי רציונליות?
*נגדיר אותן באמצעות גבול של חזקות רציונאליות

*לכל מספר ממשי <math>x\in\mathbb{R}</math> ולכל חזקה ממשית שלילית <math>-a<0</math> נגדיר <math>x^{-a}=\frac{1}{x^a}</math>

<videoflash>vHNsel0dKHk</videoflash>

*לכל <math>0<a\neq 1</math> נגדיר את <math>log_a(x)</math> להיות המספר שa בחזקתו שווה לx.
*חוקי לוגים:
**<math>log_a(x)+log_a(y)=log_a(xy)</math>
**<math>log_a(x)-log_a(y)=log_a\left(\frac{x}{y}\right)</math>
**<math>log_a(x^y)=y log_a(x)</math>
**<math>\log_a(x)=\frac{log_b(x)}{log_b(a)}</math>
**<math>log_a(x)=y</math> אם ורק אם <math>x=a^y</math>

===חסמים===

*תהי <math>A\subseteq \mathbb{R}</math> אזי:
**<math>M\in\mathbb{A}</math> נקרא '''המקסימום''' של A או '''האיבר הגדול ביותר''' של A אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים כי <math>a\leq M</math>
**<math>M\in\mathbb{R}</math> נקרא '''חסם מלעיל''' של A אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים כי <math>a\leq M</math>
**<math>m\in\mathbb{A}</math> נקרא '''המינימום''' של A או '''האיבר הקטן ביותר''' של A אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים כי <math>a\geq m</math>
**<math>m\in\mathbb{R}</math> נקרא '''חסם מלרע''' של A אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים כי <math>a\geq m</math>

*כמו כן:
**אם יש איבר קטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל של A הוא נקרא '''החסם העליון''' של A, או '''הסופרמום''' של A ומסומן <math>\sup(A)</math>
**אם יש איבר גדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע של A הוא נקרא '''החסם התחתון''' של A, או '''האינפימום''' של A ומסומן <math>\inf(A)</math>

<videoflash>WdKqIf8xGeY</videoflash>

*בשדה הממשיים לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל יש חסם עליון, ולכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלרע יש חסם תחתון.
*בשדה הרציונאליים זה לא נכון; לקבוצה <math>A=\{x\in\mathbb{Q}|x^2<2\}</math> אין מספר רציונאלי קטן ביותר מבין חסמי המלעיל שלה.

<videoflash>7cz-S6GWg3Y</videoflash>

*תהי <math>A\subseteq \mathbb{R}</math> ויהי <math>M\in\mathbb{R}</math> אזי:
**M הוא החסם העליון של A אם ורק אם M הוא חסם מלעיל של A ולכל מספר <math>M-\varepsilon<M</math> קיים מספר <math>a\in A</math> כך ש <math>a>M-\varepsilon</math>
**m הוא החסם התחתון של A אם ורק אם m הוא חסם מלרע של A ולכל מספר <math>m<m+\varepsilon</math> קיים מספר <math>a\in A</math> כך ש <math>a<m+\varepsilon</math>

*דוגמא: תהיינה <math>\emptyset\neq A,B\subseteq\mathbb{R}</math> חסומות מלעיל כך שA אינה מכילה חסמי מלעיל של B, אזי <math>\sup(A)\leq\sup(B)</math>

<videoflash>mVCNRtV7TP0</videoflash>

===שיטות הוכחה בסיסיות===

*[[שיטות הוכחה בסיסיות]]

*הוכחת טענות מכומתות - טענות 'לכל' וטענות 'קיים'

<videoflash>QIwz6eyrcuI</videoflash>

==פרק 2 - סדרות==

===הגדרת הגבול===

*הגדרת הגבול של סדרה:
*תהי סדרה ממשית <math>a_n</math> ויהי מספר ממשי <math>L\in\mathbb{R}</math>.
*<math>L</math> הינו גבול הסדרה <math>a_n</math> (מסומן <math>\lim a_n=L</math> או <math>a_n\to L</math>) אם:
**לכל סביבה של הגבול, קיים מקום בסדרה שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה הנתונה, כלומר:
**לכל מרחק <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום <math>K\in\mathbb{N}</math> כך שאחריו לכל <math>n>K</math> מתקיים כי <math>|a_n-L|<\varepsilon</math>

<videoflash>mMVBYUDmSA0</videoflash>

*נגדיר ש<math>a_n\to\infty</math> אם לכל <math>M>0</math> קיים <math>K\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>K</math> מתקיים כי <math>a_n>M</math>
*נגדיר ש<math>a_n\to -\infty</math> אם <math>-a_n\to\infty</math>

*טענה: תהי <math>a_n\to \infty</math> אזי <math>\frac{1}{a_n}\to 0</math>
*טענה: תהי <math>0\neq a_n\to 0</math> אזי <math>\frac{1}{|a_n|}\to\infty</math>

<videoflash>U5RUHjrHVGI</videoflash>

*אם <math>a_n\to L_1</math> וכן <math>a_n\to L_2</math> אזי <math>L_1=L_2</math>

<videoflash>YE52OP_xPDA</videoflash>

*סדרה המתכנסת לגבול סופי חסומה.

<videoflash>CZnYbF1Lm7k</videoflash>

*<math>a_n\to L \iff a_{n+1}\to L</math>
*בפרט, כל שינוי, תוספת או החסרה של מספר סופי של איברים לא משפיע על גבול הסדרה.

<videoflash>nHaq8E0vGJA</videoflash>

*תהי סדרה<math>a_n</math> המתכנסת לגבול סופי והמקיימת לכל <math>n</math> כי <math>a<a_n</math> אזי <math>\lim a_n\geq a</math>

===שאיפה לאפס===

*תהי סדרה <math>a_n</math> ויהי <math>L\in\mathbb{R}</math> אזי <math>a_n\to L</math> אם ורק אם <math>|a_n-L|\to 0</math>
**בפרט <math>a_n\to 0</math> אם ורק אם <math>|a_n|\to 0</math>

*תהי <math>a_n\to 0</math> ותהי <math>b_n</math> חסומה, אזי <math>a_nb_n\to 0</math>

*תהיינה <math>a_n,b_n\to 0</math> אזי גם <math>a_n+b_n\to 0</math>

<videoflash>3QSMzWlG-yI</videoflash>

===משפטי סנדביץ'===

*משפט הסנדביץ' -
**תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי <math>a_n\leq b_n \leq c_n</math>
**כמו כן, יהי <math>L\in\mathbb{R}</math> כך ש <math>a_n,c_n\to L</math>
**אזי <math>b_n\to L</math>
*חצי סנדביץ'-
**תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי <math>a_n\leq b_n</math>
**כמו כן נתון כי <math>a_n\to\infty</math>
**אזי <math>b_n\to \infty</math>
*חצי סנדביץ' על הרצפה -
**תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי <math>|a_n|\leq b_n</math>
**כמו כן נתון כי <math>b_n\to 0</math>
**אזי <math>a_n\to 0</math>

<videoflash>AVvOiLm5COA</videoflash>

===מבוא לחשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)===
*תהיינה <math>b_n\to L_b\in \mathbb{R}</math>, <math>a_n\to L_a\in \mathbb{R}</math> אזי
**<math>a_n+b_n\to L_a+L_b</math>
**<math>a_n\cdot b_n \to L_a\cdot L_b</math>
**אם <math>L_b\neq 0</math> אזי <math>\frac{a_n}{b_n}\to\frac{L_a}{L_b}</math>

<videoflash>Hf14pSb3zDM</videoflash>

===אינדוקציה===

*משפט האינדוקציה המתמטית
*תהי סדרת טענות כך שמתקיימים שני התנאים הבאים:
**הטענה הראשונה נכונה.
**לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> אם הטענה הn מתקיימת אז גם הטענה הn+1 מתקיימת.
*אזי כל הטענות בסדרה נכונות

*אי שיוויון ברנולי: יהי <math>-1<x\in\mathbb{R}</math> אזי לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>(1+x)^n\geq 1+nx</math>

<videoflash>n6xkPhKmhQo</videoflash>

===חזקת אינסוף===

*תהי <math>0<a_n\to a</math> אזי:
**אם <math>a>1</math> מתקיים כי <math>(a_n)^n \to \infty</math>
**אם <math>a<1</math> מתקיים כי <math>(a_n)^n\to 0</math>
*שימו לב כי ייתכן ו<math>1<a_n\to 1</math>, כלומר איברי הסדרה גדולים מ1 אך גבולה הוא 1 ואז המשפט אינו תקף.

<videoflash>hFa7Nv5o05M</videoflash>

===כלל המנה===

*כלל המנה (הוכחה בסיכום הבא על [[אי-שוויון הממוצעים]]).
**תהי סדרה <math>a_n</math> המקיימת כי '''גבול''' המנה הוא <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to L</math> אזי:
***אם <math>1<L\leq\infty</math> מתקיים כי <math>|a_n|\to\infty</math>
***אם <math>0\leq L<1</math> מתקיים כי <math>a_n\to 0</math>
***מתקיים כי <math>\sqrt[n]{|a_n|}\to L</math>

*דוגמאות:
**<math>\frac{n}{2^n}\to 0</math>
**<math>\sqrt[n]{n}\to 1</math>
**עבור <math>a>0</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{a}\to 1</math>
**<math>\sqrt[n]{n!}\to \infty</math>

<videoflash>Shmc2BtEGBE</videoflash>

===חזקות של גבולות===

*יהי <math>0<a\in\mathbb{R}</math> ותהי <math>b_n\to 0</math> אזי <math>a^{b_n}\to 1</math>
**רעיון הוכחה: אם <math>a\geq 1</math> אזי <math>a^{-\frac{1}{m}}\leq a^{b_n}\leq a^{\frac{1}{m}}</math> והרי <math>\sqrt[m]{a}\to 1</math> לפי כלל המנה

*יהי <math>0<a\in\mathbb{R}</math> ותהי <math>b_n\to L\in \mathbb{R}</math> אזי <math>a^{b_n}\to a^L</math>
**רעיון הוכחה: <math>a^{b_n} = a^{b_n-L}\cdot a^L\to 1\cdot a^L</math>

*תהי <math>a_n\to 1</math> ותהי <math>b_n\to L\in\mathbb{R}</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to 1</math>
**רעיון הוכחה:<math>a_n^{[L]-1}\leq a_n^{b_n}\leq a_n^{[L]+1}</math> לפי חשבון גבולות (כפל) שני הצדדים שואפים ל1. (אם <math>a_n<1</math> אי השיוויון הפוך).

*תהי <math>a_n\to a>0</math> ותהי <math>b_n\to L\in\mathbb{R}</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to a^L</math>
**רעיון הוכחה: <math>a_n^{b_n}=\left(\frac{a_n}{a}\right)^{b_n} \cdot a^{b_n} \to 1\cdot a^L</math>

*תהי <math>0\leq a_n\to 0</math> ותהי <math>b_n\to L>0</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to 0</math>
**רעיון הוכחה: החל משלב מסויים <math>0\leq a_n^{b_n}\leq \frac{1}{m^{\frac{L}{2}}} </math>

===סדרות מונוטוניות והמספר e===
*כל סדרה מונוטונית הינה חסומה מתכנסת לגבול סופי, או שאינה חסומה ושואפת לגבול אינסופי.

*דוגמא: נביט בסדרה <math>a_1>0,\ a_{n+1}=a_n^2+a_n</math>
**כיוון ש <math>a_{n+1}-a_n=a_n^2\geq 0</math> מדובר בסדרה מונוטונית עולה.
**אם הסדרה חסומה:
***קיים לה גבול סופי <math>a_n\to L</math>
***נחשב את גבול שני צידי המשוואה <math>a_{n+1}=a_n^2+a_n</math>
***לכן <math>L=L^2+L</math> ולכן <math>L=0</math>
***אבל הסדרה עולה וחסומה מלמטה ע"י האיבר הראשון ולכן <math>L\geq a_1</math>
***כלומר <math>L=0<a_1\leq L</math> בסתירה.
**מכאן הסדרה אינה חסומה, וכיוון שהיא עולה <math>a_n\to\infty</math>

<videoflash>pTVTkSlxJdI</videoflash>

*[[המספר e]] (הוכחות בעזרת [[אי-שוויון הממוצעים]]).

<videoflash>v7tyKNPU-7I</videoflash>

*<math>2<e<4</math>.

<videoflash>6TohAEqQwsk</videoflash>

===תתי סדרות וגבולות חלקיים===
====הגדרת גבול חלקי====
*לכל סדרת מקומות <math>k_n\in\mathbb{N}</math> המקיימת לכל <math>n</math> כי <math>k_n<k_{n+1}</math> נגדיר כי <math>a_{k_n}</math> הינה תת סדרה של הסדרה <math>a_n</math>
*שימו לב כי מקומות תת הסדרה הם באותו הסדר כמו בסדרה המקורית, ואסור לחזור על איבר פעמיים.

*לדוגמא:
**נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math>
**אזי <math>a_{2n}=(-1)^{2n}=1</math> היא תת הסדרה של האיברים במקומות הזוגיים <math>k_n=2n</math>

*נגדיר ש<math>L</math> הוא גבול חלקי של הסדרה <math>a_n</math> אם קיימת תת סדרה <math>a_{k_n}</math> כך ש <math>a_{k_n}\to L</math>

*טענה - יהי <math>L</math> סופי או אינסופי, אזי:
**<math>a_n\to L</math> אם ורק אם לכל תת סדרה <math>a_{k_n}</math> מתקיים כי <math>a_{k_n}\to L</math>

<videoflash>rvdm2_7g-7I</videoflash>

====משפט בולצאנו-ויירשטראס====
*לכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית.

*משפט בולצאנו-ויירשטראס - לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת.

<videoflash>R491ZyCHhBs</videoflash>

====גבול עליון וגבול תחתון====

*תהי סדרה <math>a_n</math>
*נגדיר את הגבול העליון שלה (limsup):
**אם <math>a_n</math> אינה חסומה מלעיל אזי <math>\overline{\lim}a_n=\infty</math>
**אם <math>a_n</math> חסומה מלעיל ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את <math>\overline{\lim}a_n</math> להיות החסם העליון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה
**אחרת, נגדיר <math>\overline{\lim}a_n=-\infty</math>
*נגדיר את הגבול התחתון שלה (liminf):
**אם <math>a_n</math> אינה חסומה מלרע אזי <math>\underline{\lim}a_n=-\infty</math>
**אם <math>a_n</math> חסומה מלרע ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את <math>\underline{\lim}a_n</math> להיות החסם התחתון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה
**אחרת, נגדיר <math>\underline{\lim}a_n=\infty</math>

*לכל גבול חלקי L של הסדרה מתקיים כי:
*<math>\underline{\lim}a_n\leq L\leq \overline{\lim}a_n</math>

<videoflash>n71Zy87PbEE</videoflash>

*הגבול העליון והגבול התחתון הם גבולות חלקיים (כלומר יש תת סדרה ששואפת לגבול העליון, ויש תת סדרה ששואפת לגבול התחתון).

<videoflash>zF_5NdFJbAg</videoflash>

*לכל <math>-\infty\leq L\leq \infty</math> מתקיים כי <math>a_n \to L</math> אם ורק אם <math>\underline{\lim}a_n=\overline{\lim}a_n=L</math>

<videoflash>j4C_2yvKpN0</videoflash>

====תתי סדרות המכסות סדרה====

*אם ניתן לחלק סדרה למספר סופי של תתי סדרות המכסות את כולה, וכולן שואפות לאותו הגבול - אזי הסדרה כולה שואפת לגבול זה.
*ייתכן שניתן לחלק סדרה לאינסוף תתי סדרות שכולם שואפות לאותו הגבול, אך הסדרה לא תשאף לגבול זה.

<videoflash>Y0Jpalk44do</videoflash>

===כלל הe===

*תהי <math>0\neq a_n\to 0</math> אזי <math>(1+a_n)^{\frac{1}{a_n}}\to e</math>

<videoflash>y7yPjqyGOIg</videoflash>

*אם <math>a_n\to 1</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to e^{\lim b_n\cdot(a_n-1)}</math>
**<math>a_n^{b_n}=\left[\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\right]^{ b_n\cdot (a_n-1)}</math>.
**<math>\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\to e</math> בין אם <math>a_n-1</math> שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.
**שימו לב שאם <math>a_n=1</math>, אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק ב<math>a_n-1</math> ששווה אפס.

*דוגמא:
**<math>\lim\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n=e^{\lim n\cdot\left(\frac{n+1}{n-2}-1\right)}=e^{\lim\frac{3n}{n-2}}=e^3</math>

<videoflash>5V4EmQIdE90</videoflash>

===חשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)===

*אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
**חסומה כפול אפיסה = אפיסה
**חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
**<math>\infty+\infty=\infty</math>
**<math>\infty\cdot\infty=\infty</math>
**<math>\infty^\infty=\infty</math>
**<math>\frac{1}{0}\neq\infty</math>
**<math>\frac{1}{0^+}=\infty</math>
**<math>0^\infty = 0</math>
**אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
**יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
**אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
**אינסוף בחזקת מספר חיובי זה אינסוף
**סדרה השואפת לגבול גדול מאחד, בחזקת אינסוף זה אינסוף.
**סדרה השואפת לגבול בין מינוס אחד לאחד לא כולל, בחזקת אינסוף, זה אפס.

====המקרים הבעייתיים====
*המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
**<math>\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty</math>

===קריטריון קושי לסדרות===

*דוגמא: הסדרה <math>a_n=\sqrt{n}</math> מקיימת כי <math>a_{n+1}-a_n\to 0</math> אך היא אינה מתכנסת למספר סופי אלא שואפת לאינסוף.

*הגדרה: סדרה <math>a_n</math> מקיימת את '''קריטריון קושי''' (ונקראת '''סדרת קושי''') אם:
*לכל מרחק <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום <math>K\in\mathbb{N}</math> כך שאחריו לכל זוג מקומות <math>m>n>K</math> מתקיים כי <math>|a_m-a_n|<\varepsilon</math> (המרחק בין האיברים במקומות הללו קטן מאפסילון).

*משפט: בממשיים, סדרה מתכנסת לגבול סופי אם ורק אם היא סדרת קושי.

*תרגיל: תהי סדרה המקיימת לכל n כי <math>|a_{n+1}-a_n|<\frac{1}{2^n}</math> אזי היא מתכנסת למספר סופי.

<videoflash>S56cCgc9U38</videoflash>

==פרק 3 - טורים==
[https://youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-t4S3UxsuuifepjuWgbJ7_5 פלייליסט של כל טורים]
===מבוא והגדרה===
<videoflash>E3DLm1YxOko</videoflash>

*תהי סדרה <math>a_n</math>, נגדיר את '''סדרת הסכומים החלקיים''' (סס"ח בקיצור) של <math>a_n</math> ע"י
**<math>S_1=a_1</math>
**ולכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים <math>S_{n+1}=S_n+a_{n+1}</math>
*במילים אחרות, <math>S_n = \sum_{k=1}^n a_k</math>

*הגדרת הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math>
**אומרים כי <math>\sum_{k=1}^\infty a_k =L</math> אם <math>\lim S_n = L</math>
*אם לסס"ח יש גבול סופי אומרים כי הטור מתכנס, ואילו אם אין לה גבול סופי אומרים כי הטור מתבדר.
*שימו לב כי בעצם:
**<math>\sum_{k=1}^\infty a_k = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n a_k</math>

*אם הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס, אזי <math>a_n\to 0</math>
*הוכחה:
**<math>S_n,S_{n+1}\to L</math>
**לכן <math>a_{n+1}=S_{n+1}-S_n\to L-L=0</math>

*<math>\sum_{k=1}^\infty a_k = a_1 + \sum_{k=2}^\infty a_k</math>
*מסקנה: שינוי מספר סופי של איברי הטור לא משפיע על התכנסות, אבל '''כן משפיע''' על סכום הטור.

<videoflash>v-qwJWYvuNY</videoflash>

====חשבון טורים====

*אם הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס, ו<math>c\in\mathbb{R}</math> קבוע אזי
**<math>\sum_{k=1}^\infty c\cdot a_k = c\cdot \sum_{k=1}^\infty a_k</math>

*אם הטורים <math>\sum_{k=1}^\infty a_k,\ \sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנסים אזי
**<math>\sum_{k=1}^\infty (a_k+b_k) = \sum_{k=1}^\infty a_k + \sum_{k=1}^\infty b_k</math>

====הטור ההנדסי====
*הטור <math>\sum_{k=0}^\infty x^k</math> מתכנס אם ורק אם <math>|x|<1</math> וכאשר הוא מתכנס מתקיים כי:
**<math>\sum_{k=0}^\infty x^k = \frac{1}{1-x}</math> וכמו כן <math>\sum_{k=1}^\infty x^k = \frac{x}{1-x}</math>

<videoflash>suDMRh69Lgc</videoflash>

====טור מקל סלפי (טלסקופי)====

*חישוב <math>\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^2 -k}</math> על ידי הסס"ח הטלסקופי

*חישוב <math>\sum_{k=1}^\infty \ln\left(\frac{k}{k+1}\right)</math> על ידי הסס"ח הטלסקופי

<videoflash>uZHNxYO7S-Q</videoflash>

====העשרה על סוגי סכימה====

<videoflash>54MQXVhM9vU</videoflash>

===התכנסות בהחלט===
*משפט: אם טור הערכים המוחלטים <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math> מתכנס, אזי גם הטור המקורי <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס.

*הגדרה:
**הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> נקרא '''מתכנס בהחלט''' אם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס וגם <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math> מתכנס
**הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> נקרא '''מתכנס בתנאי''' אם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס אך <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math> מתבדר
**הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> נקרא '''מתבדר''' אם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתבדר וגם <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math> מתבדר

<videoflash>OFcOpUNprTo</videoflash>

*משפט: (הכללת אי שיוויון המשולש) יהי טור מתכנס בהחלט, אזי:
*<math>\left|\sum_{k=0}^\infty a_k\right|\leq \sum_{k=0}^\infty |a_k|</math>

*הוכחה:
*לפי אי שיוויון המשולש, לכל n סופי מתקיים כי
*<math>\left|\sum_{k=0}^n a_k\right|\leq \sum_{k=0}^n |a_k|</math>
*ולכן גם הגבול של הסדרה השמאלית קטן או שווה לגבול של הסדרה הימנית, וזו התוצאה שרצינו.

===מבחני התכנסות לטורים חיוביים===

====הקדמה והטור ההרמוני====
*הגדרה: טור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> נקרא טור חיובי אם לכל n מתקיים כי <math>a_n\geq 0</math>.
*סדרת הסכומים החלקיים של טור חיובי היא מונוטונית עולה, לכן הטור מתכנס אם ורק אם היא חסומה.

*לסס"ח של הטור ההרמוני <math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}</math> יש תת סדרה ששואפת לאינסוף, ולכן הטור מתבדר:
**<math>\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}\geq \frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}</math>
**<math>S_1 =1\geq \frac{1}{2}</math>
**<math>S_2 =1+\frac{1}{2}\geq 2\cdot \frac{1}{2}</math>
**<math>S_4 =1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\geq 3\cdot \frac{1}{2}</math>
**...
**באופן כללי <math>S_{2^{n-1}}\geq n\cdot \frac{1}{2}\to\infty</math>

<videoflash>M3B6018c-4g</videoflash>

====מבחני ההשוואה====

*מבחן ההשוואה הראשון-
*תהיינה סדרות כך ש <math>0\leq a_n\leq b_n</math> לכל n. אזי:
** אם הטור הגדול יותר <math>\sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנס בוודאי הטור הקטן יותר <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס.
** נובע מכך לוגית שאם הטור הקטן מתבדר, הטור הגדול מתבדר.

*דוגמא:
**<math>\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n^2-n}</math>
**ראינו שהטור החיובי <math>\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^2-k}</math> מתכנס ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון גם הטור החיובי <math>\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}</math> מתכנס

*מבחן ההשוואה הגבולי-
*תהיינה סדרות <math>0\leq a_n,b_n</math> כך ש <math>\frac{a_n}{b_n}\to c</math> אזי:
** אם <math>c=\infty</math> אזי <math>a_n>b_n</math> החל משלב מסויים, ולכן אם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס גם <math>\sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנס
** אם <math>c=0</math> אזי <math>a_n<b_n</math> החל משלב מסויים, ולכן אם <math>\sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנס גם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס
** אחרת, <math>0<c\in\mathbb{R}</math> והטורים '''חברים''' <math>\sum_{k=1}^\infty a_k ~ \sum_{k=1}^\infty b_k</math>, כלומר <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס אם ורק אם <math>\sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנס

*דוגמא:
**<math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\left(\sqrt[k]{k!}\right)^2} \sim \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}</math>

<videoflash>DDOups05oms</videoflash>

====מבחני השורש והמנה====

*יהי טור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math>

*מבחן המנה -
**אם <math>\overline{\lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1</math> אזי הטור '''מתכנס בהחלט'''
**אם <math>\underline{\lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1</math> אזי <math>a_n\not\to 0</math> ולכן הטור '''מתבדר'''

*מבחן השורש -
**אם <math>\overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}<1</math> אזי הטור '''מתכנס בהחלט'''
**אם <math>\overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}>1</math> אזי <math>a_n\not\to 0</math> ולכן הטור '''מתבדר'''

*שימו לב - במבחן השורש לוקחים את הגבול העליון בשני המקרים, ובמבחן המנה צריך שהעליון יהיה קטן מאחד, או התחתון גדול מאחד. זו לא טעות...

<videoflash>Y7k-a29_03g</videoflash>

====מבחן העיבוי====

*מבחן העיבוי-
**תהי <math>0\leq a_n</math> סדרה '''מונוטונית''' יורדת אזי הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס אם ורק אם <math>\sum_{k=1}^\infty 2^k \cdot a_{(2^k)}</math> מתכנס

*הוכחה:
** ראשית, נוכיח באינדוקציה כי <math>\sum_{k=1}^n 2^{k-1}a_{2^k} \leq \sum_{k=2}^{2^n} a_k</math> כלומר
**<math> a_2 + 2\cdot a_4 +4\cdot a_8+... = a_2 + a_4 + a_4 +a_8 + a_8 + a_8 + a_8 + ... \leq a_2 + a_3 + a_4 +a_5 + a_6 +a_7 +a _8 +...</math>
**כעת נוכיח באינדוקציה כי <math>\sum_{k=0}^{n-1} 2^k a_{2^k}\geq \sum_{k=1}^{2^n-1}a_k</math>
*סה"כ אם הטור האחד מתכנס, הסס"ח של השני חסומה ולכן גם השני מתכנס.

<videoflash>UozGPSlW8fM</videoflash>

=====הטור ההרמוני המוכלל=====

*הטור <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^a}</math> מתכנס אם ורק אם <math>a>1</math>

*דוגמאות:

*<math>\sum_{k=2}^\infty\frac{1}{k\cdot\ln(k)}</math>

*<math>\sum_{k=2}^\infty\frac{1}{\ln(k!)}</math>

*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|עוד דוגמאות]]

===מבחני התכנסות לטורים כלליים===

====מבחן דיריכלה====

*תהי סדרה <math>a_n\to 0</math> סדרה '''מונוטונית''' יורדת לאפס
*תהי סדרה <math>b_n</math> כך ש'''הסס"ח''' שלה חסומה, כלומר קיים <math>M>0</math> כך שלכל n מתקיים <math>|S_n|=\left|\sum_{k=1}^nb_k\right|<M</math>
*אזי הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_kb_k</math> מתכנס.

*דוגמאות:
**<math>\sum\frac{\sin(n)}{n}</math>
**<math>\sum\frac{|\sin(n)|}{n}</math>

<videoflash>m5kFinYjG8A</videoflash>

*הוכחה:
*נסמן ב<math>D_n</math> את סדרת הסכומים החלקיים של הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_kb_k</math> וב<math>S_n</math> את סדרת הסכומים החלקיים של <math>b_n</math>.
*יהיו <math>m>n\in\mathbb{N}</math>
**<math>D_m-D_n = \sum_{k=n+1}^m a_kb_k = \sum_{k=n+1}^m a_k(S_k -S_{k-1}) = \sum_{k=n+1}^m a_kS_k - \sum_{k=n}^{m-1} a_{k+1}S_k = a_mS_m -a_{n+1}S_n + \sum_{k=n+1}^{m-1} S_k(a_k-a_{k+1})</math>
**<math>|D_m-D_n|\leq |a_m||S_m| + |a_{n+1}| |S_n| +\sum_{k=n+1}^{m-1} |S_k||a_k-a_{k+1}|</math>
**כעת נשתמש בעובדה כי <math>|S_n|<M</math> לכל n, <math>a_n</math> סדרה חיובית, וכן <math>a_n - a_{n+1}\geq 0</math> לכל n.
**<math>|D_m-D_n|\leq M\left(a_m + a_{n+1} +\sum_{k=n+1}^{m-1} a_k-a_{k+1}\right)= 2Ma_{n+1}\to 0</math>
*לכן <math>D_n</math> סדרת קושי ולכן מתכנסת לגבול סופי, כלומר הטור מתכנס.

<videoflash>Ou3ixbIVfYI</videoflash>

====מבחן לייבניץ====

*תהי <math>a_n\to 0</math> סדרה '''מונוטונית''' יורדת לאפס. אזי:
** הטור <math>\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}a_k</math> מתכנס.
**<math>\left|\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}a_k\right|\leq a_1</math>.

*הוכחה:
**כיוןן שהסס"ח של <math>(-1)^{n+1}</math> חסומה הטור מתכנס לפי מבחן דיריכלה.
**נסמן ב<math>S_n</math> את הסס"ח של הטור <math>\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}a_k</math>.
**כיוון שהסדרה <math>a_n</math> יורדת, ניתן להוכיח באינדוקציה כי:
***<math>S_{2n}\geq 0</math>
***<math>S_{2n-1}\leq a_1</math>

<videoflash>nJU3b5zvURQ</videoflash>

===סיכום בדיקת התכנסות 🖖===

*כיצד נבחן אם הטור <math>\sum a_n</math> מתכנס בהחלט, בתנאי או מתבדר?

#אם ניתן להראות כי <math>a_n\not\to 0</math> הטור מתבדר
# נבצע מבחני ספוק 🖖
##אם לפי מבחני ההשוואה (הראשון או הגבולי) הטור <math>\sum |a_n|</math> אינו מתכנס, אז אין התכנסות בהחלט, נעבר לבדוק התכנסות בתנאי.
##אם במבחן המנה או השורש הגבול גדול מ1 הטור מתבדר, אם קטן מ1 הטור מתכנס בהחלט ואם שווה ל1 צריך לנסות משהו אחר.
##אם במבחן העיבוי הטור <math>\sum |a_n|</math> אינו מתכנס, אז אין התכנסות בהחלט, נעבר לבדוק התכנסות בתנאי.
#אם לא מצאנו התכנסות בהחלט, נבצע מבחנים על טורים כלליים בשביל לבדוק התכנסות בתנאי
##מבחן לייבניץ
##מבחן דיריכלה
##עבודה ישירה על סדרת הסכומים החלקיים (טור טלסקופי למשל)

===סכום האיברים החיוביים, וסכום האיברים השליליים===
*תהי סדרה <math>a_n</math> ונגדיר את:
**<math>a_n^+=\begin{cases}a_n & a_n\geq 0\\ 0 & a_n<0\end{cases}</math>
**<math>a_n^-=\begin{cases}0 & a_n\geq 0\\ -a_n & a_n<0\end{cases}</math>

*<math>a_n=a_n^+-a_n^-</math>
*<math>|a_n|=a_n^++a_n^-</math>

*הטור <math>\sum a_k</math> מתכנס בהחלט אם ורק אם הטורים <math>\sum a_k^+, \sum a_k^-</math> מתכנסים שניהם.
*אם הטור <math>\sum a_k</math> מתכנס בתנאי אזי הטורים <math>\sum a_k^+, \sum a_k^-</math> מתבדרים שניהם ושואפים לאינסוף.

*כפי שהוכחנו בעבר בדרך שונה, אם הטור מתכנס בהחלט נובע ש<math>\sum a_k^+, \sum a_k^-</math> מתכנסים שניהם, וביחד עם העובדה ש<math>a_n=a_n^+-a_n^-</math> נובע שהטור מתכנס.

<videoflash>XEl8ZykrNcw</videoflash>

===שינוי סדר הסכימה===

*תהי <math>f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}</math> פונקציה הפיכה ותהי סדרה <math>a_n</math> אז נאמר ש<math>p_n=a_{f(n)}</math> היא שינוי סדר של הסדרה <math>a_n</math>.

*תרגיל - אם <math>a_n\to L</math> גם שינוי הסדר מקיים <math>p_n\to L</math>

*דוגמא:
**<math>a_n=1,-1,1,-1,...</math>
**<math>f(n)=1,3,2,5,7,4,9,11,6,...</math>
**<math>p_n=a_{f(n)}=1,1,-1,1,1,-1,...</math>

*בדוגמא האחרונה:
*נסמן ב<math>S_n</math> את הסס"ח של <math>a_n</math> ומתקיים כי:
**<math>S_n=1,0,1,0,...</math>
*נסמן ב<math>D_n</math> את הסס"ח של שינוי הסדר <math>p_n</math>, מתקיים כי:
**<math>D_n =1,2,1,2,3,2,3,4,3,...</math>
*שינוי הסדר אמנם הותיר את הטור מתבדר, אך הפך את סדרת הסכומים החלקיים מחסומה לשואפת לאינסוף.

<videoflash>ASXMi-rBCv0</videoflash>

====משפט רימן====
*משפט רימן - יהי טור מתכנס בתנאי <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> אזי לכל <math>-\infty\leq S \leq \infty</math> קיים שינוי סדר כך ש <math>\sum_{k=1}^\infty p_k=S</math>
*כלומר, אם הטור מתכנס בתנאי, ניתן לגרום לו להתכנס לכל ערך שנרצה (ואף לשאוף לפלוס או מינוס אינסוף), על ידי שינוי סדר איברי הסדרה.

<videoflash>e_tBsPs5vq4</videoflash>

====שינוי סדר הסכימה של טור מתכנס בהחלט====
*יהי טור מתכנס בהחלט <math>\sum_{k=1}^\infty a_k =S</math> אזי לכל שינוי סדר <math>p_n</math> מתקיים כי <math>\sum_{k=1}^\infty p_k=S</math>
*כלומר, שינוי סדר איברי הסדרה אינו משפיע על סכום הטור.

<videoflash>GG76LdzRvKo</videoflash>

==פרק 4 - פונקציות ורציפות==
===מבוא לגבולות===

<videoflash>OMJWXoSIlX0</videoflash>

*מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית, חילוק פולינומים).
**<math>\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}</math>
**<math>\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+5x+3}{3x^2-100}</math>
**<math>\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+1}-x</math>
**<math>\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+x+1}-x</math>
**<math>\lim_{x\to\infty}x^2-x</math>

===הגדרת הגבול לפי קושי===

* <math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם לכל סביבה של L בציר y קיימת סביבה של <math>x_0</math> בציר x, כך שלכל ערכי x בסביבה של <math>x_0</math> פרט אולי ל<math>x_0</math> עצמו, ערכי ציר y כלומר <math>f(x)</math> נמצאים בסביבה של L בציר y.

*דוגמאות:
**<math>\lim_{x\to 3} 2x+1=7</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל x המקיים <math>0\neq |x-3|<\delta</math> מתקיים <math>|2x+1-7|<\varepsilon </math>
**<math>\lim_{x\to 2^-}\frac{1-x}{\sqrt{2-x}}=-\infty</math> אם לכל <math>M>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל x המקיים <math>2-\delta<x<2</math> מתקיים כי <math>\frac{1-x}{\sqrt{2-x}}<-M</math>
**<math>y=a</math> אסימפטוטה אופקית מימין של <math>f(x)</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>K>0</math> כך שלכל x המקיים <math>x>K</math> מתקיים כי <math>|f(x)-a|<\varepsilon</math>

<videoflash>YTA4sI56t1Y</videoflash>

===הגדרת הגבול לפי היינה===

*<math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס <math>x_0\neq a_n\to x_0</math> סדרת המספרים על ציר y מקיימת <math>f(a_n)\to L</math>
*<math>\lim_{x\to x_0^+}f(x)=L</math> אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס <math>x_0< a_n\to x_0</math> סדרת המספרים על ציר y מקיימת <math>f(a_n)\to L</math>
*<math>\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L</math> אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס <math>x_0> a_n\to x_0</math> סדרת המספרים על ציר y מקיימת <math>f(a_n)\to L</math>

הגדרה זו שקולה להגדרה של קושי, כלומר הגבול שווה לL לפי קושי אם ורק אם הוא שווה לL לפי היינה.

*מרבית כללי האריתמטיקה המורחבות נובעים "בחינם" עבור פונקציות

*<math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם ורק אם <math>\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L</math>

<videoflash>KKFyEBxM9yo</videoflash>

===הפונקציות הטריגונומטריות===
*הגדרת סינוס וקוסינוס ע"י מעגל היחידה.
**<math>sin^2(x)+cos^2(x)=1</math>
**<math>sin(-x)=-sin(x),cos(-x)=cos(x)</math>
**<math>sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a),cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)</math>
**<math>sin(2x)=2sin(x)cos(x),cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)</math>

<videoflash>gnUkKM9PgPQ</videoflash>

*[[קובץ:Sin(x)_over_x.png|400px|link=https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%A9%D7%9C_sin(x)/x]]
**עבור זוית <math>0<x<\frac{\pi}{2}</math> שטח המשולש חסום בשטח הגזרה (משולש פיצה עם הקשה) שחסום בשטח המשולש:
**<math>S_{\triangle AOB}<S_{\bigcirc AOB}<S_{\triangle AOD}</math>
**<math>\frac{sin(x)}{2}<\frac{x}{2}<\frac{tan(x)}{2}</math>
***כיוון ש<math>0<sin(x)<x</math> בתחום <math>(0,\frac{\pi}{2})</math>, נובע לפי סנדוויץ' ש<math>\lim_{x\to 0^+}sin(x)=0</math>.
***כיוון שמדובר בפונקציה אי זוגית, נובע שזה גם הגבול משני הצדדים.
***כעת בתחום <math>(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math> הקוסינוס חיובית ולכן <math>cos(x)=\sqrt{1-sin^2(x)}</math> ונובע כי <math>\lim_{x\to 0}cos(x)=1</math>.
**נחלק את אי השיוויון הטריגונומטרי בסינוס ונקבל:
**<math>1<\frac{x}{sin(x)}<\frac{1}{cos(x)}</math>
**לפי כלל הסנדביץ <math>\lim_{x\to 0^+}\frac{sin(x)}{x}=1</math>
**כיוון שמדובר בפונקציה זוגית, נובע שהגבול משני הצדדים שווה 1.

*ראינו ש<math>\lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=1</math>.
*שימו לב ש<math>\lim_{x\to\infty}\frac{sin(x)}{x}=0</math>, כיוון שמדובר בחסומה חלקי שואפת לאינסוף.

<videoflash>YIU0hc8xe7I</videoflash>

===רציפות===

*רציפות.
*הגדרה:
*פונקציה f נקראית רציפה בקטע <math>[a,b]</math> אם f רציפה בכל נקודה בקטע <math>(a,b)</math> ובנוסף <math>\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)</math> וגם <math>\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)</math>

*טענה: אם f רציפה ב<math>x_0</math> אזי לכל סדרה <math>x_n\to x_0</math> (גם אם אינה שונה מ<math>x_0</math>) מתקיים כי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math>.

<videoflash>9y7T2Nmpv24</videoflash>

<videoflash>76vmO8IBYKQ</videoflash>

*גבול של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות.
**<math>f(x)=\frac{x}{x}, g(x)=0</math> מתקיים כי <math>\lim_{x\to 0}f(x)=1,\lim_{x\to 2}g(x)=0</math> אבל <math>\lim_{x\to 2}f(g(x))\neq 1</math>.

*הרכבת רציפות: תהי f רציפה ב<math>x_0</math> ותהי g רציפה ב<math>f(x_0)</math>. אזי <math>g\circ f</math> רציפה ב<math>x_0</math>.
**הוכחה:
**תהי סדרה <math>x_0\neq x_n\to x_0</math> אזי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math>
**לפי הטענה הקודמת, <math>g(f(x_n))\to g(f(x_0))</math>.

<videoflash>FA_XRcitd64</videoflash>

*פונקציות הפיכות (הוכחות והגדרות מדוייקות בבדידה).
**פונקציה <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל
**הפונקציה ההופכית היא <math>f^{-1}:[c,d]\to[a,b]</math> ומתקיים כי <math>f(x)=y</math> אם"ם <math>x=f^{-1}(y)</math>

*טענה: אם <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>, אזי <math>f^{-1}:[c,d]\to[a,b]</math> רציפה בקטע <math>[c,d]</math>.
**הוכחה:
**תהי <math>y_0\neq y_n\to y_0</math>, צ"ל ש <math>f^{-1}(y_n)\to f^{-1}(y_0)</math>
**יהי גבול חלקי <math>x_n=f^{-1}(y_n)\to L</math>.
**אזי <math>f(x_n)=y_n\to y_0</math>.
**מצד שני, לפי רציפות הפונקציה f מתקיים <math>f(x_n)\to f(L)</math>.
**לכן <math>f(L)=y_0</math> ולכן <math>L=f^{-1}(y_0)</math>.

<videoflash>qjSueXDanYs</videoflash>

===אי רציפות===

*מיון אי רציפות.
**רציפות - הגבול בנקודה שווה לערך בנקודה.
**סליקה - הגבול קיים וסופי בנקודה, אך שונה מהערך בנקודה או שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה.
**קפיצתית (מין ראשון) - הגבולות החד צדדיים קיימים סופיים ושונים בנקודה.
**עיקרית (מין שני) - אחד הגבולות החד צדדיים אינו קיים או שאינו סופי.

<videoflash>3zwjxNNr5tc</videoflash>

==פרק 5 - גזירות==

<videoflash>7FYVQ_fGyNE</videoflash>

===הגדרת הנגזרת===
*<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>
*<math>\displaystyle{\lim{h\to 0}} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\{h=x-x_0\} = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>
**הסבר לגבי שיטת ההצבה בה השתמשנו לעיל:
**נניח כי <math>\lim{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0)</math> ונוכיח כי <math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math>, והוכחה דומה בכיוון ההפוך.
**תהי <math>x_0\neq x_n\to x_0</math> נגדיר את הסדרה <math>0\neq h_n=x_n-x_0\to 0</math>.
**כיוון ש<math>\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}\to f'(x_0)</math> נובע כי <math>\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}\to f'(x_0)</math>.
*אם f גזירה בנקודה, היא רציפה בנקודה:
**צ"ל <math>\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)</math>
**לפי אריתמטיקה של גבולות זה שקול ל <math>\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=0</math>
**לפי עקרון win (קיצור של wouldn't it be nice?) מתקיים כי <math>\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0)=f'(x_0)\cdot 0 = 0</math>
*פונקציה הערך המוחלט אינה גזירה באפס
**<math>(|x|)'(0) = \lim_{h\to 0}\frac{|h|-|0|}{h}=\lim\frac{|h|}{h}</math> וגבול זה אינו קיים, כיוון שהגבולות החד צדדים שונים.
**ניתן לשים לב גם ש<math>|x|=\sqrt{x^2}</math>, וכמו כן נראה בהמשך כי<math>\sqrt{x}</math> אינה גזירה באפס.

<videoflash>nukvxlHm2kQ</videoflash>

===הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות===
*טריגו:
**<math>\lim_{h\to 0}\frac{1-cos(h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin^2(h)}{h(1+cos(h))}=\lim_{h\to 0}sin(h)\cdot \frac{sin(h)}{h}\cdot \frac{1}{1+cos(h)}=0\cdot 1 \cdot \frac{1}{2}=0</math>
**<math>(sin(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x)cos(h)+sin(h)cos(x)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}sin(x)\cdot \frac{cos(h)-1}{h} + cos(x)\cdot \frac{sin(h)}{h}=cos(x)</math>
**באופן דומה <math>(cos(x))'=-sin(x)</math>
*לוג:
**<math>\lim_{h\to 0}\frac{log(1+h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot log(1+h)=\lim_{h\to 0}log\left(\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}\right)=log(e)
</math>
***המעבר האחרון נובע מהעובדה שפונקצית הלוג רציפה.
***(בפרט נובע כי <math>\lim_{x\to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=1</math>.)
**<math>(log(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{log(x+h)-log(x)}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{log\left(\frac{x+h}{x}\right)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{x}\cdot\frac{log\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}=\frac{log(e)}{x}</math>
***בפרט נובע כי <math>(ln(x))' = \frac{1}{x}</math>
*אקספוננט:
**<math>\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} = \{t=a^h-1, h=log_a(1+t)\} = \lim_{t\to 0} \frac{t}{log_a(1+t)} = \frac{1}{log_a(e)} = \frac{1}{\frac{ln(e)}{ln(a)}}=ln(a)</math>
**<math>(a^x)' = \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}= \lim_{h\to 0}a^x\cdot \frac{a^h-1}{h}=a^x\cdot ln(a)</math>
***בפרט נובע כי <math>(e^x)'=e^x</math>.

<videoflash>pBYSLhpsz9g</videoflash>

<videoflash>NkPt_CFvuhY</videoflash>

*ישר:
**<math>(x)'=\displaystyle{\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)-x}{h} = 1}</math>

===חוקי הגזירה===

*תהיינה f,g גזירות ב<math>x_0</math> אזי:
**<math>(cf)'(x_0)=cf'(x_0)</math>
**<math>(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)</math>
**<math>(f\cdot g)'(x_0) = f'(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g'(x_0)</math>

<videoflash>iiF0siIWius</videoflash>

תהי g גזירה ב<math>x_0</math> ותהי f הגזירה ב<math>g(x_0)</math>:
*<math>(f\circ g)'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(g(x))-f(g(x_0))}{x-x_0}</math>
*תהי סדרה <math>x_0\neq x_n\to x_0</math>.
*רוצים לומר ש<math>\frac{f(g(x_n))-f(g(x_0))}{x_n-x_0}= \frac{f(g(x_n))-f(g(x_0))}{g(x_n)-g(x_0)}\cdot \frac{g(x_n)-g(x_0)}{x_n-x_0}\to f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)</math>.
*אמנם <math>g(x_n)\to g(x_0)</math> בגלל שהרציפות נובעת מהגזירות, אבל לא ידוע ש<math>g(x_n)\neq g(x_0)</math> ובמקרה זה אנחנו כופלים ומחלקים באפס.
*אם יש תת סדרה <math>a_n</math> של <math>x_n</math> עבורה <math>g(a_n)=g(x_0)</math> אזי <math>\frac{g(a_n)-g(x_0)}{a_n-x_0}=0</math> ולכן <math>g'(x_0)=0</math>.
*לכן <math>f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)=0</math>.
*כמו כן, <math>\frac{f(g(a_n))-f(g(x_0))}{a_n-x_0}=0</math>.
*לכן בכל מקרה קיבלנו כי <math>\frac{f(g(x_n))-f(g(x_0))}{x_n-x_0}\to f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)</math>
*סה"כ <math>(f\circ g)'(x_0)=f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)</math>.

<videoflash>uMPXs9PwxZ4</videoflash>

===נגזרת של חזקה===
*עבור <math>x>0</math> מתקיים <math>(x^\alpha)'=(e^{ln\left(x^\alpha\right)})' = (e^{\alpha\cdot ln(x)})' = e^{\alpha\cdot ln(x)}\cdot \frac{\alpha}{x} = x^\alpha \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha-1}</math>

*עבור חזקות בהן הביטוי מוגדר, <math>(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}</math> גם עבור <math>x\leq 0</math> (לפי תכונות של פונקציות זוגיות ואי זוגיות, ובאפס לפי חישוב ישיר).

*חזקה:
**<math>(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}</math> לכל <math>\alpha\in \mathbb{R}</math>, הוכחה בהמשך.
*בפרט:
**<math>(1)'=0</math>
**<math>(\frac{1}{x})' = (x^{-1})'=-\frac{1}{x^2}</math>
**<math>(\sqrt{x})'=(x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}</math>
** עבור <math>x>0</math> מתקיים <math>(\sqrt[3]{x})'=(x^{\frac{1}{3}})'=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}</math> וכיוון שהפונקציה אי זוגית נובע שהנגזרת שווה לביטוי הזה גם לשאר ערכי x.

<videoflash>UQnqIRrf12E</videoflash>

*דוגמא: חישוב הנגזרת של <math>x^x</math>

===נגזרת מנה===
תהיינה f,g גזירות בנקודה x כך ש <math>g(x)\neq 0</math>:
*נזכור כי <math>(\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}</math>
*אזי בנקודה x מתקיים: <math>\left(\frac{f}{g}\right)'=\left(f\cdot \frac{1}{g}\right)' = f'\cdot \frac{1}{g} + f\cdot \frac{-g'}{g^2} = \frac{f'g-g'f}{g^2}</math>

<videoflash>Iag0TdjdFnM</videoflash>

===פונקציות הופכיות ונגזרתן===

*טענה: תהי <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> הפיכה ורציפה. ונניח כי היא גזירה בנק' <math>a<x_0<b</math> כך ש <math>f'(x_0)\neq 0</math>.
:אזי <math>f^{-1}</math> גזירה בנק' <math>f(x_0)</math> ומתקיים כי
:<math>(f^{-1})'(f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)}</math> או בנוסח אחר-
:<math>(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}</math>
**הוכחה:
**<math>(f^{-1})'(f(x_0)) = \lim_{y\to f(x_0)}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(f(x_0))}{y-f(x_0)}</math>
**תהי <math>f(x_0)\neq y_n\to f(x_0)</math> ונסמן <math>x_n=f^{-1}(y_n)</math>.
**אזי מתוך רציפות וחח"ע נובע כי <math>x_0\neq x_n\to f^{-1}(f(x_0))=x_0</math>
**<math>\frac{f^{-1}(y_n)-f^{-1}(f(x_0))}{y_n-f(x_0)} = \frac{x_n-x_0}{f(x_n)-f(x_0)} \to \frac{1}{f'(x_0)}</math>

*דוגמא חשובה:
*<math>tan:(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\to\mathbb{R}</math> הפיכה וההופכית שלה נקראית <math>arctan</math>.
*<math>tan^2(x)+1 = \frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}+1 = \frac{1}{cos^2(x)}</math>
*<math>arctan'(x) = \frac{1}{\frac{1}{cos^2(arctan(x))}} = \frac{1}{tan^2(arctan(x))+1}=\frac{1}{1+x^2}</math>

*הנגזרות של <math>arcsin,arccos</math>

<videoflash>n9WMYrhb-6I</videoflash>

<videoflash>sryeJtePu_U</videoflash>

==פרק 6 - חקירה==

===משפט ערך הביניים===
*תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> כאשר <math>a<b\in\mathbb{R}</math>.
*עוד נניח כי <math>f(a)\leq 0</math> וכן <math>f(b)\geq 0</math>.
*אזי קיימת נקודה <math>c\in[a,b]</math> כך ש <math>f(c)=0</math>

*תהי f רציפה ב<math>[0,1]</math> כך ש<math>f(1)=2</math>, הוכיחו שקיימת נק' <math>c\in [0,1]</math> עבורה <math>f(c)=\frac{1}{c}</math>
**נעביר אגף ונביט בפונקציה <math>h(x)=f(x)-\frac{1}{x}</math> שצריך למצוא שורש שלה.
**<math>h(1)>0</math>.
**<math>\lim_{x\to 0^+}h(x)=f(0)-\infty=-\infty</math> ולכן קיימת נקודה <math>0<d<1</math> עבורה <math>h(d)<0</math>.
**לפי משפט ערך הביניים בקטע <math>[d,1]</math> קיימת נק' המאפסת את הפונקציה h.

<videoflash>WdKVN6R0NfU</videoflash>

<videoflash>pZXEn6KWtMY</videoflash>

===משפטי ויירשטראס===
*פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - חסומה.
*פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - מקבלת מינימום ומקסימום.

<videoflash>FPlpOmNQiAE</videoflash>

===משפט פרמה===
*אם פונקציה גזירה בנק' קיצון מקומי, הנגזרת שווה שם לאפס.
*ההפך אינו נכון, ייתכן שהנגזרת תתאפס אך בנקודה לא יהיה קיצון ואף לא פיתול.

<videoflash>Vlsum5uohMo</videoflash>

===משפט רול===
**תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> כך ש <math>f(a)=f(b)</math> אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>f'(c)=0</math>
*כלומר, פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח, שמקבלת את אותו ערך בקצוות - הנגזרת שלה מתאפסת בנקודה כלשהי בקטע הפתוח.

*לפולינום מדרגה n יש לכל היותר n שורשים שונים.

<videoflash>hmdp_jj9fx0</videoflash>

===משפט לגראנז' ותחומי עלייה וירידה===

*פונקציה f נקראת עולה בתחום A אם לכל <math>x_1<x_2\in A</math> מתקיים כי <math>f(x_1)\leq f(x_2)</math>
*פונקציה f נקראת יורדת בתחום A אם לכל <math>x_1<x_2\in A</math> מתקיים כי <math>f(x_1)\geq f(x_2)</math>

*תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
*כלומר קיימת נקודה בה השיפוע שווה לשיפוע המיתר בין שתי הנקודות בקצוות הקטע.

*תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> אזי f עולה בקטע <math>[a,b]</math> אם ורק אם <math>f'(x)\geq 0</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>
*כמו כן, באותם תנאים, אם <math>f'(x)\geq 0</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אזי <math>f(a)<f(b)</math> או שהפונקציה קבועה ב<math>[a,b]</math> ונגזרתה שווה אפס בקטע <math>(a,b)</math>

<videoflash>3DXDneBUnK8</videoflash>

*דוגמא
*יהי <math>a\in\mathbb{R}</math> מצאו כמה פתרונות יש למשוואה <math>sin(x)=x+a</math>

<videoflash>zX9XkY_mdDQ</videoflash>

===משפט קושי (לגראנז' המוכלל)===

*תהיינה f,g רציפות ב<math>[a,b]</math> וגזירות ב<math>(a,b)</math> כך ש<math>g'\neq 0</math> בקטע <math>(a,b)</math>.
*אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}</math>

*הוכחת משפט לגראנז' המוכלל, שמוכיח גם את משפט לגראנז' עצמו כמקרה פרטי.
**ראשית, כיוון ש<math>g'(x)\neq 0</math> בקטע <math>(a,b)</math> נובע לפי רול כי <math>g(a)\neq g(b)</math> ולכן מותר לחלק בהפרש ביניהם.
**<math>h(x)=f(x)-f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))</math>
**<math>h(a)=h(b)=0</math> ולכן לפי רול קיימת נק' <math>c\in (a,b)</math> עבורה <math>h'(c)=0</math> וזה מה שרצינו להוכיח.
**(שימו לב שמותר לחלק ב<math>g'(c)</math>.)
**עבור <math>g(x)=x</math> נקבל את משפט לאגראנז' הרגיל.

<videoflash>PTtcansFGJQ</videoflash>

===[[כלל לופיטל]]===
*תהיינה פונקציות כך ש <math>f,g\to 0</math> או <math>f,g\to \infty</math> ונניח כי <math>\frac{f'}{g'}\to L</math> אזי גם <math>\frac{f}{g}\to L</math>

<videoflash>PaDFSrtsOE4</videoflash>

====משפט סדרי הגודל====

*לכל <math>0<a,b</math> מתקיים כי:

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x^a}{(e^x)^b} =0} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x^a}{\ln^b(x)} =\infty} </math>

====דוגמאות נוספות====

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to 1} \frac{\ln(x)}{\sin(\pi x)} =-\frac{1}{\pi}} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x}{\sin(x)+2+x} =1} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} xe^{\frac{1}{x}} =\infty} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \sqrt[x]{x} =1} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} x\ln(x) =0} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} x^x =1} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x}+\ln(x) =\infty} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \left(\sin(x)\right)^{\tan^2(x)} =\frac{1}{\sqrt{e}}} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to(-\infty)} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} =-1} </math>

====הוכחת כלל לופיטל בשני המקרים====

<videoflash>bqLDkGRLUYI</videoflash>

<videoflash>0RjBoccpjo8</videoflash>

אהבתם חדו"א 1? אז תעופו על [[חדוא 2 - ארז שיינר|חדו"א 2]]!

ממפיס 1

2025-02-24T12:37:03Z

Dan ben hanoch: הסרת כל התוכן מהדף

ממפיס 1

2025-02-24T12:36:46Z

Dan ben hanoch: Dan ben hanoch העביר את הדף ממפיס 1 לשם זה דף מחורבש אף פעם אל תנסו להכנס אליו הוא נוצר בגלל שרציתי למחוק דף ולא הצלחתי אז העברתי אותו לכתובת שאף אחד לא ידע

#הפניה [[זה דף מחורבש אף פעם אל תנסו להכנס אליו הוא נוצר בגלל שרציתי למחוק דף ולא הצלחתי אז העברתי אותו לכתובת שאף אחד לא ידע]]

זה דף מחורבש אף פעם אל תנסו להכנס אליו הוא נוצר בגלל שרציתי למחוק דף ולא הצלחתי אז העברתי אותו לכתובת שאף אחד לא ידע

2025-02-24T12:36:46Z

אינפי לפיזיקאים
*[[מדיה:ממפיס 1 התשפה מועד א מבחן.pdf|ממפיס 1 תשפה מועד א]]
**[[מדיה:ממפיס 1 התשפה מועד א פתרון.pdf|הצעת פתרון]]

חדוא 1 - ארז שיינר

2025-02-24T12:31:05Z

Dan ben hanoch: /* מבחנים של הנדסה */

[[88-132 חשבון אינפיניטיסימלי 1]]

אהבתם חדו"א 1? אז תעופו על [[חדוא 2 - ארז שיינר|חדו"א 2]]!
[[עץ|סיכומים של עץ(הו הו הו הו הו)]]

=תרגילי הכנה למבחן ופתרונותיהם=

*[[מדיה:22Calc1QnA.pdf| עשרות תרגילי הכנה למבחן עם פתרונות מלאים]]

=מבחנים ופתרונות=

===מערכי תרגול עם פתרונות===
*[[חשבון אינפיניטיסימלי 1 - מערך תרגול|מערכי תרגול]]

===מבחנים של מתמטיקה===
*[[מדיה:מבחן_ללא_פתרון_אינפי_1_בועז_צבאן_התשפה_מועד_א.pdf |מבחן תשפ"ה אינפי בועז צבאן מועד א]] ו[[מדיה:מבחן_2025_אינפי_בועז_צבאן_מועד_א.pdf |פתרונו על ידי פרופסור בועז צבאן]]
*[[מדיה:מועד_א_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|מבחן מועד א' החממה תשפ"א]], [[מדיה:Solמועד_א_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:מועד_ב_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|מבחן מועד ב' החממה תשפ"א]], [[מדיה:solמועד_ב_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:21HamamaExmpTest.pdf|פתרון מבחן לדוגמא החממה תשפ"א]]
*[[מדיה: Infi1 tihon 2019A.pdf |מבחן מועד א תשע"ט]], [[מדיה: Infi1 tihon 2019Asol.pdf |פתרון]]
*[[מדיה:17Infi1DumbTest.pdf|מבחן דמה תשע"ז]], [[מדיה:17Infi1DumbTestSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:17Infi1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ז]], [[מדיה:17Infi1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:17Infi1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ז]], [[מדיה:17Infi1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:Calc1_2016a_exam.pdf | מבחן מועד א' תשע"ו]], [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/Infi2_76aSol.pdf פתרון המרצה], [[מדיה:Calc1_2016a_sols.pdf | פתרון המתרגלים]], [[מדיה:Calc1_2016a_sols_erez.pdf | פתרון ארז שיינר]]
*[[מדיה:אינפי_1_-_מועד_א%27_תשעג.pdf|מבחן מועד א' תשע"ג]], [[מדיה:Infi1TashagMoedASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה: infi1Exams3.pdf | מבחן מועד ב' תשע"ג]], [[מדיה: infi1Exams3Sol.pdf | פתרון חלקי]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/דמה1|מבחן דמה למתמטיקאים תשע"ב]], [[מדיה:tashabfaketestAsol.pdf|פתרון]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/דמה2|מבחן דמה נוסף תשע"ב]], [[מדיה:tashabfaketestBsol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה: infi1Exams1.pdf | מועד מיוחד תשע"ב]], [[מדיה:tashabspecialtestsol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה: infi1Exams2.pdf | מועד א' תשע"ב]], [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מתמטיקאים|פתרון]]
*[[מבחן אינפי 1 סמסטר א' מועד ב' תשע"ב| מועד ב' למתמטיקאים תשע"ב כולל פתרון]]
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד א'|מבחן מועד א' החממה תשע"א פתרון]]
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד ב'|מבחן מועד ב' החממה תשע"א פתרון]]
*[[פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א, |פתרון תשס"ב, מועד א]]
*[[פתרון אינפי 1, תשס"ג, מועד ב, |פתרון תשס"ג, מועד ב]]
*[[פתרון אינפי 1, תשנ"ט, מועד ב, |פתרון תשנ"ט, מועד ב]]
*[[פתרון אינפי 1, תש"נ |פתרון תש"נ, אין מועד]]
*[[אינפי 1, תשנ"ו מועד ב' - פתרון (זלצמן)|פתרון תשנ"ו, מועד ב']]

===מבחנים של מדמ"ח===
*[[מדיה:2489132TestA.pdf|מועד א' סמסטר ב' תשפ"ד]]
*[[מדיה:21Infi1CSSummerA.pdf|מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21Infi1CSSummerASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:21Infi1CSSummerB.pdf|מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21Infi1CSSummerBSol.pdf|פתרון חלקי]]
*[[מדיה:infi1moedExmp2021CS.pdf|מבחן לדוגמא תשפ"א]], [[מדיה:infi1moedExmp2021CSSol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא תשפ"א]]
*[[מדיה:infi1moedA2021CS.pdf|מועד א' תשפ"א]], [[מדיה:infi1moedA2021CSSol.pdf|פתרון מועד א' תשפ"א]]
*[[מדיה:infi1moedB2021CS.pdf|מועד ב' תשפ"א]], [[מדיה:infi1moedB2021CSSol.pdf|פתרון מועד ב' תשפ"א]]
*[[מדיה:infi1moedC2021CS.pdf|מועד ג' תשפ"א]], [[מדיה:infi1moedC2021CSSol.pdf|פתרון מועד ג' תשפ"א]]
*[[מדיה:19CSInfi1dumbtest.pdf|מבחן לדוגמא תש"ף]], [[מדיה:19CSInfi1dumbtestSol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא תש"ף]]
*[[מדיה:19CSInfi1A.pdf|מבחן מועד א' תש"ף]], [[מדיה:19CSInfi1ASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תש"ף]]
*[[מדיה:16CSInfi1ASol.pdf|פתרון מבחן מועד ג' תשע"ז]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעג/פתרון מועד א - גרסת שנפס|מועד א' תשע"ג פתרונות בלבד]]
*[[מדיה:TashagInfiCsexmtest.pdf|מבחן דמה תשע"ג]], [[מדיה:TashagInfiCsexmtestSol.pdf|פתרון מבחן דמה תשע"ג]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמח|מבחן מדמ"ח מועד א' תשעב ופתרונו]].

===מבחנים של הנדסה/פיזיקה===
*[[83-112 חדו"א 1 להנדסה/נושאי הקורס|מבחנים בחדו"א 1 של הנדסה]] - שאלות 2,6 אינן רלונטיות לקורס זה
*[[ממפיס 1]]

===מבחנים של אנליזה למורים===
*[[מבחנים בקורס אנליזה 1 למורים]] - אמנם כלל השאלות רלוונטיות, אולם הרמה הכולל של המבחנים נמוכה יותר מקורס זה

=== הצעות פתרון למבחנים מהשנים תשע"ה-תשפ"ב (תיכוניסטים) ===
ע"י לירן מנצורי ויונתן סמידוברסקי
*[[מדיה:מבחן_תשפב_מועד_א_יונתן_סמידוברסקי.pdf| מבחן תשפ"ב מועד א']]
*[[מדיה:מבחן_תשפא_מועד_א.pdf| מבחן תשפ"א מועד א']] (XI)
*[[מדיה:מבחן_תשפא_מועד_א.pdf| מבחן תשפ"א מועד א']] (XI)
*[[מדיה:מבחן_תשעט_מועד_ב_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ט מועד ב']]
*[[מדיה:פתרון_תשעט_מועד_א_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf| מבחן תשע"ט מועד א']]
*[[מדיה:תשעח_מועד_ב_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf | מבחן תשע"ח מועד ב']]
*[[מדיה:תשעח_מועד_א_יונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ח מועד א']]
*[[מדיה:פתרון_תשעז_מועד_ב_לירן מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ז מועד ב']]
*[[מדיה:מבחן_תשעז_מועד_א_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ז מועד א']]
*[[מדיה:פתרון_מבחן_תשעו_מועד_ב_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ו מועד ב']]
*[[מדיה:פתרון_מבחן_תשעו_מועד_א_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ו מועד א']]
*[[מדיה:תיקון_תשעה_מועד_ב_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ה מועד ב']]
*[[מדיה:תשעה_מועד_א'_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ה מועד א']]

===מבחנים מאוניברסיטאות שונות===
*[[אינפי 1 - מבחנים מאוניברסיטאות שונות]]

=סרטוני ותקציר ההרצאות=

[https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-sR6S1JZDECwwzGk6Z4NXWe פלייליסט של כל הסרטונים]

[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hkSHBU2VSWetKIVS1oyDT2c פלייליסט ההרצאות של אינפי 1 למדמח תשפ"א]

==פרק 1 - מספרים וחסמים==

===קבוצות מספרים===

*הטבעיים <math>\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}</math>
*השלמים <math>\mathbb{Z}=\{0,-1,1,-2,2,...\}</math>
*הרציונאליים <math>\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{n}|p\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}\right\}</math>
*הממשיים <math>\mathbb{R}</math>, כל השברים העשרוניים כולל האינסופיים

*העשרה: בנייה של שדה הממשיים באמצעות [[חתכי דדקינד]]

<videoflash>iEux7Zo_7Iw</videoflash>

*לא קיים <math>x\in\mathbb{Q}</math> כך ש <math>x^2=2</math>.
*במילים פשוטות, <math>\sqrt{2}</math> אינו רציונאלי (בהמשך נוכיח שיש מספר ממשי כזה).

<videoflash>20KPM0pRTHc</videoflash>

===חזקות ולוגריתמים===
*לכל מספר ממשי <math>x\in\mathbb{R}</math> ולכל מספר טבעי <math>n\in\mathbb{N}</math> נגדיר <math>x^n=x\cdots x</math> כפל n פעמים
*לכל מספר ממשי אי שלילי <math>0\leq x\in\mathbb{R}</math> ולכל מספר טבעי <math>n\in\mathbb{N}</math> נגדיר <math>x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}</math> כלומר המספר האי שלילי שבחזקת n שווה לx.
*לכל מספר ממשי אי שלילי <math>0\leq x\in\mathbb{R}</math> ולכל זוג מספרים טבעיים <math>n,k\in\mathbb{N}</math> נגדיר <math>x^{\frac{n}{k}}=\sqrt[k]{x^n}</math>
*לכל מספר ממשי <math>x\in\mathbb{R}</math> נגדיר <math>x^0=1</math>

*מה לגבי חזקות ממשיות אי רציונליות?
*נגדיר אותן באמצעות גבול של חזקות רציונאליות

*לכל מספר ממשי <math>x\in\mathbb{R}</math> ולכל חזקה ממשית שלילית <math>-a<0</math> נגדיר <math>x^{-a}=\frac{1}{x^a}</math>

<videoflash>vHNsel0dKHk</videoflash>

*לכל <math>0<a\neq 1</math> נגדיר את <math>log_a(x)</math> להיות המספר שa בחזקתו שווה לx.
*חוקי לוגים:
**<math>log_a(x)+log_a(y)=log_a(xy)</math>
**<math>log_a(x)-log_a(y)=log_a\left(\frac{x}{y}\right)</math>
**<math>log_a(x^y)=y log_a(x)</math>
**<math>\log_a(x)=\frac{log_b(x)}{log_b(a)}</math>
**<math>log_a(x)=y</math> אם ורק אם <math>x=a^y</math>

===חסמים===

*תהי <math>A\subseteq \mathbb{R}</math> אזי:
**<math>M\in\mathbb{A}</math> נקרא '''המקסימום''' של A או '''האיבר הגדול ביותר''' של A אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים כי <math>a\leq M</math>
**<math>M\in\mathbb{R}</math> נקרא '''חסם מלעיל''' של A אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים כי <math>a\leq M</math>
**<math>m\in\mathbb{A}</math> נקרא '''המינימום''' של A או '''האיבר הקטן ביותר''' של A אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים כי <math>a\geq m</math>
**<math>m\in\mathbb{R}</math> נקרא '''חסם מלרע''' של A אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים כי <math>a\geq m</math>

*כמו כן:
**אם יש איבר קטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל של A הוא נקרא '''החסם העליון''' של A, או '''הסופרמום''' של A ומסומן <math>\sup(A)</math>
**אם יש איבר גדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע של A הוא נקרא '''החסם התחתון''' של A, או '''האינפימום''' של A ומסומן <math>\inf(A)</math>

<videoflash>WdKqIf8xGeY</videoflash>

*בשדה הממשיים לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל יש חסם עליון, ולכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלרע יש חסם תחתון.
*בשדה הרציונאליים זה לא נכון; לקבוצה <math>A=\{x\in\mathbb{Q}|x^2<2\}</math> אין מספר רציונאלי קטן ביותר מבין חסמי המלעיל שלה.

<videoflash>7cz-S6GWg3Y</videoflash>

*תהי <math>A\subseteq \mathbb{R}</math> ויהי <math>M\in\mathbb{R}</math> אזי:
**M הוא החסם העליון של A אם ורק אם M הוא חסם מלעיל של A ולכל מספר <math>M-\varepsilon<M</math> קיים מספר <math>a\in A</math> כך ש <math>a>M-\varepsilon</math>
**m הוא החסם התחתון של A אם ורק אם m הוא חסם מלרע של A ולכל מספר <math>m<m+\varepsilon</math> קיים מספר <math>a\in A</math> כך ש <math>a<m+\varepsilon</math>

*דוגמא: תהיינה <math>\emptyset\neq A,B\subseteq\mathbb{R}</math> חסומות מלעיל כך שA אינה מכילה חסמי מלעיל של B, אזי <math>\sup(A)\leq\sup(B)</math>

<videoflash>mVCNRtV7TP0</videoflash>

===שיטות הוכחה בסיסיות===

*[[שיטות הוכחה בסיסיות]]

*הוכחת טענות מכומתות - טענות 'לכל' וטענות 'קיים'

<videoflash>QIwz6eyrcuI</videoflash>

==פרק 2 - סדרות==

===הגדרת הגבול===

*הגדרת הגבול של סדרה:
*תהי סדרה ממשית <math>a_n</math> ויהי מספר ממשי <math>L\in\mathbb{R}</math>.
*<math>L</math> הינו גבול הסדרה <math>a_n</math> (מסומן <math>\lim a_n=L</math> או <math>a_n\to L</math>) אם:
**לכל סביבה של הגבול, קיים מקום בסדרה שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה הנתונה, כלומר:
**לכל מרחק <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום <math>K\in\mathbb{N}</math> כך שאחריו לכל <math>n>K</math> מתקיים כי <math>|a_n-L|<\varepsilon</math>

<videoflash>mMVBYUDmSA0</videoflash>

*נגדיר ש<math>a_n\to\infty</math> אם לכל <math>M>0</math> קיים <math>K\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>K</math> מתקיים כי <math>a_n>M</math>
*נגדיר ש<math>a_n\to -\infty</math> אם <math>-a_n\to\infty</math>

*טענה: תהי <math>a_n\to \infty</math> אזי <math>\frac{1}{a_n}\to 0</math>
*טענה: תהי <math>0\neq a_n\to 0</math> אזי <math>\frac{1}{|a_n|}\to\infty</math>

<videoflash>U5RUHjrHVGI</videoflash>

*אם <math>a_n\to L_1</math> וכן <math>a_n\to L_2</math> אזי <math>L_1=L_2</math>

<videoflash>YE52OP_xPDA</videoflash>

*סדרה המתכנסת לגבול סופי חסומה.

<videoflash>CZnYbF1Lm7k</videoflash>

*<math>a_n\to L \iff a_{n+1}\to L</math>
*בפרט, כל שינוי, תוספת או החסרה של מספר סופי של איברים לא משפיע על גבול הסדרה.

<videoflash>nHaq8E0vGJA</videoflash>

*תהי סדרה<math>a_n</math> המתכנסת לגבול סופי והמקיימת לכל <math>n</math> כי <math>a<a_n</math> אזי <math>\lim a_n\geq a</math>

===שאיפה לאפס===

*תהי סדרה <math>a_n</math> ויהי <math>L\in\mathbb{R}</math> אזי <math>a_n\to L</math> אם ורק אם <math>|a_n-L|\to 0</math>
**בפרט <math>a_n\to 0</math> אם ורק אם <math>|a_n|\to 0</math>

*תהי <math>a_n\to 0</math> ותהי <math>b_n</math> חסומה, אזי <math>a_nb_n\to 0</math>

*תהיינה <math>a_n,b_n\to 0</math> אזי גם <math>a_n+b_n\to 0</math>

<videoflash>3QSMzWlG-yI</videoflash>

===משפטי סנדביץ'===

*משפט הסנדביץ' -
**תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי <math>a_n\leq b_n \leq c_n</math>
**כמו כן, יהי <math>L\in\mathbb{R}</math> כך ש <math>a_n,c_n\to L</math>
**אזי <math>b_n\to L</math>
*חצי סנדביץ'-
**תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי <math>a_n\leq b_n</math>
**כמו כן נתון כי <math>a_n\to\infty</math>
**אזי <math>b_n\to \infty</math>
*חצי סנדביץ' על הרצפה -
**תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי <math>|a_n|\leq b_n</math>
**כמו כן נתון כי <math>b_n\to 0</math>
**אזי <math>a_n\to 0</math>

<videoflash>AVvOiLm5COA</videoflash>

===מבוא לחשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)===
*תהיינה <math>b_n\to L_b\in \mathbb{R}</math>, <math>a_n\to L_a\in \mathbb{R}</math> אזי
**<math>a_n+b_n\to L_a+L_b</math>
**<math>a_n\cdot b_n \to L_a\cdot L_b</math>
**אם <math>L_b\neq 0</math> אזי <math>\frac{a_n}{b_n}\to\frac{L_a}{L_b}</math>

<videoflash>Hf14pSb3zDM</videoflash>

===אינדוקציה===

*משפט האינדוקציה המתמטית
*תהי סדרת טענות כך שמתקיימים שני התנאים הבאים:
**הטענה הראשונה נכונה.
**לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> אם הטענה הn מתקיימת אז גם הטענה הn+1 מתקיימת.
*אזי כל הטענות בסדרה נכונות

*אי שיוויון ברנולי: יהי <math>-1<x\in\mathbb{R}</math> אזי לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>(1+x)^n\geq 1+nx</math>

<videoflash>n6xkPhKmhQo</videoflash>

===חזקת אינסוף===

*תהי <math>0<a_n\to a</math> אזי:
**אם <math>a>1</math> מתקיים כי <math>(a_n)^n \to \infty</math>
**אם <math>a<1</math> מתקיים כי <math>(a_n)^n\to 0</math>
*שימו לב כי ייתכן ו<math>1<a_n\to 1</math>, כלומר איברי הסדרה גדולים מ1 אך גבולה הוא 1 ואז המשפט אינו תקף.

<videoflash>hFa7Nv5o05M</videoflash>

===כלל המנה===

*כלל המנה (הוכחה בסיכום הבא על [[אי-שוויון הממוצעים]]).
**תהי סדרה <math>a_n</math> המקיימת כי '''גבול''' המנה הוא <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to L</math> אזי:
***אם <math>1<L\leq\infty</math> מתקיים כי <math>|a_n|\to\infty</math>
***אם <math>0\leq L<1</math> מתקיים כי <math>a_n\to 0</math>
***מתקיים כי <math>\sqrt[n]{|a_n|}\to L</math>

*דוגמאות:
**<math>\frac{n}{2^n}\to 0</math>
**<math>\sqrt[n]{n}\to 1</math>
**עבור <math>a>0</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{a}\to 1</math>
**<math>\sqrt[n]{n!}\to \infty</math>

<videoflash>Shmc2BtEGBE</videoflash>

===חזקות של גבולות===

*יהי <math>0<a\in\mathbb{R}</math> ותהי <math>b_n\to 0</math> אזי <math>a^{b_n}\to 1</math>
**רעיון הוכחה: אם <math>a\geq 1</math> אזי <math>a^{-\frac{1}{m}}\leq a^{b_n}\leq a^{\frac{1}{m}}</math> והרי <math>\sqrt[m]{a}\to 1</math> לפי כלל המנה

*יהי <math>0<a\in\mathbb{R}</math> ותהי <math>b_n\to L\in \mathbb{R}</math> אזי <math>a^{b_n}\to a^L</math>
**רעיון הוכחה: <math>a^{b_n} = a^{b_n-L}\cdot a^L\to 1\cdot a^L</math>

*תהי <math>a_n\to 1</math> ותהי <math>b_n\to L\in\mathbb{R}</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to 1</math>
**רעיון הוכחה:<math>a_n^{[L]-1}\leq a_n^{b_n}\leq a_n^{[L]+1}</math> לפי חשבון גבולות (כפל) שני הצדדים שואפים ל1. (אם <math>a_n<1</math> אי השיוויון הפוך).

*תהי <math>a_n\to a>0</math> ותהי <math>b_n\to L\in\mathbb{R}</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to a^L</math>
**רעיון הוכחה: <math>a_n^{b_n}=\left(\frac{a_n}{a}\right)^{b_n} \cdot a^{b_n} \to 1\cdot a^L</math>

*תהי <math>0\leq a_n\to 0</math> ותהי <math>b_n\to L>0</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to 0</math>
**רעיון הוכחה: החל משלב מסויים <math>0\leq a_n^{b_n}\leq \frac{1}{m^{\frac{L}{2}}} </math>

===סדרות מונוטוניות והמספר e===
*כל סדרה מונוטונית הינה חסומה מתכנסת לגבול סופי, או שאינה חסומה ושואפת לגבול אינסופי.

*דוגמא: נביט בסדרה <math>a_1>0,\ a_{n+1}=a_n^2+a_n</math>
**כיוון ש <math>a_{n+1}-a_n=a_n^2\geq 0</math> מדובר בסדרה מונוטונית עולה.
**אם הסדרה חסומה:
***קיים לה גבול סופי <math>a_n\to L</math>
***נחשב את גבול שני צידי המשוואה <math>a_{n+1}=a_n^2+a_n</math>
***לכן <math>L=L^2+L</math> ולכן <math>L=0</math>
***אבל הסדרה עולה וחסומה מלמטה ע"י האיבר הראשון ולכן <math>L\geq a_1</math>
***כלומר <math>L=0<a_1\leq L</math> בסתירה.
**מכאן הסדרה אינה חסומה, וכיוון שהיא עולה <math>a_n\to\infty</math>

<videoflash>pTVTkSlxJdI</videoflash>

*[[המספר e]] (הוכחות בעזרת [[אי-שוויון הממוצעים]]).

<videoflash>v7tyKNPU-7I</videoflash>

*<math>2<e<4</math>.

<videoflash>6TohAEqQwsk</videoflash>

===תתי סדרות וגבולות חלקיים===
====הגדרת גבול חלקי====
*לכל סדרת מקומות <math>k_n\in\mathbb{N}</math> המקיימת לכל <math>n</math> כי <math>k_n<k_{n+1}</math> נגדיר כי <math>a_{k_n}</math> הינה תת סדרה של הסדרה <math>a_n</math>
*שימו לב כי מקומות תת הסדרה הם באותו הסדר כמו בסדרה המקורית, ואסור לחזור על איבר פעמיים.

*לדוגמא:
**נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math>
**אזי <math>a_{2n}=(-1)^{2n}=1</math> היא תת הסדרה של האיברים במקומות הזוגיים <math>k_n=2n</math>

*נגדיר ש<math>L</math> הוא גבול חלקי של הסדרה <math>a_n</math> אם קיימת תת סדרה <math>a_{k_n}</math> כך ש <math>a_{k_n}\to L</math>

*טענה - יהי <math>L</math> סופי או אינסופי, אזי:
**<math>a_n\to L</math> אם ורק אם לכל תת סדרה <math>a_{k_n}</math> מתקיים כי <math>a_{k_n}\to L</math>

<videoflash>rvdm2_7g-7I</videoflash>

====משפט בולצאנו-ויירשטראס====
*לכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית.

*משפט בולצאנו-ויירשטראס - לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת.

<videoflash>R491ZyCHhBs</videoflash>

====גבול עליון וגבול תחתון====

*תהי סדרה <math>a_n</math>
*נגדיר את הגבול העליון שלה (limsup):
**אם <math>a_n</math> אינה חסומה מלעיל אזי <math>\overline{\lim}a_n=\infty</math>
**אם <math>a_n</math> חסומה מלעיל ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את <math>\overline{\lim}a_n</math> להיות החסם העליון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה
**אחרת, נגדיר <math>\overline{\lim}a_n=-\infty</math>
*נגדיר את הגבול התחתון שלה (liminf):
**אם <math>a_n</math> אינה חסומה מלרע אזי <math>\underline{\lim}a_n=-\infty</math>
**אם <math>a_n</math> חסומה מלרע ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את <math>\underline{\lim}a_n</math> להיות החסם התחתון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה
**אחרת, נגדיר <math>\underline{\lim}a_n=\infty</math>

*לכל גבול חלקי L של הסדרה מתקיים כי:
*<math>\underline{\lim}a_n\leq L\leq \overline{\lim}a_n</math>

<videoflash>n71Zy87PbEE</videoflash>

*הגבול העליון והגבול התחתון הם גבולות חלקיים (כלומר יש תת סדרה ששואפת לגבול העליון, ויש תת סדרה ששואפת לגבול התחתון).

<videoflash>zF_5NdFJbAg</videoflash>

*לכל <math>-\infty\leq L\leq \infty</math> מתקיים כי <math>a_n \to L</math> אם ורק אם <math>\underline{\lim}a_n=\overline{\lim}a_n=L</math>

<videoflash>j4C_2yvKpN0</videoflash>

====תתי סדרות המכסות סדרה====

*אם ניתן לחלק סדרה למספר סופי של תתי סדרות המכסות את כולה, וכולן שואפות לאותו הגבול - אזי הסדרה כולה שואפת לגבול זה.
*ייתכן שניתן לחלק סדרה לאינסוף תתי סדרות שכולם שואפות לאותו הגבול, אך הסדרה לא תשאף לגבול זה.

<videoflash>Y0Jpalk44do</videoflash>

===כלל הe===

*תהי <math>0\neq a_n\to 0</math> אזי <math>(1+a_n)^{\frac{1}{a_n}}\to e</math>

<videoflash>y7yPjqyGOIg</videoflash>

*אם <math>a_n\to 1</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to e^{\lim b_n\cdot(a_n-1)}</math>
**<math>a_n^{b_n}=\left[\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\right]^{ b_n\cdot (a_n-1)}</math>.
**<math>\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\to e</math> בין אם <math>a_n-1</math> שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.
**שימו לב שאם <math>a_n=1</math>, אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק ב<math>a_n-1</math> ששווה אפס.

*דוגמא:
**<math>\lim\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n=e^{\lim n\cdot\left(\frac{n+1}{n-2}-1\right)}=e^{\lim\frac{3n}{n-2}}=e^3</math>

<videoflash>5V4EmQIdE90</videoflash>

===חשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)===

*אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
**חסומה כפול אפיסה = אפיסה
**חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
**<math>\infty+\infty=\infty</math>
**<math>\infty\cdot\infty=\infty</math>
**<math>\infty^\infty=\infty</math>
**<math>\frac{1}{0}\neq\infty</math>
**<math>\frac{1}{0^+}=\infty</math>
**<math>0^\infty = 0</math>
**אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
**יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
**אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
**אינסוף בחזקת מספר חיובי זה אינסוף
**סדרה השואפת לגבול גדול מאחד, בחזקת אינסוף זה אינסוף.
**סדרה השואפת לגבול בין מינוס אחד לאחד לא כולל, בחזקת אינסוף, זה אפס.

====המקרים הבעייתיים====
*המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
**<math>\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty</math>

===קריטריון קושי לסדרות===

*דוגמא: הסדרה <math>a_n=\sqrt{n}</math> מקיימת כי <math>a_{n+1}-a_n\to 0</math> אך היא אינה מתכנסת למספר סופי אלא שואפת לאינסוף.

*הגדרה: סדרה <math>a_n</math> מקיימת את '''קריטריון קושי''' (ונקראת '''סדרת קושי''') אם:
*לכל מרחק <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום <math>K\in\mathbb{N}</math> כך שאחריו לכל זוג מקומות <math>m>n>K</math> מתקיים כי <math>|a_m-a_n|<\varepsilon</math> (המרחק בין האיברים במקומות הללו קטן מאפסילון).

*משפט: בממשיים, סדרה מתכנסת לגבול סופי אם ורק אם היא סדרת קושי.

*תרגיל: תהי סדרה המקיימת לכל n כי <math>|a_{n+1}-a_n|<\frac{1}{2^n}</math> אזי היא מתכנסת למספר סופי.

<videoflash>S56cCgc9U38</videoflash>

==פרק 3 - טורים==
[https://youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-t4S3UxsuuifepjuWgbJ7_5 פלייליסט של כל טורים]
===מבוא והגדרה===
<videoflash>E3DLm1YxOko</videoflash>

*תהי סדרה <math>a_n</math>, נגדיר את '''סדרת הסכומים החלקיים''' (סס"ח בקיצור) של <math>a_n</math> ע"י
**<math>S_1=a_1</math>
**ולכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים <math>S_{n+1}=S_n+a_{n+1}</math>
*במילים אחרות, <math>S_n = \sum_{k=1}^n a_k</math>

*הגדרת הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math>
**אומרים כי <math>\sum_{k=1}^\infty a_k =L</math> אם <math>\lim S_n = L</math>
*אם לסס"ח יש גבול סופי אומרים כי הטור מתכנס, ואילו אם אין לה גבול סופי אומרים כי הטור מתבדר.
*שימו לב כי בעצם:
**<math>\sum_{k=1}^\infty a_k = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n a_k</math>

*אם הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס, אזי <math>a_n\to 0</math>
*הוכחה:
**<math>S_n,S_{n+1}\to L</math>
**לכן <math>a_{n+1}=S_{n+1}-S_n\to L-L=0</math>

*<math>\sum_{k=1}^\infty a_k = a_1 + \sum_{k=2}^\infty a_k</math>
*מסקנה: שינוי מספר סופי של איברי הטור לא משפיע על התכנסות, אבל '''כן משפיע''' על סכום הטור.

<videoflash>v-qwJWYvuNY</videoflash>

====חשבון טורים====

*אם הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס, ו<math>c\in\mathbb{R}</math> קבוע אזי
**<math>\sum_{k=1}^\infty c\cdot a_k = c\cdot \sum_{k=1}^\infty a_k</math>

*אם הטורים <math>\sum_{k=1}^\infty a_k,\ \sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנסים אזי
**<math>\sum_{k=1}^\infty (a_k+b_k) = \sum_{k=1}^\infty a_k + \sum_{k=1}^\infty b_k</math>

====הטור ההנדסי====
*הטור <math>\sum_{k=0}^\infty x^k</math> מתכנס אם ורק אם <math>|x|<1</math> וכאשר הוא מתכנס מתקיים כי:
**<math>\sum_{k=0}^\infty x^k = \frac{1}{1-x}</math> וכמו כן <math>\sum_{k=1}^\infty x^k = \frac{x}{1-x}</math>

<videoflash>suDMRh69Lgc</videoflash>

====טור מקל סלפי (טלסקופי)====

*חישוב <math>\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^2 -k}</math> על ידי הסס"ח הטלסקופי

*חישוב <math>\sum_{k=1}^\infty \ln\left(\frac{k}{k+1}\right)</math> על ידי הסס"ח הטלסקופי

<videoflash>uZHNxYO7S-Q</videoflash>

====העשרה על סוגי סכימה====

<videoflash>54MQXVhM9vU</videoflash>

===התכנסות בהחלט===
*משפט: אם טור הערכים המוחלטים <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math> מתכנס, אזי גם הטור המקורי <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס.

*הגדרה:
**הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> נקרא '''מתכנס בהחלט''' אם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס וגם <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math> מתכנס
**הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> נקרא '''מתכנס בתנאי''' אם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס אך <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math> מתבדר
**הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> נקרא '''מתבדר''' אם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתבדר וגם <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math> מתבדר

<videoflash>OFcOpUNprTo</videoflash>

*משפט: (הכללת אי שיוויון המשולש) יהי טור מתכנס בהחלט, אזי:
*<math>\left|\sum_{k=0}^\infty a_k\right|\leq \sum_{k=0}^\infty |a_k|</math>

*הוכחה:
*לפי אי שיוויון המשולש, לכל n סופי מתקיים כי
*<math>\left|\sum_{k=0}^n a_k\right|\leq \sum_{k=0}^n |a_k|</math>
*ולכן גם הגבול של הסדרה השמאלית קטן או שווה לגבול של הסדרה הימנית, וזו התוצאה שרצינו.

===מבחני התכנסות לטורים חיוביים===

====הקדמה והטור ההרמוני====
*הגדרה: טור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> נקרא טור חיובי אם לכל n מתקיים כי <math>a_n\geq 0</math>.
*סדרת הסכומים החלקיים של טור חיובי היא מונוטונית עולה, לכן הטור מתכנס אם ורק אם היא חסומה.

*לסס"ח של הטור ההרמוני <math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}</math> יש תת סדרה ששואפת לאינסוף, ולכן הטור מתבדר:
**<math>\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}\geq \frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}</math>
**<math>S_1 =1\geq \frac{1}{2}</math>
**<math>S_2 =1+\frac{1}{2}\geq 2\cdot \frac{1}{2}</math>
**<math>S_4 =1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\geq 3\cdot \frac{1}{2}</math>
**...
**באופן כללי <math>S_{2^{n-1}}\geq n\cdot \frac{1}{2}\to\infty</math>

<videoflash>M3B6018c-4g</videoflash>

====מבחני ההשוואה====

*מבחן ההשוואה הראשון-
*תהיינה סדרות כך ש <math>0\leq a_n\leq b_n</math> לכל n. אזי:
** אם הטור הגדול יותר <math>\sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנס בוודאי הטור הקטן יותר <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס.
** נובע מכך לוגית שאם הטור הקטן מתבדר, הטור הגדול מתבדר.

*דוגמא:
**<math>\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n^2-n}</math>
**ראינו שהטור החיובי <math>\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^2-k}</math> מתכנס ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון גם הטור החיובי <math>\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}</math> מתכנס

*מבחן ההשוואה הגבולי-
*תהיינה סדרות <math>0\leq a_n,b_n</math> כך ש <math>\frac{a_n}{b_n}\to c</math> אזי:
** אם <math>c=\infty</math> אזי <math>a_n>b_n</math> החל משלב מסויים, ולכן אם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס גם <math>\sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנס
** אם <math>c=0</math> אזי <math>a_n<b_n</math> החל משלב מסויים, ולכן אם <math>\sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנס גם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס
** אחרת, <math>0<c\in\mathbb{R}</math> והטורים '''חברים''' <math>\sum_{k=1}^\infty a_k ~ \sum_{k=1}^\infty b_k</math>, כלומר <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס אם ורק אם <math>\sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנס

*דוגמא:
**<math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\left(\sqrt[k]{k!}\right)^2} \sim \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}</math>

<videoflash>DDOups05oms</videoflash>

====מבחני השורש והמנה====

*יהי טור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math>

*מבחן המנה -
**אם <math>\overline{\lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1</math> אזי הטור '''מתכנס בהחלט'''
**אם <math>\underline{\lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1</math> אזי <math>a_n\not\to 0</math> ולכן הטור '''מתבדר'''

*מבחן השורש -
**אם <math>\overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}<1</math> אזי הטור '''מתכנס בהחלט'''
**אם <math>\overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}>1</math> אזי <math>a_n\not\to 0</math> ולכן הטור '''מתבדר'''

*שימו לב - במבחן השורש לוקחים את הגבול העליון בשני המקרים, ובמבחן המנה צריך שהעליון יהיה קטן מאחד, או התחתון גדול מאחד. זו לא טעות...

<videoflash>Y7k-a29_03g</videoflash>

====מבחן העיבוי====

*מבחן העיבוי-
**תהי <math>0\leq a_n</math> סדרה '''מונוטונית''' יורדת אזי הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס אם ורק אם <math>\sum_{k=1}^\infty 2^k \cdot a_{(2^k)}</math> מתכנס

*הוכחה:
** ראשית, נוכיח באינדוקציה כי <math>\sum_{k=1}^n 2^{k-1}a_{2^k} \leq \sum_{k=2}^{2^n} a_k</math> כלומר
**<math> a_2 + 2\cdot a_4 +4\cdot a_8+... = a_2 + a_4 + a_4 +a_8 + a_8 + a_8 + a_8 + ... \leq a_2 + a_3 + a_4 +a_5 + a_6 +a_7 +a _8 +...</math>
**כעת נוכיח באינדוקציה כי <math>\sum_{k=0}^{n-1} 2^k a_{2^k}\geq \sum_{k=1}^{2^n-1}a_k</math>
*סה"כ אם הטור האחד מתכנס, הסס"ח של השני חסומה ולכן גם השני מתכנס.

<videoflash>UozGPSlW8fM</videoflash>

=====הטור ההרמוני המוכלל=====

*הטור <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^a}</math> מתכנס אם ורק אם <math>a>1</math>

*דוגמאות:

*<math>\sum_{k=2}^\infty\frac{1}{k\cdot\ln(k)}</math>

*<math>\sum_{k=2}^\infty\frac{1}{\ln(k!)}</math>

*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|עוד דוגמאות]]

===מבחני התכנסות לטורים כלליים===

====מבחן דיריכלה====

*תהי סדרה <math>a_n\to 0</math> סדרה '''מונוטונית''' יורדת לאפס
*תהי סדרה <math>b_n</math> כך ש'''הסס"ח''' שלה חסומה, כלומר קיים <math>M>0</math> כך שלכל n מתקיים <math>|S_n|=\left|\sum_{k=1}^nb_k\right|<M</math>
*אזי הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_kb_k</math> מתכנס.

*דוגמאות:
**<math>\sum\frac{\sin(n)}{n}</math>
**<math>\sum\frac{|\sin(n)|}{n}</math>

<videoflash>m5kFinYjG8A</videoflash>

*הוכחה:
*נסמן ב<math>D_n</math> את סדרת הסכומים החלקיים של הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_kb_k</math> וב<math>S_n</math> את סדרת הסכומים החלקיים של <math>b_n</math>.
*יהיו <math>m>n\in\mathbb{N}</math>
**<math>D_m-D_n = \sum_{k=n+1}^m a_kb_k = \sum_{k=n+1}^m a_k(S_k -S_{k-1}) = \sum_{k=n+1}^m a_kS_k - \sum_{k=n}^{m-1} a_{k+1}S_k = a_mS_m -a_{n+1}S_n + \sum_{k=n+1}^{m-1} S_k(a_k-a_{k+1})</math>
**<math>|D_m-D_n|\leq |a_m||S_m| + |a_{n+1}| |S_n| +\sum_{k=n+1}^{m-1} |S_k||a_k-a_{k+1}|</math>
**כעת נשתמש בעובדה כי <math>|S_n|<M</math> לכל n, <math>a_n</math> סדרה חיובית, וכן <math>a_n - a_{n+1}\geq 0</math> לכל n.
**<math>|D_m-D_n|\leq M\left(a_m + a_{n+1} +\sum_{k=n+1}^{m-1} a_k-a_{k+1}\right)= 2Ma_{n+1}\to 0</math>
*לכן <math>D_n</math> סדרת קושי ולכן מתכנסת לגבול סופי, כלומר הטור מתכנס.

<videoflash>Ou3ixbIVfYI</videoflash>

====מבחן לייבניץ====

*תהי <math>a_n\to 0</math> סדרה '''מונוטונית''' יורדת לאפס. אזי:
** הטור <math>\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}a_k</math> מתכנס.
**<math>\left|\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}a_k\right|\leq a_1</math>.

*הוכחה:
**כיוןן שהסס"ח של <math>(-1)^{n+1}</math> חסומה הטור מתכנס לפי מבחן דיריכלה.
**נסמן ב<math>S_n</math> את הסס"ח של הטור <math>\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}a_k</math>.
**כיוון שהסדרה <math>a_n</math> יורדת, ניתן להוכיח באינדוקציה כי:
***<math>S_{2n}\geq 0</math>
***<math>S_{2n-1}\leq a_1</math>

<videoflash>nJU3b5zvURQ</videoflash>

===סיכום בדיקת התכנסות 🖖===

*כיצד נבחן אם הטור <math>\sum a_n</math> מתכנס בהחלט, בתנאי או מתבדר?

#אם ניתן להראות כי <math>a_n\not\to 0</math> הטור מתבדר
# נבצע מבחני ספוק 🖖
##אם לפי מבחני ההשוואה (הראשון או הגבולי) הטור <math>\sum |a_n|</math> אינו מתכנס, אז אין התכנסות בהחלט, נעבר לבדוק התכנסות בתנאי.
##אם במבחן המנה או השורש הגבול גדול מ1 הטור מתבדר, אם קטן מ1 הטור מתכנס בהחלט ואם שווה ל1 צריך לנסות משהו אחר.
##אם במבחן העיבוי הטור <math>\sum |a_n|</math> אינו מתכנס, אז אין התכנסות בהחלט, נעבר לבדוק התכנסות בתנאי.
#אם לא מצאנו התכנסות בהחלט, נבצע מבחנים על טורים כלליים בשביל לבדוק התכנסות בתנאי
##מבחן לייבניץ
##מבחן דיריכלה
##עבודה ישירה על סדרת הסכומים החלקיים (טור טלסקופי למשל)

===סכום האיברים החיוביים, וסכום האיברים השליליים===
*תהי סדרה <math>a_n</math> ונגדיר את:
**<math>a_n^+=\begin{cases}a_n & a_n\geq 0\\ 0 & a_n<0\end{cases}</math>
**<math>a_n^-=\begin{cases}0 & a_n\geq 0\\ -a_n & a_n<0\end{cases}</math>

*<math>a_n=a_n^+-a_n^-</math>
*<math>|a_n|=a_n^++a_n^-</math>

*הטור <math>\sum a_k</math> מתכנס בהחלט אם ורק אם הטורים <math>\sum a_k^+, \sum a_k^-</math> מתכנסים שניהם.
*אם הטור <math>\sum a_k</math> מתכנס בתנאי אזי הטורים <math>\sum a_k^+, \sum a_k^-</math> מתבדרים שניהם ושואפים לאינסוף.

*כפי שהוכחנו בעבר בדרך שונה, אם הטור מתכנס בהחלט נובע ש<math>\sum a_k^+, \sum a_k^-</math> מתכנסים שניהם, וביחד עם העובדה ש<math>a_n=a_n^+-a_n^-</math> נובע שהטור מתכנס.

<videoflash>XEl8ZykrNcw</videoflash>

===שינוי סדר הסכימה===

*תהי <math>f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}</math> פונקציה הפיכה ותהי סדרה <math>a_n</math> אז נאמר ש<math>p_n=a_{f(n)}</math> היא שינוי סדר של הסדרה <math>a_n</math>.

*תרגיל - אם <math>a_n\to L</math> גם שינוי הסדר מקיים <math>p_n\to L</math>

*דוגמא:
**<math>a_n=1,-1,1,-1,...</math>
**<math>f(n)=1,3,2,5,7,4,9,11,6,...</math>
**<math>p_n=a_{f(n)}=1,1,-1,1,1,-1,...</math>

*בדוגמא האחרונה:
*נסמן ב<math>S_n</math> את הסס"ח של <math>a_n</math> ומתקיים כי:
**<math>S_n=1,0,1,0,...</math>
*נסמן ב<math>D_n</math> את הסס"ח של שינוי הסדר <math>p_n</math>, מתקיים כי:
**<math>D_n =1,2,1,2,3,2,3,4,3,...</math>
*שינוי הסדר אמנם הותיר את הטור מתבדר, אך הפך את סדרת הסכומים החלקיים מחסומה לשואפת לאינסוף.

<videoflash>ASXMi-rBCv0</videoflash>

====משפט רימן====
*משפט רימן - יהי טור מתכנס בתנאי <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> אזי לכל <math>-\infty\leq S \leq \infty</math> קיים שינוי סדר כך ש <math>\sum_{k=1}^\infty p_k=S</math>
*כלומר, אם הטור מתכנס בתנאי, ניתן לגרום לו להתכנס לכל ערך שנרצה (ואף לשאוף לפלוס או מינוס אינסוף), על ידי שינוי סדר איברי הסדרה.

<videoflash>e_tBsPs5vq4</videoflash>

====שינוי סדר הסכימה של טור מתכנס בהחלט====
*יהי טור מתכנס בהחלט <math>\sum_{k=1}^\infty a_k =S</math> אזי לכל שינוי סדר <math>p_n</math> מתקיים כי <math>\sum_{k=1}^\infty p_k=S</math>
*כלומר, שינוי סדר איברי הסדרה אינו משפיע על סכום הטור.

<videoflash>GG76LdzRvKo</videoflash>

==פרק 4 - פונקציות ורציפות==
===מבוא לגבולות===

<videoflash>OMJWXoSIlX0</videoflash>

*מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית, חילוק פולינומים).
**<math>\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}</math>
**<math>\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+5x+3}{3x^2-100}</math>
**<math>\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+1}-x</math>
**<math>\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+x+1}-x</math>
**<math>\lim_{x\to\infty}x^2-x</math>

===הגדרת הגבול לפי קושי===

* <math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם לכל סביבה של L בציר y קיימת סביבה של <math>x_0</math> בציר x, כך שלכל ערכי x בסביבה של <math>x_0</math> פרט אולי ל<math>x_0</math> עצמו, ערכי ציר y כלומר <math>f(x)</math> נמצאים בסביבה של L בציר y.

*דוגמאות:
**<math>\lim_{x\to 3} 2x+1=7</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל x המקיים <math>0\neq |x-3|<\delta</math> מתקיים <math>|2x+1-7|<\varepsilon </math>
**<math>\lim_{x\to 2^-}\frac{1-x}{\sqrt{2-x}}=-\infty</math> אם לכל <math>M>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל x המקיים <math>2-\delta<x<2</math> מתקיים כי <math>\frac{1-x}{\sqrt{2-x}}<-M</math>
**<math>y=a</math> אסימפטוטה אופקית מימין של <math>f(x)</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>K>0</math> כך שלכל x המקיים <math>x>K</math> מתקיים כי <math>|f(x)-a|<\varepsilon</math>

<videoflash>YTA4sI56t1Y</videoflash>

===הגדרת הגבול לפי היינה===

*<math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס <math>x_0\neq a_n\to x_0</math> סדרת המספרים על ציר y מקיימת <math>f(a_n)\to L</math>
*<math>\lim_{x\to x_0^+}f(x)=L</math> אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס <math>x_0< a_n\to x_0</math> סדרת המספרים על ציר y מקיימת <math>f(a_n)\to L</math>
*<math>\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L</math> אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס <math>x_0> a_n\to x_0</math> סדרת המספרים על ציר y מקיימת <math>f(a_n)\to L</math>

הגדרה זו שקולה להגדרה של קושי, כלומר הגבול שווה לL לפי קושי אם ורק אם הוא שווה לL לפי היינה.

*מרבית כללי האריתמטיקה המורחבות נובעים "בחינם" עבור פונקציות

*<math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם ורק אם <math>\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L</math>

<videoflash>KKFyEBxM9yo</videoflash>

===הפונקציות הטריגונומטריות===
*הגדרת סינוס וקוסינוס ע"י מעגל היחידה.
**<math>sin^2(x)+cos^2(x)=1</math>
**<math>sin(-x)=-sin(x),cos(-x)=cos(x)</math>
**<math>sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a),cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)</math>
**<math>sin(2x)=2sin(x)cos(x),cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)</math>

<videoflash>gnUkKM9PgPQ</videoflash>

*[[קובץ:Sin(x)_over_x.png|400px|link=https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%A9%D7%9C_sin(x)/x]]
**עבור זוית <math>0<x<\frac{\pi}{2}</math> שטח המשולש חסום בשטח הגזרה (משולש פיצה עם הקשה) שחסום בשטח המשולש:
**<math>S_{\triangle AOB}<S_{\bigcirc AOB}<S_{\triangle AOD}</math>
**<math>\frac{sin(x)}{2}<\frac{x}{2}<\frac{tan(x)}{2}</math>
***כיוון ש<math>0<sin(x)<x</math> בתחום <math>(0,\frac{\pi}{2})</math>, נובע לפי סנדוויץ' ש<math>\lim_{x\to 0^+}sin(x)=0</math>.
***כיוון שמדובר בפונקציה אי זוגית, נובע שזה גם הגבול משני הצדדים.
***כעת בתחום <math>(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math> הקוסינוס חיובית ולכן <math>cos(x)=\sqrt{1-sin^2(x)}</math> ונובע כי <math>\lim_{x\to 0}cos(x)=1</math>.
**נחלק את אי השיוויון הטריגונומטרי בסינוס ונקבל:
**<math>1<\frac{x}{sin(x)}<\frac{1}{cos(x)}</math>
**לפי כלל הסנדביץ <math>\lim_{x\to 0^+}\frac{sin(x)}{x}=1</math>
**כיוון שמדובר בפונקציה זוגית, נובע שהגבול משני הצדדים שווה 1.

*ראינו ש<math>\lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=1</math>.
*שימו לב ש<math>\lim_{x\to\infty}\frac{sin(x)}{x}=0</math>, כיוון שמדובר בחסומה חלקי שואפת לאינסוף.

<videoflash>YIU0hc8xe7I</videoflash>

===רציפות===

*רציפות.
*הגדרה:
*פונקציה f נקראית רציפה בקטע <math>[a,b]</math> אם f רציפה בכל נקודה בקטע <math>(a,b)</math> ובנוסף <math>\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)</math> וגם <math>\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)</math>

*טענה: אם f רציפה ב<math>x_0</math> אזי לכל סדרה <math>x_n\to x_0</math> (גם אם אינה שונה מ<math>x_0</math>) מתקיים כי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math>.

<videoflash>9y7T2Nmpv24</videoflash>

<videoflash>76vmO8IBYKQ</videoflash>

*גבול של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות.
**<math>f(x)=\frac{x}{x}, g(x)=0</math> מתקיים כי <math>\lim_{x\to 0}f(x)=1,\lim_{x\to 2}g(x)=0</math> אבל <math>\lim_{x\to 2}f(g(x))\neq 1</math>.

*הרכבת רציפות: תהי f רציפה ב<math>x_0</math> ותהי g רציפה ב<math>f(x_0)</math>. אזי <math>g\circ f</math> רציפה ב<math>x_0</math>.
**הוכחה:
**תהי סדרה <math>x_0\neq x_n\to x_0</math> אזי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math>
**לפי הטענה הקודמת, <math>g(f(x_n))\to g(f(x_0))</math>.

<videoflash>FA_XRcitd64</videoflash>

*פונקציות הפיכות (הוכחות והגדרות מדוייקות בבדידה).
**פונקציה <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל
**הפונקציה ההופכית היא <math>f^{-1}:[c,d]\to[a,b]</math> ומתקיים כי <math>f(x)=y</math> אם"ם <math>x=f^{-1}(y)</math>

*טענה: אם <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>, אזי <math>f^{-1}:[c,d]\to[a,b]</math> רציפה בקטע <math>[c,d]</math>.
**הוכחה:
**תהי <math>y_0\neq y_n\to y_0</math>, צ"ל ש <math>f^{-1}(y_n)\to f^{-1}(y_0)</math>
**יהי גבול חלקי <math>x_n=f^{-1}(y_n)\to L</math>.
**אזי <math>f(x_n)=y_n\to y_0</math>.
**מצד שני, לפי רציפות הפונקציה f מתקיים <math>f(x_n)\to f(L)</math>.
**לכן <math>f(L)=y_0</math> ולכן <math>L=f^{-1}(y_0)</math>.

<videoflash>qjSueXDanYs</videoflash>

===אי רציפות===

*מיון אי רציפות.
**רציפות - הגבול בנקודה שווה לערך בנקודה.
**סליקה - הגבול קיים וסופי בנקודה, אך שונה מהערך בנקודה או שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה.
**קפיצתית (מין ראשון) - הגבולות החד צדדיים קיימים סופיים ושונים בנקודה.
**עיקרית (מין שני) - אחד הגבולות החד צדדיים אינו קיים או שאינו סופי.

<videoflash>3zwjxNNr5tc</videoflash>

==פרק 5 - גזירות==

<videoflash>7FYVQ_fGyNE</videoflash>

===הגדרת הנגזרת===
*<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>
*<math>\displaystyle{\lim{h\to 0}} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\{h=x-x_0\} = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>
**הסבר לגבי שיטת ההצבה בה השתמשנו לעיל:
**נניח כי <math>\lim{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0)</math> ונוכיח כי <math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math>, והוכחה דומה בכיוון ההפוך.
**תהי <math>x_0\neq x_n\to x_0</math> נגדיר את הסדרה <math>0\neq h_n=x_n-x_0\to 0</math>.
**כיוון ש<math>\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}\to f'(x_0)</math> נובע כי <math>\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}\to f'(x_0)</math>.
*אם f גזירה בנקודה, היא רציפה בנקודה:
**צ"ל <math>\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)</math>
**לפי אריתמטיקה של גבולות זה שקול ל <math>\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=0</math>
**לפי עקרון win (קיצור של wouldn't it be nice?) מתקיים כי <math>\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0)=f'(x_0)\cdot 0 = 0</math>
*פונקציה הערך המוחלט אינה גזירה באפס
**<math>(|x|)'(0) = \lim_{h\to 0}\frac{|h|-|0|}{h}=\lim\frac{|h|}{h}</math> וגבול זה אינו קיים, כיוון שהגבולות החד צדדים שונים.
**ניתן לשים לב גם ש<math>|x|=\sqrt{x^2}</math>, וכמו כן נראה בהמשך כי<math>\sqrt{x}</math> אינה גזירה באפס.

<videoflash>nukvxlHm2kQ</videoflash>

===הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות===
*טריגו:
**<math>\lim_{h\to 0}\frac{1-cos(h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin^2(h)}{h(1+cos(h))}=\lim_{h\to 0}sin(h)\cdot \frac{sin(h)}{h}\cdot \frac{1}{1+cos(h)}=0\cdot 1 \cdot \frac{1}{2}=0</math>
**<math>(sin(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x)cos(h)+sin(h)cos(x)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}sin(x)\cdot \frac{cos(h)-1}{h} + cos(x)\cdot \frac{sin(h)}{h}=cos(x)</math>
**באופן דומה <math>(cos(x))'=-sin(x)</math>
*לוג:
**<math>\lim_{h\to 0}\frac{log(1+h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot log(1+h)=\lim_{h\to 0}log\left(\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}\right)=log(e)
</math>
***המעבר האחרון נובע מהעובדה שפונקצית הלוג רציפה.
***(בפרט נובע כי <math>\lim_{x\to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=1</math>.)
**<math>(log(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{log(x+h)-log(x)}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{log\left(\frac{x+h}{x}\right)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{x}\cdot\frac{log\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}=\frac{log(e)}{x}</math>
***בפרט נובע כי <math>(ln(x))' = \frac{1}{x}</math>
*אקספוננט:
**<math>\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} = \{t=a^h-1, h=log_a(1+t)\} = \lim_{t\to 0} \frac{t}{log_a(1+t)} = \frac{1}{log_a(e)} = \frac{1}{\frac{ln(e)}{ln(a)}}=ln(a)</math>
**<math>(a^x)' = \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}= \lim_{h\to 0}a^x\cdot \frac{a^h-1}{h}=a^x\cdot ln(a)</math>
***בפרט נובע כי <math>(e^x)'=e^x</math>.

<videoflash>pBYSLhpsz9g</videoflash>

<videoflash>NkPt_CFvuhY</videoflash>

*ישר:
**<math>(x)'=\displaystyle{\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)-x}{h} = 1}</math>

===חוקי הגזירה===

*תהיינה f,g גזירות ב<math>x_0</math> אזי:
**<math>(cf)'(x_0)=cf'(x_0)</math>
**<math>(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)</math>
**<math>(f\cdot g)'(x_0) = f'(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g'(x_0)</math>

<videoflash>iiF0siIWius</videoflash>

תהי g גזירה ב<math>x_0</math> ותהי f הגזירה ב<math>g(x_0)</math>:
*<math>(f\circ g)'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(g(x))-f(g(x_0))}{x-x_0}</math>
*תהי סדרה <math>x_0\neq x_n\to x_0</math>.
*רוצים לומר ש<math>\frac{f(g(x_n))-f(g(x_0))}{x_n-x_0}= \frac{f(g(x_n))-f(g(x_0))}{g(x_n)-g(x_0)}\cdot \frac{g(x_n)-g(x_0)}{x_n-x_0}\to f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)</math>.
*אמנם <math>g(x_n)\to g(x_0)</math> בגלל שהרציפות נובעת מהגזירות, אבל לא ידוע ש<math>g(x_n)\neq g(x_0)</math> ובמקרה זה אנחנו כופלים ומחלקים באפס.
*אם יש תת סדרה <math>a_n</math> של <math>x_n</math> עבורה <math>g(a_n)=g(x_0)</math> אזי <math>\frac{g(a_n)-g(x_0)}{a_n-x_0}=0</math> ולכן <math>g'(x_0)=0</math>.
*לכן <math>f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)=0</math>.
*כמו כן, <math>\frac{f(g(a_n))-f(g(x_0))}{a_n-x_0}=0</math>.
*לכן בכל מקרה קיבלנו כי <math>\frac{f(g(x_n))-f(g(x_0))}{x_n-x_0}\to f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)</math>
*סה"כ <math>(f\circ g)'(x_0)=f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)</math>.

<videoflash>uMPXs9PwxZ4</videoflash>

===נגזרת של חזקה===
*עבור <math>x>0</math> מתקיים <math>(x^\alpha)'=(e^{ln\left(x^\alpha\right)})' = (e^{\alpha\cdot ln(x)})' = e^{\alpha\cdot ln(x)}\cdot \frac{\alpha}{x} = x^\alpha \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha-1}</math>

*עבור חזקות בהן הביטוי מוגדר, <math>(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}</math> גם עבור <math>x\leq 0</math> (לפי תכונות של פונקציות זוגיות ואי זוגיות, ובאפס לפי חישוב ישיר).

*חזקה:
**<math>(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}</math> לכל <math>\alpha\in \mathbb{R}</math>, הוכחה בהמשך.
*בפרט:
**<math>(1)'=0</math>
**<math>(\frac{1}{x})' = (x^{-1})'=-\frac{1}{x^2}</math>
**<math>(\sqrt{x})'=(x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}</math>
** עבור <math>x>0</math> מתקיים <math>(\sqrt[3]{x})'=(x^{\frac{1}{3}})'=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}</math> וכיוון שהפונקציה אי זוגית נובע שהנגזרת שווה לביטוי הזה גם לשאר ערכי x.

<videoflash>UQnqIRrf12E</videoflash>

*דוגמא: חישוב הנגזרת של <math>x^x</math>

===נגזרת מנה===
תהיינה f,g גזירות בנקודה x כך ש <math>g(x)\neq 0</math>:
*נזכור כי <math>(\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}</math>
*אזי בנקודה x מתקיים: <math>\left(\frac{f}{g}\right)'=\left(f\cdot \frac{1}{g}\right)' = f'\cdot \frac{1}{g} + f\cdot \frac{-g'}{g^2} = \frac{f'g-g'f}{g^2}</math>

<videoflash>Iag0TdjdFnM</videoflash>

===פונקציות הופכיות ונגזרתן===

*טענה: תהי <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> הפיכה ורציפה. ונניח כי היא גזירה בנק' <math>a<x_0<b</math> כך ש <math>f'(x_0)\neq 0</math>.
:אזי <math>f^{-1}</math> גזירה בנק' <math>f(x_0)</math> ומתקיים כי
:<math>(f^{-1})'(f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)}</math> או בנוסח אחר-
:<math>(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}</math>
**הוכחה:
**<math>(f^{-1})'(f(x_0)) = \lim_{y\to f(x_0)}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(f(x_0))}{y-f(x_0)}</math>
**תהי <math>f(x_0)\neq y_n\to f(x_0)</math> ונסמן <math>x_n=f^{-1}(y_n)</math>.
**אזי מתוך רציפות וחח"ע נובע כי <math>x_0\neq x_n\to f^{-1}(f(x_0))=x_0</math>
**<math>\frac{f^{-1}(y_n)-f^{-1}(f(x_0))}{y_n-f(x_0)} = \frac{x_n-x_0}{f(x_n)-f(x_0)} \to \frac{1}{f'(x_0)}</math>

*דוגמא חשובה:
*<math>tan:(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\to\mathbb{R}</math> הפיכה וההופכית שלה נקראית <math>arctan</math>.
*<math>tan^2(x)+1 = \frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}+1 = \frac{1}{cos^2(x)}</math>
*<math>arctan'(x) = \frac{1}{\frac{1}{cos^2(arctan(x))}} = \frac{1}{tan^2(arctan(x))+1}=\frac{1}{1+x^2}</math>

*הנגזרות של <math>arcsin,arccos</math>

<videoflash>n9WMYrhb-6I</videoflash>

<videoflash>sryeJtePu_U</videoflash>

==פרק 6 - חקירה==

===משפט ערך הביניים===
*תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> כאשר <math>a<b\in\mathbb{R}</math>.
*עוד נניח כי <math>f(a)\leq 0</math> וכן <math>f(b)\geq 0</math>.
*אזי קיימת נקודה <math>c\in[a,b]</math> כך ש <math>f(c)=0</math>

*תהי f רציפה ב<math>[0,1]</math> כך ש<math>f(1)=2</math>, הוכיחו שקיימת נק' <math>c\in [0,1]</math> עבורה <math>f(c)=\frac{1}{c}</math>
**נעביר אגף ונביט בפונקציה <math>h(x)=f(x)-\frac{1}{x}</math> שצריך למצוא שורש שלה.
**<math>h(1)>0</math>.
**<math>\lim_{x\to 0^+}h(x)=f(0)-\infty=-\infty</math> ולכן קיימת נקודה <math>0<d<1</math> עבורה <math>h(d)<0</math>.
**לפי משפט ערך הביניים בקטע <math>[d,1]</math> קיימת נק' המאפסת את הפונקציה h.

<videoflash>WdKVN6R0NfU</videoflash>

<videoflash>pZXEn6KWtMY</videoflash>

===משפטי ויירשטראס===
*פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - חסומה.
*פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - מקבלת מינימום ומקסימום.

<videoflash>FPlpOmNQiAE</videoflash>

===משפט פרמה===
*אם פונקציה גזירה בנק' קיצון מקומי, הנגזרת שווה שם לאפס.
*ההפך אינו נכון, ייתכן שהנגזרת תתאפס אך בנקודה לא יהיה קיצון ואף לא פיתול.

<videoflash>Vlsum5uohMo</videoflash>

===משפט רול===
**תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> כך ש <math>f(a)=f(b)</math> אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>f'(c)=0</math>
*כלומר, פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח, שמקבלת את אותו ערך בקצוות - הנגזרת שלה מתאפסת בנקודה כלשהי בקטע הפתוח.

*לפולינום מדרגה n יש לכל היותר n שורשים שונים.

<videoflash>hmdp_jj9fx0</videoflash>

===משפט לגראנז' ותחומי עלייה וירידה===

*פונקציה f נקראת עולה בתחום A אם לכל <math>x_1<x_2\in A</math> מתקיים כי <math>f(x_1)\leq f(x_2)</math>
*פונקציה f נקראת יורדת בתחום A אם לכל <math>x_1<x_2\in A</math> מתקיים כי <math>f(x_1)\geq f(x_2)</math>

*תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
*כלומר קיימת נקודה בה השיפוע שווה לשיפוע המיתר בין שתי הנקודות בקצוות הקטע.

*תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> אזי f עולה בקטע <math>[a,b]</math> אם ורק אם <math>f'(x)\geq 0</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>
*כמו כן, באותם תנאים, אם <math>f'(x)\geq 0</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אזי <math>f(a)<f(b)</math> או שהפונקציה קבועה ב<math>[a,b]</math> ונגזרתה שווה אפס בקטע <math>(a,b)</math>

<videoflash>3DXDneBUnK8</videoflash>

*דוגמא
*יהי <math>a\in\mathbb{R}</math> מצאו כמה פתרונות יש למשוואה <math>sin(x)=x+a</math>

<videoflash>zX9XkY_mdDQ</videoflash>

===משפט קושי (לגראנז' המוכלל)===

*תהיינה f,g רציפות ב<math>[a,b]</math> וגזירות ב<math>(a,b)</math> כך ש<math>g'\neq 0</math> בקטע <math>(a,b)</math>.
*אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}</math>

*הוכחת משפט לגראנז' המוכלל, שמוכיח גם את משפט לגראנז' עצמו כמקרה פרטי.
**ראשית, כיוון ש<math>g'(x)\neq 0</math> בקטע <math>(a,b)</math> נובע לפי רול כי <math>g(a)\neq g(b)</math> ולכן מותר לחלק בהפרש ביניהם.
**<math>h(x)=f(x)-f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))</math>
**<math>h(a)=h(b)=0</math> ולכן לפי רול קיימת נק' <math>c\in (a,b)</math> עבורה <math>h'(c)=0</math> וזה מה שרצינו להוכיח.
**(שימו לב שמותר לחלק ב<math>g'(c)</math>.)
**עבור <math>g(x)=x</math> נקבל את משפט לאגראנז' הרגיל.

<videoflash>PTtcansFGJQ</videoflash>

===[[כלל לופיטל]]===
*תהיינה פונקציות כך ש <math>f,g\to 0</math> או <math>f,g\to \infty</math> ונניח כי <math>\frac{f'}{g'}\to L</math> אזי גם <math>\frac{f}{g}\to L</math>

<videoflash>PaDFSrtsOE4</videoflash>

====משפט סדרי הגודל====

*לכל <math>0<a,b</math> מתקיים כי:

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x^a}{(e^x)^b} =0} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x^a}{\ln^b(x)} =\infty} </math>

====דוגמאות נוספות====

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to 1} \frac{\ln(x)}{\sin(\pi x)} =-\frac{1}{\pi}} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x}{\sin(x)+2+x} =1} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} xe^{\frac{1}{x}} =\infty} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \sqrt[x]{x} =1} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} x\ln(x) =0} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} x^x =1} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x}+\ln(x) =\infty} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \left(\sin(x)\right)^{\tan^2(x)} =\frac{1}{\sqrt{e}}} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to(-\infty)} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} =-1} </math>

====הוכחת כלל לופיטל בשני המקרים====

<videoflash>bqLDkGRLUYI</videoflash>

<videoflash>0RjBoccpjo8</videoflash>

אהבתם חדו"א 1? אז תעופו על [[חדוא 2 - ארז שיינר|חדו"א 2]]!

זה דף מחורבש אף פעם אל תנסו להכנס אליו הוא נוצר בגלל שרציתי למחוק דף ולא הצלחתי אז העברתי אותו לכתובת שאף אחד לא ידע

2025-02-24T12:28:51Z

Dan ben hanoch:

זה דף מחורבש אף פעם אל תנסו להכנס אליו הוא נוצר בגלל שרציתי למחוק דף ולא הצלחתי אז העברתי אותו לכתובת שאף אחד לא ידע

2025-02-24T12:27:20Z

Dan ben hanoch:

אינפי לפיזיקאים
[[מדיה:ממפיס 1 התשפה מועד א מבחן.pdf|ממפיס 1 תשפה מועד א]]

זה דף מחורבש אף פעם אל תנסו להכנס אליו הוא נוצר בגלל שרציתי למחוק דף ולא הצלחתי אז העברתי אותו לכתובת שאף אחד לא ידע

2025-02-24T12:27:05Z

Dan ben hanoch:

אינפי לפיזיקאים
[[מדיה:ממפיס 1 התשפה מועד א מבחן|ממפיס 1 תשפה מועד א]]

קובץ:ממפיס 1 התשפה מועד א מבחן.pdf

2025-02-24T12:26:17Z

Dan ben hanoch:

זה דף מחורבש אף פעם אל תנסו להכנס אליו הוא נוצר בגלל שרציתי למחוק דף ולא הצלחתי אז העברתי אותו לכתובת שאף אחד לא ידע

2025-02-24T12:22:12Z

Dan ben hanoch:

אינפי לפיזיקאים
[[מדיה:מבחן התשפה מועד א|ממפיס 1 תשפה מועד א]]

זה דף מחורבש אף פעם אל תנסו להכנס אליו הוא נוצר בגלל שרציתי למחוק דף ולא הצלחתי אז העברתי אותו לכתובת שאף אחד לא ידע

2025-02-24T11:00:13Z

Dan ben hanoch: יצירת דף עם התוכן " אינפי לפיזיקאים"

אינפי לפיזיקאים

שיחת מדיה ויקי:Common.js

2025-02-24T10:58:37Z

Dan ben hanoch: /* איזה כיף שיש את עץ */ פסקה חדשה

== איזה כיף שיש את עץ ==

[[עץ]]

חדוא 1 - ארז שיינר

2025-02-24T10:03:35Z

Dan ben hanoch: /* מבחנים של מתמטיקה */

חדוא 1 - ארז שיינר

2025-02-24T10:00:09Z

Dan ben hanoch:

[[88-132 חשבון אינפיניטיסימלי 1]]

אהבתם חדו"א 1? אז תעופו על [[חדוא 2 - ארז שיינר|חדו"א 2]]!
[[עץ|סיכומים של עץ(הו הו הו הו הו)]]

=תרגילי הכנה למבחן ופתרונותיהם=

*[[מדיה:22Calc1QnA.pdf| עשרות תרגילי הכנה למבחן עם פתרונות מלאים]]

=מבחנים ופתרונות=

===מערכי תרגול עם פתרונות===
*[[חשבון אינפיניטיסימלי 1 - מערך תרגול|מערכי תרגול]]

===מבחנים של מתמטיקה===
*[[מדיה:מבחן_ללא_פתרון_אינפי_1_בועז_צבאן_התשפה_מועד_א.pdf |מבחן 2025 אינפי בועז צבאן מועד א]] ו[[מדיה:מבחן_2025_אינפי_בועז_צבאן_מועד_א.pdf |פתרונו על ידי פרופסור בועז צבאן]]
*[[מדיה:מועד_א_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|מבחן מועד א' החממה תשפ"א]], [[מדיה:Solמועד_א_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:מועד_ב_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|מבחן מועד ב' החממה תשפ"א]], [[מדיה:solמועד_ב_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:21HamamaExmpTest.pdf|פתרון מבחן לדוגמא החממה תשפ"א]]
*[[מדיה: Infi1 tihon 2019A.pdf |מבחן מועד א תשע"ט]], [[מדיה: Infi1 tihon 2019Asol.pdf |פתרון]]
*[[מדיה:17Infi1DumbTest.pdf|מבחן דמה תשע"ז]], [[מדיה:17Infi1DumbTestSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:17Infi1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ז]], [[מדיה:17Infi1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:17Infi1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ז]], [[מדיה:17Infi1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:Calc1_2016a_exam.pdf | מבחן מועד א' תשע"ו]], [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/Infi2_76aSol.pdf פתרון המרצה], [[מדיה:Calc1_2016a_sols.pdf | פתרון המתרגלים]], [[מדיה:Calc1_2016a_sols_erez.pdf | פתרון ארז שיינר]]
*[[מדיה:אינפי_1_-_מועד_א%27_תשעג.pdf|מבחן מועד א' תשע"ג]], [[מדיה:Infi1TashagMoedASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה: infi1Exams3.pdf | מבחן מועד ב' תשע"ג]], [[מדיה: infi1Exams3Sol.pdf | פתרון חלקי]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/דמה1|מבחן דמה למתמטיקאים תשע"ב]], [[מדיה:tashabfaketestAsol.pdf|פתרון]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/דמה2|מבחן דמה נוסף תשע"ב]], [[מדיה:tashabfaketestBsol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה: infi1Exams1.pdf | מועד מיוחד תשע"ב]], [[מדיה:tashabspecialtestsol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה: infi1Exams2.pdf | מועד א' תשע"ב]], [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מתמטיקאים|פתרון]]
*[[מבחן אינפי 1 סמסטר א' מועד ב' תשע"ב| מועד ב' למתמטיקאים תשע"ב כולל פתרון]]
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד א'|מבחן מועד א' החממה תשע"א פתרון]]
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד ב'|מבחן מועד ב' החממה תשע"א פתרון]]
*[[פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א, |פתרון תשס"ב, מועד א]]
*[[פתרון אינפי 1, תשס"ג, מועד ב, |פתרון תשס"ג, מועד ב]]
*[[פתרון אינפי 1, תשנ"ט, מועד ב, |פתרון תשנ"ט, מועד ב]]
*[[פתרון אינפי 1, תש"נ |פתרון תש"נ, אין מועד]]
*[[אינפי 1, תשנ"ו מועד ב' - פתרון (זלצמן)|פתרון תשנ"ו, מועד ב']]

===מבחנים של מדמ"ח===
*[[מדיה:2489132TestA.pdf|מועד א' סמסטר ב' תשפ"ד]]
*[[מדיה:21Infi1CSSummerA.pdf|מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21Infi1CSSummerASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:21Infi1CSSummerB.pdf|מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21Infi1CSSummerBSol.pdf|פתרון חלקי]]
*[[מדיה:infi1moedExmp2021CS.pdf|מבחן לדוגמא תשפ"א]], [[מדיה:infi1moedExmp2021CSSol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא תשפ"א]]
*[[מדיה:infi1moedA2021CS.pdf|מועד א' תשפ"א]], [[מדיה:infi1moedA2021CSSol.pdf|פתרון מועד א' תשפ"א]]
*[[מדיה:infi1moedB2021CS.pdf|מועד ב' תשפ"א]], [[מדיה:infi1moedB2021CSSol.pdf|פתרון מועד ב' תשפ"א]]
*[[מדיה:infi1moedC2021CS.pdf|מועד ג' תשפ"א]], [[מדיה:infi1moedC2021CSSol.pdf|פתרון מועד ג' תשפ"א]]
*[[מדיה:19CSInfi1dumbtest.pdf|מבחן לדוגמא תש"ף]], [[מדיה:19CSInfi1dumbtestSol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא תש"ף]]
*[[מדיה:19CSInfi1A.pdf|מבחן מועד א' תש"ף]], [[מדיה:19CSInfi1ASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תש"ף]]
*[[מדיה:16CSInfi1ASol.pdf|פתרון מבחן מועד ג' תשע"ז]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעג/פתרון מועד א - גרסת שנפס|מועד א' תשע"ג פתרונות בלבד]]
*[[מדיה:TashagInfiCsexmtest.pdf|מבחן דמה תשע"ג]], [[מדיה:TashagInfiCsexmtestSol.pdf|פתרון מבחן דמה תשע"ג]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמח|מבחן מדמ"ח מועד א' תשעב ופתרונו]].

===מבחנים של הנדסה===
*[[83-112 חדו"א 1 להנדסה/נושאי הקורס|מבחנים בחדו"א 1 של הנדסה]] - שאלות 2,6 אינן רלונטיות לקורס זה

===מבחנים של אנליזה למורים===
*[[מבחנים בקורס אנליזה 1 למורים]] - אמנם כלל השאלות רלוונטיות, אולם הרמה הכולל של המבחנים נמוכה יותר מקורס זה

=== הצעות פתרון למבחנים מהשנים תשע"ה-תשפ"ב (תיכוניסטים) ===
ע"י לירן מנצורי ויונתן סמידוברסקי
*[[מדיה:מבחן_תשפב_מועד_א_יונתן_סמידוברסקי.pdf| מבחן תשפ"ב מועד א']]
*[[מדיה:מבחן_תשפא_מועד_א.pdf| מבחן תשפ"א מועד א']] (XI)
*[[מדיה:מבחן_תשפא_מועד_א.pdf| מבחן תשפ"א מועד א']] (XI)
*[[מדיה:מבחן_תשעט_מועד_ב_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ט מועד ב']]
*[[מדיה:פתרון_תשעט_מועד_א_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf| מבחן תשע"ט מועד א']]
*[[מדיה:תשעח_מועד_ב_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf | מבחן תשע"ח מועד ב']]
*[[מדיה:תשעח_מועד_א_יונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ח מועד א']]
*[[מדיה:פתרון_תשעז_מועד_ב_לירן מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ז מועד ב']]
*[[מדיה:מבחן_תשעז_מועד_א_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ז מועד א']]
*[[מדיה:פתרון_מבחן_תשעו_מועד_ב_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ו מועד ב']]
*[[מדיה:פתרון_מבחן_תשעו_מועד_א_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ו מועד א']]
*[[מדיה:תיקון_תשעה_מועד_ב_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ה מועד ב']]
*[[מדיה:תשעה_מועד_א'_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ה מועד א']]

===מבחנים מאוניברסיטאות שונות===
*[[אינפי 1 - מבחנים מאוניברסיטאות שונות]]

=סרטוני ותקציר ההרצאות=

[https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-sR6S1JZDECwwzGk6Z4NXWe פלייליסט של כל הסרטונים]

[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hkSHBU2VSWetKIVS1oyDT2c פלייליסט ההרצאות של אינפי 1 למדמח תשפ"א]

==פרק 1 - מספרים וחסמים==

===קבוצות מספרים===

*הטבעיים <math>\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}</math>
*השלמים <math>\mathbb{Z}=\{0,-1,1,-2,2,...\}</math>
*הרציונאליים <math>\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{n}|p\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}\right\}</math>
*הממשיים <math>\mathbb{R}</math>, כל השברים העשרוניים כולל האינסופיים

*העשרה: בנייה של שדה הממשיים באמצעות [[חתכי דדקינד]]

<videoflash>iEux7Zo_7Iw</videoflash>

*לא קיים <math>x\in\mathbb{Q}</math> כך ש <math>x^2=2</math>.
*במילים פשוטות, <math>\sqrt{2}</math> אינו רציונאלי (בהמשך נוכיח שיש מספר ממשי כזה).

<videoflash>20KPM0pRTHc</videoflash>

===חזקות ולוגריתמים===
*לכל מספר ממשי <math>x\in\mathbb{R}</math> ולכל מספר טבעי <math>n\in\mathbb{N}</math> נגדיר <math>x^n=x\cdots x</math> כפל n פעמים
*לכל מספר ממשי אי שלילי <math>0\leq x\in\mathbb{R}</math> ולכל מספר טבעי <math>n\in\mathbb{N}</math> נגדיר <math>x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}</math> כלומר המספר האי שלילי שבחזקת n שווה לx.
*לכל מספר ממשי אי שלילי <math>0\leq x\in\mathbb{R}</math> ולכל זוג מספרים טבעיים <math>n,k\in\mathbb{N}</math> נגדיר <math>x^{\frac{n}{k}}=\sqrt[k]{x^n}</math>
*לכל מספר ממשי <math>x\in\mathbb{R}</math> נגדיר <math>x^0=1</math>

*מה לגבי חזקות ממשיות אי רציונליות?
*נגדיר אותן באמצעות גבול של חזקות רציונאליות

*לכל מספר ממשי <math>x\in\mathbb{R}</math> ולכל חזקה ממשית שלילית <math>-a<0</math> נגדיר <math>x^{-a}=\frac{1}{x^a}</math>

<videoflash>vHNsel0dKHk</videoflash>

*לכל <math>0<a\neq 1</math> נגדיר את <math>log_a(x)</math> להיות המספר שa בחזקתו שווה לx.
*חוקי לוגים:
**<math>log_a(x)+log_a(y)=log_a(xy)</math>
**<math>log_a(x)-log_a(y)=log_a\left(\frac{x}{y}\right)</math>
**<math>log_a(x^y)=y log_a(x)</math>
**<math>\log_a(x)=\frac{log_b(x)}{log_b(a)}</math>
**<math>log_a(x)=y</math> אם ורק אם <math>x=a^y</math>

===חסמים===

*תהי <math>A\subseteq \mathbb{R}</math> אזי:
**<math>M\in\mathbb{A}</math> נקרא '''המקסימום''' של A או '''האיבר הגדול ביותר''' של A אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים כי <math>a\leq M</math>
**<math>M\in\mathbb{R}</math> נקרא '''חסם מלעיל''' של A אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים כי <math>a\leq M</math>
**<math>m\in\mathbb{A}</math> נקרא '''המינימום''' של A או '''האיבר הקטן ביותר''' של A אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים כי <math>a\geq m</math>
**<math>m\in\mathbb{R}</math> נקרא '''חסם מלרע''' של A אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים כי <math>a\geq m</math>

*כמו כן:
**אם יש איבר קטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל של A הוא נקרא '''החסם העליון''' של A, או '''הסופרמום''' של A ומסומן <math>\sup(A)</math>
**אם יש איבר גדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע של A הוא נקרא '''החסם התחתון''' של A, או '''האינפימום''' של A ומסומן <math>\inf(A)</math>

<videoflash>WdKqIf8xGeY</videoflash>

*בשדה הממשיים לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל יש חסם עליון, ולכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלרע יש חסם תחתון.
*בשדה הרציונאליים זה לא נכון; לקבוצה <math>A=\{x\in\mathbb{Q}|x^2<2\}</math> אין מספר רציונאלי קטן ביותר מבין חסמי המלעיל שלה.

<videoflash>7cz-S6GWg3Y</videoflash>

*תהי <math>A\subseteq \mathbb{R}</math> ויהי <math>M\in\mathbb{R}</math> אזי:
**M הוא החסם העליון של A אם ורק אם M הוא חסם מלעיל של A ולכל מספר <math>M-\varepsilon<M</math> קיים מספר <math>a\in A</math> כך ש <math>a>M-\varepsilon</math>
**m הוא החסם התחתון של A אם ורק אם m הוא חסם מלרע של A ולכל מספר <math>m<m+\varepsilon</math> קיים מספר <math>a\in A</math> כך ש <math>a<m+\varepsilon</math>

*דוגמא: תהיינה <math>\emptyset\neq A,B\subseteq\mathbb{R}</math> חסומות מלעיל כך שA אינה מכילה חסמי מלעיל של B, אזי <math>\sup(A)\leq\sup(B)</math>

<videoflash>mVCNRtV7TP0</videoflash>

===שיטות הוכחה בסיסיות===

*[[שיטות הוכחה בסיסיות]]

*הוכחת טענות מכומתות - טענות 'לכל' וטענות 'קיים'

<videoflash>QIwz6eyrcuI</videoflash>

==פרק 2 - סדרות==

===הגדרת הגבול===

*הגדרת הגבול של סדרה:
*תהי סדרה ממשית <math>a_n</math> ויהי מספר ממשי <math>L\in\mathbb{R}</math>.
*<math>L</math> הינו גבול הסדרה <math>a_n</math> (מסומן <math>\lim a_n=L</math> או <math>a_n\to L</math>) אם:
**לכל סביבה של הגבול, קיים מקום בסדרה שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה הנתונה, כלומר:
**לכל מרחק <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום <math>K\in\mathbb{N}</math> כך שאחריו לכל <math>n>K</math> מתקיים כי <math>|a_n-L|<\varepsilon</math>

<videoflash>mMVBYUDmSA0</videoflash>

*נגדיר ש<math>a_n\to\infty</math> אם לכל <math>M>0</math> קיים <math>K\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>K</math> מתקיים כי <math>a_n>M</math>
*נגדיר ש<math>a_n\to -\infty</math> אם <math>-a_n\to\infty</math>

*טענה: תהי <math>a_n\to \infty</math> אזי <math>\frac{1}{a_n}\to 0</math>
*טענה: תהי <math>0\neq a_n\to 0</math> אזי <math>\frac{1}{|a_n|}\to\infty</math>

<videoflash>U5RUHjrHVGI</videoflash>

*אם <math>a_n\to L_1</math> וכן <math>a_n\to L_2</math> אזי <math>L_1=L_2</math>

<videoflash>YE52OP_xPDA</videoflash>

*סדרה המתכנסת לגבול סופי חסומה.

<videoflash>CZnYbF1Lm7k</videoflash>

*<math>a_n\to L \iff a_{n+1}\to L</math>
*בפרט, כל שינוי, תוספת או החסרה של מספר סופי של איברים לא משפיע על גבול הסדרה.

<videoflash>nHaq8E0vGJA</videoflash>

*תהי סדרה<math>a_n</math> המתכנסת לגבול סופי והמקיימת לכל <math>n</math> כי <math>a<a_n</math> אזי <math>\lim a_n\geq a</math>

===שאיפה לאפס===

*תהי סדרה <math>a_n</math> ויהי <math>L\in\mathbb{R}</math> אזי <math>a_n\to L</math> אם ורק אם <math>|a_n-L|\to 0</math>
**בפרט <math>a_n\to 0</math> אם ורק אם <math>|a_n|\to 0</math>

*תהי <math>a_n\to 0</math> ותהי <math>b_n</math> חסומה, אזי <math>a_nb_n\to 0</math>

*תהיינה <math>a_n,b_n\to 0</math> אזי גם <math>a_n+b_n\to 0</math>

<videoflash>3QSMzWlG-yI</videoflash>

===משפטי סנדביץ'===

*משפט הסנדביץ' -
**תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי <math>a_n\leq b_n \leq c_n</math>
**כמו כן, יהי <math>L\in\mathbb{R}</math> כך ש <math>a_n,c_n\to L</math>
**אזי <math>b_n\to L</math>
*חצי סנדביץ'-
**תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי <math>a_n\leq b_n</math>
**כמו כן נתון כי <math>a_n\to\infty</math>
**אזי <math>b_n\to \infty</math>
*חצי סנדביץ' על הרצפה -
**תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי <math>|a_n|\leq b_n</math>
**כמו כן נתון כי <math>b_n\to 0</math>
**אזי <math>a_n\to 0</math>

<videoflash>AVvOiLm5COA</videoflash>

===מבוא לחשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)===
*תהיינה <math>b_n\to L_b\in \mathbb{R}</math>, <math>a_n\to L_a\in \mathbb{R}</math> אזי
**<math>a_n+b_n\to L_a+L_b</math>
**<math>a_n\cdot b_n \to L_a\cdot L_b</math>
**אם <math>L_b\neq 0</math> אזי <math>\frac{a_n}{b_n}\to\frac{L_a}{L_b}</math>

<videoflash>Hf14pSb3zDM</videoflash>

===אינדוקציה===

*משפט האינדוקציה המתמטית
*תהי סדרת טענות כך שמתקיימים שני התנאים הבאים:
**הטענה הראשונה נכונה.
**לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> אם הטענה הn מתקיימת אז גם הטענה הn+1 מתקיימת.
*אזי כל הטענות בסדרה נכונות

*אי שיוויון ברנולי: יהי <math>-1<x\in\mathbb{R}</math> אזי לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>(1+x)^n\geq 1+nx</math>

<videoflash>n6xkPhKmhQo</videoflash>

===חזקת אינסוף===

*תהי <math>0<a_n\to a</math> אזי:
**אם <math>a>1</math> מתקיים כי <math>(a_n)^n \to \infty</math>
**אם <math>a<1</math> מתקיים כי <math>(a_n)^n\to 0</math>
*שימו לב כי ייתכן ו<math>1<a_n\to 1</math>, כלומר איברי הסדרה גדולים מ1 אך גבולה הוא 1 ואז המשפט אינו תקף.

<videoflash>hFa7Nv5o05M</videoflash>

===כלל המנה===

*כלל המנה (הוכחה בסיכום הבא על [[אי-שוויון הממוצעים]]).
**תהי סדרה <math>a_n</math> המקיימת כי '''גבול''' המנה הוא <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to L</math> אזי:
***אם <math>1<L\leq\infty</math> מתקיים כי <math>|a_n|\to\infty</math>
***אם <math>0\leq L<1</math> מתקיים כי <math>a_n\to 0</math>
***מתקיים כי <math>\sqrt[n]{|a_n|}\to L</math>

*דוגמאות:
**<math>\frac{n}{2^n}\to 0</math>
**<math>\sqrt[n]{n}\to 1</math>
**עבור <math>a>0</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{a}\to 1</math>
**<math>\sqrt[n]{n!}\to \infty</math>

<videoflash>Shmc2BtEGBE</videoflash>

===חזקות של גבולות===

*יהי <math>0<a\in\mathbb{R}</math> ותהי <math>b_n\to 0</math> אזי <math>a^{b_n}\to 1</math>
**רעיון הוכחה: אם <math>a\geq 1</math> אזי <math>a^{-\frac{1}{m}}\leq a^{b_n}\leq a^{\frac{1}{m}}</math> והרי <math>\sqrt[m]{a}\to 1</math> לפי כלל המנה

*יהי <math>0<a\in\mathbb{R}</math> ותהי <math>b_n\to L\in \mathbb{R}</math> אזי <math>a^{b_n}\to a^L</math>
**רעיון הוכחה: <math>a^{b_n} = a^{b_n-L}\cdot a^L\to 1\cdot a^L</math>

*תהי <math>a_n\to 1</math> ותהי <math>b_n\to L\in\mathbb{R}</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to 1</math>
**רעיון הוכחה:<math>a_n^{[L]-1}\leq a_n^{b_n}\leq a_n^{[L]+1}</math> לפי חשבון גבולות (כפל) שני הצדדים שואפים ל1. (אם <math>a_n<1</math> אי השיוויון הפוך).

*תהי <math>a_n\to a>0</math> ותהי <math>b_n\to L\in\mathbb{R}</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to a^L</math>
**רעיון הוכחה: <math>a_n^{b_n}=\left(\frac{a_n}{a}\right)^{b_n} \cdot a^{b_n} \to 1\cdot a^L</math>

*תהי <math>0\leq a_n\to 0</math> ותהי <math>b_n\to L>0</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to 0</math>
**רעיון הוכחה: החל משלב מסויים <math>0\leq a_n^{b_n}\leq \frac{1}{m^{\frac{L}{2}}} </math>

===סדרות מונוטוניות והמספר e===
*כל סדרה מונוטונית הינה חסומה מתכנסת לגבול סופי, או שאינה חסומה ושואפת לגבול אינסופי.

*דוגמא: נביט בסדרה <math>a_1>0,\ a_{n+1}=a_n^2+a_n</math>
**כיוון ש <math>a_{n+1}-a_n=a_n^2\geq 0</math> מדובר בסדרה מונוטונית עולה.
**אם הסדרה חסומה:
***קיים לה גבול סופי <math>a_n\to L</math>
***נחשב את גבול שני צידי המשוואה <math>a_{n+1}=a_n^2+a_n</math>
***לכן <math>L=L^2+L</math> ולכן <math>L=0</math>
***אבל הסדרה עולה וחסומה מלמטה ע"י האיבר הראשון ולכן <math>L\geq a_1</math>
***כלומר <math>L=0<a_1\leq L</math> בסתירה.
**מכאן הסדרה אינה חסומה, וכיוון שהיא עולה <math>a_n\to\infty</math>

<videoflash>pTVTkSlxJdI</videoflash>

*[[המספר e]] (הוכחות בעזרת [[אי-שוויון הממוצעים]]).

<videoflash>v7tyKNPU-7I</videoflash>

*<math>2<e<4</math>.

<videoflash>6TohAEqQwsk</videoflash>

===תתי סדרות וגבולות חלקיים===
====הגדרת גבול חלקי====
*לכל סדרת מקומות <math>k_n\in\mathbb{N}</math> המקיימת לכל <math>n</math> כי <math>k_n<k_{n+1}</math> נגדיר כי <math>a_{k_n}</math> הינה תת סדרה של הסדרה <math>a_n</math>
*שימו לב כי מקומות תת הסדרה הם באותו הסדר כמו בסדרה המקורית, ואסור לחזור על איבר פעמיים.

*לדוגמא:
**נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math>
**אזי <math>a_{2n}=(-1)^{2n}=1</math> היא תת הסדרה של האיברים במקומות הזוגיים <math>k_n=2n</math>

*נגדיר ש<math>L</math> הוא גבול חלקי של הסדרה <math>a_n</math> אם קיימת תת סדרה <math>a_{k_n}</math> כך ש <math>a_{k_n}\to L</math>

*טענה - יהי <math>L</math> סופי או אינסופי, אזי:
**<math>a_n\to L</math> אם ורק אם לכל תת סדרה <math>a_{k_n}</math> מתקיים כי <math>a_{k_n}\to L</math>

<videoflash>rvdm2_7g-7I</videoflash>

====משפט בולצאנו-ויירשטראס====
*לכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית.

*משפט בולצאנו-ויירשטראס - לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת.

<videoflash>R491ZyCHhBs</videoflash>

====גבול עליון וגבול תחתון====

*תהי סדרה <math>a_n</math>
*נגדיר את הגבול העליון שלה (limsup):
**אם <math>a_n</math> אינה חסומה מלעיל אזי <math>\overline{\lim}a_n=\infty</math>
**אם <math>a_n</math> חסומה מלעיל ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את <math>\overline{\lim}a_n</math> להיות החסם העליון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה
**אחרת, נגדיר <math>\overline{\lim}a_n=-\infty</math>
*נגדיר את הגבול התחתון שלה (liminf):
**אם <math>a_n</math> אינה חסומה מלרע אזי <math>\underline{\lim}a_n=-\infty</math>
**אם <math>a_n</math> חסומה מלרע ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את <math>\underline{\lim}a_n</math> להיות החסם התחתון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה
**אחרת, נגדיר <math>\underline{\lim}a_n=\infty</math>

*לכל גבול חלקי L של הסדרה מתקיים כי:
*<math>\underline{\lim}a_n\leq L\leq \overline{\lim}a_n</math>

<videoflash>n71Zy87PbEE</videoflash>

*הגבול העליון והגבול התחתון הם גבולות חלקיים (כלומר יש תת סדרה ששואפת לגבול העליון, ויש תת סדרה ששואפת לגבול התחתון).

<videoflash>zF_5NdFJbAg</videoflash>

*לכל <math>-\infty\leq L\leq \infty</math> מתקיים כי <math>a_n \to L</math> אם ורק אם <math>\underline{\lim}a_n=\overline{\lim}a_n=L</math>

<videoflash>j4C_2yvKpN0</videoflash>

====תתי סדרות המכסות סדרה====

*אם ניתן לחלק סדרה למספר סופי של תתי סדרות המכסות את כולה, וכולן שואפות לאותו הגבול - אזי הסדרה כולה שואפת לגבול זה.
*ייתכן שניתן לחלק סדרה לאינסוף תתי סדרות שכולם שואפות לאותו הגבול, אך הסדרה לא תשאף לגבול זה.

<videoflash>Y0Jpalk44do</videoflash>

===כלל הe===

*תהי <math>0\neq a_n\to 0</math> אזי <math>(1+a_n)^{\frac{1}{a_n}}\to e</math>

<videoflash>y7yPjqyGOIg</videoflash>

*אם <math>a_n\to 1</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to e^{\lim b_n\cdot(a_n-1)}</math>
**<math>a_n^{b_n}=\left[\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\right]^{ b_n\cdot (a_n-1)}</math>.
**<math>\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\to e</math> בין אם <math>a_n-1</math> שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.
**שימו לב שאם <math>a_n=1</math>, אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק ב<math>a_n-1</math> ששווה אפס.

*דוגמא:
**<math>\lim\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n=e^{\lim n\cdot\left(\frac{n+1}{n-2}-1\right)}=e^{\lim\frac{3n}{n-2}}=e^3</math>

<videoflash>5V4EmQIdE90</videoflash>

===חשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)===

*אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
**חסומה כפול אפיסה = אפיסה
**חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
**<math>\infty+\infty=\infty</math>
**<math>\infty\cdot\infty=\infty</math>
**<math>\infty^\infty=\infty</math>
**<math>\frac{1}{0}\neq\infty</math>
**<math>\frac{1}{0^+}=\infty</math>
**<math>0^\infty = 0</math>
**אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
**יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
**אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
**אינסוף בחזקת מספר חיובי זה אינסוף
**סדרה השואפת לגבול גדול מאחד, בחזקת אינסוף זה אינסוף.
**סדרה השואפת לגבול בין מינוס אחד לאחד לא כולל, בחזקת אינסוף, זה אפס.

====המקרים הבעייתיים====
*המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
**<math>\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty</math>

===קריטריון קושי לסדרות===

*דוגמא: הסדרה <math>a_n=\sqrt{n}</math> מקיימת כי <math>a_{n+1}-a_n\to 0</math> אך היא אינה מתכנסת למספר סופי אלא שואפת לאינסוף.

*הגדרה: סדרה <math>a_n</math> מקיימת את '''קריטריון קושי''' (ונקראת '''סדרת קושי''') אם:
*לכל מרחק <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום <math>K\in\mathbb{N}</math> כך שאחריו לכל זוג מקומות <math>m>n>K</math> מתקיים כי <math>|a_m-a_n|<\varepsilon</math> (המרחק בין האיברים במקומות הללו קטן מאפסילון).

*משפט: בממשיים, סדרה מתכנסת לגבול סופי אם ורק אם היא סדרת קושי.

*תרגיל: תהי סדרה המקיימת לכל n כי <math>|a_{n+1}-a_n|<\frac{1}{2^n}</math> אזי היא מתכנסת למספר סופי.

<videoflash>S56cCgc9U38</videoflash>

==פרק 3 - טורים==
[https://youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-t4S3UxsuuifepjuWgbJ7_5 פלייליסט של כל טורים]
===מבוא והגדרה===
<videoflash>E3DLm1YxOko</videoflash>

*תהי סדרה <math>a_n</math>, נגדיר את '''סדרת הסכומים החלקיים''' (סס"ח בקיצור) של <math>a_n</math> ע"י
**<math>S_1=a_1</math>
**ולכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים <math>S_{n+1}=S_n+a_{n+1}</math>
*במילים אחרות, <math>S_n = \sum_{k=1}^n a_k</math>

*הגדרת הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math>
**אומרים כי <math>\sum_{k=1}^\infty a_k =L</math> אם <math>\lim S_n = L</math>
*אם לסס"ח יש גבול סופי אומרים כי הטור מתכנס, ואילו אם אין לה גבול סופי אומרים כי הטור מתבדר.
*שימו לב כי בעצם:
**<math>\sum_{k=1}^\infty a_k = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n a_k</math>

*אם הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס, אזי <math>a_n\to 0</math>
*הוכחה:
**<math>S_n,S_{n+1}\to L</math>
**לכן <math>a_{n+1}=S_{n+1}-S_n\to L-L=0</math>

*<math>\sum_{k=1}^\infty a_k = a_1 + \sum_{k=2}^\infty a_k</math>
*מסקנה: שינוי מספר סופי של איברי הטור לא משפיע על התכנסות, אבל '''כן משפיע''' על סכום הטור.

<videoflash>v-qwJWYvuNY</videoflash>

====חשבון טורים====

*אם הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס, ו<math>c\in\mathbb{R}</math> קבוע אזי
**<math>\sum_{k=1}^\infty c\cdot a_k = c\cdot \sum_{k=1}^\infty a_k</math>

*אם הטורים <math>\sum_{k=1}^\infty a_k,\ \sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנסים אזי
**<math>\sum_{k=1}^\infty (a_k+b_k) = \sum_{k=1}^\infty a_k + \sum_{k=1}^\infty b_k</math>

====הטור ההנדסי====
*הטור <math>\sum_{k=0}^\infty x^k</math> מתכנס אם ורק אם <math>|x|<1</math> וכאשר הוא מתכנס מתקיים כי:
**<math>\sum_{k=0}^\infty x^k = \frac{1}{1-x}</math> וכמו כן <math>\sum_{k=1}^\infty x^k = \frac{x}{1-x}</math>

<videoflash>suDMRh69Lgc</videoflash>

====טור מקל סלפי (טלסקופי)====

*חישוב <math>\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^2 -k}</math> על ידי הסס"ח הטלסקופי

*חישוב <math>\sum_{k=1}^\infty \ln\left(\frac{k}{k+1}\right)</math> על ידי הסס"ח הטלסקופי

<videoflash>uZHNxYO7S-Q</videoflash>

====העשרה על סוגי סכימה====

<videoflash>54MQXVhM9vU</videoflash>

===התכנסות בהחלט===
*משפט: אם טור הערכים המוחלטים <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math> מתכנס, אזי גם הטור המקורי <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס.

*הגדרה:
**הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> נקרא '''מתכנס בהחלט''' אם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס וגם <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math> מתכנס
**הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> נקרא '''מתכנס בתנאי''' אם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס אך <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math> מתבדר
**הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> נקרא '''מתבדר''' אם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתבדר וגם <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math> מתבדר

<videoflash>OFcOpUNprTo</videoflash>

*משפט: (הכללת אי שיוויון המשולש) יהי טור מתכנס בהחלט, אזי:
*<math>\left|\sum_{k=0}^\infty a_k\right|\leq \sum_{k=0}^\infty |a_k|</math>

*הוכחה:
*לפי אי שיוויון המשולש, לכל n סופי מתקיים כי
*<math>\left|\sum_{k=0}^n a_k\right|\leq \sum_{k=0}^n |a_k|</math>
*ולכן גם הגבול של הסדרה השמאלית קטן או שווה לגבול של הסדרה הימנית, וזו התוצאה שרצינו.

===מבחני התכנסות לטורים חיוביים===

====הקדמה והטור ההרמוני====
*הגדרה: טור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> נקרא טור חיובי אם לכל n מתקיים כי <math>a_n\geq 0</math>.
*סדרת הסכומים החלקיים של טור חיובי היא מונוטונית עולה, לכן הטור מתכנס אם ורק אם היא חסומה.

*לסס"ח של הטור ההרמוני <math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}</math> יש תת סדרה ששואפת לאינסוף, ולכן הטור מתבדר:
**<math>\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}\geq \frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}</math>
**<math>S_1 =1\geq \frac{1}{2}</math>
**<math>S_2 =1+\frac{1}{2}\geq 2\cdot \frac{1}{2}</math>
**<math>S_4 =1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\geq 3\cdot \frac{1}{2}</math>
**...
**באופן כללי <math>S_{2^{n-1}}\geq n\cdot \frac{1}{2}\to\infty</math>

<videoflash>M3B6018c-4g</videoflash>

====מבחני ההשוואה====

*מבחן ההשוואה הראשון-
*תהיינה סדרות כך ש <math>0\leq a_n\leq b_n</math> לכל n. אזי:
** אם הטור הגדול יותר <math>\sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנס בוודאי הטור הקטן יותר <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס.
** נובע מכך לוגית שאם הטור הקטן מתבדר, הטור הגדול מתבדר.

*דוגמא:
**<math>\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n^2-n}</math>
**ראינו שהטור החיובי <math>\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^2-k}</math> מתכנס ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון גם הטור החיובי <math>\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}</math> מתכנס

*מבחן ההשוואה הגבולי-
*תהיינה סדרות <math>0\leq a_n,b_n</math> כך ש <math>\frac{a_n}{b_n}\to c</math> אזי:
** אם <math>c=\infty</math> אזי <math>a_n>b_n</math> החל משלב מסויים, ולכן אם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס גם <math>\sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנס
** אם <math>c=0</math> אזי <math>a_n<b_n</math> החל משלב מסויים, ולכן אם <math>\sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנס גם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס
** אחרת, <math>0<c\in\mathbb{R}</math> והטורים '''חברים''' <math>\sum_{k=1}^\infty a_k ~ \sum_{k=1}^\infty b_k</math>, כלומר <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס אם ורק אם <math>\sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנס

*דוגמא:
**<math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\left(\sqrt[k]{k!}\right)^2} \sim \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}</math>

<videoflash>DDOups05oms</videoflash>

====מבחני השורש והמנה====

*יהי טור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math>

*מבחן המנה -
**אם <math>\overline{\lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1</math> אזי הטור '''מתכנס בהחלט'''
**אם <math>\underline{\lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1</math> אזי <math>a_n\not\to 0</math> ולכן הטור '''מתבדר'''

*מבחן השורש -
**אם <math>\overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}<1</math> אזי הטור '''מתכנס בהחלט'''
**אם <math>\overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}>1</math> אזי <math>a_n\not\to 0</math> ולכן הטור '''מתבדר'''

*שימו לב - במבחן השורש לוקחים את הגבול העליון בשני המקרים, ובמבחן המנה צריך שהעליון יהיה קטן מאחד, או התחתון גדול מאחד. זו לא טעות...

<videoflash>Y7k-a29_03g</videoflash>

====מבחן העיבוי====

*מבחן העיבוי-
**תהי <math>0\leq a_n</math> סדרה '''מונוטונית''' יורדת אזי הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס אם ורק אם <math>\sum_{k=1}^\infty 2^k \cdot a_{(2^k)}</math> מתכנס

*הוכחה:
** ראשית, נוכיח באינדוקציה כי <math>\sum_{k=1}^n 2^{k-1}a_{2^k} \leq \sum_{k=2}^{2^n} a_k</math> כלומר
**<math> a_2 + 2\cdot a_4 +4\cdot a_8+... = a_2 + a_4 + a_4 +a_8 + a_8 + a_8 + a_8 + ... \leq a_2 + a_3 + a_4 +a_5 + a_6 +a_7 +a _8 +...</math>
**כעת נוכיח באינדוקציה כי <math>\sum_{k=0}^{n-1} 2^k a_{2^k}\geq \sum_{k=1}^{2^n-1}a_k</math>
*סה"כ אם הטור האחד מתכנס, הסס"ח של השני חסומה ולכן גם השני מתכנס.

<videoflash>UozGPSlW8fM</videoflash>

=====הטור ההרמוני המוכלל=====

*הטור <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^a}</math> מתכנס אם ורק אם <math>a>1</math>

*דוגמאות:

*<math>\sum_{k=2}^\infty\frac{1}{k\cdot\ln(k)}</math>

*<math>\sum_{k=2}^\infty\frac{1}{\ln(k!)}</math>

*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|עוד דוגמאות]]

===מבחני התכנסות לטורים כלליים===

====מבחן דיריכלה====

*תהי סדרה <math>a_n\to 0</math> סדרה '''מונוטונית''' יורדת לאפס
*תהי סדרה <math>b_n</math> כך ש'''הסס"ח''' שלה חסומה, כלומר קיים <math>M>0</math> כך שלכל n מתקיים <math>|S_n|=\left|\sum_{k=1}^nb_k\right|<M</math>
*אזי הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_kb_k</math> מתכנס.

*דוגמאות:
**<math>\sum\frac{\sin(n)}{n}</math>
**<math>\sum\frac{|\sin(n)|}{n}</math>

<videoflash>m5kFinYjG8A</videoflash>

*הוכחה:
*נסמן ב<math>D_n</math> את סדרת הסכומים החלקיים של הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_kb_k</math> וב<math>S_n</math> את סדרת הסכומים החלקיים של <math>b_n</math>.
*יהיו <math>m>n\in\mathbb{N}</math>
**<math>D_m-D_n = \sum_{k=n+1}^m a_kb_k = \sum_{k=n+1}^m a_k(S_k -S_{k-1}) = \sum_{k=n+1}^m a_kS_k - \sum_{k=n}^{m-1} a_{k+1}S_k = a_mS_m -a_{n+1}S_n + \sum_{k=n+1}^{m-1} S_k(a_k-a_{k+1})</math>
**<math>|D_m-D_n|\leq |a_m||S_m| + |a_{n+1}| |S_n| +\sum_{k=n+1}^{m-1} |S_k||a_k-a_{k+1}|</math>
**כעת נשתמש בעובדה כי <math>|S_n|<M</math> לכל n, <math>a_n</math> סדרה חיובית, וכן <math>a_n - a_{n+1}\geq 0</math> לכל n.
**<math>|D_m-D_n|\leq M\left(a_m + a_{n+1} +\sum_{k=n+1}^{m-1} a_k-a_{k+1}\right)= 2Ma_{n+1}\to 0</math>
*לכן <math>D_n</math> סדרת קושי ולכן מתכנסת לגבול סופי, כלומר הטור מתכנס.

<videoflash>Ou3ixbIVfYI</videoflash>

====מבחן לייבניץ====

*תהי <math>a_n\to 0</math> סדרה '''מונוטונית''' יורדת לאפס. אזי:
** הטור <math>\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}a_k</math> מתכנס.
**<math>\left|\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}a_k\right|\leq a_1</math>.

*הוכחה:
**כיוןן שהסס"ח של <math>(-1)^{n+1}</math> חסומה הטור מתכנס לפי מבחן דיריכלה.
**נסמן ב<math>S_n</math> את הסס"ח של הטור <math>\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}a_k</math>.
**כיוון שהסדרה <math>a_n</math> יורדת, ניתן להוכיח באינדוקציה כי:
***<math>S_{2n}\geq 0</math>
***<math>S_{2n-1}\leq a_1</math>

<videoflash>nJU3b5zvURQ</videoflash>

===סיכום בדיקת התכנסות 🖖===

*כיצד נבחן אם הטור <math>\sum a_n</math> מתכנס בהחלט, בתנאי או מתבדר?

#אם ניתן להראות כי <math>a_n\not\to 0</math> הטור מתבדר
# נבצע מבחני ספוק 🖖
##אם לפי מבחני ההשוואה (הראשון או הגבולי) הטור <math>\sum |a_n|</math> אינו מתכנס, אז אין התכנסות בהחלט, נעבר לבדוק התכנסות בתנאי.
##אם במבחן המנה או השורש הגבול גדול מ1 הטור מתבדר, אם קטן מ1 הטור מתכנס בהחלט ואם שווה ל1 צריך לנסות משהו אחר.
##אם במבחן העיבוי הטור <math>\sum |a_n|</math> אינו מתכנס, אז אין התכנסות בהחלט, נעבר לבדוק התכנסות בתנאי.
#אם לא מצאנו התכנסות בהחלט, נבצע מבחנים על טורים כלליים בשביל לבדוק התכנסות בתנאי
##מבחן לייבניץ
##מבחן דיריכלה
##עבודה ישירה על סדרת הסכומים החלקיים (טור טלסקופי למשל)

===סכום האיברים החיוביים, וסכום האיברים השליליים===
*תהי סדרה <math>a_n</math> ונגדיר את:
**<math>a_n^+=\begin{cases}a_n & a_n\geq 0\\ 0 & a_n<0\end{cases}</math>
**<math>a_n^-=\begin{cases}0 & a_n\geq 0\\ -a_n & a_n<0\end{cases}</math>

*<math>a_n=a_n^+-a_n^-</math>
*<math>|a_n|=a_n^++a_n^-</math>

*הטור <math>\sum a_k</math> מתכנס בהחלט אם ורק אם הטורים <math>\sum a_k^+, \sum a_k^-</math> מתכנסים שניהם.
*אם הטור <math>\sum a_k</math> מתכנס בתנאי אזי הטורים <math>\sum a_k^+, \sum a_k^-</math> מתבדרים שניהם ושואפים לאינסוף.

*כפי שהוכחנו בעבר בדרך שונה, אם הטור מתכנס בהחלט נובע ש<math>\sum a_k^+, \sum a_k^-</math> מתכנסים שניהם, וביחד עם העובדה ש<math>a_n=a_n^+-a_n^-</math> נובע שהטור מתכנס.

<videoflash>XEl8ZykrNcw</videoflash>

===שינוי סדר הסכימה===

*תהי <math>f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}</math> פונקציה הפיכה ותהי סדרה <math>a_n</math> אז נאמר ש<math>p_n=a_{f(n)}</math> היא שינוי סדר של הסדרה <math>a_n</math>.

*תרגיל - אם <math>a_n\to L</math> גם שינוי הסדר מקיים <math>p_n\to L</math>

*דוגמא:
**<math>a_n=1,-1,1,-1,...</math>
**<math>f(n)=1,3,2,5,7,4,9,11,6,...</math>
**<math>p_n=a_{f(n)}=1,1,-1,1,1,-1,...</math>

*בדוגמא האחרונה:
*נסמן ב<math>S_n</math> את הסס"ח של <math>a_n</math> ומתקיים כי:
**<math>S_n=1,0,1,0,...</math>
*נסמן ב<math>D_n</math> את הסס"ח של שינוי הסדר <math>p_n</math>, מתקיים כי:
**<math>D_n =1,2,1,2,3,2,3,4,3,...</math>
*שינוי הסדר אמנם הותיר את הטור מתבדר, אך הפך את סדרת הסכומים החלקיים מחסומה לשואפת לאינסוף.

<videoflash>ASXMi-rBCv0</videoflash>

====משפט רימן====
*משפט רימן - יהי טור מתכנס בתנאי <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> אזי לכל <math>-\infty\leq S \leq \infty</math> קיים שינוי סדר כך ש <math>\sum_{k=1}^\infty p_k=S</math>
*כלומר, אם הטור מתכנס בתנאי, ניתן לגרום לו להתכנס לכל ערך שנרצה (ואף לשאוף לפלוס או מינוס אינסוף), על ידי שינוי סדר איברי הסדרה.

<videoflash>e_tBsPs5vq4</videoflash>

====שינוי סדר הסכימה של טור מתכנס בהחלט====
*יהי טור מתכנס בהחלט <math>\sum_{k=1}^\infty a_k =S</math> אזי לכל שינוי סדר <math>p_n</math> מתקיים כי <math>\sum_{k=1}^\infty p_k=S</math>
*כלומר, שינוי סדר איברי הסדרה אינו משפיע על סכום הטור.

<videoflash>GG76LdzRvKo</videoflash>

==פרק 4 - פונקציות ורציפות==
===מבוא לגבולות===

<videoflash>OMJWXoSIlX0</videoflash>

*מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית, חילוק פולינומים).
**<math>\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}</math>
**<math>\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+5x+3}{3x^2-100}</math>
**<math>\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+1}-x</math>
**<math>\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+x+1}-x</math>
**<math>\lim_{x\to\infty}x^2-x</math>

===הגדרת הגבול לפי קושי===

* <math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם לכל סביבה של L בציר y קיימת סביבה של <math>x_0</math> בציר x, כך שלכל ערכי x בסביבה של <math>x_0</math> פרט אולי ל<math>x_0</math> עצמו, ערכי ציר y כלומר <math>f(x)</math> נמצאים בסביבה של L בציר y.

*דוגמאות:
**<math>\lim_{x\to 3} 2x+1=7</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל x המקיים <math>0\neq |x-3|<\delta</math> מתקיים <math>|2x+1-7|<\varepsilon </math>
**<math>\lim_{x\to 2^-}\frac{1-x}{\sqrt{2-x}}=-\infty</math> אם לכל <math>M>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל x המקיים <math>2-\delta<x<2</math> מתקיים כי <math>\frac{1-x}{\sqrt{2-x}}<-M</math>
**<math>y=a</math> אסימפטוטה אופקית מימין של <math>f(x)</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>K>0</math> כך שלכל x המקיים <math>x>K</math> מתקיים כי <math>|f(x)-a|<\varepsilon</math>

<videoflash>YTA4sI56t1Y</videoflash>

===הגדרת הגבול לפי היינה===

*<math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס <math>x_0\neq a_n\to x_0</math> סדרת המספרים על ציר y מקיימת <math>f(a_n)\to L</math>
*<math>\lim_{x\to x_0^+}f(x)=L</math> אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס <math>x_0< a_n\to x_0</math> סדרת המספרים על ציר y מקיימת <math>f(a_n)\to L</math>
*<math>\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L</math> אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס <math>x_0> a_n\to x_0</math> סדרת המספרים על ציר y מקיימת <math>f(a_n)\to L</math>

הגדרה זו שקולה להגדרה של קושי, כלומר הגבול שווה לL לפי קושי אם ורק אם הוא שווה לL לפי היינה.

*מרבית כללי האריתמטיקה המורחבות נובעים "בחינם" עבור פונקציות

*<math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם ורק אם <math>\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L</math>

<videoflash>KKFyEBxM9yo</videoflash>

===הפונקציות הטריגונומטריות===
*הגדרת סינוס וקוסינוס ע"י מעגל היחידה.
**<math>sin^2(x)+cos^2(x)=1</math>
**<math>sin(-x)=-sin(x),cos(-x)=cos(x)</math>
**<math>sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a),cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)</math>
**<math>sin(2x)=2sin(x)cos(x),cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)</math>

<videoflash>gnUkKM9PgPQ</videoflash>

*[[קובץ:Sin(x)_over_x.png|400px|link=https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%A9%D7%9C_sin(x)/x]]
**עבור זוית <math>0<x<\frac{\pi}{2}</math> שטח המשולש חסום בשטח הגזרה (משולש פיצה עם הקשה) שחסום בשטח המשולש:
**<math>S_{\triangle AOB}<S_{\bigcirc AOB}<S_{\triangle AOD}</math>
**<math>\frac{sin(x)}{2}<\frac{x}{2}<\frac{tan(x)}{2}</math>
***כיוון ש<math>0<sin(x)<x</math> בתחום <math>(0,\frac{\pi}{2})</math>, נובע לפי סנדוויץ' ש<math>\lim_{x\to 0^+}sin(x)=0</math>.
***כיוון שמדובר בפונקציה אי זוגית, נובע שזה גם הגבול משני הצדדים.
***כעת בתחום <math>(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math> הקוסינוס חיובית ולכן <math>cos(x)=\sqrt{1-sin^2(x)}</math> ונובע כי <math>\lim_{x\to 0}cos(x)=1</math>.
**נחלק את אי השיוויון הטריגונומטרי בסינוס ונקבל:
**<math>1<\frac{x}{sin(x)}<\frac{1}{cos(x)}</math>
**לפי כלל הסנדביץ <math>\lim_{x\to 0^+}\frac{sin(x)}{x}=1</math>
**כיוון שמדובר בפונקציה זוגית, נובע שהגבול משני הצדדים שווה 1.

*ראינו ש<math>\lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=1</math>.
*שימו לב ש<math>\lim_{x\to\infty}\frac{sin(x)}{x}=0</math>, כיוון שמדובר בחסומה חלקי שואפת לאינסוף.

<videoflash>YIU0hc8xe7I</videoflash>

===רציפות===

*רציפות.
*הגדרה:
*פונקציה f נקראית רציפה בקטע <math>[a,b]</math> אם f רציפה בכל נקודה בקטע <math>(a,b)</math> ובנוסף <math>\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)</math> וגם <math>\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)</math>

*טענה: אם f רציפה ב<math>x_0</math> אזי לכל סדרה <math>x_n\to x_0</math> (גם אם אינה שונה מ<math>x_0</math>) מתקיים כי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math>.

<videoflash>9y7T2Nmpv24</videoflash>

<videoflash>76vmO8IBYKQ</videoflash>

*גבול של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות.
**<math>f(x)=\frac{x}{x}, g(x)=0</math> מתקיים כי <math>\lim_{x\to 0}f(x)=1,\lim_{x\to 2}g(x)=0</math> אבל <math>\lim_{x\to 2}f(g(x))\neq 1</math>.

*הרכבת רציפות: תהי f רציפה ב<math>x_0</math> ותהי g רציפה ב<math>f(x_0)</math>. אזי <math>g\circ f</math> רציפה ב<math>x_0</math>.
**הוכחה:
**תהי סדרה <math>x_0\neq x_n\to x_0</math> אזי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math>
**לפי הטענה הקודמת, <math>g(f(x_n))\to g(f(x_0))</math>.

<videoflash>FA_XRcitd64</videoflash>

*פונקציות הפיכות (הוכחות והגדרות מדוייקות בבדידה).
**פונקציה <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל
**הפונקציה ההופכית היא <math>f^{-1}:[c,d]\to[a,b]</math> ומתקיים כי <math>f(x)=y</math> אם"ם <math>x=f^{-1}(y)</math>

*טענה: אם <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>, אזי <math>f^{-1}:[c,d]\to[a,b]</math> רציפה בקטע <math>[c,d]</math>.
**הוכחה:
**תהי <math>y_0\neq y_n\to y_0</math>, צ"ל ש <math>f^{-1}(y_n)\to f^{-1}(y_0)</math>
**יהי גבול חלקי <math>x_n=f^{-1}(y_n)\to L</math>.
**אזי <math>f(x_n)=y_n\to y_0</math>.
**מצד שני, לפי רציפות הפונקציה f מתקיים <math>f(x_n)\to f(L)</math>.
**לכן <math>f(L)=y_0</math> ולכן <math>L=f^{-1}(y_0)</math>.

<videoflash>qjSueXDanYs</videoflash>

===אי רציפות===

*מיון אי רציפות.
**רציפות - הגבול בנקודה שווה לערך בנקודה.
**סליקה - הגבול קיים וסופי בנקודה, אך שונה מהערך בנקודה או שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה.
**קפיצתית (מין ראשון) - הגבולות החד צדדיים קיימים סופיים ושונים בנקודה.
**עיקרית (מין שני) - אחד הגבולות החד צדדיים אינו קיים או שאינו סופי.

<videoflash>3zwjxNNr5tc</videoflash>

==פרק 5 - גזירות==

<videoflash>7FYVQ_fGyNE</videoflash>

===הגדרת הנגזרת===
*<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>
*<math>\displaystyle{\lim{h\to 0}} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\{h=x-x_0\} = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>
**הסבר לגבי שיטת ההצבה בה השתמשנו לעיל:
**נניח כי <math>\lim{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0)</math> ונוכיח כי <math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math>, והוכחה דומה בכיוון ההפוך.
**תהי <math>x_0\neq x_n\to x_0</math> נגדיר את הסדרה <math>0\neq h_n=x_n-x_0\to 0</math>.
**כיוון ש<math>\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}\to f'(x_0)</math> נובע כי <math>\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}\to f'(x_0)</math>.
*אם f גזירה בנקודה, היא רציפה בנקודה:
**צ"ל <math>\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)</math>
**לפי אריתמטיקה של גבולות זה שקול ל <math>\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=0</math>
**לפי עקרון win (קיצור של wouldn't it be nice?) מתקיים כי <math>\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0)=f'(x_0)\cdot 0 = 0</math>
*פונקציה הערך המוחלט אינה גזירה באפס
**<math>(|x|)'(0) = \lim_{h\to 0}\frac{|h|-|0|}{h}=\lim\frac{|h|}{h}</math> וגבול זה אינו קיים, כיוון שהגבולות החד צדדים שונים.
**ניתן לשים לב גם ש<math>|x|=\sqrt{x^2}</math>, וכמו כן נראה בהמשך כי<math>\sqrt{x}</math> אינה גזירה באפס.

<videoflash>nukvxlHm2kQ</videoflash>

===הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות===
*טריגו:
**<math>\lim_{h\to 0}\frac{1-cos(h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin^2(h)}{h(1+cos(h))}=\lim_{h\to 0}sin(h)\cdot \frac{sin(h)}{h}\cdot \frac{1}{1+cos(h)}=0\cdot 1 \cdot \frac{1}{2}=0</math>
**<math>(sin(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x)cos(h)+sin(h)cos(x)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}sin(x)\cdot \frac{cos(h)-1}{h} + cos(x)\cdot \frac{sin(h)}{h}=cos(x)</math>
**באופן דומה <math>(cos(x))'=-sin(x)</math>
*לוג:
**<math>\lim_{h\to 0}\frac{log(1+h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot log(1+h)=\lim_{h\to 0}log\left(\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}\right)=log(e)
</math>
***המעבר האחרון נובע מהעובדה שפונקצית הלוג רציפה.
***(בפרט נובע כי <math>\lim_{x\to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=1</math>.)
**<math>(log(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{log(x+h)-log(x)}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{log\left(\frac{x+h}{x}\right)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{x}\cdot\frac{log\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}=\frac{log(e)}{x}</math>
***בפרט נובע כי <math>(ln(x))' = \frac{1}{x}</math>
*אקספוננט:
**<math>\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} = \{t=a^h-1, h=log_a(1+t)\} = \lim_{t\to 0} \frac{t}{log_a(1+t)} = \frac{1}{log_a(e)} = \frac{1}{\frac{ln(e)}{ln(a)}}=ln(a)</math>
**<math>(a^x)' = \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}= \lim_{h\to 0}a^x\cdot \frac{a^h-1}{h}=a^x\cdot ln(a)</math>
***בפרט נובע כי <math>(e^x)'=e^x</math>.

<videoflash>pBYSLhpsz9g</videoflash>

<videoflash>NkPt_CFvuhY</videoflash>

*ישר:
**<math>(x)'=\displaystyle{\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)-x}{h} = 1}</math>

===חוקי הגזירה===

*תהיינה f,g גזירות ב<math>x_0</math> אזי:
**<math>(cf)'(x_0)=cf'(x_0)</math>
**<math>(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)</math>
**<math>(f\cdot g)'(x_0) = f'(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g'(x_0)</math>

<videoflash>iiF0siIWius</videoflash>

תהי g גזירה ב<math>x_0</math> ותהי f הגזירה ב<math>g(x_0)</math>:
*<math>(f\circ g)'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(g(x))-f(g(x_0))}{x-x_0}</math>
*תהי סדרה <math>x_0\neq x_n\to x_0</math>.
*רוצים לומר ש<math>\frac{f(g(x_n))-f(g(x_0))}{x_n-x_0}= \frac{f(g(x_n))-f(g(x_0))}{g(x_n)-g(x_0)}\cdot \frac{g(x_n)-g(x_0)}{x_n-x_0}\to f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)</math>.
*אמנם <math>g(x_n)\to g(x_0)</math> בגלל שהרציפות נובעת מהגזירות, אבל לא ידוע ש<math>g(x_n)\neq g(x_0)</math> ובמקרה זה אנחנו כופלים ומחלקים באפס.
*אם יש תת סדרה <math>a_n</math> של <math>x_n</math> עבורה <math>g(a_n)=g(x_0)</math> אזי <math>\frac{g(a_n)-g(x_0)}{a_n-x_0}=0</math> ולכן <math>g'(x_0)=0</math>.
*לכן <math>f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)=0</math>.
*כמו כן, <math>\frac{f(g(a_n))-f(g(x_0))}{a_n-x_0}=0</math>.
*לכן בכל מקרה קיבלנו כי <math>\frac{f(g(x_n))-f(g(x_0))}{x_n-x_0}\to f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)</math>
*סה"כ <math>(f\circ g)'(x_0)=f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)</math>.

<videoflash>uMPXs9PwxZ4</videoflash>

===נגזרת של חזקה===
*עבור <math>x>0</math> מתקיים <math>(x^\alpha)'=(e^{ln\left(x^\alpha\right)})' = (e^{\alpha\cdot ln(x)})' = e^{\alpha\cdot ln(x)}\cdot \frac{\alpha}{x} = x^\alpha \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha-1}</math>

*עבור חזקות בהן הביטוי מוגדר, <math>(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}</math> גם עבור <math>x\leq 0</math> (לפי תכונות של פונקציות זוגיות ואי זוגיות, ובאפס לפי חישוב ישיר).

*חזקה:
**<math>(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}</math> לכל <math>\alpha\in \mathbb{R}</math>, הוכחה בהמשך.
*בפרט:
**<math>(1)'=0</math>
**<math>(\frac{1}{x})' = (x^{-1})'=-\frac{1}{x^2}</math>
**<math>(\sqrt{x})'=(x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}</math>
** עבור <math>x>0</math> מתקיים <math>(\sqrt[3]{x})'=(x^{\frac{1}{3}})'=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}</math> וכיוון שהפונקציה אי זוגית נובע שהנגזרת שווה לביטוי הזה גם לשאר ערכי x.

<videoflash>UQnqIRrf12E</videoflash>

*דוגמא: חישוב הנגזרת של <math>x^x</math>

===נגזרת מנה===
תהיינה f,g גזירות בנקודה x כך ש <math>g(x)\neq 0</math>:
*נזכור כי <math>(\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}</math>
*אזי בנקודה x מתקיים: <math>\left(\frac{f}{g}\right)'=\left(f\cdot \frac{1}{g}\right)' = f'\cdot \frac{1}{g} + f\cdot \frac{-g'}{g^2} = \frac{f'g-g'f}{g^2}</math>

<videoflash>Iag0TdjdFnM</videoflash>

===פונקציות הופכיות ונגזרתן===

*טענה: תהי <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> הפיכה ורציפה. ונניח כי היא גזירה בנק' <math>a<x_0<b</math> כך ש <math>f'(x_0)\neq 0</math>.
:אזי <math>f^{-1}</math> גזירה בנק' <math>f(x_0)</math> ומתקיים כי
:<math>(f^{-1})'(f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)}</math> או בנוסח אחר-
:<math>(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}</math>
**הוכחה:
**<math>(f^{-1})'(f(x_0)) = \lim_{y\to f(x_0)}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(f(x_0))}{y-f(x_0)}</math>
**תהי <math>f(x_0)\neq y_n\to f(x_0)</math> ונסמן <math>x_n=f^{-1}(y_n)</math>.
**אזי מתוך רציפות וחח"ע נובע כי <math>x_0\neq x_n\to f^{-1}(f(x_0))=x_0</math>
**<math>\frac{f^{-1}(y_n)-f^{-1}(f(x_0))}{y_n-f(x_0)} = \frac{x_n-x_0}{f(x_n)-f(x_0)} \to \frac{1}{f'(x_0)}</math>

*דוגמא חשובה:
*<math>tan:(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\to\mathbb{R}</math> הפיכה וההופכית שלה נקראית <math>arctan</math>.
*<math>tan^2(x)+1 = \frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}+1 = \frac{1}{cos^2(x)}</math>
*<math>arctan'(x) = \frac{1}{\frac{1}{cos^2(arctan(x))}} = \frac{1}{tan^2(arctan(x))+1}=\frac{1}{1+x^2}</math>

*הנגזרות של <math>arcsin,arccos</math>

<videoflash>n9WMYrhb-6I</videoflash>

<videoflash>sryeJtePu_U</videoflash>

==פרק 6 - חקירה==

===משפט ערך הביניים===
*תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> כאשר <math>a<b\in\mathbb{R}</math>.
*עוד נניח כי <math>f(a)\leq 0</math> וכן <math>f(b)\geq 0</math>.
*אזי קיימת נקודה <math>c\in[a,b]</math> כך ש <math>f(c)=0</math>

*תהי f רציפה ב<math>[0,1]</math> כך ש<math>f(1)=2</math>, הוכיחו שקיימת נק' <math>c\in [0,1]</math> עבורה <math>f(c)=\frac{1}{c}</math>
**נעביר אגף ונביט בפונקציה <math>h(x)=f(x)-\frac{1}{x}</math> שצריך למצוא שורש שלה.
**<math>h(1)>0</math>.
**<math>\lim_{x\to 0^+}h(x)=f(0)-\infty=-\infty</math> ולכן קיימת נקודה <math>0<d<1</math> עבורה <math>h(d)<0</math>.
**לפי משפט ערך הביניים בקטע <math>[d,1]</math> קיימת נק' המאפסת את הפונקציה h.

<videoflash>WdKVN6R0NfU</videoflash>

<videoflash>pZXEn6KWtMY</videoflash>

===משפטי ויירשטראס===
*פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - חסומה.
*פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - מקבלת מינימום ומקסימום.

<videoflash>FPlpOmNQiAE</videoflash>

===משפט פרמה===
*אם פונקציה גזירה בנק' קיצון מקומי, הנגזרת שווה שם לאפס.
*ההפך אינו נכון, ייתכן שהנגזרת תתאפס אך בנקודה לא יהיה קיצון ואף לא פיתול.

<videoflash>Vlsum5uohMo</videoflash>

===משפט רול===
**תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> כך ש <math>f(a)=f(b)</math> אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>f'(c)=0</math>
*כלומר, פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח, שמקבלת את אותו ערך בקצוות - הנגזרת שלה מתאפסת בנקודה כלשהי בקטע הפתוח.

*לפולינום מדרגה n יש לכל היותר n שורשים שונים.

<videoflash>hmdp_jj9fx0</videoflash>

===משפט לגראנז' ותחומי עלייה וירידה===

*פונקציה f נקראת עולה בתחום A אם לכל <math>x_1<x_2\in A</math> מתקיים כי <math>f(x_1)\leq f(x_2)</math>
*פונקציה f נקראת יורדת בתחום A אם לכל <math>x_1<x_2\in A</math> מתקיים כי <math>f(x_1)\geq f(x_2)</math>

*תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
*כלומר קיימת נקודה בה השיפוע שווה לשיפוע המיתר בין שתי הנקודות בקצוות הקטע.

*תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> אזי f עולה בקטע <math>[a,b]</math> אם ורק אם <math>f'(x)\geq 0</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>
*כמו כן, באותם תנאים, אם <math>f'(x)\geq 0</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אזי <math>f(a)<f(b)</math> או שהפונקציה קבועה ב<math>[a,b]</math> ונגזרתה שווה אפס בקטע <math>(a,b)</math>

<videoflash>3DXDneBUnK8</videoflash>

*דוגמא
*יהי <math>a\in\mathbb{R}</math> מצאו כמה פתרונות יש למשוואה <math>sin(x)=x+a</math>

<videoflash>zX9XkY_mdDQ</videoflash>

===משפט קושי (לגראנז' המוכלל)===

*תהיינה f,g רציפות ב<math>[a,b]</math> וגזירות ב<math>(a,b)</math> כך ש<math>g'\neq 0</math> בקטע <math>(a,b)</math>.
*אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}</math>

*הוכחת משפט לגראנז' המוכלל, שמוכיח גם את משפט לגראנז' עצמו כמקרה פרטי.
**ראשית, כיוון ש<math>g'(x)\neq 0</math> בקטע <math>(a,b)</math> נובע לפי רול כי <math>g(a)\neq g(b)</math> ולכן מותר לחלק בהפרש ביניהם.
**<math>h(x)=f(x)-f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))</math>
**<math>h(a)=h(b)=0</math> ולכן לפי רול קיימת נק' <math>c\in (a,b)</math> עבורה <math>h'(c)=0</math> וזה מה שרצינו להוכיח.
**(שימו לב שמותר לחלק ב<math>g'(c)</math>.)
**עבור <math>g(x)=x</math> נקבל את משפט לאגראנז' הרגיל.

<videoflash>PTtcansFGJQ</videoflash>

===[[כלל לופיטל]]===
*תהיינה פונקציות כך ש <math>f,g\to 0</math> או <math>f,g\to \infty</math> ונניח כי <math>\frac{f'}{g'}\to L</math> אזי גם <math>\frac{f}{g}\to L</math>

<videoflash>PaDFSrtsOE4</videoflash>

====משפט סדרי הגודל====

*לכל <math>0<a,b</math> מתקיים כי:

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x^a}{(e^x)^b} =0} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x^a}{\ln^b(x)} =\infty} </math>

====דוגמאות נוספות====

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to 1} \frac{\ln(x)}{\sin(\pi x)} =-\frac{1}{\pi}} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x}{\sin(x)+2+x} =1} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} xe^{\frac{1}{x}} =\infty} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \sqrt[x]{x} =1} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} x\ln(x) =0} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} x^x =1} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x}+\ln(x) =\infty} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \left(\sin(x)\right)^{\tan^2(x)} =\frac{1}{\sqrt{e}}} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to(-\infty)} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} =-1} </math>

====הוכחת כלל לופיטל בשני המקרים====

<videoflash>bqLDkGRLUYI</videoflash>

<videoflash>0RjBoccpjo8</videoflash>

אהבתם חדו"א 1? אז תעופו על [[חדוא 2 - ארז שיינר|חדו"א 2]]!

חדוא 1 - ארז שיינר

2025-02-24T09:58:56Z

Dan ben hanoch:

[[88-132 חשבון אינפיניטיסימלי 1]]

אהבתם חדו"א 1? אז תעופו על [[חדוא 2 - ארז שיינר|חדו"א 2]]!
[[עץ|סיכומים של עץ(הו הו הו הו הו)]]

=תרגילי הכנה למבחן ופתרונותיהם=

*[[מדיה:22Calc1QnA.pdf| עשרות תרגילי הכנה למבחן עם פתרונות מלאים]]

=מבחנים ופתרונות=

===מערכי תרגול עם פתרונות===
*[[חשבון אינפיניטיסימלי 1 - מערך תרגול|מערכי תרגול]]

===מבחנים של מתמטיקה===
*[[מדיה:מבחן_ללא_פתרון_אינפי_1_בועז_צבאן_התשפה_מועד_א.pdf |מבחן 2025 אינפי בועז צבאן מועד א]] ו[[מדיה:מבחן_2025_אינפי_בועז_צבאן_מועד_א.pdf |פתרונו על ידי פרופסור בועז צבאן]]
*[[מדיה:מועד_א_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|מבחן מועד א' החממה תשפ"א]], [[מדיה:Solמועד_א_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:מועד_ב_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|מבחן מועד ב' החממה תשפ"א]], [[מדיה:solמועד_ב_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:21HamamaExmpTest.pdf|פתרון מבחן לדוגמא החממה תשפ"א]]
*[[מדיה: Infi1 tihon 2019A.pdf |מבחן מועד א תשע"ט]], [[מדיה: Infi1 tihon 2019Asol.pdf |פתרון]]
*[[מדיה:17Infi1DumbTest.pdf|מבחן דמה תשע"ז]], [[מדיה:17Infi1DumbTestSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:17Infi1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ז]], [[מדיה:17Infi1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:17Infi1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ז]], [[מדיה:17Infi1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:Calc1_2016a_exam.pdf | מבחן מועד א' תשע"ו]], [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/Infi2_76aSol.pdf פתרון המרצה], [[מדיה:Calc1_2016a_sols.pdf | פתרון המתרגלים]], [[מדיה:Calc1_2016a_sols_erez.pdf | פתרון ארז שיינר]]
*[[מדיה:אינפי_1_-_מועד_א%27_תשעג.pdf|מבחן מועד א' תשע"ג]], [[מדיה:Infi1TashagMoedASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה: infi1Exams3.pdf | מבחן מועד ב' תשע"ג]], [[מדיה: infi1Exams3Sol.pdf | פתרון חלקי]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/דמה1|מבחן דמה למתמטיקאים תשע"ב]], [[מדיה:tashabfaketestAsol.pdf|פתרון]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/דמה2|מבחן דמה נוסף תשע"ב]], [[מדיה:tashabfaketestBsol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה: infi1Exams1.pdf | מועד מיוחד תשע"ב]], [[מדיה:tashabspecialtestsol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה: infi1Exams2.pdf | מועד א' תשע"ב]], [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מתמטיקאים|פתרון]]
*[[מבחן אינפי 1 סמסטר א' מועד ב' תשע"ב| מועד ב' למתמטיקאים תשע"ב כולל פתרון]]
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד א'|מבחן מועד א' החממה תשע"א פתרון]]
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד ב'|מבחן מועד ב' החממה תשע"א פתרון]]
*[[פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א, |פתרון תשס"ב, מועד א]]
*[[פתרון אינפי 1, תשס"ג, מועד ב, |פתרון תשס"ג, מועד ב]]
*[[פתרון אינפי 1, תשנ"ט, מועד ב, |פתרון תשנ"ט, מועד ב]]
*[[פתרון אינפי 1, תש"נ |פתרון תש"נ, אין מועד]]
*[[אינפי 1, תשנ"ו מועד ב' - פתרון (זלצמן)|פתרון תשנ"ו, מועד ב']]

===מבחנים של מדמ"ח===
*[[מדיה:2489132TestA.pdf|מועד א' סמסטר ב' תשפ"ד]]
*[[מדיה:21Infi1CSSummerA.pdf|מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21Infi1CSSummerASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:21Infi1CSSummerB.pdf|מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21Infi1CSSummerBSol.pdf|פתרון חלקי]]
*[[מדיה:infi1moedExmp2021CS.pdf|מבחן לדוגמא תשפ"א]], [[מדיה:infi1moedExmp2021CSSol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא תשפ"א]]
*[[מדיה:infi1moedA2021CS.pdf|מועד א' תשפ"א]], [[מדיה:infi1moedA2021CSSol.pdf|פתרון מועד א' תשפ"א]]
*[[מדיה:infi1moedB2021CS.pdf|מועד ב' תשפ"א]], [[מדיה:infi1moedB2021CSSol.pdf|פתרון מועד ב' תשפ"א]]
*[[מדיה:infi1moedC2021CS.pdf|מועד ג' תשפ"א]], [[מדיה:infi1moedC2021CSSol.pdf|פתרון מועד ג' תשפ"א]]
*[[מדיה:19CSInfi1dumbtest.pdf|מבחן לדוגמא תש"ף]], [[מדיה:19CSInfi1dumbtestSol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא תש"ף]]
*[[מדיה:19CSInfi1A.pdf|מבחן מועד א' תש"ף]], [[מדיה:19CSInfi1ASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תש"ף]]
*[[מדיה:16CSInfi1ASol.pdf|פתרון מבחן מועד ג' תשע"ז]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעג/פתרון מועד א - גרסת שנפס|מועד א' תשע"ג פתרונות בלבד]]
*[[מדיה:TashagInfiCsexmtest.pdf|מבחן דמה תשע"ג]], [[מדיה:TashagInfiCsexmtestSol.pdf|פתרון מבחן דמה תשע"ג]]
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמח|מבחן מדמ"ח מועד א' תשעב ופתרונו]].

===מבחנים של הנדסה===
*[[83-112 חדו"א 1 להנדסה/נושאי הקורס|מבחנים בחדו"א 1 של הנדסה]] - שאלות 2,6 אינן רלונטיות לקורס זה

===מבחנים של אנליזה למורים===
*[[מבחנים בקורס אנליזה 1 למורים]] - אמנם כלל השאלות רלוונטיות, אולם הרמה הכולל של המבחנים נמוכה יותר מקורס זה

=== הצעות פתרון למבחנים מהשנים תשע"ה-תשפ"ב (תיכוניסטים) ===
ע"י לירן מנצורי ויונתן סמידוברסקי
*[[מדיה:מבחן_תשפב_מועד_א_יונתן_סמידוברסקי.pdf| מבחן תשפ"ב מועד א']]
*[[מדיה:מבחן_תשפא_מועד_א.pdf| מבחן תשפ"א מועד א']] (XI)
*[[מדיה:מבחן_תשפא_מועד_א.pdf| מבחן תשפ"א מועד א']] (XI)
*[[מדיה:מבחן_תשעט_מועד_ב_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ט מועד ב']]
*[[מדיה:פתרון_תשעט_מועד_א_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf| מבחן תשע"ט מועד א']]
*[[מדיה:תשעח_מועד_ב_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf | מבחן תשע"ח מועד ב']]
*[[מדיה:תשעח_מועד_א_יונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ח מועד א']]
*[[מדיה:פתרון_תשעז_מועד_ב_לירן מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ז מועד ב']]
*[[מדיה:מבחן_תשעז_מועד_א_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ז מועד א']]
*[[מדיה:פתרון_מבחן_תשעו_מועד_ב_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ו מועד ב']]
*[[מדיה:פתרון_מבחן_תשעו_מועד_א_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ו מועד א']]
*[[מדיה:תיקון_תשעה_מועד_ב_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ה מועד ב']]
*[[מדיה:תשעה_מועד_א'_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ה מועד א']]

===מבחנים מאוניברסיטאות שונות===
*[[אינפי 1 - מבחנים מאוניברסיטאות שונות]]

=סרטוני ותקציר ההרצאות=

[https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-sR6S1JZDECwwzGk6Z4NXWe פלייליסט של כל הסרטונים]

[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hkSHBU2VSWetKIVS1oyDT2c פלייליסט ההרצאות של אינפי 1 למדמח תשפ"א]

==פרק 1 - מספרים וחסמים==

===קבוצות מספרים===

*הטבעיים <math>\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}</math>
*השלמים <math>\mathbb{Z}=\{0,-1,1,-2,2,...\}</math>
*הרציונאליים <math>\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{n}|p\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}\right\}</math>
*הממשיים <math>\mathbb{R}</math>, כל השברים העשרוניים כולל האינסופיים

*העשרה: בנייה של שדה הממשיים באמצעות [[חתכי דדקינד]]

<videoflash>iEux7Zo_7Iw</videoflash>

*לא קיים <math>x\in\mathbb{Q}</math> כך ש <math>x^2=2</math>.
*במילים פשוטות, <math>\sqrt{2}</math> אינו רציונאלי (בהמשך נוכיח שיש מספר ממשי כזה).

<videoflash>20KPM0pRTHc</videoflash>

===חזקות ולוגריתמים===
*לכל מספר ממשי <math>x\in\mathbb{R}</math> ולכל מספר טבעי <math>n\in\mathbb{N}</math> נגדיר <math>x^n=x\cdots x</math> כפל n פעמים
*לכל מספר ממשי אי שלילי <math>0\leq x\in\mathbb{R}</math> ולכל מספר טבעי <math>n\in\mathbb{N}</math> נגדיר <math>x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}</math> כלומר המספר האי שלילי שבחזקת n שווה לx.
*לכל מספר ממשי אי שלילי <math>0\leq x\in\mathbb{R}</math> ולכל זוג מספרים טבעיים <math>n,k\in\mathbb{N}</math> נגדיר <math>x^{\frac{n}{k}}=\sqrt[k]{x^n}</math>
*לכל מספר ממשי <math>x\in\mathbb{R}</math> נגדיר <math>x^0=1</math>

*מה לגבי חזקות ממשיות אי רציונליות?
*נגדיר אותן באמצעות גבול של חזקות רציונאליות

*לכל מספר ממשי <math>x\in\mathbb{R}</math> ולכל חזקה ממשית שלילית <math>-a<0</math> נגדיר <math>x^{-a}=\frac{1}{x^a}</math>

<videoflash>vHNsel0dKHk</videoflash>

*לכל <math>0<a\neq 1</math> נגדיר את <math>log_a(x)</math> להיות המספר שa בחזקתו שווה לx.
*חוקי לוגים:
**<math>log_a(x)+log_a(y)=log_a(xy)</math>
**<math>log_a(x)-log_a(y)=log_a\left(\frac{x}{y}\right)</math>
**<math>log_a(x^y)=y log_a(x)</math>
**<math>\log_a(x)=\frac{log_b(x)}{log_b(a)}</math>
**<math>log_a(x)=y</math> אם ורק אם <math>x=a^y</math>

===חסמים===

*תהי <math>A\subseteq \mathbb{R}</math> אזי:
**<math>M\in\mathbb{A}</math> נקרא '''המקסימום''' של A או '''האיבר הגדול ביותר''' של A אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים כי <math>a\leq M</math>
**<math>M\in\mathbb{R}</math> נקרא '''חסם מלעיל''' של A אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים כי <math>a\leq M</math>
**<math>m\in\mathbb{A}</math> נקרא '''המינימום''' של A או '''האיבר הקטן ביותר''' של A אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים כי <math>a\geq m</math>
**<math>m\in\mathbb{R}</math> נקרא '''חסם מלרע''' של A אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים כי <math>a\geq m</math>

*כמו כן:
**אם יש איבר קטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל של A הוא נקרא '''החסם העליון''' של A, או '''הסופרמום''' של A ומסומן <math>\sup(A)</math>
**אם יש איבר גדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע של A הוא נקרא '''החסם התחתון''' של A, או '''האינפימום''' של A ומסומן <math>\inf(A)</math>

<videoflash>WdKqIf8xGeY</videoflash>

*בשדה הממשיים לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל יש חסם עליון, ולכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלרע יש חסם תחתון.
*בשדה הרציונאליים זה לא נכון; לקבוצה <math>A=\{x\in\mathbb{Q}|x^2<2\}</math> אין מספר רציונאלי קטן ביותר מבין חסמי המלעיל שלה.

<videoflash>7cz-S6GWg3Y</videoflash>

*תהי <math>A\subseteq \mathbb{R}</math> ויהי <math>M\in\mathbb{R}</math> אזי:
**M הוא החסם העליון של A אם ורק אם M הוא חסם מלעיל של A ולכל מספר <math>M-\varepsilon<M</math> קיים מספר <math>a\in A</math> כך ש <math>a>M-\varepsilon</math>
**m הוא החסם התחתון של A אם ורק אם m הוא חסם מלרע של A ולכל מספר <math>m<m+\varepsilon</math> קיים מספר <math>a\in A</math> כך ש <math>a<m+\varepsilon</math>

*דוגמא: תהיינה <math>\emptyset\neq A,B\subseteq\mathbb{R}</math> חסומות מלעיל כך שA אינה מכילה חסמי מלעיל של B, אזי <math>\sup(A)\leq\sup(B)</math>

<videoflash>mVCNRtV7TP0</videoflash>

===שיטות הוכחה בסיסיות===

*[[שיטות הוכחה בסיסיות]]

*הוכחת טענות מכומתות - טענות 'לכל' וטענות 'קיים'

<videoflash>QIwz6eyrcuI</videoflash>

==פרק 2 - סדרות==

===הגדרת הגבול===

*הגדרת הגבול של סדרה:
*תהי סדרה ממשית <math>a_n</math> ויהי מספר ממשי <math>L\in\mathbb{R}</math>.
*<math>L</math> הינו גבול הסדרה <math>a_n</math> (מסומן <math>\lim a_n=L</math> או <math>a_n\to L</math>) אם:
**לכל סביבה של הגבול, קיים מקום בסדרה שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה הנתונה, כלומר:
**לכל מרחק <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום <math>K\in\mathbb{N}</math> כך שאחריו לכל <math>n>K</math> מתקיים כי <math>|a_n-L|<\varepsilon</math>

<videoflash>mMVBYUDmSA0</videoflash>

*נגדיר ש<math>a_n\to\infty</math> אם לכל <math>M>0</math> קיים <math>K\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>K</math> מתקיים כי <math>a_n>M</math>
*נגדיר ש<math>a_n\to -\infty</math> אם <math>-a_n\to\infty</math>

*טענה: תהי <math>a_n\to \infty</math> אזי <math>\frac{1}{a_n}\to 0</math>
*טענה: תהי <math>0\neq a_n\to 0</math> אזי <math>\frac{1}{|a_n|}\to\infty</math>

<videoflash>U5RUHjrHVGI</videoflash>

*אם <math>a_n\to L_1</math> וכן <math>a_n\to L_2</math> אזי <math>L_1=L_2</math>

<videoflash>YE52OP_xPDA</videoflash>

*סדרה המתכנסת לגבול סופי חסומה.

<videoflash>CZnYbF1Lm7k</videoflash>

*<math>a_n\to L \iff a_{n+1}\to L</math>
*בפרט, כל שינוי, תוספת או החסרה של מספר סופי של איברים לא משפיע על גבול הסדרה.

<videoflash>nHaq8E0vGJA</videoflash>

*תהי סדרה<math>a_n</math> המתכנסת לגבול סופי והמקיימת לכל <math>n</math> כי <math>a<a_n</math> אזי <math>\lim a_n\geq a</math>

===שאיפה לאפס===

*תהי סדרה <math>a_n</math> ויהי <math>L\in\mathbb{R}</math> אזי <math>a_n\to L</math> אם ורק אם <math>|a_n-L|\to 0</math>
**בפרט <math>a_n\to 0</math> אם ורק אם <math>|a_n|\to 0</math>

*תהי <math>a_n\to 0</math> ותהי <math>b_n</math> חסומה, אזי <math>a_nb_n\to 0</math>

*תהיינה <math>a_n,b_n\to 0</math> אזי גם <math>a_n+b_n\to 0</math>

<videoflash>3QSMzWlG-yI</videoflash>

===משפטי סנדביץ'===

*משפט הסנדביץ' -
**תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי <math>a_n\leq b_n \leq c_n</math>
**כמו כן, יהי <math>L\in\mathbb{R}</math> כך ש <math>a_n,c_n\to L</math>
**אזי <math>b_n\to L</math>
*חצי סנדביץ'-
**תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי <math>a_n\leq b_n</math>
**כמו כן נתון כי <math>a_n\to\infty</math>
**אזי <math>b_n\to \infty</math>
*חצי סנדביץ' על הרצפה -
**תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי <math>|a_n|\leq b_n</math>
**כמו כן נתון כי <math>b_n\to 0</math>
**אזי <math>a_n\to 0</math>

<videoflash>AVvOiLm5COA</videoflash>

===מבוא לחשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)===
*תהיינה <math>b_n\to L_b\in \mathbb{R}</math>, <math>a_n\to L_a\in \mathbb{R}</math> אזי
**<math>a_n+b_n\to L_a+L_b</math>
**<math>a_n\cdot b_n \to L_a\cdot L_b</math>
**אם <math>L_b\neq 0</math> אזי <math>\frac{a_n}{b_n}\to\frac{L_a}{L_b}</math>

<videoflash>Hf14pSb3zDM</videoflash>

===אינדוקציה===

*משפט האינדוקציה המתמטית
*תהי סדרת טענות כך שמתקיימים שני התנאים הבאים:
**הטענה הראשונה נכונה.
**לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> אם הטענה הn מתקיימת אז גם הטענה הn+1 מתקיימת.
*אזי כל הטענות בסדרה נכונות

*אי שיוויון ברנולי: יהי <math>-1<x\in\mathbb{R}</math> אזי לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>(1+x)^n\geq 1+nx</math>

<videoflash>n6xkPhKmhQo</videoflash>

===חזקת אינסוף===

*תהי <math>0<a_n\to a</math> אזי:
**אם <math>a>1</math> מתקיים כי <math>(a_n)^n \to \infty</math>
**אם <math>a<1</math> מתקיים כי <math>(a_n)^n\to 0</math>
*שימו לב כי ייתכן ו<math>1<a_n\to 1</math>, כלומר איברי הסדרה גדולים מ1 אך גבולה הוא 1 ואז המשפט אינו תקף.

<videoflash>hFa7Nv5o05M</videoflash>

===כלל המנה===

*כלל המנה (הוכחה בסיכום הבא על [[אי-שוויון הממוצעים]]).
**תהי סדרה <math>a_n</math> המקיימת כי '''גבול''' המנה הוא <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to L</math> אזי:
***אם <math>1<L\leq\infty</math> מתקיים כי <math>|a_n|\to\infty</math>
***אם <math>0\leq L<1</math> מתקיים כי <math>a_n\to 0</math>
***מתקיים כי <math>\sqrt[n]{|a_n|}\to L</math>

*דוגמאות:
**<math>\frac{n}{2^n}\to 0</math>
**<math>\sqrt[n]{n}\to 1</math>
**עבור <math>a>0</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{a}\to 1</math>
**<math>\sqrt[n]{n!}\to \infty</math>

<videoflash>Shmc2BtEGBE</videoflash>

===חזקות של גבולות===

*יהי <math>0<a\in\mathbb{R}</math> ותהי <math>b_n\to 0</math> אזי <math>a^{b_n}\to 1</math>
**רעיון הוכחה: אם <math>a\geq 1</math> אזי <math>a^{-\frac{1}{m}}\leq a^{b_n}\leq a^{\frac{1}{m}}</math> והרי <math>\sqrt[m]{a}\to 1</math> לפי כלל המנה

*יהי <math>0<a\in\mathbb{R}</math> ותהי <math>b_n\to L\in \mathbb{R}</math> אזי <math>a^{b_n}\to a^L</math>
**רעיון הוכחה: <math>a^{b_n} = a^{b_n-L}\cdot a^L\to 1\cdot a^L</math>

*תהי <math>a_n\to 1</math> ותהי <math>b_n\to L\in\mathbb{R}</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to 1</math>
**רעיון הוכחה:<math>a_n^{[L]-1}\leq a_n^{b_n}\leq a_n^{[L]+1}</math> לפי חשבון גבולות (כפל) שני הצדדים שואפים ל1. (אם <math>a_n<1</math> אי השיוויון הפוך).

*תהי <math>a_n\to a>0</math> ותהי <math>b_n\to L\in\mathbb{R}</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to a^L</math>
**רעיון הוכחה: <math>a_n^{b_n}=\left(\frac{a_n}{a}\right)^{b_n} \cdot a^{b_n} \to 1\cdot a^L</math>

*תהי <math>0\leq a_n\to 0</math> ותהי <math>b_n\to L>0</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to 0</math>
**רעיון הוכחה: החל משלב מסויים <math>0\leq a_n^{b_n}\leq \frac{1}{m^{\frac{L}{2}}} </math>

===סדרות מונוטוניות והמספר e===
*כל סדרה מונוטונית הינה חסומה מתכנסת לגבול סופי, או שאינה חסומה ושואפת לגבול אינסופי.

*דוגמא: נביט בסדרה <math>a_1>0,\ a_{n+1}=a_n^2+a_n</math>
**כיוון ש <math>a_{n+1}-a_n=a_n^2\geq 0</math> מדובר בסדרה מונוטונית עולה.
**אם הסדרה חסומה:
***קיים לה גבול סופי <math>a_n\to L</math>
***נחשב את גבול שני צידי המשוואה <math>a_{n+1}=a_n^2+a_n</math>
***לכן <math>L=L^2+L</math> ולכן <math>L=0</math>
***אבל הסדרה עולה וחסומה מלמטה ע"י האיבר הראשון ולכן <math>L\geq a_1</math>
***כלומר <math>L=0<a_1\leq L</math> בסתירה.
**מכאן הסדרה אינה חסומה, וכיוון שהיא עולה <math>a_n\to\infty</math>

<videoflash>pTVTkSlxJdI</videoflash>

*[[המספר e]] (הוכחות בעזרת [[אי-שוויון הממוצעים]]).

<videoflash>v7tyKNPU-7I</videoflash>

*<math>2<e<4</math>.

<videoflash>6TohAEqQwsk</videoflash>

===תתי סדרות וגבולות חלקיים===
====הגדרת גבול חלקי====
*לכל סדרת מקומות <math>k_n\in\mathbb{N}</math> המקיימת לכל <math>n</math> כי <math>k_n<k_{n+1}</math> נגדיר כי <math>a_{k_n}</math> הינה תת סדרה של הסדרה <math>a_n</math>
*שימו לב כי מקומות תת הסדרה הם באותו הסדר כמו בסדרה המקורית, ואסור לחזור על איבר פעמיים.

*לדוגמא:
**נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math>
**אזי <math>a_{2n}=(-1)^{2n}=1</math> היא תת הסדרה של האיברים במקומות הזוגיים <math>k_n=2n</math>

*נגדיר ש<math>L</math> הוא גבול חלקי של הסדרה <math>a_n</math> אם קיימת תת סדרה <math>a_{k_n}</math> כך ש <math>a_{k_n}\to L</math>

*טענה - יהי <math>L</math> סופי או אינסופי, אזי:
**<math>a_n\to L</math> אם ורק אם לכל תת סדרה <math>a_{k_n}</math> מתקיים כי <math>a_{k_n}\to L</math>

<videoflash>rvdm2_7g-7I</videoflash>

====משפט בולצאנו-ויירשטראס====
*לכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית.

*משפט בולצאנו-ויירשטראס - לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת.

<videoflash>R491ZyCHhBs</videoflash>

====גבול עליון וגבול תחתון====

*תהי סדרה <math>a_n</math>
*נגדיר את הגבול העליון שלה (limsup):
**אם <math>a_n</math> אינה חסומה מלעיל אזי <math>\overline{\lim}a_n=\infty</math>
**אם <math>a_n</math> חסומה מלעיל ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את <math>\overline{\lim}a_n</math> להיות החסם העליון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה
**אחרת, נגדיר <math>\overline{\lim}a_n=-\infty</math>
*נגדיר את הגבול התחתון שלה (liminf):
**אם <math>a_n</math> אינה חסומה מלרע אזי <math>\underline{\lim}a_n=-\infty</math>
**אם <math>a_n</math> חסומה מלרע ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את <math>\underline{\lim}a_n</math> להיות החסם התחתון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה
**אחרת, נגדיר <math>\underline{\lim}a_n=\infty</math>

*לכל גבול חלקי L של הסדרה מתקיים כי:
*<math>\underline{\lim}a_n\leq L\leq \overline{\lim}a_n</math>

<videoflash>n71Zy87PbEE</videoflash>

*הגבול העליון והגבול התחתון הם גבולות חלקיים (כלומר יש תת סדרה ששואפת לגבול העליון, ויש תת סדרה ששואפת לגבול התחתון).

<videoflash>zF_5NdFJbAg</videoflash>

*לכל <math>-\infty\leq L\leq \infty</math> מתקיים כי <math>a_n \to L</math> אם ורק אם <math>\underline{\lim}a_n=\overline{\lim}a_n=L</math>

<videoflash>j4C_2yvKpN0</videoflash>

====תתי סדרות המכסות סדרה====

*אם ניתן לחלק סדרה למספר סופי של תתי סדרות המכסות את כולה, וכולן שואפות לאותו הגבול - אזי הסדרה כולה שואפת לגבול זה.
*ייתכן שניתן לחלק סדרה לאינסוף תתי סדרות שכולם שואפות לאותו הגבול, אך הסדרה לא תשאף לגבול זה.

<videoflash>Y0Jpalk44do</videoflash>

===כלל הe===

*תהי <math>0\neq a_n\to 0</math> אזי <math>(1+a_n)^{\frac{1}{a_n}}\to e</math>

<videoflash>y7yPjqyGOIg</videoflash>

*אם <math>a_n\to 1</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to e^{\lim b_n\cdot(a_n-1)}</math>
**<math>a_n^{b_n}=\left[\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\right]^{ b_n\cdot (a_n-1)}</math>.
**<math>\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\to e</math> בין אם <math>a_n-1</math> שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.
**שימו לב שאם <math>a_n=1</math>, אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק ב<math>a_n-1</math> ששווה אפס.

*דוגמא:
**<math>\lim\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n=e^{\lim n\cdot\left(\frac{n+1}{n-2}-1\right)}=e^{\lim\frac{3n}{n-2}}=e^3</math>

<videoflash>5V4EmQIdE90</videoflash>

===חשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)===

*אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
**חסומה כפול אפיסה = אפיסה
**חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
**<math>\infty+\infty=\infty</math>
**<math>\infty\cdot\infty=\infty</math>
**<math>\infty^\infty=\infty</math>
**<math>\frac{1}{0}\neq\infty</math>
**<math>\frac{1}{0^+}=\infty</math>
**<math>0^\infty = 0</math>
**אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
**יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
**אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
**אינסוף בחזקת מספר חיובי זה אינסוף
**סדרה השואפת לגבול גדול מאחד, בחזקת אינסוף זה אינסוף.
**סדרה השואפת לגבול בין מינוס אחד לאחד לא כולל, בחזקת אינסוף, זה אפס.

====המקרים הבעייתיים====
*המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
**<math>\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty</math>

===קריטריון קושי לסדרות===

*דוגמא: הסדרה <math>a_n=\sqrt{n}</math> מקיימת כי <math>a_{n+1}-a_n\to 0</math> אך היא אינה מתכנסת למספר סופי אלא שואפת לאינסוף.

*הגדרה: סדרה <math>a_n</math> מקיימת את '''קריטריון קושי''' (ונקראת '''סדרת קושי''') אם:
*לכל מרחק <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום <math>K\in\mathbb{N}</math> כך שאחריו לכל זוג מקומות <math>m>n>K</math> מתקיים כי <math>|a_m-a_n|<\varepsilon</math> (המרחק בין האיברים במקומות הללו קטן מאפסילון).

*משפט: בממשיים, סדרה מתכנסת לגבול סופי אם ורק אם היא סדרת קושי.

*תרגיל: תהי סדרה המקיימת לכל n כי <math>|a_{n+1}-a_n|<\frac{1}{2^n}</math> אזי היא מתכנסת למספר סופי.

<videoflash>S56cCgc9U38</videoflash>

==פרק 3 - טורים==
[https://youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-t4S3UxsuuifepjuWgbJ7_5 פלייליסט של כל טורים]
===מבוא והגדרה===
<videoflash>E3DLm1YxOko</videoflash>

*תהי סדרה <math>a_n</math>, נגדיר את '''סדרת הסכומים החלקיים''' (סס"ח בקיצור) של <math>a_n</math> ע"י
**<math>S_1=a_1</math>
**ולכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים <math>S_{n+1}=S_n+a_{n+1}</math>
*במילים אחרות, <math>S_n = \sum_{k=1}^n a_k</math>

*הגדרת הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math>
**אומרים כי <math>\sum_{k=1}^\infty a_k =L</math> אם <math>\lim S_n = L</math>
*אם לסס"ח יש גבול סופי אומרים כי הטור מתכנס, ואילו אם אין לה גבול סופי אומרים כי הטור מתבדר.
*שימו לב כי בעצם:
**<math>\sum_{k=1}^\infty a_k = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n a_k</math>

*אם הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס, אזי <math>a_n\to 0</math>
*הוכחה:
**<math>S_n,S_{n+1}\to L</math>
**לכן <math>a_{n+1}=S_{n+1}-S_n\to L-L=0</math>

*<math>\sum_{k=1}^\infty a_k = a_1 + \sum_{k=2}^\infty a_k</math>
*מסקנה: שינוי מספר סופי של איברי הטור לא משפיע על התכנסות, אבל '''כן משפיע''' על סכום הטור.

<videoflash>v-qwJWYvuNY</videoflash>

====חשבון טורים====

*אם הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס, ו<math>c\in\mathbb{R}</math> קבוע אזי
**<math>\sum_{k=1}^\infty c\cdot a_k = c\cdot \sum_{k=1}^\infty a_k</math>

*אם הטורים <math>\sum_{k=1}^\infty a_k,\ \sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנסים אזי
**<math>\sum_{k=1}^\infty (a_k+b_k) = \sum_{k=1}^\infty a_k + \sum_{k=1}^\infty b_k</math>

====הטור ההנדסי====
*הטור <math>\sum_{k=0}^\infty x^k</math> מתכנס אם ורק אם <math>|x|<1</math> וכאשר הוא מתכנס מתקיים כי:
**<math>\sum_{k=0}^\infty x^k = \frac{1}{1-x}</math> וכמו כן <math>\sum_{k=1}^\infty x^k = \frac{x}{1-x}</math>

<videoflash>suDMRh69Lgc</videoflash>

====טור מקל סלפי (טלסקופי)====

*חישוב <math>\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^2 -k}</math> על ידי הסס"ח הטלסקופי

*חישוב <math>\sum_{k=1}^\infty \ln\left(\frac{k}{k+1}\right)</math> על ידי הסס"ח הטלסקופי

<videoflash>uZHNxYO7S-Q</videoflash>

====העשרה על סוגי סכימה====

<videoflash>54MQXVhM9vU</videoflash>

===התכנסות בהחלט===
*משפט: אם טור הערכים המוחלטים <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math> מתכנס, אזי גם הטור המקורי <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס.

*הגדרה:
**הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> נקרא '''מתכנס בהחלט''' אם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס וגם <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math> מתכנס
**הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> נקרא '''מתכנס בתנאי''' אם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס אך <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math> מתבדר
**הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> נקרא '''מתבדר''' אם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתבדר וגם <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math> מתבדר

<videoflash>OFcOpUNprTo</videoflash>

*משפט: (הכללת אי שיוויון המשולש) יהי טור מתכנס בהחלט, אזי:
*<math>\left|\sum_{k=0}^\infty a_k\right|\leq \sum_{k=0}^\infty |a_k|</math>

*הוכחה:
*לפי אי שיוויון המשולש, לכל n סופי מתקיים כי
*<math>\left|\sum_{k=0}^n a_k\right|\leq \sum_{k=0}^n |a_k|</math>
*ולכן גם הגבול של הסדרה השמאלית קטן או שווה לגבול של הסדרה הימנית, וזו התוצאה שרצינו.

===מבחני התכנסות לטורים חיוביים===

====הקדמה והטור ההרמוני====
*הגדרה: טור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> נקרא טור חיובי אם לכל n מתקיים כי <math>a_n\geq 0</math>.
*סדרת הסכומים החלקיים של טור חיובי היא מונוטונית עולה, לכן הטור מתכנס אם ורק אם היא חסומה.

*לסס"ח של הטור ההרמוני <math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}</math> יש תת סדרה ששואפת לאינסוף, ולכן הטור מתבדר:
**<math>\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}\geq \frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}</math>
**<math>S_1 =1\geq \frac{1}{2}</math>
**<math>S_2 =1+\frac{1}{2}\geq 2\cdot \frac{1}{2}</math>
**<math>S_4 =1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\geq 3\cdot \frac{1}{2}</math>
**...
**באופן כללי <math>S_{2^{n-1}}\geq n\cdot \frac{1}{2}\to\infty</math>

<videoflash>M3B6018c-4g</videoflash>

====מבחני ההשוואה====

*מבחן ההשוואה הראשון-
*תהיינה סדרות כך ש <math>0\leq a_n\leq b_n</math> לכל n. אזי:
** אם הטור הגדול יותר <math>\sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנס בוודאי הטור הקטן יותר <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס.
** נובע מכך לוגית שאם הטור הקטן מתבדר, הטור הגדול מתבדר.

*דוגמא:
**<math>\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n^2-n}</math>
**ראינו שהטור החיובי <math>\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^2-k}</math> מתכנס ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון גם הטור החיובי <math>\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}</math> מתכנס

*מבחן ההשוואה הגבולי-
*תהיינה סדרות <math>0\leq a_n,b_n</math> כך ש <math>\frac{a_n}{b_n}\to c</math> אזי:
** אם <math>c=\infty</math> אזי <math>a_n>b_n</math> החל משלב מסויים, ולכן אם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס גם <math>\sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנס
** אם <math>c=0</math> אזי <math>a_n<b_n</math> החל משלב מסויים, ולכן אם <math>\sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנס גם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס
** אחרת, <math>0<c\in\mathbb{R}</math> והטורים '''חברים''' <math>\sum_{k=1}^\infty a_k ~ \sum_{k=1}^\infty b_k</math>, כלומר <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס אם ורק אם <math>\sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנס

*דוגמא:
**<math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\left(\sqrt[k]{k!}\right)^2} \sim \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}</math>

<videoflash>DDOups05oms</videoflash>

====מבחני השורש והמנה====

*יהי טור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math>

*מבחן המנה -
**אם <math>\overline{\lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1</math> אזי הטור '''מתכנס בהחלט'''
**אם <math>\underline{\lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1</math> אזי <math>a_n\not\to 0</math> ולכן הטור '''מתבדר'''

*מבחן השורש -
**אם <math>\overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}<1</math> אזי הטור '''מתכנס בהחלט'''
**אם <math>\overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}>1</math> אזי <math>a_n\not\to 0</math> ולכן הטור '''מתבדר'''

*שימו לב - במבחן השורש לוקחים את הגבול העליון בשני המקרים, ובמבחן המנה צריך שהעליון יהיה קטן מאחד, או התחתון גדול מאחד. זו לא טעות...

<videoflash>Y7k-a29_03g</videoflash>

====מבחן העיבוי====

*מבחן העיבוי-
**תהי <math>0\leq a_n</math> סדרה '''מונוטונית''' יורדת אזי הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס אם ורק אם <math>\sum_{k=1}^\infty 2^k \cdot a_{(2^k)}</math> מתכנס

*הוכחה:
** ראשית, נוכיח באינדוקציה כי <math>\sum_{k=1}^n 2^{k-1}a_{2^k} \leq \sum_{k=2}^{2^n} a_k</math> כלומר
**<math> a_2 + 2\cdot a_4 +4\cdot a_8+... = a_2 + a_4 + a_4 +a_8 + a_8 + a_8 + a_8 + ... \leq a_2 + a_3 + a_4 +a_5 + a_6 +a_7 +a _8 +...</math>
**כעת נוכיח באינדוקציה כי <math>\sum_{k=0}^{n-1} 2^k a_{2^k}\geq \sum_{k=1}^{2^n-1}a_k</math>
*סה"כ אם הטור האחד מתכנס, הסס"ח של השני חסומה ולכן גם השני מתכנס.

<videoflash>UozGPSlW8fM</videoflash>

=====הטור ההרמוני המוכלל=====

*הטור <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^a}</math> מתכנס אם ורק אם <math>a>1</math>

*דוגמאות:

*<math>\sum_{k=2}^\infty\frac{1}{k\cdot\ln(k)}</math>

*<math>\sum_{k=2}^\infty\frac{1}{\ln(k!)}</math>

*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|עוד דוגמאות]]

===מבחני התכנסות לטורים כלליים===

====מבחן דיריכלה====

*תהי סדרה <math>a_n\to 0</math> סדרה '''מונוטונית''' יורדת לאפס
*תהי סדרה <math>b_n</math> כך ש'''הסס"ח''' שלה חסומה, כלומר קיים <math>M>0</math> כך שלכל n מתקיים <math>|S_n|=\left|\sum_{k=1}^nb_k\right|<M</math>
*אזי הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_kb_k</math> מתכנס.

*דוגמאות:
**<math>\sum\frac{\sin(n)}{n}</math>
**<math>\sum\frac{|\sin(n)|}{n}</math>

<videoflash>m5kFinYjG8A</videoflash>

*הוכחה:
*נסמן ב<math>D_n</math> את סדרת הסכומים החלקיים של הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_kb_k</math> וב<math>S_n</math> את סדרת הסכומים החלקיים של <math>b_n</math>.
*יהיו <math>m>n\in\mathbb{N}</math>
**<math>D_m-D_n = \sum_{k=n+1}^m a_kb_k = \sum_{k=n+1}^m a_k(S_k -S_{k-1}) = \sum_{k=n+1}^m a_kS_k - \sum_{k=n}^{m-1} a_{k+1}S_k = a_mS_m -a_{n+1}S_n + \sum_{k=n+1}^{m-1} S_k(a_k-a_{k+1})</math>
**<math>|D_m-D_n|\leq |a_m||S_m| + |a_{n+1}| |S_n| +\sum_{k=n+1}^{m-1} |S_k||a_k-a_{k+1}|</math>
**כעת נשתמש בעובדה כי <math>|S_n|<M</math> לכל n, <math>a_n</math> סדרה חיובית, וכן <math>a_n - a_{n+1}\geq 0</math> לכל n.
**<math>|D_m-D_n|\leq M\left(a_m + a_{n+1} +\sum_{k=n+1}^{m-1} a_k-a_{k+1}\right)= 2Ma_{n+1}\to 0</math>
*לכן <math>D_n</math> סדרת קושי ולכן מתכנסת לגבול סופי, כלומר הטור מתכנס.

<videoflash>Ou3ixbIVfYI</videoflash>

====מבחן לייבניץ====

*תהי <math>a_n\to 0</math> סדרה '''מונוטונית''' יורדת לאפס. אזי:
** הטור <math>\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}a_k</math> מתכנס.
**<math>\left|\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}a_k\right|\leq a_1</math>.

*הוכחה:
**כיוןן שהסס"ח של <math>(-1)^{n+1}</math> חסומה הטור מתכנס לפי מבחן דיריכלה.
**נסמן ב<math>S_n</math> את הסס"ח של הטור <math>\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}a_k</math>.
**כיוון שהסדרה <math>a_n</math> יורדת, ניתן להוכיח באינדוקציה כי:
***<math>S_{2n}\geq 0</math>
***<math>S_{2n-1}\leq a_1</math>

<videoflash>nJU3b5zvURQ</videoflash>

===סיכום בדיקת התכנסות 🖖===

*כיצד נבחן אם הטור <math>\sum a_n</math> מתכנס בהחלט, בתנאי או מתבדר?

#אם ניתן להראות כי <math>a_n\not\to 0</math> הטור מתבדר
# נבצע מבחני ספוק 🖖
##אם לפי מבחני ההשוואה (הראשון או הגבולי) הטור <math>\sum |a_n|</math> אינו מתכנס, אז אין התכנסות בהחלט, נעבר לבדוק התכנסות בתנאי.
##אם במבחן המנה או השורש הגבול גדול מ1 הטור מתבדר, אם קטן מ1 הטור מתכנס בהחלט ואם שווה ל1 צריך לנסות משהו אחר.
##אם במבחן העיבוי הטור <math>\sum |a_n|</math> אינו מתכנס, אז אין התכנסות בהחלט, נעבר לבדוק התכנסות בתנאי.
#אם לא מצאנו התכנסות בהחלט, נבצע מבחנים על טורים כלליים בשביל לבדוק התכנסות בתנאי
##מבחן לייבניץ
##מבחן דיריכלה
##עבודה ישירה על סדרת הסכומים החלקיים (טור טלסקופי למשל)

===סכום האיברים החיוביים, וסכום האיברים השליליים===
*תהי סדרה <math>a_n</math> ונגדיר את:
**<math>a_n^+=\begin{cases}a_n & a_n\geq 0\\ 0 & a_n<0\end{cases}</math>
**<math>a_n^-=\begin{cases}0 & a_n\geq 0\\ -a_n & a_n<0\end{cases}</math>

*<math>a_n=a_n^+-a_n^-</math>
*<math>|a_n|=a_n^++a_n^-</math>

*הטור <math>\sum a_k</math> מתכנס בהחלט אם ורק אם הטורים <math>\sum a_k^+, \sum a_k^-</math> מתכנסים שניהם.
*אם הטור <math>\sum a_k</math> מתכנס בתנאי אזי הטורים <math>\sum a_k^+, \sum a_k^-</math> מתבדרים שניהם ושואפים לאינסוף.

*כפי שהוכחנו בעבר בדרך שונה, אם הטור מתכנס בהחלט נובע ש<math>\sum a_k^+, \sum a_k^-</math> מתכנסים שניהם, וביחד עם העובדה ש<math>a_n=a_n^+-a_n^-</math> נובע שהטור מתכנס.

<videoflash>XEl8ZykrNcw</videoflash>

===שינוי סדר הסכימה===

*תהי <math>f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}</math> פונקציה הפיכה ותהי סדרה <math>a_n</math> אז נאמר ש<math>p_n=a_{f(n)}</math> היא שינוי סדר של הסדרה <math>a_n</math>.

*תרגיל - אם <math>a_n\to L</math> גם שינוי הסדר מקיים <math>p_n\to L</math>

*דוגמא:
**<math>a_n=1,-1,1,-1,...</math>
**<math>f(n)=1,3,2,5,7,4,9,11,6,...</math>
**<math>p_n=a_{f(n)}=1,1,-1,1,1,-1,...</math>

*בדוגמא האחרונה:
*נסמן ב<math>S_n</math> את הסס"ח של <math>a_n</math> ומתקיים כי:
**<math>S_n=1,0,1,0,...</math>
*נסמן ב<math>D_n</math> את הסס"ח של שינוי הסדר <math>p_n</math>, מתקיים כי:
**<math>D_n =1,2,1,2,3,2,3,4,3,...</math>
*שינוי הסדר אמנם הותיר את הטור מתבדר, אך הפך את סדרת הסכומים החלקיים מחסומה לשואפת לאינסוף.

<videoflash>ASXMi-rBCv0</videoflash>

====משפט רימן====
*משפט רימן - יהי טור מתכנס בתנאי <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> אזי לכל <math>-\infty\leq S \leq \infty</math> קיים שינוי סדר כך ש <math>\sum_{k=1}^\infty p_k=S</math>
*כלומר, אם הטור מתכנס בתנאי, ניתן לגרום לו להתכנס לכל ערך שנרצה (ואף לשאוף לפלוס או מינוס אינסוף), על ידי שינוי סדר איברי הסדרה.

<videoflash>e_tBsPs5vq4</videoflash>

====שינוי סדר הסכימה של טור מתכנס בהחלט====
*יהי טור מתכנס בהחלט <math>\sum_{k=1}^\infty a_k =S</math> אזי לכל שינוי סדר <math>p_n</math> מתקיים כי <math>\sum_{k=1}^\infty p_k=S</math>
*כלומר, שינוי סדר איברי הסדרה אינו משפיע על סכום הטור.

<videoflash>GG76LdzRvKo</videoflash>

==פרק 4 - פונקציות ורציפות==
===מבוא לגבולות===

<videoflash>OMJWXoSIlX0</videoflash>

*מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית, חילוק פולינומים).
**<math>\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}</math>
**<math>\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+5x+3}{3x^2-100}</math>
**<math>\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+1}-x</math>
**<math>\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+x+1}-x</math>
**<math>\lim_{x\to\infty}x^2-x</math>

===הגדרת הגבול לפי קושי===

* <math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם לכל סביבה של L בציר y קיימת סביבה של <math>x_0</math> בציר x, כך שלכל ערכי x בסביבה של <math>x_0</math> פרט אולי ל<math>x_0</math> עצמו, ערכי ציר y כלומר <math>f(x)</math> נמצאים בסביבה של L בציר y.

*דוגמאות:
**<math>\lim_{x\to 3} 2x+1=7</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל x המקיים <math>0\neq |x-3|<\delta</math> מתקיים <math>|2x+1-7|<\varepsilon </math>
**<math>\lim_{x\to 2^-}\frac{1-x}{\sqrt{2-x}}=-\infty</math> אם לכל <math>M>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל x המקיים <math>2-\delta<x<2</math> מתקיים כי <math>\frac{1-x}{\sqrt{2-x}}<-M</math>
**<math>y=a</math> אסימפטוטה אופקית מימין של <math>f(x)</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>K>0</math> כך שלכל x המקיים <math>x>K</math> מתקיים כי <math>|f(x)-a|<\varepsilon</math>

<videoflash>YTA4sI56t1Y</videoflash>

===הגדרת הגבול לפי היינה===

*<math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס <math>x_0\neq a_n\to x_0</math> סדרת המספרים על ציר y מקיימת <math>f(a_n)\to L</math>
*<math>\lim_{x\to x_0^+}f(x)=L</math> אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס <math>x_0< a_n\to x_0</math> סדרת המספרים על ציר y מקיימת <math>f(a_n)\to L</math>
*<math>\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L</math> אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס <math>x_0> a_n\to x_0</math> סדרת המספרים על ציר y מקיימת <math>f(a_n)\to L</math>

הגדרה זו שקולה להגדרה של קושי, כלומר הגבול שווה לL לפי קושי אם ורק אם הוא שווה לL לפי היינה.

*מרבית כללי האריתמטיקה המורחבות נובעים "בחינם" עבור פונקציות

*<math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם ורק אם <math>\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L</math>

<videoflash>KKFyEBxM9yo</videoflash>

===הפונקציות הטריגונומטריות===
*הגדרת סינוס וקוסינוס ע"י מעגל היחידה.
**<math>sin^2(x)+cos^2(x)=1</math>
**<math>sin(-x)=-sin(x),cos(-x)=cos(x)</math>
**<math>sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a),cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)</math>
**<math>sin(2x)=2sin(x)cos(x),cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)</math>

<videoflash>gnUkKM9PgPQ</videoflash>

*[[קובץ:Sin(x)_over_x.png|400px|link=https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%A9%D7%9C_sin(x)/x]]
**עבור זוית <math>0<x<\frac{\pi}{2}</math> שטח המשולש חסום בשטח הגזרה (משולש פיצה עם הקשה) שחסום בשטח המשולש:
**<math>S_{\triangle AOB}<S_{\bigcirc AOB}<S_{\triangle AOD}</math>
**<math>\frac{sin(x)}{2}<\frac{x}{2}<\frac{tan(x)}{2}</math>
***כיוון ש<math>0<sin(x)<x</math> בתחום <math>(0,\frac{\pi}{2})</math>, נובע לפי סנדוויץ' ש<math>\lim_{x\to 0^+}sin(x)=0</math>.
***כיוון שמדובר בפונקציה אי זוגית, נובע שזה גם הגבול משני הצדדים.
***כעת בתחום <math>(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math> הקוסינוס חיובית ולכן <math>cos(x)=\sqrt{1-sin^2(x)}</math> ונובע כי <math>\lim_{x\to 0}cos(x)=1</math>.
**נחלק את אי השיוויון הטריגונומטרי בסינוס ונקבל:
**<math>1<\frac{x}{sin(x)}<\frac{1}{cos(x)}</math>
**לפי כלל הסנדביץ <math>\lim_{x\to 0^+}\frac{sin(x)}{x}=1</math>
**כיוון שמדובר בפונקציה זוגית, נובע שהגבול משני הצדדים שווה 1.

*ראינו ש<math>\lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=1</math>.
*שימו לב ש<math>\lim_{x\to\infty}\frac{sin(x)}{x}=0</math>, כיוון שמדובר בחסומה חלקי שואפת לאינסוף.

<videoflash>YIU0hc8xe7I</videoflash>

===רציפות===

*רציפות.
*הגדרה:
*פונקציה f נקראית רציפה בקטע <math>[a,b]</math> אם f רציפה בכל נקודה בקטע <math>(a,b)</math> ובנוסף <math>\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)</math> וגם <math>\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)</math>

*טענה: אם f רציפה ב<math>x_0</math> אזי לכל סדרה <math>x_n\to x_0</math> (גם אם אינה שונה מ<math>x_0</math>) מתקיים כי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math>.

<videoflash>9y7T2Nmpv24</videoflash>

<videoflash>76vmO8IBYKQ</videoflash>

*גבול של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות.
**<math>f(x)=\frac{x}{x}, g(x)=0</math> מתקיים כי <math>\lim_{x\to 0}f(x)=1,\lim_{x\to 2}g(x)=0</math> אבל <math>\lim_{x\to 2}f(g(x))\neq 1</math>.

*הרכבת רציפות: תהי f רציפה ב<math>x_0</math> ותהי g רציפה ב<math>f(x_0)</math>. אזי <math>g\circ f</math> רציפה ב<math>x_0</math>.
**הוכחה:
**תהי סדרה <math>x_0\neq x_n\to x_0</math> אזי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math>
**לפי הטענה הקודמת, <math>g(f(x_n))\to g(f(x_0))</math>.

<videoflash>FA_XRcitd64</videoflash>

*פונקציות הפיכות (הוכחות והגדרות מדוייקות בבדידה).
**פונקציה <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל
**הפונקציה ההופכית היא <math>f^{-1}:[c,d]\to[a,b]</math> ומתקיים כי <math>f(x)=y</math> אם"ם <math>x=f^{-1}(y)</math>

*טענה: אם <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>, אזי <math>f^{-1}:[c,d]\to[a,b]</math> רציפה בקטע <math>[c,d]</math>.
**הוכחה:
**תהי <math>y_0\neq y_n\to y_0</math>, צ"ל ש <math>f^{-1}(y_n)\to f^{-1}(y_0)</math>
**יהי גבול חלקי <math>x_n=f^{-1}(y_n)\to L</math>.
**אזי <math>f(x_n)=y_n\to y_0</math>.
**מצד שני, לפי רציפות הפונקציה f מתקיים <math>f(x_n)\to f(L)</math>.
**לכן <math>f(L)=y_0</math> ולכן <math>L=f^{-1}(y_0)</math>.

<videoflash>qjSueXDanYs</videoflash>

===אי רציפות===

*מיון אי רציפות.
**רציפות - הגבול בנקודה שווה לערך בנקודה.
**סליקה - הגבול קיים וסופי בנקודה, אך שונה מהערך בנקודה או שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה.
**קפיצתית (מין ראשון) - הגבולות החד צדדיים קיימים סופיים ושונים בנקודה.
**עיקרית (מין שני) - אחד הגבולות החד צדדיים אינו קיים או שאינו סופי.

<videoflash>3zwjxNNr5tc</videoflash>

==פרק 5 - גזירות==

<videoflash>7FYVQ_fGyNE</videoflash>

===הגדרת הנגזרת===
*<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>
*<math>\displaystyle{\lim{h\to 0}} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\{h=x-x_0\} = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>
**הסבר לגבי שיטת ההצבה בה השתמשנו לעיל:
**נניח כי <math>\lim{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0)</math> ונוכיח כי <math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math>, והוכחה דומה בכיוון ההפוך.
**תהי <math>x_0\neq x_n\to x_0</math> נגדיר את הסדרה <math>0\neq h_n=x_n-x_0\to 0</math>.
**כיוון ש<math>\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}\to f'(x_0)</math> נובע כי <math>\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}\to f'(x_0)</math>.
*אם f גזירה בנקודה, היא רציפה בנקודה:
**צ"ל <math>\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)</math>
**לפי אריתמטיקה של גבולות זה שקול ל <math>\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=0</math>
**לפי עקרון win (קיצור של wouldn't it be nice?) מתקיים כי <math>\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0)=f'(x_0)\cdot 0 = 0</math>
*פונקציה הערך המוחלט אינה גזירה באפס
**<math>(|x|)'(0) = \lim_{h\to 0}\frac{|h|-|0|}{h}=\lim\frac{|h|}{h}</math> וגבול זה אינו קיים, כיוון שהגבולות החד צדדים שונים.
**ניתן לשים לב גם ש<math>|x|=\sqrt{x^2}</math>, וכמו כן נראה בהמשך כי<math>\sqrt{x}</math> אינה גזירה באפס.

<videoflash>nukvxlHm2kQ</videoflash>

===הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות===
*טריגו:
**<math>\lim_{h\to 0}\frac{1-cos(h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin^2(h)}{h(1+cos(h))}=\lim_{h\to 0}sin(h)\cdot \frac{sin(h)}{h}\cdot \frac{1}{1+cos(h)}=0\cdot 1 \cdot \frac{1}{2}=0</math>
**<math>(sin(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x)cos(h)+sin(h)cos(x)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}sin(x)\cdot \frac{cos(h)-1}{h} + cos(x)\cdot \frac{sin(h)}{h}=cos(x)</math>
**באופן דומה <math>(cos(x))'=-sin(x)</math>
*לוג:
**<math>\lim_{h\to 0}\frac{log(1+h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot log(1+h)=\lim_{h\to 0}log\left(\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}\right)=log(e)
</math>
***המעבר האחרון נובע מהעובדה שפונקצית הלוג רציפה.
***(בפרט נובע כי <math>\lim_{x\to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=1</math>.)
**<math>(log(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{log(x+h)-log(x)}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{log\left(\frac{x+h}{x}\right)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{x}\cdot\frac{log\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}=\frac{log(e)}{x}</math>
***בפרט נובע כי <math>(ln(x))' = \frac{1}{x}</math>
*אקספוננט:
**<math>\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} = \{t=a^h-1, h=log_a(1+t)\} = \lim_{t\to 0} \frac{t}{log_a(1+t)} = \frac{1}{log_a(e)} = \frac{1}{\frac{ln(e)}{ln(a)}}=ln(a)</math>
**<math>(a^x)' = \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}= \lim_{h\to 0}a^x\cdot \frac{a^h-1}{h}=a^x\cdot ln(a)</math>
***בפרט נובע כי <math>(e^x)'=e^x</math>.

<videoflash>pBYSLhpsz9g</videoflash>

<videoflash>NkPt_CFvuhY</videoflash>

*ישר:
**<math>(x)'=\displaystyle{\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)-x}{h} = 1}</math>

===חוקי הגזירה===

*תהיינה f,g גזירות ב<math>x_0</math> אזי:
**<math>(cf)'(x_0)=cf'(x_0)</math>
**<math>(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)</math>
**<math>(f\cdot g)'(x_0) = f'(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g'(x_0)</math>

<videoflash>iiF0siIWius</videoflash>

תהי g גזירה ב<math>x_0</math> ותהי f הגזירה ב<math>g(x_0)</math>:
*<math>(f\circ g)'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(g(x))-f(g(x_0))}{x-x_0}</math>
*תהי סדרה <math>x_0\neq x_n\to x_0</math>.
*רוצים לומר ש<math>\frac{f(g(x_n))-f(g(x_0))}{x_n-x_0}= \frac{f(g(x_n))-f(g(x_0))}{g(x_n)-g(x_0)}\cdot \frac{g(x_n)-g(x_0)}{x_n-x_0}\to f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)</math>.
*אמנם <math>g(x_n)\to g(x_0)</math> בגלל שהרציפות נובעת מהגזירות, אבל לא ידוע ש<math>g(x_n)\neq g(x_0)</math> ובמקרה זה אנחנו כופלים ומחלקים באפס.
*אם יש תת סדרה <math>a_n</math> של <math>x_n</math> עבורה <math>g(a_n)=g(x_0)</math> אזי <math>\frac{g(a_n)-g(x_0)}{a_n-x_0}=0</math> ולכן <math>g'(x_0)=0</math>.
*לכן <math>f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)=0</math>.
*כמו כן, <math>\frac{f(g(a_n))-f(g(x_0))}{a_n-x_0}=0</math>.
*לכן בכל מקרה קיבלנו כי <math>\frac{f(g(x_n))-f(g(x_0))}{x_n-x_0}\to f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)</math>
*סה"כ <math>(f\circ g)'(x_0)=f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)</math>.

<videoflash>uMPXs9PwxZ4</videoflash>

===נגזרת של חזקה===
*עבור <math>x>0</math> מתקיים <math>(x^\alpha)'=(e^{ln\left(x^\alpha\right)})' = (e^{\alpha\cdot ln(x)})' = e^{\alpha\cdot ln(x)}\cdot \frac{\alpha}{x} = x^\alpha \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha-1}</math>

*עבור חזקות בהן הביטוי מוגדר, <math>(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}</math> גם עבור <math>x\leq 0</math> (לפי תכונות של פונקציות זוגיות ואי זוגיות, ובאפס לפי חישוב ישיר).

*חזקה:
**<math>(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}</math> לכל <math>\alpha\in \mathbb{R}</math>, הוכחה בהמשך.
*בפרט:
**<math>(1)'=0</math>
**<math>(\frac{1}{x})' = (x^{-1})'=-\frac{1}{x^2}</math>
**<math>(\sqrt{x})'=(x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}</math>
** עבור <math>x>0</math> מתקיים <math>(\sqrt[3]{x})'=(x^{\frac{1}{3}})'=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}</math> וכיוון שהפונקציה אי זוגית נובע שהנגזרת שווה לביטוי הזה גם לשאר ערכי x.

<videoflash>UQnqIRrf12E</videoflash>

*דוגמא: חישוב הנגזרת של <math>x^x</math>

===נגזרת מנה===
תהיינה f,g גזירות בנקודה x כך ש <math>g(x)\neq 0</math>:
*נזכור כי <math>(\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}</math>
*אזי בנקודה x מתקיים: <math>\left(\frac{f}{g}\right)'=\left(f\cdot \frac{1}{g}\right)' = f'\cdot \frac{1}{g} + f\cdot \frac{-g'}{g^2} = \frac{f'g-g'f}{g^2}</math>

<videoflash>Iag0TdjdFnM</videoflash>

===פונקציות הופכיות ונגזרתן===

*טענה: תהי <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> הפיכה ורציפה. ונניח כי היא גזירה בנק' <math>a<x_0<b</math> כך ש <math>f'(x_0)\neq 0</math>.
:אזי <math>f^{-1}</math> גזירה בנק' <math>f(x_0)</math> ומתקיים כי
:<math>(f^{-1})'(f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)}</math> או בנוסח אחר-
:<math>(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}</math>
**הוכחה:
**<math>(f^{-1})'(f(x_0)) = \lim_{y\to f(x_0)}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(f(x_0))}{y-f(x_0)}</math>
**תהי <math>f(x_0)\neq y_n\to f(x_0)</math> ונסמן <math>x_n=f^{-1}(y_n)</math>.
**אזי מתוך רציפות וחח"ע נובע כי <math>x_0\neq x_n\to f^{-1}(f(x_0))=x_0</math>
**<math>\frac{f^{-1}(y_n)-f^{-1}(f(x_0))}{y_n-f(x_0)} = \frac{x_n-x_0}{f(x_n)-f(x_0)} \to \frac{1}{f'(x_0)}</math>

*דוגמא חשובה:
*<math>tan:(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\to\mathbb{R}</math> הפיכה וההופכית שלה נקראית <math>arctan</math>.
*<math>tan^2(x)+1 = \frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}+1 = \frac{1}{cos^2(x)}</math>
*<math>arctan'(x) = \frac{1}{\frac{1}{cos^2(arctan(x))}} = \frac{1}{tan^2(arctan(x))+1}=\frac{1}{1+x^2}</math>

*הנגזרות של <math>arcsin,arccos</math>

<videoflash>n9WMYrhb-6I</videoflash>

<videoflash>sryeJtePu_U</videoflash>

==פרק 6 - חקירה==

===משפט ערך הביניים===
*תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> כאשר <math>a<b\in\mathbb{R}</math>.
*עוד נניח כי <math>f(a)\leq 0</math> וכן <math>f(b)\geq 0</math>.
*אזי קיימת נקודה <math>c\in[a,b]</math> כך ש <math>f(c)=0</math>

*תהי f רציפה ב<math>[0,1]</math> כך ש<math>f(1)=2</math>, הוכיחו שקיימת נק' <math>c\in [0,1]</math> עבורה <math>f(c)=\frac{1}{c}</math>
**נעביר אגף ונביט בפונקציה <math>h(x)=f(x)-\frac{1}{x}</math> שצריך למצוא שורש שלה.
**<math>h(1)>0</math>.
**<math>\lim_{x\to 0^+}h(x)=f(0)-\infty=-\infty</math> ולכן קיימת נקודה <math>0<d<1</math> עבורה <math>h(d)<0</math>.
**לפי משפט ערך הביניים בקטע <math>[d,1]</math> קיימת נק' המאפסת את הפונקציה h.

<videoflash>WdKVN6R0NfU</videoflash>

<videoflash>pZXEn6KWtMY</videoflash>

===משפטי ויירשטראס===
*פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - חסומה.
*פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - מקבלת מינימום ומקסימום.

<videoflash>FPlpOmNQiAE</videoflash>

===משפט פרמה===
*אם פונקציה גזירה בנק' קיצון מקומי, הנגזרת שווה שם לאפס.
*ההפך אינו נכון, ייתכן שהנגזרת תתאפס אך בנקודה לא יהיה קיצון ואף לא פיתול.

<videoflash>Vlsum5uohMo</videoflash>

===משפט רול===
**תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> כך ש <math>f(a)=f(b)</math> אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>f'(c)=0</math>
*כלומר, פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח, שמקבלת את אותו ערך בקצוות - הנגזרת שלה מתאפסת בנקודה כלשהי בקטע הפתוח.

*לפולינום מדרגה n יש לכל היותר n שורשים שונים.

<videoflash>hmdp_jj9fx0</videoflash>

===משפט לגראנז' ותחומי עלייה וירידה===

*פונקציה f נקראת עולה בתחום A אם לכל <math>x_1<x_2\in A</math> מתקיים כי <math>f(x_1)\leq f(x_2)</math>
*פונקציה f נקראת יורדת בתחום A אם לכל <math>x_1<x_2\in A</math> מתקיים כי <math>f(x_1)\geq f(x_2)</math>

*תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
*כלומר קיימת נקודה בה השיפוע שווה לשיפוע המיתר בין שתי הנקודות בקצוות הקטע.

*תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> אזי f עולה בקטע <math>[a,b]</math> אם ורק אם <math>f'(x)\geq 0</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>
*כמו כן, באותם תנאים, אם <math>f'(x)\geq 0</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אזי <math>f(a)<f(b)</math> או שהפונקציה קבועה ב<math>[a,b]</math> ונגזרתה שווה אפס בקטע <math>(a,b)</math>

<videoflash>3DXDneBUnK8</videoflash>

*דוגמא
*יהי <math>a\in\mathbb{R}</math> מצאו כמה פתרונות יש למשוואה <math>sin(x)=x+a</math>

<videoflash>zX9XkY_mdDQ</videoflash>

===משפט קושי (לגראנז' המוכלל)===

*תהיינה f,g רציפות ב<math>[a,b]</math> וגזירות ב<math>(a,b)</math> כך ש<math>g'\neq 0</math> בקטע <math>(a,b)</math>.
*אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}</math>

*הוכחת משפט לגראנז' המוכלל, שמוכיח גם את משפט לגראנז' עצמו כמקרה פרטי.
**ראשית, כיוון ש<math>g'(x)\neq 0</math> בקטע <math>(a,b)</math> נובע לפי רול כי <math>g(a)\neq g(b)</math> ולכן מותר לחלק בהפרש ביניהם.
**<math>h(x)=f(x)-f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))</math>
**<math>h(a)=h(b)=0</math> ולכן לפי רול קיימת נק' <math>c\in (a,b)</math> עבורה <math>h'(c)=0</math> וזה מה שרצינו להוכיח.
**(שימו לב שמותר לחלק ב<math>g'(c)</math>.)
**עבור <math>g(x)=x</math> נקבל את משפט לאגראנז' הרגיל.

<videoflash>PTtcansFGJQ</videoflash>

===[[כלל לופיטל]]===
*תהיינה פונקציות כך ש <math>f,g\to 0</math> או <math>f,g\to \infty</math> ונניח כי <math>\frac{f'}{g'}\to L</math> אזי גם <math>\frac{f}{g}\to L</math>

<videoflash>PaDFSrtsOE4</videoflash>

====משפט סדרי הגודל====

*לכל <math>0<a,b</math> מתקיים כי:

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x^a}{(e^x)^b} =0} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x^a}{\ln^b(x)} =\infty} </math>

====דוגמאות נוספות====

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to 1} \frac{\ln(x)}{\sin(\pi x)} =-\frac{1}{\pi}} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x}{\sin(x)+2+x} =1} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} xe^{\frac{1}{x}} =\infty} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \sqrt[x]{x} =1} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} x\ln(x) =0} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} x^x =1} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x}+\ln(x) =\infty} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \left(\sin(x)\right)^{\tan^2(x)} =\frac{1}{\sqrt{e}}} </math>

*<math>\displaystyle{\lim_{x\to(-\infty)} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} =-1} </math>

====הוכחת כלל לופיטל בשני המקרים====

<videoflash>bqLDkGRLUYI</videoflash>

<videoflash>0RjBoccpjo8</videoflash>

אהבתם חדו"א 1? אז תעופו על [[חדוא 2 - ארז שיינר|חדו"א 2]]!

עץ-הסיכומים

2025-02-24T08:23:35Z

Dan ben hanoch:

*[[אינפי 2 מצגות תרגול אושרית|אינפי-2]]
*לינארית
*בדידה

אינפי 2 מצגות תרגול אושרית

2025-02-24T08:22:13Z

Dan ben hanoch:

*[[מדיה:מצגת תרגול 1 אושרית|מצגת תרגול 1 אושרית]]
*[[מדיה:מצגת תרגול 2 אושרית|מצגת תרגול 2 אושרית]]
*[[מדיה:מצגת תרגול 3 אושרית|מצגת תרגול 3 אושרית]]
*[[מדיה:מצגת תרגול 4 אושרית|מצגת תרגול 4 אושרית]]
*[[מדיה:מצגת תרגול 5 אושרית|מצגת תרגול 5 אושרית]]
*[[מדיה:מצגת תרגול 6 אושרית|מצגת תרגול 6 אושרית]]

אינפי 2 מצגות תרגול אושרית

2025-02-24T08:21:18Z

Dan ben hanoch: יצירת דף עם התוכן "*מדיה:מצגת תרגול 1 אושרית *מדיה:מצגת תרגול 2 אושרית *מדיה:מצגת תרגול 3 אושרית *מדיה:מצגת תרגול 4 אושרית *מדיה:מצגת תרגול 5 אושרית *מדיה:מצגת תרגול 6 אושרית"

*[[מדיה:מצגת תרגול 1 אושרית]]
*[[מדיה:מצגת תרגול 2 אושרית]]
*[[מדיה:מצגת תרגול 3 אושרית]]
*[[מדיה:מצגת תרגול 4 אושרית]]
*[[מדיה:מצגת תרגול 5 אושרית]]
*[[מדיה:מצגת תרגול 6 אושרית]]

עץ

2025-02-24T08:05:46Z

Dan ben hanoch:

[[קובץ:עץ.jpg]]
*[[מדיה:אלגוריתם להצלחה במבחנים.pdf | אלגוריתם]]
*[[מדיה:אני עץ.pdf | אני עץ]]
*[[עץ-הסיכומים | סיכומים]]

עץ

2025-02-24T08:05:34Z

Dan ben hanoch:

[[קובץ:עץ.jpg]]
*[[מדיה:אלגוריתם להצלחה במבחנים.pdf | אלגוריתם]]
*[[מדיה:אני עץ.pdf | אני עץ]]
[[עץ-הסיכומים | סיכומים]]

עץ

2025-02-24T08:05:15Z

Dan ben hanoch:

[[קובץ:עץ.jpg]]
*[[מדיה:אלגוריתם להצלחה במבחנים.pdf | אלגוריתם]]
*[[מדיה:אני עץ.pdf | אני עץ]]
[[עץ-הסיכומים סיכומים]]

עץ-הסיכומים

2025-02-24T08:04:36Z

Dan ben hanoch: יצירת דף עם התוכן "*אינפי *לינארית *בדידה"

*אינפי
*לינארית
*בדידה

שיחה:עץ

2025-02-24T08:01:49Z

Dan ben hanoch: יצירת דף עם התוכן "זה הדף של מר עץ"

זה הדף של מר עץ